หน่วย2_จำนวนจริง

2หน่วยกำรเรียนรทู้ ่ี จำนวนจรงิ ตวั ชีว้ ัด • เขา้ ใจจานวนจริงและความสัมพันธข์ องจานวนจรงิ และใช้สมบัติของจานวนจริงในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตรแ์ ละปญั หาในชวี ิตจรงิ (ค 1.1 ม.2/2)

ควรรู้กอ่ นเรยี น 1. 29 จำนวนตรรกยะ 2. -3.52 จำนวนใดบำ้ งที่เปน็ 3. 0.642642642... 4. ������ จำนวนตรรกยะ จำนวนตรรกยะ จำนวนเตม็ ทไ่ี มใ่ ชจ่ ำนว6น.เต็ม������ ������������ 5. 3.14 จ-ำ1น,ว-2น,เ7-ต3ม็ ., ล..6.บ.78ศ7ูน07ย์ 87จ7ำน71ว,8น2,เ7ต3็ม,7.บ.. ว7ก78... 8. ������

ควรรกู้ อ่ นเรียน ควำมสัมพนั ธ์ของเศษส่วนกบั ทศนิยม 1) กำรเขยี นเศษสว่ นให้อย่ใู นรปู ทศนิยม เศษส่วน หำรตวั เศษดว้ ยตวั ส่วน ผลหำรจะอยู่ในรูปทศนิยม เช่น 15 เขยี นให้อย่ใู นรปู ทศนิยมได้ โดยนา 4 ไปหาร 15 ดังนี้ 4 3.7 5 4 1 5.0 0 12 30 28 20 15 4 20 ดงั นัน้ เขยี นใหอ้ ยใู่ นรปู ทศนยิ มได้ 3.75 0

ควรรกู้ อ่ นเรียน เมอื่ n คือ จำนวนตำแหน่งของทศนยิ มน้นั ควำมสัมพนั ธ์ของเศษสว่ นกับทศนิยม 2) กำรเขยี นทศนิยมใหอ้ ยู่ในรปู เศษสว่ น เลขโดดเดมิ ไมใ่ สจ่ ุดทศนิยม ������������������ เช่น 0.81 = 81 = 81 102 100 ดังนน้ั 0.81 เขยี นใหอ้ ยู่ในรูปเศษสว่ นได้ 81 100

ใหน้ ักเรยี นเขียน 7 0.7 7 7 ... จะได้ 7 = 0.777... ใหอ้ ยใู่ นรปู ทศนยิ 9ม 9 7. 0 0 0 9 63 70 เรียก 0.777... ว่าทศนยิ มซำ้ 63 (repeating decimal) 70 63 7

กำรเขียนเศษสว่ นในรปู ทศนยิ มซำ้ และกำรเขียนทศนิยมซำ้ ในรปู เศษสว่ น 1. กำรเขยี นเศษส่วนใหอ้ ยู่ในรูปทศนิยมซ้ำ เศษส่วนที่อย่ใู นรูป a ท่ี a และ b เปน็ จานวนเตม็ โดยที่ b ≠ 0 สามารถเขียนให้อยใู่ นรูป b ทศนิยมไดโ้ ดย นำตวั ส่วนไปหำรตวั เศษ เชน่ 1 เขียนใหอ้ ยูใ่ นรูปทศนิยมได้โดยนำ 2 ไปหำร 1 2 0.5 2 1.0 นน่ั คอื 1 = 0.5 10 0 2

กำรเขยี นเศษส่วนในรูปทศนยิ มซ้ำและกำรเขียนทศนิยมซำ้ ในรปู เศษสว่ น 1. กำรเขียนเศษส่วนใหอ้ ยใู่ นรูปทศนิยมซ้ำ เชน่ 1 เขยี นใหอ้ ยู่ในรูปทศนยิ มไดโ้ ดยนำ 9 ไปหำร 1 9 0 1 1 1 ... จะเห็นว่า ถ้าหารต่อไปเรอ่ื ย ๆ 9 10 จะได้ 1 โดยไมม่ ที ส่ี น้ิ สุด 9 10 9 10 9 น่ันคือ 1 = 0.111... 19

กำรเขียนเศษสว่ นในรปู ทศนยิ มซ้ำและกำรเขยี นทศนิยมซำ้ ในรูปเศษส่วน 1. กำรเขียนเศษส่วนใหอ้ ยู่ในรปู ทศนยิ มซำ้ กำรเขียนทศนิยมซ้ำ สามารถเขยี นโดยใช้สญั ลักษณ์ . เขยี นไว้เหนอื เลขโดดท่ซี า้ ดังน้ี กรณีที่ 1 ถ้าเป็นทศนยิ มซ้า 1 ตาแหน่ง ใหเ้ ขียน . ไว้เหนอื เลขโดดที่ซ้านั้น เช่น 0.777... เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ 0.������ሶ อา่ นว่า ศนู ยจ์ ดุ เจ็ด เจด็ ซ้ำ -0.3555... เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ -0.3������ሶ อ่านว่า ลบศูนยจ์ ุดสำมหำ้ หำ้ ซ้ำ 12.999... เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ 12.������ሶ อา่ นว่า สบิ สองจุดเก้ำ เก้ำซ้ำ 7.65444... เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ 7.65������ሶ อา่ นวา่ เจด็ จุดหกห้ำสี่ สซี่ ำ้

