ม.4 เล่ม 1 @unit 3.การเคลื่อนที่ 2 และ 3 มิติ

หน่วยที่ 1 การเคล่ือนที่ ตอนท่ี 1.1 บทนํา ตอนท่ี 1.2 การเคลอ่ื นทใ่ี นแนวเสน้ ตรง ตอนท่ี 1.3 การเคลอ่ื นทใ่ี นสองมติ แิ ละสามมติ ิ

ตอนที่ 1.1 บทนํา ฟิสกิ ส์ ปรมิ าณทางฟิสกิ สแ์ ละหน่วย เวกเตอรแ์ ละการรวมเวกเตอร์ องคป์ ระกอบเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉาก การคณู เวกเตอร์

ฟิสกิ ส์  กลศาสตร์ เป็นแขนงท่ีเกี่ยวขอ้ งกบั การเคล่ือนท่ีของวตั ถุ  อุณหพลศาสตร์ เป็นแขนงที่เก่ียวขอ้ งกบั ความร้อน อุณหภมู ิ และพฤติกรรมของอนุภาคจาํ นวนมากๆ แมเ่ หลก็ ไฟฟ้า เป็นแขนงท่ีเกี่ยวขอ้ งกบั ประจุไฟฟ้ า กระแสไฟฟ้ า และแมเ่ หลก็ ไฟฟ้ า ทฤษฎสี มั พทั ธภาพ เป็นแขนงที่เกี่ยวขอ้ งกบั การเคล่ือนที่ของ อนุภาคท่ีมีความเร็วสูง อนุภาคขนาดเลก็ กลศาสตรค์ วอนตมั เป็นแขนงท่ีเกี่ยวขอ้ งกบั พฤติกรรมของ

ปรมิ าณทางฟิสกิ สแ์ ละหน่วย ปรมิ าณทางฟิสกิ ส์ • หน่วย ในระบบนานาชาติ SI (Le Systeme Intercational d’ Unites)

หน่วยของปริมาณพืน้ ฐาน ปรมิ าณ ชอ่ื หน่วย สญั ลกั ษณ์ มวล กโิ ลกรมั (kilogram) kg ความยาว เมตร(meter) m วนิ าที (second) s เวลา โมล (mole) mol จาํ นวนสาร เคลวนิ (kelvin) K อุณหภมู เิ ชงิ อณุ หพลศาสตร์ A กระแสไฟฟ้า แอมแปร(์ ampare) Cd ความเขม้ ของการสอ่ งสวา่ ง แคนเดลา (candela)

หน่วยของปริมาณอนุพนั ธบ์ างปริมาณ ปรมิ าณ ชอ่ื หน่วย สญั ลกั ษณ์ มาจากหน่วยพน้ื ฐาน แรง นวิ ตนั (newton) N kg m/s2 งาน J kg m2/s2 กาํ ลงั จลู (joule) W kg m2/s3 (J/s) วตั ต(์ watt) Pa kg /ms2 (N/m2) ความดนั พาสคลั (pascal) H kg m2/A2s3 ความหน่ียวนํา เฮนร(ี henry)

คาํ อุปสรรคในระบบ SI คาํ อปุ สรรค ความหมาย สญั ลกั ษณ์ คาํ อปุ สรรค ความหมาย สญั ลกั ษณ์ exa- 1018 E peta- 1015 P deci- 10-1 D tera- 1012 T giga- 109 G centi- 10-2 c mega- 106 M kilo- 103 k milli- 10-3 m hecto- 102 H deka- 101 Da micro- 10-6 µ nano- 10-9 n pico- 10-12 p femto- 10-15 f atto- 10-18 a

 จงเปลี่ยนหน่วยเหล่าน้ีใหถ้ กู ตอ้ ง a) 1 km = mm b) 1.5 nm = m c) 2.7 year = sec d) 1.45 kN = mN e) 1.4 MHz = kHz f) 5 km/hr = m/s

ปริมาณทางฟิ สิกส์ (ปริมาณพ้นื ฐานและปริมาณอนุพนั ธ)์ 1). ปริมาณสเกลาร์ (scalar quantity) เป็นปรมิ าณทบ่ี อกขนาดอยา่ งเดียวกม็ ีความหมายสมบรู ณ์ เชน่ มวล ความยาว เวลา งาน และพลงั งาน เป็นตน้ 2). ปริมาณเวกเตอร์ (vector quantity) เป็นปรมิ าณทต่ี อ้ งบอกทงั้ ขนาดและทิศทางจงึ จะมคี วามหมายสมบรู ณ์ เชน่ แรง การกระจดั ความเรว็ ความเรง่ และโมเมนตมั เป็นตน้

เวกเตอรแ์ ละการรวมเวกเตอร์ การรวมเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ ความสมั พนั ธร์ ะหว่างด้านและมมุ ของรปู สามเหลี่ยม กฎของไซน์ (sine’s Law) กฎของโคไซน์ (cosine’s Law)

การบวกเวกเตอร์   A B   B+ A A+ B   A+B = B+ A

  D E  C AB   R = A+B+C+D+E  R

การลบเวกเตอร์  B −B    A −A B − A = B + (− A)    A − B = A + (−B)   A−B ≠ B− A

ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งดา้ นและมุมของรูปสามเหลี่ยม A c กฎของไซน์ (sine’s Law) b B a=b=c Ca sin A sin B sin C กฎของโคไซน์ (cosine’s Law) a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = c2 + a2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

ตวั อยา่ งที่ 1.1 หญงิ คนหน่งึ เดนิ ไดร้ ะยะ 250 เมตร ในทศิ 35° จาก เ(aห)นือจไปงหทาากงาตระกวรนั ะตจกดั ผแลลลว้พั เธด์นิ Aต่อโไดดยร้ วะธิยเี ะรข1าค70ณติ เมตร ไปทางตะวนั ตก (b) เปรยี บเทยี บขนาดของการกระจดั ผลลพั ธ์ และระยะทางทเ่ี ดนิ N 170 m 250 m 35°  A θ E W

(a) cosine’s law : A2 = (170m)2 + (250m)2 − 2(170m)(250m) cos125 A = 374.4 m sine’s law : 250 m = 374.4m = 457.06 sinθ sin125 sin θ = 0.547 θ = 33.1 (b) ระยะทางเดนิ = 250 m + 170 m = 420 m ขนาดการกระจดั = 374.4 m

องคป์ ระกอบเวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉาก  การแยกเวกเตอรเ์ ป็นองคป์ ระกอบของเวกเตอร์ y  B   C = A+B  x A

  =Ax ˆi Ax = Ax Ax y   =Ay ˆj   Ay = Ay Ay A = Ax + Ay    Ay A = A = Ax2 + Ay2 A x Ax ˆi เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ทม่ี ที ศิ +x ˆj เวกเตอร์หน่ึงหน่วย ทม่ี ที ศิ +y

y   Ax = cosθ A Ay A θ x Ay = sinθ Ax A   A= Ax + Ay Ax = Acosθ  Ax ˆi + Ay ˆj A sin θ ˆj A= + Ay = Asinθ � Acosθ ˆi =A tanθ = Ay Ax

y   Ax = cosθ A Ay A Ay = sinθ θA x Ax Ax = Acosθ   A = Ax + Ay Ay = Asinθ  = Ax (-ˆi) + A Ay ˆj � =− Acosθ ˆi + A sin θ ˆj A

    y R = A+B A = Ax + Ay A = Ax ˆi + Ay ˆj  A   B = Bx + By θα  B = Bx ˆi + By ˆj B x     = ( Ax ˆi + Ay ˆj) + (Bx ˆi + By ˆj) R R= A +B = ( Ax + Bx )ˆi + ( Ay + By )ˆj = Rxˆi + Ryˆj = ( Acosθ + B cosα ) ˆi + ( Asinθ + B sinα ) ˆj

 = Rxˆi + Ryˆj = ( Ax + Bx )ˆi + ( Ay + By )ˆj R = ( Acosθ + B cosα ) ˆi + ( Asinθ + B sinα ) ˆj =Rx ( Acosθ + B cosα ) =Ry ( Asinθ + B sinα ) z   = Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ Az A  A k j  i Ay y  Ax x

ตวั อยา่ งที่ 1.2  = 4 ˆi − 3 ˆj และ  = 6 ˆi + 8 ˆj จงหา a b ขนาดและทศิ ทางเทยี บกบั แกน x ของเวกเตอร์ ตอ่ ไปน้ี (a)  +  (b) a − ba (c) ab − b

การคณู เวกเตอร์ การคณู แบบสเกลาร์ (Scalar Product or Dot Product) การคณู แบบเวกเตอร์ (Vector Product or Cross Product)

การคณู แบบสเกลาร์ (Scalar Product or Dot Product)   A⋅B A⋅ B = AB cosθ   ˆi ⋅ˆi = 1 A = Ax ˆi + Ay ˆj B  ˆj⋅ˆj = 1  = Bx ˆi + By ˆj A ˆi ⋅ˆj = 0 B θ ˆj⋅ ˆi = 0  ⋅  = ( Ax ˆi + Ay ˆj) ⋅ (Bx ˆi + By ˆj) A B = ( Ax ˆi ⋅ Bx ˆi) + ( Ax ˆi ⋅ By ˆj)   + ( Ay ˆj⋅ Bx ˆi) + ( Ay ˆj⋅ By ˆj) A ⋅ B = Ax Bx + Ay By   A⋅B = B⋅ A

การคณู แบบสเกลาร์  A⋅B กรณี 3 มติ ิ   ⋅ A= Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ ⋅ (Bx ˆi + By ˆj + Bz kˆ ) A  Bx ˆi + By ˆj + Bz kˆ B= ( Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ)  B=  A ⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

การคณู แบบเวกเตอร(์ Vector Product or Cross Product),  ×  A B  AB sinθ Rˆ = R Rˆ  ;  R = AB sinθ A×B = =R RB  = Ax ˆi + Ay ˆj Rˆ θ  A = Bx ˆi + By ˆj  B  ×  = ( Ax ˆi + Ay ˆj) × (Bx ˆi + By ˆj) A  A B ใชม้ อื Aขว×าBหาทศิ = (Ax ˆi × Bx ˆi) + (Ax ˆi × By ˆj) ของเวกเตอรล์ พั ธ์ Rˆ = R = R + ( Ay ˆj× Bx ˆi) + ( Ay ˆj× By ˆj) RR

ˆi ׈i = ˆj׈j = (1)(1) sin 0 nˆ = 0 ˆi ׈j = (1)(1) sin 90 kˆ = kˆ ˆj× ˆi = (1)(1) sin 90 (-kˆ) = −kˆ  ( Ax ˆi × Bx ˆi) + ( Ax ˆi × By ˆj) A×B = + ( Ay ˆj× Bx ˆi) + ( Ay ˆj× By ˆj) = Ax Bykˆ + Ay Bx ( − kˆ) = Ax Bykˆ − Ay Bxkˆ

การคณู แบบเวกเตอร์ กรณี 3 มติ ิ   A = Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ B = Bx ˆi + By ˆj + Bz kˆ   = ( Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ) × (Bx ˆi + By ˆj + Bz kˆ) A× B = ( Ax ˆi × Bx ˆi) + ( Ax ˆi × By ˆj) + ( Ax ˆi × Bz kˆ)   A× B + ( Ay ˆj× Bx ˆi) + ( Ay ˆj× By ˆj) + ( Ay ˆj× Bz kˆ) +( Az kˆ × Bx ˆi) + ( Az kˆ × By ˆj) + ( Az kˆ × Bz kˆ )  ( Ay Bz − Az By )ˆi + ( Az Bx − Ax Bz )ˆj  B= A× + ( Ax By − Ay Bx )kˆ

 ( Ay Bz − Az By )ˆi + ( Az Bx − Ax Bz )ˆj A×B = + ( Ax By − Ay Bx )kˆ   ˆi ˆj kˆ A× B = Ax Ay Az Bx By Bz  ( Ay Bz − Az By )ˆi + ( Az Bx − Ax Bz )ˆj A×B = + ( Ax By − Ay Bx )kˆ

 ( Ay Bz − Az By )ˆi + ( Az Bx − Ax Bz )ˆj A×B =   + ( Ax By − Ay Bx )kˆ B × A = ???  ( Az By − Ay Bz )ˆi + ( Ax Bz − Az Bx )ˆj B× A = + ( Ay Bx - Ax By )kˆ   B× A = −A×B   A×B ≠ B× A

ตวั อยา่ งที่ 1.5 เวกเตอร์ a = 3iˆ + 3 ˆj − 2kˆ ,  = −iˆ − 4 ˆj + 2kˆ และ c b (( ))จงหา= 2iˆ +aa2⋅׈jb+b+k+ˆcc (a) (b)

หน่วยที่ 1 การเคลื่อนที่ ตอนท่ี 1.2 การเคลื่อน•ท่ีจในลแนนศวเาสส้นตตรรง์ • การกระจดั • ความเร็ว • ความเร่ง • การเคลอื่ นที่ด้วยความเร่งคงตวั • วตั ถตุ กอยา่ งอิสระ

กลศาสตร์ (Mechanics) เป็นแขนงที่เก่ียวข้องกบั การเคล่ือนที่ของวตั ถุ จลนศาสตร์ (Kinematics) คือกลศาสตร์ท่ีอธิบายถงึ ลกั ษณะของการเคลอ่ื นทีข่ องวตั ถุ โดยไมก่ ลา่ วถงึ สาเหตขุ องการเคลอ่ื นที่ จะกลา่ วถงึ ความหมายหรือนิยามของปริมาณการ เคลอ่ื นทีช่ นิดตา่ งๆ เช่น การกระจดั ความเร็วและความเร่ง เป็นต้น

การกระจดั x1 t1 x2 O x t2 การกระจดั ∆ x =  −  x2 x1 เฉพาะในกรณี 1 มิติ อาจเขยี นเป็น ∆ x = x2 − x1 เพราะ เคร่ืองหมาย บวกหรือลบจาก ∆ x จะเป็นตวั บง่ บอกทิศทาง

การกระจดั ระยะทาง เส้นทางที่ 3 B เส้นทางที่ 1 A เส้นทางที่ 2 ระยะทาง เส้นทางที่ 1 การกระจดั เสน้ ทางท่ี 3 เส้นทางท่ี 2 เส้นทางที่ 3

ความเร็ว (Velocity) ความเร็ว อตั ราเร็ว (Velocity) (Speed) อตั ราการเปลย่ี นแปลงระยะทาง อตั ราการเปล่ยี นแปลงการกระจดั ความเร็วเฉลี่ย ∆x   ∆t x2 x1  = = t2 − vave − t1 ความเร็วบดั ดล(ความเร็วขณะใดขณะหน่ึง) v = lim ∆x = dx ∆t → 0 ∆t dt

ความเร็วเฉล่ีย การกระจดั x2 Q ∆x x1 ∆t P t2 เวลา t1 ∆x   Slope ของเส้นตรง PQ  = ∆t = x2 − x1 = vave t2 − t1

ความเร็วบดั ดล การกระจดั x5 x4 Q x3 ∆x x2 x1 เวลา P ∆t v = lim ∆x = dx = ∆t → 0 ∆t dt Slope ของเส้นสมั ผสั ของกราฟการกระจดั ณ เวลาที่พิจาณา

ตวั อย่างที่ 1.5 รถยนต์เคล่ือนที่ขนึ ้ เขาด้วยอตั ราเร็ว 40 กิโลเมตรตอ่ ชวั่ โมง และย้อนลงเขาด้วยอตั ราเร็ว 60 กิโลเมตรตอ่ ชวั่ โมง จงคาํ นวณความเร็วเฉลย่ี ตลอดการเคล่อื นท่ี วธิ ีทํา x1 x2

ตวั อยา่ งที่ 1.6 เครื่องบนิ รบความเร็วสงู ฝึ กบนิ การหลบเล่ียงการตรวจจบั เรดาร์ในแนวระดบั ความสงู 35 เมตร เหนือพนื ้ ดิน ขณะบนิ เคร่ืองบินผา่ นบริเวณผิวดินท่ีมีความชนั 4.3°สงู กว่าพืน้ ราบ เป็นการเปลี่ยนระดบั ผิวพืน้ ท่ียากต่อการสงั เกต นกั บนิ มีเวลาเทา่ ใดในการแก้ไข เพื่อไมใ่ ห้ชนพืน้ อตั ราเร็วเครื่องบิน 1800 กิโลเมตรต่อชวั่ โมง 4.3 o 35 m (tan 4.3° = 0.075)

ตวั อย่างที่ 1.7 ตาํ แหนง่ ของอนภุ าคเคลือ่ นที่ตามแกน x ในหนว่ ยเซนตเิ มตร มคี วามสมั พนั ธ์ตามสมการ x(t) = 9.75 + 1.50 t3 โดย t เป็น วินาที ในชว่ งเวลา t = 2 ถงึ t = 3 จงคาํ นวณ (a) ความเร็วเฉลย่ี (b) ความเร็วบดั ดล t = 2 วินาที (c) ความเร็วบดั ดล t = 3 วินาที (d) ความเร็วบดั ดล t = 2.5 วินาที (e) ความเร็วบดั ดล เมอ่ื อนภุ าคเคลอื่ นที่ตรงจดุ กงึ่ กลางของทางเดิน ระหว่างเวลา t = 2 วินาที และ t = 3 วินาที (17.5)13 = 2.6

ความเร่ง (Acceleration) ความเร่งเฉลี่ย อตั ราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว aave ∆v  −  = ∆t = v2 v1 t2 − t1 ความเร่งบดั ดล(ความเร่งขณะใดขณะหน่ึง) a = lim ∆v = dv ∆t → 0 ∆t dt a > 0 ความหนว่ ง (deceleration) a < 0 ความเร่ง (accerelation)

ตัวอย่างท่ี 1.8 อนุภาคเคลื่อนท่ีโดยมีความเร็วเป็นฟังกช์ นั เทียบกบั เวลาตามสมการ v (t) = 10 + 2t2 เซนติเมตร/วินาที จงหา (a) ความเร่งเฉล่ีย ในช่วง t = 2 วนิ าทีและ t2 = 5 วนิ าที (b) ความเร่งบดั ดล ณ เวลา t1 = 2 วินาที

การเคลือ่ นที่ด้วยความเร่งคงตวั aave = ∆v =  ∆t a  = ∆v =  −  a = lim ∆v = dv aave ∆t v2 − v1 ∆t → 0 ∆t dt t2 t1 ความเร็ว a =  =  −  aave = v2 − v1 V t2 − t1 v v0 v t− 0  at V0 ∴ = v0 + 0 t เวลา

พิจารณากรณี 1 มติ ิ dx v = dt = v0 + at xt t ∫ ∫ ∫dx = x0 0 v0dt + atdt 0 x − x0 = v0t + 1 at 2 2 x = v0t + 1 at 2 , x0 = 0 2 a = v − v0 a = v − v0 t = v − v0 t − t0 t a t0 = 0

∴ x = v0t + 1 at 2 t = v − v0 2 a ∴ x = v0  v − v0  + 1 a v − v0 2  a  2  a  ∴v2 = v02 + 2ax

ตวั อย่างที่ 1.9 เคร่ืองบนิ ไอพ่นมีความเร็วสงู สดุ เทา่ กบั 360 กิโลเมตร/ชว่ั โมง บนทางวิ่งเพ่ือ จะบินขนึ ้ ได้ สมมติให้ความเร่งของเครื่องบนิ คงตวั และทางวิ่งยาว 1.8 กิโลเมตร จะต้อง ใช้ความเร่งเทา่ ใดจากเครื่องอยนู่ ิ่ง

ตวั อย่างที่ 1.10 รถยนต์มคี วามเร่งตามสมการa(t) = 2.0 − 0.1t m/s2 ท่ีจดุ เร่ิมต้น v0 =10 m/s (a) จงแสดงฟังก์ชนั ความเร็วเทียบกบั เวลาv(t) และการกระจดั เทียบกบั เวลาx(t) (b) คํานวณหาเวลาt ท่ีคvา่ มีคา่ สงู สดุ (c) v สงู สดุ มีคา่ เทา่ ใด

x = v0t + 1 at 2 s = ut + 1 at 2 2 2 v0 = u v2 = v02 + 2ax x=s v2 = u2 + 2as v = v0 + at v = u + at