Квантик 2021-04

e-mail: [email protected] Издаётся Московским Центром непрерывного математического образования № 4|апрель 2021 2021 ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИапрель КАК ДРЕВНИЕ ГРЕКИ ФИГУРНЫЕ № 4 ОПЕРЕДИЛИ КОПЕРНИКА ПАРАДОКС СИМПСОНА Enter

ОТКРЫЛАСЬ ПОДПИСКА НАШИ НОВИНКИ на II полугодие 2021 года! Подписаться на журнал можно в отделениях Почты России и через интернет ОБЪЕДИНЁННЫЙ КАТАЛОГ «ПРЕССА РОССИИ» подписной индекс 11346 АЛЬМАНАХ ДЛЯ ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ «КВАНТИК», akc.ru/itm/kvantik выпуск 17 В него вошли материалы журнала «КВАНТИК» за первое полугодие 2020 года Купить этот и предыдущие альманахи можно в магазине «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КНИГА» (адрес: г. Москва, Большой Власьевский пер., д. 11), в интернет-магазинах biblio.mccme.ru, kvantik.ru и других (см. список на сайте kvantik.com/buy) ваш главный книжный УСЛУГИ ' Ч итательские клубы АССОРТИМЕНТ ' И нтернет-магазин по интересам ' Книги Мы предлагаем www.bgshop.ru ' Аудиокниги большой выбор ' Кафе ' И ндивидуальное ' Антиквариат и предметы товаров и услуг ' К лубные (дисконтные) обслуживание карты и акции коллекционирования г. Москва, м. Лубянка, ' Подарочные карты ' Подарочная упаковка 'Фильмы, музыка, игры, софт м. Китай-город ' П редварительные ' Д оставка книг ' Канцелярские ул. Мясницкая, д. 6/3, стр. 1 заказы на книги ' Встречи с авторами из-за рубежа и офисные товары ' В ыставки-продажи ' Цветы ' Сувениры 8 (495) 781-19-00 пн – пт 9:00 - 22:00 сб – вс 10:00 - 21:00 без перерыва на обед www.kvantik.com instagram.com/kvantik12 vk.com/kvantik12 kvantik12.livejournal.com twitter.com/kvantik_journal [email protected] facebook.com/kvantik12 ok.ru/kvantik12 Журнал «Квантик» № 4, апрель 2021 г. Учредитель и издатель: По вопросам оптовых и розничных продаж Издаётся с января 2012 года Частное образовательное учреждение дополнитель- обращаться по телефону (495) 745-80-31 Выходит 1 раз в месяц ного профессионального образования «Московский и e-mail: [email protected] Свидетельство о регистрации СМИ: Центр непрерывного математического образования» ПИ № ФС77-44928 от 04 мая 2011 г. Формат 84х108/16 выдано Федеральной службой по надзору в сфере Адрес редакции и издателя: 119002, г. Москва, Тираж: 4000 экз. связи, информационных технологий и массовых Большой Власьевский пер., д. 11 Подписано в печать: 18.03.2021 коммуникаций (Роскомнадзор). Тел.: (499) 795-11-05, Главный редактор С. А. Дориченко e-mail: [email protected] Отпечатано в ООО «Принт-Хаус» Редакция: В. Г. Асташкина, Е. А. Котко, сайт: www.kvantik.com г. Нижний Новгород, Р. В. Крутовский, Г. А. Мерзон, А. Ю. Перепечко, ул. Интернациональная, д. 100, корп. 8. М. В. Прасолов Подписка на журнал в отделениях Почты России: Тел.: (831) 216-40-40 Художественный редактор ▪ О бъединённый каталог «Пресса России» и главный художник Yustas Заказ № Вёрстка: Р. К. Шагеева, И.Х. Гумерова (индексы 11346 и 11348) Цена свободная Обложка: художник Мария Усеинова Онлайн-подписка ISSN 2227-7986 на сайте агентства АРЗИ www.akc.ru/itm/kvantik

ОГЛЯНИСЬ ВОКРУГ Как древние греки опередили Коперника. Окончание. В. Протасов 2 Парадокс Симпсона. А. Алаева 12 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК У нас в гостях математический радиокружок. С. Табачников 8 Квантик, Ноутик и фигурные преобразователи. А. Перепечко 24 УЛЫБНИСЬ Снова спички! И. Акулич 16 ИГРЫ И ГОЛОВОЛОМКИ «Классики». В. Сирота 17 От Икара до аэроплана. В. Красноухов 27 ВЕЛИКИЕ УМЫ Макс Ден. С. Львовский 18 ОЛИМПИАДЫ 28 Конкурс по русскому языку, II тур 32 Наш конкурс ОТВЕТЫ 29 Ответы, указания, решения ЗАДАЧИ В КАРТИНКАХ IV с. обложки Звук и ветер 1

О ГЛВЯОНКИРСУЬГ Окончание. Начало в № 3, 2021 Владимир Протасов ШАГ 2. ВО СКОЛЬКО РАЗ СОЛНЦЕ БОЛЬШЕ ЛУНЫ? 2 Чтобы ответить на этот вопрос, мы понаблюдаем солнечное затмение – оно происходит, когда Луна за- гораживает Солнце. При частичном затмении Луна лишь проходит по диску Солнца, не закрывая его полностью. Порой такое затмение даже нельзя раз- глядеть невооружённым глазом, Солнце светит как в  обычный день. Лишь сквозь сильное затемнение, например через закопчённое стекло, видно, что часть солнечного диска закрыта чёрным кругом. Гораздо реже происходит полное затмение, когда Луна на несколько ми- нут полностью закрывает солнечный диск (рис 4). В это время становится темно, на небе появляются звёзды. За­ тмения наводили ужас на древних лю- Рис. 4. Полное дей, считались предвестниками несча- солнечное стий. Солнечное затмение наблюдается затмение по-разному в разных частях Земли. В одном и том же месте полное затмение происходит крайне редко  – в среднем раз в 200 – 300 лет. Аристарху повезло – он смог наблюдать его собственными глазами. На бе- зоблачном небе Солнце постепенно начало тускнеть и  уменьшаться в размерах, установились сумерки. На несколько мгновений Солнце исчезло. Потом про- глянул первый луч света, солнечный диск стал расти, и вскоре Солнце засветило в полную силу. Почему затмение длится столь короткое вре- мя? Потому что Луна имеет те же видимые разме- ры на небе, что и Солнце 3. Что это значит? Нари- суем чертёж. Два круга – Солнце и Луна, Z – точка, из которой мы наблюдаем затмение. Так как во вре- мя за­тмения нам кажется, что круги совместились, то совместятся и их центры. Это значит, что цен- тры Луны и Солнца – точки L и S – лежат на одной 3 Равенство видимых размеров Луны и Солнца – счастливое совпа- дение. Оно не вытекает из законов физики. У многих планет Солнечной системы есть спутники: у Марса их два, у Юпитера – четыре крупных (и ещё несколько десятков мелких), и все они имеют разные видимые раз- меры, не совпадающие с размером солнечного диска.

прямой с точкой Z (рис. 5). А B S ОВ ОГЛКЯРНУ ГИ С Ь так как совместились не толь- ко центры, но и края кругов, то крайние точки (обозначим их A и B) тоже лежат на од- АL ной прямой с  точкой  Z. Сно- ва получаем два подобных Z тре­угольника: ZAL и ZBS. Рис. 5 . Совпадение раз- Сторона ZS большого треу- меров Луны и Солнца гольника в  400  раз больше при затмении стороны ZL маленького треугольника (потому что это – расстояния до Солнца и Луны!). Значит, и сто- рона BS большого треугольника в 400 раз больше сто- роны AL маленького. Но это ведь радиусы Солнца и Луны! Таким образом, по линейным размерам Солн- це в 400 раз больше Луны. Второй шаг сделан. ШАГ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ СОЛНЦА И ЛУНЫ Понаблюдав квадратуру Луны и солнечное затме- ние, мы доказали, что Солнце в 400 раз больше Луны и во столько же раз дальше от нас. А каковы же их ре- альные размеры? Из всех астрономических величин мы с вами пока знаем только радиус Земли. Поможет ли это? Хоть в каком-то из видимых явлений, проис- ходящих на небе, появляется Земля? Не случайно го- ворят «небо и земля», имея в виду две несовместные вещи. И всё же такое явление есть. Это – лунное за­ тмение. При лунном затмении Луна Тень Земли Луна уходит в тень от Земли. Спрятавшись за Землю, Луна лишается солнечного света и таким образом перестаёт све- тить. Она не исчезает из вида полностью, но темнеет, при- обретая красноватый оттенок Рис. 6. Лунное затмение (через атмосферу лучше всего проходят красные и оранжевые лучи). На лунном диске при этом отчётли- во видна тень от Земли (рис. 6). Круглая форма тени ещё раз подтверждает шарообразность Земли. Для того чтобы определить радиус круга земной тени (мы сделаем это по рисунку 6), достаточно решить простое упражнение: 3

