ใบความรู้ระบบแรง วิชากลศาสตร์วิศวกรรม

ระบบแรง แรง คือ ปริมาณเวคเตอร์ทีพยายามจะกระทาํ กบั วตั ถุใหว้ ตั ถมุ ีการเปลียนแปลง หรือมีการเคลือนที เช่น เดิม วตั ถุหนึงหยดุ นิงอยกู่ บั ที แต่เมอื มีแรงมากระทาํ มากพอ วตั ถุนนั กจ็ ะมกี ารเคลือนที 1. คุณลกั ษณะของแรง เมอื แรงเป็นปริมาณเวคเตอร์ ดงั นนั แรงจึงมที งั ขนาดและทิศทาง ทีมคี ุณลกั ษณะดงั นี  ขนาด (magnitude) บอกถึงจาํ นานความมากนอ้ ยของแรง มีหน่วยเป็นนิวตนั (N)  ทิศทาง (direction) บอกถึงแนวของแรงทีกระทาํ โดยวดั แนวแรงตามแกนอา้ งอิงวา่ แนวแรงทาํ มมุ กบั วตั ถุเท่าใด และบอกถึงทิศทางทีแรงกระทาํ กบั วตั ถวุ า่ ไปทางซา้ ยหรือขวา ขึนหรือลง ซึงสามารถแสดงดว้ ยหวั ลกู ศร ตวั อย่าง แสดงคุณลกั ษณะของแรง F = 10 N F = 10 N ก) แรง 10 N กระทาํ ในแนวดิงขึน ข) แรง 10 N กระทาํ ในแนวราบไปทางขวา F = 20 N 30๐ ค) แรง 20 N กระทาํ ขึนไปทางขวาทาํ มมุ 30๐ กบั แนวแกน หรือ แรง 20 N กระทาํ ขึนไปทางขวาทาํ มมุ 60๐ กบั แนวดิง รูปที 2.1 แสดงคุณลกั ษณะของแรง 2. ชนดิ ของแรง แรงทีกระทาํ บนวตั ถุแบ่งตามลกั ษณะของแรงอาจแบ่งไดเ้ ป็น 3 ชนิดใหญ่ ๆ คือ 1. แรงดงึ (Tension force) คือ แรงภายนอกทีพยายามจะกระทาํ ใหว้ ตั ถุแยกออกจากกนั โดยมีทิศทางออก จากจุดทีกระทาํ ดงั รูป 2.1

FF รูปที 2.2 แสดงลกั ษณะของแรงดึง 2. แรงอดั (Compression force) คือ แรงภายนอกทีพยายามจะกระทาํ ใหว้ ตั ถอุ ดั ตวั เขา้ หากนั โดยมที ิศทาง อดั เขา้ หาจุดทีกระทาํ ดงั รูป 2.2 FF รูปที 2.3 แสดงลกั ษณะของแรงอดั 3. แรงเฉือน (Shearing force) คือ แรงภายนอกทีพยายามจะกระทาํ ใหว้ ตั ถทุ ียดึ ต่อกนั ถกู เฉือนออกจากกนั โดยแรงทีกระทาํ จะมที ิศทางตรงกนั ขา้ มกนั F F รูปที 2.4 แสดงลกั ษณะของแรงเฉือน 3. ระบบของแรง แรงทีกระทาํ กบั วตั ถสุ ามารถจาํ แนกระบบแรงทีใชใ้ นการวเิ คราะหห์ าแรงทีกรทาํ กบั วตั ถุ ซึงโดยทวั ไป สามารถจาํ แนกออกเป็น 2 ระบบ ดงั นี 1. ระบบแรงในระนาบเดียวกนั หรือแรง 2 มติ ิ ระบบแรงในระนาบเดียวกนั หรือแรง 2 มติ ิ คือ แรงทีกระทาํ กบั วตั ถใุ นแนวระดบั หรือแรงใน แนวแกน x และแรงในแนวดิง หรือแรงในแนวแกน y ดงั รูป 2.5 y x รูปที 2.5 แสดงระบบแรงในระนาบเดียวกนั หรือแรง 2 มิติ 2. ระบบแรงในหลายระนาบ หรือแรง 3 มติ ิ ระบบแรงในหลายระนาบ หรือแรง 3 มติ ิ คือ แรงทีกระทาํ กบั วตั ถุโดยไดไ้ ม่อยใู่ นแนวระนาบของ แนวแกน xy , yz และ xz แต่มีทิศทางเบนไปจากระนาบทงั สาม ดงั รูป 2.6

y x z รูปที 2.6 แสดงระบบแรงในหลายระนาบ หรือแรง 3 มติ ิ 4. ระบบแรง 2 มติ ิ ในระบบของแรง 2 มิติ การหาขนาดและทิศทางของแรงทกี ระทาํ กบั วตั ถุต่าง ๆ มีวธิ กี ารหาได้ 2 วธิ ี คือ  วธิ ีกราฟิ ก เป็นการหาค่าไดไ้ ม่ละเอยี ดและไม่ถกู ตอ้ งเท่ากบั วธิ คาํ นวณ สามารถนาํ มาใช้ หาแรงลพั ธแ์ ละทิศทางของแรงลพั ธไ์ ด้  วธิ ีทางพชี คณติ หรือการคาํ นวณ เป็นการหาค่าไดค้ ่อนขา้ งละเอยี ด สามารถนาํ มาใชห้ า แรงในแนวแกน และแรงลพั ธ์ รวมทงั ทิศทางของแรงได้ 4.1 วธิ กี ราฟิ ก ก่อนจะทาํ การหาค่าของแรงโดยวิธีกราฟิก ผเู้ รียนควรจะทราบถงึ พืนฐานต่าง ๆ ทีเกียวขอ้ งกบั การ หาค่าของแรงดงั นี 1. การเขียนเวคเตอร์ของแรง หมายถงึ การเขียนเสน้ แทนแรง โดยเสน้ ทีเขียนจะตอ้ งแสดงถงึ ความหมายทงั หมดของแรง กล่าวคือ ความยาวของเสน้ จะแทนขนาดของแรง และทิศทางของเสน้ จะแทนทิศทาง ของแรงนนั 2. การเขียนไดอะแกรมของเวคเตอร์ของแรง หมายถงึ การเขียนกลมุ่ ของเสน้ แทนแรงทีกระทาํ ต่อ จุด ๆ หนึงใหไ้ ดข้ นาดและทิศทางตามแรงทีกาํ หนด เช่น F2 = 4 F1 = 8 F4 = 5 F3 = 3 รูปที 2.7 แสดงถึงแรงทีมากระทาํ ต่อจดุ ๆ หนึง

จากรูปที 2.7 แสดงถึงแรงทีมากระทาํ ต่อจุด ๆ หนึง ซึงสามารถนาํ มาเขียนเป็นไดอะแกรมของ เวคเตอร์ของแรงไดล้ กั ษณะดงั นี 1-2-3-4 1-4-3-2 1-3-2-4 1-2-4-3 รูปที 2.8 แสดงลกั ษณะการเขียนไดอะแกรมของเวคเตอร์ของแรงทีกระทาํ จากรูปที 2.7 3. หลกั การหาแรงโดยวิธีกราฟิ ก หลกั การพืนฐานของการหาค่าของแรงโดยวิธกี ราฟิ ก มดี งั นี 1. เขียนเวคเตอร์แทนแรงดว้ ยเสน้ ตรง ความยาวของเสน้ จะตอ้ งสอดคลอ้ งกบั มาตราส่วนทีกาํ หนด เช่น ตอ้ งการเขียนเวคเตอร์แทนแรง 500 N โดยใชม้ าตราส่วน 1 cm : 100 N ดงั นนั ตอ้ งเขียนเสน้ ตรงทีมีความยาว 5 cm เป็นตน้ 2. เขียนไดอะแกรมของเวคเตอร์ของแรง โดยเขียนเวคเตอร์ของแรงต่อกนั โดยใชห้ วั ลูกศรของ เวคเตอร์ต่อกบั ปลายอีกดา้ นของเวคเตอร์ของแรงอืน ส่วนขนาดและทิศทางของเวคเตอร์ตอ้ งเป็นไปตามทกี าํ หนด ข้อสังเกต  แรงทีกระทาํ ต่อวตั ถแุ ละทาํ ใหว้ ตั ถุอยใู่ นสภาวะสมดุล ไดอะแกรมของเวคเตอร์ของแรงทกี ระทาํ ต่อวตั ถุ จะเป็นรูปทีปิ ดสนิทพอดี ดงั รูปที 2.9

F4 F5 F3 F6 F2 F1 รูปที 2.9 แสดงลกั ษณะไดอะแกรมของเวคเตอร์ทีอยใู่ นสภาวะสมดุล  แรงทีกระทาํ ต่อวตั ถแุ ละทาํ ใหว้ ตั ถุไมส่ มดุล ไดอะแกรมของเวคเตอร์ของแรงทีกระทาํ ต่อวตั ถุจะเขียนไม่ ครบเป็นรูปปิ ด และ แรงทีจะทาํ ใหว้ ตั ถมุ คี วามสมดุลจะมคี ่าเท่ากบั เวคเตอร์ทีมาเชือมต่อและทาํ ใหไ้ ดอะแกรมของ เวคเตอร์เหลา่ นนั เป็นรูปปิ ดสนิท ซึงแรงทีไดจ้ ะเป็นแรงลพั ธ์ ส่วนในการหาค่าแรงลพั ธแ์ ละแรงทีทาํ ใหว้ ตั ถสุ มดุล ทาํ ไดโ้ ดยวดั ความยาวของเวคเตอร์ในส่วนทีปิ ดไมส่ นิทของไดอะแกรม แลว้ เทียบกบั มาตราส่วนดงั รูปที 2.10 F1 F2 FR F3 F4 รูปที 2.10 แสดงลกั ษณะไดอะแกรมของเวคเตอร์ทีอยใู่ นสภาวะไม่สมดุล ตวั อย่าง 2.1 จากรูปดา้ นล่าง จงหาค่าของแรงลพั ธเ์ พือทาํ ใหเ้ กิดสภาวะสมดุล โดยวิธีกราฟิ ก ดว้ ยมาตราส่วน 1 cm : 20 N y F1 = 100 N 30 ๐ x 50 ๐ 45 ๐ F2 = 50 N F3 = 50 N

วิธีทาํ เขียนเวคเตอร์ของไดอะแกรมของแรงต่าง ๆ ตามเงือนไขทกี าํ หนดใไห้ F1 = 100 N 45 ๐ 30 ๐ F3 = 50 N FR 50 ๐ F2 = 50 N จากรูป เวคเตอร์ไดอะแกรมทีเขียนขึน เมอื ทาํ การวดั ปรากฏว่าไดค้ ่าดงั นี - แรง FR ทีทาํ ใหเ้ กิดสภาวะสมดุลมคี วามยาวเท่ากบั 5.5 cm คิดเป็นค่าแรงเท่ากบั 110 N - มมุ ทีกระทาํ กบั แนวแกน x มีค่าเท่ากบั 125 องศา 4.2 วธิ ที างพชี คณติ วิธีทางพชิ คณิตหรือการคาํ นวณ เป็นวิธีทีนิยมใชก้ นั มากในหาค่าแรงในแนวแกน และแรงลพั ธ์ รวมทงั ทิศทางของแรง เนืองจากสามารถหาค่าไดค้ ่อนขา้ งละเอียด การหาแรงลพั ธ์ เป็นการหาค่าแรงรวมทงั หมดทีกระทาํ กบั วตั ถุ โดยแรงทีกระทาํ กบั วตั ถจุ ะเป็นแรง ยอ่ ย ซึงอาจอยใู่ นรูปของแรงยอ่ ยทีกระทาํ ตงั ฉากซึงกนั และกนั หรือ แรงยอ่ ยทีกระทาํ เป็นมมุ ต่อกนั ทงั นีขึนอยกู่ บั ลกั ษณะของปัญหา 4.2.1 แรงยอ่ ยทีกระทาํ เป็นมมุ ต่อกนั การหาค่าของแรงลพั ธจ์ ากแรงยอ่ ยทกี ระทาํ เป็นมุมต่อกนั นนั สามารถหาไดโ้ ดยใชร้ ูปสีเหลยี ม ดา้ นขนานแทนแรง และรูปสามเหลยี มแทนแรง 1. รูปสีเหลียมดา้ นขนานแทนแรง ถา้ แรงสองแรงตดั กนั ทีจุด ๆ หนึง ดงั รูปที 2.11 (ก) สามารถแทนทงั ขนาดและทิศทาง ของแรงทงั สองไดด้ ว้ ยรูปสีเหลยี มดา้ นขนาน ดงั รูปที 2.11 (ข) ซึงจากรูปที 2.11 (ข) เสน้ ทแยงมมุ ของสีเหลยี ม ดา้ นขนานทีออกจากจุดตดั ของแรงนนั จะแทนขนาดและทศิ ทาง ของแรงลพั ธ์ (R) ของแรง A และ B A AR   BB (ก) (ข) รูปที 2.11 รูปสีเหลยี มดา้ นขนานแทนแรง

จากรูปที 2.11 (ข) สามารถเขียนเป็นสมการไดด้ งั นี - ขนาดของแรงลพั ธ์ คือ R  A 2  B2  2AB cos θ - ทิศทางของแรงลพั ธท์ ีทาํ มมุ  กบั แรง B คือ tan   A sin  B  A cos  ตวั อย่าง 2.2 ตะขอดงั รูปถูกดึงดว้ ยแรง 600 N และ 900 N และแรงทงั สองกระทาํ เป็นมุมต่อกนั เป็นมุม 45 องศา จงหาขนาดแรงและทิศทางของแรงลพั ธ์ 600 N 900 N วธิ ีทาํ - ขนาดของแรงลพั ธ์ คือ R  A 2  B2  2AB cos θ R  (600)2  (900)2  (2  600  900) cos 45 R  1933675.324 R  1390.566 N - ทิศทางของแรงลพั ธท์ ีทาํ มมุ  คือ tan   A sin  B  A cos    tan-1 600 sin 45 900  600 cos 45   17.764๐ 2. รูปสามเหลยี มแทนแรง ในกรณีทีแรงสองแรงตดั กนั ทีจุด ๆ หนึงดงั รูปที 2.12 (ก) หากเขียนเสน้ R ปิ ด ระหว่าง ปลายเสน้ A และ B ดงั รูปที 2.12 (ข) จะไดเ้ ป็นรูปสามเหลียมใด ๆ ซึงดา้ นทีสามของรูปสามเหลยี มนีจะแทนทงั ขนาดและทิศทางของแรงลพั ธ์ (R) ของแรง A และ B

B r A R b A a  B (ก) (ข) รูปที 2.12 รูปสามเหลยี มแทนแรง จากรูปที 2.12 (ข) จะเห็นวา่ รูปสามเหลียมแทนแรงจะเป็นรูปสามเหลียมใด ๆ ทีสอดคลอ้ งกบั หลกั ทางตรีโกณ ดงั นนั ในการวเิ คราะหเ์ พือหาขนาดและทศิ ทางของแรงลพั ธ์ (R) จึงใชห้ ลกั ทางตรีโกณไดด้ งั นี - กฎของ cosines R  A 2  B2  2AB cos - กฎของ sin R  AB sin  sin a sin b ตวั อย่าง 2.3 จากรูป จงหาขนาดแรงและทิศทางของแรงลพั ธ์ 400 N 95 ๐ 300 N วิธีทาํ - หาขนาดของแรงลพั ธจ์ ากกฎของ cosines R  A 2  B2  2AB cos  R  (400)2  (300)2  (2  400  300) cos 95 R  520.497 N - หาทิศทางของแรงลพั ธจ์ ากกฎของ sin R  AB sin  sin a sin b

520.497 400 sin 95  sin a sin a  400  sin 95 520.497 a  sin -1 400  sin 95  520.497  a  49.956๐ ดงั นนั ทิศทางของแรงลพั ธว์ ดั จากแนวระนาบ คือ 49.956 ๐ 4.2.2 แรงย่อยทกี ระทําตงั ฉากซึงกนั และกนั การหาแรงลพั ธ์ จากแรงยอ่ ยทีกระทาํ ตงั ฉากซึงกนั และกนั สามารถหาไดด้ ว้ ยการแตกแรง การ รวมแรง แลว้ จึงแรงลพั ธ์ ซึงก่อนหาแรงลพั ธไ์ ดน้ นั จะตอ้ งศึกษาวิธีการแตกแรง การรวมแรง และการหาแรงลพั ธ์ เสียก่อน 1. การแตกแรง การแตกแรง คือ การแยกแรงทีกระทาํ ต่อวตั ถุ ณ จุดใด ๆ ออกเป็นแรงยอ่ ยตามแนวแกน x และ y ดงั รูปที 2.11 y Fy R x Fx รูปที 2.13 แสดงลกั ษณะการแยกแรงทีกระทาํ ต่อวตั ถุ ณ จุดใด ๆ ออกเป็นแรงยอ่ ยตามแนวแกน x และ y จากรูปที 2.13 สามารถเขียนเป็นรูปสามเหลยี มมมุ ฉากไดด้ งั รูปที 2.14 R Fy  Fx รูปที 2.14 รูปสามเหลียมมฉุ าก

จากรูปที 2.14 เมอื นาํ มาเทียบกบั ทฤษฎีสามเหลยี มมุมฉาก จะไดว้ า่ (1) การแตกแรงเขา้ สู่แนวแกน x จะไดด้ งั นี Fx cos θ = R ดงั นนั Fx = R cos  (2) การแตกแรงเขา้ สู่แนวแกน y จะไดด้ งั นี Fy sin θ = R ดงั นนั Fy = R sin  ข้อควรจาํ การแตกแรงเขา้ สู่แนวแกน x และแนวแกน y ค่า Fx ไม่จาํ เป็นตอ้ งเท่ากบั R cos  และ ค่า Fy ไม่ จาํ เป็นตอ้ งเท่ากบั R sin  เสมอไป ทงั นีขึนอยกู่ บั มุม  วา่ เกิดขึนในแนวใด ถา้ มมุ  เกิดขึนในแนวใดแลว้ การแตกแรงเขา้ สู่แนวแกนนนั จะมคี ่าเป็น cos เสมอ ส่วนมุมทีเหลือจะมีค่าเป็น sin เสมอ เช่นกนั ตวั อย่าง 2.4 จงคาํ นวนหาแรงในแนวแกน x และแนวแกน y ของแรง R = 50 N ทีกระทาํ มมุ กบั แนวแกน x = 40๐ y Fy R x  วิธีทาํ Fx - แตกแรงในแนวแกน x จากสมการ Fx = R cos  = 50 cos 40 Fx = 38.30 N - แตกแรงในแนวแกน y จากสมการ Fy = R sin  = 50 sin 40 Fy = 32.14 N

ตวั อย่าง 2.5 จงคาํ นวนหาแรงในแนวแกน x และแนวแกน y ของแรง R = 100 N ทีกระทาํ มุมกบั แนวแกน y = 50๐ y Fy R x  Fx วธิ ีทาํ - แตกแรงในแนวแกน x จากสมการ Fx = R sin  = 100 cos 50 Fx = 76.60 N - แตกแรงในแนวแกน y จากสมการ Fy = R cos  = 100 sin 50 Fy = 64.28 N 2. การรวมแรง การรวมแรง คือ การรวมแรงยอ่ ยทีไดจ้ ากการแตกแรงหลาย ๆ แรง ใหอ้ ยใู่ นระนาบ เดียวกนั การรวมแรงมขี นั ตอนดงั นี 1. แตกแรงทุกแรงใหอ้ ยใู่ นแนวแกน x และแนวแกน y 2. รวมแรงในแนวแกน x และแนวแกน y โดยให้ Fx คือ ผลรวมของแรงในแนวแกน x Fy คือ ผลรวมของแรงในแนวแกน y หมายเหตุ ในการหาค่า Fx และ Fy จะตอ้ งคาํ นึงถึงเครืองหมาย ดงั รูปที 2.15

Fy = + Fx = - Fx = + Fy = - รูปที 2.15 แสดงเครืองหมายของทิศทางของแรง ตวั อย่าง 2.6 จากรูปทีกาํ หนดให้ จงคาํ นวณรวมแรงทีกระทาํ ในแนวแกน x และ y y F2 = 200 N 60๐ F1 = 100 N 30๐ x วธิ ีทาํ 1. แตกแรงทุกแรงใหอ้ ยใู่ นแนวแกน x และแนวแกน y - แตกแรงในแนวแกน x F 1x = F 1 cos  = 100 cos 30๐ = 86.6 N F 2x = F2 sin  = 200 sin 60๐ = 173.2 N - แตกแรงในแนวแกน y F 1y = F 1 sin  = 50 N = 100 sin 30๐ F 2y = F2 cos  = 200 cos 60๐ = 100 N 2. รวมแรงในแนวแกน x และแนวแกน y - รวมแรงในแนวแกน x Fx = F 1x + F 2x = 86.6 + (- 173.2) = - 86.6 N

- รวมแรงในแนวแกน y Fy = F 1y + F 2y = 50 + 100 = 150 N ตวั อย่าง 2.7 จากรูปทีกาํ หนดให้ จงคาํ นวณรวมแรงทีกระทาํ ในแนวแกน x และ y F3 = 100 N y F4 = 200 N F2 = 200 N 50๐ F1 = 300 N 30๐ x วิธีทาํ 1. แตกแรงทุกแรงใหอ้ ยใู่ นแนวแกน x และแนวแกน y - แตกแรงในแนวแกน x F 1x = F 1 cos  = 300 cos 30๐ = 259.808 N F 3x = F3 sin  = 100 sin 50๐ = 76.604 N F 4x = 200 N - แตกแรงในแนวแกน y F 1y = F 1 sin  = 150 N = 300 sin 30๐ F 2y = 200 N = 64.279 N F 3y = F3 cos  = 100 cos 50๐ 2. รวมแรงในแนวแกน x และแนวแกน y - รวมแรงในแนวแกน x Fx = F 1x + F 3x + F 4x = 259.808 + (- 76.604) + (- 200) = - 16.796 N

- รวมแรงในแนวแกน y Fy = F 1y + F 2y + F 3y = 150 + 200 + 64.279 = 414.279 N 3. การหาแรงลพั ธ์ การหาแรงลพั ธ์ คือ การหาค่าของแรงทีเกิดจากการรวมแรงในแนวแกน x และแนวแกน y และ เนืองจากแรงในแนวแกน x และในแนวแกน y กระทาํ มมุ ตงั ฉากต่อกนั ดงั รูปที 2.16 Fy FR O Fx รูปที 2.16 การหาแรงลพั ธ์ FR ดงั นนั จากรูปที 2.14 สามารถหาแรงลพั ธไ์ ดจ้ ากสมการ FR  Fx2  Fy2 เมือ FR = แรงลพั ธ์ (N) Fx = ผลรวมของแรงตามแนวแกน x (N) Fy = ผลรวมของแรงตามแนวแกน y (N) สาํ หรับค่ามุม  ของแรงลพั ธท์ ีกระทาํ กบั แนวแกน ดงั รูปที 2.14 สามารถใชห้ ลกั การทางตรีโกณมิติหา ไดด้ งั นี tan θ  Fy Fx θ  tan 1 Fy Fx หรือ sin θ  Fy FR θ  tan 1 Fy Fx หรือ cos θ  Fx FR θ  cos 1 Fx FR

ตวั อย่าง 2.8 จากรูปทีกาํ หนดให้ จงคาํ นวณหาแรงลพั ธแ์ ละทิศทางของแรงลพั ธ์ y Fy = 200 N x Fx = 150 N วิธีทาํ 1. หาค่าของแรงลพั ธจ์ ากสมการ จากรูปสามารถหาค่าของแรงลพั ธใ์ นสมการ FR  Fx2  Fy2 เมือแทนค่าในสมการจะได้ FR  1502  2002  22500  40000  62500 FR  250 N 2. หาทิศทางของแรงลพั ธ์ θ  tan 1 Fy Fx θ  tan 1 200 150 θ  53.130 ð ตวั อย่างที 2.9 จากรูปทีกาํ หนดให้ จงคาํ นวณหาแรงลพั ธแ์ ละทิศทางของแรงลพั ธ์ y F2 = 200 kN F3 = 100 kN 30๐ F1 = 150 kN 30๐ 30๐ x 20๐ F4 = 100 kN

วธิ ีทาํ 1. แตกแรงทุกแรงใหอ้ ยใู่ นแนวแกน x และแนวแกน y - แตกแรงในแนวแกน x F 1x = F 1 cos  = 150 cos 30๐ = 129.904 N F 2x = F2 cos  = 200 cos 30๐ = 173.051 N F 3x = F3 cos  = 100 cos 30๐ = 86.602 N F 4x = F4 sin  = 100 sin 20๐ = 34.202 N - แตกแรงในแนวแกน y F 1y = F 1 sin  = 75 N = 150 sin 30๐ F 2y = F2 sin  = 100 N = 200 sin 30๐ F 3y = F3 sin  = 50 N = 100 sin 30๐ F 4y = F4 cos  = 93.969 N = 100 cos 20๐ 2. รวมแรงในแนวแกน x และแนวแกน y - รวมแรงในแนวแกน x Fx = F 1x + F 2x + F 3x + F 4x = 129.904 + 173.051 + (-86.602) + (-34.202) = 182.151 N - รวมแรงในแนวแกน y Fy = F 1y + F 2y + F 3y + F 4y = 75 + 100 + 50 + (-93.969) = 131.031 N

3. หาค่าของแรงลพั ธจ์ ากสมการ FR  Fx2  Fy2 เมือแทนค่าในสมการจะได้ FR  182.1512  131.0312  50348.109 FR  224.383 N 4. หาทิศทางของแรงลพั ธ์ θ  tan 1 Fy Fx θ  tan 1 131 .031  182 .151  θ  35.729 ð 5. ระบบแรง 3 มติ ิ โดยทวั ไปปัญหาส่วนใหญ่ในทางปฏิบตั ิมกั จะเป็นแรงในระบบ 3 มติ ิ ดงั นนั จึงมคี วามจาํ เป็นอยา่ งยงิ ทีผู้ ศกึ ษาจะตอ้ งศกึ ษาแรงในระบบ 3 มติ ิดว้ ย แรง 3 มติ ิ () คือแรงทีกระทาํ ต่อวตั ถุโดยไดไ้ มอ่ ยใู่ นแนวระนาบของแนวแกน xy , yz และ xz แต่มที ิศทาง เบนไปจากระนาบทงั สาม ดงั รูป y z x ปกติการวิเคราะห์แรง 3 มิติ จะทาํ การแตกแรงใหแ้ รงมาอยใู่ นแกน x , y และ z โดยกาํ หนดเครืองหมายของ ทิศทางของแกนดงั นี

แรงในแนวแกน x มที ิศทางไปทางขวามือ มเี ครืองหมายเป็น + แรงในแนวแกน y มีทิศทางไปทางซา้ ยมอื มเี ครืองหมายเป็น - แรงในแนวแกน z มีทิศทางไปทางดา้ นบน มีเครืองหมายเป็น + มีทิศทางไปทางดา้ นลา่ ง มีเครืองหมายเป็น - มที ิศทางไปทางดา้ นหนา้ มเี ครืองหมายเป็น + มที ิศทางไปทางดา้ นหลงั มเี ครืองหมายเป็น - +y -z -x +x +z -y 5.1 การแตกแรง 3 มติ ิ การแตกแรง 3 มติ ิ คือ การแยกแรง 3 มติ ิ เขา้ สู่แนวแกน x , y และ z ทีตงั ฉากกนั ดงั รูป yy y Fy F Fy F Fx Fy F Fx Fz x Fx xFz y x Fz z x zz z จากรูปแรง F มีขนาดและทิศทางตามดา้ นทะแยงมมุ ของรูป ทาํ มมุ กบั แนวแกน x , y และ z เมอื เขียนอยใู่ นรูปของเวคเตอร์จะได้ F = Fx i + Fy j + FZ k เมอื i , j และ k เป็นเวคเตอร์ ในแนวแกน x , y และ z ตามลาํ ดบั แรงยอ่ ยของ F ในแต่ละแกน จะมีค่าเท่ากบั F x = F cos x , F y = F cos y , F Z = F cos Z เนืองจากแรงเป็นสดั ส่วนโดยตรงกบั ขนาดของเวคเตอร์ในแต่ละทิศทาง ดงั นนั

Fx  Fy  Fz  F x y zL เมือ L คือ ขนาดของเวคเตอร์ในทิศทางของแรง F จากสมการทีผา่ นมา เมอื แตกแรง F เขา้ สู่แนวแกนจะได้ x , Fy  yF , Fz  zF Fx  L F L L และจากสมการที สามารถหาทิศทางของแรงทีกระทาํ กบั แรง F ไดด้ งั นี , , x Fx Fy Fz  cos 1 F y  cos 1 F z  cos 1 F ดงั นนั ขนั ตอนการแตกแรง 3 มติ ิ เขา้ สู่แนวแกน x , y และ z ทีตงั ฉากกนั คือ 1. หาขนาดของเวคเตอร์ (L)ในทิศทางของแรง F จากสมการ L  x2  y2  z2 2. แตกแรง F เขา้ สู่แนวแกน Fx , Fy และ Fz จากสมการที 3. เขียนคาํ ตอบในรูปของเวคเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก คือ F = Fx i + Fy j + Fz k 4. หามุมของแรงลพั ธท์ ีกระทาํ กบั แนวแกน x , y และ z ตวั อย่าง 2.10 จงหาแรงยอ่ ยในแนวแกน x , y และ z ของแรง F เมือแรง F = 100 N y Fz Fy Fx 6m x z F 8m 12 m วธิ ีทาํ ความยาวของดา้ นทแยง L  x2  y2  z2 L  12 2  8 2  6 2 = 15.62

ดงั นนั แรงในแนวแกน x , y และ z ของแรง F คือ Fx  x F  12 100 L 15 .62 = 76.8 N Fy  y F  8 100 L 15 .62 = 38.4 N z  6 100 Fz  L F 15 .62 = 51.2 N เมือเขียนแรง F อยใู่ นรูปของเวคเตอร์ จะได้ F = 76.8 i + 38.4 j + 51.2 k N หามุมของแรงลพั ธท์ ีกระทาํ กบั แนวแกน x , y และ z x  cos 1 Fx  cos 1 76 .8 F 100 y  cos 1 Fy = 39.2 ๐ F  cos 1 38 .4 z  cos 1 Fz 100 F = 67.4 ๐  cos 1 51 .2 100 = 59.2 ๐ 5.2 การหาแรงลพั ธ์ของแรง 3 มติ ิ ในกรณี แรงทีกระทาํ ในระบบ 3 มิติ กระทาํ กบั วตั ถุ ณ จุดเดียวกนั มมี ากกว่าหนึงแรง จะตอ้ งทาํ การรวมแรงเพือหาแรงลพั ธท์ ีกรทาํ กบั วตั ถุ ซึงมีขนั ตอนดงั นี 1. แตกแรงต่าง ๆ ทีกระทาํ ใหอ้ ยใู่ นแนวแกน x , y และ z 2. รวมแรงในแนวแกนต่าง ๆ ตามเครืองหมาย ซึงจะไดผ้ ลรวมของแรงตามแนวแกนต่าง ๆ คือ  Fx ,  Fy และ  FZ 3. คาํ นวณหาค่าขแงแรงลพั ธ์ () จากสูตร   F  F 2  F 2  F 2 X y Z

4. หามมุ ของแรงลพั ธท์ ีกระทาํ กบั แนวแกน จากสูตร  cos  X  FZ FX , cos  Y   FY , cos  Z  F F F ตวั อย่างที 2.11 จงหาแรงลพั ธข์ องแรง F1 และ F2 ดงั แสดงดงั รูป F2 = 250 N y 2m 4m 2 m F1 = 100 N x z 3m วิธีทาํ 1. แตกแรง F1 ไปในแนวแกน x , y และ z เมือความยาวของ L ของ F1 คือ L  42  22 = 4.472 m ดงั นนั F1 x  x F  2  100 L 4.472 = 44.7 N 4 F1 z  z F  4.472  100 L = - 89.4 N 2. แตกแรง F2 ไปในแนวแกน x , y และ z เมอื ความยาวของ L ของ F2 คือ L  32  22  42 = 5.385 m ดงั นนั F1 x  x F  3  250 L 5.385 = 139.3 N F1 y  y F  2  250 L 5 .385 = 92.8 N F1 z  z F  4  250 L 5.385 = - 185.7 N

3. รวมแรงในแนวแกน x , y และ z  Fx  F1x  F2 x = 44.7 + 139.3 = 184.0 N 82.8 N  F y  F1 y  F2 y = 0 + 92.8 = - 275.1 N  Fz  F1z  F2 z = - 89.4 - 185.7 = 4. หาแรงลพั ธ์ R   F  F 2  F 2  F 2 x y z F  (184 .0) 2  (92 .8) 2  (275 .1) 2 F = 343.7 N 5. หามุมของแรงลพั ธ์ cos  x  Fx F  x  cos 1 Fx  cos 1 184 .0 = 57.6 ๐ F 343 .7 cos  y  Fy F  y  cos 1 Fy  cos 1 92 .8 = 74.3 ๐ F 343 .7 cos  Z  FZ F  z  cos 1 Fz  cos 1  275 .1 = 143.1 ๐ F 343 .7 ตวั อย่างที 2.12 จงคาํ นวณหาขนาดและทิศทางแรงลพั ธ์ เมือ F1 = (200 i + 250 j –150 k) N และ F2 = (2.5 i – 1.5 j + 4 k) kN วิธีทาํ 1. รวมแรงในแนวแกน x , y และ z  Fx  Fx = 200 + 2,500 = 2,700 N = 2.7 kN  Fy  Fy = 250 – 1,500 = -1,250 N = -1.25 kN  Fz  Fz = -150 + 4,000 = 3,850 N = 3.85 kN 2. หาแรงลพั ธ์ R   F  F 2  F 2  F 2 x y z F  (2.7) 2  (1.25 ) 2  (3.85 ) 2 F = 4.87 kN

3. หามุมของแรงลพั ธ์ cos  x  Fx F  x  cos 1 Fx  cos 1 2.7 = 56.3 ๐ F 4.87 cos  y  Fy F  cos 1  1.25 = 104.9 ๐  y  cos 1 Fy 4.87 F  cos 1 3.85 = 37.8 ๐ cos  z  FZ F 4.87  Z  cos 1 FZ F