กฎที่สำคับางประการ

เลม่ ท่ี 8 กฎที่สาคญั บางประการของความนา่ จะเป็น 8 ชื่อ-สกุล ............................................................................................ ชั้น ................................. เลขท่ี ................... เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 4 เร่อื งความน่าจะเปน็ ขนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เล่มท่ี 8 กฎท่ีสาคญั บางประการของความนา่ จะเป็น 9 แบบทดสอบกอ่ นเรยี น รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม 4 (ค32204) ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 เร่ือง กฎทส่ี าคัญบางประการของความน่าจะเปน็ …………………………………………………………………………………………………………………………………………….. คาช้ีแจง แบบทดสอบชุดน้มี ีท้งั หมด 10 ข้อ ใชเ้ วลา 15 นาที คาสัง่ ให้นักเรยี นทําเครื่องหมาย  ลงในช่องตัวเลือกในกระดาษคาํ ตอบทเี่ หน็ วา่ ถูกต้องทสี่ ุด เพียงคําตอบเดียว ............................................................................................................................. ................................. 1. สาํ รวจเด็กกลุ่มหน่งึ มีจาํ นวน 10 คน พบว่าชอบเลน่ กีฬามี 4 คน ชอบเล่นดนตรี 3 คน และชอบเล่นเกมส์มี 3 คน ถ้าสมุ่ เลือกเด็ก 1 คนจากลมุ่ นี้ ความนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะไดเ้ ด็กท่ีชอบเลน่ กฬี าหรอื เล่นดนตรีเทา่ กับขอ้ ใด ก. 0.4 ข. 0.5 ค. 0.6 ง. 0.7 จ. 1 2. มีสลาก 6 ใบ กําหนดหมายเลข 1 – 6 ส่มุ หยิบสลาก 2 คร้งั ๆ ละ 1 ใบ ถ้าคร้ังแรกได้เลขค่ใู ห้ ใสส่ ลากน้นั กลับคนื กอ่ นหยบิ ครั้งท่สี อง แตถ่ า้ ครงั้ แรกหยบิ ได้เลขคี่ ใหห้ ยิบครง้ั ที่สองต่อโดยไม่ใส่ สลากน้นั กลบั คนื จงหาความนา่ จะเปน็ ทจี่ ะหยิบไดค้ ร้ังท่สี องเป็นเลขคู่เทา่ กับเท่าใด ก. 0.45 ข. 0.55 ค. 0.58 ง. 0.70 จ. 0.78 เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 4 เร่ืองความน่าจะเปน็ ขั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เลม่ ที่ 8 กฎท่สี าคญั บางประการของความน่าจะเป็น 10 3. ในการทอดลูกเต๋าสองลกู 1 ครัง้ พร้อมกัน ความนา่ จะเป็นท่ีผลบวกของแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูก จะเปน็ เลขที่หารด้วย 4 ไมล่ งตัว มีค่าเทา่ กบั เท่าใด ก. 0.68 ข. 0.72 ค. 0.75 ง. 0.80 จ. 0.95 4. ในโรงเรียนแห่งหน่ึง พบว่ามีนักเรียนท่ีชอบรับประทานก๋วยเตี๋ยวหรือข้าวผัด 60% ชอบรบั ประทานกว๋ ยเตี๋ยว 41% ชอบรบั ประทานขา้ วผัด 28% ถา้ สุ่มนกั เรยี นมา 1 คน จงหาความนา่ จะเป็นที่นักเรยี นคนน้จี ะเป็นคนที่ชอบรบั ประทานกว๋ ยเตีย๋ วอย่างเดยี ว ก. 0.20 ข. 0.25 ค. 0.28 ง. 0.30 จ. 0.32 5. ดึงไพ่ 4 ใบ ออกจากไพ่สํารบั หน่งึ ซึ่งมี 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็นท่จี ะได้ไพ่ที่มีหมายเลข 10 อย่างนอ้ ย 1 ใบ ก. 0.30 ข. 0.28 ค. 0.25 ง. 0.24 จ. 0.20 6. ถา้ ทอดลูกเตา๋ 2 ลกู ให้ A เปน็ เหตุการณท์ ่ีผลรวมของแต้มของลูกเต๋ามคี า่ เปน็ จํานวนคู่ และ B เป็นเหตกุ ารณท์ ผี่ ลรวมของแต้มของลูกเต๋ามคี ่ามากกว่า 6 จงหาความน่าจะเป็น ของเหตกุ ารณ์ A - B ก. 9 ข. 7 ค. 161 ง. 141 จ. 131 11 11 เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 4 เรอื่ งความน่าจะเปน็ ขั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เลม่ ที่ 8 กฎท่สี าคญั บางประการของความนา่ จะเป็น 11 7. ในจํานวนนักเรยี น 100 คน มีผชู้ อบเล่นกฬี า 50 คน ชอบดนตรี 30 คน และชอบทงั้ กีฬา และดนตรี 10 คน ความน่าจะเป็นท่ีนักเรียนกลุ่มนี้จะชอบกีฬาหรือดนตรีเทา่ กับเทา่ ใด ก. 0.70 ข. 0.75 ค. 0.80 ง. 0.85 จ. 0.90 8. ความน่าจะเป็นท่มี นัสจะซื้อเส้ือสแี ดงเทา่ กับ 2 และจะซื้อเส้ือสเี หลอื งเท่ากับ 1 ถา้ ความนา่ จะเปน็ ท่มี นัสจะซื้อเส้ืออย่างน้อย 1 ตัว เทา่ กับ 35 3 5 แลว้ ความน่าจะเป็นท่ีเขาจะซื้อเสื้ออย่างมาก 1 ตวั เทา่ กบั เทา่ ใด ก. 7 ข. 13 ค. 1151 ง. 185 จ. 1145 15 15 9. ในขวดโหลมลี กู แกว้ สขี าว 4 ลกู สแี ดง 5 ลกู โดยทท่ี กุ ลกู มีขนาดเท่ากนั สุม่ หยิบลกู แกว้ มา 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยบิ ไดล้ ูกแกว้ สีขาวอย่างมาก 2 ลูก ก. 17 ข. 37 21 42 35 20 ค. 42 ง. 21 จ. 35 84 เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 4 เรื่องความน่าจะเปน็ ข้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เล่มที่ 8 กฎที่สาคญั บางประการของความน่าจะเปน็ 12 10. มินจุงเข้าสอบสองวิชาคือ คณติ ศาสตรแ์ ละภาษาอังกฤษ พบว่าความน่าจะเป็นท่ีเขาจะสอบผ่าน วชิ าคณิตศาสตร์เทา่ กบั 2 ความนา่ จะเป็นทีเ่ ขาสอบไมผ่ า่ นวชิ าภาษาองั กฤษเท่ากบั 2 5 3 3 ความนา่ จะเป็นที่เขาจะสอบผ่านอย่างน้อย หนึ่ง วิชาเท่ากบั 5 ความน่าจะเป็นท่ีเขาจะสอบผ่าน ทงั้ สองวิชาเปน็ เท่าใด ก. 1 ข. 2 13 13 2 4 ค. 15 ง. 15 จ. 12 15 เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ 4 เรอ่ื งความนา่ จะเปน็ ข้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เลม่ ท่ี 8 กฎทสี่ าคญั บางประการของความนา่ จะเปน็ 13 กระดาษคาตอบ แบบทดสอบกอ่ นเรียน เร่ือง กฎทีส่ าคญั บางประการของความนา่ จะเป็น ขอ้ ที่ ก ข ค ง จ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 4 เรอื่ งความนา่ จะเปน็ ข้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เล่มท่ี 8 กฎที่สาคัญบางประการของความน่าจะเป็น 14 กฎทีส่ าคญั บางประการของความน่าจะเปน็ การคาํ นวณหาค่าความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ตง้ั แต่ 2 เหตกุ ารณข์ น้ึ ไป หรอื เหตกุ ารณ์ท่ีมเี ง่ือนไขปฏเิ สธ ในบางคร้งั หากคาํ นวณหาความน่าจะเปน็ ตามเงื่อนไข โดยตรงแล้วอาจจะทาํ ไห้เสยี เวลา และเนอ่ื งจากเหตุการณ์เป็นเซต ดังนัน้ สามารถ นาํ สมบตั ิของเหตกุ ารณม์ าอธิบายในเรอื่ งการคํานวณความนา่ จะเป็นได้ เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 4 เรื่องความนา่ จะเป็น ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ ที่ 8 กฎทสี่ าํ คัญบางประการของความนา่ จะเป็น แบ่งเป็น 2 ตอน คือ ตอนท่ี 1 ความน่าจะเปน็ ของยูเนียนของเหตกุ ารณ์ ตอนที่ 2 ความนา่ จะเป็นของคอมพลเี มนต์ของเหตุการณ์ และความน่าจะเป็นของผลต่างระหวา่ งเหตุการณ์ . เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 4 เรื่องความนา่ จะเปน็ ขัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เลม่ ที่ 8 กฎที่สาคัญบางประการของความน่าจะเป็น 15 เน่ืองจากเหตกุ ารณ์เปน็ เซต ดังนั้นเราสามารถดาเนินการ เกย่ี วกบั การกระทาระหว่างเหตกุ ารณ์ได้เช่นเดยี วกับเซตนะคะ นกั เรยี นทบทวนเกยี่ วกบั การดาเนินการสาหรับเหตกุ ารณ์ จากกิจกรรม การดาเนนิ การระหว่างเหตกุ ารณ์ไดเ้ ลยค่ะ เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 4 เร่อื งความน่าจะเปน็ ขัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เลม่ ที่ 8 กฎท่สี าคญั บางประการของความนา่ จะเป็น 16 กจิ กรรม การกระทาระหว่างเหตกุ ารณ์ จุดประสงค์การเรยี นรู้ หาแซมเปลิ สเปซและเหตกุ ารณข์ องการกระทําระหว่างเหตุการณไ์ ด้ คาสัง่ จากภาพจาํ ลองของเหตกุ ารณ์ที่กําหนดใหต้ ่อไปน้ี จงแรเงารูปภาพให้สอดคล้อง กบั การดําเนินการระหวา่ งเหตกุ ารณ์ในแตล่ ะข้อ E1  E2 S E2 S E1 E1 E2 E1  E2 S E2 S E1 E1 E2 SS E1 - E2 E1 E2 E1 E2 S E1 E1 เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 4 เรื่องความนา่ จะเปน็ ขั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เล่มท่ี 8 กฎทส่ี าคัญบางประการของความน่าจะเปน็ 17 ตอนท่ี 1 ความนา่ จะเป็นของยเู นยี นของเหตุการณ์ เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 4 เรอ่ื งความน่าจะเปน็ ขนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เลม่ ท่ี 8 กฎทส่ี าคัญบางประการของความนา่ จะเปน็ 18 ตอนที่ 1 ความน่าจะเปน็ ของยเู นียนของเหตกุ ารณ์ ความน่าจะเป็นของของยูเนียนของเหตุการณ์ เปน็ การหาคา่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณส์ อง เหตุการณท์ ด่ี ําเนินการระหว่างเหตุการณด์ ว้ ยตวั กระทําคือ ยเู นยี น (Union) โดยอาศัยสมบัติของเซต คอื A  B = A + B - (A  B) ซึ่งสามารถอธิบายเป็นกฎของความนา่ จะเป็นไดด้ งั นี้ ให้ S เป็นปริภูมิตวั อยา่ ง ซึ่งเป็นเซตจํากดั และ A, B เปน็ เหตุการณ์ใด ๆ กฎขอ้ ท่ี 1 P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) กฎข้อท่ี 2 ถา้ A B =  แลว้ P(A B) = P(A) + P(B) กอ่ นอื่นมาทบทวนการดาํ เนินการระหวา่ งเหตุการณ์ โดยใช้ตวั กระทาํ คือ ยูเนยี น (Union) และอินเตอร์เซกชนั (Intersection) กันนะคะ เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ 4 เรือ่ งความน่าจะเปน็ ขนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เล่มที่ 8 กฎท่ีสาคัญบางประการของความน่าจะเปน็ 19 ยูเนยี นของเหตกุ ารณ์ (Union of events) ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณส์ องเหตุการณแ์ ลว้ ยูเนยี นของเหตุการณ์ E1 และ E2 คอื เหตุการณซ์ ง่ึ ประกอบด้วยสมาชกิ ของเหตุการณ์ E1 หรอื ของเหตุการณ์ E2 หรอื ท้งั สองเหตุการณ์ เขียนแทนยูเนยี นของเหตกุ ารณ์ E1 และ E2 ด้วยสัญลักษณ์ E1  E2 สามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเหตกุ ารณ์ E1 กบั เหตกุ ารณ์ E2 ผลลพั ธ์ E1  E2 แสดงด้วยการแรเงาพนื้ ที่ในแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ 5 กรณี ดังน้ี กรณีที่ 1 E1 และ E2 ไม่มีส่วนทีเ่ กิดร่วมกนั ดงั แผนภาพ S E1 E2 E1  E2 คือส่วนที่แรเงา กรณที ี่ 2 E1 และ E2 มีส่วนท่ีเกดิ รว่ มกัน ดังแผนภาพ S E1 E2 E1  E2 คอื สว่ นทีแ่ รเงา เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 4 เร่อื งความน่าจะเปน็ ขน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5

เล่มท่ี 8 กฎทส่ี าคัญบางประการของความน่าจะเปน็ 20 กรณที ี่ 3 E1 = E2 แสดงส่วนที่แรเงา ดงั แผนภาพ S E1 E2 E1  E2 คือสว่ นท่แี รเงา กรณีที่ 4 E2  E1 แสดงส่วนทแี่ รเงา ดงั แผนภาพ S E1 E2 E1  E2 คือสว่ นทแ่ี รเงา กรณีท่ี 5 E1  E2 แสดงสว่ นทีแ่ รเงา ดงั แผนภาพ S E2 E1 E1  E2 คอื สว่ นทแ่ี รเงา เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 4 เรอ่ื งความน่าจะเปน็ ข้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เล่มที่ 8 กฎที่สาคญั บางประการของความนา่ จะเปน็ 21 อินเตอร์เซกชนั ของเหตุการณ์ (Intersection of events) ถา้ E1 และ E2 เปน็ เหตกุ ารณส์ องเหตุการณแ์ ลว้ อนิ เตอร์เซกชันของเหตุการณ์ E1 และ E2 คือ เหตุการณ์ท่ีประกอบด้วยสมาชิกท่ีอยู่ท้ังในเหตุการณ์ E1 และเหตุการณ์ E2 เขียนแทน อินเตอรเ์ ซกชันของเหตุการณ์ E1 และ E2 ดว้ ยสัญลกั ษณ์ E1  E2 สามารถแสดงความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งเหตกุ ารณ์ E1 และเหตุการณ์ E2 ผลลัพธข์ อง E1  E2 ดว้ ยการพ้ืนท่ีแรเงาในแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ 5 กรณี ดังนี้ กรณที ่ี 1 E1 และ E2 ไม่มสี ่วนทเี่ กดิ ร่วมกนั ดังแผนภาพ S E2 E1 E1  E2 คือ  กรณที ี่ 2 E1 และ E2 มสี ่วนทีเ่ กดิ รว่ มกัน ดังแผนภาพ S E1 E2 E1  E2 คือ สว่ นทแ่ี รเงา เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 4 เร่อื งความน่าจะเปน็ ขน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5

