เพิ่มเติมฟังชันตรีโกณมิติ

คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 289 5) ให arctan 1 = θ จะได tanθ = 1 โดยท่ี − π < θ < π 2 2 2 2 จาก tanθ 1 จะได cotθ =2 และ 0≤θ ≤ π =2 2 จาก 1+ cot2 θ = cosec2θ จะได cosec2θ = 1+ 22 = 5 นน่ั คือ cosecθ = 5 เพราะ 0≤θ ≤ π ดังนน้ั cosec arctan 1 2 2 = cosecθ =5 6) ให arccos − 3 =θ จะได cosθ =− 3 โดยที่ 0 ≤ θ ≤ π 3 3 จาก cosθ =− 3 จะได π ≤ θ ≤ π 3 2 จาก cos2 θ + sin2 θ = 1 3 2 2 3 3 จะได sin2 θ = 1 − cos2 θ = 1 − − = น่ันคือ sinθ = 6 เพราะ π ≤θ ≤π 3 2 ดังน้ัน cot arccos − 3 = cotθ 3 = cosθ sinθ − 3 3 = 6 3 = − 2 2 7) ให arccos 1 = θ จะได cosθ 1 โดยท่ี 0 ≤ θ ≤ π 3 =3 จาก cosθ = 1 จะได 0 ≤ θ ≤ π 3 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

290 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 จาก cos2 θ + sin2 θ = 1 จะได sin2 θ = 1 − cos2 θ = 1 − 1 28 3 =9 นัน่ คอื sinθ = 22 เพราะ 0≤θ ≤ π 3 2 ดังน้นั cosec arccos 1 = cosecθ 3 =1 sinθ =1 22 3 = 32 4 8) ให arccos a = θ จะได cosθ = a โดยที่ 0 ≤ θ ≤ π จาก cosθ = a และ 0 < a ≤1 จะได 0 ≤ θ ≤ π 2 จาก cos2 θ + sin2 θ = 1 จะได sin2 θ = 1− cos2 θ = 1− a2 นั่นคอื sinθ = 1− a2 เพราะ 0≤θ ≤ π ดังนน้ั sin (2arccos a) 2 = sin 2θ = 2sinθ cosθ = 2 1− a2a = 2a 1− a2 9) พจิ ารณา cos 5π + sin − π = 0 + (−1) = −1 2 2 ให arctan (−1) = θ จะได tanθ = −1 เน่ืองจากในชวง − π , π มี − π เพยี งคาเดียวท่ี tan − π = −1 2 2 4 4 ดังนัน้ arctan ( −1) = − π 4 และ arctan cos 5π + sin − π = arctan (−1) = − π 2 2 4 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 291 10) พิจารณา sin − 3π =− 2 4 2 ให arccos − 2 =θ จะได cosθ = − 2 2 2 เนื่องจากในชวง [0,π ] ไมมจี าํ นวนจรงิ θ ใดท่ีทาํ ให cosθ = − 2 2 ดังนน้ั arccos1 = ∅ และ arccos sin − 3π = arccos − 2 =∅ 4 2 11) พจิ ารณา tan 5π =1 4 ให arccos1 = θ จะได cosθ = 1 เนื่องจากในชวง [0,π ] มี 0 เพียงคาเดียวท่ี cos0 =1 ดงั นนั้ arccos1 = 0 และ arccos tan 5π = arccos1 = 0 4 12) เนอื่ งจาก sin − π =− 3 และ cos − π = 2 3 2 4 2 จะได arccos sin − π = arccos − 3 = 5π 3 2 6 และ arcsin cos − π = arcsin 2 = π 4 2 4 ดังนัน้ tan arccos sin − π − arcsin cos − π = tan 5π − π 3 4 6 4 tan 5π − tan π 6 4 = 5π 6 π 1+ tan tan 4 = − 3 −1 3 1− 3 3 = −2 − 3 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

292 คูมือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 21. 1) ให arcsin 4 = θ จะได sinθ = 4 โดยที่ − π ≤θ ≤ π 5 5 2 2 เน่ืองจาก sinθ = 4 จะได 0 ≤ θ ≤ π 5 2 จาก cos2 θ + sin2 θ = 1 จะได cos2 θ = 1 − sin2 θ = 1 − 4 29 5 = 25 นนั่ คือ cosθ = 3 เพราะ 0≤θ ≤ π 5 2 ให arccos 12 = α จะได cosα = 12 โดยที่ 0≤α ≤π 13 13 เน่ืองจาก cosα = 12 จะได 0 ≤ α ≤ π 13 2 จาก cos2 α + sin2 α = 1 จะได sin2 α = 1 − cos2 α = 1 − 12 2 25 13 = 169 นัน่ คือ sin α = 5 เพราะ 0≤α ≤ π 13 2 และให arcsin 16 = β จะได sin β = 16 โดยท่ี − π ≤ β ≤ π 65 65 2 2 เน่อื งจาก sin β = 16 จะได 0 ≤ β ≤ π 65 2 จาก cos2 β + sin2 β = 1 จะได 16 2 3969 65 4225 cos2 β = 1 − sin2 β = 1 − = นน่ั คือ cos β = 63 เพราะ 0≤β ≤ π 65 2 พิจารณา sin (θ + α + β ) = sin ((θ + α ) + β ) = sin (θ + α )cos β + cos(θ + α )sin β = (sinθ cosα + cosθ sinα )cos β + (cosθ cosα − sinθ sinα )sin β = sinθ cosα cos β + cosθ sinα cos β + cosθ cosα sin β − sinθ sinα sin β = 4 12 63 3 5 63 3 12 16 4 5 16 5 ⋅ 13 ⋅ 65 + 5 ⋅ 13 ⋅ 65 + 5 ⋅ 13 ⋅ 65 − 5 ⋅ 13 ⋅ 65 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 293 =1 โดยท่ี 0 ≤ θ + α + β ≤ 3π 2 นน่ั คือ θ + α + β = π 2 ดงั นัน้ arcsin 4 + arccos 12 + arcsin 16 = π 5 13 65 2 2) ให arctan 1 = θ จะได tanθ = 1 โดยท่ี − π < θ < π 3) 3 3 2 2 22. 1) จะได tan 2θ = 2 tanθ 1 − tan2 θ = 2 1 2 1− 3 1 3 = 3 4 จะได 2θ = arctan 3 4 ดงั นัน้ 2arctan 1 = arctan 3 34 ให arcsin x = θ จะได sinθ = x โดยท่ี − π ≤ θ ≤ π 2 2 จาก cos2 θ + sin2 θ = 1 จะได cos2 θ = 1− sin2 θ = 1− x2 น่นั คือ cosθ = 1− x2 เพราะ − π ≤θ ≤ π ดงั นัน้ sin (2arcsin x) 2 2 = sin 2θ = 2sinθ cosθ = 2x 1− x2 เมอื่ x ∈[−1,1] ให arctan x = α จะได tanα = x โดยที่ − π < α < π 2 2 และ arctan y = β จะได tan β = y โดยที่ − π < β < π 2 2 จะได tan (α + β ) = tanα + tan β 1− tanα tan β สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

