Celerinet Año 1 Volúmen 1

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 51 Referencias Datos del autor: [1] g. Zipf, Selective Studies and the Principle of Relative Frequency Francisco Javier Almaguer Martínez in Language, cambridge, mass., USa: Harvard University Dirección del autor: manuel benitez no. 2008 col. Topo Press, 1932. chico, c.P. 64260, monterrey, nuevo león, méxico. Email: [2] benjamin fine, gerhard rosenberger, number theory. an [email protected] introduction via the distribution of primes, boston, USa, birkhauser, 2007. Homero de la Fuente García [3] alexander Saichev, Yannick malevergne, Didier Sornette, Theory of Zipf’s law and beyond, Springer, USa, 2009. [4] De la f. Homero, f-javier, almaguer, jonas velasco \"Simulación de luctuaciones inancieras de largo alcance y transiciones de fase orden-desorden.” Congreso Internacional de Investigación, celaya.cademia.journals.com, Vol 4. no. 3., noviembre, 2012. [5] Wolfgan Paul, jörg baschnagel, Stochastic Processes, From Physics to Finance, germany, Springer, 1999. PROCESOS ALEATORIOS DE RIEMANN Y WEIERSTRASS POR: FRANCISCO ALMAGUER Y HOMERO DE LA FUENTE

52 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Un algOriTmO Para rESOlvEr El PrOblEma binivEl cOn ParámETrOS En El ObjETivO DEl nivEl infEriOr Aarón Arévalo franco UANL-FCFM Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Físico Matemáticas San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México Resumen: En este trabajo presentamos una reformulación del problema binivel con parámetros en el objetivo del nivel inferior haciendo uso de una aproximación externa de la función de reacción. Esto nos permitirá presentar el problema de dos niveles en uno de un solo nivel, con el in de adaptarlo a un algoritmo reportado en la literatura basado en el método branch and bound. Palabras claves: Programación binivel, branch and bound

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 53 Introducción es la variable vectorial continua y puede incluir variables los problemas de Programación binivel están discretas. Sabiendo que este problema es difícil de resolver, se propone un algoritmo de aproximación que motivados por sus aplicaciones (en el mundo real). nos conduce a una solución global. Tales problemas surgen en los juegos de Stackelberg que tratan la economía de mercado [1], en donde los muchos autores han trabajado en las diferentes distintos tomadores de decisión tratan de comprender formulaciones de los problemas de Programación mejor las decisiones en el mercado con respecto a sus binivel. En [2] se propuso un algoritmo basado en el propios objetivos generalmente diferentes; sin embargo, método branch and bound cuando el parámetro aparece a menudo son capaces de realizar sus decisiones de en el lado derecho de las restricciones del seguidor. En forma independiente, pero se ven obligados a actuar de [3] se propuso un algoritmo para resolver el problema acuerdo a una cierta jerarquía. de Programación lineal binivel (blPP) utilizando el En este trabajo consideramos el caso más simple de método Simplex con variables adicionales en el conjunto tal situación donde solo hay dos tomadores de decisión, de base y la teoría de subgradientes. En [4] se obtuvieron límites superiores para las funciones objetivo en ambos a eso se debe el nombre de binivel o dos niveles, caso niveles. así se generó una secuencia no decreciente particular del problema de Programación multinivel. a de límites inferiores de la función objetivo en el nivel los actores del caso binivel se les llama comúnmente superior, que, bajo ciertas condiciones, converge a la líder y seguidor, respectivamente. El líder es el que solución del blPP general para funciones continuamente puede manejar el mercado de forma independiente, diferenciables. mientras que el seguidor tiene que actuar de una manera dependiente a la decisión del líder. En [5] se presentan varias alternativas para resolver Es obvio que, si un tomador de decisiones asume el miblPP con las condiciones de integralidad. En [6] una posición independiente, y por tanto para observar se resolvió el miblPP con el algoritmo branch and bound. El análisis de sensibilidad para miblPP también y utilizar las reacciones del dependiente tomador de fue considerado en [7]. decisiones a las del líder, tratará de hacer una ventaja de esto. Especiicación del Problema: El problema de los Problemas de Programación binivel son más Programación binivel con parámetros en el objetivo del generales que los juegos de Stackelberg en el sentido de nivel inferior está dado como sigue: que ambos conjuntos factibles pueden depender sobre la decisión de otro tomador de decisiones. (1) En términos matemáticos, el conjunto de variables es particionado en dos variables vectoriales, x y y; en donde y en R es la variable del líder y x en R es la n n n variable del seguidor. aplicado y como parámetro, en donde a, b, x, y, c, ĉ, d, , R , G, es una matriz de ∈ r el seguidor resuelve un problema de optimización dimensión r × n, d R , A es una matriz n × n. El líder ∈ paramétrico, y los valores x=x(y) están determinados por resuelve su objetivo sujeto a un conjunto de restricciones el seguidor conociendo de antemano la elección y del en los cuales se encuentra otro problema de optimización: líder. El líder tiene que determinar la mejor elección de y el problema del seguidor. Para cada señal que le envía conociendo la reacción (óptima) x = x(y) del seguidor a la el líder al seguidor, i. e, selecciona algún ijo y que es decisión del líder. Tenemos un líder (nivel superior) que su variable de decisión y el seguidor replica mandando elige primero su decisión con el objetivo de minimizar una respuesta al líder x(y). Por lo tanto el líder minimiza una cierta función f(x(y); y), y un seguidor (en el nivel F(x(y),y). inferior) que responde óptimamente a esta decisión. En cada señal que manda el líder y el seguidor le replica, nuestro principal objetivo es proponer un algoritmo se puede expresar en una función comúnmente llamada eiciente para resolver el Problema de Programación función de reacción o función de valor óptimo. Esta binivel Entero mixto (miblPP por sus siglas en inglés) función está dada como sigue: en el caso particular cuando el parámetro aparece en la función objetivo del nivel inferior. El término entero mixto signiica que el problema tiene ambas variables, (2) continuas y discretas. Por otra parte, en nuestro caso, x UN ALGORITMO PARA RESOLVER EL PRObLEMA bINIVEL CON PARÁMETROS EN EL ObjETIVO DEL NIVEL INFERIOR POR: AARÓN ARéVALO FRANCO

54 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO ahora, reformularemos el problema (1) de tal forma simples generalizados cuyos vértices pertenecen a S, en que podamos aplicar el algoritmo presentado en [8]. Para donde d = dimC. ello usamos el resultado descrito en [9], en el cual, un Corolario 1. Sea {Ci|i I} una colección arbitraria de ∈ problema de dos niveles puede ser reformulado en un conjuntos convexos en R , y sea C el casco convexo de la n problema de un solo nivel de la siguiente manera: unión de la colección. Entonces cada punto de C puede (3) ser expresado como una combinación convexa de n+1 o menos puntos ainamente independientes, cada uno perteneciendo a alguno de los C . i Teorema 2. la intersección de una colección arbitraria Geometría del problema: El problema que surge ahora de conjuntos convexos es convexa. es que en (3) la función de reacción no está dada en una El casco convexo conv S es un conjunto convexo forma explícita; es por ello que se analizará para conocer por el Teorema 2, el único más pequeño que contiene S. sus características geométricas. En [10] se demuestra los detalles y las demostraciones de los Teoremas que la función de reacción es lineal a trozos, convexa 1 y 2 y del corolario 1 pueden ser encontrados en [12]. y no diferenciable (ver figura 1). algunos artículos ahora, describimos el algoritmo propuesto como sigue: han trabajado este tipo de problemas con cálculo sub-diferencial que se basan sobre la restricción de Paso 0. inicialización. Sea la lista inicial de problemas cualiicación no suave de mangasarian-fromowitz [11]. incluyendo solamente la aproximación del Problema En este trabajo resaltamos el hecho de que es convexa, y Entero (aPE) construida del siguiente modo: sobre esto, aplicamos el resultado de [8]. consideramos el problema (3): Un Algoritmo de Aproximación. las bases para desarrollar un buen algoritmo están dadas en los siguientes teoremas bien conocidos, importantes para guardar la convexidad en cada nivel de aproximación. Deinición 1. la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen un subconjunto dado S en R es ahora, consideramos el politopo Y compuesto como n llamado el casco convexo de S y se denota por conv S. un casco convexo de las estrategias del líder en el nivel Teorema 1. Teorema de carathéodory. Sea S cualquier superior: Y = { y | Gy = d, y ≥ 0} y seleccionamos n+1 i puntos ainamente independientes y tales que Y conv ⊂ conjunto de puntos en R , y sea C = conv S. Entonces y C {y ,...,y m+1 } {y : |ϕ(y)| < ∞}. aquí n = n − rango(G), y n ∈ 1 ⊂ si y solo si y puede ser expresada como una combinación y −y , y −y ,…,y − y , forman un sistema linealmente 1 2 n+1 1 3 1 convexa de n+1 (no necesariamente distintos) puntos en independiente. Denotamos este conjunto de vértices S. De hecho c es la unión de todos los d-dimensionales como V = {y ,...,y }. También consideramos un valor 1 n+1 de tolerancia ɛ > 0. Entonces, resolvemos el problema de Programación lineal del nivel inferior (5) en cada vértice, i.e., encontrar Ҩ(y1),…, Ҩ(yn+1). ahora bien, construimos la primera aproximación de la función de valor óptimo como sigue: (4) deinido sobre (5) Fig 1. Representación de φ en 1 dimensión. UN ALGORITMO PARA RESOLVER EL PRObLEMA bINIVEL CON PARÁMETROS EN EL ObjETIVO DEL NIVEL INFERIOR POR: AARÓN ARéVALO FRANCO

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 55 con λ ≥ 0, i = 1,...,m+1 y: Paso 4. Subdivisión. Hacer una subdivisión del conjunto i Y correspondiente a este problema. Por construcción, el problema (7) corresponde a un conjunto de n+1 (6) puntos ainamente independientes, los cuales sin pérdida 1 de generalidad asumimos sean los puntos y ,...,y n+1 . jr En (4) tenemos una expresión con la variable λ, que añadiendo el punto y a este conjunto, estos vienen a ser ainamente independientes. Excluyendo un elemento nos conduce a la variable y usando (5) y (6). ahora, ya del conjunto resultante, la independencia aina puede ser que la función Ҩ es convexa, <c,x> ≤ Ҩ(y) ≤ Φ(y), la obtenida eventualmente (esto está garantizado si algún condición <c,x> ≤ Ҩ(y) puede ser remplazada en (3) con elemento correcto es eliminado). la siguiente desigualdad explícita: <c,x> ≤ Φ(y). cuando uno hace uso de esta aproximación, a lo más con esto obtenemos un nuevo problema de n+1 nuevos conjuntos ainamente independientes surgen, optimización que puede ser resuelto con el método cada uno correspondiendo a nuevas aproximaciones Simplex clásico. la aproximación del problema entero lineales de la función objetivo del nivel inferior sobre el es descrita como sigue: casco convexo de esos puntos. Si un tal simplex T es un subconjunto de alguna región de estabilidad: T R(Bi), ⊂ los puntos factibles (x, y) del problema (7) son también factibles para el problema (3). El objetivo de este paso es encontrar esas simples subdivisiones subsecuentes del conjunto Y. Estos sea t = 1, y zt = +∞, en donde zt es el valor objetivo problemas son entonces añadidos a la lista de problemas. incumbente. Ponemos este problema dentro de la lista. Para calcular la nueva aproximación de la función de Por deinición, este problema corresponde al poliedro valor óptimo del nivel inferior procederemos como jr convexo Y. ir al Paso 1. sigue: Primero calcular Ҩ(y ). Entonces construir un conjunto de puntos ainamente independientes como se Paso 1. Terminación. Detener el algoritmo si la describió anteriormente, i.e., eliminar uno de los puntos, lista de problemas es vacía. O si la condición: digamos y , y calcular l ||(x , y )−(x s−1 , y s−1 )|| < ɛ; es válida, seleccionamos s s el punto (x ; y ) como una solución aproximada del s s problema de Programación Entera (3); de otra forma, (8) seleccionar arbitrariamente y remover un problema de la lista. ir al paso 2. deinido sobre Paso 2. resolver el problema tomado de la lista usando métodos comunes para Programación Entera como (9) branch and bound para resolver la restricción de integralidad. Denotamos al conjunto de las soluciones óptimas básicas como S = {(x ; y ),...} y z como la 1R 1R R función de valor objetivo. Si el problema no tiene con λi ≥ 0 i = 1,...,m +1 y soluciones factibles, o si esta función de valor óptimo es mayor que zt, entonces cortamos esta rama. asignar (10) z = z , t = t+1 y vamos al Paso 1. De otra forma vamos t+1 t al Paso 3. ∈ Paso 3. Si las componentes y de todas las soluciones para l {1,...,n+1}. así construimos a lo más n+1 nuevos problemas: pertenecientes a S son vértices de V, entonces guardamos las soluciones, asignamos z = z , t = t + 1 y vamos al R t+1 Paso 1 (para tales valores de y, el punto (x, y) es factible para el problema (6)). De otra manera, considerando la solución (x ; y ) de S tal que la componente y es (11) jr jr jR diferente de todos los vértices de v, añadimos y a v, jR asignamos z = z , t = t+1 y vamos al Paso 4. t+1 t y los añadimos a la lista de problemas. vamos al Paso 1. UN ALGORITMO PARA RESOLVER EL PRObLEMA bINIVEL CON PARÁMETROS EN EL ObjETIVO DEL NIVEL INFERIOR POR: AARÓN ARéVALO FRANCO

56 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Referencias Datos del autor: [1] Stackelberg, H.v. Marktform und Gleichgewicht. vienna, Dr. Aarón Arévalo Franco austria: julius Springer. 1934. English translation: The Theory cursó su lic. En matemáticas en la facultad de ciencias of the market Economy. Oxford: Oxford University Press. 1952. físico matemáticas de la Universidad autónoma de nuevo [2] Dempe, S., kalashnikov, v. and ríos-mercado, r.Z. “Discrete león. cursó el doctorado en ingeniería física industrial bilevel programming: application to a natural gas cash-out en el Posgrado de la misma institución. además realizó una problem”. European Journal of Operational Research. vol. 166, estancia en la Technische Universität bergakademie freiberg no. 2, pp. 469-488. 2005. en alemania, misma en la cual realizó su Posdoctorado. [3] Dempe, S. “a simple algorithm for the linear bilevel programming actualmente se desempeña como Profesor investigador en el problem”. Optimization. vol. 18, no. 3, pp. 373 – 385. 1987. Posgrado en ciencias con Orientación en matemáticas de la facultad de físico matemáticas en la Uanl. Sus líneas de [4] bard, j. “an algorithm for solving the general bilevel investigación son la Programación binivel y la teoría de la programming problem”. Mathematics of Operations Research. complementariedad. vol. 8, no. 2, pp. 260-282. [5] Dempe, S. and kalashnikov, v. Discrete Bilevel Programming Dirección del autor: centro de investigación en ciencias físico matemáticas de la Uanl. av. Pedro de alba y m.l. with Linear Lower Level Problems. Preprint, TU bergakademie barragán S/n. cd. Universitaria,. San nicolás de los garza, freiberg. 2005. nuevo león, méxico. [6] Wen, U.P. and Yang, Y.H. “algorithms for solving the mixed integer two level linear programming problem”. Computers and Email: [email protected] Operations Research. vol. 17, no. 2, pp. 133 – 142. 1990. [7] Wendell, r.E. “a preview of a tolerance approach to sensitivity analysis in linear programming”. Discrete Mathematics. vol. 38, pp. 121— 124. 1982. [8] kalashnykova, n., kalashnykov, v., Dempe, S. and arévalo franco a. “application of a Heuristic algorithm to mixed- integer bi-level Programming Problems”. ICIC International. volume 7, number 4, pp. 1819–1829. 2011. [9] Ye, j.j. and Zhu, D.l. “Optimality conditions for bilevel programming problems”. Optimization. vol. 33, pp. 9 – 27. 1995. [10] Dempe, S. and Schreier,H. Operations Research – Deterministische Modelle und Methoden. Teubner verlag. Wiesbaden. 2006. [11] Dempe, S. and Zemkoho, a.b. A Bilevel Approach to Optimal Toll Setting in Capacitated Networks, Preprint, TU bergakademie freiberg. 2008. [12] rockafellar, r.T. Convex Analysis. Princeton, new jersey: Princeton University Press. 1970. [13] Dempe, S. Foundations of Bilevel Programming. Dordrecht/ london/boston: kluwer academic Publishers. 2002. [14] grygarová, l. “Qualitative Untersuchung des i. Optimierungsproblems in mehrparametrischer Programmierung”. applications of mathematics, vol. 15, no. 4, pp. 276 – 295. 1970. UN ALGORITMO PARA RESOLVER EL PRObLEMA bINIVEL CON PARÁMETROS EN EL ObjETIVO DEL NIVEL INFERIOR POR: AARÓN ARéVALO FRANCO

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 57 Un mODElO Para Enviar, rEcibir Y DiSTribUir aYUDa En ESPEciE DESPUéS DE HabEr OcUrriDO Un DESaSTrE naTUral josé fernando Camacho Vallejo edna Lizet gonzález rodríguez UANL-FCFM Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Físico Matemáticas San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México Resumen: En este trabajo se propone un modelo de programación binivel en logística humanitaria para optimizar el envío, recepción y distribución de la ayuda en especie en el caso en que haya ocurrido de desastre natural con consecuencias catastróicas. cuando ocurre un sismo o un tsunami en un país, y si resulta seriamente afectado, habrá organismos sin ines de lucro y algunos otros países que inmediatamente tratarán de enviar productos para ayudar; sean alimentos, agua, medicamentos, entre otros. Es claro que quienes brinden ayuda buscarán minimizar los costos de realizar los envíos a alguna de las zonas de acopio; dichos envíos pueden ser por medio aéreo, terrestre o marítimo. En cambio, el país afectado buscará distribuir la ayuda de forma eiciente, esto es, enviando los productos solicitados a las zonas afectadas en el menor tiempo posible. Este problema es importante debido a que últimamente se han presentado desastres naturales de magnitudes grandes. además, se propone una reformulación del modelo reduciéndolo a un problema de optimización no lineal de un solo nivel. Palabras claves: programación binivel, logística humanitaria, equilibrio de Stackelberg

