Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

Published by ohmlnw999, 2022-01-20 02:34:28

Description: ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

Search

Read the Text Version

ความสมั พนั ธ์ และฟังกช์ นั พ้นื ฐาน 7 Mar 2021

สารบญั คอู่ นั ดบั ..................................................................................................................................................................................... 1 ผลคณู คารท์ เี ซยี น..................................................................................................................................................................... 3 ความสมั พนั ธ.์ ........................................................................................................................................................................... 6 กราฟของความสมั พนั ธ์......................................................................................................................................................... 10 รูปกราฟท่คี วรจา ................................................................................................................................................................... 14 กราฟของอสมการ................................................................................................................................................................. 16 โดเมน และ เรนจ์................................................................................................................................................................... 21 โดเมนและเรนจ์ จากกราฟ.................................................................................................................................................... 27 ฟังกช์ นั ................................................................................................................................................................................... 29 สญั ลกั ษณแ์ ทนฟังกช์ นั ......................................................................................................................................................... 34 ฟังกช์ นั เชงิ เสน้ ....................................................................................................................................................................... 41 ฟังกช์ นั กาลงั สอง................................................................................................................................................................... 42 ฟังกช์ นั ขนั้ บนั ได .................................................................................................................................................................... 53 ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล....................................................................................................................................................... 54

ฟังกช์ นั 1 คอู่ นั ดบั คอู่ นั ดบั คอื การนาสองสงิ่ มาเขียนเป็นคอู่ ยา่ งมีลาดบั เชน่ (3, 2) , (−1, 0) , ( 3 , ������) , (สมชาย, 5) เป็นตน้ 2 การสลบั ตาแหนง่ ของคา่ ในคอู่ นั ดบั จะทาใหก้ ลายเป็นคนละอนั กลา่ วคอื (3, 2) ≠ (2, 3) กลา่ วคอื คอู่ นั ดบั 2 คู่ จะเทา่ กนั ได้ ก็เมอ่ื สมาชิกตวั หนา้ เทา่ กนั และ สมาชิกตวั หลงั เทา่ กนั ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ������ และ ������ ทีท่ าให้ (3, ������ + ������) = (������ + 1, 5������) วิธีทา คอู่ นั ดบั จะเทา่ กนั ได้ เม่อื สมาชิกตวั หนา้ เทา่ กนั และสมาชกิ ตวั หลงั เทา่ กนั (3, ������ + ������) = (������ + 1, 5������) 3 = ������ + 1 ������ + ������ = 5������ 2 = ������ ������ + 2 = 10 ������ = 8 ดงั นนั้ คาตอบ คอื ������ = 8 และ ������ = 2 # # ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ������ และ ������ ทท่ี าให้ (3������, 2������ + 1) = (8 − 2������, 2������ − ������) วิธีทา ขอ้ นที้ าเหมือนเดมิ เพียงแตส่ มการยงุ่ ขนึ้ น่นั คอื จะได้ 3������ = 8 − 2������ และ 2������ + 1 = 2������ − ������ 3������ = 8 − 2������ จดั รูปไดเ้ ป็น 3������ + 2������ = 8 (1) 2������ + 1 = 2������ − ������ จดั รูปใหม่ ไดเ้ ป็น 2������ − 3������ = 1 (2) (3) 2 × (1): 6������ + 4������ = 16 (4) 3 × (2): 6������ − 9������ = 3 (3) − (4): 13������ = 13 (1): ������ = 1 3������ + 2 = 8 3������ = 6 ������ = 2 ดงั นนั้ คาตอบ คอื ������ = 2 และ ������ = 1 แบบฝึกหดั 1. จงหาคา่ ������ และ ������ ที่ทาใหค้ อู่ นั ดบั ตอ่ ไปนเี้ ทา่ กนั 1. (������ , ������ − ������) = (2������ − 3 , ������ + ������)

2 ฟังกช์ นั 2. (2������ − ������ , ������ + 2������) = (−4 , 1 + ������) 2. ถา้ ������ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} , ������ = {(1, 1), (2, 1), (3, 1)} จงหา ������(������ ∪ ������) 3. ถา้ ������ = {(1, (1, 1)), (1, (1, 2)), (2, (1, 1))} , ������ = {((1, 1), 1), ((1, 2), 1), ((2, 1), 1)} จงหา ������(������ ∪ ������)

ฟังกช์ นั 3 ผลคณู คารท์ เี ซยี น # “ผลคณู คารท์ ีเซยี น” ระหวา่ ง เซต ������ กบั เซต ������ แทนไดด้ ว้ ยสญั ลกั ษณ์ ������ × ������ หมายถึง “เซตของคอู่ นั ดบั ” ทงั้ หมดที่ “ตวั หนา้ มาจาก ������” และ “ตวั หลงั มาจาก ������” เชน่ {1, 2, 3} × {������, ������} = {(1, ������), (1, ������), (2, ������), (2, ������), (3, ������), (3, ������)} {������, ������} × {������, ������} = {(������, ������), (������, ������), (������, ������), (������, ������)} {������, ������} × {0, 1} = {(������, 0), (������, 1), (������, 0), (������, 1)} {0, 1} × {������, ������} = {(0, ������), (0, ������), (1, ������), (1, ������)} {1, 2} × {������, {������}} = {(1, ������), (1, {������}), (2, ������), (2, {������})} {1, 2, 3} × { } = { } {1, 2, 3} × { { } } = {(1, { }), (2, { }), (3, { })} ปกติแลว้ ������ × ������ จะไมเ่ ทา่ กบั ������ × ������ เพราะลาดบั ก่อนหลงั ในคอู่ นั ดบั มีความสาคญั กลา่ วคือ (������, 1) ≠ (1, ������) อยา่ งไรกต็ าม ������ × ������ อาจเทา่ กบั ������ × ������ ได้ ในกรณีที่ ������ = ∅ หรอื ������ = ∅ หรอื ������ = ������ จะเห็นวา่ ������ × ������ จะมีจานวนสมาชิก = จานวนสมาชกิ ใน ������ × จานวนสมาชกิ ใน ������ ซงึ่ เขยี นเป็นสญั ลกั ษณไ์ ดว้ า่ ������(������ × ������) = ������(������) ∙ ������(������) เชน่ ถา้ ������ มสี มาชิก 4 ตวั และ ������ มสี มาชิก 9 ตวั แลว้ ������ × ������ จะมีสมาชิก 4 × 9 = 36 ตวั เป็นตน้ และสดุ ทา้ ยทค่ี วรรู้ (แตไ่ มต่ อ้ งจา) คือ ผลคณู คารท์ ีเซียน สามารถกระจายใน ∪ , ∩ และ − ได้ กลา่ วคือ ������ × (������ ∪ ������) = (������ × ������) ∪ (������ × ������) ������ × (������ ∩ ������) = (������ × ������) ∩ (������ × ������) ������ × (������ − ������) = (������ × ������) − (������ × ������) ตวั อยา่ ง จงหาจานวนสมาชิกของ {{1, 3}, { }} × {1, {1}, {1, {2}}} พรอ้ มทงั้ เขียนผลลพั ธ์ วธิ ีทา ก่อนอ่ืน ตอ้ งรูก้ อ่ นวา่ เซตทมี่ าคณู กนั มสี มาชิกกี่ตวั อะไรบา้ ง {{1, 3}, { }} มีสมาชกิ 2 ตวั คือ {1, 3} และ { } {1, {1}, {1, {2}}} มสี มาชิก 3 ตวั คอื 1 และ {1} และ {1, {2}} ดงั นนั้ ผลคณู ของสองเซตนี้ จะตอ้ งมสี มาชิก 2 × 3 = 6 ตวั ซงึ่ จะวาดเป็นแผนภาพการจบั คไู่ ดเ้ ป็น {1, 3} 1 {1} {} {1, {2}} ดงั นนั้ ผลคณู = { ({1, 3}, 1) , ({1, 3}, {1}) , ({1, 3}, {1, {2}}) , ( { } , 1) , ( { } , {1}) , ( { }, {1, {2}}) }

4 ฟังกช์ นั 2. {1, 2, 3, … , 10} × {1, 2, 3, … , 10} แบบฝึกหดั 1. จงหาจานวนสมาชิกในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ 1. {������, ������, ������} × {������, ������} 3. {1, 2} × {1, {2, 3}} 4. {1, {1}, {1, 2}} × {{1, 2}} 5. {สมชาย , สมปอง} × {สมหญิง , สมชาย} 6. {1, 2} × {1, (2, 3)} 2. จงหาผลคณู คารท์ เี ซยี นตอ่ ไปนี้ 2. {1, {2}} × {2, {1}} 1. {������, ������, ������} × {������, ������} 3. {สมชาย , สมปอง} × {สมชาย} 4. {1, 2} × {1, (2, 3)} 3. ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง 2. (������, 2) ∈ {������, 2, ������} × {1, ������, 3} 1. (������, 2) ∈ {������, ������, ������} × {1, 2, 3} 3. (������, 2) ∈ {1, ������, 3} × {������, 2, ������} 4. (������, 2) ∈ {������, 2, ������} × {������, 2, ������}

ฟังกช์ นั 5 4. กาหนดให้ ������ = {1, 2} และ ������ = {������, ������} คอู่ นั ดบั ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เป็นสมาชิกของผลคณู คารท์ เี ซียน ������ × ������ [O-NET 52/12] 2. (������, ������) 3. (������, 1) 4. (1, 2) 1. (2, ������)

6 ฟังกช์ นั ความสมั พนั ธ์ ความสมั พนั ธ์ คอื ความเก่ียวขอ้ งกนั ระหวา่ งกลมุ่ สองกลมุ่ เช่น ความสมั พนั ธ์ “แอบชอบ” ระหวา่ ง กลมุ่ ผชู้ าย ซงึ่ ประกอบดว้ ย สมชาย สมหวงั สมปอง และ สมบตั ิ ไปยงั กลมุ่ ผหู้ ญิง ซง่ึ ประกอบดว้ ย สมหญิง สมศรี และสมหมาย โดย สมชาย แอบชอบ สมหญิง สมชาย สมหญิง สมหวงั แอบชอบ สมหญิง สมหวงั สมศรี สมปอง สมหมาย และ สมบตั ิ แอบชอบ สมศรแี ละสมหญิง สมบตั ิ เราจะสามารถเขยี นแผนภาพความสมั พนั ธ์ “แอบชอบ” ระหวา่ งกลมุ่ ผชู้ าย ไปยงั กลมุ่ ผหู้ ญิง ไดด้ งั รูป สงิ่ ทต่ี อ้ งระวงั คอื ความสมั พนั ธส์ ว่ นใหญ่ “สลบั ที่ไมไ่ ด”้ น่นั คอื การที่ สมชาย แอบชอบ สมหญิง ไมไ่ ดแ้ ปลวา่ สมหญิง แอบชอบ สมชาย และในบางกรณี กลมุ่ หนา้ กบั กลมุ่ หลงั อาจเป็นกลมุ่ เดยี วกนั ไดด้ ว้ ย สมชาย สมชาย เชน่ ในการแขง่ ขนั ชกมวยแบบแบทเทิลรอยลั ในกลมุ่ ผชู้ าย สมหวงั สมหวงั พบวา่ สมชาย ชกโดน สมหวงั และสมบตั ิ สมปอง สมปอง และ สมบตั ิ ชกโดนสมปอง สมบตั ิ สมบตั ิ จะสามารถเขยี นแผนภาพไดก้ ลมุ่ หนา้ กบั กลมุ่ หลงั เป็นกลมุ่ เดียวกนั ดงั รูป ในกรณีท่ี กลมุ่ หนา้ กบั กลมุ่ หลงั เป็นกลมุ่ เดียวกนั เราจะเรยี กวา่ ความสมั พนั ธ์ “ในกลมุ่ ” ในเรอ่ื งนี้ เรานยิ มใชส้ ญั ลกั ษณ์ ������ เป็นตวั แปรแทนความสมั พนั ธ์ เชน่ ความสมั พนั ธ์ “แอบชอบ” จะแทนดว้ ย ������แอบชอบ ความสมั พนั ธ์ “ชกโดน” จะแทนดว้ ย ������ชกโดน นอกจากการวาดเป็นแผนภาพแลว้ เรายงั สามารถใช้ “เซตของคอู่ นั ดบั ” มาชว่ ยเขียนความสมั พนั ธไ์ ดด้ ว้ ย โดย คอู่ นั ดบั (������, ������) จะมีความหมายวา่ ������ สมั พนั ธก์ บั ������ เช่น ������แอบชอบ = {(สมชาย, สมหญิง), (สมหวงั , สมหญิง), (สมบตั ิ, สมหญิง), (สมบตั ิ, สมศร)ี } ������ชกโดน = {(สมชาย, สมหวงั ), (สมชาย, สมบตั ิ), (สมบตั ,ิ สมปอง)} โดยเราสามารถเขียนเซตเหลา่ นี้ “แบบบอกเง่ือนไข” ไดด้ ว้ ย เชน่ ������แอบชอบ = {(������, ������) | ������ แอบชอบ ������} ������ชกโดน = {(������, ������) | ������ ชกโดน ������} และ เราสามารถใชผ้ ลคณู คารท์ ีเซียน เพือ่ ชว่ ยบอกขอบเขตของความสมั พนั ธไ์ ดด้ ว้ ย เชน่ ������แอบชอบ = {(������, ������) ∈ เซตของผชู้ าย × เซตของผหู้ ญิง | ������ แอบชอบ ������} เอาเฉพาะ ������ ในกลมุ่ ผชู้ าย มาสมั พนั ธก์ บั ������ ในกลมุ่ ผหู้ ญิง

ฟังกช์ นั 7 ������ชกโดน = {(������, ������) ∈ เซตของผชู้ าย × เซตของผชู้ าย | ������ ชกโดน ������} เอาเฉพาะ ������ ในกลมุ่ ผชู้ าย มาสมั พนั ธก์ บั ������ ในกลมุ่ ผชู้ าย อยา่ งไรก็ตาม ความสมั พนั ธท์ เี่ ราจะเจอในเรอื่ งนี้ สว่ นใหญ่จะเป็นความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งตวั เลข เชน่ ������ยกกาลงั สอง ระหวา่ ง N ไปยงั R = { (������, ������) ∈ N × R | ������2 = ������ } = { (1, 1), (2, 4), (3, 9), … } ������มากกวา่ ระหวา่ ง I ไปยงั N = { (������, ������) ∈ I × N | ������ > ������ } = { (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), … } ������หารลงตวั ภายใน N = { (������, ������) ∈ N × N | ������ หาร ������ ลงตวั } = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), … , (2, 2), (2, 4), (2, 6), …, (3, 3), (3, 6), (3, 9), … } ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = {1, 2, 3, 4, 5} , ������ = {3, 4, 5, 6, 7} จงเขยี นความสมั พนั ธ์ “บวกกนั ได้ 6” ระหวา่ ง ������ ไปยงั ������ ทงั้ แบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเงื่อนไข วิธีทา ขอ้ นี้ ระวงั ใหด้ ี โจทยต์ อ้ งการความสมั พนั ธ์ ระหวา่ ง ������ ไปยงั ������ ดงั นนั้ ตอ้ งเอา ������ ขนึ้ กอ่ น จะเหน็ วา่ 3 + 3 = 6 31 42 4+2=6 53 64 และ 5 + 1 = 6 75 ดงั นนั้ เขยี นความสมั พนั ธแ์ บบแจกแจงไดเ้ ป็น ������ = { (3, 3), (4, 2), (5,1) } และ เขียนแบบบอกเง่ือนไขไดเ้ ป็น ������ = { (������, ������) ∈ B × A | ������ + ������ = 6 } # แบบฝึกหดั 1. กาหนดให้ A = {1, 2, 3, … , 10} , ������ = {2, 4, 6, … , 20} จงเขยี นความสมั พนั ธต์ อ่ ไปนี้ แบบแจกแจงสมาชิก 1. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 3������} 2. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 3������ − 1} 3. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 3������} 4. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ < ������ − 15}

8 ฟังกช์ นั 6. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = ������ + ������} 3 5. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ > 2������ + 5} 7. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = |������ − 5|} 8. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 6������ − 1} 9. ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ − ������ = −1} 2. กาหนดให้ ������ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ������ = {1, 2, 3, … , 11, 12} ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = 2������ + ���2���} จานวนสมาชิกของ ������ เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 51/7] 3. ถา้ ������ = {1, 2, 3, 4} และ ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ ≤ ������} แลว้ จานวนสมาชิกในความสมั พนั ธ์ ������ เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 50/9]

ฟังกช์ นั 9 4. กาหนดให้ ������ = {1, 2, 3} และ ������ = {2, 3, 5} ถา้ ������ = { (������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ ≥ ������ − 1 } แลว้ ������ มจี านวนสมาชิกก่ีตวั [O-NET 57/33] 5. กาหนดให้ ������(������) แทนจานวนสมาชกิ ของเซต ������ ถา้ ������1 = {(−1, − 2), (0, − 1), (1, 2), (2, − 3), (3, 4)} และ ������2 = {(������, ������) | |������ + 1| = ������} แลว้ ������(������1 ∩ ������2) เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 49/2-10] 6. ขบวนพาเหรดรูปสเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ขบวนหนงึ่ ประกอบดว้ ยผเู้ ดนิ เป็นแถว แถวละเทา่ ๆกนั (มากกวา่ 1 แถว และแถวละ มากกวา่ 1 คน) โดยมีเฉพาะผอู้ ยรู่ มิ ดา้ นนอกทงั้ สดี่ า้ นของขบวนเทา่ นนั้ ทส่ี วมชดุ สแี ดง ซงึ่ มีทงั้ หมด 50 คน ถา้ ������ คอื จานวนแถวของขบวนพาเหรด และ ������ คอื จานวนคนทอ่ี ยใู่ นขบวนพาเหรดแลว้ ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง [O-NET 53/15] 1. 31������ − ������2 = ������ 2. 29������ − ������2 = ������ 3. 27������ − ������2 = ������ 4. 25������ − ������2 = ������ 7. กลั ยามีธรุ กิจใหเ้ ชา่ หนงั สอื เธอพบวา่ ถา้ คิดคา่ เชา่ หนงั สอื เลม่ ละ 10 บาท จะมีหนงั สอื ถกู เชา่ ไป 100 เลม่ ตอ่ วนั แต่ ถา้ เพมิ่ คา่ เชา่ เป็น 11 บาท จานวนหนงั สอื ท่ีถกู เช่าจะเป็น 98 เลม่ ตอ่ วนั และถา้ เพิ่มคา่ เชา่ เป็น 12 บาท จานวน หนงั สอื ท่ีถกู เชา่ จะเป็น 96 เลม่ ตอ่ วนั กลา่ วคอื จานวนหนงั สอื ทถ่ี กู เชา่ ตอ่ วนั จะลดลง 2 เลม่ ทกุ ๆ 1 บาทของคา่ เชา่ ที่ เพ่มิ ขนึ้ ถา้ ������ คือจานวนเงินสว่ นทเ่ี พิ่มขนึ้ ของคา่ เชา่ ตอ่ เลม่ และ ������ คือรายไดจ้ ากคา่ เชา่ หนงั สอื ตอ่ วนั (หนว่ ย : บาท) แลว้ จงหาสมการแสดงรายไดต้ อ่ วนั จากธรุ กิจนขี้ องกลั ยา [O-NET 56/10]

10 ฟังกช์ นั กราฟของความสมั พนั ธ์ ในหวั ขอ้ ที่ผา่ นมา เราไดเ้ รยี นวธิ ีในการเขยี นความสมั พนั ธ์ ไป 3 วิธี ซง่ึ ไดแ้ ก่ แผนภาพการจบั คู่ , เซตแจกแจงคอู่ นั ดบั , และ เซตแบบบอกเงื่อนไข ในกรณีทเ่ี ป็นความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งตวั เลข เรายงั เขยี นความสมั พนั ธโ์ ดยใช้ “กราฟ” บนระนาบ X-Y ไดด้ ว้ ย โดยถา้ ������ สมั พนั ธก์ บั ������ ก็จะมีจดุ (������, ������) อยบู่ นกราฟของความสมั พนั ธ์ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = {−2, −1, 0, 1, 2} จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = ������ + 1} วธิ ีทา ขอ้ นี้ (������, ������) ∈ ������ × ������ ดงั นนั้ ������ ∈ ������ และ ������ ∈ ������ โดย ������ จะสมั พนั ธก์ บั ������ เมื่อ ������ = ������ + 1 ดงั นนั้ เขียน ������ แบบแจกแจงสมาชิกไดเ้ ป็น ������ = {(−2, −1), (−1, 0), (0, 1), (1, 2)} ซง่ึ จะเขียนกราฟได้ ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ = {(������, ������) ∈ R × R | ������ = ������ + 1} # วธิ ีทา ขอ้ นสี้ มการเหมอื นกบั ขอ้ ท่แี ลว้ คอื ������ = ������ + 1 ตา่ งกนั ตรงที่คราวนี้ ������ กบั ������ เป็นอะไรก็ไดใ้ น R # น่นั คอื ขอ้ นี้ ������ กบั ������ เป็นเศษสว่ น ทศนิยม ตดิ รูท ไดห้ มด ขอแค่ ������ = ������ + 1 ดงั นนั้ ขอ้ นจี้ ะมจี ดุ อื่นๆ ทพ่ี ิกดั ������ , ������ เป็นทศนยิ ม แทรกอยรู่ ะหวา่ ง 4 จดุ จากขอ้ ท่ีแลว้ เชน่ (−2.9, −1.9) , (−2.8, −1.8) , (−2.75, −1.75) , (−2.722, −1.722), … ถา้ นาจดุ เหลา่ นไี้ ปพลอ็ ตกราฟ จะเห็นวา่ จดุ จะเรยี งเป็นตบั เกิดเป็น “เสน้ ” ซงึ่ จะไดก้ ราฟของความสมั พนั ธ์ ดงั รูป ในกรณีทเี่ ป็นความสมั พนั ธ์ ใน R เราสามารถละ {(������, ������) ∈ R × R | … } ในฐานทเ่ี ขา้ ใจได้ เชน่ ถา้ โจทยพ์ ดู ถงึ “ความสมั พนั ธ์ ������ = ������ + 1” โดยไมบ่ อกขอบเขตอะไรมาให้ ก็ตอ้ งรู้ วา่ หมายถงึ ความสมั พนั ธ์ {(������, ������) ∈ R × R | ������ = ������ + 1} และในกรณีทีเ่ ป็นความสมั พนั ธ์ ใน R เรามกั จะไดก้ ราฟ “เป็นเสน้ ” วธิ ีวาดกราฟ คอื ใหห้ าคอู่ นั ดบั ทส่ี อดคลอ้ งกบั ความสมั พนั ธม์ าซกั สามสตี่ วั เพื่อดแู นวโนม้ ของเสน้ กราฟ เม่อื ไดแ้ นวโนม้ ของกราฟแลว้ คอ่ ยลากเสน้

ฟังกช์ นั 11 ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ = |������| วิธีทา ขอ้ นไี้ มบ่ อกขอบเขตอะไรมาให้ ดงั นนั้ ขอบเขตคือ (������, ������) ∈ R × R และจะไดก้ ราฟ “เป็นเสน้ ” เราจะหาคอู่ นั ดบั ทส่ี อดคลอ้ งกบั ความสมั พนั ธด์ งั กลา่ วมาซกั สามสต่ี วั เพือ่ ดแู นวโนม้ ของกราฟ จะได้ ������ = { … , (−2, 2), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) , … } เมือ่ ไดแ้ นวโนม้ ของกราฟ จงึ คอ่ ยลากเสน้ # ทานองกลบั กนั ถา้ โจทยใ์ หก้ ราฟของความสมั พนั ธม์ า เราตอ้ งอา่ นการจบั คขู่ องความสมั พนั ธไ์ ด้ เชน่ ������ = 2 จบั คกู่ บั ������ = −1 ������ = 0 จบั คกู่ บั ������ = 1 ������ = 0 จบั คกู่ บั ������ = 2 , −2 ������ = −1 จบั คกู่ บั ������ = 2 ������ = 2 จบั คกู่ บั ������ = 0 ������ = 2 ไมไ่ ดจ้ บั คกู่ บั ������ ตวั ไหนเลย สงั เกตวา่ จดุ ที่กราฟอยเู่ หนือ แกน X จะมพี ิกดั ������ > 0 จดุ ที่กราฟตดั แกน Y จะมพี ิกดั ������ = 0 จดุ ทก่ี ราฟ อยใู่ ต้ แกน X จะมีพิกดั ������ < 0 จดุ ท่กี ราฟ ตดั แกน X จะมีพกิ ดั ������ = 0 ตวั อยา่ ง จงหาจดุ ทีก่ ราฟ ������ = 2 + ������ − ������2 ตดั แกน X พรอ้ มทงั้ หาคา่ ������ ท่ีกราฟอยเู่ หนอื แกน X วิธีทา จดุ ที่กราฟตดั แกน X จะมีคา่ ������ = 0 จดุ ท่กี ราฟอยเู่ หนอื แกน X จะมีคา่ ������ > 0 0 = 2 + ������ − ������2 0 < 2 + ������ − ������2 ������2 − ������ − 2 = 0 ������2 − ������ − 2 < 0 (������ − 2)(������ + 1) < 0 (������ − 2)(������ + 1) = 0 +−+ ������ = 2 , −1 −1 2 ������ ∈ (−1, 2) ดงั นี้ กราฟจะตดั แกน X ที่ (2, 0) , (−1, 0) และจะอยเู่ หนอื แกน X เมอื่ ������ ∈ (−1, 2) # แบบฝึกหดั 2. ������ = ������2 + 1 1. จงพิจารณาวา่ กราฟในขอ้ ใด ผา่ นจดุ (−1, 1) 1. 3������ = 1 − 2������

12 ฟังกช์ นั 4. ������ = 2������ − 3 3. ������2 + ������2 = 2 2. จงหาจดุ ตดั แกน X และ จดุ ตดั แกน Y ของกราฟตอ่ ไปนี้ 1. ������ + ������ = 1 2. ������ = 2������ + 1 32 3. ������ + 2 = |������ + 1| 4. |������| − 2 = |������ − 1| 5. ������ = ������2 − 1 6. ������2 = ������ − 1 3. จงหาคา่ ������ ท่กี ราฟอยเู่ หนอื แกน X 2. ������ = 2������2 − ������ − 3 1. ������ = 2������ + 1 4. จงหาคา่ ������ ท่กี ราฟอยใู่ ตแ้ กน X 2. 2������ + 3������ = 6 1. ������ = 4������2 + 7������ − 2

ฟังกช์ นั 13 5. คา่ ของ ������ ทีท่ าใหก้ ราฟของฟังกช์ นั ������ = ������(2������) ผา่ นจดุ (3, 16) คอื เทา่ ไร [O-NET 52/16] 6. กราฟของฟังกช์ นั ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ ตดั แกน X มากกวา่ 1 จดุ [O-NET 50/24] 1. ������ = 1 + ������2 2. ������ = |������| − 2 3. ������ = |������ − 1| 4. ������ = (1)������ 2 7. ทกุ ������ ในช่วงใดตอ่ ไปนที้ ก่ี ราฟของสมการ ������ = −4������2 − 5������ + 6 อยเู่ หนอื แกน X [O-NET 51/8] 1. (− 2 , − 1) 2. (− 5 , − 3) 33 22 3. (1 , 6) 4. (1 , 3) 47 22 8. เมอื่ เขยี นกราฟของ ������ = ������������2 + ������������ + ������ โดยที่ ������ ≠ 0 เพื่อหาตาตอบของสมการ ������������2 + ������������ + ������ = 0 กราฟใน ขอ้ ใดตอ่ ไปนแี้ สดงวา่ สมการไมม่ คี าตอบทเ่ี ป็นจานวนจรงิ [O-NET 52/22] 1. 5 2. 5 −5 5 −5 5 −5 −5 3. 5 4. 5 −5 5 −5 5 −5 −5

14 ฟังกช์ นั ������ = ������ ������ = ������ ������ ������ รูปกราฟท่คี วรจา กราฟเสน้ ตรง ������ = ������������ + ������ ชนั = ������ ������ กราฟพาราโบลา ������ = −������2 ������ = ������2 ������ = −������2 ������ = ������2 กราฟรูท ������ = √������ ������ = −√������ ������ = √������ ������ = −√������ กราฟคา่ สมั บรู ณ์ ������ = −|������| ������ = |������| ������ = −|������| ������ = |������| กราฟอื่นๆ |������| + |������| = ������ ������������ = ������ ������������ = −������ ������2 + ������2 = ������2 ������ ������

ฟังกช์ นั 15 แบบฝึกหดั 2. ������ = |������| 1. จงวาดกราฟของความสมั พนั ธต์ อ่ ไปนี้ 1. ������ = −2 3. ������ = ������2 4. ������ = √������ 5. ������2 + ������2 = 4 6. |������| + |������| = 4

16 ฟังกช์ นั กราฟของอสมการ หวั ขอ้ นี้ จะพดู ถึงกรณีทมี่ ีเครอื่ งหมาย > หรอื < ในเง่ือนไขของความสมั พนั ธ์ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = {−2, −1, 0, 1, 2} จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ = {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ ≥ ������ + 1} วิธีทา เขียน ������ แบบแจกแจงสมาชกิ ได้ ������ = { (−2, −1), (−2, 0), (−2, 1), (−2, 2), (−1, 0), (−1, 1), (−1, 2), (0, 1), (0, 2), (1, 2) } ซง่ึ จะนามาเขยี นกราฟไดด้ งั รูป # ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ = {(������, ������) ∈ R × R | ������ ≥ ������ + 1} วิธีทา ขอ้ นี้ อสมการเหมือนกบั ขอ้ ทแ่ี ลว้ คือ ������ ≥ ������ + 1 ตา่ งกนั ตรงทค่ี ราวนี้ ������ กบั ������ เป็นอะไรก็ไดใ้ น R น่นั คอื ขอ้ นี้ ������ กบั ������ เป็นเศษสว่ น ทศนิยม ติดรูท ไดห้ มด ขอแค่ ������ ≥ ������ + 1 ดงั นนั้ ขอ้ นจี้ ะมจี ดุ อน่ื ๆ ทพี่ กิ ดั ������ , ������ เป็นทศนยิ ม แทรกอยรู่ ะหวา่ งจดุ จากขอ้ ทแี่ ลว้ เช่น (−1.9, −1.2) , (−0.8, 0.5) , (1.75, 2.53) , (2.722, 4.722), … ถา้ นาจดุ เหลา่ นไี้ ปพลอ็ ตกราฟ จะเห็นวา่ จดุ จะเรยี งเป็นตบั เกิดเป็น “พนื้ ที่” ซง่ึ จะไดก้ ราฟของความสมั พนั ธ์ ดงั รูป # # ตวั อยา่ ง จงเขียนกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ = {(������, ������) ∈ R × R | ������ > ������ + 1} วิธีทา ขอ้ นคี้ ลา้ ยขอ้ ที่แลว้ เพียงแตค่ ราวนี้ เปลย่ี น ≥ เป็น > กราฟที่ได้ ก็จะคลา้ ยขอ้ ทแ่ี ลว้ แตห่ กั จดุ ท่ี ������ = ������ + 1 ออก ซง่ึ จดุ ที่ทาให้ ������ = ������ + 1 ก็คือจดุ ตรงบรเิ วณเสน้ แบง่ เขตน่นั เอง เราจะใช้ “เสน้ ประ” เพอื่ บง่ บอกวา่ “ไมเ่ อา” จดุ บรเิ วณเสน้ แบง่ เขต ดงั รูป วธิ ีวาดกราฟของความสมั พนั ธท์ ม่ี ีเงื่อนไขเป็น “อสมการ” จะมหี ลกั ดงั นี้ 1. วาดเสน้ กราฟดว้ ยวิธีเดมิ แบบสมการ ออกมาก่อน  ถา้ เป็น > หรอื < ใหว้ าดเสน้ กราฟดว้ ยเสน้ ประ  ถา้ เป็น ≥ หรอื ≤ ใหว้ าดเสน้ กราฟดว้ ยเสน้ ทบึ

ฟังกช์ นั 17 2. กราฟท่ีได้ จะแบง่ ระนาบ X-Y ออกเป็นสว่ นๆ สมุ่ จดุ ไหนก็ไดม้ าแทนในอสมการ ถา้ จดุ จากสว่ นไหนแทนแลว้ อสมการเป็นจรงิ ใหแ้ รเงาสว่ นนนั้ ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ ������ < ������2 วิธีทา ขนั้ แรก เขยี นกราฟ ������ = ������2 กอ่ น เนือ่ งจากขอ้ นเี้ ป็นเครอ่ื งหมาย < จงึ ตอ้ งเขยี นดว้ ยเสน้ ประ จะเหน็ วา่ กราฟแบง่ พนื้ ท่ีออกเป็น 2 สว่ น คอื กบั จากนนั้ สมุ่ จดุ ไหนก็ไดจ้ ากแตล่ ะสว่ น มาแทน สว่ นที่ 1 สว่ นท่ี 2 สว่ นที่ 1: สมุ่ จดุ (0, 1) มาแทนในอสมการ ได้ 1 < 02 ซงึ่ เป็นเทจ็ ดงั นนั้ ไมแ่ รเงา สว่ นท่ี 1 สว่ นท่ี 2: สมุ่ จดุ (1, 0) มาแทนในอสมการ ได้ 0 < 12 ซง่ึ เป็นจรงิ ดงั นนั้ แรเงา สว่ นท่ี 2 ดงั นนั้ กราฟของความสมั พนั ธ์ ������ < ������2 คอื # ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ −1 ≤ ������ < 2 วิธีทา ขอ้ นี้ เป็นอสมการแบบ 3 ทอ่ น เราจะซอยมนั เป็นอสมการยอ่ ย 2 อนั คอื −1 ≤ ������ กบั ������ < 2 −1 ≤ ������ ตอ้ งเขียนดว้ ยเสน้ ทบึ ������ < 2 ตอ้ งเขยี นดว้ ยเสน้ ประ จะเหน็ วา่ กราฟแบง่ พนื้ ทอ่ี อกเป็น 3 สว่ น คอื จากนนั้ สมุ่ จดุ ไหนก็ไดจ้ ากแตล่ ะสว่ น มาแทน สว่ นท่ี 1 สว่ นที่ 2 สว่ นท่ี 3 สว่ นที่ 1: สมุ่ จดุ (−2, 0) มาแทนในอสมการ ได้ −1 ≤ −2 < 2 ซง่ึ ไมจ่ รงิ ดงั นนั้ ไมเ่ อา สว่ นที่ 1 สว่ นที่ 2: สมุ่ จดุ (0, 0) มาแทนในอสมการ ได้ −1 ≤ 0 < 2 ซงึ่ จรงิ ดงั นนั้ เอา สว่ นที่ 2 สว่ นท่ี 3: สมุ่ จดุ (3, 0) มาแทนในอสมการ ได้ −1 ≤ 3 < 2 ซง่ึ ไมจ่ รงิ ดงั นนั้ ไมเ่ อา สว่ นท่ี 3 ดงั นนั้ กราฟของความสมั พนั ธ์ −1 ≤ ������ < 2 คือ #

18 ฟังกช์ นั 2. ������ + ������ ≤ 2 แบบฝึกหดั 1. จงวาดกราฟของความสมั พนั ธต์ อ่ ไปนี้ 1. ������ > ������ 3. ������ ≥ ������2 4. ������2 + ������2 < 4 5. ������ > |������| 6. |������| ≤ ������ 7. −1 < ������ < 2 8. 1 < ������ ≤ 2

ฟังกช์ นั 19 9. −2 ≤ ������ + ������ ≤ 2 2. ขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นความสมั พนั ธท์ มี่ ีกราฟเป็นบรเิ วณทแ่ี รเงา [O-NET 54/9] ������ = ������ 01 ������ = −������ 1. { (������, ������) | |������| ≥ ������ } 2. { (������, ������) | |������| ≤ ������ } 3. { (������, ������) | ������ ≥ |������| } 4. { (������, ������) | ������ ≤ |������| } 3. ถา้ ������ = { (������, ������)| |������ + 1| ≤ ������ และ y ≤ 2 } แลว้ พนื้ ทข่ี องบรเิ วณ ������ เทา่ กบั ก่ีตารางหนว่ ย [O-NET 57/34]

20 ฟังกช์ นั ������ ������ = ������2 4. บรเิ วณท่แี รเงาเป็นกราฟของความสมั พนั ธใ์ นขอ้ ใด [O-NET 57/12] ������ = 1 1. { (������, ������) | ������2 − ������ < 0 และ ������ ≤ 1 } ������ 2. { (������, ������) | ������2 − ������ < 0 และ ������ ≥ 1 } 3. { (������, ������) | ������2 − ������ ≥ 0 และ ������ < 1 } 4. { (������, ������) | ������2 − ������ ≥ 0 และ ������ > 1 } 5. { (������, ������) | ������2 − ������ > 0 และ ������ ≤ 1 } 5. บรเิ วณทแ่ี รเงาในขอ้ ใดเป็นกราฟของความสมั พนั ธ์ { (������, ������) | ������ ≤ ������2, 0 ≤ ������ ≤ 1 } [O-NET 56/13] ������ ������ ������ 1 1 1 1. 0 ������ 2. 0 ������ 3. 0 ������ ������ ������ 1 1 4. 0 ������ 5. 0 ������

ฟังกช์ นั 21 โดเมน และ เรนจ์ “โดเมน” ของความสมั พนั ธ์ ������ แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ D������ หมายถงึ เซตกลมุ่ ตวั หนา้ “เฉพาะตวั ท่ีไดโ้ ยง” “เรนจ”์ ของความสมั พนั ธ์ ������ แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ R������ หมายถึง เซตกลมุ่ ตวั หลงั “เฉพาะตวั ท่ถี กู โยง” เช่น ถา้ ยอ้ นกลบั ไปดคู วามสมั พนั ธ์ ������แอบชอบ กบั ������ชกโดน ในหวั ขอ้ ก่อนหนา้ จะไดโ้ ดเมน และ เรนจ์ ดงั นี้ สมชาย สมหญิง สมชาย สมชาย สมหวงั สมศรี สมหวงั สมหวงั สมปอง สมหมาย สมปอง สมปอง สมบตั ิ สมบตั ิ สมบตั ิ D������ = { สมชาย , สมหวงั , สมบตั ิ } D������ = { สมชาย , สมบตั ิ } R������ = { สมหญิง , สมศรี } R������ = { สมหวงั , สมปอง , สมบตั ิ } ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = {−2, −1, 0, 1, 2} และ ������ = { (������, ������) ∈ ������ × ������ | ������ = |������| } จงหา D������ และ R������ # วธิ ีทา จะเขยี น ������ เป็นแผนภาพก็ได้ หรอื จะเขยี นแบบแจกแจงสมาชิกก็ด้ ถา้ เขยี นความสมั พนั ธ์ ������ แบบแจกแจงสมาชิก จะได้ ������ = { (−2, 2), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) } ดงั นนั้ D������ = {−2, −1, 0, 1, 2} = ������ R������ = { 0, 1, 2} ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = { (������, ������) ∈ N × N | ������ = 3������ + 2 } จงหา D������ และ R������ # วธิ ีทา กอ่ นอน่ื ตอ้ งรูว้ า่ N คือ จานวนนบั (ซงึ่ ก็คอื จานวนเตม็ บวกน่นั เอง) เขยี นความสมั พนั ธ์ ������ แบบแจกแจงสมาชิก จะได้ ������ = { (1, 5), (2, 8), (3, 11), … } ดงั นนั้ D������ = {1, 2, 3, …} = N R������ = {5, 8, 11, …} ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = { (������, ������) ∈ R × R | ������ = 2������ } จงหา D������ และ R������ วธิ ีทา R คอื จานวนจรงิ ดงั นนั้ ������ กบั ������ เป็นไดห้ มด ไมว่ า่ จะเป็น เศษสว่ น ทศนิยม ติดรูท ตวั อยา่ งคอู่ นั ดบั ท่อี ยใู่ น ������ เช่น (0, 0) , (2,4) , (√3, 2√3) , ( 3 , 3) , (− 7 , −7) 2 2 จะเหน็ วา่ ������ กบั ������ เป็นอะไรก็ได้ เราหาคใู่ หท้ กุ ตวั ไดเ้ สมอ ดงั นนั้ D������ = R และ R������ = R # ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ = { (������, ������) ∈ R × R | ������ = ������2 } จงหา D������ และ R������ # วธิ ีทา ตวั อยา่ งคอู่ นั ดบั ทีอ่ ยใู่ น ������ เช่น (1, 1) , (−3, 9) , (√2, 2) , (−√3, 3) จะเห็นวา่ ������ เป็นอะไรก็ได้ เราเอา ������ มายกกาลงั สองก็จะไดค้ า่ ������ ท่ีเป็นคใู่ หม้ นั โยงได้ แต่ ������ เป็นเลขติดลบไมไ่ ด้ เพราะ ไมม่ ี ������ ไหนเลย ทจี่ ะยกกาลงั สองแลว้ ตดิ ลบ ดงั นนั้ D������ = R และ R������ = R+ ∪ {0}

22 ฟังกช์ นั ในกรณีทขี่ อบเขตเป็น R × R เรามีขนั้ ตอนในการหาโดเมน และ เรนจ์ ดงั นี้ ขนั้ ท่ี 1: จดั รูปสมการ ถา้ จะหาโดเมน ตอ้ งจดั รูปสมการ แยก ������ ทงิ้ ไปอกี ฝ่ัง ถา้ จะหาเรนจ์ ตอ้ งจดั รูปสมการ แยก ������ ทงิ้ ไปอกี ฝ่ัง สมการสว่ นใหญ่ทโ่ี จทยใ์ ห้ จะมี ������ แยกทงิ้ ไปอกี ฝ่ังอยแู่ ลว้ ถา้ จะหาโดเมนก็ไมต่ อ้ งจดั รูป เชน่ ������ = ������ + 1 , ������ = 2������+1 , ������ = √������ + 2 จะเป็นรูปท่ีหาโดเมนไดเ้ ลย ������−2 แตถ่ า้ จะหาเรนจ์ เรามกั ตอ้ งออกแรงแยก ������ ทงิ้ ไปอกี ฝ่ัง เช่น ������ = ������ + 1 ������ = 2������+1 ������ = √������ + 2 ; ������ ≥ 0 ������2 = ������ + 2 ������ − 1 = ������ ������−2 ������2 − 2 = ������ ������������ − 2������ = 2������ + 1 ������������ − 2������ = 2������ + 1 ������(������ − 2) = 2������ + 1 ������ = 2������+1 ������−2 เวลาจดั รูป ใหร้ ะวงั เครอื่ งหมายบวกลบใหด้ ี เนอื่ งจาก √ ตดิ ลบไมไ่ ด้ โดยเฉพาะตอนท่ียกกาลงั สองทงั้ สองขา้ ง หรอื ถอดรูททงั้ สองขา้ ง เช่น ยกกาลงั สองทงั้ สองขา้ ง ถอดรูททงั้ สองขา้ ง ������ = √������2 + 1 ������2 = ������2 − 1 ������2 = ������2 + 1 ; ������ ≥ 0 ������ = ±√������2 − 1 ตอ้ งเขียน เพราะกอ่ นยก ตอ้ งมี ± เพราะกอ่ นถอด ������ เป็นลบไมไ่ ด้ ������ เป็นไดท้ งั้ บวกและลบ ขนั้ ที่ 2: หาวา่ ������ กบั ������ เป็นอะไรไดบ้ า้ ง → สว่ น หรอื ตวั หาร หา้ มเป็นศนู ย์ → ขา้ งใน √ หา้ มตดิ ลบ เช่น ������ = 5������ → ������ − 3 ≠ 0 ������−3 ������ ≠ 3 → D������ = R − {3} ������ = √������ + 2 → ������ + 2 ≥ 0 ������ = 3������ ������ ≥ −2 → R������ = [−2, ∞) → ������ + 2 > 0 → R������ = (−2, ∞) √������+2 ������ > −2 การตอบคาถามในเรอื่ งโดเมนและเรนจ์ มกั จะตอ้ งใชส้ ญั ลกั ษณจ์ ากเรอื่ งเซต และชว่ ง อยบู่ อ่ ยๆ เช่น R − {2, 3} → จานวนจรงิ ทกุ ตวั ยกเวน้ 2 กบั 3 R+ ∪ {0} → จานวนจรงิ บวกทกุ ตวั รวม 0 ดว้ ย [2, 5] → ทกุ จานวน ตงั้ แต่ 2 ถึง 5 (รวม 2 กบั 5 ดว้ ย) [2, 5) → ทกุ จานวน ตงั้ แต่ 2 ถงึ 5 (รวม 2 แตไ่ มร่ วม 5) (2, 5] → ทกุ จานวน ตงั้ แต่ 2 ถงึ 5 (ไมร่ วม 2 แตร่ วม 5)

ฟังกช์ นั 23 (2, 5) → ทกุ จานวน ระหวา่ ง 2 กบั 5 (ไมร่ วม 2 ไมร่ วม 5) # # (−∞, 1] → ทกุ จานวน ที่ ≤ 1 [1, ∞) → ทกุ จานวน ที่ ≥ 1 (−∞, 1) → ทกุ จานวน ที่ < 1 (1, ∞) → ทกุ จานวน ท่ี >1 (−∞, 2) ∪ [5, ∞) → ทกุ จานวน ที่ < 2 หรอื ≥ 5 ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ ������ = 3������+1 2������−1 วธิ ีทา สมการท่ใี หม้ า แยก ������ ทงิ้ ไปอีกฝ่ังอยแู่ ลว้ ดงั นนั้ หาโดเมนไดเ้ ลย เนอื่ งจากตวั หารหา้ มเป็นศนู ย์ ดงั นนั้ 2������ − 1 ≠ 0 ������ ≠ 1 จะได้ D������ = R − {21} 2 หาเรนจ์ ตอ้ งจดั รูปสมการ แยก ������ ทงิ้ ไปอีกฝ่ังก่อน ������ = 3������+1 2������−1 2������������ − ������ = 3������ + 1 2������������ − 3������ = ������ + 1 ������(2������ − 3) = ������ + 1 ������ = ������+1 2������−3 เน่อื งจากตวั สว่ นหา้ มเป็นศนู ย์ ดงั นนั้ 2������ − 3 ≠ 0 ������ ≠ 3 จะได้ R������ = R − {23} 2 ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ ������ = √������2 − 4 วธิ ีทา สมการทโ่ี จทยใ์ ห้ อยใู่ นรูปทีห่ า เรนจ์ ไดเ้ ลย เน่อื งจากขา้ งใน √ หา้ มตดิ ลบ ดงั นนั้ ������2 − 4 ≥ 0 (������ − 2)(������ + 2) ≥ 0 +−+ −2 2 จะได้ R������ = (−∞, −2] ∪ [2, ∞) ������ = √������2 − 4 ถดั มา หาโดเมน ตอ้ งจดั รูปใหม่ แยก ������ ทงิ้ ไปอีกฝ่ัง ������2 = ������2 − 4 ������2 + 4 = ������2 ; ������ ≥ 0 ±√������2 + 4 = ������ ใน √ หา้ มตดิ ลบ ดงั นนั้ ������2 + 4 ≥ 0 และ ������ ≥ 0 จะได้ D������ = [0, ∞) (จรงิ เสมอ) ������ ∈ R ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ ������ = ������2 − 6������ + 5 วธิ ีทา สมการทโี่ จทยใ์ ห้ อยใู่ นรูปท่ีหาโดเมนไดเ้ ลย จะเหน็ วา่ ขอ้ นี้ ������ ไมเ่ ป็นตวั หาร และ ไมอ่ ยใู่ น √ ดงั นนั้ ������ เป็นไดท้ กุ อยา่ ง จะได้ D������ = R

24 ฟังกช์ นั ถดั มา หาเรนจ์ ตอ้ งจดั รูป แยก ������ ทงิ้ ไปอีกฝ่ัง ขอ้ นี้ จดั รูปยากหนอ่ ย เพราะมที งั้ ������ กาลงั สอง และ ������ กาลงั หนง่ึ เราตอ้ งใชก้ าลงั สองสมบรู ณ์ มารวบ ������2 กบั 4������ เขา้ ดว้ ยกนั ใหเ้ หลอื ������ เดียวกอ่ น ดงั นี้ น2 ± 2นล + ล2 = (น ± ล)2 ������ = ������2 − 6������ + 5 ������ = ������2 − 2(������)(3) + 32 − 32 + 5 ������ = (������ − 3)2 − 4 จากนนั้ จงึ จดั รูป แยก ������ ทงิ้ ไปอีกฝ่ัง ดงั นี้ ������ + 4 = (������ − 3)2 ±√������ + 4 = ������ − 3 ±√������ + 4 + 3 = ������ เนอ่ื งจากใน √ หา้ มตดิ ลบ ดงั นนั้ ������ + 4 ≥ 0 # ������ ≥ −4 จะได้ R������ = [−4, ∞) แบบฝึกหดั 1. จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสมั พนั ธต์ อ่ ไปนี้ 1. ������ = ������+1 2. ������ = 2������+1 ������ 3������−2 3. ������ = 2������+3 4. ������(������ − 1) = 2 2−������

ฟังกช์ นั 25 5. ������������ − 3������ + ������ + 2 = 0 6. ������ = ������2 + 3 7. ������ = ������2 + 4������ − 6 8. ������ = √������ + 1 9. ������ = √������2 − 4 10. ������ = √1 − ������2

26 ฟังกช์ นั 12. ������ = −√4 − ������2 11. ������ = −√������ 13. ������ = √4 − ������2 + 1 14. ������ = 2 − √������2 − 1 2. จงหาโดเมนของความสมั พนั ธต์ อ่ ไปนี้ 2. ������ = √������+2 1. ������ = √������2 − 3������ + 2 ������ 3. ������ = √(������+(1������)+(32)−������)

ฟังกช์ นั 27 โดเมนและเรนจ์ จากกราฟ ในกรณีท่โี จทยใ์ หค้ วามสมั พนั ธม์ าในรูปกราฟ เราจะมีวธิ ีหาโดเมนและเรนจไ์ ดง้ า่ ยๆ โดยดวู า่ กราฟทใ่ี ห้ คลมุ แกน X (โดเมน) และ แกน Y (เรนจ)์ ในชว่ งบรเิ วณใดบา้ ง ถา้ บนเสน้ กราฟมวี งกลมโบๆ๋ ( ) หมายความวา่ “ไมม่ ”ี จดุ นนั้ อยบู่ นกราฟ แตถ่ า้ บนกราฟมวี งกลมทบึ ๆ ( ) หมายความวา่ “ม”ี จดุ นนั้ อยบู่ นกราฟ D������ = [−3, 3] D������ = [−3, 3] D������ = R − {0} D������ = R R������ = [−2, 2] R������ = [−3, 3] R������ = R − {0} R������ = [0, ∞) D������ = [0, ∞) D������ = R D������ = R − {0} D������ = (−∞,−2] ∪ [2, ∞) R������ = [0, ∞) R������ = [−2, 2] R������ = {−2, 1} R������ = R D������ = (−3, 2) D������ = [0, ∞) D������ = R D������ = [−1, 3) R������ = [−2, 2) R������ = R R������ = R R������ = (1, 3] D������ = R D������ = R D������ = R − {0} D������ = R R������ = R R������ = (0, ∞) R������ = R − {2} R������ = R

28 ฟังกช์ นั 2. แบบฝึกหดั 1. จงหาโดเมนและเรนจ์ ของความสมั พนั ธต์ อ่ ไปนี้ 1. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

ฟังกช์ นั 29 ฟังกช์ นั # ฟังกช์ นั คอื ความสมั พนั ธท์ ่ี “ ������ แตล่ ะตวั หา้ ม จบั คกู่ บั ������ เกิน 1 ตวั “ เชน่ ������ = {(1, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 8)} → ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั ������ = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 7)} → เป็นฟังกช์ นั ������ = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2)} → เป็นฟังกช์ นั ตวั อยา่ ง จงพิจารณาวา่ ความสมั พนั ธ์ ������2 = ������ เป็นฟังกช์ นั หรอื ไม่ วิธีทา ตอ้ งคดิ วา่ มี ������ ตวั ไหนท่ีจบั คกู่ บั ������ หลายตวั ไหม จะเห็นวา่ มี ������2 อยใู่ นสมการความสมั พนั ธ์ ดงั นนั้ ������ เป็นบวก กบั ������ เป็นลบ จะยกกาลงั สองไดเ้ ทา่ กนั เชน่ ������ = 1 กบั ������ = −1 จะคานวณคา่ ������ ได้ 1 น่นั คือ มี ������ = 1 ที่จบั คกู่ บั ������ = 1, −1 ดงั นนั้ ความสมั พนั ธ์ ������2 = ������ ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั ปกตแิ ลว้ ในสมการความสมั พนั ธ์ ถา้ ������ ถกู ยกกาลงั คู่ หรอื อยใู่ นเครอื่ งหมายคา่ สมั บรู ณ์ มกั จะไมใ่ ชฟ่ ังกช์ นั เพราะ ������ เป็นบวก กบั ������ เป็นลบ จะคานวณออกมาไดค้ า่ เทา่ กนั ทาใหม้ ี ������ หนง่ึ คา่ ท่ีคกู่ บั ������ ไดส้ องตวั เช่น ������ = (������ + 1)2 → ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั เพราะ มี (1, 0) กบั (1, −2) ในความสมั พนั ธ์ ������ = ������2 + 2������ + 5 → เป็นฟังกช์ นั ������2 + ������2 = 4 → ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั เพราะ มี (0, 2) กบั (0, −2) ในความสมั พนั ธ์ 4������ = |������ + 1| → ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั เพราะ มี (1, 3) กบั (1, −5) ในความสมั พนั ธ์ ������������ = 1 → เป็นฟังกช์ นั ������ = ������3 → เป็นฟังกช์ นั ������ = 2������ + 5 → เป็นฟังกช์ นั |������| + |������| = 1 → ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั เพราะ มี (0, 1) กบั (0, −1) ในความสมั พนั ธ์ (������ − ������)(������ + ������) = 1 → ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั เพราะจดั รูปไดเ้ ป็น ������2 − ������2 = 1 มี (2, √3) กบั (2, −√3) ในความสมั พนั ธ์ ในกรณีทโ่ี จทยใ์ หก้ ราฟของความสมั พนั ธม์ า แลว้ ถามวา่ ความสมั พนั ธด์ งั กลา่ ว เป็นฟังกช์ นั หรอื ไม่ วธิ ีดงู า่ ยๆคอื ถา้ สามารถลากเสน้ ด่ิง ตดั กราฟไดม้ ากกวา่ 1 จดุ แปลวา่ ไมใ่ ช่ฟังกช์ นั เพราะเสน้ ดงิ่ ทีต่ ดั กราฟหลายจดุ แปลวา่ มี ������ หนงึ่ ตวั ท่คี กู่ บั ������ หลายตวั เช่น ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั เป็นฟังกช์ นั เป็นฟังกช์ นั ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั

30 ฟังกช์ นั เป็นฟังกช์ นั ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั แบบฝึกหดั 2. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 1. ความสมั พนั ธใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เป็นฟังกช์ นั 1. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)} 3. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)} 4. {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)} 5. {(1, 0), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} 2. สมการความสมั พนั ธใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เป็นฟังกช์ นั 2. ������ = 2������2 + 3 1. ������ = 2������ + 3 3. |������| + |������| = 1 4. ������ = √������ 5. ������ = ������2 − 2������ + 3 6. ������ = ������2 7. ������ = ������2 และ ������ ≥ 0 8. ������2 + ������2 = 1 9. ������2 + ������2 = 1 และ ������ ≥ 0 10. ������2 + ������2 = 1 และ ������ ≥ 0 11. ������2 + ������2 = 1 และ ������������ > 0

ฟังกช์ นั 31 3. กราฟความสมั พนั ธใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เป็นฟังกช์ นั 3. 4. 1. 2. 5. 6. 7. 8. 9. 4. ความสมั พนั ธใ์ นขอ้ ใดเป็นฟังกช์ นั [O-NET 54/8] 2. { (0, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 0) } 1. { (0, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 3) } 4. { (1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 2) } 3. { (1, 1), (2, 0), (2, 3), (3, 1) } 5. ความสมั พนั ธใ์ นขอ้ ใดเป็นฟังกช์ นั [O-NET 53/11] 1. {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4)} 2. {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)} 3. {(1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 4)} 4. {(1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1)} 6. กาหนดให้ ������ = {������, ������, ������} และ ������ = {0, 1} ฟังกช์ นั ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เป็นฟังกช์ นั จาก ������ ไป ������ [O-NET 49/1-4] 2. {(0, ������), (1, ������), (1, ������)} 4. {(0, ������), (1, ������)} 1. {(������, 1), (������, 0), (������, 1)} 3. {(������, 1), (������, 0)}

32 ฟังกช์ นั 7. แผนภาพของความสมั พนั ธใ์ นขอ้ ใดเป็นฟังกช์ นั ทม่ี ี {1, 2, 3, 4, 5} เป็นโดเมน และ {1, 2, 3, 4} เป็นเรนจ์ [O-NET 56/12] 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1. 3 4 2. 3 4 3. 3 4 4 4 4 5 5 5 1 1 1 1 2 2 4. 2 3 5. 2 3 3 4 4 3 4 4 5 5 8. ให้ ������ = {1, 99} ความสมั พนั ธใ์ น ������ ในขอ้ ใดไมเ่ ป็นฟังกช์ นั [O-NET 52/13] 1. เทา่ กบั 2. ไมเ่ ทา่ กบั 3. หารลงตวั 4. หารไมล่ งตวั 9. กาหนดให้ ������ = {(������, ������) | ������ ∈ ������, ������ ∈ ������ และ ������ หารดว้ ย ������ ลงตวั } ถา้ ������ = {2, 3, 5} แลว้ ความสมั พนั ธ์ ������ จะ เป็นฟังกช์ นั เมื่อ ������ เทา่ กบั เซตใดตอ่ ไปนี้ [O-NET 50/22] 1. {3, 4, 10} 2. {2, 3, 15} 3. {0, 3, 10} 4. {4, 5, 9}

ฟังกช์ นั 33 10. จากความสมั พนั ธ์ ������ ท่แี สดงดว้ ยกราฟดงั รูป 3 2 1 −3 −2 −1 1 23 −1 −2 −3 ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ ง [O-NET 52/14] 1. ������ เป็นฟังกช์ นั เพราะ (1, 1), (2, 2) และ (3, 3) อยใู่ นแนวเสน้ ตรงเดยี วกนั 2. ������ เป็นฟังกช์ นั เพราะมจี านวนจดุ เป็นจานวนจากดั 3. ������ ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั เพราะมจี ดุ (3, 3) และ (3, −1) อยบู่ นกราฟ 4. ������ ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั เพราะมจี ดุ (1, 1) และ (−1, 1) อยบู่ นกราฟ 11. กราฟในขอ้ ใดแสดงวา่ ������ เป็นฟังกช์ นั ของ ������ [O-NET 57/13] ������ ������ 3. ������ ������ 1. 2. ������ ������ ������ ������ 4. 5. ������ ������

34 ฟังกช์ นั สญั ลกั ษณแ์ ทนฟังกช์ นั ปกติ เรานยิ มใชต้ วั แปร ������ แทนความสมั พนั ธ์ แตถ่ า้ ความสมั พนั ธไ์ หน เป็นฟังกช์ นั เราจะนิยมใชต้ วั แปร ������ , ������ , ℎ แทน เช่น ������ = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} , ������ = {(1, 3), (2, 3), (3, 4)} , ℎ = {(2, 3), (5, 6)} นอกจากนี้ เรายงั ใชส้ ญั ลกั ษณ์ ������(������) , ������(������) , ℎ(������) แทน ������ ไดด้ ว้ ย เชน่ ฟังกช์ นั ������ = 2������2 + 1 จะเขยี นอีกแบบไดเ้ ป็น ������(������) = 2������2 + 1 และ ������(������) จะหมายถงึ คา่ ������ เมอ่ื ������ = ������ เช่น ������(1) = คา่ ������ เมื่อ ������ = 1 ������(0) = คา่ ������ เม่อื ������ = 0 ������(−2) = คา่ ������ เมอ่ื ������ = −2 เป็นตน้ เช่น ถา้ ������ = { (−1, 2) , (0, 5) , (1, 4) , (2, −1) , (3, 6) , (4, 3) } จะได้ ������(3) = 6 , ������(0) = 5 และ ������(−1) = 2 เป็นตน้ และในกรณีทโี่ จทยใ์ หส้ มการของ ������(������) มา เราสามารถหา ������(������) ไดโ้ ดยแทนคา่ ������ = ������ ลงไปในสมการ ������(������) เชน่ ถา้ ������(������) = 2������ − 1 จะได้ ������(3) = 2(3) − 1 = 5 ������(1) = 2(1) − 1 = 1 ถา้ ������(������) = ������2 + 1 จะได้ ������(3) = 32 + 1 = 10 ������(0) = 02 + 1 = 1 ������(−1) = (−1)2 + 1 = 2 ������(������) = ������2 + 1 นอกจากนี้ ยงั แทนคา่ ������ เป็นอะไรอยา่ งอนื่ อยา่ งอ่ืนแบบแปลกๆก็ได้ เชน่ ������(−������) = (−������)2 + 1 ������(3������) = (3������)2 + 1 = ������2 + 1 = 9������2 + 1 ������(1 − ������) = (1 − ������)2 + 1 ������(√������ + 1) = √������ + 12 + 1 = 12 − 2������ + ������2 + 1 = ������ + 2 ; ������ ≥ −1 = ������2 − 2������ + 2 ������(������(������)) = (������(������))2 + 1 ทานองกลบั กนั ถา้ โจทยใ์ ห้ ������(������) แบบทีแ่ ทนคา่ ������ แบบแปลกๆไปเรยี บรอ้ ยแลว้ เราตอ้ งสามารถ “แปลงกลบั ” ใหเ้ ป็น ������(������) แบบปกติ กอ่ นแทน ได้ เพือ่ ปอ้ งกนั การสบั สนระหวา่ ง ������ ก่อนแทน กบั ������ หลงั แทน เรามกั ใชต้ วั แปร ������ เขา้ มาค่นั แลว้ แปลงกลบั เป็น ������ ตอนจบ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(1 − ������) = ������2 − 2������ + 2 จงหา ������(������) วิธีทา ขอ้ นี้ เราตอ้ งเปลยี่ น ������(1 − ������) ใหก้ ลายเป็น ������(������) โดยจะเปลยี่ น ������(1 − ������) เป็น ������(������) กอ่ น ให้ 1 − ������ = ������ ดงั นนั้ ������(1 − ������) = ������2 − 2������ + 2 ������(������) = (−������ + 1)2 − 2(−������ + 1) + 2 −������ = ������ − 1 ������ = −������ + 1 = ������2 − 2������ + 1 + 2������ − 2 + 2 = ������2 + 1 จะได้ ������(������) = ������2 + 1 เปลยี่ นตวั แปร ������ เป็น ������ ก่อนตอบ จะได้ ������(������) = ������2 + 1 #

ฟังกช์ นั 35 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ (������−1) = ������2 − 1 จงหา ������(������) # 2 # วิธีทา ขอ้ นี้ เราตอ้ งเปลย่ี น ������ (������−21) ใหก้ ลายเป็น ������(������) โดยจะเปลย่ี น ������ (������−21) เป็น ������(������) กอ่ น ให้ ������−1 = ������ ดงั นนั้ ������ (������−21) = ������2 − 1 2 ������(������) = (2������ + 1)2 − 1 ������ − 1 = 2������ ������ = 2������ + 1 ������(������) = 4������2 + 4������ + 1 − 1 = 4������2 + 4������ จะได้ ������(������) = 4������2 + 4������ เปลยี่ นตวั แปร ������ เป็น ������ จะได้ ������(������) = 4������2 + 4������ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(√������ + 1) = ������2 + 1 จงหา ������(2) วิธีทา ขอ้ นี้ จะทาแบบขอ้ ที่แลว้ คือหา ������(������) ออกมาก่อน แลว้ คอ่ ยแทน ������ = 2 ก็ได้ แตว่ ิธีทง่ี า่ ยกวา่ คอื หา ������(2) โดยตรงเลย ดงั นี้ โจทยก์ าหนดให้ ������(√������ + 1) = ������2 + 1 เราจะหา ������ ( 2 ) ดงั นนั้ ตอ้ งเทียบ √������ + 1 = 2 แทนใน ������2 + 1 ได้ 32 + 1 → 10 ������ + 1 = 4 ������ = 3 ดงั นนั้ ������(2) = 10 เน่อื งจากฟังกช์ นั เป็นความสมั พนั ธช์ นดิ หนงึ่ ดงั นนั้ โจทยใ์ นเรอื่ งความสมั พนั ธ์ ก็จะนามาถามกบั ฟังกช์ นั ได้ ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของฟังกช์ นั ������(������) = ������2 + 1 วิธีทา ขอ้ นี้ ทาเหมอื นกบั หาโดเมน และเรนจ์ ของความสมั พนั ธ์ ������ = ������2 + 1 จะเหน็ วา่ สมการที่โจทยใ์ ห้ อยใู่ นรูปท่ีหาโดเมนไดเ้ ลย เนอื่ งจาก ������ ไมเ่ ป็นตวั หาร และ ไมอ่ ยใู่ น √ ดงั นนั้ D������ = R ถดั มา หาเรนจ์ เนอื่ งจาก มี ������2 อยใู่ นสมการความสมั พนั ธ์ ดงั นนั้ เราจะใชว้ ิธีพิจารณาชว่ งคา่ ทเี่ ป็นไปได้ ������2 ≥ 0 ดงั นนั้ R������ = [1, ∞) # ������2 + 1 ≥ 1 ������ ≥ 1 แบบฝึกหดั 1. กาหนดให้ ������ = {(1, 2), (2, 4), (3, 2), (4, 1)} จงหาคา่ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ 1. ������(1) 2. ������(2) + 1 3. ������(2 + 1) 4. ������(22) 5. (������(2))2 6. ������(������(1))

36 ฟังกช์ นั 2. ������(−1) 4. ������(−10) 2. กาหนดกราฟของฟังกช์ นั ������ ดงั รูป จงหาคา่ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ 2. ������(������) = √������ − 4 + 1 1. ������(0) 3. ������(������(3)) 3. จงหา D������ และ R������ 1. ������(������) = 2������ + 1 3. ������(������) = |������ + 1| 4. ������(������) = ������2 + 6������ + 1 4. กาหนดให้ ������(������) = 1 − 2������ − ������2 จงหา 2. ������(−������) 1. ������(2) 3. ������(������2) 4. ������(1 − ������)

ฟังกช์ นั 37 5. กาหนดให้ ������(������) = 2������ + 1 จงหา ������(������(������)) 6. กาหนดให้ ������(2������ + 1) = 4������ + 3 จงหา ������(������) 7. กาหนดให้ ������(������ − 1) = 2������ จงหา ������(������ + 1) 8. กาหนดให้ ������(√������2 + 1) = ������2 − 1 จงหา ������(2) 9. กาหนดให้ ������ ( ������ ) = 1 เมอ่ื ������ ≠ 0 และ ������ ≠ 1 จงหา ������(������) ������−1 ������

38 ฟังกช์ นั 10. ให้ ������ เป็นฟังกช์ นั ซง่ึ มีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของเซตของจานวนจรงิ โดยที่ ������(2������ + 1) = 4������2 + 14������ จงหา ������(������) 11. ถา้ ������ = {(1, 0), (2, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 2)} แลว้ ������(2) + ������(3) มคี า่ เทา่ ใด [O-NET 49/2-1] 12. กาหนดใหก้ ราฟของฟังกช์ นั ������ เป็นดงั นี้ คา่ ของ 11������(−11) − 3������(−3)������(3) คอื เทา่ ไร [O-NET 53/13]

ฟังกช์ นั 39 13. ฟังกช์ นั ������ = ������(������) ในขอ้ ใดมกี ราฟดงั รูปตอ่ ไปนี้ [O-NET 49/1-7] Y ������ = ������(������) (0, 1) 1 X −1 0 2. ������(������) = 1 + |������| 4. ������(������) = |1 + ������| 1. ������(������) = 1 − |������| 3. ������(������) = |1 − ������| 14. ถา้ ������(������ − 2) = 2������ − 1 แลว้ ������(������2) มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 54/11] 15. จานวนในขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นสมาชกิ ของโดเมนของฟังกช์ นั ������ = ������ + 2������−1 [O-NET 52/15] ������2+3������+2 ������2−1 1. −2 2. −1 3. 0 4. 1 16. ถา้ ������(������) = 3 − √4 − ������2 แลว้ จงหา D������ และ R������ [O-NET 54/10]

40 ฟังกช์ นั 17. ถา้ ������(������) = √3 − ������ และ ������(������) = −2 + |������ − 4| แลว้ D������ ∪ R������ คอื ขอ้ ใด [O-NET 53/12] 1. (−∞, 3] 2. [−2, ∞) 3. [−2, 3] 4. (−∞, ∞) 18. ถา้ ������(������) = 1 แลว้ เรนจข์ อง ������ คือเซตในขอ้ ใด [O-NET 56/14] |������|−1 1. { ������ | −1 < ������ ≤ 0 } 2. { ������ | −1 ≤ ������ < 0 } 3. { ������ | ������ < −1 หรอื ������ > 0 } 4. { ������ | ������ < −1 หรอื ������ ≥ 0 } 5. { ������ | ������ ≤ −1 หรอื ������ > 0 }

ฟังกช์ นั 41 ฟังกช์ นั เชิงเสน้ ฟังกช์ นั เชงิ เสน้ คอื ฟังกช์ นั ท่อี ยใู่ นรูป ������(������) = ������������ + ������ เชน่ ������(������) = 2������ + 3 → ������ = 2 , ������ = 3 ������(������) = 5 − 3������ → ������ = −3 , ������ = 5 ������(������) = 4 → ������ = 0 , ������ = 4 หมายเหตุ : ในกรณีที่ ������ = 0 (เชน่ ������(������) = 4) จะเรยี กฟังกช์ นั นนั้ วา่ “ฟังกช์ นั คา่ คงตวั ” การวาดกราฟฟังกช์ นั เชิงเสน้ ใหห้ าจดุ (������, ������) อะไรก็ไดม้ า 2 จดุ ท่ีแทนในสมการ ������ = ������(������) แลว้ เป็นจรงิ (สว่ นใหญ่ มกั นยิ มหาจดุ ตดั แกน X กบั จดุ ตดั แกน Y โดยการแทน ������ = 0 แลว้ หา ������ กบั แทน ������ = 0 แลว้ หา ������) จากนนั้ พลอ็ ตจดุ ทงั้ สอง แลว้ ลากเสน้ ตรงใหผ้ า่ นทงั้ สองจดุ ตวั อยา่ ง จงวาดกราฟ ������(������) = 2������ + 4 4 วธิ ีทา หาจดุ อะไรก็ไดม้ า 2 จดุ ทแี่ ทนใน ������ = 2������ + 4 แลว้ เป็นจรงิ −2 ถา้ ������ = 0 จะได้ ������ = 2(0) + 4 = 4 ไดจ้ ดุ (0, 4) # ถา้ ������ = 0 จะได้ ������ = − 4 = −2 ไดจ้ ดุ (−2, 0) 2 จากนนั้ พลอ็ ต (0, 4) และ (−2, 0) แลว้ ลากเสน้ ตรงผา่ น จะไดก้ ราฟดงั รูป ตวั อยา่ ง ชบาแกว้ เป็นครูสอนพเิ ศษทีค่ ดิ คา่ สอนช่วั โมงละ 250 บาท โดยมตี น้ ทนุ คอื คา่ เดินทาง 200 บาท และคา่ เชา่ หอ้ งช่วั โมงละ 100 บาท จงเขียนฟังกช์ นั แสดงกาไรท่ีชบาแกว้ ไดจ้ ากการสอนพิเศษนี้ วิธีทา สมมติให้ ������ แทนจานวนช่วั โมงทช่ี บาแกว้ สอนพเิ ศษ → ไดค้ า่ สอน 250������ บาท → ตอ้ งจา่ ยคา่ เช่าหอ้ ง 100������ บาท คา่ เดินทาง 200 บาท เป็นคา่ ใชจ้ ่ายคงที่ ไมข่ นึ้ กบั จานวนช่วั โมง จงึ ไมต่ อ้ งคณู ������ ดงั นนั้ รายรบั = 250������ บาท และรายจา่ ย = 100������ + 200 จะไดฟ้ ังกช์ นั แสดงกาไร คอื ������(������) = 250������ − (100������ + 200) = 250������ − 100������ − 200 = 150������ − 200 #

42 ฟังกช์ นั ฟังกช์ นั กาลงั สอง ฟังกช์ นั กาลงั สอง คอื ฟังกช์ นั ทีอ่ ยใู่ นรูป ������(������) = ������������2 + ������������ + ������ เม่อื ������, ������, ������ เป็นตวั เลขอะไรก็ได้ ท่ี ������ ≠ 0 เชน่ ������(������) = 2������2 − ������ + 5 → ������ = 2 , ������ = −1 , ������ = 5 ������(������) = 3 + 2������ − ������2 → ������ = −1 , ������ = 2 , ������ = 3 ������(������) = ������2 → ������ = 1 , ������ = 0 , ������ = 0 ถา้ นาฟังกช์ นั กาลงั สอง ไปวาดกราฟ จะไดก้ ราฟทเ่ี รยี กวา่ “พาราโบลา” ซงึ่ จะมลี กั ษณะเป็นเสน้ โคง้ ท่ีมกี ารวกกลบั  ถา้ ������ เป็นบวก จะไดพ้ าราโบลา “หงาย” ถา้ ������ เป็นลบ จะไดพ้ าราโบลา “ควา่ ” หงาย ควา่  จดุ ที่พาราโบลา วกกลบั เรยี กวา่ “จดุ ยอด” สตู รหาพิกดั ของจดุ ยอด คือ (− ������ , 4������������−������2) 2������ 4������ หงาย คว่า จดุ ยอด = จดุ ตา่ สดุ จดุ ยอด = จดุ สงู สดุ ไมม่ ีจดุ สงู สดุ ไมม่ จี ดุ ต่าสดุ เพราะสงู ไดเ้ รอื่ ยๆ เพราะตา่ ไดเ้ รอ่ื ยๆ  เรยี กแนวเสน้ ตรงทีผ่ า่ กลางพาราโบลาวา่ “แกนสมมาตร” เวลาตอบแกนสมมาตร ใหต้ อบเป็นสมการ ������ = − ������ 2������ = พกิ ดั ตวั หนา้ ของจดุ ยอด ตวั อยา่ ง จงวาดกราฟของฟังกช์ นั ������(������) = ������2 + 2������ − 5 พรอ้ มทงั้ บอกสมการแกนสมมาตร วิธีทา จะได้ ������ = 1 , ������ = 2 , ������ = −5 เนอ่ื งจาก ������ = 1 เป็นบวก ดงั นนั้ เป็นกราฟหงาย จดุ ยอด เป็นจดุ ต่าสดุ และมีพกิ ดั = (− ������ , 4������������−������2) 2������ 4������ = (− 2 , 4(1)4(−(15))−22) 2(1) = (−1 , −424) = (−1 , −6) (−1, −6) สมการแกนสมมาตร คอื ������ = −1 # # ตวั อยา่ ง จงวาดกราฟของฟังกช์ นั ������(������) = 4 − ������2 พรอ้ มทงั้ บอกสมการแกนสมมาตร วิธีทา จะได้ ������ = −1 , ������ = 0 , ������ = 4 เนื่องจาก ������ = −1 เป็นลบ ดงั นนั้ เป็นกราฟคว่า จดุ ยอด เป็นจดุ สงู สดุ และมีพิกดั = (− ������ , 4������������−������2) (0, 4) 2������ 4������ = (− 0 , 4(−41()−(41))−02) 2(−1) = (0, 4) สมการแกนสมมาตร คือ ������ = 0

ฟังกช์ นั 43 อกี รูปหนงึ่ ของฟังกช์ นั กาลงั สองทนี่ ิยมใช้ คือ ������(������) = ������(������ − ℎ)2 + ������ เชน่ ������(������) = 2(������ − 1)2 + 5 → ������ = 2 , ℎ = 1 , ������ = 5 ������ = 0 ������(������) = −(������ + 2)2 → ������ = −1 , ℎ = −2 , ������ = −5 ������ = 3 ������(������) = 2������2 − 5 → ������ = 2 , ℎ = 0 , ������(������) = 3 − (������ + 2)2 → ������ = −1 , ℎ = −2 , ถา้ โจทยใ์ หส้ มการในรูปนี้ จะมีวิธีวาดกราฟดงั นี้ ถา้ ������ เป็นลบ จะไดพ้ าราโบลาคว่า  ถา้ ������ เป็นบวก จะไดพ้ าราโบลาหงาย  จดุ ยอด มีพกิ ดั คอื (ℎ, ������)  สมการแกนสมมาตร คอื ������ = ℎ ตวั อยา่ ง จงวาดกราฟของฟังกช์ นั ������(������) = −(������ + 1)2 + 2 พรอ้ มทงั้ บอกสมการแกนสมมาตร วธิ ีทา จะได้ ������ = −1 , ℎ = −1 , ������ = 2 (−1, 2) เนื่องจาก ������ = −1 เป็นลบ ดงั นนั้ เป็นกราฟคว่า จดุ ยอด เป็นจดุ สงู สดุ และมพี กิ ดั = (ℎ, ������) = (−1, 2) สมการแกนสมมาตร คอื ������ = −1 # ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของฟังกช์ นั ������(������) = ������2 − 5 จากกราฟ วิธีทา ขอ้ นี้ บงั คบั วา่ ใหห้ าโดเมนและเรนจ์ จากกราฟ ดงั นนั้ ตอ้ งวาดกราฟใหไ้ ดก้ ่อน ขอ้ นจี้ ะมองในรูป ������(������) = ������(������ − ℎ)2 + ������ ก็ได้ → ������ = 1 , ℎ = 0 , ������ = −5  เป็นกราฟหงาย , จดุ ยอด = (0, −5) หรอื จะมองในรูป ������(������) = ������������2 + ������������ + ������ ก็ได้ → ������ = 1 , ������ = 0 , ������ = −5  เป็นกราฟหงาย , จดุ ยอด = (− 0 , 4(1)4(−(15))−02) 2(1) = (0, −5) จากกราฟ จะได้ D������ = R (0, −5) R������ = [−5, ∞) # อีกอยา่ งทโ่ี จทยจ์ ะถามได้ คอื “จดุ ตดั แกน” ซง่ึ มอี ยู่ 2 ประเภท คือ จดุ ตดั แกน X กบั จดุ ตดั แกน Y  จดุ ตดั แกน X คอื จดุ ที่ พาราโบลา ตดั กบั แกน X ปกตจิ ะตดั 2 จดุ แตบ่ างทกี ็ตดั จดุ เดยี ว หรอื ไมต่ ดั เลย  จดุ ตดั แกน Y คือจดุ ที่ พาราโบลา ตดั กบั แกน Y พาราโบลาทกุ รูป จะตดั แกน Y หนง่ึ จดุ เสมอ ตดั แกน X สองจดุ ตดั แกน X หน่ึงจดุ (สมั ผสั แกน X) ไมต่ ดั แกน X ตดั แกน Y หน่ึงจดุ ตดั แกน Y หนึง่ จดุ ตดั แกน Y หนึ่งจดุ

44 ฟังกช์ นั เรามวี ิธีหาพกิ ดั ของจดุ ตดั แกน ดงั นี้  หาจดุ ตดั แกน X ใหแ้ ทน ������ = 0 แลว้ หา ������ (เพราะจดุ ตดั แกน X จะมีพกิ ดั Y เป็นศนู ยเ์ สมอ)  หาจดุ ตดั แกน Y ใหแ้ ทน ������ = 0 แลว้ หา ������ (เพราะจดุ ตดั แกน Y จะมพี กิ ดั X เป็นศนู ยเ์ สมอ) ตวั อยา่ ง จงหาจดุ ตดั แกน X และจดุ ตดั แกน Y ของ ������(������) = ������2 − 3������ − 4 วิธีทา หาจดุ ตดั แกน X ตอ้ งแทน ������ = 0 ������(������) = ������2 − 3������ − 4 ดงั นนั้ จดุ ตดั แกน X คือ (4, 0) และ (−1, 0) 0 = ������2 − 3������ − 4 0 = (������ − 4)(������ + 1) ������ = 4 , −1 หาจดุ ตดั แกน Y ตอ้ งแทน ������ = 0 ������(������) = ������2 − 3������ − 4 ดงั นนั้ จดุ ตดั แกน Y คือ (0, −4) # ������ = 02 − 3(0) − 4 ������ = −4 จะเห็นวา่ จดุ ตดั แกน Y จะหางา่ ยกวา่ เพราะแคแ่ ทนคา่ คดิ เลข จดุ ตดั แกน X มกั จะตอ้ งแกส้ มการกาลงั สอง และมกั ตอ้ งแยกตวั ประกอบ ในกรณีที่แยกตวั ประกอบไมไ่ ด้ อาจตอ้ งใชส้ ตู ร ������ = −������±√������2−4������������ 2������ และถา้ ใน √ ตดิ ลบ แปลวา่ สมการไมม่ ีคาตอบ ซงึ่ แปลไดว้ า่ กราฟไมต่ ดั แกน X น่นั เอง ตวั อยา่ ง จงหาจดุ ตดั แกน X และจดุ ตดั แกน Y ของ ������(������) = ������2 + 4������ − 3 วิธีทา หาจดุ ตดั แกน X ตอ้ งแทน ������ = 0 ������(������) = ������2 + 4������ − 3 0 = ������2 + 4������ − 3 ������ = −4±√42−4(1)(−3) ดงั นนั้ จดุ ตดั แกน X คือ (−2 + √7 , 0) และ (−2 − √7 , 0) 2 = −2 ± √7 หาจดุ ตดั แกน Y ตอ้ งแทน ������ = 0 ������(������) = ������2 + 4������ − 3 ดงั นนั้ จดุ ตดั แกน Y คือ (0, −3) # ������ = 02 − 4(0) − 3 ������ = −3 ตวั อยา่ ง จงหาวา่ ������(������) = ������2 + 2������ + 3 ตดั แกน X ก่ีจดุ วธิ ีทา หาจดุ ตดั แกน X ตอ้ งแทน ������ = 0 ������(������) = ������2 + 2������ + 3 0 = ������2 + 2������ + 3 ������ = −2±√22−4(1)(3) 2 = −2±√−8 จะเหน็ วา่ ในรูทตดิ ลบ ดงั นนั้ กราฟไมต่ ดั แกน X # 2

ฟังกช์ นั 45 นอกจากนี้ เรายงั ตอ้ งอา่ นและวเิ คราะหก์ ราฟพาราโบลา ใหเ้ ป็นดว้ ย สว่ นใหญ่ เราจะตอ้ งการดวู า่ คา่ ������ ท่บี รเิ วณตา่ งๆในกราฟเป็นอยา่ งไร ตวั อยา่ ง กาหนด ������(������) = ������2 − 2������ − 3 จงพิจารณาวา่ ขอ้ ใดผดิ 1. กราฟของ ������ อยใู่ ตแ้ กน X สาหรบั ทกุ ������ ทีอ่ ยใู่ นชว่ ง (0, 2) 2. ������(������) ≥ −5 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ ������ 3. ������(1 + √2) = ������(1 − √2) 4. ������(2 + √2) < ������(2 − √2) วิธีทา จากสมการกราฟที่โจทยใ์ ห้ จะได้ ������ = 1 , ������ = −2 , ������ = −3 → เป็นกราฟหงาย จดุ ยอด = (− −2 , 4(1)(−43()1−)(−2)2) = (1, −4) 2(1) หาจดุ ตดั แกน X: 0 = ������2 − 2������ − 3 0 = (������ − 3)(������ + 1) ������ = 3 , −1 ขอ้ 1 จะเห็นวา่ บรเิ วณ ������ ∈ (0, 2) กราฟอยใู่ ตแ้ กน X ดงั นนั้ ขอ้ 1 ถกู # ขอ้ 2 จากกราฟ คา่ ������ ท่ีต่าท่ีสดุ คอื −4 ซง่ึ > −5 ดงั นนั้ ขอ้ 2 ถกู ขอ้ 3 เน่ืองจากจดุ ยอด มีพกิ ดั ������ = 1 ดงั นนั้ กราฟจะสมมาตรรอบๆ ������ = 1 น่นั คอื ท่ี ������ = 1 + ������ กบั ที่ ������ = 1 − ������ กราฟจะมีคา่ ������ เทา่ กนั ดงั นนั้ คา่ ������ ตรง ������ = 1 + √2 ก็จะตอ้ งเทา่ กบั คา่ ������ ตรง ������ = 1 − √2 ������ = 1 ดงั นนั้ ขอ้ 3 จรงิ ขอ้ 4 จากกราฟ จะเหน็ วา่ ตรง ������ = 2 กราฟเป็นช่วงขาขนึ้ หมายความวา่ ท่ี ������ = 2 + ������ กราฟจะสงู ขนึ้ แตท่ ี่ ������ = 2 − ������ กราฟจะต่าลง ดงั นนั้ คา่ ������ ตรง ������ = 2 + √2 ก็จะตอ้ งสงู กวา่ คา่ ������ ตรง ������ = 2 − √2 ������ = 2 ดงั นนั้ ขอ้ 4 จงึ ผิด แบบฝึกหดั 1. จงหา ลกั ษณะกราฟ (คว่า/หงาย), จดุ ยอด, แกนสมมาตร, จดุ ตดั แกน X, จดุ ตดั แกน Y, จดุ สงู สดุ /ต่าสดุ , คา่ สงู สดุ / ต่าสดุ ของพาราโบลาตอ่ ไปนี้ พรอ้ มทงั้ วาดรูปกราฟอยา่ งครา่ วๆ และหาโดเมน, เรนจ์ จากกราฟ 1. ������ = ������2 − 4������ + 3 ลกั ษณะกราฟ: จดุ ยอด: แกนสมมาตร: จดุ ตดั แกน X: จดุ ตดั แกน Y: จดุ สงู สดุ : จดุ ตา่ สดุ : คา่ สงู สดุ : คา่ ตา่ สดุ : โดเมน: เรนจ:์

46 ฟังกช์ นั 2. ������ + 2 = −(������ + 1)2 จดุ ยอด: ลกั ษณะกราฟ: แกนสมมาตร: จดุ ตดั แกน Y: จดุ ตดั แกน X: จดุ ต่าสดุ : จดุ สงู สดุ : คา่ ต่าสดุ : คา่ สงู สดุ : เรนจ:์ โดเมน: 2. พาราโบลารูปหนง่ึ เป็นกราฟของฟังกช์ นั ������(������) = 2������2 − 4������ − 6 ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง [O-NET 54/12] 1. พาราโบลารูปนมี้ แี กนสมมาตรคอื เสน้ ตรง ������ = −1 2. พาราโบลารูปนมี้ จี ดุ วกกลบั อยใู่ นจตภุ าคที่ส่ี 3. ถา้ P เป็นจดุ วกกลบั ของพาราโบลา ������ = −������2 + 12������ − 38 และ O เป็นจดุ กาเนดิ แลว้ ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ P และจดุ O เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 49/1-6] 4. ถา้ กราฟของ ������ = ������2 − 2������ − 8 ตดั แกน X ที่จดุ A, B และมี C เป็นจดุ วกกลบั แลว้ รูปสามเหลยี่ ม ABC มพี ืน้ ท่ี เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 50/25]

ฟังกช์ นั 47 อกี หวั ขอ้ ในเรอ่ื งพาราโบลาทน่ี ยิ มทาไปออกขอ้ สอบ คือ เรอื่ งคา่ มากสดุ - นอ้ ยสดุ # วิธีหา คือ ใหห้ าจดุ สงู สดุ หรอื จดุ ต่าสดุ แลว้ เอาคา่ ������ ไปตอบ  ในกราฟหงาย จะไมม่ ีจดุ สงู สดุ จดุ ยอดจะเป็นจดุ ต่าสดุ โดยคา่ ������ ตรงจดุ ยอด คอื คา่ นอ้ ยสดุ  ในกราฟควา่ จะไมม่ ีจดุ ต่าสดุ จดุ ยอดจะเป็นจดุ สงู สดุ โดยคา่ ������ ตรงจดุ ยอด คอื คา่ มากสดุ หมายเหต:ุ เวลาทีโ่ จทยพ์ ดู คาวา่ “คา่ ” เฉยๆ ใหห้ มายถงึ คา่ ������ ตวั อยา่ ง จงหาคา่ มากสดุ หรอื คา่ นอ้ ยสดุ ของ ������(������) = 2(������ − 1)2 − 3 วธิ ีทา ขอ้ นมี้ าในรูป ������(������ − ℎ)2 + ������ โดยท่ี ������ = 2 , ℎ = 1 , ������ = −3 เนอื่ งจาก ������ เป็นบวก ดงั นนั้ เป็นกราฟหงาย จะไดจ้ ดุ ยอดเป็นจดุ ตา่ สดุ และมพี กิ ดั คือ (1, −3) ดงั นนั้ คา่ นอ้ ยสดุ คอื −3 แตค่ า่ มากสดุ หาไมไ่ ด้ แบบฝึกหดั 5. กาหนดให้ ������(������) = −������2 + 4������ − 10 ขอ้ ความใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง [O-NET 49/1-5] 1. ������ มคี า่ ตา่ สดุ เทา่ กบั −6 2. ������ ไมม่ คี า่ สงู สดุ 3. ������ มีคา่ สงู สดุ เทา่ กบั 6 4. ������ (√29) < −6 6. กาหนดให้ ������(������) = (������ − 3)2 − 4 ขอ้ ใดถกู ตอ้ งบา้ ง [O-NET 57/14] 1. กราฟของ ������ เป็นพาราโบลาหงาย 2. ถา้ ������ ∈ (1, 4] แลว้ ������(������) < 0 3. ถา้ กราฟของ ������ ตดั แกน ������ ท่ีจดุ (0, ������) และคา่ ต่าสดุ ของ ������ คือ ������ แลว้ ������ + ������ = 1 7. ถา้ เสน้ ตรง ������ = 3 เป็นเสน้ สมมาตรของกราฟของฟังกช์ นั ������(������) = −������2 + (������ + 5)������ + (������2 − 10) เมื่อ ������ เป็น จานวนจรงิ แลว้ ������ มคี า่ สงู สดุ เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 51/10]

48 ฟังกช์ นั 8. ถา้ ������(������) = −������2 + ������ + 2 แลว้ ขอ้ สรุปใดถกู ตอ้ ง [O-NET 53/10] 1. ������(������) ≥ 0 เมอื่ −1 ≤ ������ ≤ 2 2. จดุ วกกลบั ของกราฟของฟังกช์ นั ������ อยใู่ นจตภุ าคทีส่ อง 3. ฟังกช์ นั ������ มีคา่ สงู สดุ เทา่ กบั 2 4. ฟังกช์ นั ������ มคี า่ ตา่ สดุ เทา่ กบั 2 9. กาหนดให้ ������(������) = ������2 − 2������ − 15 ขอ้ ใดตอ่ ไปนผี้ ิด [O-NET 51/30] 1. ������(������) ≥ −17 ทกุ จานวนจรงิ ������ 2. ������(−3 − √2 − √3) > 0 3. ������(1 + √3 + √5) = ������(1 − √3 − √5) 4. ������(−1 + √3 + √5) > ������(−1 − √3 − √5) 10. พาราโบลารูปหนง่ึ มเี สน้ สมมาตรขนานกบั แกน Y และมีจดุ สงู สดุ อยทู่ ่ีจดุ (������, ������) ถา้ พาราโบลานตี้ ดั แกน X ท่จี ดุ (– 1, 0) และ (5, 0) แลว้ ������ มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 50/10]


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook