เพิ่มเติมฟังชันตรีโกณมิติ

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรโี กณมติ ิ 50 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร เลม 1 ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 6. เอกลักษณของมมุ สองเทา (Double – angle identities) sin 2 = 2sin cos cos 2 = cos2 sin2 1 cos 2 =2 = 1 cos 2 2 tan 2 = 2 tan 1 tan2 7. เอกลกั ษณของคร่งึ มมุ (Half – angle identities) sin 2 = 1 cos 2 cos 2 = 1 cos 2 tan 2 = 1 cos 1 cos 8. เอกลักษณแบบผลคูณ (Product identities) sin sin = 2sin cos sin sin = 2cos sin cos cos = 2cos cos cos cos = 2sin sin 9. เอกลกั ษณแบบตัวประกอบ (Factoring identities) sin sin = 2sin cos 22 sin sin = 2cos 2 sin 2 cos cos = 2cos cos 22 cos cos = 2sin cos 22 • ทมี่ าของชื่อของฟงกชันตรโี กณมิตเิ กิดจากการพจิ ารณา วงกลมหนึ่งหนวย ดังรูป โดยใหสวนของ เสนตรง AB เปนคอรดของวงกลม ซ่ึง เปนครง่ึ หน่งึ ของมมุ ที่รองรับคอรดนนั้ จะได สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรโี กณมติ ิ 51 คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 sin คือ ความยาวของคร่งึ หนึ่งของคอรด หรือความยาวของสวนของเสนตรง AC ซึง่ มาจากคาํ าษาละตนิ วา sinus cos คอื ระยะทางตามแนวแกนนอน OC ซงึ่ เปน complement ของฟงกชัน sin tan คือ ความยาวของสวนของเสนตรง AE ของเสนสัมผสั ทล่ี ากผานจุด A จึงเปน ทมี่ าของคาํ วาแทนเจนต (tangent หมายถงึ สัมผัส) cot คือ สวนของเสนสัมผัสที่เหลือ ซ่ึงคือความยาว AF ซึ่งเปน complement ของ ฟงกชนั tan sec คอื ความยาวของสวนของเสนตรง OE cosec คือ ความยาวของสวนของเสนตรง OF เปนสวนของเสนเซแคนต (ตัด วงกลมท่ีจุดสองจุด) ซึ่งสามารถมองวาเปน าพฉายของสวนของเสนตรง OA ตามแนวเสน สัมผัสทจ่ี ุด A ไปยังแกนนอนและแกนต้ังตามลําดับ ซึ่งเปน complement ของฟงกชัน sec • นอกจากการเขยี นกราฟของฟงกชนั y cos x โดยการกําหนดคา x และหาคา y ตามที่ นําเสนอในหนังสอื เรยี นรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 แลว อาจ พจิ ารณากราฟของฟงกชนั y cos x เปนการเล่อื นกราฟของฟงกชนั y sin x โดยใช เอกลักษณ cos x sin 2 x และ sin sin cos cos sin ดังนี้ จาก cos x = sin 2 x สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรโี กณมติ ิ 52 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร เลม 1 ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 5 จะได cos x = sin cos x cos sin x ----- (1) เนอ่ื งจาก 2 2 cos 2 sin x = 0 sin x = 0 sin x จาก (1) จะได = cos 2 sin x cos 2 sin x cos x = sin 2 cos x = sin cos x cos sin x 22 = sin x ----- (2) 2 จาก 2 จะไดวา กราฟของ y cos x เปนการเล่ือนกราฟ y sin x ไปทางซายตาม แนวแกน X เปนระยะ 2 • ฟงกชนั arccosecant, arcsecant, arccotangent และกราฟของฟงกชนั ดงั กลาว เปนดงั นี้ 1. ฟงกชัน arccosecant บทนิยาม ฟงกชนั arccosecant คอื เซตของคูอนั ดับ x, y โดยท่ี x cosec y และ 2 y 2 และ y 0 กราฟของฟงกชัน y arccosec x เมื่อ 2 y เปนดังน้ี 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรีโกณมิติ 53 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 2. ฟงกชนั arcsecant บทนิยาม ฟงกชัน arcsecant คือ เซตของคอู ันดับ x, y โดยที่ x sec y และ 0 y และ y 2 และ y เปนดังน้ี กราฟของฟงกชัน y arcsec x เม่ือ 0 y 2 3. ฟงกชนั arccotangent บทนิยาม ฟงกชัน arccotangent คอื เซตของคูอนั ดับ x, y โดยท่ี x cot y และ 0y กราฟของฟงกชัน y arccot x เม่ือ 0 y เปนดงั น้ี สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรโี กณมติ ิ 54 คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 1.7 ตัวอยางแบบทดสอบประจาบทและเ ลยตัวอยางแบบทดสอบประจาบท ในสวนน้ีจะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทที่ 1 ฟงกชันตรีโกณมิติ สําหรับรายวิชา เพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 ซึ่งครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงค การเรยี นรูท่ีตองการวัดผลประเมนิ ผล ตัวอยางแบบทดสอบประจาบท 1. กาํ หนดให sin cos 1.2 จงหา sin3 cos3 2. จากรูป รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีดาน AC และ BP ยาว 4 และ 1 หนวย ตามลําดับ BP ตัง้ ฉากกบั AC ทจ่ี ุด P จงหาขนาดของมุม ACB 3. กําหนดให 3 4cos2 a bsin เม่อื a และ b เปนจาํ นวนจรงิ จงหา a และ b 1 2sin 4. กาํ หนดให 0 x 2 จงหา x ทง้ั หมดที่ทําให sin 2x cos 2x sin x cos x 1 0 5. กําหนดให ABCD เปนรูปส่ีเหล่ียมแนบในวงกลม ซ่ึง AB, BC, CD และ DA ยาว 2, 3, 4 และ 6 หนวย ตามลาํ ดับ ดังรปู จงหาความยาวของ AC 23 4 6 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 55 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 6. รูปสามเหล่ียมรูปหนึ่งมีดานทั้งสามยาว x, y และ x2 xy y2 หนวย จงหาขนาดของ มุมทใี่ หญทส่ี ดุ ของรูปสามเหล่ียมรปู นี้ 7. ถาเขมยาวและเขมสั้นของนา ิกายาว 6 และ 4 เซนติเมตร ตามลําดับ จงหาระยะทางจาก จดุ ปลายของเขมยาวไปยังจุดปลายของเขมสั้น เมอื่ นา ิกาเรือนน้บี อกเวลา 14:00 น เ ลยตัวอยางแบบทดสอบประจาบท 1. เนื่องจาก sin cos = 1.2 ----- (1) จะได sin cos 2 = 1.22 ----- (2) sin2 2sin cos cos2 = 1.44 1 2sin cos = 1.44 2sin cos = 0.44 sin cos = 0.22 และ sin cos 3 = 1.23 sin3 3sin2 cos 3sin cos2 cos3 = 1.728 sin3 3sin cos sin cos cos3 = 1.728 จาก (1) และ (2) จะได sin3 3 0.22 1.2 cos3 = 1.728 sin3 0.792 cos3 = 1.728 sin3 cos3 = 0.936 2. เนอ่ื งจาก พื้นท่รี ูปสามเหลย่ี ม ABC = 1 AC BP จะได 2 1 4 1 = 1 AC sin AC cos 2 2 2= 1 4 sin 4 cos 2 2 = 8sin cos 1 = 4sin cos 1 = 2 2sin cos 2sin cos = 1 sin 2 2 = 1 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ฟงกชันตรีโกณมิติ 56 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 เน่ืองจาก sin 30o 1 หรือ sin150o 1 จะได 22 ดังนนั้ 2 30o หรือ 2 150o 15o หรือ 75o 3. เน่อื งจาก 3 4cos2 3 4 1 sin2 1 2sin = 1 2sin = 3 4 4sin2 1 2sin = 1 4sin2 1 2sin = 1 2sin 1 2sin 1 2sin = 1 2sin จะได a 1 และ b 2 4. เนอ่ื งจาก sin 2x cos 2x sin x cos x 1 = 0 2sin x cos x 2cos2 x 1 sin x cos x 1 = 0 2sin x cos x sin x 2cos2 x 1 cos x 1 = 0 sin x 2cos x 1 cos x 2cos x 1 = 0 2cos x 1 sin x cos x = 0 จะได 2cos x 1 = 0 หรือ sin x cos x = 0 2cos x = 1 หรือ sin x 1 = 0 cos x = 1 หรอื cos x 2 tan x = 1 นน่ั คอื x 3 หรอื x 7 หรอื x 2 หรือ x 4 4 4 3 3 ดงั น้ัน x คือ 3 , 7 , 2 หรือ 4 4 4 3 3 5. โดยกฎของโคไซน เมอ่ื พจิ ารณารปู สามเหลย่ี ม ABC และรูปสามเหลี่ยม ADC จะได x2 = 4 9 12cos B ----- (1) และ x2 = 36 16 48cos D ----- (2) เน่ืองจากรูปส่เี หลีย่ ม ABCD เปนรปู สเ่ี หลย่ี มแนบในวงกลม จะไดวาผลรวมของขนาดของมุม D และขนาดของมมุ B เปน 180 องศา สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชันตรีโกณมิติ 57 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 นั่นคอื cos D = cos 180o B = cos B แทน cos D ใน (2) ดวย cos B จะได x2 = 36 16 48 cos B x2 = 36 16 48cos B ----- (3) จาก (1) และ (3) จะได cos B = 39 60 แทน cos B ใน (1) ดวย 39 จะได 60 x2 = 4 9 12 39 60 x2 = 104 5 น่นั คือ x 104 หรือ x 104 55 เนอ่ื งจาก x เปนความยาวของดาน AC จะได x 104 5 ดังนนั้ ดาน AC ยาว 104 หนวย 5 6. เนื่องจากดานท่ียาว x2 xy y2 หนวย เปนดานทย่ี าวทส่ี ดุ ดงั นน้ั มุมตรงขามดานท่ียาว x2 xy y2 หนวย จงึ เปนมุมทีใ่ หญทีส่ ดุ ใหมุมท่ใี หญทส่ี ดุ มีขนาด โดยกฎของโคไซน จะได x2 xy y2 = x2 y2 2xy cos cos = 1 2 = 120o ดังนน้ั มุมทใ่ี หญทีส่ ุดของรปู สามเหลีย่ มรูปน้ีมีขนาด 120o สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ฟงกชนั ตรโี กณมิติ 58 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 7. เน่ืองจากมุมระหวางเขมยาวและเขมส้ันเม่ือนา ิกาบอกเวลา 14:00 น มีขนาด 60o ซ่ึงแสดง ไดดังรปู จากกฎของโคไซน จะได d 2 = 62 42 2 6 4 cos 60o d 2 = 36 16 24 d 2 = 28 d 2 7 หรอื d 2 7 เนอ่ื งจาก d เปนระยะหางจากจดุ ปลายของเขมยาวไปยังจดุ ปลายของเขมส้ัน น่ันคอื d 0 ดังน้ัน ระยะหางจากจุดปลายของเขมยาวไปยังจุดปลายของเขมส้ัน เมื่อนา ิกาเรือนนี้บอก เวลา 14:00 น คอื 2 7 หนวย สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

