matemáticas-unidad 5

292 Colegio Nacional de Matemáticas Unidad 1 Aritmética Unidad 2 Álgebra Unidad 3 Geometría y trigonometría Unidad 4 Geometría analítica Unidad 5 Probabilidad y estadística Objetivo: al término de la unidad, el estudiante resolverá ejercicios básicos de probabilidad y analizará diversas gráficas. Probabilidad Existen dos tipos de eventos: • Determinísticos. • Estocásticos o probabilísticos. Si se arroja una moneda al aire es evidente que, por efecto de la gravedad, la moneda cae. Dicho evento es invariable, por eso es un evento determinístico. Al arrojar la moneda al aire, se da por hecho que caerá, lo que se desconoce es si la cara de la mo- neda será sol o águila, por tanto, se trata de un evento estocástico o probabilístico. El número total de eventos es también conocido como espacio muestral. En esta lección se estudiaran únicamente los eventos probabilísticos. La probabilidad se define: P (x ) = Número de casos favorables ; Número total de casos donde x es el evento estocástico o probabilístico. Ejemplos 1. Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener águila? a) 100% b) 75% c) 50% d ) 25% Solución: Evento probabilístico (x = lanzar la moneda). P (x ) = Número de casos favorables Número total de casos

Guía para el examen global de conocimientos 293 Número de casos favorables = 1 (sólo una cara de la moneda es águila) Número total de casos = 2 (número de caras en una moneda) P (x ) = 1 2 La probabilidad se expresa en fracción común 1, fracción decimal 0.5, o como porcentaje 50%. 2 Por tanto, la opción correcta es el inciso c. 2. Al lanzar un dado, ¿qué probabilidad existe de obtener un número menor o igual que 4? a) 0.25 b) 0.333... c) 0.444... d ) 0.666... Solución: Evento probabilístico (x = lanzar el dado) P (x ) = Número de casos favorables Número total de casos Número de casos favorables = 4 (caras posibles, 1, 2, 3 y 4) Número total de eventos = 6 (número de caras en un dado) P (x ) = 4 = 2 = 0.666... 6 3 Por tanto, la opción correcta es el inciso d. 3. En una urna hay 6 esferas rojas, 2 azules y 2 verdes. ¿Cuántas esferas hay que sacar, para tener la certeza de tener 2 esferas azules? a) 10 b) 8 c) 4 d) 2 Solución: Sacar una esfera de la urna es un evento estocástico, por tanto, la primera esfera puede ser roja, verde o azul. Entonces para tener la certeza de que se tengan 2 esferas azules, se deben de ex- traer la suma del número de esferas de los demás colores y el número de esferas del color que se desea. 6 esferas rojas + 2 esferas verdes + 2 esferas azules = 10 esferas. Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 4. En un grupo de 20 personas, 3 cuartas partes saben nadar, de las cuales una tercera parte son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger a un representante del grupo, dicha perso- na sea una mujer que sepa nadar? a) 0.10 b) 0.25 c) 0.5 d ) 0.75 Solución: Las tres cuartas partes del grupo son las personas que saben nadar. ¦ 3 µ (20) =15 personas que saben nadar. § 4 ¶ ¨ · ¦ 1 µ (15) =5 mujeres que saben nadar. § 3 ¶ ¨ ·

294 Colegio Nacional de Matemáticas Evento probabilístico (x = escoger una persona) P (x ) = Número de casos favorables Número total de casos Número de casos favorables = 5 (personas que son mujeres y saben nadar) Número total de casos = 20 (número total de personas del grupo) P (x ) = 5 = 1 = 0.25 20 4 Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 5. En una caja se introducen trozos de papel, que contienen las letras que forman la palabra “ba- rrilitos”. ¿Qué probabilidades existen de obtener una letra r y una letra consonante, respecti- vamente? a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 1 y 3 d) 3 y 3 4 5 5 4 5 5 4 5 Solución: Evento probabilístico (x = escoger una letra) • Para obtener una letra r Número de casos favorables = 2 (número de veces que aparece la letra r en la palabra). Número total de casos = 10 (número total de letras de la palabra). P (x ) = 2 = 1 10 5 • Para obtener una letra consonante Número de casos favorables = 6 (número de veces que aparece una letra consonante) Número total de casos = 10 (número total de letras de la palabra) P (x ) = 6 = 3 10 5 Por tanto, la opción correcta es el inciso c. 6. En una bolsa hay 15 golosinas de vainilla, 10 de café y 5 de chocolate. ¿Qué probabilidad existe de sacar una golosina que NO sea de chocolate? a) 83.3% b) 66.6% c) 50% d ) 16.6% Solución: Evento probabilístico (x = sacar una golosina) Número de casos favorables = 25 (número de golosinas que NO son de chocolate) Número total de casos = 30 (número total de golosinas) P (x ) = 25 = 5 = 0.833 = 83.3% 30 6 Por tanto, la opción correcta es el inciso a.

Guía para el examen global de conocimientos 295 Estadística Es la ciencia que se encarga de recopilar, organizar, analizar e interpretar información numérica, a la cual se le conoce como datos, de tal forma que las conclusiones obtenidas tengan un grado de confiabi- lidad específico. Población. Es el conjunto de datos posibles (números, elementos o individuos) que son objetos de es- tudio. Muestra. Es un conjunto de datos que se toman de la población. Clasificación de la estadística. La estadística se clasifica en descriptiva e inductiva.  Estadística descriptiva. Es la parte de la estadística que se ocupa de la recopilación, transmisión y análisis de datos, y establece las técnicas que se relacionan con el resumen y la descripción de datos numéricos, gráficos, tablas y diagramas que muestran los datos y facilitan su interpretación.  Estadística inductiva. Es la parte de la estadística que trata de inducir o referir, a través de la mues- tra obtenida, la ley o modelo que sigue la población de la cual se ha obtenido dicha muestra, se auxilia de las técnicas de la estadística descriptiva para tomar decisiones sobre una población esta- dística.  Medidas de tendencia central Son las cantidades que indican la tendencia de los datos a agruparse en torno a una cantidad central y se clasifican de la siguiente manera: ¬Media aritmética (promedio) Medidas de tendencia central ­¯Mediana ®¯Moda  Media aritmética. Se define como el promedio de los datos: x1, x2, x3,…, xn y se representa por X . X  x1 x2 x3 … xn con n: número de datos n Ejemplo ¿Cuál es la media aritmética de los siguientes datos: 5, 7, 3, 5, 4, 4, 8, 5, 3? a) 4 b) 4.8 c) 5 d ) 5.2 Solución: Se obtiene el promedio de los datos: X = 5 7 3 5 4 4 8 5 3 = 4.8 9 Por tanto, la opción correcta es el inciso b.

296 Colegio Nacional de Matemáticas  Mediana. Al ordenar los datos de forma creciente o decreciente, al valor que se encuentra exacta- mente a la mitad se le denomina mediana. Ejemplos 1. Las calificaciones en matemáticas de un grupo de 25 alumnos son: 9, 8, 9, 6, 7, 5, 8, 4, 5, 7, 6, 6, 5, 4, 9, 9, 8, 6, 7, 8, 8, 3, 10, 8, 9 De acuerdo con los datos anteriores, ¿cuál es la mediana? a) 8 b) 10 c) 5 d) 7 Solución: Se acomodan los datos en forma creciente (de menor a mayor). 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10 la mediana es aquel valor que se encuentra exactamente a la mitad, o que tiene el mismo nú- mero de datos a su izquierda que a su derecha, entonces 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10 12 elementos Mediana 12 elementos Por tanto, la opción correcta es el inciso d. 2. Las estaturas en metros de un grupo de personas son las siguientes: 1.65, 1.72, 1.68, 1.58, 1.70, 1.71, 1.68, 1.69, 1.65, 1.66, 1.76, 1.74 De acuerdo con los datos anteriores, ¿cuál es la mediana? a) 1.675 b) 1.68 c) 1.685 d ) 1.69 Solución: Se acomodan los datos en forma decreciente (de menor a mayor). 1.58, 1.65, 1.65, 1.66, 1.68, 1.68, 1.69, 1.70, 1.71, 1.72, 1.74, 1.76 El número de datos es par, entonces los elementos que están exactamente a la mitad son 1.68 y 1.69, por consiguiente la mediana es el promedio de ambos valores 1.68 1.69 = 1.685 2 Por tanto, la opción correcta es el inciso c.

Guía para el examen global de conocimientos 297  Moda. Es el dato que tiene la mayor frecuencia, el que más se repite. Una serie de datos puede tener más de una moda, por lo que tendría una distribución multimodal. Ejemplo El sueldo promedio semanal de una serie de empleados gubernamentales es: $1200, $1100, $2000, $1800, $1500, $ 1100, $1200, $1650, $1200, $2000, $1600, $1200 De acuerdo con los datos anteriores, ¿cuál es la moda? a) $1100 b) $2000 c) $1650 d ) $1200 Solución: De acuerdo a la definición, el valor que más se repite es $1200, por tanto, la opción correcta es el inciso d.  Medidas de dispersión Son las que permiten indicar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que identifican la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Algunas de las medidas de dispersión más usuales son: a) Rango, amplitud o recorrido b) Desviación estándar c) Varianza  Rango. Se denomina rango a la diferencia entre el dato mayor y el dato menor. R = xmáx – xmín  Desviación estándar. Se define como la raíz cuadrada de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable, respecto a su media. ¥ x  x 2 S= n  Varianza. Se define como el cuadrado de la desviación estándar (S2). Ejemplo Las edades de los alumnos asistentes al curso de ajedrez son: 20, 17, 20, 21, 16, 18, 19, 17, 18, 20, 19, 21, 18, 17, 19, 21, 22, 18, 24 y 19 Determinar el rango, la desviación estándar y la varianza. a) 8, 1.91, 3.66 b) 6, 3.5, 12.25 c) 8, 1.5, 2.25 d ) 6, 1.8, 3.24

298 Colegio Nacional de Matemáticas Solución: El rango se define como: xmáx – xmín = 24 – 16 = 8 Para obtener la desviación estándar y varianza se obtiene la media aritmética x = Suma de los datos = 384 =19.2 Número de datos 20 y se aplican las fórmulas respectivas x x 0.8 (x  x )2 – 2.2 20 – 19.2 0.64 17 – 19.2 0.8 4.84 20 – 19.2 1.8 0.64 21 – 19.2 – 3.2 3.24 16 – 19.2 – 1.2 10.24 18 – 19.2 – 0.2 1.44 19 – 19.2 – 2.2 0.04 17 – 19.2 – 1.2 4.84 18 – 19.2 0.8 1.44 20 – 19.2 – 0.2 0.64 19 – 19.2 1.8 0.04 21 – 19.2 – 1.2 3.24 18 – 19.2 – 2.2 1.44 17 – 19.2 – 0.2 4.84 19 – 19.2 1.8 0.04 21 – 19.2 2.8 3.24 22 – 19.2 – 1.2 7.84 18 – 19.2 4.8 1.44 24 – 19.2 – 0.2 23.04 19 – 19.2 0.04 ¥(x  x )2 = 73.2 ¥(x  x )2  73.2  3.66 Varianza n 20 ¥(x  x )2  3.66  1.91 Desviación estándar n Por tanto, la opción correcta es el inciso a.

Guía para el examen global de conocimientos 299  Representaciones gráficas Las gráficas de barras y diagramas de sectores se emplean para representar distribuciones de frecuen- cias (número de veces que se repite un dato o cifra), en atención de un atributo o carácter cualitativo.  Diagrama de sectores Ejemplos 1. Con base en la siguiente información, traza un diagrama de sectores. En una encuesta sobre el grado de escolaridad, hecha a un grupo de 200 personas, los datos obtenidos son: Clave Característica Número de personas PU (grado de escolaridad) (frecuencia) PM Personas con estudios universitarios (superior) 20 PE Personas con estudios de preparatoria (medio superior) 35 PSL Personas con estudios elementales (primaria y secundaria) 80 PNL Personas que únicamente saben leer 60 Personas que no saben leer 5 Total 200 Solución: Para realizar el diagrama de sectores se dividen los 360° del círculo, de forma proporcional a las frecuencias de los distintos valores de las variables Grados en circunferencia n 360º  36º  63º  144º  108º  9º Número de personas (datos) n 200 20 35 80 60 5 El diagrama de sectores es: PM PM 63p PU 35 PU 20 5

PNL PE 144p 36p PE 80 9p

PNL 60 108p PSL PSL

300 Colegio Nacional de Matemáticas 2. Con base en el diagrama de sectores circular, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) El número de universitarios es mayor que el número de personas que únicamente saben leer. b) El número de personas con estudios elementales es menor que el número de personas con estu- dios universitarios. c) El número de personas que únicamente saben leer, es mayor que el número de personas que no saben leer. d ) El número de personas que no saben leer es el mismo que el de personas con estudios universi- tarios. Solución: La interpretación del diagrama de sectores es la herramienta para indicar cuál de las afirmacio- nes es la correcta, en este caso la respuesta es el inciso c.  Gráficas de barras. Para elaborar una gráfica de barras es necesario trazar un plano cartesiano: en el eje de las abscisas (x) se ponen los diversos datos o características de los mismos; en el eje de las ordenadas (y) se pone el número de personas u objetos que cumplen con determinada característica (frecuencia). Los diagramas de barras también se trazan en forma horizontal, por tanto, la informa- ción en los ejes ordenados se invertirá. Ejemplos 1. Con base en la información del ejemplo 1 del diagrama de sectores, traza una gráfica de barras. Solución: Al trazar la gráfica de barras se levantan rectángulos de igual base sobre cada una de las varia- bles. En este caso es el grado de escolaridad que un grupo de 200 personas tiene; la altura que tendrá cada rectángulo es el número de personas que tiene cada grupo, el valor de cada varia- ble; a este número se le conoce como frecuencia. Frecuencia PU PM PE PSL PNL Grado de escolaridad Es importante mencionar que en este caso se emplea una escala en el eje de las ordenadas, la cual es 1:5 personas.

Guía para el examen global de conocimientos 301 2. Con base en el diagrama de barras, ¿cuál de las siguientes afirmaciones NO es correcta? a) El número de personas con estudios universitarios es mayor que el número de personas que no tienen estudios y no saben leer. b) El número de personas con estudios de preparatoria es menor que el número de personas con estudios universitarios. c) El número de personas sin estudios, pero que saben leer, es mayor que el número de personas que no tienen estudios y no saben leer. d) El número de personas con estudios elementales es mayor que la suma de personas que no tienen estudios pero saben y las que no saben leer. Solución: La respuesta correcta corresponde al inciso b, ya que el número de personas con estudios de preparatoria es mayor que el número de personas con estudios universitarios.  Histograma. En el histograma, a diferencia de la gráfica de barras, los datos que son representados por los rectángulos se encuentran juntos y siempre se grafican en forma vertical. La altura de los rectángulos representa la frecuencia de los datos. Ejemplo El histograma de frecuencias del ejemplo anterior es: Frecuencia PU PM PE PSL PNL Grado de escolaridad

302 Colegio Nacional de Matemáticas  Polígono de frecuencias. El polígono de frecuencias se obtiene al unir los puntos medios colocados en la cara superior de cada rectángulo de un histograma. Ejemplos 1. El polígono de frecuencias del ejemplo anterior es: Frecuencia PU PM PE PSL PNL Grado de escolaridad Frecuencia PU PM PE PSL PNL Grado de escolaridad 2. La casa editorial El arbolito dio a conocer la venta de libros por mes, del primer semestre del año 2005, y los resultados fueron los siguientes: Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Número de 25 000 30 000 35 000 28 000 20 000 15 000 libros Con los datos anteriores, realiza el histograma y traza el polígono de frecuencias.

Guía para el examen global de conocimientos 303 Solución: Número de libros 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 EFMAMJ Mes Los rectángulos trazados con líneas punteadas representan al histograma, mientras que la lí- nea continua representa al polígono de frecuencias. Bibliografía Anfossi, Agustín, Álgebra, Ed. Progreso, México, 1988. Charles H. Lehmann, Geometría analítica, Ed. Hispano-Americano, México, 1998. Colegio Nacional de Matemáticas, Matemáticas simplificadas, Ed. CONAMAT, México, 2004. Gordón Fuller, Geometría analítica, Ed. Iberoamericana, México, 1999. Gustafson R. David, Álgebra intermedia, Thomson Editores, México, 1995. Swokowski, Earl W, Álgebra y trigonometría, Ed. Iberoamericana, México, 1988. www.ojodigital.net