mablits math

y  2 y  y  f (x) 1) f (x)  2x 2 1) f (x)  x cos x k 2  2k  1  0 y  Ax 2  Bx  C y  (Ax  B) cos x  (Cx  D) sin x 2) f (x)  3e x 2) f (x)  e x sin x k1  k2  k  1 y  e x (A cos x  B sin x) y  e x (C1  xC2 ) y  Ax 2e x (  1  k1,2 , r  2) Этапы решения ЛНДУ с П р и м ер :d2x 2x с постоянными dt 2 коэффициентами и правой частью специального вида ЛОДУ: d 2 x   2 x  0 . 1. Для ЛОДУ составить и решить характеристическое dt 2 уравнение Характеристическое уравнение: k 2   2  0 . 2. Записать общее решение ЛОДУ Корни характеристического уравнения: k12  i 3. По правой части x  C1x1(t)  C2x2 (t)  С cost  B sint . подобрать вид частного Замечание. Пусть С  Asin 0 ; B  A cos0 , решения 4. Найти неопределенные тогда x  A(sin0 cost  cos0 sin t) . коэффициенты и записать Получаем функцию простого гармонического частное решение ЛНДУ колебания x  A sin(t  0 ) , где А – амплитуда 5. Записать общее решение колебания;  – частота; 0 – начальная фаза ЛНДУ Правая часть имеет специальный вид первого типа: f (t)  c  ce0t . Имеем   0  i  r  0  x  D Подбираем неопределенный коэффициент D для частного решения x  D : x   D  0; x  0 . Подставим x и x в дифференциальное уравнение: 0  2D  c  D  c  x  c 2 2 x  x  x  A sin( t  0)  c 2 Замечание. В общем случае, когда правая часть ЛНДУ не имеет специального вида, для отыскания частного решения применяется метод вариации произвольных постоянных. Пусть y  C1 y1  C2 y2 – общее решение ЛОДУ второго порядка. Постоянные С1 и С2 заменяются функциями С1(х) и С2(х) и 100

подбираются так, чтобы функция y  C1(x) y1  C2(x) y2 была решением ЛНДУ. C1(x) и C2(x) находятся из системы дифференциальных уравнений вида: CC11 ( x) y1 ( x)  C 2 ( x) y 2 ( x)  0, x). ( x) y1 ( x)  C 2 ( x) y ( x)  f( 2 101

Раздел 17. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов Аппроксимация – приближение исходной функции другой, более удобной для ее обработки и анализа. Интерполяция – это восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям, т.е. замена табличной функции другой, заданной в аналитическом виде. ____ Пусть исходная функция задана таблицей xi , yi, i  1, n . xi x1 x2 … xn yi y1 y2 … yn Метод наименьших квадратов заключается в отыскании такой аппроксимирующей функции, которая дает наилучшее приближение в среднем, т.е. обеспечивает минимум квадратичного отклонения. В соответствии с методом наименьших квадратов необходимо минимизировать сумму S  n  n  y ( xi )  yi 2 , где xi , yi − значения i  i 1 i 1 опытных данных; y(xi ) − значение функции, взятое на эмпирической зависимости в точке xi ; n − число Y опытов. Предположим, что между x и y yi y  kx  b существует линейная зависимость, yi i выражающаяся формулой y  ax  b . Требуем, чтобы квадратичное отклонение S  n axi  b  yi 2 было минимальным. X xn  i 1 x1 x2 xi Функция S имеет минимум в тех точках, в которых частные производные от S по параметрам a и b обращаются в нуль. В результате дифференцирования и преобразований получаем систему линейных уравнений для определения a и b : ain1xni2 n n  b  xi   xi yi , i 1 i 1  n  a  xi  b  n   yi . i 1 i 1 101

Приближенные методы решения уравнений вида f(x)  0 Метод половинного деления Пусть f (x) непрерывна на a,b и Y f (b) f (a)  f (b)  0 . Делим отрезок a,b пополам, a c(a1) b(b1) c  a  b − середина отрезка. Если 2 X f (c)  0  c − корень уравнения. Если f (c)  0  выбираем одну f (a) из половин, где f (c)  f ( xгран )  0 , xгран − или a , или b .  Отрезок c, xгран  a1, b1 снова делим пополам и выполняем те же действия. a1, b1, a2, b2 ,…, an , bn  − последовательность вложенных отрезков, где bn  an  ba . Итерационный процесс прекращается, 2n когда bn  an   и/или f (cn )   , где  − заданная точность нахождения корня. Метод хорд Пусть f (x) непрерывна на a, b и меняет знак на данном отрезке. Y f (a) Пусть f (a)  0 , f (b)  0. Проведем хорду, соединяющую точки a, f (a) и b, f (b). Уравнение хорды: c1 X y  f (a)  x  a . ab f (b)  f (a) b  a f (c1) Координата пересечения хорды с осью f (b) абсцисс: c1  a f (a) ba . Точка c1 f (b)  f (a) делит отрезок a, b на две части. Выбираем ту часть, где функция меняет знак, и повторяем действия до тех пор, пока f (cn )   , где  − заданная точность нахождения корня. 102

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Разностная схема Эйлера Рассмотрим задачу Коши: dy  f (x, y); y(a)  y0 . dx Делим отрезок a, b на N шагов: h  xk 1  xk  (b  a) / N . Заменяем значения функции y в узлах xk значениями сеточной функции yk : yk 1  yk  y( xk )h . Из исходного уравнения имеем y(xk )  f (xk , yk ) . Формула метода Эйлера: yk 1  yk  hf (xk , yk ) . При k  0  y1  y0  hf (x0 , y0 ) , значение y0 находим из начального условия. При k  1  y2  y1  hf (x1, y1) и т.д. Геометрический смысл схемы Эйлера: замена y(x) на отрезке xk , xk 1 отрезком касательной, проведённой к графику в точке xk . Методы РунгеКутта Если в формуле Эйлера заменить f (xk , yk ) на более общее выражение fˆ(xk , yk ) , то получаем общую формулу одношагового метода: yk1  yk  h fˆ (xk , yk ) , y(a)  y0 . Вместо дифференциального уравнения решается нелинейное разностное уравнение. Формула Вспомогательные величины Название k1  f (xk , yk ), Улучшенная fˆ  1 k1 k2  2 k2  f (xk  h, yk  h) ломаная fˆ  f  x k  h , yk  h k1  k1  f (xk , yk ) . Формулы Хойне  2 2  Формулы Рунге– k1  f (xk , yk ) , Кутта fˆ  1 k1  4k2  k3  k2  f  xk  h , yk  h k1  , 6  2 2  k3  f xk  h, yk  2hk2  hk1. k1  f (xk , yk ) , k2  f  xk  h , yk  h k1  ,  2 2  fˆ  1 k1  2k 2  2k 3  k4  6  h h  k3  f  xk  2 , yk  2 k2  , k4  f xk  h, yk  hk3 103

Раздел 18. РЯДЫ Числовые ряды. Основные понятия Основные Определение понятия Понятие  числового ряда a1  a2  a3  ...  an  ...   an – числовой ряд, где Виды числовых n1 рядов a1, a2,..., an ,.. . − члены ряда, образующие бесконечную Частичные последовательность; an − общий член ряда. Ряд задан, если суммы ряда Сходимость и an  f (n) сумма ряда Свойства рядов  Ряд  an – знакоположительный, если an  0 . n 1  Ряд  an , содержащий бесконечное множество положи- n 1 тельных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Ряд a1  a2  a3  ...   1n1an  ...    1n 1 an –  n 1 знакочередующийся , где an  0 S1  a1, S2  a1  a2 ,… Sn  a1  a2  ...  an − n -я частичная сумма ряда Если  lim Sn  S , то ряд называется сходящимся, а S – n суммой ряда, в противном случае − ряд расходящийся  1. Если  an сходится и его сумма равна S , то  can , где c n1 n1 − произвольное число, также сходится и его сумма равна сS .  2. Два сходящихся ряда  an и  bn с суммами S и S  n1 n1 можно почленно складывать или вычитать. Ряд  an  bn   n 1 сходится и имеет сумму S  S . 3. Если у сходящегося (расходящегося) ряда отбросить конечное число его членов, то полученный ряд также будет сходится (расходится) 104

Признаки сходимости Необходимый признак сходимости числового ряда  то 0. Если  an сходится, lim an  n 1 n Следствие. Если lim an  0, то  расходится. n  an n 1 Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов Название Определение Первый Если an  bn n , то: признак сравнения  Второй 1) из сходимости ряда  bn  сходимость ряда  an ; признак n1 n1 сравнения  Признак Даламбера 2) из расходимости ряда  an  расходимость ряда  bn Радикальный n1 n1 признак Если lim an  c 0  c  , то: Коши n bn Интеграль- ный признак  Коши 1) при 0  c    an и  bn сходятся и расходятся n1 n1 одновременно;  2) при с  0 из сходимости  bn  сходимость  an ; n1 n1  3) при с   из расходимости  bn  расходимость  an n1 n1 lim an1  p  p  1, ряд сходится; n an   p  1, ряд расходится; lim n an  p  p  1, признак не работает n Пусть f x − положительная, непрерывная и убывающая функция на 1,  , такая, что a1  f 1, a2  f 2,..., an  f n,...,  Если соответствующий несобственный интеграл  f xdx 1  сходится (расходится), то и ряд  an сходится (расходится) n 1 105

