LECTURE NOTES MAT183 CALCULUS for CS110 Students UiTM Kampus Raub MARCH 2020 - JULY 2020 Prepared by Fairuz Shohaimay
Lecture Notes and Exercises Semester March – July 2020 MAT183: Calculus I Prepared by Fairuz Shohaimay Intended for use by CS110 Students of UiTM Kampus Raub ONLY
Lesson Plan for Semester: March 2020 – July 2020 COURSE LEARNING OUTCOMES (CLO) CLO1: Apply the properties of function, limit and continuity, techniques of differentiation and integration (C3) CLO2: Analyse appropriate graph of polynomial or rational function in solving related mathematical problems using calculus (C4) CLO3: Demonstrate autonomous learning skills in calculus (A3) MONTH FEB MARCH APRIL MAY JUNE JULY 24 9 16 8 15 29 6 13 DATE (MONDAY of the week) 1 2 34 23 30 13 20 27 4 11 18 13 14 2 5 6 LECTURE WEEK 7 8 9 10 11 12 Functions, Limits and Continuity Differentiation Applications of Differentiation Integration Applications of the Definite Integral CHAPTER 6/4 – 12/4 MID-SEMESTER BREAK 25/5 – 7/6 SPECIAL BREAK 22/6 – 28/6 REVISION WEEK Q1 T1 A1 Q2 A2 FINAL A3 A4 EXAMINATION CONTINUOUS ASSESSMENT (50%) T2 Assessment Type Assessment Description Marks % of Total Marks 15 5 Q1 Quiz 1 Written Quiz: Limits and Continuity 30 10 30 10 T1 Test 1 Written Test: Limits, Continuity and Differentiation 15 5 30 10 A1 Assignment 1 Lab Assignment: Application of Differentiation 30 10 Q2 Quiz 2 Written Quiz: Integration A2 Assignment 2 Group Assignment: Application of Differentiation and Integration T2 Test 2 Written Test: Integration and Application of Definite Integral
Contents 1 1 CHAPTER 1: FUNCTIONS, LIMITS AND CONTINUITY 2 3 1.1 Functions: Brief Review 4 1.1.1 Operations on Functions 6 1.1.2 Piecewise Function 8 11 1.2 Limits 12 1.2.1 Computing Limits by Direct Substitution 15 1.2.2 Computing Limits by Factorization 17 1.2.3 Computing Limits by Multiplication of Conjugate 22 1.2.4 Infinite Limits 22 1.25 Computing Limits at Infinity ������ → ∞ 22 1.2.6 Vertical and Horizontal Asymptotes 24 1.3 Continuity 26 1.4 Limits and Continuity of Trigonometric Functions 26 34 1.4.1 Direct Substitution 34 1.4.2 Squeezing Theorem 34 1.4.3 Limit of Composite Function 35 37 CHAPTER 2: DIFFERENTIATION 38 39 2.1 Introduction 43 2.2 Definition of Derivatives 49 2.3 Techniques of Differentiation 51 54 2.3.1 Derivative of a Constant Function ������ 2.3.2 Derivative of a Power Function ������������ 2.3.3 Derivative of Sums and Differences of Functions 2.3.4 Derivative of Multiplication of Two Functions: Product Rule 2.3.5 Derivative of Division of Two Functions: Quotient Rule 2.3.6 Derivative of Composite Function: Chain Rule 2.3.7 Derivative of Trigonometric Function: Trigonometric Rules 2.3.8 Derivative of Exponential Function: Exponential Rule 2.3.9 Derivative of Logarithmic Function: Logarithmic Rule 2.3.10 Implicit Differentiation 1
CHAPTER 3: APPLICATIONS OF DIFFERENTIATION 61 64 3.1 Tangent Lines 67 3.2 Linear Approximation and Differentials 70 3.3 Related Rates 79 3.4 Graph of Polynomial Function 87 3.5 Graph of Rational Function 94 3.6 Applied Maximum and Minimum Problems 3.7 Rolle’s Theorem and Mean Value Theorem 96 96 CHAPTER 4: INTEGRATION 96 97 4.1 Anti-Derivatives 97 4.2 Indefinite Integral 98 98 4.2.1 Integration of a Constant Function 101 4.2.2 Integration of a Power Function 107 4.2.3 Integration of Sums and Differences of Functions 111 4.2.4 Integration of Trigonometric Functions 115 4.2.5 Integration of Exponential and Reciprocal Functions 4.3 Integration by Substitution 117 4.4 Definite Integral 121 4.4.1 Properties of Definite Integral 121 4.5 Second Fundamental Theorem of Calculus 124 127 CHAPTER 5: APPLICATIONS OF THE DEFINITE INTEGRAL 5.1 Area between Two Curves 5.2 Volume of Solid by Revolution 5.2.1 Volume by Disk Method 5.2.2 Volume by Washer Method 5.2.3 Volume by Cylindrical Shell Method 2
Chapter 1 Functions, Limits and Continuity 1.1 Functions: Brief Review Definition 1.1 A function ������, or a mapping from ������ to ������, is a correspondence between two sets ������ and ������ that assigns every element ������ of ������ to one and only one element ������ of ������, denoted by ������: ������ → ������, or ������(������) = ������, if (������, ������) ∈ ������ 1.1.1 Operations on Functions (������ + ������)(������) = ������(������) + ������(������) (������ − ������)(������) = ������(������) − ������(������) a. Addition (������ ⋅ ������)(������) = ������(������) ⋅ ������(������) b. Subtraction c. Multiplication ������ ������(������) d. Division (������) (������) = ������(������) e. Composite (������ ∘ ������)(������) = ������(������(������)) Example 4.1 For ������(������) = ������2 + 3 and ������(������) = 2������, compute the following functions. a. ������(������) + ������(������) b. (������ − ������)(2) c. (������ ∙ ������)(������) d. ������ (−3) e. (������ ∘ ������)(������) (������) f. (������ ∘ ������)(4) 1
1.1.2 Piecewise Function 1. Piecewise function is a function defined by more than one functions in certain intervals. Example 4.2 Consider the following piecewise function defined as 2 − ������ ; ������ ≤ −2 ������(������) = {������2 − 1 ; −2 < ������ < 1 4 ; ������ > 1 Find the value of the following functions. b. ������(−2) a. ������(−4) c. ������(0) d. ������(1) e. ������(4) f. 1 ������ (3) 2
1.2 Limits 1. Limit of a function can be determined by looking at its graph. Example 4.3 Complete the table and plot the graph for ������(������) = ������2 − 1 . ������ ������(������) −0.1 −0.01 −0.001 0 0.001 0.01 0.1 Left-handed limit lim ������(������) = One-sided limit ������→0− Two-sided limit Right-handed limit lim ������(������) = ������→0+ lim ������(������) = ������→0 Example 4.4 Find the following limits based on the graph of function ℎ(������). a. lim ℎ(������) = b. lim ℎ(������) = ������→−1− ������→−1+ c. lim ℎ(������) = d. ℎ(−1) = ������→−1 e. ������l→im4− ℎ(������) = f. lim ℎ(������) = ������→4+ g. lim ℎ(������) = h. ℎ(4) = ������→4 3
2. Computational approach to evaluate limits can be presented as in the following figure. 1.2.1 Computing Limits by Direct Substitution Example 4.5 Basic substitution rule for computing limits No. Rule Example 1 Example 2 1. lim ������ = ������ 2. lim 5 = 5 lim ln(3) = 3. ������→������ ������→−2 ������→������ lim ������ = ������ lim 2������ = 2(0) = 0 lim(������ + ℎ) = ������→������ ������→0 ℎ→4 lim ������������ = ������������ lim ������4 = 14 = 1 lim ������2 = ������→������ ������→1 ������→−3 3 4. lim ���√��� ������ lim 2√3������ = 2√3(7) = 2√21 lim 1 = ������→������ ������→7 ������→8 3√������ 4
Tutorial 1.1 b. lim sin ������ Evaluate the following limits. ������→������ a. lim (������2 + 2������ − 1) ������→−2 c. ������ + 3 d. ������3 − 2 lim lim ������ − 3 ������2 − 2 ������→−3 ������→2 e. lim(√������ + √3) f. 1 lim ������→1 ������→12 √������ + 4 g. lim cos ������ h. (������ − ℎ)2 ������→0 ������ + 1 lim ℎ−1 ℎ→0 i. ������3 j. ������ − 1 lim ( + 2������) lim 3 ������→4 √������ + 1 ������→3 5
1.2.2 Computing Limits by Factorization Example 1.2 a) Evaluate the following limit by direct substitution. lim ������2 − 4 ������→2 ������2 + 4������ − 12 Can you use direct substitution to compute the limit? Why? Answer: b) Compute the limit by using factorization. lim ������2 − 4 ������→2 ������2 + 4������ − 12 6
Tutorial 1.2 Compute the following limits. a. ������2 + 2������ + 1 b. ������2 − 2������ lim lim ������ + 1 ������2 − 6������ + 8 ������→−1 ������→2 c. 2������ d. (������ − 4)(������2 + ������ − 6) lim lim ������2 + ������ ������2 − 6������ + 8 ������→0 ������→2 7
1.2.3 Computing Limits by Multiplication of Conjugate Example 1.3 a) Evaluate the following limit by direct substitution. ������ + 2 lim ������→−2 √������ + 2 Can you use direct substitution to compute the limit? Why? Answer: b) Compute the limit by multiplying the function with its conjugate. ������ + 2 lim ������→−2 √������ + 2 8
Example 1.4 Evaluate the limit. lim √������ − 3 ������ − 9 ������→9 9
Tutorial 1.3 Compute the following limits. a. ������ − 4 b. √������ + 3 − 2 lim ������→4 √������ − 2 lim ������ − 1 ������→1 c. ������ − 9 d. √������2 + 11 − 6 lim lim ������→9 2������√������ − 9 ������ − 5 ������→5 10
1.2.4 Infinite Limits 1. Limit of a function can take a value of positive infinity (+∞) or negative infinity (−∞). Example 4.6 Based on the graphs, find the following limits. lim 1 ������→−1+ ������ + 1 lim 1 ������→−1− ������ + 1 lim 1 ������→−1+ (������ + 1)2 lim 1 ������→−1− (������ + 1)2 11
1.2.5 Computing Limits at Infinity ������ → ∞ 1. For ������ > 0, the following rules can be applied. lim 1 = 0 lim 1 = 0 ������→+∞ ������������ ������→−∞ ������������ 2. General shape of the graph 1 1 ������������ , ������ is odd ������������ , ������ is even 3. For rational functions, divide numerator and denominator by the highest power of ������ in the denominator. Example 4.7 Compute the following limits. a. ������ + 2 b. ������2 + 2������ lim lim 2������ − 3 3 − 2������ − ������3 ������→∞ ������→∞ 12
4. For radical functions, the calculation is presented in the following example. Example 4.8 Compute the following limits. a. √������2 + 7 b. 3������ + 1 lim lim 3������ +1 ������→−∞ √������2 + 7 ������→∞ 13
Tutorial 1.4 Compute the following limits. a. lim 3������ + 2 b. lim 2 ������→∞ 2������ − 3 ������→∞ 5 − ������ c. 5������7 − 4������5 d. √5������2 + 2 lim lim 2������4 − 3������7 ������ + 4 ������→∞ ������→−∞ 14
1.2.6 Vertical and Horizontal Asymptotes Definition 1.2 The line ������ = ������ is a vertical asymptote of the graph ������(������) if lim ������(������) = ±∞ or lim ������(������) = ±∞ ������→������− ������→������+ Example 4.9 Consider the following graph lim ������ − 2 = ������→−1+ ������ + 1 ������ − 2 ������→lim−1− ������ + 1 = Vertical asymptote: Definition 1.3 The line ������ = ������ is a horizontal asymptote of the graph ������(������) if lim ������(������) = ������ or lim ������(������) = ������ ������→+∞ ������→−∞ Example 4.10 Consider the following graph lim ������ − 2 = ������→−1+ ������ + 1 lim ������ − 2 = ������→−1− ������ + 1 Horizontal asymptote: 15
Tutorial 1.5 Find the vertical and horizontal asymptotes of the following functions. a. 2 + 3������ ������(������) = ������ − 2 b. 4 − ������ ������(������) = 5������ + 3 16
1.3 Continuity 1. Consider the following graph of a piecewise function. Is the function continuous at ������=−2? Is the function continuous at ������=4? Definition 1.2 A function ������(������) is continuous at ������ = ������, if it satisfies the following conditions. i. ������(c) is defined ii. lim ������(������) exists, that is ������→������ lim ������(������) = lim ������(������) ������→������− ������→������+ iii. lim ������(������) = ������(������) ������→������ Example 4.11 Given the following piecewise function, ������(������) = {������������2−−24,, ������ < −2 ������ ≥ −2 Determine if ������(������) is continuous at ������ = −2. 17
Example 4.12 Given the following piecewise function, ������(������) = {������������2+−39,, ������ ≤ −3 ������ > −3 Determine if ������(������) is continuous at ������ = −3. 18
Example 4.13 Let ������2 − ������ ; ������ ≤ −3 ������(������) = { 25 ; −3 < ������ ≤ 2 √������ + ������ ; ������ > 2 i. Find the value of ������ such that lim ������(������) exists. ������→−3 ii. If the function ������(������) is continuous at ������ = 2, what is the value of ������? 19
Tutorial 1.6 a. Past Semester Question: October 2016 Q1(b) Let 3������3 + 2������ + 8 , ������ ≤ −2 ������(������) = {3 (2������ + 2) + ������ , − 2 < ������ ≤ 0 2 2������2 + 6 , ������ > 0 i. Find the value of ������ such that lim ������(������) exists. ������→−2 ii. Determine whether the function is continuous at ������ = 0. 20
b. Past Semester Question: January 2018 Q1(b) The function ������(������) is defined as follows: 6 ������ + 1 , ������ < 2 ������(������) = |������ − 4|, ������ = 2 ������ + 2 {√������ + 2 , ������ > 2 i. Find lim ������(������) lim ������(������). ������→−∞ ������→7 ii. Determine whether the function is continuous at ������ = 2. 21
1.4 Limits and Continuity of Trigonometric Functions 1.4.1 Direct Substitution 1. If ������ is any number in the natural domain of the stated trigonometric functions, then Rule Example a. lim sin ������ = sin ������ lim sin 2������ = ������→������ ������→������ b. lim cos ������ = cos ������ lim cos ������ = ������→������ ������→30° c. lim tan ������ = tan ������ lim tan ������ = ������→������ ������→������ 4 d. lim csc ������ = csc ������ lim csc 1 = ������→������ ������→������ ������ e. lim sec ������ = sec ������ lim sec ������2 = ������→������ ������→0 f. lim cot ������ = cot ������ lim cot ������ = ������→������ ������→90° 2 1.4.2 Squeezing Theorem 1. Sometimes it is difficult to calculate limit by direct substitution. Therefore, the following rule can be applied. lim sin ������ =1 lim 1 − cos ������ =0 ������→0 ������ ������→0 ������ Example 4.14 Evaluate the following limit. lim sin 3������ ������→0 ������ 22
Example 4.15 Evaluate lim tan 2������ ������→0 ������ Example 4.16 Find the value of the limit lim sin 3������ ������→0 sin 7������ 23
1.4.3 Limit of Composite Function 1. If lim ������(������) = ������ and ������ is continuous at ������, then ������→������ lim ������(������(������)) = ������(������) ������→������ or lim ������(������(������)) = ������ (lim ������(������)) ������→������ ������→������ Example 4.17 Compute the limit. lim [cos (������2 − 4 )] ������→2 ������ − 2 Example 4.18 Find lim (cos (������3 ������2 2)) ������→∞ + 24
Tutorial 1.7 Compute the following limits. a. sin 5������ b. 2(1 − cos ������) lim lim 2������ ������ ������→0 ������→0 c. cos ������ d. 3������ ���l���i→m���2��� cot ������ lim ������→0 tan √3������ e. ������2 + 1 f. 2������ − 3 sin ������ lim (sin (3 ������2)) lim − 5������ ������→∞ ������→0 25
Chapter 2 Differentiation 2.1 Introduction For ������ = ������(������), the derivative of ������ can be written as follows. ������′ = ������′(������) Differentiate ������ with ������������ = ������′(������) respect to ������ ������������ 2.2 Definition of Derivatives Definition 2.1 The derivative of a function ������ at ������ is defined as ������′(������) = lim ������(������ + ℎ) − ������(������) ℎ ℎ→0 provided this limit exists. This method is called The First Principle Method. Example 3.1 Use definition to find ������′(������). ������(������) = ������2 − 2������ + 1 26
Example 3.2 Find the derivative of the following function using the first principle method. 1 ������(������) = 2 − 3������ 27
Example 3.3 Use definition to find ������′(������). ������(������) = √2������ + 1 28
Example 3.4 Use the definition of derivative to differentiate the function. 2 ������ = √������ + 1 29
Tutorial 2.1 Find the derivative of the following function. a. ������ = 5������ − 2������2 30
Find the derivative of the following function. b. 1 ������ = ������2 − 1 31
Find the derivative of the following function. c. 1 ������ = √1 − 2������ 32
Find the derivative of the following function. d. ������ = 2√2 + ������ 33
2.3 Techniques of Differentiation 2.3.1 Derivative of a Constant Function ������ If ������ is any real number, then If ������ = ������, then ������ (������) = 0 ������������ ������������ ������������ = 0 Example 3.5 Solve the following differentiation. a. ������ (������) = b. ������ c. ������ 1 ������������ ������������ (√3) = ������������ (− 5) = 2.3.2 Derivative of a Power Function ������������ If ������ = ������������, then For any real number ������ and constant ������, then ������������ = ������������������−1 ������������ ������ ������������ (������������ ) = ������������������−1 ������ (������������������ ) = ������������������������−1 If ������ = ������������������ , then ������������ ������������ = ������������������������−1 ������������ Example 3.6 Find ������������ for the following functions. ������������ a. ������ = ������4 b. 1 ������ = ������6 c. ������ = 4������10 d. 1 ������ = 4√������ 34
2.3.3 Derivative of Sums and Differences of Functions For functions ������ and ������ are differentiable at ������, then so are ������ ± ������ and ������ (������(������) ± ������(������)) = ������ (������(������)) ± ������ (������(������)) ������������ ������������ ������������ = ������′(������) ± ������′(������) Example 3.7 Find ������������ for the following functions. ������������ a. ������4 + 6������2 − ������ b. ������ = √3������2 + 2 ������ = 2 ������3 c. 3 − 5������ d. 7 1 ������ = 3√������ ������ = ������6 + 2������2 35
Tutorial 2.2 b. 3√2������5 + 4������ − 1 Differentiate the following functions. ������ = ������3 a. ������ = ������ − ������5 c. ������ = 2������4(������ + 1) d. ������ = 5������3 − 7������ − √2 + 3 ������2 e. ������ = (3������ + 2)(������2 − 2������ + 1) f. ������ = (3������ + 1)2 36
2.3.4 Derivative of Multiplication of Two Functions: Product Rule If ������ = ������(������) can be written as ������ = ������ ∙ ������ (the product of two functions), then ������������ = ������ ∙ ������′ + ������ ∙ ������′ ������������ Example 3.8 Find ������������ for the following functions. ������������ a. ������ = (������2 − 3)(������ + 4) b. ������ ������ = (2√������ − 2������ + 2) (3) c. ������ = (2������4 + 3������)(������−2 + ������ + ������−1) d. = (1 − 11 ������ ������3) (1 + ) √������ 37
2.3.5 Derivative of Division of Two Functions: Quotient Rule If ������ = ������(������) can be written as ������ = ������ (a function dividing a function), then ������ ������������ ������ ∙ ������′ − ������ ∙ ������′ ������������ = ������2 Example 3.9 Find ������������ for the following functions. ������������ a. ������2 + 1 b. ������ − 1 ������ = ������2 + 2 ������ = ������2 − 3 c. ������ = √������ + 2 d. 2 ������2 + 2 ������ = ������3 + 4 38
2.3.6 Derivative of Composite Function: Chain Rule Given a composite function ������ = ������(������(������)), then ������������ = ������′(������(������)) ∙ ������′(������) ������������ For ������ = ������(������(������)), let ������(������) = ������, then ������ = ������(������) Differentiate ������ with respect to ������ : ������������ = ������′(������) ������������ Differentiate ������ with respect to ������ : ������������ = ������′ By Leibniz notation ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ = ������������ ∙ ������������ Hence, differentiate ������ with respect to ������ : ������������ = ������′(������) ∙ ������′ ������������ Example 3.10 Find ������������ for the following functions. ������������ a. 3 b. ������ = (������ + 1)12 ������ = (4������2 − 2������)2 39
c. ������ = (������ + 1)2(������2 − 1)3 d. 1 − ������ ������ = (������2 + 3)5 e. ������ = √������ + 3 f. 2 ������ = 3√������ + 4 40
Tutorial 2.3 Differentiate the following functions. i. 1 ii. ������4 ������ = (2������ − 1)3 ������ = √������ − 1 iii. ������ 2 iv. ������ = √������ + 1 ∙ (2 − ������) ������ = (������ + 2) 41
Differentiate the following functions. vi. √������ + 1 v. ������ = (2������ − 5)2 ∙ (3������ − 1) ������ ������ = vii. ������ = −������ ∙ 3√1 − ������ viii. ������ = √(������ + 1)3 + 2 42
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140