Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore BAB I - POLINOMIAL

BAB I - POLINOMIAL

Published by Jeffrey, 2023-07-25 17:03:47

Description: BAB I - POLINOMIAL

Search

Read the Text Version

BAB 1 POLINOMIAL

1.1 Fungsi Polinomial Suatu polinomial atau suku banyak berderajat n dalam variabel x adalah fungsi dari x yang dapat dinyatakan dalam bentuk berikut. ������ ������ = ������������������������ + ������������−1������������−1 + ������������−2������������−2 + … + ������2������2 + ������1������ + ������0 = 0 dengan ������������ ≠ 0, di mana n bilangan cacah, ������������, ������������−1, ������������−2, … , ������1 koefisien, dan ������0 konstanta.

Nilai Fungsi Polinomial Jika suatu polinom dilambangkan dengan P(x), maka nilai polinom untuk x = 2 adalah P(2). Contoh Jika ������ ������ = ������2 − 2������ + 1, maka nilai: ������ 2 = (2)2 − 2 2 + 1 = 1 ������ 3 = (3)2 − 2 3 + 1 = 4 ������ −4 = (−4)2 − 2 −4 + 1 = 25.

Polinomial Identik Dua polinomial dikatakan sama (identik) jika keduanya mempunyai derajat sama dan koefisien- koefisien suku sejenis juga sama. Misalnya: ������4 + ������������3 − 4������2 − 10������ + 3 = ������2 + 2������ + 3 ������2 + ������������ + 1 . ������4 + ������������3 − 4������2 − 10������ + 3 = ������4 + ������ + 2 ������3 + 2������ + 4 ������2 + 3������ + 2 ������ + 3. Perhatikan ruas kiri dan ruas kanan. Bandingkan koefisien ������1∶ −10 = 3������ + 2 ������ = −4. Bandingkan koefisien ������3 ∶ ������ = ������ + 2 ������ = −2.

Contoh 1. Diketahui ������ ������ = 3������3 + 6������2 − 13������ − 7. Tentukan ������ 1 , ������ 2 , dan ������ −3 . 2. Diketahui ������ ������ = ������ − 3 dan ������ ������ = ������3 + 2. Tentukan : a. ������ ������ 2 dan ������ ������ 2 b. ������ ������ + ������ ������ c. ������ ������ ∙ ������ ������

Sifat Operasi Aljabar pada Polinomial Jika ������������ ������ adalah polinomial derajat n dan ������������ ������ adalah polinomial derajat m, maka berlaku hubungan berikut: 1. Derajat dari ������������ ������ ± ������������ ������ adalah derajat n jika n > m atau derajat m jika n < m. 2. Derajat dari ������������ ������ · ������������ ������ adalah (n + m).

Contoh Diketahui ������ ������ = 2������3 − 3������ − 1 dan ������ ������ = 4������2 − 7. Tentukan derajat dari : a. ������ ������ + ������ ������ b. ������ ������ − ������ ������ c. ������ ������ ∙ ������ ������

Faktor dari Suatu Polinomial Contoh Polinom 6������3 − 9������2 − 15������ dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian faktor-faktornya: 6������3 − 9������2 − 15������ = 3������ 2������2 + 3������ − 5 = 3������(2������ + 5)(������ − 1) Sehingga 3������, 2������ + 5, dan ������ − 1 adalah faktor-faktor linear dari 6������3 − 9������2 − 15������. Jadi, untuk setiap ������ = ������1 ∈ R yang memberikan ������(������1) = 0, maka ������ = ������1 merupakan akar-akar persamaan ������ ������ = 0 . Akibatnya, apabila ������ = ������1 adalah akar-akar persamaan suatu polinom ������ ������ , maka ������ − ������1 merupakan faktor dari polinom ������ ������ tersebut.

Contoh Diketahui polinom ������ ������ = ������3 − 10������2 + 17������ + 28. a. Selidiki, apakah ������ = 4 dan ������ = 7 merupakan akar-akar dari polinom ������ ������ = 0? b. Selidiki, apakah ������ + 1 merupakan faktor dari polinom ������ ������ ?