294 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 = x+y 1− xy นัน่ คอื α +β = arctan x+ y 1 − xy ดงั น้ัน arctan x + arctan y = arctan x+ y 1 − xy 2) ให arctan x = α จะได tanα = x โดยท่ี − π < α < π 2 2 และ arctan y = β จะได tan β = y โดยท่ี − π < β < π 2 2 จะได −π < α + β < π จาก α + β > π จะได π < α + β < π น่นั คอื − π < −π + (α +β)<0 2 2 2 เนื่องจาก tan (−π + (α + β )) = − tan (π − (α + β )) = tan (α + β ) = tanα + tan β 1− tanα tan β = x+y 1− xy จะได −π + (α + β ) = arctan x + y 1 − xy น่ันคอื α +β = π + arctan x+ y 1 − xy ดังนั้น arctan x + arctan y = π + arctan x+ y 1 − xy 3) ให arctan x = α จะได tanα = x โดยที่ − π < α < π 2 2 และ arctan y = β จะได tan β = y โดยท่ี − π < β < π 2 2 จะได −π < α + β < π จาก α + β < − π จะได −π < α + β < − π นัน่ คอื 0<π + (α + β ) < π 2 2 2 เนื่องจาก tan (π + (α + β )) = tan (α + β ) สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 295 = tanα + tan β 1− tanα tan β = x+y 1− xy จะได π + (α + β ) = arctan x + y 1 − xy นน่ั คือ α +β = −π + arctan x+ y 1 − xy ดงั นัน้ arctan x + arctan y = −π + arctan x+ y 1 − xy 23. 1) พิจารณา arctan 2 + arctan 3 เนอื่ งจาก (2)(3) >1, 2 > 0 จะได arctan 2 + arctan 3 = π + arctan 2+3 1− (2)(3) = π + arctan (−1) = π+ − π 4 = 3π 4 ดังนั้น arctan1 + arctan 2 + arctan 3 = π + 3π =π 4 4 2) พิจารณา arctan 1 + arctan 1 2 3 เนื่องจาก 1 1 <1 จะได 2 3 1 1 1 + 1 2 3 2 3 arctan + arctan = arctan 1 1 1− 2 3 = arctan1 = π 4 ดังนั้น arctan1 + arctan 1 + arctan 1 = π + π = π 2 3 4 4 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

296 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 3) พิจารณา arctan (−3) + arctan 3 เนื่องจาก (−3)(3) <1 จะได 4) arctan (−3) + arctan 3 = arctan (−3) + 3 24. 1) 1− (−3)(3) 2) 3) = arctan 0 4) =0 5) ดงั นั้น arctan (−3) + arctan 0 + arctan 3 = 0 พิจารณา arctan (−2) + arctan (−3) เน่อื งจาก (−2)(−3) >1, − 2 < 0 จะได arctan (−2) + arctan (−3) = −π + arctan (−2) + (−3) 1− (−2)(−3) = −π + arctan1 = −π + π 4 = − 3π 4 ดงั นั้น arctan (−1) + arctan (−2) + arctan (−3) = − π − 3π = −π 4 4 1+ tan2 (−θ ) = 1+ tan2 θ = sec2 θ (secθ − tanθ )(secθ + tanθ ) = sec2 θ − tan2 θ ( )= 1+ tan2 θ − tan2 θ =1 ( ) ( )tan2 θ − cot2 θ = sec2 θ −1 − cosec2θ −1 secθ − secθ sin2 θ = sec2 θ −1 − cosec2θ +1 = sec2 θ − cosec2θ ( )= secθ 1− sin2 θ = cos2 θ cosθ = cosθ 2sinθ cosθ − cosθ cosθ (2sinθ −1) 1 − sinθ + sin2 θ − cos2 θ 1 − cos2 θ − sinθ + sin2 θ ( )= สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 297 = cosθ (2sinθ −1) sin2 θ − sinθ + sin2 θ = cosθ (2sinθ −1) 2sin2 θ − sinθ = cosθ (2sinθ −1) sinθ (2sinθ −1) = cosθ sinθ = cotθ 6) cotθ cosθ + sinθ = cosθ ⋅ cosθ + sinθ sinθ = cos2 θ + sinθ sinθ = cos2 θ + sin2 θ sinθ =1 sinθ = cosecθ 7) 1 − sinθ + cosθ = (1− sinθ )(1− sinθ ) + cos2 θ cosθ 1 − sinθ cosθ (1− sinθ ) = 1 − 2sinθ + sin2 θ + cos2 θ cosθ (1− sinθ ) = 2 − 2sinθ cosθ (1− sinθ ) = 2(1− sinθ ) cosθ (1− sinθ ) = 2secθ 8) 1 − sinθ = 1− sinθ ⋅ 1− sinθ 1 + sinθ 1+ sinθ 1− sinθ = 1 − 2sinθ + sin2 θ 1 − sin2 θ = 1 − 2sinθ + sin2 θ cos2 θ = 1 − 2 sin θ + sin2 θ cos2 θ cos2 θ cos2 θ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

