b_4_ma_ma_0773-0796 (1)

ติวเตอร์ ออนไลน์ ชุมชนคนรักเรียน WWW.tutorONLINE.CO.th คูม่ ือกวดวิชาฉบับเตรียมสอบ Happy English àâҤ³ÔµÇÔà¤ÃÒÐËìáÅÐÀÒ¾µÑ´¡ÃÇ â´Â ÍÒ¨ÒÏ ÃËÑÊÇÔªÒ 422PS1007 - 422PS1009 ¾ÔÁ¾¤Ãѧé áá : มีนาคม 2552 ʧǹÅÔ¢ÊÔ·¸Ôì ¾.È. 2550 â´ÂºÃÔÉÑ· á¤Á»ÑÊ ตวิ เตอร์ Í͹䬏 ¨Ó¡ัด ËŒÒÁ¹Óʋǹã´Ê‹Ç¹Ë¹Ö觢ͧ˹ѧÊ×ÍàÅ‹Á¹Õäé »ÅÍ¡àÅÕ¹Ẻ ·ÓÊÓà¹Ò ¶‹ÒÂàÍ¡ÊÒà ËÃ×͹Óä»à¼Âá¾Ã‹º¹ÍÔ¹àµÍÏ๵ áÅÐÊ×èͪ¹Ô´Í×¹è æ äÁ‹Ç‹ÒÃٻẺ㴠¹Í¡¨Ò¡ ¨Ðä´ŒÃѺ͹حҵ໹ç ÅÒÂÅѡɳÍÑ¡ÉÃà·‹Ò¹Ñé¹ ¨Ñ´¾ÔÁ¾â ´Â : ºÃÔÉÑ· :_____________________________ ·ÕèÍÂÙ‹ :______________________________ àºÍÃìµÔ´µ‹Í :__________________________ ¨Ñ´¨Ó˹‹ÒÂâ´Â : ºÃÔÉÑ· : á¤Á»ÑÊ ติวเตอร์ Í͹䬏 ¨Ó¡Ñ´ ·ÕèÍÂÙ‹ : 117-119 ¶.ÃÔÁ¤Åͧ»ÃÐ»Ò à¢µºÒ§«×èÍ ¡Ãا෾ 10800 àºÍÃìµÔ´µ‹Í : 0-2910-3390 á¿¡« 0-2587-8046 ã¹¡Ã³Õ·Õµè ŒÍ§¡Òë×éÍà»ç¹¨Ó¹Ç¹ÁÒ¡ à¾×èÍ㪌㹡ÒÃÊ͹ ¡Òý֡ͺÃÁ ¡ÒÃÊ‹§àÊÃÔÁ¡ÒâÒ ËÃ×Íà»¹ç ¢Í§¢ÇÑ­¾ÔàÈÉ ¡ÃسҵԴµ‹ÍÊͺ¶ÒÁÃÒ¤Ò¾ÔàÈÉä´é·Õè ½èÒ¢Ò ºÃÔÉÑ· á¤Á»ÑÊ ตวิ เตอร์ Í͹䬏 ¨Ó¡Ñ´ â·Ã. 0-2910-3390 1 www.tutoronline.co.th 1 1

ชุมชนคนรักเรียน ¤Ó¹Ó   ⌦         ⌫   ⌫     ⌦   ⌫  ⌫⌫   ⌫ ⌫⌫    ⌫  ⌫   ⌫ ⌦      ⌫         ⌦   ⌫       ⌫  ⌫    ⌫        ⌫   ⌫⌫⌦ ⌫⌫     ⌫  ⌫ ⌦  ⌦        ⌫  ⌫    ⌫⌫  ⌫ ⌫⌦ ⌦  ⌫  ⌦⌫ ⌫⌫⌦    ⌫  ⌦ ⌫   ⌦⌫ ⌦  ⌫    ⌫  ⌫    ⌫   ⌫    ⌫     ⌫       ⌫⌫   ⌫          www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -1- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) เรขาคณติ วเิ คราะห์ < สาระการเรยี นรเู้ พม่ิ เตมิ > 1. ระบบแกนพกิ ดั ฉาก ค่อู ันดบั (x, y) ในควอดรันต์ที่ 1 เป็น (+ , +) ค่อู นั ดบั (x, y) ในควอดรนั ตท์ ่ี 2 เป็น (− , +) ค่อู นั ดับ (x, y) ในควอดรนั ต์ท่ี 3 เปน็ (− , −) คอู่ ันดับ (x, y) ในควอดรันต์ท่ี 4 เปน็ (+ , −) 2. โปรเจคชนั (Projection) A A' L โปรเจคชนั ของจดุ บนเสน้ ตรง B จดุ A′ เป็นโปรเจคชนั ของจดุ A บนเสน้ ตรง L A A' L โปรเจคชนั ของสว่ นของเสน้ ตรงบนเสน้ ตรง สว่ นของเสน้ ตรง A′B′ เปน็ B' โปรเจคชนั ของสว่ นของเสน้ ตรง AB บนเสน้ ตรง L www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -2- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย SERIES 1/1 1. จงหาโปรเจกชนั ของจดุ ตอ่ ไปนบ้ี นแกน X และ แกน Y 1) ( 3, 4 ) 2) ( -2, 5 ) 2. กำหนดใหจ้ ดุ A = (3, −2) และจดุ B = (−5, 4) จงหา 1) ความยาวโปรเจคชนั ของ AB บนแกน X 2) ความยาวโปรเจคชนั ของ AB บนแกน Y 3. วงกลมวงหนง่ึ มจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี ( -3, 5 ) จงหาจดุ สมั ผสั และความยาวรศั มขี องวงกลม เมอ่ื 1) วงกลมสมั ผสั แกน X 2) วงกลมสมั ผสั แกน Y www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -3- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 3. วเิ คราะหเ์ จาะลกึ จดุ 2 จดุ เมอ่ื จดุ A และ B เปน็ จดุ บนระนาบพกิ ดั แกนมมุ ฉาก จะได้ 1. ระยะ AB = AB = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = (Δx)2 + (Δy)2 2. จดุ แบง่ ภายใน P ทแ่ี บง่ AB ออกเปน็ อตั ราสว่ น m : n ดงั รปู ซง่ึ P = ⎝⎜⎛ mxm2 + nx1 , mym2 + nny1 ⎟⎠⎞ +n + และถา้ m = n เราจะเรยี ก P วา่ จดุ ก่ึงกลาง จะได้ P = ⎛⎝⎜ x2 + x1 , y2 + y1 ⎟⎞⎠ 2 2 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -4- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย SERIES 1/2 1. จงหาระยะทางระหวา่ งจดุ แตล่ ะคตู่ อ่ ไปน้ี 2) A(-5, 3) , B(0, 8) 1) A(-1, 5) , B(4, 17) 3) A( -1, -2 ) , B( 3, -4 ) 4) A(0, 0) , B( -5, -12 ) 2. จงหาความยาวของเสน้ รอบรปู ของรปู สามเหลย่ี ม ABC ซง่ึ มจี ดุ ยอดอยทู่ ่ี 1) A(1, 2) , B(5, 2) , C (1, 5) 2) A(3, 4) , B(7, 8) , C (-1, 2) 3. จดุ บนแกน x ซง่ึ มรี ะยะหา่ งจากจดุ A(4, 5) เทา่ กบั ระยะหา่ งจากจดุ B(3, 4) คอื จดุ ในขอ้ ใด 1. (8, 0) 2. (12, 0) 3. (6, 0) 4. (10, 0) 4. วงกลมวงหนง่ึ มจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (5, 3) รศั มยี าว 5 หนว่ ย จงหาความยาวของคอรด์ ซง่ึ มจี ดุ กง่ึ กลาง ทจ่ี ดุ (3, 2) 1. 2 5 2. 3 5 3. 4 5 4. 5 5 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -5- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) NOTE for TRICK 5. กำหนด A(-2, 1) , B(2, 4) , C(3, 1) เปน็ จดุ ยอดของสามเหลย่ี ม ABC จงหาวา่ สามเหลย่ี ม ABC เปน็ สามเหลย่ี มชนดิ ใด 1. สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั 2. สามเหลย่ี มมมุ ฉาก 3. สามเหลี่ยมด้านเท่า 4. สามเหล่ียมดา้ นไมเ่ ทา่ 6. กำหนด A(3, 0) , B(6, 4) , C(-1, 3) เปน็ จดุ ยอดของสามเหลย่ี ม ABC จงหาวา่ สามเหลย่ี ม ABC เปน็ สามเหลย่ี มชนดิ ใด 1. สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั 2. สามเหลย่ี มมมุ ฉาก 3. สามเหลี่ยมด้านเท่า 4. ทง้ั 1 และ 2 7. กำหนด A(-2, -3) , B(0, 1) , C(1, 3) เปน็ จดุ ยอดของสามเหลย่ี ม ABC จงหาวา่ สามเหลย่ี ม ABC เปน็ สามเหลย่ี มชนดิ ใด 1. สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั 2. สามเหลย่ี มมมุ ฉาก 3. สามเหลี่ยมด้านเท่า 4. เปน็ จุดทอ่ี ยูบ่ นเสน้ ตรงเดยี วกัน ซะงน้ั นะ่ www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -6- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 8. ให้จุด C(x, y) เป็นจุดท่ีอยู่บนสว่ นของเส้นตรง PQ ซงึ่ P(3, 7) กบั Q(−3, 4) โดยจุด C แบง่ สว่ นของเสน้ ตรง PQ ออกเปน็ อัตราส่วน PC : PQ = 2 : 3 จงหาจดุ C 9. กำหนดจดุ C เป็นจุดภายนอกที่แบ่งส่วนของเส้นตรง AB ออกเปน็ อตั ราสว่ น CA : CB = 1 : 5 โดยท่ีจดุ A(6, 3) และ B(-2, 7) จงหาพกิ ดั ของจุด C 10. กำหนดจุด C(−4, 1) เปน็ จุดทอ่ี ยบู่ นส่วนของเส้นตรง AB โดยแบง่ เส้นตรง AB ออกเปน็ อตั ราส่วน AC : CB = 3 : 2 ถ้า A มีพิกัด (2, −2) จงหาจุด B 11. ถา้ จดุ M(-5, 5) แบง่ ส่วนของเสน้ ตรงที่เชื่อมต่อจุด P(-7, 4) และ Q(1, 8) แล้วอตั ราสว่ น PM : MQ มีคา่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 1 : 3 2. 1 : 4 3. 1 : 5 4. 3 : 1 12. จงหาจดุ กง่ึ กลางระหวา่ งจดุ แตล่ ะคตู่ อ่ ไปน้ี 2) (4, 7) กบั (−8, 1) 1) (3, 6) กบั (5, 12) 13. จดุ M เปน็ จดุ กง่ึ กลางของสว่ นของเสน้ ตรง PQ จงหาพกิ ดั ของจดุ P ถา้ จดุ M มพี กิ ดั เปน็ (5, 6) และ Q มพี กิ ดั เปน็ (15, -4 ) 14. ถา้ จดุ ปลายของเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลมวงหนง่ึ เปน็ (1, 3) และ (7, 11) จงหาพกิ ดั ของจดุ ศนู ยก์ ลาง และความยาวของรศั มขี องวงกลมน้ี www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -7- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 15. จงหาพกิ ดั ของจดุ ปลายเสน้ มธั ยฐานของรปู สามเหลย่ี มทม่ี จี ดุ ยอดท่ี A(4, 9) , B(3, 8) และ C(-1, 2) 16. จงหาความยาวของสว่ นของเสน้ ตรงซง่ึ เชอ่ื มจดุ A(8, 2) กบั จดุ กง่ึ กลางระหวา่ ง P(2, 1) และ Q(6, 5) 17. จงพสิ จู นว์ า่ เสน้ ทแยงมมุ ของรปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนานแบง่ ครง่ึ ซง่ึ กนั และกนั 18. กำหนด จAง(หxา1พ, กิ yดั 1ข)อ, งBจ(ดุ x2D, y2 ) , C( x3 , y3 ) และ D( x, y ) เปน็ จดุ ยอดของสเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน ABCD 1. ( xxxx1111 - xxxx2222+-+- xxxx3333,,,, yyyy1111--++yyy2y22-2+-+yyy3y33)3)) ) 2. ( + 3. ( - 4. ( + 19. กำหนดจดุ ยอดสเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน ABCD คอื A(2, 3) , B(5, 8) , C(8, 10) จงหาพกิ ดั จดุ D โจทย์ท้าประลอง 20. จดุ กง่ึ กลางดา้ นของสามเหลย่ี ม ABC คอื (1, 5) , (10, 8) และ (5, 1) จงหาจดุ ยอดของสามเหลย่ี ม ABC www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -8- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 4. วเิ คราะหจ์ ดุ 3 จดุ ให้ A , B และ C เปน็ จดุ ใด ๆ บนระนาบ และ M เปน็ จดุ ตดั เสน้ มธั ยฐานทง้ั 3 เสน้ ดงั รปู M = ⎝⎛⎜ x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 ⎞⎠⎟ 3 3 Note 5. การหาพน้ื ทร่ี ปู n เหลย่ี ม กำหนดรปู n เหลย่ี ม ซง่ึ มจี ดุ มมุ เรยี งตอ่ กนั n จดุ คอื (x1, y1) , (x2, y2) , (x3, y3) , ... , (xn, yn) แลว้ จะได้ พน้ื ทร่ี ปู n เหลย่ี ม = 1 = 1 ( Σ คณู ลง - Σ คูณขึ้น) 2 2 มาทำโจทย์กันต่อเลยนะ 21. กำหนดสามเหล่ียม ABC มีพิกัด A(5, 9) , B(4, −2) , C(−15, 11) จงหาจดุ ตัดของเส้นมัธยฐาน 22. สามเหล่ียมรปู หนง่ึ มีจุดยอดเปน็ A(3, 10) , B(7, 7) , C( x, y) ถา้ จดุ ตัดของเสน้ มธั ยฐานของสามเหล่ยี มน้คี ือ ⎛ 8 , 6 ⎞ ⎜⎝ 3 ⎠⎟ แลว้ จงหาพิกดั ของจุด C 23. ให้จุดยอดของสี่เหลี่ยม ABCD คือ A(2, 5) , B(4, −2) , C(−2, −3) และ D(−4, 0) จงหาพ้ืนท่ีรูปสเี่ หลีย่ ม ABCD 24. กำหนด A(−1, 2) , B(3, −2) , C(4, 6) เป็นจุดยอดของสามเหล่ยี ม ABC แลว้ จงหา 1) พืน้ ท่ีของสามเหลย่ี ม ABP ถา้ P เปน็ จดุ ตัดของเส้นมัธยฐาน 2) ความยาวของเส้นตรงท่ลี ากจากจุด A ไปตั้งฉากด้าน BC www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -9- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 6. ความชนั ของเสน้ ตรง (Slope) บทนิยาม ให้ L เปน็ เสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ A(x1, y1) และ B(x2, y2) โดยท่ี x1 ≠ x2 m เปน็ ความชนั ของเสน้ ตรง กต็ อ่ เมอ่ื m = y2 − y1 x2 − x1 ข้อควรทราบ กำหนด θ เปน็ มมุ ทว่ี ดั จาก x ไปสน้ิ สดุ ทเ่ี สน้ ตรง L ในทศิ ทวนเขม็ นาฬกิ า สามารถหาความชนั ( m ) ของเสน้ ตรง L ไดอ้ กี วธิ คี อื m = tan θ รปู แบบของเสน้ ตรงกบั ความชนั มี 4 รปู แบบ 1. ความชันมีคา่ เป็นบวก 2. ความชันมคี ่าเป็นลบ เสน้ ตรงเอยี งขวา เสน้ ตรงเอยี งซา้ ย 3. ความชันมีค่าเป็นศูนย์ 4. ความชนั หาคา่ ไมไ่ ด้ (ไมน่ ยิ าม) เสน้ ตรงขนานแกน x เสน้ ตรงตง้ั ฉากกบั แกน x www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -10- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 7. ความสมั พนั ธข์ องเสน้ ตรง 2 เสน้ 1. ถา้ เสน้ ตรง l1, l2 ไมข่ นานกบั แกน y และมคี วามชนั m1, m2 ตามลำดบั จะได้ l1 // l2 กต็ อ่ เมอ่ื m1 = m2 2. ถา้ เสน้ ตรง l1 , l2 ไมข่ นานกบั แกน x หรอื y และมคี วามชนั m1, m2 ตามลำดบั จะได้ l1 ⊥ l2 กต็ อ่ เมอ่ื m1m2 = −1 SERIES 2/1 1. จงหาความชนั ของเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ 2 จดุ ตอ่ ไปน้ี 1.1) (1, 3) กบั (5, 7) 1.2) (3, 4) กบั (−5, 12) 1.3) (4, 3) กบั (10, 3) 1.4) (−1, 9) กบั (−1, 3) 2. จงหาคา่ x ทท่ี ำใหเ้ สน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ P( 6, -3 ) และ Q( 9, x ) มคี วามชนั เทา่ กบั − 2 3 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -11- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 3. จดุ 3 จดุ ตอ่ ไปน้ี อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั หรอื ไม่ 2) A(-1, -1) , B(-11, 8) และ C(6, -4) 1) A(3, 2) , B(6, 1) และ C(−3, 4) Note 4. จงหาคา่ a ทท่ี ำใหจ้ ดุ A(a, 6) , B(-1, 4) และ C(-4, 2) อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั 5. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. เสน้ ตรงทล่ี ากผา่ นจดุ (−1, 3) , (2, 2) ขนานกบั เสน้ ตรงทล่ี ากผา่ นจดุ (4, −1) , (1 , 0) ข. เสน้ ตรงทล่ี ากผา่ นจดุ (2, 3) , (−2, 1) ตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรงทล่ี ากผา่ นจดุ (−1, −1) , (0 , 1) ขอ้ ใดสรปุ ถกู ตอ้ ง 1. ก และ ข ถกู 2. ก ถกู ข ผดิ 3. ก ผดิ ข ถกู 4. ก และ ข ผดิ www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -12- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 6. ถา้ เสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ ( k, 7) และ (−3, −2) ขนานกบั เสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ (1, −4) และ (3, 2) แลว้ จงหาคา่ k 7. ถา้ เสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ ( x, 1) และ (−3, −2) ตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ (1, −4) และ (3, 2) แลว้ จงหาคา่ x 8. ขอ้ ใดเปน็ จดุ ยอดของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก 1. A(10, 5) , B(3, 2) และ C(6, -5) 2. A(2, 4) , B(5, 1) และ C(6, 5) 3. A(0, 4) , B(-4, 1) และ C(3, -3) 4. A(0, 0) , B(8, 0) และ C(6, 1) Note www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -13- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 8. ความสมั พันธซ์ ึง่ มีกราฟเป็นเส้นตรง เมอ่ื r เปน็ ความสมั พนั ธใ์ นเซตของจำนวนจรงิ กราฟของความสมั พนั ธ์ r คอื เซตของจดุ ในระนาบโดยทแ่ี ตล่ ะจดุ แทนสมาชกิ ของความสมั พนั ธ์ r การเขยี นความสมั พนั ธซ์ ง่ึ มกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงนน้ั อาจเขยี นสน้ั ๆ เฉพาะสมการทเ่ี ปน็ เงอ่ื นไขซง่ึ แสดง ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง x และ y และเรยี กสมการนน้ั วา่ สมการเสน้ ตรง รปู แบบของสมการเสน้ ตรงทพ่ี บบอ่ ย ๆ ไดแ้ ก่ 1. สมการเสน้ ตรงทข่ี นานแกน X คอื y = b เมอ่ื b เปน็ คา่ คงทใ่ี ด ๆ 2. สมการเสน้ ตรงทข่ี นานแกน Y คอื x = a เมอ่ื a เปน็ คา่ คงทใ่ี ด ๆ 3. สมการแบบจดุ - ความชนั y − y1 = m(x − x1) เมือ่ (x1 , y1) คอื จดุ ผา่ น และ m คอื ความชนั 4. สมการแบบความชนั - ระยะตดั แกน Y y = mx + c เมอ่ื m คอื ความชนั และ c คอื ระยะตดั แกน Y 5. สมการทว่ั ไป Ax + By + C = 0 เมอ่ื A, B และ C คอื คา่ คงท่ี และ A , B ไมเ่ ปน็ ศนู ยพ์ รอ้ มกนั พจิ ารณาสมการ Ax + By + C = 0 จะเหน็ วา่ มกี รณที เ่ี ปน็ ไปไดด้ งั น้ี 1) เมอ่ื A = 0 และ B ≠ 0 จะได้ By + C = 0 y = −C B ซง่ึ มกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงทข่ี นานกบั แกน X และตดั แกน Y ทจ่ี ดุ ⎛ 0, − C ⎞ ⎜⎝ B ⎠⎟ www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -14- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 2) เมอ่ื A ≠ 0 และ B = 0 จะได้ Ax + C = 0 x = −C A ซง่ึ มกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงทข่ี นานกบั แกน Y และตดั แกน X ทจ่ี ดุ ⎛ − C , 0 ⎞ ⎜⎝ A ⎟⎠ 3) เมอ่ื A ≠ 0 และ B ≠ 0 จะได้ Ax + By + C = 0 y = −Ax−C BB ซง่ึ มกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงทม่ี คี วามชนั − A และ ผา่ นจดุ ⎛ 0, − C ⎞ < จำไวน้ ะ ใชบ้ อ่ ยสดุ ๆ > ⎝⎜ B ⎠⎟ B ข้อควรทราบ ถา้ เสน้ ตรงตดั แกน x ทจ่ี ดุ (a, 0) จะเรยี ก a วา่ \" ระยะตดั แกน X \" ( x - intercept ) และ ถา้ เสน้ ตรงตดั แกน y ทจ่ี ดุ (0, b) จะเรยี ก b วา่ \" ระยะตดั แกน Y \" ( y - intercept ) สมการเส้นตรงอีกรูปแบบที่ขอแนะนำ สมการเสน้ ตรงทม่ี รี ะยะตดั แกน X เทา่ กบั a และระยะตดั แกน Y เทา่ กบั b คอื x + y = 1 ab SERIES 2/2 1. จงหาสมการเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ (5 , 2) และความชนั เปน็ 4 (ขอ้ นอ้ี ยา่ กระพรบิ ตา และอยา่ หายใจ) 3 วิธีทั่วไป วธิ ี FORMULAR 1 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -15- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 2. จงหาสมการเสน้ ตรงทม่ี เี งอ่ื นไขตอ่ ไปน้ี 2) อีกซักข้อนะ 1) ตามใจพเ่ี หนง่ 3) ผา่ นจดุ (-5, 4) และ (3, 1) 4) ผา่ นจดุ (-2, 1) และ (3, 11) 5) มรี ะยะตดั แกน x เปน็ 3 และระยะตดั แกน y เปน็ 4 6) ผา่ นจดุ (3, 4) และ ทำมมุ 45° กบั แกน x ทางดา้ นบวกในทศิ ทวนเขม็ นาฬกิ า 3. จงหาสมการทว่ั ไปของเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ กำเนดิ และเอยี งทำมมุ 60° กบั แกน x โดยมที ศิ ทางตามเขม็ นาฬกิ า (มช.27) 1. y = 3x 2. y = ( 3 / 2) x 3. y = − 3 x 4. y = (− 3 / 2) x www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -16- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 4. จงหาความชนั ระยะตดั แกน X ระยะตดั แกน Y ของสมการเสน้ ตรงตอ่ ไปน้ี ความชนั ระยะตดั แกน X ระยะตดั แกน Y 1) 5x + 4y - 2 = 0 2) 2x - 3y - 7 = 0 3) x - y = 0 4) 2y + 3 = 0 5) x = 5 6) 3(y - 1) = -2(x - 2) 5. เสน้ ตรงในขอ้ ใดตอ่ ไปนท้ี ต่ี ดั กนั แลว้ เกดิ รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก 1. x - y - 5 = 0 , 3y - 4 = 0 , 2x + y + 4 = 0 2. x - 7y - 11 = 0 , 7x - 3y + 1 = 0 , 7x + y - 7 = 0 3. 5x - 3y + 17 = 0 , 3x + 5y - 6 = 0 , 5x - 3y - 8 = 0 4. x - 2y + 5 = 0 , 3x - 6y - 9 = 0 , 7x - 14y + 5 = 0 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -17- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 6. กำหนดเสน้ ตรง L มสี มการเปน็ x + y = 1 แลว้ จงพจิ ารณา 2 3 ก. เสน้ ตรง L มคี วามชนั - 2 3 ข. เสน้ ตรง L ตดั แกน x ทจ่ี ดุ (2, 0) และตดั แกน y ทจ่ี ดุ (0, 3) ขอ้ ใดสรปุ ไดถ้ กู ตอ้ ง 1. ถกู ทง้ั สองขอ้ 2. ผดิ ทง้ั สองขอ้ 3. ขอ้ ก. ถกู ขอ้ เดยี ว 4. ขอ้ ข. ถกู ขอ้ เดยี ว 7. ให้ A(−1, 2) , B(3, 0) และ C(5, 4) เปน็ จดุ ยอดทง้ั สามของสามเหลย่ี ม ABC สมการเสน้ ตรงทม่ี ี ความชนั เทา่ กบั 1 และผา่ นจดุ ตดั กนั ของมธั ยฐานของสามเหลย่ี ม ABC ตรงกบั ขอ้ ใด 1. 