1 วิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์พื้นฐานในชีวิตประจำวัน

เอกสารประกอบการเรยี น รายวิชา 0002601 วชิ าวิทยาศาสตรและคณติ ศาสตรพ น้ื ฐานในชีวติ ประจำวนั เรื่องการแปลความหมายและการสือ่ สารทางคณิตศาสตร สัปดาหทีส่ อน 1-4 คะแนนเกบ็ ระหวางภาค 10 คะแนน สอนโดย คณาจารยส าขาวิชาคณติ ศาสตร มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั บรุ ีรัมย

1 บทท่ี 1 ตรรกศาสตร (LOGIC) ในบทนจ้ี ะแนะนำเกีย่ วกบั เร่ืองตรรกศาสตรเบื้องตนซึ่งเปน พ้ืนฐานสำคัญท่จี ะชว ยในการศกึ ษาวชิ า คณิตศาสตรใหไดผ ลดยี ่งิ ข้นึ 1. ประพจน (Propositions หรือ Statement) ประพจน คอื ประโยคหรือขอความที่เปน จริงหรอื เทจ็ อยางใดอยางหนงึ่ เทา นนั้ ประพจนหรอื ขอ ความท่ีมี ลกั ษณะดงั กลาวจะอยูในรูปบอกเลา หรือปฏิเสธก็ได ตวั อยา ง 1.1 จงพิจารณาประโยคตอไปนวี้ า เปน ประพจนหรือไม เพราะเหตใุ ด 1. เดือนกันยายนมี 31 วัน 2. ดาวพุธเปน ดาวเคราะห 3. อยาเดนิ ลดั สนาม 4. จงั หวัดบุรรี มั ยไ มไดอยูทางภาคใตข องประเทศไทย 5. ชวยดว ย 6. ออกไปใหพน 7.   3 8. อยากไปเทีย่ วเหลอื เกิน 9. ทำไมมาเรียนสาย 10. ขอใหเ ดินทางกลบั โดยสวสั ดภิ าพ 11. ยินดตี อ นรบั 12. 2 เปนจำนวนคู 13. นำ้ ข้ึนใหร บั ตัก 14. โอแ มเจา 15. หนูมปี ก 16. x  3  9 17. BNK48 มสี มาชกิ 48 คน 2. การเชอ่ื มประพจน ในวิชาคณติ ศาสตรหรือในชวี ติ ประจาํ วัน จะพบประโยคท่ีใชจากการเชือ่ มประโยคอ่นื ๆ ดวยคำวา “และ” “หรอื ” “ถา ...แลว” “กต็ อเมื่อ” หรือพบประโยคซง่ึ เปลย่ี นแปลงมาจากประโยคเดิมโดยเติมคำวา “ไม” คำเหลา น้ี เรยี กวา ตวั เชอ่ื ม (connectives) เชน 4 และ 8 เปนจำนวนคู ถา 3 เปนจำนวนคี่ แลว 32 เปนจำนวนค่ี รูปสามเหล่ยี มABC เปน รปู สามเหล่ยี มดานเทาก็ตอเม่ือรูปสามเหล่ยี มABC มดี า นยาวเทา กันทุกดา น เพื่อความสะดวกในการศึกษาเรือ่ งการเชื่อมประพจนจะใชอักษรทางภาษาอังกฤษตวั พิมพเลก็ เชน p,q,r,s,... แทนประพจนท ่ีนำมาเชอื่ มกัน คา ความจรงิ ของประพจนที่มตี ัวเชอ่ื มยอมขึ้นอยูกบั จำนวนประพจนที่ นำมาเช่ือมกนั ซ่ึงสามารถพิจารณาคา ความจรงิ ทีเ่ ปน ไปไดท้ังหมดโดยใช

2 T แทนจริง และ F แทนเท็จ ถา มปี ระพจนเ ดยี วคือ p จะมกี รณเี กีย่ วกับคาความจรงิ ท่ีจะเกดิ ขึ้นได 2 กรณีคือ T หรอื F ถามี 2 ประพจนค ือ p และ q จะมีกรณีเกี่ยวกับคาความจรงิ ท่ีเกิดขนึ้ ไดท้ังหมด 4 กรณซี ึง่ T และ F ของ p ตา งกจ็ บั คูกบั กรณี T และ F ของ ของ q ถา มี 3 ประพจนคือ p,q และ r จะมกี รณเี กี่ยวกับคา ความจริงทเ่ี กดิ ขึ้นไดท้ังหมด ………….. กรณี 2.1 การเชื่อมประพจนดว ยตัวเช่ือม “และ” ถา p และ q เปนประพจน ประพจนใหมท ่ีไดจากการเชื่อม p กับ q ดว ย “และ” คอื “ p และ q ” เขยี นแทนดวย p q ยกตวั อยา งประโยค \"ฉนั มปี ากกาและดนิ สอ\" และตารางคา ความจรงิ ของ p q เขยี นได ดงั นี้ pq p q TT T TF F FT F FF F 2.2 การเชอ่ื มประพจนดวยตัวเชื่อม “หรือ” ถา p และ q เปนประพจน ประพจนใหมที่ไดจากการเชื่อม p กบั q ดว ย “หรือ” คอื “ p หรอื q ” เขยี นแทนดวย p q ยกตวั อยา งประโยค \"ฉันมปี ากกาหรอื ดินสอ\"และตารางคา ความจรงิ ของ p q เขยี นได ดงั น้ี pq p q TT T TF T FT T FF F 2.3 การเชอ่ื มประพจนดว ยตวั เชื่อม “ถา...แลว ...” ถา p และ q เปนประพจน ประพจนใหมท ี่ไดจากการเชือ่ ม p กบั q ดวย “ถา...แลว...” คือ “ถา p แลว q ” เขยี นแทนดวย p  q ยกตวั อยา งประโยค \"ถาฉันสอบติดแลวจะวง่ิ รอบสนาม\"และตารางคา ความจรงิ ของ p  q เขยี นไดดังน้ี pq p q TT T TF F FT T FF T

3 2.4 การเชอ่ื มประพจนดว ยตวั เชื่อม “กต็ อ เมื่อ” ถา p และ q เปนประพจน ประพจนใหมท่ีไดจ ากการเชือ่ ม p กบั q ดวย “ก็ตอ เม่ือ” คือ “ p ก็ตอ เม่ือ q ” เขียนแทนดว ย p  q หลักการจำ \"เหมือนกนั เปน จรงิ ตา งกันเปน เทจ็ \" และตารางคา ความ จริงของ p  q เขยี นไดด ังน้ี pq p q TT T TF F FT F FF T 2.5 นเิ สธของประพจน นิเสธของประพจน p เขียนแทนดว ย  p และตารางคา ความจรงิ ของ  p เขียนไดด งั น้ี p p TF FT ตารางสรุปการเชื่อมประพจน p q p q (และ) p q (หรือ) p  q (ถา…แลว ) p  q (ก็ตอเมือ)  p TT T T T TF TF F T F FF FT F T T FT FF F F T TT ตวั อยาง 2.1 จงหาคา ความจรงิ ของประพจนตอไปนี้ 1. 0 มีคามากกวา 1 และ 7 เปน จำนวนเตม็ 2. 9 ไมเทากบั 8 หรอื 8 ไมนอยกวา 9 3. งูเหาและงจู งอางเปน สตั วม ีพิษ 4. ปลาโลมาหรือคนเปน สตั วเลือดอนุ 5. 5 เปน จำนวนเฉพาะ ก็ตอเมือ่ 5 มตี ัวประกอบคือ 1 หรอื 5

4 ตัวอยา ง 2.2 จงเขยี นขอความแทนสญั ลักษณตอไปนี้ เม่อื กำหนดให p แทนประพจน “ฉนั ซอื้ สลากกนิ แบง รัฐบาล” และ q แทนประพจน “ฉนั ถกู รางวัลท่หี น่ึง” 1.  p 2. p  q 3. p q 4. p  q 5.  p  q 6.  p  p  q ตวั อยาง 2.3 กำหนดให p,q,r,s และ t เปนประพจนท ม่ี ีคาความจริงเปน จริง เท็จ จรงิ เท็จ และเท็จ ตามลำดบั จงหาคาความจรงิ ของประพจนต อไปน้ี 1. p  q  r ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… 2. p  q  r  t ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… 3. s  p  q  r ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… 4. p  q  t  r  s ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… 5. p  q  t  s  q  r   s ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………

5 ตัวอยาง 2.4 จงหาคา ความจริงของประพจน เมื่อกำหนด 1. (p  q)  r มคี าความจริงเปนเทจ็ แลว จงหาคาความจรงิ ของ p,q,r 2. p  q มคี า ความจรงิ เปนเทจ็ แลวจงหาคาความจรงิ ของ ( p  q)  (p  q) 3. ถา p  ( q  r)  ( s  r) มีคา ความจริงเปน เท็จ แลวจงหาคา ความจรงิ ของ p,q,r และ s 3. รูปแบบของประพจนทสี่ มมูลกนั ในวิชาตรรกศาสตร ถารปู แบบของประพจนส องรูปแบบใดมีคา ความจริงตรงกันทกุ กรณีตอกรณี แลวจะ สามารถนำไปใชแ ทนกนั ได เรียกสองรปู แบบของประพจนดังกลาววาเปน รปู แบบของประพจนท่ีสมมูลกนั สญั ลกั ษณท ี่ใชแทนการสมมูลกันของประพจนค ือ  ตวั อยางที่ 3.1 กำหนดให p และ q เปนประพจน จงตรวจสอบวา p  q กับ  p q สมมูลกนั หรือไม ………………………….…..………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยางที่ 3.2 กำหนดให p และ q เปน ประพจน จงตรวจสอบวา p  q กบั  p q สมมูลกนั หรือไม ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา งที่ 3.3 กำหนดให p และ q เปน ประพจน จงตรวจสอบวา  p  q กับ  p  q สมมลู กัน หรอื ไม ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา งที่ 3.4 กำหนดให p และ q เปนประพจน จงตรวจสอบวา p  q  q  p กับ p  q สมมลู กันหรือไม ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………

6 3.1 รปู แบบของประพจนท ่ีสมมลู กนั ทีน่ าสนใจ มีดงั น้ี 2. p  q  q  p 1.   p  p 4.  p  q  p  q 3. p  q  q  p 6. p  q  q  p 5.  p  q  p  q 8.  p  q  p  q 10. p  q  p  q  q  p 7. p  q  p  q 12.  p  q  p  q  q  p 14. p  q  r   p  q  p  r  9. p  q  p  q 16. p  q  r   p  q  r  11. p  q   q  p   p  q 18. p  p  T 13. p  q  r   p  q  p  r  15. p  q  r  p  q  p  r 20. p  p  p 17. p  q  r  p  r  q  r 22. p  p  F 24. p  F  p 19. p  p  F 26. p  F  F 21.  p  p  p 28. p  F  p 23. p T  T 30. F  p  T 25. p T  p 32. p  F  p 27. p  T  T 29. T  p  p 31. p  T  p 4. สจั นริ นั ดร รปู แบบของประพจนท ่มี ีคาความจรงิ เปน จริงทุกกรณี เรียกวา สจั นิรนั ดร (Tautology) ตัวอยา งที่ 4.1 กำหนดให p และ q เปนประพจน จงตรวจสอบวา รูปแบบของประพจน p  q  p  q เปน สัจนิรนั ดรหรือไม ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา งที่ 4.2 กำหนดให p และ q เปนประพจน จงตรวจสอบวา รูปแบบของประพจน p  q  q  p เปน สัจนิรนั ดรห รอื ไม ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………

7 ตวั อยางที่ 4.3 กำหนดให p และ q เปนประพจน จงตรวจสอบวา รูปแบบของประพจน  q  p  q  p เปน สัจนริ ันดรห รือไม ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… 5. การอางเหตุผล การอา งเหตผุ ลคอื การอา งวา เมอื่ มขี อ ความ P1,P2,P3,...,Pn ชดุ หน่ึง แลว สามารถสรุปขอ ความ C ขอความหนงึ่ ได การอา งเหตผุ ลประกอบดว ยสว นสำคญั สองสว นคอื เหตุหรือสง่ิ ท่ีกำหนดให ไดแก ขอความ P1,P2,P3,...,Pn และผลหรือขอสรปุ ไดแก ขอความ C การอางเหตุผลจะสมเหตสุ มผลหรอื ไมส มเหตุสมผลก็ได ซ่ึงสามารถตรวจสอบสอบไดโดยใชต วั เชอื่ ม  เชอื่ มเหตุเขาดวยกัน และใชต วั เชื่อม  เชอ่ื มสว นที่เปน เหตุกับ ผลดงั น้ี  P1  P2  P3  ...  Pn  C ถารปู แบบ  P1  P2  P3  ...  Pn  C เปนสจั นริ ันดร จะกลา ววา การอางเหตผุ ลนี้ สมเหตุสมผล (Valid) แตถ า รปู แบบ P1  P2  P3  ...  Pn   C ไมเ ปนสจั นิรนั ดร กก็ ลา ววา การอางเหตผุ ลนี้ ไม สมเหตสุ มผล (Invalid) ดงั นั้น ในการตรวจสอบความสมเหตสุ มผล จงึ ใชวิธเี ดยี วกับการตรวจสอบสัจนิรนั ดร ตัวอยางท่ี 5.1 กำหนดให p และ q เปนประพจน จงพจิ ารณาวาการอางเหตุผลน้สี มเหตุสมผลหรือไม เหตุ 1. p  q 2. p ผล q ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยางที่ 5.2 กำหนดให p และ q เปนประพจน จงพจิ ารณาวาการอา งเหตุผลนส้ี มเหตสุ มผลหรือไม เหตุ 1. p  q 2.  p ผล  q ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………

8 ตัวอยางที่ 5.3 จงพิจารณาวาการอา งเหตผุ ลตอไปนี้สมเหตสุ มผลหรอื ไม เหตุ 1. ถา ฝนตกแลว หลังคาบา นเปย ก 2. หลังคาบานไมเปยก ผล ฝนไมตก ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยา งที่ 5.4 จงพิจารณาวาการอา งเหตุผลตอไปน้สี มเหตุสมผลหรอื ไม เหตุ 1. ถาเสือไดกินเหยอ่ื แลวเสอื จะมคี วามสุข 2. เสอื มีความสุข ผล เสือไดกินเหย่ือ ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยางที่ 5.6 จงพิจารณาวาการอางเหตผุ ลตอไปนสี้ มเหตุสมผลหรือไม เหตุ 1. ถา นายเสือใหญไปทำงาน แลว นายเสือเล็กอยบู าน 2. ถานายเสือเล็กไมอยูบาน แลวนางสาวเปเปน คนดูแลบาน 3. นางสาวเปไมไ ดเปน คนดูแลบา น ผล นายเสือใหญไมไดไ ปทำงาน ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………

9 แบบฝก หัดที่ 1 1. กำหนดให p,q,r และ s เปน ประพจน จงสรางตารางแสดงคาความจรงิ ของรูปแบบของประพจน ตอไปน้ี 1.1 p  q  p 1.2 p  q  p  q 1.3 p   p  q 1.4  q  p  q  p 1.5 q  p  r 1.6 q  r  r  p 1.7 p  q  p  s  r  s 2. จงพิจราณาวา รูปแบบของประพจนตอไปนีส้ มมูลกับรปู แบบของประพจนในขอใด 2.1 p  q  r ก. p  r  q  r ข. p  r  q  r 2.2 p  r  q  r ก.  p  q  r ข.  p  q  r 2.3  p  q   q  r  ข. p  q  r ก. p  q  q  r 2.4  p  q  r  p ข.  p  q  r ก. p  q  r 2.5 p  q  p ก.  p   p  q ข.  p  p  q 2.6 p  q ก. p  q  q  p ข.  q  p   q  p 3. จงตรวจสอบรปู แบบของประพจนท ่กี ำหนดใหวา เปน สจั นิรันดรห รอื ไม 3.1  p  q   p  q 3.2 p  q  p  q   p  q 3.3  p  q  p  q 3.4 p  q  p  r   p  q  r  3.5 p  r   q  r   p  q  r  3.6 p  q  r   p  q  r 

10 3.7 p  q  p  p 3.8  p   p  q   p  q 3.9  p  q  q 3.10  p  p  q  q 3.11 p  q  q  r  p  r  3.12 p  q  p  r  q  r   r 4. กำหนดให p,q,r,s และ t เปน ประพจน จงตรวจสอบวา การอางเหตุผลตอ ไปน้สี มเหตสุ มผลหรอื ไม 4.1 เหตุ 1. p q 2. p  q  r  ผล r 4.2 เหตุ 1. p  q  r  s 2.  r  s ผล  q 4.3 เหตุ 1. p  q  r 2.  q  r ผล  p 4.4 เหตุ 1. p q 2.  p  r 3.  r ผล p 4.5 เหตุ 1. p  q 2. p  r 3. p  s ผล r  s 4.6 เหตุ 1. p  q 2. r  p 3. q 4. r  t ผล t

11 5. จงตรวจสอบวา การอางเหตุผลในแตล ะขอตอ ไปนี้สมเหตสุ มผลหรอื ไม 5.1 เหตุ 1. 2 เปนจำนวนเฉพาะ หรอื 4 เปน จำนวนเฉพาะ 2. 2 ไมเ ปนจำนวนเฉพาะ ผล 4 ไมเปนจำนวนเฉพาะ 5.2 เหตุ 1. ถา นายหยกสรา งบา นหลงั ใหมเสร็จ แลวครอบครัวของนายหยกจะยายมาอยดู ว ย 2. ถาครอบครวั ของนายหยกยา ยมาอยดู ว ย แลว นายหยกจะไดด แู ลพอแมทชี่ ราแลว ผล ถานายหยกสรางบา นหลังใหมเสรจ็ แลว นายหยกจะไดดแู ลพอ แมทชี่ ราแลว 5.3 เหตุ 1. ถานายโอมทำยอดขายตามเปาหมายท่ีผูจกั การตง้ั ไว แลว นายโอมจะไดรับโบนัส 2. นายโอมทำยอดขายตามเปาหมายทผ่ี ูจกั การตง้ั ไว ผล นายโอมไดรบั โบนสั 5.4 เหตุ 1. ถานายออกมีกำลงั ใจ แลวนายออ กจะไปหาหมอ 2. นายออกไปหาหมอ ผล นายออกมกี ำลงั ใจ 5.5 เหตุ 1. นาย A ซ้ือสนิ คาโดยใชบัตรเครดิต หรือนาย A ซ้ือสนิ คา โดยใชเ งนิ สด 2. นาย A ไมไดซ ือ้ สินคาโดยใชบัตรเครดติ ผล นาย A ซือ้ สินคา โดยใชเงนิ สด 5.6 เหตุ 1. ถาไฟฟาดับ แลว โรงแรมตองใชเครื่องปน ไฟ 2. ถา โรงแรมตองใชเ คร่อื งปนไฟ แลว ลฟิ ตจะทำงานไมไ ด ผล ถาไฟฟา ดับ แลว ลฟิ ตจ ะทำงานไมได

12 บทที่ 2 ระบบเลขฐาน (NUMBER BASES) ววิ ฒั นาการของระบบตัวเลขจากสมัยโบราณ เปน แบบตัวเลขไมม หี ลกั ใชคำนวณไมไ ด ตอมาจึงสรา งตวั เลขที่มีหลักขน้ึ และมีฐานของตัวเลขแตกตา งกัน แตใชกันอยา งแพรห ลายคือตวั เลขฮนิ ดูอารบกิ ทร่ี ูจ ักกนั ในระบบ ตวั เลขฐานสิบ ตัวเลขเหลา นม้ี ีคา ประจำหลกั ทจี่ ะแสดงคา รวมกบั ตัวเลขที่ปรากฏอยใู นตำแหนง นน้ั ระบบตวั เลข ฐานสอง เปน ระบบที่สอดคลองกบั สภาวะของเครื่องมือทางอิเล็กทรอนิกสทม่ี สี ภาพเปดปดจงึ จะเหมาะสมกบั เคร่อื งคอมพิวเตอรม ากที่สุดผูใชงานปอนขอมลู เขาเลขฐานสบิ คอมพวิ เตอรร บั ขอมูลไปเปลี่ยนเปน เลขฐานสอง เม่ือประมวนผลเสร็จใหผ ลลพั ธออกมาเปน เลขฐานสบิ 1. ระบบตัวเลขฐานสบิ ระบบตัวเลขฮนิ ดูอารบิกเปนระบบตวั เลขฐานสิบ ไดช ื่อมาจากชนชาติฮนิ ดูซ่งึ เปน ผคู ดิ ระบบนี้ และชนชาติ อาหรับซ่งึ เดนิ ทางติดตอคา ขายระหวางอนิ เดียและยโุ รป ไดนำระบบตัวเลขน้ีไปเผยแรใ นยโุ รป หลักฐานท่เี กา แก ที่สุดซง่ึ ตัวเลขนปี้ รากฎอยคู ือ เสาหนิ ในประเทศอนิ เดยี ซ่ึงเช่ือวาสรางในสมยั พระเจา อโศกมหาราช ประมาณ 250 ปก อนครสิ ตศักราช ในสมยั ตน ๆ ยงั ไมมีการใชตัวเลขศนู ย อยา งไรกต็ ามหลักฐานการใชตัวเลขศนู ยปรากฎใน หนังสอื ซ่ึงเขียนเมือ่ ประมาณ ค.ศ. 800 สญั ลักษณหรือเลขโดดท่ีใชใ นระบบตัวเลขฐานสิบคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ตวั เลขเหลาน้ีใช เขยี นแทนจำนวนใดขนึ้ อยกู บั หลักท่ปี รากฎอยูและคาประจำหลกั น้ัน ตารางแสดงหลกั และคา ประจำหลักในระบบตัวเลขฐานสิบ หลกั ท่ี ... เจ็ด หก หา สี่ สาม สอง หนง่ึ คาประจำหลัก ... 106 105 104 103 102 101 100 การเขียนตวั เลขแทนจำนวนในระบบตัวเลขฐานสิบ เชน 2,598,107 มคี วามหมายดังนี้ 2, 598,107  2 106  5105  9 104  8 103  1102  0 101  7 100 เรียกประโยคขางตนวาการเขียน 2,598,107 ในรูปกระจาย ในท่นี ้ี 7 อยูในหลักท่หี น่งึ 7 มีคาเปน 7 100 0 อยูใ นหลกั ทส่ี อง 0 มีคาเปน 0101 1 อยูใ นหลกั ท่ีสาม 1 มีคา เปน 1102 8 อยใู นหลักทส่ี ่ี 8 มคี าเปน 8103 9 อยูใ นหลักทห่ี า 9 มีคาเปน 9104 5 อยูในหลักทหี่ ก 5 มคี า เปน 5105 2 อยูในหลักทเ่ี จ็ด 2 มคี า เปน 2106 ตัวอยางที่ 1.1 จงบอกวา 7 ในแตล ะจำนวนตอ ไปนม้ี ีคา เทา ไร 1) 7 2) 78 3) 87 4) 17,349 5) 430,701 6) 7,149,654 ตัวอยางที่ 1.2 จงเขียนจำนวนตอ ไปน้ีในรปู การกระจาย

13 1) 7 2) 78 3) 87 4) 17,349 2. ระบบตัวเลขฐานสอง การเขยี นตวั เลขในระบบตวั เลขฐานสองมหี ลักการเชน เดยี วกบั การเขียนตวั เลขในระบบตัวเลขฐานสิบ ใน ระบบตวั เลขฐานสองใชเลขโดดเพียงสองตวั คือ 0 และ 1 คาประจำหลกั อยใู นรปู เลขยกกำลงั ท่ีมฐี านเปนสอง และ คา ประจำหลักในระบบตัวเลขฐานสองแสดงดงั ตารางตอไปนี้ ตารางแสดงหลักและคาประจำหลกั ในระบบตวั เลขฐานสอง หลักท่ี ... เจ็ด หก หา สี่ สาม สอง หนึ่ง คา ประจำหลกั ... 26 25 24 23 22 21 20 การเขียนตวั เลขแทนจำนวนในระบบตวั เลขฐานสอง เชน 1101012 มคี วามหมายดังน้ี 1101012  125  124  023  122  021  120 เรยี กประโยคขางตน วา การเขียน 1101012 ในรูปกระจาย ในทนี่ ้ี 1 อยใู นหลักท่หี น่งึ 1 มคี า เปน 120 0 อยูในหลกั ทสี่ อง 0 มคี าเปน 021 1 อยใู นหลกั ที่สาม 1 มีคาเปน 122 0 อยูใ นหลกั ทส่ี ่ี 0 มีคาเปน 023 1 อยูในหลักที่หา 1 มีคาเปน 124 1 อยใู นหลักที่หก 1 มีคา เปน 125 ผลลัพธทหี่ าไดจาก 125  124  023  122  021  120 คอื 53 ซ่ึง เปน คา ของ 1101012 ทีเ่ ขยี นในระบบตัวเลขฐานสบิ นั่นคือ 1101012  53 ตวั อยา งที่ 2.1 จงเขยี น 10112 ใหอ ยูใ นระบบตัวเลขฐานสบิ ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา งที่ 2.2 จงเขียน 1100102 ใหอ ยูในระบบตัวเลขฐานสิบ ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา งที่ 2.3 จงเขียน 12.34 ใหอ ยใู นระบบตัวเลขฐานสิบ

14 ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยางที่ 2.4 จงเขียน 2.235 ใหอยูในระบบตัวเลขฐานสบิ ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… 3. การเปลี่ยนฐานตาง ๆ ในระบบตัวเลข ตวั อยางที่ 3.1 จงเขียน 37 ใหอ ยใู นระบบตัวเลขฐานสอง ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา งที่ 3.2 จงเขียน 139 ใหอยใู นระบบตวั เลขฐานสอง ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยางที่ 3.3 จงเขียน 1021 ใหอยใู นระบบตวั เลขฐานเจด็ ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยางที่ 3.4 จงเขยี น 42.375 ใหอ ยใู นระบบตัวเลขฐานสอง ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยา งที่ 3.4 จงเขียน 324.024 ใหอยใู นระบบตวั เลขฐานหา ………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………

15 ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยางที่ 3.5 จงเขยี น 203.57 ใหอ ยใู นระบบตัวเลขฐานสิบหา ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ระบบตัวเลขฐานท่ีมีฐานตง้ั แตส ิบเอด็ ข้นึ ไป การเขียนตวั เลขในระบบตวั เลขทม่ี ีฐานตงั้ แตส บิ เอด็ ข้นึ ไป มีหลักการเชน เดียวกับการเขียนตวั เลขในระบบ ตัวเลขฐาน ตา ง ๆ ในระบบตัวเลขฐานท่ีมีฐานตั้งแตสิบเอด็ ข้นึ ไป มสี ญั ลกั ษณท่ใี ชเ พิ่มเติมดังนี้ - สญั ลักษณหรือเลขโดดท่ีใชใ นระบบตวั เลขฐานสิบเอด็ คอื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ A (ซง่ึ A มีคา เทากับ 10) - สัญลักษณห รือเลขโดดที่ใชใ นระบบตวั เลขฐานสบิ สองคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A และ B (ซึง่ B มคี าเทากับ 11) - สญั ลกั ษณห รือเลขโดดที่ใชในระบบตัวเลขฐานสบิ สามคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B และ C (ซงึ่ C มีคา เทา กับ 12) - สญั ลักษณห รือเลขโดดที่ใชใ นระบบตัวเลขฐานสบิ สามคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C และ D (ซง่ึ D มีคา เทา กบั 13) - สญั ลกั ษณหรือเลขโดดที่ใชใ นระบบตวั เลขฐานสบิ สามคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D และ E (ซึ่ง E มีคา เทากับ 14) - สญั ลกั ษณห รือเลขโดดทใี่ ชในระบบตัวเลขฐานสิบสามคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E และ F (ซึง่ F มีคาเทา กบั 15) ตวั อยางที่ 4.1 จงเขยี น 2A011 ใหอ ยูในระบบตัวเลขฐานสบิ ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยางที่ 4.2 จงเขียน 1D9B16 ใหอ ยใู นระบบตัวเลขฐานสบิ

16 ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยางที่ 4.3 จงเขียน 981 ใหอ ยใู นระบบตัวเลขฐานสบิ สอง ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยางที่ 4.4 จงเขียน 3,275 ใหอยูใ นระบบตวั เลขฐานสบิ หา ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… 5. การบวก ลบ คณู และหาร ของตวั เลขฐานตา ง ๆ การบวก ลบ คณู และหาร ของตวั เลขฐานตา ง ๆ ท่ีไมใชฐานสบิ สามารถทำไดเชนเดยี วกับตัวเลขฐานสบิ คือมีการทดและยืมในฐาน x ถายืมมา 1 จะมคี าเทากับ x ตวั อยา งที่ 6.1 จงหาคาของ 35678  27568 ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………

17 ตวั อยา งที่ 5.2 จงหาคาของ 2314  2324 ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา งที่ 5.3 จงหาคา ของ 2345 3415 ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยางที่ 5.4 จงหาคาของ 1627 257 ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา งที่ 5.5 จงหาคาของ 85619  27389 ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………

18 ตัวอยา งที่ 5.6 จงหาคา ของ 32214  3024 ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยางที่ 6.7 จงหาคาของ 40356  126 ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอยางที่ 6.8 จงหาคาของ 1101012  112 ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………