mablits math

Предел функции Число А есть y  f (x) функции A  Y предел A 2 A  lim f (x)  xx0 f (x) в точке x0 A    X x0   x0 x0     0   () x  x0 : x  x0   f (x)  A  . 0 A  lim f (x) ( A  lim f (x)) – левый (правый) предел x x0 0 xx0 0 функции f (x) в точке x0    0    ( )  0 x  x0 : x0    x  x0 ( x0  x  x0   )  f (x)  A   . Правила вычисления пределов Операции над пределами Замечательные пределы lim (cf (x))  c lim f (x) , где с=сonst Первый замечательный предел: x  x0 xx0 lim sin x  lim x  1 lim ( f (x)  g(x))  lim f (x)  lim g(x) x0 x x0 sin x x x0 x x0 xx0 lim ( f (x)g(x))  lim f (x) lim g(x) Второй замечательный предел: x x0 x  x0 x  x0 1 lim f (x)  lim f (x) lim g(x)  0 lim (1  x) x  e (1 форма); x  x0 , где x0 xx0 g(x) lim g(x) x x0 lim 1 1  x  e (2 форма). xx0 x x   (x) – бесконечно малая функция в точке x  x0 , если lim  (x)  0 ; g(x) – бесконечно большая функция в точке x  x0 , если x  x0 lim g(x)  () . Тогда 1  g(x) ( 1   ), 1   (x) ( 1  0 ). x x0  (x) 0 g(x)  Виды определенностей Виды неопределенностей 31

1  0; 1  ; с  ; с  0; 0  0  0; 0 ;  ; 0  ;   ; 0 0  0 0  0; 0  0;     ;    1 ; 00 ;  0 0  (x) и  (x) – эквивалентные бесконечно малые ( ~  ) при x  x0  lim   1. xx0  Основные эквивалентности при x  0: sin x ~ x ; tgx ~ x ; arcsin x ~ x ; arctg x ~ x ; a x  1 ~ x ln a ; ln(1  x) ~ x ; 1  x  1 ~ x . 2 Неоп- Вид функции f (x) реде- Рекомендации лен- к раскрытию неопределенностей ность f ( x )  Pn  Разделить числитель и знаменатель на Qm высшую степень х. a 0  a1 x  ...  a n x n  0, если n  m; b0  b1 x  ...  bm x m bamn   lim Pn (x)  , если n  m; Qm (x) x  , если n  m f (x) содержит ирра- 0 lim a0  a1x  ...  an x n . циональности: 0 xx0 b0  b1 x  ...  bm x m 1-й случай: f (x)  u1(x)  u2 (x) ; 0, Сократить дробь на разность (x  x0 ) 2-й случай: 0 1-й случай. Умножить и разделить f (x)  3 u1(x)  3 u2 (x)  функцию на сопряженное иррациональное выражение u1(x)  u2 (x) и восполь- зоваться формулой (а  b)(a  b)  a 2  b 2 . 2-й случай. Умножить и разделить функцию на неполный квадрат разности (суммы) и воспользоваться формулами сокращен- ного умножения (a  b)(a2  ab  b2 )  a3  b3 f (x) содержит тригоно- 0 Воспользоваться первым замечательным 0 пределом или эквивалентностями метрические функции и  обратные к ним функции Привести дроби к общему знаменателю 0 f (x) содержит разность Убрать один из множителей в алгебраических дробей знаменатель как обратную величину: f (x) содержит произве- 0       или 0    0 0 дение бесконечно малой  функции на бесконечно 1/ 0  1/ 0 большую функцию 32

f (x)  g(x)(x) – 1 Воспользоваться одной из форм второго замечательного предела показательно-степенная функция 00 Воспользоваться основным логариф- 0 мическим тождеством В  eln B Непрерывность функции Первое определение. Функция y  f (x) непрерывна в точке x0 , если  lim f (x) : lim f (x)  f (x0). x  x0 x x0 Функция y  f (x) непрерывна в точке x0 слева (справа), если lim f (x)  f ( x 0 ) ( lim f (x)  f (x0 ) ). x  x00 x x00 Критерий непрерывности. Функция y  f (x) непрерывна в точке x0  lim f (x)  f (x0)  lim f (x) . x  x00 x x0 0 Второе определение. Функция y  f (x) непрерывна в точке x0 , если lim y  lim ( f (x  x)  f (x))  0 . x0 x0 Устранимый Типы разрывов в точке х0 2 род 1род Бесконечный Неустранимый Y Y B X Y  X Асимптота  x0 По крайней мере, один X из односторонних пре- A A делов в точке x  x0 x0 ( lim f (x) ) не сущест-  lim f (x)  A ,  lim f (x)  A , x x0 xx0 0 xx0 0 однако А  f (x0 ) .  lim f (x)  B , вует или бесконечен В частности, функция xx0 0 может быть не определена в точке х0 AB.  AB – величина скачка функции 33

Всякая элементарная функция (т.е. составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, деления, умножения и операции взятия функции от функции) непрерывна в каждой точке, в которой она определена 34

Раздел 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной yx0   lim y  lim f (x0  x)  f (x0 ) x0 x x x0 y x0   f ( x 0  0)  lim y – правая производная x x00 y x0   f ( x 0  0)  lim y – левая производная x x00 Критерий  производной: y(x0 )  A  y (x0 )  y (x0 )  A. Геометрический смысл y0 y y  f (x) производной: yx0   tg . y  y0  yx0 x  x0  − уравнение касательной к графику функции  x y  f x в точке M x0, y0 . x0 Механический смысл производ- ной: st  vt, vt  at, где st  −пройденный путь; vt − скорость; at − ускорение. Основные правила дифференцирования 1) С  0, С  cons t ; 2) u  v  u  v, ux, vx − дифференцируемые функции; 3) u  v  u  v  u  v, C  u  C  u; 4)  u   uv  u  v ;  v  v2 5) дифференцирование сложной функции: если y  f u, где u   x , то yx  fu  ux ; 6) дифференцирование обратной функции: xy  1 . y x  П р и м е р. y  ln x3  3x2 .  y  ln u , u  x3  3x2  1   3x2  6x .  y  (ln u)u  ux u x3  3x2 x3  3x2 25

Таблица производных  xn   nxn1, x  1  un   nun1  u  a x   a x ln a  au   au ln a  u  ex   ex  eu   eu u sin x  cos x sin u  cos u  u cos x   sin x cos u   sin u  u tgx  1 tgu   1 u  u cos 2 cos2 x ctgx   1 ctgu   1  u sin2 x sin2 u arcsin x  1 arcsin u  1  u 1 x2 1 u2 arccos x   1 arccos x   1 u 1 x2 1 u2 arctgx  1 arctgu  1  u 1 x2 1 u2 arcctgx   1 arcctgu   1  u 1 x2 1 u2 log a x  1 a log a u  u 1 a  u x ln ln ln x  1 ln u  1  u x u sh x    ex  ex   ex  ex  ch x sh u  ch u  u  2 2 ch x   ex  ex   ex  ex shx c h u  s h u  u 2 2 x  sh x   1 th u   1  u ch x ch 2 ch 2 th   x u Дифференцирование различных функций 26

Способ Вид Формула для дифференцирования задания функции функции y   Fx x, y  Fx, y  0 Fy x, y  Неявный Параметричес- x  xt, yx  yt , yxx  yx  t кие уравнения  xt  y  yt  xt Показательно- Логарифмическая производная: степенная y  u(x)v(x)  ln y  ln u(x)v(x)   y  v(x)ln u(x) y функция Дифференциал функции y  f (x) Приращение функции y  f x: y  f (x  x)  f (x; y) . y dy Функция y  f x дифференцируема y0 в точке х, если y  Ax  x , где  x    (x)  0 при x  0 . x0 Дифференциал функции – главная часть приращения: dy  Ax  f xdx . При x  0 , y  dy  f x  x  f x  f xx – формула для приближённых вычислений. Свойства дифференциала d (c)  0; d u  v  du  dv ; d u  v  du  v  u  dv ; d  u   du  v  u  dv ;   v2 v инвариантность формы дифференциала: если y  f ( (x)) , u   (x) – промежуточный аргумент, то dy  yxdx  yu uxdx  yu du .  П    sin(x2 )dx2 р и м е р. d (cos x2 )  cos х2 x dx  sin udu . Правило Лопиталя lim f x   0 ,    lim f x  , если lim f x существует. g x  0   g x g x xa xa xa П р и м е р. lim x 2  1  0  lim 2x  2 . x1 x 3  1 0 x1 3x 2 3 Исследование функций и построение графиков 27

Исследование графика функции на наличие асимптот Название Уравнение Пример Вертикальная асимптота x  x0 , 1 Y где точка х = х0  y точка бесконечного О x0 X (x  2)2 разрыва lim 1   x20 ( x  2)2  x  2  вертикальная асимптота Наклонная асимптота y  kx  b , y  x2 Y x 1 где k  lim f x , y kxb x x x k  lim  1, ОX b  lim  f x  kx x x 1 x b  xlim x2  x   x 1 1  lim  0  y  x  x x 1 наклонная асимптота у  arctg x Горизонтальная lim arctg x    асимптота 2  x   Y  A y A, lim arctg x    2 где А  lim f x x x ( k 0 ) y   − 2 односторонние горизонтальные О асимптоты X Исследование функции на монотонность 28

y  f (x) y1 y  f (x) y2 y2 y1 x1 x2 x1 x2 y  f x − возрастающая функ- y  f x – убывающая функция ция на (a,b) , если x1, x2  (a,b) и на (a,b) , если x1, x2  (a,b) и x1  x2  f x1  f x2 . x1  x2  f x1   f x2 .  x  (a,b) : f x  0 , то f x  x  (a,b) : f x  0 , то f x возрастает на (a, b) . убывает на (a, b) . Исследование функции на экстремум Y Y X X Оa x0 b О a x0 b x0 − точка локального x0 − точка локального минимума, если максимума, если f x  f x0  x a, b . f x  f x0  x a, b . Необходимое условие существования экстремума Если x  x0 − точка локального экстремума, то в этой точке производная функции либо равна нулю ( f x0  0), либо не существует. Достаточные условия существования экстремума 29

Пусть x0  D( f ) – критическая точка I рода, т.е. в этой точке f x0  0 или не существует. Знак производной f (x) в Вид графика в окрестности точки x0 окрестности точки Вывод x  x0 x  x0 x0, f (x0 ) +− x  x0 − точка максимума −+ x  x0 − точка минимума ++ x  x0 − не является −− точкой экстремума, функция возрастает x  x0 − не является точкой экстремума, функция убывает Исследование кривой на вогнутость, выпуклость и точки перегиба Поясняющий рисунок Определение Выпуклая кривая расположена ниже любой касательной, проведенной к кривой в любой точке промежутка Вогнутая кривая расположена выше любой касательной, проведенной к кривой в любой точке промежутка Точка перегиба отделяет участок выпуклости от вогнутости Необходимое условие существования точки перегиба 30

Если x  x0 − точка перегиба, то f x0   0 . Достаточные условия существования точки перегиба Пусть x0  D( f ) – критическая точка II рода, т.е. в этой точке f x0   0 или не существует. Знак производной Вид графика в f (x) в окрестности окрестности точки точки x0 Вывод x0, f (x0 ) x  x0 x  x0 ++ Кривая вогнутая, точки перегиба нет −− Кривая выпуклая, точки перегиба нет +− x0, f (x0 )− точка перегиба −+ x0, f (x0 )− точка перегиба Схема исследования функции Этапы исследования П р и м е р. y  x2 x 1 1. Найти область определения D( y)   ,1 1, 2. Исследовать функцию на y(x)  x2   y(x) чётность, нечётность и  x 1 периодичность Функция общего вида, непериодиче- ская 3. Найти точки пересечения x0 y0 графика с осями координат Окончание таблицы 31

4. Найти асимптоты графика lim x2    функции x10 x  1 x  1 − вертикальная асимптота; lim x2    горизонтальных x x  1 асимптот нет; k  lim x2  1, x x(x  1) b xlim x2  x   1  x 1  y  x 1 − наклонная асимптота y  x(x  2) , y  0 (x  1)2 при x  2 , x  0 . 5. Найти интервалы возрастания и + - -  f ( x) убывания, экстремумы функции -2 -1 0 f (x) 6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба ymax  y(2)  4 , ymin  y(0)  0 графика функции y  2 , y  0  (x  1)3 точек перегиба нет. -  f (x) -1 f (x) (,1) − интервал выпуклости, (1,) − интервал вогнутости x  1 y  x 1 7. Построить график функции 32

Раздел 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Векторная функция скалярного аргумента Основные понятия Определения и расчетные формулы Способы задания пространственной Векторное уравнение кривой  – кривой  r  r(t) , Z M r (t) параметрические уравнения кривой  – r M1 x  x(t),  r (t)   y  y(t), r (t  t) z  z(t), k Y где t – параметр, каждому значению i которого соответствует определенная X j точка М в пространстве Векторная функция скалярного r  x(t)i  y(t) j  z(t)k аргумента t. Годограф Линия  , описываемая концом Производная вектора-функции радиуса-вектора r(t) скалярного аргумента r (t)  lim r  x(t)i  y(t) j  z(t)k Вектор скорости t0 t Вектор ускорения r (t) характеризует направление и быстроту движения точки, направлен по касательной к кривой  в точке М   r (t)  r(t)  x(t)i  y(t) j  z(t)k Репер Френе Система координат   n0 b0  n0 M  , 0 , ,  , где 0  r(t) – M0 0 0   0 n0 b0   b0 касательный вектор; b0  r(t)  r(t) – вектор бинормали; n0   0  b0 – вектор главной нормали 25

Числовые характеристики кривой Характеристики Определение Расчетные формулы Кривизна кривой f (x) Кривизна кривой – скорость   k1  1  ( f (x))2 3 отклонения кривой от M M0 касательной: k1  lim  , – для плоской S t 0 кривой где  – наименьший угол между касательными к кривой r   r  в точках М и М0 , S − длина k1  – дуги ММ0. r 3 для пространственной кривой Радиус кривизны, Радиус кривизны линии в Для плоской кривой центр кривизны, эволюта и эвольвента точке – величина, обратная  R  1  1  y2 3/ 2 – кривизне кривой в k1 y T рассматриваемой точке. M0 Пусть в точке М0 проведена радиус кривизны, нормаль к кривой, R направленная в сторону ax y(1  y2) , вогнутости кривой. Если С(a, b) y Кручение отложить на ней отрезок М0С, b  y  1  y2 равный радиусу кривизны R, y M то точка С – центр кривизны в – координаты M0 точке М0. центра кривизны Эволюта кривой – множество центров ее кривизны. Эвольвента кривой  – кривая, для которой кривая  является эволютой. Кручение кривой в точке – скорость отклонения кривой от соприкасающейся плоскости: k2  lim  , где r(t), r(t), r(t) S k2  r(t) r(t)2 t 0  – наименьший угол между соприкасающимися плоскостями, S – длина дуги 26

Раздел 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Частные производные функции и их нахождение Понятия Формула Поясняющий рисунок Частные  xz  f (x  x; y)  прираще- ния по х и  f ( x; y ); по y  yz  f (x; y  y)  Частная  f (x; y) Z производ- ная по х z x  lim xz z  f (x; y) x x0 Частная z y  lim yz N0 Y производ- y xz y0 ная по y y0 Геометриче zx (x0 ; y0 )  tg  , где x0 ский смысл x0  x  – угол между осью частных X производ- ОХ и касательной, проведенной к кривой  ных z  f (x; y0 ) в точке N0  ( z )  2z  z y x ; Пример x y yx Для функции z  (x2  2xy  x ) :  ( z ) 2z x x x 2 y   z xx ; z x =[ ]= 2x  2 y  1 ; y y  cons t Частные  (z )   2 z  zxy ; zy =[ x  const ]= 0  2x  x ; производ- y x xy y2 ные  ( z )  2z  zyy ; zxx  2  0  0 ; высших y y y 2 порядков z y y  2x ;  2z  y3  x2  zxxy y z xy  z yx 1 Если частные  2 y2 производные 2-го порядка непрерывны, то zxy  zyx Дифференцирование различных функций 25

Способ задания Вид функции Формула для функции F(x, y, z)  0 дифференцирования z  f (x(t); y(t)) z   Fx ; z   Fy Неявно заданная x Fz y Fz функция z  f (x(u; v), y(u; v)) Полная производная Сложная функция, dz  z  dx  z  dy dt x dt y dt для которой x  xt ,  z  z  x  z  y ;  y  yt  u x u y u z  z  x  z  y Сложная функция, v x v y v для которой x  x(u, v)   y(u, v)  y Дифференциал и его приложения Полное приращение функции z  f (x; y) : z  f (x  x; y  y)  f (x; y) . Функция z  f (x; y) дифференцируема в точке (x; y) , если z  Ax  By  x  y , где    (x, y)  0 и    (x, y)  0 при x  0, y  0. Полный дифференциал функции – главная часть приращения, линейная относительно x и y : dz  Ax  By . Для дифференцируемой функции в точке полный дифференциал: dz  zx (x; y)x  zy (x; y)y , где z  A, z  B. x y Приложения Формула дифференциала Формула для f (x  x, y  y)  f (x, y)  f x (x, y)x  f y (x, y)y приближенных вычислений Уравнение z  f (x0 ; y0 )  f x (x0 ; y0 )(x  x0 )  f y (x0 ; y0 )( y  y0 ) касательной плоскости в точке (x0 , y0 ) Уравнение нормали x  x0  y  y0  z  z0 в точке (x0 , y0 ) f x (x0 ; y0 ) f y (x0 ; y0 ) 1 Исследование функции двух переменных на экстремум 26

Пусть N – точка локального экстремума (максимума или мини- мума), О (N ) −  -окрестность точки N . N – точка локального максимума, N – точка локального минимума, если если  (x; y)  O (N )  f (x; y)  f (N )  (x; y)  O (N )  f (x; y)  f (N ) ZZ YY XN XN Необходимое условие существования экстремума Если точка N – точка экстремума дифференцируемой функции z  f (x, y) , то f x (N )  0 ; f y (N )  0 Достаточные условия существования экстремума Пусть   fxx (N ) fxy (N ) . fxy (N ) f yy (N ) Если   0 , f xx (N )  0 , то N – точка локального максимума. Если   0 , f xx (N )  0 , то N – точка локального минимума. Если   0 , то N не является точкой локального экстремума. Если   0 , то требуются дополнительные исследования в окрестности точки N Замечание. Нахождение наибольшего М и наименьшего m значений дифференцируемой в замкнутой области D функции z  f (x; y) : 1) найти критические точки функции, принадлежащие D и вычислить значения в них; 2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе D; 3) сравнить полученные значения и выбрать среди них М и m. 27

Раздел 12. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Понятие комплексного числа Основные понятия Формула z  x  i y – комплексное число, где x  Re z – Определение комплексного действительная часть z, y  Im z – мнимая числа часть z, i – мнимая единица, Равенство комплексных удовлетворяющая условию: i 2  1 чисел x1  i y1= x2  i y2  x1  x2 ; y1  y2 . Комплексно сопряженное число z  x iy Изображение Y z  z  zR комплексного числа y=Imz z r z  X x=Rez Модуль комплексного r  z  x2  y2 ; z  0 числа   arg z ;    arg z   Аргумент комплексного сos  x , числа (главное значение z аргумента)   y , Множество значений sin  аргумента  z  arctg y , если x  0,  x   y  =  arctg x   , если x  0, y  0,   arctg y   , если x  0, y0  x Arg z    2k, k  Z 25

Формы записи и операции над комплексными числами Формы Алгебраическая Тригонометрическая Показательная Операции z1  x1  iy1 z1  r1 cos 1  i sin 1  z1  r1ei1 Сложение z2  x2  iy2 z2  r2 cos2  i sin2  z 2  r2ei2 Умножение z1  z2  x1  x2   ––  i y1  y2  z1 z2  r1r2 (сos(1  2)  z1 z 2  r1r2 ei(1 2 ) z1z2  ( x1x2  y1 y2 )   i sin(1   2 )) i( x1 y2  x2 y1) z1  z1z2  z1 r1 z2 z2z2 z2 r2 Деление x1x2  y1 y2   (cos(1  2 )  z1  r1 ei(1 2 ) x22  y22 z 2 r2  i sin(1  2)) x2 y1  x1 y2  i x22  y 2 2 Возведение – z n  r n (cos n  z n  r n e n в степень –  i sin n) – Извлечение корня n z  n r (cos   2k  n  i sin   2k ) n k  0,1, 2,, n  1, Основная теорема алгебры Формулировка теоремы Пример Любое уравнение типа Решить уравнение x2  2x  5  0. a0  a1x  a2x2  ...  an xn  0 имеет Р е ш е н и е. D  4  4  5  16  0 . ровно n корней (действительных или Имеем комплексно-сопряженные комплексных). 2  4i корни : x1,2  2  1  2i Иллюстративные примеры 26

Необходи- Решение примеров мая 2  3i  5  4i  (2  5)  i(3  4)  3  i операция 2  3i   5  4i= 10  8i 15i 12i 2  Сложение Умножение  10  23i 12  2  23i Деление 2  3i  2  3i 5  4i   10  8i 15i 12   5  4i  5  4i 5  4i 25 16 Возведение в степень  22  7i   22  7 i 41 41 41  z  1 3i 60  r   12  3 2  2,   arctg( 3)         2  , 33 z  1  3 i = 2cos 2   i sin 2  . 3 3  1 3 i 60  2 60  cos 60  2   i sin60  2      3   3    260 cos 40  i sin 40   260 Решить уравнение z4  1  0 . Решение z  4 z  4 1  4 cos  i sin   cos   2k  i sin   2k . 44  2 2i; При k  0 имеем z1  cos 4  isin 4  2 2 Извлечение при k 1 имеем z2  cos 3  i sin 3  2 2i; корня 4 4 2 2 при k  2 имеем z3  cos 5  i sin 5  2 2i; 4 4 2 2 7 7 2 2 при k  3 имеем z4  cos 4  i sin   i. 4 2 2 На комплексной плоскости корни расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность единичного радиуса. 27

Раздел 13. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределённый интеграл и его свойства  f xdx  F x  C, где F x  f x; C − произвольная постоянная; F (x)  C − семейство первообразных. 1.  dF x  F x C ; 2. d  f xdx  f xdx ; 3.  kf xdx  k  f xdx ; 4.   f x gxdx   f xdx   gxdx ; 5. Инвариантность формулы интегрирования:  f (u)du  F (u)  C , где u   (x) − произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Таблица простейших интегралов  0dx  C  sin xdx   cos x  C  dx  x  C  cos xdx  sin x  C  x n dx  x n 1  C, n  1  dx  t g x C n 1 cos 2 x  dx  ln x  C  dx   ctg x  C x sin 2 x  a xdx  ax  C  exdx  ex  C ln a  dx  arcsin x  C, a  0  dx  1 arctg x  C, a  0 a2  x2 a x2  a2 a a  dx  ln x  x2  a C  dx  1 ln xa C x2  a x2  a2 2a xa  dx  ln tg x  C  dx  ln tg x     C sin x 2 cos x  2 4  25

Методы интегрирования Метод интегрирования П ример 1. Непосредственное интегрирование 2x2  4 1 – интегрирование с использованием  x dx   2xdx  4 x dx  свойств неопределенного интеграла и тождественных преобразований над  x 2  4 ln x  C f (x) 2. Замена переменной 1 x  t 1 случай dx  x  (t 1) 2  2 (t 1)dt   dx  2(t 1)dt t  f (x)dx  Замена   f (t)(t)dt 1 x x  (t)  2 dt  2 dt  2t  2 ln t  C  t 2 случай (подведение под знак  2(1  x)  2 ln(1  x)  C дифференциала)  ln xdx   ln xln x dx   ln xd (ln x)  x Замена  f ( ( x)) ( x)dx  t  (x)   f t  dt t2 ln 2 x 2 2  ln x t   tdt   C Формулы для наиболее часто Почти табличные интегралы: встречающихся дифференциалов 1 dx  1 d ax  b; 1 dx  2 d x ;  f (ax  b)dx   f (ax  b)d (ax  b)  a ax  1 F (ax  b)  C cos xdx  d sin x ; sin xdx  d cos x a e x dx  de x ; xdx  1 dx2 ; 1 dx  d 1  ;  dx  1  d (3x 1)  1 ln 3x 1  C x2 3x 1 3 3x 1 3 2 x 1 dx  d ln x; 1 dx  d tgx x cos 2 x 3. Интегрирование по частям u  x5  udv  uv   vdu du  dx Рекомендации по использованию  (x  5) sin 2xdx  dv  sin 2xdx  метода v   1 cos 2x 2 cos kxdx arccos x 1 1 Pn sin kxdx arcsin x Pn dx   2 (x  5) cos 2x  2  cos 2xdx  arctgx a kx dx loga x 1 1 2 4 u dv   (x  5) cos 2x   cos 2xd (2x)  dv u   1 (x  5)  1 sin 2x  C 24 Интегрирование различных функций 26

Интегрирование рациональных дробей Основные Формулы понятия Многочлен Pn (x)  a0  a1x  a2 x 2    an xn − многочлен степени n , Рациональная простейшая рациональная функция дробь Виды Pn x − отношение многочленов Qm x рациональных дробей Pn x правильная, если n  m и неправильная, если n  m Qm x Представление неправильной С помощью деления числителя на знаменатель приводится к рациональной виду: Pn x  M x  rx , где M x − многочлен (целая дроби Qm x Qm x Типы часть при делении); rx − остаток от деления простейших рациональных I. x A a ; II. A , n  1;  дробей x  an Интегрирование MxN ; IV. M xN , простейших x2  px  q x2  px  q дробей    III. n n 1 x2  px  q − не имеет действительных корней  x A a dx  A ln x  a  C ;   x A dx   n 1  x A  C ; 1  an  an1 При интегрировании дробей III и IV типов пользуются подстановкой x  p  t , приводящей знаменатель 2 x2  px  q   x  p 2  q   p 2 к виду t2  k2, где    2 2 k2  q   p 2  . 2 Формула приведения dx  1 x n1  2n  3 dx  x2  k2  x2  k2 x2  k2 n 1        n 2n  1k 2   27

Правило разложения дроби Pn (x) (n<m) на сумму простейших Qm (x) дробей. Если Qm ( x)  ( x  a)  ( x  b)k  ( x 2  px  q)  ( x 2  gx  l)s , то каждому сомножителю соответствует сумма простейших дробей вида: (x  a) A xa (x  b)k B1  (x B2  (x B3  ...  (x Bk xb  b)2  b)3  b)k x 2  px  q Mx  N x 2  px  q (x2  gx  l)s M1x  N1  ...  Msx  Ns x2  gx  l (x2  gx  l)s Схема вычисления Пример I   Pn (x) dx , I   x 2  x 13 Qm (x) 1) 2 (x 2  4) (x где n  m Разложить дробь на x2  x  13  A  B  Cx  D простейшие (x  1)2 (x 2  4) x  1 (x  1)2 x2  4 Найти методом 1) x2  x  13  A(x  1)(x2  4)  B(x2  4)  неопределенных  (Cx  D)(x  1)2  x3( A  C)  x2 (A  B  D  2C)  коэффициентов коэффициенты  x(4A  C  2D)  x0 (4 A  4B  D); разложения: 2) 1) привести дробь в A  C  0,  правой части к общему  A  B  D  2C  1,  A   3 ; B  3;   5 знаменателю;    3 ;D7  5 2) приравнять 4 A  C  2D  1, С 5 коэффициенты при  4A  4B  D  13  одинаковых степенях х I   ( 3  3  3 / 5х  7 / 5)dx  5(x 1) (x 1) 2 х2  4 Проинтегрировать простейшие дроби  3 ln x 1  3  3 ln x 2  4  7 arctg x  C 5 x 1 10 10 2 28

Интегралы от тригонометрических функций 1. Интегралы вида  sinn x cosm xdx . Случай Подстановка Пример t  cos x  sin3 x cos2 xdx  n − нечётное t  sin x    1  cos2 x sin x cos2 xdx  m − нечётное sin2 x  1 cos 2x ,    1  cos2 x cos2 xd cos x     cos4 x  cos2 x d cos x  n и m − чётные 2 cos2 x  1 cos 2x ,  cos5 x  cos3 x  C неотрицательные 53 числа 2 sin x cos x  1 sin 2x  cos2 xdx  1  1  cos 2 x dx  n и m − либо 2 2 оба чётные, либо  1 x  1 sin 2x  C оба нечётные, t  tgx или t  ctgx 24 причём хотя бы один из них  sin 2 x dx   sin 2 x  1 x  dx x  отрицателен cos6 x cos 2 x cos 2 cos 2  =  tg2x 1  tg2x dtgx     tg 2 x  tg 4 x d (tgx)   tg3x  tg5 x  C 35 2. Интегралы вида  Rsin x, cos xdx , где R − рациональная функция. Используется универсальная подстановка: t  tg x , 2 где sin x  2t , cos x  1 t2 , dx  2dt . 1 t2 1 t2 1 t2 П р и м ер .  dx  t  tg x   2dt  sin x  2 3  cos x (1  t 2 )(3  2t  1  t 2 ) t 1  t 2 1 2 dt d(t  1) 2 t1 2 1 2tg x t  2 2 arctg 2 2 C.   t2    77  arctg (t  1)2  7 77 24 2 29

3. Интегралы вида  sin mx cos nxdx ,  cos mx cos nxdx ,  sin mx sin nxdx интегрируются на основании тригонометрических формул: sin mx cos nx  1 sinm  nx  sinm  nx, 2 cos mx cos nx  1 cosm  nx  cosm  nx, 2 sin mx sin nx  1 cosm  nx  cosm  nx, 2 cos x  cos x , sin x   sin x . Интегрирование иррациональных функций Случай Подстановка   R x, n xm , q x p ,..., g x s dx x  t k , где k − наименьшее общее кратное   R x,n ax  b dx показателей корней, т.е. чисел n, q,..., g ax  b  tn  ax  b  dx  R x,n cx  d ax  b  t n cx  d    R x, a2  x2 dx x  asint x  a cost   R x, x2  a2 dx   R x, x2  a2 dx x  a tgt x  a ctgt    R x, ax2  bx  c dx x  a / cost x  a / sin t Биноминальные выражения Подстановки Эйлера:   xm p 1) a  0  ax 2  bx  c  t  x a a  bxn dx 2) c  0  ax2  bx  c  tx  c 3) x1, x2  действительные корни уравнения ax2  bx  c  0  ax2  bx  c  x  x1 t p − целое число  x  t q , q − общий знаменатель дробей m и n m  1 − целое число  a  bxn  t r , r − n знаменатель дроби p m  1  p − целое число  a  xn  b  t r , n r − знаменатель дроби p 30

Определённый интеграл, его свойства и вычисление Определение Пусть функция y  f ( x) определена и непрерывна на отрезке a, b. Разобьём отрезок a, b на n частей точками a  x0  x1  x2  ...  xn  b . Выберем на каждом элементарном отрезке xi1, xi  произвольную точку i и обозначим через xi  xi  xi1 длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции y  f ( x) на отрезке a, b n называется сумма вида  f (i )xi  f (1)x1  f (2 )x2  ...  f (n )xn. i 1 Определённым интегралом от функции y  f ( x) на отрезке a, b называется предел интегральной суммы при xi  0 , не зависящий от способа разбиения отрезка a, b на части, ни от выбора точек i в них. bn (i f ( x)dx  lim  f )xi Обозначение:  , где x − переменная max xi 0i1 a интегрирования, a и b − нижний и верхний пределы интегрирования. Теорема существования определённого интеграла: Если функция y  f ( x) непрерывна на отрезке a, b, то она интегрируема на нем. Свойства Аддитивность по области b cb интегрирования  f xdx   f xdx   f xdx a ac Аддитивность b bb по функции   f x  gxdx   f xdx   gxdx a aa Однородность bb  k f xdx  k  f xdx aa Интегрирование bb неравенств f x  gx   f xdx   gxdx aa Теорема «о среднем» b c  a; b:  f (x)dx  f (c)(b  a) a Перестановка пределов ba интегрирования  f xdx   f xdx ab Производная от интеграла с  x f (t)dt   f (x) переменным верхним пределом  интегрирования 0 Методы вычисления определенного интеграла 31

Название метода Формула Пример Формула Ньютона– bb e2 ln xdx e2 e2 Лейбница   ln xd(ln x)    f (x)dx  F(x)  (ln x)2 Интегрирование по частям aa ex e 2 e Интегрирование F (b)  F(a); подстановкой где F (x)  f (x) (ln e2 )2 (ln e)2 13   2  b bb 22 22  udv  uv   vdu   a aa  x cos xdx  x sin x 0   sin xdx  b x  (t)  00  f (x)dx  ( )  a    sin   cos x |0  cos  cos 0  2 a  ( )  b 8 xdx t2  x 1 3 t2 1   x 1  2tdt  dx  t 2tdt  x3t 2  f ((t))(t)dt 3 2  x8t 3   3 t2 t3 3  10 2 1 dt  2 3 2  3   t 2 2 Несобственные интегралы I род II род Интеграл с бесконечным Интеграл от функции, имеющей разрыв пределом  b b c b  f xdx  lim  f xdx ,  f xdx  lim  f xdx  lim  f xdx a b a a  0 a  0 c bb где x  c − точка разрыва II рода, a  c  b  f xdx  lim  f xdx  a a Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится. При наличии конечного предела говорят, что интеграл сходится. Пример  dx b dx dx 4 4 dx  lim0 2 4   lim  xx  xx 0 lim  b 2  0 x  1  x x2 1 lim  1 b  lim   1  1  1.  lim  1  2   . x 1 b   b  b    0  Интеграл сходится. Интеграл расходится Геометрические приложения определённого интеграла 32

Площадь плоской области Площадь криволинейной трапеции 1-й случай Y x a; b: f (x)  0  y  f (x) b S X a S   f (x)dx b a Y 2-й случай y c; d : ( y)  0  d d S x  (y) S  ( y)dy cX с 3-й случай Кривая задана параметрическими  уравнениями: S   ytxtdt  x  xt , y(t)  0; t  ;      y  yt , Площадь плоской области в декартовых координатах 1-й случай Ya bX x a; b: f (x)  0  y  f (x) b S   f xdx a 2-й случай y  f2(x) x a; b; f 2 (x)  f1 (x)  S  b  f 2 x   f1 x dx S a  b a y  f1(x) Окончание таблицы 33

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах S  1 2 r 2  d r  r() S  2 1 2 1 0 Длина дуги кривой Способ задания кривой Формула y  f x b 1  f 2 xdx l a r  r() 2 r 2  r 2 d l  1  x  xt, t ;      y  yt , l   x2 t   y2 tdt  Объемы и площади тел вращения Вращение криволинейной тра- y  f (x) пеции, ограниченной непрерывной Y кривой y  f (x) , осью абсцисс и X прямыми x  a и x  b вокруг ab оси ОХ: VOX b f 2 xdx ,   a b оси ОY: VOY  2  x f xdx . a SOX b 1 f 2 xdx  2  f x a Вращение криволинейной Yd трапеции, ограниченной непре- c рывной кривой x   ( y) , осью x  (y) X ординат и прямыми y  c и y  d вокруг оси ОУ: VOY   d  2  y dy  c 34

Примеры задач на геометрические приложения определенного интеграла Условие задачи Решение Вычислить площадь фигуры, Найдём абсциссы точек ограниченной следующими ли- пересечения графиков данных функций. ниями: y  x2  4x , x  y  4  0. Для этого решаем систему уравнений Y y  x2  4x, Откуда находим   y  x  4. x1  4 , x2  1.  1 S   ( x  4)  (x2  4x) dx  4   4  3  1     16  24  64   125 (кв.ед.)  2 3   3  6     -4 1 X -4 Найти длину дуги кривой Так как x(t)  3(1  cos t) , y(t)  3sin t , то x  3(t  sin t), 0  t    3(1  cos t),  y x2 (t)  y2 (t)   9(1  cos t )2  9 sin 2 t  6  3 2(1  cos t )  6 sin t . 2 Циклоида  t 12cos t  Вычислить объём тела, которое получается при вращении 6 sin dt вокруг оси ОХ криволинейной l  02  20  12 (ед.) трапеции, ограниченной гиперболой xy  4 , прямыми  12 4 2 dx 12 dx  16  1 12 x  3 , x  12 и осью абсцисс 3 x  x2 x3 16 Найти площадь поверхности вращения вокруг оси ОХ дуги 3  VOX    кубической параболы y  x3 при = 4 (куб.ед) 0 x 1 2 y  3x2 1 / 2 1  9x4 dx   3 1/ 2  SOX  2 x3 27 (1  9x4 )2 0 0   125 1  61 (кв.ед.) 27  64  1728 35

Раздел 14. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Интегралы от скалярной функции Определение и обозначение интеграла Геометрический и физический смысл Двойной интеграл от функции f(x,y) Если z  f (x, y) – уравнение поверхности, ограничивающей ци- по плоской области (D): линдроид сверху, то n  D  f (x, y)dxdy  V – объем цилинд- f (x, y)d  lim f ( k ,k ) k , D  0k 1 где  k (k  1, n) – площади участков, роида. на которые разбита область D;  – Z наибольший из диаметров участков; ( k , k ) – произвольная точка на k -м z  f (x, y) участке; d  dxdy – элемент площади f ( k ,k ) Y Y X yi  i D Если   (x, y) – плотность неоднородной плоской пластины D, X то  (x, y)dxdy  mD – масса D D xi Тройной интеграл от функции Если   (x, y, z) – плотность f(x,y,z) по объему V: неоднородного тела V, то f ( x, y, z)dv n ( k ,k ,k )vk ,  (x, y, z)dxdydz  mV – масса V.  lim  f  V  0 k 1 V где vk (k  1, n) – объемы элемен- Z V тарных областей; ( k , k ,  k ) – произвольная точка на k -м элементарном объеме; dv  dxdydz – Y элемент объема X  dxdydz  V – объем тела V V 81

Свойства Формула Аддитивность  ( f (x, y)  g(x, y))dxdy   f (x, y)dxdy   g(x, y)dxdy по функции D DD Аддитивность по области  f (x, y)dxdy   f (x, y)dxdy   f (x, y)dxdy , интегрирования D D1 D2 Однородность если область D  D1  D2 Теорема  f (x, y)dxdy    f (x, y)dxdy о среднем DD Интегрирование неравенств  М 0 (х0 , y0 )  D :  f (x, y)dxdy  f (x0 , y0 )S D , Оценка интеграла D Интеграл по где S – площадь D модулю (x; y)  D : f (x, y)  g(x, y)   f (x, y)dxdy   g(x, y)dxdy DD (x, y)  D : m  f (x, y)  M  mS   f (x, y)dS  MS D  f (x, y)dxdy   f (x, y) dxdy DD Замечание. Свойства двойного и тройного интегралов аналогичны. Физические приложения двойных и тройных интегралов Приложения Двойной интеграл Тройной интеграл Моменты I x   y2(x, y)dxdy I xy   z 2  (x, y, z)dxdydz инерции D V Статические моменты I y   x 2  (x, y)dxdy I xz   y 2  (x, y, z)dxdydz Координаты D V центра тяжести M x   y(x, y)dxdy I yz   x 2 (x, y, z)dxdydz D V M y   x(x, y)dxdy M xy   z(x, y, z)dxdydz D V M xz   y(x, y, z)dxdydz V M yz   x(x, y, z)dxdydz V xc  My ; yc  Mx xc  M yz ; yc  M xz ; zc  M xy mD mD mV mV mV 82

Вычисление двойного интеграла Расчетные формулы Примеры Декартова система координат Если область D правильная  (x  2 y)dxdy, где D ограничена y2 (x) в направлении оси ОY (т.е. D любая прямая, линиями: y  0, y  x, x  y  2 . параллельная оси OY, a b пересекает границу области D1 D2 y1 ( x) не более чем в двух 1 точках), то 1 2 Решение Область D правильная в b y2(x) направлении оси ОХ:  f (x, y)dxdy   dx  f (x, y)dy 1 2 y D a y1( x) I   dy  (x  2 y)dx  0y d Если область D 1  1 x2 2xy  2 y 5 x1( y) 2  y 3 правильная в    dy  . 0 направлении оси ОХ Область D cложная в направлении (т.е. любая прямая, оси ОY: D  D1  D2 . параллельная оси ОХ, c x2 ( y) пересекает границу I   f (x, y)dxdy   f (x, y)dxdy  области не более чем D1 D2 в двух точках), то  1 x (x  2 y)dy  2 2x  2 y)dy  5 3 d x2 ( y)  dx  dx (x  f (x, y)dxdy   dy  f (x, y)dx 0 0 1 0 D с x1 ( y) Полярная система координат r1( ) r2 ( ) Если область D Вычислить площадь фигуры, правильная (т.е. луч, ограниченной линиями выходящий из полюса, r  a(1 cos ), r  a cos  . пересекает ее границу Р е ш е н и е  не более чем в двух D2 точках), то a D1 2a  2 r2 ( )  f (x, y)dxdy   f (r,)rdrd   d  rf (r,)dr D D 1 r1( ) S   rdrd  2  rdrd  2  rdrd  D D1 D2   2 a(1cos  )  a(1cos  )  5 a 2 4 2  d  rdr  d  rdr 0 a cos  0 2 83

Вычисление тройного интеграла Формулы Пример Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу Вычислить  (x  z)dxdydz , поверхностью z  z1 (x, y) , сверху – V поверхностью z  z2 (x, y) , причем z1 (x, y) и z2 (x, y) – непрерывные где область V ограничена плоскостями x  0, y  0, z  1, x  y  z  2 . функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на Z плоскость ОXY. Тогда область V – правильная в направлении оси OZ. 2 x y z 2 Z z2(x, y) Y z1(x, y) 11 Y X XD Решение В декартовых координатах Область V является правильной в направлении оси ОZ. z2 ( x, y) Y 1  f (x, y, z)dxdydz   dxdy  f (x, y, z)dz x y 1 V D z1( x, y) D В цилиндрических координатах 1X  f (x, y, z)dxdydz  Ее проекция D на плоскость ОXY V является правильной в   f (r cos,r sin, z)rdrd dz  направлении оси OY. V z2 2x y   rdrd  f (r,, z)dz.  (x  z)dxdydz   dxdy  (x  z)dz  М D1 D z1 1 1 x 2 x y 1 В сферических координатах dx dy (x  f (x, y, z)dxdydz      z)dz  4 V 00 1   f ( cos sin ;  sin  sin ;  cos )  V   2 sinddd 84

Определение и обозначение Геометрический и физический смысл интеграла Если   (x, y) – плотность Криволинейный интеграл I неоднородной материальной кривой L, рода от функции f(x,y) по кривой то  (x, y)dl  m – масса плоской (L) : L кривой , n ,  dxdy  l – длина плоской кривой L.  Lf ( x, y)dl  f ( , k )lk L lim k Если y  f (x, y) – направляющая  0k 1 где lk (k  1, n) – длины дуг, на цилиндрической поверхности, которые разбита кривая;  – образующая которой параллельна оси наибольшая из длин дуг; ( k , k ) – ОZ, то  f (x, y)dl  Q – площадь произвольная точка на k -м участке. L Y поверхности, задаваемой функцией L y  f (x, y) . lk B Z A X A Y X B Поверхностный интеграл I рода Если   (x, y, z) – плотность от функции f(x,y,z) по распределения массы материальной поверхности: поверхности  , то  (x, y, z)d  m – n ) k ,   ( k , k ,  k f (x, y, z)d  lim f масса поверхности.  0 k 1 где  k (k  1, n) − площади Z  k  участков, на которые разбита поверхность  ;  – наибольший из диаметров участков; ( k , k ,  k ) – Y произвольная точка на k -м участке X  d  S – площадь поверхности   85

Свойства Формула Аддитивность   ( f1(x, y)  f2(x, y))dl  f1(x, y)dl  f2(x, y)dl по функции L LL Аддитивность по области  f (x, y)dl   f (x, y)dl   f (x, y)dl , интегрирования L L1 L2 Однородность где путь интегрирования L  L1  L2 Теорема  c  f (x, y)dl  c f (x, y)dl о среднем Интегрирование LL неравенств Интеграл  М 0 (х0, y0 )  L , f (x, y)dl  f (x0, y0 )  l по L модулю Незваисимость (x; y)  L : f (x, y)  g(x, y)   f (x, y)dl   g(x, y)dl интеграла от направления пути LL интегрирования  f (x, y)dl   f (x, y) dl ДL  f (x, y)dl   f (x, y)dl AB BA Замечание. Свойства криволинейного и поверхностного интегралов I рода аналогичны. Физические приложения интегралов I рода Приложения Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Моменты Ix  y2(x, y)dl Ix  ( y2  z2)(x, y, z)d инерции  L I y  (x2  z2 )(x, y, z)d I y  x2(x, y)dl  L Iz  (x2  y2)(x, y, z)d  Статические M x   y(x, y)dl моменты M yz   x  (x, y, z)d L  Координаты центра M y   x(x, y)dl M xy   z  (x, y, z)d тяжести  L M xz   y  (x, y, z)d  xc  My ; yc  Mx xc  M yz ; yc  M xz ; zc  M xy mD mD mV mV mV 86

Вычисление криволинейного интеграла I рода Формулы Пример 1. Параметрическое представление Вычислить  xy2dl , где L – кривой интегрирования: L x  x(t), y  y(t), t t1, t2 . отрезок прямой между t2 точками О(0;0) и А(4;3) .  f (x, y)dl   f (x(t), y(t)) x(t)2  y(t)2 dt Решение L t1 Уравнение прямой ОА есть 2. Явное представление кривой y  3 x, 0  x  4 . Кривая 4 интегрирования: задана явно.  3 x  3 . y  y(x), x a, b. 4  4 b 4 x   3 2  3 2  f (x, y)dl   f (x, y(x)) 1  y(x)2 dx  xy2dl  x   1   dx   La 0 4  4 L 3. Полярное представление кривой  45 4 x3dx  45 интегрирования: 64 0 r  r(),  ,  .   f (x, y)dl   f (r cos, r sin ) r 2  r2 d L Вычисление поверхностного интеграла I рода Формулы Пример Если поверхность  задана на Вычислить  (x  3y  2z)d ,  области D плоскости OXY функцией где  – часть плоскости z  z(x, y) , то 4x  3y  2z  4  0 , расположенной в  f (x, y, z)d  первом октанте.  Решение    f (x, y, z( x, y)) 1 zx 2  zy 2 dxdy Запишем уравнение плоскости в виде D z  2  2x  3 y . Находим 2 Z  k  zx  2, zy   3 . Y 2 D X  (x  3y  2z)d =    (x  3y  4  4x  3y)  D  1 4  9 dxdy  29 49 87

Криволинейные и поверхностные интегралы II рода (по координатам) Определение и обозначение Геометрический и физический смысл интеграла Криволинейный интеграл II рода Если F  P(x, y)i  Q(x, y) j – вектор от векторной функции силы, перемещающей точку по F  P(x, y)i  Q(x, y) j по плоской кривой: кривой L, то  Pdx  Qdy  A – работа n L  P(x, y)dx  Q(x, y)dy  lim  (P( k , k )xk  переменной силы по перемещению L  0 k 1 точки вдоль кривой,  Q( k ,k )y k ), где xk – проекция элементарной Y Fk B дуги lk на ось ОХ; yk – проекция yk sk элементарной дуги lk на ось OY; ( k , k ) – произвольная точка на k -м A xk X участке. Если, sk  xk i  yk j , то 1  Pdx  Qdy  S (D) – площадь 2  P(x, y)dx  Q(x, y)dy   Fds . D LL области D, где D – граница  Pdx  Qdy – криволинейный области D L интеграл по замкнутой кривой L Поверхностный интеграл II рода от Если векторной функции F  P(x, y, z)i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z)k – F  P(x, y, z)i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z)k вектор скорости потока жидкости, протекающей через двустороннюю по поверхности: поверхность  , одна из сторон  F  n d   (P cos  Q cos   R cos  )d  которой выбрана для построения  нормалей, то  F  nd  П – поток   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy ,   жидкости через выбранную сторону где ni  cosi i  cos i j  cos ik − поверхности  единичный вектор нормали к  i ; Z n  i Fi Y ni X  i  F  nd – интеграл по замкнутой  поверхности  88

Свойства Формула Однородность  Fds  с Fds Аддитивность по области интегрирования LL Аддитивность по функции  Fds   Fds   Fds интегрирования AB AC CB Изменение знака интеграла при изменении направления пути   (F1  F2 )ds  F1ds  F2ds интегрирования L LL Независимость криволинейного интеграла II рода по замкнутой  Pdx  Qdy    Pdx  Qdy кривой от выбора начальной точки АВ BA Условие независимости криволинейного интеграла II рода   от пути интегрирования ACA CAC Р  Q – условие Грина y x Замечание. Свойства аддитивности и однородности криволинейного и поверхностного интегралов II рода аналогичны. Теоремы о связи между интегралами Теорема Формула связи Формула Грина о связи между двойным  P( x, y)dx  Q(x, y)dy   (Q  P )dxdy, интегралом по области D и x y криволинейным интегралом по L D границе этой области L где интегрирование вдоль кривой производится в положительном направлении (т.е. при движении вдоль кривой область D остается слева) Формула Стокса cos  cos  cos  о связи между поверхностными и  Pdx  Qdy  Rdz      d , криволинейными интегралами II L  dx z y R рода P Q Формула Остроградского-Гаусса где L – граница поверхности  и о связи между поверхностным интегралом II рода по замкнутой интегрирование вдоль кривой L поверхности с тройным интегралом по объему, производится в положительном ограниченному этой поверхностью направлении  Рdydz  Qdxdz  Rdxdy  Px  Qy  Rz dxdydz, V где  – граница области V и интегрирование по  производится по внешней стороне поверхности 89

Вычисление криволинейного интеграла II рода Формулы Пример Найти работу силы Параметрическое представление кривой интегрирования F  (8x  4y  2)i  (8y  2) j , где L – x  x(t), y  y(t), t t1, t2  : контур ОВА , пробегаемый в положительном  P(x, y)dx  Q(x, y)dy  Y6A направлении, и A(3,6), B(0,6), O(0,0) L Решение  t2P(x(t), y(t))xt  Q(x(t), y(t))ytdt По свойству t1 3X аддитивности: OB     . L OB BA AO Явное представление кривой АО: y  2x, x  0,3, dy  2dx , интегрирования  (8x  4 y  2)dx  (8y  2)dy  y  y(x), x a, b: АO  P(x, y)dx  Q(x, y)dy  0 L   (8x  4  2x  2)dx  (8  2x  2)  2dx  234. b 3   P(, y(x))  Q(x, y(x)) y(x)dx a ОВ: y  0, x  0,3, dy  0 , Y  (8x  4 y  2)dx  (8y  2)dy  OB 3   (8x  2)dx  42 . 0 ВА: x  3, y  0,6, dx  0 , Fk B  (8x  4 y  2)dx  (8y  2)dy  A X ВА a b 6   (8y  2)dy  156 . 0 А  243  42 156  36 . Проверим полученный результат, используя формулу Грина. Имеем замкнутый контур – треугольник ОВА. Py  (8x  4 y  2)y  4, Qx  (8y  2)x  0 , 3 2y A    4dxdy  4 dx  dy  36 D 00 90

Вычисление поверхностного интеграла II рода Формулы Пример  F  n d   (P cos  Q cos   R cos  )d . Вычислить   xdydz  zdzdx  5dxdy .   А) По верхней стороне части Если поверхность  задана на области D плоскости 2x  3y  z  6 , лежащей плоскости OXY функцией z  z(x, y) , то в IV октанте. Б) По внешней стороне пирамиды,  R cos d    R(x, y, z(x, y)) dxdy , ограниченной плоскостями 2x  3y  z  6 , x  0, y  0, z  0 .  Dxy Решение где Dxy – проекция поверхности  на Z ОXY. Знак плюс или минус перед Dyz 6 двойным интегралом берется в зависимости от ориентации поверхности n  ( cos  будет положительным или Dxz отрицательным). -2 Zn Z 3D Y X Yn Y XX А) Нормаль n  (2;3;1) , соответ- Аналогично: ствующая указанной стороне  R cos d    R(x( y, z), y, z) dydz; поверхности, образует с осью OY  Dyz тупой угол, а осями OX и OZ –  R cos  d    R(x, y(x, z), z) dxdz; острые углы.  Dxz сos  nx  2  2  0 . n 4  9  1 14  F  n d   (P cos  Q cos   R cos  )d     P(x, y, z)dydz  Q(x, y, z)dzdx  R(x, y, z)dxdy  cos    3  0, cos  1  0. 14 14    xdydz  zdzdx  5dxdy     P(x( y, z) y, z)dydz   Q(, y(x, z)z)dxdz  D yz Dxz   R(x, y, z(x, y, ))dxdy  Dxy   (3  3y  z )dydz  Dyx 2 2   zdzdx  5 dxdy  9 . Dxz Dxy Б) По формуле Стокса имеем:   xdydz  zdzdx  5dxdy     (1  0  0)dxdydz   dv  6 VV 91

Раздел 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Скалярное поле Понятия Определения и формулы Пример Определение Скалярное поле – часть Найти производную функции пространства, в каждой точке u  3x2  5y2 в точке А(1,-1) по поля М(x,y,z) которого задана скалярная функция u  f (x, y, z) направлению к точке В(2,1). Геометри- ческие Определить величину и характерис- Поверхность (линия) уровня направление максимального тики скалярного поля есть геометрическое место точек, в роста данной функции в точке скалярного которых функция принимает поля постоянное значение, т.е А. u(М)=с. Производная Для плоского поля u  f (x, y) Решение функции u A  ux ( A) cos  uy (A) cos  u  f (x, y, z) s по ux  6x, uy  10 y, направлению вектора s линия уровня f (x, y)  c , для ux ( A)  6 1  1, Градиент функции пространственного поля uy ( A)  10  (1)  10. u  f (x, y, z) u  f (x, y, z) поверхность s  AB  (1,2) , Связь между характерис- уровня f (x, y, z)  c тиками u  u cos  u cos   s  12  22  5 , s x y cos  sx  1 , s5  u cos  , где z cos   sy  2 . s5 s0  (cos, cos  , cos ) _________   u , u , u  u ( A)  6  1 10  2   14 . s 5 5 5 grad u  x y z  Функция в направлении grad u вектора AB убывает.  s0 Градиент указывает s направление, в котором u функция растет быстрее, чем s по другим направлениям. u  пр _______  gradu( A)  ux ( A), uy ( A)  s S0 grad u , gradu( A)  (6,10) . max u  _______ Максимальный рост в точке А s s соответствует длине вектора grad u градиента: grad u( A)  62   102  136 92

Векторное поле Основные Формулы и поясняющие рисунки Пример понятия 23 1 Определе- Векторное поле – часть пространства, в Поле линейных ние поля каждой точке М(x,y,z) которого задана скоростей Геометри- векторная функция вращающегося тела ческие характерис- a  ax (x, y, z)i  ay (x, y, z) j  az (x, y, z)k . имеет вид: тики V  yi  x j Для плоского поля a  ax (x, y)i  ay (x, y) j Поток Векторные линии – кривые, в каждой Z вектора точке которых вектор поля направлен по V через поверх- касательной: dx  dy  dz . M (x, y, z) ность  r ax ay az Диверген- Векторная трубка – поверхность, ция векторного образованная векторными линиями  Y поля Поток вектора а через поверхность  – X Связь интеграл по поверхности от скалярного Найти: между произведения вектора поля на единичный А) векторные линии характерис- вектор нормали к поверхности: поля; тиками П   anod Б) дивергенцию  поля; Дивергенция вектора а – скаляр, равный В) циркуляцию объемной плотности потока в вектора поля; рассматриваемой точке поля: Г) ротор поля. Решение  an0d А) Имеем плоское векторное поле: div а  lim  , ax  y, ay  x . V 0 V где  – замкнутая поверхность, dx  dy  dz   y x 0 ограничивающая объем V; n0 – орт ее xdx  ydy, внешней нормали; объем V  0  0  dy  xdz. стягивается к рассматриваемой точке. Интегрируем: Расчетная формула: div a  ax  ay  az x2  y2  c1, x y z  Векторная формулировка теоремы Гаусса z  c2. – Остроградского: Т.о., векторные ли- П   an0d   div a dV нии – окружности с V центрами на оси OZ, лежащие в плоскос- тях, перпендикуляр- ных к этой оси Продолжение таблицы 93

1 23 Циркуля- ция Пусть r  xi  y j  zk – радиус-вектор вектор- точки М на контуре L. ного поля Циркуляция вектора а вдоль L – Б) Ротор вектор- криволинейный интеграл по divV (M )   (y)  ного поля x замкнутому контуру L от скалярного   (x)  0 . произведения вектора а на вектор dr , касательный к контуру L. y С   ad   axdx  aydy  azdz . В) Будем считать, что LL направление нормали к Физический смысл:  F dr  А – работа L плоскости совпадает с направлением оси OZ. силы F(M ) поля при перемещении материальной точки вдоль замкнутого С    ydx  xdy  контура L Д  2( 1   ydx  xdy)  2 Ротор поля rot a – вектор, проекция L которого на любое направление n  2  S , где S – равна поверхностной плотности циркуляции по контуру площадки, площадь поверхности, перпендикулярной к этому ограниченной кривой направлению. L. Заметим, что если нормаль к поверхности lim ad S образует угол  с  0 (rot a)n0  rotn a(M )  L , осью OZ, то  циркуляция где  – поверхность, натянутая на С  2  S  cos . замкнутый контур L; n0 – орт нормали к поверхности, направленный в ту Г) rotV (M )  сторону поверхности, с которой обход контура L виден совершающимся i jk против часовой стрелки.     Расчетная формула: x y z  y x 0 i jk    ( x ) i     ( y )  j  rotn a(M )     z  z  x y z   (x)  (y) k  ax ay az x y = 2 k Окончание таблицы 94

1 2 3 Векторная формулировка теоремы Стокса: Связь Ротор поля нап- между  ad   rotn а d характе- равлен параллельно ристиками L оси вращения, его Z n модуль равен  удвоенной угловой LY скорости. С точ- X ностью до число- вого множителя ротор поля ско- ростей представ- ляет собой угловую скорость вращения твердого тела Классификация векторных полей Вид поля Свойства При меры Соленои- 1. П   an0d   div а dV  0. Поле линейных скоростей дальное, вращающегося твердого тела. V Для поля скоростей текущей div а  0 жидкости П=0 означает, что 2. П   an0d   an0d , где количество жидкости, входящей в трубку за единицу времени, 1  2 равно количеству жидкости, вытекающей из нее, т.е. в поле  1, 2 – произвольные нет источников и стоков Для силового потенциального поперечные сечения векторной поля равенство C=0, означает, трубки что работа силы по любому замкнутому контуру равна Потенци- 1. u(x, y, z) – потенциал поля: нулю. В поле скоростей текущей альное, жидкости равенство C=0 а  grad u . означает, что в потоке нет rot а  0 замкнутых струек (водо- 2.  а d u(B)  u( A). воротов) AB Поле линейных скоростей стационарного безвихревого 3.С   rot аn0d  0 потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков  является гармоническим Гармони- div а  div grad u  ческое,  div(u i  u j  u k)  div а  0 , x y z rot а  0  2u  2u  2u  u  0 x2 y 2 z 2 95

Раздел 16. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) Основные понятия Понятия ДУ 1 порядка ДУ 2 порядка Общий вид F (x, y, y)  0 F (x, y, y, y)  0 ДУ, y  f (x, y) y  f (x, y, y) разрешенное относительно или в дифференциальной производной форме P(x; y)dx  Q(x; y)dy  0 y  f (x, y), y  f (x, y, y),  Задача Коши  y( x0 )  y0  y( x0 )  y0 ,   y ( x0 )  y0  Y Y y  ( x,C0 ) y  (x,С1,С2) t y0 X y0  0 x0 X x0 0 Геометри- y  (x, C) – общее y  (x, C1, C2 ) – общее ческая решение. интерпретаци решение, представляет я решения ДУ y  (x, C1 , С2 ) – частное семейство интегральных решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям кривых. y(x 0 )  y0 , y(x0 )  y0 . y  (x, C0 ) – частное Решение задачи Коши состоит в нахождении интегральной решение ДУ, кривой, проходящей через точку (x0 ; y0 ) и имеющей удовлетворяющее данный угловой коэффициент начальному условию y0 касательной t y(x0 )  y0 . Решение задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой y  (x, С0 ) , проходящей через точку (x0 ; y0 ) 96

Интегрирование ДУ первого порядка Тип Уравнение Решение ДУ с разделенн M (x)dx  N ( y)dy  0 Применяем почленное ыми интегрирование переменны ми  M (x)dx   N ( y)dy  C – ДУ с разделяющ общий интеграл имися переменны Делим на ми y  f (x)g(y) N1 ( y)M 2 (x)  0 Однородно е ДУ или в дифференциальной форме и применяем почленное M1(x)N1(y)dx  M2(x)N2(y)dy  0 Линейное интегрирование ДУ (ЛДУ)  M1 (x) dx   N 2 ( y )  C Уравнение M 2 (x) dy Бернулли N1 ( y) Уравнение в полных y  y f (tx, ty)  f (x, y) Подстановка t  y . дифференц f ( ) , где x x или M (x; y)dx  N (x; y)dy  0 , Тогда y  tx, y  t x  t , где M (tx, ty)  t k M (x; y) ln Cx   dt – общий f (t)  t N (tx, ty)  t k N (x; y) интеграл y  P(x)y  Q(x) y  Ce  Pdx – общее Если Q(x)  0 , то решение ЛОДУ Решение ЛНДУ: y  P(x)y  0 – 1) метод Бернулли линейное однородное ДУ (ЛОДУ) Подстановка Если Q(x)  0 , то y  P(x)y  Q(x) – y  u(x)v(x) . линейное неоднородное ДУ Тогда ЛНДУ: (ЛНДУ) v(x)  P(x)v(x)  0; u(x)v(x)  Q(x) 2) метод Лагранжа y  С(x)e Pdx  y  P(x) y  Q(x) yn e  Pdx (C   Qe Pdx dx) общее решение ЛНДУ Подстановка z  y n1 (n  0, n  1) или y  u(x)v(x) M (x; y)dx  N (x; y)dy  0 , xy  M (x; y)dx   N(x0 ; y)dy  C x0 y0 97

иалах если M  N y x Интегрирование ДУ, допускающих понижение порядка Уравнения, допускающие понижение порядка y(n)  f (x) F ( y (n) ,..., y (k) , x)  0 F ( y, y,.., y (n) )  0 явно отсутствует y явно отсутствует x n-кратное Подстановка Если интегрирование Если y(k)  z F( y, y, y)  0, y  f (x, y), то y (k1)  z и т . д . то подстановка y  p; y   (F (x)  C1 )dx C2 Если F(x, y, y)  0, то y  z, y  z т .к . dy  p, то dx  dy ; dx p yxx  px  dp  dp  р dx dy Теоремы о структуре общего решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка Формулировка теоремы Формула Общее решение ЛОДУ y  p(x) y  q(x) y  0 y  C1 y1  C2 y2 , есть линейная комбинация двух линейно- где C1, C2 – произвольные независимых частных решений постоянные y1  y1 (x) и y2  y2 (x) Общее решение ЛНДУ y  y  y , где y – произвольное частное y  p(x) y  q(x) y  f (x) решение ЛНДУ; y – общее есть сумма его произвольного частного решения ЛНДУ и общего решения решение соответствующего ЛОДУ соответствующего ЛОДУ 98

Частное решение ЛНДУ y  py  qy  f1 (x)  f 2 (x) y  y1  y  , 2 есть сумма частных решений уравнений y1  y  py  qy  f1 (x) , (1) где и y 2 − частные y  py  qy  f 2 (x) (2) решения уравнений (1) и (2) Интегрирование однородных линейных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами ЛОДУ y  py  qy  0 1. Характерис- k 2  pk  q  0 (т.к. вид частного решения y  ekx ) тическое уравнение D0 D0 D0 2. Дискриминант k1  k2  R k1  k2  k  R k1    i  C D  p2  4q C1e k1x  C2e k2x C1e kx  xC2e kx k2    i C ex (C1 cos x  3. Корни  C2 sin x) характе- ристического уравнения 4. Общее решение Интегрирование линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Вид правой части f (x)  ex Pn (x) f (x)  ex [Pn (x) cos x   Qm (x) sin x] f (x) Вид частного y  x r exQn (x) , y  xrex[PN (x) cos x  решения где – корень  QN (x) sin x], где   i – корни кратности r кратности r характеристического уравнения; характеристического PN (x) и QN (x) – многочлены уравнения; степени N  max(n; m) Qn (x) – многочлен степени n, записанный в общем виде Подбор частного решения по виду правой части 99