3x − 3y − 1 = 0 2. 3x − 3y + 1 = 0 3. 3x − 3y − 2 = 0 4. 3x − 3y + 2 = 0 8. ให้ เสน้ ตรง ผLา่1นผจา่ดุ น(จ3ดุ, −(15), 2) และ (1 , −6) เสน้ ตรง L2 และ มคี วามชนั เปน็ −1 ถา้ (a , b) เปน็ จดุ ตดั ของเสน้ ตรงทง้ั สองแลว้ a + b มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใด 1. −2 2. −1 3. 1 4. 2 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -18- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย โจทยห์ าสมการเสน้ ตรงทบ่ี อกเสน้ ขนานหรอื เสน้ ตง้ั ฉาก 9. จงหาสมการเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ (3, 5) และขนานกบั สมการ 3x − 4y + 5 = 0 1. 3x − 4y + 11 = 0 2. 3x − 4y + 9 = 0 3. 3x + 4y − 11 = 0 4. 2x + 3y − 3 = 0 10. กำหนดใหส้ มการ l เปน็ สมการเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ (1, 6) และ ตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรง 2x + 3y − 7 = 0 ผลบวกระยะตดั แกน x กบั ระยะตดั แกน y ของ l จะมคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. − 5 2. 3 3. 25 4. 50 3 22 3 11. จงหาความสมั พนั ธท์ ม่ี กี ราฟเปน็ เสน้ ตรงและ 1) ผา่ นจดุ ( -1, 0) และขนานกบั เสน้ ตรงซง่ึ ผา่ นจดุ (1, 2) และ (-3, 4) 2) ผา่ นจดุ ( -1, -4) และตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรงซง่ึ ผา่ นจดุ (-1, 3) และ (-2, -2) www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -19- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 12. เสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ ( -3, -1) และขนานกบั เสน้ ตรง 3x + y = 5 จะตดั กบั เสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ ( -1, 4 ) และตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรง 3x + 2y = 7 ทจ่ี ดุ ใด 1. (2, 4) 2. (2, -4) 3. (-4, 2) 4. (4, 2) 13. สมการเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ กง่ึ กลางของสว่ นของเสน้ ตรงทเ่ี ชอ่ื มจดุ A(3, −4) กบั B(−5, 6) และลากไปตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรง L : 3x − 5y + 6 = 0 มสี มการตรงกบั ขอ้ ใด 1. 5x − 3y + 2 = 0 2. 6x + 10y − 3 = 0 3. 10x − 6y + 1 = 0 4. 5x + 3y + 2 = 0 14. จงหาสมการเสน้ ตรงทต่ี ง้ั ฉากกบั เสน้ ตรง x - 7y - 11 = 0 และผา่ นจดุ ทเ่ี สน้ ตรง x - 7y - 11 = 0 ตดั กบั เสน้ ตรง 3x + 5y - 7 = 0 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -20- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 9. ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ กบั เสน้ ตรง ให้ d1 เปน็ ระยะระหวา่ งจดุ (x0, y0) ไปยงั เสน้ ตรง Ax + By + C = 0 ในแนวตง้ั ฉาก ดงั รปู จะได้ d1 = |Ax0 + By0 + C| A2 + B2 10. ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ขนาน 2 เสน้ ให้ d2 เปน็ ระยะระหวา่ งเสน้ ตรง Ax + By + C1 = 0 กบั Ax + By + C2 = 0 ในแนวตง้ั ฉาก ดงั รปู จะได้ d2 = C1 − C2 A2 + B2 ระวงั โดนดกั ... 15. จงหาระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงกบั จดุ ทก่ี ำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี 1) 6x - 8y + 4 = 0 กบั (2, -3) 2) y - 4 = 7 (x - 3) กบั (8, 11) 5 3) y = - 1 กบั (- 1, 1) www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -21- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 16. จงหาระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรง 2 เสน้ ตอ่ ไปน้ี 1) 5x + 12y − 20 = 0 กบั 5x + 12y + 6 = 0 2) x + 2y − 5 = 0 กบั 2x + 4y + 10 = 0 17. เสน้ ตรง L สมการ 4x + 3y + k = 0 และมรี ะยะตดั แกน x เปน็ 3 แลว้ จดุ (5 , 4) อยหู่ า่ งจากเสน้ ตรง L เทา่ ใด 1. 4 2. 5 3. 6 4. 8 18. วงกลมรปู หนง่ึ มจี ดุ ศนู ยก์ ลางท่ี (−1, 2) และมเี สน้ ตรง 3x − 4y − 9 = 0 เปน็ เสน้ สมั ผสั ความยาวรศั มขี องวงกลมนเ้ี ท่ากับขอ้ ใด 1. 3 หนว่ ย 2. 4 หนว่ ย 3. 5 หนว่ ย 4. 6 หนว่ ย 19. พน้ื ทว่ี งกลมซง่ึ สมั ผสั เสน้ ตรง 4x − 3y − 12 = 0 และ 4x − 3y + 18 = 0 มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใด 1. 4π 2. 9π 3. 25π 4. 36π www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -22- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 20. พน้ื ทส่ี เ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ทม่ี เี สน้ ตรง 5x − 12y − 17 = 0 , 5x − 12y − 82 = 0 , 12x + 5y − 7 = 0 และ 12x + 5y − 98 = 0 เปน็ ดา้ นทง้ั ส่ี มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 28 ตารางหนว่ ย 2. 35 ตารางหนว่ ย 3. 42 ตารางหนว่ ย 4. 48 ตารางหนว่ ย 21. จงหาสมการของเสน้ ตรงทข่ี นานกบั เสน้ ตรง 3x − 4y − 5 = 0 และอยหู่ า่ งจากเสน้ ตรงน้ี 1 หนว่ ย 22. จงหาสมการของเสน้ ตรงทข่ี นานกบั เสน้ ตรง 4x − 3y + 26 = 0 และอยหู่ า่ งจากจดุ (8, 8) เปน็ ระยะ 2 หนว่ ย 23. จงหาสมการของเสน้ ตรงทต่ี ง้ั ฉากกบั เสน้ ตรง 12y = 5x − 7 และอยหู่ า่ งจากจดุ (-1, 2) เปน็ ระยะ 3 หนว่ ย 24. จงหาสมการเสน้ ตรงทข่ี นานและหา่ งจาก 3x + 4y + 5 = 0 และ 3x + 4y + 7 = 0 เปน็ ระยะทางเทา่ กนั 1. 3x + 4y + 4 = 0 2. 3x + 4y + 6 = 0 3. 3x + 4y + 2 = 0 4. 3x + 4y + 7 = 0 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -23- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 25. เสน้ ตรง 3x − 4y + 1 = 0 อยกู่ ง่ึ กลางระหวา่ งเสน้ ขนานคหู่ นง่ึ ซง่ึ อยหู่ า่ งกนั 10 หนว่ ย จงหาสมการของเสน้ ขนานคนู่ น้ั 1. 3x − 4y + 35 = 0 และ 3x − 4y − 15 = 0 2. 3x − 4y + 15 = 0 และ 3x − 4y − 35 = 0 3. 3x − 4y + 24 = 0 และ 3x − 4y − 26 = 0 4. 3x − 4y + 26 = 0 และ 3x − 4y − 24 = 0 26. กำหนด A(11, −7) , B(−1 , −2) และ C(a , b) อยบู่ นเสน้ ตรง 5x + 12y + 3 = 0 แลว้ สามเหลย่ี ม ABC มพี น้ื ทเ่ี ทา่ ใด 1. 10 ตารางหนว่ ย 2. 13 ตารางหนว่ ย 3. 20 ตารางหนว่ ย 4. 42 ตารางหนว่ ย 27. เสน้ ตรงทแ่ี บง่ ครง่ึ มมุ ระหวา่ งเสน้ ตรง 4x − 3y − 1 = 0 กบั เสน้ ตรง 4x + 3y + 5 = 0 มสี มการตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. x + 1 = 0 และ 2y + 1 = 0 2. 2x + 1 = 0 และ y + 1 = 0 3. x − 1 = 0 และ 2y − 1 = 0 4. 2x − 1 = 0 และ y − 1 = 0 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -24- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย ภาคตดั กรวย ขอ้ แนะนำ : ควรศกึ ษาบทนต้ี อ่ จากเรขาคณติ วเิ คราะห์ ภาคตดั กรวย (conic section) คอื เสน้ โคง้ ทเ่ี กดิ จากการตดั กรวยกลมตรงดว้ ยระนาบในลกั ษณะตา่ ง ๆ กรวยกลมตรงดงั กลา่ วมลี กั ษณะดงั รปู แกน เสน้ ประกอบรปู กรวย จดุ ยอด ถา้ ระนาบทต่ี ดั กรวยกลมตรงนไ้ี มผ่ า่ นจดุ ยอดของกรวยแลว้ จะไดภ้ าคตดั กรวยดงั ตอ่ ไปน้ี วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอรโ์ บลา วงกลม เกดิ ขน้ึ จากการตดั กรวยกลมตรงดว้ ยระนาบทต่ี ง้ั ฉากกบั แกนของกรวย พาราโบลา เกดิ ขน้ึ จากการตดั กรวยกลมตรงดว้ ยระนาบทข่ี นานกบั เสน้ ประกอบรปู กรวย วงรี เกดิ ขน้ึ จากการตดั กรวยกลมตรงดว้ ยระนาบทต่ี ดั กรวยเพยี งสว่ นเดยี ว โดยท่ี ระนาบนน้ั ไมข่ นานกบั เสน้ ประกอบรปู กรวยและไมต่ ง้ั ฉากกบั แกนของกรวย ไฮเพอร์โบลา เกดิ ขน้ึ จากการตดั กรวยกลมตรงดว้ ยระนาบทข่ี นานกบั แกนของกรวย และตดั ทง้ั สองสว่ นของกรวย www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -25- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 11. วงกลม (Circle) นยิ าม วงกลมคอื ........................................................................................................................................... .......... ...................................................................................................................................................................... จดุ คงทใ่ี นนยิ ามนเ้ี รยี กวา่ จดุ ศนู ยก์ ลาง ของวงกลม และระยะทางทเ่ี ทา่ กนั เรยี กวา่ ความยาวรศั มี ของวงกลม ในกรณที ่ี C(h, k) เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมรศั มยี าว r หนว่ ย และ P(x , y) เปน็ จดุ ใด ๆ บนวงกลม ดงั รปู P(x, y) C(h, k) จากรปู และนยิ ามของวงกลมเรามี CP = r เนอ่ื งจาก CP = ( x − h )2 + ( y − k )2 ดงั นน้ั ( x − h )2 + ( y − k )2 = r ยกกำลงั สองทง้ั สองขา้ ง จะได้ (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ดงั นน้ั ความสมั พนั ธท์ ม่ี กี ราฟเปน็ วงกลม มจี ดุ ศนู ยก์ ลางทจ่ี ดุ (h , k) และรศั มยี าว r หนว่ ย คอื { (x , y) ∈ R × R | (x - h)2 + (y - k)2 = r2 } พจิ ารณาสมการ (x - h)2 + (y - k)2 = r2 จะได้ x2 + y2 - 2 hx - 2 ky + h2 + k2 - r2 = 0 เมอ่ื เขยี นสมการของวงกลมในรปู ทว่ั ไปจะได้ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 จากการเทยี บสมั ประสทิ ธ์ิ จะได้ จำสตู รลดั นไ้ี วก้ ด็ นี ะ... www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -26- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย SERIES 3 โจทยช์ ลิ ๆ 1. จงหาความสมั พนั ธซ์ ง่ึ มกี ราฟเปน็ วงกลมทก่ี ำหนดให้ 1) จดุ ศนู ยก์ ลาง (1 , 2) รศั มยี าว 3 หนว่ ย 2) จดุ ศนู ยก์ ลาง (-5 , -7) รศั มยี าว 2 หนว่ ย 3) จดุ ศนู ยก์ ลาง (0 , 0) รศั มยี าว 4 หนว่ ย 2. จงหาสมการวงกลมวงหนง่ึ มจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี A(7 , 3) และผา่ นจดุ B(3, 6) 3. จงหาสมการวงกลมทม่ี จี ดุ A(1, 2) และ B(7, 10) เปน็ จดุ ปลายเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลาง 4. จงหาสมการวงกลมทม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลางทจ่ี ดุ (−3, −5) และ 1) สมั ผสั เสน้ ตรง 8x − 6y − 1 = 0 2) สมั ผสั เสน้ ตรง x = 2 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -27- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 5. จงหาจดุ ศนู ยก์ ลางและความยาวรศั มขี องวงกลมทเ่ี ปน็ กราฟของความสมั พนั ธต์ อ่ ไปน้ี 1) (x - 7)2 + (y - 6)2 = 25 2) (x - 2)2 + (y + 4)2 = 7 3) (x - 4)2 + y2 = 5 4) x2 + y2 = 121 5) x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0 6) x2 + y2 − 8x + 6y = 0 7) x2 + y2 − x − y − 1 = 0 8) x2 + y2 + 2x + 1 = 0 9) x2 + y2 + 2x + 4y + 6 = 0 10) 2x2 + 2y2 + 4x - 4y - 10 = 0 6. จงหาคา่ k ทท่ี ำให้ x2 + y2 − 8x + 10y + k = 0 เปน็ สมการวงกลม 1. k < 41 2. www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -28- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย โจทย์ JEED ๆๆ 7. จงหาสมการวงกลมทผ่ี า่ นจดุ A(4, 2) และ B(−6, −2) และมจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยบู่ นแกน Y 8. จงหาสมการวงกลมทผ่ี า่ นจดุ (0, −4) และ (2, −6) และมจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยบู่ นเสน้ ตรง 2x − y − 8 = 0 9. จดุ ศนู ยก์ ลาง C(h, k) ของวงกลมวงหนง่ึ อยบู่ นเสน้ ตรง 2x − y − 1 = 0 ถา้ วงกลมวงน้ี ผา่ นจดุ P(2, −1) และ Q(−2, 0) ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี กู 1. 2k − h − 1 = 0 2. รศั มขี องวงกลม 3. ความชนั ของดา้ น CP = − 1 4. ระยะทางระหวา่ งจดุ C และ P = 85 4 4 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -29- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 10. วงกลมวงหนง่ึ สมั ผสั กบั เสน้ ตรง 2x − y + 1 = 0 ทจ่ี ดุ (2, 5) และจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมนอ้ี ยบู่ น เสน้ ตรง x + y = 9 วงกลมนม้ี สี มการตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. x2 + y2 − 6x − 6y + 25 = 0 2. x2 + y2 − 12x − 6y + 209 = 0 3. x2 + y2 − 12x − 6y + 25 = 0 4. 9x2 + 9y2 − 60x − 102y + 209 = 0 11. คอรด์ AB ลากตดั วงกลม x2 + y2 - 4x - 8y + 10 = 0 โดยมี M(1 , 2) เปน็ จดุ กง่ึ กลางคอรด์ จงหาความยาวคอรด์ และสมการคอรด์ 12. ให้ L เปน็ เสน้ ตรงทม่ี คี วามชนั เปน็ − 4 ผา่ นจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0 และ 3 ตดั วงกลมทจ่ี ดุ A และ B ถา้ จดุ C มพี กิ ดั เปน็ (−1,−2) แลว้ พน้ื ทส่ี ามเหลย่ี ม ABC เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 3 2. 3 3. 9 4. 63 55 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -30- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 13. จงพจิ ารณาวา่ จดุ (1, − 2) อยภู่ ายในวงกลม, อยบู่ นเสน้ รอบวง หรอื อยภู่ ายนอกวงกลมแตล่ ะวงท่ี กำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี 1) x2 + y2 = 1 2) x2 + y2 − 8x − 4y − 5 = 0 3) x2 + y2 − 10x + 8y = 0 14. ผลบวกของระยะทางทย่ี าวทส่ี ดุ และสน้ั ทส่ี ดุ จากจดุ (10, 7) ไปยงั กราฟซง่ึ มสี มการ 5x2 + 5y2 − 20x − 10y − 100 = 0 มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด 15. กำหนดให้ A(9, −8) และ B(15, 0) และเสน้ ตรง L แบง่ ครง่ึ และตง้ั ฉากกบั สว่ นของเสน้ ตรง AB ถา้ วงกลมวงหนง่ึ มสี มการ x2 + y2 − 2x + 4y + 1 = 0 จงหาระยะทางทส่ี น้ั ทส่ี ดุ จากเสน้ ตรง L ไปยงั วงกลมน้ี www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -31- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 16. จงหาสมการวงกลมทม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (4, −10) และสมั ผสั วงกลม x2 + y2 + 2x − 4y − 20 = 0 17. ระยะทส่ี น้ั ทส่ี ดุ ระหวา่ งวงกลม x2 + y2 − 4x − 2y − 4 = 0 และ x2 + y2 − 20x − 14y + 133 = 0 มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด Relative of line and circle MEMO 18. ถา้ a เปน็ จำนวนจรงิ บวกทท่ี ำใหเ้ สน้ ตรง ax + 12y + 15 = 0 สมั ผสั กบั วงกลม x2 + y2 − 14x + 4y + 49 = 0 แลว้ คา่ ของ a จะอยใู่ นชว่ งใดตอ่ ไปน้ี 1. (0,4] 2. (4,8] 3. (8,12] 4. (12,16] www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -32- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 19. ให้ S เปน็ เซตของจำนวนจรงิ m ทง้ั หมดทท่ี ำใหเ้ สน้ ตรง y = mx ตดั กบั วงกลม x2 + y2 - 10x + 16 = 0 แลว้ สมาชกิ ทม่ี คี า่ มากทส่ี ดุ ของ S คอื จำนวนในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 12 2. 32 3. 34 4. 54 20. กำหนดให้ m เปน็ จำนวนจรงิ ทท่ี ำใหเ้ สน้ ตรง y = mx ตดั กบั วงกลม x2 + y2 − 2x − 4y + 3 = 0 ทจ่ี ดุ A และ จดุ B โดยท่ี AB = 2 หนว่ ย จงหาคา่ ของ m 21. จงหาสมการวงกลมทผ่ี า่ นจดุ 3 จดุ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 1) A(1 , 1) , B(4 , 2) และ C(3 , 5) 2) A(0 , 3) , B(−4 , 3) และ C(−3 , 4) www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -33- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 22. จงหาสมการวงกลมซง่ึ มจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (−2, 4) และวงกลมนส้ี มั ผสั แกน X 23. วงกลม 2 วง สมั ผสั แกน X และแกน Y และผา่ นจดุ (1 , 2) จงหาจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมทง้ั สอง 24. กำหนดให้ C เปน็ วงกลมทบ่ี รรจอุ ยใู่ นและสมั ผสั กบั ดา้ นทง้ั สามของสามเหลย่ี มทเ่ี กดิ จากแกน X , แกน Y และเสน้ ตรง 3x + 4y − 1 = 0 ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี กู 1. รศั มขี องวงกลม C มคี า่ มากกวา่ 1 6 2. สมการของวงกลม C คอื x2 + y2 − x − y + 1 = 0 6 6 72 3. จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม C คอื ⎛ 1 , 1 ⎞ ⎝⎜ 2 2 ⎠⎟ 4. วงกลม C จะผา่ นจดุ ⎛ 2 , 3 ⎞ ⎝⎜ 15 20 ⎟⎠ www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -34- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย TRICK OF CIRCLE TRICK I การหาความยาวเสน้ สมั ผสั ของวงกลม 25. จงหาความยาวของเสน้ สมั ผสั จากจดุ P(7 , 5) ไปยงั จดุ สมั ผสั วงกลม x2 + y2 − 4x − 6y + 5 = 0 26. จงหาความยาวของเสน้ สมั ผสั จากจดุ P(2 , 1) ไปยงั จดุ สมั ผสั วงกลม 2x2 + 2y2 + 4x + 6y - 2 = 0 ( ฝากใหน้ อ้ ง ๆ คดิ เปน็ การบา้ นนะ ) TRICK II การหาสมการเสน้ สมั ผสั ของวงกลม 27. จงหาสมการของเสน้ ตรงซง่ึ สมั ผสั กบั กราฟของความสมั พนั ธ์ {(x , y) | x2 + y2 - 6x + 4y - 12 = 0} ทจ่ี ดุ (6, 2) www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -35- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 28. จงหาสมการเสน้ สมั ผสั วงกลม x2 + y2 = 8 ณ จดุ (2, 2) ( ฝากใหน้ อ้ ง ๆ คดิ เปน็ การบา้ นนะ ) 29. จงหาสมการเสน้ สมั ผสั วงกลม x2 + y2 − 4x + 2y − 12 = 0 ณ จดุ (1, −5) ( อกี ซกั ขอ้ นงึ นะ ) TRICK III การหาสมการวงกลมทป่ี ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ ตรง 3 เสน้ 30. จงหาสมการวงกลมทบ่ี รรจใุ นรปู สามเหลย่ี มทถ่ี กู ปดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ ตรง 2x − 3y + 21 = 0 , 3x − 2y − 6 = 0 และ 2x + 3y + 9 = 0 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -36- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย TRICK IV พจิ ารณาการตดั กนั ของวงกลม 2 วง กแลาระตใรหว้ จdสอเปบน็ กราะรยตะดั หกา่นั งขระอหงววงา่ กงลจดุมศ2นู ยวก์ งลทางม่ี ขรี อศั งมวี งrก1,ลrม2ทง้ั สอง กรณที ่ี 1 r1 + r2 = d กรณที ่ี 2 r1 + r2 < d กรณที ่ี 3 r1 + r2 > d 31. กำหนดวงกลม C1 มสี มการเปน็ x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 และ วงกลม C2 มสี มการเปน็ (x − 1)2 + (y + 2)2 = 25 ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู ต้อง 1. วงกลม C1 ตดั กบั วงกลม C2 2 จดุ 2. วงกลม C1 ไมต่ ดั กบั วงกลม C2 3. วงกลม C1 อยภู่ ายในวงกลม C2 4. วงกลม C1 สมั ผสั กบั วงกลม C2 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -37- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) TRICK V สมการคอรด์ รว่ ม 32. จงหาสมการเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ ตดั ของวงกลม x2 + y 2 + 2x − y − 6 = 0 และ x2 + y2 + 3x − 2y − 4 = 0 TRICK VI FAMILY OF CURVE 33. สมการวงกลมทผ่ี า่ นจดุ A(4, 4) และผา่ นจดุ ทว่ี งกลม x2 + y2 + 4x − 4y = 0 ตดั กบั เสน้ ตรง x + y = 0 คอื สมการในขอ้ ใด (สมาคม' 35) 1. x2 + y2 + 8x = 64 2. x2 + y2 − 8x = 0 3. x2 + y2 + 8y = 64 4. x2 + y2 − 8y = 0 34. จงหาสมการวงกลมทผ่ี า่ นจดุ (2, 0) และผา่ นจดุ ตดั ของวงกลม x2 + y2 − 8y + 12 = 0 กบั x2 + y2 − 7x − 8y + 12 = 0 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -38- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 12. พาราโบลา (Parabola) นยิ าม พาราโบลา คอื ................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ สว่ นประกอบตา่ ง ๆ ของพาราโบลา เสน้ ตรงคงทใ่ี นนยิ ามน้ี เรยี กวา่ ไดเรกตรกิ ซ์ ของพาราโบลา จดุ คงทใ่ี นนยิ ามน้ี เรยี กวา่ โฟกสั ของพาราโบลา เสน้ ตรงซง่ึ ผา่ นโฟกสั และตง้ั ฉากกบั ไดเรกตรกิ ซ์ เรยี กวา่ แกน ของพาราโบลา จดุ ทพ่ี าราโบลาตดั กบั แกนของพาราโบลา เรยี กวา่ จดุ ยอด ของพาราโบลา สว่ นของเสน้ ตรงทผ่ี า่ นโฟกสั ซง่ึ มจี ดุ ปลายทง้ั สองอยบู่ นพาราโบลา และตง้ั ฉากกบั แกนของ พาราโบลาเรยี กวา่ ลาตสั เรกตมั ของพาราโบลา สมการพาราโบลา 2) เมอ่ื แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน X สำหรบั พาราโบลาทม่ี จี ดุ ยอดอยทู่ ่ี V(0 , 0) 1) เมอ่ื แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน Y สำหรบั พาราโบลาทม่ี จี ดุ ยอดอยทู่ ่ี V( h , k) 2) เมอ่ื แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน X 1) เมอ่ื แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน Y www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -39- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) SERIES 4 โจทยแ์ อบ๊ แบว๊ 1. จงหาสว่ นประกอบตา่ ง ๆ ของพาราโบลาทม่ี สี มการดงั ตอ่ ไปน้ี 1) x2 = 12y 2) x2 = − 8y 3) y2 = 16x 4) y2 = − x 5) (x−1)2 = 8(y − 3) 6) (x + 3)2 = −20 (y − 5 ) 7) (y − 7)2 = 12 (x − 6) 8) y2 + 12x − 14 y − 11 = 0 9) 5x2 − 40x − 10y + 100 = 0 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -40- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 2. จงหาสมการพาราโบลาทม่ี ี 1) จดุ ยอดอยทู่ ่ี V(0, 0) และโฟกสั อยทู่ ่ี F(4, 0) 2) จดุ ยอดอยทู่ ่ี V(0, 0) และไดเรกตรกิ ซ์ คอื เสน้ ตรง y − 3 = 0 3) ไดเรกตรกิ ซ์ คอื เสน้ ตรง y = −5 และโฟกสั อยทู่ จ่ี ดุ F(0, 5) 4) จดุ ยอดอยทู่ ่ี V(1, 2) และโฟกสั อยทู่ ่ี F(7, 2) 5) จดุ ยอดอยทู่ ่ี V(−1, 2) และไดเรกตรกิ ซ์ คอื x − 3 = 0 6) ไดเรกตรกิ ซ์ คอื เสน้ ตรง y = 2 และโฟกสั อยทู่ จ่ี ดุ F(4, 6) 7) จดุ ยอดอยทู่ ่ี V(4, −2) สมการแกน คอื x = 4 ความยาวลาตสั เรกตมั คอื 6 และ c < 0 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -41- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) โจทยร์ อ้ นแรง 3. จงหาสมการพาราโบลาซง่ึ มจี ดุ ยอดอยทู่ จ่ี ดุ กำเนดิ แกนสมมาตรคอื แกน Y และผา่ นจดุ (4 , 2) 4. จงหาสมการพาราโบลาทม่ี โี ฟกสั อยทู่ จ่ี ดุ (0, 2) และจดุ ยอดอยบู่ นเสน้ ตรง x + y − 4 = 0 และ ไดเรกตรกิ ซ์ คอื เสน้ ตรงทข่ี นานกบั แกน Y 5. จากพาราโบลาทก่ี ำหนดใหด้ งั รปู ความยาว AB เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 3.00 2. 3.25 3. 3.50 4. 3.75 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -42- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 6. เหลก็ เสน้ ถกู ดดั เปน็ รปู พาราโบลา เพอ่ื ทำเปน็ ประตเู ขา้ สวนสาธารณะ โดยปกั ปลายทง้ั สองขา้ ง บนพน้ื ดนิ ใหห้ า่ ง 6 เมตร สว่ นทส่ี งู สดุ ของประตอู ยเู่ หนอื พน้ื ดนิ 9 เมตร ณ จดุ ทป่ี ระตเู หนอื พน้ื ดนิ 5 เมตร มคี วามกวา้ งหา่ งกันเทา่ ใด 1. 5 เมตร 2. 4 เมตร 3. 3 เมตร 4. 2 เมตร 7. เสาไฟฟา้ 2 ตน้ สงู 50 เมตร อยหู่ า่ งกนั 200 เมตร ถกู ขงึ ดว้ ยสายไฟไวร้ ะหวา่ งปลายทง้ั สองใหห้ ยอ่ น โดยจดุ ตำ่ สดุ ของสายไฟอยสู่ งู จากพน้ื 40 เมตร จงหาวา่ ตำแหนง่ ทห่ี า่ งจากเสาไฟ 50 เมตร สายไฟจะ อยสู่ งู จากพน้ื ดนิ เทา่ ไร 8. ข้อใดคอื สมการของพาราโบลาทม่ี แี กนสมมาตรขนานกบั แกน X และผา่ นจดุ (−2, 1) , (1, 2) และ (−1, 3) 1. 5y2 + 2x − 21y + 20 = 0 2. y2 + 2x − 21y + 4 = 0 3. y2 + 5x − 20y + 4 = 0 4. 5y2 + 2x + 20y − 20 = 0 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -43- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 9. พาราโบลา P มโี ฟกสั อยทู่ ่ี (2, 0) มี y = 2 เปน็ เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ ขอ้ ใดตอ่ ไปนผ้ี ดิ 1. P มจี ดุ ยอดอยทู่ ่ี (2, 1) 2. P ผา่ นจดุ กำเนดิ 3. P ตดั แกน x ทจ่ี ดุ (4, 0) 4. P ผา่ นจดุ (−2, −2) 10. ขอ้ ใดตอ่ ไปนเ้ี ปน็ สมการของเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ (1, 6) และจดุ โฟกสั ของพาราโบลา y2 − 4y − 4x = 8 1. 3x − 4y + 21 = 0 2. 4x − 3y + 14 = 0 3. 7x + 2y − 19 = 0 4. 2x + 7y − 44 = 0 11. ให้ P เปน็ พาราโบลาซง่ึ มจี ดุ (1, 3) เปน็ จดุ โฟกสั และเสน้ ตรง x = − 5 เปน็ ไดเรกตรกิ ซ์ ถา้ เสน้ ตรง ซง่ึ ลากผา่ นโฟกสั และขนานกบั ไดเรกตรกิ ซไ์ ปตดั P ทจ่ี ดุ A และจดุ B แลว้ สมการของวงกลมทม่ี ี AB เปน็ เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางคอื ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. x2 + y2 − 2x − 6y − 26 = 0 2. x2 + y2 − 2x − 6y − 39 = 0 3. x2 + y2 − 2x − 6y − 15 = 0 4. x2 + y2 − 2x − 6y − 6 = 0 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -44- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 12. ให้ C เปน็ วงกลม x2 + y2 − 2x − 4y − 20 = 0 มจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ จ่ี ดุ (h , k) และมรี ศั มี r สมการพาราโบลาซง่ึ มี (h, k) เปน็ จดุ ยอด และ x = r เปน็ สมการไดเรกตรกิ ซค์ อื ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. y2 − 4y + 20x − 16 = 0 2. y 2 + 4y − 16x − 12 = 0 3. y 2 − 4y + 16x − 12 = 0 4. y 2 − 4y + 16x − 14 = 0 13. กำหนดให้ P เปน็ จดุ ทอ่ี ยบู่ นกราฟ y2 + x + y = 15 8 48 m เปน็ ระยะทางจาก P ไปยงั จดุ (0 , −1) n เปน็ ระยะทางจาก P ไปยงั เสน้ ตรง x − 4 = 0 แลว้ m และ n จะมคี วามสมั พนั ธก์ นั ตามขอ้ ใด 1. m > n 2. m < n 3. m = n 4. ขอ้ มลู ทก่ี ำหนดใหไ้ มเ่ พยี งพอทจ่ี ะหาคา่ ของ m และ n 14. จงเขยี นสมการทางเดนิ ของจดุ ทอ่ี ยหู่ า่ งจากจดุ (2, 0) และเสน้ ตรง y = 2 เปน็ ระยะทางเทา่ กนั www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -45- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 15. ในรปู สมการของพาราโบลา คอื x2 − 10x −32y − 39 = 0 มจี ดุ F เปน็ จดุ โฟกสั สว่ นของเสน้ ตรง l1 ผา่ นจดุ F และมจี ดุ ปลาย ท่ี A(x1 , y1) และ B(x2 , y2) สว่ นของเสน้ ตรง l2 ผา่ นจดุ F และมจี ดุ ปลาย ท่ี C(x3, y3) และ D(x4, y4) ผลบวกของความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง l1 และ l2 มคี า่ เปน็ เทา่ ใด 1. y1 + y2 + y3 + y4 + 40 หนว่ ย 2. y1 + y2 + y3 + y4 + 8 หนว่ ย 3. (y1 − y2 )2 + (y3 − y4 )2 + (x1 − x2 )2 + (x3 − x4 )2 + 40 หนว่ ย 4. (y1 − y2 )2 + (y3 − y4 )2 + (x1 − x2 )2 + (x3 − x4 )2 + 8 หนว่ ย 16. จงหาสมการพาราโบลาทม่ี โี ฟกสั ท่ี (2 , -1) และสมการของไดเรกตรกิ ซ์ คอื x - y - 1 = 0 www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -46- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 13. วงรี (Ellipse) นยิ าม วงรี คอื ......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... จดุ คงทใ่ี นนยิ าม เรยี กวา่ โฟกสั ของวงรี จากรปู จดุ F1 และ F2 เปน็ โฟกสั ของวงรี ถา้ P(x , y) เปน็ จดุ ใด ๆ บนวงรี จะได้ PF1 + PF2 = คา่ คงตวั = ........................... สว่ นประกอบตา่ ง ๆ ของวงรี www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -47- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) สมการวงรี สำหรบั วงรที ม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลางท่ี (0, 0) จะมสี มการดงั ตอ่ ไปน้ี 1) เมอ่ื แกนเอกอยบู่ นแกน X 2) เมอ่ื แกนเอกอยบู่ นแกน Y สำหรบั วงรที ม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลางท่ี ( h, k) จะมสี มการดงั ตอ่ ไปน้ี 1) เมอ่ื แกนเอกขนานกบั แกน X 2) เมอ่ื แกนเอกขนานกบั แกน Y **ข้อสังเกต** รูปทั่วไปของสมการวงรี รปู ทว่ั ไปของสมการวงรี คอื Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ่ื AB > 0 และ A ≠ B www. tutoronline.co.th

M a t h s ม.4 -48- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย บทนิยามของความเยื้องศูนย์กลาง สำหรบั วงรี (x − h)2 + (y − k)2 =1 หรอื (x − h)2 + (y − k)2 =1 เมอ่ื a > b > 0 a2 b2 b2 a2 ความเยอ้ื งศนู ยก์ ลาง (Eccentricity) ของวงรี แทนดว้ ย e คอื อตั ราสว่ นของ c ตอ่ a e= c a เมอ่ื c = a2 − b2 ความเยอ้ื งศนู ยก์ ลางของวงรมี คี า่ ระหวา่ ง 0 และ 1 นน่ั คอื 0 < e < 1 ถา้ e มคี า่ ใกล้ 1 หรอื c มคี า่ เกอื บจะเทา่ กบั a แลว้ วงรจี ะมคี วามรมี าก (รปู รา่ งเรยี วยาว) แตถ่ า้ e มคี า่ ใกล้ 0 แลว้ วงรจี ะมคี วามรนี อ้ ย (รปู รา่ งเกอื บจะกลม) ดงั รปู e = 0.1 e = 0.5 e = 0.68 e = 0.95 e = 0.87 www. tutoronline.co.th