เฉลย_คณิตพื้นฐานอาชีพ

1 คําชแ้ี จง จงเขียนเคร่ืองหมาย  หนาขอท่ีเปนสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว และเครื่องหมาย  หนาขอที่ ไมเ ปนสมการเชิงเสนตวั แปรเดยี ว  1. 2x - 5 = 10  2. 4y - 9 = 2(y + 4)  3. 3(m + 1) =6  4. 5x - 2 = x(2x - 1) x =2  5. 5 + 3 =4  6. x + y 5  7. x =3 =6  8. n(n + 1)  9. (5x + 10)(x - 2) = 2(x + 6)  10. x + 2 = 3xy คาํ ชแ้ี จง จงแกส มการตอไปน้ี และเติมคําตอบในชองวาง  ทกี่ าํ หนดให 1. 3x + 20 = 5 วิธที าํ 3x + 20 = 5 ตรวจสอบคําตอบ แทนคา x = - 5 ในสมการ นาํ 20 ลบท้ังสองขางของสมการ จะได 3x + 20 - 20 = 5 - 20 จะได (3)(- 5) + 20 =5 -15 + 20 =5 3x = - 15 =5 5 - 20 นาํ 3 หาร ทั้งสองขางของสมการ - 20 3x -15 - 20 จะได 3 = 3 -5 x= ดงั น้ัน คําตอบของสมการ คือ - 5 2. 4(x - 3) = - 20 วิธีทาํ 4(x - 3) = - 20 ตรวจสอบคาํ ตอบ แทนคา x = - 2 ในสมการ ใชสมบัตกิ ารแจกแจง จะได 4(- 2 - 3) = จะได 4x - 12 = - 20 นาํ 12 บวกท้งั สองขางของสมการ 4 (- 5) = - 20 =

2 จะได 4x - 12 + 12 = - 20 + 12 4x = - 8 นาํ 4 หาร ท้ังสองขางของสมการ 4x -8 4 = 4 x = -2 ดังนน้ั คําตอบของสมการ คอื - 2 3. 7x - 3 = 4x + 21 วธิ ที าํ 7x - 3 = 4x + 21 ตรวจสอบคําตอบ นาํ 4x ลบ ท้ังสองขา งของสมการ แทนคา x = 8 ในสมการ จะได 7x - 3 - 4x = 4x + 21 - 4x จะได 7 (8) - 3 = 4(8) + 21 3x - 3 = 21 นํา 3 บวก ทัง้ สองขางของสมการ 56 - 3 = 32 + 21 53 = 53 จะได 3x - 3 + 3 = 21 + 3 3x = 24 นํา 3 หารท้งั สองขา งของสมการ 3x 24 3 = 3 x =8 ดงั นนั้ คําตอบของสมการ คอื 8 4. 4(2x - 1) = 2(x + 1) วธิ ที ํา 4(2x - 1) = 2(x + 1) ตรวจสอบคําตอบ ใชส มบตั ิการแจกแจง แทนคา x = 1 ในสมการ จะได 8x - 4 = 2x + 2 2 (1 + 1) นํา 2x ลบท้ังสองขา งของสมการ 4 [2(1) -1] = 2 (2) 8x - 4 - 2x = 2x + 2 - 2x 4 (1) = 4 4= 6x - 4 = 2 นาํ 4 บวกทั้งสองขางของสมการ 6x - 4 + 4 = 2 + 4 6x = 6 นาํ 6 หารทง้ั สองขา งของสมการ 6x 6 6 = 6 x =1 ดังนัน้ คําตอบของสมการ คือ 1

3 5. 3x - x =6 ตรวจสอบคาํ ตอบ 4 12 แทนคา x = 9 ในสมการ 3x x วธิ ที ํา 4 - 12 =6 -= 6 นาํ 12 ซึ่งเปน ค.ร.น. ของ 4 และ 12 คูณสมการ -= 6 3x x 6= 6 12  4  - 12  12  = 12 (6) 9x - x = 72 8x = 72 นาํ 8 หารทง้ั สองขา งของสมการ 8x 72 8 = 8 x =9 ดังน้นั คําตอบของสมการ คือ 9 1. จงแกส มการตอไปนแี้ ละตรวจสอบคําตอบ ตรวจสอบคาํ ตอบ 1.1) 3(x + 1) = - 12 3(- 5 + 1) = - 12 วิธีทาํ 3(- 4) = - 12 3(x + 1) = - 12 - 12 = - 12 3x + 3 = - 12 3x = - 12 - 3 ตรวจสอบคาํ ตอบ 3x = - 15 5(4 - 2) = 2(4 + 1) x = -5 5(2) = 2(5) 10 = 10 1.2) 5(x - 2) = 2(x + 1) = 2x + 2 วธิ ีทาํ = 2 + 10 5x - 10 5x - 2x = 12 3x x =4

4 1.3) 2(x - 3) + 3(x - 4) = 7x - 10 ตรวจสอบคาํ ตอบ วธิ ที ํา 2(- 4 - 3) + 3(- 4 - 4) = 7(- 4) - 10 2x - 6 + 3x - 12 = 7x - 10 2(- 7) + 3(- 8) = - 28 - 10 2x + 3x - 7x = -10 + 6 + 12 - 14 - 24 = - 38 - 2x = - 38 = - 38 x= 8 -4 1.4) x+3 = 2x -1 ตรวจสอบคาํ ตอบ 3 7 = วิธีทํา 21(x +3) 21(2x -1) = 3 = 7 -7 = -7 7(x + 3) 7x + 21 = 3(2x - 1) = 6x - 3 x = - 24 1.5) x+2 - x = 5 ตรวจสอบคาํ ตอบ 2 6 - =5 วิธีทาํ (x 6x 6 + 2) - 6 = (6)(5) 2 3(x + 2) - x = 30 -2 =5 3x + 6 - x = 30 7-2 =5 2x = 24 5 =5 = 12 x 1.6) x -1 + x-2 = 4-x ตรวจสอบคําตอบ 2 3 4 += วิธีทาํ (x -1) (x - 2) (4 - x) +0 = 12 2 + 12 3 = 12 4 = 6(x - 1) + 4(x - 2) = 3(4 - x) 6x - 6 + 4x - 8 = 12 - 3x 13x = 26 x =2

5 1.7) 3x -1 = x -1 + 7x - 4 ตรวจสอบคาํ ตอบ 5 3 15 =+ วิธีทาํ 15(3x -1) 15(x -1) 15(7x - 4) =+ 5 = 3 + 15 1= + 3(3x - 1) = 5(x - 1) + (7x - 4) 9x - 3 = 5 x - 5 + 7x - 4 1 =1 9x - 3 = 12x - 9 - 3x = - 6 x =2 2. จงหาคา ตวั แปรในรปู ของตวั แปรทีเ่ หลอื จากสมการที่กําหนด 2.1) จงหาคา x จากสมการ y = mx + c วิธีทาํ y = mx + c y - c = mx y-c x = m 2.2) จงหาคา E จากสมการ I = nE nE = R + nr วิธีทาํ I R + nr I(R + nr) = nE IR + Inr = nE IR + Inr E = I(Rn+ nr) E = n 2.3) จงหาคา w จากสมการ P = 2w + 2L วิธีทาํ P = 2w + 2L P - 2L = 2w P - 2L w = 2

6 1. ส่ีเหลี่ยมผืนผารูปหนึ่งมีดานยาว ยาวกวาดานกวาง 4 น้ิว ถาเสนรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมผืนผารูปนี้ยาว 28 นิ้ว จงหาความยาวของดานกวา ง และดา นยาวของรปู สเี่ หล่ียมผนื ผานี้ = x น้วิ วิธีทาํ ใหรปู สเี่ หลีย่ มผืนผา ดานยาว ดา นยาวยาวกวา ดานกวา ง 4 นวิ้ = x - 4 นว้ิ ดา นกวาง เสนรอบรปู ของรูปส่ีเหลี่ยมผืนผา 28 นวิ้ เขยี นสมการ ดงั นี้ x + x + (x - 4) + (x - 4) = 28 4x - 8 = 28 4x = 28 + 8 4x = 36 x =9 ดงั นั้น รูปส่ีเหลยี่ มผนื ผา ดา นยาว 9 นิ้ว ดานกวาง 9 - 4 = 5 นิ้ว 2. นภาซอ้ื หนุ ของบริษทั แหงหนึ่ง 100 หุน โดยเสยี คา นายหนา 0.5% ของยอดซ้ือ ถานภาชําระเงินในการซ้ือ หนุ เปน เงินท้ังสน้ิ 20,100 บาท อยากทราบวา ซ้อื หุนมลู คา หุน ละเทาใด x บาท วิธีทาํ ใหม ลู คา หุนละ 100x บาท นภาซ้อื 100 หนุ เปนเงิน เสียคานายหนา 0.5% ของยอดซือ้ (0.5) 100 = (100x) เขยี นสมการดงั น้ี = 0.5x 100x + 0.5x = 20,100 100.5x = 20,100 20,100 x = 100.5 x = 200 ดงั นนั้ นภาซ้ือหุนมลู คาหุน ละ 200 บาท

7 3. เลขจาํ นวนเต็ม สามจาํ นวนเรียงกนั มีผลรวมมากกวา สองเทา ของจาํ นวนทีน่ อยท่ีสดุ อยู 13 จงหาเลขจํานวน เต็มทงั้ สามจาํ นวนนนั้ =x วิธีทาํ ใหเลขจํานวนเตม็ ทีน่ อยทส่ี ุด เลขจาํ นวนเตม็ อกี สองจาํ นวนทอี่ ยตู ิดกนั = x + 1 และ x + 2 = x + (x + 1) + (x + 2) ผลรวมของเลขจํานวนเตม็ ทัง้ สาม สองเทา ของจํานวนที่นอยทสี่ ดุ = 2x จากโจทยเขยี นสมการได ดงั นี้ [x + (x + 1) + (x + 2)] - 2x = 13 3x+3-2x = 13 x = 13 - 3 x = 10 ดงั นั้น เลขจํานวนเตม็ ทงั้ สามจาํ นวนไดแ ก 10, 11 และ 12 4. ตุมมีอายุมากกวาตอย 10 ป และแตนมีอายุเปนสองเทาของตอย ถาท้ังสามคนมีอายุรวมกัน 58 ป จงหา อายขุ องคนทง้ั สาม x ป วิธีทาํ ให ตุมอายุ ตุมมีอายุมากกวา ตอ ย 10 ป x - 10 ป ดงั น้นั ตอย อายุ แตน มอี ายเุ ปนสองเทาของตอ ย 2(x - 10) ป ดงั น้นั แตน อายุ เนอ่ื งจากอายขุ องคนทัง้ สามรวมกนั เปน 58 ป เขยี นสมการไดดงั นี้ x + (x - 10) + 2(x -10) = 58 x + x - 10 + 2x - 20 = 58 4x = 88 x = 22 ดงั นัน้ ตุมอายุ 22 ป ตอยอายุ 22 - 10 = 12 ป แตนอายุ 2(12) = 24 ป

