การแปลงทางเรขาคณิต

4หน่วยการเรียนรทู้ ่ี การเปลย่ี นแปลงทางเรขาคณติ ตัวช้วี ัด • เข้าใจและใช้ความรู้เกย่ี วกบั การแปลงทางเรขาคณติ ในการแก้ปญั หาคณติ ศาสตรแ์ ละปัญหาในชีวติ จริง (ค 2.2 ม.2/3)

แมน่ าง เจ้าทราบหรือไม่วา่ พัดท่ีเจ้าถือเก่ยี วขอ้ งกบั การแปลงทางเรขาคณิตอยา่ งไร ไมท่ ราบเจา้ คะ ทา่ นจอมยทุ ธ

ควรรู้กอ่ นเรียน 30° การบอกทศิ ทางของมุม ตามเข็มนาฬกิ า AB෡C มขี นาด 30° ทวนเขม็ นาฬกิ า ในทิศทางตามเข็มนาฬกิ าจาก BC 30° AB෡C มีขนาด 30° ในทิศทางทวนเขม็ นาฬกิ าจาก BC

ควรรกู้ ่อนเรียน รปู ท่มี แี กนสมมาตร รปู ที่พับครึง่ แล้ว แต่ละข้างของรอยพบั ทับกนั สนิท รอยพบั นีเ้ รยี กว่าแกนสมมาตร และเรียกรปู นีว้ า่ เป็น รปู สมมาตร

ควรรู้ก่อนเรยี น Y ค่อู นั ดับ 5 A (3, 4) X 4 เปน็ การเขียนสัญลกั ษณ์แสดงการจับคูร่ ะหว่าง 1 23 4 สมาชิกสองกลมุ่ การจบั ครู่ ะหว่าง a และ b เขยี น B(-2, 3) แทนด้วยสญั ลกั ษณเ์ ป็น (a, b) อา่ นวา่ ค่อู ันดบั เอบี D (2, -2) 3 คอู่ ันดบั ของจดุ A, B, C และ D เขยี นไดอ้ ย่างไร 2 1 -3 -2 -1 0 C (-2, -1)-1 -2

การแปลง การแปลงทางเรขาคณิต เป็นการดาเนินการเก่ียวกับรูปเรขาคณิต ซ่ึงทาให้เกิดการเปล่ียนแปลงจากตาแหน่งหน่ึงไปยังอีกตาแหน่ง หน่ึง โดยขนาดและรูปร่างอาจมีการเปล่ียนแปลง แต่การเรียนใน ระดับช้ันนี้จะเรียนเฉพาะการแปลงท่ีทาให้ภาพท่ีได้มีรูปร่างและ ขนาดเท่าเดิมเท่าน้ัน

การแปลง การแปลงทางเรขาคณิต การแปลง (transformation) เรียกรปู ก่อนการแปลงว่า รปู ต้นแบบ (pre-image) และเรียกรูปหลงั การแปลงว่า ภาพ (image) A A΄ เรียกจุด A΄ (อา่ นวา่ เอไพร์ม) ว่าเป็นจดุ ทีไ่ ด้จากการแปลง จุด A และเรียกจุด A และ A΄ วา่ เป็นจุดทีส่ มนัยกัน P P΄ เรยี กจุด P΄ (อา่ นว่า พีไพร์ม) วา่ เปน็ จุดที่ได้จากการแปลง จุด P และเรยี กจดุ P และ P΄ วา่ เปน็ จดุ ท่ีสมนัยกนั

การแปลง พจิ ารณารปู ต่อไปนี้ กาหนดให้ ∆ABC เปน็ รูปตน้ แบบ และ ∆A΄B΄C΄ เปน็ ภาพที่ได้จากการแปลง A΄ จะได้วา่ จดุ A และจดุ A΄ เปน็ จดุ ทส่ี มนยั กัน จุด B และจดุ B΄ เป็นจดุ ที่สมนัยกนั B΄ จุด C และจุด C΄ เป็นจดุ ทส่ี มนยั กัน A C΄ ทาให้ AB = A΄B΄ , BC = B΄C΄ , และ CA = C΄A΄ เนือ่ งจากเปน็ ด้านคู่ทีส่ มนัยกนั BC และ AB෡C = A′B෡′C′ , BC෠A = B′C෠′A′ , และ CA෡B = C′A෡′B′ เน่อื งจากเปน็ มุมคทู่ สี่ มนัยกนั

การแปลง พิจารณารปู ตอ่ ไปน้ี กาหนดให้ ∆ABC เปน็ รปู ตน้ แบบ และ ∆A΄B΄C΄ เปน็ ภาพท่ไี ด้จากการแปลง A΄ จะเห็นวา่ มมุ คู่ท่ีสมนัยกนั จะมีแขนของมุมเป็นด้านท่ี สมนยั กนั รูป ∆ABC และรูป ∆A΄B΄C΄ มีด้านค่ทู ่สี มนยั กนั B΄ C΄ 3 คู่ ซึ่งกล่าวได้ว่ารูป ∆ABC และรูป ∆A΄B΄C΄ มีขนาด A เทา่ กัน และมีรปู รา่ งเหมือนกัน BC

การแปลง การแปลงทางเรขาคณติ ทีจ่ ะนาเสนอมที ้งั หมด 3 แบบ ได้แก่ การเล่ือนขนาน การสะท้อน การหมนุ (translation) (reflection) (rotation) ซึ่งการแปลงแต่ละแบบเปน็ การแปลงทางเรขาคณติ ท่ไี ด้ภาพทมี่ ีรปู ร่าง และขนาดเหมอื นกันกับรูปต้นแบบเสมอ

การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมนุ การเลอื่ นขนาน ในชวี ติ จรงิ มอี ุปกรณอ์ านวยความสะดวกหลายอยา่ งทีเ่ ก่ียวข้องกับ การเล่ือนขนาน เชน่ บันไดเลอ่ื น ลิฟต์ ล้อรถแทรกเตอร์ เคร่ืองจกั ร ชักรอกปนู ซเี มนต์ นอกจากนี้ยงั เกยี่ วกบั ดา้ นกฬี าดว้ ย เชน่ กฬี าหมากฮอส หมากรุก คนขึ้นบันไดเลื่อน การเดินหมากฮอส

การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมนุ การเลือ่ นขนานรูปเรขาคณติ บนระนาบ พิจารณาการเลอ่ื นจุด A จดุ B และจดุ C ไปในทศิ ทางตามท่กี าหนด B C΄ จุด A΄ เกดิ จากการเลื่อนจดุ A ไปทางซา้ ย 3 หนว่ ย และกล่าวว่า จดุ A΄ กับจดุ A เป็นจดุ ทส่ี มนยั กัน 2 หน่วย 3 หน่วย จดุ B΄ เกิดจากการเล่อื นจดุ B ลงมาในแนวดิ่ง 2 หนว่ ย และกล่าวว่า จดุ B΄ กบั จดุ B เป็นจุดที่สมนัยกัน B΄ C จดุ C΄ เกดิ จากการเลือ่ นจดุ C ไปทางขวา 3 หน่วย และขน้ึ ไปใน 3 หน่วย แนวด่งิ 3 หนว่ ย และกลา่ ววา่ จดุ C΄ กับจดุ C เป็นจดุ ที่สมนยั กนั A΄ A 3 หนว่ ย

การเล่ือนขนาน การสะท้อน และการหมนุ การเล่ือนขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ พจิ ารณาการเลอื่ นจดุ A จดุ B และจดุ C ไปในทศิ ทางตามท่กี าหนด B C΄ บทนิยาม 2 หนว่ ย 3 หน่วย การเล่อื นขนานบนระนาบ เป็นการแปลงทางเรขาคณิตแบบหน่ึง 3 หน่วย ท่ีมีการจับคู่ระหว่างจุดสองจุดใด ๆ ซ่ึงเป็นจุดที่สมนัยกัน คือ B΄ C จุดบนรปู ตน้ แบบกับจุดบนภาพที่ได้จากการแปลง โดยจุดทุกจุด บนรูปต้นแบบมีการเล่ือนไปในทิศทางเดียวกัน และเป็นระยะ A΄ A เท่ากัน ซ่ึงทาให้ขนาดและรูปร่างของภาพท่ีได้จากการแปลง เหมือนรปู ต้นแบบ 3 หน่วย

การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมุน การเล่อื นขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ พจิ ารณาการเล่ือนขนานส่วนของเสน้ ตรง MN ไปทางขวา 4 หน่วย จะได้สว่ นของเสน้ ตรง M΄N΄ ดังน้ี พบว่า M M΄ 1) จุด M΄ กับจดุ M เป็นจุดทสี่ มนัยกันและจดุ N΄ กบั จดุ N N N΄ เปน็ จดุ ท่ีสมนัยกัน 2) จุด M΄ อยู่หา่ งจากจุด M ไปทางขวา 4 หน่วยและจุด N΄ อยู่หา่ งจากจุด N ไปทางขวา 4 หนว่ ย จาก 1) และ 2) สามารถสรปุ ไดว้ ่า MN = M΄N΄ และ MM′ // NN′ เม่ือเลือกจดุ ใดๆ บน MM จะมจี ุดหนึง่ จุดบน M′N′ ซึง่ มีระยะหา่ ง ไปทางขวา 4 หน่วย เปน็ จุดทีส่ มนัยกนั

การเลอื่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมุน การเลื่อนขนานรปู เรขาคณิตบนระนาบ การเล่ือนขนานรูปสามเหลย่ี มสามารถทาได้โดยใช้พิกดั ของจดุ ยอดมุมทัง้ สาม พจิ ารณาการเล่ือนขนานรูปสามเหลยี่ ม PQR R΄ พบวา่ Q΄ R รปู ∆P′Q′R′ เกิดจากเลือ่ นขนาน ∆PQR ไปทางซ้าย 4 หน่วย P΄ และขึน้ ไปดา้ นบนอีก 3 หนว่ ย สามารถสรุปได้ว่า เมอ่ื ลาก PP′ , QQ′ และ RR′ จะพบวา่ P′Q′ กบั PQ Q เป็นด้านทส่ี มนยั กนั Q′R′ กบั QR และ R′P′ กบั RP ก็เป็นดา้ นทสี่ มนัยกันเช่นกนั P ทาใหไ้ ด้ว่า PP′ = QQ′ = RR′ และ PP′ // QQ′ // RR′ คณติ นา่ รู้ การเลื่อนขนานส่วนของเส้นตรงทเ่ี ช่อื มระหว่างจดุ ทสี่ มนัยกันแตล่ ะคจู่ ะขนาน กนั และยาวเทา่ กนั

การเล่อื นขนาน การสะท้อน และการหมุน การเลือ่ นขนานรูปเรขาคณิตบนระนาบ การเลือ่ นขนานรปู สามเหลี่ยมสามารถทาได้โดยใชพ้ กิ ัดของจุดยอดมุมท้งั สาม พิจารณาการเล่ือนขนานรูปสามเหลย่ี ม PQR R΄ พบวา่ A΄ Q΄ R ถา้ ให้ A เปน็ จุดใดๆ บน ∆PQR แล้วจะมีจดุ A΄ เปน็ จุดที่สมนัยบน ∆P′Q′R′ P΄ A และ AA΄ จะขนานและยาวเทา่ กบั PP′ , QQ′ และ RR′ P อาจกลา่ วไดว้ า่ จดุ ทุกจุดบน ∆P′Q′R′ อยหู่ ่างจากจดุ ทกุ จดุ ที่สมนยั กนั จุดตอ่ จุด ไปทางซ้าย 4 หนว่ ย และข้นึ ไปด้านบน 3 หนว่ ย ของ ∆PQR Q

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมุน การเลอื่ นขนานรูปเรขาคณิตบนระนาบ การเลอ่ื นขนานรูปสามเหลีย่ มสามารถทาไดโ้ ดยใช้พกิ ดั ของจุดยอดมมุ ทงั้ สาม พิจารณาการเลือ่ นขนานรูปสามเหล่ียม PQR R΄ คณิตน่ารู้ N P΄ A΄ Q΄ R การบอกทิศทางและระยะทางของการเล่ือนขนาน จะใชเ้ วกเตอรเ์ ปน็ ตวั กาหนด จากรปู ใชเ้ วกเตอร์ MN เพื่อบอกทิศทางและระยะของการเลอื่ นขนาน A Q โดยมี M เปน็ จดุ เริม่ ตน้ N เป็นจุดสิน้ สุด และมี MN เปน็ ระยะของการเล่อื นขนาน เขียนแทนเวกเตอร์ MN ด้วยสญั ลกั ษณ์ MN MP สามารถสรุปได้วา่ 1) PP′ // QQ′ // RR′ // AA′ // MN′ 2) PP′ = QQ′ = RR′ = AA′ = MN

เพื่อความเขา้ ใจย่งิ ข้นึ เราไปดูวิดโี อตัวอยา่ งกนั การเลื่อนขนาน หรอื https://youtu.be/MmSlUbeRc8E



การเล่ือนขนาน การสะท้อน และการหมนุ การเล่อื นขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ ตวั อยา่ ง พจิ ารณาตวั อย่างต่อไปน้ี Y N T(-4,2) S(2,3) SR C΄ O X C U(-4,-3) V(4,-2) D P QM ตัวอย่างที่ 1 ตวั อย่างท่ี 2 ตวั อย่างที่ 3

การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมนุ ตัวอยา่ งที่ 1 การเลอื่ นขนานรูปเรขาคณิตบนระนาบ กาหนดรปู PQRS เป็นรูปตน้ แบบ จงสรา้ งภาพที่ได้จากการเลอื่ นขนานรปู PQRS ตาม MN S΄ R΄ วิธีทา การเลอื่ นขนานจะมสี ว่ นของเสน้ ตรงทเ่ี ชือ่ มระหวา่ งจดุ สองจุดทสี่ มนยั กัน แต่ละคจู่ ะขนานกันและยาวเทา่ กัน หาจุด P΄, จุด Q΄, จดุ R΄ และ จุด S΄ ซ่ึงเปน็ จดุ ทีส่ มนยั โดยลากเส้นประ PP΄, QQ΄, RR΄ และ SS΄ ให้ขนานกบั MN ซงึ่ PP΄= QQ΄= RR΄= SS΄= MN N แล้วลาก P′Q′, Q′R′, R′S′ และ S′P′ S P΄ R Q΄ ดังนนั้ รปู P΄Q΄R΄S΄ เปน็ ภาพทีไ่ ดจ้ ากการเล่อื นขนานรูป PQRS ตาม MN M คณติ นา่ รู้ PQ รูปPQRS และ รปู  P΄Q΄R΄S΄ มรี ูปร่างและมีขนาด เท่ากัน กล่าวได้วา่ รปู สีเ่ หลี่ยมท้งั สองเท่ากันทกุ ประการ

การเลือ่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ การเลอ่ื นขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ ตวั อย่างที่ 2 รปู สามเหลี่ยม C΄ เป็นรูปทไ่ี ดจ้ ากการเล่ือนขนานรปู สามเหล่ยี ม C จงสรา้ งภาพที่ได้จากการเลอ่ื นขนาน รูปสามเหล่ยี ม D ซึ่งเป็นรูปตน้ แบบ โดยมรี ะยะทางและทิศทางเดยี วกนั กบั รปู สามเหล่ียม C ไปรปู สามเหลย่ี ม C΄ วธิ ีทา 1. หาเวกเตอรใ์ นการเลอื่ นขนานรูป C และรปู C΄ โดยเลือกจดุ คู่ทสี่ มนัยกนั ให้เป็นจดุ X และจดุ Y ลาก XY จะได้ทศิ ทางและระยะทางที่เลอื่ นขนาน S΄ T΄ 2. กาหนดจุด S, จดุ T และจุด U เป็นจุดยอดมมุ ของรปู สามเหล่ียม D Y D΄ ท่ีจุดยอดมมุ ลากเส้นประใหข้ นานกับ XY และมคี วามยาวเท่ากบั XY C΄ X S U΄ 3. จะไดจ้ ดุ S΄, จดุ T΄ และจดุ U΄ สมนัยกบั จุด S, จุด T, และจุด U T ตามลาดับ C D 4. ลาก S′T′, T′U′ และ U′S′ จะได้รปู สามเหลี่ยม D΄ ที่มีจดุ S΄, จดุ T΄ และจดุ U΄ เป็นจุดยอดมมุ U ดงั นน้ั รูปสามเหลี่ยม D΄ เปน็ ภาพท่ไี ดจ้ ากการเลื่อนขนานรปู สามเหลีย่ ม D ในทิศทางเดียวกับ XY และหา่ งกันเป็นระยะทางเท่ากับ XY

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมุน การเล่อื นขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ ตัวอยา่ งที่ 3 จงพจิ ารณาของจุดที่เกดิ จากการเลื่อนขนานจดุ S, จุด T, จุด U และจุด V ซงึ่ เป็นรูปตน้ แบบ Y T(-4, 2) S(2, 3) 1. เล่อื นจดุ S(2, 3) ขนานกับแกน X ไปทางขวา 4 หน่วย วิธที า O 2. เล่ือนจุด T(-4, 2) ขนานกับแกน X ไปทางซา้ ย 2 หน่วย วธิ ที า X V(4, -2) 3. เลื่อนจดุ U(-4, -3) ขนานกับแกน Y ข้ึนไปด้านบน 4 หนว่ ย วธิ ีทา U(-4, -3) 4. เลอื่ นจดุ V(4, -2) ขนานกบั แกน Y ลงมาด้านลา่ ง 2 หนว่ ย วธิ ีทา

การเล่อื นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ การเลื่อนขนานรปู เรขาคณิตบนระนาบ ตัวอยา่ งท่ี 3 จงพจิ ารณาของจุดทเ่ี กดิ จากการเล่ือนขนานจุด S, จุด T, จุด U และจดุ V ซึ่งเปน็ รปู ต้นแบบ Y T(-4, 2) S(2, 3) S’(6, 3) 1. เลอื่ นจดุ S(2, 3) ขนานกบั แกน X ไปทางขวา 4 หน่วย วิธที า O X สรา้ งจุด S΄ ทเี่ กิดจากการเล่ือนจดุ S(2, 3) ใหข้ นานกบั แกน X V(4, -2) ไปทางขวา 4 หน่วย U(-4, -3) จะไดว้ ่า พกิ ดั จุดของ S΄ คือ S΄(6, 3)

การเล่ือนขนาน การสะท้อน และการหมุน การเล่อื นขนานรูปเรขาคณติ บนระนาบ ตัวอยา่ งท่ี 3 จงพิจารณาของจดุ ทเ่ี กิดจากการเล่อื นขนานจดุ S, จดุ T, จุด U และจุด V ซง่ึ เปน็ รปู ตน้ แบบ Y T(-4,2) S(2, 3) 2. เลื่อนจุด T(-4, 2) ขนานกับแกน X ไปทางซ้าย 2 หน่วย T’(-6,2) X วิธีทา O V(4, -2) สร้างจดุ T΄ ท่ีเกิดจากการเล่ือนจดุ T(-4, 2) ให้ขนานกบั แกน X U(-4, -3) ไปทางซา้ ย 2 หน่วย จะได้วา่ พิกดั จดุ ของ T΄ คอื T΄(-6, 2)

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ การเลื่อนขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ ตัวอยา่ งที่ 3 จงพจิ ารณาของจดุ ทเ่ี กิดจากการเลอ่ื นขนานจดุ S, จดุ T, จุด U และจดุ V ซงึ่ เปน็ รปู ต้นแบบ Y S(2, 3) 3. เลื่อนจุด U(-4,-3) ขนานกับแกน Y ขึน้ ไปดา้ นบน 4 หนว่ ย T(-4, 2) X วธิ ีทา U΄(-4, 1) V(4, -2) สร้างจดุ U΄ ที่เกิดจากการเล่อื นจดุ U(-4,-3) ให้ขนานกับแกน Y O ไปดา้ นบน 4 หน่วย จะได้วา่ พิกัดจุดของ U΄ คอื U΄(-4,1) U(-4, -3)

การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมนุ การเลื่อนขนานรปู เรขาคณิตบนระนาบ ตัวอย่างที่ 3 จงพจิ ารณาของจุดทเ่ี กดิ จากการเล่ือนขนานจดุ S, จดุ T, จุด U และจดุ V ซ่ึงเป็นรูปต้นแบบ Y T(-4, 2) S(2, 3) 4. เลอื่ นจดุ V(4, -2) ขนานกบั แกน Y ลงมาดา้ นล่าง 2 หน่วย วธิ ีทา O X สร้างจดุ V΄ ทเี่ กดิ จากการเลอื่ นจุด V(4, -2) ใหข้ นานกับแกน Y V(4, -2) ไปด้านลา่ ง 2 หนว่ ย U(-4, -3) V΄(4, -4) จะได้วา่ พกิ ดั จุดของ V΄ คอื V΄(4, -4)

การเล่อื นขนาน การสะทอ้ น และการหมุน การเลื่อนขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ ตัวอย่างท่ี 3 จงพิจารณาของจุดทีเ่ กดิ จากการเล่อื นขนานจุด S, จดุ T, จดุ U และจุด V ซึ่งเปน็ รูปตน้ แบบ Y S(2, 3) S΄(6, 3) 1. เลอื่ นจุด S(2, 3) ขนานกบั แกน X ไปทางขวา 4 หนว่ ย S΄(6, 3) 2. เลื่อนจดุ T(-4, 2) ขนานกบั แกน X ไปทางซา้ ย 2 หนว่ ย T΄(-6, 2) T(-4, 2) T΄(-6, 2) U΄(-4, 1) 3. เลื่อนจุด U(-4, -3) ขนานกบั แกน Y ข้ึนไปด้านบน 4 หนว่ ย U΄(-4, 1) O X 4. เลอ่ื นจดุ V(4, -2) ขนานกบั แกน Y ลงมาด้านลา่ ง 2 หน่วย V΄(4, -4) U(-4, -3) V(4, -2) คณติ นา่ รู้ V΄(4, -4) ในระบบพิกัดฉากจุดทแี่ กน X และแกน Y ตดั กนั เรียกว่า จดุ กาเนิด (Origin) เขียนแทนด้วย O ซ่ึงเปน็ จดุ ท่มี พี กิ ดั (0, 0)

การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมุน การเลือ่ นขนานรปู เรขาคณิตบนระนาบ จากตวั อย่างกอ่ นหนา้ สามารถสรปุ พกิ ัดของการเลอ่ื นขนานได้ ดงั น้ี กาหนดให้ A(x, y) เป็นรปู ตน้ แบบ และ a > 0 , b > 0 เม่ือเลอ่ื นขนานตามแกน X ไปทางขวา a หน่วย จะได้ A΄(x + a , y) เมื่อเลื่อนขนานตามแกน X ไปทางซ้าย a หนว่ ย จะได้ A΄(x - a , y) เมื่อเลื่อนขนานตามแกน Y ไปดา้ นบน b หนว่ ย จะได้ A΄(x , y + b) เมอ่ื เลอ่ื นขนานตามแกน Y ไปดา้ นล่าง b หน่วย จะได้ A΄(x , y - b) เมอ่ื A΄ เป็นภาพทีไ่ ด้จากการเลือ่ นขนาน

การเลื่อนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ การสะท้อน จากภาพเงาสะทอ้ นบนผิวน้าเกิดจาก โบราณสถานเปน็ รปู ต้นแบบ โดยมีสระนา้ เป็น เสมือนกระจกและแนวระดบั ผวิ นา้ เสมอื นเป็น เสน้ สะท้อน (line of reflection) เรียกเงาบน ผิวนา้ ว่า ภาพท่ีได้จากการสะท้อน

การเล่อื นขนาน การสะท้อน และการหมุน การสะทอ้ นรปู เรขาคณิตบนระนาบ จากรปู จะพบว่า A A΄ 1) จดุ A และจุด A΄ เป็นจุดที่สมนัยกัน โดยแต่ละจุดมีระยะห่างจากเส้นตรง L ซึ่งเป็น เสน้ สะทอ้ นเทา่ กัน 2) เสน้ ตรง L ต้ังฉากกับ AA′ 3) เมือ่ พบั โดยใหเ้ สน้ ตรง L เป็นรอยพับ จุด A กับจุด A΄ จะทับกันพอดี ซึ่งเป็นไปตาม บทนยิ าม ดังนี้ บทนยิ าม L การสะทอ้ นบนระนาบเป็นการแปลงเรขาคณติ ทีม่ ีการจบั คู่ระหว่างจุดสองจุดใดๆ ซึ่งเป็นจุดที่ สมนัยกัน คือ จุดบนรูปต้นแบบกับจุดบนภาพท่ีได้จากการสะท้อน โดยมีเส้นตรงเส้นหนึ่ง เรยี กวา่ เส้นสะทอ้ น แบง่ ครง่ึ และตั้งฉากส่วนของเส้นตรงที่มีจดุ คทู่ ี่สมนยั กนั เปน็ จดุ ปลาย

การเลอื่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมุน การสะท้อนรูปเรขาคณติ บนระนาบ MN เปน็ รูปต้นแบบจะได้ M′N′ เป็นภาพทีไ่ ดจ้ ากการสะทอ้ นโดยเส้นตรง L และใหจ้ ุด P เปน็ จุดใดๆ บน MN จะพบวา่ 1) จดุ M และจุด M΄ เปน็ จดุ ทส่ี มนยั ซึง่ หา่ งจากเส้นตรง L เป็นระยะ N N΄ 3 หนว่ ยเท่ากัน จดุ N กับจุด N΄ เป็นจุดทสี่ มนยั กันซงึ่ ห่างจากเสน้ ตรง L เป็นระยะ P P΄ 1 หนว่ ยเท่ากนั 2) เสน้ ตรง L แบ่งครงึ่ และตงั้ ฉากกับ MM′ และ NN′ M M΄ L 3) MM′ // NN′ ซง่ึ กลา่ วได้วา่ ส่วนของเส้นตรงมีจุดค่ทู ีส่ มนัยกันเป็น จุดปลายทุกเสน้ ขนานกนั และเม่อื P เป็นจุดใดๆ บน MN′ แลว้ จะมจี ุด P΄ บน MN′ ซึง่ สมนยั กบั จดุ P

การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน การสะทอ้ นรปู เรขาคณติ บนระนาบ การสะทอ้ น 1) ภาพที่ได้จากการสะทอ้ นมลี ักษณะเหมอื นรปู ตน้ แบบแต่ทศิ ทางกลบั กนั 2) เสน้ สะทอ้ นแบ่งคร่งึ และตัง้ ฉากกับสว่ นของเส้นตรงท่มี ีจุดคทู่ สี่ มนัยกนั เป็นจุดปลาย 3) เมื่อจดุ บางจดุ บนรูปตน้ แบบอย่บู นเส้นสะทอ้ น จุดทไ่ี ด้จากการสะทอ้ น จะเป็นจดุ เดียวกนั 4) ส่วนของเส้นตรงท่มี ีจุดคู่ทส่ี มนยั กนั เป็นจุดปลายทกุ เส้นขนานกัน

การเล่อื นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ รปู สมมาตรบนเส้น AG B คอื รูปท่สี ามารถพับใหท้ บั กันสนิทพอดไี ดแ้ ละเรยี ก E F รอยพับนั้นวา่ แกนสมมาตร (axis of symmetry) เช่น รปู ABCD เป็นรูปสเี่ หลย่ี มจัตุรัส ซงึ่ เปน็ รูปสมมาตรบนเสน้ ทม่ี ีแกนสมมาตร 4 แกน ไดแ้ ก่ AC, BD, EF และ GH DC H

การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมุน รูปสมมาตรบนเสน้ AGB จากรูปจะเหน็ ว่า ถ้าใหร้ ูป ∆ABC E F เป็นรปู ตน้ แบบจะไดร้ ปู ∆ADC เปน็ ภาพทไ่ี ด้จากการสะท้อน โดยมี AC เป็นเสน้ สะทอ้ น รูปสมมาตรบนเส้นเปน็ ภาพทไ่ี ด้ จากการสะท้อน โดยมแี กนสมมาตร เปน็ เส้นสะทอ้ น DC H

เพื่อความเขา้ ใจย่งิ ข้นึ เราไปดูวดิ โี อตัวอย่างกัน การสะทอ้ น หรอื https://youtu.be/1AAX8BYMbYo



การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน ตวั อยา่ ง รปู สมมาตรบนเส้น จงสร้างภาพท่ไี ดจ้ ากการสะทอ้ นรปู ต้นแบบ PQRS โดยมเี ส้นสะท้อนตา่ งๆ ดงั นี้ Y ขอ้ ที่ 1 แกน X ขอ้ ที่ 2 แกน Y X ข้อที่ 3 เส้นตรง L1 ขอ้ ที่ 4 เส้นตรง L2

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ รูปสมมาตรบนเส้น ตัวอยา่ ง จงสรา้ งภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะทอ้ นรปู ตน้ แบบ PQRS โดยมีเสน้ สะท้อนตา่ งๆ ดังนี้ Y ข้อที่ 1 แกน X S������ R������ วิธีทา สรา้ งจุด P������ , จดุ Q������ , จดุ R������ และ จดุ S������ ใหห้ า่ งจาก แกน X เปน็ ระยะเท่ากบั จุด P, จุด Q, จดุ R และจดุ S X ตามลาดับ แลว้ ลาก P������Q������ , Q������R������ , R������S������ และ S������P������ จะได้รูป P������ Q������R������ S������ เป็นภาพทไ่ี ด้จากการสะทอ้ น โดยมแี กน X เปน็ เส้นสะท้อน P������ Q������

การเลื่อนขนาน การสะทอ้ น และการหมุน รปู สมมาตรบนเส้น ตวั อยา่ ง จงสรา้ งภาพท่ไี ด้จากการสะท้อนรปู ตน้ แบบ PQRS โดยมีเสน้ สะท้อนต่างๆ ดงั นี้ Y ขอ้ ท่ี 2 แกน Y Q������ ������������ วิธที า R������ S������ สร้างจดุ P������ , จดุ Q������ , จุด R������ และ จดุ S������ ให้หา่ งจาก แกน Y เป็นระยะเท่ากบั จดุ P, จดุ Q, จดุ R และจุด S X ตามลาดบั แล้วลาก P������Q������ , Q������P������ , R������S������ และ S������P������ จะไดร้ ูป P������Q������R������S������ เป็นภาพท่ไี ด้จากการสะท้อน โดยมีแกน Y เปน็ เสน้ สะท้อน

การเลือ่ นขนาน การสะท้อน และการหมนุ รูปสมมาตรบนเสน้ ตวั อย่าง จงสรา้ งภาพท่ีได้จากการสะทอ้ นรูปต้นแบบ PQRS โดยมีเส้นสะทอ้ นต่างๆ ดงั นี้ Y ขอ้ ที่ 3 เส้นตรง ������������ ������������ ������������ วธิ ที า สรา้ งจดุ P������ , จดุ Q������ , จุด R������ และ จุด S������ ให้หา่ งจาก เสน้ ตรง ������������ เป็นระยะเท่ากับจดุ P, จุด Q, จดุ R และจดุ S ������������ ������������ X ตามลาดบั แลว้ ลาก ������������������������ , ������������������������ , ������������������������ และ ������������������������ จะไดร้ ูป P������Q������R������S������ เป็นภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะทอ้ น โดยมเี สน้ ตรง L������ เป็นเส้นสะทอ้ น L������

การเลื่อนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ รปู สมมาตรบนเส้น ตวั อยา่ ง จงสร้างภาพทไ่ี ด้จากการสะท้อนรูปต้นแบบ PQRS โดยมีเสน้ สะท้อนตา่ งๆ ดังน้ี Y ขอ้ ท่ี 4 เสน้ ตรง ������������ ������������ วธิ ที า สรา้ งจดุ ������������ , จดุ ������������ , จุด ������������ และ จุด ������������ ใหห้ ่างจาก เสน้ ตรง ������������ เปน็ ระยะเทา่ กบั จุด P, จดุ Q, จุด R และจดุ S X ตามลาดบั ������������ แล้วลาก ������������������������ , ������������������������ , ������������������������ และ ������������������������ ������������ จะไดร้ ปู P������Q������R������S������ เปน็ ภาพทีไ่ ด้จากการสะท้อน โดยมีเสน้ ตรง ������������ เป็นเสน้ สะท้อน ������������ ������������

การเลอ่ื นขนาน การสะทอ้ น และการหมุน รูปสมมาตรบนเส้น ในทางกลบั กนั ถ้ามีรูปตน้ แบบกับภาพที่ได้จากการสะทอ้ น สามารถหาเส้นสะท้อนได้ ดังรูป ������ หาเสน้ สะทอ้ นได้ ดังนี้ MQ 1) ลาก MM′ และ NN′ 2) สรา้ งจุด P และจุด Q ซึง่ เป็นจดุ ก่งึ กลางของ MM′ และ NN′ N΄ ตามลาดบั P 3) ลาก PQ จะได้ PQ แบง่ ครง่ึ และตั้งฉากกับ MM′ และ NN′ M΄ ดังนั้น PQ เป็นเส้นสะท้อนของ MN และ M′N′

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ การหมุน การหมุนเปน็ การเคลอื่ นทโ่ี ดยมจี ุดยึดจุดหนง่ึ เรียกวา่ จดุ หมุน (Centre of Rotation) ซึ่งการหมุนมที ศิ ทาง 2 แบบ ไดแ้ ก่ ทิศทางตามเข็มนาฬิกา และทศิ ทวนเข็มนาฬิกา

การเลอื่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ การหมนุ รูปเรขาคณติ บนระนาบ กาหนดจุด A เป็นจดุ บนระนาบและมีจดุ P เป็นจดุ หมนุ หมุนจดุ A ไปในทศิ ทางตามเข็มนาฬิกา ดว้ ยมุม 90° จะได้จุด A΄ A บทนยิ าม การหมุนบนระนาบเกิดจากการหมุนท่ีมีจุดหมุน A΄ โดยแต่ละจดุ บนรปู ต้นแบบเคลอื่ นทรี่ อบจดุ หมนุ ดว้ ยทิศทาง 90° ตามเข็มนาฬิกาหรอื ทวนเข็มนาฬิกา และมขี นาดของมุมตามที่ P กาหนดจะไดจ้ ุดค่ทู ส่ี มนัยทีม่ ีระยะห่างจากจุดหมนุ เทา่ กัน

เพ่อื ความเขา้ ใจยิ่งข้นึ เราไปดวู ิดโี อตัวอย่างกนั การหมุน หรอื https://youtu.be/uIf3fjT4PuY



การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมนุ การหมนุ รปู เรขาคณิตบนระนาบ รูป ∆������΄������΄������΄ เปน็ ภาพที่ได้จากการหมนุ รปู ต้นแบบรูป ∆������������������ โดยมจี ดุ O เปน็ จดุ หมนุ และหมนุ ไปในทิศทาง ตามเข็มนาฬกิ าดว้ ยมมุ ขนาด  องศา P จากรปู จะพบวา่ Q 1) รูป ∆PQR มขี นาดและรูปรา่ งเทา่ กบั รูป ∆������΄������΄������΄ O 2) OP = OP΄, OQ = OQ΄ และ OR = OR΄ R 3) PO෡P΄= QO෡Q΄= RO෡R΄=  R΄ P΄ Q΄

การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมนุ การหมุนรปู เรขาคณติ บนระนาบ ตวั อยา่ ง จงหาจดุ ทเี่ กิดจากการหมุนจุด S(2, 3) และจดุ T(3, 1) โดยให้ O เปน็ จุดหมนุ และหมนุ ไปในทศิ ทางทวน เขม็ นาฬกิ าดว้ ยมมุ ขนาด 90° Y วธิ ที า T΄(-1, 3) S(2, 3) 1) หมุน ������������ ด้วยมมุ 90° ในทิศทางทวนนาฬกิ าถึงจุด S΄(-3, 2) S΄(-3, 2) T(3, 1) ดงั นั้นจดุ S΄(-3, 2) เป็นจุดที่เกดิ จากการหมนุ จดุ S โดยมีจุด O เป็นจดุ หมนุ และหมุนไปในทิศทางทวนเขม็ นาฬกิ า ดว้ ยมมุ ขนาด 90° X 2) หมนุ ������������ ดว้ ยมุม 90° ในทศิ ทางทวนนาฬิกาถึงจุด T΄(-1, 3) ดังนัน้ จดุ T΄(-1, 3) เปน็ จุดทีเ่ กิดจากการหมนุ จดุ T โดยมีจุด O เปน็ จดุ หมุน และหมุนไปในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬิกา ด้วยมุมขนาด 90°

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ คณติ น่ารู้ การหมุนรูปเรขาคณติ 1) ภาพท่ไี ดจ้ ากการหมุนจะมขี นาดและรปู รา่ งเหมอื นกับรปู ต้นแบบ 2) จุดแตล่ ะจดุ บนรปู ตน้ แบบจะเคลือ่ นทร่ี อบจุดหมนุ ดว้ ยมุมที่มีขนาดเท่ากัน 3) จุดคู่ท่สี มนัยกนั แต่ละคเู่ ปน็ จดุ ทอี่ ยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมเดยี วกันทม่ี ี จดุ หมุนเปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางซึ่งวงกลมแต่ละวงไมจ่ าเปน็ ต้องมีรัศมยี าวเท่ากนั 4) เส้นตรงทแี่ บง่ คร่ึงและตั้งฉากกับสว่ นของเส้นตรงทมี่ จี ดุ คู่ท่ีสมนัยกนั แตล่ ะคู่เป็นจดุ ปลายจะผ่านจดุ หมุน