กฎเกณฑ์เบี้องต้นเกี่ยวกับการนับ (การคูณ)

DARUL-ULOOM SCHOOL

ในชีวิตประจำวันเรำมักจะพบปัญหำเก่ียวกับกำรนับ จำนวนวิธีท้ังหมดที่เหตุกำรณ์อย่ำงใดอย่ำงหนึ่งจะเป็นไปได้ หรือจำนวนวิธี ในกำรจัดชุดของสิ่งต่ำง ๆ เช่น กำรจัดกำร แข่งขันกีฬำ กำรจัดชดุ เสื้อผ้ำ กำรจดั ชุดอำหำร เปน็ ต้น กำรใช้แผนภำพต้นไม้สำมำรถช่วยในกำรหำจำนวน ผลลัพธ์หรือจำนวนรูปแบบในกำรเกิดข้ึนของเหตุกำรณ์ต่ำง ๆ ท่ีสนใจจำกผลท่ีเกิดข้ึนทั้งหมดท่ีมีจำนวนไม่มำกนัก เพื่อให้ กำรหำจำนวน ผลลัพธ์ทำได้ง่ำยและสะดวกรวดเร็ว กำร คำนวณเพ่ือหำคำตอบสำหรับปัญหำประเภทต่ำง ๆ ดังกล่ำว จะทำได้ง่ำยและสะดวกรวดเร็วข้ึนถ้ำเข้ำใจกฎเกณฑ์บำงข้อซึ่ง เรยี กวำ่ หลกั มลู ฐำนเก่ยี วกับกำรนับ

ถ้ำตอ้ งกำรทำงำนสองอย่ำง โดยทีง่ ำนอย่ำงแรกทำได้ n1 วธิ ี และในแตล่ ะวิธี ท่เี ลือกทำงำนอย่ำงแรกน้ี มวี ิธีเลอื กทำงำนอย่ำงทีส่ องได้ n2 วิธี จะทำงำนทง้ั สองอยำ่ งน้ไี ด้ n1n2 วธิ ี

โรงเรยี นแห่งหนงึ่ จดั อำหำร โจทย์ข้อนตี้ อ้ งกำรให้ กลำงวนั เปน็ อำหำรคำว 4 อย่ำง เลือกอำหำรคำว 1 อยำ่ ง และขนม 3 อย่ำง ให้นักเรียน และขนม 1 อย่ำง เลอื กรบั ประทำนชนดิ ละ 1 อย่ำง ดังน้ัน กำรทำงำนในขอ้ นม้ี ี อยำกทรำบวำ่ นกั เรยี นจะมวี ธิ เี ลอื ก 2 ขนั้ ตอน อำหำรคำวและขนมได้ทง้ั หมดกวี่ ธิ ี ? เลอื กอำหำรคำวได้ 4 วธิ ี (มอี ำหำรคำว 4 อยำ่ ง) เลอื กขนมได้ 3 วธิ ี (มีขนม 3 อย่ำง) จะมวี ธิ ีเลอื กอำหำรคำวและขนมได้ทง้ั หมด 4×3 = 12 วธิ ี

สนำมกฬี ำแห่งหน่งึ โจทย์ข้อนตี้ อ้ งกำร มีประตอู ยู่ 5 ประตู ถ้ำ ให้เดนิ เขำ้ และออกจำก จะเขำ้ ประตหู นง่ึ แลว้ ออก สนำมกีฬำ อกี ประตหู นึ่ง ไมใ่ ห้ซำ้ กบั ดังนน้ั กำรทำงำนในข้อนี้ ประตทู เ่ี ข้ำมำ จะมวี ธิ เี ข้ำ มี 2 ขน้ั ตอน และออกจำกสนำมกีฬำ แหง่ นีไ้ ดท้ ้ังหมดกวี่ ธิ ี ? เดนิ เขำ้ สนำมได้ 5 วิธี (มีประตู 5 ประตู) เดนิ ออกสนำมได้ 4 วธิ ี (ไม่ให้ซำ้ ประตทู เี่ ขำ้ มำ) จะมวี ธิ ีเขำ้ และออกจำกสนำมกฬี ำแหง่ น้ีไดท้ ั้งหมด 5×4 = 20 วธิ ี

ในกำรโยนลูกเตำ๋ สี โจทย์ขอ้ นต้ี อ้ งกำรใหโ้ ยน ดำ 1 ลกู และลกู เตำ๋ สีขำว ลกู เตำ๋ สดี ำและลูกเตำ๋ สขี ำว 1 ลูก จำนวนวธิ ีทจ่ี ะไดผ้ ล ของแตม้ บนหน้ำลกู เตำ๋ มี ดงั น้นั กำรทำงำนในข้อนี้มี ทัง้ หมดกว่ี ธิ ี ? 2 ข้ันตอน มผี ลของแตม้ บนหนำ้ ลูกเต๋ำสดี ำได้ 6 วิธี (มีแตม้ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6) มผี ลของแตม้ บนหนำ้ ลกู เต๋ำสีขำวได้ 6 วธิ ี (มีแตม้ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6) จำนวนวธิ ที ่ีจะไดผ้ ลของแต้มบนหน้ำลูกเตำ๋ มที ้ังหมด 6×6 = 36 วธิ ี

กฎข้อท่ี 2 ถำ้ ต้องกำรทำงำนอย่ำงหนึง่ มี k ข้ันตอน ขน้ั ตอนทห่ี นง่ึ มีวิธเี ลอื ก ทำได้ n1 วิธี ในแตล่ ะวิธี ของข้นั ตอนท่ีหน่งึ มีวิธเี ลือก ทำข้ันตอนท่ีสองได้ n2 วิธี ในแต่ละวิธที ี่ทำงำนของขน้ั ตอน ทีห่ นง่ึ และข้นั ตอนทส่ี อง มีวธิ ีเลอื กทำขั้นตอนทีส่ ำมได้ n3 วิธี เชน่ นี้เร่ือยไปจนถึงขั้นตอนสุดทำ้ ย คอื ข้ันตอนท่ี k จะทำได้ nk วธิ ี จะทำงำน k ขั้นตอนนีไ้ ด้ n1n2… nk วธิ ี

ชมรมถำ่ ยภำพมสี มำชกิ 10 คน ถำ้ ตอ้ งกำรเลอื กประธำนชมรม รองประธำนชมรม เลขำนกุ ำรชมรมและเหรญั ญกิ ของชมรม ตำแหนง่ ละ 1 คน จำนวนวธิ ที จ่ี ะเลอื ก ตำแหนง่ ต่ำง ๆ ของชมรมไดท้ ้ังหมดกว่ี ธิ ี ? โจทยข์ อ้ นี้ตอ้ งกำรเลือกตำแหน่งประธำน รองประธำน เลขำนกุ ำรและเหรญั ญกิ ดงั น้นั กำรทำงำนในข้อนีม้ ี 4 ขน้ั ตอน ขนั้ ตอนท่ี 1 เลือกตำแหนง่ ประธำนได้ 10 วิธี (มสี มำชกิ 10 คน) ขั้นตอนท่ี 2 เลือกตำแหน่งรองประธำนได้ 9 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 3 เลอื กตำแหนง่ เลขำนกุ ำรได้ 8 วิธี ขั้นตอนท่ี 4 เลอื กตำแหน่งเหรัญญกิ ได้ 7 วธิ ี ดังนน้ั จำนวนวธิ ที จี่ ะเลอื กตำแหน่งตำ่ ง ๆ ของชมรมไดเ้ ทำ่ กบั 10×9×8×7 = 5,040 วิธี

สรำ้ งจำนวนคบ่ี วกซึง่ มสี ำมหลกั ไดท้ ้ังหมดก่ีจำนวน ? โจทยข์ อ้ นตี้ อ้ งกำรสรำ้ งจำนวนคบี่ วก 3 หลกั ไดแ้ ก่ หลักร้อย หลกั สิบ และ หลกั หนว่ ย ดังนั้น กำรทำงำนในข้อนม้ี ี 3 ขน้ั ตอน เลขโดดทใี่ ช้ในแสดงจำนวนทัง้ 3 หลัก คอื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ขั้นตอนที่ 1 เลอื กเลขโดดในหลกั รอ้ ยได้ 9 วิธี (ยกเวน้ 0 เปน็ หลกั ร้อยไมไ่ ด้) ข้ันตอนที่ 2 เลือกเลขโดดในหลกั สบิ ได้ 10 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 3 เลอื กเลขโดดในหลกั หน่วยได้ 5 วธิ ี (ตอ้ งเปน็ จำนวนคี่เทำ่ นัน้ ) ดังน้นั สรำ้ งจำนวนคี่บวกซึ่งมีสำมหลกั ไดท้ ัง้ หมด 9×10×5 = 450 จำนวน

มีกล่องอยู่ 4 กลอ่ ง แต่ละกลอ่ งมลี กู บอลสตี ำ่ ง ๆ กนั ดั้งนน้ั กลอ่ งท่ี 1 มีลูกบอลสแี ดง 10 ลกู กลอ่ งท่ี 2 มลี กู บอลสดี ำ 6 ลกู กล่องที่ 3 มลี ูกบอลสขี ำว 5 ลูก กลอ่ งที่ 4 มลี ูกบอลสนี ำ้ เงิน 3 ลกู ถำ้ หยบิ ลูกบอลจำกแตล่ ะกลอ่ งมำกลอ่ งละ 1 ลกู แลว้ จะหยบิ ลูกบอล ได้ทง้ั หมดกวี่ ธิ ี ? จำกโจทยแ์ บ่งออกเปน็ 4 ขนั้ ตอน ดังนี้ ขนั้ ตอนท่ี 1 หยบิ ลูกบอล 1 ลกู จำกกล่องใบที่ 1 เลอื กหยบิ ได้ 10 วิธี ข้ันตอนท่ี 2 หยบิ ลกู บอล 1 ลูก จำกกลอ่ งใบท่ี 2 เลือกหยบิ ได้ 6 วิธี ขนั้ ตอนท่ี 3 หยิบลูกบอล 1 ลูก จำกกล่องใบที่ 3 เลือกหยบิ ได้ 5 วิธี ขั้นตอนที่ 4 หยิบลกู บอล 1 ลกู จำกกลอ่ งใบท่ี 4 เลอื กหยบิ ได้ 3 วิธี ดงั นั้น จำนวนวธิ ีในกำรหยบิ ลกู บอล มีท้ังหมด 10× 6 × 5 × 3 = 900 วธิ ี

สมาชิกในกลมุ่ นำงสำวนิสรีน แกสมำน เลขที่ 5 นำงสำวฟำรดี ำ โปติละ่ เลขท่ี 8 นำงสำวอำวีน่ำห์ สำมะเนยี๊ ะ เลขที่ 13 นำงสำวฮำญัร หลเี ส็น เลขท่ี 15 นำงสำวนูรอัยนี มำยำสัน เลขท่ี 16 ช้นั มัธยมศกึ ษำปที ่ี 5/2 โรงเรยี นดำรลุ อูลูม