الوحدات المقررة من كتاب الطالب رياضيات الصف التاسع الفصل الدراسي الثاني_watermark

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ )2‬أوجد طول الضلع المجهول في كل من ال ُمثلَّثات التالية عل ًما بأن أزواج ال ُمثلَّثات‬ ‫التالية ُمتشا ِبهة‪:‬‬ ‫أ ‪ ٩‬ﺳﻢ ب‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٢٤‬ﺳﻢ‬ ‫س ﺳﻢ‬ ‫‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫ص ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٥‬ﺳﻢ‬ ‫د ﺳﻢ‬ ‫ج‬ ‫‪ ٢٨‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٦‬م‬ ‫‪ ٧‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٢‬م‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪٩‬م‬ ‫ﻙم‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫و‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ﻫـ‬ ‫‪ ٢٫١‬م‬ ‫‪ ٧‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٫٦‬م‬ ‫‪٤‬م‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫‪ ٥٫١‬ﺳﻢ‬ ‫‪ )3‬في ال ُمثلَّث ال ُمجا ِور ‪:‬‬ ‫‪Ï‬‬ ‫إذا كان ال ُمستقيم ‪ //‬للمستقيم و ‪ ،‬أوجد طول ‪.‬‬ ‫‪ ٣٫٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٧٫٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٦٫٨٤‬ﺳﻢ‬ ‫‪ )4‬أثبت أ َّن ال ُمثلَّثَين في الشكل ال ُمجا ِور ُمتشا ِبهان‪،‬‬ ‫‪ ٤٫٢١‬ﺳﻢ‬ ‫عل ًما بأن ‪ ، //‬ث ّم أوجد طول ‪.‬‬ ‫‪ ٧٫٣٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪ )5‬في الشكل المجاور‪ ،‬أوجد طول‬ ‫‪ ١٫٧٣‬م‬ ‫عل ًما بأن ال ُمثلَّثَين ‪ ،‬متشابهان‪.‬‬ ‫‪ ٠٫٨٢‬م‬ ‫‪ ٢٫٢٣‬م‬ ‫‪77‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ )6‬يُب ّين الشكل أدناه أن المسافة بين الس ّباح والقارب تساوي ‪ 80‬م‪ ،‬والمسافة بين‬ ‫القارب والمنارة تساوي ‪ 1200‬م‪ ،‬وارتفاع القارب ‪ 12‬م‪ ،‬كم يبلغ ارتفاع المنارة‬ ‫إذا كان الس ّباح يستطيع رؤية ق ّمتها وسارية العلم م ًعا‪ ،‬عندما يكون رأسه عند مستوى‬ ‫سطح البحر؟‬ ‫‪ ١٢‬م‬ ‫‪ ٨٠‬م‬ ‫‪ ١٢٠٠‬م‬ ‫ﻧﻖ ﺳﻢ‬ ‫‪ )7‬يُب ّين الشكل ال ُمجا ِور قط ًعا طول ًيا لمخروط‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫دائري قائم ت ّم ملؤه بسائل ح ّتى ارتفاع ‪ 18‬سم‪.‬‬ ‫‪ ٢٤‬ﺳﻢ‬ ‫أوجد نصف قطر قاعدة المخروط‪.‬‬ ‫‪ ١٨‬ﺳﻢ‬ ‫س ﺳﻢ‬ ‫‪ )8‬يُب ّين الشكل ال ُمجا ِور ُسلَّ ًما ثُ ّبت بسلك‬ ‫أُفقي طوله ‪ 80‬سم‪ .‬أوجد قيمة س‪.‬‬ ‫‪ ٨٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٢٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪78‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪-2-12‬ب تشا ُبه الأشكال‬ ‫تعلّمت في الدرس السابق عن ال ُمثلَّثات ال ُمتشا ِبهة‪ .‬ولكن يمكن للتشابُه أن يشمل أي نوع‬ ‫من الأشكال الهندسية‪ .‬يتشابه ُمضلّعان إذا كانت‪:‬‬ ‫Ÿ نسبة الأضلاع ال ُمتنا ِظرة ُمتساوية‪.‬‬ ‫Ÿ قياسات الزوايا ال ُمتنا ِظرة ُمتساوية‪.‬‬ ‫يمكنك استخدام نسبة الأضلاع ال ُمتنا ِظرة لتجد ق َيم الأضلاع المجهولة في الأشكال‬ ‫ال ُمتشا ِبهة كما هو الحال في ال ُمثلَّثات ال ُمتشا ِبهة‪.‬‬ ‫مثـــــال ‪4‬‬ ‫الثاني‬ ‫وأبعاد‬ ‫مم‪،‬‬ ‫‪500‬‬ ‫مم‪،‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪0‬عل‪5‬ما‪3‬نمُمم‪.‬ستهطيللاال اعللمشاكنل‪ُ.‬متأبشاعبِادهاانلأ؟ول‬ ‫لدى أحمد‬ ‫أ‬ ‫رابـط‬ ‫‪ 500‬مم‪،‬‬ ‫عندما تُحاِول أن تفهم كيف‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫تتناسب ال ُجزيئات بعضها مع‬ ‫بعض‪ ،‬فإنك تحتاج كما يحتاج‬ ‫أوجد نسب الأبعاد ال ُمتنا ِظرة‪.‬‬ ‫‪1.43 = ٣٥٣٥٥٠٥٠٠٠٠٠، 2 =١٥١٠٥٠٠٠٠٠٠٠٠٠‬‬ ‫الكيميائيون‪ ،‬إلى فهم عميق‬ ‫و ِّضح سبب عدم تشاُبه العل َمين‪.‬‬ ‫‪٥٠٥٠٠٠‬‬ ‫‪١٠١٠٠٠٠٠‬‬ ‫للأشكال وال ُمج َّسمات الهندسية‪.‬‬ ‫‪٣٥٣٠٥٠‬‬ ‫‪٥٠٥٠٠٠‬‬ ‫‪‬‬ ‫اذللنكس فبإ بنيالنعاللَمأيبعنادغايلرُمتنُماتِظشارةبِهَليينس‪.‬ت متساوية‪ .‬وبناء على‬ ‫ب لدى بسام علمان ُم َرّبعا الشكل‪ .‬طول ضلع العلم الأول ‪ 120‬سم وطول ضلع العلم‬ ‫الثاني ‪ 80‬سم‪ .‬هل العلمان متشابهان؟‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫ُيبِّين ذلك أن كل ال ُم َرّبعات‬ ‫طول كل ضلع من أضلاع العلم الأول ‪ 120‬سم‪.‬‬ ‫ُمتشابهة مهما كانت اطوال‬ ‫طول كل ضلع من أضلاع العلم الثاني ‪ 80‬سم‪.‬‬ ‫نسب الأضلاع ال ُمتنا ِظرة متساوية‪ ،‬وكل منها تُساوي‬ ‫أضلاعها‪.‬‬ ‫‪80 : 120‬‬ ‫هذا يعني أن العل َمين متشابهان‪.‬‬ ‫‪٨‬م‬ ‫‪ ٢٠‬م‬ ‫مثـــــال ‪5‬‬ ‫‪ ١٢‬م‬ ‫س‬ ‫في الشكل المجاور‪ ،‬أوجد قيمة س‪ ،‬عل ًما بأن المستطيلَين‬ ‫ُمتشابِهان‪.‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫اكتب النسب ال ُمتنا ِظرة‪.‬‬ ‫‪ ١٢١٢‬سس‬ ‫‪٢٠٢٠‬‬ ‫=‬ ‫سس‬ ‫استخدم الضرب التباُدلي‪.‬‬ ‫‪٢٠٢٠ ٨ ٨‬‬ ‫‪٨٨‬‬ ‫‪١٢١٢‬‬ ‫س × ‪20 × 12 = 8‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫×‬ ‫‪١٢‬‬ ‫م‬ ‫‪30‬‬ ‫=‬ ‫‪٨‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫⇐‬ ‫‪79‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫تمارين ‪-2-12‬ب‬ ‫‪ )1‬ح ِّدد ما إذا كان ك ّل زوج من الأشكال التالية ُمتشا ِب ًها أم لا‪ .‬و ِّضح خطوات الحل‪.‬‬ ‫‪٢‬ب ص‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤٥‬‬ ‫‪٥‬د‬ ‫ج‪٤‬‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫‪٨٠ ٤ ٣‬‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫و ‪Њ٨٠‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫ﻫـ ‪٩‬‬ ‫‪Њ٦٠‬‬ ‫‪٦٩‬‬ ‫‪٨ ١٢‬‬ ‫‪ )2‬إذا كان كل زوج من الأشكال التالية ُمتشا ِب ًها‪ ،‬احسب قيمة الضلع المجهول‪:‬‬ ‫أ‬ ‫‪ ١٥‬ﺳﻢ ‪ ٥‬ﺳﻢ‬ ‫س ‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫ب‬ ‫‪ ١١‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٢٢‬ﺳﻢ‬ ‫ص ‪ ٧‬ﺳﻢ‬ ‫‪80‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ج‬ ‫ﻙ‬ ‫‪ ٧٫٢٨‬م‬ ‫‪ ٣٫٦٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٫٦٤‬ﺳﻢ‬ ‫د‬ ‫ص‬ ‫‪ ١٠٫٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١١٫٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٨٫٤‬ﺳﻢ‬ ‫‪٥٠‬‬ ‫ﻫـ ‪٤٠‬‬ ‫ص‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫س‬ ‫‪١٠‬‬ ‫و‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪ ٢١‬ص س‬ ‫‪٢٨‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫ز‬ ‫‪١٥‬‬ ‫ص‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫س‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٢٠‬‬ ‫ح‬ ‫‪٢٦٧‬‬ ‫‪٨٠‬‬ ‫س‬ ‫‪81‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪-2-12‬ج مساحة الأشكال ال ُمتشا ِبهة‬ ‫إذا كان ك ّل زوج من أزواج الأشكال الآتية ُمتشا ِب ًها‪:‬‬ ‫‪٦٫٩‬‬ ‫‪٢٫٣‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫المساحة = ‪ 5.29‬ال‪٠‬م‪١‬سا‪٠‬ح‪٤‬ة = ‪47.61‬‬ ‫‪٨٤‬‬ ‫‪١٠ ٥‬‬ ‫المساحة = ‪ 10‬المساحة = ‪40‬‬ ‫نسبة الطول‪ 2.3 : 6.9 :‬أو ‪1 :3‬‬ ‫ُمعا ِمل التشابُه = ‪٤٥٧٫٫٢٦٩٤١٠3 =١٦٢٠٫٫٩٣‬‬ ‫نسبة الطول‪ 5 : 10 :‬أو ‪1 :2‬‬ ‫نسبة المساحة هي ‪ 5.29 ١: 4٠7.6٥1‬أو ‪1 :9‬‬ ‫ُمعا ِمل التشابُه = ‪٤١2٠٠= ١٥٠‬‬ ‫تُس ّمى النسبة التي تُقا ِرن بين‬ ‫قياسات شكلَين ُمتشاب َهين ُمعا ِمل‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪٤٧٫٦١‬‬ ‫=‬ ‫الم‪٩٣‬س‪٫‬ا‪٦٢٫‬حة‬ ‫تشابُه‬ ‫ُمعا ِمل‬ ‫نسبة المساحة‪٫٩‬ه‪٦‬ي ‪٧1٫0٦١:40‬أ‪٤‬و ‪1 :4‬‬ ‫‪٥٫٢٩‬‬ ‫ُمعا ِمل تشابُه ا‪٣‬ل‪٫‬م‪٢‬ساح‪٥٠‬ة‪4 =٥٤١٫٠٠٢٩=١‬‬ ‫ال ت ش ا ُب ه‪.‬‬ ‫م ّما سبق ستجد أ‪٩‬ن‪٦٫‬هناك‪١‬ع‪٦‬ل‪٫‬اق‪٧‬ة‪ ٤‬بين الأضلاع ال ُمتنا ِظرة في الأشكال ال ُمتشا ِبهة ومساحة‬ ‫ساب ًقا‬ ‫تلك الأشكال‪٥٫٢٩ ٢٫٣ .‬‬ ‫سبق لك أن تعاملت مع هذه الأمور‬ ‫في الأشكال ال ُمتشا ِبهة إذا كانت النسبة بين أطوال الأضلاع ال ُمتنا ِظرة أ‪:‬ب‪ ،‬فإن النسبة‬ ‫عند دراسة التكبير في الوحدة ‪ 8‬‬ ‫بين مساحاتها أ‪ :2‬ب‪.2‬‬ ‫بمعنى آخر‪ُ ،‬معا ِمل تشا ُبه المساحات = ( ُمعا ِمل تشابُه الأطوال)‪2‬‬ ‫مثـــــال ‪6‬‬ ‫إذا علمت أن ال ُمستطيلَين ُمتشابِهان‪ ،‬فما نسبة مساحة ال ُمستطيل الصغير إلى مساحة‬ ‫ال ُمستطيل الكبير؟‬ ‫‪١٨ ٢١‬‬ ‫ابدأ بِ ُمعا ِمل تشابه الأطوال (النسبة بين‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫تذ َّكر أن ترتيب الأعداد في النسبة‬ ‫أطوال الأضلاع)‪.‬‬ ‫النسبة بين طولَي الضل َعين = ‪21:18‬‬ ‫ُم ِه ّم ج ًدا‪ .‬المطلوب هنا هو إيجاد‬ ‫نسبة مساحة المستطيل الصغير‬ ‫أوجد النسبة بين المساحات بتربيع ُمعا ِمل‬ ‫النسبة بين المساحتَين = (‪2)21(:2)18‬‬ ‫التشاُبه بين الأطوال‪.‬‬ ‫= ‪441 : 324‬‬ ‫إلى مساحة المستطيل الكبير‪،‬‬ ‫لذا يجب كتابة أبعاد المستطيل‬ ‫ب ِّسط النسبة بقسمة كلا العدَدين على ‪٩‬‬ ‫= ‪49 : 36‬‬ ‫الصغير أ َّولًا‪.‬‬ ‫‪82‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪٢٥‬‬ ‫مثـــــال ‪7‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪٢٣‬‬ ‫هي‬ ‫ت ُمستاوشايبِهَ‪0‬يﻤ‪0‬نﺴﺎ‪٠9،‬ﺤوا‪٠‬ﺔلسن‪٩‬م‪2‬س‪،‬بﺴةفمأ‪٢‬بيوجندطمولَسايحاةل الضمل َعسيتنطيا‪٥‬ل‪٩‬لُم‪٢‬تناظَرين‬ ‫إذا كان ال ُمستطيلان ‪،‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ،5:3‬وكانت مساحة ال ُمستطيل‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫ُامفلإعاسنِمؤاالللعتدتّدمشاُبذ‪3‬هك ارهلأوالطمُمواعساتلِملطيه‪٣٥‬لوالعدد‬ ‫استخدم‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫=‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﻤﺔﺴﺎﺤﺔ‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﻤﺔﺴﺎﺤﺔ‬ ‫لأنه في‬ ‫‪5‬‬ ‫أَّولاً‪ ،‬لذا‬ ‫‪٢٥ ٢٢٥٥‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫ﻤﻤﻤﺴﺴﺴﺎﺎﺎﺤﺤﺤﻤﺔﺔﺔﺴﺎ‪٠‬ﻤﺤﻤﻤ‪٠‬ﺔﺴﺴﺎﺴ‪٩‬ﺎﺎﺤ‪٠‬ﺤﺤﺔﺴﺔ‪٠‬ﺔم‪ ٩٢‬ﺴم‪٢‬‬ ‫‪٩ ٢٩٣‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫هو ُمعا ِمل المستطيل‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫ُمعﻤاﻤِمﺴﺴﺎﺎلﺤﺤتﺔﺔشاُبه‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻤﺴﺎﺤﺔ‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫هو‬ ‫المساحات‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٢=٣‬‬ ‫ﺴم‪٢‬‬ ‫ﺴم‪٩٠٠٢‬‬ ‫مساحة‬ ‫ﻤﺴﺎ‪٠‬ﺤ‪٠‬ﺔ‪٩‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫ﻤﺴﺎﺤﺔ‬ ‫×‪9٣٥00٣٥‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫=‬ ‫‪ ٩٠٠‬ﺴم‪٢‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪ ٩٠٠‬ﺴم‪٢‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪0‬س‪0‬م‪2٥٣52‬‬ ‫‪2500‬‬ ‫=‬ ‫تسا‪٣٥‬وي‬ ‫سم‪2‬‬ ‫‪ ‬مساحة‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫مثـــــال ‪8‬‬ ‫= ‪ 48‬سم‪2‬‬ ‫ُمتشابِهان‪ ،‬وأن مساحة الشكل‬ ‫التالَيين‬ ‫إذا علمت أن الشكلَين‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 108‬سم‪ ،2‬فأوجد ارتفاع الشكل‬ ‫ش=‬ ‫ومساحة الشكل ‬ ‫‪ ٤٨‬س‪٢‬‬ ‫‪ ١٨‬ﺳﻢ‬ ‫ﺱ‬ ‫‪٢١٨ ١٠٨‬‬ ‫‪ ٤٨‬س‪٢‬‬ ‫كﺵ‬ ‫‪٣٢٤ ١٠٨‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫استخدم ُمعا ِمل تشاُبه الأطوال ‪٨‬س‪.١‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ليكن س هو ارتفاع الشكل‬ ‫فيكون ُمعا ِمل تشاُبه المساحات هو‬ ‫‪٤٨‬‬ ‫س‪٢‬س‪٢‬‬ ‫‪=١٤١٠٤٨٠٨٨٨‬‬ ‫س‪٢‬‬ ‫‪١٠٨‬‬ ‫‪٢١٢١٨٨‬‬ ‫‪٢١٨‬‬ ‫=‪٢٨٤٤‬س‪٢٢‬س‪٣٢٢٣١‬‬ ‫س‪٢‬‬ ‫‪٤٨‬‬ ‫‪٢٢٨4٨٨41٤٤4×2‬سس‪1٨‬سس‪٢٢2١١‬س‪٣٣١‬س‪3٢٢١‬‬ ‫‪٤٤٨٨‬‬ ‫‪٣٢٤‬‬ ‫‪١٠٨‬‬ ‫‪١١٠٠٨٨‬‬ ‫‪١٤١٠٤٨٠٨٨٨‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪٨‬س‪= 2٤‬‬ ‫‪٠٨‬س‪=١‬‬ ‫س‬ ‫أ‪٨‬و‪١‬جد الجذر التربيعي الموجب‪.‬‬ ‫وطوله يساوي ‪ 12‬سم‪.‬‬ ‫هو ارتفاسع الشكل‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪83‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫مثـــــال ‪9‬‬ ‫ص‬ ‫الشكلان ال ُمبَّينان في ال ُمخ َطّط ال ُمجاِور ُمتشابِهان‪.‬‬ ‫أوجد الطول ال ُمشار إليه بالحرف ص إذا‬ ‫‪ ١٢‬ﺴم‬ ‫كانت مساحة الشكل الكبير ‪ 216‬سم‪2‬‬ ‫ومساحة الشكل الصغير ‪ 24‬سم‪.2‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪٢١٦‬‬ ‫=‬ ‫المساحات‬ ‫تشاُبه‬ ‫ُمعا ِمل‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫إذا علمنا ُمعا ِمل تشاُبه المساحات‪ ،‬فإننا‬ ‫⇐ ( ُمعا ِمل تشاُبه الأطوال)‪9 = 2‬‬ ‫نحتاج إلى إيجاد الجذر التربيعي له‪،‬‬ ‫⇐ ُمعا ِمل تشاُبه الأ‪٤٦‬ط‪١‬و‪٢‬ا‪٢‬ل = ‪3 = ٩‬‬ ‫لإيجاد ُمعا ِمل تشابه الأطوال‪.‬‬ ‫∴ ص = ‪ 36 = 12 × 3‬سم‬ ‫تمارين ‪-2-12‬ج‬ ‫‪ )1‬إذا علمت أن كل زوج من الأشكال التالية ُمتشا ِبه‪ ،‬وأُعطي َت مساحة أحد الشكلَين‬ ‫فأوجد مساحة الشكل الآخر‪:‬‬ ‫أب‬ ‫‪ ١٥‬م‬ ‫‪٧‬م‬ ‫‪ ٢٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫مساحة الشكل الصغير = ‪ 17٫0‬م‪2‬‬ ‫مساحة ال ُمثلَّث الكبير = ‪ 187٫5‬سم‪2‬‬ ‫‪ ٢٥‬ﺳﻢ‬ ‫د‬ ‫ج‬ ‫‪ ١٥‬ﺳﻢ‬ ‫مساحة ال ُمثلَّث الصغير = ‪ 135‬سم‪2‬‬ ‫‪ ٥٠‬م ‪ ٨٠‬م‬ ‫مساحة ال ُمضلَّع الكبير = ‪ 4000‬م‪2‬‬ ‫‪84‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ )2‬أوجد طول الضلع س في كل م ّما يلي عل ًما بأن كل زوج من أزواج الأشكال التالية‬ ‫ُمتشا ِبه‪:‬‬ ‫بس‬ ‫أ‬ ‫‪ ١٦٫٥‬م‬ ‫‪ ٣٢‬ﺳﻢ‬ ‫س‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ = ‪ ٥٩٢‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ = ‪ ٩٠٠‬م‪٢‬‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ = ‪ ٣٣٣‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫س‬ ‫ج‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ = ‪ ٢٧٢٫٢٥‬م‪٢‬‬ ‫د‬ ‫‪ ٢٢٫٥‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ = ‪ ٣٠٣٫٧٥‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ = ‪ ٦٫٨٧٥‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫س‬ ‫‪ ٢‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ = ‪ ١٣٥‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ = ‪ ٤٫٤‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫‪ )3‬تصنع أمينة نم ًطا بق ّص ُمضلَّعات ُخماس َّية ُمنت ِظمة‪ .‬كيف ستتأ َّثر مساحة ال ُمضلَّع‬ ‫ال ُخماسي إذا‪:‬‬ ‫أ ضاعفت أطوال أضلاعه؟‬ ‫ب أصبح طول كل ضلع ثلاثة أمثال طوله السابق؟‬ ‫ج أصبح طول كل ضلع نصف طوله السابق؟‬ ‫‪ )4‬إذا كانت النسبة بين مساحتَي شكلَيْن ُمتشاب َهين ‪ ،9:64‬فكم تبلغ النسبة بين‬ ‫الأضلاع ال ُمتنا ِظرة؟‬ ‫‪ )5‬أوجد القيمة المجهولة في ك ّل زوج من أزواج الأشكال ال ُمتشا ِبهة التالية‪:‬‬ ‫أ ‪ ١٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ = س ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ = ‪ ٢١‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫ب‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ = ‪ ١٠٨‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ = ‪ ٤٣٢‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫س‬ ‫‪ ٢٨٫٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪85‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪-2-12‬د تشا ُبه ال ُمج َّسمات‬ ‫يمكن للأشكال ثُلاث َّية الأبعاد (ال ُمج َّسمات) أي ًضا أن تتشابه‪.‬‬ ‫ال ُمج َّسمات ال ُمتشا ِبهة لها الهيئة نفسها وزواياها ال ُمتنا ِظرة ُمتطا ِبقة‪ ،‬أضف إلى ذلك أن‬ ‫جميع القياسات الخ ّطية ال ُمتنا ِظرة (الأحرف والأقطار وأنصاف الأقطار والارتفاعات‬ ‫والارتفاعات الجانبية) لها نفس النسبة‪ ،‬وتس ّمى النسبة التي تقا ِرن القياسات في ُمج َّس َمين‬ ‫ُمعا ِمل التشا ُبه‪.‬‬ ‫حجوم ال ُمج َّسمات ال ُمتشا ِبهة و مساحاتها السطحية‬ ‫يُب ِّين الجدول التالي حجوم وأطوال أضلاع ك ّل من ال ُمك َّعبات السابقة‪.‬‬ ‫حجم متوازي المستطيلات =‬ ‫×‪5‬‬ ‫الطول × العرض × الارتفاع‬ ‫×‪2‬‬ ‫حجم ال ُمك َّعب = (طول الضلع)‪3‬‬ ‫لأن أبعاد ال ُمك َّعب كلها متساوية‬ ‫طول الضلع (وحدة) ‪10 4 2‬‬ ‫في بعض الأحيان‪ ،‬تعطى ُمعا ِمل‬ ‫الحجم (وحدة‪1000 = 10 × 10 × 10 64 = 4 × 4 × 4 8 = 2 × 2 × 2 )3‬‬ ‫تشابه المساحات أو الحجوم لتبدأ‬ ‫× ‪32‬‬ ‫به بدلًا من ُمعا ِمل تشابه الأطوال‪.‬‬ ‫استخدم الجذر التربيعي أو الجذر‬ ‫× ‪35‬‬ ‫التكعيبي لتحصل على ُمعا ِمل‬ ‫لاحظ أنه عند ضرب طول الضلع في ‪ ،2‬يُضرب الحجم في ُمك َّعب ُمعا ِمل تشابُه الطول‪،‬‬ ‫تشابه الأطوال ويكون نقطة‬ ‫أي ‪8 = 32‬‬ ‫البداية في عملك‪.‬‬ ‫هنا يكون ُمعا ِمل تشا ُبه الأطوال ‪ ،2‬و ُمعا ِمل تشا ُبه الحجوم ‪32‬‬ ‫عند ضرب طول الضلع في ‪ ،5‬يُضرب الحجم في ُمك َّعب ُمعا ِمل تشابُه الطول‪ ،‬أي ‪125 = 35‬‬ ‫هنا يكون ُمعا ِمل تشا ُبه الأطوال ‪ ،5‬و ُمعا ِمل تشا ُبه الحجوم ‪35‬‬ ‫وبالتالي فإن‪:‬‬ ‫ُمعا ِمل تشابُه الحجوم = ( ُمعا ِمل تشابُه الأطوال)‪3‬‬ ‫وباعتماد المساحة السطحية لل ُمك َّعبات‪ ،‬ستكون قاد ًرا على ُملاحظة أن قاعدة ُمعا ِمل‬ ‫تشابُه المساحات لا تزال صحيحة بخصوص المساحة‪:‬‬ ‫ُمعا ِمل تشابُه المساحات = ( ُمعا ِمل تشابُه الأطوال)‪2‬‬ ‫‪86‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫وبالتالي إذا تشابه ُمج َّسمان ( و )‪ ،‬فإن‪:‬‬ ‫Ÿلكل القياسات الخ ّطية ال ُمتنا ِظرة نفس النسبة‪ .‬مثل ًا‪ ،‬ستكون النسبة بين طولَي‬ ‫الضل َعين المتناظ َرين مساوية لـ أ‪ :‬ب‪ ،‬كما ستكون النسبة بين القط َرين ال ُمتناظ َرين‬ ‫مساوية لـ أ‪ :‬ب‪ ،‬وستكون النسبة بين ارتفا َعي ال ُمج َّسمين مساوية لـ أ‪ :‬ب‪ .‬بشكل‬ ‫عام‪ ،‬سيكون ناتج قسمة أي طول من ال ُمج َّسم (أ) على الطول ال ُمناظر له من‬ ‫ال ُمج َّسم (ب) مساو ًيا لـ أ‪ :‬ب‪.‬‬ ‫Ÿالنسبة بين المسا َحتين في ال ُمج َّسمين ستكون مساوية لـ أ‪ :2‬ب‪ ،2‬فمثل ًا‪ ،‬ناتج قسمة‬ ‫المساحة السطحية لل ُمج َّسم (أ) على المساحة السطحية لل ُمج َّسم (ب) يساوي أ‪:2‬‬ ‫ب‪.2‬‬ ‫ Ÿالنسبة بين الحج َمين في ال ُمج َّس َمين ستكون مساوية لـ أ‪ :3‬ب‪ ،3‬فمثل ًا‪ ،‬ناتج قسمة‬ ‫حجم المجسم (أ) على حجم ال ُمج َّسم (ب) يساوي أ‪ :3‬ب‪3‬‬ ‫تُب ّين الأمثلة التالية كيفية استخدام ُمعا ِملات التشابُه في ال ُمج َّسمات‪.‬‬ ‫مثـــــال ‪10‬‬ ‫إذا كانالمخروطان ال ُمبَّينان في ال ُمخ َطّط ال ُمجاِور ُمتشابِهَين‪،‬‬ ‫‪ ١٢‬ﺴم‬ ‫أوجد حجم المخروط الكبير‪ ،‬عل ًما بأن‬ ‫‪ ٣‬ﺴم‬ ‫حجم المخروط الصغير ‪ 40‬سم‪.3‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫(ُم ُمعاعِام ِمللت تشاشُبابههالالحأجطوواملي)س‪3‬اوي‬ ‫‪64‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪١٢‬‬ ‫ُمع⇐ا ِمُملعاتِمشلاُبتهشاالُبأهطالواحلج=وم‬ ‫=‬ ‫‪34‬‬ ‫‪=٣‬‬ ‫‪ ‬حجم المخروط الكبير = ‪ 2560 = 40 × 64‬سم‪3‬‬ ‫مثـــــال ‪11‬‬ ‫صندوق حجمه ‪ 2000‬سم‪ .3‬إذا تضاعفت أبعاده‪ ،‬فكم سيكون حجمه الجديد؟‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫الأبعاد الأصلية ‪) (3‬‬ ‫=‬ ‫الحجم الأصلي‬ ‫الأبعاد الجديدة‬ ‫الحجم الجديد‬ ‫أينكوُمنعا ُِممعلا ِمتلشاُبتهشاُبه‬ ‫عند ُمضاعفة الأبعاد‪،‬‬ ‫‪) (3 1‬‬ ‫=‬ ‫‪2000‬‬ ‫الطول ‪ ،2‬وهذا يعني‬ ‫‪2‬‬ ‫الحجم الجديد‬ ‫الحجم هو ‪8 = 32‬؛ وبناء على ذلك‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪8‬‬ ‫الحجم الجديد‬ ‫اضرب الحجم في ‪8‬‬ ‫الحجم الجديد = ‪8 × 2000‬‬ ‫الحجم الجديد = ‪ 16000‬سم‪3‬‬ ‫‪87‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫مثـــــال ‪12‬‬ ‫إذا كان متوازيا ال ُمستطيلات ‪ُ ،‬متشابِهَين‪ ،‬وكانت المساحة السطحية لل ُمج َّسم الكبير‬ ‫تساوي ‪ 608‬سم‪ ،2‬فكم تساوي المساحة السطحية لل ُمج َّسم الصغير؟‬ ‫‪ ٨‬ﺴم ) (‬ ‫‪ ٥‬ﺴم ) (‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫عرض ( ) ‪) (2‬‬ ‫=‬ ‫مساحة ( ) السطحية‬ ‫‪) (2 5‬‬ ‫=‬ ‫( ) السطحية‬ ‫مساحة‬ ‫عرض ( )‬ ‫مساحة ( ) السطحية‬ ‫‪8‬‬ ‫‪608‬‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫( ) السطحية‬ ‫مساحة‬ ‫‪64‬‬ ‫‪608‬‬ ‫استخدم الضرب التبادلي‬ ‫مساحة ( ) السطحية × ‪608 × 25 = 64‬‬ ‫اقسم كلا الطرفَين على ‪64‬‬ ‫‪608 × 25‬‬ ‫مساحة ( ) السطحية =‬ ‫‪64‬‬ ‫مساحة ( ) السطحية = ‪ 237.5‬سم‪2‬‬ ‫تمارين ‪-2-12‬د‬ ‫‪ )1‬انسخ الجملة الآتية وأكملها‪:‬‬ ‫عند ضرب أبعاد ُمج َّسم في مقدار ك‪ ،‬سنضرب المساحة السطحية في‬ ‫ونضرب الحجم في ‪.‬‬ ‫‪ )2‬إذا علمت أن ال ُمك َّعبَين ()‪ُ ) ( ،‬متشا ِبهان‪ ،‬وأن طول ضلع ال ُمك َّعب () ‪ 20‬سم‪ ،‬وطول‬ ‫ضلع ال ُمك َّعب ( ) ‪ 5‬سم‪:‬‬ ‫أ ما ُمعا ِمل تشابُه ( ) إلى ( )؟‬ ‫ب ما النسبة بين مساحتَيْهما السطح َّية؟‬ ‫ج ما النسبة بين حج َميْهما؟‬ ‫‪ )3‬إذا كان الهرمان ( )‪ُ ) ( ،‬متشا ِب َهين‪ ،‬أوجد المساحة السطحية للهرم ( ) (الصغير)‪.‬‬ ‫‪ ١٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﺴﻄﺤﻴﺔ ﻟﻠﻬﺮم ) ( = ‪ ٦٠٠‬ﺳﻢ‪٢‬‬ ‫‪88‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ )4‬لدى سالم أسطوانتان معدنيتان ُمتشا ِبهتان‪ ،‬قطر الأسطوانة الصغيرة ‪ 4‬سم‪،‬‬ ‫ومساحتها السطحية ‪ 110‬سم‪ ،2‬وقطر الأسطوانة الكبيرة ‪ 5‬سم‪ .‬أوجد المساحة‬ ‫السطحية للأسطوانة الكبيرة‪.‬‬ ‫‪ )5‬إذا علمت أن ُمتوازيي ال ُمستطيلات (س)‪( ،‬ص) ُمتشا ِبهان‪ .‬و ُمعا ِمل تشابُه الأطوال‬ ‫‪3‬‬ ‫التالية‪:‬‬ ‫الأسئلة‬ ‫عن‬ ‫فأجب‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫هو‬ ‫(ص)‬ ‫إلى‬ ‫(س)‬ ‫أ إذا كان طول أحد أبعاد ُمتوازي ال ُمستطيلات (س) هو ‪ 12‬مم‪ ،‬فأوجد‬ ‫طول البُعد ال ُمنا ِظر له في ُمتوازي ال ُمستطيلات (ص)‪.‬‬ ‫ب المساحة السطحية ل ُمتوازي ال ُمستطيلات (س) ‪ 88.8‬سم‪ ،2‬فأوجد‬ ‫المساحة السطحية ل ُمتوازي ال ُمستطيلات (ص)‪.‬‬ ‫ج إذا كان حجم ُمتوازي ال ُمستطيلات (س) هو ‪35.1‬سم‪ ،3‬فأوجد حجم‬ ‫ُمتوازي ال ُمستطيلات (ص)‪.‬‬ ‫‪ )6‬إذا كان ال ُمج َّسمان في كل ُجزئ َّية من ُجزئ ّيات هذا التمرين ُمتشا ِب َهين‪ ،‬أوجد الحجم‬ ‫المجهول‪:‬‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪٣‬ﱈ‬ ‫‪ ٥‬ﺳﻢ ‪ ٤‬ﱈ‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫)(‬ ‫) ( )(‬ ‫)(‬ ‫حجم ( ) = ‪ 9‬مم‪3‬‬ ‫حجم ( ) = ‪ 288‬سم‪3‬‬ ‫د‬ ‫ج‬ ‫‪ ٣٫٢‬م ‪ ٣٫٦‬م‬ ‫‪ ٢‬م ‪ ١٫٦‬م‬ ‫)( ) (‬ ‫)( ) (‬ ‫حجم ( ) = ‪ 80٫64‬م‪3‬‬ ‫حجم ( ) = ‪ 0٫384‬م‪3‬‬ ‫‪ )7‬أوجد القيمة المجهولة في ك ّل زوج من أزواج الأشكال ال ُمتشا ِبهة التالية‪:‬‬ ‫أ‬ ‫اﳊﺠﻢ = ص ﺳﻢ‪٣‬‬ ‫اﳊﺠﻢ = ‪ ٢٠‬ﺳﻢ‪٣‬‬ ‫‪ ٤٢‬ﺳﻢ ‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪89‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ب اﳊﺠﻢ = ‪ ٦٤٠‬ﺳﻢ‪٣‬‬ ‫‪ ٩‬ﺳﻢ اﳊﺠﻢ = ‪ ١٠‬ﺳﻢ‪٣‬‬ ‫ﻧﻖ ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫ط ّبق مهاراتك‬ ‫يُن ِتج المخروط عندما يُق ُّص بهذه‬ ‫الطريقة مخرو ًطا صغي ًرا‬ ‫‪  )8‬تملك مريم مجموعة من ال ُّدمى ال ُمتشا ِبهة‪ .‬‬ ‫ومج ّس ًما يُس ّمى مخرو ًطا ناق ًصا‪.‬‬ ‫يبلغ طول ال ُّدمية الكبرى ‪ 31‬سم‪،‬وال ُّدمية‬ ‫التالية لها أقصر بمقدار ‪ 2‬سم‪ ،‬والثالثة‬ ‫أقصر بمقدار ‪ 4‬سم‪.‬‬ ‫ارسم جدولاً لتُقا ِرن المساحة السطحية والحجم‬ ‫لل ُّدمى الثلاث‪ُ ،‬مستخ ِد ًما ُمعا ِملات التشابُه المختلفة‪.‬‬ ‫‪  )9‬يُ ِنتج مصن ٌع ما أزوا ًجا من المخاريط الورقية‬ ‫تم قطعها بمستوى موا ٍز للقاعدة‪ ،‬كما هو‬ ‫ُمو َّضح في ال ُمخ َّطط ال ُمجا ِور‪.‬‬ ‫فإذا كان حجم المخروط الكبير‬ ‫(الكامل) ‪ 821‬سم‪ 3‬وحجم‬ ‫المخروط الصغير الذي ت ّم قطعه س‬ ‫من أعلى ‪ 24‬سم‪ ،3‬أوجد قيمة س‪.‬‬ ‫‪90‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 3-12‬تطبيقات على التشا ُبه‬ ‫يتم َّثل التطبيق العملي لموضوع التشابُه في رسم ال ُمخ َّططات المختلفة أو استخدام‬ ‫الخريطة‪ .‬حيث تحتاج أحيا ًنا إلى رسم ُمخ َّطط ليُم ِّثل شي ًئا أكبر بكثير من أن ت َّتسع له‬ ‫الورقة‪ ،‬أو شي ًئا صغي ًرا ج ًّدا يصعب وضع التفاصيل عليه‪ ،‬مثل ُمخ َّطط بناية‪ ،‬أو خريطة‬ ‫بلد ما‪ ،‬أو تصميم رقاقة رقمية‪.‬‬ ‫تكون كل ال ُمستقيمات في ال ُمخ َّططات المرسومة كسو ًرا من ال ُمستقيمات التي تُم ِّثلها في‬ ‫الحقيقة‪ ،‬ويُس ّمى هذا الكسر مقياس الرسم‪ ،‬وهو يساوي ُمعا ِمل التشابُه الذي استخدمناه‬ ‫في بداية الوحدة‪.‬‬ ‫وكما تعلَّمت‪ ،‬فإ َّن مقياس الرسم ل ُمخ َّطط‪ ،‬أو لخريطة ما يُعطى في صورة كسر‪ ،‬أو نسبة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.50000‬‬ ‫‪:1‬‬ ‫أو‬ ‫‪50000‬‬ ‫مثل‬ ‫ساب ًقا‬ ‫من‬ ‫‪1‬‬ ‫يساوي‬ ‫ال ُمخ َّطط‬ ‫على‬ ‫مستقيم‬ ‫ك ّل‬ ‫طول‬ ‫أن‬ ‫يعني‬ ‫‪1‬‬ ‫الرسم‬ ‫مقياس‬ ‫أن‬ ‫حيث‬ ‫يمكن استخدام بعض مهارات‬ ‫‪50000‬‬ ‫‪50000‬‬ ‫الإنشاءات الهندسية التي تعلّمتها في‬ ‫طول ال ُمستقيم الذي يُم ِّثله في الواقع‪ ،‬فمثل ًا‪ :‬كل ‪ 1‬سم على ال ُمخ َّطط يُم ِّثل ‪ 50000‬سم في‬ ‫الوحدة ‪ 4‬في رسم ال ُمخ َطّط‪ .‬‬ ‫الواقع‪ ،‬وكذلك كل ‪ 1‬سم يُم ِّثل ‪ 500‬م‪ ،‬أو كل ‪ 2‬سم تم ّثل ‪ 1‬كم‪.‬‬ ‫مثـــــال ‪13‬‬ ‫رابـط‬ ‫بمقياس‬ ‫له‬ ‫و‪5‬ع‪4‬ر مض‪.‬هتّمعلتىصالميُممخ َرطّسطم؟ ُمخ َطّط‬ ‫‪ 100‬م وعرضه‬ ‫مستطيل الشكل طوله‬ ‫حقل‬ ‫ُيستخَدم رسم ال ُمخ َطّط في إنتاج‬ ‫يبلغ طول الحقل‬ ‫‪ 1‬سم لكل ‪ 10‬م‪ .‬كم‬ ‫رسم‬ ‫مواد تصميم تكنولوجية‪ .‬وُيمكن‬ ‫لكثير من المسائل التي تتض َّمن‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫تبالطااُبستقخادلاأمشاكلاجليداللمرخستلمف اةل ُأمنخ َتطُّحط‪ّ.‬ل‬ ‫اتُلعملِخّكنىارنئارطمسفمن ايتلقُاملديخجم َغطّمارطفواايقاتأ‪،‬في ومًضهانيأالمثوالقةع‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫هو‬ ‫الرسم‬ ‫مقياس‬ ‫يتمَثّل كل ‪ 10‬م على ال ُمخ َطّط بـ ‪ 1‬سم‪.‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪ ‬يتمَثّل ‪ 100‬م بـ (‪ )10 ÷ 100‬سم = ‪ 10‬سم‪.‬‬ ‫بقياسات قابلة للتعا ُمل معها‪.‬‬ ‫(يجب الانتباه لوحدات القياس‬ ‫ويتمَثّل ‪ 45‬م بـ (‪ )10 ÷ 45‬سم = ‪ 4,5‬سم‪.‬‬ ‫ال ُمستخد َمة)‪.‬‬ ‫‪ ‬يبلغ طول الحقل على ال ُمخ َطّط ‪ 10‬سم‪ ،‬وعرضه‬ ‫‪ 4,5‬سم‪.‬‬ ‫‪91‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫رسم ال ُمخ َّططات‬ ‫إليك بعض الإرشادات لرسم ال ُمخ َّططات بمقياس رسم‪:‬‬ ‫Ÿ نَ ِّفذ رس ًما تقريب ًّيا‪ُ ،‬مب ّي ًنا كل التفصيلات ال ُمعطاة في السؤال‪.‬‬ ‫الرسم في ال ُمخ َّطط يكون ُمشاب ًها‬ ‫للرسم الحقيقي‪ .‬وبناء على‬ ‫Ÿإذا ُطلب إليك أن تستخدم مقياس رسم ُمح َّد ًدا‪ ،‬فعليك استخدامه! وإلا فعليك اختيار‬ ‫ذلك تتناسب الأضلاع ال ُمتنا ِظرة‬ ‫مقياس رسم يتناسب ال ُمخ َّطط فيه مع الصفحة التي ترسم عليها‪.‬‬ ‫وتتساوى قياسات الزوايا‬ ‫ال ُمتنا ِظرة‪.‬‬ ‫Ÿارسم ُمخ َّط ًطا نظي ًفا ودقي ًقا باستخدام الأدوات الهندسية ال ُمناسبة‪ ،‬وب ّين عليه‬ ‫الأطوال وقياسات الزوايا المعطاة‪ ،‬واكتب المقياس أسفل الرسم‪.‬‬ ‫Ÿأوجد الأطوال وقياسات الزوايا في ال ُمخ َّطط لتجد الإجابات عن المسألة‪ ،‬وتذ َّكر‬ ‫أن تُح ِّول الأطوال إلى الأطوال الحقيقية باستخدام مقياس الرسم‪ ،‬ولكن قياسات‬ ‫الزوايا هي نفسها في ال ُمخ َّطط‪.‬‬ ‫تمارين ‪3-12‬‬ ‫‪ )1‬يبلغ طول غرفة المعيشة على رسم ُمخ َّطط لأحد المنازل ‪ 3.4‬سم‪ ،‬وعرضها‬ ‫‪ 2.6‬سم‪ .‬مقياس الرسم ال ُمستخ َدم في ال ُمخ َّطط هو ا سم لكل ‪ 2‬م‪ .‬أوجد الطول‬ ‫والعرض الحقيقي للغرفة‪.‬‬ ‫‪ )2‬تبلغ المسافة الفعلية بين قريتَين ‪ 12‬كم‪ .‬احسب المسافة بينهما على خريطة‪ ،‬إذا‬ ‫كان مقياس الرسم‪:‬‬ ‫ب ‪ 1‬سم لكل ‪ 5‬كم‬ ‫أ ‪ 1‬سم لكل ‪ 4‬كم‪.‬‬ ‫‪ )3‬إذا علمت أن طول طريق ُمنح َدر ‪ 28‬م ويُش ِّكل زاوية قياسها ‪ 15‬مع الأفق‪ .‬يُراد رسم‬ ‫ُمخ َّطط لل ُمنح َدر باستخدام مقياس الرسم ‪ 1‬سم لكل ‪ 5‬م‪،‬‬ ‫أ فكم سيكون طول ال ُمنح َدر في ال ُمخ َّطط؟‬ ‫ب وما قياس الزاوية التي سيُش ِّكلها ال ُمنح َدر مع الأفق في ال ُمخ َّطط؟‬ ‫‪ )4‬إذا كان الشكل ال ُمجا ِور يُم ِّثل رس ًما تقريب ًّيا للحقل‬ ‫أ ارسم ُمخ َّط ًطا دقي ًقا للحقل ُمستخ ِد ًما مقياس‬ ‫‪ ١٠٠‬م ‪ ٩٠‬م‬ ‫الرسم ‪ 1‬سم إلى ‪ 20‬م‪.‬‬ ‫‪Њ٧٥ Њ٨٠‬‬ ‫ب أوجد ( ) و( ) عند طر َفي الحقل‬ ‫‪ ١٢٠‬م‬ ‫ُمستخ ِد ًما المنقلة‪.‬‬ ‫ج أوجد طول ضلع الحقل ‪.‬‬ ‫‪92‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ )5‬يرتكز ُسلَّم طوله ‪ 3,6‬م على أرض أفقية وعلى حائط رأسي‪ ،‬ويُش ِّكل زاوية مع الأرض‬ ‫قياسها ‪( 70‬انظر الشكل ال ُمقا ِبل)‪.‬‬ ‫أ ما قياس الزاوية ( ) التي يُش ِّكلها السلَّم مع‬ ‫الحائط؟‬ ‫ب ارسم ُمخ َّط ًطا ُمستَخ ِد ًما مقياس الرسم ‪ 1‬سم ‪ ٣٫٦‬م‬ ‫لكل ‪ 50‬سم‪ ،‬كي تجد ارتفاع السلَّم ( ) عن‬ ‫‪Њ٧٠‬‬ ‫الأرض‪ .‬اﻷرض‬ ‫‪ )6‬يُم ِّثل رسم ال ُمخ َّطط الدقيق الجدار الرأسي ت لبناء‬ ‫ُمش َّيد على أرض أفقية‪ُ .‬رسم ال ُمخ َّطط بمقياس الرسم ‪ 1‬سم لكل ‪ 8‬م‪.‬‬ ‫أ أوجد ارتفاع البناء‪.‬‬ ‫ب أوجد المسافة من النقطة إلى قاعدة البناء ‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫اﻟﺒﻨﺎء‬ ‫‪Њ٣٥‬‬ ‫اﻷرض‬ ‫‪93‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الأول‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ُمل َّخص‬ ‫يجب أن تكون قاد ًرا على‪:‬‬ ‫ما يجب أن تعرفه‪:‬‬ ‫Ÿ تحديد ما إذا كان الشكلان ُمتطاب َقين أم لا‪.‬‬ ‫Ÿالأشكال ال ُمتطا ِبقة متساوية تما ًما‪.‬‬ ‫Ÿ اختبار تطابُق ال ُمثلَّثات‪.‬‬ ‫Ÿهناك أربع حالات للتطابق يمكن استخدامها للتح ُّقق‬ ‫Ÿ تحديد ما إذا كان الشكلان الهندس ّيان ُمتشاب َهين أم لا‪.‬‬ ‫من تطابُق ال ُمثلَّثات‪ .‬إذا ص ّحت إحدى تلك الحالات‪،‬‬ ‫Ÿ استخدام حقيقة تشابُه الشكلَيْن الهندس َّيين لإيجاد‪:‬‬ ‫فإن ال ُمثلَّثين يتطابقان‪ .‬الحالات الأربعة هي‪:‬‬ ‫‪ -‬الأطوال المجهولة‪.‬‬ ‫ضلع زاوية ضلع (ض ز ض)‪ ،‬ضلع ضلع ضلع‬ ‫‪ -‬المساحات أو الحجوم‪.‬‬ ‫(ض ض ض)‪ ،‬زاوية ضلع زاوية (ز ض ز)‪ ،‬قائمة‬ ‫ضلع وتر (ق ض و)‬ ‫Ÿقياسات الزوايا ال ُمتنا ِظرة في الأشكال ال ُمتشا ِبهة‬ ‫ُمتساوية‪ ،‬والنسب بين أطوال الأضلاع ال ُمتنا ِظرة‬ ‫ُمتساوية‪.‬‬ ‫Ÿإذا كان الشكلان ُمتشا ِب َهين‪ ،‬و ُضربت أطوال أضلاع‬ ‫أحدهما في ال ُمعا ِمل م‪:‬‬ ‫‪-‬تُضرب المساحة في ال ُمعا ِمل م‪ ،2‬ويسمى ُمعا ِمل‬ ‫المساحة‪.‬‬ ‫‪-‬ويُض َرب الحجم في ال ُمعا ِمل م‪ ،3‬ويسمى ُمعا ِمل‬ ‫الحجم‪.‬‬ ‫Ÿ رسم ال ُمخ َّطط هو ُمخ َّطط دقيق يكون ُمشا ِب ًها‬ ‫للشكل الحقيقي ويتم الرسم باستخدام مقياس‬ ‫الرسم‪.‬‬ ‫‪94‬‬

‫الوحدة الثانية عشرة‪ :‬التطا ُبق والتشا ُبه‪www.oman-edu.com‬‬ ‫تمارين نهاية الوحدة‬ ‫‪ )1‬إذا علمت أن الشكلَين التاليين ُمتشا ِبهان‪ ،‬فأوجد قيمتَي ‪: ،‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪١٩ ٢٠‬‬ ‫‪ )2‬إذا علمت أن السه َمين ُمتشا ِبهان‪ ،‬ومساحة السهم الأول (الصغير) ‪22‬سم‪ .2‬أوجد مساحة السهم الثاني‬ ‫(الكبير)‪:‬‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪ )3‬إذا كانت الأسطوانتان ال ُمجاورتان ُمتشا ِبهتَين‪،‬‬ ‫ب‬ ‫وكانت المساحة السطحية للأسطوانة (أ) تبلغ ‪ 150‬سم‪.2‬‬ ‫فأوجد المساحة السطحية للأسطوانة (ب)‪٣٠ .‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫‪ )4‬إذا علمت أن ُمتوازيَي ال ُمستطيلات التال َييْن ُمتشا ِبهان‪:‬‬ ‫فأوجد حجم ُمتوازي ال ُمستطيلات (أ)‪ ،‬إذا كان حجم ‪١٢‬‬ ‫ُمتوازي ال ُمستطيلات (ب) يساوي ‪ 175‬سم‪.3‬‬ ‫أ‬ ‫‪95‬‬