Uji Pemahaman 1 1. Tulislah menurut urutan pangkat turun dari variabel polinomial berikut. a. 6������2 + 2������ + 7������3 − 2 b. ������ 2 − ������ ������ − 3 c. ������ + 1 ������2 + ������ + 5 d. ������ + 2 ������ + 3 ������ + 4 2. Tulislah faktor yang lain dari : a. 6������2 + 25������ − 9 = 3������ − 1 … b. ������3 + ������2 − 6������ = ������ + 3 … … c. 3������3 + 5������2 − 11������ + 3 = ������ − 1 … … 3. Diketahui dua buah fungsi ������ ������ = ������6 − ������5 dan ������ ������ = ������7 − ������6. Nilai ������ −1 + ������ −1 adalah … 4. Nilai suku banyak 2������3 − 7������2 + 11������ − 4 untuk ������ = 1 adalah … 2 5. Jika ������2 − 5������ + 4 merupakan faktor dari polinom 8������4 − 22������3 − 63������2 + 97������ − 20, maka faktor lain diantaranya adalah …

1.2 Nilai Polinomial Jika ������ ������ = 2������3 − ������2 − 2������ + 1 dan Q ������ = 2x − 1 x − 2 ������ + 1, maka ������ ������ = 2x − 1 ������ − 2 ������ + 1 = 2������ − 1 ������2 − 2������ + 1 = 2������3 −������2 − 2������ + 1 = ������(������). Hal ini menunjukkan bahwa polinom 2������3 − ������2 − 2������ + 1 dapat ditulis dalam bentuk 2������ − 1 ������ − 2 ������ + 1.

Contoh 1. Hitunglah ������ 5 jika ������ ������ = 3������3 + 5������2 − 4������ + 2. 2. Hitunglah ������ −2 untuk ������ ������ = 3������3 − 4������ + 6. 3. Hitunglah ������ −3 jika ������ ������ = ������4 − ������2 − 2������ + 1. 4. Hitunglah ������ 1 jika ������ ������ = 6������3 + 23������2 − 5������ − 4.

Uji Pemahaman 2 1. Jika ������ ������ = ������3 − 8������ + 3, nilai ������ −3 = … 2. Jika ������ ������ = 5 − ������2 + 3������4, nilai ������ −1 = … 3. Hitunglah nilai ������ 1 jika ������ ������ = ������3 − ������2 − 11. 4. Hitunglah nilai ������ 3 jika ������ ������ = 4������2 − 3������ − 5. 5. Hitunglah nilai ������ −1 jika ������ ������ = 5 − ������2 + 3������4.

1.3 Pembagian Polinomial Dengan menggunakan cara yang hampir sama dengan pembagian suatu bilangan, maka kita dapat pula melakukan pembagian polinomial, misalnya (3������3−7������2 − 11������ + 4): (������ − 4) pada model pembagian berikut ini. ������ − 4 3������2 + 5������ + 9 Jadi, (3������3−7������2−11������+4) = 3������2 + 5������ + 9 + 40 , untuk ������ ≠ 4 (������−4) 3������3 − 7������2 − 11������ + 4 ������−4 3������3 − 12������2 atau 5������2 − 11������ + 4 5������2 − 20������ 3������3 − 7������2 − 11������ + 4 = (������ − 4)(3������2 + 5������ + 9) + 40. 9������ + 4 9������ − 36 40

Contoh 1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian 3������3 − 5������2 − 4 dengan ������ + 3. 2. Bagilah 5������3 − 14������ + 3 dengan ������ − 2. Tentukan suku banyak ������ ������ itu dalam bentuk ������ ������ = ������ − 2 ������ ������ + ������

Uji Pemahaman 3 1. Suku banyak 8������3 − 18������2 + ������������ + 30 habis dibagi oleh 2������ − 3 , nilai ������ = … Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak pada soal nomor 2-4, kemudian nyatakan hasilnya dalam bentuk berikut : “yang dibagi = (pembagi x hasil bagi) + sisa” 2. 7������ + 9, dibagi oleh ������ − 3. 3. ������4 + 4������3 − 7������2 + 3������ − 24, dibagi oleh ������ − 2. 4. 3������4 − 7������ − 20 dibagi oleh : a. ������ − 2 b. ������ + 2 5. Tentukan : a. Sisa pembagian ������3 − 4������2 + ������ + 3 dengan ������ + 2. b. Nilai ������ −2 jika ������ ������ = ������3 − 4������2 + ������ + 3.

1.4 Teorema Sisa Persamaan dasar yang menghubungkan polinomial P(x) dalam hal ini merupakan unsur yang dibagi, D(x) sebagai pembagi (divisor), H(x) hasil bagi, dan S adalah sisa pembagian, yaitu: ������ ������ = ������ ������ ∙ ������ ������ + ������ Untuk ������ ������ = ������ − ������, maka ������(������) ������ ������ − ������ = ������ ������ + ������ − ������ atau ������ ������ = ������ − ������ . ������ ������ + ������. Jika suku banyak P(x) dibagi x − k, maka sisanya adalah P(k).

Contoh 1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak 3������4 − 2������3 + ������ − 7 dengan ������ − 2. 2. Carilah hasil bagi dan sisa jika 3������3 + 23������2 + 9������ − 43 oleh ������ + 7.

Uji Pemahaman 4 1. Sisa pembagian suku banyak ������ ������ = ������5 + ������4 − 3������3 + 10������2 − 8������ + 3 oleh ������ + 1 adalah … 2. Suku banyak ������ ������ = ������3 − ������ − 1 ������2 + ������������ + 2������. Jika ������ ������ dibagi oleh ������ − 2 mempunyai sisa 4 dan tidak mempunyai sisa jika ������ ������ dibagi ������ + 2 . Nilai ������ dan ������ berturut-turut adalah … Dengan memakai teorema sisa, tentukanlah sisa pembagian dan hasil bagi dari soal nomor 3-5 berikut 3. 3������2 − 5������ − 3 dibagi oleh ������ − 2. 4. 2������3 − 4������2 + 3������ − 6 dibagi oleh ������ − 2. 5. ������6 + 3������3 − 2������ − 1 dibagi oleh ������ − 2.

Pembagian dengan ������������ − ������ Dengan menggunakan teorema sisa, kita dapat menentukan suatu persamaan baru untuk polinomial P(x) dibagi dengan ax − b, yaitu sebagai berikut: ������ ������ = ������������ − ������ ∙ ������ ������ + ������ ������ ������ ������ = ������ ������ − ������ ∙ ������ ������ + ������ ������ ������ ������ = ������ − ������ ∙ ������ ������ ������ + ������ Pada persamaan di atas, dapat ditunjukkan bahwa sisa pembagian suku banyak P(x) oleh ax − b adalah ������ ������ . ������

Contoh 1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian 4������3 + 7������2 − 18������ + 8 dengan 4������ − 1. 2. Tentukan hasil bagi dan sisa dari 4������4 − 13������3 + 6������2 + 13������ − 15 dibagi 4������ − 5.

Uji Pemahaman 5 1. Jika 2������2 − 11������ + 8 dibagi 2������ − 1, hasil baginya adalah … 2. Sisa pembagian suku banyak ������ ������ = 4������5 + 7������2 − 8������3 − 18������2 + 9������ − 19 oleh 4������ + 7 adalah … Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian soal nomor 3-5 berikut. 3. 3������2 − 11������ + 7 dibagi oleh 3������ − 1. 4. 6������2 + 7������ − 8 dibagi oleh 2������ + 1. 5. 3������3 + 7������2 − 13������ + 8 dibagi oleh 3������ + 1.

Pembagian dengan Bentuk Kuadrat Contoh 1. 3������3 − 7������2 − 11������ + 4 : ������2 − ������ − 2 = … 2. Tentukan sisa pembagian suku banyak 2������3 + 5������2 − 7������ + 3 : ������2 − 4 . 3. Suatu suku banyak ������ ������ memberikan sisa 3 jika dibagi dengan ������ + 1 dan bersisa 1 jika dibagi dengan ������ − 1 . Tentukan sisanya jika ������ ������ dibagi dengan ������2 − 1.

Uji Pemahaman 6 1. Hasil bagi suku banyak ������ ������ = ������5 − 3������4 + 2������3 + 4������ − 9 dibagi ������2 − 5������ + 6 adalah … 2. Suku banyak ������ ������ = 5������3 − ������ + 1 ������2 − 25������ + 6������ dibagi ������2 − 5 mempunyai sisa 8. Nilai ������ adalah … 3. Suku banyak ������ ������ dibagi ������2 − 5������ + 6 sisanya 18������ − 24 dan jika dibagi oleh ������2 − 3������ + 2 sisanya −14������ + 40. Apabila suku banyak tersebut dibagi oleh ������2 − 4������ + 3, maka sisanya adalah … 4. Diketahui ������3 − ������ − 1 ������2 + ������������ + 2������ habis dibagi oleh ������ + 2. Jika dibagi oleh ������ − 2 bersisa -4. Tentukan nilai ������ dan ������ serta ketiga akar-akar persamaan ������3 − ������ − 1 ������2 + ������������ + 2������ = 0. 5. Jika suku banyak ������ ������ dibagi dengan ������ + 1 dan ������ − 1, sisanya berturut-turut -3 dan 5. Tentukan sisanya jika ������ dibagi dengan ������2 − 1.

1.5 Teorema Faktor Misalkan nilai polinomial ������ ������ = 0, maka polinom ������ ������ bersisa 0 apabila dibagi dengan x − k. Dengan demikian, (x − k) dikatakan sebagai faktor dari ������ ������ . Suku banyak ������ ������ mempunyai faktor (x − k) jika dan hanya jika ������ ������ = 0. Sebaliknya, jika (x − k) adalah faktor dari ������ ������ , maka k adalah akar dari ������ ������ = 0 atau ������ ������ = 0.

Contoh 1. Tunjukkan bahwa ������ − 4 merupakan faktor dari suatu suku banyak ������ ������ = ������3 − ������2 − 11������ − 4. 2. Faktorkan suku banyak ������3 − 11������2 + 30������ − 8 atas faktor rasional. 3. Tentukan faktor-faktor dari 2������6 − 9������4 + 3������2 + 4. 4. Diketahui suku banyak 2������3 − 3������������2 + ������������ + ������. Salah satu faktornya adalah ������ − 1 . Jika suku banyak itu dibagi oleh ������ + 2 sisanya -54. Hitunglah nilai ������ dan ������, kemudian tentukan faktor-faktor lainnya. 5. Diketahui ������ − 7 dan ������ + 3 merupakan faktor dari ������ ������ = 2������3 + ������������2 + ������������ + 21. Jika ������1, ������2, dan ������3 adalah akar-akar ������ ������ dengan ������1 < ������2 < ������3, nilai dari ������1 + 4������2 + ������3 adalah …

Uji Pemahaman 7 1. Diketahui 2������ − 5 merupakan faktor dari suku banyak ������ ������ = 10������3 − 9������2 − 34������ − 15. Faktor lain dari suku banyak ������ ������ adalah … 2. Diketahui ������ − 1 adalah faktor dari 3������4 + 9������3 − 7������2 + ������������ + 9 = 0. Hasil kali akar- akarnya adalah … 3. Diketahui ������1, ������2, dan ������3 adalah akar-akar persamaan 4������3 + 12������2 + 5������ − 6 = 0 dengan 5������2−������3 ������1 < ������2 < ������3. Nilai dari ������1 adalah … 4. Tentukan faktor-faktor rasional dari suku banyak ������3 − 6������2 + 11������ − 6. 5. Tentukan ������ sehingga 2������4 + 9������3 + 5������2 + 3������ + ������ : a. Mempunyai faktor ������ + 4. b. Habis dibagi oleh ������ − 1.

1.6 Persamaan Polinomial Menyelesaikan Persamaan Polinomial Contoh 1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan ������3 − 6������2 − 9������ + 14 = 0. 2. Jika 1 merupakan salah satu akar dari persamaan 2������3 − 9������2 + 2������ + 1 = 0, tentukan akar- 2 akar yang lain.

Hubungan Akar-Akar Polinomial dengan Koefisien-Koefisien Suku Pada persamaan kuadrat ������������2 + ������������ + ������ = 0 jika akar-akarnya ������1 dan ������2, maka ������2 + ������ ������ + ������ = 0. ������ ������ (i) Jumlah akar-akarnya: ������1 + ������2 = − ������ ������ (ii) Hasil kali akar-akarnya: ������1������2 = ������������.

Contoh Diketahui persamaan suku banyak ������3 − 9������ + ������ = 0. Tentukan ������ jika : a. dua akarnya kembar b. dua akarnya berlawanan

Uji Pemahaman 8 1. Buktikan bahwa − 2 adalah akar persamaan 6������4 + 19������3 − 2������2 − 17������ − 6 dan tentukan 3 akar yang lain. 2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan ������3 + 2������2 − 11������ − 12 = 0, ������ ∈ ������. 3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan ������3 − 13������ + 12 = 0, ������ ∈ ������. 4. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 6 ������������������3������ − 13 ������������������2������ + 4 tan ������ + 3 = 0 untuk 0° ≤ ������ ≤ 360°. 5. Diketahui ������1, ������2, dan ������3 adalah akar-akar persamaan suku banyak ������3 − 5������2 − 18������ + ������ = 0. Tentukan nilai ������ jika ������1 = 2������2.

1.7 Fungsi Pecahan Sebagian Pecahan ������3 dapat dinyatakan sebagai berikut: ������2−������−2 ������3 ������3 3������ − 2 ������2 − ������ − 2 = (������ − 1)(������ + 2) = ������ − 1 + (������ − 1)(������ + 2) . Dapat dilihat derajat pembilang sekurang-kurangnya satu kurangnya dari derajat penyebut sebelumnya. Untuk setiap faktor linier (������������ + ������) pada penyebut, terdapat satu pecahan dalam bentuk ������ dimana A konstanta. ������������+������

Contoh 1. Nyatakan fungsi pecahan: 42+ 3������ + 6 menjadi fungsi pecahan sebagian. (2������−1)(������2+4) 2. Tentukan nilai ������ dan ������ pada ������−12 ≡ ������ + ���������+���3. ������−2 ������+3 ������−2 3. Nyatakan fungsi pecahan : ������3−7 menjadi fungsi pecahan Sebagian. ������2+������−2

Uji Pemahaman 9 Nyatakan tiap-tiap fungsi pecahan berikut menjadi fungsi pecahan sebagian. 1. ������+20 5−3������ 1+2������ 2. ������+2 2������2−7������−15 3. 2������−1 ������+1 2 4. 11������2+4������+12 2������+1 ������2+4 5. 3������2+5������+1 ������2−2������−1 3������−2

1.8 Masalah yang Melibatkan Polinomial Contoh 1. Jumlah penjualan baju di sebuah toko memenuhi persamaan polinomial berderajat 3. Jumlah penjualan pada minggu pertama sampai minggu keempat berturut-turut adalah 5, 15, 41, dan 89 baju. Berapakah jumlah penjualan baju pada minggu kesepuluh? 2. Sebuah perusahaan sepatu mempunyai persediaan bahan baku kulit yang memenuhi persamaan : ������ ������ = ������3 − 3������2 + 4������, di mana ������ dalam meter. Apabila bahan baku untuk sebuah sepatu adalah ������ − 2 , tentukan : a. Jumlah sepatu yang dapat diproduksi b. Sisa bahan baku yang setelah di produksi

Uji Pemahaman 10 1. Sebuah pabrik roti memiliki persediaan bahan baku yang memenuhi persamaan: ������ ������ = 3������6 + 2������5 − 46������4 − 60������3 + 67������2 + 58������ − 4. Bahan baku untuk memproduksi sebuah roti memenuhi persamaan 3������ − 1 . Tentukan : a. banyak roti yang dapat diproduksi b. sisa bahan baku setelah diproduksi 2. Sebuah perusahaan membuat kemasan dari bahan karton yang akan digunakan untuk mengemas produk buatannya. Kemasan tersebut berbentuk kotak dan mempunyai panjang, lebar, dan tinggi (dalam cm) berturut-turut 5������, 2������ + 6 , dan 3������ + 6 . Jika volume kardus yang diinginkan adalah 93.600 ������������3. Berapa ukuran (dimensi) dari kemasan berbentuk kotak tersebut? 3. Dua ruangan berbentuk kubus mempunyai selisih panjang rusuk 2 meter dan volume total kedua ruangan adalah 72 ������3. Ruangan tersebut akan dipasang keramik pada bagian alas atau lantai dan harga keramik per ������2 adalah Rp80.000,00. Tentukan biaya yang dibutuhkan untuk memasang keramik pada dua ruangan tersebut.

Uji Pemahaman 10 4. Sebuah perusahaan mobil memproduksi 5 macam tipe mobil terbaru, yaitu ������1, ������2, ������3, ������4, dan ������5. Jika jumlah produksi setiap tipe mobil merupakan akar-akar rasional dari ( ) ( ) ( ) ( )persamaan 16 log x2 5 − 5 16 log x2 4 + 70 16 log x 3 − 16 log x5 2 +16 log x3 = 0 , tentukan : a. jumlah produksi setiap tipe mobil jika ������1 < ������2 < ������3 < ������4 < ������5. b. jumlah produksi semua tipe mobil. c. hasil kali produksi semua tipe mobil. 5. Jumlah penjualan air mineral di sebuah supermarket memenuhi persamaan fungsi : ������ ������ = ������3 − ������2 + 5������ − 2 dalam satuan botol per waktu. a. Berapakah jumlah penjualan dalam satu minggu, apabila jumlah penjualan per hari adalah 12 botol? b. Berapakah hasil penjualan jika harga per botol Rp4.200,00? c. Berapakah keuntungan yang diperoleh jika harga pembelian Rp2.000,00 per botol dan biaya operasional Rp500,00 per botol?


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook