หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 1 แบบฝึ กทกั ษะ เรื่อง เลขยกกาลงั หน่วยย่อยท่ี 4 เลขยกกาลงั ท่ีมเี ลขชีก้ าลงั เป็ นจานวนตรรกยะ คาชีแ้ จงในการใช้แบบฝึ กทกั ษะ ในการศึกษาและทาํ แบบฝึกทกั ษะ เร่ือง เลขยกกาํ ลงั รายวชิ าคณิตศาสตร์ พ้นื ฐาน รหสั วิชา ค32101 ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5 ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิดงั น้ี 1. ศึกษา สาระการเรียนรู้ ตวั ช้ีวดั จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เน้ือหาและตวั อยา่ ง ในแบบฝึกทกั ษะใหเ้ ขา้ ใจ 2. ทาํ แบบฝึกทกั ษะใหค้ รบทุกขอ้ โดยไม่ลอกคาํ ตอบจากคนอน่ื 3. ตรวจสอบคาํ ตอบจากเฉลยในภาคผนวก หากสงสัย ไม่เขา้ ใจ ใหข้ อคาํ แนะนาํ จากครูผสู้ อน 4. ทาํ แบบทดสอบประจาํ หน่วยยอ่ ย เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 2 มาตรฐานการเรียนรู้และตวั ชีว้ ดั มาตรฐานการเรียนรู้ สาระที่ ๑ : จานวนและการดาเนินการ มาตรฐาน ค ๑.๑ : เขา้ ใจถึงความหลากหลายของการแสดงจาํ นวนและ การใชจ้ าํ นวนในชีวติ จริง มาตรฐาน ค ๑.๒ : เขา้ ใจถึงผลลพั ธ์ที่เกิดข้ึนจากการดาเนินการของจานวนและ ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งการดาเนินการต่าง ๆ และสามารถ ใชก้ ารดาเนินการในการแกป้ ัญหาได้ ตวั ชีว้ ดั ค ๑.๑ ม ๕/๓ ๓) มีความคิดรวบยอดเก่ียวกบั จานวนจริงที่อยใู่ นรูปเลขยกกาลงั ทม่ี ีเลขช้ีกาลงั เป็นจานวนตรรกยะและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ ค ๑.๒ ม ๕/๑ ๑) เขา้ ใจความหมายและหาผลลพั ธท์ ่เี กิดจากการบวก การลบ การคณู การหาร จานวนจริง จานวนจริงที่อยใู่ นรูปเลขยกกาลงั ทมี่ ีเลขช้ีกาลงั เป็นจานวน ตรรกยะและจานวนจริง ในรูปกรณฑ์ เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 3 สาระสาคญั 1. เม่ือ ������ เป็นจาํ นวนจริง และn เป็นจาํ นวนเตม็ ท่ีมากกว่า1 และ ������ มีรากที่n 1 an n a 2. ให้ ������ เป็นจาํ นวนจริง m และn เป็นจาํ นวนเตม็ ที่ n > 0 และ m เป็นเศษส่วนอยา่ งต่าํ จะไดว้ า่ n ������ 1 ������ ������ ������ ������ ������ ������ = ������������ = ������ = ������������ =1 ������ ������������ ������ ������ ������ 3. สมบตั ิของเลยกกาํ ลงั m และ n เป็นจาํ นวนตรรกยะจะไดว้ า่ ถา้ ������ , ������ เป็นจาํ นวนจริง ������������ +������ 1. ������������ × ������������ = ,������������−������ ������ ≠ 0 2. ������ ������ = ������ ������ 3. ������������ × ������������ = ������ × ������ ������ 4. ������ ������ = ������ ������ , ������ ≠ 0 ������ ������ = ������ 5. ������������ ������ ������������������ เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 4 จุดประสงค์การเรียนรู้ ประจาหน่วยย่อยท่ี 4 1. เขียนจาํ นวนท่อี ยใู่ นรูปกรณฑใ์ หอ้ ยใู่ นรูปเลขยกกาํ ลงั และเขียนจาํ นวน ท่อี ยใู่ นรูปเลขยกกาํ ลงั ใหอ้ ยใู่ นรูปกรณฑไ์ ด้ 2. เขียนเลขยกกาํ ลงั ทีม่ ีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่ายได้ 3. แกป้ ัญหาจาํ นวนท่อี ยใู่ นรูปกรณฑแ์ ละจาํ นวนที่อยใู่ นรูปเลขยกกาํ ลงั ได้ 4. หาผลบวก ผลลบ ผลคูณ และผลหารจาํ นวนจริงทอ่ี ยใู่ นรูปเลขยกกาํ ลงั ที่มีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะได้ เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 5 หน่วยย่อยท่ี 4 เลขยกกาลงั ที่มีเลขชีก้ าลงั เป็ นจานวนตรรกยะ 4.1 เลขยกกาลงั ทมี่ เี ลขชี้กาลงั เป็ นจานวนตรรกยะและจานวนจริง ทอี่ ยู่ในรูปกรณฑ์ 4.2 สมบตั ิของเลขยกกาลงั ทมี่ เี ลขชีก้ าลงั เป็ นจานวนตรรกยะ 4.3 การหาผลบวก ผลลบ ผลคณู และผลหารของเลขยกกาลงั ทม่ี เี ลขชี้กาลงั เป็ นจานวนตรรกยะ เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 6 เลขยกกาลงั ท่มี ีเลขชีก้ าลงั เป็ นจานวนตรรกยะ 4.1 เลขยกกาลงั ทม่ี เี ลขชี้กาลงั เป็ นจานวนตรรกยะและจานวนจริงทอี่ ย่ใู นรูปกรณฑ์ เลขยกกาํ ลงั ทมี่ ีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวน ตรรกยะ เราสามารถ ใหค้ วามหมายได้ โดยอาศยั ความรู้ เร่ืองรากที่ n ของจาํ นวนจริง บทนิยาม เมื่อ ������ เป็นจาํ นวนจริง และn เป็นจาํ นวนเตม็ ทมี่ ากกว่า1 และ ������ มีรากท่ีn 1 = ������ ������ ������������ ตวั อย่างที่ 1 จงเปลี่ยนจาํ นวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปกรณฑ์ 1) 1 2) 1 3) 8114 4) 1 54 23 x2 5) 1 6) x3 y1 7) 3x 1 8) 2������2 − 1 4 7 5 ������3 เลขยกกาํ ลงั ม.5