กำรเขียนเศษส่วนในรปู ทศนิยมซำ้ และกำรเขียนทศนิยมซำ้ ในรูปเศษสว่ น 1. กำรเขียนเศษสว่ นให้อยู่ในรูปทศนิยมซำ้ กำรเขียนทศนิยมซำ้ สามารถเขียนโดยใชส้ ัญลักษณ์ . เขยี นไวเ้ หนอื เลขโดดท่ีซา้ ดงั นี้ กรณที ี่ 2 ถ้าเป็นทศนิยมซา้ ตัง้ แต่ 2 ตาแหน่งขึน้ ไป ให้เขยี น . ไว้เหนือเลขโดดทซ่ี า้ ตวั แรกและตัวสดุ ท้าย เชน่ 1.7272... เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ ������. ������ሶ ������ሶ อ่านวา่ หนงึ่ จุดเจ็ดสอง เจด็ สองซำ้ 0.243243... เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 0.������ሶ ������������ሶ อ่านวา่ ศนู ย์จดุ สองสส่ี ำม สองสสี่ ำมซ้ำ -0.42857142857142... เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ -0. ������ሶ ������������������������������ሶ อา่ นว่า ลบศูนยจ์ ุดส่สี องแปดหำ้ เจด็ หนึง่ สีส่ องแปดหำ้ เจ็ดหนึ่งซำ้

กำรเขยี นเศษส่วนในรปู ทศนิยมซำ้ และกำรเขยี นทศนยิ มซ้ำในรปู เศษสว่ น 2. กำรเขยี นทศนิยมซ้ำใหอ้ ยูใ่ นรปู เศษสว่ น แบ่งไดเ้ ปน็ 2 กรณี ดงั นี้ กรณีที่ 1 ทศนิยมซ้ำศูนย์ การเขียนทศนิยมในรปู กระจายซงึ่ เป็นการแสดงคา่ ของเลขโดด โดยใช้ค่าประจาหลกั ซง่ึ สามารถแสดงค่าประจาหลักของเลขโดดใน หลกั ต่าง ๆ ได้ดงั ตาราง ค่ำประจำหลัก จานวนเตม็ ทศนิยม ... หลกั ร้อย หลกั สบิ หลกั หนว่ ย หลักสว่ นสิบ หลักสว่ นรอ้ ย หลกั สว่ นพัน หลักส่วนหม่ืน ... ... 102 10 1 1 1 1 1 ... 10 102 103 104 จากตาราง สามารถเขยี น 153.125 ให้อยู่ในรปู กระจายได้ ดังน้ี 153.125 = (1 × 102) + (5 × 10) + (3 × 1) + (1 × 1) + (2 × )1 + (5 × )1 10 102 103

กำรเขยี นเศษสว่ นในรปู ทศนยิ มซำ้ และกำรเขยี นทศนิยมซำ้ ในรปู เศษสว่ น 2. กำรเขยี นทศนยิ มซำ้ ใหอ้ ยู่ในรปู เศษส่วน แบง่ ได้เป็น 2 กรณี ดังน้ี กรณที ี่ 1 ทศนิยมซ้ำศนู ย์ ตวั อยำ่ งท่ี 1 จงเขยี นจานวนในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน 1) 0.7 2) 2.75 วิธที า 0.7 = 7 × 1 วธิ ีทา 2.75 = (2 × 1) + (7 × 1 ) + ( 5 × 1102) ดงั นน้ั 0.7 10 10 = 2+ 7 + 5 =7 10 100 10 = 200 + 70 + 5 100 100 100 =7 = 275 10 100 = 11 4 ดังนัน้ 2.75 = 11 หรอื 23 44

กำรเขียนเศษส่วนในรปู ทศนยิ มซ้ำและกำรเขียนทศนยิ มซ้ำในรูปเศษสว่ น 2. กำรเขียนทศนิยมซ้ำให้อย่ใู นรปู เศษส่วน แบ่งได้เปน็ 2 กรณี ดังนี้ กรณที ี่ 1 ทศนยิ มซ้ำศนู ย์ การเขียนทศนิยมซา้ ศูนยใ์ ห้อยู่ในรปู เศษส่วน โดยที่ตัวสว่ นเปน็ พหุคูณของ 10 สามารถเขยี นได้โดย ตัวเศษเทำ่ กบั เลขโดดเดิมเขียนโดยไม่ใสจ่ ุดทศนยิ ม และตวั สว่ นเทำ่ กับ ������������������ เม่อื n คือ จำนวนตำแหน่งของทศนิยมนนั้ ซึ่งทาให้การเขยี นทศนยิ มซา้ ศูนยใ์ หอ้ ยใู่ นรปู เศษสว่ นน้นั ทาได้งา่ ยและรวดเรว็ ข้ึน ดงั นี้ ทศนยิ ม 0.6 -0.51 1.831 5.7879 9.32546 เศษส่วน 66 51 1,831 57,879 932,546 − 100 1,000 1,000 100,000 10

2. กำรเขียนทศนยิ มซ้ำใหอ้ ย่ใู นรูปเศษส่วน กรณีที่ 2 ทศนยิ มซำ้ ทไี่ ม่ใชท่ ศนิยมซ้ำศูนย์ ตวั อย่ำงที่ 2 จงเขยี น 0. 5ሶ ให้อยู่ในรปู เศษสว่ น ..... (1) วิธที า ให้ N = 0. 5ሶ = 0.555... คณู ท้งั สองขา้ งของสมการ (1) ดว้ ย 10 10N = 5.555... ..... (2) จากสมการ (2) และสมการ (1) จะได้ 10N – N = (5.555...) – (0.555...) 9N =5 =5 N 9 แต่ N = 0. 5ሶ ดังนั้น 0. 5ሶ = 5 9

ตวั อย่ำงท่ี 3 จงเขยี น 0. 6ሶ 1ሶ ใหอ้ ย่ใู นรปู เศษสว่ น วธิ ีทา ให้ N = 0. 6ሶ 1ሶ = 0.616161... ..... (1) คณู ทั้งสองขา้ งของสมการ (1) ด้วย 100 100N = 61.616161... ..... (2) จากสมการ (2) และสมการ (1) จะได้ 100N – N = (61.616161...) – (0.616161...) 99N = 61 = N = 61 = 99 แต่ N ดังนน้ั 0. 6ሶ 1ሶ 0. 6ሶ 1ሶ 61 99

ตวั อย่ำงที่ 4 จงเขียน 0. 5ሶ 78ሶ ให้อยู่ในรูปเศษส่วน วธิ ีทา ให้ N= 0. 5ሶ 78ሶ = 0.578578... ..... (1) คณู ทง้ั สองขา้ งของสมการ (1) ดว้ ย 1,000 1,000N = 578.578578... ..... (2) จากสมการ (2) และสมการ (1) จะได้ 1000N – N = (578.578578...) – (0.578578...) 999N = 578 N= 578 999 แต่ N = ดังนน้ั 0. 5ሶ 78ሶ = 0. 5ሶ 78ሶ 578 999

จำกตัวอยำ่ งที่ 2 ถงึ ตัวอยำ่ งท่ี 4 จะเห็นว่ำ ������. ������ሶ เขียนในรูปเศษสว่ นไดเ้ ป็น ������ ������ น่นั คือ ทศนิยมซ้า 1 ตำแหนง่ และซำ้ ในตำแหนง่ ท่ี 1 เม่ือเขยี นในรูปเศษสว่ นจะมีตวั สว่ นเท่ำกับ 9 และตัวเศษเทา่ กับเลขโดดท่เี ปน็ ตวั ซ้า ������. ������ሶ ������ሶ เขียนในรปู เศษสว่ นไดเ้ ป็น ������������ ������������ น่ันคือ ทศนิยมซ้า 2 ตำแหนง่ และซ้ำตง้ั แตต่ ำแหนง่ ท่ี 1 เมือ่ เขยี นในรปู เศษส่วนจะมีตัวสว่ นเทำ่ กับ 99 และตวั เศษเท่ากับเลขโดดท่เี ป็นตัวซ้า ������. ������ሶ ������������ሶ เขยี นในรปู เศษส่วนไดเ้ ป็น ������������������ ������������������ นัน่ คอื ทศนิยมซา้ 3 ตำแหนง่ และซ้ำตง้ั แต่ตำแหนง่ ท่ี 1 เมือ่ เขียนในรูปเศษส่วนจะมีตวั สว่ นเท่ำกบั 999 และมตี วั เศษเทา่ กบั เลขโดดที่เปน็ ตัวซ้า

กำรเขยี นเศษสว่ นในรูปทศนิยมซ้ำและกำรเขยี นทศนยิ มซ้ำในรปู เศษสว่ น 2. กำรเขียนทศนิยมซ้ำใหอ้ ยใู่ นรปู เศษสว่ น แบง่ ได้เปน็ 2 กรณี ดงั นี้ กรณีที่ 2 ทศนยิ มซ้ำที่ไม่ใชท่ ศนิยมซำ้ ศนู ย์ กำรเขียนทศนยิ มซำ้ ทไี่ ม่ไดซ้ ำ้ ตั้งแตท่ ศนิยมตำแหนง่ ที่ 1 จะมีวิธีกำรดงั ตัวอย่ำงตอ่ ไปนี้ ตัวอย่ำงท่ี 5 จงเขียน 0.31ሶ ให้อยูใ่ นรปู เศษส่วน วิธีทา ให้ N = 0.31ሶ = 0.3111... ..... (1) ..... (2) (1) x 10 ; 10N = 3.111... ..... (3) (1) x 100 ; 100N = 31.111... (3) – (2) ; 100N – 10N = (31.111...) – (3.111...) 90N = 28 N= 28 = 14 90 45 แต่ ดงั นน้ั N = 0.31ሶ 0.31ሶ = 14 45

กำรเขียนเศษสว่ นในรปู ทศนิยมซำ้ และกำรเขียนทศนิยมซำ้ ในรูปเศษสว่ น 2. กำรเขียนทศนิยมซำ้ ใหอ้ ยู่ในรปู เศษสว่ น แบ่งได้เปน็ 2 กรณี ดงั นี้ กรณีที่ 2 ทศนยิ มซำ้ ทีไ่ ม่ใช่ทศนยิ มซำ้ ศูนย์ ข้อสังเกตเพ่ิมเติม 1. กำรเขยี นทศนยิ มซ้ำให้อยู่ในรูปทศนิยมซ้ำท่ซี ำ้ ตง้ั แต่ตำแหนง่ ท่ี 1 ทศนิยมซา้ ที่ซ้าต้ังแตต่ าแหน่งที่ 2 ×10 จะได้ ทศนยิ มซ้าทซ่ี ้าต้ังแตต่ าแหนง่ ที่ 1 ทศนิยมซ้าท่ีซ้าตง้ั แตต่ าแหนง่ ที่ 3 × 100 จะได้ ทศนิยมซ้าทซ่ี ้าต้งั แต่ตาแหน่งท่ี 1 ทศนยิ มซ้าท่ีซา้ ต้งั แตต่ าแหนง่ ที่ 4 × 1,000 จะได้ ทศนิยมซ้าทซ่ี ้าตัง้ แตต่ าแหน่งที่ 1 2. เม่ือต้องกำรหำผลลบ ให้แปลงทศนิยมซ้าหลงั จุดใหเ้ ปน็ ทศนยิ มซ้าที่เทา่ กนั เชน่ 0.31ሶ แปลงเพอื่ หาผลลบเปน็ (31.111...) – (3.111...) จะมผี ลลบเปน็ จานวนเตม็ คือ 28

กำรเขียนเศษสว่ นในรปู ทศนิยมซำ้ และกำรเขยี นทศนยิ มซำ้ ในรูปเศษสว่ น 2. กำรเขียนทศนิยมซ้ำให้อย่ใู นรูปเศษสว่ น แบ่งไดเ้ ปน็ 2 กรณี ดังน้ี กรณที ่ี 2 ทศนยิ มซ้ำทไี่ ม่ใช่ทศนิยมซ้ำศูนย์ จากตวั อย่างที่ 5 สามารถเขียน 0.31ሶ ใหอ้ ยใู่ นรปู เศษส่วนได้อกี หนง่ึ วิธี ขอ้ สังเกต จะได้ 0.31ሶ = 31 − 3 = 28 จานวนท่นี ามาลบ คอื 3 90 90 ซงึ่ เปน็ เลขโดดทไ่ี ม่ซ้าของ 0.31ሶ หรอื 0.31ሶ = 31 −3 หลงั จดุ ทศนยิ ม 90 มเี ลขโดดที่ไมซ่ ้า 1 ตวั ทศนิยมซ้า 1 ตาแหน่ง ใส่เลข 0 1 ตวั ใสเ่ ลข 9 1 ตัว

1-2������85������ แตมซจตัวเนำ่ึงมจเ่สบจุษนมไ่อืำว่มำื่อวนยมนกส่นนม์รวนบเำว้จูปนเนษุเมหนจกัพุษน็ทยำลตำจเียจ่ีสยตร์รนำ่้นำงถำู้จร์ำ็มนวนไพนจู้มอักมทนีเ้วกัรวอำธุ้กตนยีรกกิบนทำจรมถกรำำเำ่จีำรตเำบรรวยะกนขตลน็มำ่วกใยยีว้ังบชับกำะจนนโแแใ้รจดำใสตนล(ลำยนนrำ่สกบนะaทรวมมำกแวtปูต่ีนำรiยัำนลoัวเรบนรโศะสnถบหวบัคกษตัเa่วรกูณำหขำสวlนำรแรยีร่ว์ดณnไลหอืพนกมนว้ uะจำใบพ็่เยทจกmรนปำกวบม่ีำบำนรน็ อ้bำ่กรตีวำูปวศจนคกeำ่วังนเนูำำณูจrหกศเเน)ศยรำรษตินขวษ์นณ็มสเนดีซแรวบ่วีไรยีเนลึ่งดนตวอกะเ้กม็ไตยวดม็ำ่ ้

แผนภำพแสดงควำมสมั พนั ธ์ของจำนวนจรงิ จำนวนจรงิ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเตม็ จำนวนตรรกยะ ทไี่ มใ่ ชจ่ ำนวนเต็ม จำนวนเตม็ ลบ ศนู ย์ จำนวนเต็มบวก -1, -2, -3, ... 0 1, 2, 3, ...

จำนวนจริง จำนวนตรรกยะ หมายถงึ จานวนทีเ่ ขียนได้ในรูป a โดยที่ a และ b เป็นจานวนเตม็ และ b ≠ 0 สามารถเขียนจานวนตรรกยะในรปู ทศนิยมไดแ้ ละเbปน็ ทศนยิ มซา้ จำนวนอตรรกยะ หมายถงึ จานวนจริงทีไ่ มใ่ ชจ่ านวนตรรกยะ เขียนในรูปทศนิยมได้ แต่ไม่เป็นทศนิยมซา้

สมบตั ิของจำนวนจริง สมบตั ิ 1) สมบตั ขิ องหนึง่ และศูนย์ กาหนดให้ a แทนจานวนจริงใด ๆ สมบตั ิการบวกด้วยศูนย์ : a + 0 = 0 + a = a 2) สมบัติกำรสลับที่ สมบตั ิการคูณด้วยศูนย์ : a × 0 = 0 × a = 0 สมบัติ สมบตั กิ ารหารศูนยด์ ว้ ยจานวนจริงใด ๆ : 0 ÷ a = 0 เม่อื a ≠ 0 สมบตั ิการคูณดว้ ยหน่ึง : a × 1 = 1 × a = a สมบัตกิ ารหารดว้ ยหนงึ่ : a ÷ 1 = a กาหนดให้ a และ b แทนจานวนจรงิ ใด ๆ สมบัติการสลบั ที่สาหรับการบวก : a + b = b + a สมบตั ิการสลบั ท่ีสาหรับการคูณ : a × b = b × a

สมบตั ิของจำนวนจริง สมบัติ 3) สมบตั ิกำรเปลยี่ นหมู่ กาหนดให้ a, b และ c แทนจานวนจรงิ ใด ๆ สมบตั ิการเปลีย่ นหมสู่ าหรบั การบวก : (a + b) + c = a + (b + c) สมบตั ิการเปลย่ี นหมู่สาหรบั การคณู : (a × b) × c = a × (b × c) 4) สมบัติกำรแจกแจง สมบตั ิ กาหนดให้ a, b และ c แทนจานวนจรงิ ใด ๆ a × (b + c) = (a × b) + (a × c) และ (b + c) × a = (b × a) + (c × a)

สมบตั ขิ องจำนวนจรงิ ตวั อย่ำงท่ี 6 จงหาผลลัพธใ์ นแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 1) − 11 − 5.3 + 3 2) 2 × 12.4 25 5 25 12)) 25−×121152.4− 5.3 + 3 25 ววธิธิ ีทีทาา 25−×121152.4− 5=.3 + 32 × (1=0 + 2.4)− 11 +3 − 5.3 (สมบัติการเปลย่ี นหมูส่ าหรบั การบวก) 255 25 25 = 2 × 1=0 + 52−×2852.4− 5.3 (สมบตั ิการแจกแจง) 5 = 4 + 0.9=6 -0.32 − 5.3 = 4.96 = -5.62

รำกที่สองและกำรหำรำกที่สองของจำนวนจรงิ กาหนดรปู ส่ีเหลีย่ มจัตรุ สั มีพ้นื ท่ี 49 ตารางหนว่ ย รูปสเี่ หลีย่ มจัตรุ ัสรปู น้มี คี วามยาวของแตล่ ะดา้ นเทา่ กับกห่ี น่วย ให้ รูปสี่เหลีย่ มจัตุรสั มีความยาวดา้ นละ a หน่วย จากสตู ร พนื้ ที่ของรูปสีเ่ หลยี่aมหจนัต่วุรยสั เทา่ กบั ความยาวด้าน × ความยาวดา้ น จะได้ a × a = 49 หรอื a2 = 49 การหาค่าของ a จากสมการ a2 = 49 คือ การหาจานวนซง่ึ ยกกาลงั สองแลว้ เทา่ กบั 49 เรียกจานวนท่ยี กกาลังสองแลว้ เท่ากับ 49 ว่าเป็นรากทสี่ องของ 49 เนื่องจาก 72 = 49 และ (−7)2 = 49 ดังนนั้ 7 และ -7 เป็นรากที่สองของ 49 วิธีเขียนรากที่สองท่ีเป็นบวกของ 49 อีกวิธหี นึง่ สามารถ แต่ความยาวด้านของรปู สีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั จะตอ้ งไมเ่ ปน็ จานวนลบ เขยี นโดยใชเ้ ครื่องหมายกรณฑ์ ( ) นน่ั คือ รูปสีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั รูปนมี้ ีความยาวดา้ นละ 7 หนว่ ย เชน่ รากทส่ี องท่ีเปน็ บวกของ 49 เขยี นแทนดว้ ย 49 น่ันคือ 7

รำกทีส่ องและกำรหำรำกท่สี องของจำนวนจริง บทนิยำม ให้ a แทนจำนวนจรงิ บวกใด ๆ หรอื ศูนย์ รำกทส่ี องของ a คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสองแลว้ เทำ่ กับ a เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ a , - a จากบทนิยาม จะไดว้ า่ 1. ถ้า a เป็นจานวนบวกใด ๆ รากทส่ี องของ a คอื จานวนจริงท่ยี กกาลงั สองแล้วเทา่ กบั a ใชส้ ญั ลักษณ์ a แทนรากทีส่ องทเ่ี ปน็ บวกของ a ใชส้ ญั ลักษณ์ − a แทนรากท่สี องทเ่ี ป็นลบของ a จากบทนยิ ามท่วี า่ รากท่ีสองของ a คือ จานวนจรงิ ทยี่ กกาลังสองแล้วเทา่ กับ a ทาใหส้ รปุ ได้ว่า ( a)2 = a และ (− a)2 = a 2. ถ้า a = 0 รากท่สี องของ a เท่ากบั 0 ทัง้ นเี้ พราะ 02 = 0 3. ถา้ a เป็นจานวนลบใด ๆ จะหารากทส่ี องของ a ไม่ได้ ท้ังน้ีเพราะไม่มจี านวนจรงิ ใด ๆ ท่ยี กกาลังสองแลว้ จะได้จานวนลบ

รำกทส่ี องและกำรหำรำกทีส่ องของจำนวนจรงิ ตวั อย่ำงที่ 7 จงหารากทสี่ องของจานวนในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี 1) 4 2) 6 21) 64 วิธีทา รากทสี่ องของ 46 คือ จานวนจริงทย่ี กกาลงั สองแล้วเทา่ กบั 64 จะได้ รากท่ีสองท่เี ป็นบวกของ 64 คคือือ 2 6 และ รากที่สองทเ่ี ปน็ ลบของ 64 คือ --26 ดังนนั้ รราากกทท่ีสสี่ อองงขขอองง46คคืออื 2, 6-2, - 6 รำกท่สี องของจำนวนบวกใด ๆ จะเป็น จำนวนตรรกยะหรอื จำนวนอตรรกยะกไ็ ด้

รำกทสี่ องและกำรหำรำกทส่ี องของจำนวนจรงิ ตวั อยำ่ งที่ 8 จงหาว่าจานวนในแต่ละขอ้ ต่อไปน้เี ปน็ รากท่สี องของจานวนใด 1) -1 2) 0.5 3) - 8.3 2 3) - 8.3 1) -1 2) 0.5 วิธที า เน่ืองจาก − 8.3 2 = 8.3 2 ดังนัน้ - 8.3 เป็นรากทสี่ องของ 8.3 2 วิธที า เน่อื งจาก 0.52 = 0.25 วิธีทา เน่ืองจาก −1 = 1 ดงั นั้น 0.5 เป็นรากทส่ี องของ 0.25 24 ดังน้ัน -1 เปน็ รากท่ีสองของ 1 2 4

รำกทส่ี องและกำรหำรำกท่สี องของจำนวนจริง ตวั อยำ่ งที่ 9 จงหารากท่สี องทีเ่ ป็นบวกของ 32 และ −3 2 วธิ ที า รากท่ีสองท่ีเปน็ บวกของ 32 เทา่ กับ 3 แต่รากท่ีสองท่เี ปน็ บวกของ 32 เขียนแทนดว้ ย 32 ดงั นั้น 32 = 3 รากที่สองท่เี ปน็ บวกของ (−3)2 เทา่ กบั 3 แต่รากที่สองท่ีเปน็ บวกของ (−3)2 เขยี นแทนด้วย (−3)2 ดงั น้นั (−3)2 = 3 นน่ั คือ รากทส่ี องทีเ่ ป็นบวกของ 32 และ −3 2 เท่ากบั 3

รำกทสี่ องและกำรหำรำกทสี่ องของจำนวนจรงิ จากตวั อยา่ งที่ 9 จะเห็นวา่ 32 = 3 = 3 (−3)2 = 3 = −3 บทนิยำม ให้ a แทนจำนวนจรงิ ใด ๆ จะได้ว่ำ a2 = a เมอื่ a คอื คำ่ สัมบูรณ์ของ a

กำรหำรำกทส่ี อง 3 225 3 75 1) กำรหำรำกทีส่ องโดยกำรแยกตวั ประกอบ 5 25 55 ตัวอยำ่ งที่ 10 จงหารากทส่ี องของ 225 1 วธิ ที า เนอื่ งจาก 225 = 3 × 3 × 5 × 5 = (5 × 3) × (5 × 3) = 15 × 15 = 152 จะได้ 15 เป็นรากท่สี องที่เปน็ บวกของ 225 แต่เน่ืองจาก (−15)2 = 225 จะได้ -15 เปน็ รากทส่ี องที่เป็นลบของ 225 ดังน้นั รากท่ีสองของ 225 คอื 15, -15

กำรหำรำกทส่ี อง 1) กำรหำรำกทีส่ องโดยกำรแยกตวั ประกอบ ตวั อย่ำงที่ 11 จงหารากทส่ี องทเ่ี ปน็ บวกของ 36x4y8 เม่อื x และ y แทนจานวนจรงิ ใด ๆ วิธีทา เน่ืองจาก 36x4y8 = 6 ⋅ 6 x2 ⋅ x2 y4 ⋅ y4 = 6x2y4 2 ดงั น้ัน 36x4y8 = 6x2y4 2 = 6x2y4 = 6x2y4

กำรหำรำกทีส่ อง 1) กำรหำรำกท่ีสองโดยกำรแยกตัวประกอบ ตัวอย่ำงที่ 12 จงหาผลลพั ธ์ของ - 441 + 961− 12.25 วธิ ีทา - 441 + 961 − 12.25 = − 212 + 312 − 49 4 = −21 + 31 − 7 2 2 7 = -21 + 31 − 2 = -21 + 31 − 3.5 = 6.5 ดงั นน้ั - 441 + 961 − 12.25 = 6.5

กำรหำรำกที่สอง 2) กำรหำรำกทส่ี องโดยกำรประมำณคำ่ ตัวอย่ำงท่ี 13 จงหารากที่สองของ 50 โดยการประมาณค่าให้ใกล้เคยี งทศนยิ มสามตาแหนง่ วธิ ีทา ขนั้ ที่ 1 หำจำนวนเตม็ บวกสองจำนวนเรยี งกนั ซ่งึ กำลงั สองของจำนวนท้งั สองตอ้ งมคี ่ำใกลเ้ คยี ง 50 มำกที่สดุ โดยทีค่ ำ่ หนงึ่ นอ้ ยกว่ำ 50 และอีกคำ่ หน่งึ มำกกวำ่ 50 เนอ่ื งจาก 7 × 7 = 49 และ 8 × 8 = 64 จะได้ 49 < 50 < 64 นน่ั คือ 72 < 50 < 82 จาก 49 = 7 และ 64 = 8 แสดงว่า 50 มีค่าอยูร่ ะหว่าง 49 และ 64 นน่ั คอื 49 < 50 < 64 หรือ 7 < 50 < 8 ดงั นั้น รากทส่ี องทเี่ ปน็ บวกของ 50 มีคา่ ระหวา่ งจานวนเต็ม 7 และ 8 78 50 อยรู่ ะหวำ่ งสองจำนวนนี้

กำรหำรำกท่ีสอง 2) กำรหำรำกท่สี องโดยกำรประมำณค่ำ ตวั อย่ำงท่ี 13 จงหารากท่สี องของ 50 โดยการประมาณคา่ ให้ใกล้เคยี งทศนิยมสามตาแหน่ง วธิ ีทา ข้นั ที่ 2 หำค่ำเฉลย่ี ของจำนวนทไ่ี ด้จำกข้ันท่ี 1 คา่ เฉลี่ยของ 7 กบั 8 เท่ากับ 7 + 8 = 7.5 2 เนอ่ื งจาก 7.52 = 56.25 มากกวา่ 50 ดังนัน้ 7 < 50 < 7.5 ขั้นที่ 3 หำคำ่ เฉลย่ี ของจำนวนท่ไี ด้จำกขน้ั ท่ี 2 คา่ เฉลย่ี ของ 7 กับ 7.5 เท่ากับ 7 + 7.5 = 7.25 2 เนื่องจาก 7.252 = 52.5625 มากกว่า 50 ดังนัน้ 7 < 50 < 7.25 ข้นั ที่ 4 หำค่ำเฉลย่ี ของจำนวนทีไ่ ด้จำกข้ันที่ 3 คา่ เฉลยี่ ของ 7 กับ 7.25 เทา่ กับ 7 + 7.25 = 7.125 2 เนือ่ งจาก 7.1252 ≈ 50.7656 มากกวา่ 50 ดังนน้ั 7 < 50 < 7.125

กำรหำรำกที่สอง 2) กำรหำรำกท่สี องโดยกำรประมำณค่ำ ตัวอยำ่ งที่ 13 จงหารากท่สี องของ 50 โดยการประมาณคา่ ให้ใกล้เคยี งทศนิยมสามตาแหน่ง วธิ ที า ข้นั ท่ี 5 หำคำ่ เฉลีย่ ของจำนวนท่ีไดจ้ ำกขนั้ ท่ี 4 ค่าเฉลย่ี ของ 7 กับ 7.125 เท่ากบั 7 + 7.125 = 7.0625 2 เน่ืองจาก 7.06252 ≈ 49.8789 นอ้ ยกว่า 50 ดังนั้น 7.0625 < 50 < 7.125 ขนั้ ท่ี 6 หำค่ำเฉลี่ยของจำนวนที่ไดจ้ ำกขัน้ ที่ 5 ค่าเฉลย่ี ของ 7.0625 กับ 7.125 เท่ากบั 7.0625 + 7.125 = 7.09375 2 เน่อื งจาก 7.093752 ≈ 50.3213 มากกวา่ 50 ดังน้ัน 7.0625 < 50 < 7.09375 ขน้ั ท่ี 7 หำคำ่ เฉลย่ี ของจำนวนทไ่ี ด้จำกขั้นที่ 6 คา่ เฉลย่ี ของ 7.0625 กบั 7.09375 เทา่ กับ 7.0625 + 7.09375 ≈ 7.0781 2 เนื่องจาก 7.07812 ≈ 50.0995 มากกว่า 50 ดังนนั้ 7.0625 < 50 < 7.0781

VDO

กำรหำรำกที่สอง 2) กำรหำรำกทส่ี องโดยกำรประมำณคำ่ ตัวอยำ่ งที่ 13 จงหารากทีส่ องของ 50 โดยการประมาณคา่ ใหใ้ กลเ้ คยี งทศนิยมสามตาแหน่ง วิธที า ขั้นท่ี 8 หำค่ำเฉล่ยี ของจำนวนทไี่ ด้จำกขนั้ ที่ 7 ค่าเฉล่ยี ของ 7.0625 กบั 7.0781 เทา่ กับ 7.0625 + 7.0781 = 7.0703 2 เน่ืองจาก 7.07032 ≈ 49.9891 น้อยกว่า 50 ดังนน้ั 7.0703 < 50 < 7.0781 ขน้ั ที่ 9 หำคำ่ เฉล่ียของจำนวนท่ไี ดจ้ ำกขนั้ ที่ 8 ค่าเฉลย่ี ของ 7.0703 กบั 7.0781 เท่ากับ 7.0703+7.0781 = 7.0742 2 เนื่องจาก 7.07422 ≈ 50.0443 น่ันคอื รากท่ีสองของ 50 มีคา่ ประมาณ 7.0742 กับ -7.0742

กำรหำรำกทส่ี อง ถำ้ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก แล้ว ������ คือ รำกทสี่ องทเ่ี ป็นบวกของ n 3) กำรหำรำกทีส่ องโดยกำรเปิดตำรำง ถ้ำ n ไมเ่ ปน็ จำนวนเตม็ คำ่ ในตำรำงจะ ตวั อยำ่ งตำรำงแสดงค่ำรำกท่ีสอง เป็นคำ่ โดยประมำณ n ������ เช่น n = 15 จะไดว้ ่า n ≈ 3.875 แต่รากท่สี องของ n คอื n และ - n ⋮⋮ น่ันคือ รากท่ีสองของ 15 มี 12 3.464 ค่าประมาณ 3.875 และ -3.875 13 3.606 14 3.742 15 3.873 16 4.000 ⋮⋮

กำรหำรำกทีส่ อง 3) กำรหำรำกทสี่ องโดยกำรเปดิ ตำรำง ตวั อยำ่ งท่ี 14 จงหารากทส่ี องของจานวนตอ่ ไปน้ี โดยการเปดิ ตาราง 2) 20.25 1) 625 วธิ ีทา จากตาราง 1) รากทสี่ องของ 625 คือ 25 และ -25 2) เนือ่ งจาก รากท่สี องของ 2,025 คือ 45 และ -45 จะได้ 4.5 × 4.5 = 20.25 และ (-4.5) × (-4.5) = 20.25 ดงั นน้ั รากท่ีสองของ 20.25 คอื 4.5 และ -4.5

รำกที่สำมและกำรหำรำกท่สี ำมของจำนวนจริง ปรมิ ำตรของลกู บำศก์ = (ควำมยำวด้ำน)������ เชน่ ลกู บาศกม์ ีความยาวด้านละ 3 หน่วย จะมปี ริมาตรเทา่ กบั 3 × 3 × 3 = 33 = 27 ลกู บาศกห์ นว่ ย จะเหน็ วา่ เม่ือนา 3 มายกกาลัง 3 จะเท่ากับ 27 และ (-3) × (-3) × (-3) = (−3)3 = -27 เรียก -3 วา่ เปน็ รากท่ี 3 ของ -27

รำกท่สี ำมและกำรหำรำกท่สี ำมของจำนวนจริง จานวนทเ่ี ป็นกาลังสามสมบรู ณ์ (perfect cube) คอื จานวนท่ีสามารถเขียนใหอ้ ยู่ในรปู ผลคูณของจานวนเตม็ ทเี่ ท่ากนั สามจานวนได้ บทนยิ ำม ให้ a แทนจำนวนจรงิ ใด ๆ รำกท่สี ำมของ a คือ จำนวนจริงทยี่ กกำลังสำมแล้วเท่ำกับ a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ������ ������ สัญลกั ษณ์ ������ ������ อา่ นวา่ รากท่สี ามของ a จากบทนยิ าม จะได้ (������ ������)3 = a ดังนน้ั การหารากทส่ี ามของ a คอื การหาจานวนซง่ึ เม่อื นามายกกาลังสามแล้วตอ้ งเทา่ กับ a

กำรหำรำกทสี่ ำม 1) กำรหำรำกท่ีสำมโดยกำรแยกตัวประกอบ ตวั อยำ่ งที่ 16 จงหารากทีส่ ามของจานวนในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ 1) -125 2) 343 3) -0.216 64 2ว31ิธ))ที 3-6า014432.2516เน่อื งจาก -3014.223516 = (-05.)6×) ×(-75(-×)0×7.6×)(-×75)(-0.6) วธิ ีทา เนอื่ งจาก (2−05×.)623)3× 2 × 2 × 2 × 2 64 === ดดังังนนันนั้้ รราากกทท่สส่ีี าามมขขอองง --10=2.251ค6ือ 47ค-5ือ×(74−×0.674)3 = 73 4 ดังนั้น รากทส่ี ามของ 343 คือ 7 64 4

กำรหำรำกท่สี ำม 1) กำรหำรำกท่ีสำมโดยกำรแยกตวั ประกอบ ตัวอย่ำงท่ี 17 จงหาคา่ ของ 3 27a3b3 เม่ือ a และ b แทนจานวนจรงิ ใด ๆ วิธีทา เนอ่ื งจาก 27a3b3 = (3 × 3 × 3) × (a × a × a) × (b × b × b) = (3ab)(3ab)(3ab) = (3ab)3 นั่นคอื รากที่สามของ 27a3b3 = 3ab ดังน้นั 3 27a3b3 = 3ab

กำรหำรำกทีส่ ำม 2) กำรหำรำกท่ีสำมโดยกำรประมำณค่ำ ขั้นที่ 1 หาจานวนเต็มสองจานวนเรยี งกนั ซง่ึ จานวนทต่ี อ้ งการหารากทส่ี ามต้องอยรู่ ะหว่างกาลงั สามของท้งั สอง จานวนทงั้ สอง ขั้นท่ี 2 นาค่าเฉล่ยี ของจานวนเต็ม 2 จานวนนนั้ มายกกาลงั สาม เปรยี บเทียบกับจานวน ท่ตี ้องการหารากทส่ี าม ถ้ำมำกกว่ำ ให้นาคา่ เฉล่ยี กบั จานวนทีน่ ้อยกวา่ มาหาค่าเฉลีย่ แล้วนาไปหากาลังสาม ถำ้ น้อยกวำ่ ให้นาค่าเฉลี่ยกบั จานวนท่ีมากกว่ามาหาคา่ เฉลีย่ แลว้ นาไปยกกาลังสาม ข้นั ท่ี 3 ทาข้นั ท่ี 2 ซา้ อีกจนไดจ้ านวนใกล้เคยี งจานวนทีต่ อ้ งการ

กำรหำรำกท่ีสำม 2) กำรหำรำกท่สี ำมโดยกำรประมำณคำ่ ตวั อย่ำงท่ี 18 จงหารากทสี่ ามของ 12 โดยการประมาณค่าให้ใกลเ้ คียงทศนิยมสามตาแหนง่ วิธที า ขั้นท่ี 1 เนอ่ื งจาก 23 = 8 และ 33 = 27 ดังน้นั 2 < 3 12 < 3 23 3 12 อยู่ระหว่ำงสองจำนวนนี้ ขน้ั ท่ี 2 คา่ เฉล่ียของ 2 กบั 3 = 2 + 3 = 2.5 2 เน่ืองจาก (2.5)3= 15.625 ซึง่ มคี า่ มากกว่า 12 ดังนน้ั 2 < 3 12 < 2.5 2 2.5 3 3 12 อยรู่ ะหว่ำงสองจำนวนนี้

กำรหำรำกท่ีสำม 2) กำรหำรำกทส่ี ำมโดยกำรประมำณคำ่ ตัวอยำ่ งที่ 18 จงหารากท่ีสามของ 12 โดยการประมาณค่าใหใ้ กล้เคียงทศนยิ มสามตาแหน่ง วิธที า ขน้ั ที่ 3 ค่าเฉลี่ยของ 2 กับ 2.5 = 2 + 2.5 = 2.25 2 เนอ่ื งจาก (2.25)3 ≈ 11.39 ซ่ึงมีค่านอ้ ยกว่า 12 ดังน้นั 2.25 < 3 12 < 2.5 2 2.25 2.5 3 3 12 อยู่ระหวำ่ งสองจำนวนน้ี ข้นั ที่ 4 ค่าเฉล่ียของ 2.25 กับ 2.5 = 2.25 + 2.5 = 2.375 2 เนื่องจาก (2.375)3 ≈ 13.40 ซ่ึงมีคา่ มากกว่า 12 ดงั น้นั 2.25 < 3 12 < 2.375 2 2.25 2.375 2.5 3 3 12 อยูร่ ะหวำ่ งสองจำนวนน้ี

กำรหำรำกท่สี ำม 2) กำรหำรำกทสี่ ำมโดยกำรประมำณคำ่ ตัวอยำ่ งท่ี 18 จงหารากทีส่ ามของ 12 โดยการประมาณคา่ ให้ใกล้เคยี งทศนิยมสามตาแหน่ง วิธที า ขั้นที่ 5 คา่ เฉลยี่ ของ 2.25 กับ 2.375 = 2.5 + 2.375 = 2.3125 2 เนอื่ งจาก (2.3125)3 ≈ 12.366 ซ่ึงมคี า่ มากกว่า 12 ดังนัน้ 2.25 < 3 12 < 2.3125 ขน้ั ท่ี 6 ค่าเฉลี่ยของ 2.25 กบั 2.3125 = 2.25 + 2.3125 = 2.28125 2 เน่ืองจาก (2.28125)3 ≈ 11.872 ซึง่ มคี ่าน้อยกวา่ 12 ดังนัน้ 2.28125 < 3 12 < 2.3125 ข้ันท่ี 7 ค่าเฉลี่ยของ 2.28125 กับ 2.3125 = 2.28125 + 2.3125 ≈ 2.2969 2 เนอื่ งจาก (2.2969)3 ≈ 12.117 ดงั น้ัน รากทส่ี ามของ 12 มคี า่ ประมาณ 2.297

กำรหำรำกท่สี ำม เม่ือ ������ ������ ไมเ่ ป็นจำนวนเต็ม คำ่ ในชอ่ ง ������ ������ จะเป็นค่ำประมำณ 3) กำรหำรำกทีส่ ำมโดยกำรเปดิ ตำรำง เช่น n = 90 จะไดว้ า่ 3 n ≈ 4.481 ตัวอย่ำงตำรำงแสดงคำ่ รำกทีส่ ำม นนั่ คือ 3 90 ≈ 4.481 n ������ ������ ⋮⋮ 90 4.481 91 4.498 92 4.514 93 4.531 ⋮⋮