callculus1

1-1 ฉ้ หน่วยท 1 ลมต ล คว มต่ น ง จดปร สงค์ก ร รยนร้ เม่ือนกั ศกึ ษาเรียนจบบทเรียนนีแ้ ล้วจะสามารถ 1. อธิบายความหมายของลมิ ติ ได้อยา่ งถกู ต้อง 2. หาคา่ ลิมิตของฟังก์ชนั ท่ีกาหนดให้ได้อยา่ งถกู ต้อง 3. บอกได้วา่ ฟังก์ชนั ที่กาหนดให้ตอ่ เนื่องท่ีจดุ ท่ีกาหนดให้หรือไม่ 4. บอกได้วา่ ฟังก์ชนั ท่ีกาหนดให้ตอ่ เน่ืองบนชว่ งที่กาหนดให้หรือไม่ ส ร ส คญ 1. สญั ลกั ษณ์ x a ; f x L หมายความวา่ เม่ือ x มีคา่ ใกล้ a ทาให้ f x มี คา่ เข้าใกล้ L เขียนแทนด้วย lim f x L อา่ นว่าลมิ ติ ของ f x เม่ือ x เข้าใกล้ xa a มีคา่ เทา่ กบั L 2. การหาลมิ ิตของฟังก์ชนั คอื การหาวา่ ฟังก์ชนั นนั้ มีคา่ เข้าใกล้จานวนใด เม่ือตวั แปร อิสระมีคา่ เข้าใกล้หรือเกือบเทา่ จานวนจริงที่กาหนดให้ 3. คา่ ของ lim f x เม่ือ x a ไมจ่ าเป็ นต้องมีคา่ เทา่ กบั f a 4. ในการคานวณหาคา่ ของลิมิต lim f x ถ้าได้ผลออกมาอยใู่ นรูปแบบที่ยงั ไมไ่ ด้ xa กาหนด ต้องจดั ฟังก์ชนั เสียใหมใ่ ห้เหมาะสมก่อนท่ีจะคานวณคา่ ลมิ ิต 5. ฟังก์ชนั f x ตอ่ เนื่องที่ x ก็ตอ่ เม่ือ f a lim f x xa 6. ฟังก์ชนั มีความตอ่ เน่ืองบนชว่ งใดชว่ งหนงึ่ ก็ตอ่ เม่ือฟังก์ชนั นนั้ มีความตอ่ เนื่องที่แตล่ ะ จดุ บนชว่ งนนั้ น หสร 1.1 คว มหม ยข งลมต การศกึ ษาเรื่องลมิ ิตมีความสาคญั เป็ นอย่างมากในทางวชิ าคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะ อยา่ งยงิ่ ในวิชาแคลคลู สั (Calculus) การศกึ ษาลมิ ิตของฟังก์ชนั จะเป็นพืน้ ฐานของแนวคดิ ไปสู่ การศกึ ษาเร่ืองอ่ืน ๆ เชน่ อนพุ นั ธ์ และอินทกิ รัล เป็ นต้น

2-1 - ก่อนที่จะกลา่ วถึงลิมิต จะเริ่มต้นพจิ ารณาฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี ้ กาหนด f x 2x 3 เป็ นฟังก์ชนั ซง่ึ มี x เป็ นตวั แปรอิสระ และ f x หรือ y เป็ นตวั แปรตาม จะเห็นวา่ ถ้าให้ x มีคา่ เข้าใกล้คา่ ใดคา่ หนงึ่ เชน่ 1 เขียนแทนด้วย x 1 หมายความวา่ x มีคา่ เข้าใกล้ 1 ทางขวาและ x มีคา่ เข้าใกล้ 1 ทางซ้าย แตไ่ มเ่ ท่ากบั 1 เขียนแทนด้วย x 1 และ x 1 จะได้คา่ f x ดงั ตาราง ต ร ง 1 คา่ ของ f x เม่ือ x เข้าใกล้ 1 ทางซ้ายมือ x 1 x 0.99999 0.9999 0.999 0.99 0.9 4.8 fx 4.99998 4.9998 4.998 4.98 จากตาราง 1 จะเหน็ วา่ คา่ ของ x เข้าใกล้ 1 ทางน้อยกวา่ คา่ ของ f x จะเข้าใกล้ 5 ทาง น้อยกวา่ เรียก 5 วา่ เป็นลิมิตของ f x เม่ือ x เข้าใกล้ 1 ทางซ้ายมือเขียนเป็นสญั ญลกั ษณ์ lim f x 5 x1 อา่ นวา่ ลิมติ ของฟังก์ชนั x เมื่อ x มีคา่ เข้าใกล้ 1 ทางซ้าย มีคา่ เทา่ กบั 5 ต ร ง 2 คา่ ของ f x เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ทางขวามือ x 1 x 1.00001 1.0001 1.001 1.01 1.1 5.02 5.2 fx 5.00002 5.0002 5.002 จากตาราง 1 จะเหน็ วา่ คา่ ของ x เข้าใกล้ 1 ทางมากกวา่ คา่ ของ f x จะเข้าใกล้ 5 ทาง มากกวา่ เรียก 5 วา่ เป็นลิมติ ของ f x เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ทางขวามือเขียนเป็นสญั ญลกั ษณ์ lim f x 5 x1 อา่ นวา่ ลิมิตของฟังก์ชนั x เมื่อ x มีคา่ เข้าใกล้ 1 ทางขวา มีคา่ เทา่ กบั 5

3-1 - จากตาราง 1 และ 2 จะเห็นวา่ เม่ือ x เข้าใกล้ 1 ไมว่ า่ ทางซ้ายหรือทางขวาก็ตาม คา่ ของ f x จะมีคา่ เข้าใกล้ 5 เรียก 5 วา่ เป็นลมิ ิตของ f x เม่ือ x มีคา่ เข้าใกล้ 1 เขียนเป็น สญั ญลกั ษณ์ คอื lim f x 5 x1 เขียนในรูปของสญั ญลกั ษณ์ทว่ั ไป ได้ดงั นี ้ lim f x L xa อา่ นวา่ ลมิ ิตของฟังก์ชนั x เม่ือ x เข้าใกล้ a มีคา่ เทา่ กบั L หมายความวา่ เม่ือ x มีคา่ ใกล้ a (แตไ่ มเ่ ทา่ กบั a ) คา่ ของ f x จะยงิ่ เข้าใกล้ L นน่ั คือลิมติ คอื คา่ ของจานวนคงตวั จานวนหนง่ึ ซง่ึ คา่ ของฟังก์ชนั มีคา่ เข้าใกล้ตวั เลขใดตวั เลขหนงึ่ แนน่ อน คา่ ของฟังก์ชนั f x 2x 3 สามารถนามาเขียนกราฟเพื่อเปรียบเทียบคา่ ของ x และ คา่ ของ f x เม่ือ x มีคา่ เข้าใกล้ 1 ทงั้ ทางซ้ายมือและทางขวามือได้ดงั นี ้ รูปท่ี 1.1