เลม่ ท่ี 8 กฎที่สาคัญบางประการของความน่าจะเป็น 22 กรณที ่ี 3 E1 = E2 แสดงดังแผนภาพ S E1 E2 E1  E2 คอื E1 หรือ E1  E2 คือ E2 กรณีท่ี 4 E2  E1 แสดงสว่ นท่แี รเงา ดงั แผนภาพ S E1 E2 E1  E2 คือ สว่ นท่ีแรเงา กรณที ี่ 5 E1  E2 แสดงส่วนทแี่ รเงา ดังแผนภาพ S E2 E1 E1  E2 คือ สว่ นทีแ่ รเงา เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 4 เรื่องความน่าจะเปน็ ข้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เลม่ ที่ 8 กฎที่สาคัญบางประการของความน่าจะเป็น 23 เหตกุ ารณ์ท่ีไม่เกดิ ร่วมกัน (Mutaully Exclusive events ) ถา้ E1 และ E2 เปน็ เหตกุ ารณส์ องเหตุการณ์ และ E1  E2 =  แล้ว จะเรยี ก เหตุการณ์ E1 และ E2 ว่าเหตุการณ์ท่ีไม่เกดิ ร่วมกัน สามารถแสดงเหตุการณ์ E1 กบั E2 ทไ่ี ม่เกิดร่วมกนั สามารถแสดงได้ดว้ ยแผนภาพ ของเวนน์ – ออยเลอร์ได้ดงั น้ี S E2 E1 E1  E2 =  ไปรจู้ ักกบั กฎท่ีสาคัญบางประการของความนา่ จะเปน็ ขอ้ ที่ 1 และข้อท่ี 2 กันได้เลยนะคะ เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 4 เรือ่ งความนา่ จะเปน็ ขั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เลม่ ท่ี 8 กฎท่ีสาคัญบางประการของความน่าจะเป็น 24 ความน่าจะเปน็ ของยูเนยี นของเหตุการณส์ องเหตกุ ารณ์ กฎข้อที่ 1 ถา้ A และ B เปน็ เหตุการณ์สองเหตุการณ์ โดยที่ A  B   แล้ว P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หรอื B เมอื่ A  B   S AB จากความร้ใู นเร่ืองเซต จะได้วา่ A  B = (A) + (B) - (A  B) ดงั นั้น เมือ่ พจิ ารณาเกี่ยวกับจาํ นวนของสมาชกิ ในเซต n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B) เนอ่ื งจาก n(S)   ดังนนั้ จะนํา n(S) หารทงั้ สองข้างของสมการ จะได้ n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B) n(S) n(S) n(A  B) n(A) n(B) n(A  B) n(S) = n(S) + n(S) - n(S) นนั่ คือ P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 4 เรือ่ งความน่าจะเปน็ ข้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เลม่ ท่ี 8 กฎที่สาคญั บางประการของความนา่ จะเป็น 25 ตัวอย่างที่ 8.1 พิจารณาการโยนลกู เตา๋ 1 ลูก 1 ครัง้ จงหาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ ทแ่ี ตม้ ลกู เต๋าข้นึ แต้มคูห่ รือเหตุการณท์ ล่ี ูกเตา๋ ข้ึนแตม้ เปน็ จํานวนเฉพาะ วธิ ที า แซมเปลิ สเปซของการโยนลูกเตา๋ 1 ลูก 1 ครัง้ คือ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ดงั นน้ั n(S) = 6 ถ้าให้ A แทน เหตุการณ์ท่ีลกู เต๋าขน้ึ แต้มคู่ จะได้ A = {2, 4, 6} และ B แทน เหตุการณ์ทล่ี ูกเต๋าข้ึนแตม้ เปน็ จาํ นวนเฉพาะ จะได้ B = {2, 3, 5} ดังน้ัน A  B = {2, 3, 4, 5, 6} น่นั คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเตา๋ ข้นึ แต้มคู่หรอื จาํ นวนเฉพาะ เท่ากับ P(A  B) = 5 6 หรือถา้ ใชก้ ฎข้อที่ 1 จะทาํ ไดด้ งั น้ี จากตวั อย่างที่ 8.1 หากใช้กฎข้อท่ี 1 ถา้ A และ B เปน็ เหตุการณ์สองเหตุการณ์ โดยท่ี A  B   แลว้ P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) จะได้วา่ A  B   ดังนน้ั P(A  B) = 3 + 3 - 1 = 5 6 6 6 6 ซ่งึ จะไดค้ าํ ตอบทีเ่ ทา่ กนั เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 4 เรอ่ื งความนา่ จะเปน็ ขนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เล่มที่ 8 กฎที่สาคญั บางประการของความนา่ จะเป็น 26 ตัวอย่างท่ี 8.2 ไพ่สํารับหนึ่งมี 52 ใบ แบ่งเปน็ 4 ชดุ ชุดละ 13 ใบ คือชุดโพดาํ ชดุ โพแดง ชดุ ดอกจิก และชุดขา้ วหลามตัด จงหาความน่าจะเป็น ของการหยบิ ไพ่หน่ึงใบและได้ไพ่ใบนนั้ เปน็ เลข 10 หรอื ดอกจกิ วธิ ที า จากโจทย์จะได้ n(S) =  52  = 52    1  ให้ E1 แทนเหตุการณ์ทีห่ ยบิ ได้ไพ่หมายเลข 10 n(E1 ) = 4 = 4    1  E2 แทนเหตุการณท์ ีห่ ยบิ ได้ไพ่ดอกจิก n(E2 ) = 13  = 13    1  จะได้ E1  E2 แทน เหตุการณ์ท่ีหยบิ ได้ไพ่เลข 10 และเปน็ ดอกจิก ดังนัน้ n(E1  E2 ) = 1 =1    1  ดงั นัน้ P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) = 4 + 13 - 1 52 52 52 16 = 52 4 = 13 ดังนน้ั ความนา่ จะเป็นของการหยบิ ไพ่หนึง่ ใบและได้ไพ่ใบน้ันเปน็ เลข 10 หรือ ดอกจกิ เทา่ กบั 4 13 เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 4 เรอื่ งความนา่ จะเปน็ ขัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เลม่ ที่ 8 กฎทสี่ าคัญบางประการของความน่าจะเป็น 27 ตัวอย่างท่ี 8.3 ความน่าจะเปน็ ที่นกั เรยี นคนหน่งึ จะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์เปน็ 1 3 8 และสอบผ่านวิชาเคมีเป็น 15 ถ้าความน่าจะเป็นในการสอบผ่านอยา่ งมาก หน่ึงรายวิชาเป็น 1 จงหาความน่าจะเป็นท่ีเขาจะสอบผา่ นอย่างนอ้ ย 5 หนึ่งรายวชิ า วธิ ที า ให้ A เป็นเหตุการณ์ทนี่ ักเรียนสอบผา่ นวิชาคณิตศาสตร์ จะได้ P(A) = 1 3 B เป็นเหตุการณท์ นี่ ักเรยี นสอบผ่านวิชาเคมี จะได้ P(B) = 8 15 เนื่องจากโจทย์กําหนดให้ความนา่ จะเป็นทีส่ อบผ่านอยา่ งมากหน่งึ รายวิชาเปน็ 1 5 ซ่งึ หมายถึง 3 กรณตี ่อไปน้ี คือ (1) สอบผ่านวิชาคณติ ศาสตร์แต่สอบไมผ่ ่านวชิ าเคมี (2) สอบผา่ นวิชาเคมีแต่สอบไมผ่ า่ นวชิ าคณติ ศาสตร์ (3) สอบไม่ผา่ นทัง้ วิชาคณิตศาสตร์และวิชาเคมี ดังน้นั ความนา่ จะเปน็ ท่นี กั เรียนจะสอบผา่ นท้ังสองวชิ าเทา่ กบั 1- 1 = 4 น่ันคือ P(A  B) = 4 5 5 5 แสดงว่าเหตุการณ์ทน่ี ักเรียนจะสอบผา่ นอยา่ งน้อยหนึ่งรายวชิ าคอื P(A  B) จาก P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) = 1 + 8 - 4 3 15 5 1 = 15 ดงั น้นั ความนา่ จะเปน็ ทีเ่ ขาจะสอบผา่ นอยา่ งน้อยหนึง่ รายวชิ าเท่ากบั 1 15 เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 4 เรอ่ื งความน่าจะเปน็ ขน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เลม่ ที่ 8 กฎที่สาคญั บางประการของความนา่ จะเปน็ 28 ตัวอย่างที่ 8.4 จากการสาํ รวจประชากรของหมู่บา้ นแหง่ หนง่ึ ปรากฏว่าความน่าจะเป็น ของครอบครวั ที่ทาํ ไรข่ า้ วโพดเทา่ กบั 0.5 ความน่าจะเป็นของครอบครัว ทท่ี าํ ไร่อ้อยเทา่ กับ 0.7 และความน่าจะเป็นของครอบครวั ทที่ าํ ไร่ข้าวโพด และทําไรอ่ ้อยเท่ากบั 0.3 ถ้าเลอื กครอบครัวมาหนึง่ ครอบครัวอย่างสมุ่ จงหาความนา่ จะเป็นทีค่ รอบครัวดังกลา่ วทาํ ไร่ขา้ วโพดหรือไร่อ้อย วธิ ที า ให้ A เปน็ เหตุการณ์ท่ีครอบครัวทาํ ไรข่ ้าวโพด B เป็นเหตุการณท์ ่ีครอบครวั ทาํ ไร่ออ้ ย จะได้ P(A) = 0.5 P(B) = 0.7 เนอ่ื งจาก A  B คอื เหตุการณ์ที่ครอบครวั ทําไรข่ า้ วโพดและไร่ออ้ ย จะได้ P(A  B) = 0.3 ส่ิงท่ีโจทย์ตอ้ งการหาคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทค่ี รอบครัวทําไรข่ า้ วโพด หรือไร่อ้อย นั่นคือ P(A  B) จากกฎข้อที่ 1 P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) = 0.5 + 0.7 – 0.3 = 0.9 ดงั นั้น ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณท์ ่ีครอบครวั ทาํ ไร่ขา้ วโพด หรอื ไร่ออ้ ย เทา่ กับ 0.9 ค่อย ๆ ทาความเขา้ ใจนะคะ หากมขี ้อสงสยั ให้สอบถามครูผ้สู อนทันทคี ่ะ เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 4 เรือ่ งความน่าจะเปน็ ขนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เล่มท่ี 8 กฎทสี่ าคัญบางประการของความนา่ จะเปน็ 29 กฎขอ้ ที่ 2 เมอ่ื A  B =  P(A  B) = P(A) + P(B) S E1 E2 A B ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ A หรือ B เมื่อ A  B =  เนอ่ื งจาก A  B =  ดงั นนั้ PA  B = P() = 0 จาก P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) จะได้ P(A  B) = P(A) + P(B) - 0 P(A  B) = P(A) + P(B) นกั เรยี นคดิ วา่ กฎข้อที่ 1 และกฎขอ้ ท่ี 2 มขี อ้ แตกต่างกันอย่างไรค่ะ เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 4 เรื่องความน่าจะเปน็ ขน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เล่มที่ 8 กฎที่สาคญั บางประการของความน่าจะเปน็ 30 ตัวอยา่ งท่ี 8.5 การโยนลูกเต๋า 1 ลูก 2 ครง้ั จงหาความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ ทผี่ ลรวมของแต้มบนหนา้ ลูกเตา๋ ทห่ี งายเทา่ กับ 5 หรือ เหตุการณ์ ทผ่ี ลรวมของแต้มบนหน้าลูกเตา๋ ที่หงายเทา่ กับ 10 วธิ ีทา การทดลองส่มุ การโยนลูกเต๋า 1 ลูก 2 ครงั้ จะได้ n(S) = 36 ถ้าให้ A แทน เหตกุ ารณ์ทีผ่ ลรวมของแต้มบนหนา้ ลกู เตา๋ ทหี่ งายเท่ากับ 5 A = {(1, 4), (2, 3), (4, 1), (3, 2)} และ B แทน เหตุการณ์ที่ผลรวมของแตม้ บนหน้าลูกเต๋าทีห่ งายเท่ากับ 10 B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} พบว่า A  B =  และ A  B = {(1, 4), (2, 3), (4, 1), (3, 2), (4, 6), (5, 5), (6, 4)} ดังน้นั ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ทผี่ ลรวมของแต้มบนลูกเต๋าที่หงายเทา่ กบั 5 หรอื 10 เทา่ กบั P(A  B) = 7 36 หรอื ถ้าใชก้ ฎข้อที่ 2 จะทาํ ได้ดงั นี้ ถ้า พจิ ารณาจากกฎข้อที่ 2 P(A  B) = P(A) + P(B) เมือ่ A  B =  จะได้ P(A  B) = P(A) + P(B) = 4+3 36 36 =7 36 การคํานวณความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ข้างตน้ โดยวธิ ปี กติ หรือใช้กฎขอ้ ที่ 2 ก็จะได้คําตอบทีเ่ ท่ากัน เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 4 เรอ่ื งความน่าจะเปน็ ข้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เล่มที่ 8 กฎทส่ี าคญั บางประการของความน่าจะเป็น 31 ตัวอยา่ งท่ี 8.6 กําหนดให้ S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} A = {3, 9, 15} และ B = {5, 7, 11, 13} จงหา P(A  B) วธิ ีทา จาก S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} , P(A) = 3 A = {3, 9, 15} 84 , P(B) = 8 B = {5, 7, 11, 13} เนื่องจาก A  B =  จาก P(A  B) = P(A) + P(B) 3 4 = 87 + 8 = 8 ตัวอย่างที่ 8.7 ในถุงใบหน่ึงมีลูกแกว้ 9 ลกู เปน็ สีแดง 3 ลกู สขี าว 2 ลูก และ สีฟา้ 4 ลกู ถ้าสมุ่ หยิบลูกแก้วขนึ้ มา 1 ลูก จงหาความนา่ จะเปน็ ทไ่ี ด้ลูกแกว้ เปน็ สีแดงหรือสฟี ้า 3 94 วิธที า ให้ A เป็นเหตุการณ์ท่สี ุ่มหยิบได้ลกู แกว้ สีแดง  P(A) = ให้ B เป็นเหตุการณ์ท่สี ุ่มหยบิ ไดล้ ูกแก้วสฟี า้  P(B) = 9 ดงั นนั้ A  B คือ เหตุการณ์ทส่ี ุม่ หยิบไดล้ กู แกว้ สีแดงและสีฟา้ และเนอ่ื งจาก เป็นการสมุ่ หยิบลกู แก้วเพียง 1 ลูก เหตุการณ์ท่สี ุม่ หยิบได้ลกู แก้วสแี ดงและ สฟี ้าจึงไม่เกิดข้ึน นน่ั คือ P(A  B) =  จากกฎข้อที่ 2 P(A  B) = P(A) + P(B) 3 4 = 79 + 9 = 9 7 ดังนัน้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณท์ ส่ี ุ่มหยิบลูกแก้วได้เปน็ สีแดงหรือสฟี ้าเท่ากับ 9 เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ 4 เรอ่ื งความน่าจะเปน็ ขน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เล่มที่ 8 กฎท่สี าคัญบางประการของความน่าจะเปน็ 32 ตวั อยา่ งที่ 8.8 สมุ่ หยิบไพ่ 2 ใบ จากสํารบั ทม่ี ีไพ่ 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็น ทจ่ี ะหยิบได้ไพท่ ่มี ีแตม้ หารด้วยสามลงตัว หรือไพ่ท่ขี ึน้ เป็นไพ่รูปหน้าคน วธิ ีทา ให้ A เป็นเหตกุ ารณท์ ห่ี ยบิ ได้ไพ่ทมี่ ีแต้มหารด้วยสามลงตัว  P(A) = 12 36 ให้ B เป็นเหตุการณ์ที่หยิบไดไ้ พร่ ปู หน้าคน  P(B) = 12 36 ดงั นั้น A  B คือเหตกุ ารณท์ ่หี ยิบได้ไพ่มีแตม้ หารด้วยสามลงตัวและไพร่ ปู หน้าคน  P(A  B) =  จากกฎข้อท่ี 2 P(A  B) = P(A) + P(B) = 12 + 12 36 36 24 = 36 = 2 3 ดงั น้ัน ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ทห่ี ยิบได้ไพ่มีแต้มหารด้วยสามลงตัว หรอื ไพ่รปู หน้าคนเทา่ กบั 2 3 ไปทาแบบฝกึ ไดแ้ ล้วคะ เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 4 เรื่องความน่าจะเปน็ ขนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

เล่มที่ 8 กฎที่สาคญั บางประการของความน่าจะเปน็ 33 แบบฝึกที่ 8.1 จดุ ประสงค์การเรียนรู้ หาความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ทก่ี าํ หนดใหโ้ ดยใชก้ ฎท่ีสาํ คัญบางประการ ของความนา่ จะเป็นได้ คาสั่ง จงแสดงวิธที ําประกอบการหาคําตอบ ทุกข้อ 1. หยบิ ไพ่ 1 ใบจากสํารับหนงึ่ ท่ีมี 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่ทม่ี ีแต้ม 8 หรอื เปน็ โพแดง วิธที า ให้ A เปน็ เหตกุ ารณท์ ี่ได้ไพ่ที่มแี ต้ม 8 B เปน็ เหตุการณ์ที่ได้ไพเ่ ป็นโพแดง จะได้ P(A) = ……………. P(B) = ……………. จะไดว้ ่า A  B หมายถึงเหตุการณ์ทไ่ี ด้ 8 และเป็นโพแดง และ P(A  B) = ................. ดังน้ัน P(เหตกุ ารณท์ ่ีไดไ้ พแ่ ต้ม 8 หรอื เปน็ โพแดง) = P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 4 เรอื่ งความน่าจะเปน็ ขน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เล่มที่ 