О ГЛВЯОНКИРСУЬГ Упражнение 1. На плоскости дана дуга окружности. Постройте центр этой окружности и найдите её радиус. Солнце А Солнце B Лунное затмение Земля Земля ZK Луна ЛунаC М N D Рис. 7. Вычисление размеров Солнца и Луны Мы получаем, что радиус земной тени примерно в  раза больше радиуса Луны. Обратимся теперь к  рисунку 7. Серым цветом закрашена область зем- ной тени, в которую попадает Луна при затмении. Возьмём за единицу измерения диаметр Луны. Это отрезок MN на рисунке 7, он равен 1; CD – диаметр земной тени, он равен . Значит, на отрезки CM и  ND приходится – 1 = . Поэтому каждый из них равен : 2 = , а отрезок MD равен 1 + = . Как мы знаем, расстояние от Земли до Солнца в 400  раз больше расстояния от Земли до Луны. Это значит, что ZB  =  400ZM. Таким образом, точка B находит- ся очень-очень далеко, а прямые MZ и BK почти параллельны. Поэтому отрезок ZK почти равен от- резку MD = . Но ZK – радиус Земли. Получается, что он в раза больше диаметра Луны, а значит, в ≈ 3,66 раза больше радиуса Луны. А как же Солнце? Оно больше Луны в 400 раз, а значит, больше Земли в ≈ 109 раз. Итак, по ли- нейным размерам Солнце больше Земли примерно в  109 раз, Земля больше Луны в 3,66 раза. Так как радиус Земли мы знаем, сразу можем вычислить ра- диусы Луны и Солнца. 4

ЧТО ЖЕ В ЦЕНТРЕ – ЗЕМЛЯ ИЛИ СОЛНЦЕ? ОВ ОГЛКЯРНУ ГИ С Ь В древности устройство нашей Вселенной пред- ставляли так: в центре – неподвижная Земля, вокруг неё по круговым орбитам вращаются 7 планет, вклю- чая Луну и Солнце (которое тоже считалось планетой). Завершается всё небесной сферой с  прикреплёнными к ней звёздами. Сфера вращается вокруг Земли, делая полный оборот за 24 часа. Это – геоцентрическая си- стема мира, в центре которой – Земля («гео»). Эту модель многократно подправляли. Так, ста- ли считать, что небесная сфера неподвижна, а Земля вращается вокруг своей оси. Затем стали исправлять траектории движения планет: круги заменили цикло- идами, то есть линиями, которые описывают точки окружности при её движении по другой окружности. Во II веке н. э. модель приняла окончательный вид в  знаменитом трактате «Альмагест» Клавдия Птоле- мея (87 – 165), выдающегося греческого астронома, тёзки египетских царей. Со временем некоторые ци- клоиды усложнялись, добавлялись всё новые окруж- ности. Но в  целом система Птолемея господствовала около полутора тысячелетий, до XVI века, до откры- тий Коперника. Но если знать размеры Земли и Солнца, простая интуиция подскажет, что в центре должно находиться Солнце. Оно же больше Земли в 109 раз! Представим себе такую модель: Земля имеет размер теннисного мячика – около 6,5 см. Тогда Солнце будет иметь ди- аметр 7 метров! И почему же такая махина, размером с  трёхэтажный дом, должна вращаться вокруг «тен- нисного мячика»? Может, всё наоборот? Архимед пишет, что именно такой вывод сделал Аристарх, предложив гелиоцентрическую систему мира с Солнцем («гелиос») в центре. Она лучше объ- ясняет видимое движение планет и лучше согласует- ся с результатами наблюдений. Да и другие учёные понимают, что новая модель проще и естественнее гео­центрической. Но тем не менее её никто не при- нял! Из всех астрономов античности только Селевк стал сторонником новой модели. Больше никто! Даже великий Архимед, почитавший Аристарха, не решил- ся поставить Солнце в центр мира. 5

О ГЛВЯОНКИРСУЬГ СТРАХ ПЕРЕД БЕЗДНОЙ Почему же 18 веков учёные не принимали простой и логичной системы мира, предложенной Аристар- хом? И это несмотря на то, что официально признан- ная геоцентрическая система Птолемея часто давала сбои, не согласуясь с результатами наблюдений за планетами и звёздами. Приходилось добавлять всё новые окружности (так называемые вложенные ци­ клы) для «правильного» описания движения планет. Уже к XIII веку этих окружностей накопилось 75. Модель стала столь громоздкой, что начали разда- ваться осторожные возражения: неужели мир в самом деле устроен так сложно? Широко известен случай с Альфонсом X (1221 – 1284), королём Кастильи и  Лео- на, государства, занимавшего часть современной Ис- пании. Он как-то обмолвился, что «если бы при сотво- рении мира Господь оказал мне честь и спросил моего совета, многое было бы устроено проще». Но сомнения остались. Часть из них можно было бы разрешить, поставив Солнце в центр Вселенной и приняв гелиоцентрическую систему Аристарха. Его труды были хорошо известны. Однако ещё мно- го веков никто из учёных не решался это сделать. Причины были не только в страхе перед властями и  официальной церковью и не только в инертности человеческого мышления (не так-то просто признать, что наша Земля – не центр мира, а лишь рядовая планета!). Всё-таки настоящему учёному ни страх, ни  стереотипы – не препятствия на пути к истине. Гелиоцентрическая система отвергалась по вполне научным причинам. Если допустить, что Земля вра- щается вокруг Солнца, то её траектория – окружность с радиусом, равным расстоянию от Земли до Солн- ца. Это больше 150 миллионов километров. Значит, Земля в течение полугода перемещается на 300 мил- лионов километров. Гигантская величина! Но карти- на звёздного неба для земного наблюдателя при этом остаётся такой же. Земля то приближается, то удаля- ется от звёзд на 300 миллионов километров, но ни ви- димые расстояния между звёздами (например, форма созвездий), ни их яркость не меняются. Это означает, что расстояния до звёзд должны быть ещё в несколь- 6

ко тысяч раз больше. То есть небесная сфера должна ОВ ОГЛКЯРНУ ГИ С Ь иметь совершенно невообразимые размеры! 7 Вместо компактного и уютного мира, в центре ко- торого находится Земля и который помещается вну- три относительно небольшой небесной сферы, Ари- старх нарисовал бездну. И эта бездна испугала всех. Пройдёт ещё много веков, прежде чем человек сможет смириться с тем, что наш мир имеет столь огромные размеры, и примет гелиоцентрическую си- стему, предложенную Аристархом и обоснованную Коперником. Отсюда останется только один шаг до бесконечной Вселенной и учения Джордано Бруно о множестве миров. Но это уже другая история. УПРАЖНЕНИЯ 2. Можно ли было во времена Эратосфена синхро- низировать (сделать одновременно) два измерения на расстоянии 800 км друг от друга? Хотя бы с разницей не больше 10 минут? Предложите какой-нибудь способ. 3. Как вычислить радиус Земли по следующим дан- ным: с горы высотой 500 м просматриваются окрестно- сти на расстоянии 80 км? 4. Как вычислить радиус Земли по следующим дан- ным: корабль высотой 20 м, отплыв от берега на 16 км, полностью исчезает из вида? (В реальном эксперименте этот корабль может быть виден и намного дальше из-за преломления света, см. kvan.tk/bedford) 5. Солнечное затмение может наблюдаться в одних частях Земли и не наблюдаться в других. А лунное? 6. Докажите, что солнечное затмение может наблю- даться только во время новолуния, а лунное за­тмение – только во время полнолуния. 7. Что происходит на Луне, когда на Земле происхо- дит лунное затмение? 8. Аристарх вычислил и расстояния до Луны и Солн- ца. Предложите способ, как он мог это сделать. 9. Почему не каждое новолуние сопровождается сол- нечным затмением? Ведь если освещённая сторона Луны нам не видна, Солнце должно располагаться за Луной, то есть Луна загородит Солнце. И почему полнолуние не всегда сопровождается лунным затмением? Ведь если нам полностью видна освещённая сторона Луны, то мы (Земля) должны располагаться между Луной и Солнцем, и на Луне должна возникать земная тень. Художник Мария Усеинова

Сергей Табачников У НАС В ГОСТЯХ С 1981 по 1984 год на МАТЕМАТИЧЕСКИЙ РАДИОКРУЖОК Всесоюзном радио еже- месячно работал матема- Сигма. Мы начнём с задачи из «Кванта» для млад- тический радиокружок ших школьников» (№ 1 за 1981 г.): «В Советском Со- «Сиг­ма». Аудиозаписи не­ юзе население составляет 260 млн человек. Казалось скольких зан­ятий мож- бы, на карте СССР с масштабом 1:1 000 000 (в одном но найти в Интернете сантиметре 10 километров) может поместиться в мил- (kvan.tk/sigma). Од­нажды лион раз меньше людей, чем на всей территории стра- профессор Сигма и его пос­ ны, то есть может поместиться 260 человек. Однако тоянные помощники маль- из опыта известно, что и пяти десяткам человек это чик Альфа и девочка Бета будет нелегко сделать. Почему?» пришли в гости в журнал «Квант». Мы перепечатыва- Альфа. Да я эту задачу сразу решил! Ведь люди ем рассказ об этой встрече. живут в многоэтажных домах, значит, на единицу земной поверхности приходится не один, а несколько 8 человек. Бета. А по-моему, Альфа, ты не прав. Возьмём, например, такое густонаселённое здание, как здание школы. Первого сентября все, кто находятся в этом зда- нии, выходят во двор на линейку, посвящённую нача- лу учебного года. Также и жители других домов могут разместиться во дворах и на улицах – им даже не будет тесно. А ещё остаются степи, пустыни, тундра! Сигма. Бета права. Тебе, Альфа, придётся поис- кать другое объяснение. А пока попробуй сравнить площади квадратов со сторонами 2 и 1. Альфа. Ну как же – площадь первого будет в че- тыре раза больше, чем площадь второго. И вообще, при уменьшении размеров любой фигуры в N раз её площадь уменьшается в N2 раз. Не зря площадь изме- ряется в квадратных единицах! Бета. Теперь всё ясно! Человек занимает на Зем- ле определённую часть площади. При изображении на карте с масштабом 1 : 1 000 000 площади всех фи- гур уменьшаются в 1 000 0002 раз, то есть в 1012 раз. Именно на это число, а не на миллион и нужно разде- лить население страны. При этом получится около од- ной четырёхтысячной части человека, и никакой па- радокс не возникает. Сигма. Очень хорошо, ребята, вы во всём разобра- лись. Мне остаётся лишь добавить, что при решении задачи вы воспользовались так называемыми сообра- жениями подобия. Тема нашего занятия как раз – со- ображения подобия.