248 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 จากกฎของไซน sin B = sin C bc ดังนั้น sin 75° = sin 60° 20 c จะได c = 20sin 60° sin 75° ≈ 17.93 2) เนื่องจาก A + B + C = 180° ดังนน้ั C = 180° − ( A + B) = 180° − (30° + 65°) = 85° จากกฎของไซน sin A = sin C ac ดงั นั้น sin 30° = sin85° a 32 จะได a = 32sin 30° sin 85° ≈ 16.06 3) เนอ่ื งจาก A + B + C = 180° ดังนั้น B = 180° − ( A + C) = 180° − (105° + 60°) = 15° จากกฎของไซน sin A = sin B ab ดังนั้น sin105° = sin15° a4 จะได a = 4 sin 105° sin15° ≈ 14.93 และ sin C = sin B c b ดงั นน้ั sin 60° = sin15° c 4 จะได c = 4sin 60° sin15° ≈ 13.38 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 249 3. 1) พ้นื ทีข่ องรปู สามเหล่ยี ม ABC = 1 ab sin C 2 = 1 (15)( 20 ) sin 65° 2 ≈ 135.95 ตารางหนวย 2) พืน้ ที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = 1 bc sin A 2 = 1 (80) ( 5.5) sin103.5° 2 ≈ 213.92 ตารางหนวย 3) พ้ืนท่ีของรูปสามเหลยี่ ม ABC = 1 ac sin B 2 = 1 (14.1) ( 27.4 ) sin112° 2 ≈ 179.10 ตารางหนวย 4. ให AC และ BD เปนเสนทแยงมมุ ทั้งสองเสนของรูปส่ีเหลี่ยมดานขนาน ABCD พิจารณารูปสามเหลยี่ ม ABC จากรปู ไดวา มมุ ABC เทากบั 135° จากกฎของโคไซน AC2 = AB2 + BC2 − 2( AB)( BC )cos135° = 102 + 52 − 2(10)(5)cos135° ≈ 195.71 นั่นคอื AC ≈ 13.99 พจิ ารณารปู สามเหลย่ี ม BCD จากรูป จะไดวา มุม BCD เทากับ 360° − 2(135°) = 45° 2 จากกฎของโคไซน BD2 = CD2 + BC2 − 2(CD)(BC )cos 45° สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