‫الوحدةالثانيةعشرة‪:‬التشاُبهوالتطاُبق ‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ )5‬إذا كان ال ُمثلَّثان التاليان ُمتشا ِب َهين‪ ،‬فأوجد قيمتَي س‪ ،‬ص‪.‬‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٩‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٧٫٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫‪ )6‬ح ّدد ما إذا كان كل زوج من المثلَّثات فيما يلي ُمتطا ِب ًقا‪ .‬و ِّضح ُخطوات حلّك‪.‬‬ ‫أ‬ ‫‪Њ٣٧ Њ٣٧‬‬ ‫‪Њ٧٢‬‬ ‫‪◊Њ٧١‬‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫ب◊‬ ‫‪96‬‬

‫‪www.oman-edu.com‬‬ ‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‬ ‫ال ُمفردات‬ ‫‪Quadratic‬‬ ‫Ÿ  التربيعية‬ ‫Ÿ  محور التماثُل‬ ‫‪Axis of symmetry‬‬ ‫Ÿ  نقطة رأس المنحنى‬ ‫‪Turning point‬‬ ‫Ÿ  قيمة ُصغرى‬ ‫‪Minimum‬‬ ‫Ÿ  قيمة ُعظمى‬ ‫‪Maximum‬‬ ‫Ÿ  خط التقا ُرب‬ ‫‪Asymptote‬‬ ‫‪Intersection‬‬ ‫Ÿ  التقا ُطع‬ ‫ُتش ِّكل أقواس الماء في هذه النافورة أشكال ًا ُمنحنية‪.‬‬ ‫سوف تتع ّلم في هذه الوحدة‬ ‫كيف‪:‬‬ ‫لاحظت في الوحدة السابعة في الفصل الدراسي الأول إمكان َّية تمثيل كثير من المسائل‬ ‫ب ُمعا َدلات خ ّط َّية تُم َّثل بيان ًّيا ب ُمستقيمات‪ ،‬كما يمكن حل المسائل الواقعية مثل المساحة‪،‬‬ ‫Ÿ  تُنشىء جدول القيَم لترسم‬ ‫ومسار الأشياء ال ُمتح ِّركة‪ ،‬وأشكال الجسور والأبنية الأخرى‪ ،‬و ُمع َّدلات نم ّو البكتيريا وتغ ُّير‬ ‫التمثيل البياني للمعادلة‬ ‫السرعة باستخدام ُمعا َدلات غير خ ّط َّية‪.‬‬ ‫التربيعية‪.‬‬ ‫Ÿ  تُنشىء جد َول القيَم لرسم‬ ‫في هذه الوحدة‪ ،‬سوف تستخدم جداول القيَم لترسم مجموعة من ال ُمنحنيات البيانية‪،‬‬ ‫التمثيل البياني للدا ّلة التي‬ ‫وسوف تتعلَّم كيف تُف ِّسرها‪ ،‬وكيف تجد الح ّل التقريبي لل ُمعا َدلات من تمثيلاتها البيانية‪.‬‬ ‫في صورة ص = أس‪.‬‬ ‫Ÿ  تُف ِّسر التمثيلات البيانية‬ ‫ال ُمنح ِنية‪.‬‬ ‫Ÿ  تستخدم التمثيل البياني‬ ‫لتجد الحل التقريبي‬ ‫لل ُمعا َدلات التربيعية‬ ‫Ÿ  تُك ِّون جد َول القيَم لرسم‬ ‫التمثيل البياني لدوال‬ ‫في صورة ص = أس ن‪،‬‬ ‫ص = أس‬ ‫Ÿ  تُم ِّيز التمثيلات البيانية‬ ‫للمعادلات المختلفة‬ ‫وتُف ِّسرها‪.‬‬ ‫‪115‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 1-14‬التمثيل البياني للمعادلات التربيعية‬ ‫هناك الكثير من العلاقات في حياتنا العملية تربط بين ُمتغ ّي َرين أو أكثر‪ ،‬كالعلاقة بين‬ ‫ضغط الدم للإنسان العادي وعمره‪ ،‬والعلاقة بين السرعة والمسافة والزمن ‪ ،‬وغيرها من‬ ‫العلاقات المختلفة‪ ،‬التي نستد ّل على قيمة أحد ال ُمتغ ّيرات فيها بمعلومية ال ُمتغ ّير الآخر‪.‬‬ ‫رابـط‬ ‫والمعادلة التربيعية من المعادلات ال ُمه ّمة التي نجدها في المواقف الحياتية والتطبيقات‬ ‫غالًبا ما نرسم تمثيلات بيانية‬ ‫الفيزيائية‪ ،‬فمثل ًا‪:‬‬ ‫منحنية لتساعدنا على فهم كيفية‬ ‫‪1‬‬ ‫امثرتلباًا‪،‬طقدُمتنغِّيسَتريطنيعفير اسلمجمغ ارخفيَطّا‪.‬ط‪،‬‬ ‫ك ع‪ ،2‬حيث (ك) كتلة الجسم‪ ،‬و(ع) سرعته‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬طاقة حركة الجسم =‬ ‫إذا قمنا بتمثيل العلاقة بين تكلفة‬ ‫صيانة م ارفق ال ُمتنَّزه وعدد الزّوار‬ ‫‪ -‬مساحة ال ُمر َّبع = س‪ ،2‬حيث (س) طول ضلع ال ُمر َّبع‪.‬‬ ‫ك ّل سنة‪.‬‬ ‫وغيرها الكثير من العلاقات التي نسميها بالدالة التربيعية‪ .‬فالصورة العا ّمة للمعادلة‬ ‫التربيعية هي‪:‬‬ ‫ص = أس‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ‪ ،‬حيث أ ‪٠ ‬‬ ‫ال ُمعادلات التربيعية هي ُمعادلات تتض َّمن الحد س‪ 2‬وهو الحد الأكبر قوى‪.‬‬ ‫وفيما يلي جدول يُب ِّين الق َيم لـ ص = س‪ 2‬في الفترة ‪  3-‬س ‪3 ‬‬ ‫س ‪3 2 1 0 1- 2- 3-‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫ص ‪9410149‬‬ ‫ص = س‪٨ ٢‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫يمكنك استخدام هذه النقاط لترسم التمثيل البياني بنفس‬ ‫‪٦‬‬ ‫الطريقة التي قمت بها لتمثيل ال ُمعادلات الخ ّط َّية بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫يُم َّثل الجدول الآتي ص = ‪ -‬س‪ 2‬في الفترة ‪  3-‬س ‪3 ‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪3 2 1 0 1- 2- 3-‬‬ ‫س‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪9- 4- 1- 0 1- 4- 9-‬‬ ‫ص‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣- ٢- ١- ١ ٢ ٣‬‬ ‫عندما تُح ِّدد مواقع هذه النقاط وتر ُسم المنحنى‪ ،‬سوف تُلا ِحظ‬ ‫تأثير إشارة السالب أمام س‪ 2‬حيث تقلب المنحنى ليصبح مفتو ًحا‬ ‫‪٣- ٢- ١-١- ١ ٢ ٣‬‬ ‫إلى الأسفل‪.‬‬ ‫‪٢-‬‬ ‫‪٣-‬‬ ‫إذا كان ُمعا ِمل س‪ 2‬في ال ُمعا َدلة التربيعية موج ًبا‪ ،‬فإن المنحنى‬ ‫‪٤-‬‬ ‫يكون مفتو ًحا إلى الأعلى‪.‬‬ ‫‪٥-‬‬ ‫‪٦-‬‬ ‫وإذا كان ُمعا ِمل س‪ 2‬في ال ُمعا َدلة التربيعية سال ًبا‪ ،‬فإن المنحنى‬ ‫‪٧-‬‬ ‫يكون مفتو ًحا إلى الأسفل‪.‬‬ ‫‪٨-‬‬ ‫‪٩-‬‬ ‫س‪٢‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫‪-1-14‬أ محور التما ُثل ونقطة رأس المنحنى‬ ‫في معظم التمثيلات البيانية‪ ،‬يكون‬ ‫رأس المنحنى قيمة صغرى أو قيمة‬ ‫محور التما ُثل هو مستقيم يقسم منحنى المعادلة التربيعية إلى‬ ‫نص َفين ُمتما ِثلَين‪ ،‬وفي التمثيلَين البيان ّي َين أعلاه‪ ،‬المحور الصادي (س = ‪ )0‬هو محور‬ ‫عظمى لـ ص‪ .‬في منحنى المعادلة‬ ‫التماثُل‪.‬‬ ‫التربيعية‪ ،‬إذا كانت إشارة ُمعا ِمل‬ ‫نقطة رأس المنحنى‪ ،‬أو رأس التمثيل البيان ّي هي النقطة التي يتغ َّير عندها ا ِّتجاه المنحنى‬ ‫س‪ 2‬موجبة‪ ،‬يكون رأس المنحنى (في‬ ‫في التمثيل البياني‪ ،‬ونجد في التمثيلَين البيان َّيين أعلاه أ ّن نقطة رأس المنحنى هي نقطة‬ ‫التمثيل البياني) قيمة صغرى‪ .‬لكن‬ ‫إذا كانت إشارة ُمعا ِمل س‪ 2‬سالبة‪،‬‬ ‫الأصل (‪.)0 ،0‬‬ ‫فتكون نقطة رأس المنحنى قيمة‬ ‫عظمى‪.‬‬ ‫‪116‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫تمارين ‪-1-14‬أ‬ ‫‪ )1‬أكمل جداول الق َيم الآتية‪ ،‬وارسم التمثيلات البيانية على نفس ال ُمستوى الإحداثي‪.‬‬ ‫تذ َّكر أنه عند تربيع عدد سالب يكون‬ ‫الناتج موج ًبا‪ .‬عند استخدام آلتك‬ ‫استخدم الق َيم من ‪ 8-‬إلى ‪ 12‬على المحور الصادي‪:‬‬ ‫الحاسبة‪ ،‬لا تن َس أن تضع العدد‬ ‫السالب بين قو َسين قبل تربيعه‪.‬‬ ‫أ س ‪3 2 1 0 1- 2- 3-‬‬ ‫ص = س‪1 + 2‬‬ ‫ُكتبت جميع هذه ال ُمعادلات في صورة‬ ‫ص = س‪ + 2‬جـ أو ص = ‪ -‬س‪ + 2‬جـ‪،‬‬ ‫ب س ‪3 2 1 0 1- 2- 3-‬‬ ‫حيث جـ الحد الثابت‪ .‬الحد الثابت هو‬ ‫ص = س‪3 + 2‬‬ ‫الجزء المقطوع من المحور الصادي‬ ‫ج س ‪3 2 1 0 1- 2- 3-‬‬ ‫للتمثيل البياني في كل حالة‪.‬‬ ‫ص = س‪2 - 2‬‬ ‫د س ‪3 2 1 0 1- 2- 3-‬‬ ‫ص = ‪ -‬س‪1 + 2‬‬ ‫ﻫـ س ‪3 2 1 0 1- 2- 3-‬‬ ‫ص = ‪ - 3‬س‪2‬‬ ‫و ماذا يحدث للمنحنى في التمثيل البياني عندما تتغ َّير قيمة الح ّد الثابت؟‬ ‫‪ )2‬اربط بين ك ّل منحنى في التمثيل البياني ‪٩‬‬ ‫المجاور والدالة التي يم ّثلها في ك ّل م ّما يلي‪٨ :‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫أ ص = ‪ - 4‬س‪٦ 2‬‬ ‫ب ص = س‪٥ 4 - 2‬‬ ‫ج ص = س‪٤ 2 + 2‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫د ص = ‪ - 2‬س‪2‬‬ ‫ﻫـ ص = ‪ -‬س‪١ 2 - 2‬‬ ‫‪٣- ٢- ١- ١-‬‬ ‫‪١٢٣‬‬ ‫‪٢-‬‬ ‫‪٣-‬‬ ‫‪٤-‬‬ ‫‪٥-‬‬ ‫‪٦-‬‬ ‫‪٧-‬‬ ‫‪٨-‬‬ ‫‪٩-‬‬ ‫‪117‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪-1-14‬ب ال ُمعا َدلات التربيعية التي في صورة ص = س‪ + 2‬أس ‪ +‬ب‬ ‫تعلّمت ساب ًقا كيف تُنشئ جدول الق َيم وكيف ترسم منحنى المعادلة التربيعية البسيطة‪.‬‬ ‫سترى الآن كيف تُنشئ جد َول القيَم لمعا َدلات تربيعية تتض َّمن الح َّدين س‪ ،2‬س‪ ،‬وح ًّدا ثاب ًتا‪.‬‬ ‫في هذه الحالة‪ ،‬ابدأ بإيجاد قيَم ك ّل حد في صف منف ِصل في الجدول‪ ،‬ثم جمعها لتجد‬ ‫قيمة ص‪.‬‬ ‫مثـــــال ‪1‬‬ ‫أنشئ جدَول القَيم لـ ص = س‪2 + 2‬س ‪ 1 -‬في الفترة ‪  4-‬س ‪2 ‬‬ ‫حِّدد مواقع النقاط الإحداثَّية لتر ُسم التمثيل البياني‪.‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫‪2 1 0 1- 2- 3- 4-‬‬ ‫س‬ ‫‪4 1 0 1 4 9 16‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪4 2 0 2- 4- 6- 8-‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪1- 1- 1- 1- 1- 1- 1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫ص = س‪2 + 2‬س ‪7 2 1- 2- 1- 2 7 1 +‬‬ ‫أوجد في هذا الجدول قيمة ك ّل حد بطريقة ُمنف ِصلة‪.‬‬ ‫اجمع حدود ال ُمعاَدلة في ك ّل عمود لتجد المجموع الكلّي للصف الأخير (قَيم ص لكل نقطة)‪.‬‬ ‫لترسم التمثيل البياني‪:‬‬ ‫ص = س‪٢ + ٢‬س ‪١ -‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫Ÿاستخدم الجدول لتكتب النقاط في‬ ‫‪٦‬‬ ‫صورة أزواج ُمرَتّبة (س‪ ،‬ص)‬ ‫‪٥‬‬ ‫ال ُمستوى‬ ‫على‬ ‫النقاط‬ ‫Ÿحِّدد مواقع‬ ‫‪٤‬‬ ‫ب ُمنحنى‪.‬‬ ‫بينها‬ ‫و ِصل‬ ‫الإحداثي‪،‬‬ ‫Ÿ سِّم التمثيل البياني بدالته‪.‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٤- ٣- ٢- ١-‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١-‬‬ ‫‪٢-‬‬ ‫‪118‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫مثـــــال ‪2‬‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫التي‬ ‫س‬ ‫قَيم‬ ‫ُمستخِد ًما‬ ‫س‪،2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫س‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫لل ُمعاَدلة‬ ‫ارسم التمثيل البياني‬ ‫‪  3-‬س ‪4 ‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫‪4 3 2 1 0 1- 2- 3-‬‬ ‫س‬ ‫ص = ‪ + 6‬س ‪ -‬س‪6- 0 4 6 6 4 0 6- 2‬‬ ‫ص = ‪ + ٦‬س ‪ -‬س‪٧ ٢‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣- ٢- ١- ١-‬‬ ‫‪١ ٢ ٣٤‬‬ ‫‪٢-‬‬ ‫‪٣-‬‬ ‫‪٤-‬‬ ‫‪٥-‬‬ ‫‪٦-‬‬ ‫لتر ُسم ُمنحنى لمعادلة تربيعية‪:‬‬ ‫Ÿ أنشئ جد َول الق َيم (غال ًبا ما ي ّتم إعطاء بعض القيَم)‪.‬‬ ‫Ÿ ارسم المحو َرين‪ ،‬وس ِّمهما‪.‬‬ ‫Ÿ ع ّين النقاط (س‪ ،‬ص) باستخدام جدول الق َيم‪.‬‬ ‫Ÿ  ِصل بين النقاط ب ُمنحنى‪.‬‬ ‫تمارين ‪-1-14‬ب‬ ‫‪ )1‬أنشئ جد َول القيَم لـ ص = س‪2 - 2‬س ‪ 2 +‬في الفترة ‪  1-‬س ‪ ،3 ‬واستخدم‬ ‫النقاط (س‪ ،‬ص) من الجد َول لتر ُسم التمثيل البياني لل ُمعا َدلة التربيعية‪.‬‬ ‫‪119‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ )2‬انسخ جد َول القيَم‪ ،‬وأكمله ث ّم ارسم التمثيل البياني للدا ّلة ص = س‪5 - 2‬س ‪4 -‬‬ ‫س ‪6 5 4 3 2 1 0 1- 2-‬‬ ‫ص‬ ‫‪ )3‬أنشئ جد َول قيَم لل ُمعا َدلة ص = س‪2 + 2‬س ‪ 3 -‬في الفترة ‪  3-‬س ‪ ،2 ‬ثم ع ّين‬ ‫النقاط‪ ،‬و ِصل بينها لتر ُسم التمثيل البياني لل ُمعا َدلة‪.‬‬ ‫‪  )4‬استخدم قيَم س من ‪ 0‬إلى ‪ 4‬وأنشئ ج�د َول الق َيم‪ ،‬واستخدمه لتمثيل ال ُمعا َدلة‬ ‫ص = ‪ -‬س‪4 - 2‬س بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪ )5‬استخدم ق َيم س من ‪ 6-‬إل�ى ‪ 0‬وأنشئ ج��د َول القيَم‪ ،‬واستخدمه لتمثيل الدا ّلة‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎع )ﺑﺎﻷﻣﺘﺎر(‬ ‫ص = ‪ -‬س‪6 - 2‬س ‪ 5 -‬بيان ًّيا‪.‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫ط ّبِق مهاراتك‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪ )6‬يُب ّين التمثيل البياني ال ُمقا ِبل ارتفاع َقوس الماء‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫من نافورة (بالأمتار) خلال عدد من الثواني‪:‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻟﺰﻣﻦ‬ ‫أ ما أعلى ارتفاع يصله قوس الماء؟‬ ‫‪١٢‬‬ ‫)ﺑﺎﻟﺜﻮاﻧﻲ( ‪٤‬‬ ‫ب ما الزمن اللازم لقوس الماء لكي يصل‬ ‫إلى أقصى ارتفاع؟‬ ‫ج كم ثانية بقي خلالها ارتفاع قوس الماء‬ ‫أعلى من ‪ 2.5‬م؟‬ ‫د في رأيك لماذا يُب ّين هذا التمثيل البياني قيَ ًما موجبة فقط للارتفاعات؟‬ ‫‪-1-14‬ج الجزء المقطوع من المحور السيني‬ ‫إذا كان الجزء المقطوع من المحور‬ ‫السيني واح ًدا‪ ،‬فيكون المحور السيني‬ ‫لإيجاد قيمة الجزء المقطوع من المحور السيني للتمثيل البياني لل ُمعا َدلة‬ ‫ص = س‪2 + 2‬س ‪ ،3 -‬اجعل ص = ‪ 0‬لتح ُصل على‪:‬‬ ‫مما ًّسا للتمثيل البياني‪.‬‬ ‫س‪2 + 2‬س ‪0 = 3 -‬‬ ‫(س ‪()3 +‬س ‪0 = )1 -‬‬ ‫س = ‪ 3-‬أو س = ‪ 1‬هما ال ُجزءان المقطوعان من المحور السيني‪.‬‬ ‫إذن‪ ،‬المنحنى في التمثيل البياني للمعادلة يقطع المحور السيني في النقطتين (‪،)0 ،3-‬‬ ‫(‪)0 ،1‬‬ ‫‪120‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪-1-14‬د نقطة رأس المنحنى‬ ‫لتجد إحداثيات نقطة رأس المنحنى للتمثيل البياني للدا ّلة التربيعية‪ ،‬عليك أن ت ِجد محور‬ ‫نقطة رأس المنحنى للدالّة التربيعية‬ ‫التماثُل للمنحنى‪ ،‬فعندما تكون الدا ّلة في الصورة ص = أس‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ‪ ،‬يمكن إيجاد‬ ‫هي نقطة القيمة ال ُّصغرى أو القيمة‬ ‫‪2‬بأ‪.‬‬ ‫ال ُعظمى للتمثيل البياني‪ .‬مثلًا‪ ،‬في‬ ‫لنقطة‬ ‫السيني‬ ‫الإحداثي‬ ‫قيمة‬ ‫يُعطي‬ ‫وهذا‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫العلاقة‬ ‫محور التماثُل باستخدام‬ ‫التمثيل البياني لل ُمعادلة ص = س‪2‬‬ ‫رأس المنحنى‪.‬‬ ‫‪ +‬ب س ‪ +‬جـ‪ ،‬تكون نقطة رأس‬ ‫بعد ذلك‪ ،‬يمكنك إيجاد قيمة الإحداثي الصادي لنقطة رأس المنحنى‪ ،‬بالتعويض عن قيمة‬ ‫المنحنى قيمة ُعظمى إذا كانت أ‬ ‫سالبة‪ ،‬وقيمة ُصغرى إذا كانت أ‬ ‫س في ال ُمعا َدلة الأصلية‪ ،‬وتكون قيمة الإحداثي الصادي هي القيمة ال ُعظمى أو ال ُّصغرى‬ ‫للتمثيل البياني‪.‬‬ ‫موجبة‪.‬‬ ‫مثـــــال ‪3‬‬ ‫مثّل بيانًّيا ص = ‪2-‬س‪4 – 2‬س ‪ ،6 +‬ثم أوجد نقاط التقاطع مع المحوَرين ونقطة أرس المنحنى‪.‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫الصورة العامة للمعادلة التربيعية هي‬ ‫بما أن أ = ‪ ،2-‬فإن المنحنى في التمثيل‬ ‫ص = أس‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ‬ ‫البياني سيكون مفتو ًحا إلى الأسفل‪.‬‬ ‫تدل جـ على قيمة الجزء المقطوع من المحور‬ ‫قيمة الجزء المقطوع من المحور الصادي‬ ‫الصادي‪.‬‬ ‫تساوي ‪ ،٦‬وبالتالي فإن المنحنى يقطع محور‬ ‫اقسم طرفَي المعادلة على العامل المشترك ‪2-‬‬ ‫الصادات في النقطة (‪)٦ ،٠‬‬ ‫حلل الحدودية الثلاثية إلى العوامل‪.‬‬ ‫نوجد الجزء المقطوع من المحور السيني‪:‬‬ ‫‪2-‬س‪4 – 2‬س ‪0 = 6 +‬‬ ‫س‪2 + 2‬س – ‪0 = 3‬‬ ‫(س – ‪()1‬س ‪0 = )3 +‬‬ ‫ح ّل بدلالة س‪.‬‬ ‫س = ‪ 1‬أو س = ‪3-‬‬ ‫بالتعويض عن‪ :‬أ = ‪ ،٢-‬ب = ‪،٤-‬‬ ‫جـ = ‪ ٦‬أوجد نقاط تقاطع المنحنى مع‬ ‫وهما قيمتا الج أزين المقطو َعين من المحور‬ ‫السيني‪ ،‬وبالتالي فإن المنحنى يقطع المحور‬ ‫المحور السيني‪.‬‬ ‫السيني في النقطتَين (‪ )0 ،1‬و(‪.)0 ،3-‬‬ ‫تذ َّكر أن الناتج هو الإحداثي السيني‬ ‫لنقطة أرس المنحنى‪.‬‬ ‫أوسسجد== ُمع‪٢-‬ا)َدل‪٤-2‬بأة‪(٢‬مح=ور‪-‬ال‪1‬تماثُل باستخدام‬ ‫عّوض س = ‪ 1-‬في ال ُمعاَدلة الأصلية‬ ‫ص = ‪8 = 6 + )1-(4 - 2)1-(2-‬‬ ‫نقطة أرس المنحنى هي (‪ )8 ،1-‬وهي القيمة لتجد الإحداثي الصادي لنقطة أرس‬ ‫المنحنى‪.‬‬ ‫ال ُعظمى لأن أ سالبة‪.‬‬ ‫‪121‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫الآن استخدم كل المعلومات السابقة لترسم‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٤‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫‪٢-‬س‪٢‬‬ ‫=‬ ‫‪(٨‬‬ ‫‪،١-)٨‬‬ ‫التمثيل البياني‪ ،‬وسّم كل المعلومات‬ ‫ص‬ ‫السابقة على الرسم‪.‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣- ١- ٠ ١‬‬ ‫تمارين ‪(-1-14‬ج‪ ،‬د)‬ ‫‪ )1‬أنشىء جداول الق َيم وارسم التمثيلات البيانية لكل من ال ُمعا َدلات التالية‪ ،‬وح ِّدد محور‬ ‫التماثُل وإحداثيات نقطة رأس المنحنى لك ّل تمثيل بياني‪:‬‬ ‫أ ص = س‪6 + 2‬س ‪5 -‬‬ ‫ب ‪2‬س‪4 + 2‬س = ص‬ ‫ج ص = ‪( - 3‬س ‪2)1 +‬‬ ‫د ص = ‪(2 - 4‬س ‪2)3 +‬‬ ‫ﻫـ ص = ‪6 + 17‬س ‪ -‬س‪2‬‬ ‫و ص = ‪ 8 - 5‬س ‪2 +‬س‪2‬‬ ‫ز ص = ‪2 + 1‬س ‪2 -‬س‪2‬‬ ‫ح ص = ‪(-‬س ‪1 - 2)2 +‬‬ ‫‪122‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 2-14‬رسم التمثيل البياني للمعادلات التي تأتي في صورة‪:‬‬ ‫ص = أس‬ ‫إذا كان ص = ‪6‬س‪ ،‬فإن‬ ‫التمثيلات البيانية للمعادلات المكتوبة في صيغة ص = أس (حيث أ عدد حقيقي) لها‬ ‫س ص = ‪ ،6‬لا توجد قيمة لـ ص‬ ‫أشكال مميزة‪ ،‬بالرغم من أنها تمثيل بياني لمعادلة واحدة‪ ،‬إلاّ أنها تتك َّون من منحنيَين‬ ‫عندما س = ‪ 0‬لأ ّن القسمة على‬ ‫الصفر غير ممكنة‪ ،‬وبالمثل‪ ،‬إذا‬ ‫متماثلَين غير ُم َّت ِصلين لديهما خ ّطا تماثُل‪.‬‬ ‫كانت س = ‪ ،0‬فإن س ص يجب‬ ‫إليك جدول القيَم للمعادلة ص = ‪٦‬س‬ ‫أن تساوي ‪ 0‬لجميع ق َيم ص وليس‬ ‫‪ ،6‬كما في المثال‪ .‬وهذا سبب وجود‬ ‫س ‪6 5 4 3 2 1 1- 2- 3- 4- 5- 6-‬‬ ‫ص = ‪٦‬س ‪1 1٫2 1٫5 2 3 6 6- 3- 2- 1٫5- 1٫2- 1-‬‬ ‫ُجزأين غير ُمَتّ ِصلَين لل ُمنحنى‪.‬‬ ‫عندما تُع ّين مواقع النقاط ستحصل على التمثيل البياني الآتي‪:‬‬ ‫عند رسم التمثيل البياني للمعادلات‬ ‫في صورة‪ :‬ص = أس ‪ ،‬أوجد على‬ ‫ص=س‬ ‫الأقل خمس ق َيم موجبة وخمس ق َيم‬ ‫سالبة في جدول الق َيم لأن التمثيل‬ ‫البياني سيتك َّون من ُجزأين ُمنف ِصلَين‬ ‫ل ل م ن ح ن ى‪.‬‬ ‫‪٦- ٥- ٤- ٣- ٢- ١١--‬‬ ‫‪٢-‬‬ ‫‪٣-‬‬ ‫ص=س‬ ‫‪٤-‬‬ ‫‪٥-‬‬ ‫‪٦-‬‬ ‫لاحظ أن التمثيل البياني‪:‬‬ ‫Ÿ يتك َّون من ُجزأين ُمنف ِصلَين للمنحنى لهما نفس الشكل والقياس‪ ،‬وفي ُرب َعين ُمتقا ِبلَيَن‪.‬‬ ‫Ÿ ال ُمنحنى ُمتماثل مع خ ّطي تماثُل‪.‬‬ ‫Ÿ يقترب ال ُمنحنى من ال ِمح َو َرين‪ ،‬لك ّنه لا يقطعهما أب ًدا‪.‬‬ ‫Ÿ لا توجد قيمة لـ ص عندما س = ‪ 0‬ولا توجد قيمة لـ س عندما ص = ‪0‬‬ ‫خ ّط التقا ُرب هو ُمستقيم يقترب إليه التمثيل البياني‪ ،‬ولا يتقاطع معه أب ًدا‪.‬‬ ‫عندما تكون ال ُمعادلة في صورة ص = أس‪ ،‬يقترب التمثيل البياني من كلا ال ِمح َو َرين‪ ،‬دون‬ ‫أن يم َس أ ًّيا منهما‪.‬‬ ‫‪123‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫مثـــــال ‪4‬‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫‪)0‬‬ ‫‪‬‬ ‫(س‬ ‫‪12-‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫لل ُمعاَدلة‬ ‫البياني‬ ‫التمثيل‬ ‫ارسم‬ ‫القَيم‪ ،‬ثم‬ ‫ج‪‬دَولس‬ ‫أنشئ‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪12-‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫⇐‬ ‫‪٢=-‬س‪12١-‬‬ ‫سص‬ ‫س ‪12 10 8 6 4 2 2- 4- 6- 8- 10-12-‬‬ ‫ص=‬ ‫ص = ‪٢-‬س‪1- 1.2- 1.5- 2- 3- 6- 6 3 2 1.5 1.2 1 ١‬‬ ‫في هذه الحالة‪ ،‬حِّدد قيم س‬ ‫بحيث تكون من مضاعفات‬ ‫العدد ‪ ،٢‬ثم أوجد قَيم‬ ‫‪١٢‬‬ ‫ص كما هو مو َّضح في‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫الجدول‪.‬‬ ‫س ص = ‪١٢-‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫عّين مواقع النقاط لتر ُسم‬ ‫‪٢‬‬ ‫التمثيل البياني‪.‬‬ ‫‪١٢-١٠-٨- ٦- ٤- ٢-٢-‬‬ ‫‪٢ ٤ ٦ ٨ ١٠ ١٢‬‬ ‫لاحظ أن التمثيل البياني‬ ‫‪٤-‬‬ ‫س ص = ‪١٢-‬‬ ‫س ص = ‪ 12-‬يقع في‬ ‫‪٦-‬‬ ‫الربع الأعلى إلى اليسار‬ ‫‪٨-‬‬ ‫تت ّم تسمية الأرباع بعكس اتّجاه‬ ‫(الربع الثاني) والربع الأسفل‬ ‫‪١٠-‬‬ ‫عقارب الساعة‪ .‬تكون إحداثيات أي‬ ‫إلى اليمين (الربع ال اربع)‪،‬‬ ‫‪١٢-‬‬ ‫نقطة في الربع الأول موجبة دائ ًما‪.‬‬ ‫وسبب ذلك أن قيمة الحد‬ ‫الثابت (أ في المعادلة ص‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻷول اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫= أس ) سالبة‪ ،‬ولكن عندما‬ ‫تكون قيمة موجبة‪ ،‬سيكون‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺮاﺑﻊ اﻟﺮﺑﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫المنحنى في الربع الأعلى‬ ‫إلى اليمين (الربع الأَّول)‬ ‫والربع الأسفل إلى اليسار‬ ‫(الربع الثالث)‪.‬‬ ‫لتر ُسم التمثيل البياني للمعادلة ص = أس‪:‬‬ ‫Ÿ أكمل جد َول القيَم (غال ًبا ما يت ّم إعطاء بعضها)‪.‬‬ ‫Ÿ ارسم المحو َريْن‪ ،‬وس ِّمهما‪.‬‬ ‫Ÿ ع ّين النقاط (س‪ ،‬ص) باستخدام جد َول القيَم‪.‬‬ ‫Ÿ ِصل بين النقاط ب ُمنحنى‪.‬‬ ‫Ÿ اكتب ال ُمعادلة على ُجزأَي التمثيل البياني‪.‬‬ ‫‪124‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫تمارين ‪2-14‬‬ ‫‪ )1‬انسخ كل جد َول قيَم من الجداول الآتية‪ ،‬وأكمله‪ ،‬وأع ِط ق َيم ص ُمق َّربة إلى أقرب منزلة‬ ‫عشرية‪ .‬استخدم النقاط لتر ُسم كل تمثيل بياني على مستوى إحداثي ُمستق ّل‪:‬‬ ‫س ‪6 4 3 2 1 1- 2- 3- 4- 6-‬‬ ‫أ‬ ‫ص = ‪٢‬س‬ ‫ب س ‪5 4 3 2 1 1- 2- 3- 4- 5-‬‬ ‫ص = ‪١-‬س‬ ‫س ‪6 4 3 2 1 1- 2- 3- 4- 6-‬‬ ‫ج‬ ‫ص = ‪٦-‬س‬ ‫س ‪6 4 3 2 1 1- 2- 3- 4- 6-‬‬ ‫د‬ ‫ص = ‪٤‬س‬ ‫ط ّبِق مهاراتك‬ ‫‪ )2‬قام شخص برحلة مسافتها ‪ 240‬كم‪ ،‬وكانت سرعته ال ُمتو ِّسطة س كم‪/‬ساعة‪ ،‬وبلغ‬ ‫الزمن الذي استغرقته الرحلة ص ساعات‪.‬‬ ‫أ أكمل جد َول الق َيم لـ س‪ ،‬ص‪:‬‬ ‫‪120 100‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬ ‫س‬ ‫ص ‪2 4 12‬‬ ‫ب ارسم التمثيل البياني لتُم ِّثل العلاقة بين س‪ ،‬ص على مستوى إحداثي‪.‬‬ ‫ج اكتب الصيغة الجبرية بين س‪ ،‬ص‪.‬‬ ‫‪125‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 3-14‬حل ال ُمعا َدلات التربيعية بيان ًّيا‬ ‫‪١٠‬‬ ‫افترض أنك تريد ح ّل المعادلة س‪3 - 2‬س ‪0 = 1 -‬‬ ‫ص = س‪٣ - ٢‬س ‪٨ ١ -‬‬ ‫للقيام بذلك‪ ،‬تحتاج إلى إيجاد قيمة أو قيَم س التي‬ ‫‪٦‬‬ ‫تجعل س‪3 - 2‬س ‪ 1 -‬تساوي ‪0‬‬ ‫حاول إيجاد هذه القيَم باستخدام التجربة والخطأ‪٤ ،‬‬ ‫لكن ستجد أن قيمة س التي تبحث عنها ليست ‪٢‬‬ ‫‪٠٫٣-‬‬ ‫‪٣٫٣‬‬ ‫عد ًدا كاملاً (في الحقيقة‪ ،‬يقع أحد الحلول بين‬ ‫‪٢- ١- ٢-‬‬ ‫‪١٢ ٣٤٥‬‬ ‫العد َدين ‪ 3‬و ‪.)4‬‬ ‫‪٤-‬‬ ‫من الأسرع والأسهل أن ترسم التمثيل البياني‬ ‫لل ُمعا َدلة ص = س‪3 - 2‬س ‪ ،1 -‬وأن تستخد َمه في‬ ‫استخدم قلم رصاص ُمدَّبب الرأس‪.‬‬ ‫إيجاد حل تقريبي لل ُمعا َدلة‪.‬‬ ‫يمكنك أن تُص ِّوب عملك بسهولة‪،‬‬ ‫من خلال التمثيل البياني للدا ّلة ص = س‪٣ - ٢‬س ‪ ١ -‬في الشكل أعلاه‪:‬‬ ‫وستكون أكثر دَّقة عند النظر إلى‬ ‫فإ ّن ح ّل ال ُمعا َدلة هو النقطة (أو النقاط) حيث ص = ‪ ،0‬بمعنى آخر البحث عن قيمة‬ ‫نقاط التقا ُطع‪.‬‬ ‫الإحداثي س للنقطة التي يتقاطع فيها المنحنى مع المحور السيني‪.‬‬ ‫إذا نظرت إلى التمثيل البياني‪ ،‬سترى أن المنحنى يقطع المحور السيني في نقطتَين هما‬ ‫جذور ال ُمعا َدلة التربيعية هي‬ ‫(‪ ، )0 ،3.3‬و(‪)0 ،0.3-‬‬ ‫إحداثيات س للنقاط التي يتقاطع فيها‬ ‫المنحنى في التمثيل البياني لل ُمعا َدلة‬ ‫وتُس ّمى قيمتا س في نقطتَي التقا ُطع بـجذ َري ال ُمعا َدلة س‪3 - 2‬س ‪ 0 = 1 -‬وهما ‪3.3-‬‬ ‫التربيعية مع المحور السيني‪ .‬يمكن‬ ‫و ‪0.3-‬‬ ‫أن يكون للمعادلة التربيعية جذران‬ ‫يمكنك استخدام التمثيل البياني لتجد حل ًّا لل ُمعا َدلة لقيَم س المختلفة‪ ،‬والمثال التالي‬ ‫(إذا تقاطع المنحنى مع المحور‬ ‫يوضح كيف يت ّم ذلك‪:‬‬ ‫السيني م َّرَتين) ‪ ،‬أو جذر واحد (إذا‬ ‫مثـــــال ‪5‬‬ ‫لامس المنحنى المحور السيني‬ ‫‪٨‬‬ ‫إذا كان الشكل المجاور هو التمثيل البياني للدالّة‬ ‫عند نقطة واحدة) أو لا توجد جذور‬ ‫ص = س‪٢ - ٢‬س ‪٦ ٧ -‬‬ ‫ص = س‪2 - 2‬س ‪،7 -‬‬ ‫(إذا لم يتقاطع المنحنى مع المحور‬ ‫ص=‪٤ ٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫أوجد جذَري المعادلة فيما يلي‪:‬‬ ‫ال س ي ن ي)‪.‬‬ ‫أ س‪2 - 2‬س ‪0 = 7 -‬‬ ‫‪٣- ٢- ١-٢- ١ ٢ ٣ ٤ ٥‬‬ ‫ب س‪2 - 2‬س ‪3 = 7 -‬‬ ‫ج س‪2 - 2‬س = ‪1‬‬ ‫‪٤-‬‬ ‫ص = ‪٦-‬‬ ‫◊‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫‪p ٦-‬‬ ‫‪٨-‬‬ ‫لأن التمثيل البياني أعلاه هو التمثيل البياني لل ُمعاَدلة‬ ‫جذ ار ال ُمعاَدلة‬ ‫أ‬ ‫ص = س‪2 - 2‬س ‪ ،7 -‬أوجد ببساطة النقاط الواقعة‬ ‫س‪2 – 2‬س – ‪0 = 7‬‬ ‫على المنحنى‪ ،‬حيث ص = ‪( 0‬النقاط التي يقطع‬ ‫هما س = ‪1,8-‬‬ ‫فيها المنحنى المحور السيني)‪ .‬هناك نقطتان على‬ ‫س = ‪3,8‬‬ ‫المنحنى‪ ،‬س ِّمهما ‪ . ،‬الإحداثي السيني لهما هو‬ ‫وهما حل المعادلة‪.‬‬ ‫‪ 1,8-‬و‪3,8‬‬ ‫‪126‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫أوجد نقا ًطا على ال ُمنحنى يكون إحداثّيها الصادي‬ ‫جذ ار ال ُمعاَدلة‬ ‫ب‬ ‫مساوًيا لـ ‪( .3‬ارسم المستقيم الأفقي ص = ‪3‬‬ ‫س‪2 – 2‬س – ‪3 = 7‬‬ ‫للمساعدة)‪ .‬توجد نقطتان على التمثيل البياني‬ ‫هما س = ‪2,3-‬‬ ‫والإحداثي الصادي لهما يساوي ‪ .٣‬س ِّمهما ‪. ،‬‬ ‫ستجد أن الإحداثي السيني لهما هو ‪ 2,3-‬و ‪.4,3‬‬ ‫س = ‪4,3‬‬ ‫وهما حل المعادلة‪.‬‬ ‫أعد تنظيم المعادلة س‪2 – 2‬س = ‪ 1‬حتى‬ ‫جذ ار ال ُمعاَدلة‬ ‫ج‬ ‫ُيطابِق طرفها الأيمن ال ُمعاَدلة ال ُممَثّلة في التمثيل‬ ‫س‪2 – 2‬س = ‪1‬‬ ‫البياني‪ .‬اطرح ‪ 7‬من طرفَي المعادلة لتحصل على‬ ‫هما س = ‪0,4-‬‬ ‫س‪2 – 2‬س – ‪ ،7 – 1 = 7‬س‪2 - 2‬س ‪6- = 7 -‬‬ ‫س = ‪2,4‬‬ ‫والآن أكمل الحل كما في الجزئَّيتَين أ‪ ،‬ب‪ .‬أوجد‬ ‫يكون إحداثيهما الصادي يساوي‬ ‫نه–قو‪6‬طت؛َي‪-‬ون‪,4‬س ّعم‪0‬له‪،‬مىا‪4‬ا‪,‬ل ُم‪2‬ن‪،‬حنى‪.‬‬ ‫وهما حل المعادلة‪.‬‬ ‫ستجد أن الإحداثي السيني لـهما‬ ‫لحل ال ُمعا َدلة التربيعية بيان ًّيا‪:‬‬ ‫Ÿ ح ِّدد الإحداثيات السينية لأ ّي نقطة تقاطع لقيمة ص المعطاة‪.‬‬ ‫Ÿقد تحتاج إلى إعادة تنظيم ال ُمعا َدلة الأصلية لتنفيذ المطلوب‪.‬‬ ‫تمارين ‪3-14‬‬ ‫‪ )1‬استخدم التمثيل البياني للدا ّلة ص = س‪ - 2‬س ‪ 2 -‬كي تح ّل المعادلات الآتية‪:‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫أ س‪ - 2‬س ‪0 = 2 -‬‬ ‫ص = س‪ - ٢‬س ‪٨ ٢ -‬‬ ‫ب س‪ - 2‬س ‪6 = 2 -‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫ج س‪ - 2‬س = ‪6‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣- ٢- ١-‬‬ ‫‪١٢٣٤‬‬ ‫‪٢-‬‬ ‫‪٤-‬‬ ‫‪127‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ )2‬أ أنشئ جدول الق َيم للدا ّلة ص = ‪-‬س‪ - 2‬س ‪ 1 +‬في الفترة ‪  3-‬س ‪2 ‬‬ ‫ب ح ِّدد مواقع النقاط على شبكة الإحداثيات‪ ،‬ثم ِصل بينها بمنحنى‪.‬‬ ‫ج باستخدام التمثيل البياني أوجد جذ َري ال ُمعا َدلة ‪-‬س‪ - 2‬س ‪ ،0 = 1 +‬اكتب‬ ‫إجابتك مق َّربة إلى أقرب منزلة عشرية‪.‬‬ ‫‪ )3‬ح ّل المعادلتَين التاليتَين برسم تمثيل بياني ُملا ِئم في الفترات ال ُمعطاة لكل منهما‪:‬‬ ‫أ س‪ - 2‬س ‪  3-( 0 = 3 -‬س ‪)4 ‬‬ ‫ب س‪3 + 2‬س ‪  4-( 0 = 1 +‬س ‪)1 ‬‬ ‫‪  )4‬أ استخدم الفترة ‪  2-‬س ‪ 4 ‬لترسم التمثيل البياني للدا ّلة‬ ‫ص = ‪ - 4-‬س‪2 + 2‬س‬ ‫ب استخدم التمثيل البياني لتح ّل المعادلتَين التاليتَين‪:‬‬ ‫(‪ - 4- )1‬س‪2 + 2‬س = ‪0‬‬ ‫(‪- )2‬س‪2 + 2‬س = ‪0‬‬ ‫‪  )5‬أ ارسم التمثيل البياني للدا ّلة ص = س‪2 - 2‬س ‪ُ 4 -‬مستخ ِد ًما ق َي ًما لـ س في‬ ‫الفترة من ‪ 3-‬إلى ‪5‬‬ ‫ب استخدم التمثيل البياني لتح ّل ال ُمعا َدلات التالية‪:‬‬ ‫(‪ )1‬س‪2 - 2‬س ‪0 = 4 -‬‬ ‫(‪ )2‬س‪2 - 2‬س ‪3 = 4 -‬‬ ‫(‪ )3‬س‪2 - 2‬س ‪1- = 4 -‬‬ ‫‪128‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 4-14‬استخدام التمثيلات البيانية لحل ُمعا َدلات خ ّطية و ُمعا َدلات‬ ‫غير خ ّطية آن ًّيا‬ ‫يمكنك أن تستخدم التمثيل البياني لل ّدوال لتح ّل ُمعا َدلات خ ّطية و ُمعادلات غير خ ّطية‪ ،‬أو‬ ‫معادلتَين غير خ ّطيتين آن ًّيا‪:‬‬ ‫مثـــــال ‪6‬‬ ‫استخدم التمثيل البياني التالي لكل من الدالّتين ص = ‪ + 2‬س‪ ،‬ص = س‪3 - 2‬س ‪ 4 +‬لتجد‬ ‫قَيم س لنقاط تقاطُع المستقيم مع ال ُمنحنى‪:‬‬ ‫ص=س‪ -٢‬س‪٨ +‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫ص= ‪+‬س‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١- ١ ٢ ٣ ٤‬‬ ‫ُمسا َعدة‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫قد تُسأل أي ًضا عن قَيم ص‪ ،‬لذا‬ ‫من المهم إيجاد أزواج من قَيم س‬ ‫قَيم س لنقاط التقاطُع هي إحداثيات نقطتَي التقاطُع هي تقريًبا (‪ )2,6 ،0,6‬و (‪)5,4 ،3,4‬‬ ‫الصحيحة مع قَيم ص الصحيحة‪،‬‬ ‫س= ‪ 0,6‬وس = ‪3,4‬‬ ‫عندما س = ‪ ،0,6‬ص= ‪2,6‬‬ ‫وعندما س = ‪ ،3,4‬ص = ‪5,4‬‬ ‫مثـــــال ‪7‬‬ ‫يبّين الشكل التالي التمثيل البياني للدالّتين ص = ‪٨‬س ‪ ،‬ص = س‪ ،‬س ‪:0 ‬‬ ‫ص= ‪٫‬‬ ‫ص=س‬ ‫‪۳‬‬ ‫ص=س ‪۲‬‬ ‫استخدم التمثيل البياني للدالّة ص = ‪٨‬س لتح ّل المعادلة عندما ص = ‪5.7‬‬ ‫‪129‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫عليك أن تجد نقطة على المنحنى إحداثّيها الصادي‬ ‫ح ّل ال ُمعاَدلة ‪٨‬س = ‪ 5.7‬هو‬ ‫يساوي ‪ ،5,7‬ارسم ال ُمستقيم ص = ‪ 5,7‬ليساعدك‬ ‫س = ‪1,4‬‬ ‫العلُمنىحنإيىج‪.‬ادساِّلمنقالنطقة‪،‬طةوأهيعلتقىعال ُمعنخد َطّتقاط‪.‬طُإعحادلاُمثيسهتاقيالمسمينعي‬ ‫هو ‪1,4‬‬ ‫تمارين ‪4-14‬‬ ‫‪ )1‬استخدم التمثيل البياني لحل المعادلات آن ًّيا في ك ّل م ّما يلي‪:‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬ب‬ ‫أ‬ ‫ص = س‪٢‬‬ ‫ص=‪٤‬‬ ‫ص = س‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣٣‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪ ١‬ص=س‪١ ٢+‬‬ ‫‪٣- ٢- ١-‬‬ ‫‪١ ٢ ٣ ٣- ٢- ١-‬‬ ‫‪١٢٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫د‬ ‫‪٥‬‬ ‫ج‬ ‫ص = س‪٢‬‬ ‫ص = س‪٢‬‬ ‫‪٣‬س ‪٤ -‬ص ‪٠ = ٢ +‬‬ ‫س‪+‬ص=‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣- ٢- ١-‬‬ ‫‪١٢٣‬‬ ‫‪٣- ٢- ١-‬‬ ‫‪١٢٣‬‬ ‫‪ )2‬ارسم التمثيلات البيانية لكل دا ّلتين في ما يلي‪ ،‬ثم أوجد إحداثيات نقاط التقا ُطع لكل‬ ‫منهما‪:‬‬ ‫أ ص = س‪ ، 2‬ص = ‪3‬س‬ ‫ب ص = س ‪ ،‬ص = ‪٢‬س‬ ‫ج ص = ‪ - 2‬س ‪ ،‬ص = س‪5 - 2‬س ‪6 +‬‬ ‫‪130‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ )3‬استخدم التمثيل البياني لح ّل المعادلات التالية آن ًّيا‪:‬‬ ‫أ ص = س‪ 8 - 2‬س ‪ ، 9 +‬ص = ‪2‬س ‪1 +‬‬ ‫ب ص = س‪ - 2‬س ‪ ، 6 -‬ص = ‪ + 2‬س‬ ‫ج ص = ‪4‬س ‪ ، 4 +‬ص = ‪2‬س ‪ + 3 -‬س‪2‬‬ ‫‪ )4‬ب ّين بالتمثيل البياني عدم وجود قيمة لـ س تُح ِّقق المعادلتين آن ًّيا‪:‬‬ ‫ص = ‪ ، 4-‬ص = س‪2 + 2‬س ‪3 +‬‬ ‫‪131‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪ 5-14‬المزيد من التمثيلات البيان َّية غير الخ ّطية‬ ‫حتى الآن‪ ،‬تعلَّمت كيف تُنشئ جد َول الق َيم وترسم كل ًا من الأنواع ال ُمختلفة من التمثيلات‬ ‫البيانية الآتية‪:‬‬ ‫Ÿ التمثيلات البيانية الخ ّطية (معادلات خ ّطية في صورة ص = م س ‪ +‬جـ)‪.‬‬ ‫Ÿالتمثيلات البيانية التربيعية (معادلات تربيعية في صورة ص = أس‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ)‪.‬‬ ‫Ÿ التمثيلات البيانية للمعادلات (في صورة ص = أس)‪.‬‬ ‫في هذا الدرس‪ ،‬سوف تُط ِّبق ما تعلَّمته ساب ًقا في رسم التمثيلات البيانية على ُمعا َدلات‬ ‫من رتبة أعلى ( ُمعا َدلات تكعيبية)‪ ،‬أو معادلات حدودها تتك ّون من مجموعة من الحدود‬ ‫الخ ّطية والتربيعية والتكعيبية‪.‬‬ ‫‪-5-14‬أ رسم التمثيلات البيان َّية التكعيبية‬ ‫ُمسا َعدة‬ ‫ال ُمعا َدلة التكعيبية تتضمن ح ًّدا مرفو ًعا إلى الأُ ّس ثلاثة‪ ،‬وهو أكبر قوى لل ُمتغ ِّير‪ .‬مثلاً ‪ ،‬تُع ّد‬ ‫ُيتوَقّع أن تتعامل مع ُمعادلات‬ ‫ك ّل ال ُمعا َدلات ص = ‪2‬س‪ ،3‬ص = ‪ -‬س‪2 + 3‬س‪ ،3 + 2‬ص = ‪2‬س‪4 - 3‬س معادلات تكعيبية‪.‬‬ ‫تحتوي على حدود أ َّسها عدد‬ ‫صحيح من –‪ 2‬إلى ‪ ،3‬عندما‬ ‫وأبسط معادلة تكعيبية هي ص = س‪.3‬‬ ‫تتعا َمل مع ُمعاَدلات من درجة‬ ‫أعلى‪ ،‬فإنها لن تحتوي على أكثر‬ ‫يُس ّمى التمثيل البياني لل ُمعا َدلة التكعيبية ال ُمنحنى التكعيبي‪ ،‬وي َّتخذ شكلَيْن أساس َّييْن‪:‬‬ ‫من ثلاثة حدود‪.‬‬ ‫Ÿإذا كانت إشارة ُمعا ِمل س‪ 3‬موجبة‪ ،‬فسوف ي َّتخذ التمثيل البياني أحد الشكلَيْن‬ ‫التاليَين‪:‬‬ ‫Ÿإذا كانت إشارة ُمعا ِمل س‪ 3‬سالبة‪ ،‬سوف ي َّتخذ التمثيل البياني أحد الشكلين التال َيين‪:‬‬ ‫إذا كانت س موجبة‪ ،‬فإن س‪ 3‬موجبة‬ ‫و–س‪ 3‬سالبة‪.‬‬ ‫إذا كانت س سالبة‪ ،‬فإن س‪ 3‬سالبة‬ ‫و–س‪ 3‬موجبة‪.‬‬ ‫‪132‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫مثـــــال ‪8‬‬ ‫أكمل جداول القَيم التالية ثم ارسم التمثيل البياني لها على نفس ال ُمستوى الإحداثي‪:‬‬ ‫‪2 1 0 1- 2-‬‬ ‫أس‬ ‫ص = س‪3‬‬ ‫‪2 1 0 1- 2-‬‬ ‫بس‬ ‫ص = ‪ -‬س‪3‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪2 1 0 1- 2-‬‬ ‫س‬ ‫أ‬ ‫كلما ازدادت قيمة س‪ ،‬تزداد قيمة س‪3‬‬ ‫ص = ‪ -‬س‪٣‬‬ ‫بسرعة‪ ،‬ويصبح من الصعب تمثيلها‬ ‫ص = س‪٣‬‬ ‫ص = س‪8 1 0 1- 8- 3‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫بيان ًيّا‪ .‬إذا أردت أن تُنشئ جد َول ق َيم‬ ‫خا ًّصا بك‪ ،‬اختر ق َي ًما صغيرة‪ .‬يُمكن‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪2 1 0 1- 2-‬‬ ‫س‬ ‫ب‬ ‫تضمينها ُمنتصفات النقاط (‪،0,5‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ص = ‪ -‬س‪8- 1- 0 1 8 3‬‬ ‫‪ )… ،1,5‬لتجد ق َي ًما أكثر تتلاءم مع‬ ‫‪٢- ١-‬‬ ‫التمثيل البياني‪.‬‬ ‫‪٢-‬‬ ‫‪٤-‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪٦-‬‬ ‫‪٨-‬‬ ‫مثـــــال ‪9‬‬ ‫ارسم التمثيل البياني للدالّة ص = س‪ 6 - 3‬س في الفترة ‪  3-‬س ‪3 ‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫أولاً‪ :‬أنشئ‬ ‫س ‪3 2 1 0 1- 2- 3-‬‬ ‫جدَول قَيم تكون‬ ‫ص ‪9 4- 5- 0 5 4 9-‬‬ ‫قَيم س فيه‬ ‫أعداًدا صحيحة‪.‬‬ ‫أوجد قيمة ص‬ ‫= س‪6 - 3‬س‪.‬‬ ‫‪133‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ثانًيا‪ :‬أنشئ‬ ‫س ‪2.5 1.5 0.5 0.5- 1.5- 2.5-‬‬ ‫ُمجدسَتوخلِدقًمَيام‬ ‫ص ‪0.625 5.625- 2.875- 2.875 5.625 0.625-‬‬ ‫‪ʼ‬أنصاف قَيم‪ʻ‬‬ ‫س من الأعداد‬ ‫‪٨‬‬ ‫الصحيحة‪.‬‬ ‫ص = س‪٦ - ٣‬س ‪٦‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫عّين النقاط‬ ‫‪٢‬‬ ‫على شبكة‬ ‫الإحداثيات‪،‬‬ ‫‪٣- ٢- ١-‬‬ ‫‪١٢٣‬‬ ‫و ِصل بينها‬ ‫‪٢-‬‬ ‫‪٤-‬‬ ‫رابـط‬ ‫ب ُمنحنى‪.‬‬ ‫‪٦-‬‬ ‫‪٨-‬‬ ‫يستخدم الجيوفيزيائيون ال ُمعاَدلات‬ ‫والتمثيلات البيانية عندما‬ ‫يتعاملون مع القياسات (مثل زيادة‬ ‫ال ُحمم البركانية‪ ،‬أو ضغطها في‬ ‫الب اركين)‪ ،‬وعندما يستخدمونها في‬ ‫توليد الأنماط والقيام بالتنُّبؤات‪.‬‬ ‫‪-5-14‬ب استخدام التمثيلات البيانية لحل ُمعا َدلات من ُر َتب أعلى‬ ‫يُمكنك استخدام التمثيل البياني لل ُمعا َدلات التكعيب ّية‪ ،‬لتجد حل ًّا تقريب ًّيا لل ُمعا َدلات‬ ‫التكعيب ّية ال ُمرت ِبطة بها‪ ،‬والمثال التالي يو ِّضح كيفية تنفيذ ذلك‪:‬‬ ‫مثـــــال ‪10‬‬ ‫أ ارسم التمثيل البياني للدالّة ص = س‪2 - 3‬س‪ 1 - 2‬في الفترة ‪  1-‬س ‪3 ‬‬ ‫ب استخدم التمثيل البياني لتح ّل ال ُمعادلات‪:‬‬ ‫(‪ )1‬س‪2 - 3‬س‪0= 1 - 2‬‬ ‫(‪ )2‬س‪2 - 3‬س‪1- = 2‬‬ ‫(‪ )3‬س‪2 - 3‬س‪0 = 5 - 2‬‬ ‫‪134‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫أنشئ جدَول القَيم لـ ص‪ ،‬حيث‬ ‫س ‪3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5- 1-‬‬ ‫أ‬ ‫قَيم س من الأعداد الكاملة‬ ‫ص ‪8 2.125 1- 2.125- 2- 1.375- 1- 1.625- 4-‬‬ ‫وأنصافها‪.‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫عّين النقاط على شبكة‬ ‫ص = س‪٢ - ٣‬س‪٦ ١ - ٢‬‬ ‫الإحداثيات لتر ُسم ال ُمنحنى‪.‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١-‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١ ٢-‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤-‬‬ ‫لتح ّل‬ ‫(‪ )1‬ح ّل ال ُمعاَدلة‬ ‫ب‬ ‫قبل البدء برسم المحورين‪ ،‬تح َّقق من‬ ‫س‪2 - 3‬س‪ ،0 = 1 - 2‬أوجد‬ ‫س‪2 - 3‬س‪0 = 1 - 2‬‬ ‫مجال ق َيم ص المطلوبة مستخد ًما‬ ‫النقطة أو النقاط على ال ُمنحنى‬ ‫جدول الق َيم‪.‬‬ ‫التي يكون إحداثّيها الصادي‬ ‫هو س ≈ ‪2,2‬‬ ‫يساوي ‪( 0‬حيث يقطع‬ ‫(‪ )2‬ح ّل ال ُمعاَدلة‬ ‫س‪2 - 3‬س‪1- = 2‬‬ ‫المنحنى المحور السيني)‪.‬‬ ‫هو س ≈ ‪،0.6-‬‬ ‫هناك نقطة واحدة (النقطة‬ ‫على التمثيل البياني) إحداثيها‬ ‫س = ‪ ،1‬س ≈ ‪1.6‬‬ ‫السيني هو ‪2,2‬‬ ‫لتح ّل س‪2 - 3‬س‪،1- = 2‬‬ ‫أعد تنظيم ال ُمعاَدلة ليصبح‬ ‫الطرف الأيمن كما في المعادلة‬ ‫التي مثلتها أعلاه‪ .‬إذا طرح َت‬ ‫‪ 1‬من كلا الطرفَين تحصل‬ ‫على س‪2- 3‬س‪ 2-= 1- 2‬والآن‬ ‫أي(اوكرجوسدنماإلانلحقُماداثسطّيتقهيعالمالى الصصاُمدن=حين‪-‬ى‪2-‬ا‪2‬لتي‬ ‫للمساعدة)‪ .‬هناك ثلاث نقاط‬ ‫( ‪ 3 ،2 ،1‬على التمثيل‬ ‫البياني)‪ .‬الإحداثي السيني لهذه‬ ‫النقاط هي حلول ال ُمعاَدلة‪.‬‬ ‫‪135‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫أعد تنظيم س‪2- 3‬س‪0= 5- 2‬‬ ‫(‪ )3‬الحل التقريبي لل ُمعاَدلة هو س = ‪2.7‬‬ ‫لتتمكن من استخدام‬ ‫التمثيل البياني للدالّة‬ ‫ص = س‪2 - 3‬س‪1 – 2‬‬ ‫في حلها‪ .‬اجمع ‪ 4‬مع‬ ‫طرفي ال ُمعاَدلة لتحصل على‬ ‫س‪2 - 3‬س‪ 4 = 1 – 2‬أوجد‬ ‫على ال ُمنحنى النقاط التي يكون‬ ‫إحداثيها الصادي يساوي ‪4‬‬ ‫(ارسم المستقيم ص = ‪4‬‬ ‫للمساعدة)‪ .‬هناك نقطة واحدة‬ ‫فقط ( على التمثيل البياني)‪.‬‬ ‫الإحداثي السيني للنقطة‬ ‫يساوي ‪2,7‬‬ ‫تمارين ‪(-5-14‬أ‪ ،‬ب)‬ ‫‪ )1‬أنشئ جد َول الق َيم في الفترة ‪  3-‬س ‪ ،3 ‬وع ّين النقاط لتر ُسم التمثيل البياني‬ ‫لكل من ال ُمعا َدلات التالية‪:‬‬ ‫ب ص = ‪3-‬س‪3‬‬ ‫أ ص = ‪2‬س‪3‬‬ ‫د ص = ‪2 + 3‬س‪3‬‬ ‫ج ص = س‪2 - 3‬‬ ‫و ص = ‪2‬س‪4 - 3‬س ‪1 +‬‬ ‫ح ص = س‪2 - 3‬س‪1 + 2‬‬ ‫ﻫـ ص = س‪2 - 3‬س‪2‬‬ ‫ز ص = ‪-‬س‪ + 3‬س‪9 - 2‬‬ ‫‪ )2‬أ انسخ جد َول القيَم للدا ّلة ص = س‪6 - 3‬س‪ 8 + 2‬س‪( .‬قد تحتاج إلى إضافة‬ ‫صفوف أخرى إلى الجد َول‪ ،‬كما في الأمثلة)‪.‬‬ ‫س ‪5 4٫5 4 3٫5 3 2٫5 1٫5 1 0٫5 0 0٫5- 1-‬‬ ‫ص ‪5٫6- 15-‬‬ ‫ب ارسم التمثيل البياني للدا ّلة ص = س‪6 - 3‬س‪ 8 + 2‬س على شبكة إحداثيات في‬ ‫الفترة ‪  1-‬س ‪.5 ‬‬ ‫ج استخدم التمثيل البياني في الجزئية ب لتح ّل ال ُمعادلتَين التاليتَن‪:‬‬ ‫(‪ )1‬س‪6 - 3‬س‪ 8 + 2‬س = ‪0‬‬ ‫(‪ )2‬س‪6 - 3‬س‪ 8 + 2‬س = ‪3‬‬ ‫‪136‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬س‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫‪،‬‬ ‫س‪٣‬‬ ‫ارسم التمثيلَين البيان َّيين للدا ّلتين ص =‬ ‫‪  )3‬أ‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪‬س‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪٣‬‬ ‫ال ُمعا َدلة‬ ‫لتح ّل‬ ‫أ‬ ‫استخدم التمثيلَين البيان َّيين في الجزئية‬ ‫ب‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪-5-14‬ج التمثيلات البيانية لدوال تتض َّمن مجموعة من الحدود‬ ‫عندما يُطلَب إليك أن ترسم التمثيل البياني لدوال تتض َّمن مجموعة من الحدود الخ ّطية‬ ‫والتربيعية والتكعيبية والثابتة‪ ،‬عليك تكوين جد َول القيَم يتك َّون من ‪ 8‬ق َيم لـ س على الأقل‪،‬‬ ‫ليتو َّفر لديك ُمؤ ِّشر واضح على ما سيكون عليه شكل التمثيل البياني‪.‬‬ ‫مثـــــال ‪11‬‬ ‫أكمل جدَول القَيم للدالّة ص = ‪2‬س ‪١ +‬س في الفترة ‪  0.5‬س ‪ ،7 ‬ومثّلها بيانًّيا‪:‬‬ ‫‪7 6 5 4 3 2 1 0.5‬‬ ‫س‬ ‫ص = ‪2‬س ‪١ +‬س‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫لا يمكنك إيجاد قيمة ص عندما س = ‪ 0‬لأن هناك حًدا هو ‪١‬س ‪ ،‬ولا ُيمكننا القسمة على‬ ‫صفر‪.‬‬ ‫‪7 6 5 4 3 2 1 0.5‬‬ ‫س‬ ‫‪14.14 12.17 10.2 8.25 6.33 4.5 3‬‬ ‫ص = ‪2‬س ‪١ +‬س ‪3‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ص = ‪٢‬س ‪١ +‬س ‪١٥‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١٢٣٤٥٦٧٨‬‬ ‫‪137‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫مثـــــال ‪12‬‬ ‫أكمل جدَول القَيم للدالّة ص = س‪١ - 3‬س في الفترة ‪  0.2‬س ‪ ،3 ‬ومثّلها بيانًّيا‪:‬‬ ‫‪3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.2‬‬ ‫س‬ ‫ص = س‪١ - 3‬س ‪5.0-‬‬ ‫الحـــــ ّل‪:‬‬ ‫قّرب قَيم ص إلى منزلة عشرية واحدة‪ ،‬إو�لاّ سيكون من الصعب تحديد النقاط على المستوى‬ ‫الإحداثي‪.‬‬ ‫‪3 2.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1 0.5 0.2‬‬ ‫س‬ ‫‪26.7 15.2‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫ص = س‪١ - 3‬س ‪0 1.9- 5.0-‬‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫ص = س‪١ - ٣‬س‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١٢٣‬‬ ‫‪١٠-‬‬ ‫تمارين ‪-5-14‬ج‬ ‫‪ )1‬أنشئ جد َول الق َيم ُمستخ ِد ًما س = ‪، 0.5 ، 0.2 ، 0.2- ، 0.5- ، 1- ، 2- ، 3-‬‬ ‫‪ 3 ، 2 ، 1‬لك ّل دا ّلة فيما يلي‪ ،‬ثم م ّثلها بيان ًّيا‪:‬‬ ‫أ ص = ‪ + 3‬س‪٢ - 2‬س ‪١‬س‬ ‫ب ص = ‪٢ 3‬سس ‪١ -‬س‬ ‫ج ص = ‪-‬س ‪ +‬س‪٢ + 2‬س ‪١‬س‬ ‫د ص = ‪-‬س‪2 - 3‬س ‪( 1 +‬أهمل الق َيم الكسرية في هذه الحالة)‬ ‫‪138‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫‪-5-14‬د تمييز التمثيلات البيانية‬ ‫يجب أن تكون قاد ًرا على تحديد أ ّي نوع من التمثيلات البيانية تُم ّثلها المعادلة المعطاة‪.‬‬ ‫يُل ّخص ال َجد َول التالي ما تعلَّمته حتى الآن‪:‬‬ ‫شكل التمثيل البياني‬ ‫الصورة العامة لل ُمعا َدلة‬ ‫نوع التمثيل البياني‬ ‫ال ُمستقيم (المعادلة‬ ‫ص = م س ‪ +‬جـ أكبر قوى لـ س هو ‪1‬‬ ‫الخ ّطية)‬ ‫عندما س = أ‪ ،‬يكون ال ُمستقيم مواز ًيا‬ ‫لمحور الصادات وعندما ص = ب يكون‬ ‫ال ُمستقيم مواز ًيا لمحور السينات‪.‬‬ ‫ص = س‪2‬‬ ‫المعادلة التربيعية‬ ‫ص = أس‪ + 2‬ب س ‪ +‬جـ‬ ‫المعادلة في الصورة‪:‬‬ ‫أعلى قوى لـ س هي ‪2‬‬ ‫ص = أس أس‪٢‬‬ ‫المعادلة التكعيبية‬ ‫ص = أس أو أسس‪ ٢‬ص = أ‬ ‫ويمكن أن تكون أي ًضا ص = أس ‪ +‬ع أس‪٢‬‬ ‫ص = س‪3‬‬ ‫ص = أس‪ + 3‬ب س‪ + 2‬جـ س ‪ +‬د‬ ‫أعلى قوى لـ س هي ‪3‬‬ ‫منحنى معادلة تتك َّون لغاية ثلاثة حدود من‪:‬‬ ‫ص = أس‪ + 3‬ب س‪ + 2‬جـ س ‪ +‬دس ‪ +‬هـ‬ ‫من مجموعة من الحدود‬ ‫(خطية‪ ،‬تربيعية‪ ،‬تكعيبية)‬ ‫‪139‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫ُمل َّخص‬ ‫يجب أن تكون قاد ًرا على‪:‬‬ ‫ما يجب أن تعرفه‪:‬‬ ‫Ÿ إنشاء جد َول القيَم ل ُمعا َدلات تربيع ّىة‪.‬‬ ‫Ÿال ُمعا َدلة التربيعية هي التي تكون أكبر قوى لل ُمتغ ِّير‬ ‫Ÿرسم التمثيل البياني لل ُمعا َدلات التربيع ّية بإنشاء جدول‬ ‫س فيها هي العدد ‪2‬‬ ‫الق َيم لها‪.‬‬ ‫Ÿالتمثيل البياني لل ُمعا َدلة التربيعية هو منحنى‪.‬‬ ‫Ÿرسم التمثيل البياني للدا ّلة التي على صورة‪:‬‬ ‫Ÿالتمثيل البياني للدا ّلة التي تكون في صورة‬ ‫ص = أس من أس‪٢‬جد َول القيَم‪.‬‬ ‫ص = أس أو أس‪٢‬س ص = أ‬ ‫Ÿالتمثيل البياني للدا ّلة التي تأتي في صورة‪:‬‬ ‫Ÿتفسير التمثيل البياني لل ُمعا َدلات التربيع ّية‬ ‫ص = أس يتكأس َّو‪٢‬ن من جزأين منفصلَين‪.‬‬ ‫واستخدامهما في ح ّل ُمعا َدلات ُمرت ِبطة بهما‪.‬‬ ‫Ÿيمكنك استخدام التمثيل البياني لحل ال ُمعا َدلات‬ ‫Ÿإنشاء جداول القيَم ورسم التمثيلات البيانية ل ُمعا َدلات‬ ‫ال ُمرت ِبطة بها‪ ،‬وذلك بإيجاد قيمة س أو ص لنقاط‬ ‫تكعيب ّية ول ُمعا َدلات تتك َّون من حدود خ ّطية وحدود غير‬ ‫مختلفة على التمثيل البياني‪ ،‬كما يمكنك أن تجد ح ّل‬ ‫ال ُمعا َدلات الآن َّية باستخدام نقاط تقاطع التمثيلَين‬ ‫خ ّطية‪.‬‬ ‫البيان َّيين لهما‪.‬‬ ‫Ÿرسم التمثيل البياني ل ُمعا َدلات من رتبة أعلى‪،‬‬ ‫واستخدامها في ح ّل ُمعا َدلات ُمرت ِبطة بها‪.‬‬ ‫Ÿال ُمعا َدلة التكعيب ّية هي التي تكون أكبر قوى لل ُمتغ ِّير‬ ‫س فيها هي العدد ‪3‬‬ ‫Ÿالتمثيل البياني لل ُمعا َدلة التكعيب ّية هو شكل ُمتم ّوج‪.‬‬ ‫Ÿيمكن أن تظهر الحدود الخ ّطية والتربيع ّية والتكعيب ّية‬ ‫والتي تأتي في صورة أس في أسا‪٢‬ل ُمعا َدلة نفسها‪.‬‬ ‫ويُمكن تمثيل تلك المعادلات بيان ًّيا بإنشاء جد َول‬ ‫الق َيم لها‪ ،‬ثم تحديد مواقع النقاط على ال ُمستوى‬ ‫الإحداثي‪.‬‬ ‫‪140‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعادلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫تمارين نتمهاارييةنالنوهحايدةةالوحدة‬ ‫‪٧‬‬ ‫)‪.) ( ،) ( ،‬‬ ‫اكتب ُمعا َدلة ك ّل من التمثيلات البيانية ( )‪( ،‬‬ ‫‪  )1‬أ‬ ‫‪٦‬‬ ‫اكتب إحداثيات تقا ُطع‪:‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ب‬ ‫‪٤‬‬ ‫(‪ )1‬التمثيلَيْن البيان َّييْن ( )‪) ( ،‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫(‪ )2‬التمثيلَيْن البيان َّييْن ( )‪) ( ،‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ج أ ّي الإحداثيات التي تُح ِّقق ح ّل معادلتَي التمثيلَين‬ ‫‪٣- ٢- ١-١-‬‬ ‫‪١٢٣‬‬ ‫البيان َّيين ( )‪ ) ( ،‬في نفس الوقت؟‬ ‫؟‬ ‫‪١‬‬ ‫‪-‬‬ ‫يساوي‬ ‫السيني‬ ‫مقطعه‬ ‫بياني‬ ‫تمثيل‬ ‫أ ّي‬ ‫د‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻫـ أ ّي تمثيل بياني ُمتما ِثل حول المحور الصادي؟‬ ‫‪٩‬‬ ‫ص = س‪٢‬‬ ‫‪ )2‬الشكل المجاور هو التمثيل البياني للدا ّلة ص = س‪:2‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ أ يُب ّين الجدول أدناه بعض قيَم الدا ّلة ص = س‪ ،3 + 2‬انسخ الجدول‬ ‫‪٧‬‬ ‫وأكمله بملء القيَم الناقصة‪:‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫س ‪2 1٫5 1 0٫5 0 0٫5- 1- 1٫5- 2-‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪7 5٫25 4‬‬ ‫‪3 3٫25 4 5٫25‬‬ ‫ص‬ ‫‪٢‬‬ ‫ب ارسم التمثيل البياني للدا ّلة ص = س‪ 3 + 2‬في الفترة‬ ‫‪ ‬س ‪ 2 ‬على شبكة الإحداثيات المجاورة‪.‬‬ ‫‪١ 2-‬‬ ‫‪٣- ٢- ١- ١ ٢ ٣‬‬ ‫ج هل يمكن أن يتقاطع ال ُمنحنيان؟ ف ّسر إجابتك‪.‬‬ ‫‪ )3‬استخدم التمثيل البياني للدالة ص = س‪ ٢‬المعطاة في التمرين ‪ ٢‬لترسم مستقي ًما يساعدك ‬ ‫على ح ّل ك ّل من المعادلتَين التاليَتَن ثم ح ّل ك ّل منهما‪:‬‬ ‫(‪ )2‬س‪6 = 3 + 2‬‬ ‫(‪ )1‬س‪6 = 2‬‬ ‫‪ )4‬أجب عن جميع ُجزئيات هذا التمرين على شبكة إحداثيات واحدة‪:‬‬ ‫س ‪5 4٫5 4 3٫5 3 2٫5 2 1٫5 1 0٫6‬‬ ‫ص ع ‪ 3٫8 1٫9 0٫3 1٫1- 2٫3- 3٫7- 5٫9-‬ق ر‬ ‫ظهرت بعض قيَم ص = ‪٢‬س‪٣١٢‬س‪٦ -٣١‬س‪٦‬س في الجد َول أعلاه‪ .‬وت ّم تقريب ق َيم ص إلى أقرب منزلة عشرية‪.‬‬ ‫‪141‬‬

‫الوحدةالرابعةعشرة‪:‬التمثيلالبيانيلل ُمعا َدلات‪www.oman-edu.com‬‬ ‫أ أوجد قيم ع‪ ،‬ق‪ ،‬ر‪.‬‬ ‫ب استخدم مقياس رسم (‪ 2‬سم) لتمثيل وحدة واحدة على المحور السيني‪ ،‬و(‪ 1‬سم)‪ ،‬لتمثيل وحدة واحدة‬ ‫على المحور الصادي‪ ،‬كي ترسم التمثيل البياني للدا ّلة ص = ‪٢‬س‪٣١٢‬س‪٦ -٣١‬س‪٦‬س في الفترة ‪  0٫6‬س ‪.5 ‬‬ ‫البياني‪.‬‬ ‫التمثيل‬ ‫ُمستخ ِد ًما‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪٦‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫س‪٣٣‬‬ ‫ال ُمعا َدلة‬ ‫في‬ ‫عشرية)‬ ‫منزلة‬ ‫أقرب‬ ‫إلى‬ ‫( ُمق َّربة‬ ‫س‬ ‫قيمة‬ ‫أوجد‬ ‫ج‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪ )5‬فيما يلي س َّتة تمثيلات بيان َّية‪:‬‬ ‫(‪)3( )2( )1‬‬ ‫(‪)6( )5( )4‬‬ ‫طا ِبق بين التمثيلات البيانية السابقة وال ُمعا َدلات التالية‪:‬‬ ‫أ ص = ‪ + 1‬س ‪2 -‬س‪2‬‬ ‫ب ص = س‪ + 3‬س‪1 + 2‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫ج‬ ‫س‪٢‬‬ ‫‪142‬‬

‫مصطلحاتعلمية‪www.oman-edu.com‬‬ ‫مصطلحات علمية‬ ‫الح ّد الثابت ‪ :Constant term‬هو الح ّد الوارد في المعادلة‬ ‫أ‬ ‫أو العبارة وله قيمة ثابتة‪( .‬ص ‪)42‬‬ ‫الأجور ‪ :Wages‬مبلغ يُدفع ُمقابل تنفيذ عدد ُمح َّدد من‬ ‫خ‬ ‫ساعات العمل‪ ،‬ويت ّم دفعه عادة كل أسبوع‪( .‬ص ‪)196‬‬ ‫الخسارة ‪ :Loss‬عندما يكون سعر بيع البضاعة أقل من‬ ‫أ ّسي ‪ :Exponential‬دالة تتك َّون عندما يكون المتغ ّير أ ًّسا‪.‬‬ ‫سعر تكلفتها‪ .‬الخسارة تساوي سعر التكلفة ‪ -‬سعر البيع‪.‬‬ ‫(ص ‪)145‬‬ ‫(ص ‪)210‬‬ ‫الأضلاع ال ُمتنا ِظرة ‪ :Corresponding sides‬أضلاع تشغل‬ ‫الموقع نفسه في الأشكال ال ُمتطابقة وال ُمتشابهة‪( .‬ص ‪)66‬‬ ‫الخصم ‪ :Discount‬الك ّمية التي يت ّم خصمها من سعر‬ ‫البيع‪( .‬ص ‪)213‬‬ ‫الاضمحلال ال ُأ ّسي ‪ :Exponential decay‬عندما يتناقص‬ ‫شيء ما (مثل النقود)‪ ،‬غال ًبا ما يرجع ذلك إلى الاضمحلال‬ ‫خ ّط التقا ُرب ‪ :Asymptote‬مستقيم يقترب إليه التمثيل‬ ‫البياني ولا يتقاطع معه أب ًدا‪( .‬ص ‪)123‬‬ ‫الأ ّسي‪( .‬ص ‪)145‬‬ ‫د‬ ‫ت‬ ‫الدخل الإجمالي ‪ :Gross income‬مقدار ما تكسبه قبل‬ ‫التجميع ‪ :Grouping‬جمع الحدود ال ُمتشابهة في العبارة‬ ‫الخصم‪( .‬ص ‪)196‬‬ ‫الجبرية لتبسيطها‪( .‬ص ‪)48‬‬ ‫ر‬ ‫التحليل إلى عوامل ‪ :Factorisation‬إعادة كتابة العبارة‬ ‫الجبرية باستخدام الأقواس‪( .‬ص ‪)45‬‬ ‫الراتب ‪ :Salary‬مبلغ يُدفع ُمقا ِبل تنفيذ عدد ُمح َّدد من‬ ‫ساعات العمل السنوي‪ ،‬ويدفع عادة كل شهر‪( .‬ص ‪)196‬‬ ‫التحويل ‪ :Conversion‬تحويل ك ّمية أو وحدة ما إلى ما‬ ‫يُعادلها في وحدة أخرى‪( .‬ص ‪)33‬‬ ‫رأس المال ‪ :Capital‬المبلغ الأصلي الذي يت ّم اقتراضه أو‬ ‫استثماره‪( .‬ص ‪)200‬‬ ‫التقا ُطع ‪ :Intersection‬في المجموعات‪ ،‬هو مجموعة‬ ‫العناصر ال ُمشت َركة بين مجموعتَين أو اكثر‪ .‬في الجبر‪ ،‬هو‬ ‫الراسم ‪ :Slant height‬في المخروط هو أقصر مسافة بين‬ ‫أي نقطة على محيط القاعدة وق ّمة المخروط‪( .‬ص ‪)187‬‬ ‫نقطة التقاء مستقي َمين‪( .‬ص ‪)126‬‬ ‫الربح ‪ :Profit‬عندما يكون سعر بيع بضاعة ما أعلى من‬ ‫التنا ُسب الطردي ‪ :Direct proportion‬عندما تزداد أو‬ ‫سعر تكلفتها‪ .‬الربح يساوي سعر البيع ‪ -‬سعر التكلفة‪( .‬ص‬ ‫تتناقص ك ّميتان بنفس النسبة‪( .‬ص ‪)33‬‬ ‫‪)210‬‬ ‫التنا ُسب العكسي ‪ :Inverse proportion‬عندما تتناقص‬ ‫إحدى الك ّميتين بنفس التنا ُسب الذي تتزايد به الك ّمية‬ ‫الرؤوس ‪ :Vertices‬نقاط التقاء الأضلاع في شكل هندسي‬ ‫ثنائي الأبعاد‪( .‬ص ‪)181‬‬ ‫الأخرى‪( .‬ص ‪)36‬‬ ‫ز‬ ‫ح‬ ‫الزاوية المحصورة ‪ :Included angle‬في التطابق هي‬ ‫الحجم ‪ :Volume‬ك ّمية الفراغ الموجودة داخل ال ُمج َّسم‪.‬‬ ‫الزاوية التي تتك ّون عند التقاء ضل َعين‪( .‬ص ‪)69‬‬ ‫(ص ‪)182‬‬ ‫‪217‬‬

‫الرياضّيات‪-‬الصفالتاسع‪-‬الفصلالدراسي الثاني‪www.oman-edu.com‬‬ ‫الزمن ‪ :Time‬ثوا ٍن‪ ،‬دقائق‪ ،‬ساعات‪ ،‬إلخ‪( .‬ص ‪ )98‬ع‬ ‫الزوايا ال ُمتناظرة ‪ :Corresponding angles‬تتساوى‬ ‫العامل ال ُمشت َرك ‪ :Common factor‬ح ّد يمكن قسمة‬ ‫الزاويتان ال ُمتناظرتان في القياس‪ ،‬وهما تتش َّكلان عندما‬ ‫ح َّدين أو أكثر عليه بدون باق‪( .‬ص ‪)48‬‬ ‫يقطع قاطع خ َّطين ُمستقي َمين متوازيَين وتقعان على نفس‬ ‫العبارة التربيعية ‪ :Quadratic expression‬عبارة جبرية‬ ‫أكبر أ ّس في ُمتغ ّيراتها هو العدد ‪( .2‬ص ‪)42‬‬ ‫الجهة من المستقيم القاطع ومن المستقي َمين ال ُمتوازيين‪.‬‬ ‫كذلك تظهر الزوايا ال ُمتنا ِظرة في ال ُمثلَّثات ال ُمتطا ِبقة‬ ‫العدد غير النسبي ‪ :Irrational number‬عدد غير ُمنت ٍه‬ ‫وغير دوري ولا يمكن كتابته في صورة كسر‪( .‬ص ‪)168‬‬ ‫وال ُمتشا ِبهة والأشكال ال ُمتشا ِبهة‪( .‬ص ‪)74‬‬ ‫العمولة ‪ :Commission‬مبلغ يُدفع كنسبة مئوية من‬ ‫س‬ ‫المبيعات‪( .‬ص ‪)196‬‬ ‫السرعة ‪ :Speed‬مع َّدل يقارن بين المسافة المقطوعة‬ ‫ف‬ ‫والزمن الذي يستغرقه ذلك‪( .‬ص ‪)110‬‬ ‫الفائدة ‪ :Interest‬النقود التي تدفعها عندما تقترض نقو ًدا‪،‬‬ ‫سعر البيع ‪ :Selling price‬السعر الذي تباع فيه البضاعة‪.‬‬ ‫أو تكسبها عندما تستثمر نقو ًدا‪( .‬ص ‪)200‬‬ ‫(ص ‪)210‬‬ ‫الفائدة البسيطة ‪ :Simple interest‬نسبة مئوية ثابتة من‬ ‫سعر التكلفة ‪ :Cost price‬السعر الذي يدفعه التاجر لشراء‬ ‫المبلغ الأصلي المستدان أو المستثمر‪( .‬ص ‪)220‬‬ ‫البضاعة‪( .‬ص ‪)210‬‬ ‫الفائدة ال ُمر َّكبة ‪ :Compound interest‬فائدة تضاف إلى‬ ‫سعر الصرف ‪ :Exchange rate‬القيمة التي تستخدمها‬ ‫الفائدة ال ُمكت َسبة وليس فقط إلى المبلغ الأصلي‪( .‬ص‬ ‫للتحويل من عملة إلى عملة أخرى‪( .‬ص ‪)194‬‬ ‫‪)206‬‬ ‫ش‬ ‫الفرق بين ُمر َّب َعين ‪:Difference between two squares‬‬ ‫الشبكة ‪ :Net‬شكل ذو بعدين يمكن رسمه وتقسيمه وط ّيه‬ ‫طريقة لتحليل ح ّد ُمر َّبع مطروح من ح ّد ُمر َّبع آخر إلى‬ ‫ليش ّكل ُمج ّس ًما ثُلاثي الأبعاد‪( .‬ص ‪)181‬‬ ‫عوامل‪( .‬ص ‪)53‬‬ ‫ص‬ ‫صافي الدخل ‪ :Net income‬الدخل الذي تحصل عليه بعد ف ّك الأقواس ‪ :Expand‬عندما تتخلَّص من الأقواس وتعيد‬ ‫كتابة العبارة الجبرية‪ ،‬تكون قد فككت الأقواس أو ضربتها‪.‬‬ ‫إجراء كل الاقتطاعات منه‪( .‬ص ‪)215‬‬ ‫(ص ‪)42‬‬ ‫ض‬ ‫ق‬ ‫الضلع المحصور ‪ :Included side‬في التطابق‪ ،‬هو الضلع‬ ‫القطاع ‪ :Sector‬جزء من الدائرة يتح ّدد بنص َفي قط َرين‬ ‫الذي يربط بين زاويتَين‪( .‬ص ‪)69‬‬ ‫والقوس المحصور بينهما‪( .‬ص ‪)176‬‬ ‫ط‬ ‫الق َّمة ‪ :Apex‬في الهرم‪ ،‬تُس ّمى نقطة التقاء الوجوه ال ُمثلَّثة‬ ‫طريقة النسبة ‪ :Ratio method‬طريقة لحل مسائل حول‬ ‫القمة‪( .‬ص ‪)187‬‬ ‫التنا ُسب‪( .‬ص ‪)26‬‬ ‫القوس ‪ :Arc‬جزء من محيط الدائرة‪( .‬ص ‪)176‬‬ ‫طريقة الوحدة ‪ :Unitary method‬طريقة لحل مسائل حول‬ ‫التنا ُسب‪( .‬ص ‪)26‬‬ ‫‪218‬‬