298 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 = sec2 θ − 2secθ tanθ + tan2 θ = (secθ − tanθ )2 9) cosθ + sinθ = cosθ + sinθ 1− tanθ 1 − cotθ 1 − sinθ 1 − cosθ cosθ sinθ = cosθ + sinθ cosθ − sinθ sinθ − cosθ cosθ sinθ = cos2 θ − sin2 θ cosθ − sinθ cosθ − sinθ = (cosθ − sinθ )(cosθ + sinθ ) cosθ − sinθ = sinθ + cosθ 1 10) cotθ + tanθ = cotθ + cotθ 1− tanθ − cotθ − cotθ 1 1 − 1 1 cotθ cot 2 1 cotθ = θ 1 − cot θ 1 − cotθ − cot 2 θ − 1 cotθ = cotθ −1 = cot3 θ −1 cotθ (cotθ −1) ( )(cotθ −1) cot2 θ + cotθ +1 = cotθ (cotθ −1) = cot2 θ + cotθ +1 cotθ = cotθ +1+ tanθ = 1+ tanθ + cotθ 11) cot 2θ + tanθ = cos 2θ + sinθ sin 2θ cosθ = cos2 θ − sin2 θ + sinθ 2sinθ cosθ cosθ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 299 = cosθ − sinθ + sinθ 2 sin θ 2 cosθ cosθ = cosθ + sinθ 2 sin θ 2 cosθ = cos2 θ + sin2 θ 2sinθ cosθ = 1 sin 2θ = cosec2θ 12) tan (α − β ) + tan β = tan ((α − β ) + β ) 1− tan (α − β ) tan β = tanα 13) cotα − tanα = cosα − sin α sin α cosα = cos2 α − sin2 α sinα cosα ( )2 cos2 α − sin2 α = 2sinα cosα = 2cos 2α sin 2α = 2cot 2α 14) sin 2θ + sinθ = 2sinθ cosθ + sinθ cos 2θ + cosθ +1 2cos2 θ −1 + cosθ + 1 = 2sinθ cosθ + sinθ 2cos2 θ + cosθ = sinθ (2cosθ +1) cosθ (2cosθ +1) = sinθ cosθ = tanθ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

300 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 15) sinθ + sin 3θ + sin 5θ = (sin 5θ + sinθ ) + sin 3θ cosθ + cos3θ + cos5θ (cos5θ + cosθ ) + cos3θ = 2sin 3θ cos 2θ + sin 3θ 2cos3θ cos 2θ + cos3θ = sin 3θ (2cos 2θ +1) cos3θ (2cos 2θ +1) = sin 3θ cos 3θ = tan 3θ 16) cos 20°cos 40°cos80° = 2 1 (( 2 sin 20° cos 20°) cos 40° cos 80°) sin 20° = 2 1 ( sin 40° cos 40° cos 80° ) sin 20° = 1 (( 2 sin 40° cos 40°) cos 80° ) 4sin 20° = 4 1 (sin 80° cos 80° ) sin 20° = 1 (2 sin 80° cos 80° ) 8sin 20° = 1 ⋅ sin160° 8sin 20° = 1 ⋅ sin (180° − 20°) 8sin 20° = 1 ⋅ sin 20° 8sin 20° =1 8 25. 1) จาก A + B + C = 180° จะได B + C = 180° − A จะได sin (180° − A) = sin ( B + C ) นั่นคือ sin A = sin ( B + C ) 2) จาก A + B + C = 180° จะได B + C = 180° − A จะได cos(180° − A) = cos( B + C ) น่ันคือ −cos A = cos( B + C ) ดงั น้ัน cos A = −cos(B + C ) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 301 3) จาก A + B + C = 180° จะได A + B = 180° − C จะได sin A + sin B + sin C = 2 sin A + B cos A − B + sin (180° − ( A + B)) 2 2 = 2 sin A + B cos A − B + sin ( A + B) 2 2 = 2 sin A + B cos A − B + sin 2 ⋅ ( A + B) 2 2 2 = 2 sin A + B cos A − B + 2 sin A + B cos A + B 2 2 2 2 = 2 sin A + B cos A − B + cos A + B 2 2 2 A− B + A+ B A− B − A+ B 2 2 2 2 = 2sin 180° − C 2 cos cos 22 2 = 2 sin 90° − C 2 cos A cos − B 2 2 2 = 4cos C cos A cos B 222 = 4cos A cos B cos C 222 4) จาก A + B + C = 180° จะได A + B = 180° − C A+ B cos A− B ( )จะได cos A + cos B + cosC = 2 2 2 cos + cos 180 −(A+ B) = 2 cos A + B cos A − B − cos ( A + B ) 2 2 = 2 cos A + B cos A − B − cos 2 ⋅ ( A + B ) 2 2 2 = 2 cos A + B cos A − B − 2 cos2 A+ B −1 2 2 2 = 2 cos A+ B cos A− B − 2 cos2 A + B +1 2 2 2 = 2 cos A + B cos A − B − cos A + B +1 2 2 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

302 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 A− B + A+ B A−B − A+ B 2 2 2 2 2 2 = 2 cos 180° − C −2 sin sin +1 2 = 2 cos 90° − C −2 sin A sin − B +1 2 2 2 = 4 sin C sin A sin B +1 2 2 2 = 1+ 4 sin A sin B sin C 2 2 2 26. 1) จาก 4sin2 θ − 3 = 0 2) จะได sin2 θ = 3 4 น่ันคือ sinθ = 3 หรือ sinθ =− 3 2 2 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทาํ ให sinθ = 3 คอื π และ 2π 2 3 3 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี าํ ให sinθ =− 3 คอื 4π และ 5π 2 3 3 ดังนน้ั คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี ําใหสมการเปนจริง คือ π , 2π , 4π และ 5π 3 3 3 3 จาก 2cos2 θ − 3 cosθ = 0 จะได ( )cosθ 2cosθ − 3 = 0 นน่ั คอื cosθ = 0 หรือ cosθ = 3 2 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทําให cosθ =0 คือ π และ 3π 2 2 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี ําให cosθ = 3 คอื π และ 11π 2 6 6 ดังนน้ั คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทีท่ ําใหสมการเปนจริง คือ π , π , 3π และ 11π 6 2 2 6 3) จาก cos2 θ + cosθ = sin2 θ จะได cos2 θ + cosθ = 1− cos2 θ 2cos2 θ + cosθ −1 = 0 (2cosθ −1)(cosθ +1) = 0 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 303 นั่นคือ cosθ = 1 หรอื cosθ = −1 2 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทําให cosθ 1 คือ π และ 5π =2 3 3 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี าํ ให cosθ = −1 คือ π ดังนน้ั คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ที ําใหสมการเปนจรงิ คือ π ,π และ 5π 3 3 4) จาก 3tan2 θ = 2sec2 θ +1 ( )จะได 3tan2 θ = 2 1+ tan2 θ +1 3tan2 θ = 3 + 2 tan2 θ tan2 θ = 3 นั่นคือ tanθ = 3 หรอื tanθ = − 3 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี าํ ให tanθ = 3 คอื π และ 4π 33 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี าํ ให tanθ = − 3 คือ 2π และ 5π 3 3 ดงั นัน้ คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทําใหสมการเปนจริง คือ π , 2π , 4π และ 5π 3 3 3 3 5) จาก tanθ = 2sinθ จะได sinθ = 2sinθ เมื่อ cosθ ≠ 0 cosθ 2sinθ cosθ − sinθ = 0 sinθ (2cosθ −1) = 0 น่นั คอื sinθ = 0 หรือ cosθ = 1 2 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ที ําให sinθ = 0 คือ 0 และ π คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทาํ ให cosθ = 1 คอื π และ 5π 2 3 3 ดังน้ัน คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ที าํ ใหสมการเปนจรงิ คือ 0, π ,π และ 5π 3 3 6) จาก 3secθ − cosθ + 2 = 0 จะได 3 − cosθ + 2 = 0 เมอ่ื cosθ ≠ 0 cosθ 3 − cos2 θ + 2cosθ = 0 cos2 θ − 2cosθ − 3 = 0 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

