Β τόμος - Γ. Μαυρίδης - Γ Λυκείου

Πρόλογος lisari.blogspot.gr 14/5/2017 1 Γιώργος Λ. Μαυρίδης Μια προσφορά 167 σελίδων από τα νέα βιβλία του συγγραφέα Γ. Μαυρίδη για τους αναγνώστες του lisari.blogspot.gr Μαθηματικά Ομάδες Προσανατολισμού ● Θετικών Σπουδών ● Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Τόμος Β΄ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΑΥΡΙΔΗ

lisari.blogspot.gr 14/5/20172 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΚάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέαΜaθηματικά Γ΄ Λυκείου, Τόμος Β΄Ομάδες Προσανατολισμού:● Θετικών Σπουδών● Σπουδών Οικονομίας και ΠληροφορικήςΓιώργος Λ. Μαυρίδηςτηλ.: 2310.810715, 6973.306709e-mail: [email protected] : 978-618-81496-8-7ISBN : 978-618-81496-7-0© Copyright: ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΑΥΡΙΔΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ ΙΩΑΝΝΗΣ Π. ΤΣΑΧΟΥΡΙΔΗΣ ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ ΒΙΒΛΙΩΝ ΣΤΡ. ΕΞΑΔΑΚΤΥΛΟΥ 5, 546 35 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Τηλ./Fax: 2310.248272, Ε-mail: [email protected]

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 3Πρόλογος Στη μνήμη του φωτισμένου Μαθηματικού Θ. Ν. Καζαντζή

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 5Πρόλογος «Τον χρόνο που αφιερώνετε τώρα για να κατανοήσετε τις βασικές έννοιες και να εμβαθύνετε στον τρόπο σκέψης και εργασίας, θα τον κερδίσετε πολλαπλάσιο αργότερα.» Θεόδωρος Ν. Καζαντζής

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 7Πρόλογος Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι η νέα μας πρόταση στα Μαθηματικά Προσανατολισμούτης Γ΄ Λυκείου. Η φιλοδοξία μας, σε σχέση με τα προηγούμενα εγχειρήματα, είναινα αποτελέσει ένα βιβλίο βάσης και όχι απλά θεματογραφίας, ένα χρήσιμο φροντι-στηριακό βοήθημα, σταθερό σημείο αναφοράς, καθόλη τη σχολική χρονιά, τόσογια τον μαθητή όσο και για τον εκπαιδευτικό. Για τον λόγο αυτό, συμπεριλάβαμεστην ύλη αναλυτικά όλη τη θεωρία του σχολικού βιβλίου, δομημένη κατά θεματι-κές ενότητες, και πλήρη μεθοδολογία, η οποία υποστηρίζεται από ικανό αριθμόυποδειγματικά λυμένων ασκήσεων. Επίσης, επιλεγμένες ασκήσεις για λύση, ερω-τήσεις εμπέδωσης, ερωτήσεις σωστού-λάθους και διαγωνίσματα στο τέλος τουκάθε κεφαλαίου. Μάλιστα, στο τέλος του βιβλίου υπάρχει ειδικό κεφάλαιο για συ-στηματική και ολοκληρωμένη επανάληψη με λυμένα και προτεινόμενα θέματα. Στη συγγραφή και οργάνωση του υλικού, αλλά και στην ολοκληρωμένημορφή του βιβλίου, ανεκτίμητη ήταν η αρωγή του συναδέλφου και ταλαντούχουΜαθηματικού Λουκά Κανάκη. Οι οξυδερκείς παρατηρήσεις και οι πολύτιμεςσυμβουλές του, κυρίως όμως η αγάπη του για τα μαθηματικά, είναι πηγή έμπνευ-σης αλλά και εφαλτήριο για γόνιμες μελλοντικές συνεργασίες. Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2016 Γιώργος Λ. Μαυρίδης

lisari.blogspot.gr 14/5/20178 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Εύδοξος Αρχιμήδης 409-356 π.Χ. 287-212 π.Χ.R. Descartes Ρ. Fermat I. Newton G. Leibniz 1596-1650 1601-1665 1642-1727 1646-1716M. Rolle G. L’ Hospital J. Bernoulli L. Euler1652-1719 1661-1704 1667-1748 1707-1783J. d’ Alembert J. Lagrange J. Fourier C. Gauss 1717-1783 1736-1813 1768-1830 1777-1855A. Cauchy B. Bolzano K. Weierstrass G. Riemann 1777-1855 1781-1848 1815-1897 1826-1866

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 9Περιεχόμενα Περιεχόμενα Β΄ ΤόμουΠρόλογος ................................................................................................................. 7Διαφορικός Λογισμός (Β΄ Μέρος)Το Θεώρημα του Rolle .............................................................................................. 13To Θεώρημα της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.)....................... 43Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής........................................................... 70Μονοτονία Συνάρτησης............................................................................................ 102Τοπικά Ακρότατα Συνάρτησης.................................................................................. 134Το Θεώρημα του Fermat ........................................................................................... 136Προσδιορισμός Τοπικών Ακροτάτων........................................................................ 160Κυρτότητα – Σημεία Καμπής .................................................................................... 211Ασύμπτωτες............................................................................................................... 255Κανόνες de l’ Hospital............................................................................................... 272Mελέτη Συνάρτησης και Χάραξη της Γραφικής της Παράστασης ........................... 290Ερωτήσεις Θεωρίας ................................................................................................... 299Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους....................................................................................... 301Διαγωνίσματα ............................................................................................................ 307Ολοκληρωτικός ΛογισμόςΠαράγουσα Συνάρτηση ............................................................................................. 315Ορισμένο Ολοκλήρωμα............................................................................................. 339Ιδιότητες του Ολοκληρώματος .................................................................................. 342Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού........................................ 348Μέθοδοι Ολοκλήρωσης............................................................................................. 363Ανισοτικά Θεωρήματα του Ολοκληρωτ-ικού Λογισμού .......................................... 389Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου ....................................................................................... 411Ερωτήσεις Θεωρίας ................................................................................................... 441Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους....................................................................................... 442Διαγώνισμα................................................................................................................ 446Θέματα για Επανάληψη ...................................................................................... 449Απαντήσεις............................................................................................................. 567Βιβλιογραφία............................................................................................................ 637

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 43Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού(Θ.Μ.Τ.)Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα α, β και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α, βτότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ α, β τέτοιο, ώστε fξ  f β  f α .  β αΓεωμετρική Ερμηνεία yΓια κάθε συνάρτηση f η οποία ικανοποιεί τις Μξ, f ξ  Ββ, f βπροϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε κάποιο διά-  στημα α,β υπάρχει ένα, τουλάχιστον,ξ α,β τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της   α, f α Cf στο σημείο Μξ, f  ξ να είναι παράλ- Aληλη στην ευθεία ΑΒ. O αξ ξ β xΠαράδειγμαΗ συνάρτηση f x  x 1ex είναι συνεχής στο διάστημα 0,1 και παραγωγίσιμηστο διάστημα 0,1 με f x 1 ex  x 1ex  xex για κάθε x 0,1 . Άρα,σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει ξ 0, 1 τέτοιος, ώστεδηλαδή f ξ  f 1  f 0  0  1  1, 10 10 ξeξ  1. Το θεώρημα του Rolle προκύπτει ως ειδική περίπτωση του θεωρήματος της μέσης τιμής. Πράγματι, αν f α  f β , τότε το συμπέρασμα του Θ.Μ.Τ. γίνεται f ξ  0.

lisari.blogspot.gr 14/5/201744 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Το αντίστροφο του θεωρήματος της μέσης τιμής δεν ισχύει. Δηλαδή, υπάρχουν συναρτήσεις ορισμένες σε διάστημα α,β με f   ξ  f β  f α  β αγια κάποιο ξ α, β οι οποίες δεν ικανοποιούν μία τουλάχιστον από τις προϋ-ποθέσεις του θεωρήματος. Αν κάποια από τις προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής δεν ισχύει, τότε το συμπέρασμα του θεωρήματος μπορεί να ισχύει, μπορεί όχι.y y  Ββ, f β  Ββ, f β   Aα, f α Μξ, f ξ  Aα, f αOα ξβ x Oα β xy y  Ββ, f β  Ββ, f β   Aα, f α Μξ, f ξ  Aα, f αOα ξβ x Oα β x Το θεώρημα μέσης τιμής συνδέει άμεσα και χωρίς την παρουσία ορίου, με μία απλή και κομψή σχέση τις συναρτήσεις f  και f . Η γέφυρα που στήνει το κορυφαίο αυτό θεώρημα μεταξύ των συναρτήσεων f  και f επιτρέπει την ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ τους.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 45 Λυμένες Ασκήσεις17. Δίνεται η συνάρτηση f  x   x2 x , x1  5x  2, x1  3x2 i) Να βρείτε τη συνάρτηση f  .ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα 0, 2 .iii) Να βρείτε τις τιμές του ξ  0, 2 για τις οποίες ισχύει η σχέση fξ  f 2  f 0 . 2Λύσηi) ● Για κάθε x ,1 έχουμε Μεθοδολογία f x  x2  x  2x 1. Βρίσκουμε την f x σε κα-● Για κάθε x 1,   έχουμε θένα από τα ανοικτά διαστή- f x  3x2  5x  2  6x  5. ματα , 1 και 1,  ● Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f είναι του πεδίου ορισμού της f χρησιμοποιώντας τους σχετι- παραγωγίσιμη στο x0  1. Έχουμε λοιπόν κούς κανόνες παραγώγισης. Στη συνέχεια εξετάζουμε με lim f x  f 1  lim x2  x  0 τη βοήθεια του ορισμού, αν η x1 x  1 x1 x  1 συνάρτηση f είναι παραγωγί- σιμη στο σημείο x0  1 του  lim x x 1  lim x  1 πεδίου ορισμού της, όπου αυτή αλλάζει τύπο. x1 x  1 x 1 και lim f x  f 1  lim 3x2  5x  2  0 x1 x  1 x 1 x 1 x 13x  2  lim x1 x  1  lim 3x  2  1. x 1

lisari.blogspot.gr 14/5/201746 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΆρα, lim f x  f 1  1  f 1 1. x1 x  1Επομένως, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με 2x 1 , x 1 f x  6x  5 , x  1  1 , x  1δηλαδή f  x   2x  1 , x 1 6x  5 , x  1.ii) Aποδείξαμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, στο . Επομένως, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα 0, 2 και παραγωγίσιμη στο διάστημα 0, 2. Δηλαδή, η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο διάστημα 0, 2.iii) Από το ερώτημα ii) συμπεραίνουμε ότι υπάρχει 0 2 ξ 0, 2 τέτοιο, ώστε fξ  f 2  f 0 (1) ξ 20Όμως, f 2  3 22  5 2  2  4 και f 0  02  0  0.Οπότε, η σχέση (1) γράφεται fξ  4  0  fξ  2 2ή ισοδύναμα 2ξ 1  2 με ξ   0,1 ξ  3 με ξ 0,1, αδύνατο   ή 2 με ξ 1, 2   ή  6ξ  5  2 με ξ 1, 2   7 ξ 6και τελικά ξ  7 . 6

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 4718. Έστω συνάρτηση f :  η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f x  ex2 για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι: i) f x  1 για κάθε x  ii) f β  f α  β  α για κάθε α, β με α  β.Λύσηi) Έχουμε x2  0 για κάθε x  . Άρα ex2  e0 για κάθε x  . Δηλαδή f x  1 για κάθε x  .ii) ● Αν α  β , τότε η ζητούμενη σχέση Σχόλιο Η διαφορά ισχύει ως ισότητα. f β  f α● Αν α  β, τότε παρατηρούμε ότι η f μας προκαλεί να εφαρμόσουμε για ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεω- τη συνάρτηση f το Θ.Μ.Τ. στο ρήματος της μέσης τιμής στο διά- διάστημα α, β. Πράγματι, σύμ- στημα α, β. Επομένως, υπάρχει ένα φωνα με το Θ.Μ.Τ. κάθε λόγος με- τουλάχιστον ξ α,β τέτοιο, ώστε ταβολής f ξ   f β  f α . f β  f α  β α βα , Όμως, στο προηγούμενο ερώτημα όταν βέβαια η f ικανοποιεί τις σχετικές προϋποθέσεις, είναι τιμή αποδείξαμε ότι της συνάρτησης f . f x  1 για κάθε x  . Μεθοδολογία Γενικά όταν δίνεται κάποια πληρο- Άρα, φορία για τη συνάρτηση f  και ζη- τείται πληροφορία για τη συνάρτη- fξ 1 ση f συνήθως αξιοποιούμε το Θ.Μ.Τ. δηλαδή f β  f α βα 1 και τελικά f β  f α  β  α.

lisari.blogspot.gr 14/5/201748 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου19. Έστω συνάρτηση f :  η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε: ● η f  είναι γνησίως αύξουσα στο ● f 0  0 ● f1  1 Να αποδείξετε ότι f 1  1.ΛύσηH συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο . Οπότε, η f είναι συνεχήςστο διάστημα 0, 1 και παραγωγίσιμη στο διάστημα 0, 1. Επομένως, σύμφωνα μετο Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ 0, 1 τέτοιο, ώστε 01 f ξ  f 1  f 0  f 1  0  f 1. ξ 10 10Όμως η συνάρτηση f  είναι γνησίως αύξου- Σχόλιοσα. Kαι επειδή 0  ξ  1, συμπεραίνουμε ότι Δίνεται κάποια πληροφορία για τη f 0  f ξ  f 1 συνάρτηση f  και ζητείται μια πληροφορία για τη συνάρτηση f. Το θεώρημα μέσης τιμής με τηδηλαδή σχέση f 0  f 1 1 f ξ   f β  f α και τελικά β α επιτρέπει τη μεταφορά πληροφο- f 1 1. ριών μεταξύ των συναρτήσεων f  και f.20. Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  . Αν η συνάρτηση f  είναι 1  1, να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης της f δεν έχει άλλο κοινό σημείο με αυτήν.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 49ΛύσηΑς υποθέσουμε ότι υπάρχει σημείο yΑx0, f x0  της Cf τέτοιο, ώστε η εφαπτο- Βμένη ε της Cf σ’ αυτό, δηλαδή η ευθεία με ε Α Mεξίσωση y  f x0   fx0 x  x0  Ο x0 ξ x1 xνα έχει και δεύτερο κοινό σημείο Bx1, f x1με τη Cf . Τότε οι συντεταγμένες του σημείου Βεπαληθεύουν την εξίσωση της εφαπτομένης. Δηλαδή, ισχύει η σχέση f x1   f x0   f x0 x1  x0 και συνεπώς f   x0   f  x1   f x 0  .  x1 x0Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι x0  x1. Επειδή η συνάρτηση fικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα x0 , x1 , συμπεραίνουμε ότιυπάρχει ξ x0, x1  τέτοιο, ώστε f ξ  f x1   f x0  . x1  x0Επομένως, f ξ  f x0  που είναι άτοπο, αφού η συνάρτηση f  είναι 11 καιξ  x0. Άρα, η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της Cf δεν έχει άλλο κοινό σημείο μεαυτήν.21. Έστω συνάρτηση f :  η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια ώστε τα σημεία Α1, f 1, B2,f 2 και Γ3,f 3 να είναι σημεία μιας ευθείας ε : y  αx  β . Να αποδείξετε ότι: i) f 2  f 1  f 3  f 2  α ii) αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f  έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τον άξονα xx.

lisari.blogspot.gr 14/5/201750 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΛύσηi) Τα Α1,f 1, B2,f 2 και Γ3,f 3 y είναι σημεία της ευθείας ε : y αx β . Γ3,f 3 B2,f 2Oπότε ισχύουν οι σχέσειςf 1  α  β, f 2  2α  β, f 3  3α  β Α1,f 1από τις οποίες προκύπτει ότι O 1 ξ1 2 ξ2 3 x f 2  f 1  f 3  f 2  α.ii) Παρατηρούμε επίσης ότι η συνάρτηση f Σημείωση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε Η συνάρτηση f είναι παραγω- γίσιμη στο . Άρα, σύμφωνα με καθένα από τα διαστήματα 1, 2 και το Θ.Μ.Τ. κάθε λόγος μεταβολής2,3 . Επομένως, υπάρχουν ξ1 1, 2 και f β  f αξ2 2,3 τέτοια, ώστε βαf ξ1   f  2  f 1  f 2  f 1  1 είναι τιμή της συνάρτησης f  για 2 κάποιο ξ α, β.καιf ξ2   f 3  f 2  f 3  f 2. 123  ξ1 ξ2 3 2Aπό τις δύο τελευταίες ισότητες και μεβάση τo ερώτημα i) συμπεραίνουμε ότι f ξ1   f ξ2  . Σχόλιο● η συνάρτηση f  είναι συνεχής Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση στο διάστημα ξ1, ξ2  f x  0● η συνάρτηση f  είναι παραγω- γίσιμη στο διάστημα ξ1, ξ2  έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. Εξετάζουμε λοιπόν αν μπο-● f ξ1   f  ξ2 . ρούμε να εφαρμόσουμε το θεώ- ρημα του Bolzano για τη συνάρ- τηση f  ή το θεώρημα του Rolle για τη συνάρτηση f  σε κάποιο κλειστό διάστημα.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 51Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle, 123 ξ1 ξ ξ2υπάρχει ξ ξ1, ξ2  τέτοιο, ώστε f ξ  0.Δηλαδή, η γραφική παράσταση της συνάρ-τησης f  έχει ένα τουλάχιστον κοινόσημείο με τον άξονα xx.22. Ένας αθλητής διανύει τα 100 μέτρα σε 10 δευτερόλεπτα. Να αποδείξετε ότι: i) κάποια χρονική στιγμή κατά τη διάρκεια της διαδρομής ο αθλητής έχει ταχύτητα 10 m/sec ii) υπάρχει χρονική στιγμή t1  0,10 κατά την οποία η ταχύτητα του αθλητή είναι υt1   2t1.Λύσηi) Έστω Σημείωση Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κι- st , t 0, 10 νητού, τη χρονική στιγμή t0, είναι η παράγωγος της συνάρ-η συνάρτηση θέσης του αθλητή. Αρκεί να τησης θέσηςδείξουμε ότι υπάρχει t0 0, 10 τέτοιο, x stώστε τη χρονική στιγμή t0. Δηλαδή, υt0   st0  10. υt0   st0 .Προς τούτο, παρατηρούμε ότι η συνάρ- Σημείωσητηση s είναι συνεχής στο διάστημα Η συνάρτηση st θεωρείται0, 10 και παραγωγίσιμη στο διάστημα συνεχής στο διάστημα 0, 100, 10. Άρα, σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. και παραγωγίσιμη στο διάστημαυπάρχει t0 0, 10 τέτοιο, ώστε  0, 10. υ  t   s  t   s 10  s 0  0 0 10 0  100  0  10 m / sec. 10

lisari.blogspot.gr 14/5/201752 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείουii) Στο διάστημα 0, 10 η εξίσωση υt  2t γράφεται ισοδύναμα st  2t  0  δηλαδή st  t2   0. Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση f t  st  t2, t 0,10 και παρατηρούμε ότι αυτή είναι συνεχής στο διάστημα 0, 10 , παραγωγίσιμη στο διάστημα 0, 10 με f t  st  2t για κάθε t 0,10 και τέτοια, ώστε f 0  0  f 10. Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει t1 0, 10 τέτοιο, ώστε f t1  0  υt1   2t1.23. Έστω συνάρτηση f :  η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε η συνάρτηση f  να είναι γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι: i) f1  f 2  f 1  f 2 ii) αν επιπλέον ισχύει η σχέση f 0  0, τότε f 1  f 2.Λύσηi) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Παρατήρηση Η διαφορά θεωρήματος μέσης τιμής στο διάστημα 1, 2. f 2  f 1Επομένως, υπάρχει ξ 1, 2 τέτοιο, ώστε αποτελεί ισχυρή ένδει- f ξ  f 2  f 1  f 2  f 1 (1) ξη ότι πρέπει να χρησι- μοποιήσουμε το θεώ- 2 1 ρημα μέσης τιμής. Βέ- βαια, η παραπάνω έν-Όμως, η συνάρτηση f  είναι γνησίως αύξουσα και δειξη ενισχύεται πολύ περισσότερο από το γε- 1  ξ  2. γονός ότι έχουμε κά- ποια πληροφορία γιαΆρα, (2) τη συνάρτηση f  και θέλουμε να αποδείξου- f 1  f ξ  f 2 με κάτι που σχετίζεται με τη συνάρτηση f.Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι f 1  f 2  f 1  f 2ii) Aς υποθέσουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι f 1  f 2. Οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle θα υπάρχει ξ 1, 2 τέτοιο, ώστε f ξ  0.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 53 Όμως, από την υπόθεση έχουμε 01 2 f 0  0. ξ Άρα, fξ  f0, πράγμα αδύνατον αφού ξ  0 και η συνάρτηση f  είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως, f 1  f 2.24. Να αποδείξετε ότι x 1 1  ln  1  1   1 για κάθε x 0.   x  xΛύση ΜεθοδολογίαΤο ζητούμενο ισοδύναμα γράφεται 1  ln  x 1  1 Φέρνουμε τη ζητούμενη   x  x σχέση στη μορφή x 1  1  ln x 1  ln x  1 A  f β  f α  B  x 1 x β α  1  ln  x  1  ln x  1 η οποία μετά από εφαρμογή   x  1  x x του Θεωρήματος Μέσης x 1 Τιμής γράφεται  1  f x 1  f x  1 1 f α  f ξ  f β  x 1  x x 1 x ήόπου f β  f ξ  f α f x  ln x, x  0 με f x  1 για κάθε x  0. για κάποιο ξ α,β . Δηλα- x δή, οι ζητούμενες ανισότητες μετατρέπονται σε ανισότητεςΕίναι φανερό ότι η συνάρτηση f ικανοποιεί τις μεταξύ τιμών της συνάρτη- σης f  . Οι τελευταίες ανισό-προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα x, x 1 . τητες είτε είναι προφανείς,Επομένως, υπάρχει ξ x, x 1 τέτοιος, ώστε είτε αποδεικνύονται με βάση τη μονοτονία της συνάρτη-fξ  f x 1  f x  1  ln x 1  ln x . σης f  . x 1  x ξ x 1  x

lisari.blogspot.gr 14/5/201754 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΟπότε, η σχέση (1) ισοδύναμα γράφεται x 1  1  1 0x x+1 1 ξ x ξπου ισχύει αφού x 1 ξ  x  0 .Από τα παραπάνω, συμπεραίνουμε ότι x 1 1  ln 1  1   1 για κάθε x  0 .  x  x25. Να αποδείξετε ότι συνx  ημx  1 για κάθε x   0, π  . x  2 ΛύσηΓια οποιονδήποτε x   0, π οι ζητούμενες ανισότητες Σχόλιο  2  Το Θεώρημα Μέσηςισοδύναμα γράφονται Τιμής εγγυάται ότι αν συνx  ημx  ημ0  συν0 . x0 μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστη-Η συνάρτηση f x  ημx είναι συνεχής στο διάστημα μα Δ και παραγωγίσιμη0, x και παραγωγίσιμη στο διάστημα 0, x για στο εσωτερικό του, τότεοποιοδήποτε x   0, π . Άρα, σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. κάθε λόγος μεταβολής  2 f β  f αυπάρχει ξ 0, x τέτοιος, ώστε είναι τιμή βα fξ  f x  f 0 της συνάρτησης f . Επομένως, για οποιονδή- x0δηλαδή συνξ  ημx  ημ0 . ποτε x   0, π έχουμε  2  x0 ημx  ημ0  συνξΑρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι συνx  συνξ  συν0 x0που ισχύει διότι 0  ξ  x  π και η συνάρτηση για κάποιο ξ 0, x. 2 π f x  συνx 0 x2είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, π  . 2  ξ

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 5526. Να αποδείξετε ότι  1  1 x  e  1  1 x1 για κάθε x  0.  x  x ΛύσηΓια κάθε x  0 oι ζητούμενες ανισότητες ισοδύναμα Σχόλιαγράφονται Το Θ.Μ.Τ. είναι ένα ανι- ln 1  1 x  ln e  ln 1  1 x1 σοτικό κατά βάση θεώρη- x  x  μα ιδιαίτερα χρήσιμο σε αποδείξεις διπλών ανισο- x ln 1  1   1  x  1 ln 1  1  τήτων όπως αυτών του x  x  συγκεκριμένου προβλή- ματος. Βέβαια, για να το x ln  x  1  1  x  1 ln  x  1  αξιοποιήσουμε χρειάζεται  x   x  συχνά να μετασχηματί- σουμε τις ζητούμενες x ln x 1  ln x 1 x 1 ln x 1  ln x ανισότητες με τέτοιο τρό- πο ώστε να εμφανίσουμε x ln x  1  ln x  1  x  1 ln x  1  ln x . παραστάσεις της μορφής x  1  x x  1  x f β  f αΌμως, η συνάρτηση βα . f x  ln x, x  0 Το Θ.Μ.Τ. εγγυάται ότιικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα κάθε τέτοια παράσταση, όταν βέβαια η συνάρτησηx, x 1. Επομένως υπάρχει ξ x, x 1 τέτοιος, f ικανοποιεί τις γνωστές προϋποθέσεις, είναι τιμήώστε της συνάρτησης f  σε κά- f ξ  f x 1  f  x ποιο ξ α, β. x 1  xδηλαδή 1  ln  x  1  ln x . ξ  x  1  xΑρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι 0x x+1 ξ x  1 1 x  1  1  x  ξ  x  1, που ισχύει. ξ ξ

lisari.blogspot.gr 14/5/201756 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου27. Έστω μια συνάρτηση f :  η οποία είναι δύο φορές παραγω- γίσιμη και τέτοια, ώστε f 1  f 1  2f 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ  1, 1 τέτοιο, ώστε f ξ  0.ΛύσηΈχουμεf 1  f 1  2f 0  f 1  f 0  f 0  f 1  f 1  f 0  f 0  f 1 (1) 0  1 1 0Όμως, η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋπο- –1 ξ1 0 ξ2 1θέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα δια-στήματα 1, 0 και 0, 1. Άρα, υπάρχουν ξ1 ξ ξ2ξ1, ξ2 στα διαστήματα 1, 0 και 0, 1 αντι-στοίχως τέτοιοι, ώστε Σχόλιο Η συνθήκη f   ξ1   f  0  f 1 0 1 f 1  f 1  2f 0και γράφεται f   ξ   f 1  f 0 . f 1  f 0  f 0  f 1  0 2 1 και αποκτά μία μορφή η οποία είναι φιλική προς την Ανάλυση καιΟπότε, με βάση τη σχέση (1) έχουμε συγκεκριμένα προς το Θ.Μ.Τ. Εφαρμόζουμε για την f το Θ.Μ.Τ. f ξ1   f ξ2 . σε καθένα από τα διαστήματαΠαρατηρούμε λοιπόν ότι η συνάρτηση f  1, 0, 0,1 και στη συνέχεια τοικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος θεώρημα του Rolle στο διάστηματου Rolle στο διάστημα ξ1, ξ2 . Επομένως, ξ1, ξ2  για τη συνάρτηση f .υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ξ1, ξ2   1,1τέτοιο, ώστε f ξ  0.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 5728. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σ’ ένα διάστημα α, β , παραγωγίσιμη στο διάστημα α,β και τέτοια, ώστε f α  α και f β  β . Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει ένα τουλάχιστον x0  α,β τέτοιο, ώστε f x0   α  β  x0 ii) υπάρχουν ξ1, ξ2  α,β τέτοιοι, ώστε f   ξ   f   ξ 2   1. 1Λύσηi) Θεωρούμε τη συνάρτηση gx  f x  x  α  β, x α, β και παρατηρούμε ότι: ● η g είναι συνεχής στο διάστημα α, β ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. ● gα  f α  α  α  β  α  β και gβ  f β  β  α  β  β  α. Επομένως, gαgβ  α  β2  0. Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 α, β τέτοιο, ώστε gx0   0  f x0   x0  α β  0  f x0   α  β  x0.ii) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέ- α ξ1 x0 ξ2 β σεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστή-ματα α, x0 , x0, β. Επομένως, υπάρχουν ξξ 12ξ1, ξ2 στα διαστήματα α, x0 , x0, β Σχόλιοαντιστοίχως τέτοιοι, ώστε Το Θ.Μ.Τ. εφαρμόζεται για τη συνάρτηση f σε καθένα από ταf ξ1   f  x0   f α  α  β  x0  α  β  x0 διαστήματα  x0  α x0  α x0 α α, x0  και x0, β.καιf ξ2   f β  f x0   β  x0  α  β  x0  α .  β  x0 β  x0 β x0Άρα, f ξ1   f ξ2  1.

lisari.blogspot.gr 14/5/201758 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου29. Έστω μια συνάρτηση f : α,β  η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f αf β  0. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ , ξ   α, β  με ξ  ξ τέτοιοι, ώστε 1 2 1 2 f   ξ  f   ξ 2   0. 1ΛύσηΗ συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, άρα α ξ1 x0 ξ2 βκαι συνεχής, στο διάστημα α, β. Επίσης, f αf β  0. ξξ 12Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzanoυπάρχει ένα τουλάχιστον x0 α,β τέ- Σχόλιο Το ζητούμενο του προβλήματος μαςτοιο, ώστε f x0   0. οδηγεί στο συμπέρασμα ότι πιθανόν να εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. σε δύοΕπίσης, η f ικανοποιεί τις προϋποθέσειςτου θεωρήματος μέσης τιμής σε καθένα διαστήματα α, x0  , x0 , β για κά-από τα διαστήματα α, x0  , x0 , β . Επο- ποιο x0 α,β. Η δοθείσα σχέσημένως, υπάρχουν ξ1, ξ2 στα διαστήματα f αf β  0α, x0 , x0 , β αντιστοίχως τέτοιοι, ώστε στρέφει την προσοχή μας στο θεώ- ρημα του Bolzano. Υπάρχει, λοιπόν, f   ξ1   f x0   f α  f α ισχυρή ένδειξη ότι ως x0 θα εκλέ-  x0 ξουμε τη ρίζα της εξίσωσης x0 α α f x  0και που εγγυάται το θεώρημα του f ξ2   f β  f x0   f β .  Bolzano. β x0 β  x0Οπότε, f   ξ1  f   ξ 2    f αf β    0 x0  αβ  x 0διότι f αf β  0 και α  x0  β .

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 5930. Έστω συνάρτηση f :  η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f 0  0 και f 1  f 1  0. Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση f  δεν είναι γνησίως φθίνουσα ii) υπάρχει ξ  1,1 τέτοιος, ώστε fξ  f 1  f 1 . 2Λύσηi) Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι η –1 ξ1 0 ξ2 1 συνάρτηση f  είναι γνησίως φθίνουσα. Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις ξξ του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα 121, 0, 0,1 . Επομένως, υπάρχουν αριθμοί Σχόλιο Το Θ.Μ.Τ. εφαρμόζεται σε ξ1 1, 0 και ξ2 0, 1 καθένα από τα διαστήματατέτοιοι, ώστε 1, 0, 0,1 για τη συνάρ- f   ξ1   f 0  f 1  f 1 τηση f. Έτσι, οι πληροφορίες 0 1 που έχουμε για τη συνάρτηση f μετατρέπονται σε πληροφορίεςκαι για τη συνάρτηση f . f ξ2   f 1  f 0  f 1.  1 0Οπότε, με βάση την υποτιθέμενη μονοτονία της συνάρτησης f  έχουμε f ξ1   f ξ2   f 1  f 1  f 1  f 1  0που είναι αδύνατον, αφού γνωρίζουμε ότι f 1  f 1  0.Επομένως, η συνάρτηση f  δεν είναι γνησίως φθίνουσα.

lisari.blogspot.gr 14/5/201760 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείουii) H συνάρτηση f  ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Παρατήρηση Έχουμε ένα πρόβλημα Θ.Μ.Τ. στο διάστημα ξ1, ξ2  . Άρα, υπάρχει υπαρξιακό το οποίο μά- λιστα έχει ανισοτική δομή. ξ ξ1, ξ2   1,1 τέτοιος, ώστε Το κορυφαίο θεώρημα του Διαφορικού Λογισμού για f   ξ   f ξ2   f ξ1  μια ακόμη φορά σε ρόλο  πρωταγωνιστή. Όμως, το ξ2 ξ1 Θ.Μ.Τ. δεν συσχετίζει άμε- σα τη συνάρτηση f με τη f 1  f 1 συνάρτηση f  κάτι που θέ- λουμε στο συγκεκριμένο  ξ2  ξ1 . πρόβλημα. Η διαδρομή ανάμεσα στις δύο συναρ-Όμως, τήσεις περνάει αναγκαστι- κά από τη συνάρτηση f . f 1  f 1  0 (1) (2) –1 0 1και ξ1 ξ ξ2 0  ξ2  ξ1  2οπότε ξ2 1 ξ1  1  2Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμεότι f  1  f 1  1  f  1  f 1  2 ξ2  ξ1και τελικά f ξ  f 1  f 1 . 231. Έστω συνάρτηση f :  η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f 2  f 2  2 και τέτοια, ώστε f x  f x  4x lim  0. x2 x  2 Να αποδείξετε ότι: i) f 2  f 2  8  ii) η γραφική παράσταση της συνάρτησης gx  f x  2 efx , x  έχει τρία, τουλάχιστον, κοινά σημεία με τον άξονα xx iii) η εξίσωση fx  2f x  f x2 έχει δύο, τουλάχιστον, πραγματικές ρίζες.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 61Λύσηi) Θέτουμε h x  f x  f x  4x κοντά στο 2. Οπότε, x2 Επομένως, f x  f x  4x  x  2h x κοντά στο 2. lim f  x   f  x   4x   lim  x  2 h  x  x2 x 2  limf x  limf x  lim4x  limx  2  limh x. (1) x2 x2 x2 x2 x2Όμως, η f είναι συνεχής, ως παραγωγίσιμη, και συνεπώς limf x  f 2 και limf x  f 2. x2 x 2Επίσης, lim h x  lim f x  f x  4x  0 . x2 x2 x  2Οπότε, η σχέση (1) γίνεται f 2  f 2  8  0  0  f 2  f 2  8.ii) Παρατηρούμε ότι: g2  f 2  2 ef2  0και g2  f 2  2 ef2  0Επίσης η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του –2 2 ξΘ.Μ.Τ. στο διάστημα 2, 2 . Οπότε υπάρχειξ 2, 2 τέτοιο, ώστε f ξ  f ξ  f 2 i) 8  2 2  2 4 και συνεπώς gξ  f ξ  2 efξ  0.Άρα, η Cg έχει τρία τουλάχιστον, κοινά σημεία, με τον άξονα xx, τα σημείαA2,0, Bξ,0 και Γ2, 0.

lisari.blogspot.gr 14/5/201762 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείουiii) H συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη με  gx  f x  2 efx  f x  2 efx   f xefx  f xf x   2efx  f  x    f   x  2  2f   x   ef  x για κάθε x  . Επομένως:● η g είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα 2, ξ και ξ, 2● η g είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα 2, ξ και ξ, 2● g2  gξ  g2  0, λόγω του ερωτήματος ii).Δηλαδή, η συνάρτηση g ικανοποιεί τις «Η μεθοδολογία, όταν αυτή δενπροϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle δίνεται ως συνταγή μαγειρικής, πειθαρχεί αλλά δεν φυλακίζει τησε καθένα από τα διαστήματα 2, ξ και σκέψη. Αναμφισβήτητα αποτελείξ, 2. Οπότε η εξίσωση ένα ισχυρό εφόδιο για την αντι- μετώπιση πολλών προβλημάτων, gx  0 αλλά όχι όλων. Στα Μαθηματικά πάντοτε θα συναντάμε προβλή-  f x  f x2  2f x ef x  0 ματα, όχι απαραίτητα δύσκολα,  f x  f x2  2f x  0 όπου οι συνηθισμένες μέθοδοι  f x  2f x  f x2 αποτυγχάνουν. Πρέπει λοιπόν να είμαστε ευέλικτοι και να εξετά-έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ζουμε το κάθε πρόβλημα από διάφορες πλευρές. Πολλές φο-2, ξ και μία τουλάχιστον ρίζα στοδιάστημα ξ, 2. Τελικά, η εξίσωση ρές τα ερωτήματα που προη- γούνται φωτίζουν τον δρόμο f x  2f x  f x2 που οδηγεί στη λύση του προ- βλήματος».έχει δύο, τουλάχιστον, πραγματικές ρίζες. Λουκάς Κανάκης

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 63 Προτεινόμενες Ασκήσεις38. Έστω συνάρτηση f :  , η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f 0  1 και 4  f x  5 για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι 9  f 2 11 .39. Δίνεται συνάρτηση f :  , η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f x  4x 4 για κάθε x . x2 Να αποδείξετε ότι:i) η συνάρτηση f  παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x0  2ii) f 2  f 1 1.40. Έστω συνάρτηση f :  , η οποία είναι παραγωγίσιμη με την f  γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι f 1  f 0  f 2 . 241. Έστω συνάρτηση f :  , η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f x  f 1 για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι f 4  4f 1 .42. Έστω συνάρτηση f :  , η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f 1  1 και f x  2 για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι 7  f 5  9 .

lisari.blogspot.gr 14/5/201764 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου43. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα 1, 2 , παραγωγίσιμη στο διάστημα 1, 2 και τέτοια, ώστε f 1  f x  f 2 για κάθε x 1,2 . Να αποδείξετε ότι f 2  2f 1  0 .44. Έστω συνάρτηση f : 1,2  , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 1, 2 και τέτοια, ώστε f 2  f 1 1 και f x  1 για κάθε x 1, 2 . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα 1, 2 .45. Έστω συνάρτηση f :  η οποία είναι συνεχής με f 5  5 , f 5  5 και τέτοια, ώστε f x  1 για κάθε x 5,5 .Να αποδείξετε ότι:i) υπάρχουν ξ1,ξ2 5,5 με ξ1  ξ2 τέτοιοι, ώστεf  ξ1   f  0  5 και f  ξ   5  f 0 5 5 2ii) η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων.46. Δίνεται η συνάρτηση f : 0,    με τύπο f x  ln x για κάθε x  0 .Να αποδείξετε ότι:i) η συνάρτηση f  είναι γνησίως φθίνουσαii) αν 0  α  β , τότε 1  ln β  ln α  1 β β  α α

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 6547. Δίνεται η συνάρτηση f :  0, π   με τύπο  2  f x  εφx για κάθε x   0, π  .  2  Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση f  είναι γνησίως αύξουσα ii) β  α  εφβ  εφα  β  α για κάθε α, β   0, π  με α  β. συν2α συν2β  2 48. Να αποδείξετε ότι: i) 1  ex 1  ex για κάθε x  0 x ii) 1  1  ln x  x 1 για κάθε x  1. x49. Να αποδείξετε ότι ln  x  2   2  ln  x  για κάθε x  2.  x  x    x 250. Να αποδείξετε ότι: i) ημ x 1  ημ x  x 1  x για κάθε x  0  ii) lim ημ x 1  ημ x  0 . x51. Έστω συνάρτηση f : 0, 2  η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f 0  f 2  f 1 και f x 1 για κάθε x 0,2 . Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν ξ1,ξ2 0, 2 με ξ1  ξ2 τέτοιοι, ώστε f ξ1  f 2 και f ξ2   f 2  f 1 ii) f 1  2 .

lisari.blogspot.gr 14/5/201766 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου52. Έστω συνάρτηση f :  , η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f 0  0 και f 1  1. Να αποδείξετε ότι:i) υπάρχει x0 0,1 τέτοιος, ώστε f x0  1 x0.ii) υπάρχουν ξ1,ξ2 0,1 με ξ  ξ2 τέτοιοι, ώστε f ξ1  f ξ2  1. 153. Έστω συνάρτηση f :  , η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f 0  3 και f 2  5 . Να αποδείξετε ότι:i) υπάρχει x0 0, 2 τέτοιος, ώστε f x0   4ii) υπάρχουν ξ1,ξ2 0, 2 με ξ1  ξ2 τέτοιοι, ώστε f 1   f 1   2 .   ξ1 ξ254. Έστω συνάρτηση f : 0, 2  η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και τέτοια, ώστε f 0f 2  0 και f 1  0 . Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν ξ1,ξ2 0, 2 με ξ1  ξ2 τέτοιοι, ώστε f ξ1  f 0 και f ξ2   f 2 ii) υπάρχει ξ 0, 2 τέτοιο, ώστε f ξ  0 .55. Έστω συνάρτηση f :  η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και τέτοια, ώστε f 1  f 3  0 . Αν η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο μόνο στο x0  2, να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν ξ1 1, 2 και ξ2 2,3 τέτοιοι, ώστε f ξ1   0 και f ξ2   0 ii) η εξίσωση f x  0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ξ1,ξ2  .56. Έστω συνάρτηση f :  η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f 1  0 και f 2  f 2  0 . Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 1, 2 τέτοιο, ώστε f x0   f 1 ii) υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 1, 2 τέτοιο, ώστε f ξ  0 .

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 6757. Έστω συνάρτηση f 1,4  , η οποία είναι συνεχής στο διάστημα 1, 4 , δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα 1, 4 και τέτοια, ώστε f 1  f 4  0 και f 2  0 . Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν ξ1 1, 2 και ξ2 2, 4 τέτοια, ώστε f ξ1  2f ξ2   0 ii) υπάρχει ξ 1, 4 τέτοιο, ώστε f ξ  0 .58. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο και τέτοια, ώστε f 0  f 2 1 και f 1  2 . Να αποδείξετε ότι:i) υπάρχουν ξ1,ξ2 0, 2 με ξ1  ξ2 τέτοιοι, ώστε f ξ1   1 και f ξ2   1ii) υπάρχει x0 0, 2 τέτοιο, ώστε f x0   1.59. Έστω συνάρτηση f : 0,1  , η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f 0  1 και f x  1 για κάθε x 0, 1. Να αποδείξετε ότι: i) για κάθε x 0, 1 υπάρχει ξ 0, x τέτοιος, ώστε f ξ  f x 1 x ii) 0  f x  2 για κάθε x 0,1.60. Έστω συνάρτηση f :  , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A2,f 2 τέμνει τη γραφική παράσταση της f στο σημείο B5,f 5 , να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση f  δεν είναι 11 ii) υπάρχει ξ 2,5 τέτοιος, ώστε f ξ  0 .61. Έστω συνάρτηση f :  , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Αν μια ευθεία (ε) εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στα σημεία της A1,f 1 και B2,f 2 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x  0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα 1, 2 .

lisari.blogspot.gr 14/5/201768 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΚριτήριο Αξιολόγησης 1Θέμα 1Δίνεται η συνάρτηση f x  x4  x3  αx2  βx  2, x όπου α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι, ώστε α  β  2 και α  β  0 .Να αποδείξετε ότι:i) η εξίσωση f x  0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα 1, 1ii) η εξίσωση 4x3  3x2  2αx  β  0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 1, 1.Θέμα 2Δίνεται η εξίσωση 2x  x2 .Να αποδείξετε ότι η δοθείσα εξίσωση έχει:i) μία τουλάχιστον ρίζα x0 1, 2ii) ακριβώς τρεις ρίζες, τις x0, x1  2 και x2  4.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής 69 Κριτήριο Αξιολόγησης 2Θέμα 1Δίνεται η συνάρτηση f x  x2  xημx  συνx, x  .Να αποδείξετε ότι:i) f x  f x για κάθε x ii) υπάρχει x0   0, π  τέτοιος, ώστε f x0   0  2 iii) η εξίσωση f x  0 έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες.Θέμα 2Έστω συνάρτηση f :  , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f x  0 για κάθε x  .Να αποδείξετε ότι:i) η συνάρτηση f  είναι 11ii) η εξίσωση f 3x  f 2x  f 2x  f x έχει μοναδική λύση την x  0.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 411Εμβαδόν Επιπέδου ΧωρίουΠρότασηΑν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα y Cfα,β και f x  0 για κάθε x α,β τότε τοεμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη Cf , τον Ωάξονα xx και τις ευθείες x  α, x  β είναι Ε Ω   β f x dx . Οα βx  αΠαράδειγμαΣτο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση y y  x2της συνάρτησης f x  x2. Το εμβαδόν του χωρίου O 12 xπου περικλείεται από τη Cf , τον άξονα xx και τιςευθείες x 1, x  2 είναι  2 x2 x3  2 23  13 1 3 3E   2 f  x  dx dx   3    7 τ.μ. 1  1 3ΠρότασηΑν δύο συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα διάστημα α,β και f x  gx  0για κάθε x α,β , τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις Cf , Cgκαι τις ευθείες x  α, x  β είναι Ε Ω  β f  x  g  x   dx  α

lisari.blogspot.gr 14/5/2017412 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΑπόδειξηΈστω Ω1 το χωρίο που περικλείεται από την Cf , τον y Cfάξονα xx και τις ευθείες x  α, x  β. Έστω Ω2 το Oα Ω Cgχωρίο που περικλείεται από τη Cg , τον άξονα xxκαι τις ευθείες x  α, x  β. Παρατηρούμε ότι Ε Ω  Ε Ω1   Ε Ω2    β     β   βx α α f x dx g x dx   β  f  x   g  x  dx αΠαράδειγμαΣτο διπλανό σχήμα φαίνονται οι γραφικές παρα- yστάσεις των συναρτήσεων f x  ex και gx  x.Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cf xCg και τις ευθείες x  0 και x 1 είναι O x 1 E  01f x  g x dx 01 ex  x dx Cg ex  x2 1   e1  1    e0  0   e  3 τ.μ.  2   2   2  2 0ΠρότασηΑν δύο συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα διάστημα α,β και f x  gx γιακάθε x α,β , τότε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τις Cf , Cg και τιςευθείες x  α, x  β είναι   β     Ε Ω   f x  g x dx .  α

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 413Απόδειξη yΈχουμε y  f x f x  gx για κάθε x α,β . Oα Ω x βΕπειδή οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς y  gxστο διάστημα α, β , υπάρχει c  0 τέτοιος,ώστε f x  c gx  c  0 για κάθε x α, β.Παρατηρούμε ότι το χωρίο Ω είναι ίσο, άρα yκαι ισεμβαδικό με το χωρίο Ω που πε-ρικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των y  f xcσυναρτήσεων f x  c, gx  c και τις Ωευθείες x  α, x  β . Επομένως, y  gxcΕΩ  ΕΩ   β  f  x   c   g  x   c  dx Oα βx α   β f  x   g  x  dx αΠαράδειγμαΣτο διπλανό σχήμα φαίνονται οι γραφικές yπαραστάσεις των συναρτήσεων f x  ημxκαι gx  συνx . Το εμβαδό του χωρίου που 1  Cg O Cf xπερικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες xπx  π και x  π είναι 4 xπ 4Ε   π f  x   g  x   dx   π  ημx  συνx  dx π π 44  συνx  ημx  π  συνπ  ημπ   συν π  ημ π   π  4 4  4  1  0    2 2   1  2 τ.μ.  2 2 

lisari.blogspot.gr 14/5/2017414 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΠρότασηΑν μία συνάρτηση g είναι συνεχής σε ένα διάστημα α, β και gx  0 για κάθεx α,β , τότε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη Cg , τον άξονα xxκαι τις ευθείες x  α, x  β είναι Ε Ω   β g  x dx . α ΑπόδειξηΟ άξονας xx είναι η γραφική παράσταση της yσυνάρτησης f x  0. Eπομένως,Ε Ω   β  f  x   g  x  dx α α β   β g  x  dx   β g x  dx. OΩ x α α CgΠαράδειγμαΣτο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παρά- yσταση της συνάρτησης f x   1 . Το εμβαδό 12 O xτου χωρίου που περικλείεται από τη Cf , τον xάξονα xx και τις ευθείες x  1 και x  2 είναι Ε   2 f  x  dx  12 1 dx  ln x 2 1 x 1  ln 2  ln1  ln 2 τ.μ.ΠρότασηΑν δύο συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα διάστημα α, β , τότε το εμβαδό τουχωρίου Ω που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x  α, x  β είναι ΕΩ   β f  x  g  x dx .  α

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 415Πράγματι, αν η διαφορά f x  gx δεν yδιατηρεί σταθερό πρόσημο όπως για Oα Ω Cg Ω xπαράδειγμα στο διπλανό σχήμα, τότε το 1 3εμβαδό του χωρίου Ω είναι ίσο με το γ Ω βάθροισμα των εμβαδών των χωρίων Ω1, Ω2 2και Ω3. δ CfΔηλαδή, ΕΩ  ΕΩ1   ΕΩ2   ΕΩ3    γ  f  x   g  x   dx   δ  g  x   f  x   dx   β  f  x   g  x   dx α γ δ   γ f x  gx dx   δ f x  g x dx   β f x  g x dx α γ δ   β f  x   g  x  dx . αΠαράδειγμαΣτο διπλανό σχήμα φαίνονται οι γραφικές yπαραστάσεις των συναρτήσεων f x  2x2και gx  x2  3x , οι οποίες τέμνονται στα Aσημεία O0, 0 και A1, 2. Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και Cf Cgτις ευθείες x  0 και x  2 είναι: O 1 2 xE   2 f  x   g  x  dx  1 f  x   g x  dx12 f  x   g x  dx 0 0    1      2      1  2 0 g x  f x  dx  1 f x  g x dx  0 3x 2  3x dx 1 3x2  3x dx   3  3 x2 1   x3  3 x2 2   1  3   0  8  6  1  3   3 τ.μ. x 2   2   2  2   0  1

lisari.blogspot.gr 14/5/2017416 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Έστω χωρίο Ω το οποίο περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα α, β, τον άξονα xx και τις ευθείες x  α,x  β. Το εμβαδό του Ω είναιΕ Ω   β f x dx. αΣτο παραπάνω ολοκλήρωμα τα όρια ολοκλήρωσης α, β καθορίζονται από τιςδοθείσες κατακόρυφες ευθείες x  α, x  β αντίστοιχα. Αν όμως δεν δίνονταιαυτές οι ευθείες, τότε ως α, β θεωρούμε τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη ρίζααντίστοιχα, της εξίσωσης f x  0. Έστω χωρίο Ω το οποίο περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις δύο συνεχών συναρτήσεων f, g σε ένα διάστημα α, β και τις ευθείες x  α, x  β . Το εμβαδό του Ω είναι ΕΩ  αβ f x  g x dx. Στο παραπάνω ολοκλήρωμα, τα όρια ολοκλήρωσης α, β καθορίζονται από τις δοθείσες κατακόρυφες ευθείες x  α, x  β αντίστοιχα. Αν όμως δεν δίνονται αυτές οι ευθείες, τότε ως α, β θεωρούμε τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη ρίζα αντίστοιχα, της εξίσωσης f x  gx  0. Στις δύο παραπάνω περιπτώσεις το σχήμα (γραφικές παραστάσεις) δεν είναι απαραίτητο. Όμως, μερικές φορές η παρουσία του διευκολύνει τον υπολογισμό του εμβαδού. Έστω χωρίο Ω το οποίο περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις τριών ή περισσότερων συνεχών συναρτήσεων. Για να υπολογίσουμε το εμβαδό του Ω, συνήθως χρησιμοποιούμε ως βασικό μεθοδολογικό εργαλείο το σχήμα. Με κατάλληλες κατακόρυφες ευθείες χωρίζουμε το Ω σε επιμέρους χωρία που το εμβαδόν τους υπολογίζεται εύκολα με βάση τις πρώτες δύο περιπτώσεις.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 417 Λυμένες Ασκήσεις61. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  3x2  12, x  τον άξονα των x και τις ευθείες x  1 και x  3 .Λύση ΜεθοδολογίαAρχικά βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης Το εμβαδό του χωρίου Ω που πε- ρικλείεται από τη γραφική παρά-f x  0 στο διάστημα 1, 3. Στο διάστημα σταση μιας συνεχούς συναρτή- σεως f, τον άξονα των x και τιςαυτό έχουμε: ευθείες x  α και x  β , με f x  0  3x2 12  0  x  2 α  β, δίνεται από τον τύπο f x  0  3x2 12  0  x 1, 2 f x  0  3x2 12  0  x 2, 3. Ε Ω  β f  x  dx. α x1 2 3 Είναι φανερό λοιπόν ότι για τον υπολογισμό του παραπάνω ολο- f x  0  κληρώματος πρέπει να απαλλα- γούμε από το σύμβολο της από-Επομένως, το ζητούμενο εμβαδό είναι ίσο με λυτης τιμής. Προς τούτο, λύνουμεE Ω  3 f  x  dx 2 f  x  dx 3 f  x  dx. την εξίσωση f x  0 στο διά- 1 1 2Δηλαδή, στημα α, β και βρίσκουμε τα E  Ω  2  f  x   dx   3 f  x  dx διαστήματα στα οποία η f διατη- 2 ρεί πρόσημο. Στη συνέχεια δια- 1 σπούμε, αν χρειαστεί, στα παρα- πάνω διαστήματα το διάστημα      2 3x2 12 dx  3 3x2 12 dx 12 ολοκλήρωσης α, β .  x3 12x12  x3 12x32  12 τ.μ.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017418 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου62. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  x2  2x , x  και τον άξονα των x.ΛύσηΒρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης f x  0. ΜεθοδολογίαΈχουμε Όταν δεν δίνεται το διάστημα f x  0  x2  2x  0 ολοκλήρωσης α,β , τότε ως x0 ή x2. τέτοιο θεωρούμε εκείνο που ορίζεται από τη μικρότερη καιΆρα, το διάστημα ολοκλήρωσης είναι το τη μεγαλύτερη ρίζα της εξί- σωσηςδιάστημα 0, 2 και προφανώς ισχύει η σχέση f x  0 για κάθε x 0, 2. f x  0.Επομένως, το ζητούμενο εμβαδό είναι x  0 2 E Ω  2 f  x dx 2  f  x  dx . f x + 0  0 + 0 0 ++ yΔηλαδή, Cf Ω  2 x2 2x  dx E  0    x3  x2 2  4 τ.μ . Ο Ω  x  3  3 2 0

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 41963. Nα υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  x x  1, x  1 τον άξονα των x και την ευθεία x  3.ΛύσηΈχουμε Σημείωση Δίνεται μόνο το ένα από τα f x  0  x x 1  0 δύο όρια ολοκλήρωσης που είναι ο αριθμός 3. Το άλλο  x  0, αφού x  1. όριο ολοκλήρωσης είναι ηΆρα, το διάστημα ολοκλήρωσης είναι το ρίζα της εξίσωσηςδιάστημα 0, 3. Επίσης, παρατηρούμε ότι f x  0 f x  0 για κάθε x 0, 3. δηλαδή ο αριθμός 0.Επομένως, το ζητούμενο εμβαδό είναι E Ω  03f x dx  03 x x 1 dx.Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος θέτουμεΟπότε, u  x 1  u2  x 1  x  u2 1.  dx  u2 1  du  dx  2udu.Για x  0 είναι u  1  1.Για x  3 είναι u  3 1  2.Άρα,   EΩ  03 x x 1dx  12 u2 1 u 2udu  12 2u4  2u2 du  2 2u5  2u3    2u5  2u3 2  5 3  du  3  1    5 1   2  25  2  23    2 15  2 13   5 3   5 3       64  16  2  2  62  14  116 τ.μ. 5 3 5 3 5 3 15

lisari.blogspot.gr 14/5/2017420 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου64. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  ln2 x, x  0 τον άξονα των x και την ευθεία x  e.ΛύσηΈχουμε Σημείωση Το ένα όριο ολοκλή- f x  0  ln2 x  0 ρωσης είναι ο αριθ- μός e και το άλλο  ln x  0 είναι η ρίζα της εξί-  x  1. σωσης f x  0 δη-Άρα, το διάστημα ολοκλήρωσης είναι το διάστημα 1, e. λαδή ο αριθμός 1.Επίσης, παρατηρούμε ότι f x  ln2 x  0 για κάθε x 1, e.Επομένως, το ζητούμενο εμβαδό είναι E Ω  1e f x dx 1e ln2 x dx  1e x ln2 x dx   ln2 e e dx x x  1  1 x  ln2 x  e  ln2 e 1 ln2 1  1e x 2ln x ln x dx  e 12  0  1e x2 ln x  1 dx x  e  1e 2ln x dx  e  1e 2x ln xdx  e  2x ln x e  1e 2x ln x  dx  e  2e ln e  2 1ln1  1e 2x 1 dx 1 x  e  2e  0  1e 2dx  e  2e 1  e  2 τ.μ.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 42165. Δίνονται οι συναρτήσεις f x  2x 1 , x και gx  1 , x  0, . x2  x Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g και τις ευθείες x  1 και x  2.ΛύσηΈχουμε Μεθοδολογία Το εμβαδό του χωρίου Ω που   f περικλείεται από τις γραφικέςx  gx  2x  1 2x2  x2 1 παραστάσεις δύο συνεχών x2 1 x  συναρτήσεων, f, g και τις ευθείες x  α και x  β , με x x2 1   x2 1 για κάθε x  0. α  β, δίνεται από τον τύπο x x2 1Οπότε, Ε Ω  β f x   g  x  dx. αf x  gx  0  x2 1  0 Για την απαλλαγή από το x x2 1 σύμβολο της απόλυτης τιμής  x 1, αφού x  0. λύνουμε φυσικά την εξίσωσηΕπίσης, παρατηρούμε ότι f xgx  0f xgx  x2 1 0 για κάθε x 1, 2. και στη συνέχεια βρίσκουμε x x2 1 το πρόσημο της f x  gx στο διάστημα α,β .Άρα, το ζητούμενο εμβαδό είναιEΩ  2 f xgx dx  2  f  x   g  x   dx  2  x 2x 1  1  dx 1 1   1  2 x         2  dx 2  ln 5  ln 2  ln 2  ln1 1 1 ln x2 1  ln x  ln x2 1  ln x   ln5 2ln 2  ln5 ln 4  ln 5 τ.μ. 4

lisari.blogspot.gr 14/5/2017422 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου66. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f x  x3  2x, x  και gx  3x2, x  .ΛύσηΓια κάθε x  έχουμε Μεθοδολογία f x  gx  x3  2x  3x2  x3  3x2  2x . Όταν δεν δίνεται το διάστημα ολοκλήρωσηςΕπομένως, η εξίσωση α,β , τότε ως τέτοιο f xgx  0 θεωρούμε εκείνο πουισοδύναμα γράφεται ορίζεται από τη μικρό- τερη και τη μεγαλύτερη  x3  3x2  2x  0  x x2  3x  2  0 ρίζα της εξίσωσης  x  0 ή x2  3x  2  0 f xgx  0.  x  0 ή x  1 ή x  2.Άρα, το διάστημα ολοκλήρωσης είναι το 0,2 και το πρόσημο της παράστασηςf x  gx στο διάστημα αυτό φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: x0 12 f xgx 0  0  0Επομένως, το ζητούμενο εμβαδό είναι E  Ω   2 f  x   g  x  dx 1 f  x   g  x  dx  2 f  x   g  x  dx. 0 0 1Δηλαδή,     EΩ  1 x3  3x2  2x dx  2 x3  3x2  2x dx 01  x4 1  x4  2 1  4   4  2    x3  x2   x3  x 2  τ.μ. 0 1

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 42367. Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  ex , τον άξονα των x, την εφαπτομένη της Cf στο σημείο της A1, e και την ευθεία x  1.ΛύσηΗ εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο y y  exτης A1, e είναι ε : y  e  f 1x 1. Cf A 1, e  O B1,0Και επειδή 1 x  f x  ex   ex για κάθε x έχουμε f 1  e και συνεπώς ε : y  e  ex 1  y  ex.Η ευθεία ε βρίσκεται κάτω από τη Cf με Μεθοδολογία Γράφουμε το ζητούμενο εμ-εξαίρεση το σημείο επαφής, αφού η συνάρτηση f βαδό ως άθροισμα ή ως δια- φορά εμβαδών χωρίων πουείναι κυρτή. Επίσης, η ευθεία ε τέμνει τον μπορούμε να υπολογίσουμε.άξονα των x στο σημείο Ο0, 0. Το ζητούμενοεμβαδό Ε είναι ίσο με το εμβαδό του χωρίου πουορίζεται από τη Cf , τον άξονα των x και τιςευθείες x  1 και x  1 μείον το εμβαδό τουτριγώνου ΟΑΒ, όπου B1, 0. Δηλαδή,E  11ex dx01ex dx  ex 11   x2 1 e 2   0  e1  e1   e  0   e 1 τ.μ.  2  2e

lisari.blogspot.gr 14/5/2017424 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου68. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι y B A Ch Cf x γραφικές παραστάσεις των συναρτή- O σεων Cg f x  x2  7 x, gx  x3 4 και hx  1 , x  0. x Να υπολογίσετε το εμβαδό του γραμ- μοσκιασμένου χωρίου.ΛύσηΑρχικά βρίσκουμε τις τετμημένες των κορυφών Μεθοδολογίατου γραμμοσκιασμένου χωρίου. Η μία κορυφή Βρίσκουμε τις τετμημένεςείναι προφανώς το σημείο Ο κοινό σημείο των των κορυφών Ο, Α και Β τουCf και Cg . Η δεύτερη κορυφή, το σημείο Α, γραμμοσκιασμένου χωρίου. Στη συνέχεια παρατηρούμεέχει τετμημένη τη ρίζα της εξίσωσης ότι το ζητούμενο εμβαδό είναι ίσο με το άθροισμα των f x  hx  x2  7 x  1 εμβαδών δύο χωρίων που το καθένα περικλείεται από τις 4x γραφικές παραστάσεις δύο  4x3  7x2  4 συναρτήσεων και από δύο κατακόρυφες ευθείες.  4x3  7x2  4  0.Με τη βοήθεια του σχήματος Horner διαπι-στώνουμε ότι η τελευταία εξίσωση έχει ρίζα τοναριθμό 2 και ισοδύναμα γράφεται  x  2 4x2  x  2  0  x  2αφού η διακρίνουσα του τριωνύμου 4x2  x  2 είναι αρνητική. Επομένως, ητετμημένη του σημείου Α είναι ίση με 2. Η τρίτη κορυφή, το σημείο Β, έχει τετμημένητη ρίζα της εξίσωσης gx  h x  x3  1  x4  1  x  1, αφού x  0. xΆρα, η τετμημένη του σημείου Β είναι ίση με 1. Το ζητούμενο εμβαδό Ε είναι ίσο μετο εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x  0 και x  1 ,συν το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τις Cf , Ch και τις ευθείες x  1 καιx  2. Δηλαδή,

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 425 E   1 g  x   f  x  dx  2 h  x   f  x  dx 0 1  01g xdx01f xdx12 h xdx12 f xdx  01 x3 dx12 1 dx02  x2  7 x  dx x  4    x4 1  ln x2   x3  7 x 2 2   1  8   4 0  3 0  1  0  ln 2  ln1   8  7   0 4  3 2   ln 2  13 τ.μ. 1269. Δίνεται η συνάρτηση f :  με τύπο f x  2ex  1 για κάθε x  . ex  1i) Nα βρείτε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.ii) Να αποδείξετε ότι η Cf έχει δύο οριζόντιες ασύμπτωτες.iii) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη Cf , την ασύμπτωτή της στο  , την εφαπτομένη της στο σημείο καμπής της και την ευθεία x  ln9.Λύσηi) Έχουμε f x   2ex  ex 1  2ex ex  1  1  ex 1 2  2ex ex 1  2ex  ex 2ex για κάθε x  .  ex 1 2    ex 1 2

lisari.blogspot.gr 14/5/2017426 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείουκαι    2ex ex 1 2  2ex  ex 1  2ex  f x  ex 1 4     2ex ex 1 ex 1 2ex 2ex 1  ex για κάθε x  .  ex 1 3    ex 1 4Οι ρίζες και το πρόσημο της f x , η κυρτότητα και τα σημεία καμπής της f xφαίνονται στον παρακάτω πίνακα: x  0  f x  0 f x Σ.Κ.Άρα, η Cf έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής το σημείο 0, f 0 , δηλαδή τοσημείο O0, 0.ii) Έχουμε lim f x  lim  2ex  1  0 0 1  1  ex 1  1 x  x  και  2ex    lim f    1  x x  lim  2ex 1    lim 2ex 1 lim  ex  1 ex  1  ex 1  x   x  L.H. x    lim 2ex 1  2 1  1. ex x Άρα, οι ευθείες y  1 και y  1 είναι οι δύο ασύμπτωτες της Cf στο  καιστο  αντίστοιχα.iii) Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο καμπής O0, 0 έχει εξίσωση y  f 0  f0x  0  y  x . 2 Η παραπάνω εφαπτομένη τέμνει την ασύμπτωτη y  1 στο σημείο Α 2, 1 και βρίσκεται πάνω από τη Cf στο διάστημα 0,   με εξαίρεση το σημείο επαφής, αφού η f είναι κοίλη σε αυτό το διάστημα.