58 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Introducción Este trabajo está enfocado especíicamente en En los últimos años se han presentado varios desastres analizar una situación en particular relacionada con la etapa de Respuesta; dicho problema es el de distribuir naturales con consecuencias catastróicas para la eicientemente la ayuda hacia las zonas afectadas. Es población afectada. Entre ellos podemos mencionar los natural pensar que las demandas de las zonas afectadas terremotos en Haití y en chile en 2010, donde dichos varían constantemente e inclusive hay nodos y aristas de países se vieron sumamente afectados y requirieron de la red que desaparecen. En [5] propusieron un algoritmo la ayuda oportuna de todo el mundo. Otro ejemplo es el de tres etapas: primero agrupaban las zonas afectadas con tsunami ocurrido en la costa de japón en 2011, donde base en las características de la demanda y la prioridad, gran parte de la región afectada fue devastada. Estos después identiicaban el centro de gravedad de cada hechos propiciaron que muchos países y organismos agrupamiento para hacer la entrega de la ayuda y por internacionales enviaran ayuda que consistía desde último, el ruteo de vehículos para realizar la distribución. dinero, voluntarios y productos. como continuación del trabajo recién descrito, en [6] se los productos enviados más comunes son agregó un caso de estudio de un terremoto en Taiwán. medicamentos, comida enlatada, agua potable, pañales, También en el 2012 en [7] consideran el problema entre otros. Es evidente la urgente necesidad de recibir donde existen centros de acopio que se encargan de esos productos para poder distribuirlos en las regiones recibir la ayudar externa y plantean una función multi- afectadas y evitar que se incrementen las muertes por objetivo donde intentan minimizar el costo de operar un hambruna o por enfermedades. Es por esto que la eiciente centro de acopio, minimizar el costo de distribución y distribución de dichos artículos es necesaria, este hecho maximizar la demanda cubierta. los autores reformulan ya ha sido notado por otros autores, por ejemplo, en [1] el problema como un problema de programación lineal enlistan algunos trabajos realizados sobre distribución de mixto-entero, lo resuelven por etapas usando una ayuda y su transportación casual. además, es evidente la heurística y comparan los resultados con los obtenidos importancia de la rapidez y eiciencia que tiene que tener mediante el algoritmo nSga-ii. la cadena de suministro involucrada en estas situaciones, en [2] y [3] se presentan trabajos enfatizando este hecho. algo que también es de interés es proveer sistemas la rama que se encarga de estudiar estos que traten de brindar ayuda en la toma de decisiones problemas es la Logística Humanitaria, la cual se de una situación de emergencia. bajo este enfoque, en [8] desarrollaron un modelo de programación lineal enfoca en modelar problemas relacionados con el en una cadena de suministro para una situación de almacenamiento y distribución de productos requeridos emergencia. En esos modelos ya se tenía la demanda por la población afectada debido a la ocurrencia de ija para cada zona afectada y el centro de acopio que un desastre natural; o bien, un desastre provocado por iba a abastecer a dicha zona. El problema se reducía a el hombre. Estas situaciones las podemos analizar de determinar el número de camiones asignados para cada dos formas, proactivas y reactivas. Proactivas para ruta, considerando que no había limitantes en el número estudiar el problema de interés antes de que ocurra un de camiones disponibles. desastre y reactivas para el caso cuando ya ocurrió y hay que decidir las acciones que deberán realizarse. En También en [9] proveen de dos enfoques para tomar [4] presentan una extensa revisión de literatura sobre decisiones eicientes relacionadas al acopio de la ayuda los problemas relacionados con logística Humanitaria; en especie y a su distribución. Uno de los modelos era además hacen una división de las etapas relacionadas un modelo de asignación en el que se minimiza el tiempo con estos desastres: la etapa de Mitigación donde se de terminar de ayudar en una zona afectada la vez; en el analizan las acciones que se deben tomar para disminuir otro modelo de colaboración distribuida se podía atender la probabilidad de ocurrencia de un desastre o bien, varias áreas afectadas al mismo tiempo. reducir el impacto en caso de que ocurra. la etapa de En los modelos anteriores se considera una demanda Preparación se reiere a planear las actividades a seguir conocida, ya sea obtenida mediante un pronóstico o de en caso de un desastre. la etapa de Respuesta es cuando alguna otra manera. Pero como no sabemos la magnitud ya ocurrió un desastre y se deben realizar acciones para del desastre o el tiempo en que ocurre es razonable evitar que se incrementen las consecuencias desastrosas. considerar la demanda de la zona afectada como Por último, la etapa de Recuperación es aquella en estocástica. que se llevan a cabo las acciones que devuelvan a la normalidad a la zona afectada, ya sea a corto o mediano También encontramos el trabajo [10] donde se plazo. busca tener un inventario de productos requeridos para UN MODELO PARA ENVIAR, RECIbIR Y DISTRIbUIR AYUDA EN ESPECIE DESPUéS DE HAbER OCURRIDO UN DESASTRE NATURAL POR: jOSé CAMACHO Y EDNA GONzÁLEz

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 59 después distribuirlos. Ellos proponen un algoritmo analizan un juego líder-seguidor donde se pretende heurístico basado en el método l-shaped, el cual es proteger instalaciones para prevenir la re-asignación de capaz de resolver problemas de gran escala y lo validan los clientes en caso de un ataque. El líder busca minimizar mediante un caso de estudio de la ocurrencia de un la suma de los costos incurridos para instalar, proteger huracán en el área de la costa del golfo de los Estados y utilizar esa instalación. El seguidor busca destruir las Unidos. instalaciones desprotegidas para afectar la capacidad En [11] en el 2012 proponen un modelo jerárquico de abastecimiento de las plantas no restantes. Para donde primero se busca restablecer los caminos dañados resolver el problema proponen un algoritmo basado en búsqueda tabú. También, en [14] formulan el problema por el desastre para después distribuir de mejor manera de protección de instalaciones como un programa bi- la ayuda solicitada. Es importante señalar que los nivel lineal mixto entero, el cual analiza el tiempo de autores hacen énfasis en la importancia de coordinar recuperación de un sistema después de un incidente la distribución de ayuda con el restablecimiento de los considerando que pueden ocurrir varios incidentes más a caminos. Para mostrar la validez de su modelo analizan través del tiempo. ninguno de estos tres trabajos analiza un caso de estudio basado en el terremoto de Haití. a una situación perteneciente a la etapa de respuesta. pesar de que estos modelos mencionan que consideran jerarquías, ninguno de ellos pertenece al área de Un trabajo que pertenece a la etapa de respuesta programación multi-nivel. igual que el problema que estamos analizando es el En cambio, el modelo que nosotros proponemos en [15] en el que consideran el problema bi-nivel en donde ocurrió un terremoto que afectó la red de carreteras de el presente trabajo es programación bi-nivel, la cual es la zona, entonces el líder trata de maximizar el lujo de un caso particular de programación multi-nivel en el cual vehículos que entran a la zona afectada para proveer solo se consideran dos niveles de decisión. El problema ayuda, mientras que los seguidores son los usuarios que considerado está enfocado en la eiciente distribución de buscan viajar por la ruta no afectada que minimice su la ayuda en especie recibida en los centros de acopio. tiempo de viaje. Esta situación genera tráico, lo cual Dicha ayuda deberá distribuirse a las zonas afectadas de impacta en las labores de ayuda y recuperación, por lo forma rápida y eicaz pero considerando que los países u que un organismo gubernamental debe de regular el uso organismos internacionales tratan de ayudar de tal forma de los caminos existentes. que les sea menos costoso el envío. nuestro problema de interés podría verse como el muchas situaciones reales involucran tomadores de siguiente problema bi-nivel: cuando ocurre una catástrofe decisiones en dos niveles los cuales están relacionados devastadora en alguna zona del mundo, muchos países y por una jerarquía prestablecida. El hecho de que exista organismos internacionales envían ayuda al país afectado. esta jerarquía implica que el problema sea considerado El nivel superior, el país afectado (líder) debe elegir el dentro de la categoría de optimización multi-objetivo. medio de transporte y la forma de distribuir rápidamente El área que engloba a ese tipo de problemas se llama los productos de ayuda. Se considera que existen varios Programación bi-nivel. puntos (centros de acopio) a donde puede llegar la ayuda Después de una extensa revisión de literatura nos y los lugares afectados que requieren ayuda demandarán dimos cuenta que en el área de logística humanitaria algunos productos de manera prioritaria. Por último, en hay muy pocos trabajos modelados como problemas de el nivel inferior, se asume que los países u organismos programación bi-nivel. Por ejemplo, desde el punto de internacionales (seguidores) que envían ayuda deciden vista de analizar desastres ocasionados por el hombre, libremente a cual centro de acopio enviarlo de tal forma en [12] consideran el problema de la amenaza terrorista que se minimice el costo del envío. Este problema es como un problema bi-nivel. En el nivel superior el innovador porque se considera por vez primera a la parte terrorista busca maximizar el daño ocasionado atacando que brinda ayuda no solamente al país afectado. no es al mínimo número de líneas de un sistema de energía descabellado considerar que quienes envían ayuda están mientras que en el nivel inferior se intenta minimizar interesados en reducir los costos de sus acciones, lo que las cargas derramadas ocasionadas por el ataque. El nos motiva a considerar el nivel inferior del problema problema bi-nivel propuesto resulta ser no-lineal mixto propuesto. entero y lo reducen a un problema lineal mixto entero de la organización del trabajo es la siguiente: la un solo nivel utilizando las condiciones de optimalidad segunda sección presenta la descripción del modelo. la de karush-khun-Tucker y algunas restricciones válidas tercera sección describe la reformulación matemática para evitar la no-linealidad. recientemente en [13] del modelo. la cuarta sección muestra el trabajo futuro y por último las referencias. UN MODELO PARA ENVIAR, RECIbIR Y DISTRIbUIR AYUDA EN ESPECIE DESPUéS DE HAbER OCURRIDO UN DESASTRE NATURAL POR: jOSé CAMACHO Y EDNA GONzÁLEz

60 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Modelo matemático de programación bi-nivel (4) El modelo puede describirse como sigue: sean i I los países u organismos internacionales que ayuden ∈ al país afectado; j J son lugares especíicos en donde (5) ∈ se puede recibir la ayuda en especie dentro del país afectado (centros de acopio); k ∈ K son los lugares con necesidad urgente para recibir ayuda; l ∈ L denota un producto especíico (agua potable, medicamentos, comida enlatada, ropa, papel, entre otros); y por último, sea m M el medio de transporte utilizado para enviar (6) ∈ o distribuir los productos (terrestre, aéreo o marítimo). Deinamos t 1 ijlm como el tiempo que tarda en llegar (7) un cargamento del producto l por el medio de transporte m desde el organismo de ayuda i hacia el centro de acopio j; de manera similar sea t 2 jklm el tiempo que tarda (8) en distribuirse un cargamento del producto l por el medio de transporte m desde el centro de acopio j hacia la zona afectada k. También se tendrá un volumen v que l ocupa un cargamento del producto l y en cada centro El problema binivel está deinido por (1)-(8). En de acopio j se cuenta con una capacidad de espacio (1) se presenta la función objetivo del nivel superior y limitada V . En cada zona afectada k se cuenta con una se aprecia que el líder quiere minimizar el tiempo total j demanda conocida D de cada artículo l, así como en de respuesta para distribuir la ayuda, esto es, el tiempo kl cada país u organismo de ayuda i se tiene un máximo necesitado para enviar desde el organismo de ayuda i de ayuda disponible H de cada producto l. Por último, hacia el centro de acopio j y de ahí hacia la zona afectada il sea c el costo de enviar un cargamento por el medio k. En (2) se tiene una restricción de espacio disponible ijm de transporte m desde el organismo de ayuda i hacia el en cada centro de acopio j; en (3) se tiene que satisfacer centro de acopio j. la demanda necesitada para cada producto l en cada zona las variables de decisión para nuestro problema afectada k y la restricción (4) restringe a que el número son: de embarques de cada producto tiene que ser no negativo. x = cantidad de cargamentos del producto l enviados la restricción (5) es la que convierte este problema ijlm por el medio de transporte m desde el país u organismo en uno binivel. Esta restricción implica que las variables de ayuda i hacia el centro de acopio j. x deben ser la solución óptima del problema (5)-(8). ijlm a (5) se le conoce como la función objetivo del nivel y jklm = cantidad de cargamentos del producto l distribuida inferior e indica que se quiere minimizar el costo de por el medio de transporte m desde el centro de acopio j enviar la ayuda de parte del organismo de ayuda i hacia hacia la zona afectada k. el centro de acopio j. la ecuación (6) dice que se debe Entonces tenemos que el modelo resultante es como de enviar solamente lo requerido para cada centro de sigue: acopio j de cada producto l. la expresión (7) asegura que un país u organismo de ayuda i no puede enviar más de una cantidad disponible del producto l y (8) señala la no negatividad para los embarques de cada producto (1) desde el organismo de ayuda i hacia el centro de acopio j. Durante este trabajo asumimos que se conocen tanto las zonas afectadas, la ubicación de los centros de acopio y los organismos que están disponibles para ayudar; así como un organismo central que coordina a dichos países (2) u organismos de ayuda para no enviar ayuda innecesaria. además, consideramos que no hay restricciones en cuanto al número de vehículos disponibles por cualquier (3) medio para la distribución de la ayuda. UN MODELO PARA ENVIAR, RECIbIR Y DISTRIbUIR AYUDA EN ESPECIE DESPUéS DE HAbER OCURRIDO UN DESASTRE NATURAL POR: jOSé CAMACHO Y EDNA GONzÁLEz

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 61 El esquema del modelo es: El líder (país afectado) decide cómo distribuir la ayuda desde los centros de acopio hacia los lugares necesitados, esto es, ija las y jklm . Debido a esto, se conjunta una demanda conocida de cada producto l que el país afectado está solicitando en cada centro de acopio j. basado en esa demanda, una organización humanitaria trata de coordinar a los demás países u organismos de ayuda que quieran participar enviando los embarques de ayuda de tal forma que minimicen el costo de envío y se cumplan con las condiciones de demanda. Esto es, se deciden las x . ahora con las y jklm y x el líder evalúa su función ijlm ijlm objetivo para minimizar el tiempo de distribución que requiere para enviar a las zonas afectadas k. El diagrama se presenta en la Figura 1. Figura 1. Diagrama del problema Reformulación del modelo En esta sección reformularemos el problema binivel en un problema de programación no lineal de un solo nivel. Es fácil verse que si en el problema binivel (1)- (8) se ijan las variables y jklm , entonces el problema del nivel inferior (5)-(8) se convierte simplemente en un problema de transporte. Entonces, este problema del (13) nivel inferior puede ser remplazado por las condiciones de optimalidad del problema primal y dual. Deinamos a α , j J, l L y a β , i I,l L como las variables ∀ ∈ ∈ ∀ ∈ ∈ jl il duales correspondientes a las restricciones (6) y (7) (14) respectivamente. El problema dual asociado al nivel inferior está (15) formado por: (9) (16) (17) (10) (18) (11) (19) (12) (20) Siguiendo con la teoría existente sobre reducciones de problema de programación binivel procedemos a (21) utilizar la igualdad de las funciones objetivo de ambos niveles para tener el problema de programación no lineal (22) de un solo nivel: UN MODELO PARA ENVIAR, RECIbIR Y DISTRIbUIR AYUDA EN ESPECIE DESPUéS DE HAbER OCURRIDO UN DESASTRE NATURAL POR: jOSé CAMACHO Y EDNA GONzÁLEz

62 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO la restricción (13) es la función objetivo del problema no lineal de un solo nivel. las restricciones (14)-(17), (20) y (21) nos brindan la factibilidad primal. las restricciones (18) y (22) nos aseguran la factibilidad dual. Por último, la restricción (19) nos garantiza que se obtenga el óptimo del problema del nivel inferior; sin embargo, también nos hace perder la linealidad del modelo. Otra forma es quitar la ecuación (19) y considerar las restricciones de holgura complementaria (23) (24) Pero evidentemente podemos apreciar que estas ecuaciones de complementariedad también nos hacen perder linealidad. Trabajo Futuro Esta investigación está actualmente en proceso y se están consiguiendo los datos reales del terremoto ocurrido en chile en 2010 para llevar a cabo un caso de estudio sobre ese acontecimiento. además al modelo se le pueden agregar las restricciones de balanceo de la ayuda recibida en los centros de acopio para que no se saturen mientras que otros tengan mucho espacio disponible. También podemos identiicar que este problema cae dentro de la categoría de los modelos de programación binivel con el parámetro en el lado derecho únicamente. Para este tipo de problema ya se han desarrollado algunos algoritmos especiales para resolverlos por lo que analizaron su implementación para solucionar nuestras instancias. Otra posible extensión de este trabajo es que podemos considerar la eliminación de arcos de la red y después su incorporación a la misma. Esto, simulando la destrucción de algún camino y después su restablecimiento para la utilización. UN MODELO PARA ENVIAR, RECIbIR Y DISTRIbUIR AYUDA EN ESPECIE DESPUéS DE HAbER OCURRIDO UN DESASTRE NATURAL POR: jOSé CAMACHO Y EDNA GONzÁLEz

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 63 Referencias Datos del autor: [1] caunhye, a.m., nie, X., and Pokharel, S., \"Optimization models José Fernando Camacho Vallejo in Emergency logistics: a literature review\". Socio-Economic Planning Science. vol. 46, pp. 4-13. 2012. El Dr. camacho tiene licenciatura en matemáticas por la [2] Wang, Q. and rong, l. \"agile knowledge Supply chain for facultad de ciencias físico-matemáticas de la Universidad autónoma de nuevo león, maestría en ciencias en ingeniería Emergency Decision-making Support\". Proceedings of the 7th con especialidad en ingeniería industrial por arizona State international conference on computational Science, Part iv. pp. University y Doctorado en ciencias de la ingeniería con 178-185. 2007. especialidad en ingeniería industrial otorgado por el iTESm [3] ji, g. and Zhu, c., \"a Study on Emergency Supply chain and campus monterrey. actualmente se encuentra laborando risk based on Urgent relief Service in Disasters\". Systems como profesor-investigador exclusivo y de tiempo completo Engineering Procedia. vol. 5, pp. 313-325. 2012. en cicfim y es coordinador del Posgrado en ciencias con [4] altay, n. and green, W.g. \"interfaces with other Disciplines Or/ Orientación en matemáticas de la fcfm en la Uanl. las mS research in Disaster Operations management\". European líneas de investigación de interés son resolución de problemas journal of Operational research. vol. 175, pp. 475-493. 2006. de investigación de operaciones, en particular sobre teoría y [5] Sheu, j.b. and chen, Y.H. \"a novel model for Quick response aplicaciones de programación binivel, diseño de métodos numéricos y técnicas heurísticas para resolver problemas de to Disaster relief Distribution\". Proceedings of the Eastern asia programación binivel. Society for Transportation Studies. vol. 5, pp. 2454-2462. 2005. [6] Sheu, j.b. \"an Emergency logistics Distribution approach Dirección del autor: ciudad Universitaria, S/n, c.P. 66451, for Quick response to Urgent relief Demand in Disasters\". San nicolás de los garza, nuevo león, méxico. Transportation research Part E. vol. 43, pp.687-709. 2007. Email: [email protected] [7] rath, S. and gutjahr, W.j. \"a math-Heuristic for the Warehouse location-routing Problem in Disaster relief\". computers & Operations research. in Press. Edna Lizet González Rodríguez [8] rathi, a.k., church, r.l. and Solanski, r.S. \"allocating Tiene licenciatura en ciencias computacionales por la facultad resources to Support a multicommodity flow with Time de ciencias físico matemáticas de la Universidad autónoma Windows\". logistics and Transportation review. vol. 28, pp. de nuevo león. actualmente se encuentra estudiando la 167-188. 1993. maestría en ciencias con orientación en matemáticas en la [9] Wex, f., Schryen, g. and neumann, D. \"intelligent Decision facultad de físico matemáticas de la Universidad autónoma Support for centralized coordination during Emergency de nuevo león. response\". Proceedings of the 8th international iScram Dirección del autor: ciudad Universitaria, S/n, c.P. 66451, conference. 2011. San nicolás de los garza, nuevo león, méxico. [10] rawls, c.g. and Turnquist, m.a. \"Pre-positioning of Emergency Supplies for Disaster response\". Transportations research Part Email: [email protected] b. vol. 44, pp. 521-534. 2010. [11] liberatore, f., Ortuño, m.T., Tirado, g. and Scaparra, m.P. \"a Hierarchical compromise model for the joint Optimization of recovery Operations and Distribution of Emergency goods in Humanitarian logistics\". computers & Operations research. in Press. 2012. [12] arroyo, j.m. and galiana, f.D. \"One the Solution of the bi-level Programming formulation of the Terrorist Threat Problem\". iEEE Transactions on Power System. vol. 20, no. 2. may 2005. [13] aksen, D. and aras, n. \"a bi-level fixed charge location model for facilities under imminent attack\". computers & Operations research. vol. 39, pp. 1364-1381. 2012. [14] losada, ch., Scaparra, m.P. and O’Hanley, j.r.. \"Optimizing System resilience: a facility Protection model with recovery Time\". European journal of Operational research. vol. 217, pp. 519-530. 2012. [15] feng, c.m. and Wen, c.c. \"a bi-level Programming model for allocating Private and Emergency vehicle flows in Seismic Disaster areas\". Proceedings of the Eastern asia Society for Transportation Studies. vol. 5, pp. 1408-1423. 2005. UN MODELO PARA ENVIAR, RECIbIR Y DISTRIbUIR AYUDA EN ESPECIE DESPUéS DE HAbER OCURRIDO UN DESASTRE NATURAL POR: jOSé CAMACHO Y EDNA GONzÁLEz

64 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO méTODOS Y mODElaDO maTEmáTicO Para El análiSiS DE PrOcESOS cOmPlEjOS En laS OrganiZaciOnES Héctor raymundo flores Cantú UANL-FCFM Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Físico Matemáticas San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México Resumen: Existen diversas ramas de la matemática que pueden ser aplicadas en la solución de problemáticas reales. Sin embargo, suelen verse como una colección independiente de herramientas y es difícil visualizar una estructura uniicada. En este trabajo se presentará una propuesta para esta estructura con el objetivo de facilitar la tarea de detección de oportunidades para el uso de métodos matemáticos en el análisis de procesos complejos, especialmente relacionado con empresas o industrias. Esta discusión permitirá ofrecer una metodología para explorar las posibilidades de uso de matemáticas en las problemáticas de las organizaciones. Este documento es producto del trabajo colaborativo del autor con consultores y modeladores de la empresa aleph5, quienes han trabajado directamente en decenas de proyectos que involucran modelos y métodos matemáticos en las más diversas industrias. Palabras claves: matemática aplicada, modelado matemático, análisis de Procesos complejos

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 65 Introducción Análisis de procesos complejos la matemática es la disciplina que procura la antes que nada, debo aclarar que al hablar de complejidad comunicación perfecta. los objetos matemáticos no nos referimos a la deinición matemática, sino a la están diseñados con este objetivo. Esta característica deinición popular. así, al hablar de un proceso complejo la convierte en una herramienta útil en el análisis y nos referimos a un proceso difícil de entender; pero tratamiento de todo tipo de problemas complejos, tanto profundizaremos en lo que esto signiica a continuación. en el ámbito cientíico como en las organizaciones la palabra analizar se usa indiscriminadamente en (empresas o industrias). muchos contextos, sin embargo este vocablo tiene un Durante la primera década del siglo XXi hemos signiicado muy preciso; se reiere en términos generales visto un desarrollo importante de las aplicaciones de a la descomposición de un todo en partes para facilitar esta disciplina en las industrias y un incremento en el su estudio. la diicultad de analizar consiste en que reconocimiento de las organizaciones y gobiernos en no existe una forma única o correcta de realizar esta su importancia. ver por ejemplo la referencia [1] para descomposición y dos expertos distintos pueden sugerir entender la importancia de la matemática en Europa enfoques diferentes pero complementarios para esta desde el punto de vista de alemania. Esto, a pesar de tarea. que desde los 80’s y antes, comienza a generarse una En el caso particular de aquellos procesos vinculación entre empresas y academia en algunas susceptibles a ser tratados con métodos matemáticos, instituciones aisladas como lo registra friedman en la la experiencia nos muestra que su complejidad puede referencia [2]. analizarse estudiando las siguientes cuatro características El presente trabajo, es un resumen de algunas ideas de los mismos. relacionadas con la diicultad de aplicar la matemática en la generación de valor y el análisis de procesos 1. Existen muchos factores interconectados reales complejos. representa el resultado de un trabajo colaborativo entre el autor y expertos de la empresa 2. Hay varios objetivos en conlicto aleph5 quienes tienen más de 25 años de experiencia en 3. El entorno del proceso es dinámico el uso de modelos matemáticos en proyectos aplicados. Esto con el objetivo de responder de una forma lo más 4. Siempre existe un grado de incertidumbre estructurada y simple posible a la pregunta que muchas organizaciones se hacen respecto a la posibilidad la razón por la que la matemática sirve de apoyo en de utilizar métodos o modelos matemáticos para el este tipo de procesos, es justo por su tratamiento de estos tratamiento de sus problemáticas. cuatro tipos de complejidades. los proyectos aplicados donde se han usado estos factores interconectados: cuando un proceso métodos con éxito, no son fáciles de encontrar en la o situación presenta un funcionamiento que no es el literatura; principalmente debido a la usual negativa esperado, es posible que cualquier observador pueda de las empresas por publicar resultados de enfoques detectarlo; sin embargo, tomar medidas para corregirlo y análisis que pudiesen beneiciar a su competencia. requiere de conocimiento profundo del proceso. Esto Usualmente solo es posible referenciar trabajos sucede por la existencia de muchos factores inherentes al realizados a organizaciones no lucrativas como es proceso que se relacionan de formas difíciles de prever. el caso de la referencia [3] donde parte del equipo de Esta complejidad se maniiesta cuando al ajustar uno de aleph5 colaboró en la automatización del suministro de los factores, se genera un efecto inesperado o no deseado agua en la ciudad de jacksonville, florida. en el resto de ellos. lo que sí podemos adelantar es que existen diversas Una de las mejores analogías es la de una formas en que esta disciplina puede utilizarse para la telaraña, donde al intentar ajustar una parte de ella, se generación de valor y en especial para el análisis de generan repercusiones en toda la red de formas difíciles procesos complejos. Para iniciar la discusión, haremos de predecir. Esto signiica que en un proceso complejo, justamente un análisis de lo que se entiende en las resulta imposible aislar solo una parte del mismo para organizaciones como un proceso “complejo”. realizar ajustes. MéTODOS Y MODELADO MATEMÁTICO PARA EL ANÁLISIS DE PROCESOS COMPLEjOS EN LAS ORGANIzACIONES POR: HéCTOR FLORES CANTú

66 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Un enfoque correcto hacia esta complejidad consiste en un sistema de soporte a la toma de decisiones o DSS en el diseño de un modelo matemático del proceso por sus siglas en inglés (Decision Support Systems). que incluya todos los factores relevantes. al modelar Entorno dinámico: En todo tipo de problemáticas matemáticamente siempre debemos sacriicar algunos reales, la toma de decisiones está inmersa en un entorno aspectos de la situación y es aquí donde la experiencia siempre cambiante. las decisiones no solo deben del modelador adquiere suma importancia. considerar los factores indicados, sino que es necesario Uno de los errores más comunes consiste en considerar que todos ellos están en continuo cambio. menospreciar la importancia de construir un modelo Está dinámica puede hacer que una buena decisión hoy, lexible que releje las necesidades, aspectos importantes no sea tan buena en el futuro y nos obliga a procurar particulares del proceso y que facilite su uso. En muchos un tiempo relativamente rápido de respuesta en todo casos los modelos genéricos existentes en software análisis realizado. prediseñado no generan el valor esperado o requieren de muchos responsables de procesos reconocen este mucho trabajo y entendimiento profundo para su ajuste aspecto como el más difícil de tratar. En ocasiones particular. es posible realizar análisis cualitativos utilizando lo más recomendable es dedicar un esfuerzo serio herramientas computacionales simples como hojas a construir un modelo matemático especíico para el de cálculo en algunas horas o días, pero los cambios proceso que busca analizarse y apoyarse en expertos siempre presentes en las condiciones reducen la validez en el área de modelado. De esta forma, el diseño de un de los mismos, siendo difíciles y tediosos de realizar. modelo adecuado es trabajo conjunto de expertos en el aunque los modelos matemáticos y los algoritmos proceso real y en modelado matemático. Este esfuerzo aceleran los análisis, no sirven por si mismos para tratar rendirá frutos valiosos al momento de usar el modelo en los cambios continuos. Un enfoque para enfrentar esta la práctica. diicultad, consiste en diseñar diferentes modelos del Objetivos en conlicto: Sin importar la situación, mismo proceso para cada escala diferente de tiempo. nunca existe un objetivo único que nos permita evaluar Esto representa una separación de la toma de decisiones el funcionamiento de un proceso. Si nos enfocamos en distintos niveles. mencionaremos al menos cuatro en reducir costos, afectamos la calidad o el servicio, si niveles en los que se enfoca la toma de decisiones queremos mejorar la calidad, aumentaremos los tiempos mediante el uso de modelos matemáticos. de proceso, etc. En prácticamente todos los procesos complejos reales, existen varios objetivos o indicadores 1. nivel estratégico: En este nivel se toman en conlicto. decisiones sobre los objetivos del negocio o del Esta situación requiere de un enfoque de toma proceso. Esto requiere un conocimiento real del de decisiones basado en un balance de objetivos. Un entorno y del proceso mismo que puede adquirirse mediante análisis de datos. los objetivos son a mito popular es que los métodos matemáticos pueden largo plazo y las decisiones recaen el las áreas automatizar la toma de decisiones. Esto solo sucede directivas. en casos muy especíicos (por ejemplo en el control automático). Sin embargo, aún en estos casos, el 2. nivel de planeación: Entendemos por planeación, control debe ser diseñado por un experto que haya a las decisiones relativas a la distribución de considerado previamente las decisiones que representan recursos a las distintas áreas para que estén el comportamiento que se espera. En la mayoría de los disponibles en el momento y lugar adecuados, casos, los modelos y algoritmos se utilizan para apoyar la posibilitando así el logro de los objetivos toma de decisiones iltrando opciones malas y entregando estratégicos. Estas decisiones se toman de forma al tomador de decisiones solamente un conjunto pequeño periódica (semanal o mensual) dependiendo del de buenas opciones entre las que se debe elegir una. En tipo de proceso. casi todos los casos, incluso se requiere de un proceso 3. nivel de programación: la programación se cíclico antes de llegar a una decisión inal. reiere a la asignación de tareas, responsables las áreas de optimización y en particular y recursos especíicos que lleven a cabo el optimización multi-objetivo (así como optimización plan del nivel anterior. En este nivel se incluye multinivel) ofrecen alternativas adecuadas para el también el tiempo como un recurso. En resumen, tratamiento de esta complejidad; es decir, para el balance la planeación determina de manera detallada de indicadores. Estas herramientas suelen ser incluidas la forma en que se ejecutarán las actividades MéTODOS Y MODELADO MATEMÁTICO PARA EL ANÁLISIS DE PROCESOS COMPLEjOS EN LAS ORGANIzACIONES POR: HéCTOR FLORES CANTú

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 67 necesarias para la obtención de los resultados Técnicas de modelado matemático esperados. Un programa suele diseñarse con una Existe una diversidad de técnicas de modelado frecuencia diaria o a lo más semanal. Suele ser apropiadas para cada tipo de situación que se requiere una mala idea (o pérdida de tiempo) el realizar analizar. Sistemas matriciales, ecuaciones diferenciales o programaciones a más de un mes de resolución, algebraicas, autómatas celulares, simulaciones, sistemas esto debido a la enorme incertidumbre existente. de reglas, sistemas dinámicos, redes neuronales, etc. 4. nivel de ejecución: El nivel más dinámico de cada tipo de modelo resulta adecuado dependiendo de toma de decisiones trata con la detección del los factores especíicos involucrados en el proceso y cumplimiento de los programas y el tratamiento podemos utilizar los cuatro niveles de toma de decisiones de desviaciones. las cosas no siempre ocurren de antes discutidos para sugerir los tipos de modelos que acuerdo a lo programado y es necesario tener la podrían ser de utilidad. capacidad de reaccionar ante estos imprevistos, la tabla 1 representa solo una tendencia y se reiere sea mediante acciones especíicas o mediante a que frecuentemente ese tipo de modelos resultan más la emisión de mensajes que permitirán a los apropiados para el nivel indicado. Es posible que algunas responsables reasignar recursos o redeinir tareas. técnicas de modelado hayan sido aplicadas de forma más En este nivel, las decisiones son en tiempo amplia en ciertos casos. al lector interesado en temas de real y en algunos procesos pueden incluso modelado matemático se le sugiere iniciar con literatura automatizarse. como las referencias [4,5]. Incertidumbre: En algunos procesos, existe mucha información incierta ya sea debido a la falta de ella o a Tabla 1.Técnicas de modelado de acuerdo al nivel de los errores inherentes. El manejo de la incertidumbre en toma de decisiones los procesos debe ser uno de los primeros aspectos que Nivel de Técnica de modelado debe discutirse ya que existen formas muy variadas de toma de decisiones matemático tratar con ella. En algunos procesos se considera que los datos que recibimos son de calidad suiciente y podemos, Estratégico Visuales/Estadísticos de manera segura, ignorar la incertidumbre. En casos Planeación Sistemas matriciales pueden diseñarse procesos adicionales para este manejo, Programación Simulaciones Sistemas como es el caso del proceso de inventarios que tiene el Ejecución de reglas objetivo especíico de absorber la incertidumbre en la demanda. Siempre es posible realizar simulaciones o Técnicas de visualización aplicar métodos estocásticos, sin embargo debemos En los últimos años, el desarrollo informático ha traído ser cuidadosos porque estos enfoques tienden a crear una riqueza en técnicas y métodos para la visualización una complejidad muy alta en los modelos y pueden de datos mediante el desarrollo de la computación volverlos imprácticos. En cualquier caso, conviene gráica y el manejo de información multimedia. Un realizar un análisis de riesgos para entrar de manera más buen diseño de visualización permite condensar la informada en la etapa de modelado ante la posibilidad información importante facilitando así el proceso de de incertidumbre; esto, porque no todo lo que ignoramos toma de decisiones. ver por ejemplo la referencia [6] así tiene el mismo impacto en lo que nos interesa. como otros libros del mismo autor. Métodos matemáticos más utilizados Optimización matemática cada tipo de problemática requiere del uso particular de con optimización nos referimos a todos los tipos de uno o varios métodos matemáticos. Es difícil establecer ella (lineal, cuadrática, entera, convexa, no-lineal, de manera deinitiva los métodos adecuados para cada combinatoria, estocástica, bi-nivel, multicriterio, problema, esto siempre cambia de acuerdo a la situación. etc.). En la literatura, el estudio de los algoritmos Sin embargo, podemos detectar ciertas tendencias en correspondientes recibe el nombre de programación cuanto a los métodos que suelen generar un valor mayor matemática en lugar de optimización matemática, lo de acuerdo al tipo de problemática a la que enfrentamos. que puede causar algunas confusiones. así por ejemplo, MéTODOS Y MODELADO MATEMÁTICO PARA EL ANÁLISIS DE PROCESOS COMPLEjOS EN LAS ORGANIzACIONES POR: HéCTOR FLORES CANTú

68 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO la programación lineal se reiere a los algoritmos para de ejecución dentro de un sistema de monitoreo y control. resolver problemas de optimización basados en modelos Análisis y minería de datos lineales. Dos referencias muy recomendables para optimización son [7,8]. El diseño de modelos adecuados requiere de un El tipo de algoritmos se basa completamente en el conocimiento profundo de los procesos involucrados. En general, este conocimiento puede provenir de la tipo de modelo matemático que se haya diseñado para experiencia de los expertos, pero en casi todos los casos el proceso. Por mencionar un ejemplo, los modelos de los modelos se alimentan al parcialmente de relaciones sistemas matriciales se abordan con programación lineal descubiertas a partir de su comportamiento histórico. (en ocasiones binaria, entera o cuadrática), mientras Esto por medio de análisis estadísticos o de patrones los modelos de ecuaciones algebraicas o diferenciales encontrados mediante métodos de minería de datos. pueden usar programación convexa y no-lineal. así, la optimización se usa frecuentemente en los El propósito del análisis de datos es extraer de los niveles de planeación y programación, permitiendo el datos históricos (existentes o producto de un diseño de experimentos); información útil para la creación de los tratamiento de modelos con decenas o cientos de miles modelos que apoyarán la toma de decisiones. (en ciertos casos incluso millones) de variables de forma simultánea. Existen muchos algoritmos comerciales aunque el análisis de datos se reiere por deinición [gurobi y cplex entre otros] que tratan este tipo de al análisis de lo que ya sucedió, el realizar estos análisis modelos aunque su uso no es nada sencillo, requiriendo de forma correcta permite tener una mejor visión de lo un entendimiento profundo del comportamiento del que podemos esperar en el futuro. Una introducción a modelo matemático construido y al menos buenas este tema es la referencia [10]. nociones de las bases teóricas del algoritmo utilizado. Problemas y métodos matemáticos Heurísticos la Figura 1 muestra un resumen de la forma en que los heurísticos son en esencia algoritmos muy similares los métodos matemáticos suelen ser aplicados en el a los de optimización, pero son usados cuando la tratamiento de problemáticas reales de acuerdo al nivel estructura de los modelos no es apropiada para esos de toma de decisiones correspondiente. últimos. a diferencia de la optimización, los heurísticos no garantizan una solución matemática al problema de optimización. aún con esta deiciencia, los heurísticos Conclusiones y agradecimientos pueden ofrecer soluciones útiles en diferentes situaciones El uso de métodos y modelos matemáticos en problemas cuando no existe algoritmo matemático conocido o si la de organizaciones en este inicio de siglo XXi resulta estructura matemática del modelo obtenido no es simple. muy similar el uso de las computadoras en los años 80’s. a diferencia de los algoritmos de programación lineal, con muchas expectativas, promesas pero nada simple de entera o cuadrática, hay pocos heurísticos comerciales implementar correctamente y con muchas decepciones. recomendables, debido a que realmente deben ser creados ad-hoc. Solo en ciertos casos (como en las redes neuronales) es posible encontrar software comercial con heurísticos implementados. Una buena introducción a algoritmos heurísticos (y su implementación) es la referencia [9]. Sistemas expertos De forma muy simplista, podemos decir que los sistemas expertos buscan emular un sistema de decisiones automatizado basado en el conocimiento organizado de expertos humanos. Estos sistemas requieren siempre de una etapa considerable de diseño y entrenamiento, así como una colaboración muy cercana con los expertos en el proceso (sin mencionar su interés en colaborar activamente en el desarrollo). Se utilizan cuando se requiere automatizar decisiones en particular en el nivel Fig. 1 Tipos de problemas y métodos matemáticos. MéTODOS Y MODELADO MATEMÁTICO PARA EL ANÁLISIS DE PROCESOS COMPLEjOS EN LAS ORGANIzACIONES POR: HéCTOR FLORES CANTú

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 69 la matemática es una disciplina muy soisticada y con una diversidad de métodos al grado que en la actualidad no existe una sola persona capaz de dominar todos sus aspectos. como consecuencia de esto, su aplicación en el análisis de problemáticas complejas requiere mucha experiencia y en particular trabajo colaborativo entre directivos, expertos en el proceso, matemáticos modeladores, expertos en los algoritmos adecuados y en tecnologías de información. a cambio de tener en cuenta estas diicultades, una organización puede verse muy recompensada, debido a la capacidad de generación de valor que puede generar un modelo matemático adecuado para el proceso incluido en un sistema de toma de decisiones bien diseñado. agradezco en particular al equipo de modeladores, consultores y desarrolladores de la empresa aleph5 (ver referencia [11]) por compartir mucha de su experiencia en el enfoque de proyectos aplicados en diversas empresas, así como por aportar con ideas y sugerencias para los puntos aquí tratados. Referencias Datos del autor: [1] greuel, g.m., remmert, r. und rupprecht, g. Mathematik – Héctor Raymundo Flores Cantú Motor der Wirtschaft. Springer. 2008. El autor es matemático egresado de la Universidad de [2] friedman, a. y littman, W. Industrial Mathematics: A Course in guanajuato y el centro de investigación en matemáticas, Solving Real-World Problems. Society for industrial and applied cimaT. realizó estudios de maestría en matemáticas mathematics. 1987. industriales y Doctorado en Optimización en la Universidad [3] barnett, m., lee, T. and jentgen, l. Real-time Automation de kaiserslautern, alemania y el instituto fraunhofer para matemáticas industriales y Económicas. Es profesor de of Water Supply and Distribution for the City of Jacksonville. la Uanl en el Posgrado en ciencias con orientación en florida, USa. Eica 9-3. 2004. matemáticas. Su área de especialidad es la colaboración en [4] Edward, D. Guide to Mathematical Modelling. industrial Press. proyectos aplicados relacionados con modelado matemático, 2007. optimización, así como análisis y minería de datos. [5] morrison, f. The Art of Modeling Dynamic Systems: Forcasting Dirección del autor: Playa Olas altas no. 3433 col. Primavera, for Chaos, Randomness and Determinism. Dover Publications. c.P. 64830, monterrey, nuevo león, méxico. 2008. [6] Tufte, E. r. The Visual Display of Quantitative Information. Email: [email protected] graphics Pr. 2001. [7] Schrijver, a. Theory of Linear and Integer Programming. Wiley. 1998. [8] Schrijver, a. Combinatorial Optimization. Springer. 2003. [9] Skiena, S. S. The Algorithm Design Manual. Springer. 2010. [10] berthold, m. r. borgelt, c. Hoppner, f. and klawonn, f. Guide to Intelligent Data Analysis: How to Intelligently Make Sense of Real Dat. Springer. 2011. [11] aleph 5. http://www.aleph5.com 2013. MéTODOS Y MODELADO MATEMÁTICO PARA EL ANÁLISIS DE PROCESOS COMPLEjOS EN LAS ORGANIzACIONES POR: HéCTOR FLORES CANTú

70 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO SEgUriDaD En vOZ SObrE rEDES DE DaTOS juan Carlos flores garcía UANL-FCFM Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Físico Matemáticas San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México Resumen: En la actualidad, las facilidades tecnológicas en el área de las telecomunicaciones cada vez están al alcance de las personas y demanda de datos realizada por los usuarios a través de las redes sociales, videos, audio, etc. actualmente, muchos dispositivos electrónicos cuentan con conectividad hacia el internet y pueden ser usados como otra alternativa de conectividad de voz con alta movilidad y con un bajo costo. Hablaré de sus características, operación y componentes. Palabras claves: voice security, data network and convergence

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 71 Introducción a inales de la década de los 70’s cuando las redes informáticas empiezan a tomar gran importancia para la administración de los recursos de las empresas, se empiezan a diseñar redes de datos de baja velocidad transportadas sobre las redes telefónicas existentes, utilizando módems (modulador de modulador) para transmitir los datos. Estas líneas telefónicas eran de baja calidad y transportaban señales análogas de ahí la necesidad de este equipo. actualmente, las redes de datos son utilizadas para transmitir voz, sonido e imágenes gracias a las tecnologías de punta y medios de alta calidad, convergiendo así ambas redes. Información Básica la voz es una señal análoga cuyo comportamiento genera Figura 1. Señal análoga diversos estados y está expuesta a múltiples alteraciones de la información conocidos como ruidos que interieren en la misma como lo muestra la Figura 1. Por otra parte, la señal digital está compuesta por dos estados (0,1), de esta forma está menos expuesta a la alteración de la señal por ruidos, obteniendo una mejor calidad de la información; sin embargo, se requiere de contar con una tecnología de punta y medios de alta calidad que puedan transportar señales digitales a muy alta velocidad. Para poder transportar una señal analógica por medios digitales se requiere de su conversión. Para llevar a cabo esta función se utiliza la técnica de modulación de Pulsos codiicados (Pcm), que convierte una señal análoga a una señal digital [1] Figura 2. Se recupera con el proceso inverso, de digital a analógico Figura 2. Transmisión PCM [1] como se muestra en la Figura 3. En este proceso se pierde parte de la información, la cual no es detectada por el oído humano. las redes telefónicas se transforman de analógicas a digitales, así como las redes de transporte de información. las redes pueden transportar cualquier información, voz datos y video, que este en señales digitales. Redes IP las redes de datos utilizan una nueva plataforma basada en protocolo de internet (iP). El internet, una red de redes, en la cual los paquetes de datos viajan a todo lo largo y ancho del mundo dando una nueva alternativa de comunicar todo tipo de información a cualquier lugar que exista conectividad. Figura 3. Recepción PCM SEGURIDAD EN VOz SObRE REDES DE DATOS POR: jUAN CARLOS FLORES GARCÍA

72 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Esta red está basada en el modelo de referencia TcP/iP como se muestra en la Figura 4. Este modelo estaba diseñado para transportar paquetes de datos sobre medios de calidad pobre, así que se tenía que asegurar que los datos llegarán a su destino, por lo que la base de este modelo está en la capa de TcP, cuyo protocolo se encarga de controlar la transferencia de información. Por otro lado, para encontrar a los usuarios de la red, solo se requiere contar con una dirección lógica iP (Protocolo de internet). así que si hablamos de transmitir una señal de voz por una red de datos tenemos que considerar varios factores. Figura 4. Modelo TCP/IP la transmisión de voz está basada en una plataforma de conmutación de circuitos; esto signiica que el abonado fuente y el abonado destino tienen que estar interconectados para que se pueda llevar a cabo la comunicación y además que la información debe de enviarse en secuencia o de forma continua. Por lo tanto, el manejar una señal de voz en forma digital sobre una red de paquetes de datos se tiene que tratar de diferente manera para asegurar su comunicación efectiva. la convergencia de diferentes tipos de señales de información por la misma red de paquetes de datos conlleva a crear nuevos protocolos según el tipo de señal. Dentro del modelo TcP/iP se encuentra el protocolo UDP [2], Figura 5, que debido a sus características de ser un protocolo ligero en el manejo de los paquetes y, a que su formato o trama es más pequeña que el de TcP [3] Figura 6, es adecuado para manejar cualquier tipo Figura 5. Formato UDP de información que requiera de minimizar el tiempo de tránsito o retardo de la señal, la cual es muy importante para la comunicación de voz. Para que esta comunicación sea efectiva no debe de haber un retardo mayor de 150 mseg. Estándares H los estándares H se diseñaron para la transmisión de señales análogas sobre redes de paquetes de datos. Dentro de estos estándares se encuentran protocolos cuyas funciones son mantener y asegurar que los paquetes de datos de voz o señal análogas en tiempo real tengan cierta prioridad al ser transmitido por redes de datos. Dentro de estos protocolos tenemos: rTP RTCP Figura 6. Formato TCP RSVP SEGURIDAD EN VOz SObRE REDES DE DATOS POR: jUAN CARLOS FLORES GARCÍA

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 73 El protocolo rTP [4] proporciona coniabilidad a análogas sobre redes de datos, el cual es una mejora de la información analógica que requiera de ser transmitida H323. en tiempo real como lo muestra la Figura 7. Este protocolo, como su nombre lo dice, establece El protocolo rTcP [4] ayuda a controlar la la comunicación por medio de sesiones entre agentes información y se enfoca a ver la parte de la recepción o usuarios y servidores haciendo más eiciente la destino, el formato es mostrado en la Figura 8. comunicación de voz sobre redes de datos, Figura 12. El protocolo rSvP se encarga de asegurar una Conclusión conexión, así se emulara un circuito entre la fuente y el El utilizar estas nuevas tecnologías de punta y los destino; ver Figura 9. medios de comunicación de alta calidad, le permiten al así el protocolo H323 establece una relación de usuario una mejora continua en costos y calidad de sus protocolos como lo muestra la Figura 10 y su modelo comunicaciones, siendo estos cada vez más comunes en estructural en la Figura 11. nuestra vida diaria ya que por ejemplo, podemos estar Estándar SIP en cualquier parte del mundo y hacer llamadas por un dispositivo inteligente como si fueran llamadas locales El estándar SiP [5] (Protocolo de iniciación de Sesión) e incluso enviar documentos o fotografías en cuestión es otro protocolo que se utiliza para transmitir señales de minutos. Figura 7. Formato RTP Figura 8. Formato RTCP Figura 11. Modelo estructural H323 Figura 9. Formato RSVP. Figura 10. Protocolo H323 Figura 12. Arquitectura SIP SEGURIDAD EN VOz SObRE REDES DE DATOS POR: jUAN CARLOS FLORES GARCÍA

74 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Referencias Datos del autor: [1] Scientiic american, april. 1998. M.C. Juan Carlos Flores García [2] Postel, j. User Datagram Protocol. rfc 768 (Standard). http:// Es ingeniero en Electrónica y comunicaciones en la www.ietf.org/rfc/rfc768.txt. 1980. Universidad autónoma de nuevo león; realizó sus estudios [3] Postel, j. Transmission control Protocol. rfc 793 (Standard), de Posgrado con la maestría en ciencias de la ingeniería Url http://www.ietf.org/rfc/rfc793.txt, updated by rfcs 1122, con especialidad en Telecomunicaciones, en fimE-Uanl, 3168. 1981. Profesor Tiempo completo, facultad de ingeniería mecánica [4] Schulzrinne, H., casner, S., frederick, r., and jacobson, v. rTP: y Eléctrica, Uanl; colabora como docente de Posgrado de la facultad de ciencias físico matemáticas; cuenta con peril a Transport Protocol for real-Time applications. rfc 3550 PrOmEP. (Standard), Url http://www.ietf.org/rfc/rfc3550.txt, updated by rfc 5506. 2003. Email: [email protected] [5] rosenberg, j., Schulzrinne, H., camarillo, g., johnston, a., Peterson, j., Sparks, r., Handley, m., and Schooler, E. SiP: Session initiation Protocol. rfc 3261(Proposed Standard), Url http://www.ietf.org/rfc/rfc3261.txt, updated by rfcs 3265, 3853, 4320, 4916, 5393. 2002. SEGURIDAD EN VOz SObRE REDES DE DATOS POR: jUAN CARLOS FLORES GARCÍA

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 75 SínTESiS Y caracTEriZación DE PElícUlaS DElgaDaS SEmicOnDUcTOraS Manuel garcía Méndez UANL-FCFM Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Físico Matemáticas CIIDIT San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México santos Morales rodríguez FIME de la UAdeC Unidad Monclova Resumen: En este trabajo se presentan los resultados de una investigación que consistió en el depósito y crecimiento de películas delgadas de nitruro de aluminio (aln) empleando la técnica de erosión iónica reactiva por corriente directa (Dc). Se describe el análisis experimental de las propiedades estructurales de las películas. Palabras claves: erosión iónica reactiva, películas delgadas de aln

76 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Introducción Hoy día, la ciencia de Supericies y Películas Delgadas (ion beam assisted deposition) [16,17] y erosión iónica ha alcanzado un alto grado de especialización. la reactiva por magnetrón (ionic-reactive magnetron combinación de las propiedades de diversos materiales sputtering). crecidos en película delgada ha permitido el desarrollo De las técnicas mencionadas, la erosión iónica de una gran variedad de dispositivos semiconductores. reactiva se puede emplear para crecer películas delgadas En este trabajo nos enfocaremos en el nitruro de de aln con un crecimiento controlado altamente aluminio (AlN), material perteneciente al grupo de direccional (a lo largo del eje c), cumpliendo con los los nitruros, denominados compuestos iii-v. Estos requerimientos de área larga de depósito (del orden de materiales tienen un gran potencial en aplicaciones cm ) y temperatura baja del sustrato (de temperatura 2 tecnológicas como dispositivos funcionales en campos ambiente a 200 c como máximo). Una temperatura ° tales como la fotónica (dispositivos optoelectrónicos), baja es un requerimiento importante: una temperatura tribología (recubrimientos resistentes al desgaste y a alta sería totalmente incompatible con el proceso de sustancias hostiles) y microelectrónica (heteroestructuras fabricación de dispositivos [1]. semiconductoras y electrodos transparentes) [1,2]. Por otra parte, durante el proceso de síntesis y crecimiento la estructura cristalina es una de las propiedades más importantes de un material, ya que es el punto de de AlN en película delgada, es posible incorporarle partida para explicar todas las demás. Por tal motivo, en oxígeno. El material que surge al combinar un metal con este trabajo se llevó a cabo un análisis de las propiedades oxígeno y nitrógeno (MeN O ; me: metal, en este caso al), estructurales de las muestras utilizando difracción de y x se le denomina oxinitruro. cuando se incorpora oxígeno rayos X y espectroscopia Uv, para obtener información durante el crecimiento de la película de AlN, se induce acerca de los parámetros de red, espesor y homogeneidad. la producción de enlaces iónicos metal-oxígeno dentro de la matriz de enlaces covalentes metal-nitrógeno. De Experimental esta manera, la colocación de átomos de oxígeno en la Síntesis de las películas estructura cristalina del AlN produce modiicaciones signiicativas en sus propiedades eléctricas y ópticas, El equipo experimental para el depósito y crecimiento de modiicándose por consiguiente la conductividad térmica películas delgadas está ubicado en las instalaciones del y propiedades piezoeléctricas del material resultante Laboratorio de Películas Delgadas del CICFIM de [3,4]. los oxinitruros de aluminio, al ser tan versátiles, la FCFM-UANL y está conformado por una cámara de se pueden aplicar como recubrimientos protectores, pirex conectada a un sistema de alto vacío. El alto vacío, recubrimientos ópticos, electrónicos y bio-electrónicos, que se produce con un sistema de bomba mecánica y -6 por su respuesta espectral en el Uv (absorción), muy turbomolecular, puede alcanzar valores de ≈1x10 T o r r . similar a la piel humana [5-7] . asímismo, el AlN oxidado Dentro de la cámara, la distancia entre el magnetrón crecido en película delgada puede ser un material que (donde se coloca el blanco) y porta sustratos se mantiene reemplace a las películas convencionales de Si N o de ija en 5 cm. El porta sustratos lleva integrado un 3 4 SiO en celdas solares tipo-p [2,8-10]. calefactor (hasta 600°c) conectado a un medidor de 2 Dado el potencial de aplicaciones del AlN (ya sea temperatura. justo arriba del magnetrón está posicionado puro u oxidado), aunado a que el proceso de oxidación un obturador manual que puede impedir o permitir a del AlN policristalino es un mecanismo que aún no se voluntad del operador la llegada de partículas al sustrato. comprende del todo, sobretodo en la modiicación de El magnetrón está conectado a una fuente externa que las propiedades de la película, es importante realizar un suministra el voltaje (volts) y provee mediciones de estudio detallado que involucre tanto la síntesis de este la corriente sobre el blanco (amperes) y la potencia tipo de sistemas, como el análisis de sus propiedades (Watts). Por medio de una válvula se inyectan los gases utilizando técnicas experimentales y cálculos teóricos. dentro de la cámara (gases de alta pureza de Ar, N y O , 2 2 Para la fabricación de las películas de AlN existen 99.999%). El lujo de cada gas se controla con rotámetros individuales. varias técnicas y/o procedimientos disponibles, entre algunas de ellas se encuentran el depósito por vapor Un disco de aluminio (1\" de diámetro, 1/8\" de químico (cvD: chemical vapor Deposition)[11-13], espesor, 99.99 % de pureza) se utilizó como blanco. epitaxia de haces moleculares (mbE: molecular beam las películas se depositaron en sustratos portaobjetos Epitaxy) [14,15], depósito asistido por haz de iones de vidrio sometidos previamente a limpieza ultrasónica en un baño de acetona. Previo al depósito se efectúa SÍNTESIS Y CARACTERIzACIÓN DE PELÍCULAS DELGADAS SEMICONDUCTORAS POR: MANUEL GARCÍA Y SANTOS MORALES

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 77 vacío a una presión base de ≈10 Torr con el calefactor -6 activado a 100°c, para efectos de limpieza de la cámara (degasiicar). Posteriormente, se introduce el gas argón + (2) y se aplica el voltaje de descarga para generar el plasma (Ar ) durante 20 min a una presión de trabajo de 10 + mTorr (20 sccm de lujo) para limpieza del blanco. Entonces se introducen al programa los planos (h Toda esta parte del proceso se realizó con el obturador k l) con su respectivo ángulo θ, extraídos directamente colocado entre blanco-sustrato. de cada difractograma. con estos datos se procede a calcular los parámetros de red a y c utilizando un al término del procedimiento de limpieza cámara- análisis de correlación múltiple de optimización por blanco, se inicia el proceso de depósito. Para el mínimos cuadrados. En el procedimiento, cada plano es crecimiento de películas de AlN se introduce en la un parámetro que se mantiene constante y los parámetros cámara una mezcla de Ar y N como gases reactivos. de red son los que se ajustan según el procedimiento 2 Para el crecimiento de películas de alnO se introduce mencionado. con este procedimiento, el análisis se una mezcla de Ar y N y O . las muestras se depositaron vuelve más cuantitativo y no se limita solamente a 2 2 utilizando lujos de 20 sccm para Ar, 1 sccm para N 2 comparar difractogramas con el estándar de la base de y 1 sccm para O . la temperatura se aplicó durante el datos. 2 proceso de depósito. En las películas, se puede observar que la relexión Se fabricaron cuatro muestras, de las cuales dos (002) presenta mayor intensidad (o número de cuentas) corresponden a AlN (15 min de depósito, etiquetadas S y en la S2. En este caso, la temperatura aplicada de 100 c° 1 S ) y dos a AlNO (10 min de depósito, etiquetadas S y S ). incrementó el ordenamiento cristalino del sistema. En la 4 3 2 Caracterización de las películas las propiedades estructurales de las películas se Tabla 1. Parámetros experimentales de depósito de las analizaron con un equipo de difracción de rayos muestras X Philips X´Pert de ánodo de cobre, radiación V P Espesor kα, λ=1.54 Å. Se tomaron mediciones de alta resolución (Película) °C @ tiempo (Volts) (Watts) (nm) theta/2theta (geometría bragg-brentano) con un tamaño 360 120 980 de paso de 0.005°. la homogeneidad y espesor óptico S1 (AIN) TA @15min de las películas se evaluaron por medio de curvas de S2 (AIN) 100°C @15 min 360 130 970 transmitancia obtenidas con un espectrómetro Uv- S3 (AINO) TA @ 10 min 360 190 820 visible marca Perkin Elmer 350. S4 (AINO) 120° C @ 10 min 360 185 940 Resultados y discusión En la Tabla 1 se incluyen las condiciones experimentales de crecimiento con las cuales se obtuvieron las películas. En la columna de la extrema derecha de cada tabla también se incluye el espesor óptico, calculado de las curvas de transmitancia Uv-visible. En la Figura 1 se presentan los difractogramas de rayos X. comprobando que las películas cristalizaron en una estructura tipo würzita, los difractogramas se procesaron con un programa de software para obtener los parámetros de red a y c correspondientes a cada muestra, partiendo de la base de datos jcPDS (archivo pdf # 00-025-1133, c=4.97 Å, a=3.11 Å) [18]. Utilizando la fórmula de bragg: (1) y la fórmula para la distancia entre planos (para una red Figura 1. Difractogramas obtenidos de las películas hexagonal): depositadas sobre sustratos de vidrio SÍNTESIS Y CARACTERIzACIÓN DE PELÍCULAS DELGADAS SEMICONDUCTORAS POR: MANUEL GARCÍA Y SANTOS MORALES

78 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO S3 y S4, la intensidad de la relexión (002) y el tamaño de a formar coniguraciones octaedrales que tienden a grano son similares en ambos casos, lo cual demuestra posicionarse en el plano basal {001}, por ser el de menor que la temperatura aplicada a S4 no tuvo efecto para energía [9,10]. Este efecto más notorio para las películas mejorar su cristalinidad. crecidas con lujo de oxígeno. Por ejemplo, para la S4, De todas las muestras, la S2 fue la que presentó la temperatura aplicada (120° c) puede promover un mayor grado de cristalinidad (evaluando intensidad ingreso por difusión más efectivo para el oxígeno; por eso en este caso, la temperatura no contribuyó a mejorar y tamaño de grano), indicando que un rango de la calidad cristalina de la película. En la S3, el oxígeno temperaturas, desde temperatura ambiente a ≈ 100° provocó en las películas una baja calidad cristalina, aún c, es la que se debe suministrar al sistema para lograr en ausencia de temperaturas altas. crecimiento cristalino altamente orientado. En cuanto al oxígeno y sus productos de reacción, En la Tabla 2 se incluyen los datos obtenidos de la presencia de compuestos de alúmina (γ-Al O : jcPDS calcular los parámetros de red de cada muestra. Se 2 3 # 29-63) o espinel (γ-AlON: jcPDS 10-425 y 18-52) incluye también el cálculo de tamaño de grano L por la no fue detectada en los difractogramas, con especial fórmula de Debye- Scherrer [22]. énfasis en las muestras S3 y S4 mismas que fueron De los datos de la tabla 2 se puede observar que crecidas con lujo de oxígeno. Sin embargo, en términos los parámetros de red calculados presentan algunas termodinámicos, el aluminio elemental presenta una diferencias con respecto al estándar de jcPDS (a=3.11 reacción energéticamente más favorable con el oxígeno Å y c=4.97 Å), sobretodo el valor de c. En las muestras que con el nitrógeno: es más favorable formar Al O S3 y S4, que fueron depositadas con lujo de oxígeno, 3 2 en una reacción de fase gaseosa de Al + (3/2)O2, que el valor de c tiende a alejarse más del valor reportado AlN de Al + (1/2)N, ya que Δg( Al O )= - 1480 kj/ en el estándar, lo que concuerda también con la baja 2 3 mol, mientras que Δg(AlN)= - 253 kj/mol [3,5,19]. Por intensidad de la relexión (002) detectada en estas lo tanto, la existencia de las fases de Al O ó AlON en muestras, denotando el defecto de apilamiento en la 2 3 las películas no puede ser descartada. Sin embargo, la dirección [0001]. presencia de estas fases puede estar en proporciones muy la calidad de una película delgada se puede evaluar pequeñas, tales que escapan a la capacidad de detección con espectroscopia Uv-visible, realizando mediciones de la técnica de rayos X. de transmitancia vs longitud de onda (T vs λ) [23]. con la muestras crecidas sin oxígeno (sin descartar las curvas T vs λ se obtiene el espesor y el coeiciente de trazas residuales) S1 y S2 presentan una mayor calidad absorción. las curvas de T vs λ se incluyen en la Figura cristalina que S3, S4. Para estas tres últimas muestras, 2. el oxígeno introducido en la cámara puede inducir la cuando el espesor de la película es uniforme, los oxidación del blanco (denominado “envenenamiento efectos de interferencia entre el sustrato y la película del blanco”), formando una película supericial de óxido dan lugar a la aparición de oscilaciones. El número de aluminio amorfo AlO . Esta capa de óxido puede de oscilaciones está relacionado con el espesor de la x formar una barrera electrostática que puede afectar la película. la aparición de oscilaciones indica que el efectividad del proceso de erosión iónica, al disminuir espesor de la película delgada es uniforme. En caso la energía cinética de las partículas que inciden en el contrario, esto es si el espesor no fuera uniforme, los sustrato. Esta disminución en la energía cinética afectará efectos de interferencia se anularían y la curva luciría la calidad cristalina de la película. El oxígeno también interactúa con la red de AlN, cuando a través de un mecanismo de difusión, sustituye a un átomo de nitrógeno del enlace más débil al-n , Tabla 2. Parámetros de red obtenidos de las mediciones de 0 paralelo a la dirección [0001] [3,20,19]. El radio iónico difracción de rayos X del oxígeno (r =0.140 nm) es casi diez veces mayor que 0 el radio iónico del nitrógeno (r =0.01-.02 nm) [21], por lo a c c/a L 0 que al sustituir al nitrógeno, perturbará el ordenamiento 4.99 1.60 21 cristalino de la red, induciendo defectos puntuales. S1 3.11 De esta manera, los defectos puntuales afectarán el S2 3.11 4.98 1.60 23 apilamiento del arreglo hexagonal en la dirección “c”. S3 3.13 5.0 1.59 21 En este aspecto, se ha reportado que el oxígeno tiende S4 3.14 5.0 1.59 20 SÍNTESIS Y CARACTERIzACIÓN DE PELÍCULAS DELGADAS SEMICONDUCTORAS POR: MANUEL GARCÍA Y SANTOS MORALES

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 79 Figura 2. Curvas de transmisión óptica T vs λ Figura 3. Imagen de FESEM de una sección transversal correspondiente a la S2. Se puede observar una interfaz bien deinida y una película de espesor homogéneo. como una envolvente [24]. a partir de las oscilaciones las muestras depositadas con lujo de Ar+N + O (S3, 2 2 en una curva T vs λ, el espesor se puede obtener de la S4, S8), donde las fases de AlO inducen defectos de x siguiente fórmula [24,25]: apilamiento en la dirección c. En estas muestras, los difractogramas mostraron una intensidad baja de la t= 1 (3) relexión (002), aunado a un menor tamaño de grano l y 2n 1 1 una modiicación más notoria de sus parámetros de red con respecto a la red de AlN hexagonal. λ 2 λ 1 De esta manera, los resultados que proveen las donde: t es el espesor de la película, n=n(λ) es el índice técnicas de rayos X, y espectroscopía Uv-visible, con de refracción y λ y λ son las longitudes de onda entre los la imagen de FESEM son mutuamente consistentes y 1 2 dos máximos o mínimos más cercanos. complementarios en el análisis de las muestras, donde De la igura, se puede observar que todas las curvas se corrobora la calidad de las películas. presentan oscilaciones, lo cual es un indicador de la Conclusiones homogeneidad de los depósitos: el espesor es uniforme, Se fabricó un conjunto de películas delgadas de AlN y independientemente del tipo de crecimiento cristalino de AlN oxidado por la técnica de erosión iónica reactiva cada película. Dc. En la Figura 3 se presenta una imagen de FESEM Todas las películas presentaron un crecimiento en sección transversal, correspondiente a la S2. De la preferencial en la dirección [0002], perpendicular al imagen, se puede corroborar la presencia de una interfaz sustrato. los análisis por rayos X mostraron que las película/sustrato muy bien deinida, con la película de películas están conformadas por una fase mayoritaria espesor homogéneo que corrobora lo obtenido por medio de AlN hexagonal. las muestras con mayor calidad de las mediciones Uv-visible. cristalina se depositaron sin lujo de oxígeno. En las con la evidencia que arrojan los análisis realizados muestras depositadas con lujo de oxígeno, las películas hasta ahora y comparando con información de la presentan una alteración de sus parámetros de red literatura, se puede establecer que durante el proceso de respecto a la celda hexagonal. El oxígeno induce en depósito, el oxígeno se enlaza con el aluminio disponible estas películas un defecto de apilamiento en la dirección formando fases de AlO . En las muestras depositadas c. independientemente del contenido de oxígeno, las x con lujo de Ar+N , hay trazas de oxígeno residual que películas poseen un espesor homogéneo. 2 modiicaron en alguna medida los parámetros de red, Agradecimientos pero no afectaron la calidad cristalina de la película en la dirección c. El efecto del oxígeno es mas notorio en Este proyecto fue inanciado por PaicyT Uanl. SÍNTESIS Y CARACTERIzACIÓN DE PELÍCULAS DELGADAS SEMICONDUCTORAS POR: MANUEL GARCÍA Y SANTOS MORALES

80 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Referencias [1] moreira, m.a., Doi, i., Souza, j.f. and Diniz, j.a. \"Electrical of structure and morphology of the aln nano-pillar crystal ilms characterization and morphological properties of aln ilms prepared by halide chemical vapor deposition under atmospheric prepared by dc reactive magnetron sputtering\". Microelectronic pressure\". Journal of Physical and Chemistry of Solids. vol. 67, Engineering. vol. 88, no. 5, pp. 802-806. may 2011. iSSn no. 4, pp. 665-668. april 2006. iSSn 0022-3697. 0167-9317. [14] brown, P.D.; fay, m.; bock, n., marlafeka, m.; cheng, T.S.; [2] morkoç, H. Handbook of Nitride Semiconductors and Devices, novikov, S.v.; Davis, c.S.; campion, r.P., foxon, c.T. (2002). vol. 1: Materials Properties, Physics and Growth. Weinheim Structural characterisation of al grown on group iii-nitride Wiley-vcH. 2008. iSbn 978-3-527-40837-5, Weinheim, layers and sapphire by molecular beam epitaxy. Journal of germany. 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ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 81 Datos de los autores: Manuel García Méndez licenciado en física por la fcfm de la Uanl. maestría y Doctorado en física de materiales, programa conjunto cicESE-Unam, Ensenada, méxico. Estancia Posdoctoral en la Universidad de manchester, inglaterra. Profesor investigador de la fcfm desde el 2001. Premio de investigación 2002 en el área de ciencias Exactas. miembro del Sni, nivel i. Sus líneas de investigación se enfocan a la caracterización y crecimiento de materiales nanoestructurados en película delgada. Santos Morales Rodríguez ingeniero en comunicaciones y Electrónica por la Escuela Superior de ingeniería mecánica y Eléctrica del instituto Politécnico nacional. maestría en ingeniería Eléctrica por la facultad de ingeniería mecánica y Eléctrica de la Universidad autónoma de coahuila. Doctorado en ciencias, Posgrado en ing. física industrial de la fcfm-Uanl, abril del 2009. maestro del área de electrónica analógica y digital, coordinador de la carrera de ingeniería Electrónica industrial y jefe del depto. de investigación y Posgrado en la fimE de la U. a. de c.; medalla al mérito universitario Miguel Ramos Arizpe otorgada por la U. a. de c. SÍNTESIS Y CARACTERIzACIÓN DE PELÍCULAS DELGADAS SEMICONDUCTORAS POR: MANUEL GARCÍA Y SANTOS MORALES

82 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO mODElO ESTOcáSTicO Para la TraDUcción DE PrOTEínaS omar gonzález Amezcua Alberto López olivares UANL-FCFM Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Físico Matemáticas San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México Resumen: Se propone un marco teórico que permite modelar y estudiar la traducción de proteínas por parte del complejo molecular denominado polisoma. El modelo es muy general y no incluye detalles especíicos de la compleja bioquímica realizada por el sistema. Partiendo de una ecuación estocástica para la función de probabilidad del número de ribosomas a un tiempo dado, se calcula su densidad como función de la longitud de la cadena de arnm. Se analiza además la dependencia en cadenas con secuencias de codones iguales y diferentes. Se estudian los efectos que se generan en la densidad de ribosomas, cuando las distintas frecuencias de reacción muestran dependencia armónica y gausiana en el tiempo. los resultados muestran efectos que pueden ser importantes para lograr una traducción con velocidades diferenciadas, lo cual eliminaría efectos de tráico en la difusión de ribosomas. Palabras claves: ribosoma, arna, traducción de proteínas, modelos estocásticos, cadenas de markov

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 83 Introducción colección de muchos cuerpos: moléculas de agua, iones los sistemas celulares son altamente complejos y cargados, distintos tipos de proteínas, moléculas de aminoácidos, etc; permite utilizar las herramientas de la realizan una gran cantidad de funciones de forma física de sistemas estocásticos y dinámicos para modelar coordinada y eiciente. Uno de estos mecanismos es y comprender diversos procesos que el sistema realiza. la construcción de proteínas especíicas a partir de la información genética almacenada en la molécula de Para el sistema de traducción de proteínas se ha ADN [1]. De forma esquemática todo el proceso de determinado que el número de ribosomas en la cadena traducción es llevado a cabo en varias etapas, que son: de arnm es una función que varía en el tiempo y en la una etapa inicial en la que se copia la molécula de aDn, posición a lo largo de la cadena [1,4]. Este hecho permite que contiene la información para producir la proteína, estudiar el sistema desde una perspectiva probabilística, a una molécula llamada arn mensajero (ARNm). Una donde el cálculo de la distribución de los ribosomas etapa de acoplamiento, a la cadena de arnm, de dos a lo largo de la cadena de arnm, el lujo neto de moléculas altamente especializadas que conforman ribosomas en la cadena, y las velocidades de difusión de el agregado llamado ribosoma [1], al conjunto de ribosomas, son piezas clave en el modelado del proceso ribosomas sobre la cadena de arnm se le conoce con de traducción. Estas cantidades pueden ser calculadas el nombre de polisoma. finalmente se tiene una etapa analíticamente por medio de un modelo estocástico de difusión del ribosoma sobre la cadena de arnm. para los sistemas fuera del equilibrio termodinámico. así, el ribosoma lee (en forma de codones o tripletes) Otra pieza importante del sistema de traducción es el la información contenida en la secuencias del arnm acoplamiento de moléculas de degradación en cualquier y la traduce en el ensamblado especiico de diferentes etapa del proceso, las cuales interrumpen el proceso aminoácidos, los cuales en ultima instancian formaran de traducción (ver Figura 1). así, un modelo teórico la proteína. Este proceso es altamente complejo y se del proceso de traducción permitiría, en principio, encuentra sujeto a todo un conjunto de interacciones caracterizar estos parámetros y nos brindaría de un especíicas y locales que se coordinan para generar el marco de trabajo para abordar problemas más complejos, ensamble inal de la proteína [2]. los cuales comprenden la interacción de procesos que se Durante los últimas décadas diferentes técnicas de llevan a cabo a diferentes escalas; característica principal de los procesos celulares implicados en el proceso de biología molecular han permitido manipular el proceso de traducción. traducción a escala microscópica [3], incorporando por ejemplo, secuencias especiicas en la cadena de aDn las Marco teórico cuales expresan proteínas con nuevas propiedades; se ha Se considera un ensamble de cadenas de arnm, el cual podido así generar: insulina humana, cultivos resistentes se encuentra en una solución de moléculas de ribosomas a parásitos, etc. Estos resultados muestran los grandes y de factores de degradación a una densidad en bulto avances que se han logrado en la manipulación y control que permanece constante [4,10, 11]. Se establece que la del proceso de traducción y expresión de genes, así como de la clonación de secuencias de aDn. Pero es sólo en fechas recientes que se ha empezado a estudiar el proceso desde una perspectiva analítica y teórica, tratando de generar modelos matemáticos cuantitativos que permitan controlar o conocer parámetros individuales del proceso de traducción [2,4, 10 -13]. Para establecer estos modelos se puede partir de una visón microscópica tratando de establecer todas las interacciones presentes en el sistema a escala atómica, esto ha resultado muy complicado de establecer y ha tenido resultados parciales sólo con el uso de sistemas de super-cómputo. Sin embargo podemos adoptar una escala de campo medio, donde la estructura atómica y molecular del sistema es eliminada, al tomar en cuenta solo potenciales de interacción promediados y despreciar cualquier correlación entre Figura 1. Representación esquemática del proceso de traducción por parte del complejo ribosoma-cadena de los distintos elementos del sistema. Este punto de vista, ARNm. Se indican las diferentes frecuencias de reacción sumado al hecho de que el sistema es en realidad una que se usan para estudiar la dinámica del sistema. MODELO ESTOCÁSTICO PARA LA TRADUCCIÓNDE PROTEÍNAS POR: OMAR GONzÁLEz Y ALbERTO LÓPEz

84 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO transcripción inicia a una frecuencia wEn, cuando una la segunda ecuación establece un límite superior en molécula de ribosoma se une a la cadena de arnm, y donde el sistema llega a una situación de equilibrio puede ser interrumpida espontáneamente con una tasa estacionario, si las condiciones del medio permaneces wTe, los factores de degradación actúan a una frecuencia sin cambio, y los parámetros L, v y las frecuencias de wde, (ver figura 1). las constantes anteriores se suponen reacción son constantes. la solución a esta ecuación dependientes de tiempo, lo cual permite modelar una diferencial depende de la forma funcional de las cadena de arnm no uniforme (dependiente de la variables w (t) y w (t), que se analizan en los tres casos Te En secuencia). la densidad de moléculas de ribosoma se siguientes. asume pequeña, con la intención de evitar que entren en Casos de estudio contacto entre sí. la dinámica del proceso de traducción se puede modelar como un proceso de markov [4, 14], Caso A: frecuencias de acoplamiento independientes en forma de una ecuación maestra, de la forma: del tiempo w (t)= w y wTe(t) = w Es decir una En En Te situación ideal que modela reacciones bioquímicas entre las diferentes moléculas que llevan a cabo la traducción, poco sensibles a la interacción con el medio, a los cambios de densidad, a las distintas coniguraciones geométricas y a sus posibles correlaciones. Para este caso la solución a la ecuación (2) es: donde P (t) es la probabilidad de que un número n de n ribosomas se encuentre sobre la cadena al tiempo t. los dos primeros términos del lado derecho de la ecuación, (3) representan la probabilidad de generar un estado n partiendo de un estado anterior n-1 y un estado posterior n+1 ver Figura 1, el último termino es la probabilidad de no sufrir cambio. a esta ecuación diferencial de primer orden se le imponen las condiciones de frontera la gráica de la Figura 3 (línea negra) muestra como el numero de ribosomas se incrementa de forma continua en el tiempo hasta alcanzar un valor constante de 22.5 (1) para t=t .. los valores usados para evaluar los distintos L parámetros libres de las ecuaciones son: la longitud de las cadenas de arnm es variable en un rango de 10 a donde L es la longitud de la cadena de arnm y t =L/v 2000 codones, el tiempo estimado que toma el proceso L es el tiempo total estimado del proceso de traducción, de traducción es de entre dos a cinco minutos [5], así el cual depende de la longitud de la cadena de arnm el tiempo estimado para frecuencia de degradación y de su velocidad v promedio. Este parámetro v no se w = 0.286; por otra parte la velocidad v es fuertemente de encuentra bien deinido para el sistema, y para efectos de dependiente de las condiciones ambientales del medio, simpliicar el modelo se entiende solamente como una con un valor estimado de v = 600 codones/min [6]. la velocidad media del todo el proceso [13]. Un análisis frecuencia de termino total del proceso de traducción más riguroso de la dinámica del sistema podría; por es aproximadamente estimada en w = 0.24 min [7], - 1 Te ejemplo, establecer una velocidad dependiente de la mientras que la frecuencia de pegado es estimada en etapa de traducción en la cadena de arnm. Utilizando la w = 10 rb/min [8, 9]. Estos valores se usaron para Te ecuación maestra y la condición de normalización sobre generar todas las gráicas del presente trabajo, como P (t) es posible calcular el valor de expectación para el valores de referencia constantes. n número total de ribosomas en la cadena M(t)=<n(t)>, el cual evoluciona en el tiempo de acuerdo con: Caso B: Se asume una dependencia armónica para las frecuencias de acoplamiento de la forma: (2) (4) MODELO ESTOCÁSTICO PARA LA TRADUCCIÓNDE PROTEÍNAS POR: OMAR GONzÁLEz Y ALbERTO LÓPEz

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 85 Es decir la frecuencia de avance del ribosoma depende del lugar que ocupa en la cadena de arnm. De esta forma se intenta modelar un avance dependiente del la secuencia de traducción, se sabe que esta secuencia es aleatoria en cadenas pequeñas [10, 12] y está determinada por los tripletes que se encuentran en la cadena de arnm, los cuales determinan el tipo de aminoácido que se agrega a la proteína. Para el sistema se asume una secuencia armónica que depende del valor k elegido, la Figura 2 muestra w (t) para los valores de En la frecuencias k=1.0 (línea continua roja) y k=4.0 (línea discontinua roja) a una amplitud ija a=4.0. con esto se tiene una cadena de arnm de secuencias ordenadas (el caso de secuencias aleatorias se está estudiando). la solución general es entonces: (5) Figura 2. Dependencia funcional de w En (t) para los dos casos estudiados. Líneas rojas caso B, ecuación (4), y líneas azules caso C, ecuación (6) Para t<t y una expresión para t > t evaluando la L L ecuación (5) para el tiempo t=t . la figura 3 muestra L como el caso k=1.0 genera un valor de M(t) mayor que el caso de frecuencias constantes, mientras que para el valor k=4 se genera un valor con pequeñas oscilaciones alrededor del caso con frecuencia constantes. notamos entonces que modular la frecuencia de oscilación de la función w (t) tiene un efecto importante sobre el cálculo En de M(t) cuando se elige un periodo de oscilación grande y un efecto que se aproxima al valor con wEn constante cuando el periodo de w (t) es pequeño. Por tanto un En valor de k pequeño indicaría, más que un efecto local y especíico de la cadena de arnm, un efecto global de todas las interacciones que se presentan sobre la cadena. Caso C: Se asume una dependencia para las frecuencias de acoplamiento en forma de campana gausiana de la forma: (6) Figura 3. Valor de expectación M(t) para número total de ribosomas en la cadena de ARNm en función del tiempo. Es decir, en los primeros pasos de la traducción Línea negra es para el caso A, de frecuencias constantes. tenemos una alta frecuencia de reacción que disminuye a Líneas rojas el caso B de frecuencias armónicas, con medida que la traducción avanza. Esto dado que el inicio amplitud ija a=4.0. Líneas azules el caso C, de frecuencias del proceso de traducción es la etapa crítica del sistema, en forma de “campana”. ya que requiere de la sincronización y acoplamientos de una diversidad de procesos moleculares que deben de MODELO ESTOCÁSTICO PARA LA TRADUCCIÓNDE PROTEÍNAS POR: OMAR GONzÁLEz Y ALbERTO LÓPEz

86 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO trabajar de forma secuencial y coordinada, lo cual genera medido experimentalmente, lo cual permitiría discernir una alta susceptibilidad de fracaso. con la intención el tipo de interacción a utilizar en la deinición de las de compensar este efecto se induce una frecuencia de frecuencias de reacción. reacción alta w para tiempos pequeños. mientras que, Distribución para de <M> En cuando la traducción ya ha iniciado y la nueva proteína está siendo sintetizada, el proceso es más estable, por lo El valor de M(t) calculado en las expresiones anteriores que en este caso se propone una tasa de frecuencia w depende de la edad y de la longitud de la cadena de En menor. Estas dos tendencias están representadas por la arnm. con la intención de eliminar su dependencia ecuación (6) para w (t), e ilustradas en la Figura 2 para temporal, promediamos sobre una población de cadenas En el caso con b=0.5 (línea azul continua) y b=1.0 (línea de arnm, las cuales se encuentran en diferentes azul discontinua). la solución a la ecuación diferencial etapas del proceso de traducción, mediante la siguiente (2) con las funciones (6) es: expresión: (7) (8) nuevamente válida para t<t , y una expresión para donde ϕ(t) es la densidad de probabilidad de cadenas de L t > t evaluando la ecuación (7) para el tiempo t=t . la arnm a una edad determinada (función de peso), y es dada por: l L Figura 3 muestra la evaluación de M(t) para el valor de la constante b=0.5 (línea azul constante) y b=1.0 (línea azul discontinua). Su valor es creciente y menor que el (9) de los dos casos anteriormente analizados para el todo valor de t. la igura muestra además que los valores estacionarios para los tres casos analizados de M(t=t ) L son diferentes entre sí (con un rango de diferencia entre con w la frecuencia de degradación de cadenas de de el menor y el mayor de aproximadamente 31.0), con la arnm, la cual se asume constante, ver Figura 1. excepción del caso a y el caso b para una modulación Utilizando esta deinición para los casos estudiados de k=4.0. Estos valores generan una tasa constante de anteriormente, obtenemos la función de distribución de producción de proteínas, que en principio puede ser ribosomas sobre la cadena de arnm. Para el caso a la integral (8) es fácilmente calculada: (10) la Figura 4 muestra que <M>/L decae suavemente conforme la longitud de la cadena aumenta (línea negra). Para el caso b, ecuación (5), obtenemos una expresión más complicada y con mayor dependencia funcional de sus parámetros: (11) Figura 4. Densidad media de ribosomas calculada a partir de la ecuación (8) para los tres casos analizados. La notación usada es la misma a la de la igura 3. Para el caso C, la escala de valores en L pequeños se ajustó para efectos de poder comparar con las demás gráicas. MODELO ESTOCÁSTICO PARA LA TRADUCCIÓNDE PROTEÍNAS POR: OMAR GONzÁLEz Y ALbERTO LÓPEz

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 87 Si en esta expresión tomamos los parámetros k=0 y de tráico en la difusión de la molécula del ribosoma, a=0, recuperamos la ecuación (10). la figura 4, muestra disponibilidad de moléculas para la producción de la gráica para el caso con constantes k=1.0 (línea roja la proteína, etc. El modelo ha permitido así el cálculo continua) y k=4.0 (línea roja discontinua) las cuales no de valores promedio de cantidades que pueden ser diieren mucho de la aproximación con w constante importantes en el proceso de traducción; sin embargo, En (caso a: línea negra). El caso con k=4.0 muestra que la inclusión de frecuencias cambiantes en el tiempo se puede llegar a tener una traducción modulada por el requiere de un análisis ino de las escalas de interacción lugar que ocupa el ribosoma en la cadena del arnm, y de los tiempos diferenciados del proceso, hecho que este mecanismo puede ser importante para evitar efectos experimentalmente no se ha estudiado en detalle. El de tráico (contacto) entre los diferentes ribosomas presente estudio es entonces un punto de partida para presentes en la cadena de arnm. finalmente para el análisis más especíicos y completo del proceso de caso c tenemos: traducción. En el desarrollo de este trabajo han colaborado los miembros del cuerpo académico Sistemas Complejos: (12) Teoría y Simulación, en particular han sido muy productivas las discusiones con Héctor R. Flores Cantú y F. Javier Almaguer Martínez. El trabajo conto con nuevamente la Figura 4 muestra la gráica para los el apoyo del Programa de fortalecimiento de cuerpos mismos parámetros estudiados en la Figura 2, b=0.5 académicos SEP-PrOmEP 2012-2013. (línea azul continua) y b=1.0 (línea azul discontinua). Sin embargo, para este caso la situación parece poco realista ya que para distancias pequeñas se tiene un valor <M> muy grande (divergente, no mostrado en la igura para efectos de claridad) que decae a un valor cercano a cero en el caso de k=1.0 Por lo que es difícil esperar que se generen valores estacionarios y de equilibrio de producción de proteínas con esta dependencia funcional de las frecuencias de reacción. Conclusiones Utilizando un modelo matemático simpliicado para estudiar la dinámica de traducción proteínas por parte del complejo formado por ribosomas y cadenas de arnm, se ha caracterizado la difusión del ribosoma sobre la cadena de rnam para casos en los que las frecuencias de reacción son constantes [10- 13] y dependientes del tiempo. Se determinó que para el caso de una dependencia en forma de campana, el sistema es inestable y genera una difusión asintótica para tiempos pequeños y tiempos grandes, lo cual es poco probable que esté presente en el sistema de traducción. Se podrían eliminar estas divergencias si se propone un reescalamiento y se desplaza el origen de coordenadas en las ecuación (6). El caso de una dependencia armónica para las frecuencias de reacción w (t), muestra una dinámica de que puede ser modulada por medio de la frecuencia k de oscilación, esto introduce un parámetro externo que es controlado de manera autoconsistente por el complejo. Este acoplamiento puede representar, por ejemplo, el efecto de una cadena que no es homogénea, efectos MODELO ESTOCÁSTICO PARA LA TRADUCCIÓNDE PROTEÍNAS POR: OMAR GONzÁLEz Y ALbERTO LÓPEz

88 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Referencias Datos de los autores: [1] Ehrenberg, m. “Structure and fuction of the ribosome”, kungl. Omar González Amezcua vetenskaps-akademien. http://www.nobelprize.org/nobel_ prizes/chemistry/laureates/2009/advanced-chemistryprize2009. Es profesor de Tiempo completo en la facultad de ciencias pdf 2009. físico matemáticas en la Uanl. Sus líneas de investigación se desarrollan en tópicos relacionados con Sistemas complejos y [2] Phillps, r. and Quake, S. r. “The biological frontier of physics”. materia condensada blanda, por ejemplo: teoría y simulación de Phys. Today. Pp. 38. may 2006. sistema multicompontes (polímeros, moléculas y membranas), [3] Strick, T., rancois, j., vincent, a. and bensimon, D. “The teoría de coloides, estudio de sistemas biocomplejos. manipulation of single biomolecules”. Phys. Today. Pp. 46. October 2001. Email: [email protected] [4] valleriani, a., ignatova, Z., nagar, a. and lipowsky, r. “Turnover of messenger rna: Polysome statistics beyond the steady state”. Europhys. Lette. vol. 89. Pp. 58003. 2010. Alberto Olivares López [5] berenstein, j. a., khodursky, a. b., lin, P., lin-chao, S. and Es egresado de la facultad de ciencias físico matemáticas cohen S. n. Proc. natl. acad. Sci. vol. 99. Pp. 9697. 2002. de la Uanl, en la generación 2011 y actualmente se está [6] bremer H. and Dennis P. P. “Escherichia coli and salmonella preparando para ingresar a un programa de posgrado. typhimurium: cellular and molecular biology”. Edited by neidhardt f. c. american Society for microbiology. Pp. 1559. Dirección de los autores: facultad de ciencias físico 1987. [7] kurland g. O. Annu. Rev. genet. vol. 26. Pp. 29. 1992. matemáticas, cicfim, cd. Universitaria, av. Universidad S/n, San nicolás de los garza, c.P 66451, monterrey, nuevo [8] jacques n. and Dreyfus m. Mol. Biol. vol. 4. Pp. 1062. 1990. león, méxico. [9] Zhang D. and ignatova Z. PloS ONE. vol. 4. Pp. e5036. 2009. [10] mollazadeh-beidokhti, l., Deseigne, j., lacoste, D., mohammad-raiee, f. and Schiessel, H. “Stochastic model for nucleosome sliding in the presence of Dna ligands”. Phys. Rev. E. vol. 79. Pp. d31922. 2008. [11] mollazadeh-beidoknit, l., mohammad-raiee, f. and Shiessel, H. “active nucleosome Displacement: a Theoretical approach”. Biophy, J. vol. 96. Pp. 4387. 2009. [12] chou, T. “ribosome recycling, diffusion, and mrna loop formation in translational regulation”. Biophy. J. vol. 85. Pp. 755. 2003. [13] valleriani, a., Zhang, g., nagar, a., ignatova, Z. and lipowsky, r. “length-dependent translation of messenger rna by ribosome”. Phys. Rev. E. vol. 83. Pp. 042903. 2011. [14] Edward, a., codling, m. j. and benhamou, P. & S. “random walk in biology”. J. R. Soc. Interface. vol. 5. Pp. 813. 2008. MODELO ESTOCÁSTICO PARA LA TRADUCCIÓNDE PROTEÍNAS POR: OMAR GONzÁLEz Y ALbERTO LÓPEz

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 89 nanOESTrUcTUraS DE carbOnO cOn DifErEnTES grUPOS fUnciOnalES oxana Vasilievna Kharissova UANL-FCFM Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Físico Matemáticas San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México Resumen: El carbono es uno de los elementos más interesantes en la Tabla Periódica. algunas de sus formas alotrópicas se conocen desde hace miles de años (diamante 3D y graito 2D) y otras fueron descubiertas de entre 10 y 20 años atrás (fullerenos 0D y nanotubos 1D). Su nueva forma alotrópica, el grafeno 2D, fue descubierta en inglaterra por geim & novoselov en 2004 y actualmente es una estrella supernova en el horizonte de la ciencia de materiales y de la física de materia condensada. El grafeno representa una nueva clase de materiales con espesor de solo un átomo. En el presente artículo, daremos una explicación de estas estructuras. Palabras claves: grafeno, funcionalización

90 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Introducción Grafeno cuando la nanotecnología comenzó a desarrollarse El grafeno [1] representa una nueva clase de materiales intensamente como un área independientemente en la con espesor de solo un átomo. Su estructura corresponde frontera de la física, química, ciencias de los materiales, a una capa de átomos de carbono [2] como en graito, biología, medicina y otras campos de la ciencia desde conectados en una rejilla hexagonal tridimensional; hace dos décadas, tales términos como nanopartícula, o sea, un plano que consiste de celdas hexagonales nanopolvo, nanotubo, nanoplato, nanoibra se (Figura 1). la distancia entre los átomos más cercanos hicieron muy comunes. Por ejemplo, al hacer una de carbono a0 es 0,142 nm (Figura 2). El grafeno ideal búsqueda sencilla con el uso de SciFinder o Scopus consiste exclusivamente de celdas hexagonales; si hay resultan miles de artículos con palabras clave tales como celdas penta- o heptagonales, aparecen varios tipos de nanotubo o nanopartícula. defectos. Ya tenemos una clasiicación de las nanoparticulas, También, se conocen varios derivados de grafeno: la cual está basada en dimensionalidad y se aplica para c H ; el grafeno con uno o dos ad-átomos de carbono 62 20 nanopartículas a base de carbono (Tabla 1). c H y c H , así como el grafeno con el grupo funcional 63 20 20 64 cO y hexa-peri-hexabenzocoroneno (Hbc, “super- 3 benceno”, Figura 3a). El último contiene 42 átomos Tabla 1.Nanoestructuras clásicas a base de carbono de carbono; existen además sus derivados con grupos funcionales (Figura 3b,c) y oligómeros (Figura 4). Nombre Dimensión Nanotubo 1D Fullerenos 0D Grafeno 2D Nanodiamantes 3D a) b) c) Figura 1. a) Estructura de grafeno Figura 3. a) Hexa-peri-hexabenzocoroneno, b y c – sus derivados simétricos y asimétricos, respectivamente Figura 2. Celda hexagonal del grafeno. e1 y e2 son Figura 4. HBC oligómeros vectores de translación; el rombo 1234 es celda elemental NANOESTRUCTURAS DE CARbONO CON DIFERENTES GRUPOS FUNCIONALES POR: OxANA VASILIEVNA kHARISSOVA

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 91 Figura 6. Grupos supericiales a base de oxígeno sobre el graito Figura 5. Grafenos grandes a) b) fue reportada también una serie de grafenos grandes con 90, 96, 132, 150 y 222 átomos de carbono (Figura 5). El método principal de la obtención de grafeno es la exfoliación mecánica de capas de graito que permite c) recibir, a inal de cuentas, muestras de alta calidad en un soporte de SiO . Otras técnicas incluyen CVD/pyrólisis 2 como un método simple, económico y reproducible, Figura 7. Complejos de a,b) ruthenio y tratamiento ultrasónico del graito en benceno y los c) paladio con grafeno métodos químicos. los últimos consisten, por ejemplo, del tratamiento de graito con una mezcla de Hcl y H SO , formando los grupos carboxílicos en las puntas 2 4 de capas (Figura 6) que posteriormente se transforman a cloruros bajo la acción de SOcl y capas de grafeno 2 por la acción de octadecilamina en solventes orgánicos. El ácido níotrico también puede ser utilizado como un agente de exfoliación e intercalación. Se han reportado también los metalocomplejos de grafeno, por ejemplo los de rutenio [ru(bpy) (n-1/2HSb)] 2 (Pf ) y [ ru(bpy) (n-HSb)](Pf ) (Figura 7a,b) y 2 6 2 6 2 paladio [ Pd (η -c H ) (tetra-peri - (tert-butil-benzo) 3 3 5 - di-peri-(pirimidino)-coroneno)] [Pf ] (Figura 7c). Figura 8. Modelo estructural del GO 6 la oxidación del graito produce el óxido de graito (gO, Figura 8-9), que es dispersable en agua como plateletas individuales. Después de depositarlas sobre los sustratos Si/SiO , su reducción química produce láminas 2 de grafeno. El grafeno se obtiene también por ablación láser por pulsos en alto vacío (~10 Pa) o en helio (~10 Pa). Se han -5 estudiado reacciones entre el grafeno y tales sustancias Figura 9. Formación y exfoliación del GO NANOESTRUCTURAS DE CARbONO CON DIFERENTES GRUPOS FUNCIONALES POR: OxANA VASILIEVNA kHARISSOVA

92 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO como moléculas inorgánicas simples (H , O , O , cO , tridimensional altamente simétrica de estas moléculas. 2 2 3 2 H O, etc.), metales (Pb, Pd y cúmulos de Pt ó au ) En concreto, la más pequeña y representativa de ellas, 2 13 13 ácido sulfúrico y compuestos con grupos arílicos, etc. el fullereno c , posee una geometría idéntica a la de un 60 Entre otras aplicaciones encontradas para el balón de fútbol. las sorprendentes propiedades de estos grafeno, se reporta su uso en la preparación de compuestos les han valido a sus descubridores, Harold kroto, richard E. Smalley y robert f. curl la obtención nanotubos de carbono, nanocúmulos-compósitos ni–c del premio nobel de química de 1996. las aplicaciones ó fe–c, así como los nanotubos de c-bn. a base del potenciales de estas moléculas pueden suponer una grafeno se conocen nanocompósitos y películas inas auténtica revolución en el mundo de la ciencia. (papel del óxido de grafeno), partes de transistores, nanodispositivos, celdas solares, sensores químicos y los fullerenos se obtuvieron por primera vez de almacenamientos de hidrógeno. forma casual al irradiar una supericie de graito con un Fullerenos láser. cuando el vapor resultante se mezcló mediante una corriente de helio, se formó un residuo cristalizado Pocas veces a lo largo de la historia actual de la química, cuyo estudio reveló la existencia de moléculas formadas una investigación ha dado lugar de forma inesperada por sesenta átomos de carbono. como se dedujo en al descubrimiento de una familia de moléculas tan un principio, estas moléculas tenían una geometría excepcional como es la de los fullerenos [3,4], que semejante a la de la cúpula geodésica diseñada por constituye una nueva forma alotrópica (estructura en el arquitecto buckminster fuller, con motivo de la la que se puede encontrar una especie) del carbono, exposición universal de 1967. Por ello, se conoce a esta además de graito y diamante, y posee unas propiedades familia de moléculas como fullerenos. excepcionales. Particularmente destaca la geometría generalmente, los fullerenos se preparan mediante vaporización de graito y posterior extracción con disolventes orgánicos. Para separar en las diferentes moléculas de fullereno (c , c , c , c , c , c , etc., 76 70 60 82 84 78 Figura 10) se emplearon técnicas cromatográicas. De todos los fullerenos, el ya mencionado c es 60 el más representativo. En la naturaleza se presenta C60 C70 C76 C84 como un sólido negro de densidad 1,68 g/cm . las 3 moléculas de fullereno permanecen unidas por débiles fuerzas intermoleculares, por lo que poseen libertad de movimiento. a consecuencia de ello, el cristal es plástico a temperatura ambiente. la estructura del c es similar a la de una pelota 60 de fútbol (de ahí el nombre de futbolanos o buckybolas C240 C540 como también se les conoce); es decir, tiene forma de un icosaedro truncado con 60 vértices, en cada uno de los Figura 10. Algunos fullerenos cuales se encuentra un carbono. Tiene 32 caras, de las cuales 12 son pentágonos y las 20 restantes son hexágonos (Figura 11); además, cada pentágono está rodeado de cinco hexágonos, de forma que dos pentágonos no pueden ser adyacentes entre sí, pero los seis enlaces de cada hexágono están fusionados alternadamente a tres pentágonos y tres hexágonos. los fullerenos son solubles en ciertos disolventes orgánicos e insolubles en disolventes polares o con enlaces de hidrógeno (agua). Estas propiedades de solubilidad condicionan decisivamente la química de los fullerenos, que es muy rica y variada y se basa fundamentalmente en reacciones de adición (incorporación de átomos o grupos de átomos a la estructura). así, los fullerenos pueden Figura 11. Estructura de C 60 NANOESTRUCTURAS DE CARbONO CON DIFERENTES GRUPOS FUNCIONALES POR: OxANA VASILIEVNA kHARISSOVA

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 93 adicionar hidrógeno, halógenos, oxígeno, metales, radicales. asímismo, se pueden ciclar y polimerizar, así como formar complejos huésped-anitrión con metales de transición. Por otra parte, pueden veriicar reacciones de transferencia electrónica. Existen muchos derivados de fullerenos, en particular los pyrrolidino[3’,4’:1,2] [60]fullerenes (en inglés), más comunes como fulleropirrolidinas (Figuras 12 y 13) que tienen muchas aplicaciones útiles en medicina, obtención de materiales, celdas solares, etc. la ciencia de los materiales ha mostrado, desde su Figura 12. Obtención de N- etilfulleropirrolidina descubrimiento, un gran interés por las posibilidades de los fullerenos, dadas sus múltiples propiedades y la alta procesabilidad que presentan. Siguiendo estas líneas se han obtenido polímeros electroactivos (dando reacciones de transferencia electrónica) y polímeros con propiedades de limitadores ópticos (trascendental en el campo de los láseres para evitar el deterioro de los materiales). Se espera asímismo obtener materiales muy adecuados para el recubrimiento de supericies, dispositivos fotoconductores y creación de nuevas redes moleculares. El campo de la biomedicina también se ha visto beneiciado por la aparición de los fullerenos. Destaca sin duda el estudio de las propiedades de ciertos derivados organometálicos de los fullerenos solubles en agua, que han mostrado una actividad signiicativa contra los virus de inmunodeiciencia que provocan la enfermedad del SiDa, viH-1 y viH-2. También se baraja actualmente la posibilidad de incorporar fullereno en los procesos de fototerapia, que permitirían la destrucción Figura 13. Fulleropirrolidinas de C 70 de sistemas biológicos dañinos para los seres humanos. Nanotubos actualmente, es prácticamente desconocido que en el año 1952 Radushkevich et al publicaron [5] en la revista Russ. J. Phys. chem. las imágenes claras de tubos de carbono con el diámetro de 50 nm (Figura 14). Posteriormente, los resultados de Oberlin et al mostraron claramente las ibras vacías de carbono del tipo monocapa (single- wall) con diámetros a nanoescala obtenidas vía la técnica de crecimiento desde la fase vapor. Ya en 2003, Dresselhaus et al conirmó estos datos como nanotubo de monocapa, según la terminología moderna. En 1982 se presentaron resultados de caracterización química y estructural de las nanopartículas de carbono, producidas vía disproporcionación termocatalítica del monóxido de carbono. así fueron las investigaciones olvidadas acerca de los primeros pasos de estudio del nanomundo de carbono. a partir del descubrimiento formal de los cnTs Figura 14. Primeros nanotubos de carbono en 1991, se ha reportado un gran número de sus descubiertos en 1952 NANOESTRUCTURAS DE CARbONO CON DIFERENTES GRUPOS FUNCIONALES POR: OxANA VASILIEVNA kHARISSOVA

94 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO aplicaciones en pantallas de color, transistores y variedad de estructuras quirales. Dependiendo de su computadoras moleculares. Estas aplicaciones son diámetro y ángulo quiral de ordenamiento de anillos de altamente dependientes de las propiedades de los cnTs, grafeno en las paredes (capas), los cnTs han demostrado las cuales dependen de arreglo atómico y estructura, las propiedades inusuales electrónicas, magnéticas, por ejemplo el ángulo quiral, diámetro o presencia de térmicas y mecánicas. En general, las propiedades de defectos. recientemente, se han desarrollado nuevas los nanotubos dependen principalmente de los siguientes estrategias para modiicar propiedades físicas y químicas factores: de los cnTs vía la modiicación supericial con especies • el número de capas concéntricas que posee orgánicas, inorgánicas y biológicas. Estudios estructurales de nanotubos de carbono • la manera en que es enrollado continúan ser importantes debido a una variedad de • el diámetro del nanotubo aplicaciones de estos nanomateriales. Se sabe que su geometría y mayor parte de propiedades dependen del Propiedades Electrónicas: diámetro y ángulo quiral. Estos dos parámetros resultan completamente deinidos por dos índices de Hamada • Transportan bien la corriente eléctrica (n,m). Existen dos tipos de nanotubos cuyas formas • Pueden actuar con característica metálica, principales se presentan en la Figura 15. semiconductora o también superconductora • nanotubos de monocapa {single-walled Propiedades mecánicas: nanotubes (SWnT’s)} y • Uno de los materiales más duros conocidos • nanotubos de multi-capa {multiwalled nanotubes • Presenta una altísima resistencia mecánica (mWnT’s)}. • alta lexibilidad Un nanotubo de carbono [6,7] puede ser examinado como una hoja de graito, enrollado a nanoescala en una Propiedades Elásticas: forma tubular (SWnT) o con los tubos adicionales de • Por su geometría, podría esperarse que los grafeno, los cuales se encuentran alrededor del SWnT nanotubos sean duros en la dirección del eje, pero (o sea mWnT). Ya que la hoja de grafeno puede ser por el contrario son lexibles a deformaciones enrollada variando grados de envoltura a lo largo de su perpendiculares al eje. longitud, los nanotubos de carbono pueden tener una • la curvatura causa aumento de la energía: los nanotubos son menos estables que el graito, y cuanto menor es el diámetro menor es la estabilidad. • Para grandes deformaciones radiales, los nanotubos pueden ser inestables. Esto ocurre principalmente para nanotubos de gran diámetro. Propiedades Térmicas: • Presenta alta conductividad térmica en la dirección del eje del nanotubo. De las propiedades únicas de los cnTs siguen sus muchas aplicaciones. Son sistemas ligeros, huecos y porosos que tienen alta resistencia mecánica, y por tanto, interesantes para el reforzamiento estructural de materiales Figura 15. Clasiicación de los nanotubos de carbono: y formación de compósitos de bajo peso, alta resistencia sillón, zigzag y helicoidal o quiral insertado arriba y abajo a la tracción y enorme elasticidad. Electrónicamente, NANOESTRUCTURAS DE CARbONO CON DIFERENTES GRUPOS FUNCIONALES POR: OxANA VASILIEVNA kHARISSOVA

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 95 se ha comprobado que los nanotubos se comportan como hilos cuánticos ideales monodimensionales con comportamiento aislante, semiconductor o metálico dependiendo de los parámetros geométricos de los tubos. Otra más de sus interesantes propiedades es su alta capacidad de emisión de electrones. En este campo, su interés radica en que sean capaces de emitir electrones a 0.11 ev de energía mientras que los mejores emisores de electrones utilizados en la actualidad emiten en un rango entre 0.6 y 0.3 ev. además del estrecho rango de emisión de energía, los cnTs presentan otras ventajas respecto a los cristales líquidos utilizados en las pantallas planas como: amplio ángulo de visión, capacidad de trabajar en condiciones extremas de temperatura y brillo suiciente para poder ver las imágenes a la luz del sol. Figura 16. Esquema del compósito: las líneas azules son Otra de sus aplicaciones como emisores de nanotubos, los cilindros grises son las ibras electrones es su utilización en la fabricación de fuentes de electrones para microscopios electrónicos. En el campo de la energía, los cnTs pueden ser usados para la preparación de electrodos para supercondensadores y baterías de litio, para el almacenamiento de hidrógeno y como soporte de catalizadores de platino en pilas de combustible. En aplicaciones biomédicas están siendo utilizados en sistemas de reconocimiento molecular, como biosensores y para la fabricación de músculos artiiciales. Otra de las aplicaciones de los cnTs es para la producción de materiales de alto valor añadido, con propiedades estructurales y funcionales mejoradas. Hace poco tiempo fue reportada la creación de la lámpara más pequeña en el mundo (su longitud es de 1.4 nm y espesor de 13 nm) a base de un nanotubo de carbono, con los topes del cual se conectan los electrodos de paladio y oro. El nanotubo está insertado en una base de silicio; toda la construcción se encuentra en vacío. al pasar la corriente, el nanotubo se calienta y comienza a emitir fotones que se pueden ver directamente sin microscopio, ya que los seres humanos son capaces de distinguir cuantos separados de luz. Una aplicación muy interesante es la obtención de nuevos materiales-compósitos para los aviones al coserlos con uso de nanotubos de carbono. la función de nanotubos es conectar entre si varias capas del compósito (Figura 16). El material obtenido es mucho más duro a comparación con sus análogos, obtenidos sin uso de nanotubos. El tamaño de nanotubos es pequeño que las ibras del compósito, por eso la estructura sigue siendo dura, y la matriz en total es más estable debido a la presencia de nanotubos. Trabajando con los cnTs, hay que saber que son tóxicos. Su toxicidad se puede disminuir funcionalizando los cnTs con varios grupos orgánicos [8]. NANOESTRUCTURAS DE CARbONO CON DIFERENTES GRUPOS FUNCIONALES POR: OxANA VASILIEVNA kHARISSOVA

96 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Referencias Datos del autor: [1] geim, a.k and novoselov, k.S.. The rise of graphene. Nature Oxana Vasilievna Kharissova materials. vol. 6, nu. 3, pp. 183-191. 2007. graduada en la Universidad Estatal de moscú, rusia en 1994 [2] gogotsi, Y. (Edit.). Carbon Nanomaterials. crc Press. P. 344. (maestría en crecimiento de cristales) y en la fimE-Uanl 2006. en 2001 (Doctorado en materiales). actualmente trabaja [3] langa, f. and Nierengarten, j.f. (Edits). fullerenes: Principles en la facultad de ciencias físico matemáticas de la Uanl and Applications. royal Society of chemistry. P.300. 2007. como Profesora investigadora. Tiene Sni ii y cuenta con 62 [4] Petrukhina, m.a. and Scott, l.T. Fragments of Fullerenes and artículos en revistas indexadas, 3 libros, 15 capítulos de libros, 4 patentes y tiene 184 citas. Carbon Nanotubes: Designed Synthesis, Unusual Reactions, and Coordination Chemistry. Wiley. P.440. 2011. Dirección del autor: fcfm-Uanl, ciudad Universitaria, San [5] radushkevich, l.v. and lukianovich, v.m. \"about carbon nicolás de los garza, n.l. 66450, méxico. structure, formed by thermal decomposition of carbon monoxide Email: [email protected] at iron contact\". Zhurn. Fiz. Khim. (Traducción al inglés como Russ. J. Phys. Chem.), vol. XXvi, nu.1, pp.88-95. 1952. [6] mishra, a.k. Carbon Nanotubes: Synthesis and Properties (nanotechnology Science and Technology). nova Science. P.413. 2013. [7] Tanaka, k. and iijima, S. Carbon Nanotubes and Graphene, Second Edition. Elsevier Science. P.432. 2013. [8] kharisov, b.i., kharissova, O.v., leija gitierrez, H. and Ortiz méndez, U. \"recent advances on the soluble carbon nanotubes\". Ind. Eng. Chem. Res. vol. 48, nu. 2, pp.572-590. 2009. NANOESTRUCTURAS DE CARbONO CON DIFERENTES GRUPOS FUNCIONALES POR: OxANA VASILIEVNA kHARISSOVA

ESPECIAL / 3ER FORO CELERINET ENERO-JUNIO 2013 97 fEnómEnOS fíSicOS DE laS nanOParTícUlaS DE OrO Carlos Luna Criado Diana Castañeda rodríguez rafael Alberto rosas torres Blanca patricia sánchez juárez UANL-FCFM Facultad de Ciencias Físico Matemáticas raquel Mendoza reséndez UANL-FIME Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Universidad Autónoma de Nuevo León San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México Resumen: El oro ha sido uno de los materiales más preciados por el hombre desde la antigüedad por sus excelentes propiedades, entre las que destaca su hermoso color y brillo, su maleabilidad y su estabilidad química. En las últimas décadas, el interés por este material se ha incrementado al encontrar que el oro en forma de nano- partículas presenta fenómenos físicos nuevos que incre- mentan su potencial tecnológico. En esta contribución presentamos una breve descripción de algunos de estos fenómenos, los cuales son objeto de estudio del cuerpo académico física de los sistemas de baja dimensionali- dad y sus aplicaciones de la fcfm de la Uanl. Palabras claves: oro, nanoestructuras, nanomateriales

98 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ESPECIAL / 3ER FORO Introducción tamaño y forma del material. De este modo, el estudio aunque el oro es uno de los materiales más conocidos de esta nueva fenomenología resulta fundamental para el entendimiento de los efectos colectivos, y utilizados desde la antigüedad, no ha dejado de atraer supericiales y de coninamiento responsables de las fuertemente la atención de la comunidad cientíica propiedades y fenómenos únicos de los sistemas de baja debido a sus excelentes propiedades. El oro es un dimensionalidad, y que podría explotarse en el diseño de metal de transición que tiende a aparecer en su estado nuevos dispositivos y tecnologías así como el desarrollo metálico (tiene potenciales de reducción estándar altos de nuevas técnicas terapéuticas y de diagnóstico [4]. y positivos [1], siendo en este estado poco reactivo, por lo cual presenta una gran estabilidad química y una En este trabajo presentamos una breve descripción notable resistencia a la corrosión. además, el oro es el de algunos fenómenos físicos asociados a las metal más dúctil y maleable. Estas propiedades, junto al nanoestructuras de oro, mostrando algunos resultados característico color amarillo brillante que presenta en su obtenidos por nuestro grupo de investigación. Todas las estado masivo han hecho que el oro pertenezca, junto a iguras presentadas son originales y no se han publicado la plata, el platino y el rodio, al grupo los metales más previamente. preciado en los trabajos de joyería. Por otro lado es un Resonancia de plasmones supericiales excelente conductor de electricidad y calor. la baja reactividad del oro lo convierte en el metal En los metales existe una gran cantidad de electrones (digamos del orden del número de avogadro, ≈10 ) que no 23 más inocuo para la salud humana. De hecho, aunque se encuentran ligados a un determinado núcleo atómico, de poco utilizado, se emplea en su estado metálico como modo que se pueden mover libremente dentro del material un colorante alimentario en alta gastronomía (codex formando un plasma. con la aplicación de campos alimentarius E-175), y en particular, como un añadido eléctricos, estos electrones luyen a través del material decorativo de algunas bebidas alcohólicas (tales como dando lugar al fenómeno de la conducción eléctrica. la bebida polaca Goldwasser de Danzig o algunos vinos cuando se hace incidir radiación electromagnética como el Centvum Vitis). Por otro lado, su uso terapéutico (i.e. campos electromagnéticos oscilantes) sobre los anti-inlamatorio en dolencias como la artritis reumatoide metales, se pueden inducir excitaciones colectivas de parece muy prometedor [2,3]. no obstante, cabe señalar los electrones libres, denominadas plasmones. Estas que algunas de sus sales, tales como el cloruro de oro, sí ondulaciones electrónicas se pueden propagar en la presentan toxicidad. interfase de un metal y un material dieléctrico dando recientemente, el interés por este material en forma lugar a un plasmón supericial. cuando la frecuencia de partículas de tamaño nanométrico se ha visto renovado de la radiación incidente coincide con la frecuencia y fortalecido debido a los comportamientos físicos resonante de la oscilación colectiva de los electrones de que exhiben estos sistemas, que son muy diferentes conducción, se produce un fenómeno de absorción. En a los observados en el oro a escala macroscópica el caso de metales con baja dimensionalidad (películas y los cuales presentan nuevas dependencias con el delgadas y metales nanométricos), la resonancia del plasmón (que llamaremos resonancia del plasmón supericial localizado, LSPR según sus siglas en inglés localized Surface Plasmon resonance) presenta una frecuencia característica fuertemente dependiente del tamaño y forma del material debido a efectos de coninamiento [4]. En el caso de las nanoestructuras de los metales nobles como el oro y la plata, la banda de extinción lSPr cae dentro del espectro visible, de modo que estas nanoestructuras presentan colores diferentes a los observados en sus análogos macroscópicos y que pueden variar según el tamaño de partícula. a modo de ejemplo ilustrativo, en la Figura 1A Figura 1. A) Espectro ultravioleta-visible de una se muestra el espectro ultravioleta-visible de una suspensión coloidal de nanopartículas de oro. La imagen suspensión coloidal de nanopartículas de oro. En interior es una fotografía de la muestra estudiada donde se evidencia la presencia de partículas mediante el la imagen interior se muestra una fotografía de este efecto Tyndall. B) Imagen de microscopía electrónica de coloide donde se aprecia su color rosáceo, el cual es transmisión de la misma muestra. FENÓMENOS FÍSICOS DE LAS NANOPARTÍCULAS DE ORO POR: LUNA et al

(1) ( ) ( ) (2) ⁄ (3) ( ) (4) ( ) ( ) ( ) ⁄ = 0 (5) ̂ ( ) ( (1) ( ) ( ) ) (2) ⁄ ESPECIAL / 3ER FORO ̂ ( ) ( ) = Kl (6) 99 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ( ) (3) = (7) ̂ ( ) ( ) ⁄ muy diferente del color dorado del oro en bulto. En esta ( ) ( ) ( ) (4) fotografía se puede observar que la suspensión presenta ̂ ( ) ( ) = 0 (8) (8) el efecto Tyndall al hacerla incidir un haz láser. En la Figura 1B se muestra una micrografía de microscopía siendo σ y K las densidades de carga y corriente = 0 (5) l l electrónica de transmisión (mET) de la misma muestra, asociadas a las cargas libres de la supericie frontera y n ̂ ̂ ( ) ( ) donde se evidencia la uniformidad, la morfología el vector unitario normal a dicha supericie. 2  E + k E = 0 y  H + k H = 0 (9) 2 2 2 = Kl (6) esférica y el pequeño tamaño de las partículas presentes ̂ ( ) ( ) desacoplar dando las ecuaciones (1)-(4) se pueden en la suspensión (su diámetro promedio es de 6 ± 2 nm). lugar a ecuaciones de ondas que describen a la radiación = (7) este aunque la naturaleza de este fenómeno debe electromagnética en un medio material. De ̂ ( ) ( ) describirse en el contexto de la mecánica cuántica, modo, los campos eléctrico y magnético de una onda (10) ( ) ( ) ∑ donde se tratan a los plasmones como cuasi-partículas, electromagnética plana y monocromática (con longitud = 0 (8) ̂ ( ) ( ) los procesos de absorción, dispersión y extinción de onda λ ) que se propaga en un medio determinado (11) ( ) (| | | | ) derivados de los plasmones supericiales pueden con permitividad eléctrica ɛ y permeabilidad magnética ∑ describirse cuantitativamente empleando el modelo µ son soluciones de las ecuaciones de onda: (1) ( ) ( ) teórico que mie desarrolló en 1908 [5], basado en la (12) (1) 2 ) ( ) 2 ( 2 teoría electromagnética clásica. En la siguiente sección  E + k E = 0 y  H + k H = 0 (9) 2 (2) (9) ⁄ describiremos brevemente este modelo. (2) ⁄ es el número de ondas de Teoría de Mie de la dispersión y absorción de la d o n d e (3) ( ) (3) luz por partículas pequeñas la onda en el medio en cuestión. En muchos medios, μ ( ) ( ) ( ) ( ) (13) toma un valor cercano a 1 y por tanto, n ≈ ϵ. En la (10) (4) ( ) ∑ ( ) ( ) ⁄ ( ) ( ) √ cuando se hace incidir luz sobre una partícula metálica, su frontera entre la partícula metálica y el medio en el ( ) (4) ( ) ( ) ( ) ⁄ ( ) ( ) ( ) ( ) campo electromagnético induce una excitación colectiva que se encuentra inmersa, tanto ɛ como µ cambiarán (11) en los electrones de valencia de la partícula, por lo que bruscamente presentando una discontinuidad. En el caso ( ) (| | | | ) ( ) ( ) ( ) (14) ∑ ( ) la partícula a su vez irradiará radiación electromagnética de partículas con morfología esférica, las ecuaciones = 0 (5) ( ) ( ) ̂ ( ) ( ) (12) ( ) ( ) = 0 (5) dando lugar a un proceso de dispersión. Por otro lado, del problema se pueden resolver analíticamente cuyas ̂ ( ) ( ) en el proceso de transferencia de energía de la luz a la soluciones fueron propuestas por primera vez por mie = Kl (6) siendo m = np/nm y x = 2r0/. partícula, parte de la energía se disipa en forma de calor. [5]. a partir de estas soluciones se puede calcular las ̂ ( ) ( ) = Kl (6) a este proceso se le denomina absorción. Para describir secciones eicaces de absorción (σ ), dispersión (σ ) ̂ ( ) ( ) dis abs = (7) teóricamente este problema físico, consideremos las y de extinción (σ ), siendo esta última la suma de las ̂ ( ) ext ( ) ( ) = (7) ecuaciones de maxwell: dos primeras. De acuerdo a esta teoría, para una partícula ( ) ( ) (13) ( ) ̂ ( ) ( ) esférica metálica de radio r con una permitividad ( ) ( ) ( ) = 0 (8) ( ) 0 ̂ ( 2 ) ( ) = 0 (8) ( ) ( ) (1) (1) eléctrica ɛ =n (la cual debe expresarse con números p p (15) ( ) ( ) ̂ complejos en las partículas metálicas para poder describir ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) (14) ⁄ (2) (2) el fenómeno de absorción), que se encuentra inmersa en 2 ( ) ( ) ( ) ( ) un medio con permitividad ɛ ≈n y en la cual incide m m ( ) (3) (3) una onda electromagnética plana con frecuencia ω =2π/ 2 2 2 2  E + k E = 0 y  H + k H = 0 (9) siendo m = np/nm y x = 2r0/. 2 2 2 2 ( ) ( ) (1) λ=k/n , las secciones eicaces σ , σ y σ se pueden  E + k E = 0 y  H + k H = 0 (9) ⁄ m dis ( ) ( ) ( ) (4) (4) calcular mediante las siguientes series: ext abs ⁄ (2) ( ) ( ) (3) siendo ρ l y J las densidades de carga y corriente ∑ (10) ( ) (10) (10) l = 0 (5) asociadas a los electrones libres o de conducción. ∑ ( ) ( ) ̂ ( ) ( ) (11) ⁄ ( ) ( ) ( ) (4) | | (15) ( ) ) ( ) (| | las condiciones de contorno asociadas a estas ∑ (11) ecuaciones son: = Kl (6) ∑ ( ) (| | | | ) (11) ̂ ( ) ( ) (12) (12) = 0 (5) (12) = (7) (5) ̂ ( ) ( ) ̂ ( ) ( ) donde : = 0 (8) = Kl (6) (6) ̂ ( ) ( ) ̂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (13) (13) ( ) ( ) ( ) = (7) (7) ( ) ( ) ( ) ( ) (13) ( ) ̂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2  E + k E = 0 y  H + k H = 0 (9) ( ) ( ) ( ) ( ) (14) = 0 (8) ( ) ( ) ̂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (14) ( ) ( ) ( ) ( ) FENÓMENOS FÍSICOS DE LAS NANOPARTÍCULAS DE ORO ( ) ( ) siendo m = np/nm y x = 2r0/. ( ) ( ) (10) siendo m = np/nm y x = 2r0/. POR: LUNA et al ∑ 2 2 2 2  E + k E = 0 y  H + k H = 0 (9) ∑ ( ) (| | | | ) (11) ( ) ( ) (10) (15) (12) ∑ ( ) (15) ( ) ( ) (| | | | ) (11) ∑ (12) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (14) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (13) ( ) siendo m = np/nm y x = 2r0/. ( ) ( ) ( ) ( ) (14) ( ) ( ) ( ) ( ) siendo m = np/nm y x = 2r0/. ( ) (15) (15) ( )

(1) ( ) ( ) (2) ⁄ (2) ⁄ (3) ( ) (3) ( ) (4) ⁄ ( ) ( ) ( ) (4) ⁄ ( ) ( ) ( ) = 0 (5) ̂ ( ) ( ) = 0 (5) ̂ ( ) ( ) = Kl (6) ̂ ( ) ( ) = Kl (6) ̂ ( ) ( ) = (7) ̂ ( ) ( ) = (7) ̂ ( ) ( ) = 0 (8) ̂ ( ) ( ) = 0 (8) ̂ ( ) ( ) 2 2 2 2  E + k E = 0 y  H + k H = 0 (9) 2 2 2 2  E + k E = 0 y  H + k H = 0 (9) (10) ( ) ( ) ∑ (10) ( ) ( ) ∑ (11) ( ) (| | | | ) ∑ (11) ( ) (| | | | ) ∑ (12) (12) ( ) ( ) (1) ( ) 100 CELERINET ENERO-JUNIO 2013 ( ) ( ) ( ) ESPECIAL / 3ER FORO (13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (14) A 3.0 ( ) ( ) ( ) ( ) (14) ( ) ( ) ( ) ( ) (14) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 2.5 1 nm 50 nm siendo m = np/nm y x = 2r0/. 60 nm 2 nm 2 ) x 10 2.0 10 nm 80 nm siendo m = np/nm y x = 2r0/. 70 nm 5 nm 20 nm 90 nm 30 nm 100 nm las funciones ψ y ξ (x) son las funciones ricatti- 1.5 40 nm j  abs (m 1.0 bessel, que son soluciones de la ecuación diferencial (15) j : (15) 0.5 ( ) ( ) 0.0 y que se pueden deinir como: (15) B 2.5 1 nm 50 nm (16) 14 2.0 2 nm 60 nm ( ) √ ( ) (16) 5 nm 70 nm 2 ) x 10 1.5 10 nm 80 nm (16) 20 nm 90 nm 100 nm 30 nm 40 nm (17) (17) ( ) √ [ ( ) ( ) √ ( )] ( )  dis (m 1.0 donde j y Y son las funciones de bessel de primer y (16) ( ) ( ) √ 0.5 α α ( ) ( ) √ [ 0.0 segundo orden, respectivamente. ( )] (17) (18) (17) ( ) ( ) j ( ) las funciones con primas, ψ ´ y ξ ´, indican C 5 derivadas de las funciones con respecto al argumento en j ( )] ( ) √ [ ( ) 14 4 1nm 50 nm paréntesis y se pueden expresar del modo siguiente: 60 nm 2nm (18) ( ) ( ) ( ) 2 ) x 10 3 5 nm 70 nm ( ) ( ) ( ) (18) 80 nm (19) 10 nm ( ) (18) 90 nm 20 nm ( ) ( ) 100 nm 30 nm  ext (m 2 40 nm ( ) ( ) ( ) (19) (19) 1 (19) ( ) 0 Estas ecuaciones nos permiten estimar las ( ) ( ) 300 400 500 600 700 800 900 1000 dependencias de σ , σ y σ en función del material de (nm) la partícula y su diámetro, el medio en el que se encuentra  ext dis abs y la longitud de onda de la radiación incidente. En la Figura 2. Valores calculados (a partir de la teoría de Figura 2 presentamos los valores estimados de σ , σ dis abs Mie) de las secciones eicacesσabs, σdis y σext de y σ en función de la longitud de onda de la radiación ext nanopartículas de oro de diversos tamaños (1-100 nm) incidente para nanopartículas de oro de diversos tamaños dispersadas en agua en función de la longitud de onda de (1-100 nm) dispersadas en agua (n =1.33). m la radiación incidente Es importante destacar que la banda de absorción debida al fenómeno de lSPr puede verse modiicada signiicativamente si la nanopartícula es dopada con otro metal. También puede modiicarse recubriendo las partículas iniciales con otro metal noble, coniriendo a la partícula una estructura tipo corazón-coraza. También la modiicación de la forma de las nanopartículas da lugar a importantes variaciones en la banda de extinción lSPr, de hecho una morfología anisotrópica suele dar lugar a la aparición de varias bandas de extinción [6]. También es muy susceptible a la variación de las propiedades FENÓMENOS FÍSICOS DE LAS NANOPARTÍCULAS DE ORO POR: LUNA et al