Рекомендации к использованию признаков сравнения Ряды-эталоны Сходимость рядов Пример Геометрическая   q  1, ряд сходится; 1 сходится прогрессия n13 n  aq n    n 1 q  1, ряд расходится ( q  1 1) 3 Обобщённый 1    1, ряд сходится; 1 расходится гармонический n1n 0    1, ряд расходится  n1 n ряд  (  1  1) 2 Рекомендации к использованию признака Даламбера Признак целесообразно применять, когда общий член содержит n !( n ! 1 2  3  4  ... n – n-факториал). При n   для приближенного вычисления n ! используется формула Стирлинга: n! 2n n n . e Сходимость знакопеременных рядов Виды Определение сходимости Абсолютная  сходимость Знакопеременный ряд  an сходится абсолютно, если ряд Условная n 1 сходимость  Достаточный признак  an , составленный из абсолютных величин, сходится сходимости для n1 знакочередую- щегося ряда  Знакопеременный ряд  an сходится условно, если сам он n 1  сходится, а ряд  an расходится n1 Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд   1n 1 an сходится, если:  n 1 1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. n : an  an1 ; 2) lim an  0 n 106

Степенные ряды. Основные понятия Основные Определение понятия Понятие  степенного a0  a1(x  x0 )  ...  an (x  x0)n  ...  an (x  x0 )n – степенной ряда n 0 Сходимость степенных ряд, разложенный по степеням x  x0 , где постоянные рядов a0 , a1,..., an ,..., – коэффициенты ряда; x  R − действительная Свойства переменная; x0 − некоторое постоянное число степенных рядов Область сходимости – множество всех точек сходимости. Виды Областью сходимости служит промежуток x0  R, x0  R, степенных рядов дополненный, быть может, его концами. Число R – радиус сходимости. Если ряд сходится во всех точках, то R   . Радиус сходимости определяют по формуле: R  1 или R  lim an lim n an n an1 n 1. Сумма степенного ряда − непрерывная функция в интервале сходимости x0  R, x0  R. 2. Степенные ряды  an ( x  x0 )n и  (x  x0 )n внутри   bn n0 n0 интервала сходимости можно почленно складывать, вычитать и умножать. 3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать:  d (x  x0 )n  x0 )n1 . dx  an  nan (x  n0 n 0 4. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно интегрировать: x x0  R, x0  R. 5.  an x t  x0 n dt   an x  x0 n1 n    1 n0 x0 n0 Ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции f ( x) в окрестности точки x  a : f (x)  f a  f ax  a  f ax  a2  ...  f n ax  an  ... 1! 2! n! Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора при x  0 : f (x)  f 0  f 0 x  f 0 x2  ...  f n 0 xn  ... 1! 2! n! 107

Окончание таблицы Основные Определение понятия Сходимость Представим функцию в виде: f (x)  Sn (x)  Rn (x) , функции к ряду Тейлора где Sn (x)  f a  f ax  a f ax  a2  ...  f nax  an ; 1! 2! n! Rn (x)  f (n1) (c) (x  a)n1, c  a, x − остаточный член в форме (n  1)! Лагранжа. Теорема. Ряд Тейлора сходится к функции f (x)  lim Rn (x)  0 n Разложение элементарных функций в ряд Маклорена Разложение Область сходимости ex  1  x  x2  x3  ...  xn  ... 2! 3! n! xR sin x  x  x3  x5  ...   1n1 x2n 1  ... xR 3! 5! 2n 1! xR cos x 1 x2  x4  ...   1n x 2n  ... x  1,1 2! 4! x  1,1, 2n! если m  0; ln1  x  x  x2  x3  x4  ...  1n1 xn  ... 234 n x  1,1, 1 xm  1 mx  mm 1 x2  mm 1m  2 x3  ... если 1 m  0; 12 123 x  1,1, если arctg x  x  x3  x5  ...   1n1 x2n1  ... m  1 35 2n 1 x  1,1 1  1  x  x2  x3  ...   1n xn  ... x  1,1 1 x 108

Ряды Фурье Основные понятия Определение Тригонометрический ряд Фурье f x  a0   cos nx  bn sin nx) , для функции f xна отрезке 2  ,   (an Тригонометрический ряд Фурье n1 для функции f xна отрезке где a0 , an , bn − коэффициенты Фурье,  l,l вычисляемые по формулам: Достаточное условие разложимости функции в ряд a0  1  (x)dx ;  Фурье f  an  1  (x) cos nxdx, n  1,2,...;  f  bn  1  (x)sin nxdx, n  1,2,...  f  f (x)  a0    an cos nx  bn sin nx , 2 l l  n 1 где a0  1l f ( x )dx;  l l an  1l f (x) cos nx dx, n  1,2,...;  l l l bn  1l f (x)sin nx dx, n  1,2,...  l l l Теорема Дирихле. Если функция f ( x) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода на отрезке   ,  и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на   , , то ряд Фурье функции f ( x) сходится x   ,  и его сумма равна: 1) f ( x) для всех точек непрерывности x   , ; 2) f x0  0  f x0  0 для всех точек 2 разрыва I рода x0 ; 3) f    0  f   0 при x   и 2 x  Окончание таблицы 109

Основные понятия Определение Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций f xна отрезке   ,  четная, то bn  0 ; Представление a0  2  f (x)dx ; непериодической функции   рядом Фурье 0 an  2  f (x) cos nxdx, n  1,2,...   0 f xна отрезке   ,  нечетная, то a0  0; an  0; bn  2  f (x)sin nxdx, n  1,2,...   0 Разложение в ряд Фурье функции f x на произвольном промежутке 0, l Разложение по синусам 1. Доопределить f x нечетным образом на  l,0 . 2. Разложить в ряд полученную Y X l l нечетную функцию f  (x) на  l, l. Разложение по косинусам 1. Доопределить f x четным образом на  l,0 . Y X l l 2. Разложить в ряд полученную четную функцию f  (x) на  l, l 110

Раздел 19. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Волновое уравнение Уравнение гиперболического типа, или волновое уравнение  2U  a 2   2U   2U   2U  (a  const) , описывает процессы колебания t 2  x 2 y 2 z 2  струны, мембраны, газа и т.д. Характерная особенность процессов – конечная скорость распространения волны. Однородное волновое уравнение: Utt (x, t)  a2U xx (x, t) Первая краевая задача U (x, t)   n x An cos an t  Bn sin an t  Начальные условия: l  l l   sin U (x,0)  f (x) , 0  x  l ; n1 Ut(x,0)  (x) , 0  x  l . Граничные условия: An  2 l f ( x ) sin n xdx , l l  0 U (0,t)  0 , U (l,t)  0 , Bn  2 l n xdx , n  1,2,... an l t  0 − концы струны x  0 и  (x)sin x  l жестко закреплены 0 Вторая краевая задача U ( x, t )   cos n x An cos an t  Bn sin an t  Начальные условия:  l l   U (x,0)  f (x) , 0  x  l ; n0 l Ut(x,0)  (x) , 0  x  l . A0  1 l f ( x )dx , An  2l f (x) cos n xdx , Граничные условия: l  l  l U x (0, t)  0 , U x (l, t)  0 , 0 t  0 − концы струны свободны 0 B0  0, Bn  2 l n xdx , n  1,2,... an l  (x) cos 0 Задача Коши Формула Даламбера: Бесконечная струна:    x   , t  0 . U (x,t)  f (x  at)  f (x  at)  1 x  at ( x )dx Начальные условия: 2 2a x  U (x,0)  f (x) ;  at Ut(x,0)  (x) ; 0  x  l Уравнение теплопроводности Уравнение параболического типа U  a 2   2U   2U   2U  , или t  x 2 y 2 z 2  уравнение теплопроводности. Описывает задачи изучения теплопроводности и диффузии. 101

Уравнение теплопроводности: U t  a2U xx Первая краевая задача U (x, t)  U1 U2 U1 x   an 2 t sin n x Начальное условие: l l  l  Cne  U (x,0)  f (x) , 0  x  l ; n1 Граничные условия: U (0, t)  U1 , U (l, t)  U 2 , Cn  2 l f ( x ) sin n xdx , n  1,2,... l l t0  0 Вторая краевая задача U (x,t)   Cn   an 2 t  cos n x, Начальное условие:  l  l U (x,0)  f (x) , 0  x  l ;  e Граничные условия: n0 U x (0, t)  0 , U x (l, t)  0 , t0 C0  1l f (x)dx , Cn  2l f (x) cos n xdx ,   l l l 0 0 n  1,2,... Задача Коши Интеграл Пуассона: Начальное условие: U (x,t)  1  f ( )   (  x)2 d U (x,0)  f (x) ,  4a 2t  e    x   2a t  Уравнение Лапласа Уравнение эллиптического типа  2U   2U   2U  0, или x 2 y 2 z 2 уравнение Лапласа, возникает при исследовании стационарных процессов. Задача Дирихле для круга Дан круг радиуса R с центром в начале координат и пусть на окружности задана непрерывная функция f ( ) . Найти функцию U (r, ) , удовлетворяющую на окружности условию U (r, ) rR  f ( ) и уравнению Лапласа в полярных координатах r2U rr  rU r  U  0 . Решение U (r, )  A0    An cos n  Bn sin n  rn , 2  n 1 A0  1  ( )d , An   1  ( )cos n d ,  Rn f f   Bn   1  ( )sin n d , n  1,2,... Rn f  102

Раздел 20. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Множества. Свойства и операции над ними Множество М – объединение в единое целое определенных различимых объектов а, которые называются элементами множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, – пустое множество (). Если А  В, то А – подмножество множества В, если при этом А  В, то А – собственное подмножество множества В (А  В). Геометрическое изображение операций над множествами – диаграммы Венна. Название Определение Диаграмма операции и обозначение C  с | с  A или с  B U AB Объединение AB C  AB U Пересечение C  с | с  A и с  B AB U A\\B C  AB Разность C  с | с  A и с  B C  AB AB U AB или C A\\B Симметричная C  ( A \\ B)  (B \\ A) разность A B C  AB U A или A C  AB Дополнение A в U C U \\ A CA С  с | с  A 103

Свойства операций над множествами Свойства множеств относительно Свойства множеств относительно операции объединения операции пересечения 1. Коммутативность AB=BA AB=BA 2. Ассоциативность (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) 3. Дистрибутивность A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 4. Идемпотентность АА=А АА=А 5. Закон де Моргана AB  AB AB  AB A= 6. Операции с множеством  AU  A A = А 7. Операции с множеством U A  (A  B) = A A A AU U  U    U   A\\ B  AB,A\\A= 8. Законы поглощения: A \\ (B  C) = (A \\ B)  (A \\ C) A  (A  B) = A (A  B) \\ C = (A \\ C)  (B \\ C) A \\ (A \\ B) = A  B A AU 9. Свойства операции разности: A \\ (B  C) = (A \\ B)  (A \\ C) (A  B) \\ C = (A \\ C)  (B \\ C) (A \\ B) \\ C = A \\ (B  C) A \\ (B \\ C) = (A \\ B)  (A  C) 10. Свойства операции симметричной разности: AB=BA A  B = (A  B) \\ (A  B) (A  B)  C = A  (B  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Бинарные отношения Понятия Определения Примеры Декартово произведение A  B – множество, элементами A  1,2; B  2,3,4 множеств которого являются всевоз- A B   1,2 , 1,3 , 1,4 ,  АиB можные упорядоченные пары  2,2 , 2,3 , 2,4    a, b , где a  A, b  B  2,1 , 2,2 , 3,1 , BA     3,2 , 4,1 , 4,2  104

Окончание таблицы Понятия Определения Примеры Бинарное R – всякое подмножество отношение декартова произведения, т.е. x, y  R \" x меньше y\" R  A  B . Обозначение: x R y , R  1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4  т.е. х находится с y в отношении R   2,1 , 3,1 , 4,1 , 3,2 , 4,2  R или x, y  R (||), (~) Обратное R 1   a, b | b, a  R бинарное отношение Свойства Рефлексивность a  A : a, a  R Антирефлексив- a  A : a, a  R (),() , ( ) ность (), (~), (||), () a,b  A : a,b  R  Симметричность Транзитивность b, a  R (), (~),(||), (), (), () a,b,c  A : a,b  R и b,c  R  a,c  R Правила и формулы комбинаторики Правила комбинаторики Правило умножения Правило сложения Если из некоторого конечного Если из некоторого конечного множества объект а можно выбрать n1 множества объект а можно способами, а объект b – n2 способами, выбрать n1 способами, а объект то оба объекта ( a и b ) можно выбрать b – n2 способами, причем n1  n2 способами способы не пересекаются, то любой из объектов ( a или b ) можно выбрать n1  n2 способами Формулы комбинаторики Схема выбора Размещения Перестановки Сочетания Без Anm  (n n! Pn  n! C m  n! m)! возвращения  m)! n m!(n  С A m  nm Pn (n1, n2 ,...,nm )  n! m  C m возвращением n n1!n2 !... nm ! nm1 Cn 105

Основные понятия теории графов Понятие Пример Граф G(V , X ) представляет собой v2 x2 v3 x1 x5 x6 непустое множество вершин v1 x4 V  v1, v2 ,..., vn  и множество ребер Х, x3 v5 оба конца которых принадлежат x7 v6 v4 множеству V Если x  (v1, v2 ) – ребро графа, то Вершины v2 и v4 вершины v1 и v2 инцидентны ребру х инцидентны ребру x5 Два ребра, инцидентные одной вершине, Ребра x1, x2 , x5 смежные, т.к. – смежные инцидентны вершине v2 Степень вершины d (v) графа – число d (v2 )  3, вершина v5 – висячая, вершина v6 – ребер, которым эта вершина инцидентна. изолированная Если d (v) =0, то вершина изолированная, если d (v) =1, то висячая Маршрут (путь) для графа G(V,X) – v1x1v2x2v3x3v4x5v2 последовательность v1x1v2x2v3…xkvk+1. Если М=v1x1v2x2v3x3v4x5v2, то Длина маршрута – количество ребер в М 4 нем Маршрут замкнутый, если его v1x1v2x2v3x3v4x5v2x1v1 начальная и конечная точки совпадают, т.е. v1  vk 1 v2x2v3x3v4 Незамкнутый маршрут (путь) – цепь. Цепь, в которой все вершины попарно v2x2v3x3v4x5v2 различны, называется простой цепью Вершины v1 и v3 связные, т.к. Замкнутый маршрут (путь) – цикл  v1x1v2x2v3 (контур). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называется простым циклом. Две вершины графа связные, если существует соединяющая их простая цепь Два графа изоморфны, если существует взаимно-однозначное соответствие между множествами их вершин и ребер 106

Виды графов Вид графа Примеры Граф связный, если каждые две его вершины связные G1 ( X ,V ) – полный, связный и планарный Граф полный, если каждые две его вершины соединены одним и только одним ребром Граф плоский (планарный), если его можно изобразить на плоскости так, что все пересечения его ребер являются вершинами графа Граф G называется деревом, если он G2 (X ,V ) – плоское изображение является связным и не имеет циклов. графа G1 ( X ,V ) Граф G, все компоненты связности которого являются деревьями, G3 ( X ,V ) – лес называется лесом Если элементы множества Х упорядоченные пары, то граф v2 x2 v3 называется ориентированным, или орграфом. Если x  (v1, v2 ) – дуга x1 x5 x6 x3 орграфа, то вершина v1 – начало, а вершина v2 – конец дуги х. Дуга x  (v1, v1 ) – петля v1 x4 v4 Степень входа вершины орграфа – Вершина v2 – источник, вершина число входящих в вершину ребер, v4 – сток. степень выхода – число выходящих из вершины ребер Путь : v2  v3  v4 Источником называется вершина, степень входа которой равна нулю, а степень выхода положительна Стоком называется вершина, степень входа которой положительна, а степень выхода равна нулю Путь в орграфе – последовательность ориентированных ребер. 107

Цикл – замкнутый путь Типы графов Определение Условия существования Иллюстрирующие примеры Путь (цикл), Критерий существования содержащий все эйлерова цикла: степени всех ребра графа и графа четные Есть эйлеров и притом по одному гамильтонов цикл. разу, называется Критерий существования эйлеровым путем эейлерова пути: граф имеет (циклом). ровно две вершины нечетной Граф, обладающий степени эйлеровым циклом Есть эйлеров цикл, (путем), называется но нет гамильтонова эйлеровым цикла. 108

Путь (цикл), Достаточные условия содержащий все существования вершины графа по 1. Всякий полный граф Есть гамильтонов, но одному разу, является гамильтоновым. 2. Если граф, помимо нет эйлерова цикла. называется гамильтоновым. простого цикла, содержит и Граф, обладающий другие ребра, то он также гамильтоновым является гамильтоновым. циклом (путем), 3. Если граф имеет гамильнов Нет ни эйлерова, ни называется цикл, то он может иметь и другие гамильтоновы циклы гамильтонова цикла гамильтоновым Операции над графами Название Обозначение Определение операции Дополнение G (V , X ) X  x V V ; x  X G(V , X ) G1(V1, X1 )  G2 (V2 , X 2 ) G(V , X ) :V  V1 V2 , X  X1  X2 Объединение (V1  V2  , X1  X 2   ) G(V , X ) :V  V1 V2 , графов X  X1  X 2 G1(V1, X1 )  G2 (V2 , X 2 ) G(V , X ) :V  V1 V2 , Пересечение G1 (V1, X1 )  G2 (V2 , X 2 ) X  X1  X2 графов (V1 V2  , X 1  X 2   ) Сумма по модулю Cпособы задания графов Название Способ задания Пример V  1,2,3,4 x, y  R \" x  y\" v1 x1 v2 Аналити- Бинарное отношение R на x4 x2 ческий множестве x5 x6 V  vi ,i  1, n v4 x3 v3 109

Матрица  a11 a12 ... a1n  vi 1 2 3 4 смежности  a21 a22 ... a2n  10111 20011 графа  ... ... ... ...  30001  a n1 an2 ... a nn  40000 G(V , X ) V  v1,..., vn  aij  1, если (vi , v j )  X ; 0, если (vi , v j )  X Матрица  a11 a12 ... a1m  инцидент-  a21 a22 ... a2m  x1 x2 x3 x4 x5 x6 ности  ... ... ... ...  11 0 0 1 0 1 орграфа  an1 an2 ... anm  2 -1 1 0 0 1 0 G(V , X ) 1, если x j исходит из vi ; 30 -1 1 0 0 -1  1, 40 0 -1 -1 -1 0 V  v1,...,vn  0, X  x1,..., xm если x j заходит в vi ; если x j aij  не инцидентна vi 110

Раздел 21. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Операции над высказываниями Высказыванием Р называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно И или ложно Л. П р и м е р. «2+3=5» – И; « Москва – столица Казахстана» – Л. Название Определение Таблица операции и истинности обозначение Высказывание Р (или Р ) истинно  Р ложно Р Р Отрицание ИЛ () ЛИ связка «не» Конъюнкция Высказывание Р  Q истинно  Р Q РQ (  или &) истинны оба высказывания ИИ И ИЛ Л связка «и» ЛИ Л ЛЛ Л Дизъюнкция Р Q РQ ( ) Высказывание Р  Q ложно  ИИ И ИЛ И связка ложны оба высказывания «или» ЛИ И ЛЛ Л Импликация Р Q РQ () связка Высказывание Р  Q ложно  ИИ И ИЛ Л «если …, то…» Р истинно, а Q – ложно ЛИ И ЛЛ И Эквиваленция Высказывание Р ~ Q истинно Р Q Р~Q (~ или  ) связка  истинности высказываний Р и Q ИИ И совпадают ИЛ Л «тогда и только ЛИ Л тогда» ЛЛ И С помощью таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул. Формулы эквивалентны, если им соответствуют одинаковые таблицы истинности. 101

Булевы функции Булева функция f(X1, X2,…,Xn) – n-местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству {0, 1}. Если логические высказывания могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 1 или 0. Для булевых функций справедливы таблицы истинности и основные равносильности алгебры высказываний. Дополнительно вводятся операции: Х 1 | Х 2 = Х 1  Х 2 – штрих Шеффера и Х 1  Х 2 = Х 1  Х 2  стрелка Пирса. X1 X2 X1 X1  X2 X1X2 X1X2 X1 X2 Х 1 | Х 2 Х1  Х 2 11 0 1 1 1 1 0 0 10 0 0 1 0 0 1 0 01 1 0 1 1 0 1 0 00 1 0 0 1 1 1 1 Основные законы математической логики Название Закон относительно Закон относительно операции конъюнкции операции дизъюнкции Тавтология Коммутативность ххх ххх Ассоциативность х у  ух х уух Дистрибутив- (х  у)  z  x  (y  z) (х  у)  z  x  (y  z) ность x  (y  z)  (x  y)  (x  z) х  (у  z)  (x  y)  (x  z) Законы де Моргана х yx y x y  x y Законы x  (x  y)  x x  (x  y)  x поглощения х 1 х; х 00 х 11; х  0  х Операции с 0 и 1 xx  0 х  х 1 Закон дополнитель- (y  x)  (y  x)  y (y  x)  (y  x)  y ности x  (x  y)  x  y Закон склеивания х ух y xx Закон ортогонализации Закон импликации Инверсия 102

П р и м е р. Доказать с помощью таблиц истинности справед- ливость формул де Моргана x  y  x  y . x y x y x y x y xy 00 0 1 1 1 1 01 1 0 1 0 0 10 1 0 0 1 0 11 1 0 0 0 0 Закон справедлив, так как совпадают столбцы истинности для формул x  y и x  y . Формы представления булевых функций Пусть x 0  x, x1  x,  0,1. х х, если  1  – литера. x, если   0 Совершенные формы Формула Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)– f ( x1 , x2 ,..., xn )    n xi i  конъюнкция конституент нуля по всем наборам  Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – i1 дизъюнкция конституент единицы (1,2 ,...,n ) на которых f (1,2 ,...,n )0 f ( x1 , x2 ,..., xn )   n xi i  (по1в,с2ем,...н,аnбо)рам  i1 на которых f (1,2 ,...,n )1 Пример x y f (x, y)  x  y Элементарные Элементарные конъюнкции дизъюнкции 0 0 1 x0  y0  x y 01 0 x0  y1  x1  y0  x  y 10 0 x1  y0  x0  y1  x  y 11 0 x1  y1  x0  y0  x  y СДНФ: f (x, y)  x  y , СКНФ: f (x, y)  ( x  y )  ( x  y )  ( x  y ). 103

Раздел 22. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Случайные события и действия над ними Событие – явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Событие называется достоверным ( ), если оно обязательно произойдет в результате данного опыта. Событие называется невозможным (Ø), если оно заведомо не произойдет в результате данного опыта. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте. В противном случае события называются совместными. Полная группа событий ( ) – это совокупность единственно возможных событий испытания. Действия над событиями Название Определение Теоретико- операции множественная трактовка операций Сумма Событие C состоит в наступлении  C  A  B хотя бы одного из событий (или A , или B , или A и B вместе) AB Произве- Событие С состоит в совместном дение наступлении событий ( A и B  С C  A  B одновременно) A B Разность Событие С означает, что происходит  С C  A  B событие A , но не происходит A B событие B A Противо- Событие С происходит тогда и  положное только тогда, когда не происходит событие U событие A С=A A 104

Вероятность события 1) Классическое определение вероятности: Р(А)  m , n здесь m  число случаев, благоприятствующих событию A ; n  общее число равновозможных и попарно несовместных случаев. Следствия. 0  Р(А)  1; Р(Ø)=0; Р()  1, PA  1 PA . 2) Статистическое определение вероятности.   m – относительная частота события, где m  число случаев n наступления события (частота); n  общее число испытаний. Статистической вероятностью события A в данном испытании называют число Р( А), около которого колеблется относительная частота события A при достаточно большом числе испытаний. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теоремы сложения Теоремы умножения 1.Если A , B  несовместные события, 1.Условная вероятность PA(B) : то P( A  B)  P( A)  P(B) вероятность события B при 2. Если A , B  совместные события, то условии, что произошло событие P(A B)  P(A)  P(B)  P(AB) A 3. Если A1, A2 ,..., An образуют полную PA (B)  P( AB) P( A) группу событий, то 2. Если A , B – зависимые P( A1)  P( A2 )  ...  P( An )  1, 4. Если A1, A2 ,..., An – совместные события, то события, то P( AB)  P( A)  PA (B)  P(B)  PB ( A)  P( A1  ...  An )  1 P A1  ...  An  3. Если A , B – независимые события, то P( AB)  P( A)  P(B)  1 P( A1  A2 ... An ) Следствия из теорем сложения и умножения Формула полной вероятности n P(H1 )  PH1 ( A)  ... P(H n ) PH n ( A), P( A)   P(Hi )  PHi ( A)  i1 где H1, H 2 ,..., H n  гипотезы (попарно несовместные события, n образующие полную группу, т.е.  H i  , H i  H j  Ø i  j ). i 1 Формула Байеса PA (H i )  P(H i )  PHi ( A) P( A) 105

Последовательность независимых испытаний Pn (k ) вероятность появления события A k раз в n независимых испытаниях Точная формула Локальная формула Формула (формула Бернулли) Муавра–Лапласа Пуассона Условия применения формул n  невелико n  велико; np  10 n  велико; np  невелико Формула Pn (k )  1 x, npq Рn k   Сnk  рk  qnk , где x  1  x2 k k! где P( A)  p , 2 e 2 – e Pn (k )   , функция Гаусса, где q  1  p, значения которой Cnk  n! табулированы (прил. 1),   np k!n  k ! (x)  (x) , x  k  np npq Интегральная теорема Лапласа Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0< p <1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближённо равна P(k1, k2 )  Ф( x)  Ф(x), здесь Ф(x)  1 x z2  функция Лапласа, значения которой 2  e 2 dz 0 табулированы (прил. 2), Ф(x)  Ф(x) ; x  k1  np , x  k2  np . npq npq Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в схеме независимых испытаниях: P m  p     2Ф n ,   0.  n  pq 106

Формы закона распределения случайной величины Случайная величина (СВ) – величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее неизвестное. Дискретная случайная величина (ДСВ) принимает конечное или счетное множество значений, непрерывная случайная величина (НСВ) принимает значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Закон распределения СВ – любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий. СВ Форма закона распределения СВ ДСВ Ряд распределения Функция распределения НСВ x1 x2 … xn F x  PX  x,    x  . p1 p2 … pn Геометрическая интерпретация где pi  PX  xi ; n pi 1 X<x  i1 Плотность распределения Xx вероятностей f (x)  F (x) Свойства F(x) Свойства f(x): 1. F    0; 2. F    1; 1. Неотрицательность: f x  0 3. 0  F x  1,   x  ;  4. F x – неубывающая 2.Условие нормировки:  f xdx  1 функция, т.е.  x1, x2 : x1  x2  F x1   F x2  b 5. P(a  x  b)  F (b)  F (a) 3. P(a  x  b)   f (x)dx График F(x) для НСВ a F(x) 1 4. Связь с функцией распределения: x x График F(x) для ДСВ F (x)   f (x)dx.  f(x) F(x) P(a<x<b) F(x) 1 x ab x x1 x2 x3 x 107

Числовые характеристики случайной величины Числовые Дискретная Непрерывная характерис- случайная величина случайная величина тики n  Матема- MX   xi pi , MX   x  f xdx, тическое ожидание i 1  Дисперсия где pi  PX  xi  где f x– функция Среднее плотности квадратичес- DX  M X  MX 2 или DX  MX 2  MX 2 . кое откло- нение DX  n xi2 pi   n pi 2 DX   x dx    f xdx2     xi  x2 f  i 1 i 1      DX Свойства числовых характеристик Математическое ожидание Дисперсия 1. MC  C, где С – константа; 1. DC  0, где С – константа; 2. M CX   CMX ; 2. DCX   С 2 DX ; 3. M X  Y   MX  MY; 3. DX  Y   DX  DY для 4. M X Y   MX  MY  для независимых случайных величин. независимых случайных величин. Моменты случайных величин Моменты ДСВ НСВ Начальный момент k  M(X k ) порядка k  k   xik  pi k   x k f (x)dx Цент- ральный i  момент порядка k  k  M ( X  MX ) k , A  3 – коэффициент асимметрии 3 E   4  3– коэффициент эксцесса («островершинности») 4  k   (xi  MX ) k pi k   x  MX ) k f (x)dx i (  108

Основные законы распределения вероятностей Законы распределения дискретной случайной величины Закон Биномиальный Распределение Геометрическое Пуассона распределение Формула Pn (k)  q k 1 p , Pn (k)  C k pk q nk , Pn (k)  k  e , здесь k  1,2,... Числовые n k! характерис- MX  1 , DX  q где С nk  n! здесь   np p p2 стики k!(n  k)! MX  np , MX  a Наивероятнейшее MX   , число k0 DX   наступлений события: np  q  k0  np  p Законы распределения непрерывной случайной величины Закон Равномерный Нормальный Показательный N (a, ) – Обозна- Ra, b чение  1  (xa)2 0, x  0; Функция b  плот- x при x  a, b, f (x)  1 e 2 2 ности при f  a  2 ; f (x)   x , x  , e 0  0 x  a, b    x   , где   0 − пара- a ,  − параметры метр закона распре- закона распреде- деления ления f (x) f (x) f (x) 1 а  ba x a bx x 109

Окончание таблицы Интег-  0,    x  a, F (x)  0,5  Ф x a  F (x)   0, x  0, ральная    1  ex, x  функция F ( x)   x a , a  x  b, 0.  a b  x   Число- b x z2 F(x) вые  1, 1   e 2 dz харак- терис- F(x) Ф(x)  2 0 1 тики Вероят- 1  функция Лапласа, ность попа- значения которой x дания в интер- ab x табулированы вал (прил. 2) ,   MX  a  b , MX  a , MX  1 , 2 DX   2  DX  b  a2 DX  1 2 12 P(  X   )  P(  X   )  P(  X   )    b 1 dx     Ф   a   Ф   a    a b a       exdx  Вероятность того,   что абсолютная  ex    величина отклонения  ex  e x меньше положительного числа  : P X  a    2Ф      Правило трех сигм P X  a  3   0,997 Закон больших чисел 1) Неравенство Чебышева: P X  MX    1  DX . 2 2) Теорема Чебышева. Если X1, X 2 ,..., X n − последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С  DX i  C, i  ____  , то 1, n   0  lim  1 n  1 n i     1. n n n  Xi  MX  i1 i 1 110

Раздел 23. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Выборки X − некоторая случайная величина. Совокупность результатов n измерений x1, x2,..., xn случайной величины X называют выборкой, а случайную величину X − генеральной совокупностью. Разобьем действительную ось на конечное число промежутков 1, 2 ,...,k . Подсчитаем число ni − выборочных значений, лежащих k в промежутке i , (1  i  k ) .  ni  n , где n − объем выборки. i 1 Статистический ряд распределения 1 2 … k x1 x2 … xk n1 n2 … nk ni Графическое изображение интерваль- n ного статистического ряда называют гистограммой. Эмпирическая функция распределения: F(x)  nx , где nx − число выборочных n xi xi1 x значений, меньших x ; n − объем выборки. Статистические оценки параметров распределения Точечные оценки основных параметров распределения Выборочная точечная оценка Сгруппированная выборка Оцениваемый x1 x2 … xk параметр Простая выборка n1 n2 … nk генеральной ni − число выборочных совокупности x1, x2 ,..., xn , где n − объем выборки значений признака xi , k n − объем выборки  ni i 1 101

Окончание таблицы Генеральная Средняя арифметическая x средняя или математическое x  1 n x  1 k ожидание MX=a n n Генеральная  xi  xini дисперсия  2 i 1 i 1 (математическое Выборочная дисперсия S 2 ожидание a известно) S2  1 n  xi  a2 S2  1 k xi  a2 ni n n Генеральная   дисперсия  2 i 1 i 1 (математическое  S 2  1 n xi  x 2  S 21 k xi  x 2ni ожидание n n неизвестно)   Генеральное i 1 i 1 среднее Исправленная выборочная дисперсия S 2 квадратическое S2  n S2 отклонение  n1 Выборочное среднее квадратическое отклонение S S  S2 Метод моментов нахождения точечных оценок параметров распределения Идея метода – приравнивание теоретических моментов распреде- ления соответствующим эмпирическим моментам, найденным по вы- борке, т. е.  k    , k    . Имеем: 1  MX ,  2  DX . k k Предполагаемый X ~ Na,  X ~ Ra, b Показательный закон закон распределения MX  1  x  MX  a  b  x, 2 1 Метод моментов MX  x, x   DX  S2 DX  (b  a)2  S2 12 Оценки a  x, a  x  3 S 2 , параметров    2  S2 b  x  3S2 102

Интервальные оценки Доверительный интервал – это интервал, который с заданной доверительной вероятностью  (надежностью) покрывает оцениваемый параметр. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения Оцениваемый Допол- Интервальная оценка параметра параметр нительные условия Генеральная  x  t  , x  t   , средняя или n n математическое 2 ожидание где t − из равенства Фt    по таблице MX=a известно 2 функции Лапласа (прил. 2) 2  x  t S , x  t S  ,  n n неизвестно где t находят по таблице t − распределения Стьюдента (прил. 3) для заданных n и  Генеральная  nS n S  , , 1 дисперсия  2 a известно 2 n  30 где 12   2  ,  2   2 − квантили 2- 1 2 1  ,n , n 22 распределения с n степенями свободы (прил. 4)  n1S , n 1  S  ,  2 1  a неизвестно где 12   2  ,  2   2  − квантили 1 2 1 ,n 1 ,n 1 22  2 - распределения с n степенями свободы (прил. 4) Проверка статистических гипотез о законе распределения генеральной совокупности Статистическая гипотеза – это любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах. 103

Проверить статистическую гипотезу – значит проверить, согласуются ли выборочные данные с выдвинутой гипотезой. При этом возможны следующие ошибки: 1) ошибка первого рода – отвергнуть верную гипотезу; 2) ошибка второго рода – принять неверную гипотезу. Уровень значимости  – вероятность совершения ошибки первого рода. Чем меньше уровень значимости (обычно полагают равным 0,05; 0,01 и т.д.), тем меньше вероятность совершить ошибку первого рода. Метод проверки гипотезы с помощью критерия Пирсона  2 1. Определить меру расхождения между теоретическим и  выборочным k npi* 2  npi распределениями по формуле 2   , i1 npi где pi*  ni – относительная частота; pi − вероятность попадания n возможных значений случайной величины в промежуток i . Для вычисления вероятностей pi используют следующие формулы: а) pi  Pxi  X  xi 1   xi1 ~xi dx , где ~x i  xi  xi1 ; f 2 xi б) в случае гипотезы о нормальном распределении pi  Pxi  X  xi1    xi1  x    xi  x  ; S S в) приближенная формула pi  f ~xi i . 2. Определить число степеней свободы r  k  l 1, где k − число интервалов; l − число параметров распределения. Например, если X ~ Na, , то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), следовательно, число степеней свободы r  k  3 . 3. Выбрать уровень значимости   1  . По таблице распределения  2 (прил.4) по уровню значимости и числу степеней свободы r найти 2,r . 4. Если  2  2,r , то гипотеза отвергается; если  2  2,r , то с вероятностью p  1  гипотеза 2,r принимается. 104

ЛИТЕРАТУРА 1. Алиев И.И. Краткий справочник по высшей математике / И.И. Алиев. – М.: ИП РадиоСОФТ, 2006. 2. Алимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы / О.Е. Алимов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. 3. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1986. 4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель, 2003. 5. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель, 2006. 6. Галушкина Ю.И. Конспект лекций по дискретной математике / Ю.И. Галушкина. – М.: Айрис-пресс, 2007. 7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – М.: Высш. шк., 2000. 8. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974. 9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. для втузов / Н.С. Пискунов. В 2-х т. Т. I: Интеграл-Пресс, 2002. 10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. для втузов / Н.С. Пискунов. В 2-х т. Т. II: Интеграл-Пресс, 2002. 11. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2005. 12. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2008. 13. Цикунов А.Е. Сборник математических формул / А.Е. Цикунов. – СПб.: Питер, 2006. 14. Цыпкин А.Г. Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ / А.Г. Цыпкин, Г.Г. Цыпкин. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. 101

Предметный указатель А Векторная линия поля 93 – трубка 93 Абсолютная величина числа 45 –функция скалярного аргумента 62 Абсолютная сходимость ряда 106 Вероятность классическая 124 Аддитивность по области − статистическая 124 интегрирования 76,82,89 − попадания в интервал 126 − по функции 76, 82,89, − условная 124 Алгебраическая форма комплексного Вершины графа связные 126 числа 68 – инцидентные 126 Алгебраическое дополнение 17 Взаимное расположение плоскостей Антирефлексивность 115 39 Аппроксимация 101 −прямой и плоскости 42 Аргумент комплексного числа 67 − прямых в пространстве 41 Арифметическая прогрессия 9 − прямых на плоскости 32 Архимедова спираль 35 Вогнутая кривая 59 Асимптота вертикальная 57 Возрастающая функция 58 − гиперболы 34 Волновое уравнение 111 − горизонтальная 57 Выборки 130 − наклонная 57 Выборочная дисперсия 131 Астроида 35 Вычисление объемов тел 16, 79 – площадей поверхностей 16, 79 Б – площадей фигур 14, 78, 79, 83 Базис ортонормированный 25 Выборочное среднее квадратическое Байеса формула 124 отклонение 131 Бесконечно малые (большие) Выпуклая кривая 59 величины 51 ,52 Высказывание 120 Бинарные отношения 114 Вычисление определителей 17 Биномиальное распределение 128 Булева функция 121 Г Гамильтонов путь 118 В – цикл 118 Векторное произведение 28 Гармонический ряд 106 Вектор геометрический 25 Генеральная дисперсия 131 – нормали − совокупность 130 – – к прямой 31 − среднее квадратическое – – к плоскости 37 отклонение 127 – противоположный 25 Геометрическая прогрессия 9 – скорости 62 Геометрические приложения – ускорения 62 определенного интеграла 78, 79 Векторы равные 25 Геометрический смысл – сонаправленные (противоположно производной 54 направленные) 25 – коллинеарные 25 – компланарные 25 102

Геометрическое распределение 128 − генеральная 132 Гипербола 34 − исправленная выборочная 131 Гиперболоид двуполостный 43 – случайной величины 127 −однополостный 43 Дифференциал приближенных Гиперболический параболоид 44 вычислениях 56 − тип уравнения 111 − функции 56 − цилиндр 44 Дифференцирование вектор- Гипотеза статистическая 132 функции 62 Гистограмма 130 – логарифмическое 56 Годограф 62 − неявной функции 56 Градиент 92 − обратной функции 54 Граничные условия 111, 112 − показательно-степенной функции Граф гамильтонов 1ё18 56 – дерево 117 − сложной функции 54 – лес 117 − степенного ряда 107 –ориентированный 117 Дифференцируемая функция 56 –планарный 116 Дифференциальные уравнения в – полный 117 Полных дифференциалах 97 –связный 117 – допускающие понижение порядка – эйлеров 118 98 График функции, приемы – линейные однородные 97 построения 47, 50 Длина вектора 25 – дуги кривой 79 Д Доверительный интервал 132 Даламбера признак 105 Дополнение алгебраическое 17 Двойной интеграл 81 – графа 118 Двуполостный гиперболоид 43 – множества 113 Действия над матрицами 19 Достаточные признаки сходимости − над событиями 123 знакоположительных рядов 105 − с дробями 7 − условия существования точки − со степенями и корнями 8 перегиба 60 Декартова система координат – – точки экстремума 59 н плоскости 29 Достоверное событие 123 – в пространстве 36 Дробь рациональная Деление отрезка в данном Неправильная 72 отношении 30 − правильная 72 Десятичный логарифм 8 − простейшая 72 Действия над матрицами 19 – со степенями и корнями 8 Е Дивергенция 93 Единичный вектор 25 Диагональная матрица 18 Единичная матрица 18 Диаграмма Венна 113 Дизъюнкция для высказывания 120 З Директриса параболы 34 Задача Дирихле для круга 112 Дисперсия выборочная 131 102

– Коши для дифференциального Интегрирование биноминальных уравнения 96 выражений 75 Закон больших чисел 129 − иррациональных функций 75 Законы математической логики 121 − непосредственное 71 – распределения − неравенств 76 дискретной случайной величины − подстановкой 71 – – биномиальный 128 − по частям 71 – – геометрическое распределение − рациональных дробей 72 128 − тригонометрических функций 74 – – распределение Пуассона 128 Интервал доверительный 132 − непрерывной случайной величины Интерполяция 101 – – нормальный 129 Инцидентность 116 – – равномерный 129 Исправленная выборочная дисперсия – –показательный 131 (экспоненциальный) 129 Исследование функций с помощью Замечательные пределы 51 производной 57 Знакопеременный ряд 104 Источник 117 Знакоположительный ряд 104 Знакочередующийся ряд К Знаменатель геометрической Канонические уравнения гиперболы прогрессии 9 34 Значение функции наибольшее 66 − окружности 33 – наименьшее 66 − параболы 34 − прямой 40 И − эллипса 33 Изоморфные графы 116 Кардиоида 35 Импликация 120 Касательная к графику функции 54 Инвариантность формы – плосоксть к поверхности 65 дифференциала 56 Квадратное уравнение 7 –формулы интегрирования 70 Квадратный трехчлен 7 Интеграл двойной 81 Коллинеарные векторы 25 – кратный 83 – условие коллинеарности 28 – криволинейный I рода 85 Компланарные векторы 25 – II рода 88 – условие компланарности 28 – – по замкнутому контуру 88 Комплексное число 67 – неопределенный 70 – алгебраическая форма 67 − несобственный 77 – аргумент 67 − определенный 76 – геометрическое изображение 76 – поверхностный I рода 85 – действия 68 – II рода 88 – комплексно-сопряженное число 67 – – по замкнутому контуру 88 – модуль 68 − табличный 70 – показательная форма 68 – тройной 81 – тригонометрическая форма 68 Интегральный признак сходимости Конус 43 ряда 105 Конъюнкция для высказывания 120 103

Координаты вектора 26 Логарифм 8 – декартовы (прямоугольные) 29 Логарифмическая спираль 35 – полярные 29 – производная 56 – сферические 36 – функция, график 48 – середины отрезка 30 Лопиталя правило 56 – точки 29 – – деления отрезка в данном М отношении 30 Маклорена ряд 107,108 – – пересечения двух прямых 32 Максимум функции одной –– центра тяжести треугольника 30 переменной 58 – цилиндрические 36 – двух переменных 66 Косинус 10, 48 Маршрут 116 Котангенс 49 – длина маршрута 116 Коэффициент асимметрии 127 – замкнутый 116 − угловой 31 Математическое ожидание 127 − эксцесса 127 Матрица верхняя (нижняя) Коэффициенты ряда Фурье 109 треугольная 18 − степенного ряда 101 − диагональная 18 Кривизна 65 − единичная 18 Криволинейные интегралы I рода 85 − квадратная 18 – II рода 88 − коэффициентов системы 20 Кривые второго порядка 33, 34 − невырожденная 21 Критерий Пирсона 133 − нулевая 18 – непрерывности 53 − обратная 21 − существования − расширенная 23 – – производной 54 − симметрическая 18 – эйлерова пути 118 –графа – эелерова цикла 118 – – смежности 119 Критические точки 58 – – инцидентности 119 Круг 15 − транспонированная 19 Круговое кольцо 15 Матрица-столбец 20 Круговой сектор 15 Матрица-строка 20 Кручение 63 Матрицы сумма 19 – разность 19 Л – произведение на число 19 Левая производная 54 – умножение 19 Тройка векторов 25 Матричное уравнение 20, 22 Лейбница признак сходимости 106 Матричный способ решения систем Лемниската Бернулли 35 уравнений 22 Линейная комбинация векторов 25 Метод (исключения) Гаусса 23 Линейное дифференциальное − координат 30 уравнение − моментов 131 Первого порядка 97 − наименьших квадратов 101 – второго порядка 98 − неопределенных коэффициентов Литера 122 73 104

− половинного деления 102 О − проверки гипотезы 133 Область сходимости степенного ряда – разделения переменных 97 107 − хорд 102 Обратные тригонометрические Методы решения уравнения f (x) 0 функции, графики 49 Общее решение системы линейных 102 алгебраических уравнений 20 − Рунге-Кутта 103 – дифференциального линейного − численные 103 уравнения 98,99 Механический смысл производной Объединение графов 118 54 Объем тела 16 Минор 17 – вращения 79 Мнимая единица 67 Однополостный гиперболоид 43 – ось 67 Однородное дифференциальное – часть комплексного числа 67 уравнение 97,98 Многочлен 72 Однородная система алгебраических Множество значений аргумента 67 уравнений 21 – чисел натуральных 45 Окружность 30 – – действительных 45 Операции над векторами 27 – – целых 45 – высказываниями 120 – – рациональных 45 – графами 118 Моменты статические 82 – комплексными числами 68 – инерции 82 – множествами 113 –случайных величин 127 Определенный интеграл 76 Монотонная функция 58 Определитель 17 Модуль числа 45 Орт вектора 25 – вектора 25 Ортогональная проекция вектора на – комплексного числа 67 ось 26 Муавра формула 125 Ортогональность векторов 28 Основное тригонометрическое Н тождество Направляющие косинусы вектора 26 Остаток ряда Тейлора 108 Натуральный логарифм 8 Отклонение среднее квадратическое Невозможное событие 124 127 Невырожденная система уравнений Отношение бинарное 114 21 Отображение, график 45 Неоднородное дифференциальное – обратное 46 уравнение 97, 98 Отрицание для высказывания 120 Неопределенности 51,52 Оценки параметров распределения Неопределенный интеграл 70 интервальные 132 Непрерывность функции 53 – точечные 131 Неравенство Чебышева 129 П Несобственные интегралы 77 Парабола 34 Несовместные события 123 Параболический цилиндр 44 Неявная функция 56 Нормальное распределение 128,129 105

Параболоид гиперболический 44 Полярная система координат 29 − эллиптический 44 Последовательность независимых Параллелепипед прямоугольный 16 испытаний 125 Параллельные плоскости 39 Правая производная 54 − прямая и плоскость 42 – тройка векторов 25 − прямые на плоскости 32 Правила дифференцирования 54 – – в пространстве 41 Правило треугольника сложения Параметр распределения 128 векторов 27 Параметрические уравнения – Лопиталя 56 окружности 33 −разложения рациональной дроби − прямой в пространстве 40 73 − эллипса 33 – сложения вероятностей 124 Первообразная 70 − треугольников вычисления Пересечение графов 118 определителя 17 – плоскостей 39 – трех сигм 129 − плоскости с прямой 42 – умножения вероятностей 124 − прямых в пространстве 41 Правила комбинаторики 115 − прямых на плоскости 32 – построения графиков функций 50 Перестановки 115 Правильная дробно-рациональная Периодическая функция 46 функция 72 Перпендикулярность плоскостей 39 Предел функции 51 − плоскости с прямой 42 – слева (справа) 51 − прямых в пространстве 41 – первый замечательный 51 – – на плоскости 32 – второй замечательный 51 Пирсона критерий 133 Пределы интегрирования 76 Плоскость 37 Признак сходимости Даламбера 105 Плотность распределения 126 − интегральный 105 Площадь плоской области 78 − Коши (радикальный) 105 − поверхности 16 − Лейбница 106 − тела вращения 79 − необходимый 106 − фигур 14 − сравнения рядов 106 – –в полярных координатах 79 Приращение функции 56 Поверхность второго порядка 43,44 Прогрессия арифметическая 9 Поверхностные интегралы I рода 85 − геометрическая 9 – II рода 88 Проекция вектора 26 Подстановки Эйлера 75 Произведение векторов 28 Показательное распределение 128 – матриц 19 Поле векторное 93 – событий 123 – скалярное 92 Производная вектор-функции 62 – соленоидальное 95 − интеграла по переменному – потенциальное 95 верхнему пределу 76 – гармоническое 95 − левая (правая) 54 Полный дифференциал 65 − логарифмическая 56 Поток векторного поля 93 – геометрический смысл 54 Полярные координаты 29 − механический смысл 54 106

− обратной функции 54 Расходящийся несобственный − по направлению 92 интеграл 77 − сложной функции 54 − ряд 104 − таблица 55 Расширенная матрица − частная 64 коэффициентов 23 Пропорции 7 Репер Френе 62 Процент 9 Рефлексивность 115 Полная группа событий 123 Ромб 15 Простейшая рациональная дробь 72 Ротор 94 Прямая в пространстве 40 Ряд 104 − на плоскости 31 – абсолютно сходящийся 106 Пуассона распределение 128 − гармонический 106 − геометрической прогрессии 106 Р − знакоположительный 104 Равномерное распределение 128 − знакопеременный 104 Радиан 10 − знакочередующийся 104 Радиус сходимости 107 − Маклорена 107 – кривизны 63 − распределения 162 Разложение в ряд Маклорена 108 − распределения статистический 130 – вектора по базису 26 − расходящийся 104 − на простейшие дроби 73 − степенной 107 – квадратного трехчлена 7 − сходящийся 104 Размещения 115 − Тейлора 107 − определителя по элементам строки − условно сходящийся 106 17 − Фурье 109 Разностная схема Эйлера 103 − числовой 104 Разность арифметической прогрессии 9 С – векторов 27 Свойства – событий 123 –бинарных отношений 115 – комплексных чисел 68 – – антирефлексивность 115 Разрыв функции 53 – – рефлексивность 115 – бесконечный 53 – – симметричность 115 – конечный (скачок) 53 – – транзитивность 115 – 1-го и 2-го рода 53 – числовых характеристик – устранимый 53 случайных величин 127 Распределение биноминальное128 Сдвиг и деформация графика 50 − геометрическое 128 Синусоида, график 48 − нормальное 128,129 Система линейных алгебраических − Пуассона 128 уравнений 20,21 − равномерное 128,129 – определенная (неопределенная) 21 − показательное 128, 129 – совместная (несовместная) 21 Расстояние между двумя точками 30 − координат 29 − от точки до плоскости 39 – – декартова 29 − от точки до прямой 32 – – полярная 29 107

– – сферическая 36 Степень входа (выхода) вершины – – цилиндрическая 36 117 Скалярное поле 92 Стирлинга формула 106 Скалярное произведение 28 Сток 117 Скачок функции 53 Стрелка Пирса 121 Скрещивание прямых 41 Сумма событий 123 Сложение и вычитание векторов 25 – векторов 27 – матриц 19 – комплексных чисел 68 Сложная функция 54 – матриц 19 Случайная величина дискретная 126 Сфера 16 − непрерывная 126 Сферические координаты 36 Смежные вершины графа 116 Схема вычисления определителя 17 Смешанное произведение векторов – Эйлера разностная 103 28 Сходимость несобственного Собственные значения матрицы 24 интеграла 77 Собственный вектор матрицы 24 − ряда степенного 108 Событие достоверное 123 – – числового 104 − невозможное 123 – – Фурье 109 − противоположное 123 События несовместные (совместные) Т 123 Таблица интегралов 70 − полная группа 123 – истинности для высказывания 120 Совершенная дизъюнктивная − производных 55 нормальная форма 122 Тангенсоида, график 49 – конъюнктивная нормальная форма Тейлора ряд 107 122 Теорема Виета 7 Соленоидальное поле 95 – Дирихле 109 Сопряженные гиперболы 34 − Лапласа (интегральная) 125 Сочетания 115 − существования определенного – с повторением 115 интеграла 76 Спираль Архимеда 35 – основная алгебры 68 − логарифмическая 35 − Чебышева 129 Средняя арифметическая 131 Теоремы сложения и умножения Среднее арифметическое 9 вероятностей 124 − гармоническое 9 – о структуре решения линейного − геометрическое 9 дифференциального уравнения 98,99 − квадратическое отклонение 127 Точка перегиба 59 Статистическая гипотеза 132 − пересечения прямой с плоскостью Статистический ряд распределения 42 130 − разрыва функции 53 Статистические оценки параметров Транзитивность 115 распределения 130 Транспонированная матрица 18 Степенная функция, график 47 Трапеция 14 Степенной ряд 107 Треугольник произвольный 14 – прямоугольный 14 108

Трехлепестковая роза 35 – – одной переменной 60 Тригонометрические подстановки 75 – – двух переменных 66 – тождества 12 – нормировки 126 – функции 10,11 − параллельности плоскостей 39 – – их знаки 10 − − прямой и плоскости 42 – – их значения 11 − − прямых на плоскости 32 Тригонометрический ряд 109 Условия Грина 89 Тройной интеграл 81 – сходимости ряда Фурье 109 – достаточные существования У – – эйлерова пути 118 Убывающая функция 46 – – эйлерова цикла 118 Угловой коэффициент 31 Условная сходимость ряда 106 Угол между векторами 28 − между плоскостями 39 Ф − между прямой и плоскостью 42 Факториал 106 − между прямыми 41 Фокус параболы 34 Умножение вектора на число 27 Фокусы гиперболы 34 – матриц 19 − эллипса 33 – матрицы на число 19 Формула Байеса 124 Уравнение дифференциальное − Бернулли 125 Бернулли 97 – Грина 89 – допускающее понижение порядка – для приближенных вычислений с 98 помощью дифференциала 56,65 – волновое 111 − Муавра-Лапласа 125 – векторное прямой 40 − Ньютона-Лейбница 77 – касательной к кривой 54 – Остроградского-Гаусса 89,93 – касательной плоскости 65 − полной вероятности 124 − квадратное 7 − Пуассона 125 − Лапласа 112 − Стирлинга 106 – нормали 65 – Стокса 89,95 − прямой в пространстве 40 Формулы дифференцирования 55 − прямой на плоскости 31 − сокращенного умножения 8 − плоскости 37 – комбинаторики 115 − теплопроводности 117 − Крамера 22 – характеристическое для – приведения 13 дифференциального уравнения 99 Формы представления булевых – – для матрицы 24 функций совершенная Уравнения математической физики конъюнктивная 122 111,112 – совершенная дизъюнктивная 122 Уровень значимости 134 Функция булева 121 Условие максимума и минимума – бесконечно большая 51 – достаточное 60 – – малая 51 – одной переменной 60 – векторная скалярного аргумента 62 – – двух переменных 66 – вогнутая (выпуклая) 59 − необходимое − возрастающая (убывающая) 58 109

− дробно-рациональная 48 Частные приращения 64 − иррациональная 75 Частота события 124 – линейная 47 Чебышева неравенство 129 – логарифмическая 48 − теорема 129 − монотонная 46 Числа действительные 45 − нескольких переменных 64 – комплексные 67 – обратная 46 – рациональные 45 − обозначение 45 – целые 45 – ограниченная 46 Численные методы 101,102 – показательная 48 Числовой ряд 104 – показательно-степенная 52 Числовые характеристика случайной – распределения 126 величины 127 – степенная, графики 47 Число комплексное 67 – тригонометрические 48 – е 8,51 – обратные к тригонометрическим 49 − четная (нечетная) 46 Ш – элементарная 53 Шар 16 Штрих Шеффера 121 Х Характеристики числовые Э пространственной кривой 63 Эвольвента 63 – скалярного поля 92 Эволюта 63 – случайной величины 127 Эйлер подстановки 75 Характеристическое уравнение для Эйлер разностная схема 103 матрицы 24 Эквиваленция для высказывания 120 – для линейного дифференциального Эквивалентные бесконечно малые уравнения 99 функции 52 Экстремум функции 58 Ц Эксцентриситет гиперболы 34 Цепь простая 116 − эллипса 33 Цент кривизны 63 Элементарная диэъюнкция 120 Циклоида 35 – конъюнкция 120 Цилиндр гиперболический 44 – функция 53 – параболический 44 Элементарные (простейшие) дроби − эллиптический 44 72 Цилиндрические координаты 36 – преобразования матрицы 19 Цилиндрическая система координат Эллипс 33 36 Эллипсоид Циркуляция векторного поля 94 Эллиптический параболоид 44 − цилиндр 44 Ч Эмпирическая функция Частичная сумма ряда 104 распределения 130 Частная производная 64 Эйлеров путь 118 – цикл 118 110

ПРИЛОЖЕНИЯ 1  x2 Приложение 1. Значения функции (x)  2 e2 x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,0 0,3989 3989 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 3894 3885 3876 3867 3856 3847 3836 3825 0,1 3970 3965 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3696 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,2 3910 3902 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,3 3814 3802 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,4 3683 3668 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 2372 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 0,5 3521 3503 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 0,6 3332 3312 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 0,7 3123 3101 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 0,8 2897 2874 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 0,9 2661 2637 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 1,0 0,2420 2396 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 1,1 2179 2155 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 1,2 1942 1919 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0081 1,3 1714 1691 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0061 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0046 1,4 1497 1476 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0034 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0025 1,5 1295 1276 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0018 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0013 1,6 1109 1092 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0009 0012 0011 00111 0010 0010 0010 0009 0006 1,7 0940 0925 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 1,8 0790 0775 1,9 0656 0644 2,0 0,0540 0529 2,1 0440 0431 2,2 0355 0347 2,3 0283 0277 2,4 0224 0219 2,5 0175 0171 2,6 0136 0132 2,7 0104 0101 2,8 0079 0077 2,9 0060 0058 3,0 0,00447 0043 3,1 0033 0032 3,2 0024 0023 3,3 0017 0017 3,4 0012 0012 3,5 0009 0008 4,0 0001 101

Приложение 2. Интеграл вероятностей Фx  1 x z2   e 2 dz 2 0 x01 2 3 4 5 6 7 89 0,0 0,00000 00399 00798 01197 01595 01994 02392 02790 03188 03586 0,1 03983 04380 04776 05172 05567 05962 06356 06749 07142 07535 0,2 07926 08317 08706 09095 09483 09871 10257 10642 11026 11409 0,3 11791 12172 12552 12930 13307 13683 14058 14431 14803 15173 0,4 15542 15910 16276 16640 17003 17364 17724 18082 18439 18793 0,5 19146 19497 19847 20194 20540 20884 21226 21566 21904 22240 0,6 22575 22907 23237 23565 23891 24215 24537 24857 25175 25490 0,7 25804 26115 26424 26730 27035 27337 27637 27935 28230 28524 0,8 28814 29103 29389 29673 29955 30234 30511 30785 31057 31327 0,9 31594 31859 32121 32381 32639 32894 33147 33398 33646 33891 1,0 34134 34375 34614 34850 35083 35314 35543 35769 35993 36214 1,1 36433 36650 36864 37076 37286 37493 37698 37900 38100 38298 1,2 38493 38686 38877 39065 39251 39435 39617 39796 39973 40147 1,3 40320 40490 40658 40824 40988 41149 41308 41466 41621 41774 1,4 41924 42073 42220 42364 42507 42647 42786 42922 43056 43189 1,5 43319 43448 43574 43699 43822 43943 44062 44179 44295 44408 1,6 44520 44630 44738 44845 44950 45053 45154 45254 45352 45449 1,7 45543 45637 45728 45818 45907 45994 46080 446164 46246 46327 1,8 46407 46485 46562 46638 46712 46784 46856 46926 46995 47062 1,9 47128 47193 47257 47320 47381 47441 47500 47558 47615 47670 2,0 47725 47778 47831 47882 47932 47982 48030 48077 48124 48169 2,1 48214 48257 48300 48341 48382 48422 48461 48500 48537 48574 2,2 48610 48645 48679 48713 48745 48778 48809 48840 48870 48899 2,3 48928 48956 48983 49010 49036 49061 49086 49111 49134 49158 2,4 49180 49202 49224 49245 49266 49286 49305 49324 49343 49361 2,5 49379 49396 49413 49430 49446 49461 49477 49492 49506 49520 2,6 49534 49537 49560 49573 49585 49589 49609 49621 49632 49643 2,7 49653 49664 49674 49683 49693 49702 49711 49720 49728 49736 2,8 49744 49752 49760 49767 49774 49781 49788 49795 49801 49807 2,9 49813 49819 49825 49831 49836 49741 49846 49851 49856 49861 3,0 49865 3,5 4997674 4,0 4999683 4,5 4999966 5,0 4999973 102

Приложение 3. Квантили t − распределения Стьюдента ( k − число степеней свободы) k Уровень значимости  0,001 0,10 (двухсторонняя критическая область) 637,0 0,05 0,02 0,01 0,002 31,6 1 6,31 12,7 31,82 63,7 318,3 12,9 2 2,92 4,30 6,97 9,92 22,33 8,61 3 2,35 3,18 4,54 5,84 10,22 6,86 4 2,13 2,78 3,75 4,60 7,17 5,96 5 2,01 2,57 3,37 4,03 5,89 5,40 6 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,04 7 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79 3,78 8 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 4,59 9 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30 4,44 10 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,32 11 1,80 2,20 2,72 3,11 4,03 4,22 12 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93 4,14 13 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,07 14 1,76 2,14 2,62 2,98 3,79 4,01 15 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 3,96 16 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 3,92 17 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,88 18 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 3,85 19 1,73 2,09 2,54 2,876 3,58 3,82 20 1,73 2,09 2,53 2,85 3,55 3,79 21 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,77 22 1,72 2,07 2,51 2,82 3,51 3,74 23 1,71 2,07 2,50 2,81 3,49 3,72 24 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47 3,71 25 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,69 26 1,71 2,05 2,48 2,78 3,44 3,66 27 1,71 2,05 2,47 2,77 3,42 3,66 28 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,65 29 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,55 30 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,46 40 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31 3,37 60 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23 3,29 120 1,66 1,98 2,36 2,62 3,17  1,64 1,96 2,33 2,58 3,09 103