หน่วย2_เมทริกซ์

สมบัตขิ องดีเทอร์มแิ นนตข์ องเมทริกซ์ 17. ถ้า B เกดิ จาก A โดยการคูณแถวใดแถวหน่ึง (หรอื หลกั ใดหลักหน่งึ ) ด้วยค่าคงตัว แล้วนาไปบวกกับอกี แถวหน่งึ (หรือหลกั ใดหลกั หน่ึง) จะไดว้ า่ det(B) = det(A) abc abc เช่น A = d e f , B = d ka e kb f kc det(B) = det(A) ghi ghi

5. 1) det(At) 2) det(AB) 3) det(A3) det(At) = det(A) det(AB) = det(A)det(B) det(A3) = (det(A))3 =5 = (5)(-3) = 53 = -15 = 125

5. 4) det(-2B) 5) det((AB)−1) 6) det(A2(Bt)3) det(-2B) = (−2)3det(B) det(A2(Bt)3) = det(A2)det((Bt)3) det((AB)−1) = 1 = (det(A))2(det(Bt))3 = (-8)(-3) det(AB) 1 = (25)(-27) = 24 = det(A)det(B) = -675 1 = (3)( 5) 1 = 15

5. 7) -a1 2a2 3a3 8) b7 b8 b9 -a4 2a5 3a6 b4 b5 b6 -a7 2a8 3a9 b1 b2 b3 = (-1)(2)(3)det(A) ขอ้ 13 = (-1)(2)(3)(5) ขอ้ 12 = -det(B) = -30 = -(-3) =3

1 9 -3 2050 9) 7 4 2 10) 0 -2 4 7 1 9 -3 0 0 1 -6 =0 0005 ข้อ 11 ข้อ 15 = (2)(-2)(1)(5) = -20

ระบบสมการเชิงเสน้ และเมทรกิ ซ์ 7. อินเวอร์สการคณู และดเี ทอรม์ แิ นนตข์ องเมทริกซ์มติ ิ n × n ก่อนที่จะหาอนิ เวอร์สการคณู และดีเทอรม์ แิ นนต์ของมทริกซ์ มติ ิ n × n ก่อนอ่นื ตอ้ งรู้จกั กบั ไมเนอรแ์ ละโคแฟคเตอร์ ก่อน การหาอนิ เวอร์สการคูณและดเี ทอรม์ แิ นนต์ของเมทรกิ ซ์ทม่ี ี มติ ิ 1 × 1 ,2 × 2 และ 3 × 3 ทไ่ี ดก้ ล่าวไปแล้ว เปน็ วธิ ีการเฉพาะมติ ิ เท่านั้น ไม่ไดเ้ ปน็ วิธที ่วั ไปท่ีใชไ้ ด้สาหรบั เมทริกซม์ ิติอ่ืน ความรเู้ กยี่ วกบั ไมเนอรแ์ ละโคแฟคเตอร์ท่จี ะกลา่ วต่อไปน้ี จะทาใหเ้ ราสามารถหาอนิ เวอรส์ การคูณและดเี ทอรม์ ิแนนตข์ องเมทริกซ์จตั ุรัสใด ๆ ได้

ไมเนอร์ ให้ A = [aij]n x n เม่อื n ≥ 2 ไมเนอร์ของ aij คอื ดีเทอรม์ ิแนนตข์ องมทริกซท์ ไ่ี ดจ้ ากการตดั เถวที่ i หลักท่ี j ของเมทริกซ์ A ออก เขยี นไมเนอร์ (Minor) ของ aij ดวั ย Mij(A)

5. 1 -2 1 11 M22(A) = 2 4 = (1)(4) – (2)(1) = 2 วธิ ที า จาก A = 3 -1 2 214 -1 2 1 -2 = (1)(1) – (2)(-2) = 5 จะได้ M11(A) = 1 4 = (-1)(4) – (1)(2) = -6 M23(A) = 2 1 = (-2)(2) – (-1)(1) = -3 32 -2 1 M12(A) = 2 4 = (3)(4) – (2)(2) = 8 M31(A) = -1 2 3 -1 11 M13(A) = 2 1 = (3)(1) – (2)(-1) = 5 M32(A) = 3 2 = (1)(2) – (3)(1) = -1 -2 1 1 -2 M21(A) = 1 4 = (-2)(4) – (1)(1) = -9 M33(A) = 3 -1 = (1)(-1) – (3)(-2) = 5

โคแฟกเตอร์ (Cofactor) หรอื ตัวประกอบรว่ มเกีย่ ว ให้ A = [aij]n x n เมอ่ื n ≥ 2 โคแฟกเตอร์หรอื ตัวประกอบรว่ มเกยี่ วของ aij คือ ผลคูณของ (−1)i + j กับ Mij(A) เขยี นแทนโคแฟกเตอร์ (Cofactor) ของ aij ด้วย Cij(A) น่นั คอื Cij(A) = (−1)i + jMij(A)

วธิ ที า จาก Cij(A) = (−1)i + jMij(A) C23(A) = (-1)(5) = -5 จะได้ C11(A) = (−1)1 + 1M11(A) = (1)(-6) = -6 C31(A) = (1)(-3) = -3 C12(A) = (−1)1 + 2M12(A) = (-1)(8) = -8 C32(A) = (-1)(-1) = 1 C13(A) = (1)(5) = 5 C33(A) = (1)(5) = 5 C21(A) = (-1)(-9) = 9 C22(A) = (1)(2) = 2

เมทรกิ ซ์ผกู พนั (Adjoint matrix) ให้ A = [aij]n x n เม่ือ n ≥ 2 แล้ว เมทริกซ์ผกู พัน (Adjoint matrix) ของ A คอื ทรานสโพสของเมทริกซ์ [Cij(A)]n x n เขยี นแทนเมทริกซ์ผกู พนั ของ A ด้วย adj(A) นน่ั คือ adj(A) = [Cij(A)]tn x n

เมทริกซ์ผูกพนั (Adjoint matrix) a11 a12 a13 เช่น ถา้ A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 จะได้ adj(A) = C11 (A) C12 (A) C13 (A) t C21 (A) C22 (A) C23 (A) C31 (A) C32 (A) C33 (A) C11 (A) C21 (A) C31(A) = C12 (A) C22 (A) C32 (A) C13 (A) C23 (A) C33 (A)

Cij(A) = (−1)i+jMij(A) 1 -1 C22(A) = 2 8 = (1)(8) – (2)(-1) = 10 วธิ ที า หา Cij(A) ทกุ ตาแหน่ง ดังนี้ 10 -1 -2 C23(A) = 2 5 = -[(1)(5) – (2)(0)] = -5 C11(A) = 5 8 = (-1)(8) – (5)(-2) = 2 3 -2 0 -1 C12(A) = 2 8 = -[(3)(8) – (2)(-2)] = -28 C31(A) = -1 -2 = (0)(-2) – (-1)(-1) = -1 3 -1 1 -1 C13(A) = 2 5 = (3)(5) – (2)(-1) = 17 C32(A) = 3 -2 = -[(1)(-2) – (3)(-1)] = -1 0 -1 10 C21(A) = 5 8 = -[(0)(8) – (5)(-1)] = -5 C33(A) = 3 -1 = (1)(-1) – (3)(0) = -1

จาก adj(A) = [Cij(A)]tn x n C11 (A) C12 (A) C13 (A) t 2 -28 17 t จะได้ adj(A) = C21(A) C22 (A) C23 (A) = -5 10 -5 C31 (A) C32 (A) C33 (A) -1 -1 -1 2 -5 -1 = -28 10 -1 17 -5 -1

ตวั อยา่ งที่ 5 จากตวั อยา่ งท่ี 4 จงหา A(adj(A)), (adj(A))A และ (det(A))I 1 0 -1 2 -5 -1 -15 0 0 วธิ ที า A(adj(A)) = 3 -1 -2 -28 10 -1 = 0 -15 0 2 5 8 17 -5 -1 0 0 -15 2 -5 -1 1 0 -1 -15 0 0 (adj(A))A = -28 10 -1 3 -1 -2 = 0 -15 0 17 -5 -1 2 5 8 0 0 -15 1 0 -1 1 0 100 -15 0 0 (det(A))I = 3 -1 -2 3 -1 x I = 15 0 1 0 = 0 -15 0 2 5 82 5 001 0 0 -15 จะเหน็ ไดว้ า่ A(adj(A)) = (adj(A))A = (det(A))I

สมบัตขิ องเมทรกิ ซ์ผกู พนั = (adj(A))A = (det(A))I 1. A(adj(A)) = (det(A))n − 1 2. det(adj(A))

ตัวอย่างท่ี 6 จงแสดงวา่ det(adj(A)) = (det(A))n − 1 วิธีทา ให้ A เป็นเมทรกิ ซ์มิติ n × n และ I เปน็ เมทริกซ์เอกลกั ษณม์ ิติ n × n จาก A(adj(A)) = (adj(A))A = (det(A))I จะได้ A(adj(A)) = (det(A))I det[A(adj(A))] = det[(det(A))I] คา่ คงตัว det(A)det(adj(A)) = det[(det(A))I] det(A)det(adj(A)) = (det(A))ndet(I) (det(A))n det(adj(A)) = det(A) det(adj(A)) = (det(A))n − 1 ดงั นั้น det(adj(A)) = (det(A))n − 1

ดีเทอร์มแิ นนตข์ องเมทรกิ ซม์ ติ ิ n × n กาหนด A = [aij]n x n เมอ่ื n ≥ 2 และ aij ∈ ℝ ดเี ทอร์มแิ นนตข์ อง A หาได้จากผลรวมของผลคูณ สมาชกิ กับโคแฟกเตอรใ์ นแถวใดแถวหนึง่ หรอื หลกั ใดหลักหน่งึ เรียกว่า การกระจายโคแฟกเตอร์ ดงั น้ี

ดีเทอร์มิแนนตข์ องเมทริกซม์ ิติ n × n a11 a12 a1n a2n det(A) = a21 a22 an1 an2 ann = a11C11(A) + a12C12(A) + … + a1nC1n(A) (เลือกกระจายแถวท่ี 1) = a21C21(A) + a22C22(A) + … + a2nC2n(A) (เลือกกระจายแถวที่ 2) = an1Cn1(A) + an2Cn2(A) + … + annCnn(A) (เลอื กกระจายแถวท่ี n)

ดีเทอร์มิแนนตข์ องเมทริกซ์มิติ n × n a11 a12 a1n a2n det(A) = a21 a22 an1 an2 ann = a11C11(A) + a21C21(A) + … + an1Cn1(A) (เลือกกระจายหลกั ที่ 1) = a12C12(A) + a22C22(A) + … + an2Cn2(A) (เลอื กกระจายหลกั ท่ี 2) = a1nC1n(A) + a2nC2n(A) + … + annCnn(A) (เลอื กกระจายหลักที่ n)

ดเี ทอร์มิแนนตข์ องเมทริกซม์ ติ ิ n × n การกระจายโคแฟกเตอร์ เลอื กกระจายตามแถวใดแถวหน่งึ หรอื ตามหลกั ใดหลักหน่ึงกไ็ ด้ โดยเลอื กแถวหรือหลักทม่ี ี 0 มากที่สดุ

วธิ ที า เลอื กกระจายตามแถวที่ 1 -2 1 จะได้ 3 2 = a11C11(A) + a12C12(A) = a11(−1)1+1M11(A) + a12(−1)1+2M12(A) = -2(1)l2l + (1)(-1)l3l = -4 – 3 = -7

วธิ ที า เลอื กกระจายตามหลกั ท่ี 2 123 จะได้ -1 0 -2 = a12C12(A) + a22C22(A) + a32C32(A) 3 1 -1 = a12(−1)1+2M12(A) + a22(−1)2+2M22(A) + a32(−1)3+2M32(A) -1 -2 1 3 1 3 = 2(-1) 3 -1 + (0)(1) 3 -1 + (1)(-1) -1 -2 = (-2)(7) + 0 – 1 = -15

วธิ ที า เลอื กกระจายตามหลกั ท่ี 2 -1 0 2 3 2 3 2 -2 จะได้ 2 4 2 1 = a12C12(A) + a22C22(A) + a32C32(A) + a42C42(A) 3 0 -5 -3 = a12(−1)1+2M12(A) + a22(−1)2+2M22(A) + a32(−1)3+2M32(A) + a42(−1)4+2M42(A) 2 2 -2 -1 2 3 -1 2 3 -1 2 3 = 0(-1) 2 2 1 + (3)(1) 2 2 1 + (4)(-1) 2 2 -2 + (0)(1) 2 2 -2 3 -5 -3 3 -5 -3 3 -5 -3 221

2 2 -2 -1 2 3 -1 2 3 -1 2 3 = 0(-1) 2 2 1 + (3)(1) 2 2 1 + (4)(-1) 2 2 -2 + (0)(1) 2 2 -2 3 -5 -3 3 -5 -3 3 -5 -3 221 = 0 + 3(-29) -4(-32) + 0 = -87 + 128 = 41

7.4 อินเวอร์สการคูณของเมทริกซม์ ิติ n × n กาหนด A = [aij]n x n เมอื่ n ≥ 2 และ aij ∈ ℝ จะไดว้ า่ A มอี นิ เวอร์สการคูณ กต็ อ่ เมอื่ A เปน็ เมทรกิ ซ์ไมเ่ อกฐาน จากสมบัติของ adj(A) ; A(adj(A)) = (adj(A))A = (det(A))I ดังนนั้ ถา้ det(A) ≠ 0 แลว้ A−1 = 1 adj(A) det(A)

สมบตั เิ พม่ิ เตมิ 1. adj(A) = det(A) A−1 2. aij 1 = Cji (A) det(A)

ตวั อยา่ งที่ 7 จงหาอินเวอรส์ การคูณของเมทรกิ ซ์ A โดยใช้ A−1 = 1 adj(A) det(A) วธิ ที า หา det(A) 1 -1 2 1 -1 det(A) = 1 3 2 1 3 -1 -2 -1 -1 -2

8. การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้เมทรกิ ซ์ เราสามารถใชค้ วามรู้เร่ืองเมทริกซ์และดเี ทอรม์ ิแนนท์มาชว่ ยในการหา คาตอบขอระบบสมการได้ ซง่ึ ในการแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้เมทริกซ์นนั้ เรา ต้องเปล่ยี นระบบสมการเชงิ เส้นใหอ้ ย่ใู นรูปของเมทริกซเ์ สียก่อน โดยท่ี จากระบบ สมการเชงิ เสน้ ให้จดั เรยี งตาแหนง่ ของตัวแปรในแตล่ ะสมการให้เหมอื นกนั และคา่ คงตวั ทไี่ มม่ ตี วั แปรใหน้ าไปไวท้ างขวาของสมการ ดงั น้ี

จากรูปทวั่ ไปของระบบสมการเชงิ เสน้ a11x1 a12x2 a1nxn b1 3x 5y 4z 4 a21x1 a22x2 a2xn b2 เช่น x 2y z 5 an1x1 an2x2 annxn bn 2x 3y 5z 2 โดยที่ x1, x2, … xn เป็นตัวแปร เราสามารถเขยี นระบบสมการน้ี ในรูปของสมการเมทริกซ์ AX = B ไดด้ งั น้ี a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2n x2 = b2 an1 an2 ann xn bn

a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2n x2 = b2 an1 an2 ann xn bn a11 a12 a1n เรยี ก A = a21 a22 a2n ว่า เมทรกิ ซ์สมั ประสิทธ์ิ an1 an2 ann x1 วา่ เมทริกซ์ตวั แปร b1 x2 b2 เรียก X = และเรียก B = ว่า เมทริกซ์คา่ คงตวั xn bn

หรอื อาจเขยี นเมทรกิ ซส์ มั ประสทิ ธแิ์ ลว้ ตอ่ อกี หลกั หนง่ึ ดว้ ยคา่ คงตวั ดงั น้ี a11 a12 a1n b1 จะได้ [A B ] = a21 a22 a2n b2 เรยี กวา่ เมทรกิ ซ์แตง่ เตมิ an1 an2 ann bn 3x 5y 4z 4 จะไดเ้ มทรกิ ซแ์ ตง่ เติม คอื 3 -5 4 4 -1 2 -1 5 เช่น ระบบสมการ x 2y z 5 2352 2x 3y 5z 2

การหาคาตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชเ้ มทรกิ ซท์ าได้ 3 วธิ ี a11 a12 a1n x1 b1 a2n x2 = b2 จะไดส้ มการอย่ใู นรปู AX = B กาหนดระบบสมการเชิงเส้น a21 a22 an1 an2 ann xn bn A XB 1) การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชเ้ มทรกิ ซ์ผกผนั 2) การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชก้ ฎของคราเมอร์ (Cramer's rule) 3) การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชก้ ารดาเนนิ การตามแถว

หมายเหตุ : จากระบบสมการเชิงเสน้ ซึง่ การแก้ระบบสมการเพื่อหา คาตอบว่าได้หรือไม่น้นั ขน้ึ อยู่กบั เมทรกิ ซส์ ัมประสทิ ธ์ิ

8.1 การแก้ระบบสมการเชงิ เส้น โดยใชเ้ มทรกิ ซผ์ กผนั a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2xn b2 กาหนดระบบสมการเชงิ เส้นท่ีมี n สมการ n ตัวแปร ดังน้ี annxn bn an1x1 an2x2 จากระบบสมการขา้ งตน้ นกั เรยี นสามารถเขียนระบบสมการ a11 a12 a1n x1 b1 เชิงเส้นใหอ้ ยู่ในรูปสมการเมทรกิ ซไ์ ด้เปน็ AX = B ดงั น้ี a21 a22 a2n x2 an1 an2 ann xn = b2 A bn XB

a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2n x2 an1 an2 ann xn = b2 bn A XB จะได้ เม่ือ A เปน็ เมทริกซไ์ ม่เอกฐาน คือ det(A) ≠ 0 AX =B A−1AX = A−1B ดังนน้ั X= A−1B

ตวั อย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการเชิงเสน้ ต่อไปนี้ โดยใชเ้ มทรกิ ซผ์ กผัน 1) 3x + 2y = 3 2x - 5y = -17 วิธที า จากระบบสมการข้างตน้ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปสมการเมทริกซ์ AX = B ดังนี้ 32x 3 2 -5 y = -17 AX = B x 3 2 -1 3 X = A−1B y 2 -5 -17 จะได้ = นนั่ คอื x = -1 y=3 3 2 -1 = 1 -5 -2 = 1 -5 -2 หา 2 -5 -15 - 4 -2 3 -19 -2 3 x = 1 -5 -2 3 = -1 ดงั น้นั y -19 -2 3 -17 3

2) x - 2y + z = -1 y - z + = -1 3x + y - 2z = -4 y-z+1 =0 วธิ ที า จากระบบสมการข้างต้น สามารถเขียนให้อยใู่ นรูปสมการเมทริกซ์ AX = B ดงั น้ี 1 -2 1 x -1 AX = B X = A−1B 3 1 -2 y = -4 0 1 -1 z -1 x 1 -2 1 -1 -1 จะได้ y = 3 1 -2 -4 z 0 1 -1 -1 หา 1 -2 1 -1 1 A ) adj( A ) 3 1 -2 = det( 0 1 -1

2) x - 2y + z = -1 3x + y - 2z = -4 y-z+1 =0 y - z + = -1 1 -2 1 -1 1 -2 1 หา 3 1 -2 จาก det(A) = 3 1 -2 = -1 + 0 + 3 – 0 + 2 - 6 = -2 0 1 -1 0 1 -1 1 -2 11 1 -2 C11(A) = 1 -1 = 1 C22(A) = 0 -1 = -1 C33(A) = 3 1 = 7 3 -2 1 -2 1 -1 3 C12(A) = 0 -1 = 3 C23(A) = 0 1 = -1 adj(A) = 3 -1 5 31 -2 1 3 -1 7 C13(A) = 0 1 = 3 C31(A) = 1 -2 = 3 -2 1 11 C21(A) = 1 -1 = -1 C32(A) = 3 -2 = 5

2) x - 2y + z = -1 y - z + = -1 1 -2 = -2 3x + y - 2z = -4 1 -2 -1 det(A) = 3 1 y-z+1 =0 1 -1 01 1 -2 -2 จาก หา 3 1 -1 01 1 -1 3 adj(A) = 3 -1 5 3 -1 7 จะได้ 1 -2 1 -1 = 1 1 -1 3 3 1 -2 -2 3 -1 5 0 1 -1 3 -1 7

2) x - 2y + z = -1 y - z + = -1 3x + y - 2z = -4 y-z+1 =0 x 1 -2 1 -1 -1 จาก y = 3 1 -2 -4 z 0 1 -1 -1 ดังน้นั x = 1 1 -1 3 -1 = 1 0 = 0 y -2 3 -1 5 -4 -2 -4 2 z 3 -1 7 -1 -6 3 คาตอบของระบบสมการ คือ x = 0, y = 2, z = 3

8.2 การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้กฎของคราเมอร์ (Cramer's rule) กาหนดระบบสมการเชงิ เส้นทีม่ ี n สมการ n ตวั แปร โดย AX = B เป็นสมการเมทรกิ ซ์ ท่สี มั พันธ์กับระบบสมการเชงิ เสน้ โดยท่ี A เปน็ เมทรกิ ซไ์ ม่เอกฐาน หรือ det(A) ≠ 0 ดงั นี้ a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2n x2 b2 A= , X= , B= an1 an2 ann xn bn

a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2n x2 b2 A= , X= , B= an1 an2 ann xn bn จะได้ว่า x1 = det(A1 ) , x2 = det(A2 ) , …, xn = det(An ) det(A) det(A) det(A) เมอื่ Ai คอื เมทรกิ ซท์ ไี่ ดจ้ ากการแทนหลกั ท่ี i ของ A ดว้ ยหลกั ของ B สาหรับทกุ ๆ i = 1, 2, 3, …, n

ตัวอยา่ งที่ 4 จงแก้ระบบสมการต่อไปน้ีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ 1) 2x - 5y = -9 5y + 7z = 26 9x - 4z = -30 วิธที า จากระบบสมการข้างต้น สามารถเขยี นให้อยู่ในรปู สมการเมทรกิ ซ์ AX = B ดังนี้ 2 -5 0 x -9 2 -5 0 x -9 0 5 7 y = 26 , A = 0 5 7 , X = y , B = 26 9 0 -4 z -30 z -30 9 0 -4 2 -5 0 จะได้ det(A) = 0 5 7 = -40 - 315 + 0 – 0 – 0 – 0 = -355 9 0 -4

2 -5 0 x -9 2 -5 0 x -9 0 5 7 y = 26 , A = 0 5 7 , X = y , B = 26 9 0 -4 z -30 z -30 9 0 -4 2 -5 0 จะได้ det(A) = 0 5 7 = -40 - 315 + 0 – 0 – 0 – 0 = -355 9 0 -4 -9 -5 0 2 -5 -9 26 5 7 0 5 26 det(A1 ) = -30 0 -4 = 710 = -2 z= det(A3 ) = 9 0 -30 = -1,065 = 3 det(A) -355 det(A) -355 ดังน้ัน x= -355 -355 2 -9 0 0 26 7 y= det(A2 ) = 9 -30 -4 = -355 =1 ∴ คาตอบของระบบสมการ คอื x = -2, y = 1, z = 3 det(A) -355 -355

2) 2x + y + z =0 2y - z - w =4 y - 2z - 2w =3 2y - z - 2w = -2 วธิ ที า จากระบบสมการข้างต้น สามารถเขียนให้อยู่ในรูปสมการเมทรกิ ซ์ AX = B ดังน้ี 21 1 0 x 0 21 1 0 x 0 0 2 -1 -1 y = 4 , A= 0 2 -1 -1 , X= y , B= 4 0 1 -2 -2 z 3 0 1 -2 -2 z 3 0 2 -1 -2 w -2 0 2 -1 -2 w -2 21 1 0 จะได้ det(A) = 0 2 -1 -1 = a11C11(A) + a21C21(A) + a31C31(A) + a41C41(A) 0 1 -2 -2 2 -1 -1 0 2 -1 -2 = 2 × 1 -2 -2 = 2 × 3 = 6 2 -1 -2

21 1 0 x 0 A= 0 2 -1 -1 , X= y , B= 4 จะได้ det(A) = 6 0 1 -2 -2 z 3 0 2 -1 -2 w -2 011 0 4 2 -1 -1 3 1 -2 -2 det(A1 ) -2 2 -1 -2 det(A) ดงั นนั้ x= = 6 0 1 1 0 4 -1 -1 4 2 -1 2 -1 -1 3 -2 -2 + 1 × 3 1 -2 det(A1 ) = 4 1 -2 -2 = a12C12( A1) + a13C13(A1) = 1 × (-1) × -2 -1 -2 -2 2 -2 3 2 -1 -2 -2 = -5 + 20 = 15 15 5 จะได้ x= 6 = 2

21 1 0 x 0 A= 0 2 -1 -1 , X= y , B= 4 จะได้ det(A) = 6 01 -2 -2 z 3 0 2 -1 -2 w -2 20 1 0 0 4 -1 -1 det(A2 ) 0 3 -2 -2 det(A) y = = 0 -2 -1 -2 6 2 0 1 0 4 -1 -1 4 -1 -1 3 -2 -2 = 10 det(A2 ) = 0 3 -2 -2 = a11C11( A2) = 2 × -2 -1 -2 0 -2 -1 -2 0 จะได้ y= 10 = 5 6 3

21 1 0 x 0 A= 0 2 -1 -1 , X= y , B= 4 จะได้ det(A) = 6 01 -2 -2 z 3 0 2 -1 -2 w -2 21 0 0 0 2 4 -1 det(A3 ) 0 1 3 -2 det(A) z= = 0 2 -2 -2 2×2× 6 2 1 0 0 2 4 -1 2 4 -1 1 3 -2 = -40 det(A3 ) = 0 1 3 -2 = a11C11( A3) = 2 × 2 -2 -2 0 2 -2 -2 0 จะได้ z = -40 = -20 6 3

21 1 0 x 0 A= 0 2 -1 -1 , X= y , B= 4 จะได้ det(A) = 6 01 -2 -2 z 3 0 2 -1 -2 w -2 21 1 0 0 2 -1 4 det(A4 ) 0 1 -2 3 det(A) w = = 0 2 -1 -2 6 2 1 1 0 2 -1 4 2 -1 4 1 -2 3 = 36 det(A4 ) = 0 1 -2 3 = a11C11( A4) = 2 × 2 -1 -2 0 2 -1 -2 0 จะได้ w = 36 =6 ∴ คาตอบของระบบสมการ คอื x = 5 , y = 5 z = -20 , w = 6 6 2 3, 3