Matematika

162 Khaz Matematika SMA 2 IPS 6. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x + 4, c. 1 x <1 dan (f $ g)(a) = 3.747. Nilai a = .... a. –2 d. 1 d. 1 b. –1 e. 2 x<3 c. 0 7. Jika f(x) = –x + 3 maka e. 1 x+3 f(x2) + {f(x)}2 – 2 f(x) = .... 13. Diketahui f : R A R dan g : R A R. a. 2x2 – 6x + 4 d. 6x + 4 Jika f(x) = 3 – 3x dan g(x) = 2x, rumus (g $ f)–1(x) = .... b. 2x2 + 4x + 6 e. –4x + 6 c. 2x2 – 4x – 6 8. Fungsi f: R A R dan g: R A R dengan 1 < 1 x 2 6 f(x) = x – 3 dan g(x) = x2 + 5. a. 6 – 6x d. Jika (f $ g)(x) = (g $ f)(x) maka x = .... 1 a. 1 d. 4 3 b. 3 – 6x e. 1 – x b. 2 e. 5 c. 3 c. 1 – 1 x 6 9. Diketahui f(x) = x2 – 9 dan (f $ g)(x) = x(x – 6). Salah satu rumus fungsi g(x) = .... 14. Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = a. x + 3 d. 3x + 1 2x + 1, x & 3. Misalkan f–1(x) = 3x + 1 , x<3 x<k b. x – 3 e. x c. 3 – x2 maka nilai k supaya f–1(x) merupakan 10. Misalkan f(x) = x2, g(x) = 2x, dan h(x) = invers dari f(x) adalah .... 1 – x. Fungsi (f $ g $ h)(x) = .... a. –2 d. 1 a. 4x2 – 8x + 4 d. x2 – 2x + 1 b. –1 e. 2 b. 4x2 + 8x – 4 e. 4 – 2x + x2 c. 0 c. 2x2 – 4x + 1 15. Jika f(x) = x – 2, g(x) = x3, dan h(x) = 4x, 1 11. Apabila f(x) = 2x <1 dan (f $ g)(x) = rumus fungsi untuk ((f $ g) $ h)–1(x) = .... 1 maka g(x) = .... a. 64x3 – 2 d. 3 x+2 2x < 2 64 a. x + 1 d. 1 – 2 b. 2 – 64x3 e. 3 x<2 2 x 64 b. x – 1 e. –1 x+2 2 c. 64 c. 2 – 1 16. Jika f(x) = –3 + 2x dan g(x) = (3x + 1)–1 x maka (g–1 $ f –1)(x) = .... 12. Apabila f(x) = x2 + 1 dan (f $ g)(x) = a. < 3x + 1 d. < 3x < 1 2x + 9 3x + 9 1 x2 < 4x + 5 maka g(x – 3) = .... b. 3x +1 e. 3x +1 x<2 2x + 9 3x < 9 a. 1 c. < x +1 x<5 3x + 9 b. 1 x +1

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 163 17. Diketahui f(x) = x + 1 , x & 0 dan f–1 22. Diketahui f (x <1)= x <1 ,x & 1 dan f–1(x) x 2x <1 2 adalah invers dari f. Jika k adalah adalah invers dari f(x). banyaknya faktor prima dari 210 maka Rumus f –1(2x – 1) = .... (UAN 2002) f –1(k) = .... a. <x<2 ,x & < 1 1 2x +1 2 a. 5 d. 3 b. <2x +2,x & 3 1 e. 4 4x<3 4 b. 4 c. x <1 ,x & < 1 1 2x +1 2 c. 3 d. <2x +1, x & < 3 18. Fungsi f ditentukan oleh f (x) = 2x +1 , 4x+3 4 x<3 e. x +1 , x & 2 x & 3. Jika f –1 adalah invers dari f maka 2x<4 f –1(l) = .... 23. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x a. 4 d. –4 + 4, dan (f $ g)(a) = 81. Nilai a = .... b. 3 e. –5 (UAN 2001) c. –3 a. – 2 19. Diketahui (f $ g)(x) = 42x+1. Jika g(x) = b. – 1 2x – 1 maka f(x) = .... (UN 2005) c. 1 a. 4x+2 b. 42 x+3 d. 2 e. 3 c. 24x+1 + 1 24. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan 2 (f $ g)(x + 1) = –2x2 – 4x – 1. Nilai g(–2 ) = .... (UAN 2000) d. 22 x+1 + 1 a. – 5 2 b. – 4 e. 22x+1 + 1 c. – 1 20. Jika f (x) = x + 1 dan (f $ g)(x) = d. 1 e. 5 2 x + 1 maka fungsi g adalah g(x) = .... (UN 2004) 25. Fungsi-fungsi f dan g didefinisikan oleh f :xAax +b, a DR; a dan b konstan. a. 2x – 1 b. 2x – 3 5 <4 c. 4x – 5 g: xA x ;x & 4 . Jika (f $ g)(6) = 6 dan d. 4x + 3 g–1(–1) = f(–1), nilai a + b = .... e. 5x – 4 a. –3 21. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = b. –2 2x + p dan g(x) = 3x + 120 maka nilai p = c. –1 .... (UAN 2003) d. 1 a. 30 d. 120 e. 3 b. 60 e. 150 c. 90

164 Khaz Matematika SMA 2 IPS B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar. 1. Tentukan fungsi invers dan domain 6. Misalkan diketahui A = {x|x D R}, B = invers dari fungsi-fungsi berikut. {0, 1}, dan C = A – B. a. f(x) = 3 x < 5 Fungsi-fungsi f1, f2, f3, f4, f5, dan f6 2x <1 terdefinisi pada C dan dirumuskan sebagai berikut. b. f(x) = log (x2 – 6x) f1(x) = x f4(x) = f1 ( x ) c. f(x) = 102x – 1 < f3(x) 2. Misalkan diketahui f(x) = 3x – 1, g(x) f2(x) = 1 f5(x) = 1 = 2x2, dan h(x) = 1 – x. Tentukan f1 ( x ) f3 ( x ) a. (f $ g)(x); f3(x) = 1– x f6(x) = 1 b. (f $ h $ g)(x); f4 (x) c. (g $ f $ h)(x). Lengkapi tabel berikut. 3. Diketahui f: R A R. Di samping itu, juga diketahui bahwa g: R A R dengan $ f1 f2 f3 f4 f5 f6 rumus g(x) = 3x + 2. Jika (g $ f)(x) = 3x2 – 18x + 8, tentukan f(x) dan f(–2). f1 f1 f6 4. Diketahui suatu fungsi f(t) = t2 – ct, t > 0 f2 f1 f3 dan c > 0. Tentukan f-1(t). Apakah f-1(t) merupakan fungsi? Jelaskan. f3 f1 f5 f4 f6 f1 5. Misalkan diketahui fungsi-fungsi f(x) = (x – 4)2, g(x) = 2(x – 4) + 1, dan h(x) f5 f4 f6 = x +1 . Tentukan f6 f6 f5 x Dengan menggunakan tabel itu, tentukan a. (h–1$g–1$f–1)(1 – x); b. (h$g$f)–1(x – 1); suatu fungsi yang mewakili komposisi c. (h–1$g–1$f–1)(0); d. nilai p sehingga (h–1 $ g–1 $ f–1)(p) berikut. =0 a. f3 $ (f4 $ f5) c. (f6 $ f6 $ f6) b. (f2 $ f5) $ f6 d. f1 $ (f2 $ f3) Kata Bijak Kalau Anda tidak berbuat sesuatu dengan kehidupan Anda, percuma saja Anda berusia lama.

Limit Fungsi 165 Bab IV Tujuan Pembelajaran Sumber: Dokumen Penerbit Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat 1. menjelaskan arti limit fungsi di satu titik; 2. menghitung limit fungsi aljabar di satu titik; 3. menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit; 4. menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi; 5. menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar; 6. menghitung limit fungsi yang mengarah ke kon- sep turunan. Limit Fungsi Motivasi Misalkan kalian ingin mengetahui kecepatan motor cross yang sedang melaju. Dapatkah kalian menentukan kecepatan tepat pada waktu ke-t? Tentu kesulitan, bukan? Mengapa demikian? Hal ini terjadi karena rentang waktu sangat kecil. Untuk memudahkan perhitungannya, dapat dilakukan dengan nilai pendekatan kecepatan rata-rata. Untuk menentukan kecepatan rata-rata dengan rentang waktu sangat kecil (mendekati nol), dapat digunakan konsep limit. Limit fungsi merupakan salah satu bahasan utama yang akan digunakan dalam kalkulus, terutama turunan dan integral. Dalam fisika, limit banyak digunakan dalam penentuan kecepatan, percepatan, kemiringan (gradien) suatu garis atau bidang, dan perubahan-perubahan sesaat lainnya. Dalam bidang ekonomi, limit fungsi digunakan untuk penurunan fungsi biaya marjinal, fungsi-fungsi elastisitas (permintaan, penawaran, produksi), dan lain-lain.

166 Khaz Matematika SMA 2 IPS Peta Konsep Limit Fungsi membahas Fungsi Aljabar Sifat-Sifat Limit Limit Konsep terdiri atas Turunan xAa xA ' diselesaikan dengan diselesaikan dengan Substitusi, asalkan Memerhatikan hasil tidak 0 0 Koefisien Pangkat Tertinggi (untuk Pemfaktoran Bentuk Pecahan) Perkalian Dengan Rumus Sekawan b– p 2a • bentuk tak tentu Kata Kunci • sekawan • berhingga • substitusi • gradien • limit kanan • tak berhingga • limit • limit kiri • teorema limit pusat • mendekati • pemfaktoran

Limit Fungsi 167 Tentunya materi limit fungsi masih asing bagi kalian. Di SMP, kalian belum pernah mempelajarinya. Pada pembahasan kali ini, kalian diajak untuk mempelajari limit fungsi. Dalam menentukan nilai limit fungsi, kalian akan sering menggunakan substitusi dan pemfaktoran. Kedua cara ini telah kalian pelajari di kelas X. Sebelum kalian mempelajari bab ini lebih lanjut, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini. Prasyarat 1. Misalkan diberikan fungsi f(x) = 3x2 – 2x + 1. Apakah sama artinya f(3) dan f(2,999....)? Kerjakan di buku tugas 2. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 4 dan g(x) = ¨2x < 1; x ) 0 ª©x; x > 0 a. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = –1; –0,5; –0,05; –0,001; –0,0001. b. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = 5; 1; 0,5; 0,05; 0,001; 0,0001. c. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil a, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)? d. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil b, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)? Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari kita lanjutkan mempelajari materi berikut. A. Definisi Limit Fungsi Aljabar Gambar 4.1 Materi limit baru kalian pelajari pada kali ini. Sebelumnya, kalian belum pernah mempelajari tentang limit. Untuk itu, kalian harus memahami pengertian limit terlebih dahulu. Kata limit berasal dari bahasa Inggris, berarti mendekati. Sesuai dengan kata mendekati, jika dikatakan bahwa x mendekati 2, artinya nilai x itu hanya mendekati nilai 2, tetapi tidak pernah bernilai 2. Untuk mempermudah perhitungan, kata ”mendekati” dinyatakan dengan simbol ” A ”. Pemahaman limit secara intuitif dapat kalian pahami melalui uraian berikut. Misalkan f(x) = 10x, dengan x bilangan-bilangan real. Untuk x A 2, artinya nilai x & 2, tetapi dapat diambil nilai-nilai di sekitar 2. Misalnya, 1,91; 1,95; 1,99; 2,01; 2,05; dan 2,09. Adapun nilainya dapat ditampilkan pada tabel berikut.

168 Khaz Matematika SMA 2 IPS x 1,91 1,95 1,99 2,01 2,05 2,09 f(x) 19,1 19,5 19,9 20,1 20,5 20,9 Dari tabel di atas tampak bahwa untuk x A 2, nilai 10x A 20. Secara geometris dapat ditampilkan seperti Gambar 4.1. Dengan demikian, secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut. Misalkan f suatu fungsi dalam variabel x dan L adalah bilangan real. lim f(x) = L xAa diartikan untuk x mendekati a (ingat: x & a), nilai f(x) mendekati L. Secara formal, limit fungsi didefinisikan sebagai berikut. lim f(x) = L diartikan untuk setiap bilangan ¡ > 0 seberapa xAa pun kecilnya, terdapat sebuah bilangan b > 0 sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x – a| < b , berlaku | f(x) – L | < ¡ . Definisi ini adalah definisi limit secara umum. Definisi limit secara umum akan kalian perdalam pada jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Di SMA, kalian hanya diajak untuk mempelajari definisi limit secara intuitif. Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit di titik a jika limit dari kiri dan limit dari kanan bernilai sama. Limit dari kiri maksudnya adalah nilai pendekatan f(x) untuk x bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang membesar (melalui nilai-nilai x < a). Limit dari kanan maksudnya adalah nilai pendekatan f(x) untuk x bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang mengecil (melalui nilai-nilai x > a). Untuk mempermudah penulisan, x yang mendekati a dari kiri ditulis x A a– dan x mendekati a dari kanan, ditulis x A a+. Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut. Jika lim f (x) = L dan lim f (x) = L maka xAa< xAa+ lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = L. xAa < xAa + xAa Artinya, nilai limit f(x) untuk x mendekati a ada, yaitu L.

Limit Fungsi 169 Contoh: Apakah nilai limit fungsi berikut ada? Gambar 4.2 a. lim (2x + 3) xA 2 b. lim f(x), untuk f(x) = ¨x; x < 5 ©ª5 < x; x * 5 xA 2 Jawab: a. Misalkan x A 2– (nilai-nilai x < 2) x 1,90 1,95 1,96 1,99 1,995 1,999 f(x) 6,80 6,90 6,92 6,98 6,99 6,998 Tampak bahwa untuk x A 2–, nilai f(x) makin mendekati 7. Artinya, lim (2x + 3) = 7. xA 2< Misalkan x A 2+ (nilai-nilai x > 2) x 2,10 2,09 2,05 2,01 2,001 f(x) 7,20 7,18 7,10 7,02 7,002 Tampak bahwa untuk x A 2+, nilai f(x) makin mendekati 7. Artinya, lim (2x + 3) = 7. xA 2+ Karena lim (2x + 3) = lim (2x + 3) = 7 maka lim (2x + 3) xA 2< xA 2+ xA 2 = 7. b. Misalkan x A 5–. Artinya, lim f(x) = lim x = 5. x A 5< x A 5< Misalkan x A 5+. Artinya, lim (5 – x) = 5 – 5 = 0. xA 5+ Karena lim f(x) & lim f(x) maka lim f(x) tidak ada. xA 5+ x A 5< x A5 Gambar 4.3 Soal Kompetensi 1 • Kerjakan di buku tugas Di antara fungsi-fungsi berikut, manakah yang mempunyai limit di titik yang diberikan? Jika ada, tentukan nilai limitnya. 1. f(x) = 3x ; x A 2 2. f(x) = 5x – 1 ; x A 3 3. f(x) = x2 – 1 ; x A 1 4. f(x)) = 7 ; x A 5

170 Khaz Matematika SMA 2 IPS 5. f(x) = 1 – x2 – x3 ; x A 0 6. f(x) = ¨ 1; x < 1 ; x A 1 ª©5; x * 1 ¨2 x <1; x < 2 7. f(x) = ©ª3x 2; x * 2 ; x A 2 ¨10x <1; x <1 ;x A 1 8. f(x) = ©ª9x; x *1 9. Tentukan limit fungsi di bawah ini untuk x mendekati nilai yang diberikan ¨x2, x ) 0 « g(x) = © x, 0< x <1 ;x A1 «ª1 + x2, x * 1 10. Tentukan limit fungsi di bawah ini untuk x mendekati nilai yang diberikan ¨x2, x ) 0 « g(x) = © x < 1, 1< x < 2 ;x A1 ª«5 + x2, x * 2 B. Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar 2 x2 <1 Kalian telah mengetahui bahwa nilai limit tidak harus sama dengan nilai fungsinya. Ada suatu fungsi yang mempunyai nilai f (x) = limit di suatu titik, tetapi tidak mempunyai nilai fungsi di titik 1 x <1 itu. Perhatikan fungsi f(x) = x2 <1 . Fungsi ini tidak mempunyai x <1 (a) nilai di x = 1 (mengapa?). Namun, meskipun fungsi ini tidak 2 mempunyai nilai di x = 1, kita tidak boleh menyatakan bahwa g(x) = x + 1 fungsi ini tidak memiliki nilai limit untuk x mendekati 1. Misalkan (b) f(x) = x2 <1 dan g(x) = x + 1. Fungsi f(x) = x2 <1 , tidak Gambar 4.4 x <1 x <1 terdefinisi di x = 1. Dengan demikian, kita tidak memerhatikan nilai x = 1. Sekarang, bandingkan nilai limit fungsi g(x) = x + 1. Keduanya dapat kalian perhatikan pada grafik-grafik di samping. Dari grafik f(x) = x2 <1 tampak bahwa faktor (x – 1) & 0, x <1 artinya x & 1. Oleh karena itu,

Limit Fungsi 171 lim x2 <1 = lim (x + 1)(x < 1) = lim x + 1 = 1 + 1 = 2. x <1 x<1 x A1 x A1 x A1 Faktor x – 1 dapat dieliminir (dihilangkan) karena x – 1 & 0. lim g(x) = lim (x + 1) x A1 x A1 =1+1 =2 Dengan demikian, lim f(x) = lim g(x). x A1 x A1 Secara intuitif, kalian dapat menduga nilai lim x2 < 1 . xA1 x < 1 Dengan menggunakan kalkulator, hitunglah nilai f(x) = x2 <1 x <1 untuk x seperti yang ada dalam tabel di bawah ini. x –1 0 0,5 0,9 0,99 1,05 1,15 1,5 2 f(x) ... ... ... ... ... ... ... ... ... Apabila nilai f(x) pada tabel di atas sudah dicari, kalian dapat melihat bahwa untuk x mendekati 1 (dari kanan maupun dari kiri) nilai f(x) mendekati 2. Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk mencari nilai limit g(x) = x + 1 untuk x mendekati 1. Lakukan langkah di atas untuk nilai x yang sama (0,9; 0,99; ...; sampai mendekati 1). Hasil perhitungan menunjukkan bahwa makin dekat nilai x dengan 1 maka nilai g(x) makin mendekati 2. Jadi, kita dapat memahami bahwa meskipun kedua fungsi itu berbeda, namun memiliki nilai limit yang sama. Limit fungsi seperti ini lebih mudah diselesaikan dengan cara memfaktorkan. Untuk itu, mari kita pelajari beberapa cara menentukan nilai limit fungsi aljabar. 1. Menentukan Nilai Limit Fungsi untuk x A a Misalkan f(x) memiliki nilai limit untuk x A a, nilai limitnya dapat ditentukan dengan cara a. substitusi; b. pemfaktoran; c. mengalikan dengan faktor sekawannya. Agar lebih jelas, perhatikan uraian berikut.

172 Khaz Matematika SMA 2 IPS a. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi Misalkan fungsi f terdefinisi di setiap x bilangan real, nilai limit fungsinya sama dengan nilai fungsinya. Untuk memperoleh nilai limitnya, kalian dapat menyubstitusikan secara langsung ke dalam fungsi tersebut. Contoh 1: Tentukan nilai limit fungsi berikut. a. lim (2x – 7) b. lim 3x <1 xA 2 xA1 x + 1 Jawab: a. Fungsi f(x) = 2x – 7 terdefinisi di setiap nilai x. lim (2x – 7) = 2(2) – 7 = –3 xA 2 3x <1 b. Fungsi f(x) = x + 2 terdefinisi di setiap nilai x, kecuali di x = –2. lim 3x <1 = 3(1) < 1 = 2 x+2 1+ 2 3 x A1 Contoh 2: Tentukan nilai limit fungsi berikut. a. lim 3 x + 1 x2 xA 0 Tugas: Berpikir Kritis b. lim x2 + 1 xA1 x < 1 • Kerjakan di buku tugas Apakah makna lim 2 sama c. lim x < 6 xA0 x xA0 x 2 Jawab: dengan f(x) = x , untuk x = 0? a. lim x = 0 = 0 =0 Jelaskan. 3x2 + 1 3(0)2 1 xA 0 +1 b. lim x2 + 1 = 12 + 1 = 2 = ' (bilangan positif yang xA1 x < 1 1 <1 0 tak berhingga besarnya) c. lim x <6 = 0 < 6 = <6 = < ' (negatif dari bilangan x 0 0 yang tak berhingga xA 0 besarnya)

Limit Fungsi 173 Mari Coba jelaskan dengan bahasamu sendiri, apakah limit fungsi Berdiskusi itu? Misalkan tertulis lim (x2 – 4). Dapatkah dikatakan bahwa Inkuiri xA2 lim (x2 – 4) = f(2), untuk f(x) = x2 – 4? Jelaskan alasanmu. xA2 Bagaimana cara menentukan nilai limit suatu fungsi yang tidak dapat ditentukan dengan pemfaktoran maupun substitusi? Berikan contohnya. b. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran Kalian telah mengerti cara menentukan nilai limit dengan substitusi. Bagaimana jika hasil substitusi itu 0 ? Jika limit suatu 0 fungsi dikerjakan dengan cara substitusi menghasilkan nilai 0 , 0 berarti kita harus menggunakan cara lain, misalnya pemfaktoran. Misalkan limit fungsi f(x) didekati x A a menghasilkan g(x) 0 sehingga fungsi g(x) dan f(x) pasti mempunyai faktor (x – a). 0 Oleh karena itu, kalian harus menghilangkan faktor-faktor yang sama dari f(x) dan g(x) terlebih dahulu. Misalkan fungsi f(x) = (x < a)g(x) . Dengan demikian, (x < a)h(x) lim f(x) = lim (x < a)g(x) = lim g(x) = g(a) . xAa (x < a) h(x) xAa h(x) h(a) xAa Jika ternyata g(a) = 0 maka cari faktor-faktor g(x) dan h(x) h(a) 0 sama. Kerjakan dengan cara serupa. Untuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktoran, kalian ingat kembali bentuk faktorisasi aljabar berikut. 1) x2 – y2 = (x – y)(x + y) 2) x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 3) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 4) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) 5) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)

174 Khaz Matematika SMA 2 IPS Perhatikan contoh berikut. Contoh: Tentukan nilai limit fungsi berikut. a. lim x2 <16 xA4 x < 4 b. lim x2 < 7x + 12 x2 < 4x + 3 xA3 c. lim x3 < 27 xA3 x < 3 Jawab: a. lim x2 <16 = lim (x < 4)(x + 4) xA4 x < 4 xA4 x < 4 = lim (x + 4) = 4 + 4 = 8 xA 4 b. lim x2 < 7 x + 12 = lim (x < 4)(x < 3) , karena (x – 3) & 0 x2 < 4x + 3 (x < 1)(x < 3) x A3 x A3 maka kita dapat membagi dengan (x – 3) = lim x<4 x<1 xA3 = 3 < 4 = <1 3<1 2 c. lim x3 < 27 = lim x3 < 33 xA3 x < 3 xA3 x < 3 = lim (x < 3)(x 2 + 3x + 9) xA3 x < 3 = lim (x2 + 3x + 9) x A3 = 32 + 3(3) + 9 = 27 c. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengalikan Faktor Sekawan Kalian tentu masih ingat dengan faktor sekawan. Materi faktor sekawan telah kalian pelajari di kelas X. Pada pembahasan limit fungsi, kita akan menggunakannya untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar. Limit fungsi yang akan kita tentukan nilainya dengan mengalikan faktor sekawan, biasanya mengandung tanda

Limit Fungsi 175 akar. Oleh karena itu, pengalian dengan faktor sekawan di- maksudkan untuk menghilangkan tanda akar sehingga perhitungan lebih mudah dan sederhana. Beberapa bentuk faktor sekawan yang sering dipakai dalam menentukan limit fungsi di antaranya adalah sebagai berikut. 1) (x – a) faktor sekawan dari (x + a) dan sebaliknya. 2) x – a faktor sekawan dari x + a dan sebaliknya. 3) x < y faktor sekawan dari x + y dan sebaliknya. 4) f (x) – a faktor sekawan dari f (x) + a dan sebaliknya. Selain akar pangkat dua atau akar kuadrat, ada pula bentuk akar pangkat tiga dari suatu fungsi seperti 3 x + 1 < 1 dan x x < 8 . Kalian tentu masih ingat bahwa (x – y)(x2 + xy + y2) = 3 x <2 x3 – y3. Bentuk ini dapat kalian gunakan untuk menentukan nilai limit suatu fungsi yang mempunyai bentuk akar pangkat tiga. Contoh: Tentukan limit fungsi berikut. a. lim x < 2x <1 xA1 x <1 b. lim x< 27 3x <3 x A27 Jawab: Kuis a. lim x < 2x <1 = lim x < 2x <1 × x+ 2x <1 x <1 x+ 2x <1 • Kerjakan di buku tugas x A1 x <1 x A1 lim 2<x <x = .... = lim ( x )2 < ( 2x < 1)2 x2 <x (x < 1)( x + 2x < 1) xA1 x A1 1 d. 1 = lim x < (2x < 1) a. –1 2 xA1 (x < 1)( x + 2x < 1) b. –1 1 = lim <(x < 1) c. 0 e. 1 2 xA1 (x < 1)( x + 2x < 1) SPMB 2007 = lim <1 x A1 x + 2x < 1 = <1 = < 1 1+1 2

176 Khaz Matematika SMA 2 IPS b. lim x < 27 = lim x < 27 × (3 x )2 + 33 x +9 3 x <3 x <3 (3 x )2 + 33 x +9 x A27 x A27 3 = lim (x < 27)((3 x )2 + 33 x + 9) x A27 x < 27 = lim ( 3 x2 + 33 x +9) x A 27 = 3 272 + 33 27 + 9 = 9 + 3(3) + 9 = 27 • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 2 Tentukan nilai limit fungsi berikut. 1. lim (2x2 – 3x + 1) 9. lim x2 < 3x2 + x < 3 xA 2 x2 < 2x < 3 x A3 2. lim 2 x2 + 1 1 10. lxiAm2¤²£ 2( x 2 < 4) + x2 < 2x)¥ 3x2 <2x + x <2 2(x < 2) ´¦ x A1 3. lim x2 <16 11. lim 3< 5+ x x2 < x <12 xA4 1< 5< x xA 4 4. lim x2 < 4 6 12. lim (2+h)2 <4 x2 < 5x + hA0 h xA 2 5. lim 2x2 < x < 3 13. lim x<2 3x2 + 8x + 5 x2 <4 x A1 xA2 6. lim x2 + 10x 14. lim 4 < x2 x3 + 2x xA2 3 < x2 + 5 xA0 7. lim t 2 <6t 15. lim x <1 t 2 +3t x2 + 4 < 2 tA0 x A1 8. lim t2 < 3t + 2 tA1 t < 1 2. Menentukan Limit Fungsi diTitikTak Berhingga (Pengayaan) Sebelum mempelajari limit fungsi di titik tak berhingga, perlu kalian ketahui bahwa lambang ” ' ” bukanlah notasi suatu bilangan. Namun, lambang itu hanya menyatakan suatu bilangan yang sangat besar.

Limit Fungsi 177 Sekarang perhatikan bilangan-bilangan berikut. 1 11 11 10 100 1.000 ... 100.000 1.000.000 ... 0,1 0,01 0,001 … 0,00001 0,000001 0,00...1 1 Tampak bahwa makin besar pembaginya, nilai x menjadi makin Y 1 1 f(x) =1x; x > 0 kecil mendekati nol. Hal ini ditulis untuk x A ' , nilai x A 0. Perhatikan gambar di samping. Kita dapat melihat bahwa makin O1 f(x) =x1; x < 0 -1 X 1 besar nilai x, grafik makin mendekati sumbu X, yang berarti x Gambar 4.5 makin mendekati nol. Dengan demikian, mudah bagi kalian untuk mengatakan lim 1 = 0. xn xA' Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari bentuk limit yang apabila dikerjakan dengan substitusi, diperoleh ' , yaitu ' nilai lim f (x) . g(x) xA' Seperti yang telah kalian ketahui bahwa lim 1 = 0. Limit fungsi xn xA' berbentuk lim f( x) , dengan f(x) dan g(x) fungsi pangkat g( x) xA' dikerjakan atas dasar lim 1 = 0. Misalkan pangkat tertinggi xn xA' dari variabel adalah f(x) dan g(x) adalah m maka variabel berpangkat tertinggi adalah xm. Nilai limitnya dapat ditentukan sebagai berikut. £ 1¥ lim f (x) = lim f (x) × ¤ xm ¦ g( x ) g( x ) £ 1¥ xA' xA' ¤ xm ¦

178 Khaz Matematika SMA 2 IPS Contoh 1: Tentukan nilai limit fungsi berikut. a. lim 3 x 3 < 2x 2+ 1 x3 + x xA' 2 b. lim 2x3 < x 3x2 + 1 xA' c. lim 2x2 + x 4 x3 + 1 xA' Jawab: 2 < 2x2 + 3x3 < 2x2 + £ 1¥ x2 + x 2x3 + x a. lim 3 x 2 1 = lim 1 × ¤ x3 ¦ £ 1¥ Kuis xA' xA' • Kerjakan di buku tugas ¤ x3 ¦ lim £ 2 x 2 < 2 x 2¥ = .... 3 < 2 + 1 ¤² x x +1´¦ 2 x x3 xA' <1 + 1 = lim 1 d. 4 a. 2 e. 0 xA' b. 1 x2 1 3< 2 + 1 3<0 +0 3 c. 2 '' = 2+0 = 2 2+ 1 UM-UGM 2006 = ' 2x3 < x 2x3 £ 1¥ 3x2 + 1 3x2 b. lim = lim < x × ¤ x3 ¦ + 1 £ 1¥ xA' xA' ¤ x3 ¦ = lim 2 < 1 + xA' 1 x2 x 1 x3 2< 1 ' = lim 3 +1 xA' '' 2 <0 = 0+0 = '

Limit Fungsi 179 2x2 x 2x2 £ 1¥ 4x3 1 4x3 c. lim + = lim +x × ¤ x3¦ + +1 £ 1¥ xA' xA' ¤ x3¦ 2 + 1 x = lim x2 1 xA' 4+ x3 = 2+1 = 0+0 =0 '' 4+0 4+ 1 ' Limit bentuk f(x) untuk x A ' dapat dikerjakan dengan cepat. g(x) Misalkan f(x) mempunyai pangkat tertinggi m dan g(x) mempunyai pangkat tertinggi n. Dalam pembahasan limit, tentu kalian masih ingat nilai limit berikut. 1. Jika lim f(x) = 0 dan lim g(x) = a, a D R maka lim f (x) = 0. xAc xAc xAc g( x ) 2. Jika lim f(x) = a > 0 dan lim g(x) = 0 maka lim f (x) = + ' . xAc xAc xAc g( x ) 3. Jika lim f(x) = a < 0 dan lim g(x) = 0 maka lim f (x) = – ' . xAc xAc xAc g( x ) Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai limit berikut. Untuk f(x) = axm + bxm–1 + … + a0 dan g(x) = pxn + qxn–1 + … + b0, berlaku lim f (x) = a jika m = n g( x) p xA' lim f (x) = + ' jika m > n dan a > 0 g( x ) xA' lim f (x) = < ' jika m > n dan a < 0 g( x ) xA' lim f (x) = 0 jika m < n xA' g(x)

180 Khaz Matematika SMA 2 IPS Contoh 2: Tentukan limit fungsi berikut. a. lim x2 <2x + 1 c. lim < 5x5 + 2 x2 +1 x2 <1 xA' xA' b. lim 2x3 < 7 d. lim 6x2 < 7 x2 +1 3x7 + 1 xA' xA' Jawab: a. Misalkan f(x) = x2 – 2x + 1 dan g(x) = x2 + 1. Tampak bahwa pangkat tertinggi kedua fungsi sama, yaitu 2. Oleh karena itu, lim x2 < 2x + 1 = 1 =1 x2 +1 1 xA' sebab lim x2 < 2x +1 = lim 1 < 2 + 1 = 1 = 1. x2 +1 ' ' 1 xA' 1 xA' 1+ ' Kuis b. Misalkan f(x) = 2x3 – 7 dan g(x) = x2 + 1. Pangkat tertinggi f(x) adalah 3, pangkat tertinggi g(x) adalah 2, dan koefisien • Kerjakan di buku tugas dari x3 adalah 2 > 0. Oleh karena itu, lim (5+ 4x)(x < 5)(1< 3x) (3< 2x)(x2 < 3x + 7) xA' = .... lim 2x3 <7 = ' x2 +1 a. 2 d. 8 xA' b. 4 e. 12 c. 6 2x3 <7 2 < 7 2 x2 +1 ' 0 UM-UGM 2006 sebab lim = lim = = '. 1 + 1 xA' xA' ' ' c. Misalkan f(x) = –5x5 + 2 dan g(x) = x2 – 1. Pangkat tertinggi f(x) adalah 5, pangkat tertinggi g(x) adalah 2, dan koefisien x5 adalah –5 < 0. Oleh karena itu, lim <5x5 + 2 = <' x2 < 1 xA' sebab lim <5x5 + 2 = lim <5 + 2 = <5 = <'. x2 < 1 ' 0 xA' xA' 1 < ' 1 ' d. Misalkan f(x) = 6x2 – 7 dan g(x) = 3x7 + 1. Pangkat tertinggi f(x) adalah 2, pangkat tertinggi g(x) adalah 7. Oleh karena itu, lim 6x2 <7 =0 sebab lim 6 < 7 = 0 = 0. 3x7 +1 ' ' 3 xA' xA' 3 + 1 '

Limit Fungsi 181 3. LimitTak Berhingga dalam Bentuk Akar Perhatikan bentuk limit berikut. lim ax2 +bx +c < ax2 + px +q xA' Dengan menggunakan perkalian sekawan, diperoleh Tantangan lim ax2 +bx +c < ax2 + px +q × ax2 +bx +c + ax2 + px +q xA' ax2 +bx +c + ax2 + px +q Inovatif = lim (ax2 +bx +c)<(ax2 + px +q) xA' ax2 +bx +c + ax2 + px +q • Kerjakan di buku tugas Kalian tentu dapat menyele- = lim (b< p)x +(c<q) saikan limit bentuk xA' x²¤£ b c p q ¥ limU( x)<V ( x), dengan a+ x + x2 + a + x + x2 ¦´ xA' U(x)= ax2 +bx +c dan V(x)= ax2 + px +q . b – p + ( c < q ) x Bagaimana cara menentu- = lim kan limit fungsi xA' a+ b + c + a + p + q x x2 x x2 lim U ( x)<V ( x ) jika x<c xA' U(x)= ax2 +bx +c dan = b<p a+ a V(x)= ax2 + px +q , dengan a & r? = b<p 2a Dari uraian di atas, diperoleh rumus lim ax2 + bx +c < ax2 + px + q = b < p xA' 2 a Kalian harus ingat, koefisien x2 pada kedua tanda akar harus sama. Contoh: Tentukan lim 3x2 <2x +3 < 3x2 + x <5 . xA' Jawab: Dari soal diketahui a = 3, b = –2, dan p = 1. Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh lim 3x2 <2x +3 < 3x2 + x <5 = <2 <1 xA' 2 3 = <3 . 3 = <1 3 23 3 3

182 Khaz Matematika SMA 2 IPS Problem Tentukan lim (x < 2) < x2 < 5x + 2 . Solving xA' Jawab: lim (x < 2) < 3x2 < 5x + 2 xA' = lim (x < 2)2 < x2 < 5x + 2 xA' = lim x2 < 4x + 4 < x2 < 5x + 2 xA' Dari bentuk terakhir, diperoleh a = 1, b = –4, dan p = –5. Dengan menggunakan rumus, diperoleh lim x2 <4x+4 < x2 <5x +2 = <4 <(<5) = 1. 21 2 xA' • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 3 Tentukan nilai limit fungsi berikut. 1. lim 2x2 < 7x +1 10. lim £ 2x + 5¥ 2 2x2 + 7x <1 ¤ 3x < 1¦ xA' xA' 2. lim 4x3 < 2x + 1 11. lim x2 <6x +5 < x2 + x <1 3x3 < x <1 xA' xA' 12. lim 2x2 < 4x +1 < 2x2 +2x <1 3. lim 7x2 < 6 x + 2 xA' xA' x 13. lim x2 <2 < x2 <3x +5 xA' 4. lim 2x3 < 4x2 14. lim x2 < x2 +5x +1 2x4 +1 xA' xA' 15. lim 8x2 < x +1 < x 5. lim 2x < x7 xA' x8 + 2x xA' 16. lim 9x2 <2 <3x <1 xA' 6. lim ( x < 3)(2x + 4) 3x2 < 2 17. lim (3x <2)< 9x2 <2x +1 xA' xA' 7. lim x2 + 25 18. lim (4x <1)< (4x +1)2 +1 3x2 < 2 xA' xA' 19. lim (1+3x)< x2 +(2 2x +1)2 8. lim 5x < 1 xA' 5x + 1 xA' 20. lim (5 2 < 2x)< 2x2 +8x <1 xA' 9. lim 1 +x 1 <x xA'

Limit Fungsi 183 C. Sifat-Sifat Limit dan Penggunaannya Kalian telah mempelajari bentuk limit fungsi aljabar. Jika kalian telah memahami limit-limit fungsi tersebut dengan baik, kalian dapat menarik kesimpulan bahwa dalam perhitungan limit berlaku aturan-aturan (sifat-sifat tertentu), baik penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Untuk memahami sifat-sifat itu, lakukan Aktivitas berikut. Aktivitas Tujuan : Menyelidiki sifat-sifat limit Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada limit Kegiatan : fungsi? Kerjakan soal-soal berikut ini. 1. Berapakah nilai lim 6? Berapa pula xA2 nilai lim 9? xA2 2. Berapakah nilai lim ? xA2 3. Samakah nilai lim 4x dengan 4 lim x? x A1 x A1 4. Samakah nilai lim (2x +x2) dengan xA2 lim 2x + lim x2? xA2 xA2 5. Samakah nilai lim (x + 1)(x + 2) xA3 dengan lim (x + 1) . lim (x + 2)? xA3 xA3 6. Samakah nilai lim 2x + 3 dengan xA2 x +1 lim (2x + 3) xA2 ? lim (x + 1) xA2 ( )4 7. Samakah nilai lim x4 dengan lim x ? xA2 xA2 8. Samakah nilai lim (2x – 1)n dengan xA2 ( )n lim(2x < 1) ? Bagaimana jika n xA2 rasional? Kesimpulan : Berdasarkan jawaban dari kegiatan nomor 1–8, coba simpulkan sifat-sifat limit yang dapat kalian peroleh.

184 Khaz Matematika SMA 2 IPS Dari Aktivitas di atas, kalian akan dapat menyimpulkan sifat- sifat berikut. Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku sebagai berikut. 1. lim c = c xAa 2. lim xn = an xAa 3. lim c f(x) = c lim f(x) xAa xAa 4. lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) xAa xAa xAa 5. lim f(x) × g(x) = lim f(x) × lim g(x) xAa xAa xAa f (x) lim f (x) 6. lim = xAa xAa g(x) lim g(x) xAa 7. lim f(x)n = ( lim f(x))n xAa xAa 8. lim n f (x) = n lim f (x) xAa xAa Sifat-sifat di atas biasa disebut teorema limit pusat (Central limit theorem). Agar kalian lebih paham dalam penggunaannya, perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh: Tentukan nilai-nilai limit fungsi berikut. a. lim (x2 – 6x + 7) x A1 b. lim (2x + 7) 5 3x < 1 xA 0 c. lim £ 2x + 7¥3 ¤ x +1 ¦ xA0 Jawab: a. lim (x2 – 6x + 7) = lim x2 – lim 6x + lim 7 x A1 x A1 x A1 x A1 = 12 – 6 lim x + 7= 1 – 6(1) + 7 = 2 x A1

Limit Fungsi 185 Kuis .b. lim (2x + 7) 5 3x < 1 = lim (2x + 7) lim 5 3x < 1 xA 0 xA 0 xA 0 • Kerjakan di buku tugas Jika U(x) = 2x 2 +5x <7 .= [lim 2x+ lim 7] lim 5 3x < 1 xA 0 xA 0 xA 0 dan V(x) = 3x 2 +8x <25 = [2(0) + 7] × ( 5 3(0) < 1 ) maka nilai lim U(x)<V(x) = 7 5 <1 xA3 x <3 = –7 = .... a. < 7 26 c. lim £² 2x + 7 ´¥3 = £² lim 2x + 7 ¥´3 52 ¤ x +1 ¦ ¤ x +1 ¦ xA 0 xA 0 b. < 8 26 3 52 ²£ lim (2x + 7) ¥´ 9 c. < 52 26 = ²¤² x A0 ¦´´ d. <10 26 lim (x + 1) 52 x A0 e. <11 26 = ²£ 2(0 )+ 7 ¥´3 52 ¤ 0 +1 ¦ UM-UGM 2005 £ 7¥ 3 ¤ 1¦ = = 343 • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 4 Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan nilai limit fungsi berikut. 1. lim (3 – 2x + x2) 5. lim x2 < 4 2 x A1 x2 < 3x + xA 2 2. lim (3x2 – 2x + 1) 6. lim sin x xA 2 x2 + x xA 0 3. lim ( 2x < 1 + 3) xA 2 7. lim 2(x <1) xA1 x <1 4. lim (x – 1)10 x A1 8. lim x(1 < x2 ) 2x2 < 2 x A1 9. lim f(x), dengan f(x) = ¨2 x; x < 1 ª©4 x <1; x * 1 x A1 10. lim f (x) , dengan f(x) = ¨4 x + 1; x<2 xA 2 ©ª2 x + 5; x*2

186 Khaz Matematika SMA 2 IPS D. Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan Limit merupakan konsep utama dalam kalkulus turunan (diferensial) maupun integral (invers turunan). Sebelum mempelajari turunan, kalian harus memahami bentuk limit yang mengarah pada materi-materi itu. Untuk dapat memahaminya, perhatikan gambar berikut. (a) (b) Gambar 4.6 Misalkan titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) digambarkan pada Gambar 4.6 (a). Garis g berpotongan dengan fungsi f(x) di titik P dan Q. Jika gradien garis g adalah m, nilai m adalah m = y2 < y1 x2 < x1 Pada Gambar 4.6 (a) tampak bahwa y2 = f(x2) dan y1 = f(x1). Oleh karena itu, m = f (x2 ) < f (x1) x2 < x1 Jika 6 x = x2 – x1 dan 6 y = y2 – y1 ( 6 dibaca: delta), persamaan gradien menjadi m = f (x2 ) < f (x1) x2 < x1 = f (x1 + 6x) < f (x1) 6x Sekarang perhatikan Gambar 4.6 (b). Jika titik P sebagai titik tetap dan titik potong Q bergerak mendekati titik P maka 6 x = x2 – x1 A 0 (dibaca: delta x mendekati nol). Artinya, garis g berubah menjadi garis singgung kurva y = f(x) di titik P sehingga nilai m menjadi berikut.

Limit Fungsi 187 m= lim f (x1 + 6x) < f (x1) 6x 6x A0 Bentuk limit semacam ini akan dikembangkan ke arah konsep turunan (diferensial). Materi ini akan kalian pelajari pada bab selanjutnya. Secara umum, gradien (kemiringan suatu garis) menyinggung kurva f(x) dapat ditentukan dengan limit berikut. m = lim f (x + 6x) < f (x) 6xA 0 6x 6 x biasanya juga dituliskan dengan h. Agar kalian lebih mahir dalam penggunaannya, perhatikan contoh berikut. Contoh: Tentukan limit fungsi lim f (x + h) < f (x) jika hA0 h a. f(x) = 4x – 3; b. f(x) = 4x2. Jawab: a. lim f (x + h) < f (x) = lim (4(x + h) < 3) < (4x < 3) hA0 h hA0 h = lim 4x + 4h < 3 < 4x + 3 hA0 h = lim 4h hA0 h = lim 4 = 4 xA 0 b. lim f (x + h) < f (x) = lim 4(x + h)2 < 4x 2 hA0 h hA0 h = lim 4x 2 + 8xh + 4h2 < 4 x2 hA0 h = lim (8x + 4h) hA0 = 8x

188 Khaz Matematika SMA 2 IPS Problem Tentukan gradien garis singgung kurva y = 1 – x2 di titik A(1, 0) Solving dan di titik B(–1, 0). Gambar 4.7 Jawab: Untuk menentukan gradien garis singgung kurva y = 1 – x2 di titik A dan B, dapat kalian lakukan dengan menentukan nilai m. Nilai m ditentukan dengan m = lim f (x + h) < f (x) , untuk hA0 h f(x) = 1 –x2. Dengan demikian, diperoleh sebagai berikut. lim f (x + h) < f (x) = lim (1< (x + h)2) < (1 < x2 ) hA0 h h hA0 = lim (–2x – h) hA0 = –2x Jadi, m = –2x. Untuk A(1, 0) maka m = –2(1) = –2. Untuk B(–1, 0) maka m = –2 (–1) = 2. Secara geometris, hal ini dapat digambarkan seperti gambar di samping. • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 5 f (x + h)< f (x) h 1. Tentukan fungsi m(x) jika m(x) = lim , hA0 untuk fungsi-fungsi f berikut. a. f(x) = 5 e. f(x) = 2x2 – x + 1 b. f(x) = 1 – x f. f(x) = 3x2 – 2x – 1 c. f(x) = 10x2 – 1 g. f(x) = (x + 1)(2x – 1) d. f(x) = (5x – 1)2 h. f(x) = (x + 1)2(x – 1) 2. Tentukan nilai m di titik P(0, 2) jika m = lim f (x + h) < f (x) , untuk fungsi-fungsi f hA0 h berikut. a. f(x) = 10 e. f(x) = (x + 2)(2x + 1) b. f(x) = 2x – 5 f. f(x) = 2x3 c. f(x) = 2x2 + 1 g. f(x) = (x – 1)3 d. f(x) = x2 – 7x + 12 h. f(x) = (x – 1)2(x + 1) 3. Misalkan m adalah gradien garis g yang menyinggung kurva y di titik A. Tentukan m jika diketahui kurva y dan

Limit Fungsi 189 titik A sebagai berikut. Kemudian, berikan gambaran geometrisnya. a. y = 1 – 9x2; A(0, 1) b. y = x2 – 9; A(–3, 1) c. y = (x – 1)(x + 2); A(1, 0) d. y = x3; A(0, 0) 4. Sebuah benda bergerak menurut persamaan s(t) = 3t2 – 2t + 1. Jika kecepatan benda dinyatakan sebagai perubahan jarak yang ditempuh setiap perubahan waktu, tentukan a. kecepatan benda pada saat t = 5 detik; b. kecepatan benda pada saat t = 10 detik. 5. Kawat suatu jembatan gantung diikatkan pada tiang penyangga yang terpisah pada jarak 8 m. Kawat menggantung dengan bentuk parabola dan titik terendah berada 16 m di bawah titik gantung, tentukan besar sudut Tiang Tiang antara kawat gantung dan tiang penyangga ( e ). (Ingat penyangga penyangga gradien suatu garis biasanya menyatakan nilai tangen Jalan Jembatan Jalan suatu sudut). Lihat ilustrasi di samping. Gambar 4.8 6. Sebuah kota dijangkiti oleh epidemi flu burung. Petugas menaksir bahwa setelah t hari mulainya epidemi, banyaknya orang yang sakit dinyatakan dengan p(t) = 120t2 – 2 t3, untuk 0 ) t ) 40. Tentukan laju penularan flu burung pada saat t = 10, 20, dan 40. Tugas: Informasi Lanjut 7. Sebuah kapal tanker pengangkut minyak mengalami kebocoran di laut lepas sehingga menyebabkan tumpahan • Kerjakan di buku tugas minyak berbentuk lingkaran. Jari-jari lingkaran tumpahan minyak tersebut bertambah besar pada laju tetap, yaitu 2 Carilah wawasan dari inter- km/hari. Tentukan laju pertambahan luas daerah net atau buku referensi lain tumpahan minyak setelah 3 hari. tentang contoh-contoh fung- si yang tidak memiliki limit 8. Berat suatu tumor membahayakan pada saat t (dalam di titik tertentu, serta contoh minggu) adalah w(t) = 0,2t2 – 0,09t gram. Carilah laju limit fungsi f(x) yang meme- pertumbuhan tumor ketika t = 120 jam. nuhi lim f(x) = f(a), a suatu 9. Tentukan laju perubahan luas suatu lingkaran terhadap xAa kelilingnya pada saat kelilingnya 6 cm. konstanta. Untuk memper- 10. Zat cair mengalir dengan debit 3.600 cm3/s ke dalam kaya wawasanmu, carilah tangki silinder vertikal bejari-jari alas 2 m. Tentukan informasi tentang kontinui- kecepatan naiknya permukaan zat cair itu. tas dan pelajarilah. Buat kesimpulannya.

190 Khaz Matematika SMA 2 IPS Rangkuman 1. Limit lim f(x) = L secara intuitif 4. Sifat-sifat limit xAa a. lim c = c diartikan untuk x mendekati a, tetapi xAa x & a maka f(x) mendekati L. b. lim xn = an xAa 2. Misalkan f(x) memiliki nilai limit untuk x A a, nilai limitnya dapat c. lim c f(x) = c lim f(x) ditentukan dengan cara susbtitusi, xAa xAa pemfaktoran, dan mengalikan faktor d. lim (f(x) ± g(x)) xAa sekawan. 3. Jika f(x) = axm + bxm–1 + … + a0 dan = lim f(x) ± lim g(x) g(x) = pxn + qxn–1 + … + b0, berlaku: xAa xAa a. lim f (x) = a jika m = n e. lim f(x) g(x) = lim f(x) × lim g(x) xAa xAa xAa xA' g(x) p b. lim f (x) = +' jika m > n dan a > 0 f. lim f (x) = lim f (x) g( x ) g( x) g( x) xA' xA a xA a lim xAa c. lim f (x) = –' jika m > n dan a < 0 g. lim f(x)n = ( lim f(x))n g( x ) xAa xAa xA' d. lim f (x) = 0 jika m < n h. lim n f (x) = n lim f (x) xA' g(x) xAa xAa 5. Konsep dasar turunan dari fungsi f(x) ditentukan dengan lim f (x + 6x) < f (x) . 6xA 0 6x Refleksi Coba review kembali konsep limit yang makna limit fungsi? Berikan sebuah kasus baru saja kalian pelajari. Dari konsep itu, yang penyelesaiannya dapat diarahkan ke mampukah kalian memberi gambaran bentuk limit fungsi. (dengan bahasamu sendiri) tentang

Limit Fungsi 191 Tes Kemampuan Bab IV • Kerjakan di buku tugas A. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e. 1. lim x2 < 3x = .... 6. Nilai lim x2 < 10x + 21 = .... x2 + 2x x2 < 9 xA0 xA3 a. <3 2 <4 2 2 d. 3 a. 3 d. 3 b. <2 3 <2 4 3 e. 2 b. 3 e. 3 c. 0 c. 0 2. lim x2 < 3x < 18 = .... 7. Jika lim x2 < 3x + a = 1 maka nilai a x2 < 3x xA2 x < 2 xA3 adalah .... a. 0 d. 3 a. –2 b. –1 b. 1 e. ' c. 0 c. 2 d. 1 e. 2 3. lim 4 < x = .... d. 4 xA4 2 < x e. ' 8. lim x < x = .... a. 0 xA0 x + x b. 1 a. 0 c. 2 4. Nilai lim x 2 < 9 = .... 1 xA3 x < 3 b. 2 c. 1 a. 0 d. 2 b. 3 e. ' c. 6 9. lim (x < 1)(x2 + x + 1) = .... 1 x3 <1 d. 6 x A1 e. ' a. 0 5. Nilai lim 1 < x = .... b. 1 xA1 1 < x c. 2 a. –3 b. 1 1 c. 2 d. 3 d. 3 e. ' e. '

192 Khaz Matematika SMA 2 IPS 10. Nilai lim f(x) = ¨x 2 < 1; x < 2 adalah .... 15. Nilai 3 x2 <23 x +1 adalah .... ª©7 < 2 x; x * 2 (x <1)2 xA 2 lim xA1 a. 2 a. 0 b. 3 1 b. 3 c. 4 d. 7 1 c. 5 e. tidak ada 1 11. Nilai lim x + 2< 2x < 2 = .... d. 7 xA2 x< 2 a. – 1 d. 1 1 2 e. 9 b. 0 e. ' 16. Nilai lim 1+t <1 adalah .... c. 1 1+t <1 tA0 3 2 a. 0 3 12. Nilai lim 3x d. 2 xA0 9 + x < 9 < x = .... 1 e. 2 b. 3 a. 3 d. 12 b. 6 e. 15 2 c. 9 c. 3 13. Nilai dari lim x < 2 x 2 + 3 adalah .... 17. Nilai lim xn <1 adalah .... < x 2 xA1 x <1 xA3 9 a. n2 – 1 a. – 1 d. 1 9 b. n2 – n e. ' c. n b. – 1 18. lim 6 x5 < 7x2 +1 = .... 8 2x 4 + x <1 xA' 1 c. 3 a. 3 d. 0 ' 1 b. 2 e. d. 2 c. 1 2 19. lim x2 + 3x + 4 = .... e. 3 3x2 + 2x +3 xA' a. 0 ( )14. Nilai lim 4x +8 < 2x <3 adalah .... 1 xA' b. 3 a. 0 c. ' b. 2 d. 3 c. 5 d. 11 4 e. ' e. 3

Limit Fungsi 193 20. Jika diketahui f (x) = 2 maka nilai c. 3x – 6 53 x d. 3x2 – 6 e. –6x lim f (x < p)< f (x) adalah .... pA0 p 26. lim f (x + h)< f (x)+ hf (x) , untuk f(x) = hA0 h a. < 2 d. 2 3x – 1 adalah .... 55 153 x2 x a. 3 2 2 b. 3x + 2 53 153 x b. < x e. c. –3x + 4 d. –3x + 1 c. <2 e. 3x – 2 153 x 4 27. Diketahui f(x) = 3x2 – 2 dan (g $ f)(x) = 21. lim 9 x 2 3x + 1 = .... 15x2 – 7. Nilai lim g(2 + h) < g(2) = .... +x hA0 h xA' a. 5 d. 5x a. 0 d. 3 ' b. 10 e. 5x + 3 1 b. 3 e. c. 13 c. 1 28. Persamaan garis singgung kurva 22. Nilai lim 9< x2 adalah .... y= 1 di titik (2, 1) adalah .... xA3 4 < x2 + 7 5<2x a. y = x – 1 a. 8 d. 1 b. y = 5 – 2x b. 4 e. 0 c. y = 5 – x 9 d. y = x + 1 c. 4 e. y = 1 – x 23. lim 5 + 2x + 3x2 = .... 29. Gradien garis singgung kurva y = x xA' 6 < 2x (1< x) a. <3 5 di x = k adalah .... 2 d. 6 e. 0 a. k d. l – k b. ' (1< k ) c. 1 b. 1 e. 1 2 (1< k )2 (1< k ) 24. lim (x + h)2 < x2 = .... c. k2 hA0 h (1< k ) a. 0 d. 2x + h 30. Gradien garis singgung parabola ' y = 1 – 2x – 3x2 di titik (–2, –7) adalah b. 2h e. .... a. 3 c. 2x b. 6 c. 9 25. lim f (x + h)< f (x) , untuk f(x) = 3x2 – d. 10 h e. 14 hA0 6x + 1 adalah .... a. 6x b. 6x – 6