การทดลองสุ่ม. ความน่าจะเป็น. E5

ความน่าจะเปน และ กฎทสี าคญั บางประการของความน่าจะเปน ความน่าจะเป็น กกาฎรททีด่สลำองคสัุ่มญบางประการ ปรขิภอูมงติ วัคอวย่าางมน่าจะเป็น เหตุการณ์ ความน่าจะเปน กฎทสี าคญั บางประการของความน่าจะเปน Home

ความน่าจะเปน และ กฎทสี าคญั บางประการของความน่าจะเปน การทดลองสุ่ม ปริภูมติ วั อย่าง เหตุการณ์ ความน่าจะเปน กฎทสี าคญั บางประการของความน่าจะเปน Home

การทดลองสุ่ม (Random Experiment) นก รท ดลก ต๋ ลก นง ผลลพธท์ น่ น จค ตม้ บน น้ ท ง ยขน ดงนน ผลลพธ์ท ปน ป ด้ ค ด้ ตม้ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ร 6 ต่ ม่ ม รถบ ก ด้ ่ ม ท ดลก ต๋ ลก นง ล้ จ ด้ ตม้ ด นก ร ยน รยญ นง นบนพนร บ ผลลพธท์ ปน ป ด้ ค ด้ นท ง ยขน ปนด้ น ร ก้ ย ต่ ม่ ม รถบ กล่ ง น้ ด้ ่ นก ร ยนครงนจ ดผ้ ลลพธ์ ปน ร ก รกร ท ดงกล่ รยก ่ การทดลองสุ่ม (Random Experiment) Home

การทดลองสุ่ม ม ยถง ก รทดล ง ร ก รกร ท ด ซงทร บ ่ ผลลพธ์ จจ ปน ร ดบ้ ้ ง ต่ ม่ ม รถบ ก ด้ ย่ งถกต้ ง น่น น ่ น ต่ล ครงททดล งผลท กดขนจ ปน ร นบรรด ผลลพธ์ ท จ ปน ป ด้ ล่ น Home

ตวั อย่างที 21 ก ร ยน รยญ 2 รยญ พร้ มกน จ ปนก รทดล ง ่ม พร ่ ผลลพธ์ท ปน ป ด้ ขยน ทน ดด้ ้ ย ค่ นดบ ( , ) , (ก้ ย, ) , ( ,ก้ ย) ล (ก้ ย,ก้ ย) ร กาหนดให้ H ทน ก ร ก T ทน ก ร กก้ ย จ ดค้ ่ นดบ (H,H),(H,T),(T,H) ล (T,T) Home

ปริภูมิตวั อย่าง (Sample space) ปริภูมิตัวอย่าง หรือ แซมเปิ ลสเปซ (Sample space) ม ยถง ซตข งผลลพธ์ทง มดท ปน ป ดจ้ กก รทดล ง ่ม ต่ล ม ชกข งปรภมต ย่ ง ร ผลก รทดล ง รยก ่ จุดตวั อย่าง (Sample point หรือ Outcome) Home

ตัวอย่างที 22 นก ร ยน รยญ 1 น ผลท กดขน ปน ร ก้ ย ปรภมต ย่ งข งก ร ยน รยญ 1 รยญ ค S = { , ก้ ย } ร ้ H ทน ก ร ก T ทน ก ร กก้ ย จ ด้ ่ S = { H , T } จดต ย่ งค H ล T Home

ในการทดลองสุ่มครังหนึง อาจจะมีปริภูมติ วั อย่างได้มากกว่าหนึงแบบกได้ ทงั นีขนึ อยู่กบั ผลลพั ธ์ทสี นใจ ดงั ตวั อย่างต่อไปนี Home

ตวั อย่างที 23 ก ร ยน รยญ 2 รยญพร้ มกน ถ้ ผลลพธท์ น จ ค ก รขน น้ ข ง รยญทปร กฏ ล ้ S1 ทนปรภมต ย่ งข งก รทดล งน จ ด้ S1 H, H , H,T , T, H , T,T ต่ถ้ น จผลลพธท์ ปนจ น น รยญทขน ล ้ S2 ทน ปรภมต ย่ งข งก รทดล งน จ ด้ S2 = { 0 , 1 ,2 } ภาพประกอบ Home

S1 S2 H (H,H) H (H,H2) H H T (H,T) ((HT,,HT11)) T H (T,H) H T T (T,T) T T (T,T)0 กลบั

ตวั อย่างที 24 จง ขยนปรภมต ย่ งข งก รท ดลก ต๋ 2 ลก พร้ มกน 1 ครง ดยท 1) น จผลลพธ์ท ปน ตม้ ข งลก ต๋ ทง งลก 2) น จผลลพธท์ ปนผลบ กข ง ตม้ บน น้ ลก ต๋ ทง งลก Home

วธิ ีทา 1) ้ S1 ทนปรภมต ย่ งข งก รท ดลก ต๋ 2 ลก ดย น จผลลพธ์ท ปน ตม้ ข งลก ต๋ ทง งลก จ ด้ S1 = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } Home

2) ให้ S2 แทนปริภูมติ วั อย่างของการทอดลกู เต๋า 2 ลกู โดยสนใจผลลพั ธ์ทเี ปนผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทงั สองลูก จะได้ S2 = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 23 4 5 6 7 S1 = { (1,1) , (1,2) ,(1,3 ), (1,4) , (1,5) , (1,6) , 8 (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), 9 (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , 10 (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } 11 12 Home

เหตุการณ์ (Event) เหตุการณ์ (Event) คอื สับเซตของปริภูมติ วั อย่าง Home

ช่น ถ้ ปรภมต ย่ งข งก รท ดลก ต๋ 2 ลก ค S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6), (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6), (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6), (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } Home

้ E1 ทน ซตข ง ตก รณ์ท ตม้ ข งลก ต๋ ทง ง ปนจ น นค จ ด้ E1 = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)} ้ E1 ทน ซตข ง ตก รณ์ท ตม้ ข งลก ต๋ ทง ง ปนจ น นค จ ด้ E1 = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)} ้ E2 ทSน=ซ{ต(ข1,1ง) , ต(1ก,2)รณ, (์ท1,ผ3ล) บ, (1ก,4ข) ,ง(1,ต5ม้) บ, (น1,6น),้ ลก ต๋ ทง ง ปน 5 จ ด้ E2 = {(1,4(2),(14),1,)(,2(2,2,3) ),,(32,23)}, (2,4) , (2,5) , (2,6), ้ E3 ทน ซต(ข3,1ง) , (ต3ก,2)ร,ณ(์ท3,ผ3)ล,บ(3ก,4ข) ,ง(3,ต5ม)้ ,บ(น3,6)น, ้ ลก ต๋ ทง ง ปน 20 จ ด้ E3 = (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6), (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } Home

้ E2 ทน ซตข ง ตก รณ์ทผลบ กข ง ตม้ บน น้ ลก ต๋ ทง ง ปน 5 จ ด้ E2 = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} 5 S1 = { (1,1) , (1,2) ,(1,3 ), (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } Home

้ E3 ทน ซตข ง ตก รณ์ทผลบ กข ง ตม้ บน น้ ลก ต๋ ทง ง ปน 20 จ ด้ E3 = Home

ตวั อย่างที 25 ก ร ยน รยญ นง รยญกบก รท ดลก ต๋ นงลกพร้ มกน จง 1) ตก รณ์ท รยญ กก้ ย ล ลก ต๋ ขน ตม้ ปน ลขค 2) ตก รณ์ทลก ต๋ ขน ตม้ ปนจ น นท รด้ ย 3 ลงต 3) ตก รณ์ท รยญ ก ล ลก ต๋ ขน ตม้ ปนจ น นค่ Home

วธิ ีทา 1) ้ E1 ทน ตก รณ์ท รยญ กก้ ย ล ลก ต๋ ขน ตม้ ปนจ น นค E1 = {(T,1), (T,3), (T,5)} อธบาย 2) ้ E2 ทน ตก รณ์ทลก ต๋ ขน ตม้ ปนจ น นท รด้ ย 3 ลงต E2 = {(H,3), (H,6), (T,3), (T,6)} อธบาย 3) ้ E3 ทน ตก รณ์ท รยญ ก ล ลก ต๋ ขน ตม้ ปนจ น นค่ E3 = {(H,2), (H,4), (H,6)} อธบาย Home

1 (H,1) 2 (H,2) วธิ ีคดิ ข้อ 1 H 3 (H,3) 4 (H,4) 5 (H,5) 6 (H,6) 1 (T,1) 2 (T,2) 3 (T,3) T 4 (T,4) 5 (T,5) 6 (T,6) กลบั

1 (H,1) 2 (H,2) H3 (H,3) วธิ ีคดิ ข้อ 2 4 (H,4) 5 (H,5) 6 (H,6) 1 (T,1) 2 (T,2) T 3 (T,3) 4 (T,4) 5 (T,5) 6 (T,6) กลบั

1 (H,1) 2 (H,2) H 3 (H,3) วธิ ีคดิ ข้อ 3 4 (H,4) 5 (H,5) 6 (H,6) 1 (T,1) 2 (T,2) T 3 (T,3) 4 (T,4) 5 (T,5) 6 (T,6) กลบั

ตวั อย่างที 26 กล่ ง บ นงมลกบ ล ข 3 ลก ดง 2 ลก ยบลกบ ลจ กกล่ ง พร้ มกน 2 ลก จง 1)ปรภมต ย่ ง ม น จ ข งลกบ ล ล ตก รณ์ทจ ดล้ กบ ล ข 2) ปรภมต ย่ ง ม น จลกบ ลทจ ยบ ล ตก รณ์ทจ ด้ ลกบ ล ข 1 ลก ล ดง 1 ลก Home

วธิ ีทา 1) จง ปรภมต ย่ ง ม น จ ข งลกบ ล ล ตก รณ์ทจ ดล้ กบ ล ข วธิ ีทา ้ S1 ทนปรภมต ย่ ง ม น จ ข งลกบ ล ล E1 ทน ตก รณ์ทจ ดล้ กบ ล ข จ ด้ S1 = {ข กบข , ข กบ ดง , ดงกบ ดง} ล E1 = {ข กบข , ข กบ ดง} Home

2) จง ปรภมต ย่ ง ม น จลกบ ลทจ ยบ ล ตก รณ์ทจ ดล้ กบ ล ข 1 ลก ล ดง 1 ลก วธิ ีทา ้ S2 ทนปรภมต ย่ ง ม น จลกบ ลท ยบ E2 ทน ตก รณ์ทจ ดล้ กบ ล ข 1 ลก ล ดง 1 ลก น งจ กก รทดล ง ่มน น จลกบ ล ต่ล ลกท ยบ ดังนัน ้ W1 , W2 , W3 ปนลกบ ล ข 3 ลก ล R1 , R2 ปนลกบ ล ดง 2 ลก จ ด้ S2 = {W1W2 , W1W3 , W1R1 , W1R2 , W2W3 , W2R1 , W2R2 , W3R1 ,W3R2 , R1R2} E2 ={W1R1 , W1R2 , W2R1 , W2R2 , W3R1 , W3R2} Home

W2 W1W2 W1W3 W1 W3 W1R1 R1 W1R2 W2W1 R2 W2W3 W2R1 W1 W2R2 W3W1 W2 W3 W3W2 R1 W3R1 W3R2 R2 R1R2 W1 W3 W2 R1 R2 R1 R2 Home

ปรภมต ย่ ง ล ตก รณ์ต่ งก ปน ซต นทน กภพ มพทธ์ ค ปรภมต ย่ ง ล ตก รณ์ ปน บ ซต ก รพจ รณ ย นยนข ง ตก รณ์ น ต ร์ ซกชนข ง ตก รณ์ ล ค มพล มนตข์ ง ตก รณ์ ม รถท ช่น ดย กบ ร ง ซต ้ S ปนปรภมต ย่ ง ล ้ A ล B ปน ตก รณ์ ง ตก รณ์ A B ปน ตก รณ์ซงปร ก บด้ ย ม ชกข ง ตก รณ์ A ร ข ง ตก รณ์ B ร ข งทง ง ตก รณ์นนค A B x|x A x B Home

A B ปน ตก รณ์ซงปร ก บด้ ย ม ชกท ยท่ ง น ตก รณ์ A ล ตก รณ์ B นนค A B x|x A x B ถ้ A B ล้ จ รยก ตก รณ์ A ล B ่ เหตุการณ์ทไี ม่เกดิ ร่วมกนั ( Mutually exclusive events) A ปน ตก รณ์ทปร ก บด้ ย ม ชกท ย่ นปรภมต ย่ ง S ต่ ม่ ย่ น ตก รณ์ A นนค A x | x S x A Home

ตวั อย่างที 27 นก รท ดลก ต๋ 2 ลกพร้ มกน ถ้ ผลลพธท์ น จค ผลร มข ง ตม้ บนลก ต๋ ทง ง ล ้ A ทน ตก รณ์ทผลร มข ง ตม้ ปนจ น นค B ทน ตก รณ์ทผลร มข ง ตม้ ปนจ น นท รด้ ย 3 ลงต C ทน ตก รณ์ทผลร มข ง ตม้ ท่ กบ 6 D ทน ตก รณ์ทผลร มข ง ตม้ ปนจ น นท รด้ ย 4 ลงต Home

จง 1) A B 2) B C 3) C D 4) B C 5) D ปรภมต ย่ ง A ทน ตก รณ์ทผลร มข ง ตม้ S 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12 ปนจ น นค A 3,5, 7,9,11 B ทน ตก รณ์ทผลร มข ง ตม้ ปนจ น นท รด้ ย 3 ลงต B 3, 6,9,12 C ทน ตก รณ์ทผลร มข ง ตม้ ท่ กบ 6 C6 D ทน ตก รณ์ทผลร มข ง ตม้ D 4,8,12 ปนจ น นท รด้ ย 4 ลงต Home

1) A B 3,5,6,7,9,11,12 S 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12 2) B C 3,6,9,12 A 3,5, 7,9,11 3) C D B 3, 6,9,12 4) B C 6 C6 5) D 2,3,5,6,7,9,10,11 D 4,8,12 Home

ความน่าจะเปน (Probability) พจ รณ ก รทดล ง ่มต่ ปน ยบลกบ ล 1 ลก จ กกล่ งทมลกบ ล ดง 2 ลก ล ลกบ ล ข 5 ลก ปรภมต ย่ งปร ก บด้ ย ม ชก 7 ต ล ตก รณ์ทจ ยบลกบ ล ดงปร ก บด้ ย ม ชก 2 ต ก ทจ ยบลกบ ลลก ดลก นงม ท่ กน นก รค น ณ ก ก ร กด ตก รณ์ดงกล่ จ กดขนม กน้ ย พยง ด ดจ้ ก ตร ่ นร ่ ง จ น น ม ชกข ง ตก รณ์ต่ จ น น ม ชกข งปรภมต ย่ ง ตร ่ นท ดจ้ รยก ่ ความน่าจะเปน (Probability) ของเหตุการณ์ Home

บทนิยามที 4 ถ้ S ทนปรภมต ย่ งข งก รทดล ง ่ม ย่ ง นง ซง ต่ล จดต ย่ งข งก รทดล งม ก กดขน ท่ กน ล E ทน ตก รณ์ค มน่ จ ปนข ง ตก รณ์ E ขยน ทนด้ ย P(E) ซง PE nE nS ม n(E) ทนจ น น ม ชก น ตก รณ์ E n(S) ทนจ น น ม ชก นปรภมต ย่ ง S Home

สมบตั ขิ องความน่าจะเปน 1. ค มน่ จ ปนข ง ตก รณ์ E ด จ มค่ ตง ต่ 0 ถง 1 ม นนค 0 P E 1 P(E) = 0 ม ยค ม ่ ตก รณ์ E ม่ม ก กดขน ลย P(E) = 1 ม ยค ม ่ ตก รณ์ E จ กดขน ย่ ง น่น น 2. ค มน่ จ ปนข งปรภมต ย่ ง S มค่ ท่ กบ 1 นนค P(S) = 1 3. ค มน่ จ ปนข ง ตก รณ์ท ปน ซต ่ งมค่ ท่ กบ 0 นนค P 0 Home

ตวั อย่างที 28 นก รท ดลก ต๋ นงลก 2 ครง จง ค มน่ จ ปนทผลร มข ง ตม้ จ กก รท ดลก ต๋ 2 ครง ท่ กบ 6 วธิ ีทา ้ S ทนปรภมต ย่ ง ล E ทน ตก รณ์ทจ ดผ้ ลร มข ง ตม้ จ กก รท ดลก ต๋ 2 ครง ท่ กบ 6 Home

S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) ,6(1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6), (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6), (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } ล E = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} ดังนัน P(E) 5 36 Home

กฎทสี าคญั บางประการของความน่าจะเปน ้ S ปนปรภมต ย่ ง ซง ปน ซตจ กด ล A, B ปน ตก รณ์ ด กฎข้อที 1 P A B P A P B P A B กฎข้อที 2 ถ้ A B ล้ P A B P A P B กฎข้อที 3 P A 1 PA กฎข้อที 4 P A B P A P A B Home

ตัวอย่างที 29 นก รท ดลก ต๋ 2 ลกพร้ มกน จงหา 1) ค มน่ จ ปนข ง ตก รณ์ทลก ต๋ ทง งลกจ ขน น้ ม นกน ร ผลร มข ง ตม้ ม กก ่ 10 2) ค มน่ จ ปนข ง ตก รณ์ทลก ต๋ ทง งลกจ ขน น้ ม นกน ร ผลร มข ง ตม้ ท่ กบ 7 3) ค มน่ จ ปนข ง ตก รณ์ทลก ต๋ ทง งลกจ ขน น้ ม่ ม นกน 4) ค มน่ จ ปนข ง ตก รณ์ทลก ต๋ ทง งลกจ ขน น้ ม นกน ต่ผลร มข ง ตม้ ม่ม กก ่ 10 Home

วธิ ีทา ้ S ทนปรภมต ย่ ง A ทน ตก รณ์ทลก ต๋ ทง งลกจ ขน น้ ม นกน B ทน ตก รณ์ทผลร มข ง ตม้ ท่ กบ 7 C ทน ตก รณ์ทผลร มข ง ตม้ ม กก ่ 10 S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } Home

A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) } C = {(5,6), (6,5), (6,6) } ดังนัน PA 61 36 6 PB 6 1 36 6 PC 31 36 12 Home

ธท 1. ค มน่ จ ปนข ง ตก รณ์ทลก ต๋ ทง งลกจ ขน น้ ม นกน ร ผลร มข ง ตม้ ม กก ่ 10 ค PA C PA PC PA C น งจ ก A C { 6,6 } จง ด้ ่ P A C 1 36 ดังนัน PA C 1 1 1 2 6 12 36 9 Home

ธท 2. ค มน่ จ ปนข ง ตก รณ์ทลก ต๋ ทง งลกจ ขน น้ ม นกน ร ผลร มข ง ตม้ ท่ กบ 7 ค PA B น งจ ก A B จง ด้ ่ 11 1 66 3 ดงนน P A B PA PB Home

ธท 3) ค มน่ จ ปนข ง ตก รณ์ทลก ต๋ ทง งลก จ ขน น้ ม่ ม นกน 1 5 6 6 ค A ล PA 1 PA 1 ดงั นัน ค มน่ จ ปนข ง ตก รณ์ทลก ต๋ ทง งลก จ ขน น้ ม่ ม นกน ท่ กบ 5 6 Home

ตัวอย่างที 30 ข้ รบรรจถง ล้ ก ง นงปร ก บด้ ย ข้ มม ล 4 ถง ข้ ้ 3 ถง ข้ ข ต ง้ 2 ถง ล ข้ บ ม ต 1 ถง ค มน่ จ ปนทจ ดข้ ้ ครบทกชนด ท่ กบข้ ดต่ ปน ( ข้อสอบ PAT 1 ครังที 1/2552) ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 45 35 35 Home

ธท ข้ ม 4 ชนด ่ม ยบ 4 ถง ้ ดค้ รบทกชนด จ ต้ ง ยบข้ ชนดล 1 ถง ด้ 4 3 2 1 1111 4 3 21 24 ธ จ น น ธ ่ม ยบข้ ชนด ดก ด้ 4 ถง 10 4 10! 10 4 !4! 10 9 8 7 6! 210 ธ 6! 4 3 2 1 ดงั นัน ค มน่ จ ปนทจ ่ม ยบข้ 4 ถง ดข้ ้ ครบทกชนด 24 4 210 35 Home