250 คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 = 102 + 52 − 2(10)(5)cos 45° ≈ 54.29 จะได BD = 7.37 ดงั นนั้ เสนทแยงมมุ เสนส้ันของรปู สเ่ี หลีย่ มนยี้ าวประมาณ 7.37 เซนตเิ มตร 5. จากรูป ให c แทนความยาวดาน AB และ AB = AC เนอื่ งจากรูปสามเหลีย่ มหนาจ่ัวมมี มุ ยอดขนาด 30° จะไดมุมที่ฐานของรูปสามเหล่ียมหนาจั่วมขี นาด 180° − 30° = 75° 2 จากกฎของไซน sin A = sin C BC AB จะได sin 30° = sin 75° 60 c c = 60sin 75° sin 30° ≈ 115.91 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 251 เนือ่ งจากรูปสามเหลีย่ ม ABC เปนรปู สามเหล่ียมหนาจว่ั จะไดวา ดาน AC ยาว 115.91 หนวย ดงั น้ัน ความยาวรอบรูปของรปู สามเหลยี่ มหนาจ่ัวขางตน ยาวประมาณ 60 + 2(115.91) = 291.82 หนวย 6. ใหจดุ E แทนจุดตัดของเสนทแยงมุมท้ังสองเสนของรูปสีเ่ หล่ียมผนื ผา ABCD ท่ี AB = 32 และ BC = 24 และให θ แทนขนาดของมุมแหลมทีเ่ กิดจากเสนทแยงมมุ สองเสนตดั กนั จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั AC2 = AB2 + BC2 = 322 + 242 = 1600 AC = 40 ดังนน้ั EC = EB = 20 จากกฎของโคไซน BC2 = EB2 + EC2 − 2(EB)( EC )cosθ 242 = 202 + 202 − 2(20)(20)cosθ cosθ = 0.28 จะได θ ≈ 73.74° ดงั นน้ั ขนาดของมุมแหลมท่ีเกดิ จากเสนทแยงมุมของรูปสเี่ หลย่ี มรูปนตี้ ัดกัน ประมาณ 73.74° สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

252 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 7. ใหจุด A, B, C และ D แทนตําแหนงบานของหมอก ขวญั คะนึง และฤดี ตามลาํ ดับ จากกฎของไซน sin 45° = sin 30° BD 50 BD = 50sin 45° sin 30° = 50 2 เนอื่ งจากมุม ABD = 30° + 45° = 75° จากกฎของไซน sin 90° = sin 75° 50 2 AD AD = 50 2 sin 75° sin 90° ≈ 68.30 ดังน้นั ความกวางของคลองนี้ประมาณ 68.30 เมตร แบบฝกหดั 1.9 1. ให A เปนจุดทพ่ี ิเชษฐยืนมองยอดตึกและยอดเสาอากาศ B เปนฐานของตึก C เปนยอดของตึก และ D เปนยอดเสาอากาศซึ่งตั้งอยบู นยอดตกึ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 253 จะได ระยะ AB เทากบั 18 เมตร ระยะ BC และ CD เปนความสงู ของตกึ และเสาอากาศ ตามลําดบั ดังรปู จาก BAˆC = 45° และ BAˆD = 60° พิจารณารปู สามเหล่ยี ม ABC จะได tan BAˆ C = BC AB tan 45° = BC 18 BC = 18 tan 45° = (18)(1) = 18 พจิ ารณารูปสามเหล่ียม ABD จะได tan BAˆ D = BD AB tan 60° = BD 18 BD = 18 tan 60° สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

254 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 = 18 3 นั่นคอื CD = BD − BC =18 3 −18 ดงั นัน้ เสาอากาศสงู 18 3 −18 เมตร 2. จากรปู และจากกฎของโคไซน จะได AB2 = 62 + 42 − 2(6)(4)cos30° = 36 +16 − 2(6)(4) 3 2 ≈ 10.43 จะได AB ≈ 3.23 ดงั นน้ั ระยะระหวางจุด A และจุด B หางกันประมาณ 3.23 กิโลเมตร 3. 1) ให A เปนจุดทีท่ พิ ยมองยอดหนาผา B เปนฐานของหนาผาบนชายฝง ระยะ AB เทากับ 500 เมตร และ BC เปนความสงู ของหนาผาสวนทีเ่ หนือระดับสายตา ดังรปู สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 255 จาก BAˆC = 24° จะได tan BAˆ C = BC AB tan 24° = BC 500 BC = 500 tan 24° ≈ (500)(0.4452) ≈ 222.6 ดงั นั้น หนาผาสงู ประมาณ 222.6 เมตร 2) ให D เปนจุดทท่ี ิพยมองยอดหนาผาเมือ่ เรือใบอยหู างจากแนวชายฝง 200 เมตร ระยะ BD เทากบั 200 เมตร และ θ เปนขนาดของมุมเงยที่ทิพยมองเหน็ ยอดหนาผา ดงั รูป สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

256 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 เน่อื งจาก BDˆC =θ จะได tanθ = BC BD น่นั คอื tanθ = 222.6 200 tanθ = 1.113 จะได θ ≈ 48.06° ดงั น้นั ทพิ ยมองเห็นยอดหนาผาดวยมุมเงย 48.06° 4. ให A เปนจดุ ทพ่ี ชิ ยั ยนื มองยอดเสาอากาศเปนมุม θ B เปนจุดท่ีพชิ ัยยนื มองยอดเสาอากาศเปนมุม α และ CD เปนความสูงของเสาอากาศ ดงั รปู จาก θ + α = 90° จะได α = 90° −θ เนอื่ งจาก CAˆD = θ จะได ADˆC = 90° −θ = α และเนื่องจาก CBˆD = α จะได BDˆC = 90° −α = θ พิจารณารูปสามเหลย่ี ม ACD จะได tan CAˆ D = CD AC tanθ = CD AC CD = AC tanθ = 100 tanθ พจิ ารณารปู สามเหลย่ี ม BCD จะได tan BDˆ C = BC CD สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 257 tanθ = BC CD CD = BC tanθ = 200 tanθ น่นั คอื 100 tanθ = 200 tanθ tan2 θ = 2 tanθ = 2 เพราะวา θ > 0 จะได CD = 100 tanθ = 100 2 ดงั นั้น เสาอากาศสงู 100 2 เมตร 5. ให A เปนจุดทก่ี านยืนมองรถบรรทกุ และปอมยาม B เปนฐานของตึก ระยะ AB = 4(15) +1.7 = 61.7 เมตร C และ D เปนตาํ แหนงของปอมยามและรถบรรทุก ตามลําดับ ดังรปู สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

258 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 เนื่องจากกานมองเห็นปอมยามเปนมุมกม 60° จะได ACˆB = 60° และ tan ACˆB = AB BC tan 60° = 61.7 BC BC = 61.7 tan 60° = 61.7 3 และเนอ่ื งจากกานมองเหน็ รถบรรทุกเปนมุมกม 30° จะได ADˆB = 30° และ tan ADˆ B = AB BD tan 30° = 61.7 BD BD = 61.7 tan 30° = (61.7 3) เนื่องจากรถบรรทุกอยูทางทิศใตของปอมยาม จะได BCˆD = 90° นั่นคอื รูปสามเหลยี่ ม BCD เปนรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก จากทฤษฎบี ทพีทาโกรัส จะได BD2 = BC2 + CD2 CD2 = BD2 − BC2 ( )= 61.7 3 2 − 61.7 2 3 = 3 − 1 (61.7)2 3 = 8 ( 61.7 )2 3 จะได CD = 2 2 × 61.7 3 ≈ 100.76 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 259 ดงั นั้น รถบรรทกุ อยจู ากปอมยามเปนระยะประมาณ 100.76 เมตร 6. ให A เปนตาํ แหนงทีต่ ้งั กลอง B เปนตําแหนงทนี่ รนิ ทรยืน ระยะ AB เทากบั 230 เซนติเมตร AC เปนความสงู ของขาตงั้ กลองซง่ึ สงู 140 เซนติเมตร ดังรูป เน่อื งจาก ECˆD = 30° จะได tan ECˆD = DE CD tan 30° = DE 230 DE = 230 tan 30° = 230 1 3 ≈ 132.79 นัน่ คือ ระยะ DE นอยกวา ระยะ DB ดังน้ัน กลองไมสามารถถายภาพเต็มตัวของนรินทรได ให y คือระยะหางระหวางจุดต้ังกลองและจดุ ทน่ี รนิ ทรยืน เพ่อื ใหถายภาพไดเตม็ ตวั สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

260 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 จะได tan 30° = BD y y = 140 tan 30° = 140 1 3 = 140 3 ≈ 242.49 ดงั นั้น นรินทรตองยืนหางจากจุดท่ตี ัง้ กลองอยางนอย 242.49 เซนติเมตร จงึ จะได ภาพถายเตม็ ตัว 7. ให A เปนตาํ แหนงของวัตถุชิน้ ที่ 1 B เปนตําแหนงของวัตถุช้ินที่ 2 CD เปนความสงู ของหอคอย จะได CD = h เมตร ดงั รูป โดยใชความรเู รอ่ื งเสนขนาน จะได DAˆC = 45° + α และ DBˆC = 45° −α จะได tan DAˆ C = CD AC tan (45° + α ) = h AC AC = h tan (45° + α ) สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 261 และ tan DBˆC = CD BC tan (45° − α ) = h BC BC = h tan (45° − α ) จะได AB = CB − CA = tan ( h − α ) − tan h + α ) 45° ( 45° = h tan 1 − α ) − tan 1 + α ) ( 45° ( 45° = h 1+ tan 45° tanα − 1− tan 45° tanα tan 45° − tanα tan 45° + tanα = h 1+ tan α − 1− tan α 1− tan α 1+ tan α = h (1+ tanα )2 − (1− tanα )2 (1− tanα )(1+ tanα ) = h (1+ tanα −1+ tanα )(1+ tanα +1− tanα ) 1 − tan2 α = h (2 tanα )(2) 1 − tan2 α = 2h 2 tanα 1 − tan2 α = 2h tan 2α ดังนัน้ วัตถุท้ังสองอยูหางกนั 2h tan 2α เมตร สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

262 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 8. 1) เนอื่ งจาก AOˆ B = 360° = 72° 5 และเนือ่ งจากวงกลมมรี ศั มี 5 เซนตเิ มตร จะไดวา OA = OB = 5 เซนตเิ มตร จากกฎของโคไซน AB2 = OA2 + OB2 − 2(OA)(OB)cos AOˆB = 52 + 52 − 2(5)(5)cos 72° ≈ 34.55 จะได AB ≈ 5.88 ดงั น้นั ความยาวรอบรูปของรปู หาเหลี่ยมดานเทามุมเทานี้ประมาณ 5×5.88 = 29.4 เซนตเิ มตร 2) สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 263 เน่อื งจากมุมภายในของรูปหาเหล่ียมดานเทามุมเทารวมกนั เปน 540° จะไดมมุ แตละมมุ มีขนาด 108° นั่นคือ OAˆB = 54° = OAˆC จะได tan OAˆ C = OC AC tan 54° = 5 AC AC = 5 tan 54° ≈ 5 1.3764 ≈ 3.63 นั่นคอื AB ≈ 2× 3.63 = 7.26 ดังนั้น ความยาวรอบรูปของรปู หาเหล่ยี มดานเทามุมเทานีป้ ระมาณ 5× 7.26 = 36.3 เซนติเมตร 9. ให A เปนจดุ ท่อี ญั ชันยืนมองยอดหอคอย B เปนตําแหนงของยอดหอคอย C เปนตําแหนงของฐานหอคอย ระยะ BC เทากบั 60 เมตร และ D เปนตําแหนงของตีนเขา ดังรูป สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

264 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 เนือ่ งจาก DAˆC = 37° และ DAˆB = 49° จะได CAˆ B = 49° − 37° = 12° และ ABˆD = 90° − 49° = 41° พจิ ารณารูปสามเหลี่ยม ABC จากกฎของไซน จะได sin ABˆC = sin BAˆ C AC BC น่ันคือ sin 41° = sin12° AC 60 AC = 60sin 41° sin12° ≈ 189.33 พิจารณารูปสามเหล่ียม ADC จะไดวา sin DAˆ C = CD AC sin 37° = CD AC CD = AC sin 37° ≈ (189.33)(0.6018) ≈ 113.94 ดงั นน้ั ฐานหอคอยอยหู างจากอญั ชัน 189.33 เมตร และภูเขาลกู นี้สูง 113.94 เมตร 10. ให A เปนจุดยอดของพีระมิด B เปนจดุ กึ่งกลางของฐานของพีระมิด C เปนจดุ ปลายฐานของพรี ะมดิ จะได AB เปนความสูงของพีระมิด และให D และ E เปนตําแหนงท่อี ยูหางจากปลายฐานของพีระมิดเปนระยะ 30 เมตร และ 60 เมตร ตามลําดบั ดงั รปู สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 265 จะได BDˆ A = 43.71° และ BEˆA = 38.39° พจิ ารณารปู สามเหล่ยี ม ABD จะไดวา tan BDˆ A = AB BD tan 43.71° = AB BC + 30 AB = ( BC + 30) tan 43.71° พิจารณารปู สามเหลี่ยม ABE จะไดวา tan BEˆA = AB BE tan 38.39° = AB BC + 60 AB = ( BC + 60) tan 38.39° น่นั คอื ( BC + 30) tan 43.71° = ( BC + 60) tan 38.39° BC tan 43.71° + 30 tan 43.71° = BC tan 38.39° + 60 tan 38.39° (tan 43.71° − tan 38.39°) BC = 60 tan 38.39° − 30 tan 43.71° BC = 60 tan 38.39° − 30 tan 43.71° tan 43.71° − tan 38.39° BC ≈ 60(0.7923) − 30(0.9560) 0.9560 − 0.7923 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

266 คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 BC ≈ 115.20 จะได AB ≈ (115.20 + 30) tan 43.71° ≈ 138.80 ดงั น้นั ความสงู ของพีระมิดในปจจุบัน สูงประมาณ 138.80 เมตร 11. จากกฎของโคไซน พจิ ารณารูปสามเหลี่ยม AOB AB2 = OA2 + OB2 − 2(OA)(OB)cos AOˆB จะได 82 = 7.572.5+ 7.52 − 2(7.5)(67.5)cos AOˆB 112.5cos AOˆB = 48.5 cos AOˆB ≈ 0.4311 น่นั คือ AOˆB ≈ 64.46 องศา พิจารณารูปสามเหลีย่ ม AO′B AB2 = O′A2 + O′B2 − 2(O′A)(O′B)cos AOˆ ′B จะได 82 = 62 + 62 − 2(6)(6)cos AOˆ ′B 72cos AOˆ ′B = 8 cos AOˆ ′B ≈ 0.1111 นนั่ คอื AOˆ′B ≈ 83.62 องศา ดังนัน้ มุม AOB มขี นาด 64.46 องศา และมุม AO′B มีขนาด 83.62 องศา สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 267 แบบฝกหัดทายบท 1. คาของฟงกชนั ตรโี กณมติ ิทุกฟงกชนั ของจาํ นวนจรงิ ที่กําหนดใหแสดงดังตารางตอไปน้ี θ sinθ cosθ tanθ cosecθ secθ cotθ 1) −53π 0 −1 0 ไมนยิ าม −1 ไมนิยาม 2) 11π −1 0 ไมนิยาม −1 ไมนิยาม 0 2 3) 11π 2 − 2 −1 2 − 2 −1 4 2 2 4) 14π 3 − 1 −3 23 −2 − 3 3 2 2 3 3 5) 35π − 1 3 − 3 −2 23 −3 6 2 2 3 3 6) − 11π 3 1 3 23 2 3 3 2 2 3 3 7) − 19π 1 − 3 − 3 2 − 2 3 −3 6 2 2 3 3 8) − 49π − 2 2 −1 − 2 2 −1 4 2 2 2. จาก cos2 θ + sin2 θ = 1 จะได 60 2 121 61 3721 cos2 θ = 1 − sin2 θ = 1 − = เนือ่ งจาก π <θ <π จะได cosθ = − 11 2 61 1) sin (2π −θ ) = − sin θ = − 60 61 2) cosec(−θ ) = 1 = 1 = 1 = − 61 − sin θ 60 sin (−θ ) − 60 61 3) cos(2π −θ ) = cosθ = − 11 61 60 4) tan (3π + θ ) = tanθ = sinθ = 61 = − 60 cosθ 11 − 11 61 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

268 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 cosθ − 11 11 sinθ 61 60 5) cot (π −θ ) = −cotθ = − = − = 60 61 6) sec(θ − 2π ) = sec(−(2π −θ )) = sec(2π −θ ) = secθ = 1 = − 61 cosθ 11 3. เนือ่ งจาก 1+ cot2 θ = cosec2θ จะได 8 2 64 289 15 225 225 cosec2θ = 1+ = 1+ = นนั่ คอื cosecθ = 17 เพราะ 0 ≤ θ ≤ π 15 2 ดงั น้นั sinθ = 15 17 เนื่องจาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได cos2 θ = 1 − sin2 θ = 1 − 15 2 = 64 17 289 นน่ั คือ cosθ = 8 เพราะ 0 ≤ θ ≤ π 17 2 ดังนนั้ cosθ + cosecθ = 8 + 17 = 409 17 15 255 4. เนอื่ งจาก cos2 θ + sin2 θ =1 จะได 35 2 144 37 1369 sin2 θ = 1 − cos2 θ = 1 − − = นั่นคอื sinθ = 12 เพราะ π ≤ θ ≤ π 37 2 จะได secθ = − 37 และ tanθ = sinθ = − 12 35 cosθ 35 ดังนนั้ secθ + tanθ = − 37 − 12 = − 49 = − 7 35 35 35 5 5. เนื่องจาก 1+ tan2 θ = sec2 θ จะได sec2 θ = 1+ − 1 2 = 37 6 36 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 269 น่นั คอื secθ = 37 เพราะ 3π ≤θ ≤ 2π 6 2 จะได cotθ = −6 และ cosθ = 6 37 37 ดงั น้นั cotθ − cosθ = −6 − 6 37 = −6 37 + 37 37 37 6. 1) sec 5π + cosec 7π − cos 4π = 1 + 1 − cos 4π 6 3 3 3 cos 5π sin 7π 6 3 = 1 + 1 − − 1 3 2 − 3 2 2 =1 2 2) sin − 7π + cos − π + tan 5π = − sin 7π + cos π + tan 5π 6 3 4 6 3 4 = − − 1 + 1 + 1 2 2 =2 3) sin 2π cos 2π − cot − π tan 2π = sin 2π cos 2π + cot π tan π 3 3 6 6 3 3 6 3 = 3 ⋅ − 1 + 3⋅ 3 2 2 = 3− 3 4 4) tan2 π + cot 2 11π − sec2 23π − cosec2 13π 12 12 12 12 = tan 2 π + cot 2 π − sec2 π − cosec2 π 12 12 12 12 = tan 2 π − sec2 π + cot 2 π − cosec2 π 12 12 12 12 = (−1) + (−1) = −2 7. เน่ืองจาก −1≤ cosθ ≤1 สําหรบั ทุกจํานวนจริง θ ถา −1 ≤ cosθ < 0 จะได 1 ≤ −1 cosθ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

270 คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 ถา 0 < cosθ ≤1 จะได 1 1 cosθ นั่นคือ 1 1 หรอื secθ 1 cosθ ดังนั้น ไมมจี ํานวนจรงิ θ ใด ๆ ที่ทาํ ให secθ <1 8. เนื่องจากเรนจของฟงกชัน tan คอื เซตของจาํ นวนจริง และ 5 เปนจาํ นวนจรงิ เมื่อ 0≤θ < π จะไดวา tanθ >0 2 ดงั นน้ั มจี ํานวนจริง θ ท่ที าํ ให tanθ = 5 9. จากรปู จะได cos 40° = DB AB น่นั คอื DB = AB cos 40° ≈ 6(0.7660) = 4.5960 sin 40° = AD AB นัน่ คอื AD = AB sin 40° ≈ 6(0.6428) = 3.8568 tan 30° = AD CD นน่ั คอื CD = AD cot 30° ≈ (3.8568)(1.7320) ≈ 6.6800 และ sin 30° = AD นนั่ คือ AC AC = AD cosec30° ≈ (3.8568)(2) ≈ 7.7136 จะได BC = CD + DB = 6.6800 + 4.5960 = 11.276 ดงั นน้ั ดาน BC ยาวประมาณ 11.276 เซนตเิ มตร และดาน CA ยาวประมาณ 7.7136 เซนตเิ มตร สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 271 10. ให ABC เปนรูปสามเหล่ียมหนาจวั่ ทม่ี ีมมุ A เปนมุมยอด จากรปู จะได BD = DC = 20 นิว้ cos 70° = BD AB จะได AB = BD = 20 ≈ 58.4795 cos 70° 0.3420 น่ันคือ AB + AC + BC = 2(58.4795) + 40 = 156.959 ดังนั้น ความยาวของเสนรอบรปู ของรปู สามเหลยี่ มหนาจั่วขางตน ยาวประมาณ 156.959 น้วิ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

272 คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 11. จากรปู จะได AB = AC = 90 เนื่องจาก cos15° = AD จะได AC AD = AC cos15° ≈ 90(0.9659) = 86.931 น่ันคอื x = AB − AD = 90 − 86.931 = 3.069 ดงั น้ัน x มีคาประมาณ 3.069 12. 1) คาบ คอื 2π แอมพลิจดู คอื 1 2 เรนจ คอื − 1 , 1 2 2 เขยี นกราฟของ y= 1 cosθ ไดดังน้ี 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 273 2) คาบ คอื π 2 แอมพลิจูด คอื 1 2 เรนจ คือ − 1 , 1 2 2 เขียนกราฟของ y = 1 sin 4θ 2 3) คาบ คือ π แอมพลิจดู คอื 1 2 เรนจ คือ − 1 , 1 2 2 เขียนกราฟของ y= 1 sin ( −2θ ) ไดดังนี้ 2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

274 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 4) คาบ คอื π แอมพลจิ ดู คอื 1 2 เรนจ คือ − 1 , 1 2 2 เขยี นกราฟของ y = − 1 sin ( −2θ ) ไดดงั นี้ 2 5) คาบ คอื 4π แอมพลจิ ูด คอื 2 เรนจ คือ [−3,1] เขียนกราฟของ y = −2 sin 1 θ −1 ไดดงั นี้ 2 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 275 6) คาบ คือ 4π แอมพลิจดู คือ 2 เรนจ คือ [−1, 3] เขียนกราฟของ y = −2 cos 1 θ +1 ไดดงั นี้ 2 7) คาบ คอื π แอมพลจิ ูด คอื 2 เรนจ คอื [−1, 3] เขียนกราฟของ y = 2sin 2θ +1 ไดดังนี้ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

276 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 8) คาบ คอื π แอมพลจิ ดู คอื 2 เรนจ คอื [−3,1] เขียนกราฟของ y = 2cos2θ −1 ไดดังนี้ 13. 1) (ค) 2) 3) (จ) 4) (ฉ) 5) 6) (ข) 14. 1) (ง) (ก) cosec 3π − π = 1 2 3 sin 3π − π 2 3 = 1 sin 3π cos π − cos 3π sin π 2 3 2 3 =1 3 1 2 ( −1) 2 − (0) 2) cos165° = −2 = cos(180° −15°) = − cos15° สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 277 = −cos(45° − 30°) = −(cos 45°cos30° + sin 45°sin 30°) = − 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 2 2 2 2 = − 6+ 2 4 3) sin105° = sin (60° + 45°) = sin 60°cos 45° + cos 60°sin 45° = 3 21 2 2 ⋅ 2 +2⋅ 2 = 6+ 2 4 4) tan 285° = tan (360° − 75°) = − tan 75° = − tan (30° + 45°) = − tan 30° + tan 45° 1 − tan 30° tan 45° 3 +1 3 = − 3 1− 3 = 3+3 3−3 = −2 − 3 5) sec − π =1 π 12 12 cos − =1 π π cos 4 − 3 = 1 cos π cos π + sin π sin π 4 3 4 3 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

278 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 =1 2 3 2 1 2 2 2 ⋅ 2 + ⋅ = 6− 2 6) cot − 17π = − cot π + 5π 12 12 = − cot 5π 12 = − 1 tan 5π 12 = − 1 tan π + π 4 6 = − 1 tan π + tan π 4 6 1 − tan π tan π 4 6 =− 1 3 3 1+ 1− 3 3 = 3−3 3+3 = 3−2 7) cos 3π cos 7π − sin 3π sin 7π = cos 3π + 7π 20 20 20 20 20 20 = cos π 2 =0 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 279 8) tan 74° − tan14° = tan (74° −14°) 1 + tan 74° tan14° = tan 60° =3 9) sin −1π2 cos 5π − cos − π sin 5π = sin − π − 5π 12 12 12 12 12 = sin − π 2 = −1 10) cos100°cos5° − sin100°sin 5° = cos(100° + 5°) = cos105° = cos(60° + 45°) = cos 60°cos 45° − sin 60°sin 45° = 1 2 3 2 2⋅ 2− 2⋅ 2 = 2− 6 4 11) 1 + tan15° = tan 45° + tan15° 1 − tan15° 1 − tan 45° tan15° = tan (45° +15°) = tan 60° =3 12) 2 sin 11π sin 7π = cos 11π − 7π − cos 11π + 7π 12 12 12 12 12 12 = cos π − cos 3π 3 2 =1 2 13) cos165°cos 75° = 1 cos(165° + 75°) + cos(165° − 75°) 2 = 1 ( cos 240° + cos 90°) 2 = 1 (− cos 60°) 2 = − 1 4 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

280 คูมือครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 14) sin 80 cos 25 + sin100 cos35 + cos80 sin 25 + cos100 sin 35 = 1 (sin105° + sin 55°) + 1 (sin135° + sin 65°) + 1 (sin105° − sin 55°) 2 2 2 + 1 (sin135° − sin 65°) 2 = sin105° + sin135° = sin (180° − 75°) + sin (180° − 45°) = sin 75° + sin 45° = sin (30° + 45°) + sin 45° = sin 30°cos 45° + cos30°sin 45° + sin 45° = 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 2 2 2 2 2 2 = 6+3 2 4 15) cos135° + cos105° + cos 75° = cos(90° + 45°) + cos(180° − 75°) + cos 75° = cos(90° + 45°) − cos 75° + cos 75° = cos(90° + 45°) = cos90°cos 45° − sin 90°sin 45° = (0)⋅ 2 − (1) ⋅ 2 2 2 = − 2 2 16) sin 80° − sin 40° − sin 20° = 2 cos 80° + 40° sin 80° − 40° − sin 20° 2 2 15. 1) จาก cos2 α + sin2 α = 1 = 2cos 60°sin 20° − sin 20° = 2 1 sin 20° − sin 20° 2 =0 จะได cos2 α = 1 − sin2 α = 1 − 5 2 144 13 = 169 ดังนน้ั cosα = −1123 เพราะ − 3π <α < −π 2 จาก tan β = − 3 จะได sin β = 3 , cos β = − 1 เพราะ π <β <π 2 2 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 281 ดังนัน้ sin α = 5 , cosα = − 1123 , sin β = 3 , cos β = − 1 , tan α = − 152 และ 13 2 2 tan β = − 3 จะได sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β = 5 1 + 12 ⋅ 3 13 ⋅ −2 − 13 2 = −5 −12 3 26 cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β = − 12 ⋅ − 1 − 5 ⋅ 3 13 2 13 2 = 12 − 5 3 26 sin (α − β ) = sinα cos β − cosα sin β = 5 ⋅ − 1 − − 12 ⋅ 3 13 2 13 2 = −5 +12 3 26 tan (α − β ) = tanα − tan β 1+ tanα tan β ( ( ) )= − 5 − − 3 12 1+ − 5 −3 12 = −5 +12 3 12 + 5 3 2) จาก secα = − 17 จะได cosα = − 8 8 17 จาก cos2 α + sin2 α = 1 จะได sin2 α = 1 − cos2 α = 1 − − 8 2 225 17 = 289 ดังนั้น sin α = − 15 เพราะ π < α < 3π 17 2 และจาก cos2 β + sin2 β = 1 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

282 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 2 2 1 2 2 จะได cos2 β = 1− sin2 β = 1− = ดังนั้น cos β = − 2 เพราะ − 3π < β < −π 2 2 ดังนัน้ sin α = − 15 , cos α = − 8 , sin β = 2 , cos β = − 2 , tan α = 15 และ tan β = −1 17 17 2 2 8 จะได sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β = − 15 ⋅ − 2 + − 8 ⋅ 2 17 2 17 2 =72 34 cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β = − 8 ⋅ − 2 − − 15 ⋅ 2 17 2 17 2 = 23 2 34 sin (α − β ) = sinα cos β − cosα sin β = − 15 ⋅ − 2 − − 8 ⋅ 2 17 2 17 2 = 23 2 34 tan (α − β ) = tanα − tan β 1+ tanα tan β 15 − ( −1) 8 = 15 8 1 + ( −1) = − 23 7 16. จาก sin2 x + cos2 x = 1 จะได cos2 x = 1 − sin2 x = 1 − 3 2 16 5 = 25 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 283 นนั่ คอื cos x = 4 เพราะ 0 < x < π 5 2 และ sin2 ( x + y) + cos2 ( x + y) = 1 จะได cos2 ( x + y) = 1− sin2 ( x + y) = 1− 5 2 144 −13 = 169 นน่ั คอื cos ( x + y ) = − 12 เพราะ π < x+ y < 3π 13 2 จาก sin ( x + y) = sin x cos y + cos xsin y จะได − 5 = 3 cos y + 4 sin y ------------ (1) และจาก 13 5 5 ------------ (2) cos( x + y) = cos x cos y − sin xsin y ------------ (3) ------------ (4) จะได − 12 = 4 cos y − 3 sin y 13 5 5 ------------ (5) ------------ (6) จาก (1) จะได − 15 = 9 cos y + 12 sin y 65 25 25 จาก (2) จะได − 48 = 16 cos y − 12 sin y 65 25 25 จาก (3) และ (4) จะได cos y = − 63 65 จาก (1) จะได − 20 = 12 cos y + 16 sin y 65 25 25 จาก (2) จะได 36 = 12 cos y − 9 sin y − 65 25 25 จาก (5) และ (6) จะได sin y = 16 65 ดังนน้ั sin x = 3 , cos x = 4 , sin y = 16 และ cos y = − 63 5 5 65 65 4 1) cot x = cos x = 5 =4 3 3 sin x 5 sin ( x + y) − 5 =5 cos( x + y) 13 12 2) tan ( x + y) = = 12 13 − 3) sin y = 16 65 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

284 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 4) cos( x − y) = cos x cos y + sin xsin y = 4 ⋅ − 63 + 3 ⋅ 16 = − 204 5 65 5 65 325 17. cot 2x = 1 tan 2x = 1 2 tan x 1 − tan2 x = 1 − tan2 x 2 tan x 1 2 2 = 1− 1 2 2 18. จาก =3 1 − 2sin2 α จะได 4 cos 2α = 1− 2sin2 (0.52) cos 2(0.52) = น่นั คือ cos1.04 = 1− 2sin2 (0.52) 0.50 = 1− 2sin2 (0.52) sin2 (0.52) = 0.25 ดงั น้นั sin 0.52 = 0.5 เพราะ 0 < 0.52 < π 2 19. 1) sin (π + θ ) = sinπ cosθ + cosπ sinθ = (0) ⋅ cosθ + (−1) ⋅ sinθ = −sinθ 2) sin 3π +θ = sin 3π cosθ + cos 3π sinθ 2 2 2 = (−1) ⋅ cosθ + (0) ⋅ sinθ = − cosθ 3) tan (90° − A) = sin (90° − A) cos(90° − A) = sin 90°cos A − cos90°sin A cos90°cos A + sin 90°sin A สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 เลม 1 285 = (1) ⋅ cos A − (0) ⋅ sin A (0) ⋅ cos A + (1) ⋅ sin A = cos A sin A = cot A 4) sec(90° − A) = 1 cos(90° − A) = 1 cos90°cos A + sin 90°sin A = 1 (0) ⋅ cos A + (1) ⋅ sin A =1 sin A = cosecA 5) tan (270° − A) = sin (270° − A) cos(270° − A) = sin 270°cos A − cos 270°sin A cos 270°cos A + sin 270°sin A = (−1) ⋅ cos A − (0) ⋅ sin A (0) ⋅ cos A + (−1) ⋅ sin A = − cos A −sin A = cot A 6) sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β sin (α − β ) sinα cos β − cosα sin β sinα cos β + cosα sin β cosα cos β cosα cos β = sinα cos β cosα sin β cosα cos β − cosα cos β = tanα + tan β tanα − tan β 7) sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β sinα cos β sinα cos β = 1 + cosα sin β sin α cos β สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

286 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 เลม 1 = 1+ cotα tan β 8) cos( x + 45°) + cos( x − 45°) = 2cos x + 45° + x − 45° cos x + 45° − x + 45° 2 2 = 2cos x cos 45° = 2cos x ⋅ 2 2 = 2 cos x 9) sin ( x + y)sin ( x − y) = (sin x cos y + cos xsin y)(sin x cos y − cos xsin y) = sin2 x cos2 y − cos2 x sin2 y ( ) ( )= sin2 x 1− sin2 y − 1− sin2 x sin2 y = sin2 x − sin2 x sin2 y − sin2 y + sin2 x sin2 y = sin2 x − sin2 y ( )10) 1+ cos 2α 1 + 1 − 2sin2 α = 2cosα + sin 2α 2cosα + 2sinα cosα ( )2 1− sin2 α = 2cosα (1+ sinα ) = 2(1− sinα )(1+ sinα ) 2cosα (1+ sinα ) = 1− sinα cosα = secα − tanα 11) 2 tanα = 2 tanα 1 + tan2 α sec2 α = 2sinα cos2 α cosα = 2sinα cosα = sin 2α 12) 1 − tan2 α = 1 − tan2 α 1 + tan2 α sec2 α = cos2 α − sin2 α ⋅ cos2 α cos2 α = cos2 α − sin2 α = cos 2α สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5 เลม 1 287 13) cos 4α = cos 2(2α ) = 2cos2 2α −1 ( )= 2 2cos2 α −1 2 −1 ( )= 2 4cos4 α − 4cos2 α +1 −1 = 8cos4 α − 8cos2 α + 2 −1 = 8cos4 α − 8cos2 α +1 ( ) ( )14) cosec2α − 2 tan 2α = cot2 α −1 tan 2α = ( cot α − 1) ( cot α + 1) 1 2 tan α − tan2 α = 1 −1 1 +1 2 tanα tan α tan α (1− tanα )(1+ tanα ) = 1 − tanα 1 + tanα 2 tanα tan α tanα (1− tanα )(1+ tanα ) =2 tan α = 2cotα 20. 1) ให arctan − 3 =θ จะได tanθ =− 3 3 3 เนือ่ งจากในชวง − π , π มี − π เพยี งคาเดียวท่ี tan − π =− 3 2 2 6 6 3 ดงั น้ัน arctan − 3 = − π 3 6 2) ให arccos − 3 =θ จะได cosθ =− 3 2 2 เน่ืองจากในชวง [0, π ] มี 5π เพยี งคาเดียวท่ี cos 5π =− 3 6 6 2 ดงั น้ัน arccos − 3 = 5π 2 6 และ cos arccos − 3 = cos 5π =− 3 2 6 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

288 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 3) ให arccos 1 = θ จะได cosθ = 1 โดยท่ี 0≤θ ≤π 3 3 จาก cos2 θ + sin2 θ = 1 จะได sin2 θ = 1 − cos2 θ = 1 − 1 28 3 =9 นนั่ คือ sinθ = 22 เพราะ 0 ≤ θ ≤ π 3 = tanθ ดังน้ัน tan arccos 1 3 = sinθ cosθ 22 = 3 1 3 = 22 4) ให arcsin − 2 =θ จะได sinθ =− 2 โดยท่ี − π ≤θ ≤ π 3 3 2 2 จาก cos2 θ + sin2 θ = 1 2 2 7 3 9 จะได cos2 θ = 1 − sin2 θ = 1 − − = นน่ั คือ cosθ = 7 เพราะ − π ≤θ ≤ π 3 2 2 ดงั นนั้ cot arcsin − 2 = cotθ 3 = cosθ sinθ 7 =3 2 3 − = − 14 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี