แฟคทอเรียล

แฟกทอเรียล n (Factorial n) ในการคานวณหาจานวนวธิ ีที่จะเกิดข้ึนจากการทดลองหรือการทางานอยา่ งใดอยา่ งหน่ึง บางคร้ังจานวนวธิ ีท่ีหา ไดน้ ้นั เกิดจากผลคณู ของจานวนหลายๆ จานวน เช่น 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 หรือ 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 เป็นตน้ ดงั น้นั เพื่อความสะดวกในการเขียนจานวนเหลา่ น้ี จึงไดม้ กี ารกาหนดสญั ลกั ษณ์แทนจานวนดงั กล่าว ดงั น้ี 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 เขียนแทนดว้ ย 8! 6×5×4×3×2×1 เขียนแทนดว้ ย 6! สญั ลกั ษณ์ 8! และ 6! เป็นสญั ลกั ษณ์แทนการคณู กนั ของจานวนเต็มบวก ดงั น้นั จึงกาหนดในรูปทว่ั ไปดงั น้ี ให้ n เป็นจานวนเต็มบวก จะได้ n! เป็นสญั ลกั ษณ์ที่เขียนแทนการคูณกนั ของจานวนเต็มบวกต้งั แต่ 1 ถึง n สญั ลกั ษณ์ n! อา่ นวา่ เอน็ แฟกทอเรียล หรือ แฟกทอเรียลเอน็ ซ่ึง n! = n•(n–1)•(n–2)•(n–3)•…•3•2•1 ตวั อย่างท่ี 1 จงหาค่าของ 1) 1! =……………………………….. = 1 2) 2! =……………………………….. = 2 3) 3! =…3 × 2 × 1 ………………….. = 6 4) 4! =…4 × 3 × 2 × 1…………….. = 24 5) 5! =…5 × 4 × 3 × 2 × 1 …….. = 120 6) 6! =…6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1…….. = 720 7) 7! =…7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1.. = 5040 8) 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320 9) 9! =9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 36880 10) 10! =……………………………….. =368800 ตวั อย่างที่ 2 จงเขียนจานวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปที่ไมม่ ีแฟกทอเรียล 5! 5x4! 1) 4!  4!  5……………………………………………………………………………………… 2) 8! = 8x7x6! = 8 × 7 = 56………………………………………………………………………… 6! 6! 2! 2! 1 3) 3! = 3x2! = 3 4) (n  3)! = (n  3)(n  2)(n 1)! = (n+3)(n+2) (n  1)! (n 1)! ตวั อย่างที่ 3 จงเขียนจานวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปแฟกทอเรียล 1) 9 • 8 • 7 = = 2) 360 = 6 × 5 × 4 × 3 = = 3) (n+3)(n+2)(n+1)n = ( )( )( ) ( ) = ( ) () ( ) 4) n(n2 – 1)(n2–4) = n(n+1)(n–1)(n+2)(n–2) = ( )( ) ( )( )( ) ( ) () = ( )

ตวั อย่างท่ี 4 กาหนดให้ (n 1)! = 1,640 จงหาค่าของ n (n 1)! ( )( ) วธิ ีทา () = 1640 (n+1)n = 1640 41 × 40 = 1640  n = 40 แบบฝึ กหัด 1. จงหาค่าของ (เขียนในรูปที่ไม่มแี ฟกทอเรียล) 1) 6! = = 6 × 5 = 30 4! 12! 2) 10! = = 12 × 11 = 132 3) 7! = = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 3! 4) 8! = 2!6! = = 28 5) 15! = = 360,360 6!7! (n  2)!(n 1)! ( )( )( ) = (n+2)(n+1)(n+1) 6) (n!)2 = 2. จงเขียนในรูปแฟกทอเรียล 1) 5 × 4 × 3 = = 2) 11 × 10 = = 3) 210 = 7 × 6 × 5 = = 4) 504 = 9 × 8 × 7 = = 5) 5040 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7! 6) (n+1)n(n–1) = ( ) ( )( ) = ( ) () ( ) 7) n(n–1)(n–2)(n–3) = ( )( )( )( () ) =( ) n! 3. ให้ 3!(n  2)! = 70 จงหาค่า n วธิ ีทา ( )( ) = 70 ( ) n (n-1) = 420 21 × 20 = 420  n = 21

4. ให้ (n  3)! = 1680 จงหาค่า n (n 1)! ( )( )( ) ( ) วธิ ีทา () = 1,680 (n+3)(n+2)(n+1)n = 1,680 = 1,680 8×7×6×5  n=5