ทฤษฎีสนามควอนตมั พิเชฐ วณชิ ชาพงศเ์ จรญิ Naresuan University Publishing House www.nupress.grad.nu.ac.th
ขอ้ มูลทางบรรณานุกรมของส�ำ นักหอสมุดแหง่ ชาติ National Library of Thailand Cataloging in Publication Data พเิ ชฐ วณชิ ชาพงศเ์ จริญ. ทฤษฎีสนามควอนตัม = Quantum Field Theory.--พิษณุโลก: สำ�นกั พมิ พ์มหาวทิ ยาลัยนเรศวร, 2564. 536 หนา้ . 1. ทฤษฎีสนามควอนตัม. I. ชื่อเรื่อง. 530.143 ISBN 978-616-426-198-3 ISBN (e-book) 978-616-426-197-6 800สพน. 80 ราคา บาท พิมพ์ครั้งที่ 1 มกราคม พ.ศ. 2564 สงวนลขิ สิทธิ์ ตามพระราชบญั ญตั ิลขิ สทิ ธิ์ พ.ศ. 2537 โดยสำ�นกั พิมพ์มหาวทิ ยาลัยนเรศวร หา้ มการลอกเลียนไม่วา่ ส่วนใดสว่ นหนึง่ ของหนงั สอื เล่มน้ี ไม่ว่าในรปู แบบใด ๆ นอกจากจะได้รบั อนุญาตเปน็ ลายลกั ษณอ์ ักษรจากส�ำ นักพิมพ์มหาวทิ ยาลัยนเรศวร เทา่ น้ัน ผู้จดั พมิ พ์ ส�ำ นกั พมิ พม์ หาวทิ ยาลยั นเรศวร มวี างจำ�หนา่ ยที่ 1. ศูนย์หนงั สือแหง่ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลยั สาขา ศาลาพระเกย้ี ว กรุงเทพฯ โทร. 0 2218 7000-3 สยามสแควร์ อาคารวิทยกติ ติ์ กรุงเทพฯ โทร. 0 2218 9881, 0 2255 4433 มหาวทิ ยาลัยนเรศวร จงั หวัดพษิ ณโุ ลก โทร. 0 5526 0162-5 มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยสี รุ นารี จงั หวัดนครราชสมี า โทร. 0 4421 6131-2 มหาวทิ ยาลยั บูรพา จงั หวัดชลบุรี โทร. 0 3839 4855-9 โรงเรยี นนายรอ้ ยพระจุลจอมเกลา้ (รร.จปร.) จังหวัดนครนายก โทร. 0 3739 3023, 0 3739 3036 จตั ุรสั จามจุรี กรงุ เทพฯ โทร. 0 2160 5301 มหาวิทยาลยั พะเยา โทร. 0 5446 6799, 0 5446 6800 มหาวทิ ยาลัยเทคโนโลยรี าชมงคลอสี าน โทร. 0 4492 2662-3 สาขายอ่ ยคณะครุศาสตรจ์ ฬุ าฯ โทร. 0 2218 3979 สาขาหัวหมาก โทร. 0 2374 1378 2. ศูนยห์ นังสือมหาวทิ ยาลยั เกษตรศาสตร์ อาคารวิทยบริการ มหาวทิ ยาลัยเกษตรศาสตร์ 50 ถนนงามวงศ์วาน แขวงลาดยาว เขตจตจุ ักร กรงุ เทพฯ 10900 โทร. 0 2579 0113 3. ศูนย์หนงั สือมหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์ อาคารอเนกประสงค์ ชนั้ 1 มหาวิทยาลยั ธรรมศาสตร์ ถนนพระจนั ทร์ แขวงพระบรมมหาราชวัง เขตพระนคร กรุงเทพฯ 10200 โทร. 0 2613 3899, 0 2623 6493 สาขา ศนู ยห์ นงั สอื มหาวิทยาลัยเชยี งใหม่ จังหวดั เชียงใหม่ โทร. 0 5394 4990-1 ศนู ยห์ นงั สอื มหาวทิ ยาลัยสงขลานครินทร์ จงั หวัดสงขลา โทร. 0 7428 2980, 0 7428 2981 ศนู ย์หนงั สือมหาวทิ ยาลัยราชภัฏยะลา จงั หวัดยะลา โทร. 0 7329 9980 4. ส�ำ นักพมิ พ์มหาวทิ ยาลยั นเรศวร บณั ฑิตวทิ ยาลยั มหาวทิ ยาลัยนเรศวร อาคารมหาธรรมราชา จังหวดั พิษณโุ ลก 65000 โทร. 0 5596 8833-8836 กองบรรณาธิการ กองบรรณาธกิ ารจัดทำ�เอกสารส่ิงพิมพ์ทางวิชาการของสำ�นกั พมิ พม์ หาวิทยาลยั นเรศวร ออกแบบปก สรญา แสงเย็นพันธ์ ออกแบบรปู เลม่ สรญา แสงเยน็ พนั ธ์ พิมพ์ท่ี บริษัท กดู๊ เฮด พริ้นท์ติ้ง แอนด์ แพคเกจจง้ิ กร๊ปุ จ�ำ กดั 6/1 นคิ มอุตสาหกรรมบางชนั ซอยเสรีไทย 58 แขวงมีนบรุ ี เขตมนี บุรี กรงุ เทพฯ 10510 โทร. 02-136-7042 ส�ำ นักพิมพน์ ีเ้ ปน็ สมาชกิ สมาคมผจู้ ดั พิมพ์ กรณีต้องการสั่งซอ้ื หนังสอื ปริมาณมาก หรือเขา้ ช้นั เรยี นติดต่อได้ที่ และผจู้ �ำ หนา่ ยหนังสือแห่งประเทศไทย ฝา่ ยจัดจำ�หน่ายส�ำ นกั พิมพม์ หาวทิ ยาลัยนเรศวร http://www.thaibooksociety.com พิมพบ์ น nu_publishing @nupress ส�ำ นกั พิมพ์มหาวิทยาลัยนเรศวร กระดาษคุณภาพ เพอ่ื ผลงานคณุ ภาพ กระดาษถนอมสายตากรนี ร้ีด
คำ�น�ำ คำนำ ทฤษฎีสนามควอนตมั (Quantum Field Theory) คือกรอบของทฤษฎีท่ีอธิบายสนามท่ีมีสมบัติทาง ควอนตัม โดยที่สนามคือฟงั ก์ชนั ของตำแหน่งในกาลอวกาศ ทฤษฎีสนามควอนตัมได้รับการพฒั นาข้ึนมาเพื่อ ใช้ทำนายและอธิบายปรากฏการณ์ตา่ ง ๆ โดยเฉพาะปรากฏการณ์ในระดบั มลู ฐานในสาขาต่าง ๆ เช่น ฟสิ กิ ส์ อนุภาค, ฟสิ กิ ส์สสารควบแนน่ และ จักรวาลวทิ ยา เป็นต้น ผเู้ ขียนมคี วามเห็นวา่ ไม่ว่าองค์ความรู้ในอนาคตจะได้รบั การพฒั นาไปอย่างไร ความรเู้ กยี่ วกบั ทฤษฎีสนาม ควอนตมั ก็ยังคงมีความสำคญั ดงั เชน่ ในอดีตตั้งแต่ชว่ งตน้ ท่ีวิชานี้ได้รบั การคดิ คน้ ข้ึนจนถงึ ปจั จุบนั และอาจ จะย่งิ มีความสำคญั มากขน้ึ ไปอีกในอนาคต ในปัจจุบันงานวิจยั และนักวิจยั ในประเทศไทยที่ใช้พ้ืนฐานของ ทฤษฎีสนามควอนตมั ยงั มีจำนวนน้อย แต่ผู้เขียนคิดว่าสว่ นหนงึ่ ที่สำคญั ของการพฒั นาประเทศไทยให้กา้ วหนา้ ทัดเทียมนานาอารยประเทศ จำเป็นต้องมีจำนวนงานวิจยั ท่ีเกย่ี วขอ้ งกบั ทฤษฎีสนามควอนตมั มากขึ้น ผู้เขยี น ต้องการเป็นส่วนหนึ่งในการชว่ ยทำเป้าหมายนี้ให้สำเรจ็ โดยเริ่มจากการทำให้ผู้ศกึ ษาชาวไทยที่เข้าใจวชิ าน้ี มจี ำนวนมากขนึ้ ผู้ที่ตอ้ งการศกึ ษาทฤษฎีสนามควอนตมั มกั จะตอ้ งข้ามผ่านความยากสองขนั้ ที่สำคัญ ขน้ั แรกคือ ผู้ศึกษา วิชานี้ต้องมีพน้ื ฐานทางฟสิ กิ ส์ในระดบั หนึ่งโดยเฉพาะทางด้านกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสัมพัทธภาพ พเิ ศษ ข้นั ที่สองคอื แม้วา่ ผู้ศกึ ษาจะมีพื้นฐานทางฟิสิกส์ที่พร้อมจะเริ่มศึกษาทฤษฎีสนามควอนตัมแลว้ การศกึ ษาทฤษฎีสนามควอนตมั ให้เข้าใจ จำเปน็ ต้องเรยี นรู้เน้ือหาและหลกั การเพม่ิ เตมิ อีกมากมาย ผู้เขียน มีความคิดเหน็ วา่ ความยากในขั้นแรกสามารถขา้ มผ่านได้โดยงา่ ยดว้ ยการเรยี นฟสิ กิ ส์ในระดับปรญิ ญาตรี หรอื การอา่ นหนงั สอื ฟิสกิ ส์ระดับปรญิ ญาตรีที่เขยี นเป็นภาษาไทย แต่การก้าวผา่ นความยากในข้ันท่ีสอง ยังเปน็ สิ่งทที่ ำได้ยาก ผู้เขยี นเขียนหนังสอื เลม่ น้ขี น้ึ เพอื่ ช่วยให้ผศู้ ึกษาก้าวผา่ นความยากข้นั ทส่ี องของการศกึ ษา ทฤษฎสี นามควอนตมั i
หนังสอื เลม่ นี้เขียนขึน้ เพอื่ ให้นักเรียน นสิ ติ นกั ศกึ ษา และผู้สนใจ ท่ีมีพนื้ ฐานมาในระดับหนึ่งแลว้ ได้เข้าใจ ถงึ หลกั การ แนวคิด และการคำนวณในทฤษฎีสนามควอนตัม หนังสอื เล่มน้ีเขียนข้ึนเพือ่ อภปิ รายทฤษฎีสนาม ควอนตมั ทป่ี ระยกุ ตใ์ ชก้ บั ฟสิ ิกส์อนุภาค ซึ่งนอกจากสมบตั ทิ างควอนตมั แลว้ สนามก็ยงั มสี มบตั ิทางสัมพทั ธภาพ พิเศษด้วย ดงั นน้ั พนื้ ฐานที่ผู้ศึกษาควรมีมากอ่ นอ่านหนงั สอื เล่มน้ี นอกจากพ้นื ฐานของกลศาสตร์คลาสสิค (โดยเฉพาะกลศาสตร์ลากรางจ์และกลศาสตร์ฮามิลตนั ) และกลศาสตร์ควอนตมั แลว้ ผู้อ่านก็ควรมีพืน้ ฐานของ ทฤษฎีสมั พัทธภาพพิเศษด้วย ซึง่ ผู้อ่านอาจศกึ ษาหวั ข้อแต่ละหวั ขอ้ ดงั กลา่ วได้จากหนังสอื ต่าง ๆ ที่เขียนข้ึนมา โดยเฉพาะเพ่ืออภปิ รายเนือ้ หาเหล่าน้ี หรอื จากการศึกษาวชิ าเหลา่ น้ีในรายวชิ าระดับมหาวิทยาลยั ในส่วนเนื้อหาท่ีเกีย่ วขอ้ งกบั กลศาสตร์ควอนตมั และทฤษฎีสนามควอนตัม ผู้เขียนได้รวบรวม เรยี บเรยี ง อภิปราย และขยายความเน้ือหาจากหนงั สอื ต่าง ๆ ได้แก่ [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12] และ [13] นอกจากน้ีผู้เขียนยังอ้างองิ จากหนังสือเล่มอ่นื และงานวจิ ยั ต่าง ๆ เพ่อื เสริมการอภปิ ราย ในเนอ้ื หาส่วนต่าง ๆ ของหนังสือเลม่ นี้ ในหนงั สือเลม่ นี้ ผู้เขียนใช้คำศพั ท์ที่บญั ญตั ิโดยราชบณั ฑติ ยสถาน [14] แต่สำหรบั ศัพท์ท่ีไมม่ ีบญั ญตั ิไว้ ผ้เู ขียนพยายามแปลโดยเน้นความเรยี บงา่ ยและสื่อความหมายใกล้เคียงกับคำในภาษาเดมิ หนงั สอื เล่มน้ีมี 18 บท ซ่งึ รวบรวมไวเ้ ป็น 5 สว่ น นอกจากนี้ยงั มอี กี 3 ภาคผนวก ส่วนท่ี 1 ประกอบดว้ ยบทที่ 17 ซึ่งอภปิ รายประเดน็ พื้นฐานท่ีสำคัญที่จะนำไปใช้ในการศกึ ษาทฤษฎี สนามควอนตัม บทท่ี 1 เปน็ บทนำ ซ่ึงอภปิ รายทมี่ าและความสำคญั ของทฤษฎีสนามควอนตัม บทท่ี 2 เสนอ ฟงั ก์ชนั ขน้ั บนั ไดของเฮฟวิไซด์และฟังกช์ นั เดลตาของดิแรก ซึ่งเป็นฟงั ก์ชนั ที่สำคัญที่เราจะนำไปใช้ประกอบ การอภิปรายต่าง ๆ ในภายหลงั บทท่ี 3 อภิปรายการใช้สญั กรณ์บราเค็ทเพอื่ อธบิ ายกลศาสตร์ควอนตมั บทที่ 4 ทบทวนการแปลงฟูเรียร์และอธิบายรูปแบบที่จะนำมาใช้ในหนงั สอื เล่มนี้ บทที่ 5 อภิปรายประเด็น ของการแปลงลอเรนทซ์โดยเน้นไปที่สมบตั ิของเมทริกซ์การแปลงลอเรนทซ์ บทที่ 6 อธบิ ายฟงั ก์ชันของกรนี ซงึ่ เป็นฟังกช์ นั ที่สำคัญที่มกั ใช้ศึกษาการตอบสนองของระบบตอ่ ปัจจยั ภายนอก เราจะอภปิ รายเครอื่ งมอื ท่ี ใช้ในการคำนวณหาฟังก์ชันของกรนี และความหมายเชิงฟิสิกส์ของฟงั กช์ นั ของกรนี บทท่ี 7 อธิบายปญั หา การกระเจิงเชิงควอนตัม โดยจะอภปิ รายการคำนวณหาฟงั กช์ ันคลื่นและการนำไปใช้ เพอื่ หาปริมาณท่ีจะนำไป เทียบกบั ผลจากการทดลองได้ ส่วนท่ี 2 ประกอบด้วยบทท่ี 811 ซึ่งอภิปรายสนามอิสระทง้ั ในเชงิ คลาสสิคและควอนตมั โดยบทท่ี 8 อภปิ รายทฤษฎสี นามสเกลาร์อิสระ บทท่ี 910 อภิปรายทฤษฎสี นามสปนิ เนอร์อสิ ระ บทที่ 11 อภปิ รายทฤษฎี แมกซ์เวลล์ ส่วนท่ี 3 ประกอบดว้ ยบทที่ 1214 ซงึ่ วิเคราะห์ทฤษฎีสนามสเกลาร์ท่ีมีอนั ตรกิรยิ าในตัว บทท่ี 12 เสนอ สูตรและเคร่อื งมอื ต่าง ๆ ท่ีจะนำไปใช้คำนวณเก่ยี วกับปัญหาการกระเจงิ บทท่ี 13 อธิบายการคำนวณปริมาณ ที่เรยี กว่าฟังก์ชนั n จุด ซึ่งจะนำไปประกอบกับสตู รในบทที่ 12 เพ่อื นำไปอธบิ ายปัญหาการกระเจิงในบทท่ี 14 IV ii
คำำ�นำำ� สว่ นที่ 4 ประกอบดว้ ยบทท่ี 1517 ซึ่งอภิปรายพลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัม โดยดัดแปลงและประยกุ ต์ใช้ หลักการและวิธีการตา่ ง ๆ จากสว่ นท่ี 3 โดยบทท่ี 15 อภปิ รายสูตรตา่ ง ๆ ที่จะนำไปใช้ในบทต่อ ๆ ไป บทที่ 16 อธิบายกระบวนการกระเจงิ ต่าง ๆ ซงึ่ ผลที่ได้สามารถนำไปเทยี บได้กบั ผลการทดลอง บทท่ี 17 อภปิ ราย การคำนวณทจี่ ะให้ผลที่แมน่ ยำข้ึน และอภิปรายถงึ ผลบางประการในเชิงฟิสิกส์ สว่ นที่ 5 ประกอบด้วยบทท่ี 18 เพียงบทเดยี ว บทน้ีอภปิ รายตวั อยา่ งเสน้ ทางของการพฒั นาทฤษฎีสนาม ควอนตัม ในด้านตา่ ง ๆ ท่ีตอ่ ยอดมาจากการอภิปรายในหนังสือเล่มนี้ บางสว่ นของบทนี้อาจนำไปขยายความ เพอื่ เปน็ ประเดน็ หลักในหนังสือที่ผู้เขยี นจะเขียนข้ึนในอนาคต ภาคผนวก กข อภปิ รายประเด็นเสรมิ สำหรับการคำนวณฟังก์ชัน n จดุ ภาคผนวก ค เฉลยโจทย์ปญั หา ทา้ ยบท หนงั สือเล่มนี้มีสรุปทา้ ยบททุกบท มีโจทย์และเฉลยสำหรบั บทท่ี 217 และสำหรบั บทเหลา่ น้ียังมีบทย่อย ที่มีหัวขอ้ ว่า “วจิ ารณ์ประเด็นสำคญั ” ซ่ึงวิจารณ์ประเด็นที่สำคัญ รวมถงึ มีแนวเน้ือหาที่ผู้อ่านควรรู้และ ทำความเขา้ ใจ (มักขึ้นตน้ ว่า “เม่อื อา่ นบทนจ้ี บ ผูอ้ ่านควร...”) นอกจากน้ยี ังมีแนวทางวา่ ผูอ้ า่ นควรมพี ืน้ ฐานใด มาก่อนที่จะอ่านบทต่าง ๆ ในหนงั สือเล่มนี้บา้ ง ด้วยเครือ่ งมอื เหล่าน้ี หนงั สอื เลม่ น้ีจงึ เหมาะสำหรับให้ผู้อา่ นใช้ ในการศึกษาดว้ ยตนเอง หรือนำไปใชส้ อนในเนอ้ื หาท่ีเก่ยี วข้องสำหรบั 12 ภาคเรยี นในระดับบณั ฑติ ศึกษา ผู้เขยี นขอขอบพระคณุ ครูบาอาจารย์ทกุ ท่านที่ประสิทธิ์ประสาทวิชาท่ีเป็นพ้ืนฐานและวิชาท่ีเกยี่ วข้อง โดยตรงกับทฤษฎีสนามควอนตัม ผู้เขียนขอขอบคณุ เพือ่ นรว่ มงานทกุ ท่านทงั้ ในอดีตและปจั จุบัน ณ วทิ ยาลัยเพอ่ื การค้นควา้ ระดบั รากฐาน “สถาบันสำนกั เรียนท่าโพธ์ิฯ” (IF) มหาวทิ ยาลัยนเรศวร โดยเฉพาะ Prof. Dr. Edouard Berge Manoukian, รศ. ดร.บุรินทร์ กำจัดภยั , ผศ. ดร.เสกสรร สุขะเสนา, ผศ. ดร.สขิ รินทร์ อยู่คง และ Dr. ShengLan Ko ซ่งึ ผู้เขียนได้ร่วมอภิปรายและแลกเปล่ยี นเรยี นรู้ในประเดน็ ต่าง ๆ ท่ีเกยี่ วข้องกับทฤษฎีสนามควอนตมั และ ที่สำคัญ Prof. Dr. Edouard Berge Manoukian ยังเป็นผู้สรา้ งแรงบันดาลใจให้ผู้เขียนศึกษาทฤษฎีสนาม ควอนตัมอยา่ งหม่ันเพยี รและให้ลึกซึง้ ผู้ เขยี น ขอ ขอบคุณ นสิ ิต ของ IF ทกุ ทา่ น ทงั้ ใน อดีต และ ปจั จุบัน โดย เฉพาะ อ. ดร.จา รุณี สนอง คณุ , อ. ดร.ชลธิชา กฤษณ์เพ็ชร,์ นายอาณาจักร พลจันทึก, นายอมรเทพ ติตะ๊ , น.ส.ศจุ ิพชั ร จนั อนู , นายสมโภช ไทรแช่มจันทร,์ นายราชภัฏ นครจนิ ดา, นายศักดิธัช จิตรเพียรคา้ , นายมฤเคนทร์ จอมเพชร, นายผดงุ เกียรติ กวางแกว้ และ Mr. Candrasyah Muhammad ซึ่งตั้งคำถามท่ีน่าสนใจและให้ขอ้ สังเกตในประเด็นต่าง ๆ ท่ีเก่ียวขอ้ งกบั ทฤษฎสี นามควอนตัม iii V
เนอ้ื หาบางสว่ นของหนงั สอื เลม่ นี้ ได้รบั การพัฒนาขน้ึ มาจากเอกสารและประสบการณ์การสอนของผู้เขียน ในชนั้ เรียนและในโครงการต่าง ๆ ได้แก่ วิชา Green's Functions and Propagation ระดับปรญิ ญาโท ภาคการศึกษาท่ี 1/2561 ณ IF, วิชา Relativistic Quantum Fields I ระดับประกาศนียบัตรบัณฑิตชนั้ สูง ภาคการศึกษาท่ี 2/2561 ณ IF, โครงการ Green's Function in Physics ในระหวา่ งวันท่ี 1415 มถิ ุนายน 2561 ณ IF, โครงการ The 2nd Winter School: String theory I ในระหวา่ งวนั ที่ 2426 ธันวาคม 2561 ณ มหาวิทยาลยั เทคโนโลยีพระจอมเกล้าธนบรุ ,ี โครงการ Green's Function and Laplace Transform ในระหวา่ งวันที่ 1718 สงิ หาคม 2562 ณ IF ผู้เขยี นขอขอบคณุ นิสติ ที่เขา้ เรยี นในรายวชิ าต่าง ๆ ขา้ งต้น และขอบคณุ ผเู้ ข้าร่วมโครงการตา่ ง ๆ ข้างต้น สำหรับคำถามและคำแนะนำตา่ ง ๆ ผู้เขียนเตรียมตน้ ฉบับหนงั สอื เลม่ น้ีเองทั้งเล่มโดยเขียนเนอื้ หาโดยใช้โปรแกรม LATEX เขียนแผนภาพและ วาดรูปทง้ั หมดโดยใช้โปรแกรม Python และ Inkscape ผู้เขียนขอขอบคณุ สำนักพมิ พ์มหาวทิ ยาลยั นเรศวร สำหรบั คำแนะนำในการพฒั นารูปแบบและเน้อื หาของหนังสือเลม่ นี้ และสำหรับการปรบั แต่งและจัดทำรปู เล่ม ผู้เขยี นกราบขอบพระคุณคุณพอ่ และคณุ แม่ของผู้เขยี น ขอบคณุ น้องชาย รวมทั้งครอบครวั และญาติพ่ีน้อง สำหรบั ความรัก, กำลังใจ และ ความเข้าใจ นอกจากนี้ ผเู้ ขียนยงั ขอขอบคุณมยุ่ ผู้คอยใหก้ ำลังใจ, ความรกั และ สง่ เสริมผูเ้ ขยี นในดา้ นสุขภาพและการใชช้ ีวติ พเิ ชฐ วณิชชาพงศ์เจรญิ กันยายน พ.ศ. 2563 VI iv
สารบัญ สารบญั คำนำ i ส่วนท่ี 1 ความรเู้ บือ้ งต้น 1 1 บทนำ 3 1.1 ทฤษฎฟี ิสกิ สแ์ ละความเปน็ สากล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 ทฤษฎีสำหรับอนภุ าคเดีย่ วเชิงควอนตัมสัมพทั ธภาพ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 การอธบิ ายระบบหลายอนุภาคโดยใช้สนาม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 การควอนไทซ์แบบบัญญตั ิสำหรับสนาม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 ปัญหาและการแกป้ ญั หาสำหรับกรณีท่ีสนามมอี นั ตรกริ ิยา . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 หนว่ ยและสญั ลกั ษณ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 สรปุ ทา้ ยบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 ฟังกช์ ันขน้ั บนั ไดของเฮฟวไิ ซด์และฟังก์ชันเดลตาของดิแรก 15 2.1 ฟังกช์ นั ขัน้ บันไดของเฮฟวไิ ซด์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 ฟังก์ชันเดลตาของดิแรก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 วจิ ารณ์ประเดน็ สำคญั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 สรปุ ท้ายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 โจทยป์ ัญหา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 กลศาสตรค์ วอนตมั ในสญั กรณ์บราเคท็ 27 3.1 ปรภิ มู ฮิ ิลเบริ ต์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 ตัวดำเนินการเชิงเส้น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 ตัวอยา่ งของปรภิ มู ฮิ ลิ เบิร์ต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.1 ตัวอย่างของปรภิ มู ฮิ ลิ เบริ ต์ ทม่ี ีจำนวนมติ เิ ปน็ จำนวนจำกัด . . . . . . . . . . 38 3.3.2 ตวั อยา่ งของปรภิ ูมิฮิลเบิรต์ ทมี่ ีจำนวนมติ เิ ป็นจำนวนอนนั ตท์ ีน่ บั ได้ . . . . . . 39 v
สารบัญ 3.3.3 ตัวอย่างของปริภมู ิฮิลเบริ ต์ ทม่ี จี ำนวนมติ ิเปน็ จำนวนอนันตท์ ่ีนับไมไ่ ด้ . . . . . 40 3.4 ตวั แกวง่ ฮารม์ อนิกเชงิ ควอนตมั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5 วจิ ารณป์ ระเดน็ สำคัญ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.6 สรุปท้ายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.7 โจทยป์ ัญหา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 การแปลงฟเู รยี ร์ 51 4.1 นิยามและสมบตั ิ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 วิจารณป์ ระเด็นสำคัญ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 สรปุ ทา้ ยบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4 โจทยป์ ัญหา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5 การแปลงลอเรนทซ์ 55 5.1 กรปุ ลอเรนทซ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 การแปลงลอเรนทซ์ทเี่ หมาะสมและถูกเวลา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3 วิจารณ์ประเด็นสำคญั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.4 สรุปทา้ ยบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.5 โจทยป์ ญั หา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6 แนวคดิ พ้นื ฐานสำหรบั ฟังกช์ นั ของกรีน 75 6.1 การวิเคราะหก์ ารแกว่งเชิงฮารม์ อนกิ อย่างง่ายที่มแี รงภายนอกมากระทำ . . . . . . . . 75 6.2 ผลหลักจากการวิเคราะหเ์ ชงิ ซ้อน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2.1 จำนวนเชงิ ซ้อนและฟังก์ชันของตวั แปรเชิงซ้อน . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.2.2 ฟังก์ชันเชงิ วเิ คราะห์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.2.3 คอนทัวรอ์ ินทิกรัล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3 การหาค่าของฟังกช์ ันของกรีนสำหรบั การแกวง่ เชิงฮาร์มอนิกอยา่ งง่ายท่ีมีแรงภายนอกมา กระทำ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.4 สมการคลืน่ จากแหลง่ กำเนิด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.5 วจิ ารณ์ประเดน็ สำคัญ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.6 สรุปทา้ ยบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.7 โจทย์ปัญหา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7 การกระเจงิ เชงิ ควอนตมั 97 7.1 ฟงั กช์ ันคล่ืนสำหรับการกระเจิง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 VIII vi
สสาารรบบััญญั 7.2 ความหนาแน่นกระแสความนา่ จะเปน็ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.3 ภาคตัดขวางเชิงอนพุ นั ธ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.4 ภาคตัดขวางเชิงอนุพนั ธ์สำหรบั ศักย์ออ่ น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.5 วิจารณ์ประเดน็ สำคญั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.6 สรุปท้ายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.7 โจทย์ปญั หา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 สว่ นท่ี 2 สนามอสิ ระ 117 8 ทฤษฎีสนามสเกลาร์ 119 8.1 กลศาสตร์ควอนตมั เชงิ สมั พทั ธภาพสำหรับอนภุ าคเด่ยี ว . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.2 การวเิ คราะหล์ ากรางจ์สำหรับกลศาสตร์คลาสสิค . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.3 แอคชนั สำหรบั สนามสเกลาร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.4 ผลเฉลยของสนามสเกลารอ์ ิสระ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.5 การวเิ คราะหฮ์ ามิลตัน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8.6 ทฤษฎบี ทของเนอเธอร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.6.1 กระแสอนุรักษแ์ ละประจุอนุรกั ษ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.6.2 เทนเซอร์พลังงานโมเมนตัม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.6.3 ประจุอนุรักษจ์ ากการแปลงลอเรนทซ์ทีเ่ หมาะสมและถกู เวลา . . . . . . . . 140 8.7 การควอนไทซแ์ บบบัญญัติ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.8 ตัวแทนในปริภมู ติ ำแหนง่ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.9 ตัวดำเนินการที่กอ่ กำเนิดการแปลงสนามสเกลาร์อสิ ระ . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.10 เหตุกภาพ ความเฉพาะท่ี และตวั แผก่ ระจาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.11 วิจารณ์ประเด็นสำคญั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.12 สรุปท้ายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.13 โจทย์ปญั หา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9 สมการดิแรก 163 9.1 สมการดแิ รกและความหนาแนน่ ของความนา่ จะเปน็ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.2 สมบตั ิของเมทริกซแ์ กมมา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.2.1 การเขียนเมทริกซใ์ ด ๆ ทมี่ ขี นาด 4 × 4 โดยใช้เมทรกิ ซ์แกมมา . . . . . . . 166 9.2.2 การแยกผลคณู ของเมทริกซ์แกมมา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 9.2.3 สังยคุ เฮอร์มเิ ชียน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 vii IX
สารบญั 9.3 การแปลงลอเรนทซข์ องสปนิ เนอร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 9.3.1 การแปลงลอเรนทซ์ทีเ่ หมาะสมและถูกเวลา . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9.3.2 การแปลงแพริตี . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 9.3.3 การผันกลบั ของเวลาและตัวดำเนินการเชงิ เสน้ สงั ยคุ . . . . . . . . . . . . 178 9.3.4 การแปลงของสปินเนอรส์ ังยุค . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 9.4 การแปลงลอเรนทซ์สำหรับปรมิ าณเชงิ เสน้ คูเ่ ฟอร์มิออน . . . . . . . . . . . . . . . . 184 9.5 ผลเฉลยของสมการดแิ รก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.6 สตู รผลคูณภายในและผลคูณภายนอก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.7 สปนิ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.8 การแก้ไขปัญหาคา่ พลงั งานเป็นลบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.9 วจิ ารณป์ ระเดน็ สำคัญ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.10 สรุปท้ายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.11 โจทย์ปัญหา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 10 แอคชนั และการควอนไทซ์ของสนามสปินเนอรอ์ สิ ระ 211 10.1 ลากรางเจียนและฮามลิ โทเนยี นสำหรับสนามสปินเนอรอ์ สิ ระ . . . . . . . . . . . . . 211 10.2 วิธีการควอนไทซส์ ปินเนอร์แบบตรงไปตรงมาแต่ผิด . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.3 วิธีทถ่ี ูกต้องในการควอนไทซส์ ปินเนอร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 10.4 ตวั แผ่กระจายของสปนิ เนอร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.5 วิจารณ์ประเด็นสำคัญ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 10.6 สรปุ ท้ายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 10.7 โจทยป์ ญั หา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 11 การวิเคราะหท์ ฤษฎีแมกซเ์ วลล์ 227 11.1 สมการของแมกซเ์ วลล์ในสุญญากาศ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 11.2 สัญกรณ์ดชั นีสำหรับสมการของแมกซ์เวลล์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 11.3 การวเิ คราะห์ลากรางจส์ ำหรับทฤษฎแี มกซเ์ วลล์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 11.4 การตรึงเกจ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 11.5 เทนเซอร์พลงั งานโมเมนตมั สำหรบั ทฤษฎีแมกซเ์ วลล์ . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 11.6 การกระจายโหมด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 11.7 การควอนไทซ์แบบบญั ญตั ขิ องทฤษฎแี มกซ์เวลล์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 11.8 ตวั แผก่ ระจายสำหรบั สนามเกจอิสระ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 11.9 วจิ ารณป์ ระเด็นสำคญั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 X viii
สสาารรบบััญัญ 11.10 สรปุ ทา้ ยบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 11.11 โจทย์ปญั หา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 สว่ นที่ 3 ทฤษฎสี ำหรบั สนามสเกลารท์ ่ีมีอนั ตรกิริยาในตวั 259 12 แอมพลจิ ดู การกระเจิง ฟงั กช์ นั n จุด และกฎของไฟยนแ์ มน 261 12.1 การควอนไทซแ์ บบบัญญตั ขิ องทฤษฎสี นามสเกลารท์ ีม่ ีอันตรกริ ิยาในตวั . . . . . . . . 261 12.2 สูตรลดรูปแอลเอสแซดสำหรับทฤษฎสี นามสเกลาร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 12.3 สนามบรรทัดฐานใหม่และมวลบรรทดั ฐานใหม่ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 12.4 สมการไดสันชวิงเกอร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 12.5 กฎของไฟยนแ์ มนในปริภูมติ ำแหนง่ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 12.6 การหายไปของแผนภาพลูกออ๊ ด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 12.7 วจิ ารณ์ประเดน็ สำคัญ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 12.8 สรุปทา้ ยบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 12.9 โจทยป์ ญั หา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 13 การวเิ คราะหฟ์ งั กช์ นั 2 จุด และฟังกช์ นั จุดยอด 293 13.1 ลากรางเจียนพจนต์ ้าน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 13.2 ฟงั ก์ชนั 2 จดุ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 13.2.1 ฟงั ก์ชัน 2 จุด ในปริภูมโิ มเมนตมั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 13.2.2 ตวั แทนสเปกตรัมของคาลเลนและลหี ม์ าน . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 13.2.3 พลงั งานในตวั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 13.3 ฟงั กช์ นั จดุ ยอด 3 ขา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 13.4 ฟงั ก์ชันจุดยอด 4 ขา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 13.5 ฟงั ก์ชนั n จดุ เชอื่ มตอ่ ในปริภมู โิ มเมนตมั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 13.6 วิจารณ์ประเดน็ สำคญั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 13.7 สรุปท้ายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 13.8 โจทยป์ ัญหา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 14 แอมพลจิ ดู การกระเจงิ สำหรบั การกระเจงิ ของสองอนภุ าค 331 14.1 ฟงั กช์ นั 4 จดุ และแอมพลจิ ดู การกระเจิง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 14.2 ภาคตัดขวางการกระเจงิ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 14.3 วจิ ารณป์ ระเดน็ สำคญั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 ix XI
สารบัญ 14.4 สรุปทา้ ยบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 14.5 โจทยป์ ญั หา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 ส่วนท่ี 4 การวเิ คราะหพ์ ลศาสตรไ์ ฟฟ้าเชงิ ควอนตมั 345 15 สูตรลดรูปแอลเอสแซดและสมการไดสันชวงิ เกอร์สำหรบั พลศาสตร์ไฟฟ้าเชงิ ควอนตัม 347 15.1 แอคชนั สำหรบั พลศาสตร์ไฟฟา้ สปนิ เนอรค์ ลาสสิค . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 15.2 สูตรลดรูปแอลเอสแซดสำหรบั สปินเนอร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 15.2.1 สปินเนอรข์ าเข้าและขาออก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 15.2.2 ตัวอยา่ งการหาสูตรลดรปู แอลเอสแซดสำหรับสนามสปนิ เนอร์ . . . . . . . . 354 15.2.3 กรณที ่วั ไป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 15.3 สูตรลดรูปแอลเอสแซดสำหรับสนามเกจ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 15.4 สมการไดสนั ชวิงเกอร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 15.5 รูปแบบปรพิ ันธ์สำหรับสมการไดสนั ชวิงเกอร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 15.6 วิจารณ์ประเดน็ สำคญั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 15.7 สรุปท้ายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 15.8 โจทยป์ ัญหา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 16 กระบวนการการกระเจงิ ทรี่ ะดับต้นไม้ 373 16.1 แอมพลจิ ดู การกระเจงิ ในอนั ดบั ของ e0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 16.2 การกระเจิงคอมปต์ นั e−γ → e−γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 16.3 การกระเจงิ ภาภา e−e+ → e−e+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 16.4 การประลยั คู่ e−e+ → γγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 16.5 การกระเจิงโมลเลอร์ e−e− → e−e− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 16.6 อเิ ล็กตรอนภายใต้อิทธพิ ลของสนามเกจภายนอก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 16.7 วิจารณ์ประเด็นสำคัญ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 16.8 สรปุ ท้ายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 16.9 โจทย์ปัญหา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 17 ฟงั กช์ ัน n จดุ สำหรบั พลศาสตร์ไฟฟ้าเชงิ ควอนตมั 409 17.1 ฟงั ก์ชัน 2 จุด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 17.1.1 ฟงั กช์ ัน 2 จุด สำหรบั สปนิ เนอร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 17.1.2 ตัวแทนสเปกตรมั ของคาลเลนและลีหม์ านสำหรับสปินเนอร์ . . . . . . . . . 414 XII x
สสาารรบบััญญั 17.1.3 พลังงานในตัวสำหรบั อิเล็กตรอน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 17.1.4 ฟังก์ชนั 2 จดุ สำหรับสนามเกจ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 17.1.5 ตัวแทนสเปกตรมั ของคาลเลนและลีห์มานสำหรบั สนามเกจ . . . . . . . . . 421 17.1.6 โพลาไรเซชันสุญญากาศ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 17.2 ฟงั กช์ นั 3 จดุ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 17.3 วิจารณป์ ระเดน็ สำคัญ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 17.4 สรุปท้ายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 17.5 โจทย์ปัญหา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 ส่วนที่ 5 ทิศทางการพัฒนาทฤษฎสี นามควอนตัม 435 18 ตัวอยา่ งทศิ ทางการพัฒนาทฤษฎสี นามควอนตมั 437 18.1 วธิ กี ารอน่ื ในการคำนวณฟังกช์ ัน n จุด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 18.2 ทฤษฎสี นามเกจแบบไม่อาบเี ลียน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 18.3 กลไกฮกิ ส์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 18.4 แบบจำลองมาตรฐานของฟิสกิ สอ์ นุภาค . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 18.5 แผนการทำให้เป็นบรรทดั ฐานใหม่ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 18.6 ทฤษฎสี ตริงและทฤษฎเี อม็ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 18.7 สรปุ ทา้ ยบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 ภาคผนวก 462 ก อนพุ ันธเ์ ทยี บเวลาของฟังกช์ ัน n จุด 465 ก.1 กรณีที่สนามทงั้ หมดเปน็ โบซอน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 ก.2 กรณที ัว่ ไปซึง่ ผสมระหวา่ งสนามโบซอนและสนามเฟอร์มอิ อน . . . . . . . . . . . . . 468 ข การใชส้ มการไดสันชวงิ เกอร์สำหรับสร้างแผนภาพไฟยนแ์ มน 470 ข.1 ทฤษฎี ϕ3 โดยใช้สนามเปลือย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 ข.2 ทฤษฎี ϕ3 โดยใช้สนามบรรทดั ฐานใหม่ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 ค เฉลยโจทยป์ ญั หา 477 ค.1 เฉลยบทที่ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 ค.2 เฉลยบทท่ี 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 ค.3 เฉลยบทท่ี 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 xi XIII
สารบญั ค.4 เฉลยบทที่ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 ค.5 เฉลยบทที่ 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 ค.6 เฉลยบทที่ 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 ค.7 เฉลยบทที่ 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 ค.8 เฉลยบทท่ี 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 ค.9 เฉลยบทที่ 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 ค.10 เฉลยบทท่ี 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 ค.11 เฉลยบทท่ี 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 ค.12 เฉลยบทท่ี 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 ค.13 เฉลยบทท่ี 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 ค.14 เฉลยบทที่ 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 ค.15 เฉลยบทที่ 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 ค.16 เฉลยบทที่ 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 บรรณานกุ รม 507 ดัชนี 513 XIV xii
ส่วนที่ 1 ความรเู้ บ้อื งต้น
บทท่ี 1 1 บทนำ บทน�ำ 1.1 ทฤษฎฟี ิสกิ ส์และความเป็นสากล ปรากฏการณ์ต่าง ๆ ในทางฟิสกิ ส์มกั อธบิ ายได้ดว้ ยหลกั การเพียงไม่กี่ขอ้ ยกตวั อยา่ งเชน่ ในกลศาสตร์ คลาสสคิ (classical mechanics) การเคลื่อนที่ของวัตถุอธิบายได้ด้วยกฎการเคลอื่ นท่ีของนิวตัน กลศาสตร์ คลาสสคิ เปน็ ทฤษฎีท่ีมีความเปน็ สากล (universality) เนือ่ งจากใช้อธิบายวตั ถุหรอื ระบบได้หลากหลาย และ ทำนายคา่ ปรมิ าณทางฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้อง เช่น ตำแหน่ง, โมเมนตัม และ พลังงาน ได้อย่างแมน่ ยำ อยา่ งไรก็ดี ความเป็นสากลของกลศาสตร์คลาสสคิ ยังมีข้อจำกัด กลศาสตร์คลาสสคิ ใช้ได้ดีกับระบบที่มีขนาดใหญ่กวา่ ระดับโมเลกลุ , ระบบที่อัตราเรว็ ไม่สงู จนเข้าใกล้อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศ และ ระบบที่ความโนม้ ถ่วง ไมส่ งู มากจนเกนิ ไป เป็นตน้ หนึง่ ในคำถามที่นา่ สนใจคอื มีทฤษฎีทางฟิสกิ ส์ที่มีความเปน็ สากลท่ีครอบคลมุ มากกวา่ กลศาสตร์คลาสสคิ หรอื ไม่ หากไมม่ ีแสดงวา่ จะตอ้ งมีทฤษฎีเฉพาะกจิ ที่สรา้ งขึน้ เพื่ออธิบายระบบที่กลศาสตร์คลาสสคิ อธบิ าย ไมไ่ ด้ หรือหากมี คำถามต่อมาคอื ทฤษฎนี น้ั ควรมลี ักษณะเป็นอย่างไร จากประวัติศาสตรข์ องฟสิ ิกส์เราทราบว่า มีทฤษฎีดังกลา่ วอยู่ และไม่ได้มีอยู่เพยี งทฤษฎีเดยี ว เราทราบมาจากประวัตศิ าสตร์ของฟิสิกส์เชน่ กันว่าทฤษฎี ที่มีความเป็นสากลท่ีครอบคลมุ มากกวา่ กลศาสตร์คลาสสิค ไม่ได้ได้มาจากการเพิ่ม ลด หรอื แม้กระทงั่ แก้ไขกฎ เพยี งเล็กน้อย ท้งั น้ี เป็นที่เขา้ ใจได้ว่ากฎในกลศาสตร์คลาสสคิ มีความเรียบง่ายอยู่แต่เดมิ ดังน้นั การกระทำดงั ท่ีกลา่ วมาดูจะเป็นการลดขอบเขตของความเปน็ สากลแทนที่จะขยายขอบเขตขึน้ ตามที่เราตอ้ งการ ที่จริงแล้ว ทฤษฎีที่ประสบความสำเร็จในการขยายขอบเขตควรได้มาจากการเปลี่ยนกรอบแนวคิดจากทฤษฎีกลศาสตร์ คลาสสิค เราจะกล่าวถงึ ทฤษฎีตวั อย่างสองทฤษฎีที่ขอบเขตความเป็นสากลครอบคลมุ มากกวา่ กลศาสตร์คลาสสิค ทฤษฎีแรกคอื กลศาสตร์ควอนตัม (quantum mechanics) ซึง่ อธบิ ายปรากฏการณ์ระดับอะตอมและโมเลกุล ได้เปน็ อย่างดี นอกจากนี้ เมือ่ ระบบมีขนาดใหญ่ขนึ้ ถงึ ระดับหนง่ึ ผลจากกลศาสตร์ควอนตมั จะลดรปู ไปเป็น ผลจากกลศาสตร์คลาสสคิ ทฤษฎีตอ่ มาคือทฤษฎีสัมพทั ธภาพพิเศษ (special relativity) ซึ่งอธบิ ายระบบ 3
บทที่ 1. บทนำ ท่ีมีอัตราเรว็ สงู เข้าใกล้อัตราเรว็ ของแสงในสญุ ญากาศได้เป็นอย่างดี และเมื่ออัตราเร็วของระบบมีคา่ ต่ำกว่า อัตราเรว็ ของแสงในสุญญากาศมาก ๆ ผลจากทฤษฎีสัมพัทธภาพพเิ ศษจะลดรปู ไปเปน็ ผลจากกลศาสตร์ คลาสสิคเชน่ กนั ท่ีจรงิ แล้วขอบเขตของทฤษฎีสัมพัทธภาพพเิ ศษไม่ได้มีเพียงเทา่ นี้ ทฤษฎีสมั พทั ธภาพพิเศษ สอดคล้องกบั พลศาสตร์ไฟฟ้าคลาสสิค (classical electrodynamics) ดังนนั้ เราจึงอาจขยายขอบเขตโดยนำ ขอบเขตของพลศาสตร์ไฟฟา้ คลาสสิคเข้ามารวมดว้ ย หากนำขอบเขตความเป็นสากลของกลศาสตร์ควอนตมั และของทฤษฎีสมั พัทธภาพพเิ ศษมาพจิ ารณา รว่ มกันแลว้ จะพบวา่ ขอบเขตดังกล่าวยงั มีขอ้ จำกัด กล่าวคอื เรายังอธบิ ายระบบขนาดเลก็ ท่ีมีอตั ราเร็วเข้าใกล้ อตั ราเรว็ ของแสงในสญุ ญากาศไม่ได้ คำถามที่ตามมาและคล้ายคลงึ กับคำถามก่อนหน้านี้คอื มีทฤษฎีทาง ฟสิ กิ ส์ที่มีความเปน็ สากลที่ครอบคลุมกว่าขอบเขตรว่ มของกลศาสตร์ควอนตมั และทฤษฎีสัมพทั ธภาพพเิ ศษ หรอื ไม่ จากความสำเร็จในกรณขี องกลศาสตร์คลาสสิค เราอาจคาดได้ว่าคำตอบของคำถามนคี้ อื มี เช่นกัน นักฟสิ กิ ส์พยายามสร้างทฤษฎีดงั กลา่ ว โดยการนำหลกั การของกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสัมพทั ธภาพ พเิ ศษมารวมเขา้ ดว้ ยกัน ทฤษฎีดงั กล่าวควรอธบิ ายอนุภาคเชิงสมั พทั ธภาพท่ีมีสมบตั ิทางควอนตัมได้ และ ควรอธิบายสนามไฟฟา้ แม่เหลก็ ในเชงิ ควอนตมั ได้เชน่ กัน โดยหลักการแล้วการอธิบายในกรณีของอนุภาค ทำได้ไม่ยากเยน็ นกั เม่อื เทยี บกบั กรณีของสนามไฟฟา้ แม่เหลก็ เน่ืองจากระบบของอนุภาคมีจำนวนองศาอสิ ระ (degrees of freedom) ท่ีจำกดั ในขณะที่สนามมีจำนวนองศาอิสระเป็นอนนั ต์ ทฤษฎีท่ีประสบความสำเร็จ ทั้งสองดา้ นท่ีกล่าวมา รวมทั้งดา้ นอื่น ๆ ดว้ ย คอื ทฤษฎีสนามควอนตมั (quantum field theory) ซึ่งเป็น เนอ้ื หาหลกั ของหนงั สอื เล่มนี้ ทฤษฎีสนามควอนตมั รวบรวมการอธิบายทัง้ อนุภาคและสนามไว้ในคำอธิบายเดียวกัน โดยมีมุมมอง คอื สนามเปน็ ส่ิงท่ีมีความเป็นมูลฐานมากกวา่ อนุภาค1 สนามคอื ฟังก์ชันของจุดในกาลอวกาศ (spacetime) กลา่ วคือ สนามมีค่า ณ แตล่ ะจดุ ในกาลอวกาศ โดยหากค่า ณ ตำแหน่งต่าง ๆ เปน็ เพยี งตวั เลข สนามในท่ีนีค้ อื สนามสเกลาร์ หรือหากคา่ ณ ตำแหน่งต่าง ๆ เป็นปริมาณเวกเตอร์ สนามในที่น้ีคือสนามเวกเตอร์ เป็นตน้ นอกจากนี้ยังมีสนามควอนตมั ซงึ่ มีคา่ ณ แต่ละจดุ ในกาลอวกาศเป็นตวั ดำเนินการเชิงควอนตัม (ในบางกรณี อาจเปน็ ตัวดำเนนิ การเดย่ี ว หรือในบางกรณอี าจเป็นชุดตัวดำเนินการ) ท่จี รงิ แล้วทฤษฎสี นามควอนตัมเป็นกรอบทฤษฎี กล่าวคือ มหี ลากหลายทฤษฎีที่อธบิ ายสนามท่มี ที ั้งสมบัติ เชงิ ควอนตมั และเชงิ สัมพัทธภาพ2 โดยขน้ึ อยู่กบั ว่าเราตอ้ งการให้ทฤษฎีแตล่ ะทฤษฎีอธบิ ายสนามประเภทใด บา้ ง ทฤษฎสี นามควอนตมั (เฉพาะทีใ่ ชก้ ับฟิสกิ สอ์ นุภาค) มีพลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัม (quantum electro dynamics) รงคพ์ ลศาสตร์ควอนตมั (quantum chromodynamics) แบบจำลองมาตรฐานของฟสิ กิ ส์อนภุ าค (standard model of particle physics) เป็นต้น 1เหตผุ ลหนึ่งที่อนภุ าคไมใ่ ช่ส่ิงท่ีเปน็ มลู ฐาน คือ อนุภาคถูกสร้างและถูกทำลายได้ เราจะอภิปรายประเด็นการสร้างและทำลายอนภุ าค ในภายหลัง 2ที่จริงแลว้ ทฤษฎีสนามควอนตัมไม่จำเป็นตอ้ งมีสมบัติเชิงสมั พทั ธภาพ โดยทฤษฎีลกั ษณะดังกล่าวมกั ใช้กบั ฟิสกิ ส์สสารควบแนน่ (condensed matter physics) แต่ ทฤษฎี สนาม ค วอน ตัม ท่ี ประยกุ ต์ ใช้ กบั ฟสิ ิกส์ อนภุ าค (particle physics) จะ ตอ้ ง มี สมบตั ิ เชงิ สมั พทั ธภาพ ในหนังสือเล่มน้เี ราจะกล่าวถงึ ทฤษฎีสนามควอนตัมในลกั ษณะนเ้ี ทา่ น้นั 44
บทท่ี 2 2ฟั งก์ชนั ขัน้ บนั ไดของเฮฟวิไซด์ แลฟะังกฟช์ ัันงขกั้นบ์ชันไนั ดขเอดงเฮลฟตวิไซาดข์แลอะฟงงั กดช์ ันิแเดรลตกาของดแิ รก ฟงั ก์ชันขัน้ บันไดของเฮฟวิไซด์ (Heaviside step function) และฟงั ก์ชันเดลตาของดิแรก (Dirac delta function) เปน็ ฟังก์ชนั ทีส่ ำคญั ซ่งึ เราจะไดใ้ ช้บอ่ ยในหนงั สือเล่มนี้ ในบทน้ีเราจะนยิ ามฟงั ก์ชันทั้งสองน้,ี อธบิ าย การใชง้ าน และพสิ ูจนส์ มบตั ิและเอกลักษณ์ตา่ ง ๆ ก่อนอา่ นบทน้ี ผู้อ่านควรมีความรู้ในหัวขอ้ เกยี่ วกับแคลคลู สั เบอื้ งตน้ ไดแ้ ก่ ลิมิตของฟังก์ชนั , การหา อนุพนั ธ์ และการหาปริพันธ์ 2.1 ฟงั ก์ชนั ขนั้ บนั ไดของเฮฟวไิ ซด์ ฟงั ก์ชันขน้ั บันไดของเฮฟวไิ ซด์มนี ยิ ามคอื 1, x>0 Θ(x) = 1 , x=0 (2.1) 2 x<0 0, กล่าวคอื ฟังก์ชันนี้มีคา่ เท่ากบั 0 เมื่อ x มีคา่ เป็นลบ แต่มีค่าเท่ากบั 1 เมือ่ x มีค่าเปน็ บวก ในกรณีท่ี x มีค่า เป็นศนู ย์ ฟงั ก์ชันน้ีจะมีคา่ เท่ากบั 1/2 ซงึ่ เป็นค่ากึ่งกลางระหว่าง 0 กับ 1 อันที่จรงิ แลว้ Θ(0) สามารถนยิ าม ได้ด้วยคา่ ตา่ ง ๆ เช่น 1 หรือ 0 หรอื อนื่ ๆ แต่ค่า 1/2 นน้ั เหมาะสมทส่ี ดุ สำหรับในขอบเขตท่ีจะอภปิ รายกันใน หนงั สือเล่มนี้ ทัง้ นี้ เนอ่ื งจากเราจะพจิ ารณาการแปลงฟูเรียร์ (Fourier transformation) รว่ มด้วย ซ่งึ ค่าของ ฟังก์ชัน ณ จุดที่ไม่ต่อเน่อื ง จะถกู แทนดว้ ยค่าเฉลย่ี ของฟงั กช์ ัน ณ บรเิ วณนัน้ รูปท่ี 2.1 แสดงกราฟของฟังกช์ ัน ขัน้ บันไดของเฮฟวไิ ซด์ ซ่ึงจะเหน็ ไดว้ า่ มลี กั ษณะเหมือนขัน้ บันไดตามทชี่ ่อื เรียก ฟังก์ชันขนั้ บันไดของเฮฟวิไซด์มีนยิ ามท่ีเรยี บง่าย ซึง่ เราสามารถมองฟังก์ชนั น้ีเปน็ สวติ ซ์ปดิ เปดิ ได้ สมมตุ ิ วา่ ในตอนเร่มิ ต้นเรามีฟังกช์ นั f0(x) แล้วเราตอ้ งการสรา้ งฟงั กช์ นั ใหม่คือ f1(x) ซึ่งมีค่าเทา่ กบั f0(x) เม่อื x ≥ 0 แต่มีค่าเทา่ กบั 0 เม่อื x < 0 จากการใชฟ้ ังก์ชันข้นั บนั ไดของเฮฟวิไซด์ เราจะเหน็ ได้วา่ ทงั้ สองฟงั กช์ ันน้ี 15
บทท่ี 2. ฟงั กช์ นั ข้นั บันไดของเฮฟวิไซดแ์ ละฟงั ก์ชนั เดลตาของดแิ รก 1 x 0.8 0.6 24 0.4 0.2 -4 -2 รูปท่ี 2.1: ฟงั กช์ นั ขั้นบนั ไดของเฮฟวไิ ซด์ เก่ียวข้องกนั ตามความสัมพนั ธ์ f1(x) = f0(x)Θ(x) (2.2) การนำฟังกช์ ันไปคณู กับ Θ(x) เป็นการ “ปดิ ” ทางฝง่ั ซา้ ยของกราฟของฟังกช์ นั น้นั โดยการเปลี่ยนค่าของ ฟังก์ชนั ในบรเิ วณน้ันใหเ้ ป็นศนู ย์ สว่ นทางฝัง่ ขวาของกราฟนน้ั ก็ “เปิด” ไวด้ งั เดมิ ลองพจิ ารณากรณีตัวอย่างใน รูปท่ี 2.2 แต่หากเราต้องการเปลี่ยนมาปดิ ฝงั่ ขวาแทน จะต้องนำฟังกช์ ันนั้นไปคูณกับ Θ(−x) ซงึ่ หนา้ ตาของ กราฟเปน็ ไปตามท่ีแสดงไว้ในรูปท่ี 2.3 ส่วนรปู ท่ี 2.4 แสดงตัวอยา่ งของฟงั ก์ชนั f2(x) ซง่ึ มีคา่ เทา่ กับ f0(x) เฉพาะเมอื่ x < 0 แตม่ ีค่าเทา่ กับ 0 สำหรับ x > 0 f0(x) f1(x) 30 30 20 20 10 10 -1 -10 -2 -1 1 x -20 1 x -10 -30 -20 2 -2 -40 2 -30 -50 -40 -50 รปู ที่ 2.2: ตัวอยา่ งของฟงั กช์ นั f0(x) และฟงั กช์ นั f1(x) = f0(x)Θ(x) เม่ือเขา้ ใจแนวคดิ แลว้ พวกเราลองมาพิจาณากรณีท่ีมีความซับซอ้ นมากขึ้น สมมตุ ิวา่ เราต้องการ “เปดิ ” ฟงั ก์ชัน f0(x) เฉพาะในชว่ ง −1 < x < 0.5 แต่ “ปิด” ชว่ งอ่นื ไว้ ส่งิ ที่จะทำเปน็ อนั ดบั แรกคอื การหาฟังกช์ นั ตามรปู ท่ี 2.5 ซึ่งจากการใช้ฟงั ก์ชันขั้นบนั ไดของเฮฟวิไซด์ จะพบว่าฟังก์ชันน้ีคอื Θ(x + 1) − Θ(x − 0.5) ดงั น้นั ฟงั ก์ชนั ทีเ่ ป็นผลมาจากการปดิ f0(x) คอื ฟังก์ชัน f3(x) = f0(x)(Θ(x + 1) − Θ(x − 0.5)) ซึ่งมกี ราฟ ตามรปู ท่ี 2.6 อีกหนง่ึ ตัวอย่างของการประยุกต์ใช้ฟงั ก์ชันขั้นบนั ไดของเฮฟวิไซด์ คอื การเขียนนิยามของฟงั ก์ชันบางชนิด 16 16
บทท่ี 3 3 กลศาสตรค์ วอนตัม ในสัญกรกณลศา์บสตรร์คาว-อนเตคมั ใ็ทนสัญกรณ์บราเคท็ ในบทน้ีเราจะนำเสนอกลศาสตร์ควอนตมั โดยใช้สญั กรณ์บราเคท็ (braket notation) ซ่ึงเป็นการอธิบาย กลศาสตร์ควอนตัมในอีกรูปแบบหนงึ่ ที่นอกเหนือจากการอธบิ ายด้วยฟงั ก์ชนั คลื่น นอกจากนส้ี ัญกรณบ์ ราเคท็ ยังเหมาะกับการนำไปใช้งานในทฤษฎีขั้นสงู ต่อไป แหลง่ อา้ งองิ หลกั สำหรับบทน้ีคอื [1] ซ่งึ เขยี นข้นึ โดยดิแรก ผู้นำสัญกรณ์บราเคท็ มาใช้เป็นคนแรก การอธบิ ายในบทนี้จะคอ่ นข้างขนานไปกับการอธิบายโดยใช้ฟังก์ชัน คลื่น แต่เราจะเน้นให้ความสำคัญกบั ปริภูมิฮิลเบริ ต์ (Hilbert space) ซ่งึ ถอื ได้ว่าเปน็ สถานท่ีอยู่ของปริมาณที่ เรียกว่าเค็ท นอกจากน้ีเรายังอภปิ รายเนือ้ หา อธิบายความหมายของการคำนวณตา่ ง ๆ ท่ีสำคญั พรอ้ มทงั้ ยก ตัวอยา่ งพ้ืนฐานของการนำสญั กรณบ์ ราเค็ท ไปใช้ในการอธบิ ายระบบเชิงควอนตมั พนื้ ฐาน โดยเฉพาะตัวแกว่ง ฮาร์มอนิกเชิงควอนตัม (quantum harmonic oscillator) ซ่ึงจะได้นำไปขยายผลต่อไปในหนงั สอื เลม่ น้ี กอ่ นอ่านบทน้ี ผ้อู า่ นควรมคี วามรพู้ ืน้ ฐานในหวั ข้อดังนี้ • หวั ขอ้ เบอ้ื งตน้ เกย่ี วกับกลศาสตร์ควอนตมั เชน่ ฟังก์ชนั คล่ืน, แอมพลิจูดความนา่ จะเป็น, ค่าคาดหมาย, สมการคา่ ลกั ษณะเฉพาะ, ตวั แกวง่ ฮาร์มอนกิ เชิงควอนตมั • หวั ข้อเบือ้ งตน้ เกีย่ วกับพชี คณติ เชงิ เส้น เช่น ปรภิ มู ิเวกเตอร,์ ผลคณู ภายใน, ผลรวมเชิงเสน้ • บทท่ี 2 3.1 ปริภมู ฮิ ิลเบิร์ต การอธิบายสถานะเชงิ ควอนตัมสามารถทำได้โดยใช้ปรมิ าณซึ่งเรยี กว่าเคท็ (ket) ยกตัวอย่างเช่น |ψ ปรมิ าณเหลา่ นี้เป็นสมาชิกของปริภูมิฮลิ เบิร์ต ซง่ึ อาจกลา่ วได้ว่าเปน็ ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีโครงสร้างเพิม่ เติม เชน่ โครงสร้างซึ่งสามารถใช้นยิ ามมุมและความยาวได้ นอกจากน้ียังมีโครงสรา้ งอื่น ๆ ท่ีสำคัญอกี แต่เราจะไม่ อภิปรายในรายละเอียดเชิงคณติ ศาสตร์ เราจะทำเพยี งแค่กลา่ วถึงสมบัตบิ างประการ ผล และแนวคดิ ซงึ่ พร้อม นำมาใช้โดยตรงในฟิสกิ ส์ 27
บทท่ี 3. กลศาสตรค์ วอนตมั ในสญั กรณ์บราเคท็ ปริภูมิฮิลเบริ ์ตเป็นชดุ ของสมาชิก เช่น |ψ เรามักจะเขยี นแทนปริภูมิฮิลเบริ ์ตด้วยสญั ลกั ษณ์ H ในฐานะที่ ปริภูมิฮลิ เบิร์ตเป็นปรภิ มู ิเวกเตอร์ชนดิ หน่งึ มนั จะต้องมีการดำเนนิ การด้วยสัญลักษณ์คือ + และ · ซึ่งมีสมบัติ ดังต่อไปน้ี โดยท่ี |ψ , |ϕ , |χ คือ เค็ท ใด ๆ ใน H และ c1, c2 คือจำนวนเชงิ ซอ้ นใด ๆ ใน C • สมบัติปดิ ของการบวก : |ϕ + |ψ ∈ H • สมบัติปิดของการคูณสเกลาร์ : c1 · |ψ ∈ H อนั ท่ีจริงแล้วโดยท่วั ไปเราจะละสัญลักษณ์ · ดังน้นั เราจะ เขยี นการคณู สเกลาร์เพียง c1|ψ ∈ H • การมีเวกเตอรศ์ ูนย1์ 0 ∈ H โดยที่ 0 + |ψ = |ψ + 0 = |ψ • การคณู ดว้ ย 1 ∈ C : 1|ψ = |ψ • สมบัติผกผันของการบวก : สำหรับเค็ทใด ๆ เช่น |ψ ∈ H ปริภูมิฮิลเบิร์ตจะต้องมีสมาชิก −|ψ ∈ H ดว้ ย โดยท่ี |ψ + (−|ψ ) = (−|ψ ) + |ψ = 0 • สมบตั กิ ารสลับทีข่ องการบวก : |ψ + |ϕ = |ϕ + |ψ • สมบัติการเปล่ยี นหมูข่ องการบวก : |ψ + (|ϕ + |χ ) = (|ψ + |ϕ ) + |χ • สมบัตกิ ารเปลี่ยนหมู่สำหรบั การคณู ดว้ ยสเกลาร์ : (c1c2)|ψ = c1(c2|ψ ) • สมบัติการกระจายสำหรบั การบวกเวกเตอร์ : c1(|ψ + |ϕ ) = c1|ψ + c1|ϕ • สมบตั ิการกระจายสำหรบั การบวกสเกลาร์ : (c1 + c2)|ψ = c1|ψ + c2|ψ เรากลา่ วว่าเซต {|ψ1 , |ψ2 , · · · , |ψn } มีความเป็นอิสระเชงิ เสน้ (linearly independent) หากสมการ a1|ψ1 + a2|ψ2 + · · · + an|ψn = 0 (3.1) มีผลเฉลยเดียวคอื a1 = a2 = · · · = an = 0 สมมตุ ิวา่ เรามีเซต {|ϕ1 , |ϕ2 , · · · , |ϕm } ซึ่งมีความเปน็ อิสระเชงิ เส้น โดยที่เค็ทใด ๆ ใน H สามารถเขียนเป็นผลรวมเชงิ เสน้ (linear combination) ของเค็ทในเซตน้ี ได้ กลา่ วคอื มจี ำนวนเชงิ ซอ้ น a1, a2, · · · , am ∈ C ซ่ึง |ψ = a1|ϕ1 + a2|ϕ2 + · · · + am|ϕm (3.2) สำหรับ |ψ ใด ๆ ใน H ในกรณีน้ีเรากล่าวได้ว่า H มี m มิติ นอกจากน้ีเราเรียกเซต {|ϕ1 , |ϕ2 , · · · , |ϕm } ว่าเปน็ ฐานหลัก (basis) ของ H อันที่จรงิ แล้วเราสามารถสร้างฐานหลักอืน่ ๆ ได้อีก แต่ไม่ว่าจะเปน็ ฐานหลกั 1เรามกั จะเขยี นแทนเวกเตอร์ศนู ย์ดว้ ยสัญลกั ษณ์ 0 แต่จะไม่แทนด้วยสัญลักษณ์ |0⟩ ซ่งึ มกั ใช้อธบิ ายสถานะพ้นื ในทางควอนตัม นอกจากนี้ |ψ⟩ + |0⟩ ̸= |ψ⟩ 28 28