4-1 รื จากกราฟจะเห็นวา่ เมื่อ x มีคา่ เข้าใกล้ 1 ไมว่ า่ จะทางซ้ายมือหรือขวามือมากเพียงใด คา่ ของ f x ก็จะยิง่ เข้าใกล้ 5 มากเทา่ นนั้ 1.2 ก รห ค่ ลมตข งฟงก์ชน การหาลิมิตของฟังก์ชนั คือ การหาวา่ ฟังก์ชนั นนั้ มีคา่ เข้าใกล้จานวนใด เมื่อ x มีคา่ เข้า ใกล้หรือเกือบเทา่ จานวนเลขใดจานวนเลขหนงึ่ จากตวั อยา่ งข้างต้นที่กลา่ วมาแล้ว จะเห็นวา่ การหาลมิ ติ ของฟังก์ชนั สามารถทาได้ 2 วิธี คอื (1) สร้างตารางหาคา่ ของ f x แล้วพิจารณาวา่ f x มีคา่ เข้าหาจานวนใด เมื่อ x มี คา่ เข้าใกล้ a (2) เขียนกราฟของ y f x แล้วพจิ ารณาคา่ ของ f x จากกราฟวา่ f x จะมีคา่ เข้าใกล้จานวนอะไร เม่ือ x เข้าใกล้ a ซง่ึ ทงั้ 2 วธิ ีนีจ้ ะสามารถหาลิมิตของฟังก์ชนั ได้ แตใ่ นกรณีที่ฟังก์ชนั มีความซบั ซ้อน การหา คา่ ของลิมติ ของฟังก์ชนั โดยวิธีการดงั กลา่ วข้างต้นคอ่ นข้างยงุ่ ยากและเสียเวลา การศกึ ษาเก่ียวกบั ทฤษฎีตา่ ง ๆ ของลิมิตจะชว่ ยให้สามารถหาคา่ ของลมิ ติ ได้งา่ ยขนึ ้ ในท่ีนีจ้ ะกลา่ วเฉพาะทฤษฎีที่จะ นาไปใช้เทา่ นนั้ ดงั ตอ่ ไปนี ้ 1.2.1 ทฤษฎข งลมต ให้ a,k, L และ m เป็นจานวนจริงใด ๆ ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชนั ที่มีโดเมนและเรนส์ เป็นสบั เซตของจานวนจริง ทฤษฎ 1 ถ้า lim f x L และ lim f x m แล้วจะได้ L m xa xa นน่ั คือ ถ้าลมิ ิตของ f x เมื่อ x เข้าใกล้ a หาคา่ ได้ จะได้วา่ คา่ ของลมิ ติ f x มีเพียง คา่ เดียวเทา่ นนั้ ทฤษฎ 2 lim k k xa

5-1 - เชน่ lim 5 5 x3 ทฤษฎ 3 lim x a xa เชน่ lim x 2 x2 ทฤษฎ 4 lim k f x k lim f x xa xa เชน่ = lim 7x = 7 lim x x2 x2 = 72 = 14 ทฤษฎ 5 lim f x g x lim f x lim g x xa xa xa เชน่ lim x 5 = lim X lim 5 x1 lim (7 x) x 1x 1 x3 =1 5 =6 = lim 7 lim x x3 x3 =7 3 =4

6-1 - ทฤษฎ 6 lim f x g x lim f x lim g x xa xa xa เชน่ lim x x 5 = lim x lim x 5 x2 x2 x2 = 2 lim x lim 5 x2 x2 = 22 5 = 14 ทฤษฎ 7 lim f x lim f x เมื่อ lim g x 0 x a gx xa lim g x xa xa เชน่ lim x 4 = lim x 4 x 1 3x x1 lim 3x x1 = 14 3 =1 ทฤษฎ 8 ถ้า lim f x L และ n เป็ นจานวนนบั ; L 0 xa จะได้วา่ lim n f x = n lim f x = n L xa xa เชน่ lim 3 x2 3x 4 = 3 lim x2 3x 4 x4 x4 = 3 42 3 4 4 = 3 16 12 4 = 38 =2 หม ย หต ทฤษฎีของลิมติ สามารถพิสจู น์ได้ ในที่นีจ้ ะไมแ่ สดงวิธีพิสจู น์ แตจ่ ะแสดงวธิ ีการ นาทฤษฎีไปใช้ในการหาคา่ ของลมิ ติ เทา่ นนั้

7-1 - ตว ย่ งท 1.1 จงหา lim (3x2 5x 9) x2 วธท lim (3x 2 5x 9) = lim 3x2 lim 5x lim 9 x2 x2 x2 x2 = 3lim x2 5lim x lim 9 x2 x2 x2 = 322 52 9 = 12 10 9 = 11 ต บ ในการหา lim f x ถ้า f x เป็นฟังก์ชนั พหนุ ามจะสามารถหาคา่ ของลิมติ ได้งา่ ยขนึ ้ xa โดยการแทนคา่ x ใน f x ด้วย a ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี ้ ตว ย่ งท 1.2 จงหา lim (x2 2x 7) ตบ x3 วธท lim (x 2 2x 7) = 32 2 3 7 x3 =9 6 7 =8 ในกรณีที่ฟังก์ชนั อยใู่ นรูปของเศษสว่ น ถ้าลิมิตของสว่ นเท่ากบั ศนู ย์ จะไมส่ ามารถใช้ ทฤษฎีท่ี 7 ได้ ต้องจดั ฟังก์ชนั ใหม่ โดยอาจใช้วิธีใดวธิ ีหนง่ึ ดงั ตอ่ ไปนี ้ 1. แยกตวั ประกอบของตวั เศษและตวั สว่ นแล้วตดั ทอนกนั 2. ถ้าไมส่ ามารถแยกตวั ประกอบ ให้นาจานวนที่เหมาะสมคณู ทงั้ ตวั เศษและตวั สว่ น แล้วสามารถแยกตวั ประกอบได้และตดั ทอนกนั ได้ เมื่อตดั ทอนกนั แล้ว จะเหน็ ว่า lim ของตวั สว่ นไมเ่ ป็น 0 แล้วสามารถใช้ทฤษฎี 7 ได้ ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี ้

8-1 - ตว ย่ งท 1.3 จงหา lim x2 2x 3 x1 x 1 วธิ ีทา lim x2 2x 3 = lim x 1 x 3 x1 x 1 x1 x 1 = lim x 3 ตบ x1 =1 3 =4 ตว ย่ งท 1.4 จงหา lim x2 3x 10 x2 4 x2 วธท lim x2 3x 10 = lim x 2 x 5 x2 4 x2 x 2 x 2x 2 = lim x 5 x 2x 2 = 25 22 = 7 4 = 7 ตบ 4 ตว ย่ งท 1.5 จงหา lim x 6 3 x3 x 3 วธท เมื่อ x 3 จะได้ lim x 6 3 = 0 และไมส่ ามารถแยกตวั ประกอบของ x 3 0 x 6 3 ได้ ดงั นนั้ จงึ ต้องหาจานวนที่เหมาะสมมาคณู ทงั้ เศษและ x 3 สว่ น เพื่อหาลิมิตของฟังก์ชนั ดงั นี ้ lim x 6 3 = lim x 6 3 x 6 3 xx x 3 x3 x 3 x6 3 = lim x 6 2 32 x3x 3 x 6 3

9-1 ดิ = lim x 6 9 3 3 x3x 3 x 6 = lim x3 x3x 3 x 6 = lim 1 x3 x 6 3 =1 = 1 33 36 3 = 1 ตบ 6 ตว ย่ งท 1.6 จงหา lim x2 7 4 x3 x3 วธท เมื่อ x 3 จะได้ lim x2 7 4 = 0 ซงึ่ อยใู่ นรูปแบบท่ียงั ไม่ x3 x3 0 กาหนดและโจทย์ข้อนีไ้ มส่ ามารถแยกตวั ประกอบได้ จงึ ต้องหาจานวนท่ีเหมาะสม มาคณู ทงั้ เศษและสว่ น ทาให้สามารถหาลมิ ิตได้ดงั นี ้ lim x2 7 4 = lim x2 7 4 x3 x3 x3 x3 = lim x2 2 42 7 x 3 x 3 x2 7 4 = lim x2 7 16 x 3 x 3 x2 7 4 = lim x2 9 x 3 x 3 x2 7 4 = lim x 3x 3 x 3 x 3 x2 7 4 = lim x3 x 3 x2 7 4 = 33 32 7 4 =6 16 4

10 - 1 - = 6 8 =3 ตบ 4 ข้ สง กต จากตวั อยา่ งท่ี 1.5 และ 1.6 จะเห็นวา่ จานวนท่ีจะนาไปคณู ทงั้ เศษและสว่ น จะ เป็นจานวนที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกบั ตวั เศษหรือตวั ส่วน นน่ั คือ ทาตวั ส่วนไมใ่ ห้ มีคา่ เทา่ กบั ศนู ย์ (0) นนั่ เอง 1.2.2 ลมต กยวกบ นนต์ พจิ ารณาฟังก์ชนั f x 1 x x 1 2 5 10 100 1,000 10,000 100,000 f x 1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 109 1 10 9 จากตารางจะเหน็ วา่ ถ้า x มีคา่ เพิ่มขนึ ้ เรื่อย ๆ อยา่ งไมม่ ีขอบเขต คา่ ของ f x ก็ จะมีคา่ ลดลงและเข้าใกล้ 0 มากยงิ่ ขนึ ้ นน่ั คือ lim 1 0 x ax หม ย หต เครื่องหมาย และ (อา่ นวา่ อินฟินิตี ้(infinity) และลบอินฟินิตี)้ เป็น สญั ลกั ษณ์ท่ีใช้แทนคาวา่ “มากอย่างไมม่ ีขอบเขต และน้อยมากอยา่ งไมม่ ี ขอบเขต ตามลาดบั ดงั นนั้ ลมิ ิตของฟังก์ชนั f x 1 เมื่อ x มีคา่ เพมิ่ ขนึ ้ อยา่ งไมม่ ีขอบเขต เขียนแทนด้วย x x อา่ นวา่ เอ็กซ์มีคา่ เข้าใกล้อนนั ต์ หรือเมื่อ x มีคา่ ลดลงอยา่ งไมม่ ีขอบเขต เขียนแทนด้วย x อา่ นวา่ เอ็กซ์มีคา่ เข้าใกล้ลบอนนั ต์

- 11 - 1 ทฤษฎ 9 ถ้า f x = c เม่ือ c, x 0 และ p 0 จะได้ xp =0 lim c xP x เช่น lim 7 = 0 x3 x ทฤษฎ 10 lim c = c เมื่อ c เป็ นคา่ คงตวั x และ lim x = x เช่น lim 9 =9 x = lim y y หม ย หต ทฤษฎีบท 9 และ 10 กลา่ วเฉพาะท่ี x เทา่ นนั้ กรณีที่ x ทฤษฎีบททงั้ สองนีย้ งั คงเป็ นจริงอยู่ นอกจากนีท้ ฤษฎีของลิมิตท่ีกลา่ วไว้ข้างต้นสามารถใช้ได้สาหรับลมิ ิตเก่ียวกบั อนนั ต์ เชน่ เดียวกนั การหาลิมิตของฟังก์ชนั ตรรกยะที่อยใู่ นรูป P x โดยท่ี P x และ Q x เป็นฟังก์ชนั Qx พหนุ าม เมื่อ x หรือ ทาได้โดยหารทงั้ เศษและสว่ นด้วย xn เมื่อ n เป็นเลขชีก้ าลงั สงู สดุ ของตวั เศษและตวั สว่ น แล้วใช้ทฤษฎีเก่ียวกบั ลิมิตดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี ้ ตว ย่ งท 1.7 จงหา lim 3x 2 4x 5 x2 x x วธท เมื่อ x จะได้วา่ lim 3x 2 4x 5 = ซง่ึ อยใู่ นรูปแบบยงั ไมก่ าหนด x2 x x ดงั นนั้ ในข้อนีจ้ งึ จดั รูปใหม่ โดยเอา x2 หารตลอดจะได้ 3x2 4x 5 lim 3x 2 4x 5 = lim x2 x2 x2 x2 x x2 x2 x x x2 x2

12 - 1 - = 3 45 x x2 lim 11 x x = 300 10 =3 ตบ ตว ย่ งท 1.8 จงหา lim x2 7x 5 x x2 วธท ในข้อนจี ้ ะเหน็ วา่ x2 7x 5 เป็ นเศษเกิน ทาเป็ นเศษคละได้คอื x2 x5 15 x2 lim x2 7x 5 = lim x 5 15 x x2 x x2 = lim x 5 lim 15 x x x2 =0 = ตบ จากตวั อยา่ งที่ . ถ้าไมท่ าให้เป็ นเศษสว่ นจานวนคละ อาจทาได้อกี วิธี โดยเอา x หารตลอด นน่ั คอื ทาสว่ นไมใ่ ห้เทา่ กบั 0 ได้ดงั นี ้ x2 7x 5 x lim x2 7x 5 = lim x x x x x2 2 x xx x7 5 = lim x x 1 2 x = 70 10 = ตบ ตว ย่ งท . จงหา lim x2 3x 9 2x3 5x x

13 - 1 - วธท เมอ่ื x จะได้ lim x2 3x 9 เทา่ กบั ดงั นนั้ ในข้อนคี ้ วรหารด้วย x3 2x3 5x x ตลอด ดงั นี ้ x2 3x 9 lim x2 3x 9 = lim x3 x3 x3 2x3 5x 2x3 5x x x x3 x3 13 9 = lim x x2 x3 x 2 5 x2 = 000 20 = 0 2 =0 ตบ

14 - 1 - บบฝกหดท . จงห ค่ ข งลมตข งฟงก์ชนต่ ปน 1. lim x 5 11. lim 3 x x2 x1 x 3 2. lim x2 3x 5 12. lim x 3 2 x0 x1 x 1 3. lim x 2 x 3 x0 13. lim 3x2 1 4. lim 2x2 3x 9 xx x2 14. lim 3x 2 5x 9 5. lim x2 3x x3 6x 3 x x3 x 3 15. lim x2 5 1 6. lim x2 x 1 3x x x1 x 2 16. lim x3 2x2 5x 7 7. lim x2 x 6 2x3 9x 1 x x2 x 2 17. lim 8 y 5 y 7 8. lim x2 16 y6 x 4x4 18. lim 2x 3 x 7x 5 9. lim x 2 2 4 19. lim 2x5 3 x0 x x x2 x 10. lim 3 2 x 6 20. lim x4 x2 x3 1 x

16 - 1 - 1.3 คว มต่ น งข งฟงก์ชน ความตอ่ เนื่อง (Continuous) เป็ นคณุ สมบตั ิที่สาคญั อยา่ งหนงึ่ ของฟังก์ชนั ในคณติ ศาสตร์ชนั้ สงู จะมี ทฤษฎตี า่ ง ๆ เป็ นจานวนมากทเี่ กี่ยวข้องกบั ความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชนั การพจิ ารณาความตอ่ เน่อื งของฟังก์ชนั โดยทว่ั ไป เราอาจตรวจสอบโดยพิจารณาจากกราฟของฟังก์ชนั ถ้ากราฟของฟังก์ชนั ขาดตอนอยา่ งน้อย จดุ แสดงวา่ ฟังก์ชนั ไมต่ อ่ เนอื่ งบนจดุ นนั้ กข ค รูปที่ . จากรูปท่ี . ก จะได้วา่ ฟังก์ชนั ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ ง a,b และ ข ฟังก์ชนั ตอ่ เน่อื งบนจานวนจริงใด ๆ และจากรูป ค, ง จะได้วา่ ฟังก์ชนั ไมต่ อ่ เนอื่ งบนจานวนจริง และหากจะพจิ ารณาจากการแทนคา่ ของฟังก์ชนั เชน่ f x 2x จะสามารถหาคา่ f x ได้จากทกุ ๆ คา่ ของ x เรียกวา่ ฟังก์ชนั f x มคี วาม ตอ่ เนือ่ ง และ f x 1 จะเห็นวา่ ถ้าแทนคา่ x 0 จะไมส่ ามารถหา f x ได้ นนั่ คือฟังก์ชนั ไมต่ อ่ เน่ือง ท่ี x 0 x นน่ั คือ ถ้าฟังก์ชนั มคี า่ ที่จดุ ใด ฟังก์ชนั จะตอ่ เน่อื งทีจ่ ดุ นนั้ และถ้าฟังก์ชนั ไมม่ คี า่ ทจี่ ดุ ใด ฟังก์ชนั นนั้ ยอ่ มไมต่ อ่ เนื่องทจี่ ดุ นนั้ ความตอ่ เนื่องของฟังก์ชนั แบง่ ออกเป็ น ลกั ษณะคอื ความตอ่ เนอ่ื งบนจดุ และความตอ่ เนอ่ื งบนชว่ ง . . คว มต่ น งทจด นอกจากจะอาศยั กราฟในการพจิ ารณาวา่ ฟังก์ชนั มคี วามตอ่ เน่ืองหรือไมแ่ ล้ว เราอาจใช้ ความรู้เกีย่ วกบั ลมิ ิตให้นิยามความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชนั ณ จดุ ใดจดุ หนงึ่ ดงั ตอ่ ไปนี ้

17 - 1 ลิ นย ม ฟังก์ชนั f x ตอ่ เน่ืองที่ x a หมายความวา่ lim f x = fa xa จากนยิ ามจะได้วา่ ฟังก์ชนั f x จะตอ่ เนื่องท่ี x a จะต้องสอดคล้องกบั เง่ือนไขตอ่ ไปนี ้ (1) f a หาคา่ ได้ (2) lim f x หาคา่ ได้ xa (3) lim f x = f a xa ถ้าฟังก์ชนั f x ไมส่ อดคล้องกบั คณุ สมบตั ิข้อใดข้อหนง่ึ ข้างต้น เรากลา่ ว ได้วา่ ฟังก์ชนั f x ไมต่ อ่ เนอื่ งท่ี x a ตว ย่ งท . จงพิจารณาวา่ ฟังก์ชนั f x 3x2 2x 1 ตอ่ เนอ่ื งที่ x 2 หรือไม่ วธท f x = 3x2 2x 1 f 2 = 322 22 1 =9 lim f x = lim 3x2 2x 1 x2 x2 = 322 22 1 =9 จะได้วา่ f 2 = lim f x x2 ฟังก์ชนั 3x2 2x 1 ตอ่ เนอ่ื งที่ x 2 ตว ย่ งท . จงพิจารณาวา่ ฟังก์ชนั f x x2 9 ตอ่ เนื่องที่ x 1 และ x 3 หรือไม่ x3 วธท fx = x2 9 และ f1 x3 lim x2 9 x1x 3 = 1 9 1 3 =4 = 1 9 1 3

18 - 1 - =4 ดงั นนั้ f 1 = lim f x 1 ตบ x1 ตบ จะได้วา่ ฟังก์ชนั f x พจิ ารณาที่ x 3 x2 9 ตอ่ เนื่องท่ี x x3 จะได้วา่ f 3 หาคา่ ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ฟังก์ชนั f x ไมต่ อ่ เนื่องท่ี x 3 หม ย หต จากตวั อยา่ ง . จะเห็นลมิ ติ ของฟังก์ชนั f x สามารถหาคา่ ได้ lim x2 9 = lim x 3 x 3 x3x 3 x3 x 3 แตไ่ มส่ ามารถหาคา่ f 3 ได้ ดงั นนั้ ฟังก์ชนั จงึ ไมต่ อ่ เนือ่ งท่ี x 3 ตว ย่ งท . กาหนด f x = 2x 1 เมอ่ื 1 x 2 5 x2 จงพิจารณาวา่ ฟังก์ชนั ตอ่ เน่ืองท่ี x 2 หรือไม่ วธท f 2 =5 lim f x = lim f x =5 x2 x2 =5 lim f x = lim f x ตบ x2 x2 lim f x = f 2 x2 ดงั นนั้ ฟังก์ชนั ตอ่ เนือ่ งที่ x 2 ตว ย่ งท . กาหนด f x = 1 เม่อื x 2 x2 วธท แต่ 1 เมอ่ื x 2 จงพจิ ารณาคา่ ฟังก์ชนั ตอ่ เนอื่ งที่ x 2 หรือไม่ fx = 1 f2 = 1 lim f x = lim 1 หาคา่ ไมไ่ ด้ x2x 2 ตบ x2 ดงั นนั้ ฟังก์ชนั ไมต่ อ่ เนือ่ งที่ x 2 1.3.2 คว มต่ น งบนช่วง

19 - 1 - ถ้าชว่ งเปิ ด a,b และชว่ งปิ ด a,b เป็ นซบั เซตของโดเมนของฟังก์ชนั f x ความ ตอ่ เนือ่ งบนช่วง สามารถพิจารณาได้จากนิยามตอ่ ไปนี ้ นย ม ฟังก์ชนั f x ตอ่ เนือ่ งบน a,b หมายความวา่ f x ตอ่ เนอ่ื งทีท่ กุ x a, b นย ม ฟังก์ชนั f x ตอ่ เนอ่ื งบน a, b หมายความวา่ 1. f x ตอ่ เน่ืองบน a, b 2. f x ตอ่ เน่ืองทางขวาท่ี x a นน่ั คือ lim f x f a xa 3. f x ตอ่ เนอ่ื งทางซ้ายที่ x b นนั่ คอื lim f x f a xa นย ม ฟังก์ชนั f x ตอ่ เนอ่ื งบน a,b หรือ a, b หมายความวา่ 1. f x ตอ่ เนอ่ื งบน a, b 2. f x ตอ่ เนื่องทางซ้ายท่ี x b (หรือทางขวาท่ี x a ) ตว ย่ งท . กาหนด f x 4 x2 จงพิจารณาวา่ f เป็ นฟังก์ชนั ตอ่ เนอ่ื งบน 2,2 หรือไม่ วธท ให้ a เป็ นจดุ ใด ๆ ใน 2,2 f a = 4 a2 ซงึ่ หาคา่ ได้ lim f x = lim 4 x2 xa xa = 4 a2 lim f x = fa xa จะได้วา่ f x ตอ่ เนอ่ื งท่ี x a เม่อื a เป็ นจดุ ใด ๆ ใน 2,2 ดงั นนั้ f x ตอ่ เนื่องบน 2,2 เนือ่ งจาก f 2 =0 f2 =0 lim f x = lim 4 x2 =0 x2 x2 lim f x = lim 4 x2 =0 x2 x2 f2 = f2 = lim f x = lim f x x2 x2 ดงั นนั้ f x ตอ่ เนื่องบน 2,2 ตว ย่ งท . กาหนดให้ f x = x2 1; 3 x 0 x ;0 x 4

20 - 1 ซุ่ จงพิจารณาความตอ่ เน่อื งของ f x บนช่วงปิ ด 3,4 วธท เนอื่ งจากเรากาหนดคา่ ของฟังก์ชนั ตา่ งกนั คือ x 0 และ x 0 ดงั นนั้ จึงต้องพจิ ารณา วา่ lim f x หาคา่ ได้หรือไม่ lim f x = lim x2 1 =1 x0 x0 =0 lim f x = lim x x0 x0 จะได้ lim f x lim f x x0 x0 ดงั นนั้ lim f x หาคา่ ไมไ่ ด้ x0 f x ไมต่ อ่ เน่อื งที่ x 0 แต่ 0 3,4 f x ไมต่ อ่ เนือ่ งบนชว่ ง 3,4 ตบ

21 - 1 - ตว ย่ งท . กาหนดให้ f x = 3x 1 จงพิจารณาวา่ ฟังก์ชนั ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ งเปิ ด 1,4 หรือไม่ วธท ให้ c เป็ นจดุ ใด ๆ ทอ่ี ยใู่ นช่วงเปิด 1,4 f x = 3x 1 f c = 3c 1 และ lim f x = lim 3x 1 xc xc = 3c 1 เนือ่ งจาก lim f x = fc xc ดงั นนั้ ฟังก์ชนั f x 3x 1 ตอ่ เน่อื งบนช่วงเปิ ด 1,4 ตบ

22 - 1 ฏุ่ บบฝกหดท . 1. จงพิจารณาวา่ ฟังก์ชนั ตอ่ ไปนตี ้ อ่ เนื่องบนชว่ งทก่ี าหนดให้หรือไม่ ( ) f x x2 5 ท่ี x 1 () f x 5 x ท่ี x 0 () f x x2 9 ที่ x 3 () f x x3 x 4 เมอ่ื x 0 ท่ี x 0 4 0 x () f x x 3 เมอ่ื x 0 ท่ี x 0 x 5 x 0 2. จงพิจารณาวา่ ฟังก์ชนั ตอ่ ไปนตี ้ อ่ เน่ืองบนชว่ งทก่ี าหนดให้หรือไม่ () f x =x 7 บนชว่ ง 1,5 () f x = x2 3x 1 บนช่วง 1,3 () f x = x2 6 บนช่วง 2,5 () f x = x 3 เม่อื x 4 บนชว่ ง 2,5 1 4 x () f x = x2 x 6 เม่อื x 3 บนช่วง 2,4 x3 4 เมื่อ x 3