เมทริกซ์Math. Book

ผลงานเล่มแรกของผเู้ ขยี นตะลยุ ขอ้ สอบ Hi-Speed Math / O-NET สนทนา * เน้อื หาตามหลกั สูตรใหม่ครบทุกบทเรยี น ม.4-5-6 * โจทยแ์ บบฝกึ หดั เตรยี มความพร้อมกวา่ 2,000 ข้อ * ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลยั 19 ปี 36 ฉบบั (2541 – 2559) * พร้อมเฉลยคําตอบ วธิ คี ดิ และเรอื่ งที่น่ารอู้ กี มากมาย.. เหมาะสําหรบั เตรียมสอบประจําภาค ม.4-5-6 สอบโควตารบั ตรง และสอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั Release 2.6.4เซต ตรรกศาสตร/์ การให้เหตผุ ล เมทริกซ์ระบบจํานวนจริง/ทฤษฎีจาํ นวน เรขาคณิตวเิ คราะห์ ความสัมพนั ธ์/ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติ เอกซโ์ พเนนเชยี ล/ลอการทิ มึ เมทรกิ ซ์ เวกเตอร์ จํานวนเชิงซ้อน ลาํ ดบั /อนกุ รม แคลคูลัส ความนา่ จะเปน็ สถติ ิ กาํ หนดการเชิงเสน้ ทฤษฎกี ราฟ คณิต มงคลพทิ กั ษส์ ุข [email protected] http://kanuay.com วศ.บ. ไฟฟา้ จุฬาฯ (เกยี รตนิ ิยม) facebook.com/groups/MathHubb

(บทท่ี ๕–๑๖ นาํ มาจาก R2.2.04 และจะทยอยปรบั ปรุงเนอื้ หาทลี ะบท จนเปน็ R2.9 ฉบบั สมบรู ณค์ รบั ) [m t r x] ๘บทท่ี เมทรกิ ซ์ เมทริกซ์ (Matrix) เป็นกลุม่ ของจาํ นวนทเี่ รยี งกัน เปน็ รูปสเี่ หลยี่ ม ภายในเคร่ืองหมายวงเลบ็ ( ) หรอื [ ] โดยเรยี กจาํ นวนแตล่ ะจํานวนท่อี ยู่ในเมทริกซ์ว่า สมาชิก (Entry) ในเบ้ืองตน้ เราศกึ ษาเร่ืองเมทรกิ ซเ์ พื่อ ใช้ชว่ ยในการแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ หลายตัวแปร ซงึ่ จะไดอ้ ธบิ ายไวใ้ นหัวข้อสดุ ทา้ ยของบทน้ี และในขน้ั สูงยังพบวา่ ความร้เู รอ่ื งเมทรกิ ซถ์ กู นาํ ไปใช้ในทางวศิ วกรรมหลาย สาขา รวมถงึ ดา้ นคอมพิวเตอร์ และเศรษฐศาสตร์ เนอื่ งจากการแปลง ปัญหาใหอ้ ยู่ในรูปเมทรกิ ซ์นนั้ มีความเป็นระเบียบ เป็นขนั้ ตอนชัดเจน และ สามารถปอ้ นเข้าสู่เครอื่ งคาํ นวณเพอ่ื ใหช้ ่วยแก้ได้อยา่ งรวดเรว็ ดว้ ย ลกั ษณะของ ตวั อยา่ งเมทริกซ์ เช่น 75 10 2 , 34 เมทริกซ์ 22 6 0, 52 ขนาดของเมทริกซ์ เรียกวา่ มิติ (Dimension) (คดิ จากจํานวน แถว; row คณู ดว้ ย หลกั ; column) ในตวั อย่างเป็นเมทริกซท์ ่มี ีมติ ิ 3 2, 1 3, 2 2 ตามลาํ ดบั เมทรกิ ซส์ องเมทริกซ์ จะเท่ากนั ไดก้ ต็ ่อเมอื่ “มมี ติ ิเดยี วกนั ” (แปลวา่ ขนาด เท่ากัน) และสมาชกิ ในตําแหน่งเดียวกันต้องมีคา่ เทา่ กนั ทุกคู่ การเรยี กช่ือเมทริกซ์นิยมใช้ตวั พมิ พใ์ หญ่ เชน่ A, B, C และอาจเขียนมิติ กาํ กบั เป็นตวั หอ้ ยไว้ เช่น A3 2, B1 3, C2 2 โดยจะเรยี กชือ่ สมาชกิ เป็นตวั พิมพ์เล็ก ทมี่ ีตัวห้อยบอกตําแหน่งแถวและหลกั ในรูป aij (แถวที่ i และหลักที่ j) เช่น ถ้า A a11 a12 B b11 b12 b13 a21 a22 a31 a32 จะได้ a11 7 a21 6 b13 2

บทที่ ๘ 296 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 เพือ่ หลกี เล่ียงการเขา้ ใจผดิ หากจาํ นวนแถวหรือจํานวนหลักเท่ากับ 10 ขึน้ ไป จะไม่เขียนตาํ แหนง่ เปน็ ตัวหอ้ ย แตจ่ ะเขยี นคา่ i และ j กาํ กบั ไวด้ า้ นหลงั เชน่ aij, i 2, j 11 ทรานสโพส (เมทรกิ ซ์สลับเปลยี่ น; Transpose) ของเมทรกิ ซ์ A ใชส้ ญั ลกั ษณ์ At หรือ AT ได้จากการเปลี่ยนแถวเป็นหลกั เปลย่ี นหลักเปน็ แถว เช่น ถา้ A 75 76 5 50 2 6 0 จะได้ At 52 ดงั น้นั เมทรกิ ซ์มติ ิ m n เม่อื ทาํ การทรานสโพสจะกลายเป็นเมทริกซม์ ิติ n m เมทริกซ์ทค่ี วรรูจ้ กั 1. เมทริกซ์จัตุรัส (Square Matrix) คือเมทริกซ์ทมี่ จี าํ นวนแถวเท่ากับ จํานวนหลัก หรือเมทริกซท์ ม่ี ี n หลกั และ n แถว ( n n) น่ันเอง เรียกสมาชกิ ทีอ่ ยู่ ในแนว 11, 22, 33, ..จนถึง nn วา่ เสน้ ทแยงมุมหลกั (Main Diagonal) และ สมาชิกตัวอื่นทีเ่ หลอื จะเรยี งตัวเปน็ รูปสามเหลีย่ ม เรยี กว่า สามเหลีย่ มบน (Upper Triangle) และ สามเหลี่ยมลา่ ง (Lower Triangle) 5 11 20 62 1 1 122 31 2 30 1 33 2. เมทรกิ ซ์ศูนย์ (Zero Matrix; 0 ) คอื เมทริกซ์ทส่ี มาชิกทุกตวั เปน็ เลข 0 (จัตุรสั หรือไม่กไ็ ด้) 0 0 000 000 0 000 000 000 3. เมทริกซ์หนึ่งหนว่ ย (Unit Matrix; I) คอื เมทรกิ ซ์จัตุรัส ท่มี สี มาชกิ ในแนวเส้น ทแยงมุมหลกั เปน็ 1 และสมาชกิ ตัวอน่ื ทีเ่ หลอื ทัง้ หมดเปน็ 0 อาจเขียนขนาดกํากบั เป็นตวั หอ้ ยเพียง 1 ตวั I1 1 I2 10 100 01 I3 0 1 0 00 1 ๘.๑ การบวก ลบ และคูณเมทรกิ ซ์ การบวกกันของเมทริกซค์ หู่ นงึ่ ทาํ ได้กต็ ่อเม่ือเมทรกิ ซท์ ั้งสองมมี ติ ิเดยี วกัน ผลบวกทไ่ี ดจ้ ะเปน็ เมทริกซม์ ติ ิเดิม และมีสมาชิกในแต่ละตําแหนง่ เปน็ ผลบวกของ สมาชกิ ตาํ แหน่งเดียวกันนนั้ (สําหรบั การลบกเ็ ชน่ กนั สมาชกิ ของผลลพั ธเ์ กิดจาก การนาํ สมาชิกตาํ แหน่งเดยี วกนั นั้นมาลบกัน) ตวั อยา่ งเช่น

คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ 297 เมทรกิ ซ kanuay.com 1 23 02 1 102 456 3 24 1 3 10 1 23 02 1 1 44 456 3 24 772 เมทรกิ ซ์ท่ีเม่อื นําไปบวกกับเมทรกิ ซ์ A ใด ๆ แล้วไดผ้ ลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ A เชน่ เดิมเสมอ เรียกวา่ เอกลักษณก์ ารบวกของเมทรกิ ซ์ ซึ่งก็คอื เมทริกซ์ 0 น่ันเอง การคูณเมทรกิ ซ์ดว้ ยสเกลาร์ ผลท่ไี ด้จะเป็นการคูณสมาชกิ ทุกตวั ในเมท ริกซ์ ด้วยสเกลารน์ ั้น เช่น 2 1 23 24 6 0 57 0 10 14 สว่ นการคณู เมทริกซค์ หู่ นึ่ง จะเกดิ ไดก้ ต็ อ่ เมื่อ จาํ นวนหลักของตวั ตง้ั เท่ากบั จํานวนแถวของตัวคูณ โดยผลคณู ที่ไดก้ จ็ ะเปน็ เมทรกิ ซ์ท่ีมีจํานวนแถวเท่ากบั ตวั ตั้ง และจํานวนหลกั เทา่ กบั ตวั คูณ หรอื เขยี นงา่ ย ๆ ไดด้ งั น้ี Am n Bn r Cm r วิธกี ารหาสมาชิกแต่ละตัวของผลลพั ธ์ ขอให้สังเกตจากตัวอย่าง โดยยึดแถว ของตวั ตัง้ และหลกั ของตวั คูณ เม่อื A 2 3 ,B 0 1 ,C 132 1 4 3 2 10 2 จะได้ AB 20 33 21 32 98 10 4 3 11 4 2 12 7 BC 0 1 1( 1) 0 3 1 0 0 2 1( 2) 10 2 3 1 2( 1) 3 3 2 0 3 2 2( 2) 192 เมทริกซท์ ่ีเม่ือนําไปคูณกบั เมทริกซ์ A ใด ๆ แล้วได้ผลลัพธเ์ ปน็ เมทรกิ ซ์ A เชน่ เดิมเสมอ เรียกว่าเอกลกั ษณก์ ารคณู ของเมทรกิ ซ์ ซึ่งกค็ อื เมทรกิ ซห์ นง่ึ หนว่ ย I หรือนยิ มเรียกว่า เมทริกซเ์ อกลักษณ์ (Identity Matrix) สมบตั ิของการบวกและการคูณเมทรกิ ซ์ การบวกเมทริกซ์ การคูณด้วยเมทรกิ ซ์ AB BA (A B) C A (B C) AB ไม่จาํ เปน็ ต้องเท่ากับ BA At Bt (A B)t (AB) C A (BC) A0 0A A A (B C) AB AC A ( A) 0 (A B) C AC BC การคูณด้วยสเกลาร์ (AB)t BtAt AI IA A (kA)t k At k1(k2A) k2(k1A) (k1k2) A k(A B) kA kB

บทที่ ๘ 298 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 แบบฝกึ หดั ๘.๑ (1) A 2 3 1 , B 32 ใหห้ าคา่ ของ a11 b22 และ 2a12 3b21 4 0 8 54 i j ,i j (2) ใหเ้ มทรกิ ซ์ A มีมิติ 3 3 โดยที่ aij 1 , i j ใหเ้ ขยี นเมทรกิ ซ์ A น้นั i j ,j i (3) เม่ือ A 24 cosec 30 log 10 4 ถามวา่ A B หรือไม่ 20 1 5 , B 4 25 (4) ถ้า x2 x 1 0 และ A x2 x x2 , B x1 1 แล้ว A B หรอื ไม่ 0 x 0 x2 1 (5) ให้หาคา่ ของ (5.1) 1 3 2 2 6 1 21 0 15 4 12 (5.3) 5 4 3 28 (5.2) 62 15 84 13 (6) A 2 3 , B 01 ให้หา A B, At Bt, (A B)t, A 0 1 4 32 (7) A 2 14 ใหห้ า At, 2A, A 30 1 (8) A a11 a12 , B b11 b12 b13 ใหเ้ ขยี นเมทริกซ์ผลคูณ AB a21 a22 b21 b22 b23 (9) ใหห้ าค่า x, y เม่อื กาํ หนดให้ (9.3) Ax 2 B2 5 C7 y (9.1) A2 5 B5 3 Cx y (9.4) A2 x By 5 C2 5 (9.2) A3 5 Bx y C3 4 (10) A3 2, B2 4 ใหห้ ามติ ิของ AB และ BA (11) A 1 2 ,B 3 0 ใหห้ า AB, BA 1 0 11

คณติ มงคลพทิ ักษสุข 299 เมทริกซ kanuay.com (12) A 1 0 , B 3 4 ใหห้ า AB, BA, (A B)2, A2 2AB B2 4 2 1 5 เนอ่ื งจากโดยสว่ นมากผลคณู AB จะไม่เทา่ กบั BA ดงั น้นั (A B)2 A2 2AB B2 S และไมสามารถแยกตวั ประกอบสมการกาํ ลงั สองได้ เชน่ (A 2B)(3A B) 3A2 7AB 2B2 แตเน่อื งจาก AI เท่ากบั IA เสมอ ดังนน้ั (A 2I)(3A I) 3A2 7A 2I (13) A 2 1 , B 32 ใหห้ า At (B A) 0 3 12 (14) ถา้ 30 1 10 10 C ใหห้ าคา่ c22 2 10 11 42 1 12 23 (15) A 21 ให้หา An 02 (16) กําหนด A xy 2 ,B 2 y ,C 1a ถา้ AB C ให้หาคา่ a 3 z 2 y 01 (17) A 1 2 0 ,B 3x 57 ถา้ AB C ให้หาคา่ x y z 1 0 2 1 y ,C 75 z1 (18) ถ้า X a 0 และ X2 2X I 0 ใหห้ า a, b 0 b (19) A a4 ถา้ A2 4A 5I 0 ใหห้ า a, b 2b (20) A x 1 x2 204 y2 1 3 , B 3 x2 y 0 2 4 ถา้ At A B แล้ว คา่ ของ x, y เปน็ เทา่ ใด 4 42 (21) A 3 7 ,B xy 7 4 เซตของจดุ (x, y) ซึ่งสอดคลอ้ งกบั สมการ BABt 12 มีกราฟเปน็ รปู อะไร

