да

МБОУ «Гимназия №3 Зеленодольского Муниципального района Республики Татарстан» Итоговый индивидуальный проект по математике: «Координатный метод решения задач по стереометрии» Автор проекта: ученица 11А класса Бугрякова Екатерина Александровна Руководитель проекта: учитель математики Шулаева Елена Николаевна 2021 год

Содержание: стр. 3 1. ВВЕДЕНИЕ стр.4 2. ПОНЯТИЕ О КООРДИНАТНОМ МЕТОДЕ стр.5-6 1) определение стр.7-8 2) алгоритм решения стр.9-11 3. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ стр.12 1) Угол между прямыми стр.13-14 2) Угол между прямой и плоскостью стр.15-16 3) Угол между двумя плоскостями стр.17-18 4) Расстояние между двумя точками 5) Расстояние от точки до прямой стр. 19 6) Расстояние от точки до плоскости стр. 19 4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ(банк задач) 5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 6. ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ 2

Французский математик София Жермен писала: «Алгебра- не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия-это просто алгебра, воплощенная в фигурах». Так, объединение данных наук привело к созданию новой, самостоятельной науки. Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры. В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом в 1637 году. Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций. Цель работы: Познакомиться с данным методом решения и глубже изучить его применение, а также рассмотреть задачи, которые встречаются в ЕГЭ Актуальность: Часто, решая задачи по стереометрии, учащиеся сталкиваются с такой проблемой, как построение сложного стереометрического рисунка. На мой взгляд, если никак не удается подобрать необходимые дополнительные построения, то стоит заняться изучением координатно-векторного метода. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи, когда до ЕГЭ остается всего лишь 2-3 месяца. Проблема - необходимость формирования у учащихся умений применять координатный метод при решении различных моделей задач по стереометрии. Задачи: 1. Изучение литературу по данной теме; 2. Систематизирование полученного материала; 3. Показать алгоритм математического моделирования при решении стереометрических задач; 3

4. Рассмотреть примеры конкретных задачах ЕГЭ (№14) Конечный продукт моего проекта: буклет. 2. ПОНЯТИЕ Данный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними). Алгоритм решения таких задач: а) Выбираем в пространстве систему координат б) Находим координаты необходимых для нас точек. в) Решаем задачу, используя основные задачи метода координат. г) Переходим от аналитических соотношений к геометрическим. 3.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ I. Угол между прямыми 4

1. Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых. 2. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. 3. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90o. 4. Угол между параллельными прямыми считается равным нулю. 5. При нахождении угла между прямыми a и b используют формулу Задача 1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B1 C1D1, в котором AB  1, AD 2, AA 2. Точка М – середина диагонали AD1 грани AA1D D1, точка N – середина ребра B 1 C 1 . Найти угол, который образует диагональ параллелепипеда BD с а) прямой A D1, б) прямой MN. Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке B, как показано на рисунке. Определяем координаты точек B1, D, A, D 1, M и N и находим координаты векторов B D, AD и MN: 5

Значит прямые MN и BD образуют угол 45o. Замечание В ряде задач угол между прямыми в пространстве все же удобнее находить как равный ему угол треугольника, который образуется при параллельном переносе одной прямой до пересечения с другой. Задачи для самостоятельного решения 6

II. Угол между прямой и плоскостью 1) Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. 2) Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90o. 3) Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0. 4) Угол между прямой p и плоскостью α можно вычислить по формуле, где N {x1;y1;z1} – вектор нормали плоскости α, p{x2;y2;z2} – направляющий вектор прямой p. Прямая p и плоскость α параллельны тогда и только тогда, когда x1x2+y1y2+z1z2=0 Задача 2 В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между прямыми AD1 и плоскостью α, проходящей через точки A1, E, F, где точка E - середина ребра C1D1, а точка F лежит на ребре DD1, так, что D1F=2DF Решение Пусть n = {x,y,z} - вектор, перпендикулярный плоскости α, -искомый угол, где синус угла равен: 7

Вектор n найдем из условий перпендикулярности этого вектора векторам A1E и A1F, т.е. из условий. AD1=√2 Ответ: sin−1 √558. Задачи для самостоятельного решения 8

III.Угол между двумя плоскостями. 1. Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. 2. Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0,180). 3. Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0,90] 4. Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0. 5. Применение здесь векторно-координатного метода позволяет свести решение исходной задачи к задаче о нахождении угла: а) между векторами нормалей данных плоскостей б) между направляющими векторами скрещивающихся прямых a и b, лежащих в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярных к их линии пересечения Порядок решения таких задач: Пусть плоскость ABC задается точками A, B, C, а плоскость KLM точками K,L,M. 1. Находим координаты точек A, B, C, . 2. Находим уравнение плоскости ABC. Для этого координаты точек A, B, C подставляем в уравнение плоскости ABC : . Получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, находим коэффициенты . Коэффициенты в уравнении плоскости являются координатами вектора нормали к плоскости : 3. Находим координаты точек 4. Находим уравнение плоскости . Для этого координаты точек подставляем в уравнение плоскости : Получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, находим коэффициенты . Коэффициенты в уравнении плоскости являются координатами вектора нормали к плоскости : 9

5. Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле: Задача 3 Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Точка М – середина ребра AB, точка K – середина ребра DD1.Найти угол между плоскостями AKB1 и KMC. Введем прямоугольную систему ко1 ординат, поместив начало координат в точку A . Составим уравнение плоскости AKB 1. Пусть оно имеет вид ax + by + cz + d = 0. Точка A0;0;0принадлежит этой плоскости, следовательно d=0.Подставим координаты точек K(0;1;12) и B(1;0;1) в уравнение при d=0.Получим с 2 + ������ = 0 ������ + ������ = 0 Таким образом ������ = ������ , ������ = −������, и уравнение принимает вид 2 – ������������ − ������ ������ + ������������ = на c и умножая на (-2), приведем 2 0.Сокращая уравнение к виду 2������ + ������ − 2������ = 0. Составим уравнение плоскости KMC.Пусть она имеет вид ax1 + by1 + cz1 + d1 = 0. Подставляем координаты точек K(0;1;1), M (1 ; 0; 0); C (1;1;0), 22 получаем систему 10

Вычтя из третьего уравнение второе, будем иметь ������1 + ������1 = 0, т.е. ������1 = −������1; Из второго уравнения следует ������1 = −������1;тогда из 2 2 2 первого уравнения получим ������1 = 2������1.Уравнение принимает вид Итак, и угол между плоскостями AKB1 и KMC находим из равенства Заметим, что для определения угла между плоскостями координатным способом построение сечений не предусматривается. На рис. сечения изображены для полноты картины. ▲ Задачи для самостоятельного решения 11

12

IV. Расстояние между двумя точками Расстояние между точками A и B есть длина отрезка AB находится по формуле: AB =√(������b − Xa)2 + (Yb − Ya)2 + (Zb − Za)2 , где A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) Задача 4. Найти расстояние между точками A (-1, 3, 3) и B (6, 2, -2). Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой AB = √(������������ − ������������)2 + (������������ − ������������)2 + (������������ − ������������) 2= =√(6 − (−1))2 + (2 − 3)2 + (−2 − 3)2 = √72 + 12 + 52 = √75 = 5√3 Ответ: AB =5√3. Задачи для самостоятельного решения. Найти расстояние между точками A(-1, 3) и B(6,2). Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2). Найти длину отрезка FK в пространстве, если координаты точек его концов таковы: (−1;−1;8) и (−3;6;0 ) . V. Расстояние от точки до прямой 13

1. Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. 2. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. 3. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой. Задача 5. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки D1 до прямой РQ, где Р и Q – середины соответственно ребер A1B1 и ВС. Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке A. Найдем координаты точек P(0; 0,5;1),Q( 0,5; 1; 0),D1( 1; 0; 1). Из треугольника D1PQ, используя формулу Находим Ответ:√11274 Задачи для самостоятельного решения 14

VI. Расстояние от точки до плоскости 15

1) Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. 2) Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра. 3) Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. 4) Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра. 5) Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью. Также расстояние от точки M(x0,y0,z0) до плоскости α, заданной уравнением ax+by+cz+d=0, можно вычислить по формуле Задача 5 В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки A1 до плоскости BDC1 Решение Составим уравнение плоскости, проходящей через точки B(0;1;0), D(1;0;0) и С1(1;1;1). Для этого подставим координаты этих точек в общее уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0. Получим систему уравнений . Отсюда имеем уравнение −dx − dy + dz + d = 0 или ������ + ������ − ������ − 1 = 0 по формуле находим расстояние от точки A1(0;0;1) до плоскости Ответ:2√3 3 16

Задачи для самостоятельного решения 17

4.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ (БАНК ЗАДАНИЙ) 1.В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD. а) Докажите, что точка T является серединой SM. б) Найдите расстояние между NT и SC. Ответ:√15 5 2. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC1A1 является квадратом. а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7. Ответ:14√2 9 3.В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и BC=5 корень из 3 . Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10. а) Докажите, что SA — высота пирамиды. б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC. Ответ:60 13 4. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра AC, точка O центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды. а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS. 18

б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP. Ответ:2 5. В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 построена плоскость α, параллельная прямой BD1. а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1. б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C. Ответ:������������������������������ √17⁄3 6. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно. а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1. Ответ :������������������������������������√3 8 7. а) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что все грани тетраэдра ACB1D1 — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равноправным). б) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью A1BC и прямой BC1, если AA1 = 8, AB = 6, BC = 15. Ответ:������������������������������������ 24 85 8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны AB = 2, AD = AA1 = 1. а) Пусть B1E — высота треугольника BB1C1. Докажите, что AE — проекция AB1 на плоскость ABC1. 19

б) Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1. Ответ:������������������������������������ 1 √10 9. В правильном тетраэдре ABCD М — середина ребра AD. а) Докажите, что проекция точки M на плоскость BCD делит высоту DN треугольника BCD в отношении 1 : 2, считая от вершины D. б) Найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD. Ответ:������������������������������������ √3 7 10. В правильном тетраэдре ABCD проведена высота DH. K — середина отрезка CH. BM — медиана боковой грани BCD. а) Докажите, что угол между DH и BM равен углу BMK. б) Найдите угол между DH и BM. Ответ:������������������������������������ √2 3 11. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона АВ основания равна 8, а боковое ребро АА1 равно 7. На ребре СС1 отмечена точка М, причем СМ = 1. а) Точки О и О1 — центры окружностей, описанных около треугольников АВС и А1В1С1 соответственно. Докажите, что прямая ОО1 содержит точку пересечения медиан треугольника АВМ. б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости АВМ. Ответ:4√3 12. Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно. а) Докажите, что прямая BQ перпендикулярна прямой B1P. б) Пусть H — проекция точки Q на прямую B1P. Найдите PH, если AB = 12. 20

Ответ:10 13.В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 4 и диагональю BD = 7. Все боковые рёбра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3. а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB . б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC. Ответ:2√15 7 13. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 5, AA1 = 5, AD = 3. а) Докажите, что прямые A1B и B1D перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми A1B и B1D. Ответ:15√118 118 14. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. а) Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости ВЕD1. б) Найдите расстояние между прямыми ЕD1 и FE1. Ответ:√21 7 5.Заключение 21

Проделав огромную работу, могу с уверенностью сказать, что задачи по стереометрии решать координатным способом намного легче. Следует отметить, что в ходе выполнения работы были рассмотрены задания и их решения, изучены различные источники, включая интернет - ресурсы. В работе были рассмотрены различные типы задач, которые чаще всего встречаются на ЕГЭ Целью работы было ознакомление с координатным методами решения и его применение. По моему мнению, цель достигнута, все задачи выполнены. 6.Использованная литература 1. Потоскуев Е.В Векторно-координатный метод решения задач по стереометрии 2. Смирнов В. А. Координатный метод в пространстве 3. Т,С Пиголкина Стереометрия 4. Сайт РЕШУ ЕГЭ 5. Смирнова И.М. Смирнов В.А. Геометрия 10-11 класс: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2003 22