Квантик 2022-10

e-mail: [email protected] Издаётся Московским Центром непрерывного математического образования № 10|октябрь 2022 № 10 октябрь 2022 НАУЧНЫЕ ВОЛЧОК И КОЛПАЧОК ЗАБАВЫ ИЗ БУМАГИ ТОМА ТИТА ЧТО ЭТО БЕЛЕНЬКОЕ ТАМ ЧЕРНЕЕТСЯ? Enter

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА НА 2023 ГОД и на оставшиеся месяцы 2-го полугодия 2022 года подписаться на журнал «КВАНТИК» вы можете в почтовых отделениях и через интернет ОНЛАЙН-ПОДПИСКА НА САЙТАХ Почтa России: Агентство АРЗИ: БЕЛПОЧТА: podpiska.pochta.ru/press/ПМ068 akc.ru/itm/kvantik kvan.tk/belpost по этим ссылкам вы можете офоНрмАитШь пИодпиИскЗуДи дАляНсИвоЯих друзей, знакомых, родственников ПОДПИСКА В ПОЧТОВЫХ ОТДЕЛЕНИЯХ Почта России: Почта Крыма: БЕЛПОЧТА: Каталог Почты России Каталог периодических Каталог «Печатные СМИ. Россий- изданий Республики Крым ская Федерация. Казахстан» индекс ПМ989 – годовая и г. Севастополя индекс 22923 индекс 14109 – для физических лиц индекс ПМ068 – по месяцам полугодия индекс 141092 – для юридических лиц Подробно обо всех способах подписки, в том числе о подписке в некоторых странах СНГ и других странах, читайте на нашем сайте kvantik.com/podpiska НАШИ НОВИНКИ Уже поступил в продажу Календарь загадок www.kvantik.com от журнала «Квантик» на 2023 год Журнал «Квантик» № 10, октябрь 2022 г. Ищите календарь в интернет-магазинах: Издаётся с января 2012 года biblio.mccme.ru, kvantik.ru, my-shop.ru, Выходит 1 раз в месяц ozon.ru, WILDBERRIES, Яндекс.маркет Свидетельство о регистрации СМИ: и других (полный список магазинов на ПИ № ФС77-44928 от 04 мая 2011 г. kvantik.com/buy) выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий [email protected] vk.com/kvantik12 и массовых коммуникаций (Роскомнадзор). t.me/kvantik12 kvantik12.livejournal.com Главный редактор С. А. Дориченко Редакция: В. Г. Асташкина, Т. А. Корчемкина, Учредитель и издатель: По вопросам оптовых и розничных продаж Е. А. Котко, Г. А. Мерзон, Н. М. Нетрусова, А. Ю. Перепечко, М. В. Прасолов, Частное образовательное учреждение дополнительного обращаться по телефону (495) 745-80-31 Н. А. Солодовников Художественный редактор профессионального образования «Московский Центр непре- и e-mail: [email protected] и главный художник Yustas Вёрстка: Р. К. Шагеева, И. Х. Гумерова рывного математического образования» Формат 84х108/16 Обложка: художник Yustas Тираж: 4000 экз. Адрес редакции и издателя: 119002, г. Москва, Подписано в печать: 01.09.2022 Большой Власьевский пер., д. 11. Тел.: (499) 795-11-05, Отпечатано в ООО «Принт-Хаус» e-mail: [email protected] сайт: www.kvantik.com г. Нижний Новгород, ул. Интернациональная, д. 100, корп. 8. Подписка на журнал в отделениях почтовой связи ▪ Почта России: Каталог Почты России (индексы ПМ068 и ПМ989) ▪ П очта Крыма: Каталог периодических изданий Тел.: (831)  218-40-40 Республики Крым и г. Севастополя (индекс 22923) ▪ Белпочта: Каталог «Печатные СМИ. Российская Федерация. Заказ № Казахстан» (индексы 14109 и 141092) Цена свободная Онлайн-подписка на сайтах ISSN 2227-7986 ▪ Почта России: podpiska.pochta.ru/press/ПМ068 ▪ агентство АРЗИ: akc.ru/itm/kvantik ▪ Белпочта: kvan.tk/belpost

ОГЛЯНИСЬ ВОКРУГ Стас и задача коллекционера. Часть 2. И. Высоцкий 2 Что это беленькое там чернеется? П. Волцит 10 ЧТО ПОЧИТАТЬ? 8 Научные забавы Тома Тита ЗАДАЧИ В КАРТИНКАХ 15 Стороны света на небе IV с. обложки Пол или столик? МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Переправы от Шаповалова. А. Шаповалов 16 СВОИМИ РУКАМИ Волчок и колпачок из бумаги. С. Полозков 18 ЧУДЕСА ЛИНГВИСТИКИ Серединка на половинке. О. Кузнецова 20 ИГРЫ И ГОЛОВОЛОМКИ Головоломка с тетрамино. К. Шамсутдинов 22 ОЛИМПИАДЫ 24 32 XXVII Турнир математических боёв имени А.П.Савина. Избранные задачи Наш конкурс СТРАНИЧКИ ДЛЯ МАЛЕНЬКИХ «BO» и «НА». М. Анатоль 26 ОТВЕТЫ 27 Ответы, указания, решения 1

О ГЛВЯОНКИРСУЬГ СТАС И ЗАДАЧА Иван Высоцкий КОЛЛЕКЦИОНЕРА Часть 2 Продолжение. Начало в № 9, 2022

ВОСКРЕСЕНЬЕ, 22:00 взглядом, вздохнул и снова запустил Патрик опять загнал свой мячик лапу в щель. в  узкую щель между диваном и стеной и теперь пытался выудить его оттуда. Если бы вероятность равнялась 1/6, С третьей попытки у него получилось. то в среднем Патрик доставал бы мяч Схватив мяч зубами, пёс в восторге за- с шестого раза, думал Стас. Но только прыгнул на диван и повторил люби- вряд ли эта вероятность равна 1/6, или мый трюк: подбросил мячик в воздух, 1/5, или 1/7. Вообще, вряд ли она та- чтобы тот приземлился в ту же самую кая удобная, что если её перевернуть щель. Эрдель соскочил с дивана и опять вверх тормашками, то получится це- принялся шарить в тесной дыре правой лое число. Это навело Стаса на новую передней лапой. Стас как-то хотел при- мысль: а  что если вероятность не 1/5, двинуть диван вплотную к стене, но, а, скажем, 2/5. Тогда в среднем на пять во-первых, оказалось, что этому мешает попыток приходится два успеха. То розетка, в которую включен торшер, а есть на два успеха в среднем пять по- во-вторых, это значило бы лишить Пат­ пыток, а на один успех 2,5 попытки. рика замечательного развлечения. Конечно, дробное число попыток не С четвёртой попытки мяч был из- бывает, но в среднем – почему бы нет? влечён на белый свет, но только затем, чтобы через пять секунд снова оказать- Так, а если вероятность успеха 3/7, ся в той же дыре. Вчера Патрик забра- то на семь попыток в среднем 3 успе- сывал в щель и доставал оттуда мяч ха, то есть в среднем 7/3 попытки на раз двадцать. Сейчас он намеревался один успех. Закономерность оказалась побить собственный рекорд. Собачьи несложной. Стас подумал ещё немно- лапы не приспособлены для хватания, го и решительно двинулся в кухню. но пёс научился подцеплять мяч ког- По  опыту он знал, что сейчас вопрос тями и подтаскивать его к себе. Наблю- лучше не задавать. Нужно высказаться дая за игрой, Стас вдруг подумал, что и ожидать реакции. Если что-то не так, Патрик, по сути, делает то же самое, то реакция последует незамедлитель- что только что делал Стас. Только се- но. Напротив, отсутствие явной реак- рия Стасовых попыток оканчивается ции следует воспринимать как экви- успехом в виде выпавшей шестёрки, валент фразы: «Я не понимаю, почему а Патрик старается ради настоящей до- на  такой очевидный вывод тебе потре- бычи  – оранжевого резинового мячи- бовалось почти полчаса». ка, который упирается и который нуж- но выволочь из глубокой норы и сжать – Пап, а ведь можно не обязатель- в мощных собачьих челюстях. но для 1/6. Если вероятность события Интересно, а какова вероятность равна p, то математическое ожидание удачно подцепить мяч при каждой от- числа попыток равно . дельной попытке, спросил себя Стас и вопросительно посмотрел на Патри- Реакции не было вовсе. Никакой. ка. Пёс ответил долгим неуверенным Совершенно довольный собой, Стас от- правился спать. ПОНЕДЕЛЬНИК, 17:20 С трудом дождавшись конца уроков, Стас добежал до дома, быстро выгулял 3

О ГЛВЯОНКИРСУЬГ Патрика, позвонил Наташке, и… в об- шесть лет, а это самый возраст для со- щем, всё прошло очень хорошо. бирания киндер-принцесс. Они выходили из торгового центра, – Для Вики, – полувопросительно и Стас, размахивая подарочным паке- произнес Стас. Наташка весело зыр- том пошлого серебристо-розового цве- кнула: та, с воодушевлением рассказывал, какая классная игра нарды, и какой – А ты подумал, я себе принцессу он уже почти чемпион, как вдруг На- ищу? Это тебе принцессу надо, а  мне ташка резко крутанулась на каблуках уже нет. – Наташка показательно ко- и решительным шагом направилась кетничала. – Вот если бы принцы ка- ко входу в супермаркет, притуливший- кие-нибудь… Конечно, это для Вики. ся в первом этаже огромного молла. Понимаешь, всего принцесс восемь. Мы уже все имена наизусть выучи- – Ты куда? ли: Жасмин, Рапунцель, Ариэль, – Подожди минуту, надо кое-что. Золушка, Аврора, Белоснежка, Белль Стас с изумлением увидел, что На- и  эта…  – Наташка сморщила лобик, талья не пошла вглубь магазина, а взя- силясь вспомнить имя. – Мулан. ла со стенда прямо перед кассой шоко- ладное яйцо «Киндер-сюрприз». – Азиатка какая-то. Боясь показаться невежливым – Ты что! Китайская принцесса-вои- или – хуже того – насмешливым, Стас тельница, которая возглавила великое как мог нейтрально поинтересовался: войско, когда её отец стал стар и немо- – А что там? щен! – Сюжетную линию древнекитай- – Принцесса. ского эпоса Наташка поведала таким Час от часу не легче! Стас ещё бы по- звенящим голосом, что ни один покупа- нял, если бы внутри был автомобиль- тель не остался в неведении. – С Мулан чик или динозавр… И тут его осенило: как раз всё хорошо, их у Вики уже три. младшая сестра! Конечно! Вике сейчас И все остальные есть. Кроме Авроры. Нет её. Уже две недели ищем. А без неё 4

коллекция, сам понимаешь, неполная, с газетой и за ним – опять с газетой. и нет Вике покоя. И нам тоже. Сколько Каждый день Стас упрашивал маму ку- же нужно этих дурацких киндеров, что- пить одно яйцо, но после шести разных бы собрать всех принцесс?! бегемотов дело пошло совсем плохо, а в ящике стола ненужным хламом ска- Наталья что-то прикинула и схвати- пливались дубликаты. Стас заподоз­ ла со стенда второе яйцо, тут же пере- рил, что в ближайшем магазине нет думала и положила обратно. нужных бегемотов и попросил маму по- купать киндеры в разных местах. Мама ПОНЕДЕЛЬНИК, 23:00 ворчала, но каждый день, возвращаясь Легко сказать – лечь спать. Кое-как с работы, честно приносила очередное втиснувшись между стенкой и крепко яйцо, которое, будучи вскрытым, как спящим Патриком и отвоевав у него правило, не приносило ни нового бе- кусок одеяла, Стас перебирал в голове гемота, ни даже вкусового удовлетво- события дня. Разумеется, он быстро рения. Сладковатая серовато-бежевая доехал до Наташкиных, а точнее до масса не имела права называться шоко- Викиных, принцесс. ладом, да и никогда им и не была. Не то чтобы Стас имел что-то про- тив киндер-сюрпризов. Много-много Таким образом, азарт киндер-кол- лет назад (восемь, если точно), Стас со- лекционера Стасу был знаком не по- бирал бегемотов, которые прятались наслышке. Он хорошо понимал пере- в желтых контейнерах, которые пря- живания маленькой Вики. И с чего это тались в шоколадных яйцах, которые его пробило на воспоминания? Только прятались в раскрашенной фольге. сейчас он мог оценить, насколько тер- Сначала всё шло хорошо: после беге- пелива была мама. Стас в подробностях мота с газетой был бегемот в шляпе, вспомнил, как долго пришлось охотить- за ним – спортсмен. Но затем дело за- ся за последними двумя бегемотами. стопорилось. Снова появился экспонат И как мама сияла, когда, наконец, по- 5

О ГЛВЯОНКИРСУЬГ следний, десятый бегемот занял почёт- и совершенно затоптали ту область моз- ное место на полке, чтобы запылиться в га, которая отвечает за погружение в полном забвении и через несколько лет сон. Какой тут сон, когда Стас разом всё быть подаренным вместе со всеми со- понял! Сколько нужно киндеров, чтобы братьями пятилетнему соседу Никите. собрать всех принцесс? Сейчас, Наташ- ка, узнаем! Легко! От возбуждения Стас Хорошо, что принцесс восемь, а  не дёрнул ногой и услышал знакомый глу- десять, как бегемотов. И ведь понятно, хой стук: оранжевый мячик, который, что сначала коллекция растёт быстро: оказывается, тоже был здесь, от толч- она начинается с первой принцессы, ка перестал быть здесь и, как обычно, как бы её ни звали. А затем остается до- провалился в знаменитую щель. Уши быть семь принцесс. И, значит, вероят- эрдельтерьера тут же встали торчком1. ность того, что в следующем яйце одна Дальше, понятно, про сон никто уже не из недостающих принцесс, 7/8. А  по- думал. Стас подскочил к  столу, вклю- том не хватает шести принцесс. Веро- чил лампу и занялся вычислением ятность получить нужную уменьшает- математических ожиданий, а Патрик ся до 6/8. И так далее: сейчас осталось взялся за практическую часть. найти лишь Аврору. Если всё без обма- на, то вероятность получить её в  яйце, Значит, так! Первая принцесса яв- которое сегодня купила Наташка, рав- ляется сразу. Нужен только один кин- на 1/8. А это уже мало – заметно мень- дер. Вероятность получить вторую ше, чем вероятность выбросить шесть принцессу равна 7/8, поэтому, чтобы очков, бросив зару. заполучить её, требуется в среднем 8/7 киндеров. Когда это случилось, не Ещё пять секунд Стас молча лежал хватает шести принцесс, вероятность и слушал ровное собачье дыхание. пополнить коллекцию при каждой Но в голове уже запустился процесс, от которого мысли набухли, понеслись по 1 Стоящий или сидящий эрдельтерьер не может кругу, цокая маленькими копытцами, поднять уши торчком. Но лежащий может. 6

попытке равна 6/8, значит, охота на нике математики на каждой странице Художник Алексей Вайнер третью принцессу (конечно, охота на куча задач про «упростите выраже- бегемота звучит лучше, но Вике нуж- ние». И всё всегда отлично упрощает- ны принцессы!), так вот, – охота на ся. Когда не надо. А когда надо – не третью потребует в среднем 8/6 по- упрощается. Вот если бы нужно было пытки, и так далее. А всё это собира- подсчитать сумму чисел от 1 до 8, то тельство принцесс потребует в среднем другое дело. Стас сложил бы первое сколько киндер-сюрпризов? Вот сколь- число с последним, второе – с предпо- ко! Результат Стас записал на страни- следним и так далее. Каждый раз по- це, вырванной из тетради по истории: лучалось бы 9, и вся сумма равнялась бы 9•4 = 36. Стас попробовал и здесь 1+ + + + + + + . сделать то же самое, но ничего хоро- Единица выглядела чужеродно. Но шего не вышло. Он попытался склады- чужеродность удалось устранить: вать дроби сначала парами, потом че- рез одну, а потом затоптанная область + + + + + + +. мозга взяла реванш, цифры перед гла- Ага, а вот это уже математически, зами поплыли и одна за другой пре- с формулами, всё как надо, порадовал- вратились в маленькие оранжевые мя- ся Стас и вынес восьмёрку за скобки. чики. Почему-то погасла настольная Ещё он переписал слагаемые в обрат- лампа, Стас приподнял было голову, ном порядке, чтобы знаменатели рос- но она столкнулась с откуда-то взяв- ли, а не наоборот: шейся подушкой, а ручка, зажатая в  правой руке, превратилась в тёплое 8• + + + + + + + . мохнатое собачье ухо. Правда, тут Стас завяз. Он разгля- Выходя из Стасовой комнаты, папа дывал сумму в скобках в тщетных по- тихо закрыл за собой дверь. пытках понять, как её найти. Честно считать? Лень. А упростить? В учеб- Окончание в следующем номере 7

ЧТО НАУЧНЫЕ ЗАБАВЫ ПОЧИТАТЬ? ТОМА ТИТА В «Издательском доме Мещерякова» переиздана замечательная книга Тома Тита «Научные забавы: интересные опыты, самоделки, развлечения». Автор придумывал эти опыты – и простые, и насто- ящие научные – для своего сына Жана. Все они не требуют особых приборов: хватит обычной кухонной утвари, пробок, спичек и вся- ких других вещей, которые всегда под рукой. Написанная в далёком 1890 году, книга понравится всем, кто любит экспериментировать и разбираться в устройстве окружающе- го мира. Вот несколько отрывков из неё (с гравюрами французского художника Луиса Пойэ) и небольшие советы от «Квантика». СИЛА ДЫХАНИЯ Приготовь для опыта: 2 толстые книги, бумаж- ный пакет. Силу, с которой ты выдуваешь воздух из лёгких, можно измерить специальными приборами. Но до- статочно простого бумажного пакета, чтобы убедить- ся в том, как велика эта cила. Положи пакет на стол, открытым концом к себе, а на него – две толстые книги. Никакого труда не со- ставит тебе силой своего дыхания сбросить этот груз с пакета. Совет: вместо бумажного годится полиэтиленовый па- кет, как и предлагает новое издание. ПРОСТАЯ ХИТРОСТЬ Приготовь для опыта: стакан, воду. Как поднять стакан, почти полный воды, раскры- той рукой? Он должен прилипнуть к ладони. Поставь стакан на стол и накрой его вогнутой ча- стью ладони, согнув пальцы под прямым углом, как показано на нижней части нашего рисунка. Если те- перь, продолжая прижимать ладонь к краю ста- кана, ты разом, резким движением, разогнёшь пальцы, под ладонью у тебя образуется пустота (вернее, разреженный воздух), и этого будет до- статочно, чтобы атмосферное давление победило силу тяжести и  стакан с водой, присосавшийся к твоей ладони, поднялся в воздух. Не рассчитывай на то, что этот опыт удаст- ся сразу. Испробуй стаканы и рюмки разных размеров. 8

СПРЯЧЬ В БУТЫЛКУ Приготовь для опыта: спичку, монету, бутылку, воду. Положи на горлышко бутылки надломленную спичку, а на неё – монету. Попробуй сбросить монет- ку в бутылку, но, чур, не дотрагивайся ни до монетки, ни до спички, ни до бутылки. Не удаётся? А фокус – легче лёгкого. Окуни палец в воду, одну-­две капли воды урони с пальца на спичку в том месте, где она надломлена. Концы спички расходят- ся – больше и больше. Готово! Монета – на дне бутылки. Совет: современные спички слишком короткие, поэто- му используйте деревянную зубочистку, а монетку возьми- те однокопеечную (маленькую и лёгкую). ЧУР, НЕ УРОНИ! Приготовь для опыта: полоску бумаги, монету, шашки, линейку, картон. На краю ровного стола положи полоску бумаги так, чтобы она свисала с  края стола. На эту полоску поставь на ребро монету. Ну-ка, вытащи теперь из-под монеты полоску бу- маги – только, чур, не урони монету! Это сделать совсем нетрудно. Придерживая левой рукой конец полоски, резко ударь по ней указатель- ным пальцем правой руки. Бумага выскользнет из- под монетки, а монетка останется на месте. Точно так же можно быстрым ударом линейки вы- бить одну шашку из столбика, не свалив тех шашек, что стояли на ней. А вот фокус потруднее. Положи на указательный палец левой руки квадратик плотной бумаги или тонкого картона. А свер- ху положи монету. Если ты резко щёлк­ нешь по краю ква- дратика, он вылетит прочь, а  монетка останется у  тебя на пальце. 9

О ГЛВЯОНКИРСУЬГ ЧТО ЭТО БЕЛЕНЬКОЕ ТАМ ЧЕРНЕЕТСЯ? Пётр Волцит Эту статью мы начнём не совсем обычно: с задачи. Задача 1. Что это за загадочные белые выросты (см. фото ниже) на чёрных семенах наверняка хорошо знакомого вам чистотела и какова их функция? Что это за белые выросты? Фото: Tomas Tarvainis, tyt.lt Сразу приведём ответ. Б(оетлыгреевчы. ,рέλоαстιοыνн[аэлсаеймоенн]а–х называются элайосо́мами масло, ср. англ. «oil», и σόμα [сома] – тело), то есть «масляными тельцами». Образуются они из разных частей семени, а у некоторых растений – даже не се- мени, а плода. Но все служат одной и той же цели  – привлечь муравьёв. Все элайосомы богаты жиром и  белком. И при этом мягкие, сочные – они, словно пирожок из «Алисы в Стране чудес», так и просят: «Съешь меня, съешь!». Растения, распространяющие семена с помощью муравьёв, называют мирмекохорными или просто мирмекохо́рами – от греч. μύρμηξ [мюрмекс] – мура- вей и χωρέω [хорео] – двигаюсь, ср. «хореография». Мирмекохория – частный случай зоохории, распро- странения семян животными. Почему они жирные? То, что многие растения «уговаривают» животных съесть свои плоды или сочные выросты семени (при­ семянники), наверняка для вас не новость. Вы не раз видели, как дрозды или свиристели поедают плоды рябины, калины, смородины. Мякоть переваривает- 10

ся, а семена выходят наружу с порцией удобрения. ВООГЛКЯРНУ ГИ С Ь Но пока семена движутся по желудочно-кишечному тракту, дрозд может улететь на многие десятки и сот- ни метров, а порой и на многие километры – никакой ветер не унесёт семена так далеко от материнского растения. Звери – и не только медведи, но и волки, лисы, ку- ницы – охотно едят ягоды черники, опавшие яблоки и сливы. Порой осенью помёт куницы чуть ли не цели- ком состоит из непереваренных семян и косточек. Примеров того, как растения привлекают распро- странителей семян чем-то вкусненьким, можно при- водить множество. Но обычно такие плоды или присе- мянники сладкие – они содержат большое количество сахара. Для самого растения сахар – самое дешёвое из всех угощений, какие оно может предложить живот- ному в качестве платы за транспортные услуги. А для животного легкоусвояемые углеводы, которые можно практически тут же пустить в дело – окислить с получе- нием энергии, – лакомый и весьма желанный продукт. Мы, люди, кстати, тоже очень любим сладкое, и не случайно. Наш огромный мозг мало того, что ужасно прожорлив – составляя всего около 2% от об- щей массы тела, он потребляет до 25% энергии, – так ещё и капризен: ест только глюкозу, ни жиры, ни бел- ки не принимая. Поэтому сладкий вкус пищи сигна- лизирует мозгу: из этого продукта можно получить необходимую энергию быстро, практически сразу. Сахару требуется лишь всосаться в кровь через стенки желудка или кишечника. А вот жиры или белки нуж- но ещё сначала переработать в углеводы. Итак, обычно растения подкармливают своих по- мощников сахаром к обоюдному удовольствию: рас- тение отделывается дешёвым ресурсом, а животное радуется легкоусвояемым калориям. Тогда почему же чистотел, копытень, фиалки, хохлатки, ожика и мно- гие-многие другие растения, как экзотические, так и самые обычные, растущие буквально у нас под нога- ми, кормят муравьёв не сладкими, а жиро-белковыми элайосомами? Неужто муравьи сладкого не любят?! Всякий, кто в походе оставлял на пеньке открытую банку сгущёнки, подтвердит: любят, и ещё как! 11

О ГЛВЯОНКИРСУЬГ А ещё плоды, которые «хотят», чтобы их съели, окрашены ярко. А элайосомы зачастую бесцветные – 12 иной раз без лупы и не заметишь. Итак, Задача 2. Почему элайосомы не яркие? Задача 3. Почему растения-мирмекохоры привле- кают муравьёв не углеводами, а жирами и белками? Подсказка: чтобы ответить на эти вопросы, нуж- но вспомнить или прочитать об особенностях жизни муравьёв, их строения и питания на разных стадиях жизненного цикла. А теперь – ответы. Глаза у муравьёв, конечно, есть, но очень маленькие: из нескольких десятков фа- сеток. Они в основном пользуются не зрением, а ося- занием и обонянием. Поэтому раскрашивать элай- осомы в яркие цвета нет никакой необходимости: муравьи всё равно их не увидят. А вот причина, по которой элайосомы не сладкие, коренится в удивительной особенности муравьёв и их родственников по отряду перепончатокрылых: ос, пчёл, шмелей. Их личинки нуждаются в белковом корме, что совершенно естественно: без белка не нарастишь мы- шечную массу, не вырастешь. А вот взрослым перепон- чатокрылым белки не только не нужны (они уже вырос- ли), но и вредны! Если насильно накормить взрослого муравья или шершня мясом, он умрёт от несварения. Поэтому нектар и размоченный сахар они едят сами, а добытую на охоте гусеницу несут в гнездо на корм личинкам. (Пчёлы – особый случай, они научи- лись выкармливать личинок не «мясом», а пыльцой, в которой тоже содержится довольно много белка. А на ранних стадиях они кормят личинок и вовсе ма- точным молочком – жидкостью с высоким содержа- нием белка, которую выделяют рабочие.) Так что растения-мирмекохоры совершенно спра- ведливо рассудили: если сделать присемянник слад- ким, взрослые муравьи, вероятно, съедят его на ме- сте. А вот если наполнить его жирами и белками, рабочие сами на него не позарятся, но в гнездо личин- кам обязательно унесут – не упускать же такой цен- ный пищевой ресурс! Растения-мирмекохоры «учли» ещё вот какую особенность своих шестиногих помощников: муравьи

очень чистоплотны и терпеть не могут мусора в му- ОВ ОГЛКЯРНУ ГИ С Ь равейнике. Так что после поедания элайосомы само семя обязательно вынесут из гнезда на помойку, где оно и прорастёт к своему удовольствию. Остаётся ответить на последний вопрос: насколько эффективно распространение семян с помощью му- равьёв? На первый взгляд, не очень; ветер или птицы могли бы унести семена гораздо дальше. А на мура- вье далеко не уедешь – кормовой участок муравьиной семьи составляет в лучше случае несколько десятков метров в поперечнике, а обычно и того меньше. И уж за пределы участка муравьи семена точно не вынесут. Всё это так, и действительно, муравьи разносят семена на сравнительно небольшое расстояние. Но малое расстояние компенсируется старательностью и методичностью насекомых-тружеников. Пусть они унесут семена недалеко, зато унесут почти все! А вот семена, к примеру, берёзы (зануда-ботаник сказал бы, что это плоды: малюсенькие орехи с крылышка- ми) по большей части падают рядом с материнским деревом, и лишь малая их часть уносится ветром на приличное расстояние. При этом понятно, что шансы вырасти взрослым деревом есть только у тех семян, которые хотя бы выбрались из-под кроны матери. Так что большая часть семян берёзы и, увы, множества других растений пропадают впустую. А ведь на их об- разование тратятся немалые ресурсы… Растения-мирмекохоры же, с одной стороны, тоже несут серьёзные расходы, загружая элайосомы доро- гими (по сравнению с сахарами) жирами и белками. Но зато у них бо́льшая часть семян попадает в бла- гоприятное для прорастания место. Разве это не вы- годная инвестиция? Судя по тому, сколько растений пользуется услугами муравьёв, очень даже выгодная. И напоследок маленький совет тем, кто хочет по- знакомиться с мирмекохорией не только в теории, но и в жизни. Чтобы увидеть семена с элайосомами и по- наблюдать, как их растаскивают муравьи, помните: эти образования сочные и для жизнеспособности са- мого семени, в общем-то, не нужные. Поэтому, если их не съедят муравьи, они быстро засыхают. Чтобы застать элайосомы, нужно не упустить время, ког- 13

О ГЛВЯОНКИРСУЬГ да плоды уже созрели, но семена из них только-толь- ко начали высыпаться. У чистотела период плодоно- шения растянут, и «поймать» такую стадию легче. А если вы хотите увидеть элайосомы у цветущих рано весной хохлаток, ожики, фиалок, имеет смысл найти эти растения недалеко от дома (они часто растут даже в городских парках) и проверять хотя бы раз в три дня, на какой они стадии. И напоследок – задача для самостоятельного ре- шения. Задача 4. Догадайтесь, как (с помощью чего) рас- пространяют свои семена эти растения: а) плод лотоса; б) плоды чилима (водяного ореха); в) плоды череды; г) коробочки мака; Художник Мария Усеинова д) семена кедровой сосны; е) плоды берёзы. Источники фото: а) patrokl.info; в) Les Mehrhoff, www.discoverlife.org; г) domeckopol, pixabay.com; е) Андрей Любченко, www.plantarium.ru 14

СТОРОНЫ СВЕТА НА НЕБЕ Обычно на карте указаны направления на стороны света. Если начать с севера и двигаться по часовой стрелке, то получится: север, восток, юг, запад. Почему на картах звёздного неба порядок другой? Художник Екатерина Жиркова

Александр Шаповалов ПЕРЕПРАВЫ ОТ ШАПОВАЛОВА га на правый трём китайцам, индусу, Первая авторская подборка задач малайцу и англичанину? на переправу вышла в «Квантике» 8  лет назад.1 С тех пор было придума- 2. На берегах озера по кругу стоят но много новых сюжетов, а подобные 5 пристаней, на каждой человек, у од- задачи появились и в серьёзных олим- ного из них одноместная лодка. Люди пиадах старшеклассников. Так что ре- с соседних пристаней в ссоре и переда- шайте и тренируйтесь. вать друг другу лодку не согласны. Как каждому перебраться на соседнюю по Осталось только напомнить общее часовой стрелке пристань, если пере- правило: пристав к берегу, все долж- двигаться можно только по озеру? ны выйти из лодки на берег, даже те, кто собирается сразу плыть назад, а от 3. Шесть лямзиков весами 1, 2, ..., пристаней никто не расходится, пока 6 кг желают переправиться через реку переправа не завершена. на лодке, которая выдерживает не больше 6 кг. Как им это сделать, если 1. В Сингапуре в любой компании, каждый лямзик может грести не более где есть жители разных наций, каждая двух раз? (Когда плывут несколько, нация не может составлять больше по- гребет только один из них.) ловины компании (в частности, ком­ панией считаются люди в лодке или на 4. На левом берегу реки собрались любом берегу, а посадка-высадка про- 10 простаков и  9 читеров. Всем надо исходит мгновенно). Как на двухмест- на правый берег. Есть двухместная ной лодке переправиться с левого бере- лодка. На правом берегу есть запре- ты: там не может находиться нечётное 1 «Переправы от Шаповаловых», «Квантик» № 3, 2014. простое число простаков и не может находиться чётное (ненулевое) число 16

читеров. Могут ли они все перепра- 7. Гном-отец и 7 его сыновей хотят Художник Ольга Демидова виться? переправить боевую группу эльфов из своего дома в Тайное место в  тылу ор- 5. Если двое или больше туземцев ков. Переправляются подземными тро­ из племени Задир собираются вместе пами в одиночку или по двое, неся с и все они друг с другом незнакомы, то собой Волшебный Фонарь Гномов. Не они подерутся. На левом берегу реки запомнив дороги, без проводника её не собралось 8 задир, среди них – Ах и Ох. пройти. Вначале дорогу до Тайного ме- Каждый из этих двоих знаком не менее ста знает лишь гном-отец. Остальные чем с тремя из собравшихся, а  каждый могут стать проводниками, запомнив из остальных – не более чем с  одним. дорогу: гном запоминает, пройдя один Всем задирам удалось переправиться на раз, а эльфа для этого надо провести правый берег без драки на двухместной туда и обратно. Но дорога проходит лодке. Докажите, что Ах знаком с Ох. мимо Каменного счётчика, тот счита- ет число проходов каждого существа и 6. У подножия Стеклянной горы со- поднимает тревогу, если кто-то прой- брались 12 многоножек с 22, 24, ..., 44 дёт мимо в 6-й раз. Какое наибольшее ногами. Гора скользкая, и многоножка число эльфов сможет переправить се- может забраться на неё или спустить- мья, если вся она и Фонарь в конце ся, только если не менее половины её должны оказаться дома? ног обуты в специальные ботинки. Ка- кое наименьшее число ботинок нужно Ответы в следующем номере заранее приготовить, чтобы все много- ножки могли влезть на гору? (Ботинки Авторы задач: 3 – Сергей Усов, 6 – Сергей Грибок, на гору и с горы могут путешествовать остальные – А.Шаповалов только на ногах многоножек.) Пополняемая подборка задач на переправы: www.ashap.info/Zadachi/Perepravy-m.html 17

СВОИМИ РУКАМИ Сергей Полозков ВОЛЧОК И КОЛПАЧОК ИЗ БУМАГИ За 5 минут можно собрать ори- гами-волчок. Понадобятся обыч- ный офисный лист бумаги (80 г/м²) и плотный лист (160 – 200 г/м²). Нарисуйте на плотном листе ли- нии по схеме (рис. 1) или восполь- зуйтесь ссылкой kvan.tk/volchok и распечатайте схему. Проведите все линии с нажимом, чтобы потом сде- лать по этим линиям ровные сгибы. Это удобно делать шариковой руч- кой. 1 ñì Pис. 1 Pис. 2 Вырежьте расчерченный квадрат со стороной 10 см. Согните его по всем линиям расчерченной стороной нару- жу. Важно не пропустить ни одну ли- нию. Поэтому у каждого угла загибай- те крылья парами; между крыльями будут небольшие зазоры (рис. 2). 18

Сложите из квадрата трапецию (её Из офисной бумаги вырежьте ква- контур выделен красным на рисунке 1) драт со стороной 8 см и сложите ори- и тщательно прогладьте её стороны гами-фигуру «двойной треугольник» (рис. 3). Разверните, поверните ква- (рис. 5). драт на 90Ë и сложите вторую такую же трапецию. Её стороны тоже тщательно прогладьте и снова разверните квадрат. Pис. 3 Pис. 5 Чтобы получился волчок, соедините Наденьте двойной треугольник на 4 угла квадрата вместе (рис. 4). волчок как колпак, чтобы волчок не раскрывался (рис. 6). На гладкой ров- ной поверхности волчок будет вра- щаться. По ссылке kvan.tk/spincap – видеоинструкция. Pис. 4 Pис. 6 Художник Алексей Вайнер 19

Ольга Кузнецова Что может быть проще половинок? Круг делит- 20 ся на два полукруга, учебный год – на полугодия. Но язык – это не математика: например, среди слов по­ лусон, полумесяц, полундра, полусапог, полуночник только одно означает половинку. Догадались, какое? Сначала уберём из списка полундру: там нет при- ставки (для удобства мы называем пол- и полу- при- ставками). Этот смешной призыв ко вниманию был подслушан у голландцев, как и многие морские терми- ны XVIII века. Точнее, голландские матросы кричали что-то вроде: «Падает сверху, поберегись!» (по одной из версий, vаn оndеrеn), а попав в русский язык, выраже- ние превратилось в одно слово. Полуночник – это тот, кто полуночничает, никак не ляжет спать. И если пол­ ночь ещё можно рассматривать как половинку, полу­ ночник – это никак не разделённый пополам ночник. Полусапог отнюдь не развалившаяся или обрезан- ная обувь, как у героя книги Эно Рауда «Муфта, Пол- ботинка и Моховая Борода», а сапог с укороченным голенищем. Да и полушубок, полупальто – тоже не половинки одежды, а короткие варианты. Похоже по- лучилось со словом полустанок: это не полстанка, а на- родное название маленькой железнодорожной станции. В  русском языке XVII века было понятие полуи­ мя  – кличка или личное имя человека в уменьшительной, уничижительной форме, как принято называться в классе или во дворе, но не среди серьёзных людей. Ры- бак, поймавший мелкого леща или даже похожую на леща рыбу, называл её полулещ – в современном рус- ском для этого есть слово подлещик. Сможете перевести с древнерусского слова полумастер и полуполковник? Полусон не половинка сна, а состояние между дрё- мой и бодрствованием. Значит, оно ровно посереди- не на условном графике «сон – явь»? Как ни странно, в таких словах полу- часто означает больше половины. Например, большинство людей считает, что полумрак темнее полусвета, это не мрак со светом пополам, а  что-то ближе к темноте (проверьте, опросив своих знакомых!). A кто-то скажет, что полусвет – это вооб- ще не про освещение, в книгах так называется высшее общество второго сорта, но это уже другая история.

Есть ещё странное слово полуприщур: прищуриться и так означает зажмуриться не до конца, а с пристав- кой полу- у нас на четверть открытые глаза? Конечно, всё это условно: такие неопределённые слова лишь по- могают выразить оттенки смысла. Никто не станет из- мерять высоту века, чтобы отделить прищурившихся от мастеров полуприщура. По той же логике полуме­ сяц должен быть не больше четверти полной луны… или нет? Месяцем сейчас и правда чаще называют серп, молодую или убывающую луну, но совсем недав- но это слово было синонимом луны, полный месяц – полнолуние, полумесяц – половинка луны. Выходит, приставки пол-, полу-  не только ополови- нивают, но ещё обозначают неполноту разной степени, укороченность, уменьшение, и предсказать их пове- дение, не зная слова, трудно. Мы привыкли, что полу­ сфера – это половинка пустого шарика. Но так могла бы называться фигура, которая наполовину сфера, а напо- ловину что-то ещё, например, куб. Или таинственный объект, в полдень превращающийся в сферу, а в  пол- ночь – во что-то совершенно иное... Слово же не обя- зательно обозначает предмет, даже если это существи- тельное. Убывать может какое-то качество, свойство. Полушёлк – это ткань из смешанных нитей, полушалок – маленькая шаль, а вот полузонтиком обычно называ- ют соцветие, которое похоже на зонтик (есть и такой тип соцветия), но чуть отличается строением. В современном русском языке смысл приставок пол- и полу- можно разграничить: одна скорее обо- значает половину, а другая – какой-то признак, выра- женный частично (сравните: полчеловека и получело­ век). Но в древности значения ещё не разошлись так сильно. Например, составитель старинного словаря Памва Берында, описывая кентавра, использует сло- во полконя. Мы скорее описали бы так спортивный снаряд «козёл», шахматную фигуру с оторванной го- ловой или знаменитую лошадь барона Мюнхгаузена, не успевшую полностью проскочить в ворота, – то есть половинки, а не что-то составное. Словом полглавие в XVII – XVIII веках называлась боль, охватывающая полголовы, мигрень. А ещё древнерусские путеше- ственники часто использовали слово полднище. По- пробуйте предположить, что это, и загляните в ответы. Художник Елизавета Сухно 21

Константин Шамсутдинов ГОЛОВОЛОМКА С ТЕТРАМИНО А вот первое задание. Расположите «Квантик» не раз уже писал о те­ на игровом поле 7 × 7 элементы жёл- трамино – фигурках, которые можно того комплекта тетрамино так, чтобы составить из четырёх равных квадра- они не касались друг друга даже угла- тиков, соединяя их сторонами. Всего ми. Это можно сделать без особого тру- существует пять различных тетрами- да. Теперь в свободные клетки игро- но, они похожи на латинские буквы вого поля между жёлтыми тетрамино I, L, O, T и Z. Вот новая головоломка вставьте элементы красного комплекта с этим набором. тетрамино, также не касающиеся друг Запаситесь двумя наборами тетра- друга даже углами. На  рисунке 1 сле- мино двух контрастных цветов, на- ва показан один из вариантов распо- пример, один набор жёлтого цвета, ложения элементов жёлтого комплек- другой – красного. Фигурки можно та, справа показано, как на свободные вырезать из цветной бумаги, но важно, клетки поместить ещё четыре элемента чтобы с обеих сторон они были одного красного набора. При этом один эле- цвета, потому что при поиске реше- мент не поместился, ему на игровом ния их можно как угодно поворачи- поле не нашлось места, значит, голово- вать и переворачивать. Кроме этого, ломка не решена. на бумаге нарисуйте квадрат размером 7 × 7 и разбейте его на единичные ква- дратики (того же размера, из кото- рых составлены тетрамино). Это будет игровое поле. Рис. 1 22

Попробуйте уложить два комплекта шений головоломки (рис.  2). Здесь тетрамино так, чтобы выполнялись ус- тRоIм=у5R, R=L5=+77, = 50,+R1T==108,.RZ = 1, поэ- ловия головоломки. +R5O + Наверняка вы найдёте одно из Рис. 2 1426  решений головоломки. Все их можно ранжировать по дополнитель- А вот задания для самостоятельно- ной характеристике – числу R, которое го решения. Расположите на игровом равно сумме расстояний между оди- поле два набора тетрамино так, чтобы: наковыми фигурами разного цвета. Расстояние между фигурками равно 1) параметр R был равен 0, то есть минимальному количеству клеток, не каждые две одинаковые фигурки принадлежащих двум фигуркам, ко- тетрамино касались друг друга по от- торые нужно перейти, чтобы из одной резку; попасть в другую (двигаясь от клетки к клетке через их общую сторону). Для 2) параметр R был наибольшим; фигурок, имеющих общую сторону 3) пары фигурок тетрамино распо- клетки, это расстояние равно нулю. На- лагались симметрично относительно пример, на рисунке 1 справа расстоя- центра игрового поля; ние между двумя I-тетрамино равно 0, 4) свободная область была единой между двумя L-тетрамино оно равно 3, (не распадалась бы на части). а между двумя T-тетрамино – равно 5. Художник Алексей Вайнер Чтобы понять, как ведётся подсчёт параметра R, рассмотрим одно из ре- 23

XXVII турнир математических боёв олимпиады имени А.П. Савина Материал подготовил Избранные задачи Александр Грибалко 1. (Т. Голенищева-Кутузова, 6) Можно ли, ис- Ежегодно в конце июня пользуя три единицы и три семёрки, а также знаки школьники из многих горо- арифметических действий (сложение, вычитание, ум- дов съезжаются на летний ножение, деление), составить выражение, значение турнир имени А. П. Сави- которого равно 2022? на. Приводим избранные задачи турнира 2022 года. 2. (А. Шаповалов, 5 – 6) В тесном кругу за столом сидят повара, каждый из них либо полный, либо ху- После номера задачи указа- дой. К счастью, никому не пришлось сидеть между ны её автор и классы, в ко- двумя полными поварами, но всё же повар рад, если торых она предлагалась. сидит между двумя худыми. а) Полных и худых пова- ров поровну. Есть ли среди них радующиеся? б) Сре- ди тех, кто рад, полных и худых поровну. Рада треть полных. Какая часть худых рада? 3. (А. Шаповалов, 5 – 8) Из спичек сложен клетча- тый квадрат 8 × 8 так, что каждая клетка имеет сто- рону в одну спичку и огорожена четырьмя спичками. Пока есть отрезки длины 2, Петя должен их убирать, по одному отрезку за ход. Процесс заканчивается, когда нет ходов. Клетка целая, если её по-прежнему огораживают четыре спички. Какое наибольшее чис- ло целых клеток может оставить Петя? 4. (А. Грибалко, 6 – 8) За круглым столом сидят 88 мудрецов. Им сообщили, что на них наденут белые и чёрные колпаки, при этом у каждого цвет колпака будет совпадать с цветом колпака одного из его сосе- дей. Каждый мудрец будет видеть цвета всех колпа- ков, кроме своего. Все мудрецы должны будут одно- временно написать (каждый на своей бумажке) цвет. Могут ли они договориться действовать так, чтобы не менее 60 из них написали цвет своего колпака? 5. (А. Грибалко, 5 – 7) а) Коля закрасил в клетча- том квадрате 6 × 6 четыре клетки, образующие квадрат 2 × 2. Дима не видит квадрат, но за один вопрос может назвать Коле любой набор клеток и узнать, сколько из них закрашено. За какое наименьшее число вопросов Дима может узнать, какие клетки закрасил Коля? б) Та же задача для квадрата 12 × 12. 6. (М. Евдокимов, 6 – 7) На праздник пришли 2n гостей. У каждого из них не менее n знакомых сре- 24

XXVII турнир олимпиады математических боёв имени А.П. Савина ди присутствующих. Верно ли, что для любого n их всегда можно рассадить за длинным прямоугольным столом в два ряда так, чтобы рядом с каждым гостем и точно напротив него сидели его знакомые? 7. (А. Грибалко, 6 – 7) Можно ли разрезать прямо- угольник 3 × 4 на две фигуры так, чтобы ими можно было оклеить в один слой поверхность куба? 8. (А. Шаповалов, 7) В каждой клетке на поверх- ности кубика Рубика 3 × 3 × 3 и на каждой из сторон клеток записаны натуральные числа так, что каждое число на стороне клетки делится на число в клетке. Сумма всех чисел на сторонах в 5 раз больше суммы всех чисел в клетках. Докажите, что найдутся сторо- ны с одинаковыми числами на них. 9. (Е. Бакаев, 7) Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Точки M и N – середи- ны отрезков BI и CI соответственно. Оказалось, что AM = AN. Можно ли утверждать, что AB = AC? 10. (М. Евдокимов, 6 – 8) Король решил устроить тест своему придворному мудрецу. Мудрецу нужно написать на доске 10-значное число, после чего ко- роль назовёт какое-нибудь своё натуральное число от 1 до 100. Если мудрец сможет поставить знаки +, −, × между некоторыми цифрами числа на доске так, что- бы результат был равен числу короля, то он пройдёт тест. Какое число может написать мудрец, чтобы га- рантированно справиться с заданием короля? 11. (А. Грибалко, 7 – 8) Прямоугольник разрезали на полоски 1 × n. Докажите, что число горизонталь- ных или число вертикальных полосок делится на n. 12. (А. Грибалко, 7 – 8) Рассматриваются всевоз- можные разбиения клетчатого прямоугольника на двухклеточные доминошки. Будем называть удачным разбиение, в котором каждый квадрат 2 × 2 содержит целиком хотя бы одну доминошку. А разбиение, где в каждой доминошке можно провести по одной диагона- ли, никакие две из которых не имеют общих концов, назовём красивым. Докажите, что разбиение удачное тогда и только тогда, когда оно красивое. Художник Сергей Чуб 25

Марина Анатоль Художник Ольга Демидова На прошлой неделе во вторник папа ного было напечатано! Папа полистал с мамой разбирали кладовку. Чего журналы, ухмыльнулся и тут же пред- только они там не обнаружили! На са- ложил мне такую задачку: мой верхней полке мама нашла свои любимые бусы, завёрнутые во что-то «Когда на постоянно, а во со време- немыслимое. А папа неожиданно нат- нем уменьшается?» кнулся на свои кусачки, хоть и глядел во все глаза. Они были у него под нога- Ещё он сказал, что если я смогу ре- ми, на самом виду. Главное, что уда- шить, то мы отправим эту задачку лось найти, – это журналы «Квантик» в «Квантик». Я задумалась на миг, а по- за все прошлые годы! Они оказались том как заору во всю ивановскую: «Во, я на антресолях, во тьме их было трудно решила-а-а! На что же у меня голова?!» разглядеть. Там столько всего интерес- И вот теперь эта задачка на страничках журнала. Так что теперь вы сами думай- 26 те или смотрите ответ на с. 31.

Н АШ КОНКУРС, XII ТУР 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 («Квантик»№ 8, 2022) 56. Можно ли раскрасить каждое ребро Яна ср чт сб вс пн вт чт пт сб вс вт Аня ср пт сб вс пн ср чт пт сб пн вт куба в один из четырёх цветов так, чтобы все рёбра каждой грани были разного цвета? 59. На фуршете встретились 10 минера­ ловедов. Каждый принёс с собой коллекцию Ответ: да. Покрасим в один и тот же цвет три минералов, причём все камни на фуршете ока­ ребра, никакие два из которых не лежат в одной зались разных размеров. За время фуршета плоскости (рисунок слева). Поворачивая эту кон- каждые два гостя один раз побеседовали друг с фигурацию так, чтобы она захватывала только другом наедине, обменявшись при этом самы­ ещё неокрашенные рёбра, и раскрашивая их в оче- ми маленькими камнями, которые у них были редной цвет, получим в итоге искомый пример. на руках в тот момент. Могло ли оказаться, что всего в обменах участвовало: 57. Непоседливый кладовщик всю неделю а) менее 10 камней; б) хотя бы 60 камней? переставлял товары по-разному: по алфави­ Ответ: а) нет; б) нет. Будем называть малыша- ту названий от А до Я и от Я до А, по возрас­ ми те камни, которые в какой-то момент фуршета танию и по убыванию массы, по возрастанию были самыми маленькими в чьей-нибудь коллек- и по убыванию суммы измерений, по возраста­ ции. Все камни, участвовавшие в обменах, – ма- нию даты поступления, и каждый раз распо­ лыши. До начала фуршета малышей было 10, ложение товаров отличалось от предыдущих. и каждый из них участвовал по крайней мере в Какое наименьшее количество товаров у него первом для своего первого владельца обмене. Да- могло быть? лее при каждом обмене добавляется не более од- ного нового малыша: меньший из двух становит- Ответ: 4. Трёх товаров не могло быть, пото- ся наименьшим в своей новой коллекции. Всего му что их можно упорядочить только шестью обменов 10·9/2=45. Итого малышей не более 55. способами, а в неделе 7 дней. А четырёх това- 60. Два одинаковых правильных пятиуголь­ ров хватит. Например, если обозначить товары ника симметричны относительно пунктирной цифрами от 1 до 4, в течение недели они могут диагонали (см. рисунок). Найдите длину A‘F, быть разложены в порядках 1234, 4321, 1243, если стороны пятиугольников все равны 1. 3421, 1324, 4231, 1342. Ответ: 2. Пусть K – точка A‘ пересечения A‘F и EC. За- B‘ 58. У Яны день рождения в январе, а у Ани – метим, что правильный пя- в апреле. В 2018 году дни рождения девочек D пришлись на вторники. В каком году у обеих девочек день рождения будет во вторник в сле­ тиугольник симметричен, и K C дующий раз? поэтому любая диагональ в E нём параллельна «противо- Ответ: в 2029. В обычном году 365 дней, то положной» стороне. Отсюда D‘ есть 52 недели и 1 «лишний» день, а в високос- следует, что A‘B‘ || EC || AB, а ном году таких «лишних» дней два. Дополни- также A‘D‘ || B‘C (и значит, F тельный день високосного года добавляется в A‘B‘CK – параллелограмм). A 1B конце февраля – между январём и апрелем. По- этому у дня рождения Яны скачок в два дня не- Кроме того, поскольку стороны красного и сине- дели будет случаться между високосным годом го пятиугольников равны, равны и их диагона- и следующим за ним, а у дня рождения Ани – ли, то есть AE = CB‘ и AC = EB‘ , откуда AEB‘C – между високосным годом и предыдущим (так, параллелограмм. Таким образом, A‘K || B‘C || AE, в 2019 году оба дня рождения будут средами, то есть AEKF – также параллелограмм! Но тог- а в 2020 – четвергом и пятницей). Заполняя по да A‘K = B‘C = AE = KF = 1, а значит, A‘F = 2. такому правилу таблицу по годам, видим, что Замечание. Можно также доказать, что точ- впервые оба дня рождения снова выпадут на ки A, D‘ и C лежат на одной прямой. вторник в 2029 году:  ДИДОНА И ТРЕУГОЛЬНИК («Квантик»№ 9, 2022) Для определённости пусть нам дан треу- гольник ABC площади 1. Может показаться, 27

что ответ – высота этого треу- окружности возрастёт при этом меньше, чем в гольника или же отрезок, па- 2 раза. То есть половина длины второго круга раллельный его основанию. меньше длины третьего, и она выгоднее. Ана- Верный ответ – дуга окружно- A логично, первый круг получается из второго увеличением площади в 3 раза, а значит, длина сти с центром в вершине треу- окружности возрастёт меньше, чем в 3 раза. По- гольника. В самом деле, кон- этому шестая часть окружности первого круга цы искомой линии лежат на меньше половины длины второго. Итого, пер- каких-то сторонах треуголь- B C вый случай и даёт минимум. ника, пусть на AB и AC (первый случай). Отраз- ЧТО ЭТО БЕЛЕНЬКОЕ ТАМ ЧЕРНЕЕТСЯ? им треугольник 6 раз относительно вершины A, Задача 4. а) Плоды лотоса (многоорешки) получится шестиугольник площади 6. сначала плавают по поверхности воды, а затем Линия тоже отразится и тонут и высвобождают семена. превратится в замкнутую б) Плоды (сухие костянки) чилима, или во- кривую (так как поворотов дяного ореха тоже сначала плавают, а затем то- было чётное число), выреза- A нут и «заякориваются» на дне. в) Плоды (семянки) череды «ездят» на жи- ющую из шестиугольника фи- вотных, цепляясь за шерсть. гуру площади 3. Эта кривая г) Коробочки мака разбрасывают семена как имеет наименьшую возмож- баллисты, когда сухой стебель качается на ве- ную длину из всех кривых, B C тру или его задевает проходящее животное. охватывающих площадь 3 (подумайте, почему). д) Семена кедровой сосны растаскивают в По задаче Дидоны, это окружность, а искомая свои кладовые животные, прежде всего кедров- линия – её дуга, одна шестая часть по длине! ка и бурундук. Часть кладовых они теряют, кро- Строго говоря, надо разобрать ещё два слу- ме того, роняют некоторые семена по дороге. чая (второй и третий) – когда оба конца линии е) Слева – прицветные чешуи, никаких се- выходят на одну и ту же сторону или когда ли- мян в них нет. А справа – односемянные плоды, ния вообще не выходит на границу, то есть это орехи с крылышками. Распространяются они, замкнутая кривая внутри треугольника. конечно, ветром. Во втором случае отразим треугольник один раз – получится замкнутая линия наименьшей СТОРОНЫ СВЕТА НА НЕБЕ длины, окружающая площадь 1. В третьем слу- Карта земли – это вид сверху, а карта неба  – чае у нас сразу есть замкнутая линия наимень- вид снизу. Поэтому порядок сторон света разный. Представьте, что вы стоите лицом на север и на- шей длины, окружающая площадь . По задаче чертили на земле направления на стороны света. Запрокиньте голову вверх: восток остался справа, Дидоны, обе эти линии – окружности. запад – слева, а север и юг поменялись местами. Итак, всего у нас есть три СЕРЕДИНКА НА ПОЛОВИНКЕ круга: площади 3, площади 1 Полумастер – подмастерье, помощник ма- стера и будущий мастер; полуполковник – под- и площади , и надо сравнить полковник. Полднище – это расстояние, кото- рое можно преодолеть за полдня. Но если вы три длины: одну шестую часть предположили сытный полдник или половину окружности первого круга, по- лодки – не огорчайтесь: такое тоже могло быть. ловину окружности второго и всю окружность третьего. S=3 ГОЛОВОЛОМКА С ТЕТРАМИНО 1) Существует 5 различных решений, где Сделаем такое наблюдение: если R = 0, одно из них приведено спра- увеличить радиус круга в какое-то ва. Здесь все пары одноимённых число раз, то длина его окружности тетрамино касаются друг друга возрастёт в то же самое число раз, отрезком, то есть расстояние меж- а площадь – в большее число раз (в S=1 ду ними равно 0. квадрат числа раз). Но второй круг получается из треть- его увеличением площади в 2 раза. По предыдущему наблюдению, длина S = 28

2) Справа приведено решение, в Петя убрал из неё два отрезка или меньше, то котором значение R максимально на линии останется не больше трёх отрезков, возможное и равно 23. Расположить каждый из которых должен быть длины 1, ина- тетрамино в этом случае возможно че можно убрать ещё один отрезок длины 2. Но единственным образом. 3 + 2 ∙ 2 = 7 < 8. Значит, Петя убрал хотя бы три Расстояния между парами тетрамино тако- отрезка и на линии осталось не больше двух сто- вы: 5R+I=15+, 7R+L =7 +1,3R=O2=37. ,ЭRтоT р=е7ш, еRнZи=е 3, поэтому рон квадратиков. Каждая из них может быть R= уникально стороной не больше одной целой клетки, иначе ещё и потому, что оно является решением зада- можно убрать вертикальный отрезок длины 2. ний 3) и 4). Поэтому в каждом прямоугольнике 2 × 8 Петя может оставить не более двух целых клеток, а во XXVII ТУРНИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ всём квадрате – не более восьми. БОЁВ ИМЕНИ А.П. САВИНА 4. Ответ: могут. Разобьём мудрецов на мак- Избранные задачи симальные группы сидящих подряд в одноцвет- 1. Ответ: да. Например, 7 ∙ 17 ∙ 17 − 1 = 2022. ных колпаках. Группы длины 1 запрещены по 2. Ответ: а) нет, б) . Разобьём всех поваров на условию. Группы длины 2 назовём короткими, а остальные – длинными. Каждый мудрец корот- максимальные группы людей одной комплекции, кой группы знает цвет своего колпака, посколь- сидящих подряд. Группы полных и  худых пова- ку понимает, что сидящий рядом с ним мудрец ров чередуются, поэтому их поровну. Так как ни- той же группы не может образовывать группу кто не сидит между двумя полными поварами, то длины 1. Мудрец длинной группы, сидящий не с в каждой группе полных не более двух поваров, а краю группы, тоже знает цвет своего колпака, так в каждой группе худых – не менее двух. как понимает, что не может образовывать группу длины 1. Крайние мудрецы длинных групп пусть а) Пусть групп полных и худых поваров по n. напишут, например, цвет колпака своего правого Значит, полных поваров не более 2n, а худых – соседа. Тогда крайние справа мудрецы из длин- не менее 2n. По условию полных и худых пова- ных групп ошибутся, зато левые угадают. Поэто- ров поровну, следовательно, их по 2n. Но тогда му количество ошибок будет равно числу длин- каждая группа состоит из двух поваров, каж- ных групп. Предположим, что ошибётся не менее дый из них сидит между полным и худым, поэ- 29 человек, тогда и длинных групп не менее 29, тому нет повода радоваться. а суммарно в них не менее 87 мудрецов. Так как группы в белых и чёрных колпаках чередуются, б) Пусть рады по k полных и худых поваров. то их поровну, поэтому общее число групп чётно. Тогда количество полных поваров равно 3k. Значит, есть ещё хотя бы одна группа, но тогда Полный повар рад, если он в одиночку состав- всего мудрецов не менее 89. Противоречие. Сле- ляет группу. Остальные полные повара образу- довательно, ошибётся максимум 28 мудрецов, ют группы по двое, значит, таких групп тоже k, а не менее 60 напишут цвет своего колпака. то есть всего групп полных поваров 2k. Групп худых поваров столько же, в каждой из них 5. а) Ответ: за 2 вопроса. Первый вопрос рады все повара, кроме двух крайних. Таким Дима задаёт про клетки, отмеченные на левом образом, есть 2 ∙ 2k = 4k не радующихся худых рисунке, второй – про клетки, отмеченные на поваров и ещё k радующихся. Следовательно, правом рисунке. После первого вопроса Дима узнает, в каких двух столбцах расположен за- доля радующихся составляет . крашенный квадрат, а после второго – в каких двух строках. Таким образом, он поймёт, какие 3. Ответ: 8 клеток. Петя может оставить 8 кле- клетки закрасил Коля. ток, если будет убирать отрезки, как на рисунке. ×××× ×××××× Разобьём квадрат на 4 го- ×× ×××××× ризонтальных прямоуголь- ника 2 × 8 и покажем, что в ×××× ××× каждом прямоугольнике Петя ×× ××× не может оставить более двух целых клеток. ×××× ×× Рассмотрим горизонталь- ную среднюю линию прямоу- гольника (см. рисунок). Если 29

За один вопрос Дима не узнает, где находит- с ним и напротив сидят A, C и D. У C должен ся квадрат, потому что есть 25 возможных рас- быть ещё хотя бы один знакомый, который си- положений квадрата, а ответов на вопрос – все- дит рядом с ним или напротив, причём это не го пять (от 0 до 4). может быть ни A, ни D. Но никаких других зна- комых у него нет. Противоречие. б) Ответ: за 3 вопроса. Первый вопрос Дима 7. Ответ: можно. задаёт про клетки, отмеченные на левом рисун- Разрежем прямоугольник, как ке. Если он получает ответ 0, то закрашенный показано на рисунке. Поверхность квадрат находится в левом нижнем квадрате куба легко оклеить 12  одинаковы- 6 × 6, если 1 – в правом верхнем, если 3 – в пра- ми квадратами, если диагональ вом нижнем, а если 4 – в левом верхнем. В этих каждого квадрата будет совпадать с ребром куба случаях далее Дима действует аналогично п. а). (см. рисунок). Одну из фигур можно разместить ×××××× × × × ×× так, чтобы клетки, образующие в ней квадрат ×××××× ×× 2 × 2, сходились в центре верхней грани куба. ×××××× × × × ×× Тогда остальные две клетки будут ×××××× ×× ×××××× × × × ×× покрывать два соседних боковых ×××××× ××××××× × × ребра. Разместив вторую фигуру ×××××× × × × симметрично относительно центра ××× ×××××× куба, получим искомую оклейку. ××× 8. Предположим, что все числа на сторонах ×××××× различны. Пусть в некоторой клетке записа- ××× но число k. Так как все числа на сторонах этой Если же он получает ответ 2, то закрашен- клетки различны и делятся на k, то их сумма не ный квадрат находится в кресте, показанном на правом рисунке. Тогда Дима задаёт второй меньше k + 2k + 3k + 4k = 10k. Просуммировав такие неравенства по всем клеткам, мы каждую вопрос про клетки, отмеченные на этом рисун- сторону учтём дважды, поэтому сумма всех чи- ке. Если он снова получает ответ 2, то Коля за- красил клетки центрального квадрата 2 × 2. Во сел на сторонах хотя бы в 5 раз больше суммы всех чисел в клетках. По условию эти суммы от- всех остальных случаях закрашенный квадрат личаются ровно в 5 раз, поэтому все указанные находится в одном из прямоугольников 2 × 6 внутри креста. Дима задаёт третий вопрос про неравенства обращаются в равенства, то есть на сторонах клетки с числом k записаны числа k, клетки этого прямоугольника, 2k, 3k, 4k. Пусть m – наименьшее из всех чисел отмеченные на рисунке справа, ×××× на сторонах. Тогда на сторонах смежных с  ней после чего узнает, какие клетки ×× клеток записаны, например, равные числа 2m. закрасил Коля. 9. Ответ: можно. Удво- A За два вопроса Дима не сможет узнать, где ив медианы AM и AN тре- квадрат, потому что на один вопрос он получает только пять различных ответов (от 0 до 4), поэ- угольников ABI и ACI, получим отрезки AP и AQ тому за два вопроса он сможет различить не бо- соответственно. Эти отрез- лее 25 позиций квадрата, но их 121. I ки равны, поскольку по M 6. Ответ: неверно. Пусть n = 3, а граф зна- условию AM = AN. Так как N комств выглядит так, как по- А ABPI и ACQI – параллело- B C казано на рисунке. Предполо- жим, что всех гостей удалось F граммы, то отрезки IP и IQ B равны и параллельны соот- рассадить за прямоугольным ветственно отрезкам AB и Q столом согласно условию. По- AC. Углы AIP и AIQ допол- P скольку A и D не знакомы, то E хотя бы один из них сидит не в C няют до 180Ë равные острые углы BAI и CAI, середине ряда. Значит, одну из D поэтому они тоже равны и при этом тупые. Сле- довательно, треугольники AIP и AIQ равны по середин занимает кто-то другой, без ограниче- двум сторонам и углу, лежащему против боль- ния общности можно считать, что это B. Рядом шей из этих сторон, откуда AB = IP = IQ =AC. 30

10. Ответ: например, 8102790310. Мудрец положим, что какие-то две диагонали имеют об- разделит его на числа 81, 0, 27, 9, 0, 3, 1 и 0. щую вершину A. Тогда квадрат 2×2 с центром A Любое число от 1 до 121 может быть пред- не содержит целиком ни одной доминошки, что ставлено в виде суммы некоторых из чисел 81, противоречит удачности разбиения. 27, 9, 3, 1, взятых со знаком «плюс» или «ми- нус». Про это можно почитать в статье «Как Бу- Теперь докажем, что красивое разбиение сенька меняла знак числа» в «Квантике» № 12 удачно. Предположим, что это не так и нашёлся за 2014 год. Лишние числа можно убрать, по- квадрат 2×2, не содержащий ни одной целой до- ставив знак умножения между каждым из них миношки. Тогда в его центре A сходятся четыре и соседним нулём. доминошки. Не более чем у одной из них диаго- 11. Пусть прямоугольник имеет размеры a×b, наль может выходить из точки A, поэтому най- где a – число строк, b – число столбцов. Дока- дутся две доминошки, имеющие общий отрезок жем, что хотя бы одно из чисел a или b делится границы, у которых проведённые диагонали не на  n. Предположим, что это не так, и разделим содержат точку A. Тогда эти доминошки долж- сиихмнаклnетскоистпартякмомоу: гaо=льkнnи+каa1в, bn=цlвnе+тоbв1.. Покра- ны быть расположены перпендикулярно друг Клетки другу, то есть как показано на рисунке. диагонали, содержащей левую верхнюю клет- ку, – в первый цвет, клетки соседней диагонали – A во второй и так далее по циклу, как на рисунке ниже. Так как каждая полоска содержит по од- Закрашенную клетку должна покрывать ка- ной клетке каждого цвета, то клеток всех цветов кая-то доминошка, при этом она не может быть поровну. Отрежем от прямоугольника сначала вертикальной, иначе её диагональ имела бы об- прямоугольник kn × b снизу, а затем от остав- щий конец с диагональю одной из рассматрива- шейся части – чпарсятимомуогжолньонриакзбaи1т×ь ln справа. емых доминошек. Значит, эта клетка покрыта Обе отрезанные на полоски горизонтальной доминошкой, причём её диа- 1 × n, поэтому в каждой из них клеток всех цве- гональ проводится однозначно. Далее рассмо- тов поровну, а значит, это верно и для оставше- трим новую закрашенную клетку. Аналогично иигaеос1зтссJтьояосbпaлт1а1рьл(кяксьомллнуоежытучеогхакойкцллпвьaееен1ттрио>овкквоbагк1(оaсаам1жцн×.дварbоел1тгио.оа-гБиучaде1енмn1). считать, что её может покрывать только горизонтальная сунок), то есть всего в прямо- Тогда всего доминошка, в которой мы также однозначно Пугроолтьинвиокреечaи1nе.> a1b1 клеток. 234 проводим диагональ. Продолжая такие рассуж- 1234 дения, придём к противоречию с тем, что число n1234 доминошек конечно. n123 «ВО» И «HA» b1 Ответ: например, когда речь идёт о разнице в возрасте ребёнка и родителя. Можно спро- Будем считать, что количество столбцов де- сить: «На сколько лет папа старше дочки?» лится на n. Раскрасим клетки прямоугольника и «Во сколько раз папа старше дочки?». в n цветов по-другому. Все клетки первой стро- В первом случае это будет вполне опреде- ки покрасим в первый цвет, второй строки – во лённое число (скажем, 29 лет). А во втором второй и так далее по циклу. Тогда количество случае отношение возрастов будет всё время клеток каждого цвета кратно n. В каждой гори- уменьшаться: когда дочке 1 год, папе 30, и от- зонтальной полоске 1 × n число клеток первого ношение равно 30, а когда дочке 2 года, папе цвета равно 0 или n, то есть делится на n. Сле- 31, и отношение равно 15,5, и с каждым годом довательно, вертикальные полоски содержат отношение будет всё меньше. Почему? кратное n число клеток первого цвета. Но ка- Пусть, скажем, первое число больше друго- ждая вертикальная полоска покрывает ровно го в 15,5 раз. Тогда если второе число увели- одну клетку первого цвета, поэтому их количе- чить на 1, то первое надо увеличить на 15,5, ство делится на n. чтобы оно по-прежнему было больше второго 12. Докажем, что удачное разбиение краси- в  15,5 раз. У нас же первое число тоже увели- во. Проведём в каждой доминошке диагональ из чивается на 1, поэтому оно остаётся больше левого нижнего угла в правый верхний. Пред- второго, но в меньшее число раз. 31

наш олимпиады КОНКУРС Приглашаем всех попробовать свои силы в нашем заочном математическом конкурсе. Первый этап состоит из четырёх туров (с I по IV) и идёт c сентября по декабрь. Высылайте решения задач II тура, с которыми справитесь, не позднее 5 ноября в систему проверки konkurs.kvantik.com (инструкция: kvan.tk/matkonkurs), либо электронной почтой по адресу [email protected], либо обычной почтой по адресу 119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11, журнал «Квантик». В письме кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. В конкурсе также могут участвовать команды: в этом случае присылается одна работа со списком участников. Итоги среди команд подводятся отдельно. Задачи конкурса печатаются в каждом номере, а  также публикуются на сайте www.kvantik.com. Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квантик» и призы. Желаем успеха! II ТУР 6. В гостиной, спальне и кухне висят градус- ники. В спальне температура всегда выше на 1 градус, чем в гостиной, а на кухне – ещё на 1  градус выше. Петя записал утром, днём и ве- чером показания всех трёх градусников, но ров- но в одном числе сделал опечатку. В результате получились числа (в каком-то порядке): 17, 18, 19, 22, 25, 25, 26, 27, 27. В каком числе опечат- ка и что должно там стоять? Ответ обоснуйте. 7. Маша сшила восьмиугольную скатерть из пяти квадратов и четырёх равнобедрен- ных прямоугольных треугольников (см. ри- сунок). А можно ли сшить точно такую же скатерть из одного квадрата и восьми равно- бедренных прямоугольных тре­угольников (не обязатель- но одинаковых)? 32

КнаОшНКУРС олимпиады Авторы: Борис Френкин (6), Татьяна Корчемкина (7), Сергей Костин (8, 10), Михаил Евдокимов (9) 8. В слове СЛУЧАЙНОСТЬ школьники слу- чайным образом заменяют буквы на цифры (одинаковые буквы на одинаковые цифры, а раз- ные буквы на разные цифры, причем первая буква слова не может заменяться на цифру  0). Найдите вероятность того, что полученное в результате число делится на 3. (То есть какую долю среди всех возможных вариантов составля- ют числа, делящиеся на 3.) 9. Все грани треугольной пирамидки – Художник Николай Крутиков одинаковые равносторонние треугольники. У  каждой грани отметили середины сторон и соединили друг с  другом, разбив грань на 4 одинаковых маленьких треугольничка. Каж- дый из этих 16 получившихся треугольничков окрасили в один из трёх цветов – красный, си- ний или зелёный, – так, что любые два треу- гольничка с общей стороной окрашены в раз- ные цвета (не забудьте, что треугольнички с общей стороной могут принадлежать и разным граням). Какое наибольшее количество крас- ных треугольничков могло получиться? 10. Существует ли многоугольник, который с помощью одного прямоли- нейного разреза можно разрезать на треугольники с площадями 1, 2, 3, а с помощью другого прямолинейного раз- реза – на треугольники с площадями 2, 2, 2?

Два человека спорят, почему квад­ ратн­ый столик с четырьмя ножками качается: один говорит, что пол ров- ный, а ножки у  столика сделаны пло- хо, другой  – что ножки идеальные, а пол кривой. Как выяснить, кто из них прав? Ни- каких измерительных приборов под рукой нет. Художник Елена Цветаева