304 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 7) (cosθ − 3)(cosθ +1) = 0 8) 27. 1) น่นั คอื cosθ = 3 หรือ cosθ = −1 เน่อื งจาก −1≤ cosθ ≤1 ดังนนั้ ไมมีคาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี าํ ให cosθ = 3 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี ําให cosθ = −1 คือ π ดังนนั้ คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทาํ ใหสมการเปนจรงิ คือ π จาก 3cosec2θ + 2cosecθ = 0 ( )จะได cosecθ 3cosecθ + 2 = 0 นนั่ คือ cosecθ = 0 หรือ cosecθ = − 2 3 เนอ่ื งจาก cosecθ ≥1 ดงั นัน้ ไมมีคาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี ําให cosecθ = 0 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ีทาํ ให cosecθ =− 2 คือ 4π และ 5π 3 3 3 ดังนัน้ คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ที าํ ใหสมการเปนจริง คือ 4π และ 5π 3 3 จาก cos 2θ + 2 cos2 θ =1 2 จะได cos 2θ + 2 cos2 θ −1 =0 2 2cos2 θ −1+ cosθ = 0 2cos2 θ + cosθ −1 = 0 (2cosθ −1)(cosθ +1) = 0 นั่นคอื cosθ = 1 หรือ cosθ = −1 2 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทําให cosθ 1 คอื π และ 5π =2 3 3 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทที่ ําให cosθ = −1 คือ π ดังน้นั คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทท่ี าํ ใหสมการเปนจริง คือ π ,π และ 5π 3 3 จาก 2cos2 θ + 2cos 2θ = 1 ( )จะได 2cos2 θ + 2 2cos2 θ −1 = 1 6cos2 θ − 3 = 0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 305 cos2 θ = 1 2 นั่นคือ cosθ = 2 หรือ cosθ = − 2 2 2 คาของ θ เมือ่ 0° ≤ θ < 360° ทท่ี ําให cosθ = 2 คือ 45° และ 315° 2 คาของ θ เม่ือ 0° ≤ θ < 360° ท่ที ําให cosθ = − 2 คอื 135° และ 225° 2 ดงั นนั้ เซตคําตอบของสมการน้ี คือ {45°,135°,225°,315°} 2) จาก 4cosecθ − 4sinθ = 2 2 cotθ จะได 4 − 4 sin θ = 2 2 cosθ เม่อื sinθ ≠ 0 sinθ sinθ 4 − 4sin2 θ = 2 2 cosθ ( )4 − 4 1− cos2 θ = 2 2 cosθ 4cos2 θ − 2 2 cosθ = 0 ( )2cosθ 2cosθ − 2 = 0 นนั่ คอื cosθ = 0 หรือ cosθ = 2 2 คาของ θ เมอ่ื 0° ≤ θ < 360° ที่ทําให cosθ = 0 คอื 90° และ 270° คาของ θ เมอ่ื 0° ≤ θ < 360° ท่ีทําให cosθ = 2 คอื 45° และ 315° 2 ดังน้นั เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คอื {45°,90°,270°,315°} 3) จาก cosθ + 4sinθ − sin 2θ = 2 จะได cosθ + 4sinθ − 2sinθ cosθ = 2 cosθ − 2 − 2sinθ cosθ + 4sinθ = 0 cosθ − 2 − 2sinθ (cosθ − 2) = 0 (cosθ − 2)(1− 2sinθ ) = 0 นนั่ คอื cosθ = 2 หรือ sinθ = 1 2 เนื่องจาก −1≤ cosθ ≤1 ดังนนั้ ไมมีคาของ θ เมื่อ 0° ≤ θ < 360° ท่ที าํ ให cosθ = 2 คาของ θ เมอ่ื 0° ≤ θ < 360° ทที่ ําให sinθ = 1 คือ 30° และ 150° 2 ดังน้ัน เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คอื {30°,150°} สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

306 คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 4) จาก sin 3θ cosθ − cos3θ sinθ = cosθ 28. 1) จะได sin (3θ −θ ) = cosθ 2) sin 2θ − cosθ = 0 2sinθ cosθ − cosθ = 0 cosθ (2sinθ −1) = 0 นั่นคอื cosθ = 0 หรอื sinθ = 1 2 คาของ θ เมือ่ 0° ≤ θ < 360° ที่ทาํ ให cosθ = 0 คอื 90° และ 270° คาของ θ เมอ่ื 0° ≤ θ < 360° ท่ีทําให sinθ = 1 คอื 30° และ 150° 2 ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของสมการนี้ คือ {30°,90°,150°,270°} จาก tan2 θ − 3 = 0 จะได tan2 θ = 3 น่ันคือ tanθ = 3 หรอื tanθ = − 3 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ทที่ าํ ให tanθ = 3 คอื π และ 4π 3 3 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ท่ีทําให tanθ = − 3 คือ 2π และ 5π 3 3 ดังน้นั คาทวั่ ไปของ θ ท่ีทําใหสมการเปนจรงิ คือ nπ + π และ nπ − π 3 3 เมื่อ n เปนจาํ นวนเตม็ จาก cos 2θ = sinθ จะได 1− 2sin2 θ = sinθ 2sin2 θ + sinθ −1 = 0 (2sinθ −1)(sinθ +1) = 0 นน่ั คอื sinθ = 1 หรอื sinθ = −1 2 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทําให sinθ = 1 คือ π และ 5π 2 6 6 คาของ θ ในชวง [0, 2π ) ที่ทําให sinθ = −1 คอื 3π 2 ดังนน้ั คาทัว่ ไปของ θ ที่ทําใหสมการเปนจริง คือ 2nπ + π , 2nπ + 5π และ 2nπ + 3π 6 6 2 เมื่อ n เปนจาํ นวนเต็ม สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 307 29. 1) เนือ่ งจาก A + B + C =180° 2) จะได A = 180° − ( B + C ) = 180° − (120° + 35°) = 25° จากกฎของไซน sin A = sin B ab จะได sin 25° = sin120° 15 b b = 15sin120° sin 25° ≈ 15(0.8660) 0.4226 ≈ 30.7383 และ sin A = sin C ac จะได sin 25° = sin 35° 15 c c = 15sin 35° sin 25° ≈ 15(0.5736) 0.4226 ≈ 20.3597 ดงั น้ัน b ≈ 30.7383, c ≈ 20.3597 และ A = 25° เนื่องจาก A + B + C =180° จะได C = 180° − ( A + B) = 180° − (102° + 41°) = 37° จากกฎของไซน sin C = sin A ca จะได sin 37° = sin102° 52.8 a a = 52.8sin102° sin 37° ≈ 52.8(0.9781) 0.6018 ≈ 85.8154 และ sin C = sin B cb สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

308 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 จะได sin 37° = sin 41° 52.8 b b = 52.8sin 41° sin 37° ≈ 52.8(0.6561) 0.6018 ≈ 57.5641 ดงั น้ัน a ≈ 85.8154, b ≈ 57.5641 และ C = 37° 3) จากกฎของโคไซน a2 = b2 + c2 − 2bccos A ( ) ( )จะได 12 = 3 2 + 22 − 2 3 (2)cos A cos A = 3 2 น่ันคอื A = 30° จากกฎของโคไซน b2 = a2 + c2 − 2accos B ( )จะได 3 2 = 12 + 22 − 2(1)(2)cos B cos B = 1 2 นน่ั คอื B = 60° เนือ่ งจาก A + B + C =180° จะได C = 180° − ( A + B) = 180° − (30° + 60°) = 90° ดังนัน้ A = 30° , B = 60° และ C = 90° 4) จากกฎของไซน sin B = sin C b c จะได sin 60° = sin C 3 2 3+ 3 ( )3 + 3 sin 60° sin C = 32 = 6+ 2 4 นั่นคอื C = 75° หรอื 105° ถา C = 75° แลว A = 180° − ( B + C ) = 180° − (60° + 75°) = 45° สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 309 จากกฎของไซน sin B = sin A b a จะได sin 60° = sin 45° 32 a a = 3 2 sin 45° sin 60° = 23 ถา C = 105° แลว A = 180° − ( B + C ) = 180° − (60° +105°) = 15° จากกฎของไซน sin B = sin A b a จะได sin 60° = sin15° 32 a a = 3 2 sin15° sin 60° = 3− 3 ดงั นัน้ A = 45° , C = 75° และ a = 2 3 หรอื A = 15° , C = 105° และ a = 3 − 3 5) จากกฎของไซน sin B = sin C b c จะได sin 45° = sin C 8 12 sin C = 12 sin 45° 8 = 3 2 นั่นคือ C = 60° หรอื 120° ถา C = 60° แลว A = 180° − ( B + C ) = 180° − (45° + 60°) = 75° จากกฎของไซน sin B = sin A b a จะได sin 45° = sin 75° 8 a a = 8 sin 75° sin 45° = 6+ 2 ถา C = 120° แลว A = 180° − ( B + C ) = 180° − (45° +120°) = 15° สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

310 คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 จากกฎของไซน sin B = sin A b a จะได sin 45° = sin15° 8a a = 8 sin15° sin 45° = 6− 2 ดงั นน้ั A = 75° , C = 60° และ a = 6 + 2 หรือ A = 15° , C = 120° และ a = 6 − 2 6) จากกฎของโคไซน a2 = b2 + c2 − 2bccos A จะได 32 = 42 + 52 − 2(4)(5)cos A cos A = 4 5 น่นั คือ A ≈ 36.87° จากกฎของโคไซน b2 = a2 + c2 − 2accos B จะได 42 = 32 + 52 − 2(3)(5)cos B cos B = 3 5 น่ันคือ B ≈ 53.13° จากกฎของโคไซน c2 = a2 + b2 − 2abcosC จะได 52 = 32 + 42 − 2(3)(4)cosC cosC = 0 นัน่ คอื C = 90° ดงั นั้น A ≈ 36.87° , B ≈ 53.13° และ C = 90° สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 311 30. ให AC เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลมน้ี จะไดมุมในครึง่ วงกลมเปนมุมฉาก นนั่ คือ มมุ ABˆC = 90° และรปู สเี่ หลย่ี มดานขนานรปู นี้เปน รปู สี่เหลีย่ มผนื ผา เนอื่ งจาก BAˆC = 55° จะได ACˆB = 90° − 55° = 35° เน่อื งจากวงกลมนี้มีรัศมยี าว 10 หนวย จะได AC = 20 หนวย จากกฎของไซน จะได sin ABˆC = sin BAˆ C AC BC นน่ั คอื sin 90° = sin 55° 20 BC BC = 20sin 55° sin 90° ≈ 16.38 จากกฎของไซน จะได sin ABˆC = sin ACˆB AC AB นน่ั คอื sin 90° = sin 35° 20 AB AB = 20sin 35° sin 90° ≈ 11.47 จาก พืน้ ที่สวนทแี่ รเงา = พ้นื ทขี่ องวงกลม – พนื้ ทข่ี องรปู สีเ่ หลีย่ มผนื ผา = π (10)2 − (16.38)(11.47) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

312 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 ≈ 126.12 ตารางหนวย ดงั นนั้ พ้ืนทส่ี วนทแี่ รเงาประมาณ 126.12 ตารางหนวย 31. พิจารณารูปสามเหลย่ี ม BCD จากกฎของโคไซน จะได BD2 = BC2 + CD2 − 2( BC )(CD)cos BCˆD = 402 + 202 − 2(40)(20)cos30° ≈ 614.36 จะได BD ≈ 24.79 เนือ่ งจาก AB = AD , BAˆD = 90° และทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได BD2 = AB2 + AD2 ( )614.36 = 2 AD2 AD2 = 614.36 2 AD ≈ 17.53 พ้ืนทข่ี องรูปสี่เหลย่ี ม ABCD = พน้ื ที่รปู สามเหลี่ยม ABD + พนื้ ท่รี ูปสามเหล่ียม BCD = 1 ×17.53 ×17.53 + 1 × 40 × 20 × sin 30° 2 2 ≈ 353.65 ดงั นั้น ทดี่ นิ แปลงน้ขี องวมิ ลมีพ้นื ที่ 353.65 ตารางเมตร สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 313 32. จากกฎของโคไซน จะได a2 = b2 + c2 − 2bc cos A cos A = b2 + c2 − a2 2bc b2 + c2 − a2 2 ( 2bc )2 ( )cos2 A = sin2 A = 1 − cos2 A ( )b2 + c2 − a2 2 = 1− (2bc)2 ( )(2bc)2 − b2 + c2 − a2 2 = (2bc)2 ( )( )2bc − b2 − c2 + a2 2bc + b2 + c2 − a2 = (2bc)2 ( )( )a2 − (b − c)2 (b + c)2 − a2 = (2bc)2 = ( a − b + c)( a + b − c)(b + c − a)(b + c + a ) ---------- (1) ( 2bc )2 ให s = a + b + c จะได a + b + c = 2s 2 นั่นคือ a − b + c = a + b + c − 2b = 2s − 2b a + b − c = a + b + c − 2c = 2s − 2c b + c − a = a + b + c − 2a = 2s − 2a สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

314 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 แทนใน (1) จะได sin2 A = 2s (2s − 2a)(2s − 2b)(2s − 2c) ( 2bc )2 = 16s (s − a)(s − b)(s − c) 4 ( bc )2 = 4s(s − a)(s − b)(s − c) ( bc )2 น่ันคอื sin A = 2 s(s − a)(s − b)(s − c) bc จาก พืน้ ที่รูปสามเหล่ียม ABC = 1 bc sin A 2 จะได พื้นทร่ี ูปสามเหลี่ยม ABC = 1 bc ⋅ 2 s(s − a)(s −b)(s −c) 2 bc = s(s − a)(s −b)(s −c) ดังนน้ั พน้ื ทขี่ องรูปสามเหลี่ยมใดๆ เทากบั s(s − a)(s − b)(s − c) เม่อื a, b และ c เปนความยาวของดานท้ังสามดาน และ s = a + b + c 2 33. ให A และ B เปนตําแหนงของเรอื สองลํา โดยระยะ AB เทากบั 60 เมตร เนอ่ื งจาก DAˆC = 45° และ DBˆA = 30° พจิ ารณารปู สามเหลี่ยม ACD จะได สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 315 tan 45° = CD CA CD = CA tan 45° และพจิ ารณารปู สามเหลย่ี ม BCD จะได tan 30° = CD CA + 60 CD = (CA + 60) tan 30° น่นั คอื CA tan 45° = (CA + 60) tan 30° CA = (CA + 60) 1 3 CA = 1 CA + 60 33 1− 1 CA = 60 33 3 −1 CA = 60 33 CA = 60 × 3 3 3 −1 = 60 3 −1 = 60 ⋅ 3 +1 3 −1 3 +1 60( 3 +1) = 2 = 30( 3 +1) ดงั น้นั เรอื ลําท่ีอยูใกลประภาคารหางจากประภาคาร 30( 3 +1) เมตร สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

316 คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 34. จากกฎของโคไซน จะได AB2 = AC2 + BC2 − 2( AC )( BC )cos ACˆB = 3.22 + 2.42 − 2(3.2)(2.4)cos 75° ≈ 12.02 น่ันคือ AB ≈ 3.47 ดังนั้น ความกวางของบึงกวางประมาณ 3.47 กิโลเมตร สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 317 35. จากทฤษฎบี ทพีทาโกรสั จะได CD2 = 1.852 + 0.42 ≈ 3.85 นัน่ คือ CD ≈ 1.89 DF 2 = 0.32 + 0.62 = 0.45 น่นั คอื DF ≈ 0.67 และ CF 2 = 0.72 +1.252 ≈ 2.05 น่ันคอื CF ≈ 1.43 จากกฎของโคไซน จะได CF 2 = CD2 + DF 2 − 2(CD)( DF )cosCDˆ F 2.05 ≈ 3.58 + 0.45 − 2(1.89)(0.67)cosCDˆ F cosCDˆ F ≈ 0.78 น่ันคือ CDˆ F ≈ 38.74° ดังนั้น มุมระหวาง CD และ DF มีขนาดประมาณ 38.74° สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

318 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 36. ให A เปนจดุ ท่เี พชรยืนมองยอดเขาทเี่ ชิงเขาแหงหน่ึง B เปนจดุ ท่ีเพชรมองยอดเขา หลังจากที่เดินขึน้ ไปตามไหลเขาซ่ึงเอียงทาํ มมุ 32 องศา กบั แนวราบเปนระยะทาง 100 เมตร ระยะ AB เทากบั 100 เมตร และ CD เปนความสงู ของภเู ขา จาก DAˆC = 47° และ BAˆC = 32° จะได DAˆB = 47° − 32° = 15° จาก EBˆD = 77° จะได BDˆ E = 90° − 77° = 13° จาก DAˆC = 47° จะได ADˆ C = 43° น่นั คือ ADˆ B = 43° −13° = 30° จาก DAˆB = 15° และ ADˆ B = 30° จะได ABˆD = 180° − (15° + 30°) = 135° พจิ ารณารูปสามเหลย่ี ม ABD จากกฎของไซน จะได sin ABˆD = sin ADˆ B AD AB sin135° = sin 30° AD 100 AD = 100sin135° sin 30° = 100 × 2 1 2 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 319 = 100 2 พจิ ารณารูปสามเหลีย่ มมุมฉาก ACD จะได sin CAˆ D = CD AD CD = AD sin CAˆ D = 100 2 sin 47° ≈ 103.43 ดงั นนั้ ภเู ขาลูกนีส้ ูงประมาณ 103.43 เมตร 37. ให A เปนจดุ ทส่ี ุดายนื มองยอดเขาในครั้งแรก B เปนจุดทีส่ ุดายืนมองยอดเขาในครงั้ ทสี่ อง ระยะ AB เทากบั 500 เมตร และ CD เปนความสงู ของภเู ขาลกู น้ี พิจารณารูปสามเหล่ยี ม ACD จะได tan 65° = CD AC AC = CD tan 65° สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

320 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 พิจารณารปู สามเหล่ียม BCD จะได tan 35° = CD CB CB = CD tan 35° จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั ในรูปสามเหล่ียม ABC ที่มี BAˆC = 90° จะได CB2 = AC2 + AB2 CD 2 CD 2 tan 65° tan 35° = + 5002 5002 = CD 2 CD 2 tan 35° − tan 65° 5002 = 1 − 1 CD2 0.702 2.142 5002 = 1.82CD2 จะได CD 65 370.62 ดังนนั้ ภเู ขาลกู นส้ี งู ประมาณ 370.62 เมตร 38. ให CD เปนความสูงของประภาคาร โดยใชความรูเรือ่ งเสนขนาน จะได DAˆC = 30° และ DBˆC = 40° เน่อื งจาก DBˆC = 40° จะได CDˆ B = 90° − 40° = 50° และ DBˆA =180 − 40 =140 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 321 เน่อื งจาก DAˆC = 30° และ DBˆA =140° จะได BDˆ A =180° − (30° +140°) =10° พจิ ารณารูปสามเหลยี่ ม ABD จากกฎของไซน จะได sin ADˆ B = sin ABˆD AB AD นัน่ คือ sin10° = sin140° 100 AD AD = 100sin140° sin10° = 370.17 และ sin ADˆ B = sin DAˆ B AB BD นัน่ คอื sin10° = sin 30° 100 BD BD = 100sin 30° sin10° = 287.94 พิจารณารูปสามเหล่ียมมุมฉาก BCD จะได sin CBˆD = CD BD CD = BD sin CBˆD = 287.93sin 40° = 185.08 ดังนั้น ยอดประภาคารอยูหางจากจดุ A เปนระยะประมาณ 370.17 เมตร ยอดประภาคารอยูหางจากจุด B เปนระยะประมาณ 287.94 เมตร และประภาคารมีความสงู ประมาณ 185.08 เมตร 39. 1) เนอ่ื งจากจะไมอนุญาตใหมีการออกหนงั สือแสดงสิทธใิ นท่ีดิน หากพืน้ ท่ีมคี าความ ลาดชนั โดยเฉลี่ยมากกวา 35 เปอรเซน็ ตขน้ึ ไป จะได tanθ = 35 = 0.35 100 นน่ั คือ θ = arctan (0.35) ≈ 0.3367 และเม่ือเปลย่ี นเปนฟงกชันตรีโกณมิตขิ องมุมที่มหี นวยเปนองศา จะได θ ≈19.29° ดังน้นั จะไมอนุญาตใหมีการออกหนงั สือแสดงสทิ ธิในพ้ืนท่ี เมื่อพ้นื ทีเ่ อียงทาํ มุม มากกวา 19.29° สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

322 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 2) เน่ืองจากความหางของแตละเสนชั้นความสูงเทากบั 20 เมตร เมือ่ กําหนดใหพ้นื ทที่ ม่ี ี ความลาดชนั มากกวา 35 เปอรเซ็นต ให d แทนความหางของเสนช้ันความสูงแตละเสน จะไดวา tanθ = 20 d 0.35 = 20 d d = 20 0.35 ≈ 57.14 เน่ืองจาก ระยะจริง 50,000 มิลลเิ มตร เทากับระยะในแผนที่ 1 มิลลเิ มตร จะได ระยะ 57.14 เมตร เทากับระยะในแผนท่ี 1.14 มิลลเิ มตร ดังน้นั จะไมอนญุ าตใหมีการออกหนงั สือแสดงสิทธใิ นท่ีดินในพื้นท่ที ี่มรี ะยะหาง ระหวางเสนชั้นความสงู นอยกวา 1.14 มิลลเิ มตร 40. 1) จาก s = h cotθ จะได s = hcosθ sinθ = hsin (90° −θ ) sinθ 2) จาก s = hcotθ และ h = 1 จะได s = cotθ θ 15° 30° 45° 60° 75° 90° s 2+ 3 3 1 3 2− 3 0 3 จากตาราง จะไดกราฟแสดงความสมั พนั ธระหวางความยาวของเงาบนหนาปดและมุม ท่แี สงอาทิตยทาํ กับหนาปด ดังน้ี สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 323 3) แสงอาทิตยทาํ มุมกับหนาปด 15 องศา ทําใหเงาท่ปี รากฏบนหนาปดยาวมากท่สี ุด แสงอาทิตยทํามุมกับหนาปด 90 องศา ทําใหเงาทปี่ รากฏบนหนาปดยาวนอยที่สดุ 4) ประมาณ 12.00 น. 41. 1) จากสมการ sinθ = W L ในทีน่ ้ี จะได W = 5 และ L = 6.5 นนั่ คือ sinθ = 5 6.5 จะได θ ≈ 50.28° ดงั นั้น มุมที่เกิดจากเสนทางการเคลอ่ื นท่ีของหยดเลอื ดทํากับพืน้ มขี นาดประมาณ 50.28 องศา 2) จากสมการ sinθ = W L ในทนี่ ี้ จะได W = 1.4 และ L = 1.8 น่ันคือ sinθ = 1.4 1.8 จะได θ ≈ 51.06° ดงั นน้ั มมุ ท่ีเกดิ จากเสนทางการเคล่อื นท่ีของหยดเลอื ดทํากับพื้นมขี นาดประมาณ 51.06 องศา สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

324 คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 42. ให A แทนตําแหนงยอดหอไอเฟล ระยะ AB แทนความสงู จากระดบั สายตาปรีชาถงึ ยอดหอไอเฟล จะได AB = 324 −1.8 = 322.2 เมตร จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได CD = 1252 +1252 =125 2 เมตร นั่นคอื CB = 125 2 เมตร 2 พิจารณารปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC จะได tanθ = AB BC = 322.22 125 2 2 ≈ 3.65 จะได θ ≈ 74.68° ดงั นน้ั ปรีชาจะมองเห็นยอดหอไอเฟลดวยมุมเงยประมาณ 74.68 องศา สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 325 43. ให ABC เปนรปู สามเหลย่ี มหนาจ่ัว ทม่ี มี มุ A เปนมุมยอด และ AD เปนความสงู และ BC เปนฐาน จะได ADˆ C = 90° 1) จาก cos θ = AD 2 AC นน่ั คอื cos θ = AD 2 4 AD = 4cos θ 2 ดงั น้นั ความสูงของรปู สามเหลี่ยมนี้ เทากับ 4cosθ นวิ้ 2 2) จาก sin θ = DC 2 AC นนั่ คอื sin θ = DC 2 4 DC = 4sin θ 2 ดงั นน้ั ความยาวฐานของรูปสามเหล่ียมนี้ เทากับ 8sin θ น้ิว 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

326 คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 3) จากพื้นที่ของรปู สามเหล่ียม = 1 × AD × BC 2 = 1 4cos θ 8sin θ 22 2 = 8 2 sin θ cos θ 2 2 = 8sinθ ดังนนั้ พน้ื ทข่ี องรปู สามเหล่ยี มน้ี เทากับ 8sinθ ตารางน้วิ 44. จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได AC2 = AB2 + BC 2 = 122 + 52 = 169 น่นั คือ AC = 13 เซนตเิ มตร จาก EC2 = AE2 + AC2 = 62 + 132 = 205 นั่นคอื EC = 205 เซนตเิ มตร พิจารณารปู สามเหล่ียม ACE จากกฎของโคไซน จะได AE2 = AC2 + EC2 − 2( AC )( EC )cos ACˆE นนั่ คอื ( ) ( )62 = 132 + 205 2 − 2(13) 205 cos ACˆE จะได cos ACˆE ≈ 0.9080 ACˆE ≈ 24.77° พจิ ารณารูปสามเหล่ยี ม HDF จากกฎของโคไซน จะได HF 2 = DH 2 + DF 2 − 2( DH )( DF )cos HDˆ F เนื่องจาก HF = AC = 13 และ DF = EC = 205 ( ) ( )จะได 132 = 62 + 205 2 − 2(6) 205 cos HDˆ F จะได cos HDˆ F ≈ 0.4191 HDˆ F ≈ 65.22° จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได CH 2 = HD2 + DC2 = 62 + 122 = 180 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 327 น่ันคือ CH = 180 น้ิว พิจารณารปู สามเหลย่ี ม ECH จากกฎของโคไซน จะได EH 2 = EC2 + HC2 − 2( EC )( HC )cos ECˆH นน่ั คือ ( ) ( ) ( )( )52 = 205 2 + 180 2 − 2 205 180 cos ECˆH จะได cos ECˆH ≈ 0.9370 ECˆH ≈ 20.45° ดงั นัน้ มุม ACE มุม HDF และมมุ ECH มีขนาดประมาณ 24.77°, 65.22° และ 20.45° ตามลาํ ดบั 45. จาก f (θ ) = 50(1− cosθ ) จะได คาบ คอื 2π และ แอมพลิจดู คอื 50 เขยี นกราฟของฟงกชัน f (θ ) = 50(1− cosθ ) ไดดงั นี้ 1) จาก −1 ≤ cosθ ≤1 จะได −1 ≤ − cosθ ≤ 1 0 ≤ 1 − cosθ ≤ 2 0 ≤ 50(1− cosθ ) ≤ 100 น่ันคือ 0 ≤ f (θ ) ≤100 ดงั น้นั เรนจของ f คอื [0,100] 2) ในวันแรม 15 ค่าํ แทน θ ใน f (θ ) ดวย 0° จะได f (0°) = 50(1− cos0°) =0 ดงั นนั้ รอยละของพน้ื ท่ีภาพของดวงจันทรทีส่ ามารถมองเห็นได ในวันแรม 15 ค่าํ เปน 0 ในวนั ขนึ้ 8 ค่าํ แทน θ ใน f (θ ) ดวย 90° จะได สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

328 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 f (90°) = 50(1− cos90°) = 50 ดังนั้น รอยละของพน้ื ท่ีภาพของดวงจันทรทสี่ ามารถมองเห็นได ในวนั ขึ้น 8 คํ่า เปน 50 ในวันขึน้ 15 ค่าํ แทน θ ใน f (θ ) ดวย 180° จะได f (180°) = 50(1− cos180°) = 100 ดังน้ัน รอยละของพน้ื ท่ภี าพของดวงจนั ทรท่สี ามารถมองเห็นได ในวนั ขนึ้ 15 คํ่า เปน 100 ในวนั แรม 8 คํ่า แทน θ ใน f (θ ) ดวย 270° จะได f (270°) = 50(1− cos 270°) = 50 ดงั น้ัน รอยละของพ้นื ทีภ่ าพของดวงจันทรทส่ี ามารถมองเห็นได ในวนั แรม 8 ค่ํา เปน 50 3) จาก 25 = 50(1− cosθ ) จะได 1− cosθ = 1 2 cosθ = 1 2 เนื่องจาก 0° ≤ θ ≤ 360° จะได θ = 60° หรือ θ = 300° ดงั น้นั θ = 60° หรอื θ = 300° ทาํ ใหดวงจันทรมลี กั ษณะเปนเสย้ี วทมี่ ีรอยละของ พ้นื ทภ่ี าพของดวงจันทรที่สามารถมองเหน็ ไดเปน 25 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี