Квантик 2020-07

e-mail: [email protected] Издаётся Московским Центром непрерывного математического образования № 7|июль 2020 №7 июль 2020 О ЧИСЛАХ ОТРАЖЕНИЯ В ЗРАЧКЕ И ФИГУРАХ И «ВОЛШЕБНЫЕ» СТЁКЛА РАЗБИЕНИЕ НА ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Enter

ЭЛЕКТРОННУЮ ВЕРСИЮ журнала «КВАНТИК» можно приобрести На сайте магазина «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КНИГА» издательства МЦНМО kva n .t k/e-s hop На сайте ЛитРес по ссылке kva n .t k/l i t res На этих сайтах также можно найти много электронных книг издательства МЦНМО ваш главный книжный УСЛУГИ  Читательские клубы АССОРТИМЕНТ по интересам Мы предлагаем  И нтернет-магазин  Книги большой выбор www.bgshop.ru  Индивидуальное  Аудиокниги товаров и услуг обслуживание  А нтиквариат и предметы  Кафе г. Москва, м. Лубянка,  Клубные (дисконтные)  Подарочная упаковка коллекционирования м. Китай-город  Доставка книг  Ф ильмы, музыка, игры, софт ул. Мясницкая, д. 6/3, стр. 1 карты и акции  Канцелярские  Подарочные карты из-за рубежа  Предварительные  Выставки-продажи и офисные товары  Цветы заказы на книги  Сувениры  Встречи с авторами 8 (495) 781-19-00 пн – пт 9:00 - 22:00 сб – вс 10:00 - 21:00 без перерыва на обед www.kvantik.com instagram.com/kvantik12 vk.com/kvantik12 kvantik12.livejournal.com twitter.com/kvantik_journal [email protected] facebook.com/kvantik12 ok.ru/kvantik12 Журнал «Квантик» № 7, июль 2020 г. Учредитель и издатель: По вопросам оптовых и розничных продаж Издаётся с января 2012 года Частное образовательное учреждение дополнитель- обращаться по телефону (495) 745-80-31 Выходит 1 раз в месяц ного профессионального образования «Московский и e-mail: [email protected] Свидетельство о регистрации СМИ: Центр непрерывного математического образования» ПИ № ФС77-44928 от 04 мая 2011 г. Формат 84х108/16 выдано Федеральной службой по надзору в сфере Адрес редакции и издателя: 119002, г. Москва, Тираж: 4000 экз. связи, информационных технологий и массовых Большой Власьевский пер., д. 11 Подписано в печать: 8.06.2020 коммуникаций (Роскомнадзор). Тел.: (499) 795-11-05, e-mail: [email protected], Главный редактор: С. А. Дориченко сайт: www.kvantik.com Отпечатано в ООО «Принт-Хаус» Редакция: В. Г. Асташкина, Е. Н. Козакова, г. Нижний Новгород, Е. А. Котко, Р. В. Крутовский, И. А. Маховая, Подписка на журнал в отделениях Почты России: ул. Интернациональная, д. 100, корп. 8. Г. А. Мерзон, А. Ю. Перепечко, М. В. Прасолов ▪ Каталог «Газеты. Журналы» Тел.: (831) 216-40-40 Художественный редактор агентства «Роспечать» (индексы 84252 и 80478) и главный художник: Yustas ▪ Объединённый каталог «Пресса России» Заказ № 201317 Вёрстка: Р. К. Шагеева, И.Х. Гумерова Цена свободная Обложка: художник Алексей Вайнер (индексы 11346 и 11348) ISSN 2227-7986 Онлайн-подписка на сайте агентства «Роспечать» press.rosp.ru на сайте агентства АРЗИ www.akc.ru/itm/kvantik/

КАК ЭТО УСТРОЕНО 2 Отражения в зрачке и «волшебные» стёкла. В. Сирота УЛЫБНИСЬ 6 Проблема с периметром МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СКАЗКИ 7 Следующее число. К. Кохась МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Разбиение на подобные треугольники. А. Блинков 12 ДВЕ ТРЕТИ ПРАВДЫ 16 Саврасов, Стравинский, Репин. А. Челпанова ВЕЛИКИЕ УМЫ 18 Ганс Радемахер, Отто Тёплиц. О числах и фигурах. С. Львовский ОЛИМПИАДЫ 24 26 LXXXVI Санкт-Петербургская олимпиада 32 по математике. Избранные задачи городского тура Конкурс по русскому языку, III тур Наш конкурс ОТВЕТЫ 27 Ответы, указания, решения ЗАДАЧИ В КАРТИНКАХ IV с. обложки Прозрачный бак? В. Сирота

КАК ЭТО УСТРОЕНО Валерия Сирота ОТРАЖЕНИЯ В ЗРАЧКЕ И «ВОЛШЕБНЫЕ» СТЁКЛА В фильме «Шерлок Холмс и док- Но ведь зрачок – это пустое место, тор Ватсон» знаменитый сыщик гово- отверстие, через которое в глаз попа- рит, что проверил, правда ли в зрачке дает свет! Там как раз ничего нет! Как жертвы остаётся изображение убий- же тогда получается отражение? И по- цы, и пришёл к выводу, что это пол- чему именно там, в зрачке, отражение ная чушь.1 Однако в зрачках живого получается даже лучше (как видно на человека вполне может отражаться фотографиях), чем от радужной обо- то, на что он смотрит, – например, на лочки глаза – цветного кольца, окру- этих фотографиях в зрачке отражают- жающего зрачок? ся фотограф и смартфон, на который он снимает. Прежде чем читать дальше, попро- буйте сами ответить на эти вопросы! *** В одной из задач в прошлом номе- ре «Квантика» читателей спрашива- ли, как может быть устроено «одно- стороннее зеркало»: с одной стороны оно пропускает свет, как окно, а с дру- гой – отражает, как зеркало. В московском музее «Эксперимен- таниум» есть такой экспонат – «Вол- шебное стекло». По обе стороны от него – по стулу, возле каждого стула – лампочка. Два человека садятся напро- 1 В повести Конан Дойля «Этюд в багровых тонах», по которой снят фильм, такого эпизода нет. Приду- мали его создатели фильма или взяли из какого-то другого произведения Конан Дойля – автору неизвестно. 2

КАК ЭТО УСТРОЕНО тив друг друга, и один из них включа- А что будет, если второй человек ет свою лампу. И вот чудеса: тот, кто тоже включит лампу? Для него само- в  тени, видит через стекло того, кто го мало что изменится – ведь основ- включил лампу и  осветил себя; а тот, ная часть «нового» света уйдёт через кто включил лампу... видит своё отра- стекло к его напарнику. А вот напар- жение. Для одного стекло прозрачное, ник уже не будет видеть собственного для другого – это зеркало. тусклого отражения на ярком фоне того, кто за стеклом. Но если лампу включит другой, а первый выключит – они поменяются «Одностороннее зеркало» есть ролями! На самом деле стекло обыч- и у вас дома; но оно работает как зер- ное. Секрет в том, что любое стекло кало не всегда, а только вечером или пропускает не весь падающий на него ночью. Это окно. Днём вы хорошо свет; небольшую часть света оно от- видите через стекло улицу, людей на ражает. С той стороны, где лампа, на ней, соседние дома... Оконное стек- стекло падает много света; большая ло почти без искажений пропускает его часть проходит сквозь стекло и по- падает, в том числе, в глаза того, кто сидит в темноте. Вот он и видит то, что за стеклом,  – как в окне. Но не- большая часть, отражённая назад, попадает в глаза тому, кто освещён, – это немного, и  его отражение получа- ется неярким, но ведь ничего другого с той, теневой, стороны ему в глаза не попадает! 3

КАК ЭТО УСТРОЕНО уличный свет. А вечером, когда Где ещё работает этот эффект? Те, на улице темно, вы, подойдя к тому же кто учатся рисовать, знают, что окна окну, видите своё отражение! домов снаружи выглядят днём тёмны- ми, а вечером – светлыми. Причина та Теперь понятно, почему: днём на же самая: днём снаружи светлее, чем улице света много, и на фоне яркой внутри, поэтому от оконных стёкол улицы мы не видим своего совсем сла- отражается больше света, чем прохо- бенького отражения. Тёмным вечером дит через них изнутри. И вы, конечно, с улицы никакого света не приходит, сами догадаетесь, почему ярким сол- а в комнате светло – вот вы и видите нечным днём нехороший человек, под- отражение комнаты. Причём себя вы, глядывающий в чужие окна, вынуж- скорее всего, увидите только в виде си- ден вплотную прижиматься к стеклу луэта – вы ведь стоите лицом к окну, лбом, а вечером в освещённой комнате и  лицо ваше вряд ли освещено. Чем и люди, и предметы видны издалека. ближе вы к окну, тем темнее ваше от- ражение. Однако если вы выключите Теперь вернёмся к вопросу про от- в комнате свет – окно снова перестанет ражения на фотографиях глаз, кото- быть зеркалом... рый мы задали в начале этой статьи. Свет, падающий снаружи, отражается Кстати, с экраном телефона или не от самого зрачка, а от поверхности компьютера та же история – когда он глаза. Точнее, от тонкой плёнки жид- выключен, а вы хорошо освещены, кости, нужной для защиты от пыли, его можно использовать как зеркало. ветра, солнца и т. д. Почему же отра- А «настоящих» односторонних зеркал жение в  зрачке чётче и контрастнее, в  природе не бывает: если свет прохо- чем вокруг него, ведь над радужной дит через какую-то среду в одну сторо- оболочкой та же плёнка? Как раз пото- ну, он может проходить и в обратную. 4

КАК ЭТО УСТРОЕНО му, что в этом месте за плёнкой – пу- Синим показан свет, идущий от радужной стота2, из глубины глаза наружу ни- оболочки, а красным – свет от предмета (фото- какие лучи не приходят. Как из окна графа), отражённый поверхностью плёнки. при взгляде на тёмную ночную улицу. Жёлтые – «посторонние» лучи света от других И ничто не мешает нам разглядеть от- предметов. На фоне яркой радужки отражение ражение на чёрном фоне. А радужка и малозаметно («красный» луч слабее «синего» сама отражает прошедший через плён- и может быть не виден на его фоне), а от обла- ку и  попавший на неё свет  – благода- сти зрачка других лучей, кроме «красного», не ря этому мы её видим. Этого «фоно- исходит, поэтому отражение хорошо видно. вого» света больше, чем отражённого от плёнки; поэтому на яркой радужке А вот вам ещё вопрос: почему это слабенькое отражение от ровной по- в зеркале, или на ровной поверхно- верхности плёнки малозаметно. сти воды, или на гладкой поверхно- сти металла мы видим отражение, Кстати, на более светлой и яркой а  при взгляде на другие поверхности голубой радужке отражение видно (вот на  радужку, например, или на хуже, чем на коричневой: чем темнее собственную руку) видим сами эти по- фон, тем меньше от него «своих» лу- верхности? чей и тем лучше для отражения. Фото автора  Художник Алексей Вайнер 2 Честно говоря, не совсем пустота: перед зрачком есть ещё роговица, прозрачная «нашлёпка» – линза, 5 покрывающая зрачок вместе с радужкой. И сам зра- чок, который действительно представляет собой дыр- ку в радужной оболочке, заполнен жидкостью. Но для нашей задачи это несущественно, хотя и очень важно для нормальной работы глаза: все эти среды прозрач- ны и не отражают, а только пропускают свет внутрь.

ПРОБЛЕМА С ПЕРИМЕТРОМ Костя, второклассник одной иностранной школы, получил задание найти периметры нескольких фигур (см. рисунок, in – это дюйм, cm – сантиметр, mm  – миллиметр, m – метр). Он без труда справился с вы- числениями, но потом подумал и объявил, что часть заданий неправильные. А разве задание может быть неправильным? Что имеет в виду Костя? Задание прислала Наталья Гончарук Художник Артём Костюкевич 10 cm 10 cm 2 in 5 in 10 cm 3 in 10 cm 3 in 5 in 3 сm 3 in 3 mm 5 mm10 сm 3 in 3 in5 in 1 сm 4 сm 4 сm 3 in 3 in 6 mm 5 сm 4 mm 8m 6m 2 mm 7m 4m 5 mm5 mm5m 4m 3m 3m 1 mm 1 mm

Константин Кохась СЛЕДУЮЩЕЕ ЧИСЛО – Ну-ка, посмотрим... у меня всё за- Мышь Огрыза перелистывала гросс­ писано... – И Огрыза снова углубилась бух (огромную амбарную книгу для записей) и что-то бормотала себе под в изучение гроссбуха. нос. – Я нашёл банки № 5 и № 6, – крик- – Что новенького пишут нынче в  гроссбухах? – то ли в шутку, то ли нул дятел Спятел из другого конца всерьёз спросил дятел Спятел. Ам-бара. – «10 августа. Доставлена партия вишнёвого варенья», – прочитала – Я тоже нашла! – гордо сообщила Огрыза. Огрыза, показывая запись. – Всё схо- Таракан Кузька тут же побежал к полкам. дится. Вишнёвое варенье – Нашёл! – через некоторое время Банка 1 1111101 прокричал он. – Раз, два, три, четыре! Тут целых четыре банки вишнёвого Банка 2 11111011 варенья. Банка 3 11111011111 – Изумительный порядок! – похва- лил дятел Спятел, пройдя вдоль по- Банка 4 111110111111 лок. – Все банки снабжены этикетка- ми и пронумерованы. Банка 5 11110111 – Да, – согласилась Огрыза, – без Банка 6 111101111 этого невозможно вести хозяйство. Однако я помню, что банок было зна- – «Банка 1, 1111101» – прочитал чительно больше, Бусенька помогала Кузька. – Что значит 1111101? мне их расставлять... – Это, наверно, 125, – предположил – Их было шесть штук, – подтверди- дятел Спятел. ла Бусенька. – Эта учётная запись обозначает но- мер места хранения, – объяснила Огры- за. – Сначала записан номер полки, по- том 0, а дальше номер места на полке. – Одиннадцать тысяч сто одиннад- цатая полка? – удивился Кузька. 7

– Ну… не совсем… – смутилась щий элемент множества, приклеива- Огрыза. – Дело в  том, что грузчики, ешь к нему ярлычок «№ 2», потом сле- которые приносят и уносят банки, не дующий – «№ 3». Ну и так далее, пока слишком сильны в арифметике. Поэто- все элементы не перенумеруются. До- му, записывая номера полок и мест, я вольно скучное занятие. пользуюсь самой примитивной систе- мой счисления – единичной! Чтобы за- – А ярлыков точно хватит? – усом- писать число 3, пишем три единицы; нился дятел Спятел. чтобы записать число 7, пишем семь единиц. – Погодите, я не понимаю, – пере- бил Кузька. – Что такое следующий – Ага, – воодушевился Кузька, – элемент? Вот возьмём натуральные значит, банка № 1 стоит на пятой пол- числа  – сначала идёт число 1, следу- ке на первом месте, а банка  № 5 – на ющее  – число 2, затем 3, потом 4... четвёртой полке на третьем месте. Всё понятно. А теперь переключимся на  рациональные числа. Берём рацио- – Как видите, не такое уж это хитрое нальное число 1. Какое рациональное дело – пронумеровать свои сокровища. число следующее? – Как хорошо, что здесь, в Ам- – Куда следующее? Следующее ра- баре,  – сказал дятел Спятел, – может циональное? – переспросила Огрыза. поместиться лишь конечное число всяких баночек-скляночек и пакети- – Да, следующее рациональное, то ков. По крайней мере, их всегда удаст- есть такое число x, что x больше 1, но ся перенумеровать. Куда забавней, между 1 и x нет других чисел. если бы запасы были бесконечными. – Нет других? Куда же они подева- – А что тут хитрого? – спросила лись? – забеспокоился дятел Спятел. Огрыза. – Берёшь элемент бесконеч- ного множества, приклеиваешь к нему – Никуда не подевались. Нет и всё. ярлычок «№ 1», потом берёшь следую- Между 1 и 2 нет других натуральных чисел, а между 1 и x нет других раци- 8 ональных.

– Так не бывает, – поняла наконец начну его увеличивать, пока его пло- щадь не станет равна 2. А сторона ква- Огрыза. – Возьмём среднее арифметиче- драта в этот момент станет равна . ское . Оно больше 1, но меньше x. – Значит, площадь квадрата не мо- – Ничего себе, – восхищённо произ- жет стать равной 2! Квадратов площа- ди 2 не бывает! нёс Кузька. – Получается, что раци- ональные числа на числовой прямой Дятел Спятел беспомощно посмо- представляют собой сплошное множе- трел по сторонам. ство без пропусков и дыр! – А прямоугольники площади 2 бы- – Не совсем сплошное. А очень даже вают? – поспешила вмешаться Бусень- с пропусками и с дырами. Вот, напри- ка. мер, не является рациональным числом. – Конечно, бывают. Например, пря- моугольник 1  2. – Как число может не быть рацио- нальным? Если оно не рациональное – – Тогда смотри – фокус. Я беру пря- значит, его не существует! моугольник 1  2, разрезаю его на ча- сти и составляю из них квадрат: – Корня из двух не существует? – с тревогой спросил дятел Спятел.  – А он что – не рациональный? – Как всё сложно... – утомлённо – Не рациональный! произнёс Кузька. – Может быть, пло- – Значит, не существует, это просто щадь меняется при перемещении фи- игра воображения! гуры? Голова кругом идёт. – А как же уравнение x2 = 2? – ещё больше забеспокоился дятел Спятел. – Мне кажется, кто-то из нас спя- – Оно не имеет корней! тил, – заявила Огрыза и, поглядев на – Ну как же не имеет? Вот я нари- совсем деморализованного Кузьку, до- сую маленький квадратик, а потом 9

бавила: – Получается, что множество дырка, мы могли бы в качестве Лево- рациональных чисел дырявое, а в этих го множества взять все числа, кото- дырках сидят иррациональные числа! рые левее дырки, а в качестве Право- го – все числа, которые правее дырки. – Точно, – подтвердила Бусенька. – И тогда наше свойство сообщает, что Именно поэтому математика работает есть ещё разделяющее число x. не только с рациональными числами, но и с иррациональными. Они вместе – И оно как раз будет сидеть в дыр- образуют множество вещественных ке! – догадался Кузька. – Какое полез- чисел. ное свойство. И как оно называется? – И оно уже не дырявое? – ожил – Аксиома непрерывности. Кузька. – Ужасное название. Слишком на- укообразное! Давайте называть её ак- – Да. Оно совсем сплошное. сиомой сплошноты! – А что это значит – «сплошное»? – Зачем тебе её называть? – с подо- – Это значит, что в нём выполняется зрением спросил дятел Спятел. – Ты такое свойство: если мы возьмём два что, собираешься ею пользоваться? множества вещественных чисел, на- – Конечно, – сказал Кузька, – инте- зовём их «Левое» и «Правое», так что ресная штучка! С помощью этой акси- все числа из Левого множества меньше омы мы доказали, что не бывает следу- всех чисел из Правого, то между этими ющего рационального числа. Может, множествами обязательно находится она и ещё для чего-нибудь пригодится. разделяющее число x. Оно не  меньше – Нет, это мы доказали без аксио- всех чисел из Левого множества и не мы, – возразила Бусенька. – К тому больше всех чисел из Правого. же мы доказали лишь, что не бывает – Как хитро. А причём тут «сплош- рационального числа, «следующего ное» или «дырявое»? по возрастанию» за 1, то есть не су- – Если бы в множестве веществен- ществует такого рационального числа ных чисел на  числовой прямой была 10

x >1, что между ним и единицей нет – Не привередничай, – сказала Бу- других рациональных чисел. Но ни- сенька. – Да, у  нас нет числа № 2. что не мешает нам выбирать следую- И числа № 1, кстати, тоже нет. щее рациональное число не по возрас- танию, а, так сказать, вперемешку. Мы ухитрились пронумеровать все Сначала выберем первое число, потом положительные рациональные числа, второе, потом третье... В результате использовав в качестве номеров лишь каждое рациональное число получит часть множества натуральных чисел. номер, а  следующее число – это то, Самый маленький номер – № 101 – по- у которого следующий номер. лучила единица. Следующее число – № 1011 – это 1/2. Потом идёт № 1101 – – Как же это сделать? Рациональ- это 2. Ну и так далее. ных чисел так много... – Какое расточительство, – сказала – Да запросто – расфасуем их по Огрыза, – даже номера, состоящие из банкам с вареньем! Запишем рацио- нескольких единиц и одного нуля, ис- нальное число в виде несократимой пользованы не все! Число № 11011 – дроби и положим в банку с вареньем: это должна быть опять единица, но мы номер полки – это числитель, а место ведь её уже пронумеровали как 101, на полке – знаменатель. А учётная за- значит, номер 11011 тоже оказался пись этой банки будет считаться номе- не нужен. ром рационального числа. – Ничего страшного, – успокоил её – Ах! Вишнёвое варенье с корицей, дятел Спятел,  – сэкономленные номе- миндалём и  рациональными числа- ра мы используем для нумерации ещё ми,  – пошутил дятел Спятел, – для чего-нибудь. Например, для нумера- улучшения рациона. ции отрицательных рациональных чи- сел. Или многочленов с рациональны- – Но в этой нумерации Огрыза поль- ми коэффициентами! зуется только нулями и единицами! Получается, что у нас нет числа № 2? Художник Инга Коржнева 11

РАЗБИЕНИЕ НА ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Александр Блинков Как разбить треугольник на подобные ему тре­ 12 угольники?1 Сколько треугольников можно полу- чить при таких разбиениях? Разбиения равностороннего треугольника на равносторонние: от 4 до бесконечности Очень легко разбить любой равносто- ронний треугольник на 4 равных равно- сторонних треугольника, соединив от- резками середины его сторон, то есть проведя средние линии (рис. 1, а). Рис. 1, а Продолжая разбивать этим же способом по- лучающиеся части, мы сможем разделить исход- ный треугольник на 7, 10, 13, … равносторонних треугольников, и вообще, на любое их число вида 3k + 1 (где k – натуральное). Отметим, что среди тре­ угольников разбиения обязательно будут равные. Аналогично строится одна из самоподобных фи- гур – треугольник Серпинского (такие фигуры на- зываются фракталами). В  равносто- роннем треугольнике проводятся средние линии и «вынимается» сред- ний из четырёх получившихся тре- угольников. Этот процесс повторя- ется в каждом из трёх остальных треугольников и т. д., до беско­ нечности. Итоговая фигура (рис. 1, б) имеет ту же форму, Рис. 1, б что и её части. А если делить стороны равностороннего тре­ угольника не на 2 равные части, а на 3, 4 и т. д.? Тогда можно разбить его на 9, 16, ... равных равно- сторонних треугольников (рис. 2, а, б). Ведь если по- делить одну из сторон на n равных частей, то сторона маленького треугольника будет в n раз меньше сторо- ны исходного, а площадь тог- да – в n2 раз меньше. Это и зна- чит, что в разбиении будет n2 треугольников. Кстати, их можно было подсчитать Рис. 2, a Рис. 2, б 1 Два треугольника подобны, если углы одного соответственно равны углам другого (достаточно соответствующего равенства двух углов).

и  по  «слоям»: в верхнем слое  – один треу­ гольник, в  следующем – 3, в  последующем – 5, ..., в  самом нижнем слое будет 2n – 1 треугольников. Попутно мы доказали геометрически, что 1 + 3 + ... + (2n – 1) = n2. Обобщаем на произвольные треугольники Всё сказанное выше легко обобщить на случай произвольного треугольника, проводя три семейства параллельных прямых (в каждом семействе прямые параллельны одной стороне и делят каждую из двух других сторон на n равных частей). Теперь несложно понять, как разбить любой треугольник на n ему по- добных, где n > 5. Разбиение на 6 треугольников, по- добных исходному, получается, если сделать чертёж, аналогичный рисунку 2, а, и стереть лишние линии (рис. 3, а). Разбиение на 8 подобных (рис. 3, б) получа- ется из рисунка 2, б, и т. д., для любых чётных n, боль- ших 5. Если же n – нечётное, то после стирания надо сделать ещё один шаг: разбить «верхний» треугольник средними линиями на четыре равных. На рисунке 3, в показано такое разбиение на 11 тре­угольников. Рис. 3, a Рис. 3, б Рис. 3, в А вот на 2, 3 или 5 треугольников, подобных ис- ходному, можно разбить не любой треугольник. Прямоугольные треугольники Выясним, какой треугольник можно разбить на два ему подобных. Пусть отрезок CD делит тре­ угольник АВС на два ему подобных: ACD и BCD. Если САD = α, AСD = β, то BDС =α + β (рис. 4, а). Тогда в  треугольнике ACD должен быть угол C α + β, и это может быть только угол β ADС. Значит, АDС =ВDС = α + + β = 90. угольник Тогда исходный тре- α α+β B тоже прямоуголь- A D ный, и AСВ = 90. Рис. 4, а C Так как α + β = 90, то βα DCB = α, АВС = β, и тре­ угольники ACD и BCD подобны α β треугольнику АВС (рис. 4, б). A Рис. 4, б D B 13

Проведя в любом из полученных треугольников высоту из вершины D, мы разобьём треугольник АВС на три треугольника, ему подобных. Продолжая этот процесс, можно разбить прямоугольный треугольник на любое количество ему подобных. А можно ли сде- лать эти треугольники равными? Иногда можно. Так, если прямоугольный треугольник АВС – ещё и равнобедренный, высота CD разбивает его на 2 равных прямоугольных равнобедренных треугольника, подоб- ных ABC, а их высоты, проведённые из вершины D, дают уже 4. Продолжая, можно разбить прямоуголь- ный равнобедренный треугольник на 2n равных тре­ угольников, подобных ему (n – любое натуральное). Но этот случай – не единственный. Пусть дли- ны катетов прямоугольного треугольника равны целым числам m и k, тогда его можно разбить на m2 + k2 равных треугольников, подобных ему. Для этого проведём высоту из вершины прямого угла и разобьём один получившийся треугольник на m2, а  другой – на  k2 равных треугольников, как на ри- сунке 2. Полученные маленькие прямоугольные треугольники двух видов равны (по ги- потенузе и  острому углу) и подобны исходному. На рисунке 5 – пример разбиения треугольника с кате- тами 5 и 7 на 74 = 52 + 72 рав- ных треугольника. Рис. 5 Разбиения на различные подобные треугольники А какой треугольник можно разбить на треуголь- ники, ему подобные, среди которых не будет равных? Оказывается, любой неравносторонний. Перед тем как объяснить решение, напомним, что в подобных тре­ угольниках равны отношения соответствующих сто- рон. Построить искомое разбиение поможет обобщён- ная теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Рассмотрим треугольник АВС, в котором BC/AC = =k > 1. Приложим к треугольнику ABC треугольники 1, 2, 3, 4 и 5 (рис. 6). Получим треугольник, разби- тый на 6 неравных подобных треугольников. Треугольники ABC, 1, 2, 3, 4 все различны, так как каждый следующий в k раз больше предыдущего. 14

k k3 k5 8 5 k7 6 k6 7 C 12 3 k4 4 AB Рис. 6 Но треугольники 4 и 5 могут оказаться равными, если k + k3 = k4. Тогда достроим треугольники 6 и 7, а тре­угольник 5 заменим треугольником 8. Треуголь- ники 7 и 8 не равны, так как k6 ≠ k + k3 + k5. Ведь если k + k3 = k4, то k6 = k2(k + k3) = k3 + k5 < k + k3 + k5. Вместо заключения Какие треугольники разрезаются на 5 подобных, до конца неизвестно, см. статью Б. Френкина «О раз- резании треугольника на подобные ему» («Квант» №  4 за 2008 г.). Развитие темы для многоугольников см. в  книге М. Гарднера «Математические досуги» (Мир, 2000; гл. 24: «Делящиеся» фигуры на плоскости). Задачи для самостоятельного решения Художник Мария Усеинова 1. Можно ли какой-нибудь треугольник разбить на три равных треугольника, подобных исходному? 2. Можно ли разбить на пять треугольников, подобных исходному, какой-нибудь: а) прямоугольный треуголь- ник; б) (С. Маркелов) непрямоугольный треугольник? 3. (Т. Емельянова) Разрежьте неравносторонний тре- угольник на четыре подобных треугольника, среди кото- рых не все между собой равны. 4. (А. Галочкин) Бумажный треугольник с углами 20, 20, 140 разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по бис- сектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разре- зов получиться треугольник, подобный исходному? 5. (Д. Шноль) Каждый из двух подобных треугольни- ков разрезали на два треугольника так, что одна из полу- чившихся частей первого подобна одной из частей второ- го. Обязательно ли подобны оставшиеся части? 6. (М. Панов) Можно ли равносторонний тре­угольник разбить на 5 равнобедренных, но попарно не подобных? 15

30 САВРАСОВ, СТРАВИНСКИЙ, Анастасия Челпанова РЕПИН Две из этих историй известны, а одна полностью придумана. Надо догадаться, какая именно. Вычислить её можно по какой-ни- будь нелепости, несуразности, спрятанной в тексте. Попробуйте! САВРАСОВ Как-то раз художник Алексей Кондратьевич Саврасов поссорился с другом. Тот не раз пытался при- мириться, но художник наотрез от- казывался с ним видеться. Тогда друг решил незаметно пробраться в мастерскую Саврасова и подложить ему новые краски, в которых тот так нуждался. Вечером, когда свет в мастерской погас, друг залез в неё через открытое окно. Через мину- ту там раздались крики и грохот. Прибежавший на шум художник увидел сидящего на полу друга, ис- пачканного красками. Огромная, только что законченная Саврасо- вым знаменитая картина «Три бо- гатыря» в полумраке так испугала своего первого зрителя, что он осту- пился, упал и опрокинул палитру. СТРАВИНСКИЙ его пропустить. Композитор объяс- нил, что это его портрет, нарисован- Однажды композитор Игорь Фё- ный известным художником. Воен- дорович Стравинский переезжал ные не поверили: «Это не портрет, из Италии в Швейцарию и вёз свой а план», – сказали они. «Да это план портрет, нарисованный Пабло Пи- моего лица, а не чего-либо другого», – кассо. На границе военные, уви- дев рисунок, ни за что не хотели 16

  уверял Стравинский, но не убедил 30 военных, опоздал на поезд и за- держался на границе до следующего в  Италии: Стравинский отослал его дня. А рисунок пришлось оставить в британское посольство в Риме, от- куда портрет переправили компози- тору дипломатической почтой. РЕПИН Художник Капыч Художник Илья Ефимович Репин часто устраивал у себя обеды, куда могли прийти не только друзья, но и  малознакомые или впервые при- шедшие к  нему люди. Один раз та- кой гость сказал за обедом тост, за- кончив его восхвалением Репина как автора гениальной картины «Бояры- ня Морозова». Художник сразу же откликнулся, что он присоединяется к этому тосту всем сердцем. Он тоже считает эту картину гениальной и  был бы горд, если бы действитель- но написал её он, а не Суриков. Гость не понял, что попал в нелов- кое положение, радостно слушая Ре- пина. 17

ВЕЛИКИЕ ГАНС РАДЕМАХЕР, УМЫ ОТТО ТЁПЛИЦ Сергей Львовский Как правило, в рубрике «Великие умы» рассказы- Ганс Радемахер вают об учёных, совершивших масштабное открытие, (Hans Rademacher) желательно – изменившее ход развития науки. Герои 3.04.1892 – 7.02.1969 этой статьи были сильными профессиональными мате- матиками, они публиковали хорошие статьи и готовили Отто Тёплиц хороших аспирантов, но лидерами науки они не были – (Otto Toeplitz) они работали вровень со всеми. Обычно о таких учёных 1.08.1881 – 15.02.1940 популярных статей не пишут. Почему наши герои со- ставляют исключение, читатель вскоре увидит. Но сна- чала скажем, о ком, собственно, пойдёт речь. ГАНС РАДЕМАХЕР Первый из героев статьи, Ганс Радемахер, родил- ся в 1892 году в пригороде Гамбурга, в семье торгов- ца. В Гамбурге он закончил гимназию, в  1910 году поступил в Гёттингенский университет – в то время главный математический центр Германии, если не всего мира. Молодой человек интересовался как ма- тематикой, так и  философией, но мощные гёттин- генские математики перетянули его на свою сторону. В  Гёттингене Радемахер в 1917 году защитил дис- сертацию по теории функций комплексного пере- менного; научным руководителем был выдающийся специалист в  этой области Константин Каратеодори. Защитившись и отслужив в армии, Радемахер неко- торое время поработал учителем, затем в 1919 году Каратеодори позвал его в Берлинский университет. Там Радемахер защитил хабилитационную работу – аналог нашей докторской диссертации, – и началась обычная карьера успешного немецкого профессора: сначала лектор (у нас бы сказали «почасовик») в Бер- лине, затем экстраординарный профессор (аналог на- шего доцента) в родном Гамбурге, с 1925 года высшая ступень: ординарный профессор в Бреслау – теперь это польский город Вроцлав. ОТТО ТЁПЛИЦ Второй герой нашей истории был на десяток лет старше Радемахера. Тёплиц родился в 1881 году в уже упоминавшемся городе Бреслау, в еврейской се- 18

О ЧИСЛАХ ВЕЛИКИЕ И ФИГУРАХ УМЫ мье. Его дед и отец преподавали математику в гимна- Якоб Розанес зии. Тёплиц закончил университет и защитил диссер- (16.08.1842 – 6.01.1922), тацию в своём родном городе. Защитившись, Тёплиц математик и шахматист, направился всё в тот же Гёттинген. В Гёттингенском научный руководитель университете он сменил тему своих научных занятий Тёплица в университете и в этой новой теме (интегральные уравнения) весьма преуспел. Дальше можно ограничиться списком годов Бреслау и ступеней карьеры: хабилитация (1907, Гёттинген), приват-доцент (там же), экстраординарный профессор Константин Каратеодори (1913, Киль), ординарный профессор (1920, там же), (13.09.1873 – 2.02.1950), наконец, заведующий кафедрой (1928, Бонн). Поми- научный руководитель мо собственно научной работы, Тёплиц интересовался историей и преподаванием математики – в частности, Радемахера он с удовольствием преподавал математику будущим учителям. Эти его вкусы чувствуются и при чтении Гёттингенский университет, книги, о которой сейчас пойдёт речь. в котором герои статьи сформировались как КНИГА математики В 1930 году Радемахер и Тёплиц выпустили на- 19 учно-популярную книгу под названием «О числах и  фигурах» (в русском переводе – просто «Числа и  фигуры»), и эта небольшая книжка сделала их из- вестными за пределами узкого круга профессиональ- ных математиков. Чем же она замечательна? Научно-популярные книги по математике вы- ходили и ранее. Например, ещё в 1913 году вышла книга В. Литцмана и Ф. Трира «Где ошибка?», посвя- щённая примерам ошибочных математических рас- суждений, иногда весьма забавным и поучительным; в  1926 году в СССР вышла «Занимательная арифме- тика» Я. И. Перельмана. Однако в этих и других кни- гах речь шла исключительно о математике, которую изучают в школьном курсе. Радемахер и Тёплиц по- ставили себе иную задачу: объяснить неспециали- стам, в чём заключается работа профессион­ альных математиков – вот таких, как авторы книги. Рас- стояние от математики, входящей в школьную про- грамму, до математики, которой занимаются науч- ные работники, и сейчас огромно, и в 1930 году было огромно, но Радемахер и Тёплиц отобрали пару де-

ВЕЛИКИЕ ГАНС РАДЕМАХЕР, УМЫ ОТТО ТЁПЛИЦ Знаменитая книга на английском, испанском, сятков интересных задач с элементарными формули- ровками, которыми в какой-то момент занимались венгерском и турецком исследователи, и рассказали, как профессионалы языках эти задачи решали. Некоторые из тем, разбираемых в  книге (например, вопрос о бесконечности последо- 20 вательности простых чисел), известны уже несколько тысяч лет, другие (например, начала канторовской теории множеств) были к моменту написания кни- ги относительно новыми, и все их объединяло то, что и формулировки, и решения были совершенно не по- хожи на ту математику, которой учили в школе. Сейчас, 90 лет спустя, книг по занимательной ма- тематике выпускается много, и сказанным выше ни- кого не удивишь. Радемахер и Тёплиц были первыми, но дело не только в этом: современные авторы попу- лярных книг в значительной степени рассказывают о  том же, о чём идёт речь в «Числах и фигурах»,  – и о бесконечности последовательности простых чисел, и почему разложение числа на простые множители однозначно, и о теореме Эйлера для многогранников, и  почему рациональных чисел столько же, сколько целых, а точек внутри квадрата столько же, сколько их на отрезке... Удивляться этому не приходится: тем в «серьёзной» математике, доступных без специаль- ной подготовки, действительно мало! Даже некоторые педагогические приёмы, впервые использованные Ра- демахером и Тёплицем, порой повторяют в современ- ных книгах: если автор, объясняя читателю понятие равномощности множеств, пишет, что для того чтобы узнать, кого больше в танцевальном зале – мужчин или женщин, – не надо их пересчитывать по отдель- ности, а достаточно объявить танец и посмотреть, кто остался без пары, то знайте, что это рассуждение было опубликовано в седьмой главе «Чисел и фигур»! Нелишне заметить, что авторы не предназначали свою книгу именно школьникам. Читателем они ви- дели взрослого человека, математиком становиться не собирающегося, но желающего получить представ- ление о математике как науке. Ведь есть же немало

О ЧИСЛАХ ВЕЛИКИЕ И ФИГУРАХ УМЫ людей, рассуждали авторы, не являющихся музы- Современное немецкое кантами, но хорошо разбирающихся в музыке! Ведь переиздание есть же в музыке не только крупные произведения, но и «малые формы», песенки, и пусть читатель-не- Боннский университет, из кото- специалист научится находить радость в математи- рого был изгнан нацистами ческих «песенках». Более того, темы, затронутые в Отто Тёплиц книге, авторы опробовали на публичных лекциях для неспециалистов. Они писали, что каждая глава Надпись на мемориальной доске книги соответствует примерно часовой лекции. в Боннском университете: «В память Отто Тёплица ТРИДЦАТЫЕ ГОДЫ (1.08.1881–15.02.1940), математика, преподавателя В 1933 году из печати вышло второе издание «Чи- сел и фигур»; в нём авторы заменили тему о кониче- и с 1928 по 1935 год – нашего ских сечениях на более, по их мнению, актуальную коллеги, униженного и изгнан- тему из комбинаторики. А 30 января того же года ного нацистами, потому что он в  Германии произошла политическая катастрофа: всенародно избранный президент Пауль фон Гинден- был евреем» бург назначил главой правительства Адольфа Гитле- ра. Менее чем за два месяца Гитлер, сочетая интриги 21 с открытым террором, добился абсолютной власти в  стране. Начался двенадцатилетний период нациз- ма, и на судьбах героев статьи это сказалось пагуб- ным образом. Уже 7 апреля 1933 года нацистские власти издали «Закон о реорганизации государственной службы». Третий параграф этого закона гласил, что увольне- нию с государственной службы подлежали все «не- арийцы» (на практике это означало попросту «ев- реи»). При этом все университетские преподаватели были в  Германии государственными служащими. Правда, в законе было предусмотрено исключение, принятое по настоянию Гинденбурга: «неарийцам», поступившим на государственную службу до нача- ла войны (то есть до 1914 г.), на службе разреша- лось остаться, и Тёплиц, ставший профессором, как мы помним, ещё в 1913  году, под это исключение подпадал. Это позволило ему ещё некоторое время продержаться в  Боннском университете, но в  1935 году все исключения для «неарийцев» были отмене- ны, и Тёплиц работы в университете был лишён.

ВЕЛИКИЕ ГАНС РАДЕМАХЕР, УМЫ ОТТО ТЁПЛИЦ Университет Бреслау (ныне Вроцлавский университет, Ганс Радемахер евреем, в отличие от Тёплица, не Польша), из которого был изгнан был, но и он при нацистах лишился работы по спе- циальности, причём даже раньше, чем Тёплиц. Со- нацистами Ганс Радемахер гласно четвёртому параграфу упомянутого выше на- цистского закона государственные служащие, «про Пенсильванский университет, которых, вследствие их политического прошлого, в котором Радемахер проработал нельзя гарантировать, что после 1918 года они всё время искренне поддерживали национальное госу- всю вторую половину жизни дарство», подлежали увольнению. Радемахер же со- стоял в антивоенной организации «Товарищество за Кампус Еврейского университета мир» и, более того, возглавлял её местное отделение в Иерусалиме, в Бреслау. Нечего и говорить, что с нацистской идео­ логией, в которой важнейшую роль играли культ ар- функционировавший в 1939 году мии и воинственная риторика, такая деятельность (современная фотография) была полностью несовместима, а свидетельства о том, что он всё время поддерживал «национальное госу- 22 дарство», Радемахер представить не мог, даже если бы захотел. Уже в 1933 году он вынужденно оста- вил свой пост в университете Бреслау. Из Германии Радемахеру также пришлось срочно уехать: если бы он остался в стране, политическое прошлое сулило бы ему много худшие неприятности, чем увольне- ние. В итоге Радемахер переехал в США и начал там новую жизнь. Получив должность в Пенсильван- ском университете в Филадельфии, он благополучно проработал в нём до самого выхода на пенсию. Умер Радемахер в США в 1969 году. Тёплиц, лишённый права работать в универси- тетах, остался в Германии. Всё, что он теперь мог,  – по  возможности помогать другим немецким евреям, своим товарищам по  несчастью. Он основал школу для еврейских детей и  преподавал в ней; он всту- пил в  созданную в сентябре 1933 года организацию под  названием «Представительство евреев в Гер- мании», целью которой было оказывать помощь немецким евреям, подвергавшимся всё большим преследованиям. Тёплиц в этой организации возглав- лял отдел высшего образования; в  частности, этот отдел оказывал помощь евреям, собиравшимся

О ЧИСЛАХ ВЕЛИКИЕ И ФИГУРАХ УМЫ продолжить учёбу в  американских университетах. Между тем обстановка в Германии становилась всё более невыносимой. В  феврале 1939 года Тёплиц уе- хал в Иерусалим – в тот момент такое ещё было воз- можно. Он получил там должность научного совет- ника при Еврейском университете, но жизнь уже подходила к  концу: через год после отъезда Отто Тёплиц умер от туберкулёза. СУДЬБА КНИГИ Выйдя в свет, книги начинают жить своей жиз- нью, независимо от желаний их авторов. Книгу, предназначавшуюся взрослым читателям, стали читать вовсе не они, а интересующиеся математи- кой школьники, и именно в качестве книги для школьников «Числа и фигуры» завоевали популяр- ность. В  русском переводе книга дважды выходила до вой­ны и несколько раз – после войны. В 1956 году в США вышел и перевод на английский. Для него Ра- демахер сделал важное дополнение к одной из глав. (Кроме того, переводчик две главы дописал от себя.) В переводах облик книги изменился. В оригинале Издания разных лет заглавие было цитатой из стихотворения Новалиса – на русском языке немецкого поэта XVIII века. В русском переводе это (1936, 1938, 1962, 2020) заглавие упростили, а в английском пере- воде оно и  вовсе превратилось в  «Удоволь- ствие от математики». Поубавилось в пе- реводах и количество ссылок на других немецких писателей, филологов и филосо- фов – за пределами Германии большинству читателей это было бы попросту непонят- но. Но главное содержание книги, матема- тическое, сохранилось и в русском, и в ан- глийском текстах, ничуть не устарев за  90 лет. Разве что слой людей, не являющихся математиками, но математику любящих, Новалис (2.05.1772 – 25.03.1801) так, кажется, и не сложился. Может быть, и Христиан Моргенштерн эта мечта Радемахера и  Тёплица ещё сбу- (6.05.1871 – 31.03.1914) – дется? немецкие поэты, ссылки на творчество Иллюстрации предоставлены автором которых присутствуют в книге 23

LXXXVI САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ олимпиады ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ Материал подготовил Санкт-Петербургская олимпиада по математике Константин Кохась проводится для школьников с 6 по 11 класс. Мы при- водим несколько задач второго (городского) тура для 6 – 8 классов, прошедшего 9 февраля 2020 года. Городская олимпиада – устная. Решив задачу, школьник рассказывает решение одному из членов жюри, который ищет ошибки и задаёт уточняющие вопросы. Отвечающий может исправлять и допол- нять решение «на ходу», но если он не может сделать этого достаточно быстро, то засчитывается неверный подход. Всего участник может сделать три подхода по каждой задаче. При подведении итогов учитывается только количество задач, решённых каждым участ- ником. Избранные задачи городского тура 1 (6 класс). Первого сентября дети принесли в  школу розы и гвоздики. 101 мальчик и 3 девочки встали по кругу, каждый держал в руках все свои цветы. Оказалось, что у каждого мальчика ровно 50 цветков. По сигналу директора каждый из детей передал все свои гвоздики соседу слева. После этого оказалось, что у каждого мальчика ровно 49 цветков. Докажите, что никакие две девочки не стояли рядом. Ольга Иванова 2 (6 класс). Есть 111 детей. Они весят одинаковое число граммов и всегда говорят правду, кроме одно- го, который весит меньше и всегда лжёт. Подслепо- ватая воспитательница ставит на чаши весов по 55 детей, после чего ребёнок, не участвовавший во взве- шивании, сообщает воспитательнице, которая из чаш перевесила (или что весы в равновесии). Сможет ли воспитательница с помощью таких операций найти фальшивого ребёнка? Константин Кохась 24

LXXXVI САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ олимпиады 3 (7 класс). Имеется несколь- ко параллельных рельсов. На  этих рельсах стоят 30 грузовых и 20 пас- сажирских вагонов, каждый вагон  – на двух сосед- них рельсах. Вагон называется подвижным, если оба рельса, на которых он стоит, не заняты другими ваго- нами (на  приведённом рисунке нет подвижных ваго- нов). Среди пассажирских вагонов подвижных ровно 10, а  среди грузовых – ровно  9. Докажите, что есть рельс, на котором стоят колёса хотя бы двух грузовых вагонов. Андрей Солынин 4 (6 класс). Назовём число сложным, если оно имеет не меньше двух различных простых делителей. Найдите наибольшее натуральное число, которое нельзя представить в виде суммы двух сложных чи- сел. Сергей Берлов 5 (6 класс). На доске написано десятизначное чис- ло. Можно взять любую цифру этого числа, мень- шую  8, прибавить к ней 1 или 2 и записать на доску получившееся новое число вместо старого. Эту опе- рацию проделали 55 раз. Докажите, что хотя бы одно из  56  чисел, которые выписывались на доску в этом эксперименте, было составным. Сергей Берлов 6 (6 класс). Дима и Гоша играют в «нолики-ноли- ки» на доске 14  441. За один ход можно поставить один нолик в любую пустую клетку. Ходят по очере- ди, первым ходит Гоша. Выигрывает тот игрок, после хода которого образуется 7 подряд стоящих ноликов по вертикали или по горизонтали. Кто из игроков мо- жет выиграть, как бы ни играл его соперник? Дмитрий Ананьев, Александр Кузнецов, Георгий Левцов Художник Сергей Чуб 25

олимпиады КОНКУРС ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ Решения III тура отправляйте по адресу [email protected] не позднее 15  сен- тября. В письме укажите ваши имя, фамилию, город, школу и класс, где вы учитесь. Победителей ждут призы. Предусмотрены премии за лучшее решение отдельных туров. Предлагайте задачи своего сочинения – лучшие мы опубликуем! III ТУР 11. Носители некоторых средне- 12. Много лет назад в одно почтовое отделение пришло письмо. В написан- русских говоров говорят: [у]гурцы, ном от руки адресе получателя был ука- зан непонятный [у]бледенеть, [у]творить дверь. российский город Камра. Сотрудни- Найдите глагол, услышав который ки почты долго ломали голову, от носителя такого говора, мож- что же это за го- род, а потом до- но подумать, что он означает нечто гадались. В какой город они отпра- вроде «увлекаться созданием орна- вили письмо? ментов». С. В. Дьяченко С. Л. Елисеев Художник Николай Крутиков 13. Маленький Лёва счи- 14. Рука поднимается. тает, что название одного из А язык? его любимых произведений начинается с притяжатель- С. И. Переверзева ного местоимения. Напиши- те это название. 15. В русском языке есть слова, состоя- щие из двух одинаковых «половинок»: мама, И. Б. Иткин папа, тамтам, комком (от комок), лили (от лить)... Найдите исконно русское слово, об- 26 ладающее тем же свойством, у кото- рого есть приставка, корень, не меньше одного суффикса и окончание. Т. Г. Пшеницын

КОНКУРС ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ, II ТУР значные числа подходят, поищем ещё. Пусть x – самая большая цифра в числе среди тех, что («Квантик»№ 4, 2020) стоят не на последнем месте. Если x = 1, наше 6. Найдите русский односложный предлог, который можно понять как деепричастие. На- число двузначное, начинающееся с 1, но не 11. пишите начальную форму глагола, от которо- Пусть x > 1. Если за какой-то из цифр x сле- го образовано это деепричастие. Этот предлог – для. Его можно понять как дует y, то y – самая частая цифра, и перед каж- деепричастие для «продолжая», образованное дым y стоит x, если только y не на первом месте. от глагола длить. Верно и обратное, после каждой цифры х всегда 7. В русской букве В две «дырочки». А сколь- стоит у. Ведь если бы следом за х встречались ко всего «дырочек» в буквах русского алфави- две разные цифры y и z (одна из них может со- та? (Под «буквами» в этой задаче понимают- впасть с х), то вместе цифр y и z было бы 2х, и ся заглавные печатные буквы.) цифр x было бы хотя бы 2х – 1. Но 2x – 1 > x, и Считаем: А – 1, Б – 1, В – 2, Д – 1, О – 1, тогда у – не самая частая цифра, противоречие. Р – 1, Ф – 2, Ъ – 1, Ы – 1, Ь – 1, Ю – 1, Я – 1 (в за- главных Е и Ё дырочек нет). Итого 14 дырочек. Итак, y может стоять первой в числе, но да- 8. а, б, в, ж, … Напишите два следующих лее x и y идут всегда парами xy, и всего цифр x элемента этого списка. либо х (столько, сколько y), либо x – 1. В первый момент приведённый набор кажет- ся странным: почему после а, б и в идёт именно Если цифр х всего х, то перед одной из ж? Подумав, мы понимаем, что перед нами  – цифр х будет стоять х, и тогда x = y. В этом слу- начало упорядоченного по алфавиту списка чае число состоит из х цифр  х. Максимальное однобуквенных слов русского языка. Два следу- ющих элемента этого списка – и и к, а ещё он такое число – 999999999. включает в себя буквы (они же слова) о, с, у, э, я. Пусть теперь в числе всего x – 1 цифр х. По- 9. Решите шуточную задачу: с суффиксом -ник – любитель, без суффикса – профессионал. скольку цифр y всего x, имеем y ≠ x. Так как х – Слово «шуточная» в этой задаче – не харак- максимально, то y < x и число начинается на y. теристика жанра (задача как раз вполне се- Тогда начало числа разбивается на x – 1 блоков рьёзная), а намёк на то, в какой области искать цифр «от y до следующего x»: ответ. От того же корня, что и прилагатель- ное шуточный, образованы существительные y ..... x y ..... x ... y ..... x y ............ шутник «любитель пошутить» (с суффиксом -ник) и шут «человек, профессиональная обя- Заметим, что каждый блок однозначно вос- занность которого – развлекать какое-либо вы- сокопоставленное лицо» (без суффикса). станавливается справа налево. Значит, каждая 10. Двухлетний Петя недавно узнал не- цифра блока встречается в числе хотя бы x – 1 сколько новых слов. Произносит он их пример- раз. Тогда все цифры в блоке не меньше x – 1, в но так: кук, авай, гегoни, апeпе. Все эти слова частности и y. Итак, y = x – 1, и блоки равны ух. относятся к одной группе. Значения этих слов Петя знает хорошо и никогда не путает кук Значит, число начинается на yxy...xy, а даль- и авай, гегони и апепе. Как выглядят эти слова ше нет цифр x или y. Если за последним y идёт во «взрослом» языке? новая цифра z, то y = 1, ведь иначе z повторится Петя узнал названия четырёх геометриче- и перед ней снова будет y. Поэтому число либо ских фигур: круг, овал, треугольник, трапе- равно yxy...xy, где y = x – 1, либо равно 121?, где ция. Если в столь юном возрасте Петя никогда не путает круг с овалом, а треугольник – с тра- последняя цифра может быть любой, кроме 1 пецией, он, безусловно, большой молодец. и 2. Наибольшее число получается при x = 9. ПАМЯТЬ СНОВА ПОДВЕЛА Н АШ КОНКУРС, IХ тур («Квантик»№ 5, 2020) 41. Перед игроком стоят в ряд 3 шкатулки, («Квантик»№ 5, 2020) в одной из которых лежит приз. К шкатулкам прикреплены записки с утверждениями, как Найдём все числа с этим свойством. Одно- на рисунке. Известно, что ровно одно из ут- верждений истинно. Какую шкатулку нужно открыть, чтобы получить приз? Здесь приза нет Приз лежит здесь Приз в соседней шкатулке Ответ: правую. Если приз в левой шкатулке, то все утверждения ложны, если в средней – то все верны. А если приз в правой – верно только утверждение на левой шкатулке. 27

42. Толя Втулкин отметил на прямой три на три «вертикальных». Тогда сум- 11811 ма чисел в клетках этого квадрата 11811 точки и заметил, что всевозможных отрезков равна 3  10 = 30 и она же равна 99 99 3  11 = 33, что невозможно. 11811 с концами в этих точках оказалось 3, а   все- 11811 б) Ответ: можно, см. рисунок. возможных лучей с началами в этих точках – 6, в  два раза больше. «Интересно, – подумал Толя, – а можно ли отметить столько точек, Н ОВЫЙ ФИЗИЧЕСКИЙ ФЕЙЕРВЕРК («Квантик»№ 6, 2020) чтобы получилось наоборот: число всевозмож- ных лучей с началами в этих точках было бы Белая мгла и снежная слепота. Белая мгла в  два раза меньше количества всевозможных бывает разной. Когда низовая метель поднимает отрезков с концами в этих точках?» Ответь- вверх пушистый снег, видимость может упасть те на вопрос Толи. настолько, что, отойдя на несколько метров, Ответ: да. Отметим 9 точек. Тогда отрезков легко потеряться. В другом случае белая мгла столько же, сколько пар точек: 9  8/2 =36, а лу- чей – удвоенное число точек: 9  2 = 18. случается, когда земля покрыта белым снегом, а небо затянуто сплошными белыми облаками. 43. На диагонали и стороне N Поскольку и снег, и облака хорошо отражают единичного квадрата ABCD B C свет, освещение становится настолько диффуз- построены правильные тре­ M ным (иначе говоря, рассеянным), что исчезают угольники AMB и ANC так, тени. Когда снег под ногами столь же яркий, как как показано на рисунке. Чему A D и облака над головой, горизонт неразличим, а равно расстояние MN? небо и снег сливаются в одну белую пелену. Тог- Ответ: 1. Треугольник BAC при повороте на да может возникнуть ощущение, что вас окру- 60° против часовой стрелки вокруг вершины А жает бесконечная белая пустота. Рассказывая о переходит в треугольник MAN. Действительно, полярной экспедиции, длившейся пять лет, Ви- треугольники BAM и CAN правильные, поэто- льялмур Стефанссон вспоминал, что обычно бе- му стороны AB и AC переходят соответственно лая мгла опускалась и не в ясные дни, и не когда в AM и AN, а угол BAC – в угол MAN. Значит, на небе была сплошная плотная облачность. Ско- треугольники BAC и MAN равны по первому рее, такая угроза возникала в тех случаях, когда признаку, и BC = MN. солнечный свет пробивался через прикрываю- 44. Число 1210 обладает таким свойством: щие небо облака. Вот тогда можно не заметить каждая его цифра, кроме последней, показыва- и ледяную глыбу высотой в половину человече- ет, сколько раз в нём встречается следующая ского роста, не говоря уже о льдинах меньшего цифра. А именно: «12» означает, что в числе размера, о которые легко споткнуться. одна двойка, «21» – что в нём две единицы, Яркий видимый свет и интенсивное уль- «10» – что в нём один ноль. Существует ли чис- трафиолетовое излучение могут вызвать боль ло с таким же свойством, большее миллиарда? в глазах и даже привести к слепоте. До сих пор, Ответ: да, например, 89 898 989 898 989 898 чтобы уменьшить воздействие света на глаза, (это число – максимально возможное, см. выше коренные жители Канады и Аляски защищают ответ к статье «Память снова подвела»). глаза маской из дерева или кости с узкими про- 45. Можно ли записать в клетках фигуры резями для глаз. F натуральные числа так, чтобы сумма чисел Одностороннее зеркало. Ответ см. в этом но- в любом горизонтальном прямоугольнике 1  3, мере журнала на с. 2 – 5. целиком лежащем внутри фигуры, равнялась Бар в «Фоли-Бержер». Формы отражённых 10, а сумма чисел в любом вертикальном пря- в зеркале изображений правильные, но распо- моугольнике 3  1, целиком лежащем внутри ложены изображения неправильно. Это чув- фигуры, равнялась 11, если фигура F – это ствуется уже при первом взгляде на картину, а) квадрат 5  5; б) квадрат 5  5, у которо- ещё до того, как понимаешь, в чём дело. Насто- го удалили центральную клетку? ящие бутылки слева на картине стоят ближе а) Ответ: нельзя. Пусть числа записать уда- к барменше, а на отражении они на дальнем от лось. Рассмотрим любой квадрат 3  3 внутри неё краю стойки. Отражение девушки должно фигуры F. Его можно разрезать на три «гори- быть позади неё, а не сдвинуто, причём доста- зонтальных» прямоугольника 1  3, а можно – точно далеко, вправо. И самое странное: девуш- 28

ка смотрит прямо на вас, но в зеркале вы види- к розовому или наоборот. Тогда всё простран- те стоящего перед ней мужчину. Выходит, что ство заполнится «ежами». Покажем, что «ежи» именно вы и есть тот мужчина. Но тогда ваше не наложатся друг на друга и не останется дыр. отражение не должно быть сдвинуто ещё даль- Добавим сначала ещё 4 голубых «ежа», как на ше вправо, как это нарисовано на картине. На рисунке 2, а потом ещё один белый, как на ри- самом деле фигура девушки заслонила бы от сунке 3. Центры восьми «ежей» лежат в  вер- вас ваше отражение. шинах параллелепипеда (непрямоугольного). Замостив копиями этого параллелепип­ еда про- странство, мы также заполним его «ежами». Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Недолитое пиво. Толстые стенки кружки 4. Можно считать, что три грани тетраэдра – это равнобедренные прямоугольные треуголь- создают такое впечатление благодаря прелом- ники, на ответ это не повлияет. Плоскости, па- раллельные этим граням (и делящие рёбра на лению луча света, идущего из пива через стек- три равные части), образуют куб, разрезанный на 27 кубиков. Кубик, примыкающий тремя ло, а затем по воздуху. Например, самый левый своими гранями к граням тетраэдра, покрасим в зелёный. Три кубика, соседних с ним по гра- луч от пива вблизи стенки кружки отклоня- ни, – в розовый, а соседние с розовыми – в го- лубой. На рисунке 4 голубые кубики закры- ется в том направлении, где вы видите центр ли собой розовые и зелёный. Четвёртая грань тетраэдра пересекает все голубые кубики и все кружки (см. рисунок). Вы видите этот луч и, розовые (по треугольнику, рис. 5). Следующая параллельная ей плоскость пересекает все розо- мысленно продолжив его по прямой обратно к вые кубики и зелёный (рис. 6). Наконец, остав- шаяся плоскость пересекает только зелёный. кружке, делаете вывод, что он исходит от точ- Все кубики разрезались на три части, но у каж- дого голубого кубика только одна часть внутри ки, расположенной ле- тетраэдра, у розовых – по две, а у зелёного – все три. Итого: 6  1 + 3  2 + 1  3 = 15. вее, чем на самом деле. Кажущаяся И  вам кажется, что граница пива в кружке больше. пива слева Толщина и кривизна стекла могут менять и кажущуюся глубину Луч пива. Можно добиться к наблюдателю того, что реальное со- держимое кружки бу- Вид сверху на пивную дет в два раза меньше кружку, создающую кажущегося. иллюзию «лишнего» пива Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 П РОСТРАНСТВЕННОЕ ВООБРАЖЕНИЕ А вот другие источники наглядных задач: («Квантик»№ 6, 2020) Дж. Франсис. Книжка с картинками по то- 1. 2. пологии (как рисовать математические картин- ки). М.: Мир, 1991. В. В. Прасолов и И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. М.: Наука, 1989. 3. Можно. «Ежа» к «ежу» нужно пристав- А. Скопенков и А. Таламбуца. Экстремаль- лять, как приставлен на рисунке 1 белый «ёж» ные расположения правильных многогранни- ков. Мат. просвещение. 3-я сер., вып. 8, 2004. 29

« ПРАВОБОКАЯ» МАШИНА Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9 И ПРЕСТУПНИК («Квантик»№ 6, 2020) Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12 В условии не сказано, ловит ли машина пре- ступника, если оказывается с ним в одной клет- А если преступник находится вне красной ке. Проверьте, что ответ от этого не зависит. зоны рисунка 12, он сможет избежать поимки. Если преступник начинал игру рядом с машиной (рис. 1, Для этого первым ходом он должен оказаться вне красная область), он пойман сразу. Первым ходом маши- закрашенных клеток рисунка 12 (вне «опасной на едет прямо или направо и поймает преступника, если он Рис. 1 зоны»). После хода машины вместе с ней сдвига- останется в жёлтой или синей области. То есть за первый ход ется (и, быть может, поворачивается) и «опасная преступник будет пойман, если он начинал в красной обла- зона», а преступник снова из неё выходит, и т. д. сти рисунка 2 (добавились две клетки). П РОБЛЕМА С ПЕРИМЕТРОМ А где машина поймает пре- Рис. 2 Посмотрим на левый ниж- А 6 m B ступника за два хода? Если машина сначала ний рисунок условия. Кажется, едет прямо, то ещё за ход она может поймать 5m 4m преступника в жёлтой области рисунка 2, если что углы при верхней стороне 4m вправо – в  синей (это копии красной области, только они сдвинуты, а синяя ещё и повёрну- AB прямые. Но тогда CE = 6 m и 6m C та). То есть преступник будет пойман за два треугольник CDE не существу- E хода, если начнёт в части рисунка 2, закрашен- 3m 3m ной жёлтым или синим, и не сможет за ход из ет: одна его сторона равна сумме D неё убежать. двух других. 8m Возникшие 5 новых точек Треугольник в правом ниж- добавлены в  красную область рисунка 3, по ней построены нем углу условия очень похож 7m новые жёлтая и синяя области на прямоугольный, но для него и т. д. (см. рисунки 4 – 11). не выполняется теорема Пифагора: 52 + 72 = 74 ≠ Кажется, что процесс добав- ления новых проигрышных по- ≠ 64= 82. Если построить настоящий треуголь- зиций будет продолжаться бес- Рис. 3 ник со сторонами 5, 7 и 8 (попробуйте!), то пере- конечно. Удивительно, но если полицейские не могут поймать преступника за первые 10 ходов, путать его с прямоугольным довольно трудно. то они никогда не смогут его поймать – на ри- сунке 11 никаких новых проигрышных для пре- Всего Костя нашёл 5 неверных картинок – ступников клеток не добавляется. Тем самым, ответ  – красная зона на рисунке 12 (в каждой её а сколько нашли вы? клетке указано, за сколько ходов будет пойман преступник, если он стартует из этой клетки). Можно возразить, что в условии нигде и не сказано, что эти углы прямые. Но хотя говорят, что «геометрия – это искусство правильно рас- суждать на неправильных чертежах», лучше, когда чертежи построены аккуратно. САВРАСОВ, СТРАВИНСКИЙ, РЕПИН Автор картины «Богатыри» (её ещё назы- Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 вают «Три богатыря») – Виктор Васнецов, а не Алексей Саврасов. 30

LXXXVI САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ же число давало остаток 2, то на следующем ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ шаге должно прибавляться 2. Итак, поперемен- Избранные задачи городского тура но прибавлялись единицы и двойки. Значит, за 55  операций к сумме цифр числа прибавится 1. Суммарное количество цветков у маль- либо 1 + 2 + … + 1 = 82, либо 2 + 1 + … + 2 = 83. чиков уменьшилось на 101. Значит, суммар- ное количество цветков у девочек увеличилось Наблюдение 2. Оценим, на сколько мак- на 101. Если учесть, что некоторое количество симум могла увеличиться сумма цифр чис- цветков девочки могли отдать соседним сле- ла. Первая цифра числа  могла увеличиться ва мальчикам, получается, что от соседних не более чем на 8 (сначала она 1, в  конце  – справа мальчиков девочки получили не менее не более 9), последняя цифра – не более чем 101 цветка. Но один мальчик не мог отдать бо- на  2 (она не могла быть чётной или пятёркой, лее 50 цветков, значит, по крайней мере 3 маль- поэтому могла лишь вырасти от 1 к 3 или чика передавали девочкам цветы. Таким обра- от 7 к  9), остальные цифры – не более чем зом, у каждой девочки сосед справа – мальчик, на 9. Итого, сумма цифр увеличилась не более а тогда никакие две девочки не стоят рядом. чем на 8 + 2 + 8·9 = 82, и  это могло произой- ти лишь если первое число – это 1000000001 2. Проведём все возможные взвешивания. или 1000000007, а последнее – соответственно Тогда фальшивый ребёнок ни разу не окажет- 9999999993 или 9999999997. ся на тяжёлой чаше, а любой другой ребёнок – окажется (когда фальшивый будет на противо- Из наблюдений 1 и 2 следует, что в описан- положной). ном процессе мы увеличили сумму цифр чис- ла ровно на 82, попеременно прибавляя 1 и 2, 3. Десять неподвижных пассажирских ваго- и первая и последняя операции были прибавле- нов занимают не более 20 рельсов, назовём эти ниями 1, а начальные и конечные числа равны рельсы пассажирскими. Если какой-то непод- указанным выше. Но 1000000001 и 1000000007 вижный грузовой вагон не занимает ни одного дают остаток 2 при делении на 3, и первой опе- пассажирского рельса, то он делит рельс с дру- рацией должно быть прибавление 2. гим грузовым вагоном. Пусть такого грузового вагона нет. Но всего неподвижных грузовых ва- 6. Ответ: Дима. Разобьём таблицу на два пря- гонов – 21, и тогда какие-то два занимают один моугольника 7  441 – верхнюю и нижнюю по- и тот же пассажирский рельс. ловины. Пусть Дима ходит так. Если есть 6 но- ликов, которые можно дополнить до 7 ноликов 4. Ответ: 23. Все чётные числа, кроме степе- в ряд (назовём такую комбинацию выигрыш- ней двойки, сложные. Для чётного n > 23 имеем ной), – он ставит седьмой нолик и выигрывает. Иначе повторяет ход Гоши в другой полови- n = 6 + (n – 6) = 10 + (n – 10). не, так что после каждого хода Димы нолики Здесь n двумя разными способами представ- в верхней половине при сдвиге вниз на 7 клето- лено в виде суммы чётных чисел, слагаемые 6 и чек совпадают с ноликами в нижней половине. 10 – сложные. Если оказалось, что вторые сла- гаемые в этих разложениях не сложные, то n–6 Пусть Гоше удалось победить. Тогда после и n – 10 – степени двойки. Их разность равна 4, предыдущего хода Димы оказалась выигрыш- а степени двойки с такой разностью – только 4 ная комбинация из 6 ноликов. Если они рас- и 8. Тогда n = 14, но у нас n > 23. положены в одной половине, то и перед ходом Для нечётного n ≥ 23 рассмотрим разбиения Димы в другой половине была такая же комби- нация, и Дима бы выиграл. Пусть эти 6 ноли- n = 15 + (n – 15) = 21 + (n – 21). ков расположены в обеих половинах. Тогда они Здесь 15 и 21 – сложные, а n–15 и n – 21 – расположены вертикально в одном столбце, чётные. Если оба они степени двойки, то их раз- и никакие два из них не переходят друг в друга ность 6, что возможно только для 2 и 8, и n = 23. при совмещении половин таблицы. Значит, по- 5. Пусть все выписанные числа простые. сле хода Димы в этом столбце было 12 ноликов, Наблюдение 1. При каждой операции сум- а перед ходом – 11. Но если в столбце 11 ноли- ма цифр числа увеличивалась на 1 или 2. Сле- ков, то в одной из его половин – 6 ноликов, вы- довательно, если очередное выписанное число игрышная комбинация, и Дима бы выиграл. давало остаток 1 при делении на 3, то на следу- ющем шаге должна была прибавляться 1 (если Значит, Гоша не может одержать победу. прибавить 2, результат разделится на 3). Если 31

олимпиады нКаОшНКУРС Приглашаем всех попробовать свои силы в нашем заочном математическом конкурсе. Высылайте решения задач XI тура, с которыми справитесь, не позднее 5 авгу- ста в  систему проверки konkurs.kvantik.com (инструкция: kvan.tk/matkonkurs), либо электронной почтой по адресу [email protected], либо обычной по- чтой по адресу 119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11, журнал «Квантик». В письме кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. В конкурсе также могут участвовать команды: в этом случае присылается одна работа со списком участников. Итоги среди команд подводятся отдельно. Задачи конкурса печатаются в каждом номере, а также публикуются на сайте www.kvantik.com. Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квантик» и призы. Желаем успеха! ХI ТУР 51. В числовом ребусе ТОПОЛЬ=ТЮЛЬПАН замените буквы ненулевыми цифрами так, чтобы число ТОПОЛЬ получилось как мож- но большим. (Одинаковые буквы заменяйте одинаковыми цифрами, разные – разными.) Не забудьте обосновать ответ. 52. Расставьте на шахматной доске не- сколько белых и чёрных коней так, что- бы каждый белый конь бил ровно четы- рёх чёрных, а каждый чёрный  – ровно четырёх белых. 32

КнаОшНКУРС олимпиады Авторы: Александр Домашенко (51, 53), Михаил Евдокимов (52, 54), Алексей Воропаев (55) 53. Аня вырезала куклу из бумаги в  треугольную сетку. Юра утверждает, что эту фигурку можно свернуть в  тре­ угольную пирамидку без просветов и наложений. Прав ли он? 54. На отрезке AB построены два раз- личных прилегающих друг к другу ква- драта (см. рисунок). Докажите, что диаго- наль большого квадрата делит отрезок CD пополам. D C AB 55. Петя стреляет по мишени. Табло Художник Николай Крутиков показывает отношение числа попаданий к числу сделанных выстрелов (до начала стрельбы табло не горит). В какой-то мо- мент число на табло было меньше чем  q. Через некоторое время это число стало больше, чем q. Для каких q от 0 до 1 отсю- да следует, что в какой-то момент доля по- паданий была ровно q?

У нас на даче есть металлический бак с водой. Утром Автор Валерия Сирота  Фото автора на нём бывает видно, докуда налита вода. Ещё это видно в тёплый день, когда бак только что наполнили холодной водой из колодца. Неужели бак становится прозрачным? Художник Мария Усеинова