วธิ ที า หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 7 1) 1 = 45 = 54 = 1 = 2) 1 = 1 = 23 = 23 = 1 3) 81 1 = 32 4 = = 4 81 4) 1 ������ ������2 3 ������ 5) 1 1 ������3 1 6) ������3������ − 1 4 ������ 3������ 4 1 7) 3x 1 7 4 ������ 3������ 8) 2������2 − 1 7 3������ 5 1 1 2������ 2 5 1 5 2������ 2 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 8 นอกจากน้ีเราสามารถนิยามจาํ นวนที่อยใู่ นรูปเลขยกกาํ ลงั ทม่ี ีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะไดด้ งั น้ี บทนิยาม ให้ a เป็นจาํ นวนจริง m และn เป็นจาํ นวนเตม็ ที่ n > 0 และ ������ เป็นเศษส่วนอยา่ งต่าํ จะไดว้ า่ ������ ������ 1 ������ ������ ������ ������ ������ ������ = ������������ = ������ 1 = ������ ������������ ������ ������ = ������������ ������ ตัวอย่างที่ 2 จงเปล่ียนจาํ นวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปกรณฑ์ 1) 2 2) 5 3 4 35 วธิ ีทา 1) 2 35 2 = 3 1 2 = 5 3 2 5 = จากบทนิยาม 35 5 32 และ 2 = 1 32 5 35 2) 5 3 4 จากบทนิยาม 5 3 =1 = 1 = 1 3 4 3 453 54 5 1 =1 4 3 และ 5 3 54 = 1 =1 4 1 53 4 4 53 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 9 จากบทนิยามของ m ถา้ m < 0 แลว้ ������ ตอ้ งไม่เป็น 0 an เช่น ให้ ������ = 0 , m = -1 และ n = 3 จะไดว้ า่ m = 1 = 0 1 1 = 01 =1 3 an 03 0 ซ่ึง 1 ไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ 0 ตัวอย่างที่ 3 จงเปล่ียนจาํ นวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปกรณฑ์ 1) 2 2) −5 − 2 3 −8 5 3) 16− 1 2 2 4) 1 5 วธิ ที า 32 1) 2 = 5 −8 2 −8 5 2) −5 − 2 = 1 3 2 −5 3 = 1 3 −5 2 3) 16 − 1 = 1 2 1 16 2 =1 16 =1 4 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 10 2 = 5 12 4) 1 5 32 32 = 5 12 25 = 51 210 = 1 22 ตวั อย่างท่ี 4 จงเปล่ียนจาํ นวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปเลขยกกาํ ลงั 1) 3 22 2) 7 (−3)4 3) 1 5 72 4) 4 1 5) ������6 6) 3 ������2������ (−2)3 วธิ ที า 1) 3 22 =2 23 2) 7 (−3)4 = 4 −3 7 3) 1 = 1 5 72 2 75 = 7− 2 5 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 11 4) 1 = 1 4 (−2)3 = 3 = = −2 4 = (−2)− 3 = 4 5) ������6 6 6) 3 ������2������ ������2 ������3 ������ 2 ������ 1 3 21 ������ 3 ������ 3 อ๋อ! จาํ นวนท่ีอยู่ ไม่ยากเลยใช่ไหมคะ ในรูปเลขยกกาํ ลงั เดี๋ยวเราลองทาํ มีความสมั พนั ธก์ บั แบบฝึ กทกั ษะกนั จาํ นวนที่อยรู่ ูปกรณฑ์ ดีกวา่ นะ อยา่ งน้ีนี่เอง เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 12 แบบฝึ กทกั ษะที่ 4.1 1. จงเขียนจาํ นวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปกรณฑ์ 1.1 1 = ………………………………………………………………………….. 35 1.2 1 = ………………………………………………………………………….. 47 1.3 3 = ………………………………………………………………………….. 25 1.4 2 = ………………………………………………………………………….. 11 9 1.5 3 − 7 = ………………………………………………………………………….. 8 2. จงทาํ จาํ นวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปเลขยกกาํ ลงั 2.1 6 25 = ………………………………………………………………………….. 2.2 1 = ………………………………………………………………………….. 53 2.3 11 39 = ………………………………………………………………………….. 2.4 1 = ………………………………………………………………………….. 7 (5) 2.5 13 (7)7 = ………………………………………………………………………….. 2.6 1 = ………………………………………………………………………….. 11 65 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 13 3. จงเติมจาํ นวนในตารางใหส้ มบรู ณ์ จาํ นวนในรูปเลขยกกาํ ลงั ขอ้ จาํ นวนในรูปกรณฑ์ 3.1 3 4 ………………………………………… 3.2 9 −5 3.3 ………………………………………… ………………………………………… 3.4 − 121 3.5 ………………………………………… 3 3.6 5 32 3.7 6 7 5 1.23 7 3.8 ………………………………………… 3.9 5 ………………………………………… 3.10 4 −2 3 3.11 3 812 −27 − 2 3.12 ………………………………………… 5 ………………………………………… ………………………………………… 1 − 1.55 2 ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… 16 − 5 4 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 14 4. Express each radical in exponential form. 4.1 ������ = ………………………………………….. 