8 กฎที่สาคัญบางประการของความน่าจะเป็น 34 2. กลอ่ งใบหนง่ึ มลี ูกบอลท่ีมีหมายเลข 1 – 30 อยา่ งละลกู หยบิ ลูกบอล 1 ลกู จากกล่องใบนี้ จงหาความนา่ จะเป็นที่ลกู บอลทห่ี ยิบได้เป็นลกู บอลท่ีมีหมายเลขที่หารด้วย 3 หรือ 5 ลงตัว วิธที า ให้ A เปน็ เหตุการณ์ที่ลูกบอลท่ีหยิบได้เป็นลกู บอลทีม่ หี มายเลขทีห่ ารดว้ ย 3 ลงตัว จะได้วา่ A = …………………………………………. ดงั นน้ั P(A) = …………………………………………. ให้ B เปน็ เหตกุ ารณ์ทล่ี ูกบอลทหี่ ยิบไดเ้ ปน็ ลูกบอลที่มหี มายเลขทห่ี ารดว้ ย 5 ลงตัว จะไดว้ ่า B = …………………………………………. ดงั นน้ั P(B) = …………………………………………. และ A  B จะเปน็ เหตุการณท์ ี่ลกู บอลที่หยิบได้เป็นลกู บอลทีม่ ีหมายเลขทหี่ าร ด้วย 3 และ 5 ลงตัว จะไดว้ า่ A  B = …………………………………………. ดังนัน้ P(A  B) = .............................................. เนอ่ื งจาก A  B เปน็ เหตกุ ารณท์ ่ีลูกบอลที่หยบิ ได้เปน็ ลูกบอลท่ีมหี มายเลข ทีห่ ารด้วย 3 หรอื 5 ลงตัว จาก P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) จะได้วา่ ..................................................................................................................... ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 4 เรอ่ื งความน่าจะเปน็ ข้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เลม่ ท่ี 8 กฎท่ีสาคญั บางประการของความนา่ จะเป็น 35 3. จากการสํารวจนกั เรียนช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5/2 ไดผ้ ลวา่ ความนา่ จะเป็นของนักเรยี นทีม่ าจาก ครอบครัวที่ทําสวนยางเท่ากับ 0.48 ความนา่ จะเปน็ ของนักเรยี นที่มาจากครอบครัวที่ทาํ ไร่ออ้ ย เท่ากบั 0.72 และความน่าจะเปน็ ของนักเรียนท่ีมาจากครอบครวั ท่ีทาํ สวนยางและและทาํ ไร่อ้อย เทา่ กับ 0.15 ถา้ เลือกนักเรยี นมา 1 คน อย่างสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่จะส่มุ ไดน้ ักเรยี น ทมี่ าจากครอบครวั ท่ีทาํ สวนยางหรอื ทําไรอ่ ้อย วิธีทา …………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. 4. เดก็ คนหนึง่ มลี ูกแกว้ ขนาดเดยี วกนั 4 ลกู อยใู่ นกระเป๋า ซง่ึ เป็นลูกแก้วสีแดง 2 ลูก ลกู แก้วสีเขียวและสเี หลืองอย่างละ 1 ลกู จงหาความนา่ จะเปน็ ท่เี ด็กคนน้ันลว้ งกระเป๋า หยบิ ลูกแก้วข้ึนมาหน่ึงลกู แล้วไดล้ กู แก้วสแี ดงหรือลกู แกว้ สเี ขียว วธิ ีทา …………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 4 เรื่องความนา่ จะเปน็ ข้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เลม่ ท่ี 8 กฎทส่ี าคัญบางประการของความน่าจะเปน็ 36 5. ลาํ ดับเลขคณติ ลําดับหน่ึง เปน็ ลําดบั จํากัด ประกอบด้วย 1, 3, 5, 7, ..., 33 จงหาความน่าจะเป็น ของพจน์ในลาํ ดับนี้ท่ีหารด้วย 5 และ 7 ลงตัว วิธีทา …………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ต้ังใจกนั อย่างนี้ ตอ้ งไดค้ ะแนนดแี น่นอนคะ่ เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 4 เรื่องความน่าจะเปน็ ขัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เลม่ ท่ี 8 กฎที่สาคัญบางประการของความนา่ จะเป็น 37 ตอนที่ 2 ความนา่ จะเปน็ ของคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ และความน่าจะเป็นของผลต่างระหว่างเหตกุ ารณ์ เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 4 เร่ืองความน่าจะเปน็ ขน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เลม่ ท่ี 8 กฎท่ีสาคัญบางประการของความน่าจะเปน็ 38 ตอนที่ 2 ความนา่ จะเปน็ ของคอมพลเี มนตข์ องเหตกุ ารณ์ และความน่าจะเป็นของผลตา่ งระหว่างเหตกุ ารณ์ คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ (Complement of events) ถ้า S เป็นแซมเปิลสเปซ และ E เป็นเหตกุ ารณท์ เ่ี ป็นสับเซตของ S แล้ว คอมพลเี มนต์ ของเหตุการณ์ E คือ เหตุการณท์ ีป่ ระกอบดว้ ยสมาชกิ ที่อยูใ่ นแซมเปลิ สเปซ S แตไ่ ม่อยู่ ในเหตุการณ์ E เขยี นแทนคอมพลเี มนต์ของเหตุการณ์ E ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ E แสดงเหตุการณ์ E S E E E คอื ส่วนท่ีแรเงา เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 4 เรอ่ื งความนา่ จะเปน็ ขัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

เล่มที่ 8 กฎทส่ี าคัญบางประการของความนา่ จะเปน็ 39 ความน่าจะเปน็ ของคอมพลีเมนตข์ องเหตกุ ารณ์ กฎขอ้ ท่ี 3 ความนา่ จะเปน็ ของคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ P(A) = 1 - P(A) แสดงเหตกุ ารณ์ A S จากความรเู้ รื่องเซต A จะได้ A เนื่องจาก A คือส่วนที่แรเงา ดังนน้ั หรือ n(A  A) = n(A) + n(A) n(A  A) = n(A) + n(A) n(S) n(S) n(S) P(A  A) = P(A) + P(A) P(A) + P(A) = 1 P(A) = 1 - P(A) P(A) = 1 - P(A) เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 4 เรื่องความนา่ จะเปน็ ข้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เลม่ ที่ 8 กฎทีส่ าคัญบางประการของความนา่ จะเป็น 40 ตัวอยา่ งที่ 8.9 กาํ หนดให้ S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} และ A = {3, 9} จงหา P(A) วธิ ที าํ เน่อื งจาก S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} ดงั น้ัน n(S) = 7 และ A = {3, 9} ถ้าให้ A เปน็ คอมพลเี มนต์ของเหตุการณ์ A ดังนนั้ A = {1, 5, 7, 11, 13} จะได้ P(A) = 5 7 หรอื ถา้ ใช้กฎข้อที่ 3 จะทําไดด้ ังน้ี เมื่อพิจารณาจากกฎข้อที่ 3 P(A) = 1 - P(A) จากโจทย์จะได้วา่ P(A) = 2 7 ดังนั้น P(A) = 1 - P(A) = 1 - 2 7 = 7-2 77 =5 7 ซง่ึ จะได้คาํ ตอบทีเ่ ท่ากัน เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 4 เรอื่ งความนา่ จะเปน็ ขั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เล่มที่ 8 กฎทสี่ าคญั บางประการของความนา่ จะเปน็ 41 ตวั อย่างท่ี 8.10 กาํ หนด S = {a, b, c, d, e, f} และ E = {a, d, f} จงหา P(E) วธิ ีทา จาก S = {a, b, c, d, e, f} E = {a, d, f} P(E) =3 จาก P(E) 16 = 2 = 1 - P(E) = 1- 1 = 12 2 ตวั อยา่ งท่ี 8.11 ทอดลูกเตา๋ 1 ลกู 1 คร้งั และให้ E แทนเหตุการณท์ ลี่ ูกเต๋าหงาย แต้มเป็นจาํ นวนคู่ จงหา P(E) วิธที า S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E เป็นเหตุการณ์ทีล่ กู เต๋าหงายแตม้ เปน็ จํานวนคู่ E = {2, 4, 6} P(E) = 3 = 61 2 จากกฎข้อท่ี 3 P(E) = 1 - P(E) = 1- 1 = 12 2 เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 4 เรื่องความน่าจะเปน็ ข้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

เลม่ ที่ 8 กฎที่สาคัญบางประการของความน่าจะเป็น 42 ตัวอยา่ งที่ 8.12 ในการลากเส้นตรงเชื่อมจดุ ยอด 2 จดุ ใด ๆ ของรปู สิบเหล่ยี มดา้ นเทา่ จะหมายถึงเส้นทแยงมมุ และด้านทั้ง 10 ด้านของรูปสบิ เหล่ียมด้านเทา่ ความนา่ จะเปน็ ทเ่ี ส้นตรงนน้ั ไม่ใช่เส้นรอบรูปและไม่ผา่ นจดุ ศูนยก์ ลาง ของวงกลม เทา่ กบั เท่าใด วธิ ที า ให้ E แทนเหตกุ ารณท์ ่ีเสน้ ตรงเช่ือมจดุ ยอด 2 จุดใด ๆ ท่ีผ่านจุดศนู ยก์ ลาง ของวงกลม E แทนเหตกุ ารณ์ท่ีลากเสน้ เช่ือมจดุ ยอด 2 จุดใด ๆ ทไ่ี ม่ใช่เสน้ รอบรูป และไม่ผา่ นจุดศูนย์กลางของวงกลม S แทนแซมเปลิ สเปซ คอื จํานวนเสน้ ตรงเช่ือมจดุ 2 จดุ ของรปู สิบเหลี่ยมดา้ นเท่า เทา่ กบั 10  = 10! = 45 เส้น   2!(10 - 2)!  2  แสดงว่า n(S) = 45 จาํ นวนเสน้ เชอ่ื มที่ลากเชอื่ มจุดยอด 2 จดุ ใด ๆ ทผ่ี ่านจดุ ศนู ย์กลางของวงกลม เท่ากบั 5 เสน้ แสดงวา่ n(E) = 5 จะได้ P(E) = 5 45 จากกฎข้อที่ 3 P(E) = 1 - P(E) = 1- 5 45 = 40 45 =8 9 ดังนนั้ ความน่าจะเป็นทเ่ี สน้ เช่ือมนน้ั ไม่ใช่เสน้ รอบรปู และไมผ่ ่านจุดศูนย์กลาง ของวงกลมเทา่ กับ 8 9 เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ 4 เรือ่ งความน่าจะเปน็ ข้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เลม่ ที่ 8 กฎทสี่ าคญั บางประการของความนา่ จะเป็น 43 ผลตา่ งระหวา่ งเหตกุ ารณ์ (Difference of events) ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตกุ ารณส์ องเหตุการณแ์ ลว้ E1 - E2 คอื เหตุการณซ์ ึ่งประกอบดว้ ยสมาชกิ ทอี่ ยู่ในเหตกุ ารณ์ E1 แต่ไม่อย่ใู นเหตุการณ์ E2 สามารถแสดงความสัมพันธ์ระหวา่ งเหตกุ ารณ์ E1 กับเหตกุ ารณ์ E2 ผลลัพธ์ของ E1 – E2 แสดงด้วยการแรเงาพืน้ ท่ีในแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ 5 กรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 E1 และ E2 ไม่มีสว่ นทีเ่ กิดร่วมกัน ดังแผนภาพ S E2 E1 E1 – E2 คอื สว่ นที่แรเงา กรณที ่ี 2 E1 และ E2 มีส่วนทีเ่ กดิ รว่ มกนั ดังแผนภาพ S E1 E2 E1 – E2 คอื สว่ นท่แี รเงา เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 4 เรื่องความนา่ จะเปน็ ขนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เลม่ ที่ 8 กฎท่ีสาคัญบางประการของความน่าจะเป็น 44 กรณีท่ี 3 E1 = E2 แสดงดังแผนภาพ S E1 E2 E1 – E2 คือ  กรณีท่ี 4 E2  E1 แสดงสว่ นทแ่ี รเงา ดังแผนภาพ S E1 E2 E1 – E2 คอื สว่ นที่แรเงา กรณีท่ี 5 E1  E2 แสดงดังแผนภาพ S E2 E1 E1 – E2 คอื  ความรู้เพ่มิ เติม จากกฎทางพีชคณิตท่ีสาํ คญั ในเร่ืองเซต เราทราบว่า E1 - E2 = E1  E2 เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 4 เรื่องความนา่ จะเปน็ ขนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

เล่มท่ี 8 กฎทส่ี าคัญบางประการของความน่าจะเป็น 45 ความนา่ จะเปน็ ของผลตา่ งระหว่างเหตุการณ์ กฎขอ้ ท่ี 4 P(A - B) = P(A) - P(A  B) แสดงเหตกุ ารณ์ A และ B มีสว่ นท่ีเกิดรว่ มกนั ดงั แผนภาพ S AB A - B คอื ส่วนท่แี รเงา จากความรูเ้ รื่องเซต n(A - B) = n(A) - n(A  B) จะได้ n(A - B) = n(A) + n(A  B) นนั่ คือ n(S) n(S) n(S) P(A - B) = P(A) + P(A  B) และเนอื่ งจาก n(A - B) = n(A  B) ดังนั้น P(A  B) = P(A) + P(A  B) เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 4 เรอื่ งความน่าจะเปน็ ขน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เล่มที่ 8 กฎทส่ี าคญั บางประการของความน่าจะเป็น 46 ตัวอยา่ งท่ี 8.13 ยอนจูเขา้ สอบสองวิชา คือวชิ าคณิตศาสตร์ และวิชาภาษาจีน พบวา่ ความน่าจะเป็นทีเ่ ขาจะสอบผ่านวิชาคณติ ศาสตร์เท่ากบั 2 และ 5 2 ความน่าจะเป็นทเ่ี ขาจะสอบผ่านท้งั สองวิชาเท่ากบั 15 จงหา ความน่าจะเป็นท่ีเขาจะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตรแ์ ต่ไม่ผา่ นวิชาภาษาจีน วธิ ที า กําหนดให้ A แทนเหตุการณท์ ยี่ อนจูสอบผา่ นวิชาคณติ ศาสตร์ B แทนเหตกุ ารณ์ที่ยอนจูสอบผ่านวชิ าภาษาจนี และ A  B แทนเหตุการณ์ท่ยี อนจสู อบผา่ นท้ังสองวชิ า ดังนน้ั A - B แทนเหตกุ ารณท์ ย่ี อนจสู อบผา่ นวิชาคณติ ศาสตร์แต่ไม่ผา่ นวิชาภาษาจีน S AB จาก P(A - B) = P(A) - P(A  B) จะได้ P(A - B) = 2 - 2 5 15 =4 15 ดังน้ัน ความนา่ จะเป็นทเ่ี ขาจะสอบผ่านวิชาคณติ ศาสตรแ์ ต่ไมผ่ ่านวชิ าภาษาจีน เทา่ กับ 4 15 เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 4 เรื่องความนา่ จะเปน็ ขั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 5

เลม่ ท่ี 8 กฎที่สาคัญบางประการของความนา่ จะเปน็ 47 ตัวอย่างท่ี 8.14 ในโรงพยาบาลแห่งหน่งึ นายแพทยต์ รวจพบวา่ มีผ้ปู ว่ ยเปน็ เปน็ โรคภูมแิ พ้ 41% ป่วยเป็นโรคโลหิตจาง 28% ปว่ ยโรคภมู ิแพ้หรือโรคโลหติ จาง 60% ถ้าเลือกคนไขม้ า 1 คน อย่างสุม่ จงหาความน่าจะเป็นท่ีคนไขร้ ายนี้ ปว่ ยเปน็ โรคภมู แิ พ้เพยี งอยา่ งเดียว วธิ ที า ให้ A เป็นเหตกุ ารณ์ทผ่ี ้ปู ่วย ปว่ ยเปน็ โรคภมู ิแพ้ B เป็นเหตกุ ารณ์ท่ผี ู้ปว่ ย ป่วยเป็นโรคโลหิตจาง จากสง่ิ ท่ีโจทยก์ ําหนดให้ จะได้วา่ P(A  B) = 0.60 P(A) = 0.41 และ P(B) = 0.28 พจิ ารณาแผนภาพ S AB จะพบว่า P(A - B) = P(A) - P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) จาก กฎขอ้ ที่ 1 P(A  B) = = 0.41 + 0.28 - P(A  B) 0.60 0.09 จะได้ P(A  B) จากกฎข้อท่ี 4 P(A - B) = P(A) - P(A  B) = 0.41 - 0.09 = 0.32 นนั่ คอื ความน่าจะเปน็ ท่ีคนไข้รายนีจ้ ะปว่ ยเป็นโรคภูมิแพ้เพยี งอย่างเดยี วเทา่ กับ 0.32 เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 4 เร่ืองความน่าจะเปน็ ขั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เล่มท่ี 8 กฎทส่ี าคญั บางประการของความน่าจะเป็น 48 ตวั อย่างท่ี 8.15 ในหมบู่ ้านแห่งหนง่ึ มี 600 ครอบครวั ในจาํ นวนนมี้ ี 320 ครอบครวั ท่เี ลี้ยงเปด็ 210 ครอบครวั เล้ยี งไก่ และ 340 ครอบครัว ทเ่ี ล้ียงทงั้ เป็ดหรอื ไก่ ถา้ สมุ่ ครอบครวั ในหม่บู ้านแห่งน้ีมา 1 ครอบครัว จงหา ความนา่ จะเปน็ ที่จะได้ 1) ครอบครัวที่เลย้ี งเป็ดอยา่ งเดียว 2) ครอบครัวทไ่ี ม่ได้เล้ยี งทง้ั เป็ดและไก่ วิธีทา ให้ A แทนเซตของครอบครัวทีเ่ ล้ียงเป็ด จะได้ n(A) = 320 B แทนเซตของครอบครัวที่เลยี้ งไก่ จะได้ n(A) = 210 A  B แทนเซตของครอบครัวท่เี ล้ียงเปด็ หรือไก่ จะได้ n(A  B) = 340 และ n(S) = 600 1) ต้องการหาความนา่ จะเป็นของครอบครวั ทเ่ี ล้ียงเปด็ อย่างเดยี ว นัน่ คอื P(A – B) จากกฎข้อท่ี 4 P(A - B) = P(A) - P(A  B) ดังนัน้ จะตอ้ งหา A  B จากกฎข้อท่ี 1 P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) หรอื P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) = 320 + 210 - 340 600 600 600 190 = 600 = 19 P(A  B) = 60 19 60 เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 4 เรื่องความน่าจะเปน็ ขนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เลม่ ท่ี 8 กฎทีส่ าคญั บางประการของความน่าจะเป็น 49 ดังน้นั ความน่าจะเป็นของครอบครวั ทเ่ี ลยี้ งเป็ดอย่างเดยี ว ไดแ้ ก่ P(A - B) = P(A) - P(A  B) ดงั นน้ั P(A - B) = 320 - 190 600 600 130 = 600 = 13 60 ดงั นัน้ ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มได้ครอบครัวทีเ่ ล้ยี งเปด็ อย่างเดียวเท่ากับ 13 60 2) ต้องการหาความนา่ จะเปน็ ของครอบครัวที่ไม่ไดเ้ ลีย้ งท้ังเป็ดและไก่ คือ (A  B) จากกฎข้อท่ี 3 P(A  B) = 1 - P(A  B) ดังน้นั P(A  B) = 1 - 19 60 = 41 60 ดงั นน้ั ความนา่ จะเป็นที่จะสุ่มได้ครอบครวั ท่ีไม่ได้เลย้ี งทั้งเป็ดและไก่เท่ากบั 41 60 นกั เรียนพร้อมทีจ่ ะทาํ แบบฝกึ หรอื ยังคะ สู้สู้ เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 4 เรอ่ื งความนา่ จะเปน็ ขั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 5

เล่มท่ี 8 กฎทสี่ าคัญบางประการของความนา่ จะเปน็ 50 แบบฝึกที่ 8.2 จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ หาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ทก่ี าํ หนดให้โดยใชก้ ฎทส่ี ําคัญบางประการ ของความนา่ จะเปน็ ได้ คาสง่ั ใหน้ ักเรยี นแสดงวธิ ที าํ ประกอบการหาคําตอบ ทุกข้อ 1. บริษทั แห่งหน่งึ ต้องการพนกั งานจํานวน 3 คน มีผมู้ าสมัคร 12 คน เปน็ ชาย 5 คน และ เปน็ หญิง 7 คน จงหาความน่าจะเป็นท่ีพนักงานท่ีรับมาทงั้ 3 คนน้ัน เป็นชายอย่างน้อย 1 คน วิธีทา ต้องการเลือกพนักงาน 3 คน และต้องการพนักงานชายอย่างน้อย 1 คน ซ่ึงต้อง พจิ ารณา 3 กรณี ดังนี้ กรณีท่ี 1 เปน็ ชาย 1 คน หญงิ 2 คน กรณที ี่ 2 เปน็ ชาย 2 คน หญงิ 1 คน กรณีที่ 3 เปน็ ชาย 3 คน ซ่งึ ต้องคาํ นวณหาจาํ นวนวธิ ีถึง 3 กรณี ดงั นั้นจะพจิ ารณาการเหตกุ ารณ์ท่ีตรงกันขา้ ม ให้ A เป็น……………………………………………………………………… ดงั นนั้ A เป็น……………………………………………………………………… จากโจทย์ จะได้ n(S) = …………………………………………………… n(A) = ………………………………………………….. จากกฎข้อที่ 3 P(A) = ………………………………………………….. = ………………………………………………….. = ………………………………………………….. = ………………………………………………….. ดังนั้น ความน่าจะเปน็ ทพี่ นักงานทีร่ ับมาทั้ง 3 คนนัน้ เปน็ ชายอย่างนอ้ ย 1 คน เท่ากับ ………………………………………………….. เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 4 เร่ืองความน่าจะเปน็ ขั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เลม่ ท่ี 8 กฎทสี่ าคญั บางประการของความน่าจะเปน็ 51 2. ล็อตเตอรชี่ นิดหน่ึงออกงวดละ 1,000 ฉบับ และแต่ละงวดจะมเี พยี ง 1 ฉบับเท่านนั้ ทถี่ ูกรางวัล ในงวดหนึง่ นายทอง นายทิว นายแทน และนายที ซ้ือ 6, 7, 12 และ 15 ฉบับ ตามลาํ ดับ จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีท้ัง 4 คนจะไม่ถกู รางวัลเลย วิธที า ให้ E แทน……………………………………………………………………… จะได้ E แทน……………………………………………………………………… และ S แทนแซมเปลิ สเปซ ดงั น้ัน n(S) = ………………….. จากโจทย์คนทง้ั 4 คนน้ี ซ้ือล็อตเตอรร่ี วมกันเท่ากับ ………………………………………ฉบับ ทําใหท้ ราบวา่ n(E) = …………………………………… ดงั น้ัน P(S) = …………………………………… จากกฎข้อที่ 3 ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. 3. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสขี าว 1 ลูก สีดํา 4 ลูก สีแดง 6 ลูก และสีเขยี ว 6 ลูก ถ้าหยิบลูกบอล ขึ้นมา 2 ลูก อยา่ งไม่เจาะจง จงหาความน่าจะเปน็ ที่จะหยบิ ได้ลูกบอลสตี ่างกัน วธิ ีทา ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 4 เร่อื งความนา่ จะเปน็ ขนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5

เลม่ ท่ี 8 กฎที่สาคัญบางประการของความน่าจะเป็น 52 4. อาคารหลังหน่ึงมลี ิฟต์ 2 เครอื่ ง ความนา่ จะเปน็ ท่ลี ิฟต์เครอื่ งแรกจะรออยชู่ ั้นลา่ งเป็น 0.20 ความนา่ จะเปน็ ท่ีลฟิ ตเ์ คร่ืองท่ีสองจะรออยชู่ ัน้ ลา่ งเป็น 0.30 และความน่าจะเป็นที่ลิฟต์ ท้ังสองเครื่องรออยพู่ ร้อมกันทช่ี น้ั ลา่ งเป็น 0.06 จงหาความนา่ จะเปน็ ทจี่ ะมลี ิฟตร์ ออยู่ชั้นล่าง เพยี งเครื่องเดียว วธิ ีทา ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. 5. สุดเขตเข้าสอบสองวชิ า คือ คณิตศาสตร์ และภาษาไทย พบวา่ ความนา่ จะเปน็ ทีเ่ ขาจะสอบผา่ น วิชาคณิตศาสตร์เทา่ กับ 2 ความน่าจะเปน็ ท่เี ขาจะสอบไม่ผ่านวิชาภาษาไทยเท่ากับ 2 53 และความนา่ จะเป็นทเ่ี ขาจะสอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชาเทา่ กบั 3 จงหา 5 5.1 ความน่าจะเป็นท่ีเขาจะสอบผา่ นทงั้ สองวชิ า 5.2 ความน่าจะเปน็ ท่ีเขาจะสอบผ่านอยา่ งมากหนงึ่ วชิ า 5.3 ความนา่ จะเปน็ ท่ีเขาจะสอบผ่านวชิ าคณิตศาสตร์แต่ตกภาษาไทย 5.4 ความน่าจะเป็นท่ีเขาจะสอบผา่ นวิชาภาษาไทยแต่ตกคณติ ศาสตร์ วธิ ีทา ให้ P(E1 ) เป็น................................................................................ และ P(E2 ) เป็น................................................................................ จากโจทย์ จะได้ P(E1 ) = .........., P(E2 ) = ............. และ P(E1  E2 ) = .............. จาก P(E2 ) = 1 - P(E2 ) ดังน้นั P(E2 ) = ………………..………. เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 4 เรอ่ื งความน่าจะเปน็ ข้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5

เล่มที่ 8 กฎทส่ี าคญั บางประการของความนา่ จะเปน็ 53 5.1 ความนา่ จะเป็นที่เขาจะสอบผ่านท้ังสองวิชา ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. 5.2 ความน่าจะเปน็ ที่เขาจะสอบผ่านอย่างมากหนงึ่ วชิ า ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. 5.3 ความน่าจะเปน็ ที่เขาจะสอบผ่านวชิ าคณิตศาสตร์แตต่ กภาษาไทย ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. 5.4 ความน่าจะเปน็ ท่ีเขาจะสอบผ่านวิชาภาษาไทยแตต่ กคณติ ศาสตร์ ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 4 เร่ืองความนา่ จะเปน็ ขั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เล่มท่ี 8 กฎทสี่ าคัญบางประการของความนา่ จะเปน็ 54 แบบทดสอบหลังเรยี น รายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 4 (ค32204) ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เร่ือง กฎทีส่ าคญั บางประการของความนา่ จะเปน็ …………………………………………………………………………………………………………………………………………….. คาช้แี จง แบบทดสอบชุดนี้มีท้ังหมด 10 ข้อ ใช้เวลา 15 นาที คาสัง่ ใหน้ ักเรียนทําเครอ่ื งหมาย  ลงในช่องตวั เลือกในกระดาษคําตอบที่เหน็ วา่ ถูกตอ้ งที่สุด เพียงคําตอบเดยี ว ............................................................................................................................. ................................. 1. สาํ รวจเด็กกลุม่ หนง่ึ มีจํานวน 10 คน พบวา่ ชอบเล่นกีฬามี 4 คน ชอบเลน่ ดนตรี 3 คน และชอบเลน่ เกมสม์ ี 3 คน ถา้ ส่มุ เลอื กเด็ก 1 คนจากลุ่มน้ี ความนา่ จะเปน็ ทจี่ ะได้เด็กท่ีชอบเล่น กฬี าหรอื เล่นดนตรีเท่ากบั ขอ้ ใด ก. 0.4 ข. 0.5 ค. 0.7 ง. 0.8 จ. 1 2. มีสลาก 6 ใบ กําหนดหมายเลข 1 – 6 สุม่ หยิบสลาก 2 ครง้ั ๆ ละ 1 ใบ ถ้าครง้ั แรกได้เลขคูใ่ ห้ ใสส่ ลากนัน้ กลับคนื กอ่ นหยบิ คร้งั ทสี่ อง แตถ่ ้าครั้งแรกหยิบไดเ้ ลขคี่ ให้หยบิ ครัง้ ท่สี องต่อโดยไม่ใส่ สลากนนั้ กลับคืน จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะหยิบไดค้ รั้งทส่ี องเป็นเลขค่เู ทา่ กบั เทา่ ใด ก. 0.55 ข. 0.58 ค. 0.60 ง. 0.70 จ. 0.78 เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ 4 เรื่องความนา่ จะเปน็ ขน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เล่มที่ 8 กฎทส่ี าคญั บางประการของความนา่ จะเปน็ 55 3. ในโรงเรียนแห่งหน่ึง พบว่ามีนักเรียนท่ีชอบรับประทานก๋วยเต๋ียวหรือข้าวผัด 60% ชอบรับประทานกว๋ ยเตยี๋ ว 41% ชอบรับประทานข้าวผัด 28% ถ้าส่มุ นกั เรยี นมา 1 คน จงหาความน่าจะเปน็ ที่นักเรยี นคนนี้จะเปน็ คนที่ชอบรับประทานก๋วยเตีย๋ วอยา่ งเดียว ก. 0.20 ข. 0.25 ค. 0.28 ง. 0.30 จ. 0.32 4. ในการทอดลูกเตา๋ สองลกู 1 ครง้ั พร้อมกนั ความน่าจะเปน็ ทผ่ี ลบวกของแต้มของลูกเต๋าท้ังสองลูก จะเปน็ เลขที่หารด้วย 4 ไมล่ งตวั มีค่าเท่ากับเท่าใด ก. 0.68 ข. 0.72 ค. 0.75 ง. 0.80 จ. 0.95 5. ดึงไพ่ 4 ใบ ออกจากไพ่สํารบั หนึ่งซ่ึงมี 52 ใบ จงหาความนา่ จะเป็นที่จะได้ไพท่ ม่ี ีหมายเลข 10 อยา่ งน้อย 1 ใบ ก. 0.30 ข. 0.28 ค. 0.25 ง. 0.24 จ. 0.20 6. ความนา่ จะเปน็ ที่มนัสจะซ้ือเส้ือสีแดงเทา่ กับ 2 และจะซื้อเสื้อสเี หลืองเท่ากับ 1 5 3 3 ถา้ ความนา่ จะเปน็ ทมี่ นสั จะซ้อื เสื้ออยา่ งน้อย 1 ตวั เท่ากับ 5 แล้วความน่าจะเปน็ ทเ่ี ขาจะซื้อเสอ้ื อยา่ งมาก 1 ตัวเท่ากบั เทา่ ใด ก. 7 ข. 8 15 15 ค. 11 ง. 13 15 15 จ. 14 15 เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 4 เรือ่ งความน่าจะเปน็ ข้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เลม่ ที่ 8 กฎท่สี าคัญบางประการของความนา่ จะเปน็ 56 7. ถ้าทอดลูกเตา๋ 2 ลกู ให้ A เปน็ เหตกุ ารณ์ที่ผลรวมของแต้มของลกู เต๋ามีคา่ เปน็ จาํ นวนคู่ และ B เป็นเหตกุ ารณ์ท่ผี ลรวมของแต้มของลกู เต๋ามีค่ามากกวา่ 6 จงหาความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ A - B ก. 3 ข. 4 11 11 ค. 6 ง. 7 11 11 9 จ. 11 8. ในจาํ นวนนักเรียน 100 คน มีผู้ชอบเลน่ กฬี า 50 คน ชอบดนตรี 30 คน และชอบทง้ั กีฬา และดนตรี 10 คน ความน่าจะเป็นทีน่ ักเรยี นกลุ่มนจ้ี ะชอบกีฬาหรือดนตรเี ท่ากบั เท่าใด ก. 0.45 ข. 0.58 ค. 0.60 ง. 0.65 จ. 0.70 9. ในขวดโหลมีลกู แกว้ สขี าว 4 ลกู สีแดง 5 ลกู โดยทที่ กุ ลกู มีขนาดเท่ากัน สุ่มหยิบลูกแก้ว มา 3 ลกู จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะหยบิ ได้ลูกแก้วสขี าวอย่างมาก 2 ลูก ก. 17 ข. 20 21 21 ค. 35 ง. 37 42 42 จ. 35 84 เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 4 เร่ืองความน่าจะเปน็ ขัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เลม่ ท่ี 8 กฎท่ีสาคัญบางประการของความนา่ จะเปน็ 57 10. มินจุงเข้าสอบสองวิชาคือ คณิตศาสตร์และภาษาองั กฤษ พบว่าความน่าจะเป็นทเ่ี ขาจะสอบผ่าน วชิ าคณิตศาสตร์เทา่ กบั 2 ความนา่ จะเป็นที่เขาสอบไม่ผ่านวชิ าภาษาองั กฤษเท่ากบั 2 5 3 3 ความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบผา่ นอย่างน้อย หน่ึง วชิ าเท่ากับ 5 ความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบผ่าน ทงั้ สองวชิ าเป็นเทา่ ใด ก. 1 ข. 2 13 13 1 2 ค. 175 ง. 15 จ. 15 เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 4 เร่อื งความน่าจะเปน็ ข้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5