А теперь решим ещё одну задачу. В два одинако- вых заполненных водой ведра засыпают дробь: в пер- вое ведро крупную, а во второе – мелкую. В каждое ведро насыпают столько дроби, сколько помещается. Из какого ведра выльется больше воды? Альфа. Ну конечно, из второго, в него насыпают мелкую дробь! Бета. Ну и что? Альфа. Раз дробь мелкая, то и промежутки между отдельными дробинками будут маленькими. Поэтому мелкая дробь уляжется плотнее. Бета. Хотя промежутки между крупными дробин- ками и большие, зато самих промежутков будет мень- ше. Так что ещё неизвестно, какая дробь уляжется плотнее: мелкая или крупная. Сигма. Действительно, надо выяснить, какая дробь уляжется плотнее: мелкая или крупная. Да- вайте для простоты предположим, что отношение ди- аметров дробинок равно двум. Теперь посмотрим на ведро с мелкой дробью в бинокль с двукратным уве- личением. Что мы увидим? Альфа. Мы увидим ведро, заполненное крупной дробью. При двукратном увеличении и объём ведра, и объём каждой дробинки увеличится в 8 раз (8 = 23), а их отношение останется неизменным. Значит, плот- ность мелкой и крупной дроби будет одинаковой. Бета. Получается, что из вёдер вытечет одинако- вое количество воды. Вот никогда бы не подумала! Сигма. Тем не менее, это правильный ответ. И по- лучить его нам помогли соображения подобия. Хочу только внести небольшое уточнение: наш ответ верен, если размеры дробинок намного меньше размеров ведра. Если же дробинки крупные (или ведро совсем маленькое), то наши рассуждения теряют силу. При- чина в том, что мы пренебрегли нарушением правиль- ного расположения дробинок вблизи стенок ведра. А если дробинки большие, то влиянием стенок ведра пренебречь уже нельзя. Бета. Профессор Сигма, а какие ещё задачи можно решать с помощью соображений подобия? Сигма. Соображения подобия оказались очень полезными в биологии. А впервые их применил к изучению строения животных великий итальян- 9

ский учёный XVI века Галилео Галилей. Его занимал вопрос, как могло бы выглядеть очень крупное сухо- путное животное, например гигантская собака. В од- ной из книг Галилея можно даже найти рисунки ко- стей такой воображаемой собаки. Альфа. А о чём здесь думать? Увеличить скелет обычной собаки раз в десять – и всё! Сигма. Нет, всё не так просто. Прочность костей пропорциональна площади их поперечного сече- ния. При увеличении размеров в 10 раз эта площадь увеличится в 100 (=102) раз. Значит, кости гигант- ской собаки смогут выдержать стократную нагрузку. Но  в  том-то и дело, что нагрузка возрастёт не в 100, а в тысячу раз. Ведь нагрузка пропорциональна массе животного, то есть его объёму. Объём же увеличится в 1 000 (=103) раз. Вот и получается, что гигантская собака не сможет выдержать собственный вес. Бета. Но ведь живут же на Земле очень крупные животные: слоны, носороги… Сигма. Да, но ноги у них относительно толще, чем у мелких животных. А вот киты и вовсе не смогли бы жить на суше1. Альфа. Я читаю сейчас «Путешествие Гулливе- ра». Гулливер попадает в страну лилипутов, которые в 12 раз меньше него, и в страну великанов, которые больше него тоже в 12 раз. Что же, Джонатан Свифт не учёл того, что было известно уже Галилею? Сигма. Автор «Путешествия Гулливера» старал- ся пользоваться соображениями подобия. Например, описывая обед Гулливера или пошив его костюма. В других местах, однако, Свифт не обошёлся без оши- бок – как в истории с яблоком, попавшим в Гулливера в стране великанов. Бета. А я это всё знаю – прочитала в «Кванте» в статье «Из книг Я. И. Перельмана»2. Альфа. Профессор Сигма, а почему муравьи могут переносить тяжести во много раз больше собственно- го веса, а человек не может? Сигма. Известно, что сила мышц определяется только площадью их поперечного сечения и не зави- 1 См. cтатью Н. Родиной «Архимедова сила и киты», «Квант», 1982, № 8. 2 «Квант», 1982, № 11. 10

сит от их длины. Площадь же пропорциональна ква- драту линейных размеров, а вес – кубу. Значит, на единицу веса у муравья приходится большая сила, чем у человека и тем более чем у слона. Этим же со- отношением между площадью и объёмом объясняется то, что муравьи не могли бы быть теплокровными. Бета. Почему? Сигма. Количество тепла, вырабатываемого в ор- ганизме, пропорционально объёму тела. А вот количе- ство тепла, излучаемого в окружающее пространство, пропорционально площади поверхности – ведь тепло- обмен происходит через кожу. Как мы видели, на еди- ницу объёма у маленьких животных приходится боль- шая площадь поверхности, чем у крупных. Поэтому маленьким животным труднее бороться с холодом3. Бета. Теперь понятно, почему у маленьких синиц перья длиннее ширины тела, а у больших ворон – ко- роче. Синицам нужна шуба теплее – ведь они намного меньше. Сигма. А теперь задачи для самостоятельного ре- шения. 1. В какую кастрюлю можно на- лить больше воды? 2. После семи стирок кусок 1 2 мыла уменьшился вдвое, то есть вдвое уменьшились его длина, ши- 2 1 рина и высота. На сколько ещё стирок его хватит? 3. Килограмм какой картошки быстрее чистить и поче- му: мелкой или крупной? 4. Великан и лилипут устроили соревнование: кто больше подтянется на перекладине. Кто выиграет и почему? 5. По одной гипотезе, гигантские динозавры предпочита- ли проводить время, стоя в неглубоких водоёмах. Почему? 6. Животным пустыни приходится иногда долго не пить. Какое животное может не пить дольше – крупное или мелкое? 7. Почему человек ест три раза в день, а, например, хо- Художник Алексей Вайнер мячки жуют почти постоянно? И, наконец, два вопроса посложнее: 8. Как зависит от размеров животного высота его прыж- ка? (Ответ: зависит не очень сильно.) 9. Объясните, почему для мелких дробинок нарушение их правильного расположения вдоль стенок мало влияет на отношение объёмов дробинок и ведра. 3 Соответствующий расчёт можно посмотреть в «Кванте», 1981, № 4, с.11. 11

О ГЛВЯОНКИРСУЬГ ПАРАДОКС СИМПСОНА Амелия Алаева В классной комнате на переменах всегда стоял шум и гам. Поэтому Лена, пропустив несколько дней по болезни, почувствовала себя не в своей тарел- ке, когда перед уроком истории в классе воцарилась мёртвая тишина. Все её одноклассники, словно сго- ворившись, не отрывали глаз от учебника, хотя ника- кой контрольной не намечалось. Вдруг её кто-то слег- ка толкнул: «Лена, ты хорошо помнишь то правило? Может, повторишь ещё раз?» Соседка по парте Маша протягивала ей свой учебник. – Да, я дома учила, – твёрдо заявила девочка. – А чего это все сегодня такие странные? – Как? Ты не знаешь? – удивилась Маша. – Пока тебя не было, директор решил в честь 800-летия со дня рождения Александра Невского устроить конкурс и вручить призы лучшим классам в каждой параллели! – А что делать-то, собственно, нужно? – Ничего сложного: просто получать четвёрки и  пятёрки по истории и математике. Завуч найдёт долю хороших оценок по этим предметам, и у кого она выше – тот и победил. Целую неделю все ребята усердно трудились  – учителя не переставали удивляться, какие заме- чательные дети у них учатся. И вот настало время подвести итоги. Почти в каждом классе есть такой всезнайка, который всё уже сам раньше всех подсчи- тал и решил. Знакомьтесь – Витя из 7-го «Б», одно- классник Маши, уверенно заявил, что их класс по- бедил. Но таблица результатов, которую составил завуч, показывала другое: Хорошие оценки МАТЕМАТИКА ИСТОРИЯ Плохие оценки 7«А» 7«Б» 7«А» 7«Б» Доля хороших оценок 15 9 18 27 18 12 9 15 0,45 0,43 0,67 0,64 – Стойте! – подал голос мальчик. – В моей та- блице столько же хороших и плохих оценок, но я 12

ОВ ОГЛКЯРНУ ГИ С Ь объединил результаты двух предметов вместе, и доли получились другие: Хорошие оценки 7«А» 7«Б» Плохие оценки 33 36 Доля хороших оценок 27 27 0,55 0,57 Это что же выходит: и «А», и «Б» победили одно- временно? Ведь данные, по которым составлены та- блицы, одни и те же, а результаты разные. Поскольку в правилах конкурса не было явно указано, считают- ся доли хороших оценок отдельно по предметам или все вместе, завуч решил отложить награждение и по- советоваться с директором. Маша, уверенная в правоте своего класса, вре- мени даром терять не хотела. Она этим же вечером зашла в гости к своему старому другу – профессору Ивану Петровичу. Пусть он с научной точки зрения объяснит, кто здесь прав. – Интереснейший случай! – воскликнул профес- сор. – Кто бы знал, что ты обратишь внимание на воз- никший здесь парадокс Симпсона! – Кого-кого? Симпсона? Это из мультика, что ли? – Да нет, парадокс носит имя вполне реального учёного Эдварда Симпсона. Говоря в общих словах, это когда в каждой группе выполняется одно соотно- шение между данными, а в объединении групп – про- тивоположное. Давай посмотрим, как это произошло на твоём примере. Мы сравниваем долю хороших оценок (результаты в подгруппах) для классов 7«А» и 7«Б» отдельно по математике и истории (подгруппы данных). Они явно указывают на лидерство 7«А». Но когда мы объеди- нили результаты обоих предметов вместе, то увидели, что на самом деле общая доля хороших оценок больше у твоего класса. Любопытно заметить, как работает наша интуиция. Мы думаем, что «победа» в каждой группе всегда означает и «победу» в целом, но увы, это не так. 13

О ГЛВЯОНКИРСУЬГ По Машиному выражению лица было видно, что за всё это время она только успела запутаться в сло- вах, но к разгадке этой тайны так и не приблизилась. – Давай приведу ещё один пример. Представь себе, что на упаковке лекарства, которое лечит от бо- лезни Y, написано: «Рекомендовано для мужчин при заболевании Y, рекомендовано для женщин при забо- левании Y. Противопоказание: не рекомендовано для людей при заболевании Y». – Да не может такого быть! – засмеялась Маша. – Вы, наверное, шутите. Ведь мужчины и женщины – это и есть люди! – Я и не утверждаю, что такое было в реальности написано. Но могло быть написано и было бы сущей правдой. Правда не всегда серьёзна. Иногда она курь­ ёзна и… парадоксальна, – хитро прищурился профес- сор. – Всё дело в результатах исследований. Испытуе- мых мужчин разделили на две группы. Одним давали плацебо (пустышку), а другим лекарство. То же самое провели с группой женщин, и оказалось, что доля вы- здоровевших от Y больше среди тех, кто принимал ле- карство. Однако если не делить людей на группы, то окажется, что среди тех, кто принимал плацебо, доля излечившихся людей больше. Вот тебе и парадокс! И думай теперь, работает ли лекарство… – А наоборот может быть? Ну, скажем, лекарство от Z показано всем людям, но не рекомендовано для мужчин и женщин. – Да, такое тоже возможно. При проведении ис- следований очень важно замечать такие «перевёр- тыши». Дело в том, что у 7«А» больше оценок по ма- тематике (33), чем по истории (27), и итоговая доля хороших оценок складывается из долей по предметам c большим весом математики (11/20 против 9/20): 0,55 = ≈ = 0,45 ' + 0,67 ' . А у 7«Б» наоборот, оценок по истории (42) вдвое боль- ше, чем по математике, поэтому в итоговой доле хоро- ших оценок будет с большим весом участвовать исто- рия (2/3 против 1/3): 14

ВООГЛКЯРНУ ГИ С Ь Доля хороших оценок 7«A» история (27) 0,65 7«Б» история (42) 0,6 7«A» суммарно (60) 7«Б» суммарно (63) 0,55 0,5 7«A» матема- тика (33) 0,45 0,43 7«Б» математика (21) Доля оценок по истории 0,4 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 В скобках указано суммарное количество хороших и плохих оценок этого класса 0,57 ≈ ≈ = 0,43 ' + 0,64 ' . В такой ситуации говорят, что выборки оценок для 7«А» и 7«Б» не репрезентативны. – Вот чудеса! А как вы думаете, кто всё-таки побе- дил? – подозрительно посмотрела на профессора Маша. – Чтобы устранить парадокс, сделаем веса пред- метов одинаковыми для каждого класса. Например, можем взять веса предметов для 7«Б» такими же, как для 7«А», тогда общая доля хороших оценок для 7«Б» станет 0,43 ' + 0,64 ' ≈ 0,52, и 7«А» победит. На самом деле, 7«А» победит и для любого другого со- отношения предметов – ведь на графике линия для 7«А» всюду выше, чем для 7«Б». – Эх, получается, призы достанутся 7«А»… На следующий день Маша рассказала о парадок- се сначала завучу, а потом и самому директору, кото- рый похвалил её за честность (она упомянула и про победу их соперников). Но самым приятным оказа- лось то, что школа закупила призов «с запасом», по- этому было принято единогласное решение наградить и 7«А», и 7«Б» класс. Домой Маша вернулась с дей- ствительно хорошим подарком: увлекательной кни- гой. Художник Мария Усеинова 15

Игорь Акулич СНОВА СПИЧКИ Человечество создало огромное ко- Теперь попробуйте решить ту личество задач со спичками. В послед- же задачу, если исходное число ние годы их поток ослаб, ведь спички в «укоротить» на одну спичку. быту всё чаще вытесняются более удоб- ными средствами (газовыми зажигал- 2. А это задача С. В. Костина  – из ками и  пр.). Но сей предмет рано спи- раздела «КМШ» журнала «Квант»2: сывать со счетов, тем более что многие известные спичечные головоломки до- Из спичек сложено чис- пускают возможность «расширения» – ло 73. Переложите две дополнительные решения, «шевеле- спички так, чтобы полу- ние» условия и т.д. Убедимся в этом. чился квадрат. 1. Вот задача из книги Ф. Ф. Наги- Автор приводит аж три решения: бина «Математическая шкатулка»1: Художник Елена Цветаева Из четырёх спичек сложено В первых двух термин «квадрат» число 7. Переложите одну спич- интерпретируется как квадрат целого ку, чтобы получилось число 1. числа (16 = 42; 7 × 7 = 72), а в третьем – как геометрическая фигура. Автор поступил весьма остро- умно: переложил самую правую Найдите ещё одно решение, чтобы спичку горизонтально над пре- суммарное количество переложенных дыдущей, чтобы образовался знак ква- спичек равнялось двум. дратного корня. Так как = 1, то всё в порядке. 1 Москва, Учпедгиз, 1958, задача № 109. 2 № 12 за 2017 г., с.22. 16

Валерия Сирота Сейчас в «классики» прыгают не так Но я уже не помню, в каком поряд- Художник Ольга Демидова уж часто. И в основном малыши, кото- ке вписывались цифры. К тому же не рым бабушки заботливо расчерчива- было в этой системе последовательно- ют мелком клетки. А раньше прыгали го усложнения – короткие и длинные все, и асфальт во дворах был разрисо- прыжки чередовались. Так что давайте ван прямоугольниками. Прыгали про- лучше придумаем свои «классики». сто так и с «битком» – баночкой из-под гуталина, – или хотя бы с  камушком. 1. Дано клетчатое поле 3 × 3. Впиши- «Классы» были разные – был вариант те в клетки числа для «классиков» так, 2 × 4 клетки, куда вписывались под- чтобы каждый следующий прыжок ряд цифры от 1 до 4 в одну сторону, от был длиннее предыдущего. (Некото- 5 до 8 – в обратную. Трудность тогда рые клетки могут остаться пустыми.) была в  том, что на втором кону надо Постарайтесь сделать как можно боль- было начинать сразу с двойки, минуя ше прыжков, то есть «занять» макси- единицу; на третьем – с тройки и т.д. мально возможное число клеток. На- А были «классики» 3 × 3 + 1, где в ква- чинаем с клетки 1. Сколько прыжков драт 3 × 3 вписывались цифры от 1 до 9 получилось? Можете ли вы доказать, в  каком-то сложном порядке, так что что это – максимум? с единицы на двойку, например, надо было прыгать назад, с двойки на трой- 2. То же самое – в поле 4 × 4. ку – очень далеко… Число 10 писали 3. И то же самое – в кубе 3 × 3 × 3. в отдельную клетку, за квадратом. 4. А сколько прыжков можно сде- лать в прямоугольнике 5 × 2? Не за- будьте доказать, что больше нельзя! 17

МАКС ДЕН Сергей Львовский КАРЬЕРА В ГЕРМАНИИ Макс Вильгельм Ден родился в Гамбурге В популярных статьях в  1878  году в семье врача. Окончив гимназию, он по- о математиках XX века ступил во Фрайбургский университет, но затем пе- рассказать об их научных ревёлся в университет города Гёттингена – в то время достижениях обычно не­ ведущий математический центр мира. В Гёттингене возможно, приходится от­ научным руководителем Дена стал великий матема- делываться общими сло­ тик Давид Гильберт. Под его руководством Ден защи- вами. Герой этой статьи тил диссертацию о неевклидовых геометриях. Вскоре составляет исключение: после этого Ден сделал ту самую работу, о которой мы об одной из его теорем мы расскажем подробнее, а затем занялся топологией – кое-что расскажем. новым в то время разделом математики – и получил в этой науке много важных результатов. Он продолжал Макс Ден заниматься математикой в Германии даже после того, 1878 – 1952 как нацисты уволили его из университета за еврейское Фото: Konrad Jacobs, происхождение, и в 1938 году опубликовал (за  грани- Oberwolfach Photo Collection цей  – в  Швеции) одну из основополагающих тополо- гических работ. Да и  самая последняя статья Дена, h h/2 вышедшая в  1950  году, когда он уже жил в Америке, a также посвящена его любимой маломерной топологии. Рис. 1 ТРЕТЬЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА В августе 1900 года в Париже на Втором междуна- родном математическом конгрессе Гильберт сформу- лировал список из 23 задач, решение которых, по его мнению, особенно важно для развития математики в наступающем XX веке. Десятка полтора из этих про- блем сейчас решены; первой поддалась «третья про- блема», и решил её именно Макс Ден. Чтобы понять, в чём эта проблема заключалась, вспомним, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Доказать это мож- но «методом разрезания и складывания»: например, остроугольный треугольник с основанием a и высо- той h разрезается на части, из которых складывается прямоугольник с основанием a и высотой h/2 (рис. 1). Как говорят, остроугольный тре­угольник с основанием a и высотой h и прямоугольник со сторонами a и  h/2 равносоставлены: один из них можно разрезать на ча- сти, из которых можно сложить другой. 18

MAX DEHN Имеется аналогичное утверждение и для объё- Давид Гильберт мов: объём пирамиды равен одной трети произведе- 1862 – 1943 ния площади её основания на высоту. Но ни в одном ED учебнике не рассказывается, на какие части надо раз- S резать пирамиду с площадью основания P и высотой h, чтобы потом сложить из них параллелепипед или AC призму с площадью основания P и высотой h/3 – фор- B мулы для объёма пирамиды доказываются совсем иначе. Рис. 2 Вот, например, как это сделано в классическом 19 школьном учебнике геометрии А. П. Киселёва. Для простоты найдём объём треугольной пирами- ды SABC, у которой ребро SB перпендикулярно осно- ванию ABC (у Киселёва рассмотрен и общий случай). Пусть площадь основания – тре­угольника ABC – рав- на P, а длина ребра SB – высоты пирамиды – равна h. Достроим нашу пирамиду до призмы ABCESD с пло- щадью основания P и высотой  h (рис. 2). Эта призма разбивается на три треу­ гольные пирамиды: нашу ис- ходную SABC, плюс ещё пирамиды CDES и CAES. Если удастся доказать, что объёмы этих трёх пирамид равны, мы получим, что объём пирамиды SABC ра- вен трети объёма приз­мы ABCESD, то есть Ph/3. Но как установить равенство этих трёх объёмов, ведь три пирамиды, на которые разбита призма ABCESD, не обязательно будут равными фигурами? Это делается с помощью следующей леммы. Лемма. Если у двух пирамид равны и площади оснований, и высо ты, то и объёмы этих пирамид равны. Из леммы искомое равенство объёмов выводится легко. В самом деле, объёмы пирамид SABC и CDES равны, потому что у них совпадают и площади осно- ваний (треугольников ABC и DSE), и длины высот (отрезков SB и CD), а у пирамид CDES и CAES объё­ мы тоже равны: если рассмотреть их как треугольные пирамиды с вершиной S, то высота у них будет об- щей, а основания (треугольники CDE и EAC) имеют, очевидно, равную площадь.

МАКС ДЕН Чертёж к традиционному Остаётся, стало быть, доказать лемму – но тут доказательству леммы: обе и начинаются настоящие трудности! Сделать из одной пирамиды приближают (из- пирамиды другую с помощью разрезания и складыва- нутри и снаружи) объедине- ния у авторов учебников никак не получалось, так что ниями треугольных призм, приходилось проводить рассуждения, выходящие за а затем переходят к пределу рамки «чистой геометрии» и использующие такое ма- при высотах призм, стремя- тематическое понятие, как предел. щихся к нулю Когда Давид Гильберт в самом конце XIX века за- нялся вопросами логического построения геометрии, он в числе прочего поставил вопрос, насколько мож- но в геометрии обойтись без таких «негеометриче- ских» рассуждений. Ему это удалось при построении теории площадей многоугольников, но с объёмами многогранников ничего не получалось; в результате у Гильберта (как полувеком ранее у другого велико- го математика, К. Ф. Гаусса) возникло подозрение, что «чисто геометрическое» построение стереометрии и вовсе невозможно. Свою третью проблему Гильберт формулирует так. Существуют ли такие две треугольные пирами­ ды с равными высотами и одинаковой площадью ос­ нования, что первую из них невозможно разбить на конечное число многогранников, из которых можно сложить вторую? Мы бы сегодня сказали: если есть две пирамиды, одинаковые по площади основания и по высоте, могут ли они быть неравносоставленными? Иными слова- ми: можно ли доказать с помощью разрезаний и скла- дываний нашу лемму? На самом деле Гильберт хотел большего: он предлагал найти пример двух пирамид с одинаковыми площадями оснований и высотами, которые не только не были бы рав- носоставленными, но не были бы ещё и  «равнодополняе- мыми». Два многогранника называются равнодополня­ емыми, если к каждому из них можно добавить конечное число одних и тех же многогранников (поворачивая их как угодно) так, чтобы получающиеся большие многогранники стали равносоставленными. Ясно, что объёмы равнодопол- няемых фигур совпадают, и если бы две пирамиды, о кото- 20

MAX DEHN рых идёт речь в лемме, оказались равнодополняемыми, мы получили бы её чисто геометрическое доказательство. ЧТО СДЕЛАЛ ДЕН Страница из работы Р. Брикар­ а Доклад Гильберта с перечнем проблем был опу- 1896 года с почти той же фор- бликован в третьем номере «Докладов Гёттингенско- мулировкой необходимого ус- го королевского научного общества» за 1900 год. И  в ловия равносоставленности, тот же самый номер этого журнала вошла статья Дена которая появится в статье Дена «О  равносоставленных многогранниках», в которой 1900 года. Вместо доказатель- приводился пример двух неравносоставленных треу- ства своего утверждения Бри- гольных пирамид с одинаковыми площадью основа- кар ограничивается словами ния и высотой. Решение проблемы увидело свет одно- «легко видеть, что». Вероятно, временно с её формулировкой! в опущенном Брикаром доказа- Впрочем, оставалась ещё возможность, что пира- тельстве имелась ошибка. миды, неравносоставленность которых установил Ден, всё же равнодополняемы. Однако в следующем 1901 Двугранный угол – году Ден доказал, что существуют треугольные пира- угол между гранями миды с равными площадями оснований и высотами, не являющиеся ни равносоставленными, ни равнодо- 21 полняемыми. Вот теперь можно было точно сказать, что третья проблема Гильберта решена, а чисто гео- метрически вывести формулу для объёма пирамиды невозможно! Кстати, в учебнике Киселёва (в издании 1914 года) упоминаются работы Дена и говорится, ка- кое отношение они имеют к преподаванию геометрии. Скажем о результатах Дена чуть подробнее. В работе 1900 года он доказывает вот что. Пусть P и Q – два много- гранника. Если у многогранника P всего n рёбер, обозна- чαи2,м…ве,лαиnч.иАнынадлвоуггирчаннон,ывхелуиглчоивныпрдивэутгирханрнёбырхахугчлеорвезпαр1и, рёбрах многогранника Q обозначим через β1, β2, … , βm. Необходимое условие равносоставленности. Если в этих условиях многогранники P и Q равносоставлены, то най­ дччатуютотссяусямтмнаакыирpеа1цнαиа1+отнpуа2рαла2ь+лнь…оне+ычpеиnαсчлиn осилгqар1аβpд11+у, pсqо22,вβ….2+, p…n и q1, q2 ,р…аз, лqиm­, + qmβm Вот как из этого условия можно вывести, что правиль- ный тетраэдр неравносоставлен ни с каким прямоуголь- ным параллелепипедом. Все двугранные углы при двенад- цати рёбрах прямоугольного параллелепипеда – прямые,

МАКС ДЕН рqта1аβкц1и+чотqно2аβпл2р+ьин…ылю+мбq(ыи12хβд1на2ажктеруарцтаенллаьын9мы0)хËчичиистлселомамхсгаqрм1а,ыдqум2,со…ввы,. рqС1а 2ждсраууемгтмосйяа стороны, двугранные углы при всех шести рёбр­ах пра- вильного тетраэдра равны одному и тому же углу (обо- значим его α), так что сумма pk1.αЗ1+наpч2αи2т+, е…сл+иpп6αр6арвиавлньаныkαй для некоторого натурального тетраэдр и параллелепипед равносоставлены, то угол  kα, а значит и угол α, выражается рациональным числом гра- дусов. Можно проверить, что для данного угла  α это не так, и получаем противоречие. Формулировку и доказательство результата Дена 1901  года можно посмотреть в книге С. Л. Табачникова и Д. Б. Фукса «Математический дивертисмент» (лекция 22). Книга «Математический ПОД КОНЕЦ ЖИЗНИ дивертисмент» Большинству математиков, имевших несчастье (МЦНМО, 2016) в  30-е годы прошедшего века оказаться в Централь- ной Европе и вообще на территории, оккупированной Страница из работы Дена Германией в ходе Второй мировой войны, прожить спокойную жизнь не довелось: кто не успел вовремя 22 эмигрировать, тот погиб или, в лучшем случае, пере- жил очень тяжёлое время. Георг Пик1, Отто Блюмен- таль и Альфред Таубер погибли в нацистских конц­ лагерях, куда они были заключены просто за своё еврейское происхождение. Фридриха Хартогса и Фе- ликса Хаусдорфа нацистские преследования (за ту же «вину») довели до самоубийства. Юлиуш Шаудер и Станислав Сакс были казнены за участие в поль- ском антинацистском сопротивлении. Гуго Штейнга- уз с  1941 по 1945 год был вынужден скрываться под чужим именем. Стефан Банах в годы немецкой окку- пации вместо работы по специальности стал объектом бесчеловечных медицинских экспериментов... Дену повезло больше: он успел уехать в последний момент перед тем, как началось самое страшное. В на- чале 1939 года он переехал из Германии в Норвегию, нашёл там работу, а когда Норвегию оккупировали 1 См. статью Г. Мерзона «Площади многоугольников и тающий лёд» о формуле Пика в «Квантике» № 9 за 2018 год.