บทท่ี 4 4 การแปลงฟูเรยี ร์ การแปลงฟเู รียร์ การแปลงฟูเรียร์เปน็ การแปลงที่มีประโยชน์มากสำหรบั ฟิสิกส์ทฤษฎี เราจะได้นำการแปลงฟูเรียร์มาใช้ ประโยชน์หลายคร้งั ในหนังสือเลม่ นี้ ในบทน้ีเราจะเนน้ กล่าวถึงนิยามและสมบตั ิเบอื้ งต้นของการแปลงฟูเรยี ร์ และนอกจากจะกลา่ วถงึ นยิ ามของการแปลงฟูเรยี ร์ในหนง่ึ มิติแล้ว ยงั กล่าวถึงการขยายผลไปกรณีที่มีจำนวน มิตสิ งู ขึน้ ก่อนอ่านบทนี้ หากผู้อา่ นมีความรู้ในหัวข้อเกยี่ วกบั การแปลงฟูเรียร์มากอ่ น จะเป็นประโยชน์มาก เนอ่ื งจากบทนเ้ี ปน็ การสรปุ ความรู้บางสว่ นของการแปลงฟูเรียรแ์ ต่ไม่ได้ลงรายละเอยี ดสำหรบั ผู้เรม่ิ อา่ นหวั ขอ้ นี้ 4.1 นยิ ามและสมบตั ิ ผู้อ่านอาจเคยพบการใช้การแปลงฟูเรียร์มาแลว้ ในระหวา่ งท่ีศึกษากลศาสตร์ควอนตัมกอ่ นอ่านหนงั สอื เล่มนี้ ตัวอย่างเชน่ การแปลงฟูเรยี ร์ใชอ้ ธบิ ายการแปลงระหว่างฟงั ก์ชนั คลื่นในปรภิ ูมพิ ิกัด (coordinatespace wave function) ψ(x) กับฟังกช์ ันคลนื่ ในปรภิ ูมโิ มเมนตมั (momentumspace wave function) ψ˜(p) ในหนงั สือเลม่ นเ้ี ราจะใช้การแปลงฟเู รียรใ์ นรปู แบบดงั นี้ f˜(k) = ∞ dx e−ikxf (x) (4.1) −∞ f (x) = ∞ dk eikxf˜(k) (4.2) −∞ 2π อันที่จริงแลว้ เราควรเรยี กสองสมการน้ีตามลำดบั วา่ การแปลงฟูเรยี ร์ และการแปลงฟูเรยี ร์ผกผนั แต่ในหนังสือ เลม่ น้ีเราจะเรียกโดยรวมว่าการแปลงฟูเรียร์ สมการที่ (4.1) และ (4.2) นนั้ อธิบายการแปลงฟูเรยี ร์ระหวา่ ง ปรภิ มู ิ x และปรภิ ูมิ k สำหรบั การประยกุ ตใ์ ชใ้ นหนังสือเล่มนี้ เรามักจะใช้ปรภิ มู ิ x ในการอธิบายพกิ ัดในอวกาศ หรือในเวลา ในขณะท่ีปรภิ มู ิ k มกั จะใช้อธบิ ายปริภมู โิ มเมนตมั หรือปรภิ ูมิความถี่ (เชงิ มมุ ) ในหนงั สือเลม่ น้ีเราจะใช้สัญนยิ มซง่ึ ใช้สมั ประสิทธิ์ 1/(2π) สำหรบั ปริพนั ธ์ในปริภมู ิ k แต่ใช้สมั ประสทิ ธิ์ เปน็ 1 สำหรบั ปริพันธ์ในปรภิ ูมิ x อนั ท่ีจริงแล้วก็มีสญั นิยมอนื่ สำหรับการแปลงฟูเรียร์เช่นกนั แต่เราจะไม่ใช้ 51
บทท่ี การแปลงลอเรนทซ์์ 5 5 การแปลงลอเรนทซ์ การแปลงลอเรนทซ์ ในเนอื้ หาของวิชาทฤษฎีสมั พทั ธภาพพเิ ศษนน้ั การแปลงลอเรนทซ์ (Lorentz transformation) คือ การแปลงพิกดั ระหวา่ งกรอบอา้ งอิงเฉื่อยสองกรอบ ซึง่ การจะเรียกการแปลงพิกดั ลักษณะใดวา่ การแปลง ลอเรนทซ์นัน้ การแปลงดงั กลา่ วจะต้องมีสมบตั ิท่ีเหมาะสม กล่าวคือ เม่อื แปลงจากกรอบหนึง่ ไปอีกกรอบหน่ึง กฎทางฟิสิกส์และอตั ราเร็วของแสงในสญุ ญากาศจะต้องไม่เปลีย่ นแปลง การใช้การแปลงลอเรนทซ์เปน็ ส่ิง ท่ี ขาด ไม่ ได้ สำหรบั ทฤษฎี สนาม ค วอน ตัม ทัง้ น้ี เนื่อง จาก ทฤษฎี สัม พทั ธ ภาพ พเิ ศษ เปน็ พน้ื ฐาน ที่ สำคญั ในการศกึ ษาทฤษฎีสนามควอนตัม ในบทนี้เราจะศึกษาสมบตั ิตา่ ง ๆ ของการแปลงลอเรนทซ์ และอภปิ ราย ว่าการแปลงลอเรนทซเ์ หน่ียวนำให้เกดิ การแปลงในลักษณะใดสำหรบั สถานะเชิงควอนตมั กอ่ นอา่ นบทน้ี ผู้อา่ นควรมีความรู้ในหวั ข้อเบอ้ื งตน้ เกีย่ วกบั ทฤษฎีสมั พทั ธภาพพเิ ศษ เชน่ สัญกรณ์ดัชน,ี กาลอวกาศมินคอฟสก,ี สัญนิยมผลรวมของไอนส์ ไตน์, เวกเตอร์ส่ี (4−vector), เวกเตอร์ไทม์ไลค์ (timelike vector), เวกเตอรส์ เปซไลค์ (spacelike vector) และ เวกเตอร์ขนาดศนู ย์ (null vector) นอกจากน้ี ผู้อ่าน ควรมีความรู้ในหวั ขอ้ เบอื้ งต้นเกย่ี วกับพีชคณิตเชงิ เสน้ เชน่ ปริภูมิเวกเตอร์, ผลคณู ภายใน, เมทริกซ์, เมทริกซ์ ผกผนั , เมทรกิ ซส์ ลบั เปลย่ี น (transpose of a matrix), ดเี ทอรม์ ิแนนต์, สังยุคเฮอรม์ เิ ชยี น ฯลฯ 5.1 กรุปลอเรนทซ์ หนังสอื เลม่ นี้จะอภปิ รายเก่ยี วกบั สนามควอนตมั บนกาลอวกาศมินคอฟสกี (Minkowski spacetime) โดยท่ีเราสามารถเขียนพกิ ัดของกาลอวกาศน้ีได้ในรูป (xµ) = (x0, ⃗x) โดยท่ี x0 คือพกิ ดั ของเวลา ในขณะที่ ⃗x คอื เวกเตอรซ์ ึ่งอธบิ ายตำแหน่งในอวกาศ เราเขียนอธบิ ายตำแหนง่ ในอวกาศในอีกลกั ษณะหน่งึ ไดเ้ ปน็ xi ในการอธิบายปริมาณเวกเตอร์ เมทรกิ ซ์ และเทนเซอร์บนกาลอวกาศมินคอฟสกีน้นั เราสามารถพดู ถึง ปรมิ าณเหลา่ นี้โดยอาศยั องคป์ ระกอบของแต่ละปริมาณ เชน่ เมทริกซ์ M มอี งค์ประกอบคอื Mµν เราจะเรยี ก เมทริกซ์นว้ี ่า Mµν แทนที่จะเรียกวา่ M ซึ่งการเขียนในลักษณะน้เี ป็นการใชส้ ญั กรณด์ ชั นี (index notation) ในหนังสอื เล่มน้ีเราจะกำหนดให้เมตรกิ (metric) มี ซิกเนเจอร์ (signature) เป็น (− + ++) กล่าวคอื 55 55
บทที่ 5. การแปลงลอเรนทซ์ เราสามารถเขยี นเมตรกิ ไดใ้ นรูปของเมทรกิ ซ์ (matrix) ดงั น้ี η = (ηµν ) = −001 0 0 000 (5.1) 1 0 0 1 0 001 เราจะเขยี นองคป์ ระกอบของเมทรกิ ซผ์ กผันของเมทริกซน์ ี้โดยใช้สัญลกั ษณ์ ηµν ดงั น้ัน η−1 = (ηµν ) = −001 0 0 000 (5.2) 1 0 0 1 0 001 เนอื่ งจากเมทริกซ์ ηµν เป็นเมทรกิ ซผ์ กผนั ของ ηµν จะได้วา่ 3 (5.3) (5.4) ηµν ηνρ = δµρ ν=0 โดยที่ δµρ คือองค์ประกอบของเมทริกซ์เอกลกั ษณ์ กลา่ วคือ (δµν ) = 010 0 0 000 1 0 1 0 1 000 หรืออาจกล่าวไดว้ ่า 1, δµν = 0, µ = ν, (5.5) µ=ν เราเรียก δµν วา่ โครเนกเกอรเ์ ดลตา (Kronecker delta) จากน้ีเป็นต้นไป เราจะใช้สญั นยิ มผลรวมของไอนส์ ไตน์ (Einstein summation convention) น่ันคอื ในแตล่ ะพจน์หากมีดัชนีหนึ่งปรากฏซ้ำสองคร้งั โดยที่อยู่ดา้ นบนครั้งหนงึ่ และอยู่ดา้ นล่างอกี ครั้งหนง่ึ จะเป็นท่ี ทราบกนั วา่ มีการบวกสำหรับทุกค่าที่เปน็ ไปได้ของดัชนีนนั้ ยกตวั อย่างเชน่ เราสามารถเขยี นสมการท่ี (5.3) ได้เปน็ ηµν ηνρ = δµρ (5.6) การแปลงลอเรนทซ์คอื การแปลงพิกัดในรปู แบบดงั น้ี x′µ = Λµν xν (5.7) 56 56
บทท่ี 6 6แนวคิดพื้นฐานสำ�หรบั ฟั งก์ชนั ของกรนี แนวคดิ พนื้ ฐานสำหรับฟังก์ชนั ของกรีน ในการศึกษาระบบต่าง ๆ ในฟิสกิ ส์นั้น ฟังกช์ นั ของกรีนเป็นเครื่องมอื หนงึ่ ที่มีประโยชน์ ในทางฟิสกิ ส์นั้น ฟังกช์ ันของกรนี ใช้ในการศึกษาการตอบสนองของระบบต่อปัจจยั ภายนอก นอกจากนี้ ฟงั ก์ชนั ของกรีนยงั บง่ บอกถงึ สมบตั ิของระบบอกี ดว้ ย ในบทน้ีเราจะศกึ ษาการหาฟังก์ชันของกรีนสำหรบั ระบบตวั อยา่ ง อภปิ ราย การใช้เครอื่ งมอื ที่มักนิยมใช้เพ่อื หาฟังกช์ นั ของกรีน อนั ไดแ้ ก่ การแปลงฟูเรียร์และการวิเคราะห์เชงิ ซอ้ น และ เราจะอภิปรายถงึ ความหมายเชงิ ฟิสิกส์ของฟงั กช์ นั ของกรีนสำหรบั ระบบที่เราพิจารณา กอ่ นอ่านบทน้ี ผอู้ า่ นควรมคี วามรู้พน้ื ฐานในหัวขอ้ ดังน้ี • หัวข้อเบือ้ งต้นเกยี่ วกับจำนวนเชิงซอ้ น เช่น การบวก ลบ คณู หาร จำนวนเชงิ ซอ้ น • บทท่ี 2 และ บทท่ี 4 6.1 การวเิ คราะห์การแกว่งเชงิ ฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ยท่ีมีแรงภายนอก มากระทำ พจิ ารณาวตั ถุมวล m วางอยู่บนพื้นท่ีไม่มีความเสยี ดทาน และผกู ตดิ กบั สปริงท่ีมีค่าคงตัวของสปรงิ คอื k ปลายอกี ขา้ งหน่งึ ของสปริงตดิ กับผนงั ในตอนแรกระบบอยู่ในภาวะสมดุล กล่าวคอื วัตถุอยู่นิง่ หลงั จากนนั้ จึงมี แรงภายนอก F(t) กระทำต่อวัตถุ ดังน้ัน การเคลอื่ นทขี่ องวัตถุสามารถอธบิ ายไดจ้ ากสมการ mx¨(t) + kx(t) = F (t) (6.1) สามารถมองได้ว่า การกระจัดของวัตถุจากจุดสมดุลซง่ึ อธิบายด้วย x(t) น้นั เป็นการตอบสนองของระบบต่อ แรงภายนอก สมการที่ (6.1) เปน็ ตวั อย่างหน่งึ ของสมการเชงิ อนพุ ันธ์สามญั แบบไม่เอกพันธ์ (nonhomogeneous 75
บทท่ี 6. แนวคิดพ้ืนฐานสำหรับฟังก์ชนั ของกรนี ordinary differential equation) ซ่ึงผลเฉลยใด ๆ สามารถเขียนไดใ้ นรูปแบบ x(t) = xc(t) + xp(t) (6.2) โดยเราเรียก x(t) วา่ ผลเฉลยทัว่ ไป (general solution) ซง่ึ เป็นผลรวมของ xc(t) ซ่ึงเปน็ ผลเฉลยเติมเต็ม (complementary solution) และ xp(t) ซึง่ เป็นผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) โดย xc(t) สอดคล้อง กบั ส่วนเอกพนั ธ์ของสมการที่ (6.1) กลา่ วคือ mx¨c(t) + kxc(t) = 0 (6.3) ในขณะที่ xp(t) สอดคล้องกับสมการท่ี (6.1) ซง่ึ หากเราทราบเพยี งผลเฉลยเดยี วของสมการท่ี (6.1) เราก็ สามารถนำมาใชเ้ ปน็ ผลเฉลยเฉพาะไดเ้ สมอ รปู แบบหนึ่งของ xp(t) ที่ใช้งานได้ดีคือ ∞ dt′ G(t − t′)F (t′) xp(t) = (6.4) −∞ โดยเราเรยี ก G(t − t′) ว่าเป็นฟงั ก์ชันของกรีน (Green's function) ดงั นนั้ ∞ dt′ G(t − t′)F (t′) x(t) = xc(t) + (6.5) −∞ เม่อื นำสมการท่ี (6.5) มาแทนลงในสมการที่ (6.1) จะได้ ∞ dt′ (m∂t2 + k)G(t − t′)F (t′) = F (t) mx¨c(t) + kxc(t) + (6.6) (6.7) −∞ ดังนั้น ∞ dt′ (m∂t2 + k)G(t − t′)F (t′) = F (t) −∞ และเมอ่ื ใช้สมบัติของฟังกช์ นั เดลตาของดแิ รกจะได้ (m∂t2 + k)G(t − t′) = δ(t − t′) (6.8) ซ่งึ เป็นฟงั กช์ นั ของกรนี ต้องสอดคลอ้ งกับเงื่อนไขน้ี โดยหลักการแลว้ เรายังตอ้ งกำหนดเงื่อนไขเร่มิ ตน้ (initial condition) สำหรบั x(t) ซึ่งเง่ือนไขเหล่าน้ี จะกลายมาเป็นเงื่อนไขสำหรับ xc(t) และ G(t − t′) เราอาจกำหนดค่าของตวั คงค่า (arbitrary constant) ของ xc(t) ได้โดยไม่ต้องอาศัยเงอ่ื นไขเหล่านี้ ดงั น้ัน ในกรณีน้ีเราจะตอ้ งนำเง่ือนไขเหล่านี้มาใช้กบั G(t − t′) อยา่ งไรกด็ ี เราจะเร่มิ แก้สมการท่ี (6.8) โดยจะยังไม่สนใจเงอ่ื นไขเร่มิ ต้น เพอ่ื การนเ้ี ราจะเขียน G(t − t′) โดยใช้การแปลงฟเู รยี ร์กลา่ วคือ G(t − t′) = ∞ dω e−iω(t−t′ ) G˜(ω) (6.9) −∞ 2π 76 76
บทท่ี 7 7 การกระเจิงเชงิ ควอนตัม การกระเจิงเชิงควอนตัม ในบทน้ีเราจะพจิ ารณาแบบจำลองท่ีอธิบายการทดลองเกีย่ วกับการกระเจิง โดยในการทดลองจะปล่อย ลำอนุภาคให้เคลื่อนเขา้ สู่เปา้ หมาย อนภุ าคบางส่วนจะกระเจิงไปในทิศทางของเครือ่ งตรวจจับอนภุ าค ซึ่งรปู ที่ 7.1 แสดงแผนภาพจำลองการทดลองน้ี การพิจารณาการทดลองนี้สำหรบั อนุภาคขนาดเล็ก เช่น อะตอม ในทางทฤษฎีจะต้องอาศยั กลศาสตร์ควอนตมั เราจะเร่ิมบทนี้โดยการเขียนปัญหาน้ีในรปู ของกลศาสตร์ ควอนตัม แล้วจึงอภิปรายว่าจะนำผลทางทฤษฎีไปเทยี บกับผลการทดลองได้อยา่ งไร เพ่ือให้เห็นผลเชงิ ควอนตัมไดช้ ดั เจน เราจะไม่กำหนด ¯h = 1 ในบทนี้ ก่อนอา่ นบทนี้ ผูอ้ า่ นควรศกึ ษาบทท่ี 6 มากอ่ น เครอ่ื งตรวจจบั อนภุ าค ลําอนุภาค เปาหมาย รปู ที่ 7.1: แผนภาพจำลองการทดลองสำหรบั การกระเจงิ ลำอนภุ าคถูกปล่อยใหเ้ คลื่อนเขา้ สเู่ ปา้ หมาย อนุภาค บางส่วนจะกระเจิงไปในทิศทางของเครอ่ื งตรวจจบั อนุภาค 7.1 ฟงั ก์ชันคลื่นสำหรับการกระเจิง การอธิบายการกระเจิงเชงิ ควอนตมั ทำได้โดยพิจารณาระบบเชงิ ควอนตัมในสามมติ ิ โดยเราสนใจกรณีที่ เป้าหมายสามารถอธิบายได้ด้วยศกั ย์ V (⃗r) ซง่ึ ไม่ขึ้นกับเวลา สมการชโรดงิ เจอร์สำหรับระบบนี้คือ ih¯ ∂ Ψ(t, ⃗r) = HΨ(t, ⃗r) (7.1) ∂t 97
บทท่ี 7. การกระเจงิ เชงิ ควอนตมั โดยที่ H = − h¯ 2 ∇2 + V (⃗r) (7.2) 2m เนอ่ื งจากศกั ยไ์ มข่ น้ึ กับเวลา เราจึงแยกตัวแปรสำหรับฟังก์ชนั คลืน่ ได้ ดงั น้ี Ψ(t, ⃗r) = ψ(⃗r)e−iEt/h¯ (7.3) ซงึ่ เม่ือแทนลงในสมการที่ (7.1) จะได้สมการชโรดิงเจอร์ทไี่ ม่ขึ้นกบั เวลา − h¯ 2 ∇2ψ(⃗r) + V (⃗r)ψ(⃗r) = Eψ(⃗r) (7.4) 2m (7.5) ดงั นั้น ∇2 + 2mE ψ(⃗r) = 2m V (⃗r)ψ(⃗r) ¯h2 h¯ 2 สำหรับปญั หาการกระเจงิ พลังงานจะต้องมคี า่ ไมเ่ ปน็ ลบ กลา่ วคอื E ≥ 0 ดังนนั้ เราจะนิยาม q≡ 2mE (7.6) ¯h2 ซึง่ เปน็ จำนวนจริงบวก ผลเฉลยของสมการท่ี (7.5) คอื ψ(⃗r) = ξ(⃗r) + d3 ⃗r ′G(⃗r − ⃗r ′ ) 2m V (⃗r ′)ψ(⃗r ′) (7.7) h¯ 2 โดยท่ี ξ(⃗r) คือผลเฉลยเตมิ เตม็ และ G(⃗r − ⃗r ′) คอื ฟงั กช์ นั ของกรนี เนอ่ื งจากผลเฉลยเติมเตม็ ξ(⃗r) เป็นผล เฉลยของ ∇2 + q2 ξ(⃗r) = 0 (7.8) จะได้ว่า ξ(⃗r) = Aeiq⃗·⃗r (7.9) โดยท่ี ⃗q คอื เวกเตอร์ซง่ึ มีขนาดคอื |⃗q| = q ในขณะที่ A เปน็ ตัวคงคา่ เราจะกำหนดปริมาณ A และทิศทางของ ⃗q โดยใช้เงือ่ นไขเรมิ่ ต้น ฟังก์ชันของกรีน G(⃗r − ⃗r ′) จากสมการที่ (7.7) เปน็ ผลเฉลยของ ∇2 + q2 G(⃗r − ⃗r ′) = δ(3)(⃗r − ⃗r ′) (7.10) ซงึ่ เราจะใชก้ ารแปลงฟเู รียร์เพอื่ แกส้ มการน้ี โดยเขยี นฟงั กช์ นั ของกรีนในรปู แบบ G(⃗r − ⃗r ′) = d3⃗k ei⃗k·(⃗r−r⃗ ′ ) G˜(⃗k) (7.11) (2π)3 98 98
ส่วนที่ 2 สนามอิสระ
บทท่ี 8 8 ทฤษฎีสนามสเกลาร์ ทฤษฎีสนามสเกลาร์ ในบทน้ี เราจะวิเคราะห์ทฤษฎีสนามสเกลาร์อิสระ ซง่ึ เปน็ ตวั อยา่ งพ้ืนฐานของทฤษฎีสนามควอนตัม โดยการวิเคราะห์จะเรมิ่ จากกรณีที่สนามสเกลาร์เปน็ สนามคลาสสคิ ซึ่งอาจมองได้วา่ เป็นการขยายผลมาจาก กลศาสตร์คลาสสคิ ดงั นน้ั เราจงึ นำเครื่องมือจากกลศาสตร์คลาสสคิ เช่น การวเิ คราะห์ลากรางจ์และการ วิเคราะห์ ฮา มลิ ตัน มา ประยุกต์ ใช้ เพอ่ื อธิบาย สนาม สเกล าร์ หลงั จาก ท่ี เรา เขา้ ใจ สนาม สเกล าร์ คลาสสิค ในระดบั หน่งึ แล้ว ก็จะพิจารณาการควอนไทซ์ ซง่ึ เราจะใช้การควอนไทซ์แบบบัญญัติ ซง่ึ เป็นการนำเทคนคิ จากกลศาสตร์คลาสสคิ มาขยายผลเชน่ กัน หลงั จากนน้ั เราจะอภปิ รายในประเด็นเหตุกภาพและความเฉพาะที่ สำหรบั สนามสเกลาร์อิสระ และท้ายทส่ี ุดจะกลา่ วถึงตวั แผ่กระจายของไฟยน์แมนซงึ่ เป็นปรมิ าณท่ีจะนำไปใช้ ในภายหลัง กอ่ นอา่ นบทนี้ ผู้อา่ นควรมีความรู้พืน้ ฐานจากบทท่ี 26 มีความรู้เก่ยี วกับความหนาแน่นของความน่าจะ เป็นมาก่อน ซง่ึ สามารถอ่านทบทวนได้ในบทย่อยท่ี 7.2 และมีความรู้พน้ื ฐานเก่ียวกบั กลศาสตร์ลากรางจ์และ กลศาสตรฮ์ ามิลตันสำหรับกลศาสตร์คลาสสคิ 8.1 กลศาสตร์ควอนตัมเชงิ สมั พทั ธภาพสำหรบั อนภุ าคเด่ียว การนำกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสมั พัทธภาพพเิ ศษมารวมกันนน้ั ความพยายามในชว่ งแรกทำโดยการ สร้างทฤษฎีกลศาสตร์ควอนตมั เชงิ สมั พัทธภาพสำหรับอนุภาคเด่ยี ว ซึ่งเรมิ่ จากการเขยี นสมการสำหรับอธิบาย อนภุ าคเดี่ยวซึ่งมีสมบตั ิทง้ั เชิงควอนตมั และสัมพทั ธภาพพเิ ศษ ซึง่ สมการนี้เขยี นขน้ึ โดยอาศยั หลักการเดยี วกัน กบั ทีใ่ ช้เขยี นสมการชโรดิงเจอร์ และขณะเดยี วกนั กม็ ีสมบัตขิ องความเป็นสมั พทั ธภาพด้วย เราทราบกนั ดีว่าในกลศาสตร์คลาสสคิ นัน้ ความสัมพันธ์ระหว่างพลงั งานและโมเมนตัมสำหรับอนุภาค อสิ ระหนึง่ อนภุ าคนนั้ เขียนไดว้ ่า E = p⃗ 2 (8.1) 2m 119
บทท่ี 8. ทฤษฎสี นามสเกลาร์ โดยที่ p⃗ 2 ≡ p⃗ · p⃗ ซึง่ หากแทนทโ่ี ดย E → i ∂ , p⃗ → −i∇⃗ (8.2) ∂t แลว้ นำไปกระทำกับฟงั ก์ชันคลน่ื ψ(t, ⃗x) จะได้ i ∂ ψ(t, ⃗x) = − ∇2ψ(t, ⃗x) (8.3) ∂t 2m ซึง่ เปน็ สมการชโรดิงเจอร์สำหรับอนุภาคอิสระหนงึ่ อนุภาค หากเราต้องการอธบิ ายอนุภาคเชงิ สัมพัทธภาพดว้ ย กลศาสตร์ควอนตมั เราอาจเร่ิมจากความสมั พันธร์ ะหวา่ งพลังงานและโมเมนตมั ดงั นี้ E2 = p⃗ 2 + m2 (8.4) (8.5) หากเราแปลงสมการข้างต้นน้ีโดยใช้สมการที่ (8.2) แลว้ นำไปกระทำกับฟงั ก์ชนั คลื่น ψ(t, ⃗x) จะได้ − ∂2 ψ(t, ⃗x) + ∇2ψ(t, ⃗x) − m2ψ(t, ⃗x) = 0 ∂t2 หรือเขยี นใหเ้ หน็ ความเป็นสัมพัทธภาพได้ชัดเจนโดย (∂µ∂µ − m2)ψ(x) = 0 (8.6) โดยที่ ψ(x) ≡ ψ(t, ⃗x) ซ่ึง (x) ≡ (xµ) ≡ (t, ⃗x) สมการท่ี (8.6) นนั้ เรียกว่า สมการไคลน์ กอร์ดอน (Klein Gordon equation) เราจะอภปิ รายว่าสมการนี้มีปัญหาซง่ึ เก่ียวขอ้ งกบั ความหนาแนน่ ของความนา่ จะเปน็ การนยิ ามความหนาแนน่ ของความนา่ จะเปน็ สำหรบั สมการที่ (8.6) จะแตกต่างจากนิยามสำหรบั กรณี ของสมการชโรดงิ เจอร์ ท้ังนี้ เน่ืองจากสมบัติยืนยงเชงิ ลอเรนทซ์ (Lorentz invariant) บังคบั วา่ ความหนาแน่น ของความนา่ จะเปน็ ρ และกระแสของความหนาแนน่ ของความนา่ จะเป็น ⃗j น้ัน จะตอ้ งนำมาประกอบกันเปน็ เวกเตอร์สี่ แต่ ρ และ ⃗j จากนยิ ามที่ให้ไว้ในบทยอ่ ยที่ 7.2 น้นั ไม่ได้เป็นเชน่ นี้ เราจงึ ต้องนิยามขนึ้ ใหม่ โดย แนวคดิ คอื เรา จะ ยัง คง ใช้ ⃗j ดงั ท่ี นยิ าม ใน สมการ ท่ี (7.65) แล้ว จะ นำ สมการ ที่ (8.6) และ สมการ ความตอ่ เน่ืองมาประกอบกนั เพ่ือหาความหนาแนน่ ของความนา่ จะเป็น กำหนดให้ความหนาแนน่ กระแสความน่าจะเป็นคือ ⃗j ≡ 1 (ψ∗∇⃗ ψ − (∇⃗ ψ∗)ψ) (8.7) 2mi (8.8) ดังนน้ั (8.9) ∇⃗ · ⃗j = 1 (ψ∗ ∇2 ψ − (∇2ψ∗)ψ) 2mi เมื่อใชส้ มการความตอ่ เนื่องและสมการท่ี (8.6) จะไดว้ ่า ∂ρ = −∇⃗ · ⃗j ∂t = − 1 (ψ∗∇2ψ − (∇2ψ∗)ψ) 2mi = − ∂ 1 ψ∗ ∂ψ − ∂ψ∗ ψ ∂t 2mi ∂t ∂t 120 120
บทท่ี 9 9 สมการดิแรก สมการดิแรก เราได้อภิปรายไปในบทที่ 8 ว่าสมการไคลน์ กอร์ดอนในบรบิ ทของกลศาสตร์ควอนตมั เชิงสัมพัทธภาพ สำหรับอนุภาคเด่ียวมีปัญหาที่สำคญั สองประการ ซ่ึงวิธีหนง่ึ ในการแก้ปญั หาคอื การเปลี่ยนมมุ มอง โดยตคี วาม ว่าสมการไคลน์กอร์ดอนเปน็ สมการการเคลือ่ นที่สำหรบั สนามสเกลาร์อิสระ อนั ท่ีจรงิ แล้วจากประวตั ศิ าสตร์ มีความพยายามหนึ่งท่ีสำคัญและมีมาก่อนการตีความสมการไคลน์กอร์ดอนในบรบิ ทของสนามสเกลาร์อสิ ระ ความพยายามนี้คอื การสร้างสมการดิแรกและอธิบายในบรบิ ทของกลศาสตร์ควอนตัมเชิงสมั พทั ธภาพสำหรบั อนภุ าคเด่ยี ว ในบทนี้เราจะศึกษาเครอื่ งมอื ที่สำคญั ในการวิเคราะห์สมบัติของสมการดิแรก แล้วจงึ อภปิ ราย ประเดน็ ทางฟิสิกส์ที่เกี่ยวขอ้ ง รวมท้งั อภปิ รายวา่ ปญั หาท่ีเกดิ ขน้ึ กบั สมการไคลน์กอร์ดอนในฐานะที่เป็น กลศาสตรค์ วอนตัมเชิงสัมพทั ธภาพสำหรับอนภุ าคเด่ยี วนน้ั แก้ไขได้หรอื ไม่อย่างไร ก่อนอา่ นบทน้ี ผอู้ ่านควรมีความรพู้ นื้ ฐานมาจากบทที่ 8 9.1 สมการดิแรกและความหนาแน่นของความนา่ จะเป็น ดิแรกตอ้ งการแก้ปัญหาของสมการที่ (8.6) ในบรบิ ทของกลศาสตร์ควอนตัมเชิงสมั พัทธภาพสำหรบั อนภุ าคเด่ยี ว โดยอาศยั แนวคิดคือ หากต้องการแก้ปัญหาที่ความหนาแนน่ ของความน่าจะเป็นมีคา่ เป็นลบ สมการสำหรบั ฟงั กช์ นั คลน่ื ควรจะประกอบดว้ ยอนุพนั ธ์อันดบั หนึง่ เทยี บเวลา แทนท่ีจะเป็นอนั ดบั สองดังใน สมการท่ี (8.6) และหากใช้สมบตั ิของสัมพัทธภาพพิเศษ จะได้ว่าสมการควรจะอยใู่ นรปู แบบ i ∂ψ = (−iαj ∂j + βm)ψ (9.1) ∂t โดยดิแรกเสนอว่า αj และ β ควรจะเป็นเมทริกซ์ และหากนำ i∂/∂t มากระทำกบั สมการข้างต้นอีกครั้งจะได้ − ∂2 ψ = −αj αk∂j ∂k − i(αj β + βαj )m∂j + β2m2 ψ (9.2) ∂t2 สมการทไ่ี ด้นคี้ วรจะตรงกับสมการที่ (8.6) ดังนัน้ {αj , αk} = 2δjk, {αj, β} = 0, β2 = (9.3) 163
บทที่ 9. สมการดแิ รก โดยท่เี ราเรยี ก {A, B} ≡ AB + BA วา่ ตวั ทำทวนสลับที่ (anticommutator)1 ของ A และ B หากเรานำ β มาคณู สมการท่ี (9.4) จากทางซา้ ย แล้วใชส้ มการท่ี (9.3) จะได้ iβ ∂ψ = (−iβαj ∂j + m)ψ (9.4) ∂t (9.5) และหากนยิ าม γ0 ≡ β, γj ≡ βαj สมการท่ี (9.4) จะเขยี นไดเ้ ป็น iγµ∂µψ(x) − mψ(x) = 0 (9.6) ซง่ึ เรยี กว่าสมการดิแรก (Dirac equation) และเราเรยี ก γµ สำหรับแตล่ ะ µ = 0, 1, 2, 3 ว่าเมทริกซ์แกมมา (Gamma matrix) กลา่ วคือ มีเมทรกิ ซ์แกมมาอยู่ท้ังหมด 4 เมทริกซ์ ในกรณีท่ีมิติของกาลอวกาศเป็น 4 นอกจากน้ี หากเราใชส้ มการที่ (9.3) และสมการที่ (9.5) จะไดว้ ่า เมทรกิ ซแ์ กมมามคี วามสัมพนั ธเ์ ชิงการทวน สลับทค่ี ือ {γµ, γν } = −2ηµν (9.7) หากเราเขียนสมการที่ (9.1) โดยนำสมการที่ (8.2) มาใช้กบั ทางด้านขวาของสมการ จะไดว้ ่า i ∂ψ = (αj pj + βm)ψ (9.8) ∂t ซงึ่ เมื่อเทยี บกับสมการชโรดิงเจอรจ์ ะไดว้ ่า H = αj pj + βm (9.9) เนือ่ งจาก H และ p⃗ เปน็ ตัวดำเนนิ การเฮอร์มิเชยี น จะได้ว่า α⃗ และ β จะต้องมีสมบัติเฮอร์มิเชยี นดว้ ย กลา่ วคือ αj† = αj , β† = β (9.10) ซึ่งจะไดว้ ่า (γ0)† = γ0, (γj )† = −γj (9.11) และเม่ือใช้สมการท่ี (9.7) จะไดว้ า่ (γµ)† = γ0γµγ0 (9.12) เราจะคำนวณหาความหนาแนน่ ของความนา่ จะเป็นสำหรบั สมการดิแรก เพ่อื การนี้ เราจะพิจารณาสังยคุ เฮอร์มิเชียนของสมการที่ (9.6) ซ่งึ จะได้วา่ − i∂µψ†γ0γµγ0 − mψ† = 0 (9.13) 1หมายเหตุ: สงั เกตวา่ ตวั ทำทวนสลบั ที่แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์เดยี วกบั วงเล็บปวั ซง แต่นิยามตา่ งกนั อย่างไรก็ดี การนิยามเช่นนี้ปรากฏ แพร่หลายในแหล่งอา้ งองิ ท่วั ไปทางทฤษฎีสนามควอนตัม และมกั ไม่สับสนกนั เน่ืองจากตวั ทำทวนสลบั ท่ีและวงเล็บปัวซงมกั ปรากฏใน บริบทที่ตา่ งกัน 164 164
บทท่ี 10 10แอคชนั และการควอนไทซข์ อง สนแอาคชมันแสลปะกิ านรคเวนอนอไทรซอ์ข์ อิสงสรนาะมสปนิ เนอรอ์ สิ ระ ในบทที่ 9 เราอภิปรายสปินเนอร์ในแงข่ องฟงั กช์ นั คลน่ื ของอนภุ าคเด่ียว และได้พบว่าปัญหาในการอธบิ าย ดว้ ยมุมมองน้ี ในบทนี้เราจะเปลยี่ นมุมมองวา่ สปนิ เนอร์คอื สนามชนิดหนงึ่ กล่าวคอื อธิบายสมการดิแรกใน ฐานะของสมการการเคลอ่ื นที่ในบริบทของทฤษฎีสนามควอนตมั ซ่งึ ทฤษฎีนี้จะเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งนอกเหนอื จากทฤษฎีสนามสเกลาร์อิสระทอ่ี ภปิ รายไปในบทที่ 8 ก่อนอา่ นบทน้ี ผอู้ า่ นควรมีความรู้พืน้ ฐานมาจากบทที่ 9 10.1 ลากรางเจยี นและฮามลิ โทเนียนสำหรับสนามสปนิ เนอร์อิสระ ในมุมมองวา่ สปนิ เนอร์เปน็ สนามนนั้ สมการดิแรกไมใ่ ช่สมการที่อธบิ ายกลศาสตร์เชิงควอนตัมสำหรับ อนภุ าคเด่ยี วอีกตอ่ ไป แต่เป็นสมการที่อธิบายพลวัตของสนามสปินเนอร์ โดยเรากล่าวว่าสมการนี้อธิบายสนาม สปนิ เนอร์อสิ ระ และหาไดจ้ ากการใชห้ ลักการแอคชนั นอ้ ยสดุ สำหรับแอคชนั S = d4x ψ¯(iγµ∂µ − m)ψ (10.1) ดงั นน้ั ความหนาแน่นลากรางเจียนคือ L = ψ¯(iγµ∂µ − m)ψ (10.2) (10.3) ซงึ่ จะไดว้ ่าโมเมนตัมสังยุคคอื ∂L = ψ¯iγ0 = iψ† ∂ψ˙ 211
บทท่ี 10. แอคชนั และการควอนไทซ์ของสนามสปนิ เนอรอ์ ิสระ ดังนั้น เราหาความหนาแนน่ ฮามลิ โทเนยี นไดโ้ ดย H = ∂L ψ˙ − L ∂ψ˙ = iψ†ψ˙ − ψ¯(iγµ∂µ − m)ψ (10.4) = iψ†ψ˙ − ψ¯(iγ0∂0 + iγj ∂j − m)ψ = ψ¯(−iγj∂j + m)ψ การคำนวณเพ่อื หาเทนเซอร์พลงั งานโมเมนตมั นนั้ เราจะพิจารณาการแปลงน้อยยิ่งของสปนิ เนอร์ภายใต้ การเล่อื นที่ กลา่ วคอื xµ → xµ + ϵµ ซ่งึ จะส่งผลใหก้ ารแปลงน้อยยิ่งของสปินเนอร์คือ ψ(x) → ψ(x − ϵ) = ψ(x) − ϵµ∂µψ(x) (10.5) ซ่งึ จะได้ว่า T µν = ψ¯ 2iδν[µγρ]∂ρ − mδνµ ψ (10.6) ผู้อ่านจะได้ตรวจสอบสมการขา้ งตน้ น้ีในโจทย์ปัญหา และจากสมการนี้จะได้ว่า ความหนาแน่นฮามิลโทเนียน และความหนาแน่นโมเมนตมั คือ H = T 00 = ψ¯(−iγj ∂j + m)ψ (10.7) และ Pj = T 0j = −iψ¯γ0∂j ψ (10.8) นอกจากสมมาตรภายใตก้ ารเลอื่ นท่ีแล้วยังมีอีกสมมาตรท่สี ำคัญ ซึ่งสมมาตรนมี้ าจากการแปลง ψ(x) → e−iαψ(x) (10.9) ซึ่งสามารถพิสูจนไ์ ด้วา่ กระแสอนุรกั ษส์ ำหรับสมมาตรนค้ี อื jµ = ψ¯γµψ (10.10) และจะไดว้ ่าประจุอนุรกั ษ์คอื Q = d3x ψ¯γ0ψ (10.11) สังเกตวา่ เราพบสมการที่ (10.10) มากอ่ นแล้วในบทท่ีแล้ว ซ่ึงในบริบทน้ัน jµ ประกอบไปดว้ ยความหนาแน่น ของความนา่ จะเปน็ และความหนาแน่นกระแสความนา่ จะเป็นสำหรบั สปนิ เนอร์ที่ถูกตีความวา่ เป็นฟงั กช์ ัน คลืน่ แตใ่ นบริบทของบทน้นี ั้น jµ เป็นกระแสอนุรกั ษส์ ำหรับสมมาตรทีแ่ สดงไว้ในสมการท่ี (10.9) 212 212
บทท่ี 11 11การวิเคราะหท์ ฤษฎีแมกซเ์ วลล์ การวิเคราะห์ทฤษฎีแมกซ์เวลล์ ในบทนี้ เราจะวเิ คราะหท์ ฤษฎแี มกซ์เวลลใ์ นฐานะเปน็ ทฤษฎีสนามชนิดหนึ่ง คือ ทฤษฎสี นามเกจ ซ่งึ สนาม สำหรับทฤษฎีลกั ษณะน้ีนนั้ หากมีการเปลย่ี นคา่ ในลักษณะหนึง่ จะไม่ทำให้ฟิสกิ ส์เปล่ียนไป การวเิ คราะห์ ระบบลักษณะนี้ทั้งในทางคลาสสิคและทางควอนตัม อาจทำได้โดยกำหนดเง่อื นไขเพ่ือกำจัดความซำ้ ซอ้ น โดยเงอื่ นไขที่เราจะเลอื กใช้ในบทนีค้ อื เง่อื นไขเกจลอเรนซ์ นอกจากน้ี เราจะวิเคราะห์ประเด็นอน่ื ๆ ท่ีคลา้ ยคลงึ กบั ที่วเิ คราะหไ์ ปในกรณีของสนามสเกลารอ์ ิสระและสนามสปินเนอรอ์ สิ ระ ก่อนอา่ นบทน้ี ผู้อ่านควรมีความรู้พ้ืนฐานมาจากบทท่ี 8 และหวั ขอ้ เกี่ยวกับไฟฟา้ แม่เหลก็ ตั้งแต่เบอื้ งต้น จนถึงหวั ข้อของสมการของแมกซเ์ วลล์ 11.1 สมการของแมกซเ์ วลลใ์ นสุญญากาศ สมการของแมกซเ์ วลล์ (Maxwell's equations) ในสญุ ญากาศ สำหรบั สนามไฟฟา้ E⃗ และสนามแม่เหลก็ B⃗ ได้แก่ ∇ · E⃗ = 0, (11.1) ∇ · B⃗ = 0, (11.2) ∇ × E⃗ + ∂tB⃗ = ⃗0, (11.3) ∇ × B⃗ − ∂tE⃗ = ⃗0 (11.4) เม่ือใชส้ มการที่ (11.2) และเอกลกั ษณ์ ∇ · (∇ × A⃗) = 0 จะได้ B⃗ = ∇ × A⃗ (11.5) โดยที่ A⃗ เป็นเวกเตอร์ ซง่ึ เรียกวา่ ศักย์เวกเตอร์ (vector potential) เมอ่ื นำสมการท่ี (11.5) ไปแทนลงใน สมการที่ (11.3) จะได้ ∇ × (E⃗ + ∂tA⃗) = ⃗0 (11.6) 227
บทท่ี 11. การวิเคราะหท์ ฤษฎแี มกซ์เวลล์ และเม่อื ใชเ้ อกลกั ษณ์ ∇ × ∇ϕ = ⃗0 จะได้ว่า E⃗ = −∇ϕ − ∂tA⃗ (11.7) โดยเราเรียก ϕ วา่ ศกั ย์สเกลาร์ (scalar potential) สนามไฟฟา้ และสนามแม่เหลก็ ไมเ่ ปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเกจ (gauge transformation) ϕ → ϕ − ∂tλ, A⃗ → A⃗ + ∇λ (11.8) กลา่ วคือ E⃗ → E⃗ , B⃗ → B⃗ ภายใต้การแปลงข้างตน้ สนามไฟฟ้า E⃗ และสนามแม่เหลก็ B⃗ เปน็ ปริมาณทาง ฟสิ กิ ส์ในแง่ท่ีว่า ค่าของสนามเหล่าน้ีวัดได้โดยตรงจากการทดลอง และการเปลีย่ นแปลงใด ๆ ของสนามไฟฟ้า และสนามแมเ่ หลก็ จะทำให้ปรากฏการณท์ างฟสิ กิ สข์ องระบบเปลยี่ นไป (ยกตัวอย่างเช่น หากมีอนภุ าคมีประจุ วงิ่ อยู่ภายใต้สนามไฟฟ้าภายนอกซึ่งมีคา่ คงตัว การเปล่ยี นค่าของสนามไฟฟา้ จะทำให้ความเรง่ ของอนภุ าคน้ี มีคา่ เปล่ียนไป) แต่สำหรับศักย์สเกลาร์ ϕ และศกั ย์เวกเตอร์ A⃗ นนั้ ปรมิ าณเหลา่ นี้ไม่เปน็ ปริมาณทางฟสิ ิกส์1 ในแง่ท่ีว่าการแปลงคา่ ของปรมิ าณเหลา่ น้ีในลักษณะหน่งึ (กลา่ วคอื จาก ϕ และ A⃗ ไปเปน็ ϕ − ∂tλ และ A⃗ + ∇λ) จะไมเ่ ปลย่ี นค่าของ E⃗ และ B⃗ ซง่ึ สง่ ผลใหฟ้ สิ กิ ส์ไม่เปล่ยี น แนวคดิ ของการแปลงเกจนั้นมีประโยชน์สำหรบั ทฤษฎีไฟฟา้ แม่เหล็ก และทฤษฎีอ่ืน ๆ อีกหลายทฤษฎี ทฤษฎีเหล่าน้ีมีสนามซงึ่ แม้คา่ จะเปล่ยี นไปในลักษณะหนึง่ ก็ไม่เปล่ียนแปลงฟิสิกส์ เราเรยี กสนามเหล่าน้ีวา่ สนามเกจ (gauge field) และเรียกการแปลงของสนามเกจที่ไม่ทำให้ฟิสกิ ส์เปล่ียนแปลงวา่ การแปลงเกจ ดังนัน้ ในกรณีของทฤษฎไี ฟฟ้าแม่เหล็ก จะได้วา่ ศกั ย์สเกลารแ์ ละศักยเ์ วกเตอร์เปน็ สนามเกจ 11.2 สญั กรณด์ ัชนสี ำหรบั สมการของแมกซเ์ วลล์ เราสามารถเขยี นสมการของแมกซเ์ วลลโ์ ดยใชส้ ัญกรณ์ดัชนไี ด้ดงั น้ี ∂iEi = 0, (11.9) ∂iBi = 0, (11.10) ϵijk∂j Ek + ∂0Bi = 0, (11.11) ϵijk∂j Bk − ∂0Ei = 0 (11.12) โดยที่ ∂0 ≡ ∂t หากเรานิยาม A0 = −ϕ จะได้วา่ สมการท่ี (11.7) และ (11.5) นน้ั เขยี นในรูปแบบของ สญั กรณด์ ัชนไี ด้ดังนี้ Ei = ∂iA0 − ∂0Ai, or ∂0Ai − ∂iA0 = −Ei, (11.13) 1ในบรบิ ทของฟิสิกส์แบบคลาสสคิ ศกั ย์สเกลาร์และศกั ย์เวกเตอร์เปน็ เพยี งเครือ่ งมอื ทางคณิตศาสตร์ จงึ ไมใ่ ช่ปรมิ าณทางฟสิ กิ ส์ แต่ในบริบทที่มีผลทางควอนตัมมาเกีย่ วข้องแลว้ ค่าของศกั ย์สเกลาร์และศกั ย์เวกเตอร์นนั้ มีผลกบั การทดลอง ผู้อา่ นที่สนใจอาจศกึ ษากรณี ตัวอยา่ ง เชน่ ผลของอฮาโรนอฟโบฮม์ (AharonovBohm effect) 228 228
การวิิเคราะห์ท์ ฤษฎีีแมกซ์เ์ วลล์์ ส่วนที่ 3 ทฤษฎีสำ�หรบั สนามสเกลารท์ ี่มี อันตรกิรยิ าในตัว 259
บทท่ี 12 12แอมพลิจูดการกระเจิง ฟั งก์ชนั n จุด แอมพแลจิลูดะกากรกฎระขเจิงอฟงังกไช์ ฟัน ยn นจดุ แ์ แลมะกนฎของไฟยนแ์ มน ในบทนี้ เราจะอภิปรายการควอนไทซ์ของทฤษฎีสนามสเกลาร์ที่มีอันตรกิริยาในตัว ซึ่งโดยทว่ั ไปแล้ว การแกส้ มการการเคลอื่ นท่ีใหไ้ ด้ผลเฉลยในรปู ทัว่ ไปน้นั มักยุง่ ยากหรืออาจทำไมไ่ ด้เลย ดงั นนั้ การนำผลเฉลยใน รปู ทั่วไปมาควอนไทซ์ดงั เชน่ ที่ทำในกรณีของทฤษฎีสนามสเกลาร์อสิ ระ จงึ ไมใ่ ช่วิธีการท่ีดีท่ีจะใช้กบั ทฤษฎี สนามสเกลาร์ทมี่ อี ันตรกริ ิยาในตัว ดงั นั้นในบทน้ี เราจะอภปิ รายวิธกี ารทเ่ี หมาะสมในการควอนไทซ์ นอกจากนี้ วิธีการนี้ยังมีความเช่ือมโยงกบั การวเิ คราะห์การกระเจิง ซึ่งเปน็ ปัญหาท่ีสำคัญสำหรับการศึกษาฟิสิกส์อนภุ าค ซึ่งการศึกษานี้จะนำไปสู่สตู รลดรูปแอลเอสแซด (LSZ reduction formula) ซง่ึ เป็นการลดรปู ของปัญหา จากการศกึ ษาโอกาสในการกระเจิง ไปเป็นปญั หาของการคำนวณปริมาณท่ีเรียกวา่ ฟังก์ชัน n จุด (n−point function) เราจะใช้สมการไดสนั ชวงิ เกอร์ (DysonSchwinger equations) เพือ่ คำนวณปริมาณดังกลา่ ว และจากการสังเกตจะได้กฎของไฟยน์แมน (Feynman rule) ซงึ่ เป็นกฎสำหรับเปลยี่ นนพิ จน์ทางคณิตศาสตร์ เปน็ แผนภาพซึง่ เรยี กวา่ แผนภาพไฟยน์แมน (Feynman diagram) กอ่ นอ่านบทน้ี ผอู้ า่ นควรมคี วามรูม้ าจากบทที่ 8 12.1 การควอนไทซแ์ บบบญั ญัติของทฤษฎีสนามสเกลารท์ ี่มอี ันตรกิริยา ในตวั พจิ ารณาแอคชนั สำหรบั ทฤษฎีสนามสเกลาร์ท่มี อี ันตรกริ ิยาในตัว S= d4x − 1 ∂µϕ∂ µ ϕ − 1 m2 ϕ2 − VI (ϕ) (12.1) 2 2 ซึง่ ในกรณีที่ VI(ϕ) = 0 แอคชันขา้ งต้นจะลดรปู ไปเป็นแอคชันสำหรับสนามสเกลาร์อิสระ ซงึ่ อภิปรายไปใน บทที่ 8 สำหรบั กรณีของทฤษฎีสนามสเกลาร์ท่ีมีอันตรกิริยาในตวั นี้ เราอาจศึกษาโดยใช้วธิ ีการที่คลา้ ยคลงึ กบั ในบทที่ 8 กลา่ วคอื เราเรม่ิ จากหาสมการการเคลื่อนที่จากสมการท่ี (12.1) และหาผลเฉลยสำหรบั สนาม สเกลาร์ในรูปของการกระจายโหมด จากน้ันจึงควอนไทซ์ 261
บทท่ี 12. แอมพลจิ ูดการกระเจงิ ฟงั ก์ชนั n จุด และกฎของไฟยน์แมน กำหนดให้ x ≡ ηµν ∂ ∂ (12.2) ∂xµ ∂xν ดังนั้น สมการการเคล่อื นที่ที่ไดม้ าจากแอคชนั ในสมการที่ (12.1) คือ xϕ(x) − m2ϕ(x) − VI′(ϕ(x)) = 0 (12.3) สมการการเคล่ือนท่ีข้างต้นน้ีเปน็ แบบไม่เชิงเสน้ ซึง่ โดยทัว่ ไปแลว้ การหาผลเฉลยในรูปทั่วไปมักจะทำได้ยาก อย่างไรก็ดี เราจะขา้ มไปวเิ คราะหฮ์ ามิลโทเนียนกอ่ น โดยเรม่ิ จากการหาโมเมนตัมสงั ยุคซ่ึงจะได้ Π= ∂L ∂ϕ˙ (12.4) = ϕ˙ และหาฮามิลโทเนียน ซ่ึงจะได้ H= d3x 1 π2 + 1 ∇⃗ ϕ · ∇⃗ ϕ + 1 m2ϕ2 + VI (ϕ) (12.5) 2 2 2 และสำหรบั วงเลบ็ ปวั ซงนั้น ยงั คงเป็นไปดังสมการท่ี (8.68) และ (8.69) การควอนไทซ์แบบบัญญตั ิสามารถทำได้โดยใช้วธิ ีการท่ีคล้ายคลึงกับท่ีใช้ในทฤษฎีสนามสเกลาร์อิสระ กลา่ วคือ ยกระดบั สนามสเกลาร์ไปเป็นตวั ดำเนนิ การ และยกระดับวงเลบ็ ปัวซงไปเป็นตวั ทำสลับที่ อยา่ งไรก็ดี เนอื่ งจากสนามสเกลาร์ในบทนเี้ ขียนในรปู ของการกระจายโหมดไม่ได้ การสร้างปริภูมิฟอคจึงไมอ่ าจทำได้อยา่ ง ตรงไปตรงมาดงั เช่นในกรณีของทฤษฎสี นามสเกลาร์อสิ ระ เราทราบมาจากทฤษฎีสนามสเกลาร์อสิ ระวา่ สถานะท่ีสำคญั ในปริภูมิฟอคลว้ นแต่เปน็ สถานะท่ีอธิบาย โดยเค็ทลักษณะเฉพาะของฮามลิ โทเนยี น ซึ่งเราพบวา่ สถานะเหล่านี้ ได้แก่ สถานะสุญญากาศ, สถานะหนง่ึ อนภุ าค และสถานะหลายอนุภาค หากตอ้ งการอธิบายสถานะอนื่ ใดในปริภูมิฟอคสามารถทำได้โดยพิจารณา ผลรวมเชงิ เส้นของเค็ทลักษณะเฉพาะสำหรับสถานะเหล่านี้ เราจะใช้แนวคิดเดียวกนั น้ีกับทฤษฎีสนามสเกลาร์ ทม่ี ีอนั ตรกิรยิ าในตัว แต่เนอื่ งจากฮามลิ โทเนียนในทฤษฎปี ระเภทน้ีแตกตา่ งจากฮามิลโทเนียนของทฤษฎีสนาม สเกลารอ์ ิสระ ดงั น้ัน เคท็ ลักษณะเฉพาะกจ็ ะแตกต่างกนั ดว้ ย สำหรับทฤษฎีสนามสเกลาร์ที่มีอนั ตรกริ ิยาในตวั เราจะเขียนสัญลักษณ์ของสถานะสญุ ญากาศวา่ |Ω แทนที่จะใช้ |0 ดงั ในกรณีของทฤษฎีสนามสเกลาร์อสิ ระ ทัง้ นี้เพอื่ เนน้ วา่ สถานะสุญญากาศสำหรับทฤษฎีสอง ชนิดน้ีแตกต่างกนั นอกจากสถานะสญุ ญากาศแล้ว ก็ยงั มีสถานะท่ีมีอนภุ าค การมีอยู่ของสถานะเหลา่ นี้ยนื ยนั ด้วยความยืนยงเชิงการเล่อื นที่ (translational invariance) ซงึ่ เราจะกลา่ วถึงในภายหลัง ในที่นี้เราจะเนน้ อภิปรายสถานะท่ีมีอนุภาคเด่ยี วก่อน1 เราจะใช้สญั ลกั ษณ์แทนสถานะท่ีมีอนุภาคเดยี่ วซงึ่ มีโมเมนตมั ⃗k ว่า |⃗k 1เพอื่ ความงา่ ย เราจะสมมุติว่าไม่มีสถานะถูกกักขัง ดงั น้ัน สถานะท่ีอธิบายได้โดยเค็ทลักษณะเฉพาะของฮามิลโทเนยี น ได้แก่ สถานะ สญุ ญากาศ, สถานะหนง่ึ อนุภาค และสถานะหลายอนภุ าค ดังเชน่ ในกรณีของทฤษฎีสนามสเกลาร์อสิ ระ แต่จากที่อภปิ รายไปแลว้ ว่า โดยทวั่ ไปสถานะเหล่านีแ้ ตกตา่ งไปจากในกรณขี องทฤษฎีสนามสเกลาร์อสิ ระ 262 262
บทท่ี 13 13การวิเคราะหฟ์ ั งก์ชนั 2 จุด และกฟารัวงิเคกรา์ชะหนัฟ์ งั จกช์ ุดันย2 จอดุ ดและฟงั กช์ ันจุดยอด จากบทท่ีแลว้ เราได้ทราบถึงความสำคญั ของการคำนวณฟังกช์ นั n จุด สำหรบั สนามบรรทัดฐานใหม่ แต่ในการคำนวณนนั้ เราเรม่ิ จากการใช้สมการไดสนั ชวิงเกอร์สำหรับสนามเปลือย เพอ่ื ให้ได้ฟงั ก์ชัน n จดุ สำหรับสนามเปลอื ย จากนน้ั จึงแปลงเป็นฟังกช์ ัน n จุดสำหรบั สนามบรรทัดฐานใหม่อกี ทีหนงึ่ อยา่ งไรก็ดี วิธีการดังกลา่ วไม่เปน็ ท่ีนิยม ในบทนี้เราจะเสนออีกวิธีหนงึ่ ซึง่ ใช้กันอย่างแพร่หลาย โดยเริม่ จากการเขียน ลากรางเจยี นโดยใช้สนามบรรทัดฐานใหม่และมวลบรรทดั ฐานใหม่ จากนนั้ จงึ เขียนสมการไดสนั ชวงิ เกอร์ ทีเ่ กย่ี วเนอ่ื งกบั ลากรางเจยี นดังกล่าว โดยเราจะนำสมการไดสนั ชวงิ เกอรท์ ไี่ ดไ้ ปวเิ คราะหฟ์ ังก์ชนั n จุด สำหรับ n = 2, 3, 4 ซึ่งหลังจากศึกษากรณีเหลา่ นี้แล้ว หากผู้อา่ นตอ้ งการขยายผลไปใช้สำหรบั กรณีท่ี n มีค่าสูงขึน้ กจ็ ะทำไดโ้ ดยอาศัยหลกั การทคี่ ล้ายคลึงกนั กอ่ นอา่ นบทนี้ ผ้อู ่านควรมีความรู้มาจากบทที่ 12 13.1 ลากรางเจียนพจน์ตา้ น ในบทท่แี ล้วเราวิเคราะห์โดยเน้นตวั อยา่ งสำหรบั ทฤษฎี ϕ3 ซ่งึ มลี ากรางเจียนคือ L = − 1 ∂µ ϕ∂ µ ϕ − 1 m2ϕ2 − 1 gϕ3 (13.1) 2 2 3! นอกจากนี้ เราพบมาแล้ววา่ ในการวิเคราะห์การกระเจิงนน้ั ในท่สี ุดแลว้ จะตอ้ งข้องเกยี่ วกบั สนามบรรทดั ฐาน ใหม่ Φ = √1 (ϕ − v) (13.2) Z โดยท่ี Z และ v นน้ั ต้องกำหนดเพ่ือให้ Φ สอดคล้องกับสมการท่ี (12.93) ดงั น้ัน ในบทนีเ้ ราจะพจิ ารณาโดยใช้สนามบรรทดั ฐานใหมต่ ั้งแตต่ น้ ซ่งึ จะได้วา่ ลากรางเจียนเขยี นได้เป็น L = − 1 Z ∂µ Φ∂ µ Φ − 1 m2 + vg Z Φ2 − 1 gZ 3/2 Φ3 − 1 √ v2 Φ − 1 gv3 (13.3) 2 2 3! 2 Z 3! 293
บทท่ี 13. การวเิ คราะห์ฟังก์ชนั 2 จุด และฟังก์ชนั จดุ ยอด จะเห็นได้ว่า มีปรมิ าณท้งั สนิ้ ส่ีปรมิ าณคือ Z, m, v และ g ซึ่งเปน็ คา่ คงตวั ท้งั หมด การหาค่าของปริมาณเหลา่ นี้ จะต้องใช้เงอื่ นไขทง้ั สิ้นสี่เงอ่ื นไข โดยสองเง่อื นไขแรกนนั้ กำหนดโดยสมการท่ี (12.93) ในขณะที่สองเงือ่ นไข ทีเ่ หลอื ได้แก่ • มวลของสถานะหนง่ึ อนภุ าคทีไ่ ดจ้ ากการทดลองคอื m1 • ค่าคงตวั ของการคคู่ วบทีก่ ำหนดโดยการทดลองคอื g1 ก่อนหนา้ นี้เรากำหนดช่อื ให้ ϕ วา่ สนามเปลอื ย กำหนดชอ่ื ให้ m ว่า มวลเปลือย กำหนดชอ่ื ให้ Φ วา่ สนาม บรรทดั ฐานใหม่ และกำหนดช่อื ให้ m1 วา่ มวลบรรทัดฐานใหม่ ดังนัน้ เราจะอาศยั แนวคดิ เดียวกันในการ กำหนดชอ่ื ให้ g วา่ คา่ คงตวั ของการคู่ควบเปลือย (bare coupling constant) และกำหนดชื่อให้ g1 ว่า คา่ คงตวั ของการคคู่ วบบรรทดั ฐานใหม่ (renormalized coupling constant) หากเรานิยามคา่ คงตัวชุดใหม่ข้นึ มา เราจะเขยี นลากรางเจยี นไดว้ า่ L = − 1 Z ∂µΦ∂ µΦ − 1 Zmm21Φ2 − 1 Zg g1Φ3 + Y Φ (13.4) 2 2 3! โดยเรากำจดั พจน์สดุ ท้ายทางดา้ นขวามือของสมการที่ (13.3) เนอ่ื งจากพจน์ดงั กลา่ วไมม่ ีผลต่อสมการ การเคลอ่ื นที่ สังเกตวา่ ค่าคงตัวสี่คา่ จากสมการที่ (13.3) เปล่ยี นมาเป็น Z, Zm, Zg, Y ดังปรากฏในสมการที่ (13.4) นอกจากนี้ ลากรางเจียนน้ียังเขยี นได้ในรปู แบบ L = L0 + Lพจนต์ ้าน (13.5) โดยที่ L0 = Z − 1 ∂µ Φ∂ µ Φ − 1 m21 Φ2 − 1 Zg g1Φ3 (13.6) 2 2 3! Z และ Lพจนต์ ้าน = − 1 (Zm − Z )m12 Φ2 + Y Φ (13.7) 2 กอ่ นหนา้ น้ี เราทราบกฎของไฟยนแ์ มนท่ีเกยี่ วขอ้ งกับลากรางเจยี น L0 มาแล้ว กล่าวคอื เราอาจใช้ผลจากบทท่ี แลว้ มาใช้โดยทำเพียงเปล่ียนตัวแปรโดย m → m1 และ g → Zgg1/Z และสำหรับลากรางเจียน Lพจน์ต้าน นนั้ เราเรยี กว่า ลากรางเจียนพจน์ตา้ น (counterterm Lagrangian) ซึง่ เราจะวิเคราะห์กฎของไฟยน์แมนสำหรบั ลากรางเจียนนี้ในลำดับต่อไป สมการการเคล่อื นทีส่ ำหรับลากรางเจยี นในสมการที่ (13.5) คือ ( x − m21)Φ(x) = 1 Zg g1 Φ2 (x) + Zm −1 m12Φ(x) − Y 2 Z Z Z (13.8) ≡ V[Φ(x)] 294 294
บทท่ี 14 14แอมพลิจูดการกระเจิงสำ�หรบั กาแรอมกพรลิจะูดเกจารกิงรขะเจองิ สงำหสรบัอกงารอกรนะเจภุ ิงขาองคสองอนภุ าค ในบทกอ่ นหนา้ น้ี เราอภิปรายการคำนวณฟังกช์ ัน n จุด โดยเนน้ ฟังก์ชนั 2 จุด ส่วนจุดยอดของฟงั กช์ ัน 3 จุด และส่วนจุดยอดของฟังก์ชนั 4 จุด ในบทนเ้ี ราจะเรม่ิ จากการคำนวณฟงั กช์ ัน 4 จดุ จากนนั้ จงึ นำผลท่ีไดไ้ ป คำนวณแอมพลิจูดการกระเจงิ กอ่ นอา่ นบทนี้ ผ้อู า่ นควรมคี วามรู้มาจากบทท่ี 13 14.1 ฟังก์ชัน 4 จุด และแอมพลิจดู การกระเจงิ เราจะเขยี นฟงั กช์ ัน 4 จดุ แบบเชอื่ มต่อ โดยใช้สมการท่ี (13.168) ในกรณีท่ี n = 4 กล่าวคอื Ω|T Φ(x1)Φ(x2)Φ(x3)Φ(x4)|Ω เชือ่ มต่อ = d4k1 d4k2 d4k3 d4k4 (2π)4δ(4)(k1 + k2 + k3 + k4) (14.1) (2π)4 (2π)4 (2π)4 (2π)4 G˜เ(ช4่ือ)มต่อ(k1, k2, k3, k4)e−ik1·x1 e−ik2·x2 e−ik3·x3 e−ik4·x4 เนอื่ งจาก Ω|T Φ(x1)Φ(x2)Φ(x3)Φ(x4)|Ω สมมาตรใน x1, x2, x3, x4 สว่ นเชอ่ื มต่อของฟังก์ชนั 4 จดุ ในปรภิ มู โิ มเมนตัม G˜เ(ช4่อื )มต่อ(k1, k2, k3, k4) นน้ั สมมาตรใน k1, k2, k3, k4 331
บทที่ 14. แอมพลจิ ูดการกระเจิงสำหรบั การกระเจิงของสองอนุภาค กฎของไฟยนแ์ มนท่ีใชค้ ำนวณ G˜(เช4ื่อ)มตอ่ (k1, k2, k3, k4) เขยี นเปน็ แผนภาพได้วา่ k3 kk = ∆˜ (F1)(−k2), k1 k2 = −iV (k1, k2, k3), k4 k3 (14.2) = −iV4(k1, k2, k3, k4) k1 k2 โดยแผนภาพแรกใช้แทนส่วนขา ขณะท่ีแผนภาพท่ีสองและสามใช้แทนส่วนจดุ ยอดของฟังก์ชนั 3 จดุ และ ฟงั ก์ชนั 4 จุด ตามลำดบั สำหรับส่วนขา โมเมนตัมท่ีผ่านเขา้ และออกมีคา่ k เท่ากนั สำหรับส่วนจดุ ยอด ของฟังก์ชัน 3 จดุ k1, k2, k3 คือโมเมนตมั ที่พุ่งเขา้ จดุ ยอด และในทำนองเดียวกนั สำหรับส่วนจดุ ยอดของ ฟังก์ชัน 4 จุด k1, k2, k3, k4 คอื โมเมนตัมท่ีพงุ่ เข้าจดุ ยอด นอกจากน้ีโมเมนตัมจะต้องอนรุ กั ษ์ ณ จุดยอด ดงั นนั้ k1 + k2 + k3 = 0 สำหรับสว่ นจุดยอดของฟงั กช์ ัน 3 จุด และ k1 + k2 + k3 + k4 = 0 สำหรับส่วน จดุ ยอดของฟังกช์ นั 4 จุด จากสมการท่ี (13.158) จะได้ว่า G˜(เช4่อื )มต่อ(k1, k2, −p1, −p2) p2 p1 p2 p1 p2 + k1 + k2 p1 = k2 k2 k1 k1 p1 p2 + k2 k1 (14.3) สงั เกตวา่ เนอ่ื งจาก p1 และ p2 เป็นโมเมนตมั ขาออก ดงั น้ัน จึงปรากฏในอารก์ ิวเมนต์ของ G˜จ(4ุดย)อด ว่า −p1, −p2 332 332
ส่วนที่ 4 การวิเคราะห์ พลศาสตรไ์ ฟฟ้ า เชงิ ควอนตัม
บทท่ี 15 15สูตรลดรปู แอลเอสแซดและสมการไดสัน ชวิงเกสอตู รรลดส์ รูปำ�แหอลรเอบัสแพซดลแลศะสามกสารตไดสรนั ไ์ชฟวงิ ฟเก้อารส์เำชหงิรับคพลวศาอสตนร์ตัม ไฟฟ้าเชงิ ควอนตัม ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์เบอ้ื งต้นเก่ียวกับพลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัม ซึง่ เป็นทฤษฎีที่อธบิ ายพลวตั และ อันตรกริ ิยาระหวา่ งสนามเกจและสปินเนอร์ โดยในบทนี้ เราจะเริ่มจากการเขยี นแอคชนั ในเชงิ คลาสสคิ กอ่ น โดยเรมิ่ จากการพิจารณาแอคชันสำหรบั สปินเนอร์อสิ ระ แล้วจงึ ขยายผลทฤษฎีดังกล่าวให้มีสมมาตร U(1) แบบเฉพาะที่ ซึ่งเราจะได้พจน์สำหรบั พลวตั ของสนามเกจ และพจน์สำหรับอันตรกิริยาระหว่างสนามเกจ และสนามสปินเนอร์เพมิ่ เตมิ เข้ามา หลังจากท่ีได้แอคชันสำหรับทฤษฎีสนามคลาสสคิ แล้ว เราจะควอนไทซ์โดย ทำตามขน้ั ตอนที่คล้ายคลงึ กบั การวเิ คราะห์ทฤษฎีสนามสเกลาร์ โดยเฉพาะอยา่ งยิ่ง ในบทน้ีเราจะหาสตู ร ลดรปู แอลเอสแซดและสมการไดสนั ชวิงเกอร์สำหรับพลศาสตร์ไฟฟ้าเชงิ ควอนตัม กอ่ นอา่ นบทนี้ ผู้อ่านควรมคี วามรู้มาจากบทที่ 10, 11, 12 และ 13 15.1 แอคชันสำหรบั พลศาสตรไ์ ฟฟ้าสปนิ เนอรค์ ลาสสคิ เราทราบมาแล้ววา่ แอคชันสำหรับสปนิ เนอรอ์ สิ ระ : S0 = d4x ψ¯(iγµ∂µ − m)ψ (15.1) นนั้ สมมาตรภายใตก้ ารแปลง U(1) แบบทั่วปรภิ ูมิ (global) ψ(x) → ψ′(x) = e−iαψ(x) (15.2) ในท่ีน้ี U(1) คือ กรุปของจำนวนเชงิ ซอ้ นภายใต้การคูณ โดยสมาชิกใด ๆ เชน่ z ต้องสอดคล้องกบั |z| = 1 และสำหรบั สมบตั ิการแปลง “แบบทั่วปริภูมิ” นน้ั สะท้อนว่าสมาชกิ e−iα ∈ U(1) ไม่ข้ึนกับตำแหนง่ ใน กาลอวกาศ 347
บทท่ี 15. สูตรลดรูปแอลเอสแซดและสมการไดสนั ชวงิ เกอร์สำหรับพลศาสตรไ์ ฟฟา้ เชิงควอนตัม การยกระดบั ใหแ้ อคชนั สำหรบั สปินเนอร์อสิ ระมสี มมาตรภายใตก้ ารแปลง U(1) แบบเฉพาะที่ (local) ψ(x) → ψ′(x) = exp(ieα(x))ψ(x) (15.3) นนั้ สามารถทำได้ ในท่ีนี้ e เปน็ ประจุอเิ ล็กตรอน (ซงึ่ ไม่ควรจะสับสนกบั ตัวเลขออยเลอร์ e ≈ 2.718 ซง่ึ หากดู จากบรบิ ท เราจะไม่สบั สน) สงั เกตว่าพจน์ของมวล −mψ¯ψ นั้นสมมาตรภายใต้การแปลง U(1) แบบเฉพาะที่ อยแู่ ลว้ ในขณะทพ่ี จน์ทเี่ หลือนน้ั ไมส่ มมาตร พิจารณาการเปลย่ี นแอคชนั เปน็ S = d4x ψ¯(iγµDµ − m)ψ (15.4) โดยท่ี Dµ ≡ ∂µ − ieAµ (15.5) เรียกว่า อนุพนั ธ์โคแวเรียนต์ (covariant derivative) และ Aµ คือ สนามที่ตอ้ งแปลงภายใต้การแปลงแบบ U(1) แบบเฉพาะที่ ในลักษณะที่ทำให้แอคชนั ไม่เปลี่ยนแปลง การคำนวณหาการแปลงดังกลา่ วของ Aµ เราจะเร่ิมจากการสังเกตว่าหากเราบังคบั ให้ Dµψ → Dµ′ ψ′ = exp(ieα(x))Dµψ (15.6) จะได้ว่า แอคชนั ตามสมการที่ (15.4) สมมาตรภายใต้การแปลงแบบ U(1) แบบเฉพาะที่ ดังนน้ั พิจารณา Dµ′ ψ′ = ∂µψ′ − ieA′µψ′ (15.7) = exp(ieα)∂µψ + ie∂µα exp(ieα)ψ − ieAµ′ exp(ieα)ψ และในขณะเดยี วกนั Dµ′ ψ′ = exp(ieα(x))Dµψ (15.8) = exp(ieα(x))∂µψ − ieAµ exp(ieα(x))ψ. ดังน้ัน Aµ จะต้องแปลงโดย Aµ(x) → Aµ(x) + ∂µα(x) (15.9) จากกฎการแปลงข้างตน้ เราพบว่า Aµ แปลงลักษณะเดยี วกับสนามเกจ ดงั นน้ั จึงกล่าวได้ว่า Aµ ในท่ีน้ีคือ สนามเกจนนั่ เอง นอกจากนี้การแปลงแบบ U(1) แบบเฉพาะท่ีจงึ เปน็ การแปลงเกจตามที่เราเคยอภิปราย กันมาแล้ว เราอาจแกไ้ ขแอคชันดงั สมการท่ี (15.4) เพ่ิมเติม โดยเติมพจน์ซ่ึงไม่เปลีย่ นแปลงภายใต้การแปลงเกจ ซงึ่ เราทราบมาแล้ววา่ แอคชันสำหรับทฤษฎีแมกซเ์ วลล์นน้ั มีสมบตั ิดังที่ตอ้ งการนี้ ดงั นนั้ เราจะนำแอคชนั ดังกล่าว มารวมกบั แอคชันในสมการที่ (15.4) ซ่ึงจะได้วา่ S= d4x ψ¯(iγµDµ − m)ψ − 1 Fµν F µν (15.10) 4 348 348
บทท่ี 16 16กระบวนการการกระเจิงที่ระดับต้นไม้ กระบวนการการกระเจงิ ทีร่ ะดบั ต้นไม้ ในบทที่แลว้ เราอภปิ รายสตู รลดรูปแอลเอสแซดและสมการไดสนั ชวิงเกอร์สำหรบั ทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟา้ เชิงควอนตมั ในบทนี้เราจะนำผลดังกล่าวมาใช้ในการคำนวณกระบวนการการกระเจงิ ทีร่ ะดับต้นไม้ โดยจะเน้น การคำนวณหาแอมพลจิ ดู การกระเจงิ และภาคตัดขวางการกระเจิง กอ่ นอ่านบทน้ี ผอู้ า่ นควรมคี วามรมู้ าจากบทท่ี 15 16.1 แอมพลจิ ดู การกระเจงิ ในอนั ดบั ของ e0 ในการคำนวณในบทนี้ เราจะใช้สมการไดสนั ชวงิ เกอร์สำหรบั ปรมิ าณบรรทดั ฐานใหม่ กลา่ วคอื แทนที่ สนามบรรทัดฐานใหม่ด้วยสนามเปลอื ย แทนที่ e1 ด้วย e แทนท่ี m1 ด้วย m และแทนที่ Ze, Zψ, ZA, Zm ด้วย 1 เพอื่ เตรยี ม พรอ้ ม สำหรบั การ คำนวณ หลกั ใน บท ย่อย น้ี เรา จะ เขยี น สูตร สำหรับ ฟงั ก์ชนั n จดุ ของพลศาสตรไ์ ฟฟา้ เชงิ ควอนตัมโดยกระจายในอนั ดบั ของเลขชี้กำลังของ e แล้วพิจารณาเฉพาะอนั ดับ e0 ในลำดบั แรก เราจะเขียนสมการที่ (15.140), (15.141) และ (15.144) โดยใช้ปริมาณเปลอื ย ซ่งึ จะได้ ว่า (i∂/ − m)γ α Ω|T ψα(x)ψα1 (x1) · · · ψαn−1 (xn−1)ψ¯β1 (y1) · · · ψ¯βn (yn)A · · · |Ω = −e Ω|T (A/(x)ψ(x))γ ψα1 (x1) · · · ψαn−1 (xn−1)ψ¯β1 (y1) · · · ψ¯βn (yn)A · · · |Ω n + i δγβk (−1)k+nδ(4)(x − yk)× k=1 Ω|T ψα1 (x1) · · · ψαn−1 (xn−1)ψ¯β1 (y1) · · · ψ¯βk (yk) · · · ψ¯βn (yn)A · · · |Ω , (16.1) 373
บทที่ 16. กระบวนการการกระเจงิ ท่ีระดบั ต้นไม้ Ω|T ψα1 (x1) · · · ψαn (xn)ψ¯β1 (y1) · · · ψ¯βn−1 (yn−1)ψ¯β (y)A · · · |Ω ←− + m1)β γ (i ∂/ = e Ω|T ψα1 (x1) · · · ψαn (xn)ψ¯β1 (y1) · · · ψ¯βn−1 (yn−1)(ψ¯(y)A/(y))γ A · · · |Ω n + i δαγk (−1)kδ(4)(y − xk)× k=1 Ω|T ψα1 (x1) · · · ψαk (xk) · · · ψαn (xn)ψ¯β1 (y1) · · · ψ¯βn−1 (yn−1)A · · · |Ω , (16.2) x Ω|T Aµ(x)Aµ1 (x1) · · · Aµn (xn)ψ · · · ψ¯ · · · |Ω = −e Ω|T jµ(x)Aµ1 (x1) · · · Aµn (xn)ψ · · · ψ¯ · · · |Ω (16.3) n + i δ(4)(x − xk)ηµµk Ω|T Aµ1 (x1) · · · Aµk (xk) · · · Aµn (xn)ψ · · · ψ¯ · · · |Ω k=1 โดยท่ี jµ(x) = ψ¯(x)γµψ(x) (16.4) จากสมการท่ี (16.1) และ (15.148) จะได้วา่ Ω|T ψα1 (x1)ψα2 (x2) · · · ψαn (xn)ψ¯β1 (y1) · · · ψ¯βn (yn)A · · · |Ω (16.5) n = (Sxy)α1 βk (−1)k+n× k=1 Ω|T ψα2 (x2) · · · ψαn (xn)ψ¯β1 (y1) · · · ψ¯βk (yk) · · · ψ¯βn (yn)A · · · |Ω + O(e) โดยที่ Sxy ≡ SF (x − y; m) (16.6) สงั เกตวา่ แต่ละพจน์ที่อันดบั e0 ในสมการที่ (16.5) นั้น เกดิ จากการจบั คู่ของ ψα1(x1) กบั ψ¯βk(yk) แล้ว เปลยี่ นเปน็ (Sx1yk)α1βk โดย k = 1, · · · , n นอกจากน้ียงั ต้องคำนงึ ถงึ เครือ่ งหมายดว้ ย โดยเลื่อน ψα1(x1) ไปอยูท่ างดา้ นขวาของ ψαn(xn) ซง่ึ ใช้การเลอ่ื นท้งั หมด n−1 คร้งั และเลอ่ื น ψ¯βk(yk) ไปอย่ทู างดา้ นซ้ายของ ψ¯β1(y1) ซ่ึงใช้การเล่ือนทั้งหมด k − 1 คร้งั ดงั นน้ั เครอ่ื งหมายคอื (−1)n+k−2 = (−1)n+k ซึ่งจะได้ว่า ผลท่ีกลา่ วมาขา้ งต้นคอื กฎสำหรบั การหดตวั แบบวคิ ดังนน้ั หากเรานำสมการท่ี (16.5) มาใช้ซำ้ ๆ ผลสุดทา้ ย จะเป็นการใช้การหดตัวแบบวิคท้งั หมด n คร้ัง ซง่ึ เปน็ การนำสปินเนอร์ทงั้ หมดมาจับคู่กับสปนิ เนอรส์ ังยุค ทง้ั หมด ซงึ่ ลดรูปฟงั กช์ นั n จดุ ให้เหลืออยใู่ นรปู Ω|T Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · · Aµn′ (xn′)|Ω จากสมการท่ี (16.3) และ (15.152) จะไดว้ า่ Ω|T Aµ1 (x1)Aµ2 (x2) · · · Aµn′ (xn′ )|Ω n (16.7) = ∆µ1 µk Ω|T Aµ2 (x2) · · · Aµk (xk) · · · Aµn′ (xn′ )|Ω + O(e) x1 xk k=2 374 374
บทท่ี 17 17ฟั งก์ชนั n จุด สำ�หรบั พลศาสตรไ์ ฟฟ้ า ฟงั เกชช์ นั งิ nคจวุด สอำหนรับตพัมลศาสตร์ไฟฟา้ เชงิ ควอนตัม ในบทน้ี เราจะวิเคราะหฟ์ งั ก์ชนั n จดุ สำหรบั พลศาสตรไ์ ฟฟ้าเชิงควอนตัม โดยเนน้ กรณที ่ี n = 2, 3 ซึง่ เรา จะใช้ตัวแทนสเปกตรมั ของคาลเลนและลีห์มานเพ่ือคำนวณหา Zm, Zψ, ZA จนถงึ ระดับ 1 วง และใช้เงอื่ นไข สำหรบั ฟงั กช์ นั จดุ ยอด 3 ขา เพ่อื คำนวณหา Ze จนถึงระดับ 1 วง นอกจากนี้ เราจะอภิปรายการคำนวณคา่ ตัวคณู จีของแลนเดท่รี ะดบั 1 วง กอ่ นอา่ นบทนี้ ผอู้ า่ นควรมีความรู้มาจากบทท่ี 16 17.1 ฟงั ก์ชัน 2 จดุ เราจะใช้สมการไดสนั ชวงิ เกอร์และสมการที่ (15.148), (15.150) และ (15.152) เพอ่ื คำนวณฟงั กช์ นั n จดุ ในอันดับของเลขชก้ี ำลงั ของ e1 โดยในบทย่อยน้ีเราจะพจิ ารณาฟงั กช์ ัน 2 จดุ ก่อน จากกฎการอนรุ กั ษ์ ประจจุ ะได้วา่ มีฟังก์ชนั 2 จุด เพียงสองชนดิ เท่าน้นั ซงึ่ ได้แก่ Ω|T Ψ(x1)Ψ¯ (x2)|Ω , (17.1) Ω|T Aµ(x1)Aν (x2)|Ω (17.2) 17.1.1 ฟงั กช์ ัน 2 จุด สำหรบั สปินเนอร์ เราจะเร่มิ จากสมการท่ี (17.1) จากสมการที่ (15.148) และ (15.140) จะได้ Ω|T Ψα(x)Ψ¯ β(y)|Ω = 1 (Sxy )α β Zψ + i Ze e1 d4z (Sxz)αα′ Ω|T (A/(z)Ψ(z))α′ Ψ¯ β(y)|Ω (17.3) Zψ −i Zm −1 m1 d4z (Sxz)αα′ Ω|T Ψ(z)α′ Ψ¯ β (y)|Ω Zψ 409
Search