8 5. ถงั นาํ้ ใบหนึ่งมีทอน้าํ ไหลเขา สองทอ ถา เปดทอแรกนาํ้ จะเตม็ ถังภายใน 2 ชั่วโมง ถาเปดทง้ั สองทอพรอมกัน นํ้าจะเต็มถงั ภายใน 1 ชัว่ โมง 12 นาที อยากทราบวาถา เปด ทอ ทส่ี องเพียงทอ เดยี วน้าํ จะเต็มถงั ภายในเวลา เทา ใด วิธีทาํ สมมุติถา เปด ทอท่สี องเพียงทอ เดยี วน้ําจะเตม็ ถงั ภายใน x ชว่ั โมง 1 น่นั คอื ในเวลา 1 ช่วั โมง เปด ทอ ที่สองเพยี งทอเดียวจะไดน ้ํา x ถัง จากโจทยถ าเปดทอแรก เพยี งทอ เดียวนา้ํ จะเตม็ ถงั ภายใน 2 ชว่ั โมง 1 น่ันคอื ในเวลา 1 ชั่วโมง เปด ทอ แรกเพียงตอ เดยี วจะไดนํา้ 2 ถัง ถาเปด ท้งั สองทอพรอ มกันน้าํ จะเต็มถงั ภายใน 1 ชว่ั โมง 12 นาที 12 60 = 1+ ช่วั โมง = = 1 + 1 ชั่วโมง น่ันคอื ในเวลา 1 ชวั่ โมง เปดท้ังสองทอ พรอมกนั จะไดน า้ํ 5 6 5 ชว่ั โมง 1 ถัง 6 5 5 = 6 ถัง เขียนสมการไดดงั น้ี 1 1 5 x 2 6 + = 2+x = 5 2x 6 6(2 + x) = 10x 12 + 6x = 10x 4x = 12 x =3 ดงั นั้น ถาเปด ทอท่ีสองเพียงทอเดยี ว นํา้ จะเต็มถงั ภายใน 3 ชว่ั โมง

9 ตอนท่ี 1 คาํ ช้ีแจง : เลอื กคําตอบที่ถูกตอ งทีส่ ุดเพียงขอเดียว 1. ขอ ใดเปนสมการเชิงเสน ตัวแปรเดยี ว ง. x = x - 3 2 2. ขอใดเปนคา a จากสมการ 9a + 20 = 35 + 4a ข. 3 3. ถา 4(x - 2) = 3x - 10 แลว x มีคาตรงกับขอใด ค. - 2 4. จากสมการ 3x + 2 = x + 6 คา ของ x + 1 ตรงกับขอ ใด ก. 3 5. ถา 3(7 - x) + 5 (x - 4) = 9 แลว x มีคาตรงกบั ขอ ใด ข. 4 7x - 2 5 6. จากสมการ =x + 2 คาของ x ตรงกับขอใด ก. 6 x-4 8 - 2x 7. ถา 2 = 3 แลว x มคี า ตรงกบั ขอ ใด ง. 4 8. คาของ x ขอ ใดสอดคลอ งกับสมการ 2(x -1) = 16 ง. 4x + 1 = 37 x -1 x-3 9. ถา 4 = 5 แลว x มคี าตรงกับขอ ใด ก. - 7 x (x + 2) 2 6 10. จากสมการ + = 5 คา ของ x ตรงกับขอใด ง. 7

10 ตอนท่ี 2 คาํ ชแี้ จง : จงเตมิ คาํ ตอบใหส มบรู ณ 1. จากสมการ 12(x - 4) = 10(x - 3) คาของ 2x เทาใด ตอบ 18 2. กาํ หนดสมการ v = 4 π r2h จงหาคา h ในรูปของ v, r และ π 3 3v ตอบ h = 4πr 2 3. ถา 5 เทาของจํานวนๆ หนึ่งบวกกบั 10 มคี าเทา กับ 40 แลว จาํ นวนนั้นมีคา เทาใด 6 ตอบ 36 4. รัชนีสะสมเงินในกระปุกออมสินเปนเหรียญบาท เหรียญหาบาทและเหรียญสิบบาท เม่ือรัชนีนําเงินใน กระปกุ ออมสนิ มานบั ปรากฏวา มเี งินอยู 480 บาท ซ่ึงเหรียญแตละชนิดมีจํานวนเทากัน อยากทราบวาใน กระปุกออมสนิ มีเหรยี ญจาํ นวนกี่อนั ตอบ 30 อนั 5. ABC เปนรูปสามเหล่ียมซึ่งขนาดของมุม A เปน 3 เทาของมุม B ขนาดของมุม C เปน 1 เทาของมุม B 2 อยากทราบวา มุม B มีขนาดเทาใด ตอบ 40 องศา 1. จงหาคาของ 3x + 4y และพจิ ารณาคําตอบของสมการ 3x + 4y = 12 จากคา x และ y ทก่ี ําหนดให (x, y) คา ของ 3x + 4y คูอันดบั เปนคาํ ตอบของสมการ 3x + 4y = 12 (เปน /ไมเปน) ตวั อยา ง (5, 1) 3(5) + 4(1) = 19 ไมเ ปน (0, 3) 3(0) + 4(3) = 12 เปน (1, 2) 3(1) + 4(2) = 11 ไมเปน (2, 1.5) 3(2) + 4(1.5) =12 เปน (-1, 4) 3(- 1) + 4(4) = 13 ไมเ ปน (4, 0) 3(4) + 4(0) = 12 เปน 2. จงหาคา y ในตารางตอ ไปน้ี ที่สอดคลอ งกับสมการ 2x + y = 6 2 x -1 0 1 2 y864

เขียนกราฟไดด ังนี้ 11 2x+y=6 คาํ ชี้แจง : จงเขยี นกราฟ และหาคําตอบของระบบสมการตอ ไปนจ้ี ากกราฟ 1. 2x - y = 1 … x+y = 5 … วิธที ํา 2x - y = 1 x+y = 5 x123 x123 y135 y432 2x-y=1 x+y=5 คาํ ตอบของระบบสมการ คอื (2, 3)

12 2. x + y = 0 … 2x + y = 2 1 2 2x + y = 2 … 0 -2 วธิ ที ํา x + y = 0 x -1 x -1 12 y4 y1 -1 -2 2x+y=2 x+y=0 3. 2x - y = 0 … คําตอบของระบบสมการ คือ (2, - 2) x - 2y = 6 … x - 2y = 6 x -2 0 1 วิธที าํ 2x - y = 0 y -4 -3 -2.5 x -2 0 1 y -4 0 2 2x-y=0 x-2y=6 คาํ ตอบของระบบสมการ คือ (- 2, - 4)

13 4. 3x - y = 3 … x … 2 +y = 4 วิธที าํ 3x - y = 3 x +y =4 2 x012 x0 1 2 y -3 0 3 3 y 4 3.5 คาํ ตอบของระบบสมการ คือ (2, 3) คาํ ชแ้ี จง : จงแสดงวธิ ีทํา 1. จงหาคา x และ y จากระบบสมการตอไปนี้ โดยวิธีการแทนคา 1.1) 2x + 3y = 3 … x + 5y = - 9 … วิธีทาํ จากสมการ  เขียน x ในรูปของ y จะได x = - 9 - 5y …  แทนคา x ในสมการ  2(- 9 - 5y) + 3y =3 -18 - 10y + 3y =3 - 7y = 21 y = -3

14 แทนคา y = - 3 ในสมการ  x = - 9 - 5(- 3) x =6 ดังนน้ั คําตอบของระบบสมการ คอื x = 6 และ y = - 3 หรือ (6, - 3) 1.2) 7x - 2y = 4 … 2x + y = 9 … วิธีทาํ จากสมการ  เขยี น y ในรูปของ x จะได y = 9 - 2x …  แทนคา y ในสมการ  7x - 2(9 - 2x) 7x - 18 + 4x =4 =4 11x = 4 + 18 11x = 22 x =2 แทนคา x = 2 ในสมการ  y = 9 - 2(2) y =5 ดงั นัน้ คําตอบของระบบสมการ คอื x = 2 และ y = 5 หรือ (2, 5) 1.3) x - 2y = 8 … 2x + y = 6 … วิธีทาํ จากสมการ  เขยี น x ในรปู ของ y จะได x = 8 + 2y …  แทนคา x ในสมการ  2(8 + 2y) + y 16 + 4y + y =6 =6 5y = 6 - 16 5y = - 10 y = -2 แทนคา y = -2 ในสมการ  x = 8 + 2(- 2) x =4 ดังนัน้ คาํ ตอบของระบบสมการ คือ x = 4 และ y = - 2 หรอื (4, - 2)

15 1.4) 2x + 5y + 9 = 0 … 3x = 4y - 2 … วิธีทาํ จากสมการ  เขียน x ในรูปของ y 4y −2 จะได x = 3 … แทนคา x ในสมการ  4y − 2  3 2  + 5y + 9 =0  8y − 4  + 5y +9 = 0 3 8y - 4 + 15y + 27 = 0 23y = - 23 y = -1 แทนคา y = - 1 ในสมการ  4(−1) − 2 x = 3 x = -2 ดังนน้ั คาํ ตอบของระบบสมการ คอื x = - 2 และ y = - 1 หรอื (- 2, - 1) 2. จงหาคา x และ y จากระบบสมการตอไปนี้ โดยวิธขี จดั ตวั แปร 2.1) 4x + y = 17 … 2x + y = 11 … วิธีทาํ สมการ  - สมการ  (4x + y) - (2x + y) = 17 - 11 2x = 6 x=3 แทน x = 3 ในสมการ  2(3) + y = 11 6 + y = 11 y = 11 - 6 y =5 ดังนัน้ คาํ ตอบของระบบสมการ คือ x = 3 และ y = 5 หรือ (3, 5)