MAX DEHN нацисты, уехал в США, для чего ему пришлось про­ Русский перевод книги Гиль- ехать больше чем полмира: сначала пересечь СССР по берта, в которой он изложил Транссибирской магистрали, затем из Владивостока свои исследования по аксиома- по морю перебраться в Японию и, наконец, из Японии тическому построению геоме- на корабле через Тихий океан – в США. трии. С этими исследованиями связаны и тема диссертации На свою новую родину Макс Ден с супругой при- Дена, и его статьи о  равносо- были в самом начале 1941 года. Первые годы ему жи- ставленности многогранников. лось непросто: приходилось за маленькую зарплату учить слабых студентов то в одном, то в другом уни- Кампус верситете низкого уровня. Но в 1945 году Дену улыб- Блэк-Маунтин-колледжа нулась удача: его приняли на работу в Блэк-Маун- тин-колледж в штате Северная Каролина. Это было 23 очень своеобразное учебное заведение, основанное в  1933  году как независимый университет, похожий по устройству на коммуну. Все управленческие реше- ния в колледже принимались на общем собрании сту- дентов и преподавателей. Студенты и преподаватели постоянно жили на кампусе среди леса; они питались в общих столовых, а еда для этих столовых выращи- валась на университетской ферме, где полевыми ра- ботами занимались (наряду с учёбой и преподавани- ем) опять-таки преподаватели и студенты. У Блэк-Маунтин-колледжа не было аккредита- ции (так что он не выдавал официальных дипломов), ему вечно не хватало средств, и Дену платили очень мало, но он, похоже, был на этой работе счастлив. Ден преподавал студентам не только математику, но ещё философию, латынь и греческий, ходил с  ними в  походы, занимался, как сейчас бы сказали, эколо- гией (боролся против вырубки окрестных лесов)… В 1952  году Макс Ден вышел на пенсию. Предпола- галось, что он продолжит жить на кампусе и будет исполнять обязанности консультанта, но уже в сле- дующем месяце он умер от сердечного приступа. По- хоронили Дена в том же лесу, в котором был располо- жен университетский кампус. Имя Макса Дена осталось в науке: по сей день в  топологии важную роль играют «скручивание Дена» и «хирургия Дена».

КВАНТИК, НОУТИК и фигурные ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ Александр Перепечко – Квантик, да здесь целый склад фигурных преоб- разователей! – Давай опробуем их в действии! Вот так Квантик и Ноутик, забравшись на забро- шенный чердак, принялись исследовать диковинные устройства – фигурные преобразователи. – Смотри, Квантик, этот – самый простой. Если ему дать А треугольник ABC, он разделит его стороны в отношении 1:1, то есть пополам, и выдаст но- вый треугольник с вершинами С В в полученных точках (рис. 1). Рис. 1 – Ага, новый треугольник будет такой же, как прежний, но в 4 раза меньше по площади. – Квантик уже скормил преобразователю треугольник и показал Ноутику, как исходный треугольник складывается из четырёх копий полученного. – Видишь, стороны но- вого треугольника – это средние линии исходного, то есть они соединяют середины его сторон. – Так-так... средняя линия треугольника парал- лельна соответствующей стороне, – припомнил Ноу- тик, – и в два раза короче её! – И поэтому новый треугольник имеет такие же углы, но в два раза меньшие стороны. – Ну да… – немного разочарованно протянул Но- утик и перешёл к следующе- му.  – А  вот преобразователь А поинтересней! Он делит сторо- ны треугольника уже в отно- шении 1:2 (рис. 2). – Да, здесь треугольник де- С В лится уже не на одинаковые Рис. 2 части. Но у нового треугольни- ка площадь меньше ровно в три раза! И Квантик пустился в пространные объясне- ния. Полчаса спустя Ноутик всё же понял ключевое утверждение Квантика: если два треугольника имеют общий угол, то их площади соотносятся так же, как произведения прилегающих к этому углу сторон. 24

Задача. Докажите утверждение Квантика, ис- пользуя такой факт: отношение площадей треуголь- ников ABC и ABC´, где C´ лежит на AC (рис. 3), равно отношению AC к AC´. А С´ Рис. 3 С В – Ага, – наконец просветлел Ноутик. – При пре- образовании от АВС отрезали три угловых треуголь- ника, каждый площадью · = площади АВС, суммарно – , и остался огрызок как раз в площа- ди АВС. Интересно, а полученный треугольник будет с такими же углами, как и АВС? – Наверное, не всегда, – предположил Квантик. – Ладно, пошли вон к тем, совсем заковыристым преоб- разователям. Им нужно давать четырёхугольники! – О, вот этот опять делит стороны пополам. Полу- чается четырёхугольник, совсем не похожий на ис- ходный (рис. 4). А какая у него площадь? А  С DВ Рис. 4 – Используем такой трюк: если в исходном четы­ рёхугольнике ABCD сдвинуть одну диагональ (AC) вдоль самой себя, а другую (BD) оставить на месте, получится четырёхугольник A´BC´D той же площа­ ди (рис. 5). Kак бы это тебе попроще объяснить…1 – Ну уж нет, ещё час я слушать не намерен! – воз- мутился Ноутик. 1 См. статью Г. Мерзона «Площади и перекашивания» в «Квантике» №2 за 2020 год. 25

А С DВ А´ С´ Рис. 5 – Это очень красиво! – запротестовал Квантик, но, смирившись, решил объяснить в следующий раз и  продолжил:  – Сдвигая диагонали таким образом, мы можем превратить ABCD в параллелограмм. – Надо же! А преобразованный четырёхугольник при этом вообще не меняется – только двигается. – Ну естественно! Его А стороны, как средние ли- нии, параллельны диаго- налям и вдвое меньше по D длине, – пояснил Кван- В тик (рис. 6). С – А значит, его пло- Рис. 6 щадь вдвое меньше параллелограмма АВСD, ура! – возликовал Ноутик. – Ух ты, а это что за экземпляр? – Он тоже преобразует четырёхугольники, но сто- роны AB и CD он делит в отношении 1:2, а стороны BC и DA – в отношении 2:1. – Какой странный преобразователь! Во сколько же раз будет меньше полученный четырёхугольник? И обязательно ли он будет меньше? Правильно ответив на последний вопрос Ноути- ка, вы решите задачу 40 «Нашего конкурса» на с. 32, а также догадаетесь, почему на чердаке не было пре- образователя, делящего стороны четырёхугольника в одном и том же отношении 1:2. Художник Екатерина Соловей 26

ОТ ИКАРА ДО АЭРОПЛАНА Владимир Красноухов КРАТКИЙ ПЕРВОАПРЕЛЬСКИЙ ОБЗОР ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ АВИАЦИИ В известной игре-головоломке «Слагалица» (автор В. Красноухов) используются 7 игровых эле­ментов: Среди множества геометрических и жанровых картинок, которые из них строятся, есть и изображе- ние Икара. Герой древнегреческой ле- генды Икар смастерил крылья и поднял- ся в воздух. Но, нарушив инструкцию по технике безопасности, которую дал ему его отец архитектор Дедал, Икар слиш- ком близко подлетел к Солнцу, и его по- лёт закончился катастрофой. Так начи- налась история авиации. А вот силуэты двух старин- ных самолётов. Соберите отдель- но каждый силуэт, используя весь набор «Слагалицы». Элементы можно как угодно поворачивать и переворачивать, но нельзя накла- дывать друг на друга. Если спуститься на землю, то и здесь можно найти такие же па- радоксальные пары фигур. На- пример, собачка с хвостиком и без него, на свечке загорелось пламя… Повторяем: ка- ждая фигура собрана из одних и тех же 7 элементов! Если вам удастся придумать свои варианты пара- доксальных пар – обязательно присылайте нам. Же- лаем успехов! Художник Алексей Вайнер 27

КОНКУРС II ТУР олимпиады ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ II ТУР Решения II тура отправляйте по адресу [email protected] не позднее 1 июня. В письме укажите ваши имя, фамилию, город, школу и класс, где вы учитесь. Победи- телей ждут призы. Предусмотрены премии за лучшее решение отдельных туров. Предлагайте задачи своего сочинения – лучшие мы опубликуем! Так, автор зада- чи 8 – пятиклассница Зоя Лапшова. Желаем успеха! 6. Вот отрывок из расска- 7. Эти два выражения, за, который написал Ян: отличающиеся только при- ставками, имеют противо- Ночь. Тишь. Мрак. Ян положный смысл. Первое из шёл сквозь лес. Ян был них говорит о непрерывных храбр, смел, Ян знал: там усилиях, второе, намного бо- ждёт Джейн. Её смех звал, лее редкое, – об отсутствии он влёк вдаль... каких бы то ни было усилий. Напишите эти два выраже- Какое слово попало в ния в правильном порядке. текст рассказа по ошибке? В чём состоит ошибка? Л. З. Иткина И. Б. Иткин 8. Вовочка доделал скучное упражнение на подбор синонимов и решил почи- тать журнал. Сестра попросила у него этот журнал. – Это журнал не для дево- чек,  – буркнул Вовочка.  – Тебе подошёл бы журнал... м-м-м... «Молодая уборщица». Какой журнал читал Вовочка? Кратко поясните свой ответ. З. С. Лапшова 9. Называя один из зна- ков препинания, малень- 10. У одной из форм это- кий Лёва путает в нём го существительного окон- первый звук. Надо ска- чание содержит в три раза зать, что для некоторых больше букв, чем основа. На- предложений такое назва- пишите это существительное ние выглядит не менее ло- и эту форму. гичным, чем правильное. Напишите название это- С. С. Сай го знака препинания так, как его произносит Лёва. С. И. Переверзева Художник Николай Крутиков 28

КОНКУРС ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ, I тур треть чашки, потом отпил такой же глоток, («Квантик»№ 1, 2021) как Рома, а затем выпил половину оставшего­ 1. Пете попалось на глаза некое слово (су­ ся. Кто выпил больше чая? ществительное, нарицательное, в словарной Ответ: больше выпил Рома. Если выпить 1/2 форме). чего-то, останется исходный объём, умножен- – Ну и словечко! – воскликнул Петя. – Сна­ ный на 1/2. Если выпить 1/3 чего-то, останется чала написано число, а потом – название это­ исходный объём, умноженный на 2/3. Если бы го числа. Рома и Саша не отпивали по глотку, оба остави- Какое слово увидел Петя? ли бы 1/2 • 2/3 = 2/3 • 1/2 = 1/3 чашки. Петя увидел слово ОЗЕРО: буква О выглядит При этом Рома выпил бы лишь треть своего так же, как число «ноль», а «зеро» – одно из на- несделанного глотка, а Саша – половину. званий нуля (так называется 0 на поле для игры Но на самом деле ребята сделали по цело- в рулетку). му глотку, то есть Рома выпил на 2/3 глотка 2. Маленькую Иру папа называет «пигали­ больше, чем 1/3 чашки, а Саша – на 1/2 глотка ца» – за то, что Ира очень любит ДЕЛАТЬ ЭТО больше. Значит, Рома выпил больше, чем Саша и с удовольствием всем об этом рассказывает. (на 2/3 – 1/2 = 1/6 глотка). Какой глагол мы заменили на ДЕЛАТЬ ЭТО? 27. Решите ребус: СОЯ + СОЯ + СОЯ = МЯСО. Ира любит прыгать и с удовольствием всем (Найдите все решения и докажите, что об этом рассказывает. А поскольку Ира, как других нет. Одинаковыми буквами обозначе­ многие маленькие дети, пока не выговаривает ны одинаковые цифры, разными – разные, и ни букву р, вместо «Я прыгаю!» у неё получается одно число не начинается с ноля.) «Я пигаю!». Вот папа и прозвал её «пигалицей». Ответ: 793 + 793 + 793 = 2379. Переберём все 3. Какая последняя по порядку буква рус­ значения Я от 0 до 9. Записав ребус в столбик ского алфавита обозначает согласный, пар­ и продвигаясь по разрядам справа налево, для ный и  по твёрдости-мягкости, и по звонко­ каждого значения Я найдём сти-глухости? сначала О, потом С, потом про- Я О С ЯМ Буква Ф. После неё в алфавите ещё есть со- верим Я и найдём М. Заполним 00 гласные буквы Х, Ц, Ч, Ш и Щ, но все они, кро- табличку, отбрасывая случаи, 1397 ме Ш, глухие непарные, а Ш – всегда твёрдый. когда получается, что две раз- 2685 4. Бюрократ бывает туповатый и дубова­ ные буквы означают одну и ту 39732 тый. А песок? же цифру или буква Я означает 4271 Слово дубоватый получается из слова ту­ разные цифры. Противоречия 55 поватый заменой глухих согласных на первом не возникает лишь при Я = 3. 6857 и третьем местах на парные им звонкие. Песок 7155 тоже можно охарактеризовать парой прилага- 844 тельных, устроенной таким же образом: он бы- 9731 вает сыпучий и зыбучий. 5. Найдите русское слово, состоящее не 28. Головоломка «Ёлки-палки» состоит из менее чем из четырёх морфем, таких что ка­ 100 палочек, длина каждой из которых либо ждая из них состоит ровно из одной буквы. 1 см, либо 3 см. Требуется из всех этих пало­ (Морфема – любая значимая часть слова.) чек (не ломая) составить правильный мно­ В качестве ответа подходят глагольные фор- гоугольник. Вовочка попытался выложить мы ушла, ушло, ушли, уела, уело, уели, усну прямоугольник, но доказал, что этого сделать (возможно, список не исчерпывающий). Каждая нельзя, и считает, что головоломка бракован­ из них состоит из четырёх однобуквенных мор- ная. Прав ли он? фем: приставки, корня, суффикса и окончания. Ответ: да. Если в наборе чётное число корот- Н АШ КОНКУРС, VI тур («Квантик»№ 2, 2021) ких (по 1 см) палочек, то длинных тоже будет 26. Рома и Саша налили себе доверху оди­ чётное количество, и прямоугольник выложить наковые чашки чая. Рома сначала выпил пол­ можно: пустим две одинаковые палочки на две чашки, потом отпил глоток, а затем выпил противоположные стороны прямоугольника, треть оставшегося. А Саша сначала выпил а остальные палочки разделим на два одинако- вых набора для оставшейся пары сторон. Если в наборе нечётное число коротких па- лочек и их хотя бы 3, мы можем сложить из трёх коротких палочек одну длинную. Тогда ко- 29

личество обоих видов палочек станет чётным, и  можно будет выложить прямоугольник как в первом случае. Значит, в наборе Вовочки было 99 длинных палочек (по 3 см) и 1 короткая (1 см). Если из всех этих палочек выложить многоугольник, то Л ИНЗА ИЗ ЛУНЫ («Квантик»№ 3, 2021) длины его сторон, составленных только из длин- Развёрнутый ответ мы дадим позже, а пока ных палочек, будут делиться на три, а  длина подумайте над такими подсказками. 1) Как за- стороны, содержащей короткую палочку, – нет. висит видимая яркость поверхности от увели- Значит, в таком многоугольнике обязательно чения, с которым мы её рассматриваем через найдутся неравные стороны и он не может быть лупу? Проведите эксперимент. 2) Представим, правильным. что Луну заменили на такой же шар вещества 29. Две точки A и B вну­ C с  яркостью солнечной поверхности. Глядя на три прямоугольника сое­ D такой воображаемый небосвод, сравните осве- щение от преображённой Луны и Солнца. A У НАС В ГОСТЯХ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ РАДИОКРУЖОК динили с его вершинами, 1. В левую. При уменьшении высоты объём как показано на рисунке. уменьшается в два раза, а при увеличении диа- Докажите, что суммар­ B метра – увеличивается в 2² = 4 раза. 2. На одну. Из 8 маленьких кусочков мыла ная площадь двух жёл­ F E можно сложить исходный кусок. 3. Крупной. У неё меньше кожуры, потому тых треугольников, примыкающих к точке A, что если разрезать одну картофелину на не- равна суммарной площади двух жёлтых тре­ сколько мелких, их суммарная площадь по- угольников, примыкающих к точке B. верхности будет больше, чем у исходной карто- Добавим к каждой из суммарных площадей фелины (на удвоенную площадь разрезов). левый и правый голубые треугольники. По- 4. Лилипут. Сила мышц зависит от площади лучим с одной стороны суммарную площадь их поперечного сечения, что пропорционально треугольников CAF и DAE, а с другой – тре­ квадрату линейных размеров, а вес – кубу. угольников CBF и DBE. Но каждая из этих пло- 5. Например, чтобы спастись от перегрева. щадей составляет половину площади всего пря- В организме постоянно образуется тепло. При моугольника! большом размере площадь поверхности может Докажем это, напри- C D быть недостаточной для того, чтобы избавиться мер, для первой пары треу- от лишнего тепла. Вода же хорошо его отводит. A Ещё в воде вес тела меньше и уменьшается на- грузка на кости и мышцы. гольников. Проведём через 6. Крупное, потому что объём запасаемой точку A две линии, парал- воды пропорционален кубу линейного размера, лельные сторонам прямоу- F а испарение пропорционально площади поверх- гольника. Они разделят CDEF на четыре мень- E ности. Впрочем, бывают специальные механиз- мы сохранения воды – например, у тихоходки. ших прямоугольника, которые делятся своими 7. Хомячкам, как и человеку, нужно поддер- диагоналями AF, AC, AD и AE пополам. В итоге живать высокую температуру тела, но, несмо- половина общей площади ABCD попадает внутрь тря на шерсть, тепло они теряют быстро, по- треугольников CAF и DAE и половина – наружу. тому что площадь их поверхности бо́льшая по 30. Андрей вырезал из бумаги «в треуголь­ сравнению с их объёмом. ную клеточку» три одинаковые снежинки для 8. Дадим упрощённый ответ (настоящая био- украшения новогодней ёлки (рисунок слева). механика намного сложнее). Мысленно увели- Катя считает, что их можно разрезать так, чим животное во все стороны в k раз. Как из- чтобы получилось всего семь частей, из кото­ менится высота его прыжка, когда он прыгает рых можно сложить правильный шестиуголь­ вертикально вверх? Сила мышц пропорциональ- ник (рисунок справа). Права ли Катя? Ответ: Катя права, см. рисунок. 30

на площади их поперечного сечения, поэтому она Вряд ли кто станет возражать, что увеличится в k² раз. Масса увеличится в k³ раз. +9 – это квадрат (равный 32). А пере- Значит, ускорение уменьшится в k раз. Казалось ложены суммарно ровно две спички бы, высота прыжка уменьшится? Нет, ведь ещё (одна целая и две половинки). важно, как долго прикладывается это ускорение, то есть пока животное распрямляет ноги и кор- «КЛАССИКИ» пус. От этого зависит скорость в момент отрыва, Здесь два секрета. Первый – перед тем как а значит, и высота прыжка. Поскольку животное рисовать, поймите, какие прыжки возможны, и стало «медлительнее» в k раз, время возрастёт в упорядочите их по длине – тут поможет теоре- k раз. И стартовая скорость останется прежней. ма Пифагора, а тем, кто её не знает, придётся просто аккуратно нарисовать все эти отрезки на Тем самым размер животного лишь косвен- крупных клетках и сравнить их длины с помо- но влияет на высоту прыжка. Например, куз- щью линейки. Второй – рисовать лучше «задом нечику сложно преодолевать сопротивление наперёд», начиная с самого длинного прыжка. воздуха, и у увеличенной копии есть все шан- сы прыгнуть выше. У дельфинов высота прыж- 1. 5 прыжков: 2. 9 прыжков: ка определяется предельной скоростью в воде, и про эту скорость сложно сказать, как она за- 126 9 висит от размера: с одной стороны, влияние 34 64 7 сопротивления воды уменьшается, а с другой – 5 8 21 животное становится менее подвижным. 10 3 5 3. 9 прыжков: Не путайте высоту прыжка животного с вы- сотой, на которую оно запрыгивает. Во втором 79 случае животное может помочь себе передними лапами в конце прыжка, и такая высота сильно 3 54 зависит от размера животного. 21 6 10 8 9. Будем оптимально заполнять дробинками ведро, пока не дойдём до стенок. У стенок образу- В задачах 1 – 3 удалось сделать все прыжки ется пустота толщиной не больше диаметра дро- разной длины, какие только помещаются в  за- бинки. Объём пустоты очень мал по сравнению с данное поле. Будем записывать прыжок двумя объёмом ведра, если дробинки мелкие. числами – смещением по горизонтали и по вер- тикали. Например, (3,1)  – это . Тогда все С НОВА СПИЧКИ возможные прыжки, скажем, в квадрате 3 × 3, 1. «Укороченная» задача решается запишутся так: (1,0), (0,1), (1,1), (2,0), … , (2,2). ничуть не сложнее. Самую левую спич- Поскольку длины прыжков (1,0) и (0,1) равны, ку расположим вертикально и чуть отнесём её число возможных прыжков разной длины – это влево. Образуется дробь 1/1, равная 1. На возра- количество упорядоченных пар чисел, в кото- жение, что древние римляне не знали знака де- рых второе число не больше первого, а первое не ления в виде наклонной черты, можно ответить, больше 2. Пару (0,0) не считаем. В кубе – то же, что знака квадратного корня они тоже не знали! но подсчитываем упорядоченные тройки чисел. 2. Подсказкой для решения могут служить 4. Начинаем опять с конца. Казалось бы, слова «чтобы суммарное количество перело- можно сделать 4 ' 2 = 8 прыжков: первое число женных спичек равнялось двум». Почему бы в каждой паре от 1 до 4, второе – 0 или 1. Но не просто не написать: «переложить две спички»? тут-то было: если начинать с длинных прыжков, А потому, что при такой формулировке легче на четвёртом ходу окажется, что прыгнуть (3,0) догадаться, что спички можно ломать. некуда: подходящая клетка уже занята. Пропу- Наглядней будет решать задачу скаем этот прыжок, прыгаем дальше – проблем в два приёма. Сначала горизонталь- уже не возникает. Можно было пропустить не ную спичку из цифры 7 перенесём в (3,0), а (3,1). Но все 8 прыжков (точнее, 4 самых цифру 3, превратив её в девятку. длинных из них) сделать, как мы Теперь займёмся единицей. Отломим от ка- видели, нельзя. Поэтому ответ  – 8125 ждой из двух спичек, из которых она состоит, по не 8, а 7 прыжков (рис. справа). 64 37 половинке – и сложим знак «плюс» (см. рисунок). В квадратах, начиная с размера 7 × 7, тоже нельзя сделать по разу все возможные прыжки. 31

наш олимпиады КОНКУРС Приглашаем всех попробовать свои силы в нашем заочном математическом конкурсе. Второй этап состоит из четырёх туров (с V по VIII) и идёт с января по апрель. Высылайте решения задач VIII тура, с которыми справитесь, не позднее 5 мая в систему проверки konkurs.kvantik.com (инструкция: kvan.tk/matkonkurs), либо электронной почтой по адресу [email protected], либо обычной почтой по адресу 119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11, журнал «Квантик». В письме кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. В конкурсе также могут участвовать команды: в этом случае присылается одна работа со списком участников. Итоги среди команд подводятся отдельно. Задачи конкурса печатаются в каждом номере, а  также публикуются на сайте www.kvantik.com. Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квантик» и призы. Желаем успеха! VIII ТУР 36. Можно ли построить зам- кнутый шестиу­гольный забор так, чтобы овцы, обозначенные ноликами, оказались внутри забора, а волки, обозначенные крестиками, – снаружи? 37. а) У Тани есть 3 гири весом 1001, 1002 и  1003 г (неизвестно, где какая), а у весов- щика Степана Ильича – двухчашечные весы. Таня отдаёт гири весовщику и заказывает ему два взвешивания (заказ делается сразу, ме- нять его после первого взвешивания нельзя). Может ли она гарантированно установить, ка- кая гиря сколько весит? б) Тот же вопрос, если у весов Степана Ильича левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равновесие, если вес на левой чашке на 1 г больше, чем на правой. 32

КнаОшНКУРС олимпиады Авторы: Георгий Караваев (36, 39), Алексей Толпыго (37), Борис Френкин (38), Сергей Дворянинов (40) 38. В каждой клетке квадрат- 39. У Ани и Тани было пять ной таблицы стоит 1  или  –1. деталей, изображённых на ри- Сумма всех чисел в таблице рав- сунке. Аня взяла одну из дета- на 1. Можно ли определить, лей и вырезала ещё три таких чему равно их произведение? же, а Таня забрала себе оставшиеся че- тыре. После этого Аня сложила фигу- ру из своих четырёх деталей, а Таня – из своих. Выяснилось, что фигуры у Ани и Тани вышли одина- ковые. Для каждой детали определите, могла ли она до- статься Ане. 40. Точки K, L, M и N лежат на сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD. Каждая точка делит со- ответствующую сторону в отношении 1 : 2 (для сторо- ны AB либо AK : KB = 1 : 2, либо BK : KA = 1 : 2, и т.д.). Могло ли оказаться, что площадь четырёхугольника KLMN больше площади четырёхугольника ABCD? Художник Николай Крутиков ПОЗДРАВЛЯЕМ ПОБЕДИТЕЛЕЙ И ПРИЗЁРОВ ПЕРВОГО ЭТАПА НАШЕГО КОНКУРСА! Победители: Ульяна Ануфриева, Артём Барков, Алексей Бирюлин, Владислав Кости- ков, Елена Куцук, Павло Назаренко, Александра Нестеренко, София Окунева, Павел Прохоров, Михаил Савин, Лев Салдаев, Севастьян Ушаков, Иван Часовских, Александр Шкурдей, Михаил Яриков, уже награждавшиеся ранее, а также Мария Зеленова, Игорь Ковалев, Leonie Krvavych, Ольга Метляхина, Даниил Рассадин, награждённые впервые. Призёры: Екатерина Абрамочкина, Евгений Башкиров, Александр Беляков, Элина Бугаева, Андрей Вараксин, Анна Джаошвили, Арсений Ермолаев, Наталия Ленская, Иван Подгорнов, Тамара Приходько, Кирилл Ровинский, Ирина Тимонина, Зарина Ша- рипова, Диана Шувалова, уже награждавшиеся ранее, а также Владимир Афанасьев, Залина Гильманова, Ольга Лыкова, Алёна Соколова, награждённые впервые. УДАЧИ ВСЕМ В СЛЕДУЮЩИХ ЭТАПАХ И В ОБЩЕМ ГОДОВОМ ЗАЧЁТЕ!

ЗВУК И ВЕТЕР Почему против ветра звук распространяет- ся сравнительно недалеко? Неужели ветер «уносит звук назад» вместе с воздухом? Ведь скорость звука в воздухе 330 м/с, а скорость ветра даже в сильный шторм – около 30 м/c. Художник Алексей Вайнер 34