4.2 3 ������ = ………………………………………….. 4.3 4 ������5 = ………………………………………….. 4.4 5 ������4 = ………………………………………….. 4.5 ������5 = ………………………………………….. 4.6 ������ ������������ = ………………………………………….. 5. Express each of the following with a negative exponent. 5.1 1 = ………………………………………….. 3 ������ = ………………………………………….. = ………………………………………….. 5.2 1 = ………………………………………….. 5 ������ 5.3 1 3 ������ 4 5.4 1 ������ ������ ������ 6. Express in radical form. 6.1 1 = ………………………………………….. ������2 6.2 ������− 1 = ………………………………………….. 2 6.3 ������− 1 = ………………………………………….. 3 6.4 ������− 4 = ………………………………………….. 5 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 15 จงเติมจานวนท่มี ีค่าเท่ากบั จานวนทก่ี าหนดให้ 1 (36)4 4 62 6 4 36 2 64 1 62 …………..... …………..... …………..... …………..... …………..... 6 144 …………..... 1 9 125 …………..... …………..... …………..... …………..... …………..... …………..... …………..... ………………... …………..... …………..... เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 16 4.2 สมบตั ขิ องเลขยกกาลงั ทม่ี เี ลขชี้กาลงั เป็ น จานวนตรรกยะ สมบตั ิของเลขยกกาํ ลงั ยงั จาํ กนั ไดไ้ หมเอย่ ถา้ จาํ ไม่ไดด้ อู ีกรอบแลว้ กนั นะ ถา้ ������ , ������ เป็นจาํ นวนจริง m และ n เป็นจาํ นวนตรรกยะจะไดว้ า่ 1. am an = a m n 2. a m = ,a m n ������ ≠ 0 a bn an 3. an bn = 4. a n = a n , b ≠ 0 bn b 5. =a m n a mn เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 17 เราเคยนาํ สมบตั ิของเลขยกกาํ ลงั มาใชแ้ กป้ ัญหา เลขยกกาํ ลงั ท่ีมีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนเตม็ กนั มาแลว้ คราวน้ีเราลองใชส้ มบตั ิของเลขยกกาํ ลงั มาใชแ้ กป้ ัญหา เลขยกกาํ ลงั ทีม่ ีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะ กนั บา้ งนะ ตัวอย่างท่ี 5 จงใชส้ มบตั ิของเลขยกกาํ ลงั ในการหาคาํ ตอบต่อไปน้ี 1) 625 3 2) 27 2 3) 1 4 3 −8 3 4) 32 2 2 3 5 5) − 8 3 6) 25 2 125 9 วธิ ีทา 1) 625 3 = 3 4 54 4 = 43 54 = 53 = 125 2) 27 2 = 2 3 33 3 =2 33 3 = 32 =9 เลขยกกาํ ลงั ม.5
3) 1 = −2 3 1 หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 18 3 เลขยกกาํ ลงั ม.5 −8 3 = −2 3×31 = -2 4) 32 2 = −2 5 − 2 5 5 = −2 5× − 2 5 = −2 −2 = 1 −2 2 =1 4 2 2 5) − 8 3 = −2 3 3 125 5 3 = − 2 3×32 5 6) 25 2 = −2 2 9 5 =4 25 3 = 522 3 = 5 2×32 3 = 53 3 = 125 27
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 19 ตวั อย่างท่ี 6 จงทาํ ใหเ้ ป็นรูปอยา่ งง่าย และมีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนบวก 1 2 10 2 1) a 2 a 3 ������ 5 ������ 3 2) ������5 1 4) ������������������ −2 12 3) 1 3 4 ������ −21 1 1 ������3 ������2������4 ÷ ������2 ������ 4 ������ 2 วธิ ที า = 21 1) 1 a3 a2 a 3 = 61 a3 3 7 = a3 2 10 2 = ������ 52×10 ������ 2 3 ������ 5 ������ 3 ������ 5 2) ������5 2 ������ 4������ 3 = ������ 5 = ������4 + 2 − 5 3 = 12 +2−15 ������ 3 = ������ − 1 3 = 1 1 ������ 3 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 20 1 1 ÷ ������ 13×12 3) 1 3 4 ������ 3 2 = ������21×4������43×4 ������ 2×12 ������2������4 ÷ ������ 2 1 = ������2������3 ÷ ������6 ������ = ������2������3 × ������ 1 ������ 6 = ������2−61 ������3+1 = 11 ������4 ������ 6 4) ������������������ −2 = ������1−(− 12) ������1− 1 ������1− 1 −2 4 2 1 1 1 ������ − 2 ������ 4 ������ 2 = 2+1 4−1 2−1 −2 ������ 2 ������ 4 ������ 2 = 3 3 1 −2 ������2 ������ 4 ������ 2 = ������−3 ������ − 3 ������−1 2 = 1 3 ������ 3 ������2 ������ “ การศกึ ษาเป็นอาวธุ ท่มี ีพลงั ท่ีเราสามารถใชเ้ ปล่ียนแปลงโลกน้ีได้ ” เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 21 ตัวอย่างท่ี 7 จงทาํ จาํ นวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปกรณฑ์ 15 3 1) 1 2) ������6 ������ 9 27������3 6 21 ������ 15 ������ 3 3) 2 1 4) 1 1 ������ −32 ������ 5 ������3 4 ������������ −3 3 ������2 3 ������ 2������5 ������ 2 3÷ 4 ������ −1 ������ วธิ ที า 1) 1 = 1 33a 3 6 27a 3 6 = 1 1 33 6 a 3 6 = 11 32a 2 = 3a 1 2 = 3a 1 53 3 2) ������ 6 ������ 9 =1 − 2 5 − 1 15 3 21 ������6 ������9 ������ 15 ������ 3 = 1 23 ������30 ������9 = ������ 1 ×3 ������ 29×3 30 = 12 ������10 ������3 = 10 ������ 3 ������2 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 22 2 1 3) ������ 5 3 3 1 ������ ������2 4 = ������52−1 3 ������2×34 1 = ������−53 3 ������2×43 = ������ − 1 3 5 ������2 = ������− 51+32 = 13 ������10 = 10 ������13 = ������ 10 ������3 4) 1 ������ 2 1 ������ −32 32 ������ ������ −3 ������3 4 ������ −1 ������������ −3 ������ −32 ������ 2 ������ 5 3÷ = ������ 4 ∙ ������ 3 ∙ ������ 2 5 ������ − 1 4 3 4 ������ = 3 − 5 − (− 23) ������1− 2 − (− 31) ������ 32+(−3) 4 4 ������4 = 3−5+6 12−6+4 2−9 ������ 4 ������ 12 ������ 3 = 10 −7 นอกจากใชส้ มบตั ิของ เลขยกกาํ ลงั มาแกป้ ัญหา = ������ ������ 12 ������ 3 แลว้ ยงั ใชเ้ รื่อง การบวก ลบ คูณ หาร เศษส่วน ดว้ ยนะคะ 5 = = ������ ������ 6 7 ������ 3 ������ 6 ������5 3 ������ 7 ������ 6 ������5 ������2 3 ������ เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 23 แบบฝึ กทกั ษะที่ 4.2 1. จงหาค่าของจาํ นวนต่อไปน้ี = ……………………………………………………… 1.1 423 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 1.2 2 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 27������6 3 = ……………………………………………………… 3 1.3 32 5 = ……………………………………………………… ������ 15 ������ 5 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 1.4 16������ 4 ������ 8 3 = ……………………………………………………… 4 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 5 64������12 6 1.5 ������ 6 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 24 2. จงเติมเครื่องหมาย = หรือ ≠ ใน ช่องว่างใหถ้ กู ตอ้ ง (โดยท่ี ������ ≠ 0 ) 2.1 −1 −1 −1 …….. −1 2.5 ������ − 3 …….. 1 2 2 ������ 3 2.2 ������2 +9 1 …….. ������ +3 2.6 −5 3 1 …….. 5 2 3 2.3 3 2 2.7 1 ������ 2 3 …….. ������ 49������ 2 …….. 7 ������ 1 2.4 ������ 2 …….. ������ 2.8 ������ 1 ������ − 1 …….. 1 2 2 1 ������ − 2 3. จงทาํ ใหเ้ ป็นรูปอยา่ งง่าย และมีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนบวก 3.1 3 2 4 3 = ……………………………………………………… ������7������5 ∙ ������7������5 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 3.2 42 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… ������9 ÷ ������3 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 3.3 3 1 = ……………………………………………………… 25a 8d 2 2 64a 6d 12 2 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… เลขยกกาํ ลงั ม.5
3.4 2 ������−2 1 6 หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 25 4 ������3 ������������ = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 1 = ……………………………………………………… ������������ 3 2 = ……………………………………………………… 3.5 2 12 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… ������ 3������ 2 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 3.6 2 1 ������ 3 = ……………………………………………………… ������ 3 2 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 1 26 = ……………………………………………………… ������ 6 ������ 3 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 1 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 3.7 4 5 4 4 3 3 เลขยกกาํ ลงั ม.5 x y z 2 1 2 3 3 x y z
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 26 4. จงทาํ จาํ นวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปกรณฑ์ 1 4.1 125 6 = ……………………………………………………… b3 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 4.2 a 2 3 = ……………………………………………………… 3 = ……………………………………………………… 3 = ……………………………………………………… a 2 = ……………………………………………………… 1 4.3 b2 x 5 = ……………………………………………………… b4 x6 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 4.4 1 2 1 1 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… x 7 y 3 x3 y 21 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… เลขยกกาํ ลงั ม.5
4.5 2 1 หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 27 x6 y10 8 x 4 y 2 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 4.6 2a 1 b 2 c 1 6 ab 2 2 2 3 1 = ……………………………………………………… 1 c3 = ……………………………………………………… a 3b 2 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 4.7 3 ������ 2 31 1 ∙ ������ 2������ 2 = ……………………………………………………… ������ 2 ������ − 1 ������ = ……………………………………………………… 2 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 28 5. Express each radical in exponential form, and apply the rules of exponents. 5.1 ������ ������ = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 5.2 ������ 2 = ……………………………………………………… 3 ������ = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 5.3 5 ������+1 = ……………………………………………………… ������ +1 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… 5.4 3 ������2 − 9 = ……………………………………………………… 2 = ……………………………………………………… = ……………………………………………………… เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 29 4.3 การหาผลบวก ผลลบ ผลคณู และผลหารของเลขยกกาลงั ทม่ี เี ลขชี้กาลงั เป็ นจานวนตรรกยะ การบวก และลบเลขยกกาํ ลงั ที่มีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะ จะทาํ ไดโ้ ดยเขียน เลขยกกาํ ลงั เหล่าน้นั ใหม้ ีฐานและเลขช้ีกาํ ลงั เทา่ กนั ในการพจิ ารณาว่าจาํ นวนเหล่าน้นั สามารถเขียนจาํ นวนท้งั สองใหอ้ ยใู่ นรูป เลขยกกาํ ลงั ทม่ี ีฐานและเลขช้ีกาํ ลงั เทา่ กนั ได้ หรือไม่ ใหส้ งั เกตจากการแยกตวั ประกอบ ของจาํ นวนทเี่ ป็นฐานของเลขยกกาํ ลงั แลว้ จึงพจิ ารณา เลขช้ีกาํ ลงั ว่าจะตอ้ งเขียน ใหเ้ ทา่ กบั จาํ นวนใด ตัวอย่างท่ี 8 จงหาผลลพั ธ์ของ 20 + 1 1 ∙ 1 − 1 0.027 3 + 83 42 0.09 2 วธิ ีทา 20 + 1 1 ∙ 1 − 1 = 1+ 1 1 22 1 0.3 2 1 2 0.027 3 + 83 42 0.09 2 0.3 3 3 + 23 3 ∙ 2− = 1 + 0.3 + 2(2) − 0.3 = 1+4 =5 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 30 ตัวอย่างท่ี 9 จงหาผลลพั ธต์ ่อไปน้ี 1) 1 1 2) 1 1 18 2 + 50 2 2 24 3 − 576 6 3) 1 1 4) 1 1 1 4 384 3 − 2304 6 405 4 + 80 4 − 54 วธิ ีทา 11 1) =1 1 3×3×2 2+ 5×5×2 2 18 2 + 50 2 = 32 × 2 1 52 ×2 1 2 2+ = 11 3 2 2+ 5 2 2 = 1 822 2) 1 1 = 11 2 24 3 − 576 6 2 2×2×2×3 3− 2×2×2×2×2×2×3×3 6 =2 23 ×3 1 − 26 × 32 1 3 6 =2 23×31 × 1 − 26×16 × 32×16 33 = 11 4 3 3−2 3 3 = 1 233 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 31 3) 1 1 = 11 4 384 3 − 2304 6 4 64 × 6 3 − 64 × 36 6 4) 1 1 1 =4 43 ×6 1 − 26 × 62 1 405 4 + 80 4 − 54 3 6 = 11 4 4 × 63 − 2 × 63 = 11 16 6 3 − 2 6 3 =1 14 6 3 = 1 11 81 × 5 4 + 16 × 5 4 − 54 = 1 11 34 × 5 4 + 24 × 5 4 − 54 = 1 11 3 5 4 + 2 5 4 − 54 = 1 454 จากตวั อยา่ งที่ 9 เราใชส้ มบตั ิ อ๋อ! ไม่จาํ เป็นหรอกจ๊ะ ของเลขยกกาํ ลงั แต่การแยกตวั ประกอบของ จาํ นวนท่ีเป็นฐานจะช่วยทาํ ให้ ������������ × ������������ = ������ × ������ ������ มองเห็นว่า เลขยกกาํ ลงั สอง จาํ นวนน้นั สามารถเขียนใหอ้ ยู่ ช่วยในการคิด แลว้ เราควร ในรูปเลขยกกาํ ลงั ท่ีมีฐานเท่ากนั แยกตวั ประกอบของจาํ นวน และเลขช้ีกาํ ลงั เท่ากนั ไดห้ รือไม่ ทเี่ ป็นฐานเสมอใช่ไหมคะ เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 32 การคณู และการหารเลขยกกาํ ลงั ท่มี ีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะ จะทาํ ไดเ้ ม่ือเลขยกกาํ ลงั ท้งั สองมีฐานเทา่ กนั หรือ เลขช้ีกาํ ลงั เท่ากนั ดงั น้นั ตอ้ งทาํ ฐานหรือเลขช้ีกาํ ลงั ของเลขยกกาํ ลงั ใหเ้ ท่ากนั เสียก่อน จึงจะคณู หรือหารกนั ไดโ้ ดยอาศยั สมบตั ิของเลขยกกาํ ลงั ตวั อย่างที่ 10 จงหาผลลพั ธ์ต่อไปน้ี 1) 1 1 2) 1 3) 1 1 5 2× 3 3 55 4 3 3× 6 2 1 23 วธิ ที า 1) 1 1 = 32 5 2× 3 3 5 6× 3 6 = 53×61 × 32×61 = 53 1 32 1 6 6× = 11 125 6 × 9 6 = 1 125 × 9 6 = 1 1,125 6 1 3 2) 55 = 5 15 1 5 23 2 15 1 53 15 = 1 25 15 1 = 125 15 1 32 15 1 = 125 15 32 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 33 3) 1 1 4 3 3× 6 2 วธิ ีท่ี 1 11 = 23 4 3 3× 6 2 4 3 6× 6 6 = 11 4 32 6 × 63 6 =4 32 × 63 1 6 = 4 32 × (2 × 3)3 1 6 =1 4 32 × 23 × 33 6 =4 23 × 35 1 6 = 46 × 23 × 35 1 6 =1 212 × 23 × 35 6 = 215 × 35 1 6 =1 23 × 3 5 6 = 5 24 6 วธิ ีท่ี 2 11 = 11 4 3 3× 6 2 2 3 3×2 6 2 =1 22 ×6 1 2 23 × 3 3 × = 11 24 3 × 24 2 = 24 1 + 1 3 2 = 5 24 6 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 34 ตวั อย่างที่ 11 จงหาผลลพั ธข์ อง 11 2 11 2 103 + 103 × 23 + 23 103 − 23 วธิ ที า ให้ 1 และ 1 ������ = 103 ������ = 23 แทนค่าจากส่ิงทเ่ี รากาํ หนด จะได้ 11 2 11 2 = ������ − ������ ������2 + ������������ + ������2 103 − 23 103 + 103 × 23 + 23 = ������3 − ������3 = 13 13 10 3 − 23 = 10 − 2 =8 ลืมไม่ไดเ้ ลยนะสูตรเหล่าน้ี ������2 − ������2 = ������ − ������ ������ + ������ ������ ± ������ 2 = ������2 ± 2������������ + ������2 ������3 ± ������3 = ������ ± ������ ������2 ∓ ������������ + ������2 ������ ± ������ 3 = ������3 ± 3������2������ + 3������������2 ± ������3 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 35 แบบฝึ กทกั ษะที่ 4.3 จงหาผลลพั ธข์ อง 1. 2 1 8 − 2 + 50 3 125 3 − 25 2 − = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… 2. 2 21 27 3 +5 9 3 8 2 4 32 5 + 5 9 2 − 8 = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… 3. 11 = ……………………………………………………………… 54 3 + 128 3 = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… 4. 1 1 = ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… 7 20 2 − 2 400 4 ……………………………………………………………… = = เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 36 5. 1 1 1 4 2 5 − 3 64 5 + 2 2 5 = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… 6. 1 1 1 2 5 3 + 2 625 3 − 3 40 3 = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… 7. 1 1 = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… 7 5× 3 4 = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… 1 = ……………………………………………………………… 8. 33 = ……………………………………………………………… 1 = ……………………………………………………………… = ……………………………………………………………… 222 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 37 ฝึ กสมอง 5 จงเลือกคาํ ตอบท่ถี ูกตอ้ งที่สุดเพียงขอ้ เดียว 1. ขอ้ ใดมีค่าต่างจากขอ้ อน่ื 1) −1 0 2) −1 0.2 3) −1 0.4 4) −1 0.8 แนวคิด …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 1 2. ค่าของ −2 2 + 82+2 2 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (o-net’52) 32 1) -1 2) 1 3) 3 4) 5 แนวคิด …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 21 3. 4 83 ∙ 18 2 มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (o-net’50) 144 6 1) 2 2) 3 3) 2 4) 3 32 แนวคิด …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 38 ในกรณีทหี่ าผลคูณ หรือผลหารของจาํ นวนที่อยใู่ นรูปกรณฑ์ ที่ไม่ใช่กรณฑอ์ นั ดบั เดียวกนั จะคณู หรือหารกนั ไดเ้ มื่อเราเปล่ียนจาํ นวนน้นั ๆ ใหอ้ ยใู่ นรูปเลขยกกาํ ลงั แลว้ มีฐานเหมือนกนั จึงจะสามารถคณู หรือหารกนั ได้ เมื่อฐานเหมือนกนั ใหเ้ ราคณู หรือหารกนั โดยใชส้ มบตั ิของเลขยกกาํ ลงั ในการคูณหรือหารจาํ นวนน้นั ๆ ตัวอย่างท่ี 11 จงหาผลลพั ธข์ อง 1) 7 × 3 7 2) 5 4 ÷ 3 2 3) 2 4 125 × 33 25 วธิ ที า 1) 7 × 3 7 = 11 72 × 73 = 721+13 = 763+62 = 5 76 = 6 75 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 39 2) 5 4 ÷ 3 2 = 5 22 ÷ 3 2 = = 21 = = 25 ÷ 23 = 2 − 1 3 25 26 − 5 15 15 1 215 15 2 3) 2 4 125 × 33 25 = 2 4 53 × 33 52 = 32 = = 2×54 ×3×53 = = (2 × 3) × 5 3 + 2 = 4 3 6×5 9 + 8 12 12 17 6 × 512 612 517 3012 55 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 40 เรามาศึกษาโจทยต์ ่าง ๆ เพ่ิมเติมกนั ดีกว่า ตวั อย่างท่ี 12 จงหาผลลพั ธ์ของ 7 3 ������5 วธิ ีทา 7 3 ������5 = 73 5 ������2 75 = 2 ������ 3 = 7 ������52×31 = 75 ������6 5 = ������ 6 7 = ������56×71 = 5 ������42 = 42 ������5 จากตวั อยา่ งที่ 12 เราสามารถคิดง่ายๆ คือ ������ ������ ������ = ������������ ������ ดงั น้นั 7 3 ������5 = 7×3×2 ������5 = 42 ������5 นน่ั เอง เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 41 ตัวอย่างที่ 13 จงหาผลลพั ธข์ อง 4 4 ������32 วธิ ที า 4 4 ������32 = 4×4×2 ������32 = 32 ������32 = ������ ตัวอย่างท่ี 14 จงหาผลลพั ธข์ อง 7 3 33 1 1 2 วธิ ที า 7 = 3∙ 1 7 3 33 3 ∙ 32 1 1 2 = 3∙ 3 7 32 =3 1 3 ∙ 34 7 =7 1 34 7 =1 34 = 43 ตัวอย่างที่ 15 จงหาผลลพั ธ์ของ a2 2ab b2 ab วธิ ีทาํ a2 2ab b2 = ������+������ 2 ab ������ +������ = ������+������ 2 ������ +������ = ������ + ������ เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 42 ตัวอย่างท่ี 16 จงหาผลลพั ธข์ อง 1 a b 3 3 a 2 2ab b 2 3 a 2 b 2 2 a b 3 วธิ ีทา a b 1 3 a2 2ab b2 = 3 a b 3 a b2 3 3 a ba b 3 a b 2 3 a 2 b2 2 a b 3 = 3 (������−������)(������+������)2 ������ −������ ������+������ (������+������)−2 = 3 (������+������)4 ������ +������ = 3 (������ + ������)3 = ������ + ������ 1 ตวั อย่างที่ 17 จงหาผลลพั ธ์ของ x 5x 2 3 x 1 x 2 x 3x 2 10 วธิ ีทา ให้ A = 1 และ ������2 =x ������ 2 1 3x = 1 ÷ 1 x 2 = x 5x 2 ������ −5������ 2 3������ 2 1 1 1 x 3x 2 10 ������ −3������ 2 −10 ������ 2+2 ������ ������−5 3������ ������2−3������−10 ÷ ������+2 = ������ ������−5 ������+2 ������ − 5 ������+2 × 3������ =1 3 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 43 แบบฝึ กทกั ษะท่ี 4.4 จงหาผลลพั ธต์ ่อไปน้ี = ……………………………………………….. 1. 5 3 2 7 8 = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. 2. 2 5 9 47 3 = ……………………………………………….. 3. 63 6 125 = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. 7 4 25 = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. 4. 6 3 x 34 x3 = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. เลขยกกาํ ลงั ม.5
5. 5 ������ 2������ −3×3 ������−1������ หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 44 4 ������������ 3 = ……………………………………………….. 6. 3 ������ = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. 7. 3 = ……………………………………………….. 2 22 = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. 8. 3 ������3 ������ = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. เลขยกกาํ ลงั ม.5
9. x 2 x2 4 หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 45 x2 = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. 10. 3 − 2 5 3 + 2 7 = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. 11. 1 3 = ……………………………………………….. 1 x 2x2 1 = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. 1 = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. x 5x 2 6 x 2 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 46 ใหน้ กั เรียนเลือกจาํ นวนทก่ี าํ หนดใหน้ าํ มา บวก ลบ คูณหรือหาร กนั แลว้ ได้ ผลลพั ธต์ ามที่กาํ หนดให้ (โดยใชจ้ าํ นวนซ้าํ ได)้ 33 2 5 1 24 3 29 45 2 1 3 16 9 1 93 25 4 = 2 9 28 1 = 39 = 53 9 = 25 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 47 แบบสรุปหน่วยย่อยที่ 4 คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนตอบคาํ ถามต่อไปน้ี 1. จงบอกบทนิยามที่ใชใ้ นการเปลี่ยนจาํ นวนจริงทอี่ ยใู่ นรูปกรณฑใ์ หอ้ ยู่ ในรูปเลขยกกาํ ลงั หรือเปล่ียนเลขยกกาํ ลงั ใหอ้ ยใู่ นรูปกรณฑ์ ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 2. การบวก การลบ การคณู และการหารเลขยกกาํ ลงั ท่มี ีเลขช้ีกาํ ลงั เป็นจาํ นวนตรรกยะ มีหลกั การอยา่ งไร ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 3. การคณู หรือหารจาํ นวนท่อี ยใู่ นรูปกรณฑท์ ไ่ี ม่ใช่กรณฑอ์ นั ดบั เดียวกนั มีหลกั การในการทาํ อยา่ งไร ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยท่ี 4 หนา้ 48 แบบทดสอบหน่วยย่อยที่ 4 เลขยกกาลงั ทมี่ เี ลขชี้กาลงั เป็ นจานวนตรรกยะ เรื่อง เลขยกกาลงั คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน (ค32101) ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 5 ……………………………………………………………………………………………………… คาชี้แจง ขอ้ สอบมีท้งั หมด 10 ขอ้ ใหน้ กั เรียนทาํ เครื่องหมาย ลงในกระดาษคาํ ตอบ ทนี่ กั เรียน เห็นวา่ ถกู ตอ้ งที่สุดเพยี งขอ้ เดียว ……………………………………………………………………………………………………… 1. ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู ตอ้ ง ข. 1 amn ก. amn am an n am ค. am a2m 1 am ง. 2 a3 a3 2. 3 4 x2 มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด ข. 1 ก. x 24 x 24 ค. 1 ง. 1 x 12 x6 3. ขอ้ ใดมีค่าเป็น 1 ข. 16 342 ก. 10 3 530 ค. 4 3n 3n1 2 3n1 ง. 2 3 32 4. ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู ตอ้ ง ก. 1 22 ข. 1 24 = −8 3 = −2 ค. 5 = 5 96 ง. 3 = 5 33 96 −3 5 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 49 5. 2 มีค่าตรงกบั จาํ นวนในขอ้ ใด −32 5 ก. 4 ข. 2 ค. -2 ง. -4 8������������ 2 1 6. 3 เม่ือ ������ > 0 และ ������ > 0 มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด 1 16������2������ 2 4 ก. 6 ������������ ข. ������6������6 ค. 6 ������ ง. 6 ������ ������ ������ 7. 1 ������ 4 มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด ������2 ∙ ก. ������ 4 ������ ข. 5 ������4 ง. 4 ������2 ค. 5 ������2 8. 5 32 มีค่าตรงกบั จาํ นวนในขอ้ ใด 1 95 ก. 0 ข. 1 ง. 5 3 ค. 3 ข. 7 27 9. 11 มีค่าตรงกบั จาํ นวนในขอ้ ใด ง. 11 16 25 ∙ 86 ก. 10 27 ค. 30 16 1 ข. ������ + 4 10. ������−������2−20 มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด ������ −5 ก. ������ − 4 ค. ������ +5 ง. 1 ������2 − 4 เลขยกกาํ ลงั ม.5
หน่วยยอ่ ยที่ 4 หนา้ 50 บรรณานุกรม กนกวลี อุษณกรกุล และ รณชยั มาเจริญทรัพย.์ (2553). แบบฝึ กหัดและประเมินผล การเรียนรู้คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปี ท่ี 4-6 เล่ม 2. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์. กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขนั้ พืน้ ฐาน พุทธศกั ราช ๒๕๕๑. กรุงเทพฯ :โรงพิมพช์ ุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย. กวิยา เนาวประทีป. (2548). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ เลขยกกาลัง ฟังก์ชัน เอกซ์โปเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม. กรุงเทพฯ : ฟิ สิกส์เซ็นเตอร์. เจริญ ภภู ทั รพงศ์ และ ศรีลดั ดา ภภู ทั รพงศ์. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์พืน้ ฐานเข้ม ม.5 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : science center. ทรงวทิ ย์ สุวรรณธาดา. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 4 ภาคเรียนที่ 1. กรุงเทพฯ : สาํ นกั พมิ พแ์ มค็ . นิรันดร์ สุวรัตน์. (2554). ฟิ สิกส์ ม.4-6. กรุงเทพฯ: สานกั พิมพ์ พ.ศ. พฒั นา. บญุ เก้ือ ควรหาเวช. (2543). นวตั กรรมการศึกษา (พมิ พค์ ร้ังที่ 5). กรุงเทพฯ: SR Printing. ประหยดั แกว้ อาไพ. (2552). UP GRADE คู่มือแบบฝึ กหัดพืน้ ฐาน ม.4 . ปทุมธานี : สกายบกุ๊ ส์. ผดุงเกียรติ ประยรู ศกั ด์ิ และคนอนื่ ๆ. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 3. กรุงเทพฯ : ประสานมิตร. พวงรัตน์ ทวีรัตน์. (2530). การสร้างและพัฒนาแบบทดสอบผลสัมฤทธ์ิ. กรุงเทพฯ : ประสานมิตร. พิพฒั น์พงศ์ ศรีวศิ ร. (2553). คู่มือคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน เล่ม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 4-6. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์. มาริสา วทญั ญา. (2554). คู่มือคณิตศาสตร์ พืน้ ฐาน ม.4-6 เล่ม 2. กรุงเทพฯ: พีบีซี. รณชยั มาเจริญทรัพย์ และเรณู สุทธิวารี. (ม.ป.ป.). คู่มือเตรียมสอบคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน เล่ม 2 ช้ัน ม.4-6. กรุงเทพฯ: ภมู ิบณั ฑิต. สกลกาญจน์ วิเศษ. (2555). สาระอาเซียน.กรุงเทพฯ : ภมู ิปัญญา. เลขยกกาํ ลงั ม.5
Search