new modul matematika-dikonversi

MODUL MATEMATIKA Yuliansyah Efendi, M. Pd Kelas XI 1

BAB I PELUANG SMK NEGERI 1 LAHAT KELAS XI SEMUA JURUSAN BAB I PELUANG 1). Pengertian Kaidah Pencacahan (Counting Slots) Kaidah pencacahan atau Caunting Slots adalah suatu kaidah yang digunakan untuk menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa. Kaidah pencacahan terdiri atas : a. Pengisian tempat yang tersedia (Filling Slots), b. Permutasi, dan c. Kombinasi. 2). Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots) Apabila suatu peristiwa pertama dapat dikerjakan dengan k1 cara yang berbeda, peristiwa kedua dapat dikerjakan dengan k2 yang berbeda dan seterusnya sampai peristiwa ke-n, maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut adalah K, di mana : Contoh : Misalkan dari Semarang ke Bandung ada dua jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan. Berapa banyak jalan yang dapat ditempuh untuk bepergian dari Semarang ke Jakarta melalui Bandung? Jawab: Dari Semarang ke Bandung ada 2 jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan. Jadi, seluruhnya ada 2 x 3 = 6 jalan yang dapat ditempuh. 3). Permutasi a. Permutasi n unsur yang berbeda Contoh : 4 orang duduk di sebuah bangku panjang, jika masing-masing saling bertukar tempat posisi ada berapa susunan yang dapat di bentuk..?? Jawab : n = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 b. Permutasi n unsur dengan unsur ada yang sama Banyaknya permutasi nPn di mana ada a objek yang sama, b objek yang sama, dan seterusnya ditulis P, dirumuskan : 2

Contoh : Tentukan banyak susunan huruf yang berbeda yang dapat dibentuk dari huruf- huruf pada kata MATEMATIKA ? Jawab : c. Permutasi r unsure dari n unsure yang berbeda Susunan k objek yang berbeda dari n objek yang tersedia di mana k ≤ n sering dipopulerkan dengan istilah Permutasi k objek yang berbeda dari n objek yang tersedia. Banyak permutasi k objek dari n objek di tulis nPk dapat dirumuskan : Contoh : Berapa banyak permutasi dua huruf yang diambil dari huruf-huruf A,B,C,D dan E..?? Jawab : d. Permutasi Melingkar (Siklis) Jika ada n objek duduk melingkar, maka banyak susunan yang terjadi ada (n – 1)! Sehingga diperoleh definisi: Jika ada n objek yang berbeda dan disusun dalam bentuk siklik (melingkar), maka banyaknya susunan yang terjadi (permutasi siklik atau P siklik) adalah: Contoh : Dari 8 peserta konferensi akan menempati kursi pada meja bundar, berapa macam susunan posisi duduk yang dapat terjadi? Jawab: P siklik = (8 –1)! = 7! = 5.040 susunan 4). Kombinasi Susunan k objek dengan urutan tidak diperhatikan dari n objek yang tersedia di mana k ≤ n sering dipopulerkan dengan istilah Kombinasi k objek dari n objek yang tersedia. Dirumuskan: Contoh : 3

5). Menghitung Peluang Suatu Kejadian a. Peluang dari suatu kejadian Peluang dari suatu kejadian adalah perbandingan antara banyaknya titik sample dan ruang sampel dari suatu kejadian dan dirumuskan dengan : Contoh : Pada pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang kejadian muncul: a. Bilangan 2? b. Bilangan prima? Jawab : 4

b. Freakuensi Harapan Frekuensi harapan suatu kejadian Fh dari suatu percobaan adalah hasil kali peluang P(A) dengan banyaknya percobaan n : Contoh : Tiga buah uang logam yang bersisi gambar (G) dan angka (A) dilempar bersama-sama sebanyak 80 kali, tentukan harapan munculnya ketiganya Angka..?? Jawab : S = {GGG, GGA, GAG, AGG, AAG, AGA, GAA, AAA}, sehingga n(S) = 8 c. Kejadian Saling Lepas (Atau) Jika P(A) adalah kejadian dari A dan P(B) adalah kejadian dari B, maka kejadian saling bebas antara A dan B adalah : Contoh : Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang munculnya bilangan ≤ 2 atau ≥ 4? Jawab : 5

d. Kejadian Tidak Saling Lepas Jika A adalah munculnya kejadian A dan B adalah munculnya kejadian B dimana A dan B tidak saling lepas karena ada anggota A yang juga anggota B, maka peluang A atau peluang B adalah : Contoh : Dari satu set kartu brige akan diambil satu kartu. Berapa peluang terambilnya kartu raja atau kartu kriting..?? Jawab : e. Kejadian Saling Bebas (Dan) Misalkan A dan B adalah kejadian-kejadian pada ruang sampel S. A dan B disebut dua kejadian saling bebas apabila kemunculan kejadian yang satu tidak dipengaruhi oleh kemunculan kejadian lainnya.Dengan demikian dapat dikatakan bahwa: Contoh : Dua dadu berwarna biru dan putih dilempar bersama-sama. A adalah kejadian muncul bilangan 4 pada dadu biru dan B adalah kejadian muncul bilangan 3 pada dadu putih. Apakah kejadian A dan B merupakan dua kejadian saling bebas? Jika ya tentukan peluang muncul bilangan 4 pada dadu biru dan bilangan 3 pada dadu putih? 6

Jawab : f. Kejadian Tidak Saling Bebas Jika salah satu kejadian mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain maka dua kejadian tersebut tidak saling bebas (kejadian bersyarat). Pada kejadian bersyarat berlaku : Contoh : Sebuah kantong berisi 6 kelereng hitam dan 3 kelereng putih. Diambil secara acak dua kali berturut-turut masing-masing satu tanpa pengembalian. Berapa peluang mendapatkan Hitam pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua…?? Jawab : 7

BAB.II Matematika Kelas 11 | Logika Matematika: Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi 8

Artikel kelas XI ini membahas tentang logika matematika. Mulai dari pengertian kalimat terbuka, pernyataan dan negasi, serta pernyataan majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi) -- Squad, apa yang kamu bayangkan ketika mendengar kata “logika matematika”? Kalau kamu murid laki- laki, mungkin akan bingung dan bertanya, “Kok matematika pakai logika segala?”. Sementara sebagian perempuan akan berpikir, “Logika itu mah urusan laki-laki! Perempuan tuh pakenya perasaan…”Hmmm. Di dalam ilmu matematika, kamu juga dapat mempelajari logika. Buat apa? Tentu aja, supaya mengasah otak kita dalam penarikan kesimpulan-kesimpulan. Jadi, ke depannya kita tidak asal menduga sesuatu. Tidak ada lagi deh kalimat ‘Kamu bilangnya mau jemput jam 10. Kok telat? Pasti JALAN SAMA MANTAN YA?!’ Pernyataan dan Kalimat Terbuka Hayo, dari gambar di atas, tahu nggak bedanya pernyataan dan kalimat terbuka? Yak, pernyataan adalah kalimat yang bisa benar atau bisa salah. Sementara kalimat terbuka adalah jenis kalimat “yang belum 9

diketahui kebenarannya”. Sehingga, untuk menentukan benar atau salahnya, kita perlu pengamatan lebih lanjut. Kalau kamu masih bingung seperti apa itu contoh pernyataan, berikut adalah salah satu contohnya: • Indonesia Raya adalah lagu kebangsaan Indonesia. (pernyataan benar) • Bika ambon berasal dari Ambon. (pernyataan salah) Di sisi lain, contoh dari kalimat terbuka adalah sebagai berikut: • 12x + 6 = 91 (pernyataan ini dinamakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya. Apakah benar 12x jika dijumlahkan dengan 6 akan menghasilkan 91?). • Maaf ya, aku semalem ketiduran. Hehehe. (Pernyataan ini dinamakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya. Apakah benar dia semalem nggak bales karena ketiduran? Atau emang males aja chat sama kamu?). Setelah mengetahui apa itu pernyataan dan kalimat terbuka, sekarang kita lanjut pembahasan mengenai ingkaran/negasi/penyangkalan. Ingkaran/negasi/penyangkalan (~) Dari sebuah pernyataan, kita dapat membuat pernyataan baru berupa “ingkaran/negasi/penyangkalan” atas pernyataan tadi. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran: *B = pernyataan bernilai benar S = pernyataan bernilai salah Artinya, jika suatu pertanyaan (p) benar, maka ingkaran (q) akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya. Berikut adalah contoh dalam matematika: • p: Besi memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai benar) • ~p: Besi tidak memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai salah). Contoh lain: • p: Semua unggas adalah burung. • ~p: Ada unggas yang bukan burung. Dalam kehidupan sehari-hari, kita seringkali menemui orang menggunakan pernyataan negasi atas pernyataan orang lain… yang berujung pada pertengkaran. 10

Oke, kembali fokus, Squad. Sudah mengerti tentang ingkaran atau negasi, kan? Selanjutnya, kita akan memelajari pernyataan majemuk. Apa itu pernyataan majemuk? Dalam ilmu matematika, terdapat 4 macam pernyataan majemuk: Konjungsi (^) Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Sehingga, notasi “p^q” dibaca “p dan q”. Tabel nilai kebenaran konjungsi: 11

Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa konjungsi hanya akan benar jika kedua pernyataan (p dan q) benar. Contoh: • p: 3 adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar) • q: 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar) • p^q: 3 adalah bilangan prima dan ganjil (pernyataan bernilai benar) Disjungsi (V) Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “pVq” dibaca “p atau q”. Tabel nilai kebenaran disjungsi: 12

Jika kita lihat pada tabel kebenaran, disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah. Contoh: • p: Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai benar) • q: Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai salah) • pVq: Paus adalah mamalia atau herbivora (pernyataan bernilai benar) Implikasi (->) Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika… maka…” Sehingga notasi dari “p->q” dibaca “Jika p, maka q”. Adapun tabel nilai kebenaran dari implikasi: 13

Dari tabel terlihat bahwa implikasi hanya bernilai salah jika anteseden (p) benar, dan konsekuen (q) salah. Contoh: • p: Andi belajar dengan aplikasi ruangguru. (pernyataan bernilai benar) • q: Andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar) • p->q: Jika Andi belajar dengan aplikasi ruangguru, maka Andi dapat belajar di mana saja (pernyataan bernilai benar) Biimplikasi (<->) Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “… jika dan hanya jika”. Sehingga, notasi dari “p<-> q” akan dibaca “p jika dan hanya jika q”. Tabel nilai kebenaran Biimplikasi: 14

Dari tabel kebenaran tersebut, dapat kita amati bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah. Contoh: • p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar) • q: 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah) • p<->q: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah). Nah, itulah tadi pemahaman dari logika matematika baik dalam penggunaan pernyataan dan kalimat terbuka, ingkaran, serta 4 macam kalimat majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi) 15