16 2.2) 5x + y = 9 … x - 2y วิธีทาํ = 4 … สมการ  คูณ 2 10x + 2y = 18 …  สมการ  + สมการ  (x - 2y) + (10x + 2y) = 4 + 18 11x = 22 x =2 แทนคา x = 2 ในสมการ  5(2) + y = 9 10 + y = 9 y = -1 ดังนน้ั คาํ ตอบของระบบสมการ คอื x = 2 และ y = - 1 หรือ (2, - 1) 2.3) 2x + 7y - 3 = 0 5x + 4y + 6 = 0 วิธีทาํ จากโจทย จดั รูปสมการใหม ดงั น้ี 2x + 7y = 3 … 5x + 4y = -6 …  นาํ 5 คูณสมการ  10x + 35y = 15 …  นํา 2 คณู สมการ  10x + 8y = - 12 …  สมการ  - สมการ  (10x + 35y) - (10x + 8y) = 15 - (- 12) 27y = 27 y =1 แทนคา y = 1 ใน สมการ  2x + 7(1) =3 2x = 3 - 7 2x = - 4 x = -2 ดงั นน้ั คาํ ตอบของระบบสมการ คือ x = - 2 และ y = 1 หรือ (- 2, 1)

17 2.4) x + y =4 … 6 3 x 2y 12 + 3 =4 … วิธีทาํ จากโจทย จัดรปู สมการได ดงั น้ี x + 2y = 24 … x + 8y = 48 … สมการ  - สมการ  (x + 8y) - (x + 2y) = 48 - 24 6y = 24 y =4 แทนคา y = 4 ใน สมการ  x + 2(4) = 24 x + 8 = 24 x = 16 ดงั นัน้ คาํ ตอบของระบบสมการ คอื x = 16 และ y = 4 หรอื (16, 4) 1. ธนิตาและสุพรรณีมีเงินรวมกัน 1,560 บาท สองเทาของเงินธนิตามากกวาเงินของสุพรรณีอยู 570 บาท จงหาวาท้ังสองคนมีเงนิ คนละเทาใด วธิ ีทํา ให ธนติ า มเี งนิ x บาท สพุ รรณี มีเงนิ y บาท ทง้ั สองคน มีเงนิ รวมกัน 1,560 บาท เขียนสมการดงั น้ี x + y = 1,560 …  สองเทา ของเงินธนติ า มากกวา เงินของสุพรรณี 570 บาท เขยี นสมการดงั นี้ 2x - y = 570 … สมการ  + สมการ  3x = 2,130 x = 710 แทนคา x = 710 ใน สมการ  710 + y = 1,560 y = 850 ดังน้นั ธนติ า มเี งนิ 710 บาท สพุ รรณี มเี งนิ 850 บาท

18 2. บัตรเขา ชมพพิ ิธภณั ฑแหงหน่ึง ราคาบัตรสําหรับผูใหญ 3 คน และเด็ก 2 คน เปนเงิน 618 บาท และราคา บตั รสาํ หรบั ผใู หญ 2 คน เดก็ 1 คน เปน เงนิ 384 บาท จงหาราคาบตั รเขาชมพิพิธภณั ฑน ้ี วิธีทาํ ใหราคาบตั รเขา ชมพิพิธภณั ฑ สําหรับผูใหญ คนละ x บาท ราคาบตั รเขาชมพพิ ิธภัณฑ สาํ หรบั เด็ก คนละ y บาท 3x + 2y = 618 … 2x + y = 384 …  นาํ 2 คูณสมการ  4x + 2y = 768 … สมการ  - สมการ  x = 150 แทนคา x = 150 ในสมการ  2(150) + y = 384 300 + y = 384 y = 84 ดังนัน้ ราคาบตั รเขา ชมพพิ ธิ ภัณฑ สําหรับผใู หญ ราคา 150 บาท สาํ หรับเด็ก ราคา 84 บาท 3. รปู สเี่ หลี่ยมผืนผา ABCD ดาน AB ยาว 3x + 11 เซนตเิ มตร ดาน BC ยาว 2x - 1 เซนติเมตร ดาน CD ยาว 4y + 8 เซนตเิ มตร ดาน DA ยาว x + y เซนตเิ มตร จงหาคา ของ x และ y วิธีทาํ จากรปู ส่ีเหล่ียมผนื ผา A B C D AB = DC น้ันคือ 3x + 11 = 4y + 8 3x - 4y = - 3 … และ A D = BC นัน้ คอื x + y = 2x - 1 - x + y = -1 … นาํ 3 คณู สมการ  - 3x + 3y = - 3 … สมการ  + สมการ  -y = -6 y =6

19 แทนคา y = 6 ในสมการ  -x+6 = -1 -x = -7 x=7 ดังนนั้ จากรปู x = 7, และ y = 6 4. ชิ้นงานรูปส่ีเหลี่ยมคางหมู ดังรูป มีพื้นที่ 600 ตารางเซนติเมตร อัตราสวนของ x : y เทากับ 1 : 3 จงหา ความยาวเสนรอบรูปของช้ินงาน วิธีทาํ จากโจทย พ้ืนทีร่ ปู สเี่ หลยี่ มคางหมู = 1 (x + y)(20) 2 1 600 = 2 (x + y)(20) x + y = 60 … และ x : y = 1:3 x y = 1 3 3x = y 3x - y = 0 … สมการ  + สมการ  4x = 60 x = 15 แทน x = 15 ในสมการ  15 + y = 60 y = 45 ดังนั้น เสน รอบรปู ของรูปสี่เหลยี่ มคางหมเู ทา กบั 15 + 20 + 45 + 25 = 105 เซนตเิ มตร 5. ตัวตานทานสองตัว (R1 และ R2) ตอกันแบบอนุกรมในวงจรไฟฟาวงจรหน่ึง ซึ่งมีความตานทานรวม (Rt) เปน 1,500 โอหม ถาความตานทานตัวแรก R1 เพ่ิมขึ้นอีก 5% และความตานทานตัวที่สอง R2 เพ่ิมข้ึนอีก 10% ทําใหความตานทานรวมเปน 1,610 โอหม จงหาความตานทานเดิมของตัวตานทานแตละตัว เมื่อ Rt = R1 + R2

20 วิธีทาํ R1 + R2 = 1,500 …  ถา R1 เพมิ่ 5% และ R2 เพม่ิ 10% 1.05 R1 + 1.10 R2 = 1,610 …  นํา 1.10 คูณสมการ  1.10 R1 + 1.10 R2 = 1,650 …  สมการ  - สมการ  0.05 R1 = 40 R1 = 800 แทนคา R1 = 800 ในสมการ  800 + R2 = 1,500 R2 = 700 ดังนนั้ R1 = 800 โอหม และ R2 = 700 โอหม ตอนที่ 1 คาํ ช้ีแจง : เลอื กคาํ ตอบทถ่ี กู ตองท่ีสดุ เพยี งขอเดยี ว 1. ขอ ใดเปนสมการเชิงเสนสองตวั แปร x y ง. 2 + 4 = 1 2. คูอนั ดบั (1, 4) สอดคลองกับสมการในขอใด ค. y = 4x 3. กราฟของ x - 2y = 6 ตัดบนแกน y ทจี่ ุดใด ข. (0, - 3) 4. กราฟของ 2x + 3y = 9 ตัดบนแกน x ที่จุดใด ง. (4.5, 0) 5. จากระบบสมการ x - 3y = -3 ...........  2x + 3y = 12 ...........  คาของ x ตรงกับขอใด ข. 3 6. จากขอ 5 คาของ y + 2 ตรงกับขอใด ก. 4 7. จากระบบสมการ 5x + y = 4 ...........  x = 2y + 3 ........... 

21 คา ของ y ตรงกับขอใด ข. - 1 8. คอู ันดับในขอใด เปนคําตอบของระบบสมการ 3x + 2y = 7 และ 9x - 4y = 1 ข. (1, 2) 9. จงเขยี นกราฟของสมการ 2x - 3y = 6 ข. 10. จากระบบสมการ 3x + 2y = 9 4x - 3y = -5 คาของ x - y ตรงกับขอ ใด ค. - 2 ตอนท่ี 2 คําชีแ้ จง : จงเตมิ คาํ ตอบใหสมบูรณ 1. จงหาคําตอบของสมการ 2x + 3y = 12 และ x - y = 1 ตอบ x = 3, y = 2 3 2. จากสมการ y = - 2 x + 1 แสดงคา ของตวั แปรในตารางขา งลางนี้ a + b มคี าเทา ใด x -2 0 2 b y 4 1 a -5 ตอบ 2 3. อายุของบิดาและบุตรรวมกันเปน 46 ป สามเทาของอายุบิดาจะมากกวาอายุของบุตรอยู 94 ป อยากทราบวา บดิ าอายเุ ทา ใด ตอบ 35 ป 4. นาฬิกา 2 เรือน กับปากกา 10 ดาม ราคารวมกัน 1,800 บาท แตถานาฬิกา 5 เรือน รวมกับปากกา 20 ดาม จะมรี าคา 4,350 บาท อยากทราบวา นาฬิกา 1 เรอื น กบั ปากกา 1 ดาม ราคารวมกันเทาใด ตอบ 780 บาท 5. ABC เปนรูปสามเหล่ียมรูปหน่ึง มุม A มีขนาด 42 องศา มุม B จะมีขนาดใหญกวา 2 เทาของมุม C อยู 30 องศา จงหาขนาดของมุม C ตอบ 36 องศา

22 1. จงพจิ ารณาขอ ความตอ ไปนีโ้ ดยทาํ เคร่ืองหมาย  หนาขอทีถ่ ูกและ  หนา ขอทผี่ ิด  1.1) หมายเลขบัตรประชาชนเปนขอ มลู เชิงคณุ ภาพ  1.2) การเกบ็ รวบรวมขอมลู จากการทดลองเปนขอ มลู ทุติยภูมิ  1.3) การรับจํานวนนักเรียนที่มาสมัครเขาศึกษาตอระดับ ปวช. เปนการเก็บรวบรวมขอมูลโดยใช วธิ กี ารสาํ รวจ  1.4) จากการสํารวจนักเรียนชัน้ ป.1 - ม.3 ของไทยพบวามี ระดบั I.Q. เฉลย่ี เทากบั 98 เปน ขอ มูลสถิติ  1.5) ระเบยี บวิธกี ารทางสถติ ิ คอื การเก็บรวบรวม การนําเสนอ การวิเคราะห และการตีความหมาย ของขอ มูล แผนภมู แิ ทง แสดงความนิยมในการออกกําลังกาย ของนักเรยี นกลมุ หนงึ่ 1. นกั เรียนกลมุ นี้ มีก่ีคน 200 คน 2. นกั เรยี นนิยมวง่ิ หรอื จอ กกงิ้ คิดเปนรอยละเทา ใด รอ้ ยละ20 แผนภูมกิ งแสดงอาชีพของผปู กครองนักเรียนของโรงเรียนแหง หนงึ่ จาํ นวน 800 คน 1. ผปู กครองนักเรียนประกอบอาชพี ธรุ กจิ สวนตวั ก่ีคน 128 คน 2. ผปู กครองนักเรียนประกอบอาชพี เกษตรกรก่คี น 416 คน 3. สว นทแี่ สดงรบั ราชการทํามมุ กีอ่ งศา 25.2 องศา 4. สว นทแ่ี สดงพนักงานลูกจา งทํามมุ ก่อี งศา 90 องศา 1. ขอ มูลตอ ไปนเ้ี ปน จํานวนนกั เรียนของวทิ ยาลยั แหง หนึ่ง เปนดังน้ี ปี การศึกษา ปวส. ปริญญาตรี 2558 685 1,723 2559 525 1,902 2560 488 2,090 2561 465 2,141 1.1) จากขอ มูลท่กี ําหนดใหเปนการนาํ เสนอขอมูลในรปู แบบใด การนาํ เสนอขอ มูลในรปู ตาราง 1.2) จงนาํ เสนอขอมลู ในรปู แผนภมู แิ ทง 1.3) จงนาํ เสนอขอมลู ในรูปกราฟเสน

23 จาํ นวนนักเรียน 2,100 1,800 ปวส. ปรญิ ญาตรี 2558 2559 2560 2561 2. จากการสํารวจผูส ําเร็จการศกึ ษาที่ประสงคทาํ งานในปการศกึ ษา 2561 จาํ แนกตามภาคดงั น้ี ภาค จาํ นวนคน รอ้ ยละ ภาคกลาง 13,635 32.19 ภาคเหนือ 6,119 14.44 ภาคตะวันออก 2,243 5.29 ภาคตะวันตก 4,380 10.34 ภาคตะวันออกเฉียงเหนอื 11,601 27.39 ภาคใต 4,384 10.35 รวม 42,362 100 จงนําเสนอขอมลู ในรปู แผนภมู ิกง

24 ตอนที่ 1 คําชแ้ี จง : เลือกคําตอบทีถ่ ูกตองทสี่ ดุ เพียงขอ เดยี ว 1. ขอความตอไปนข้ี อใดถกู ต้อง ค. จากการสาํ รวจนักเรยี นไทยพบวา่ มี ระดบั I.Q. เฉล่ียเท่ากบั 98 เป็นขอ้ มูลสถิติ 2. ขอใดตอไปนก้ี ลา วไมถ่ กู ต้อง ค. ขอมูลรายไดของประชากรในชุมชนจากที่เขตจัดเปนขอ มูลทุติยภมู ิ 3. ขอใดตอ ไปน้ีไมถ กู ตอง ข. ขอ มูลที่ไดจากการสังเกตจัดเปนขอ มลู แหลง ทุติยภมู ิ 4. ระเบยี บวธิ ที างสถติ ติ รงกับขอใด ง. การเกบ็ รวบรวม การนําเสนอ การวิเคราะห์ และการแปลความหมายขอ้ มลู 5. ปา ยแสดงรายการและราคาของอาหารตามรานอาหารทวั่ ไปเปนเรอื่ งทางสถติ ใิ ด ค. การนาํ เสนอขอมูล 6. ขอใดไมใ ชว ิธกี ารเก็บรวบรวมขอ มลู ง. การสาธิต 7. ขอใดตอ ไปน้กี ลา วไมถ ูกตอ ง ข. บัณฑิตหญงิ 180 คน บัณฑติ ชาย 120 คน ท่ีจบการศึกษาแลวมงี านทาํ ภายใน 3 เดอื น ควร นําเสนอขอ มลู ดว ยแผนภมู วิ งกลม ขอมลู ตอไปน้ใี ชตอบคําถามขอ 8-9 แผนภมู แิ สดงการสํารวจคนท่ีทํางานในกรงุ เทพฯวา มีบานเกิดอยใู นภาคใดจาํ นวน 800 คน 8. จากการนําเสนอขา งตนเปน แผนภูมิรปู แบบใด ก. แผนภูมิกง 9. คนที่ทาํ งานในกรุงเทพฯ มีบานเกิดอยใู นภาคกลางมจี ํานวนก่ีคน ข. 280 คน 10. การนาํ เสนอขอ มลู มวี ัตถุประสงคส าํ คัญตรงกับขอ ใด ข. เผยแพรใ่ ห้ผสู้ นใจทราบ ได้อย่างสะดวกและชดั เจนขนึ้

25 ตอนที่ 2 คาํ ชแี้ จง : จงเติมคาํ ตอบใหส มบรู ณ 1. เดอื นไหนที่พนักงานขายท้ังสองคนมยี อดจําหนายเครื่องคอมพวิ เตอรเทากัน มีนาคม 2. ต้งั แตเดอื นมกราคม – เมษายน พิริยะมยี อดจาํ หนายเครือ่ งคอมพวิ เตอรเทา ใด 117 เครอ่ื ง 3. ต้ังแตเดือนมกราคม – เมษายน ใครมยี อดจําหนา ยเครื่องคอมพวิ เตอรไ ดมากกวากนั เทา ไร พิริยะมากกวา่ อมราจาํ นวน 3 เครอ่ื ง 4. เดอื นพฤษภาคมมยี อดจําหนา ยรถจักรยานยนตส งู กวา เดือนเมษายนรอ ยละเทาไร รอ้ ยละ 6 5. เดอื นมิถนุ ายนมยี อดจําหนา ยรถจักรยานยนตคดิ เปนรอ ยละเทาไร ของยอดจาํ หนา ยทง้ั หมด รอ้ ยละ 10 ใหน กั เรยี นหาคา ขอบเขตชัน้ จดุ กึ่งกลางชน้ั และความกวา งชั้น ของชว งคะแนนตอ ไปนี้ คะแนน ขอบเขตชั้น จุดกึ่งกลางชัน้ ความกวา งชัน้ 4.5 - 12.4 4.45 - 12.45 8.45 8 1.1) 20 - 28 19.5 - 28.5 24 9 1.2) 500 - 999 499.5 - 999.5 749.5 500 1.3) 3.30 - 3.51 3.295 -3.515 3.405 0.22 จากตารางแสดงรายไดเสริมตอ เดอื นของแมบ าน จาํ นวน 75 คน รายไดเ สรมิ ตอเดือน (บาท) จํานวนคน ต่าํ กวา 1,000 3 1,000 – 1,999 8 2,000 – 2,999 15 3,000 – 3,999 19 4,000 – 4,999 20 5,000 – 5,999 10 1. ใหนักเรยี นเตมิ คาํ ตอบใหสมบูรณ 1.1) ขอบเขตชัน้ ของอนั ตรภาคช้ันท่ี 3 มีคา เทา ไร ตอบ 1,999.5 - 2,999.5 1.2) รายไดเสรมิ ตอเดือนของแมบ านสว นใหญไ ดรับเทาไร ตอบ 4,000 - 4,999 บาท 1.3) แมบานท่มี รี ายไดเสรมิ ตอ เดือนตํ่ากวา 3,000 บาท มกี คี่ น ตอบ 26 คน 1.4) แมบานท่มี ีรายไดเสริมตอ เดอื นสงู กวา 3,999 บาท คิดเปน รอ ยละเทาไร 30 75 x 100 % = 40% นนั่ คือ รอ ยละ 40

26 1. ขอมูลตอไปน้เี ปนคะแนนสอบวชิ าภาษาองั กฤษ ของนกั เรียนจํานวน 40 คน เปนดังนี้ 39 53 67 41 72 69 57 45 78 61 74 93 64 49 92 78 87 65 91 95 68 73 47 88 56 71 64 55 48 59 52 81 85 66 65 51 49 43 58 76 จงสรา งตารางแจกแจงความถโี่ ดยกาํ หนดใหมจี ํานวน 5 อันตรภาคชั้น 95 −39 I = 5 = 11.2 ≈ 12 คะแนนสอบ รอย ความถ่ี ขอบเขต จดุ ความถ่ี รอ้ ยละความถ่ี คะแนน ชนั้ ก่ึงกลางชนั้ สมั พทั ธ์ สมั พทั ธ์ 20 39 - 50 IIII III 8 38.5-50.5 44.5 0.2 22.5 0.225 30 51 - 62 IIII IIII 9 50.5-62.5 56.5 0.3 12.5 63 - 74 IIII IIII II 12 62.5-74.5 68.5 0.125 15 75 - 86 IIII 5 74.5-86.5 80.5 0.15 100 87 - 98 IIII I 6 86.5-98.5 92.5 1 รวม 40 2. จงสรางตารางตอไปนใี้ หสมบูรณ คะแนน ขอบเขตชนั้ จดุ กึ่งกลางชนั้ ความถี่ ความถีส่ ะสม 21 8 8 17 - 25 16.5 - 25.5 30 7 15 39 12 27 26 - 34 25.5 - 34.5 48 9 36 57 4 40 35 - 43 34.5 - 43.5 44 - 52 43.5 - 52.5 53 - 61 52.5 - 61.5 3. จากผลคะแนนสอบวชิ าสถติ ขิ องนักเรียนจาํ นวน 30 คน 49 68 76 51 68 77 54 69 79 56 70 79 59 72 80 83 73 63 65 85 74 65 74 86 74 86 67 62 73 80 3.1) จงสรางตารางแจกแจงความถี่สะสม โดยใหอันตรภาคช้ันแรกและอันตรภาคชั้นสุดทายเปนอันตรภาค ชั้นเปด คือ ตํ่ากวา 55 และต้ังแต 85 ขึ้นไป ตามลําดับ และความกวางของอันตรภาคชั้นอ่ืนๆ เทากบั 6

27 คะแนน รอยขีด ความถี่ ความถีส่ ะสม ต่ํากวา 55 III 3 3 55 - 60 II 2 5 61 - 66 IIII 4 9 67 - 72 IIII I 6 15 73 - 78 IIII II 7 22 79 - 84 IIII 5 27 ต้งั แต 85 ข้นึ ไป III 3 30 3.2) จงหาจาํ นวนนักเรียนทีม่ ีคะแนนระหวา ง 67 -72 เทากับ 6 คน 3.3) จงหาจาํ นวนนักเรียนทม่ี ีคะแนนตํา่ กวา 79 คะแนนเทา กบั 22 คน 4. จากตารางแจกแจงความถ่ี แสดงน้ําหนกั ของนักเรยี นกลุมหนงึ่ จงเตมิ ตารางใหสมบูรณ นา้ํ หนัก ความถี่ ความถสี่ ะสม รอ ยละความถี่ รอยละความถี่ (กโิ ลกรัม) สมั พทั ธ สะสมสมั พทั ธ 41 - 50 3 3 10 10 51 - 60 6 9 20 30 61 - 70 15 24 50 80 71 - 80 3 27 10 90 81 - 90 3 30 10 100 4.1) นักเรียนกลุมนม้ี จี ํานวน 30 คน 4.2) นักเรียนที่มีนา้ํ หนกั นอ ยกวา 71 กโิ ลกรัม มจี ํานวน 24 คน คดิ เปนรอยละ 50 ของนกั เรยี นท้ังหมด 4.3) นักเรียนท่มี นี ้ําหนกั มากกวา 70 กโิ ลกรมั มจี าํ นวน 6 คน คิดเปน รอยละ 20 ของนกั เรยี นทั้งหมด จากแผนภาพตน -ใบของขอ มูลนักเรียนหอ งหนึ่งท่ีแสดงคะแนนสอบวชิ าสถิติ คะแนนเตม็ 100 คะแนน ตอไปนี้ ตน ใบ 38 4 5 6778 6 0 1 3 3559 7 0 2 3 6778 8 3599 9 0 0 1 5668

28 จงหา 1. จํานวนนกั เรยี นทเ่ี ขา สอบทัง้ หมด 30 คน 2. คะแนนสูงสดุ และตํา่ สุดของนกั เรียนกลุมน้ี 98 คะแนน และ 38 คะแนน ตามลาํ ดบั 3. จํานวนนักเรียนทมี่ ีคะแนนสอบต้ังแต 60 ถงึ 89 คะแนน 18 คน 12 4. จาํ นวนนกั เรียนทมี่ คี ะแนนสอบนอยกวา 70 คะแนนมกี ่ีเปอรเ ซน็ ต 30 x 100% = 40% 1. จากตารางแจงความถ่ีตอ ไปน้แี สดงคะแนนสอบของนกั เรียนหองหน่งึ วิธีทาํ คะแนน ความถ่ี ขอบเขตชั้น จุดกงึ่ กลางช้นั 40 - 49 4 39.5 - 49.5 44.5 50 - 59 12 49.5 - 59.5 54.5 60 - 69 14 59.5 - 69.5 64.5 70 - 79 10 69.5 - 79.5 74.5 80 - 89 8 79.5 - 89.5 84.5 90 - 99 2 89.5 - 99.5 94.5 1.1) ฮสิ โทแกรม 1.2) รปู หลายเหลีย่ มของความถ่ี

29 1.3) เสน โคงของความถ่ี 2. จากขอมูลทีส่ อบถามนกั เรียนจํานวน 20 คน พบวา นกั เรยี นกลุมน้ีเสียคาใชจายในการเดินทางมาวิทยาลัย ในแตล ะวันดังนี้ คา ใชจ ายแตละวนั (หนว ยเปน บาท) 2.1) จงสรา งแผนภาพตน - ใบ วิธีทาํ ตน ใบ 19 2 3444 3 156789 4 2344678 5 25 2.2) จงหาคาใชจายตํ่าสดุ และสูงสดุ ของนกั เรยี น 19 บาท และ 55 บาท 2.3) จงหาวานกั เรียนกลมุ นสี้ ว นใหญม คี าใชจายอยใู นชว งใด 40 - 49 บาท 2 2.4) จงหาวา มนี กั เรยี นกีเ่ ปอรเ ซ็นตมากกวา 50 บาท 20 x 100% = 10% 3. ขอมลู ตอไปน้ี เปนรายไดเ สรมิ ของแมบ านในแตละเดือน 3.1) จงสรางเสน โคงความถ่ีสะสม ความถี่สะสม 70 60 50 40 30 20 10 รายได 499.5 599.5 699.5 799.5 899.5 999.5 1099.5 1199.5

30 3.2) จงหาชวงรายไดเ สรมิ ทีแ่ มบา นสวนใหญไ ดรบั คือ 700 - 799 บาท 3.3) จากเสนโคงความถี่สะสมจงประมาณวามีแมบานที่มีรายไดเสริมตํ่ากวา 850 บาทตอเดือนอยู ประมาณ กี่คน 41 คน ตอนที่ 1 คาํ ช้ีแจง : เลือกคาํ ตอบทีถ่ กู ตอ งท่สี ุดเพียงขอเดียว 1. ขอ ใดตอ ไปน้ีไมถูกตอ ง ง. อนั ตรภาคชนั้ แรก หรอื อนั ตรภาคชั้นสุดทา ยตองไมเ ปน อนั ตรภาคชน้ั เปด 2. ขอมูลชดุ หนง่ึ มีดังนี้ 9, 12, 7, 5, 13, 24, 10, 12, 18, 16, 14, 20, 8, 7 ถาตองการสรา งตารางแจกแจง ความถที่ ีม่ ีความกวา งเทา กนั ทกุ อนั ตรภาคช้นั จํานวน 5 ชัน้ ความกวางแตละช้นั ตรงกับขอ ใด ข. 4 3. จากตารางอายุการใชง านของหลอดไฟทสี่ ุมมาทดสอบเปนดังน้ี อายุการใชง าน (เดือน) จาํ นวนหลอดไฟ 1-3 5 4-6 6 7-9 4 10 - 12 5 จากขอมูลขา งตน ขอ ใดตอ ไปนี้กลาวไมถ ูกตอ ง ค. ขอบเขตของอนั ตรภาคชน้ั 4 - 6 คอื 4.5 - 6.5 4. จากตารางแจกแจงความถแี่ สดงเวลาท่ใี ชอ านหนังสือเรยี นของนกั ศึกษา เวลา (นาที) / วัน จาํ นวนนกั ศกึ ษา 10 – 19 3 20 - 29 8 30 – 39 10 40 – 49 15 50 – 59 4 จงพจิ ารณาขอ ความตอ ไปนขี้ อใดไมถ ูกตอ ง ข. ความถส่ี ะสมสมั พทั ธของช้นั ที่ 4 คอื 0.36

31 จากตารางแจกแจงความถตี่ อ ไปน้ี ตอบคําถามขอ 5-6 ความถ่ี 2 อนั ตรภาคชนั้ 6 11-15 8 16-20 4 21-25 26-30 5. จุดกึง่ กลางของชั้นท่ี 2 ตรงกบั ขอ ใด ข. 18 6. อันตรภาคชนั้ ของช้นั ที่ 3 มีความถ่ีสมั พทั ธต รงกับขอ ใด ข. 0.40 7. ตารางการแจกแจงความถขี่ องคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรของนักศกึ ษาจํานวน 50 คน ไดดังน้ี คะแนน ความถส่ี ะสม 30 - 39 5 40 - 49 13 50 - 59 23 60 - 69 41 70 - 79 47 80 - 89 ขอใดตอ ไปนี้ไมถ ูกตอ ง ข. นักเรียนที่ไดคะแนนนอ ยกวา 50 คะแนน คดิ เปนรอยละ 36 ตารางแจกแจงความถต่ี อไปนี้ ตอบคําถามขอ 8-9 อนั ตรภาคชนั้ ความถ่ี 1.4 - 1.9 8 2.0 - 2.5 22 2.6 - 3.1 20 3.2 - 3.7 7 3.8 - 4.3 3 8. ขอบเขตชน้ั ของอันตรภาคชัน้ 2.6 - 3.1 ตรงกับขอ ใด ค. 2.55 - 3.15

32 9. จุดกงึ่ กลางของอันตรภาคชนั้ ท่ีมคี วามถีส่ ะสมเทากับ 50 ตรงกับขอ ใด ง. 2.85 10. จากตารางคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร เร่อื ง การแจกแจงความถี่ ของนกั เรียนชนั้ ปวช. คะแนน ความถี่ 1-5 2 6 - 10 11 - 15 6 16 - 20 8 4 ขอใดถกู ตอง ง. ความถสี่ ะสมของอนั ตรภาคชนั้ ที่ 3 คือ 16 11. จากตารางแจกแจงความถข่ี องนาํ้ หนักของพนกั งานบริษทั แหง หนงึ่ จํานวน 50 คน ไดด งั นี้ นาํ้ หนกั (กก.) จาํ นวนพนกั งาน 45.7 – 50.1 5 50.2 – 54.6 9 54.7 – 59.1 10 59.2 – 63.6 18 63.7 – 68.1 8 ขอ ใดไมถ่ กู ต้อง ค. ขอบเขตของชนั้ ท่ี 5 คือ 63.75 - 68.15 12. ขอ ใดตอ ไปน้ีไมถ ูกตอง ข. การสรา้ งรปู หลายเหล่ียมของความถจ่ี าํ เป็นต้องสรา้ งฮิสโทแกรมก่อน 13. คอู นั ดบั ในขอใดใชเ ขียนกราฟเสน โคงความถส่ี ะสม ค. (ขอบบน, ความถี่สะสม) ตอบคําถามขอ 14-15 จากแผนภาพตน-ใบ ของขอมลู ทแี่ สดงอายขุ องผเู ขาชมงานนิทรรศการแหงหนึง่ ในชว งเวลา 10.00-11.00 น. เปน ดังนี้ ตน ใบ 0 95 1 284 2 3 0889724 4 32661 5 297

33 14. จงหาผลตางของอายุสงู สุดและตาํ่ สดุ ของผเู ขาชมงาน ข. 54 ปี 15. จงหาวา มกี ี่เปอรเซ็นตข องผชู มงานที่มีอายตุ ง้ั แต 30 ปข ึ้นไป ของผูเ ขา ชมงานทงั้ หมดในชวงเวลาดงั กลา ว ง. 75% ตอนที่ 2 คําชี้แจง : จงเตมิ คําตอบใหส มบูรณ ใชต อบคําถาม ขอ 1 - 3 ตารางแจกแจงความถ่ขี องคะแนนสอบของนักเรยี น 50 คน ไดดังนี้ คะแนน จํานวน 30 - 39 5 40 - 49 8 50 - 59 10 60 - 69 18 70 - 79 6 80 - 89 3 1. จงหาขีดจาํ กัดช้ันลา งจรงิ หรือขอบลาง และจดุ กึง่ กลางของชัน้ ท่ี 2 เทากับ 39.5 และ 44.5 ตามลําดบั 2. ความถีส่ มั พทั ธข องชนั้ ที่ 4 มคี าเทา ใด 0.36 3. ความถี่สะสมสมั พทั ธข องชั้นท่ี 3 มคี าเทาใด 0.46 ขอมูลตอไปน้ี ใชต อบคาํ ถามขอ 4-5 จากเสนโคง ความถ่ีสะสมแสดงนา้ํ หนักของนกั เรยี นกลมุ หนึง่ (หนว ยเปน กโิ ลกรัม) จํานวน (คน) 4. นกั เรยี นทีม่ ีนํา้ หนกั มากกวา 20.5 กโิ ลกรมั มีกคี่ น 30 5. จาํ นวนนกั เรียนทม่ี ีน้ําหนักอยรู ะหวาง 23.5 - 26.5 กโิ ลกรมั มอี ยกู ค่ี น 15

34 1. จงเขยี นผลบวกของเทอมตอไปน้อี ยใู นรูปสัญลักษณแสดงผลบวก 1.1) x2 + x3 + … + x15 = 15 x i ∑ i=2 i∑1=01fi x i 1.2) f1x1 + f2x2 + … + f10x10 = ( ) )k ∑ i=1 1.3) (x1 - y1) + (x2 - y2)+ … +(xk - yk) = xii -−yiy i 1.4) 5x4 + 5x5 + … + 5x10 = 10 5x i ∑ i=4 ( )9 1.5) (3y1+ 5) + (3y2+ 5) + … + (3y9+ 5) = (3 y i ++55 ) ∑ i=1 จงแสดงวิธีทาํ 1. กําหนดให x1 = -2, x2 = 4, x3 = 5, x4 = -3, x5 = 0 y1 = 2, y2 = -4, y3 = 5, y4 = -1, y5 = 2 f1 = 10, f2 = 5, f3 = 2, f4 = 4 และ c = 5 จงหาคาของ 1.1) i∑=41fi i∑=41fi = f1 + f2 + f3 + f4 วิธีทาํ = 10 + 5+ 2 + 4 5 = 21 1.2) ∑ cx i i=1 5 5 วิธีทาํ cx i = c x i ∑ ∑ i=1 i=1 ( )= 5 x1 + x2 + ... + x5 = 5[(-2) + 4 + 5 + (-3) + 0] = 5 x 4 = 20

35 1.3) 5 x i y i ∑ i=1 5 วิธีทาํ x i y i = (x1y1 + x2y2 + x3y3+ x4y4 + x5y5) ∑ = [((-2) x 2) + (4 x (-4)) + (5 x 5) + ((-3) x (-1)) + (0 x 2)] i=1 ( )5 = [(-4) + (-16) + 25 + 3+0] = 8 1.4) ∑ yi −4 2 i=2 ( )5 วิธีทาํ ∑ yi −4 2 = (y2 - 4)2 + (y3 - 4)2 +(y4 - 4)2 +(y5 - 4)2 = (-4 -4)2 + (5 - 4)2 +(-1 - 4)2 +(2 - 4)2 i=2 ( )4 = 64 + 1 + 25 + 4 = 94 1.5) ∑ fi x i +3 i=1 4 (i∑f=411xf1i 4 ( )วิธีทาํ ∑ fi x i +3 = xi + ∑ 3 = + f2x2i=+1 f3x3 i=1 + f4x4) + (3 x 4) = [(10 x (-2)) + (5 x 4) + (2 x 5) + (4 x (-3))] + 12 = [(-20) + 20 + 10 + (-12)] + 12 = 10 1. คาใชจายตอวันของนักเรียน 5 คน เปนดังนี้ 200 240 260 230 250 บาท จงหาคาใชจายเฉลี่ยตอวัน ของนกั เรียนกลมุ น้ี 5 x i ∑ x = i=1 วิธที าํ N = 200 + 240 + 260 + 230 + 250 = 5 x 1,180 = 236 5 ดงั นัน้ คา ใชจ า ยเฉล่ยี ตอ วนั ของนกั เรียนกลุม นเี้ ทา กับ 236 บาท

36 1. นักเรียน 8 คน มีน้ําหนัก (หนวยเปนกิโลกรัม) ดงั นี้ 45, 39, 40, 42, 43, 47, 37 และ 41 ตามลําดบั จงหาคา เฉลย่ี ของเลขคณติ นา้ํ หนกั นกั เรียนกลมุ นี้ 45+ 39+ 40+ 42+ 43+ 47+ 37+ 41 334 x = 8 = 8 x = 41.75 ดังนัน้ คาเฉลี่ยเลขคณติ น้ําหนักนกั เรยี นกลมุ นีเ้ ทากับ 41.75 กิโลกรมั 2. ไขไกขนาดใหญ ขนาดกลาง และขนาดเล็ก ราคาฟองละ 3.20 บาท 2.80 บาท และ 2.50 บาท ตามลําดับ ถาแมคาคนหน่ึงซื้อไขไกขนาดใหญ 50 ฟอง ขนาดกลาง 30 ฟอง และขนาดเล็ก 20 ฟอง โดยเฉล่ียแลว แมค าคนน้ีซ้ือไขไกมาฟองละก่ีบาท (50×3.20) +(30×2.80) +(20×2.50) x = 50 + 30 + 20 = 294 100 = 2.94 ดงั น้ัน โดยเฉล่ยี แลว แมคา คนนซ้ี ื้อไขไ กมาฟองละ 2.94 บาท 3. จากตารางแจกแจงความถี่ จงคํานวณหาคาเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใชในการเปดบัญชีเงินฝากของลูกคา ธนาคารแหงหน่งึ เวลาท่ีใช้ (นาที) จาํ นวนลกู คา้ (fi) xi fixi 10 - 19 3 14.5 43.5 20 - 29 5 24.5 122.5 30 - 39 10 34.5 345 40 - 49 12 44.5 534 50 - 59 20 54.5 1,090 N = 50 i∑=51fix i = 2,135 วธิ ที าํ x = i∑=k1fix i N 2,135 x= 50 = 42.70 นาที ดังนัน้ คา เฉลีย่ เลขคณติ ของเวลาที่ใชในการเปดบัญชีเงินฝากของลูกคา เทากับ 42.70 นาที

37 จากตารางแจกแจงความถี่ตอ ไปน้ี จงหาฐานนยิ มความสงู ของพนักงาน 60 คนของบรษิ ทั แหง หน่งึ ส่วนสงู (ซม.) จาํ นวน (คน) 140 - 144 6 145 - 149 10 150 - 154 16* ฐานนยิ ม 155 - 159 14 160 - 164 8 165 - 169 4 170 - 174 2 วิธีทาํ 1. ชัน้ ฐานนยิ ม คอื อันตรภาคชนั้ ทม่ี ีความถี่สูงสุด คือ 150 - 154 2. ถา L0 = 149.5 I = 154.5 - 149.5 = 5 d1 = 16 -10 = 6 d1 = 16 -14 = 2 แทนคา ในสตู รจะได ฐานนยิ ม = Lo + I d1 d1 d 2  + = 149.5 + 5 6 6 2  = 149.5 + 3.75 + = 153.25 ดังนัน้ ฐานนิยมความสูงของพนกั งานกลุมนี้ คอื 153.25 เซนติเมตร จากขอมูลในตารางตอไปน้ี จงหามัธยฐานของอายุพนกั งานในบรษิ ัทแหง หนึ่ง วิธีทาํ 1) หาความถส่ี ะสม อายุ (ปี ) จาํ นวนพนักงาน ความถ่สี ะสม 20-24 3 3 25-29 4 7 30-34 6 13 35-39 10 23* ชน้ั มธั ยฐาน 40-44 9 32 45-49 4 36 50-54 3 39 55-59 1 40

38 2) หา N = 40 = 20 มัธยฐานจะตกอยใู นตาํ แหนง ท่ี 20 2 2 จากความถสี่ ะสม ชั้นมธั ยฐานอยชู ้ันท่ี 4 ความถส่ี ะสมของชั้นนี้ คือ 23 3) หาคา L0 = 34.5, I = 39.5 - 34.5 = 5 fm = 10 และ ∑ fL = 13 N2 4) จากสูตร มธั ยฐาน = L o + I  −∑ fL     fm  420 −13 = 34.5 + 5  10      = 34.5 + 3.5 = 38 ดงั นัน้ มธั ยฐานของอายุพนกั งานในบรษิ ทั แหง น้ี คือ 38 ปี 1. จงหาฐานนยิ ม และมัธยฐาน ของขอมลู ชุดตา งๆ ตอไปน้ี 1.1) 4 5 5 7 9 7 6 ฐานนิ ยม มธั ยฐาน 1.2) 12 6 2 4 10 8 1.3) 7 7 7 7 7 5,7 6 ไม่มี 7 7 7 2. คุณพอมีนํ้าหนัก 87 กิโลกรัม คุณแมและลูกคนโตมีนํ้าหนักเทากันคือ 60 กิโลกรัม ลูกคนกลางมีนํ้าหนัก 59 กิโลกรัม และลูกคนเล็กมีน้าํ หนกั 65 กโิ ลกรมั จงหา คามัธยฐานของน้ําหนักของครอบครวั น้ี เทา กบั 60 คา ฐานนยิ มของนํา้ หนกั ของครอบครัวน้ี เทา กับ 60 3. คะแนนสอบของนกั เรยี น 15 คน เปนดังนี้ 20, 23, 25, 25, 25, 35, 40, 50, 50, 25, 35, 45, 27, 30 และ 40 จงหาฐานนิยมและมธั ยฐานของขอมลู ชุดนี้ วิธีทํา เรียงขอมลู ไดด งั น้ี 20, 23, 25, 25, 25, 25, 27, 30, 35, 35, 40, 40, 45, 50, 50 บาท 15 +1 ตําแหนง มธั ยฐาน คือ 2 = 8 มธั ยฐานของขอ มลู ชุดน้ี คือ 30 คะแนน ฐานนยิ มของขอ มลู ชดุ น้ี คือ 25 คะแนน

39 4. จากตารางแจกแจงความถข่ี องคะแนนสอบเปน ดังนี้ จงหาฐานนยิ มและมัธยฐาน คะแนนสอบ จาํ นวน ความถสี่ ะสม 59 - 64 4 4 1 5 65 - 70 8 13 71 - 76 2 15 77 - 82 5 20 83 - 88 รวม 20 วิธีทาํ 1) ฐานนยิ ม = Lo + I d1 d1 d2  + = 70.5 + 6  7 7 6  + = 70.5 + 3.23 = 73.73 ฐานนิยมเทา กบั 73.73 คะแนน N2 2) มธั ยฐาน = L o + I  −∑ fL   fm   220 −  8 = 70.5 + 6  5  = 70.5 + 3.75 = 74.25 มธั ยฐานเทา กบั 74.25 คะแนน 5. จากตารางแจกแจงความถี่ แสดงผูท่ีไดร ับเลือกตั้งสมาชิกสภาผแู ทนราษฎร จาํ แนกตามอายุ อายุ (ปี ) ความถ่สี ะสม (คน) ความถ่ี (คน) 18 - 29 5 5 30 - 39 95 90 40 - 49 225* 130* 50 - 59 345 120 60 - 69 385 40 70 ปข น้ึ ไป 400 15 จงหาฐานนิยมและมัธยฐาน

40 1) ฐานนยิ ม = Lo + I d1 d1 d  + 2 = 39.5 + 10  40  40 + 10 = 39.5 + 8 = 47.5 ฐานนิยมเทากบั 47.5 ป N2 2) มัธยฐาน = Lo + I −∑ fL  fm  4200 − = 39.5 + 10  130 95    = 39.5 + 8.08 = 47.58 มธั ยฐานเทากบั 47.58 ป 6. ขอมูลในตารางตอไปน้ี ควรเลือกใชก ารวัดแนวโนม เขาสูสวนกลางวธิ ใี ดเหมาะสมทีส่ ุดและมีคาเทาใด อายุ (ปี ) จาํ นวน ความถี่สะสม นอยกวา 20 8 8 20 - 29 13 21 30 - 49 10 31 50 - 59 10 41 ตั้งแต 60 ข้ึนไป 9 50 รวม 50 N2 มัธยฐาน = Lo + I −∑ fL  fm  520 − = 29.5 + 20  10 21    = 29.5 + 8 = 37.5 มธั ยฐานเทากบั 37.5 ป

41 7. จากตารางแจกแจกความถี่คา ใชจ ายของนกั เรยี นจาํ นวน 75 คน ดงั ตอ ไปน้ี ควรเลอื กใชก ารวัดแนวโนมเขาสูสวนกลางวิธีใดท่เี หมาะสมกับขอมูลชุดน้ี และมคี า เทากบั เทาใด วิธีทาํ คา ใชจ าย (บาท) จํานวน (คน) ความถสี่ ะสม 600 - 999 12 12 1,000 - 1,499 12 24 1,500 - 1,999 6 30 2,000 - 2,499 25 55* ต้งั แต 2,500 บาทข้ึนไป 20 75 N มัธยฐาน = Lo + I  2 −∑ fL   fm      75 = 1,999.5 + 500  2 − 30     25    500×7.5 = 1,999.5 + 500  25  = 1,999.5 + 150 = 2,149.5 ดังนัน้ มัธยฐานของคาใชจ าย คอื 2,149.5 บาท ตอนที่ 1 คาํ ช้ีแจง : เลอื กคําตอบที่ถูกตองทีส่ ุดเพยี งขอ เดยี ว 1. กําหนดให 10, 25, 14, 15, 21, 26, 26 จงหาฐานนยิ ม ตรงกับขอ ใด ง. 26 2. จงหาคะแนนความพงึ พอใจโดยเฉลย่ี ในการใหบ ริการของรา น ค. 4 3. คาฐานนิยมตรงกบั ขอ ใด ก. 7.5 4. กาํ หนดให 10, 25, 14, 15, 21, 26, 26 จงหามธั ยฐาน ตรงกับขอ ใด ง. 21 5. ขอใดตอ ไปน้ีไมถ กู ตอง ง. คาฐานนยิ มเทากนั 62.5

42 6. ขอมูลชุดหนึง่ ประกอบดว ย 11, 8, 12, 7, 16, 5, 10, 12, 14, 20 คาเฉลี่ยเลขคณติ ตรงกบั ขอใด ค. 11.5 7. อันตรภาคช้ันทมี่ ีคา มธั ยฐาน ตรงกับขอใด ข. 10 - 19 8. คาเฉลย่ี เลขคณติ ของขอ มลู ชดุ นต้ี รงกับขอใด ค. 21 คะแนน 9. ขอใดกลาวไมถ ูกตอ ง ค. คามธั ยฐานเทา กับ 4.5 10. สวนใหญนักเรียนมีคา ใชจ ายตอวันเทากับขอ ใด ข. 101.75 บาท 11. ตําแหนง ฐานนยิ มอยใู นชว งนํา้ หนกั ใด ง. 69 - 71 12. จากขอ มลู มธั ยฐานตรงกับขอ ใด ค. 67.38 (4 13. กําหนดให x1 = - 2, x2 = 4, x3 = 5, x4 = - 3 จงหาคาของ 5xi − 10 ) ∑ ง. - 20 i=1 14. คาใชจ ายตอ วนั ของนักเรียนกลุมหน่ึงเปนดังน้ี 305 32 30 28 42 45 35 40 45 100 จากขอมูลชุดนี้ คา กลางทเี่ หมาะสมคอื วธิ ใี ดและมคี า เทา ใด ก. มัธยฐาน, 41 15. คา กลางทเี่ หมาะสมท่สี ดุ คอื วธิ ีใดและมีคาเทาใด ข. มธั ยฐาน, 55.5 ปี ตอนที่ 2 คําช้แี จง : จงเตมิ คาํ ตอบใหส มบรู ณ 1. จากขอมลู คา เฉลยี่ เลขคณิตมคี า เทา กับ 62.45 คะแนน 2. ขอมูลชุดหนึ่งมี 5 จํานวน หายไป 1 จาํ นวน คงเหลอื 4 จํานวนคือ 25, 31, 42 และ 30 ถา คา เฉล่ียเลขคณิตของขอมูลชุดน้เี ปน 36 จํานวนที่หายไปมีคา เทากับ 52 3. ในการทดสอบความรูเกี่ยวกับประชาคมอาเซียนของนักเรียนกลุมหนึ่งจากคะแนนเต็ม 50 คะแนน พบวา นักเรียนชาย 40 คน ไดคะแนนเฉลี่ย 30 คะแนน และนักเรียนหญิง 60 คน ไดคะแนนเฉล่ีย 40 คะแนน อยากทราบวา นักเรยี นกลุม น้ีไดค ะแนนเฉลีย่ เทากับ 36 4. ฐานนิยมและคา เฉลย่ี เลขคณติ 5. 5.1 คามธั ยฐานทค่ี ํานวณไดจ ะอยใู นชว ง 4 - 6 เลม 5.2 คา ฐานนยิ ม เทากบั 5.5 5.3 คาเฉล่ยี เลขคณติ เทา กับ 6.95

43 จงแสดงวิธีทาํ 1. จากขอ มูลตอไปนเ้ี ปนคะแนนสอบวิชาภาษาไทย ของนักเรียน 32 คน ไดค ะแนนดังน้ี 30 34 39 40 47 49 50 50 51 52 52 53 54 54 54 54 55 56 57 58 58 59 60 61 63 64 64 69 69 69 70 71 จงหา 1.1) เปอรเ ซน็ ไทลท ่ี 40 40(32 + 1) หา P40 หาตําแหนงทข่ี อง P40 = 100 = 13.2 ดงั นั้น P40 เทากับ 54 คะแนน 1.2) คะแนนที่แสดงวา มีนกั เรยี น 50% ของนกั เรียนทงั้ หมดทีไ่ ดค ะแนนตํา่ กวาคะแนนนน้ั 50(32 + 1) หา P50 หาตาํ แหนงทข่ี อง P50 = 100 = 16.5 ตําแหนง ทตี่ างกัน 17 - 16 = 1 คะแนนตางกนั 55 - 54 = 1 คะแนน 1×0.5 ตาํ แหนง ทีต่ างกัน 16.5 - 16 = 0.5 คะแนนตางกัน 1 = 0.5 คะแนน ดังนนั้ P50 = 54 + 0.5 = 54.5 คะแนน ดังนน้ั มีนักเรยี น 50% ของนกั เรยี นทัง้ หมดทไ่ี ดคะแนนตา่ํ กวา 54.5 1.3) คะแนนสอบ 61 คะแนนตรงกบั เปอรเ ซ็นไทลท ่เี ทาใด คะแนน 61 อยใู นตําแหนง ท่ี 24 x(N +1) ตําแหนง ท่ขี อง Px = x(31200+1) = 24 24 = 100 24×100 = x 33 = x 72.73 ดงั นน้ั คะแนนสอบ 61 คะแนน ตรงกบั เปอรเ ซน็ ไทลท ี่ 72.73

44 2. จากตารางแจกแจงความถต่ี อไปนี้ ความถี่ ความถสี่ ะสม สว นสูง (ซม.) 3 3 118 - 126 8 5 17 127 - 135 29 9 34 136 - 144 12 38 145 - 153 40 5 154 - 162 4 163 - 171 2 172 - 180 2.1) สวนสูง 146.75 เซนตเิ มตร ตรงกบั เปอรเ ซ็นไทลทเี่ ทา ไร  Nx − ∑ fL   100  จาก Px = L + I    fPX  146.75 = 144.5 + 9  40x −17   100   12    12 4x (146.75 - 144.5) x 9 = 140x - 17 3 + 17 = 10 20×10 = x 4 x= 50 ดังนน้ั สวนสูง 146.75 เซนตเิ มตร ตรงกับเปอรเ ซน็ ไทลท ่ี 50 2.2) เปอรเซ็นไทลท ี่ 99 มคี า เทาไร Nx 40(99) หาตําแหนง ของ P99 = 100 = 100 = 39.6 จาก Px = L + I  Nx − ∑ fL   100   fPX    40(99) P99 = 171.5 + 9  100 − 38     2   

45 = 171.5 + 9 39.6 −38  2  Px = 171.5 + 7.2 = 178.7 ดงั นน้ั เปอรเซ็นไทลท ่ี 99 มีคา เปน 178.7 เซนตเิ มตร 2.3) ถา สภุ าภรณอยใู นวิทยาลัยแหงนี้ มีสว นสูงเปน อันดบั 5 จากสว นสูงสูงสดุ จงหาสว นสูงของ สุภาภรณ สวนสงู เปน อันดบั 5 จากสว นสูงสูงสดุ นนั่ คอื ตําแหนง ที่ 36 Nx จาก Px = L + I  100 −∑ fL   fPX      36−34  = 162.5 + 9  4  = 162.5 +  9 × 2  = 162.5 + 4.5 4 Px = 167 ดังนน้ั สว นสงู ของสภุ าภรณเ ปน 167 เซนตเิ มตร ตอนท่ี 1 คาํ ชแี้ จง : เลือกคําตอบที่ถูกตองทส่ี ดุ เพียงขอเดยี ว 1. จากผลการสอบของนักเรียนหองหน่งึ 50 คน ปรากฏวา “วัชรธรสอบไดเ ปน เปอรเซน็ ไทลที่ 90” ขอความใดมีความหมายตรงกบั ขอ ความดังกลา วมากทสี่ ดุ ง. จาํ นวนนักเรียนท่ีสอบได้คะแนนตาํ่ กว่าวชั รธรมี 45 คน 2. คะแนน P80 คือขอ ใด ง. 80 3. ผลบวกของคะแนน ณ P80 กบั P75 คอื ขอ ใด ก. 158 4. ผูท ่ีทําได 70 คะแนนจะอยูใ นเปอรเ ซ็นไทลใ ด ค. 60 5. จงหาเปอรเ ซ็นไทลท ่ี 75 ของขอ มลู 11, 5, 8, 4, 16, 9, 19 และ 6 ง. 14.75 6. จากตารางอายุ (ป) ของคนกลมุ หน่งึ อายุ (ปี ) 20 25 27 33 41 44 จาํ นวน (คน) 3 5 2 6 1 3 จงหา P45 ก. 27.0

46 7. ในการช่ังนํ้าหนักของสินคาเปนดังน้ี 160, 110, 116, 155, 145, 180, 113 และ 120 กิโลกรัม อยากทราบ ค. P50 วา น้าํ หนักสินคา 132.50 กโิ ลกรัมตรงกับเปอรเซน็ ไทลท เี่ ทาใด จากขอมลู ตอไปน้ใี ชต อบคาํ ถามขอ 8-10 คะแนน 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 รวม 74 30 ความถ่ี 3 6 10 8. คะแนน ณ P60 คอื ขอใด ค. 24 9. คะแนน ณ P30 คอื ขอใด ง. 19.5 10. คะแนน 27 ตรงกบั เปอรเซ็นไทลใด ค. P75 ตอนที่ 2 คําชี้แจง : จงเติมคําตอบใหสมบรู ณ 1. นกั เรยี น 8 คนมีสวนสูงดงั น้ี 156, 169, 152, 150, 157, 151, 149 และ 154 เซนตเิ มตร จงหาสวนสงู ทีแ่ สดง วา มีนักเรยี นจํานวน 35% ของนักเรยี นทัง้ หมดมีสวนสูงต่ํากวาสว นสูงนน้ั ตอบ 151.15 เซนติเมตร 2. คนทม่ี ีสว นสงู 154 เซนตเิ มตร ตรงกับเปอรเ ซน็ ไทลท เ่ี ทา ใด ตอบ 56 3. ขอมูล 6, 15, 4, 20, 45, 32, 50, 60, 19, 42, 21 และ 55 จงหา P55 ตอบ 33.50 4. ตารางอายุการใชง านของหลอดไฟทส่ี ุม มาทดสอบจาํ นวน 20 หลอด อายุการใชงาน (เดอื น) จาํ นวนหลอดไฟ 1-3 5 4-6 6 7-9 4 10 - 12 5 เปอรเซ็นไทลท่ี 50 มีคา เทาใด ตอบ 6 5. ตารางแสดงผลการสอบวชิ าสถิติประจําภาคปลายปก ารศึกษา 2555 คะแนน จาํ นวนนักศึกษา ต่าํ กวา 30 5 30-49 25 50-69 40 70-89 20 ตัง้ แต 90 ขึน้ ไป 10 บอยสอบได 68.5 คะแนน อยากทราบวา อยตู รงกบั เปอรเ ซน็ ไทลท เ่ี ทาใด ตอบ 68

47 1. จงหาพิสัยคะแนนสอบของนกั เรยี นกลุมหนงึ่ มขี อ มูลดังนี้ (หนวยเปน คะแนน) 13 17 20 16 17 20 18 23 19 พสิ ยั = คาสูงสุด - คาตํ่าสดุ = 23 - 13 = 10 2. จากตารางคะแนนสอบวชิ าสถติ ขิ องนกั เรยี น 30 คน จงหาพิสยั คะแนนสอบ 21 - 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40 41 - 45 จํานวนคน 4 6 10 6 4 พสิ ยั = ขอบบนของอนั ตรภาคช้ันทม่ี ขี อ มลู มีคาสูงสุด - ขอบลางของอนั ตรภาคชั้นทม่ี ขี อมูลมคี า ตํ่าสดุ = 45.5 - 20.5 = 25 3. ขอมูลกลุมหนึ่งมี 50 จํานวน มีคามากท่ีสุด เปน 8.34 และพิสัย 0.46 จงหาวาขอมูลกลุมน้ี มีคานอยท่ีสุด เทา กบั 7.88 1. จงหาสว นเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ มูลตอ ไปนี้ 10 6 8 2 4 n x 2 −(x)2 i ∑ i=1 สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ; S= N 5 คาเฉลยี่ , X i 10 + 6 +8 + 2 + 4 = 30 =6 ∑ 5 5 i=1 x = N = 5 x 2 = 102 + 62 + 82 + 22 + 42 = 220 i ∑ i=1 220 S = 5 − 62 = 44 − 36 S = 8 = 2.83 สว นเบีย่ งเบนมาตรฐาน คอื 8 = 2.83

48 1. จงคาํ นวณคา การวัดการกระจายของขอ มลู ตอไปน้ี 9 10 6 5 7 8 4 1.1) พสิ ยั R = คา สงู สุด - คา ตา่ํ สดุ = 10 - 4 = 6 1.2) ความแปรปรวนและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน n x 2 ∑ i ความแปรปรวน, S2 = i=1N −(x)2 คาเฉล่ยี x = ∑Xi = 9 +10 + 6 + 5 + 7 + 8 + 4 = 49 = 7 N 7 7 และ x = 7, N = 7 i∑=71X12 S2 = 92 + 102 + 62 + 52 + 72 + 82 + 42 = 371 S2 = 371 - (7)2 = 7 53 - 49 = 4 S =2 ดงั นนั้ ความแปรปรวน คอื 4 และสว นเบี่ยงเบนมาตรฐาน คอื 2 2. จงคํานวณคา การวดั การกระจายของขอ มลู ตอไปนี้ 5 12 6 8 3 15 10 13 2.1) พิสยั ; R = คา สงู สดุ - คา ต่ําสดุ = 15 - 3 = 12 2.2) ความแปรปรวนและสว นเบ่ียงเบนมาตรฐาน n x 2 −(x)2 ∑ i ความแปรปรวน, S2 = i=1N คา เฉล่ยี ; x = ∑Xi = 12 + 6 + 8 + 3 + ... + 5 = 72 = 9 N 8 8 8 x 2 = 122 + 62 + 82 + ... + 52 ∑ i i=1 = 144 + 36 + 64 + 9 + 225 + 100 + 169 + 25 = 772

49 S2 = 772 - (9)2 8 S2 = 96.5 - 81 = 15.5 S = 15.5 = 3.94 ดงั นั้น ความแปรปรวน คือ 15.5 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คอื 3.94 3. จากตารางแจกแจงความถขี่ องคะแนนสอบวัดความรูพ้ืนฐานกอนเรยี นวชิ าคณิตศาสตรพ น้ื ฐานอาชพี จงคาํ นวณคา การวัดการกระจายดงั นี้ คะแนน ความถ่ี (fi) จุดก่ึงกลางชนั้ (xi) fixi X2i fix2i 1-3 2 2 4 48 4-6 4 5 20 25 100 7-9 3 8 24 64 192 10 - 12 2 11 22 121 242 13 - 15 1 14 14 196 196 5 5 รวม N = 12 fixi = 80 fix2i = 738 ∑i=1 ∑i=1 3.1) พิสัย พสิ ยั (R) = ขอบบนของอนั ตรภาคช้ันทม่ี ีขอมลู มีคา สูงสดุ - ขอบลางของอันตรภาคชั้นที่มีขอมูล มีคาตํ่าสดุ = 15.5 - 0.5 = 15 3.2) ความแปรปรวน i∑=N1Nfix i จาก x = = 84 =7 12 S2 = i∑=N1fNix2i - ( x )2 = 738 - (7)2 12 = 61.5 - 49 = 12.5 ดงั นั้น ความแปรปรวน คือ 12.5 (คะแนน)2

50 4. นักเรียนกลุมหน่ึงจํานวน 12 คน มีเงินคารถโดยสารประจําทางรวมกันเทากับ 120 บาท และผลรวมของ กําลังสองของเงินคารถโดยสารประจําทางของแตละคนมีคาเทากับ 2,172 บาท จงหาสวนเบ่ียงเบน มาตรฐานของเงินคารถโดยสารประจําทางของนกั เรยี นกลุม น้ี วิธที าํ N = 12, 12 x i = 120, 12 x i2 = 2,172 ∑ ∑ i=1 i =1 2 S= ∑ x i − (x)2 N 12 x= xi 120 ∑ 12 i=1 = 12 = 10 S= 2,172 − (10)2 = 181− 100 12 S = 81 = 9 สว นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน คือ 9 บาท 5. คะแนนชุดหนงึ่ มีคา ความแปรปรวน 16 คะแนน ถา เพ่ิมคะแนนใหทุกคนคนละ 5 คะแนน อยากทราบวาคา สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนชุดใหมจะเทากับ 4 เนื่องจากสมบัติของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานท่ี กลาววา “การนําคาคงที่ไปบวกหรือลบกับทุกๆ คาของขอมูลแลวสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ ขอ มลู ชดุ ใหมจะมคี าเทาเดิม” 6. คา สวนเบีย่ งเบนมาตรฐานของขอมูลชดุ หนึง่ เปน 15 คะแนน ถา คะแนนชุดนีล้ ดลง 3 เทา ของคะแนนชดุ เดมิ 15 ทุกตัว อยากทราบวาคะแนนชุดใหมจะมีคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 3 =5 เน่ืองจากสมบัติของ สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานท่ีกลาววา “การนําคาคงท่ีไปคูณหรือหารกับทุกๆ คาของขอมูลแลว สว นเบีย่ งเบนมาตรฐานใหมจะมีคาเทากับสว นเบีย่ งเบนมาตรฐานเดิมคณู หรือหารดว ยคาสัมบูรณ ของคา คงท่ี” 1. จงคาํ นวณคาการวดั การกระจายของขอมลู ตอ ไปนี้ 9 10 6 5 7 8 4 1.1) สมั ประสิทธข์ิ องพิสัย X max − X min = X max + X min = 10 − 4 10 + 4 = 6 = 0.4286 = 42.86% 14