บทที่ ๘ 300 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 ๘.๒ ดเี ทอรม์ นิ นั ต์ ดีเทอร์มนิ ันต์ (ตวั กําหนด; Determinant) เปน็ คณุ สมบตั ิทีม่ อี ยูเ่ ฉพาะใน เมทริกซจ์ ัตุรัสเท่านนั้ และดเี ทอรม์ ินันตม์ คี ่าเป็นจํานวน โดยเมทรกิ ซห์ น่ึงจะคํานวณ ดเี ทอร์มินันตไ์ ด้คา่ เดียวเสมอ สัญลักษณแ์ ทน “ดีเทอรม์ ินนั ต์ของเมทรกิ ซ์ A” คือ A หรอื det (A) วิธีหาดีเทอร์มินันต์ เมทริกซ์ 2 2 เมทริกซ์ 1 1 ถ้า A a ถ้า A ab cd จะไดว้ า่ det (A) a จะได้วา่ det (A) ad bc เมทริกซ์ 3 3 ใช้หลกั “คณู เฉียงลงรวมกัน” ลบดว้ ย “คณู เฉียงขนึ้ รวมกัน” ถ้า A abc gec ahf bdi aei gbf hdc d e f จะได้ว่า det (A) gh i สว่ นเมทริกซ์ n n ใด ๆ จะใช้ วิธโี คแฟกเตอร์ (วธิ นี ใี้ ช้ไดก้ บั ทกุ ขนาด ตง้ั แต่ 2 2 ข้ึนไป) โดยคา่ ของ det (A) น้ันจะเท่ากบั สมาชิก 1 แนว คณู กับ โคแฟกเตอรข์ องแนวนน้ั (ตาํ แหน่งเดยี วกนั คูณกนั แลว้ จงึ รวม) คาํ ว่า “แนว” ในท่นี ้ี หมายถงึ แถวหรือหลกั กไ็ ด้ ไมเนอร์ (Minor) ของเมทริกซ์ A ใช้สญั ลกั ษณว์ า่ Mij (A) คอื คา่ det ของสับเมทริกซ์ (เมทรกิ ซ์ยอ่ ย; Submatrix) ที่ตําแหนง่ น้นั (ตดั แถว ตดั หลกั แล้วหา det) โคแฟกเตอร์ (ตวั ประกอบรว่ มเกี่ยว; Cofactor) ของเมทริกซ์ A ใช้ สญั ลกั ษณว์ ่า Cij (A) หรอื Cof (A) คอื ค่าไมเนอร์ Mij (A) ท่ีนํามาใส่เครอ่ื งหมาย บวกหรือลบ สลับกนั ตามรูปแบบ Cij ( 1)i j Mij (ตาํ แหนง่ แรกสุดใส่บวก แล้วเติมเครือ่ งหมายบวกลบสลับกนั ไป) ตวั อย่างเชน่ ตอ้ งการหาเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ของ A 21 1 20 1 เริ่มจากหาคา่ ตวั เลขไมเนอรใ์ ห้ครบทกุ ตาํ แหนง่ 50 8 M11 01 0, M12 21 11, ..., M33 21 2 08 58 20 M (A) 0 11 0 และจะได้ C (A) 0 11 0 8 21 5 8 21 ( 5) 14 2 1 4 ( 2)

คณติ มงคลพิทักษสขุ 301 เมทรกิ ซ kanuay.com จากเมทริกซโ์ คแฟกเตอร์ท่ีได้ ทําให้หาค่า det (A) ไดด้ งั น้ี det (A) 20 1 ( 11) ( 1) 0 11 (คดิ จากแถวท่ี 1) det (A) 51 0 ( 4) 8 ( 2) 11 (คดิ จากแถวที่ 3) det (A) 1 ( 11) 0 21 0 ( 4) 11 (คดิ จากหลักท่ี 2) จะเหน็ ได้ว่า ไม่ว่าจะคิดจากแถวหรอื หลักใดก็จะได้ค่า det (A) เท่าเดิม เสมอ แตโ่ จทยข์ อ้ นีค้ ดิ จากหลกั ที่ 2 จะสะดวกทีส่ ุด เพราะพจนท์ สี่ องกบั สามมีค่า เป็น 0 จงึ ไมจ่ าํ เปน็ ตอ้ งหาคา่ โคแฟกเตอร์ det (A) a12C12 a22C22 a32C32 a12M12 a22 0M22 a32 0M32 1 21 11 58 สมบตั ิของดเี ทอรม์ นิ ันต์ det (I) 1 det (0) 0 det (AB) det (A) det (B) I det (At) det (A) ขนาดของ A det (An) (det (A))n เม่ือ n det (kA) kn det (A) เมื่อ n ถึงแมส้ ัญลกั ษณข์ อง det จะเหมอื นคา่ สัมบูรณ์ และสมบตั กิ ารกระจายผลคณู ผลหารกเ็ หมือนกนั S แต่ยังมจี ดุ ที่ตา่ งกันอยู่ นนั่ คอื 1. คา่ det สามารถติดลบได้ เชน่ | –2 | = –2 2. การดึงสมั ประสทิ ธอ์ิ อกมาตอ้ งยกกาํ ลงั มติ ดิ ว้ ย เชน่ | 3A | = 3n | A | เมทรกิ ซท์ ีค่ ่า det เปน็ ศนู ย์ เรียกว่า เมทริกซเ์ อกฐาน (Singular Matrix) เชน่ เมทริกซ์ท่ีมแี นวใดแนวหนง่ึ เปน็ 0 ทกุ ตวั , หรือเมทรกิ ซ์ทีม่ ี 2 แนวซา้ํ กัน, หรือ เป็น k เทา่ ของกนั และกนั , ฯลฯ เมทริกซท์ ีม่ ีสามเหลยี่ มลา่ งหรือบน เป็น 0 ทกุ ตัว เรียกวา่ เมทรกิ ซ์ สามเหลยี่ ม (Triangular Matrix) จะมีคา่ det เป็น “ผลคณู ของสมาชกิ ในเส้นทแยง มุมหลกั ”

บทที่ ๘ 302 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 แบบฝึกหัด ๘.๒ (22) A 2 , B 5 ใหห้ า det (A), det (B), det (01) (23) A 2 5 ,B 2 4 ใหห้ า det (A), det (B) 4 6 3 6 (24) A 1 5 ,B x x ,C 50 ให้หาคา่ x ทที่ ําให้ det(A) det (B) det (C) 2 2 1 x 04 3 40 (25) A ให้หา5 4 3 det (A), M11(A), M32(A), C11(A), C32(A) 2 21 6 12 (26) ให้หา det(A) เมอื่ A 3 0 5 โดยใชว้ ธิ ีโคแฟกเตอร์ 7 21 (27) A 53 5 ให้หา det(A) โดยใชว้ ิธี คณู ทแยงn n 42 1 aijCij, aijCij, 1 31 i1 j1 x y4 (28) ให้ A 3 8 0 โดยทโี่ คแฟกเตอร์ของ a21 คอื –6 และโคแฟกเตอร์ของ a23 คือ 4 x y1 แล้ว ให้หาโคแฟกเตอรข์ อง a33 (29) A a 10 5 ให้หาค่า a b 1 1 ถ้า C12 (A) 1 และ det (A) c1 1 4110 (30) A 2 0 1 3 ใหห้ า C11 C21 0 02 1 C32 C44 1 13 2 (31) ให้หาค่า 20 4 6 และ 1abc และ n n1 n2 0 40 0 1b ac n1 n2 n3 5 20 0 1c ab n2 n 3 n 4 13 1 3 (32) ถ้า A 1 1 ใหห้ าคา่ det ( 2 A3At(A At)) 3 1

คณติ มงคลพทิ กั ษสขุ 303 เมทรกิ ซ kanuay.com (33) A 11 ใหห้ า det ( 2 AnAt(A At)) เมอื่ n I 01 (34) กําหนด A 2 0 ,B 0 5 ,C 3 4 ,D 14 0 1 1 0 2 1 32 ถา้ AXB CD ใหห้ า X 200 12 4 10 0 58 (35) ให้หา det (X) เมื่อกําหนดให้ 4 3 0 X 00 1 2 15 (36) ให้ A, B เป็น non-singular matrix โดย A 1, B 2 2 และ AB 4A 2I 4 x y จะได้ค่า x y เท่ากบั เท่าใด (37) กําหนดให้ A, B, C, I เป็นเมทรกิ ซ์มิติ 2 2 61 ถา้ det ( A3) ,det (2 2 I) det (C 1) 4 และ ABtC 42 แลว้ det (B) มีค่าเท่าใด (38) A sin x 2 cos x ให้หาคา่ x ทท่ี ําให้ A เปน็ เมทริกซ์เอกฐาน cos x 2 sin x 1 0 x2 (39) ให้หาจํานวนจรงิ x ทงั้ หมดท่ีทําให้ 2 1 0 เป็นเมทริกซ์เอกฐาน x3 5 12 1 (40) ให้หาค่า x ทีท่ าํ ให้ 2 x 2 เปน็ เมทรกิ ซ์เอกฐาน 1 21 (41) A log 2x 2x ใหห้ าค่า x ทท่ี ําให้ A ไมเ่ ป็นเมทริกซ์เอกฐาน log 2x 1 x (42) ขอ้ ใดถูกหรือผดิ บา้ ง เม่ือ A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส มติ ิ 2 2 ก. ถ้า A At แลว้ สมาชกิ ในแนวทแยงมุมบนซา้ ยถึงล่างขวาของ A เปน็ 0 หมด ข. ถ้า A2 B และ B เป็นนอนซิงกูลาร์เมทรกิ ซ์แลว้ A เป็นนอนซิงกูลารด์ ว้ ย

บทที่ ๘ 304 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 ๘.๓ อนิ เวอรส์ การคณู การคํานวณเกย่ี วกับเมทรกิ ซน์ ้ันไม่มีการหาร มีแต่การคูณด้วย อนิ เวอร์ส (เมทริกซผ์ กผัน; Inverse Matrix) และ อนิ เวอร์สการคูณของเมทริกซ์ A ใช้ สญั ลักษณ์ A 1 (มอี ินเวอรส์ เฉพาะเมทรกิ ซ์จัตุรัสเท่านนั้ ) โดยนิยามให้ A A 1 A 1 A I (เปรียบเสมือน A 1 I ) A วิธีหาอินเวอร์สการคณู เมทรกิ ซ์ 2 2 เมทรกิ ซ์ 1 1 ถ้า A ab ถ้า A a cd จะไดว้ ่า A 1 1/a จะได้ว่า A 1 1 db det (A) ca ส่วนเมทรกิ ซ์ n n ใด ๆ ต้ังแต่ 2 2 ข้ึนไป จะใช้ วธิ ีโคแฟกเตอร์ เชน่ เดิม A 1 (C (A))t det (A) เรยี ก (C(A))t วา่ เมทริกซผ์ กู พนั (Adjoint Matrix) ของ A ใชส้ ญั ลกั ษณเ์ ป็น adj A หรือ Adj(A) ก็ได้ สมบัติของอินเวอร์สการคูณ (AB) 1 B 1A 1 (kA) 1 1 A1 (A 1)n (An) 1 An A1 k (A 1) 1 A A1 1 A เมทริกซ์ท่ีจะหาอินเวอร์สการคูณได้ ตอ้ งเป็น เมทริกซไ์ ม่เอกฐาน (Non- Singular Matrix) คอื ค่า det 0 เทา่ น้นั

คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ 305 เมทริกซ kanuay.com การแก้สมการเมทรกิ ซ์ มขี อ้ ควรระวังดงั นี้ S 1. เมอ่ื ทาํ การยา้ ยข้างตัวคณู ไปเปน็ อนิ เวอรส์ อยอู่ กี ฝ่งั ต้องคํานึงถงึ ลําดบั ด้วย เพราะการคณู ไม่มี สมบัตกิ ารสลับท.่ี . เชน่ AB C กลายเปน็ B A 1C ได้.. แต่เปน็ B CA 1 ไมไ่ ด้ 2. ตรวจสอบเสมอวา่ สมการยงั เปน็ เมทริกซท์ ั้งสองขา้ งหรอื ไม่ (หากยา้ ยขา้ งเมทรกิ ซ์ ไปเปน็ อนิ เวอรส์ จนหมด อย่าลืมเหลอื เมทรกิ ซ์ I ไวด้ ้วย..) เช่น จาก AB 2C หากยา้ ยขา้ งเปน็ ABC 1 2 แบบนผ้ี ดิ เพราะฝั่งขวากลายเปน็ ตวั เลข.. ทถ่ี กู ตอ้ งเปน็ ABC 1 2 I 3. สมการเมทรกิ ซ์สามารถคณู เขา้ ทงั้ สองขา้ งไดเ้ สมอ แต่การตัดออกทั้งสองขา้ งบางครงั้ ใช้ไม่ได้ .. เช่น A 11 ,B 62 ,C 18 พบวา่ AB AC แต่ B C 22 09 53 4. ใสเ่ คร่ืองหมาย det ทงั้ สองขา้ งไดเ้ สมอ แตก่ ารตัดออกทง้ั สองขา้ งก็มกั จะใช้ไมไ่ ด้ เช่น A 12 ,B 23 พบวา่ det (A) det (B) แต่ A B 34 45 5. ถา้ AB 0 แล้ว ไมจ่ ําเปน็ ที่ A หรอื B ตอ้ งเป็น 0 เชน่ A 2 3 ,B 36 กพ็ บวา่ AB 0 ได้เชน่ กนั 2 3 24 แบบฝึกหดั ๘.๓ (43) A 3 2 ,B ให้หา2 3 A 1, B 1, 021, I21 4 2 46 (44) A 4 3 ,B 23 ใหห้ า (AB) 1, B 1A 1 2 2 45 (45) ใหห้ าอนิ เวอร์สการคณู ของ (45.3) 2 4 (45.1) 1 2 12 23 (45.2) cos sin sin cos (46) A 1 2 ,B 11 ให้หา 2A 1Bt 3 4 21 (47) A 1 1 3 และ B เป็นเมทริกซท์ ี่สอดคล้องกบั สมการ BA 1 At ใหห้ า B 2 31 (48) 2 5 X 12 3 0 ให้หาเมทรกิ ซ์ X 1 2 24 12

บทที่ ๘ 306 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 (49) ถา้ 4 6 A 1 2 ใหห้ า A 8 12 34 (50) ถา้ A 4 16 40 ใหห้ า A 1 36 64 04 30 1 1 (51) AB I, B 4 2 0 ให้หา A 1 1 3 11 1 (52) กําหนด A 3 4 ,B 1 2 ,X ab และ AX B A 2 3 1 3 cd ใหห้ าค่าของ b c (53) A 0 1 ,B 2 1 , C 10 ถ้า X (B C) A ใหห้ า X 1 1 2 1 3 12 (54) ถ้า B 12 1 02 3 AC 1I 0 ใหห้ า A 1 3 0 1 ,C 2 21 0 3 1 2 และ AB 02 1 * (55) กาํ หนด A 21 2 3 0 0 ใหห้ า adj A, A (adj A), (adj A) A, det (A), A 1 46 1 2 32 (56) ให้หาอนิ เวอร์สการคณู ของเมทริกซ์ A เม่ือ A 6 3 0 0 31 (57) A 3 4 , C 30 18 , B เปน็ เมทริกซท์ ที่ าํ ให้ AB C ข้อใดถกู 1 2 12 8 ก. det (B 1) 12 ค. det (2 Bt) 24 ข. det (B 1A 1) 24 ง. det (A2B) 48 (58) A 1 25 1 3 0 0 ใหห้ า det (At) 1 4 27 (59) 2A 1 B และ det (A) det (B) 16 ใหห้ ามติ ิของเมทรกิ ซ์ B (60) A มีมติ ิ 3 3 และ det (A) 4 , ถ้า A2 3A I 0 และ B 1 A 1 3 I 22 ให้หา det (B)

คณติ มงคลพิทักษสขุ 307 เมทรกิ ซ kanuay.com (61) A 1 2 ,B 1 1 , C 2AB 1 B 1 ใหห้ าคา่ x เมอื่ det (C) 1 x 3 2 1 (62) A และc 1 det (2A2) (1 c2)3 det (A 1)t 45 ใหห้ า c 1c (63) A 1 a0 1 det (2A) 4 0 4a 1 a a 1 ใหห้ าคา่ a ทีท่ าํ ให้ a det (A 1)t 1 01 (64) ขอ้ ใดถกู ก. ถ้าเมทริกซ์ U 1 1 4 ,X 0 12 ,V 5 1 0 ,Y 1 1 2 แลว้ เมทรกิ ซ์ 3UV 2XY 3 ข. ถา้ 21 เปน็ ซงิ กลู าร์เมทริกซ์แล้ว a 2 a2 a ค. ถ้า A, B เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสทม่ี ีมิติเดียวกนั และ det(AB) 0 แลว้ det (A) 0 หรือ det (B) 0 ง. ถา้ A เป็นนอนซงิ กลู าร์เมทริกซม์ ิติ 2 2 แล้ว det((2A) 1) det(2A 1) (65) A 2 1 , M xx 1 3 3/7 x 3 ให้หาเซตของจํานวนจรงิ x ท่ที าํ ให้ det (M) det ((2A At) A 1) (66) กําหนด A, B เปน็ non-singular matrix โดย det(A 1) 1 และ B 12 ใหห้ า x y ถ้า AB 3A 2I xy 2 * (67) ให้ A 12 1 2 1 1 ถ้า AB BA I ใหห้ าค่า det (adj B 1) 11 0 11 1 * (68) ถา้ A 2 1 3 และ AB BA I ใหห้ าเมทริกซผ์ กู พันของ B 10 1 ก. 1 A ข. 3A ค. 1 At ง. 3At 3 3 * (69) ให้ A, B เป็นเมทริกซ์จตั ุรสั มีมติ ิ 4 4 โดย A (adj A) BA I ถา้ det (B) 0 แลว้ det (A) มคี ่าเทา่ ใด

บทที่ ๘ 308 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 หมายเหตุ จากขอ้ (55), (67), (68), (69) ซงึ่ เป็นการคาํ นวณเกย่ี วกบั adj A นน้ั เราสามารถพิสูจน์ความสมั พนั ธ์จากสมการ A 1 adj A ก่อน เพ่ือความสะดวกในการคาํ นวณ det (A) เชน่ A A 1 A (adj A) I A (adj A) det (A) I A (adj A) det (A) det (A) ส่วนความสัมพันธอ์ ื่น กห็ าได้จาก A 1 adj A เหมือนกนั det (A) เช่น adj A 1 A , det (adj A) (det (A))n 1 ฯลฯ det (A) ๘.๔ การดาํ เนินการตามแถว การดําเนนิ การตามแถว (Row Operation) ใช้หาอนิ เวอร์สการคูณ (A 1) ได้ ซ่ึงการดําเนินการตามแถวน้ัน สามารถกระทําได้ 3 ลักษณะ คือ ก. นําคา่ คงท่ี k (ที่ไมใ่ ช่ 0) ไปคูณไว้แถวใดแถวหนึ่ง ข. นําคา่ คงที่ k ไปคณู แถวใดแถวหนงึ่ แล้วเอาไปบวกไว้ที่แถวอนื่ ค. สลับแถวกัน 1 ครงั้ การหาอนิ เวอรส์ การคูณ (A–1) โดยดําเนนิ การตามแถว มีหลักอยู่วา่ พยายามหาข้นั ตอนทาํ A ใหก้ ลายเปน็ I แลว้ วธิ ีเดียวกันน้นั จะทํา I ใหก้ ลายเป็น A 1 ได้ เขยี นเปน็ สัญลกั ษณไ์ ด้วา่ A I ~ I A 1 ตวั อยา่ งเชน่ ตอ้ งการหา A 1 เมื่อ A 42 83 เราจะเรม่ิ จาก เขียน A กบั I ไว้ในแถวเดยี วกัน เรียกว่า เมทรกิ ซ์แตง่ เติม (Augmented Matrix) จากนน้ั พยายามแปลง A ทางซา้ ยมอื ให้เปน็ I โดยอาศัย การกระทาํ ดังข้อ ก., ข., ค. ทกี่ ล่าวขา้ งตน้ AI 4 2 10 ~ 4 0 3/7 2/7 830 1 R1 2R2 0 1 2/7 1/7 ~ 42 10 ~ 1 0 3/28 1/14 072 1 1 R1 0 1 2/7 1/7 R2 2R1 4 42 1 0 1~ 0 1 2/7 1/7 I A1 7 R2 เมื่อแปลง A ทางซ้ายมือ ให้เป็น I เรยี บรอ้ ยแล้ว, I ทางขวามือจะ กลายเป็น A 1 โดยอัตโนมตั ิ ดงั น้นั ในตวั อยา่ งน้ี A 1 3/28 1/14 2/7 1/7

คณติ มงคลพทิ ักษสุข 309 เมทริกซ kanuay.com ขอ้ ควรทราบ 1. เราใช้เคร่อื งหมาย ~ แทนการดาํ เนนิ การแต่ละข้นั ตอน และเขยี นวธิ กี ํากับไว้ 2. นิยมเขียนแถวทถ่ี ูกดาํ เนนิ การไวด้ า้ นหนา้ เชน่ R2 2R1 แสดงวา่ R2 จะ เปลี่ยนไป 3. เทคนิคการทําให้เป็น I โดยเร็วทส่ี ุดคือ ทําสมาชิกเปน็ 0 ใหค้ รบทีละสามเหลย่ี ม (ลา่ งหรอื บน) 4. หากต้องการสลับทร่ี ะหว่างแถว R1, R2 ก็จะใชส้ ัญลักษณก์ ํากบั วา่ R12 การดําเนินการตามแถวท้งั สามลกั ษณะ ส่งผลตอ่ คา่ det ดงั น้ี ก. นําคา่ คงท่ี k (ที่ไม่ใช่ 0) ไปคณู ไว้แถวใดแถวหนง่ึ detใหม่ k detเก่า ข. นําค่าคงท่ี k ไปคณู แถวใดแถวหน่งึ แลว้ ไปบวกไวท้ แ่ี ถวอนื่ detใหม่ detเกา่ (การดําเนนิ การในลกั ษณะน้คี ่า det ไม่เปลย่ี น จงึ ใชช้ ว่ ยในการหาคา่ det ได้ โดย พยายามปรับให้สมาชิกในเมทริกซ์เปน็ 0 มาก ๆ แล้วค่อยคาํ นวณ det) ค. สลับแถวกัน 1 ครงั้ detใหม่ detเก่า ท้ังนี้ การดาํ เนินการตามหลกั ก็ให้ผลเช่นเดยี วกัน เน่อื งจากสมบัติ det (At) det (A) แบบฝึกหดั ๘.๔ abc dfe 2a 2c 2b (70) ถา้ A d e f และ B gih gh i แล้ว B มคี ่าเปน็ กี่เทา่ ของ A abc 3, B 4x 4y 4z p ax x 2a 2b 2c , C q byy (71) ถ้า A p q r , det (A) r cz z pqr xyz ใหห้ า det (3B 1) และ det (2C 1) (72) ให้ A เป็นเมทริกซจ์ ตั ุรัส 4 4 และ M23(A) 5 ให้หา M32(2A)t (73) [จากข้อ 43,55,56] ให้หาอนิ เวอร์สการคูณของเมทรกิ ซ์ A, B, C, D โดยใช้วธิ ดี ําเนนิ การ ตามแถว เมอื่ A 3 2 ,B 2 3 ,C 21 2 2 32 4 2 4 6 3 0 0 ,D 630 46 1 0 31

บทที่ ๘ 310 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 ๘.๕ การใช้เมทริกซ์แกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ ระบบสมการเชิงเส้นท่มี จี ํานวนตัวแปรเท่ากบั จาํ นวนสมการ เราจะเขียนให้ อยูใ่ นรปู สมการเมทรกิ ซ์ไดใ้ นรูป AX B โดยท่ี A เป็นเมทรกิ ซ์จัตุรัส (เรียก A วา่ เมทรกิ ซ์สัมประสิทธ์ิ, X เปน็ เมทรกิ ซต์ วั แปร และ B เป็นเมทริกซ์คา่ คงท)่ี ส่ิงที่ เราตอ้ งการหากค็ อื เมทรกิ ซ์ X 4x 2y z 0 เช่น ระบบสมการ x y 3 มี 3 สมการ 3 ตัวแปร 5x 3y 2z 1 0 42 1x 0 3 สามารถแปลงเปน็ สมการเมทริกซ์ AX B ได้ว่า 1 1 0 y 1 5 32 z วธิ แี กส้ มการเมทริกซน์ ้ี มี 3 แบบ 1. วิธีอินเวอรส์ AX B X A 1B เปน็ วธิ ีทาํ แบบตรง ๆ x 4 2 11 0 นั่นคอื y 1 1 0 3 (ตอ้ งหาอนิ เวอร์สกอ่ นแล้วคูณกนั เปน็ คาํ ตอบ) z 5 32 1 2. กฎของคราเมอร์ (Cramer’s Rule) xi det (Ai) det (A) เมอ่ื Ai ได้จากการนําเมทรกิ ซ์ B มาแทนลงในหลักที่ i ของเมทริกซ์ A เช่น จากตวั อยา่ ง จะได้ x 02 1 y 40 1 z 42 0 1 13 3 10 13 0 531 ,1 3 2 ,5 1 2 42 1 1 10 42 1 42 1 5 32 1 10 1 10 5 32 5 32 3. การดาํ เนินการตามแถว (Row Operation) AB~ I X มีหลักอยู่วา่ พยายามหาขน้ั ตอนทํา A ให้กลายเปน็ I แล้ววธิ ีเดียวกันนั้นจะทาํ B ใหก้ ลายเป็น X ได้ 4 2 10 100 x จากตวั อยา่ งกต็ อ้ งเร่ิมจาก 1 1 0 3 แลว้ ทําใหเ้ ป็น 0 1 0 y 5 32 1 00 1 z แบบฝึกหัด ๘.๕ (74) ใหห้ าคําตอบของระบบสมการต่อไปนี้ โดยใชว้ ิธีอินเวอร์ส (74.1) x 2y 5 (74.2) 2x 5y 1 3x 2y 1 3x 7y 2

คณิต มงคลพิทกั ษสขุ 311 เมทริกซ kanuay.com 4x 3y 2z 5 (75) ใหห้ าคาํ ตอบของระบบสมการ 3x y z 6 โดยใช้วธิ อี ินเวอร์ส x 2y z 1 (76) ให้หาคาํ ตอบของระบบสมการ 3x 2y 6 โดยใช้กฎของคราเมอร์ 4x y 14 (77) ใหห้ าคําตอบระบบสมการนีโ้ ดยใช้กฎของคราเมอร์ 2x 3y z 3 x 2y 3z 1 9 (77.1) x 2y z 1 (77.3) 2x y 4z 2 x 4y 2 x y 2z 2x y z 1 (77.2) x 2y 3z 1 3x 2y 4z 5 2x 4y z 1 (78) กําหนดระบบสมการเชิงเสน้ x 2y 2 ให้หาคา่ x x 3y 2z 3 (79) ให้หาคาํ ตอบระบบสมการต่อไปนี้ โดยการดาํ เนนิ การตามแถว x y z 10 2x y z 5 (79.1) 3x z 13 (79.2) 3x 2y 2z 3 y 2x z 9 0 x 3y 3z 2 (80) ใหห้ าคําตอบของระบบสมการ x 2y z 1 x 2y z 1 (80.2) 4x 3y 2z 5 (80.1) 4x 3y 2z 5 2x 4y 2z 2 2x 4y 2z 4 (81) ให้หาคาํ ตอบของระบบสมการ 2 1 0 2 3y z 3 x z x 1 (81.1) (81.2) 2 4 2 4 1 2y z x y x 3 1 2 1 4y y z x 102 1 x (82) ให้ A 2 1 1 และ B 2 ให้หาคา่ y ทไ่ี ดจ้ ากสมการ A 1 y B 5 12 0 z (83) ให้หาคา่ x และ y จากระบบสมการตอ่ ไปนี้ ถ้า s เปน็ คา่ คงที่ s (x y) s x 2y ___(1) s (x y) y 0 _______(2)

บทที่ ๘ 312 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 (84) ให้ A 123 p 1 0 1 0 และ X q ถ้า A2(adj A) X 6 ให้หาค่า p 2 10 r 0 1 12 1 (85) ให้ A 1 a 1 และ B 0 ใหห้ าคา่ ของ a ทีท่ าํ ให้ AX B หาคาํ ตอบได้ 1 1a 1 (86) ให้ A 1 2a x 1 2 3 b ,X 1 10 c y และ B 0 z 123 ถ้า AX B และ A ~ 0 1 1 R2 2 R1 แลว้ x มคี ่าเท่าใด 10 2 (87) (โจทยท์ บทวน) ประโยคต่อไปนถี้ ูกหรอื ผดิ x (1) A B B A _____ (25) (A 1)n (An) 1 _____ (2) At Bt (A B)t _____ (26) (A 1) 1 A _____ (27) (3A) 1 3 A 1 _____ (3) AtBt (AB)t _____ (28) adj A (C (A))t _____ (4) A 1B 1 (AB) 1 det (A) _____ (5) A 0 A _____ (29) A A 1 adj A _____ (6) A 1 A _____ (30) A (adj A) A _____ (7) A I A _____ (31) adj A A n เมือ่ A มีมิติ n n _____ (8) AB BA _____ (32) 2AtA 1 8 เม่อื A มีมิติ 3 3 _____ (9) k(A B) kA kB _____ (33) A 1AtBAt 3 เม่อื AB I3 _____ (10) (A B) C AC BC _____ (11) A (B C) AC AB _____ (12) (AB) C C (BA) _____ (34) cos 1 tan 1 _____ (13) I2 I tan 1 0 _____ (14) AI IA abc _____ (15) AB A B 0 _____ (16) An A n _____ (35) b c a 0 แลว้ _____ (17) A 1 A 1 cab 0 หรอื B _____ (36) ถ้า AB A _____ (18) At A t _____ (37) ถ้า AB 0 แลว้ _____ (19) kA k A A 0 หรือ B 0 _____ (20) I 0 _____ (21) 0 0 _____ (22) 2 I 2 _____ (23) A2 5A 6I (A 2I)(A 3I) _____ (24) A2 5AB 6B2 (A 2B)(A 3B)

คณติ มงคลพิทกั ษสขุ 313 เมทริกซ kanuay.com เฉลยแบบฝกึ หัด (คาํ ตอบ) (1) 6 และ –9 (15) 2n n 2n (44) 4 27/4 (63) 1 0 2 2n 35 11 2 2 (2) 31 1 (45.1) 32 45 1 21 (64) ค. (16) 3 (65) {11/7, 5} (3) เทา่ กนั 4 3 (45.2) cos sin (4) เทา่ กนั sin cos (66) –4 (17) 3 2 2 (67) 36 (68) ก. (5.1) 393 (18) –1 และ 1 (45.3) ไม่มี (69) 1 427 (70) 2 (19) –1, –3 หรือ –3, –1 (46) 2 10 (71) –9/8, 8/3 (20) –1 และ 1 2 7 (72) 40 (5.2) 53 (73) ดทู ่ขี อ้ 43, 55, 56 91 (21) กราฟไฮเพอรโ์ บลา (47) 1 0 (74.1) 1, –2 (74.2) 3, 1 (5.3) 10 5 3x2 4y2 12 01 (75) 5/4, 9/2, –27/4 20 15 (76) –2, 6 10 40 (22) 2, –5, 0 (48) 9 6 (77.1) 2, 0, –1 42 (77.2) 1, –3, 2 (23) 8, 0 (77.3) 13/9, 7/9, –4/3 (6) 24 , 22 , (24) x ( 5, 4) (3, 4) (49) ไมม่ ี (78) –20 26 46 (79.1) 25/7, 29/7, 22 , 23 (25) –2, –2, –9, –2, 9 (50) 14 16/7 46 14 (26) –34 9 16 (79.2) 1, 2, –1 (80.1) ไมม่ คี าํ ตอบ (7) 23 , 4 28 , (27) 60 (51) 2 (80.2) มคี าํ ตอบหลายชดุ 10 6 02 (28) 14 6 (81.1) 2, 1, –1 41 (29) 2 3 (81.2) 1/2, 0, –1 (82) 0 21 4 (52) 6 5 11 30 1 (83) s(s 1) , s2 ab a b ab (30) 70 28 (53) 21 2s 1 2s 1 51 4 11 11 11 12 21 11 12 (84) 1/2 (8) a b ab ab 204 (85) a 1, 2 ab a b ab 12 22 11 13 12 23 02 2 21 11 22 21 21 12 (54) (86) –2/3 a b ab ab (87) ขอ้ ท่ีถกู ไดแ้ ก่ 22 22 21 13 22 23 (3), (4), (6), (7), (9.1) 2 และ 3 (31) –360, 0, 0 422 (10), (11), (13), (9.2) 5 และ 4 (32) –768 (14), (15), (16), (9.3) 7 และ 5 (33) 12 (55) 0 11 0 , (17), (21), (23), (9.4) x y และ (34) –5 3 6 6 (25), (26), (29), (35) 2 18 8 3 (32), (34), (36) เป็นจาํ นวนนบั (36) 4 (37) 16 –33I, –33I, –33, (10) (AB)3 4, BA ไม่มี 1 0 11 0 36 6 33 18 8 3 (38) ไมม่ ี (11) 52 , 36 1/ 4 1/ 4 1/2 30 02 (39) 1, 5 3 5 1/2 1/6 1 2 (56) (12) 3 4 , 13 8 3/2 1/2 2 10 6 19 10 (40) 4 (57) ง. 4 44 , 20 40 (41) x 0, 2/3 33 37 24 21 (42) ก.ถูก, ข.ถกู (58) –111 (59) 4 4 (13) 12 18 (43) 1 1 , 12 30 2 3/2 (60) 1 2 (14) 2 ไม่ม,ี ไมม่ ,ี 1 0 01 (61) 3 (62) 2 หรอื –2

บทที่ ๘ 314 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 เฉลยแบบฝึกหัด (วธิ คี ดิ ) (1) a11 b22 2 4 6 , (8) AB a11b11 a12b21 a11b12 a12b22 a11b13 a12b23 2a12 3b21 2(3) 3(5) 9 a21b11 a22b21 a21b12 a22b22 a21b13 a22b23 ij (9.1) x 2, y 3 (2) i j (9.2) x (9.3) x 5, y 4 ji 7, y 5 (9.4) x จะได้ 1 1 21 3 1 12 y และเปน็ จํานวนนบั เทา่ นนั้ 21 1 23 31 1 3 13 2 1 45 1 (3) เท่ากนั เพราะ 2 cosec 30 , (10) AB3 4 , สว่ น BA ไมม่ ี ,4 log 10 4 20 1 4 และ 5 25 (11) AB 13 21 10 21 13 0 1 10 0 1 (4) เท่ากนั 52 (จากการยา้ ยขา้ งสมการ x2 x 1 0 จะไดว้ า่ 30 x2 x 1 , x x2 1 , x x2 1) BA 31 0 ( 1) 3 2 0 0 36 11 1 ( 1) 1 2 1 0 02 (5.1) 393 (5.2) 53 (12) AB 3 4 , BA 13 8 427 91 10 6 19 10 10 5 (A B)2 44 44 4 44 (5.3) 20 15 37 37 33 37 10 40 10 10 68 42 42 20 12 A2 2AB B2 24 34 34 20 40 26 15 15 24 21 (6) A B สังเกต โดยปกติ AB มกั จะไมเ่ ทา่ กบั BA At Bt 22 (A B)t จึงทาํ ให้ (A B)2 ไม่เทา่ กบั A2 2AB B2 ดว้ ย 46 เพราะ (A B)2 (A B)(A B) และ A 0 23 A A2 AB BA B2 ... ซง่ึ AB BA 2AB 14 (7) At 23 4 28 , (13) At(BA) 20 32 2 1 1 0 , 2A 6 02 20 69 13 12 03 และ A 41 13 27 12 18 21 4 12 30 30 1

คณิต มงคลพิทกั ษสุข 315 เมทรกิ ซ kanuay.com 30 1 10 10 (19) A2 4A 5I 0 (14) 2 1 0 11 42 23 a2 8 4a 4b 4a 16 5 0 0 0 1 12 2a 2b 8 b2 8 4b 0 5 0 0 1 10 2 c22 2 แสดงว่า a2 4a 3 0 .....(1) 42 4a 4b 16 0 .....(2) 2a 2b 8 0 .....(3) (เมือ่ คนุ้ เคยแลว้ จะไม่จําเปน็ ต้องหาผลคณู ใหค้ รบทุก และ b2 4b 3 0 .....(4) ตําแหนง่ ก็ได)้ แก้ระบบสมการ ได้เปน็ a 1, b 3 หรอื a 3, b 1 กไ็ ด้ (15) จาก A 21 จะได้ 02 หมายเหตุ A2 4A 5I (A 5I)(A I) 0 A2 21 21 44 ใช้ได้ เพราะ AI IA 02 02 04 แตจ่ ะสรปุ วา่ A 5 I, I ไมไ่ ด้ A3 44 2 1 8 12 เพราะ 0 ไมไ่ ด้แปลวา่ หรอื 0 04 02 08 A4 8 12 2 1 16 32 ...ฯลฯ ... 0 8 02 0 16 ดงั นนั้ รปู ทวั่ ไป An 2n n 2n (20) At A x y2 3 x 1 x2 0 22n 1 1 x2 y2 1 3 x2 3 y 3 x2 y 2x y2 1 x2 3 B 204 y2 1 2 x2 3 0 24 (16) ตําแหนง่ 11; 2(x y) 4 1 .....(1) x2 3 x2 3 2y 4 42 ตําแหนง่ 12; (x y)(y) 2y a .....(2) ตําแหนง่ 21; 6 2z 0 z 3 .....(3) พิจารณาจากตาํ แหน่ง 11 กบั 33 ตําแหนง่ 22; 3y zy 1 .....(4) ก็จะพบวา่ x 1, y 1 แทน (3) ใน (4) ได้ y 1 / 6 , ซึ่งตรวจสอบแลว้ ใช้ได้กบั ตาํ แหน่งอ่ืน ๆ ทเ่ี หลอื ด้วย จาก (1) ได้ (x y) 5 / 2 ดงั นน้ั จากสมการ (2) จะได้ (21) x y 37 x [12] 74 y (5 / 2)(1 / 6) 2(1 / 6) a a 3/4 x y 3x 7y 7x 4y [12] (17) ตําแหนง่ 21; 3 2z 7 z 2 3x2 7xy 7xy 4y2 12 ไฮเพอรโ์ บลา ตําแหนง่ 22; x 2 5 x 3 ตําแหนง่ 12; x 2y 7 (22) det(A) 2 , det(B) 5 , det([0]) 0 แทน x 3 ได้ y 2 xyz 3 [สังเกต det(B) ใช้สญั ลกั ษณว์ ่า |B| | 5| 5 ไม่ตอ้ งตดั เคร่อื งหมายลบท้งิ ไปแบบคา่ สัมบูรณน์ ะ!] (18) X2 2X I 0 (X I)2 0 (ทาํ ได้เพราะ XI IX ) (23) det(A) 25 (2)( 6) ( 5)(4) 8 46 2 0 0 (นาํ เมทริกซ์คณู กัน) 00 a1 0 0 b1 det(B) 12 ( 12) 0 (a 1)2 0 00 a 1, b 1 0 ( b 1)2 00 [แสดงว่า B เปน็ เมทรกิ ซเ์ อกฐาน]

บทที่ ๘ 316 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 (24) |A| |B| |C| 12 x2 x 20 C23(A) 4 xy 4 2xy xy x2 x 12 0 และ x2 x 20 0 (x 4)(x 3) 0 และ (x 5)(x 4) 0 แทน y 2 ได้ x 1 เขยี นเส้นจาํ นวน เอาช่วงคําตอบมาอนิ เตอร์เซคกนั ไดเ้ ป็น ( 5, 4) (3, 4) C33(A) xy 12 86 14 38 38 3 40 (29) det(A) 5 (a)C11 ( 1)C12 (0)C13 54 3 (25) det(A) 2 21 แทนคา่ C11 11 2, C12 1 (โจทยก์ าํ หนด) 11 0 18 20 12 0 24 2 จะได้ a 2 คณู ขนึ้ คณู ลง M11(A) 43 2 21 01 3 M32(A) 30 9 (30) C11 02 1 53 13 2 C11(A) 2 , C32(A) 9 600010 7 1 10 C21 0 2 1 (0 0 3 4 0 1) 0 132 (26) เลือกหลกั ที่ 2 411 C44 2 0 1 0 0 4 0 0 0 4 det(A) a12C12 a22C22 a32C32 0 02 (1) 35 (0) 6 2 (2) 62 CC3121 CC4241 70 28 71 7 1 35 C32 4 38 72 34 (27) วธิ ี n (ตามหลัก) เลอื กหลกั ที่ 1 (j 1) (31) 20 4 6 24 6 0 40 0 ( 4) 5 0 0 i 1 aijCij 5 20 0 13 1 3 1 13 det(A) a11C11 a21C21 a31C31 5 21 4 3 5 ( 1) 3 5 ( 4) (5) 4 6 ( 4)( 5)( 18) 360 31 3 1 2 1 1 3 (5)(5) (4)( 12) (13) 60 สว่ นอีกสองเมทรกิ ซน์ นั้ det มคี า่ เปน็ 0 จะคดิ โดยวธิ ปี กติ (คณู ทแยง) กไ็ ด้ แต่ในทนี่ จ้ี ะ วธิ ี n (ตามแถว) เลอื กแถวท่ี 2 (i 2) แสดงโดยใช้สมบตั ิท่วี า่ (1) นาํ หลกั บวกกนั คา่ det ไมเ่ ปลย่ี น j 1 aijCij (2) ถ้ามี 2 หลกั เป็น k เทา่ ของกนั det 0 det(A) a21C21 a22C22 a23C23 ... จากเมทรกิ ซ์แรก นาํ หลกั 2 ไปบวกหลกั 3 4 3 5 2 5 5 1 5 3 3 1 1 1 1 3 ( 4)( 12) (2)(0) ( 12) 60 1aa b c 0 1b a b c วิธีคณู ทแยง 60 1ca b c det(A) 10 12 15 10 3 60 คณู ขน้ึ คูณลง (เพราะหลกั ท่ี 3 เปน็ a+b+c เทา่ ของหลกั ที่ 1) ... จากเมทรกิ ซท์ ส่ี อง นาํ หลกั 1 ไปบวกหลกั 3 n n 1 2n 2 0 n 1 n 2 2n 4 (28) C21(A) 6 y4 n 2 n 3 2n 6 6 3y y2 y1 (เพราะหลกั ท่ี 3 เปน็ 2 เทา่ ของหลักที่ 2)

คณติ มงคลพทิ ักษสุข 317 เมทรกิ ซ kanuay.com (38) det(A) 2 sin2 x 2 cos2 x 2 เสมอ (จากเอกลกั ษณข์ องตรีโกณมติ )ิ ดังนน้ั det ไมม่ ที าง (32) det( 2A3At(A At)) เป็น 0 ขอ้ น้ี ไมม่ คี าํ ตอบ ( 2)2 A 3 A A At 4 1 14 24 31 42 4 ( 2)4 ( 12) 768 1 0 x2 x3 6x2 5 0 (39) 2 1 0 (33) det( 2AnAt(A At)) At x3 5 ( 2)2 A n A A 4 (1)n 1 (x 1)(x2 5x 5) 0 x 1, 5 3 5 2 1 1n 1 21 4 01 12 (3) 12 (34) A X B C D 12 1 x44x44 X C D ( 5)( 10) (40) 2 x 2 A B (2)( 5) 1 21 5 2x 8 0 x4 [สังเกต หลกั ที่ 2 จะเปน็ 2 เทา่ ของหลักที่ 3] 200 12 4 10 (41) log 2x 2x 0 (35) 4 3 0 X 0 58 log 2x 1 x 00 1 2 15 ( 30) X ( 60) X2 x log 2x 2x log 2x 1 0 สงั เกต ขอ้ นเ้ี ป็นเมทริกซส์ ามเหลย่ี ม จะหา det งา่ ย x2 log 2 (2x2 2x)log 2 0 3x2 2x 0 x 0, 2 3 (36) AB 4A 2I A(B 4I) 2I A B 4I 2I 1 22 (2)2 (42) ab ac 4 xy 4 cd bd 1 (2y 8 2x) 4 xy 4 แสดงวา่ a กับ d เป็น 0 (ก. ถูก) 4 A2 B และ B 0 แสดงวา่ A 0 ดว้ ย 2 ข. กถ็ กู (A B) (37) จาก A3 2 2I ( 1)2 3 (2 2)2 A 3 A2 11 2 3, A8 2 จาก C 1 4 1 4 C1 (43) A 1 1 22 C 4 2 43 จาก ABtC 61 B1 1 63 หาไมไ่ ด้ เพราะ B 0 42 0 42 0 ABC 61 8 021 1 00 หาไม่ได้ เพราะ 0 42 0 00 B 8 16 I21 1 10 10 I2 (2)(1 / 4) 1 01 01

บทที่ ๘ 318 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 (44) (AB) 1 20 27 1 (50) จาก A 4 14 4I 12 16 9 16 1 16 27 4 27/4 14 A1 I A1 ตอบ 14 4 12 20 35 9 16 9 16 B 1A 1 1 5 3 12 3 2 42 2 24 1 16 27 4 27/4 (51) AB I แสดงวา่ A 1 B 4 12 20 35 2 1 30 1 1 6 หมายเหตุ (AB) 1 B 1 A 1 เสมอ A1 1 42 0 1 3 3 11 1 1 (45.1) 12 1 1 32 32 (52) AX B A AX AB (45.2) 23 1 21 21 66 54 cos sin 1 X A 1 (A B) sin cos 22 13 4 30 1 cos sin cos sin X 1 23 cos2 sin2 sin cos sin cos b c 6 5 11 (45.3) 24 0 ดงั น้นั ไม่มีคาํ ตอบ 12 (46) 2A 1Bt 2 1 42 12 (53) X 1 A 1 (B C) 1 11 2 10 2 31 11 1 2 1 1 11 27 1 10 1 01 01 1 1 12 0 1 21 11 2 10 27 (54) A(B C) 1 I 2(B C) A 1 A1 2 (47) BA 1 At B At A 1 02 204 201 1 02 2 11 31 13 422 23 12 31 2 11 1 40 10 (55) ใช้ข้ันตอน A det M , C t adj 4 04 01 2 5 30 12 22 จาก A 21 2 M(A) 0 3 18 1 2 12 24 12 30 0 11 6 8 (48) X 46 1 06 3 25 1 22 C(A) 0 3 18 adj(A) 0 11 0 12 12 11 6 8 36 6 X 0 63 18 8 3 1 25 2 2 96 โจทยถ์ าม A adj(A) กับ adj(A) A 1 12 1 2 42 33 0 0 ไดเ้ ปน็ 0 33 0 ทงั้ สองอย่าง 0 0 33 (49) A 1 1 2 หาไม่ได้ det(A) 33 , A 1 1 0 11 0 36 6 46 34 33 18 8 3 8 12 ดงั นั้นขอ้ นีไ้ ม่มคี าํ ตอบ เพราะ 46 0 [หมายเหตุ A adj(A) adj(A) A A I เสมอ 8 12 ดังแสดงท่ีมาไว้ในเฉลยขอ้ 69]

คณิต มงคลพิทักษสขุ 319 เมทรกิ ซ kanuay.com (56) จาก M(A) 3 6 18 (61) C (2A I)(B 1) C 2A I 32 6 B 6 12 24 x3 C(A) 3 6 18 1 34 1 1 21 8x det(A) 32 6 2x 7 21 3 6 12 24 3(2) 12 (แถว2) 6( 3) และ adj(A) 3 36 ดงั นนั้ (62) A 1 c2 จากสมการในโจทยจ์ ะได้ 6 2 12 18 6 24 22 A 2 (1 c2)3 A 1 45 1 3 36 1/ 4 1/4 1/2 4(1 c2)2 (1 c2)2 45 (1 c2)2 9 6 2 12 1/2 1/6 1 A1 12 18 6 24 3/2 1/2 2 1 c2 3 หรอื 3 นั่นคอื c2 2 (ใชไ้ มไ่ ด้) หรือ 4 c 2 (57) A 2 , C 24 B C A 12 (63) A a2 a จากสมการในโจทยจ์ ะได้ ก. B 1 1 1 ข้อนผ้ี ดิ a A 1 1 (2)3 A 4 0 B 12 4a ข. B 1A 1 AB 1 C 1 1 1 ขอ้ นี้ผดิ 1 2(a 1) 4 0 a1 C 24 1 2(a 1)2 4(a 1) 0 ค. 2Bt 22 B 48 ขอ้ นี้ผดิ ง. A2B A 2 B 48 ถูก 1 2 2a2 1 0 a (58) (At) 1 At 1 A 1 A 1 (64) ก. 3 1 5 1 40 1 (เลอื กแถว 2 ในการหา det) 2 ตอบ 3 51 3(37) 111 1 1 20 12 27 3 1 2 3 3 ขอ้ นผ้ี ดิ ข. 21 2a a2 0 a2 a (59) 2A 1 B 2n B a 0 หรอื 2 ขอ้ น้ีผดิ A ค. AB A B 0 2n 16 n มิติของ A และ B 4 A 0 หรอื B 0 ขอ้ น้ีถูก ตอบ 4 4 ง. 2A 1 1 1 2A 4 A แต่ 2A 1 4 ขอ้ นีผ้ ดิ A (60) จาก A2 3A I 0 I 3A A2 และ B 1 A 1 3 I 2BA I 3A x(3) x2 24 x 22 7 7 (65) M x(x 3) (ได้จากการนาํ 2A คูณ) จากน้ัน สมการทัง้ สอง At)(A 1) 61 2 1 55 และ (2A 19 13 7 เทา่ กนั จะได้ 2BA A2 23 B 4 ( 1)3(4)2 B 1/ 2 ดังนนั้ x2 24 x 55 7x2 24x 55 0 77 (7x 11)(x 5) 0 x 11 , 5 7

บทที่ ๘ 320 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 (66) A(B 3I) 2I B 3I 2A 1 (70) จาก A abc de f B 3I 22 A 1 gh i 22 4 1 สลับ R12 ได้เปน็ de f A xy 3 2 abc gh i 2y 6 2x 2 x y 4 สลับ C23 ไดเ้ ปน็ dfe AA acb (ขอ้ 67 ถงึ 69 ควรศกึ ษาข้นั ตอนการพิสจู น์ เพอื่ gih นาํ ไปปรับใช้กับโจทยน์ อกเหนอื จากน)้ี dfe นาํ 2 คณู R2 ไดเ้ ป็น 2a 2c 2b 2A B gih (67) เน่อื งจาก AB BA I แสดงวา่ ดงั นน้ั ตอบ 2 เทา่ B 1 A โจทย์ถาม det(adj A) พิสจู น์ จาก A 1 adj(A) (71) ก. A abc 3 สลับ R12 แล้ว A pqr A A 1 adj(A) ใส่ det ทง้ั สองขา้ ง xyz A A 1 adj(A) สลบั R13 อกี ครง้ั xyz 3 (สลบั 2 ครงั้ abc ดงั นน้ั adj(A) A n A 1 A n 1 pqr โจทย์ขอ้ นี้ A 6 adj(A) ( 6)3 1 36 det เทา่ เดิม) จากน้ันนํา 4, 2, 1 คณู แตล่ ะแถว 4x 4y 4z 3 (4)(2)( 1) 24 B 2a 2b 2c pqr (68) โจทยใ์ หห้ า adj(B) กค็ อื adj(A 1) 3B 1 33 9 พสิ จู น์ จาก A 1 adj(A) 24 8 A ข. จาก A abc 3 สลับ R12 pqr A A 1 adj(A) xyz เปลี่ยน A เป็น A 1 A 1 A adj(A 1) pqr 3 ทรานสโพส (det ไมเ่ ปลี่ยน) ดงั นน้ั adj(A 1) A abc xyz A และนาํ –1 คณู หลักที่ 2 โจทย์ขอ้ น้ี A 3 ดงั นน้ั ตอบ ก. p ax 3 ( 1) 3 q by r cz (69) พิสจู น์ จาก A 1 adj(A) หลกั ที่ 3 บวกหลกั ที่ 2 จะได้ A A A 1 adj(A) นํา A คณู ทั้งสองขา้ ง p a xx 2C 1 23 8 q b yy 3 C C3 r c zz A I A adj(A) ดงั นนั้ โจทยจ์ ะกลายเปน็ A I BA I (72) M23(A) 5 หาคา่ M32(2A)t A 1 I BA 4 23 M32(A)t 23 M23(A) 23 5 40 A 1 BA หมายเหตุ 1. M32(A)t M23(A) เพราะทรานสโพสแล้วค่า det ซ่ึง det(B)=0 จงึ ได้ A 1 0 A 1 เท่าเดิม 2. คา่ M คอื det ดงั น้นั จงึ ดงึ 2 ออกมาได,้ แต่ ตอ้ งกลายเปน็ 23 เพราะ M คอื det 3 3

คณิต มงคลพิทกั ษสุข 321 เมทริกซ kanuay.com (73) แตล่ ะเมทริกซ์ มวี ธิ ดี าํ เนินการไดห้ ลายแบบ x 432 1 5 (75) y 3 11 6 หลายลาํ ดบั สนั้ ยาวต่างกันไปแลว้ แตค่ นมอง ใน 12 1 1 z เฉลยนีเ้ ปน็ เพยี งแบบหนง่ึ เทา่ นน้ั หาอินเวอรส์ (ด้วยสูตร adj A / det A ) ~A; 10 11 3 2 10 4 2 0 1 R1 R2 4 2 0 1 ไดเ้ ปน็ x 1 11 1 5 y 26 10 6 ~ 10 11 ~ 10 11 z 8 5 11 13 1 43 01 2 3/2 R2 4R1 0 2 1 R2 5/ 4 2 9/2 27 / 4 x 5,y 9,z 27 B; แถว 1 กบั แถว 2 เป็น 2 เทา่ ของกนั แสดงวา่ 42 4 B 0 จงึ ไมส่ มารถหา B 1 ได้ ไม่มคี ําตอบ (Row Operation จะเกดิ แถว 0 0 และทําตอ่ ไม่ได้) ~2 1 2 1 0 0 30 0 0 10 (76) 32 x 6 2 1 2 100 41 y 14 C; 3 0 0 0 1 0 4 6 1 0 0 1 R12 4 6 1 0 0 1 ~ 1 0 0 0 1/ 3 0 x 62 32 22 2 6 11 0 1 0 2 14 1 41 11 (1/ 3)R1 4 6 100 1 R2 2R3 แทนลงสมการในโจทย์ ได้ y 6 ~ 10 0 0 1/ 3 0 0 11 0 1 22 R2 6R1 06 10 4/3 1 R3 4R1 ~ 100 0 1/ 3 0 (77.1) x 3 31 231 10 2 0 10 1/ 11 2/ 11 2/ 11 1 21 121 5 ( 1/ 11)R2 0 61 0 4/3 1 240 14 0 R3 ~ 100 0 1/ 3 0 แทนในสมการสดุ ทา้ ย ได้ y 0 0 10 1/ 11 2/ 11 2/ 11 จากนัน้ แทน x และ y ในสมการใดสมการหนงึ่ ท่ี R3 6R2 0 0 1 6/ 11 8/ 33 1/ 11 เหลอื ได้ z 1 ~2 3 2 1 0 0 802 1 10 11 1 21 1 91 630 0 10 123 123 9 D; 6 3 0 0 1 0 60 1 011 52 4 32 4 0 3 1 00 1 R1 R2 R3 R2 (77.2) x ~ 400 1 1 2 y 21 1 ( 9) 27 3 6 30 0 1 0 11 3 R1 2R3 6 0 1 0 1 1 ~ 100 1/ 4 1/ 4 1/2 35 4 9 2 10 0 1/ 3 0 (1/ 4)R1 60 1 0 11 แทน x และ y ลงในสมการใดก็ได้ จะได้ z 2 (1/ 3)R2 1/ 4 1/ 4 1/2 12 3 12 3 13 ~ 100 1/2 1/6 1 (77.3) x 91 4 21 4 39 9 0 10 3/2 1/2 2 2 12 1 12 27 R2 2R1 00 1 R3 6R1 1 13 12 x 5 y 2 9 4 ( 27) 21 7 32 y 1 27 9 1 22 (74.1) แทน x, y ลงในสมการใดก็ได้ จะได้ z 4/3 x 12 1 5 1 22 5 y 32 1 8 31 1 1 x 1, y 2 (78) ตอ้ งการหาคา่ เฉพาะ x ควรใช้กฎคราเมอร์ 2 1 41 241 20 x 2 51 1 x 220 1 20 20 (74.2) y 37 2 3 32 1 32 1 x 1 75 1 3 y 1 32 2 1 x 3, y 1

บทที่ ๘ 322 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 (79.1) A | B ~ I | X (82) ยา้ ยขา้ ง.. x 102 1 0 y 2 11 2 1 1 1 10 ~ 1 1 1 10 z 5 12 0 3 0 1 13 2 10 3 21 1 9 R3 R1 3 2 0 19 y0 R2 R1 ~ ~1 1 1 10 1 1 1 10 2 10 3 2 10 3 R3 2R2 7 0 0 25 (1/ 7)R3 1 0 0 25/ 7 (83) (s 1) x (s 2) y s .....(1) ~ ~1 0 0 25/7 1 0 0 25/7 sx (s 1) y 0 .....(2) 2 10 3 0 1 0 29/7 R13 1 1 1 10 R2 2R1 0 1 1 45/ 7 R3 R1 s 1 s 2 x s ใช้กฎคราเมอรช์ ่วย ~ 1 0 0 25/7 x 25/7 s s1 y 0 0 1 0 29/7 y 29/7 R3 R2 00 1 16/ 7 z 16/7 x ss 2 s 1s 2 R2 0s 1 s s1 21 1 5 ~ 2 1 15 s(s 1) s(s 1) (79.2) 3 2 2 3 7 00 7 (s 1)(s 1) s(s 2) 2s 1 R2 2R1 5 6 0 17 133 2 R3 3R1 และ y s 1s s 1s 2 s0 s s1 ~ ~7 0 0 7 1 00 1 5 6 0 17 5 6 0 17 s2 s2 สลบ.ั แถว ... 2 1 1 5 (1/ 7)R1 2 1 1 5 (s 1)(s 1) s(s 2) 2s 1 ~ 10 0 1 ~ 100 1 0 60 12 0 10 2 0 1R2 5R1 1 3 ( 1/ 6)R2 0 11 3 R3 1 R3 2R1 2 x 1 ~ 100 1 y (84) A2(adj A) X A AX 1 0 10 2 z 6 R3 R2 0 0 1 1 หาคา่ A ได้ 6 ดงั นน้ั 0 (80) เน่อื งจาก สมการท่ี (1) กบั (3) มี 123 p 1/6 กฎคราเมอร์ สัมประสิทธิเ์ ปน็ 2 เทา่ ของกนั ..ดังนน้ั A 0 0 10 q 1 2 10 r 0 ทาํ ใหห้ าคาํ ตอบทแ่ี นน่ อนชดุ หนง่ึ ไม่ได้ (80.1) สมการ (1) กบั (3) ขดั แย้งกนั ไมม่ ี p 1/6 2 3 123 3 1 คาํ ตอบ 1 10 0 10 (80.2) สมการ (1) กบั (3) เปน็ สมการเดียวกนั 0 10 2 10 6 2 (จงึ เหลอื แค่ 2 สมการ) ... มคี ําตอบหลายชดุ (85) หาคาํ ตอบได้เสมอเม่อื A 0 0 a2 3a 2 0 (a 1)(a 2) 2 0 1 1/ x 0 (81.1) 4 2 0 1/ y 4 a 1, 2 2 0 3 1 1/ z 1 00 1 20 1 8 1 420 420 x 2 3 1 0 3 1 16 2 ~1 2 a 123 0 11 x 2 แทนลงในโจทย์ ได้ y 1, z (86) 2 3 b 1 1 0 c R2 2R1 1 0 2 2 3 1 1/ x แสดงวา่ a 3, b 2a 1 b 5, c 2 (81.2) 1 2 1 y 3 ดังนน้ั จะไดส้ มการ 1 23 x 1 140 z 1 2 35 y 1 2 102 z 0 1 3 31 231 10 2 และ x 123 1 23 2 2/ 3 1 21 121 5 1 35 2 35 x 240 140 002 10 2 3 x 1/2 แทนลงในโจทย์ ได้ y 0, z 1

เรอื่ งแถม ส่งิ ทีไ่ ม่ต้องรูก้ ไ็ ด้ : ลาํ ดบั การคิดค้นเนือ้ หาคณิตศาสตร.์ . เร่ือง ู้คดิ คน้ (ประเทศ) ป ค.ศ. ระบบจํานวน 60 และ 360 (เชน่ มมุ , เวลา) ชาวบาบโิ ลนและอยี ปิ ตโ์ บราณ –3000 แนวคดิ เรือ่ งอตั ราสว่ น ท ษฎีบทปทาโกรสั ในสามเหลย่ี มมมุ ฉาก Phythagoras of Samos (กรีก) –500 ขั้นตอนวธิ ใี นการหา ห.ร.ม. Euclid (กรกี ) –300 แนวคดิ เรื่องตรโี กณมติ ิ Hipparchus (กรกี ) –140 คา่ อตั ราส่วนตรีโกณมิติของมมุ 30° 45° 60° Ptolemy (กรกี ) 200 Abu Ja'far Muhammad ibn แนวคิดเรือ่ งสมการกําลงั สอง Musa al-Khwarizmi (แบกแดด) 830 John Napier (สกอตแลนด)์ ลอการทิ มึ ธรรมชาติ (ฐาน e) หรอื ลอการทิ ึมเนเปยร์ Edmund Gunter (องั ก ษ) 1618 ชอ่ื ฟงั กช์ ันไซน์ และสัญลกั ษณ์ sin Thomas Harriot (องั ก ษ) 1624 หลักการแยกตัวประกอบและแกส้ มการพหนุ าม René Descartes (ฝรัง่ เศส) 1631 การเขยี นกราฟ, คูอ่ นั ดบั และผลคณู คารท์ เี ซียน Blaise Pascal (ฝรั่งเศส) 1637 ท ษฎบี ททวนิ าม John Wallis (องั ก ษ) 1654 ใช้สญั ลกั ษณ์ แทนจํานวนที่มีคา่ มากจนไม่ส้นิ สุด Isaac Newton (อังก ษ) 1655 และ Gottfried Leibniz (เยอรมัน) แคลคลู สั (อนพุ นั ธ์และการอนิ ทเิ กรต) Guillaume de L'Hôpital (ฝร่ังเศส) 1666 William Jones (อังก ษ) กฎของโลปตาลในการคาํ นวณลิมิต Leonhard Euler (สวิส) 1696 ใช้สญั ลกั ษณ์ แทนอตั ราส่วนเส้นรอบวงกลม Abraham de Miovre (ฝรั่งเศส) 1706 สัญลกั ษณ์ e, i (จํานวนจนิ ต าพ) และ f(x) Leonhard Euler (สวสิ ) 1727 การกระจายแบบปกติ โค้งรปู ระ งั Gabriel Cramer (สวสิ ) 1733 แก้ปญั หาสะพานเคอนกิ สแ์ บร์ก Karl Friedrich Gauss (เยอรมนั ) 1736 กฎของคราเมอร์ (แกร้ ะบบสมการเชิงเส้นด้วย det) George Boole (อังก ษ) 1750 หลักการมตี วั ประกอบจํานวนเฉพาะชดุ เดยี ว John Venn (องั ก ษ) และ 1801 ตรรกศาสตร์แบบสญั ลักษณ์ Leonhard Euler (สวิส) 1847 Dénes König (ฮงั การ)ี แผน าพของเซต John Wilder Tukey (อเมรกิ า) 1860 ท ษฎีกราฟ Curtis Cooper 1936 แผน าพลาํ ต้น-ใบ และแผน าพกล่อง 1977 จาํ นวนเฉพาะ ที่มคี า่ สงู ทส่ี ดุ ที่คน้ พบ Ron Watkins คือ 274207281 – 1 (มอี ยู่ 22,338,618 หลกั ) 2016 คา่ ของ e จนถึงทศนิยมละเอียดท่ีสดุ ที่คํานวณได้ Peter Trueb ความยาว 5 ล้านลา้ นตําแหน่ง 2016 ค่าของ จนถึงทศนิยมละเอียดท่สี ดุ ท่ีคาํ นวณได้ 2016 ความยาว 22.4 ลา้ นลา้ นตําแหนง่ หมายเหตุ นอกจากทเี่ ราเห็นชอื่ ผคู้ ดิ คน้ อย่างชัดเจน เชน่ ท ษฎบี ทปทาโกรสั , กฎของโลปตาล, กฎของคราเมอร,์ วิธหี า ห.ร.ม. ของยคุ ลดิ , แผน าพเวนน-์ ออยเลอร์, สามเหล่ยี มปาสคาล ฯลฯ ยงั มีอกี หลายช่อื ท่ีน่าสนใจครบั .. (1) คาํ วา่ algebra (พีชคณิต) และ algorithm (กระบวนการคิด) มาจากชอ่ื ของ al-Khwarizmi (2) คําวา่ cartesian มาจากชื่อของ Descartes (3) สัญลกั ษณ์ e มาจากชือ่ ยอ่ ในลายเซ็นของ Euler ซ่ึงเป็นผปู้ ระมาณคา่ ของ e และพสิ ูจน์วา่ เป็นจํานวนอตรรกยะ สว่ น Jones เลือกใชอ้ ักษรกรีก (pi) แทนอัตราสว่ น 3.14.. เพราะมเี สียงขึน้ ตน้ เหมือน perimeter (เส้นรอบรปู ) และ Wallis เลอื กใช้สัญลักษณ์ แทนคา่ มากจนไมส่ ้นิ สุด เพราะ เป็นตวั เลขใน าษากรกี แปลว่าหนึ่งพัน (4) ตรรกศาสตร์แบบสัญลักษณ์ บางคร้ังเรียกตวั แปรค่าความจริงวา่ boolean มาจากชื่อของ Boole (5) โคง้ ปกตริ ปู ระ ัง บางครง้ั เรียกวา่ Gaussian distribution มาจากช่อื ของ Gauss

คณติ มงคลพทิ ักษสขุ 387 ลา บั แล กุ รม kanuay.com เฉลยแบบฝกึ หดั (คาํ ตอบ) (1.1) 2, 4, 8, 16 (22) คนที่ 3 (35) 4 (36) 10 (1.2) 2, 6, 10, 14 (23.1) หาคา่ ไมไ่ ด้ (37) 40 740 a (1.3) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 (23.2) 0 1a (1.4) –1/4, 2/9, –3/16, 4/25 (23.3) 0 (38) 648 (39) 127.5 (2.1) (1/2)n 1 (23.4) 1 (40) 2601 (2.2) (1/n)2 (24.1) 4/3 (41) 210 (2.3) 2n 1 3 (24.2) 2/5 (42) 184 (24.3) 0 (43) 5, –4 หรอื 45, –4/3 (44) 5 (2.4) 3 (24.4) 0 (45) 395 10n 1 (24.5 และ 24.6) หาค่าไม่ได้ (46) 18 (47) 127.5 (2.5) n(n 1) (25.1) –1/9 (48) 6 (3.1) เลขคณติ , 18 3 n (25.2) 1 (49) 4 10 (10n 1) n (25.3) หาคา่ ไมไ่ ด้ 99 (3.2) เรขาคณติ , 2n (25.4) 2 (3.3) เลขคณติ , x 2 n 2 (25.5) 1/243 (50.1) 3/4 (3.4) เลขคณติ , n log2 (26.1) 2/3 (50.2) 1/3 (50.3) 1000/9 n (26.2) 4/9 (50.4) 9 (26.3) 9 (50.5) 4 (3.5) เรขาคณติ , ( 20) 1 (50.6) ลอู่ อก 2 (51) 2.23 และ 2.5 (52) 3/4 (3.6) เลขคณติ , 4 n (27) 1 (53) หาไมไ่ ด้ (ไดเวอรเ์ จนต)์ (28) 2 (54) 255 (3.7) เปน็ ทงั้ เลขคณติ และ (29) 128 (55) 1 เรขาคณิต, an 3 (56.1) 1/6 (30.1) 50 1) (56.2) 30/61 (4) 4.5, 5, 5.5, 12.5 (56.3) 1/12 i (i (56.4) 115/462 (57) log(n 1) (5) 2, 4, 8, 217 i1 (6) 3n+8 (58) 2 (7) 26, 22, 18, 14 (30.2) n 1 i 1 2i (59.1) 3 2 n 3 2n (8) 2, 4 (30.3) n (2i 1) (59.2) 6 (9) 2, 6, 18, 54 i1 (59.3) 6 (60.1) 7/33 (10) 48 (30.4) q 1 i1 (60.2) 3049/4995 (60.3) 7249/999 (11) มี, พจนท์ ่ี 30 a rp (60.4) 3 i1 (12) พจนท์ ่ี 19 (30.5) 1 (13) 54 i1 i 3 (14) 334 (31.1) 1275 (15) 8 หรอื ( 2)n (31.2) 385 ( 2)n 2 (31.3) 784 (16) 39, 51, 63 (32.1) 10 (17) 5/4 (32.2) 23 (18) 13 (32.3) 197/12 (19.1) 10, 13 (33) 9128 (19.2) 115, 100, 85, 70 (34.1) 440 (20.1) 6, 12, 24, 48 (34.2) 7480 (20.2) 1, 3 , 9 หรอื 1, 3 , 9 (34.3) 1740 1) 1,540 4 16 4 16 (34.4) 20 i(i (21) 15 i1 2

บทที่ 388 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 เฉลยแบบฝึกหัด (วธิ ีคิด) (1.1) 21, 22, 23, 24 2, 4, 8, 16 (3.6) ลาํ ดับเลขคณติ an 4 (n 1)(4) 4n (3.7) มองเป็นลําดบั เลขคณติ หรอื เรขาคณติ กไ็ ด้ (1.2) 4(1) 2, 4(2) 2, 4(3) 2, 4(4) 2 ลําดับเลขคณติ an 3 (n 1)(0) 3 2, 6, 10, 14 ลาํ ดบั เรขาคณติ an 3(1)n 1 3 (1.3) 1 1 1 2 1 3 14 , , , 22 2 2 1, 1, 1, 1 (4) a4, a5, a6 4.5, 5, 5.5 2 4 8 16 a20 3 (19)(0.5) 12.5 (1.4) ( 1)1 1 ,( 1)2 2 ,( 1)3 3 ,( 1)4 4 22 32 42 52 1,2, 3 , 4 4 9 16 25 (5) a4, a5, a6 2, 4, 8 a20 1 (2)(19) 217 4 (2.1) 1 , 1 , 1 , 1 an 1 n1 (6) a4 a1 3d 20 .....(1) 20 21 22 23 2n 1 a16 a1 15d 56 .....(2) 1 แก้ระบบสมการ ได้ a1 11, d 3 (2.2) 1 , 1 , 1 , 1 2 12 22 32 42 an 11 (n 1)(3) 3n 8 an 1 2 n2 1 n (2.3) an : 1, 5, 13, 29, ... an 3 : 4, 8, 16, 32 22, 23, 24, 25 an 3 2n 1 an 2n 1 3 (7) a1 d a1 12d 0 .....(1) a1 3d a1 7d 12 .....(2) (2.4) 3 , 3 , 3 , 3 an 3 แก้ระบบสมการ ได้ a1 26, d 4 100 101 102 103 10n 1 ตอบ 26, 22, 18, 14 (2.5) an : 2, 6, 12, 20, ... an n : 1, 4, 9, 16, ... n2 an n2 n หรืออกี วิธหี นง่ึ an n : 2, 3, 4, 5, ... n 1 ตอบ(8) a1(2)(6) 128 2, 4 a1 2 (3.1) ลําดบั เลขคณติ 2n (9) a1 a1r 8 .....(1) 72 .....(2) an 15 (n 1)( 3) 18 3n a1r2 a1r3 72 r2(a1 a1r) 3, a1 2 (3.2) ลําดบั เรขาคณิต an 2(2)n 1 แกร้ ะบบสมการ (2) /(1) ได้ r ตอบ 2, 6, 18, 54 (3.3) ลําดับเลขคณติ an x (n 1)(2) x 2n 2 (10) xr xr2 6 .....(1) (3.4) log 2, 2 log 2, 3 log 2, 4 log 2, ... xr2 xr3 r(xr xr2) 12 .....(2) แก้ระบบสมการ (2) /(1) ได้ r 2, x ลาํ ดับเลขคณติ ! a5 3( 2)4 48 an log 2 (n 1)(log 2) n log 2 3 (3.5) ลําดับเรขาคณิต 1 n1 n 2 20 1 an 10 2

คณิต มงคลพิทักษสุข 389 ลา ับแล ุกรม kanuay.com (11) 96 20 (n 1)( 4) n 30 (18) b c .....(1) abc 27 .....(2) ab ตอบ มี, พจน์ท่ี 30 (ถา้ แกส้ มการแลว้ n ไม่เปน็ จาํ นวนนับ แสดงว่าไม่ b 3 a c 2 b 3 .....(3) อยู่ในลําดบั นน้ั ) แกร้ ะบบสมการ (1),(2) ได้ b 3, ac 9 (12) 75 3 (n 1)(4) n 19 ใสค่ า่ b ใน (3) ได้ a c 10 บงั เอิญโจทย์ถาม a b c จงึ ได้ 10 3 13 ตอบ พจนท์ ี่ 19 (ไม่ต้องแก้ a, c ต่อ) [สมมตถิ า้ แกส้ มการตอ่ จะไดผ้ ลเปน็ a 1, c 9 หรือ a 9, c 1 กไ็ ด้] (13) a10 200 (9)( 18) 38 (19.1) 7, _, _, 16 16 7 3d วิธีแรก จะได้ ..., 38, 20, 2, 16, ... d 3 ตอบ 10, 13 พบวา่ 38 กับ –16 ตา่ งกันอยู่ 54 ตอบ (19.2) 130, _, _, _, _, 55 55 130 5d วธิ ที ส่ี อง หาพจนแ์ รกทตี่ ิดลบ โดยสมการ 200 (n 1)( 18) 0 จะได้ n 12.11 d 15 ตอบ 115, 100, 85, 70 แสดงวา่ เรมิ่ ตดิ ลบทพี่ จน์ 13 a13 200 (12)( 18) 16 ..กจ็ ะได้คําตอบ (20.1) 3, _, _, _, _, 96 96 3 r5 (14) 2 (n 1)(3) 1, 000 n 333.67 r2 ตอบ 6, 12, 24, 48 แสดงวา่ คา่ m ทต่ี อ้ งการคือ 334 (20.2) 4 , _, _, _, 27 27 4 r4 3 64 64 3 (15) a1 a1r a1r2 3 .....(1) 4 r 3 หรอื 3 a1a1ra1r2 a13r3 8 .....(2) 44 แกร้ ะบบสมการได้ 3 r4 4 ตอบ 1, 3 , 9 หรือ 1, 3 , 9 4 16 4 16 r 2 a1 1, r 1/2 a1 4 [อย่าลมื วา่ กาํ ลังเลขคู่ จะตอ้ งมี 2 คําตอบเสมอ!] an 1( 2)n 1 ( 2)n หรอื 2 an 4( 1)n 1 8 2 ( 2)n (21) การบอกวา่ 2an 1 an 3 แบบนจ้ี ะตอ้ ง (16) คา่ d 5p p 6p 9 5p หาค่า a3 กับ a6 โดยไลแ่ ทนคา่ ไปจาก a5 p 3 จึงไดล้ ําดับเปน็ 3, 15, 27 คอื 2a6 a5 3 a6 4 และ 2a5 a4 3 a4 7 ตอบ 39, 51, 63 2a4 a3 3 a3 11 (17) ลําดับคอื 3 x, 20 x, 105 x ... ตอบ a3 a6 11 4 15 หาคา่ x โดยคา่ r 105 x 20 x 20 x 3 x (22) ลาํ ดบั เรขาคณติ 1 (2)n 1 250 315 108x x2 400 40x x2 n 9 ตอบ คนท่ี 3 x 85/68 5/ 4

บทที่ 390 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 (23.1) lim an หาคา่ ไมไ่ ด้ (25.1) lim 1 2n 3n3 31 n 27n3 ... 27 9 n (ลาํ ดับเลขคณิตที่ d 0 จะหาลมิ ิตไมไ่ ดเ้ สมอ) 1 n (23.2) lim an 10 1 1 1 1 (25.2) lim n 1 n n1 ( 1 , 1 , 1 , 1 , ... 0 ) 12 3 4 (25.3) lim n2 3 หาคา่ ไมไ่ ด้ n (23.3) lim an 0 n (25.4) lim 2n 1 n n1 (เพราะ sin 0, sin 2 0, sin 3 0, ... ) 2 (23.4) lim an 1 (25.5) lim n 5 5 15 1 n 3n 1 3 243 n (เพราะ cos 1 1, cos 2 1 1, ... ) [ลมิ ติ แจกแจงได้เสมอ ไมว่ า่ จะบวกลบคณู หาร, ยก กาํ ลงั , ถอดราก] (24) ในข้อนี้ ลาํ ดบั เปน็ ฟงั ก์ชนั พหนุ ามหารกนั (26) ขอ้ นใี้ ชห้ ลกั ทวี่ า่ lim rn 0 เมือ่ r 1 P(n) แทน n ไม่ได้ เพราะจะกลายเปน็ n Q(n) 2 1n รปู แบบไม่กําหนด (24.1) ตอ้ งใช้ n หารทง้ั เศษและสว่ น (26.1) lim 2 20 2 33 n3 4 3 40 4 (26.2) lim 2n2 4n 1 2 lim 1 4n lim 30 3 n 3n2 n 5 n n 1 2 2 (1 0) 4 39 3 n (26.3) หารปู ทวั่ ไปของลาํ ดับกอ่ น (24.2) ใช้ n2 หารทั้งเศษและสว่ น 21 3 2 3 7 15 2 (1)n 1 lim n n2 5 n 51 31, 32 , 34 , 3 8 , ... an 3 2 n2 lim an 32 0 9 n (24.3) lim 6 7 00 n n n2 5 4 5 n2 1 3 (27) lim an 54 n (24.4) lim n3 n5 00 lim bn lim 2/5 n 1 01 1 n 1 8 5 10 n5 n n 1 9 5n 6 7 6 หาคา่ ไมไ่ ด้ lim (an bn anbn) 1 ( 1) ( 1) 1 n2 0 33 (24.5) lim 1 n n 3 n n2 1 4 1 หาคา่ ไมไ่ ด้ n112 1 n7 0 nn (24.6) lim 11 (28) an det(Mn) n n6 n7 lim an lim (2 1) 2 nn n

คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ 391 ลา บั แล ุกรม kanuay.com 4 (34.1) S10 10 10 i) (29) ui f(ui) u1f(u1) u2f(u2) u3f(u3) u4f(u4) 10(11)(21) i (i 1) (i2 i1 6 (3)(10) (2)(7) (1)(4) (5)(16) 128 i1 i1 10(11) 440 2 50 1) (34.2) S10 10 (30.1) (i)(i i (i 3)(i 6) i1 i1 10 (i3 9 i2 18 i) n 1 (30.2) i1 i 1 2i 10(11) 2 9 (10)(11)(21) 18 10(11) (30.3) an : 1, 3, 7, 15, ... 262 an 1 : 2, 4, 8, 16, ... 2n 7,480 an 2n 1 (34.3) S8 8 (i3 2 i2 i) ตอบ n 1) i1 (2i 8(9) 2 2 (8)(9)(17) 8(9) 2 62 i1 หรอืq q1 1,740 (30.4) ar(p i) ar(p i 1) i0 i1 (30.5) 1 หรอื 1 (34.4) an 1 2 3 ... n n(n 1) 2 i4 i i1 i 3 20 (i2 i) 20 i(i 1) 50 50(51) 1,275 S20 i1 2 i1 2 (31.1) i 2 i1 1 20(21)(41) 20(21) 1,540 (31.2) 10 i2 10(11)(21) 385 26 2 6 i1 7(8) 2 784 7 2 n4 1 n4 1 (31.3) i3 n(n 1) 2 n4 2n3 n2 i1 (35) lim lim n n (32.1) 4 (i3 3 i2) 4 i3 3 4 i2 2 4 i1 i1 i1 lim 4n4 4 4 n4 2n3 n2 4(5) 2 3 4(5)(9) n 26 10 3 3 3(4)(7) (3)(3) 23 (36) a1 9d 19 .....(1) 6 a1 14d 34 .....(2) (32.2) n2 3 n1 n1 (32.3) เปน็ เศษสว่ นซงึ่ หารไม่ได้ จงึ ตอ้ งกระจาย เพ่ือคดิ ตรง ๆ 6 7 8 9 10 197 a1 8, d 3 1 2 3 4 5 12 an 8 (n 1)( 3) 11 3n โจทยใ์ หห้ า 20 2 i) 20 3i 2 i) (ai (11 (33) (fof)(n2) f(n2 1) n2 1 1 n2 2 i1 i1 30 30 30 20 20(11) 20(21) 10 2 (11 i) (n2 2) n2 i1 2 n 10 n 10 n 10 (21)(2) 30 n2 9 n2 30 2 n1 n1 n 10 30(31)(61) 9(10)(19) 9,128 66

868 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 จาํ นวนเฉพาะ 83 ตารางแจกแจงความถ่ี 480 จาํ นวนเฉพาะสัมพัทธ์ 85 ต่ําสดุ สมั พทั ธ/์ สมั บูรณ์ 411 จาํ นวนเชิงซอ้ น 49|353 ตําแหนง่ สมั พทั ธ์ 497 จาํ นวนตรรกยะ 47 ถ่วงนา้ํ หนกั 484 จาํ นวนเต็ม 47 ถา้ -แลว้ 106 จาํ นวนนบั /จาํ นวนธรรมชาติ 47 แถว 295 จาํ นวนประกอบ 84 ทรงส่เี หล่ียมหนา้ ขนาน 339 จาํ นวนอตรรกยะ 48 ทรานสโพส 296 จดุ กาํ เนดิ 143 ทฤษฎกี ราฟ 547 จดุ เปลยี่ นความเวา้ 410 ทฤษฎจี าํ นวน 81 จดุ ยอด 165|547 ทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟ์ 360 จดุ ยอดค่/ู จดุ ยอดคี่ 548 ทฤษฎบี ทตวั ประกอบ 58 จดุ ยอดประชดิ 548 ทฤษฎบี ททวนิ าม 454 จดุ ศนู ยก์ ลาง 161|168|171 ทฤษฎีบทปที าโกรัส 144 จดุ สุดขดี 410 ทฤษฎีบทเศษเหลอื 57 จดุ สงู สดุ /ตา่ํ สุด 410 นิรนยั 126 ช่วง 63 นิเสธ 107|324 ชว่ งครง่ึ เปิด 64 แนวเดนิ 551 ชว่ งเปดิ /ชว่ งปดิ 64 บทนยิ ามการหาร 83 ซิกม่า 381 ปฏิยานพุ นั ธ์ 416 ซงิ กลู าร์เมทริกซ์ (เมทรกิ ซ์เอกฐาน) 301 ประชากร/ตวั อยา่ ง 480 เซต 11 ประพจน์ 105 เซตจาํ กดั /เซตอนนั ต์ 12 ประโยคเปดิ 119 เซตวา่ ง 12 ปริพนั ธ์ (อินทกิ รลั ) 416 แซมเปลิ สเปซ (ปรภิ มู ิตวั อย่าง) 459 ปรภิ ูมติ วั อยา่ ง (แซมเปิลสเปซ) 459 ฐานนยิ ม 486 ปริภมู สิ ามมติ ิ 335 ดอทโปรดคั ท์ (ผลคณู เชงิ สเกลาร)์ 333 ปรมิ าณเวกเตอร์ 323 ดกี รี 55|548 ปรมิ าณสเกลาร์ 323 ดเี ทอรม์ ินนั ต์ (ตวั กําหนด) 300 เปลย่ี นตวั แปร 441 เดไซล์ 497 เปอร์เซนไทล์ 497 โดเมน 200|233 ผลคณู คาร์ทเี ซียน 197 ไดเรกตรกิ ซ์ 165 ผลคณู เชิงเวกเตอร์ (ครอสโปรดคั ท์) 338 ไดเวอรเ์ จนต์ 379|382 ผลคณู เชิงสเกลาร์ (ดอทโปรดคั ท)์ 333 ต้นไมแ้ ผท่ ่ัว 554 ผลตา่ งเซต 22 ตรรกศาสตร์ 105 ผลตา่ งรว่ ม 376 ตรวจคาํ ตอบ 293 ผลบวกยอ่ ย 381 ตรโี กณมติ ิ 235 ผลรวมเชงิ เสน้ 82|331 ต้ังฉาก 149|330 ผลลพั ธ์ 459 ตวั กาํ หนด (ดีเทอรม์ ินนั ต)์ 300 แผนภาพกลอ่ ง 500 ตัวคณู ร่วมนอ้ ย (ค.ร.น.) 85 แผนภาพการกระจายตวั 515 ตัวเชอื่ มประพจน์ 106 แผนภาพตน้ ไม้ 443 ตัวบ่งปริมาณ 120 แผนภาพลาํ ตน้ -ใบ 483 ตัวประกอบร่วมเก่ยี ว (โคแฟกเตอร)์ 300 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ 20|128|460 ตัวผกผนั (อนิ เวอร์ส) 50|201 พจน/์ พจนท์ วั่ ไป 375 ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) 85 พหนุ ามตัวแปรเดียว 55|363 ตัวอย่าง/ประชากร 480 พาราโบลา 165|204|515 ตารางค่าความจริง 107 พกิ ัดฉาก 143|330

คณติ มงคลพิทักษสขุ 869 kanuay.com พิกัดเชงิ ขว้ั 330|360 ไมเนอร์ 300 ไมม่ ลี มิ ติ 379 พสิ ยั (เรนจ)์ 200|233|502 ยูเนียน 21 ระนาบ 143 พ้ืนท่ใี ต้โคง้ 419|510 ระนาบเชิงซอ้ น 354 ระบบสมการเชงิ เส้น 310 เพาเวอรเ์ ซต 16 ระเบยี บวธิ ีกาํ ลงั สองน้อยทสี่ ดุ 516 ระยะตัดแกน 151 โพรเจคชัน (ภาพฉาย) 155 รศั มี 161 ราก (ร้ทู ) 274 ฟังก์ชนั 207 รากท่ีสอง 104|274|361 รปู เชิงขวั้ 360 ฟังก์ชนั คอมโพสทิ (ประกอบ) 212|233|407 รูปแบบยังไมก่ ําหนด 398|440 รปู หลายเหลีย่ มของความถ่ี 482 ฟังก์ชนั โคซแี คนต์ 235 เรขาคณติ วิเคราะห์ 143 เรเดียน 238 ฟังก์ชนั โคไซน์ 235 เรนจ์ (พสิ ยั ) 200|233 ลอการทิ ึมธรรมชาติ (ฐาน e) 279 ฟังกช์ นั โคแทนเจนต์ 235 ลอการทิ มึ แบบเนเปยี ร์ 279 ลอการทิ มึ สามญั (ฐาน 10) 279 ฟังก์ชนั จาก A ไป B 208|478 ลาํ ดับ 375 ลาํ ดบั จาํ กัด/ลาํ ดบั อนันต์ 376 ฟังก์ชนั จาก A ไปท่ัวถึง B 208|478 ลาํ ดับเลขคณติ /ลาํ ดับเรขาคณติ 376 ลปิ ดา 237 ฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ 536 ลิมติ 378|395 ลมิ ิตซา้ ย/ลิมิตขวา 395 ฟังก์ชนั ซีแคนต์ 235 ลเู่ ขา้ /ลอู่ อก 379|382 เลขชีก้ าํ ลงั 273 ฟงั ก์ชนั ไซน์ 235 เลตสั เรกตัม 166 เลื่อนแกน 159 ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 235 และ 106 วงกลม 161|204 ฟังก์ชนั แทนเจนต์ 235 วงกลมหนง่ึ หน่วย 236 วงจร/วงจรออยเลอร์ 551 ฟงั กช์ นั ประกอบ (คอมโพสิท) 212|233|407 วงรี 168 วงวน 548 ฟงั ก์ชนั ผกผนั (อนิ เวอรส์ ) 213 วัฏจกั ร 554 วถิ /ี วถิ ที ส่ี น้ั ทส่ี ดุ 553 ฟังกช์ นั ผกผนั ของตรีโกณมติ ิ 249 วธิ ีจดั หมู่ 448 วธิ ีเรียงสบั เปลยี่ น 445 ฟังกช์ นั เพม่ิ /ฟงั กช์ ันลด 209|410 เวกเตอร์ 323 เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย 331 ฟังกช์ นั ลอการทิ มึ 279 เศษ (เศษเหลือ) 57|83 สตาร์แอนด์บาร์ 451 ฟังกช์ นั หนึ่งต่อหนึง่ 208|478 สถติ ิ 479 สมการจดุ ประสงค์ 536 ฟังก์ชนั อารค์ - 249 สมการตรีโกณมติ ิ 241 ฟังก์ชนั อนิ เวอรส์ (ผกผัน) 213 ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ล 275|515 เฟสเซอร์ 374 แฟคทอเรยี ล 445 โฟกัส 165|168|171 ภาคตดั กรวย 159 ภาคตัดกรวยลดรปู 176 ภาพฉาย (โพรเจคชัน) 155 มธั ยฐาน 145|485 มติ ิ 295 มมุ กม้ /มมุ เงย 255 มมุ กําหนดทิศทาง 337 เมทริกซ์ 295 เมทรกิ ซ์จตั รุ สั 296 เมทรกิ ซแ์ ตง่ เติม 308 เมทรกิ ซผ์ กผนั (อนิ เวอรส์ ) 304 เมทรกิ ซ์ผกู พนั (แอดจอยท์) 304 เมทรกิ ซ์สามเหลย่ี ม 301 เมทริกซ์เอกฐาน (ซิงกลู าร์เมทริกซ)์ 301 เมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์ 297 แมนทสิ ซา 280 ไม่เกิดรว่ มกนั 460 ไม่ขน้ึ ตอ่ กนั (อสิ ระจากกัน) 460

870 MaRtehleaEse-B2o.6o.k4 สมการปกติ 516 หาค่าไมไ่ ด้ 379 สมการพหุนาม 55|363 สมการลอการทิ มึ หารลงตัว 81|452 สมการเสน้ ตรง 282 สมการเอกซโ์ พเนนเชียล 149|376 หารสังเคราะห์ 60 สมบัติการแจกแจง 277|376 สมบตั ิการเปลีย่ นกลุ่ม เหตกุ ารณ์ 459 สมบตั ิการสลับที่ 52 สมบัติไตรวภิ าค 52 องศา 237|238 สมบตั ปิ ิด 52 สมมลู 63 อนกุ รม 380 สมเหตสุ มผล 47|52 สมาชิก 109 อนุกรมจาํ กดั /อนกุ รมอนันต์ 381 สว่ นจรงิ /สว่ นจนิ ตภาพ 116|127 สว่ นเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์ 11|197|295 อนุกรมผสม 386 สว่ นเบี่ยงเบนเฉลีย่ 353 สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน 502 อนุกรมเลขคณติ /อนกุ รมเรขาคณติ 380 สงั ยคุ 503 สจั นิรนั ดร์ 503 อนุกรมเวลา 518 สบั เซต 357 สบั เซตแท้ 113|117 อนพุ นั ธ์ 405 สัมประสิทธกิ์ ารแปรผนั 15 สมั ประสิทธ์ิทวนิ าม 16 อนพุ นั ธ์อนั ดับสูง 408 สมั พทั ธ/์ สมั บูรณ์ 506 สามสิ่งอนั ดบั 454 อสมการ 63 สามเหลย่ี มของปาสคาล 411|502 สามเหลยี่ มบน/สามเหลย่ี มลา่ ง 336 อสมการขอ้ จํากดั 536 สารสนเทศ (ขา่ วสาร) 454 สํามะโน 296 อฐั ภาค 335 สูงสดุ สัมพทั ธ์/สมั บรู ณ์ 479 เส้นกาํ กบั 480 อตั ราการเปลีย่ นแปลง 404 เสน้ โค้งของความถ่ี 411 เสน้ จํานวน 171 อตั ราสว่ นร่วม 376 เส้นเชอ่ื ม 483|509 เส้นเชอ่ื มขนาน 64 อนั ตรภาคชนั้ 480 เสน้ ตรง 547 เส้นทแยงมมุ หลกั 548 อนั ตรภาคชนั้ เปดิ 480 เส้นสมั ผัสวงกลม 148|204|515 ห.ร.ม. (ตวั หารรว่ มมาก) 296 อาณาบริเวณทห่ี าคาํ ตอบได้ 536 หรอื 163 หลัก 85 อารค์ - 249 หลักมลู ฐานเก่ยี วกับการนับ 106 295 อินเตอรเ์ ซกชนั 21 443 อินทิกรลั (ปรพิ นั ธ์) 416 อินทกิ รลั จาํ กัดเขต 418 อนิ ทิกรลั ไม่จาํ กดั เขต 416 อินทเิ กรต 416 อินเวอรส์ 50|304|355 อนิ เวอรส์ ของความสมั พนั ธ์ 201|205 อนิ เวอรส์ ของฟงั กช์ ัน 213 อนิ เวอรส์ เมทรกิ ซ์ (ผกผนั ) 304 อิสระจากกนั (ไมข่ น้ึ ตอ่ กนั ) 460 อปุ นัย 125 เอกภพสมั พทั ธ์ 14 เอกลกั ษณ์ 50|297|355 เอกลกั ษณข์ องตรโี กณมิติ 236|252 แอดจอยท์ (เมทริกซ์ผกู พนั ) 304 แอนติลอการทิ ึม 280 แอมพลจิ ดู 244 ฮสิ โทแกรม 482|490 ไฮเพอร์โบลา 171 ไฮเพอรโ์ บลามุมฉาก 174|205