1404-Apply1

เอกสารประกอบการเรยี น 77 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ การประยุกต์อนุพนั ธแ์ ละอนิ ทิกรัล Applications of the Derivatives and Integral ผูส้ อน ครจู ติ รเมธี สายสมุ่

7 7หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี การประยกุ ตอ์ นุพนั ธ์ และอินทกิ รลั Applications of the Derivatives and Integral หวั ข้อเรอ่ื ง 1. อตั ราสมั พทั ธ์ 2. คา่ สงู สุดและคา่ ตำ่ สุด 3. ความเร็วและความเร่ง 4. การหาพน้ื ทร่ี ะหวา่ งเส้นโค้งกบั แกน 5. การหาพืน้ ทร่ี ะหวา่ งเสน้ โคง้ สองเสน้ 1 แคลคลู สั 1

จุดประสงคท์ ั่วไป 1. เพอื่ ใหเ้ กิดความคิดรวบยอดเกีย่ วกบั การประยุกตอ์ นุพันธ์ และอินทกิ รลั จำกดั เขต 2. นำความรูเ้ รอ่ื งการประยุกตอ์ นพุ นั ธ์และอนิ ทกิ รลั จำกดั เขต ไปประยุกต์ใช้ในงานอาชพี 3. มเี จตคติทีด่ ตี อ่ การเรยี นรู้ทางคณิตศาสตร์ จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม เมือ่ ศกึ ษาหนว่ ยนี้แล้วนักศึกษาสามารถ 1. หาอัตราสมั พทั ธ์ได้ 2. หาจุดวิกฤติ คา่ สงู สุดและคา่ ต่ำสดุ ได้ 3. หาความเร็วและความเรง่ ของวัตถุได้ 4. หาพน้ื ที่ซึง่ อยู่ระหว่างเสน้ โคง้ กบั แกนได้ 5. หาพ้ืนทซ่ี งึ่ อยู่ระหวา่ งเสน้ โคง้ สองเส้นได้ แคลคูลสั 1 2

7.1 อตั ราสมั พัทธ์ (Related Rates) เมื่อปริมาณสองปริมาณมีความสัมพันธ์กันแล้ว ขณะที่ปริมาณหนึ่งมีการ เปลี่ยนแปลงมีผลทำให้ปริมาณอีกปริมาณหนึ่งมกี ารเปล่ียนแปลงด้วย ในทำนอง เดียวกัน การเปลี่ยนแปลงของปริมาณสองปริมาณที่มีความสัมพันธ์กัน ซึ่งเม่ือ ปริมาณหนึ่งมีอัตราการเปลี่ยนแปลงค่าหนึ่งแล้ว จะมีผลต่ ออัตราการ เปลี่ยนแปลงของอีกปริมาณหนึ่ง อัตราการเปลี่ยนแปลงที่มีผลต่อกันเช่นน้ี เรียกว่า อตั ราสัมพัทธ์ การแก้ โจทย์ปัญหาเรื่องอตั ราสมั พัทธ์ มีขั้นตอนดังนี้ 1) วาดรปู (เมอ่ื สามารถวาดได้) ขณะเวลา t ใด ๆ 2) กำหนดชื่อตวั แปร และเขยี นสง่ิ ทโ่ี จทยก์ ำหนดในรูปแบบ ของสญั ลักษณท์ างคณติ ศาสตร์ 3) สรา้ งความสมั พันธ์ของตัวแปร และจดั รปู ให้มเี พยี ง 2 ตวั แปร 4) หาอนพุ ันธเ์ ทียบกบั เวลาโดยใช้กฎลูกโซ่ 5) แทนคา่ ตัวแปรและจำนวนอืน่ ๆ ในขอ้ 4 3 แคลคลู ัส 1

ตัวอยา่ ง 7.1 ถังบรรจุน้ำเป็นรูปกลอ่ งสเ่ี หลีย่ มมมุ ฉาก ขนาด กว้าง x ยาว x สูง เทา่ กับ 2 x 3 x 4 ฟตุ ถา้ เตมิ นำ้ ลงไปในถงั ด้วยอัตรา 3 ลกู บาศกฟ์ ตุ ตอ่ นาที แลว้ ขณะท่นี ้ำสูง 1 ฟุต ความสูงของนำ้ จะเปลี่ยนแปลงในอัตราเท่าใด h=1 วิธีทำ ขณะเวลา t ใด ๆ นำ้ ในถังสูง h ฟตุ ดังรปู โจทยก์ ำหนดเตมิ นำ้ ในอัตรา 3 ลกู บาศก์ฟตุ /นาที ให้ v เป็นปรมิ าตรน้ำ จะได้ dv = 3 ลูกบาศกฟ์ ตุ /นาที dt ให้ h เป็นความสงู ของน้ำ ตอ้ งการหา dh เมอ่ื h =1 ฟุต dt ความสัมพันธร์ ะหวา่ ง vและh เปน็ ดังน้ี v = 2x3xh v = 6h หาอนุพนั ธ์เทยี บกบั เวลา t dv = d (6h) dt dt =dv 6 dh dt dt แทนคา่ dv = 3จะได้ 3 = 6 dh dt dt =dh 3 dt 6 =1 2 ดังนัน้ ขณะท่ีน้ำสงู 1 ฟุต ความสงู จะเปลีย่ นแปลงในอตั รา 1 ฟตุ /นาที ตอบ 2 แคลคูลสั 1 4

ตัวอย่าง 7.2 นายสมบูรณท์ ำหนา้ ทีด่ ึงเรอื เขา้ ท่าเรอื โดยใช้เชอื กผ่านรอกซ่งึ อยู่สูงจากพ้ืน 8 ฟุต โดยดงึ เชอื ก เกบ็ ในอัตรา 4 ฟตุ /นาที เรอื จะเคล่อื นทีเ่ ขา้ ท่าในอัตราเท่าใด ขณะทีเ่ รืออย่หู า่ งจากทา่ 6ฟตุ วธิ ีทำ เขียนรูปขณะเวลา t ใด ๆ ได้ดังรูป ให้ A เปน็ จดุ ที่รอกแขวนอยู่ B เป็นท่าเรือ C เป็นจดุ ทเี่ รอื ลอยลำอย่ขู ณะเวลา t ใด ๆ ABแทนความสงู ของรอกซึง่ สูงจากพ้ืน 8 ฟตุ AC แทนความยาวของเชือกผา่ นรอกทีด่ ึงเรอื เขา้ ฝัง่ ยาว y ฟุต ดังนั้น dy = 4 ฟตุ /นาที dt และ BC แทนระยะทางระหว่างท่าเรือกับเรือใหม้ ีความยาวเท่ากับ x ฟตุ โจทย์ต้องการหา dx เมื่อ x = 6ฟตุ /นาที dt จากรปู ABC เปน็ สามเหลย่ี มมมุ ฉากซึง่ มคี วามสัมพนั ธ์ดงั นี้ y 2 = x2 + 82 = x2 + 64 ………………….. หาอนุพันธเ์ ทยี บกบั t ได้ดังนี้ d (y2)= d (x2 + 64) dt dt 2y dy = 2x dx dt dt dx = 2y dy 2x dt dt dx = y dy ……………………….. dt x dt แทนค่า x = 6ฟตุ ใน  จะได้ y2 = 62 + 82 y2 = 100 y = 10 แทนคา่ y =10, x = 6, dy = 4 ลงในสมการ จะได้ dt dx = 10 (4) 6 dt dx = 62 3 dt ดงั น้ันเรือจะเคลื่อนท่เี ข้าท่าเรือในอัตรา = 6 2 ฟุต/นาที ตอบ 3 5 แคลคลู สั 1

แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ี่ 7.1 จุดประสงค์ นักศกึ ษาสามารถหาอัตราสมั พทั ธ์ได้ 1. เปดิ น้ำไหลเขา้ ถังเกบ็ น้ำรปู กรวยหงายในอัตรา 10 แกลลอนตอ่ นาที ถา้ รัศมขี องกรวย ยาว 6 ฟุต และสูงเทา่ กับ 12 ฟุต อตั ราการเพ่ิมของระดบั น้ำเท่ากับกฟี่ ตุ ต่อนาที ขณะทีน่ ้ำอยู่ในระดับความสงู 3 ฟตุ โดยท่ี 6.24 ลูกบาศกฟ์ ุต เท่ากับ 1 แกลลอน แคลคูลสั 1 6

2. สูบกา๊ ซเข้าไปในบอลลูนทรงกลมด้วยอัตรา 100 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร/วนิ าที ถ้าความดันของก๊าซ คงตวั ตลอดเวลา อตั ราการเพ่ิมของรศั มขี องบอลลูนเทา่ กบั กี่เซนติเมตรต่อวนิ าที ขณะเม่ือรศั มี เทา่ กบั 9 เซนตเิ มตร 7 แคลคลู สั 1

3. บอลลนู ลอยอย่สู งู 60 เมตร และกำลงั ลอยขนึ้ ในแนวดิง่ ดว้ ยอตั ราเรว็ คงท่ี 4.5 เมตร/วนิ าที รถยนตค์ ันหน่งึ แล่นในแนวเสน้ ตรงใตบ้ อลลนู ด้วยอัตราคงท่ี 20 เมตร/วินาที อยากทราบว่า ระยะหา่ งระหวา่ งบอลลูนกับรถยนตเ์ ปลี่ยนไปดว้ ยอตั รากเี่ มตร เม่ือเวลาผา่ นไป 1 วินาที แคลคูลสั 1 8

4. ขณะทว่ี า่ วอยูท่ ร่ี ะดบั ความสงู 300 ฟุต ลมพาวา่ วลอยไปในแนวระดบั ด้วยอัตราเรว็ 25 ฟุต ตอ่ วนิ าที คนที่เล่นวา่ วจะตอ้ งผอ่ นสายป่านดว้ ยอตั ราเร็วกฟี่ ุตต่อวินาที เมื่อวา่ วอยู่หา่ งจาก ตัวเขา 500 ฟุต 9 แคลคลู ัส 1

5. รถยนต์ A และรถยนต์ B เริ่มแล่นออกจากส่ีแยกแห่งหนึง่ พร้อมกนั โดยรถยนต์ A แล่นไปทางทิศ เหนอื ด้วยอตั ราเร็ว 15 ไมลต์ อ่ ชัว่ โมง รถยนต์ B แลน่ ไปทางทิศตะวนั ออกดว้ ยอตั ราเร็ว 20 ไมล์ ตอ่ ช่วั โมง อัตราการเพิม่ ขึ้นของระยะทางท่รี ถยนต์ท้งั สองแลน่ ห่างออกจากกันก่ีไมล์ต่อช่ัวโมง เม่อื เวลาผ่านไป 2 ช่วั โมง แคลคูลสั 1 10

7.2 ค่าสงู สุดและค่าตำ่ สดุ (Maximum and Minimum) ในชีวิตประจำวันจะพบปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดอยู่เสมอ เช่น จะออกแบบยานพาหนะอย่างไร จึงจะทำให้ยานพาหนะเคลื่อนที่โดยมีแรง ตา้ นทานจากอากาศตำ่ สุด หรอื จะออกแบบกลอ่ งใสน่ ำ้ ผลไม้อย่างไรให้มีปริมาตร สูงสุดและสิ้นเปลืองวัสดุต่ำสุด ซึ่งปัญหาประเภทนี้สามารถหาคำตอบได้โดยใช้ ความรูเ้ กย่ี วกบั อนุพนั ธด์ ังตอ่ ไปนี้ 7.2.1 ฟงั กช์ นั เพมิ่ และฟังกช์ ันลด (Increasing and Decreasing Function) บทนิยาม ฟังก์ชัน f (x)จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงเปิดช่วงหนึ่ง ก็ต่อเม่ือ f (a) f (b) เมือ่ ab ฟงั ก์ชนั f (x)จะเป็นฟังก์ชันลดบนช่วงเปิดช่วงหน่ึง กต็ อ่ เมือ่ f (a)  f (b) เมือ่ ab การพิจารณาว่า f(x)จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดสามารถ พจิ ารณาจากอนุพนั ธด์ งั นี้ ถา้ f (a) 0 แล้ว f (x) จะเป็นฟังก์ชันเพิม่ ท่ี x = a ถ้า f (a)0 แลว้ f (x) จะเปน็ ฟงั กช์ ันลด ที่ x = a ถ้า f (a) =0 แลว้ f (x) จะน่งิ (Stationary) ที่ x = a 11 แคลคลู สั 1

y T B C D E a bcde s tx O S A รปู 7.1 ลักษณะของกราฟเสน้ โคง้ y = f (x) จากรูป 7.1เส้นโคง้ y = f (x) พุ่งขนึ้ บนช่วง a < x < b เสน้ โคง้ y = f (x)ตำ่ ลงบนชว่ ง b < x <c เส้นโค้ง y = f (x) จะน่งิ ท่ี x = b,x =d,x = s เสน้ โคง้ y = f (x) มีเสน้ สัมผัสในแนวนอนท่ีจุดB,D และ S ดังนั้นจุด B , D , S จะเป็นจุดนิ่ง (Stationary point) ของฟังก์ชันและมีค่า f (x) = 0 เรียกค่า b, d และ s ว่า ค่าวิกฤต (Critical Values) และเรียก จุด B , D , S วา่ จดุ วกิ ฤต (Critical Point) บทนยิ าม x จะเปน็ ค่าวิกฤต ของฟังกช์ ัน f (x) ก็ต่อเมือ่ x ทำให้ f (x) = 0 หรอื f (x) หาค่าไมไ่ ด้ และเรียก (x, f (x)) ว่าจุดวิกฤต แคลคูลสั 1 12

7.2.2 คา่ สูงสุดและค่าต่ำสดุ สัมพัทธ์ (Relative Maximum and Minimum) บทนิยาม ฟงั ก์ชัน y = f (x) จะมีค่าสูงสดุ สมั พทั ธ์ (Relative Maximum) ท่ี x = b ในชว่ ง(a,c)โดยท่ี b  (a,c) ก็ต่อเมือ่ f (b) f (x)สำหรบั ทุก x ใน (a,c)เรยี ก f (b)ว่าค่าสูงสดุ สมั พัทธ์ และเรียกจดุ (b, f (b))วา่ จดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์ของฟงั ก์ชัน y (b, f (b)) f (x)=0 f (b) f (x)0 • • f (x)0 y= f (x) 0 x abc รูป 7.2 คา่ สูงสุดสัมพทั ธแ์ ละจดุ สงู สดุ สัมพัทธ์ 13 แคลคลู สั 1

บทนยิ าม ฟงั กช์ นั y = f (x)จะมีคา่ ตำ่ สุดสัมพัทธ์ (Relative Minimum) ท่ี x = b ในช่วง(a,c)โดยที่ b  (a,c) ก็ต่อเมื่อ f (b) f (x)สำหรับทุก x ใน (a,c) เรียก f (b)ว่าค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และเรียกจุด (b, f (b))ว่าจุดต่ำสุด สัมพัทธข์ องฟังก์ชัน y y= f (x) f (x)0 • • f (x)0 x f (b) (b, f (b)) f (x)=0 0 bc a รปู 7.3 ค่าตำ่ สุดสมั พัทธ์และจดุ ต่ำสุดสมั พทั ธ์ แคลคูลสั 1 14

7.2.3 การหาคา่ สูงสดุ และคา่ ตำ่ สดุ ขน้ั ตอนการหา 1. หา f (x) และให้ f (x) = 0 2. แกส้ มการ f (x) = 0 เพือ่ หาคา่ x สมมตไิ ด้ x = b จะเรียก b ว่าคา่ วิกฤต 3. ทีจ่ ดุ x = b จะเปน็ จุดสูงสุดหรือจุดตำ่ สุดซงึ่ จะทดสอบได้ดังนี้ 3.1 หา f (x) แล้วนำคา่ b ทไี่ ด้แทนใน f (x) 3.1.1 ถ้า f (b) > 0 แสดงวา่ f (x) มคี ่าตำ่ สดุ เทา่ กับ f (b) 3.1.2 ถา้ f (b) < 0 แสดงวา่ f (x) มีคา่ สูงสดุ เท่ากับ f (b) 3.1.3 ถา้ f (b) = 0 ยงั สรปุ ไม่ไดว้ ่า f (x) มีคา่ สงู สดุ หรือคา่ ตำ่ สุด 3.2 ถา้ การทดสอบเกิดกรณีท่ี 3.1.3 จะตรวจสอบโดยพิจารณาค่าใกลเ้ คยี งค่าวกิ ฤต ( x = b ) ในชว่ ง a  b  c ซง่ึ a , c เปน็ ค่าใกลเ้ คียง b ดังน้ี 3.2.1 ถ้า f (a) > 0 และ f (c) < 0 แล้ว f (b)จะเป็นค่าสงู สดุ 3.2.2 ถา้ f (a) < 0 และ f (c) > 0 แลว้ f (b)จะเปน็ ค่าต่ำสดุ 3.2.3 ถา้ f (a) > 0 และ f (c) > 0 หรอื f (a) < 0 และ f (c) < 0 แสดงว่า f (x) ไมม่ คี า่ สงู สดุ หรือคา่ ตำ่ สดุ ที่ x = b 15 แคลคลู ัส 1

y y x f(x)0 *f(x)=0 f (x) 0 f(x)0 * f(x)=0 bx f (x)  0 b รปู 7.4 f (x) ไมม่ คี า่ สงู สุดหรอื ค่าต่ำสุดท่ี x = b ตัวอยา่ ง 7.3 จงหาค่าสูงสุดหรอื คา่ ตำ่ สดุ ของฟังกช์ ัน f (x) = x +x+ วธิ ีทำ 1. หา f (x) และค่า f (x) จาก f (x) = x +x + = 6x+6 f (x) =6 f (x) 2. หาค่าวกิ ฤต ให้ f (x) =0  6x+6 =0 6x = −6 6 x = −6  ค่าวกิ ฤต = −1 3. นำค่าวกิ ฤตมาตรวจสอบหาค่าสงู สุดและค่าตำ่ สดุ ของฟงั กช์ นั ดังน้ี แทนคา่ x = −1 ใน f (x) จะได้ f (−1) =6 ซงึ่ f (x)> 0 แสดงวา่ f (x) มีคา่ ตำ่ สดุ เมอื่ x = −1 แคลคูลสั 1 16

7.2.4 การแก้โจทยป์ ญั หาโดยใชค้ ่าสงู สุดหรอื ค่าต่ำสดุ สัมพทั ธ์ ขั้นตอนการแกโ้ จทย์ปัญหา 1. กำหนดตวั แปรแทนเง่อื นไขทโี่ จทยใ์ ห้มาทั้งหมด 2. สรา้ งสมการแสดงความสมั พนั ธ์ของตวั แปรตามทโี่ จทยต์ อ้ งการ 3. ถ้ามีตัวแปรอิสระมากกวา่ หนง่ึ ตัวแปร ให้ทำใหเ้ หลอื เพยี งตัวแปรเดยี ว 4. นำฟงั ก์ชนั ทส่ี รา้ งไดม้ าหาค่าสูงสดุ หรอื ค่าตำ่ สุดสมั พทั ธ์ ตัวอยา่ ง 7.4 กระดาษรปู สีเ่ หล่ียมจัตุรัสแผน่ หนึง่ มดี ้านยาวด้านละ 18 cm นำมาทำเปน็ กล่อง ท่ไี ม่มีฝาโดยตดั มุมของกระดาษน้ีออกเป็นรปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ ัส ทกุ มุมแลว้ พบั ขนึ้ เปน็ กลอ่ ง ดังรปู ถา้ ตอ้ งการปรมิ าตรของกลอ่ งมากที่สุด ควรจะตัดมมุ กระดาษขนาดเท่าใด xx x xx 18 - 2x 18 - 2x xx = 18 - 2x x 18 - 2x x x cm วธิ ีทำ สมมติตดั แต่ละมมุ ออกด้านละ 18 – 2x cm  ฐานของกล่องยาวด้านละ = พ้นื ทฐี่ าน  สงู ให้ V แทนปริมาตรของกล่องจะได้ V = (18 −2x)(18 −2x)(x) = (−x +x )x = 4x3 −72x2 +324x = x −x + หาอนพุ ันธ์อันดบั ทีห่ นงึ่ และอนั ดบั ท่สี องของV 24x −144 จะได้ V และ V = 0 หาคา่ วิกฤต โดยให้ V = = 17 แคลคลู ัส 1

ดังนนั้ x −x + =0 x2 −12x +27 (x −9)(x −3) =0 จะได้ x =0 = 3,9 นำ x = 3 มาตรวจสอบโดยการแทนค่าใน V  จะได้ V = ()− = 72 −144 = −72  V  < 0 แสดงว่า V มีค่าสงู สดุ เม่ือ x = 3 ดังน้ัน จะต้องตัดกระดาษออกยาวดา้ นละ 3 cm กลอ่ งจึงจะมีปริมาตรสูงสุด ตอบ หมายเหตุ ไม่จำเปน็ ต้องตรวจสอบ x = 9 เพราะเปน็ ไปไม่ได้ ตัวอย่าง 7.5 โรงงานอตุ สาหกรรมต้องการผลติ กระปอ๋ งรปู ทรงกระบอกสำหรับบรรจุผลิตภณั ฑ์ให้มี ความจุ V ถ้าจะใชว้ ัสดุสำหรบั ทำกระปอ๋ งน้อยท่ีสดุ ควรใหก้ ระป๋องมีส่วนสูงเปน็ กเี่ ทา่ ของรศั มี วธิ ที ำ ให้ ปริมาตรของกระปอ๋ งรูปทรงกระบอก= V =r r รศั มีของกระป๋อง =h ส่วนสงู ของกระปอ๋ ง h พืน้ ท่ผี ิวทงั้ หมดของกระป๋อง = A 2 h = จาก V r ดังนั้น h = V ……………….  r 2 จาก A = พนื้ ท่ีผิวขา้ ง + พ้ืนที่ฝากระป๋อง = 2rh+ 2r2 = 2r V  + 2r2 r 2 2V A = r + 2r 2 หาอนพุ ันธ์อันดบั ทห่ี นงึ่ และอนั ดับท่สี องของ A จะได้ A = − 2V + 4r r2 และ A  = 4V + 4 r3 แคลคูลสั 1 18

หาค่าวกิ ฤต โดยให้ A =0 ดงั นนั้ − 2V + 4r = 0 r2 r = 2V r2 V = r  2r3 …………………  นำ V = มาทดสอบโดยการแทนค่าใน rVA+ A = จาก = ( )4 2r3 + 4 =8 + 4 = 12 r3  A > 0 แสดงวา่ A มีค่าตำ่ สุด เม่อื V = 2r3 ดงั น้นั กระปอ๋ งจะต้องมปี ริมาตร = 2r3 จงึ จะใชว้ สั ดใุ นการทำกระปอ๋ งน้อยท่สี ดุ จากและ จะได้ r2h = 2r3 (ต่างมีคา่ = V ) h = 2r 3 r 2  h = 2r ดงั นน้ั ควรให้กระปอ๋ งมสี ่วนสงู เป็น 2 เทา่ ของรัศมีจงึ จะใช้วัสดใุ นการทำน้อยทีส่ ุด ตอบ 19 แคลคลู ัส 1

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ี่ 7.2 จุดประสงค์ นักศกึ ษาสามารถหาคา่ สงู สดุ และคา่ ต่ำสดุ ได้ 1. จงหาค่าสูงสดุ หรือค่าตำ่ สดุ ของฟงั กช์ ันต่อไปนี้ 1.1 y = x2 + 2x − 3 1.2 y = x2 − 6x2 + 9x − 8 แคลคูลสั 1 20

1.3 y = (x2 − 4)2 1.4 y = 2x5 −4x3 21 แคลคลู สั 1

2. จงแบง่ 60 ออกเป็นสองจำนวนโดยใหผ้ ลคณู ของจำนวนหนึ่งกับ กำลงั สองของอกี จำนวนหนงึ่ มคี า่ สูงสดุ 3. จงหาส่วนสูงและความยาวรศั มีของทรงกระบอกทมี่ ปี ริมาตรมากท่สี ุด ท่ีสามารถบรรจุในทรงกรวยกลมท่ีมีรศั มขี องฝากรวย 6 น้วิ และสูง 12 นิ้ว แคลคูลสั 1 22

4. ถา้ จะผลิตกระป๋องทรงกระบอกฝาปิดท่ีมคี วามจุ 1 ลิตร (500 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร) ใหป้ ระหยัด 2 โลหะท่ีใชผ้ ลิตที่สดุ ควรจะผลิตกระปอ๋ งใหม้ ีสว่ นสงู เปน็ กเ่ี ท่าของรัศมี 5. บรษิ ัทผลติ โทรทศั นแ์ หง่ หนึ่งสำรวจพบว่า ถา้ ผลติ โทรทศั นไ์ มเ่ กิน 1,000 เครอื่ ง จะไดก้ ำไร เครือ่ งละ 2,000 บาท แตถ่ ้าผลติ เกนิ 1,000 เครอ่ื ง กำไรต่อเคร่อื งลดลง 1 บาท สำหรบั ทกุ ๆ เคร่ืองที่เกนิ จาก 1,000 เครอ่ื ง ถ้าตอ้ งการกำไรรวมสูงสุดบรษิ ัทจะต้องผลิตโทรทัศน์ คร้ังละกเ่ี คร่ือง 23 แคลคลู สั 1

7.3 ความเร็วและความเร่ง (Velocity and Acceleration) 7.3.1 ความเร็ว (Velocity) เวลา = o S + S เวลา = t +t A เวลา = t S S B รูป 7.5 แสดงการเคลื่อนทีข่ องวัตถใุ นแนวเส้นตรง จากรูป กำหนดให้ s แทนระยะทางเมื่อวัตถุเปลี่ยนตำแหน่งจาก จุด A ไป B และให้ t แทนเวลาท่วี ตั ถุใชเ้ ปลี่ยนตำแหน่งจาก A ไป B จะได้ ความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง s และ t ดงั นี้ s = f (t) …………………….  เมื่อเวลาผ่านไป t ระยะทางจะเปลยี่ นไป s เมอื่ เวลา t +t วัตถจุ ะเคลื่อนท่ีไดร้ ะยะทางเทา่ กบั s+s  s + s = f (t + t) ……………………..  − s = f (t + t) − f (t) จากรูป 6.5 เม่อื เวลาผา่ นไปt อตั ราการเปล่ยี นแปลงของระยะทางเทียบกบั เวลา เป็น s = f (t + t)− f (t) ……………………  t t ดงั นั้น s t แคลคูลสั 1 24

เรียก s ว่าความเร็วเฉลี่ย (Average Velocity) ของวตั ถุ t ดังนั้น ความเร็วเฉลี่ย คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบ กับเวลาท่ีใชใ้ นการเคลอื่ นท่ี จากสมการ  ถา้ t → 0 จะได้ ltim→0 st ltim→0 = lim f (t + t ) − f (t) = st = t→ t หรือ f (t) กำหนดให้ ltim→0 st v จะได้ v = f (t) หรอื v = ds dt เราเรยี กวา่ v วา่ ความเรว็ บัดดล(Instantaneous Velocity) ของวัตถุ เมอ่ื เวลา t ใด ๆ ดงั น้นั ความเร็วของวัตถุ(v )= ds dt ถา้ v > 0 แสดงว่าวัตถเุ คลือ่ นท่ใี นทิศทางทไี่ ด้ระยะทางเพ่มิ ถ้า v < 0 แสดงวา่ วตั ถุเคลอ่ื นทใ่ี นทิศทางทไ่ี ด้ระยะทางลดลง ถา้ v = 0 แสดงวา่ วตั ถหุ ยดุ นงิ่ ชัว่ ขณะ 25 แคลคลู ัส 1

7.3.2 ความเรง่ (Acceleration) ความเร่ง คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเทียบกับเวลาที่ใช้ในการเปลี่ยนแปลง ดังนั้นเมือ่ เวลาผ่านไป t ความเร็วของวตั ถเุ ปลีย่ นไป v จะได้อัตราการเปลีย่ นแปลงของความเรว็ เทียบกับเวลาเป็น v t จากความสมั พนั ธ์ v = f (t) ……………..  ดังนน้ั เมอ่ื เวลา t + t วตั ถจุ ะเคล่ือนทีด่ ว้ ยความเร็ว v + v  v + v = f (t + t) ………………  − v = f (t + t)− f (t) f (t + t) − f (t) ดังนนั้ v = ………………. t t เรยี ก v ว่า ความเร่งเฉลยี่ (Average Acceleration) ของวตั ถุ t จากสมการ  ถ้าให้ t → 0 จะได้ ltim→0 vt = lti→m0 f (t + t) − f (t) หรือ ltim→0 vt t = f (t) กำหนดให้ ltim→0 vt =a จะได้ a = f (t) ……………….  หรือ a = dv dt จะเรียก a วา่ ความเรง่ บดั ดล (Instantaneous Acceleration) ของการเคล่ือนท่ีของวตั ถุเมอื่ เวลา t ใด ๆ ดังน้ัน ความเรง่ ของวตั ถุ a = dv dt ถา้ a > 0 วัตถุจะเคล่ือนทด่ี ว้ ยความเร็วเพิ่มขน้ึ ถ้า a < 0 วตั ถจุ ะเคลื่อนท่ีดว้ ยความเรว็ ลดลง ถ้า a = 0 วัตถุจะเคลื่อนทดี่ ้วยความเรว็ คงท่ี แคลคูลสั 1 26

ตวั อยา่ ง 7.6 วตั ถุชน้ิ หน่งึ เคลื่อนทีเ่ ป็นเสน้ ตรงโดยมีสมการของการเคลื่อนท่ีเป็น s = 3t2 + 2t −1 เมอ่ื s แทนระยะทางมีหนว่ ยเป็นเมตร และ t แทนเวลามีหน่วยเป็นวินาที จงหา 1. ความเร็วของวตั ถุ เมื่อ t = 6 วินาที 2. ความเร่งของวัตถุ เม่อื t = 6 วินาที s = 3t2 + 2t −1 วธิ ีทำ 1. จากสมการ ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ = ds dt หรือ v = ds dt ( )= d 3t 2 dt + 2t −1  v = 6t +2 เม่ือ t = 6 วินาที จะได้ v = 6( 6 )+ 2 = 36 + 2 = 38 เมตร / นาที ดงั นน้ั ความเรว็ ขณะเวลา 6 วนิ าที = 38 เมตร / วนิ าที ตอบ 2. ความเรง่ ของวตั ถขุ ณะเวลาt ใด ๆ = dv dt หรือ a= dv dt = d (6t + 2) dt  a=6 เมอ่ื t = 6 วนิ าที จะได้ a = 6 ดังน้ัน ความเรง่ ขณะเวลา 6 วินาที เท่ากบั 6 เมตร / วนิ าที2 ตอบ 27 แคลคลู ัส 1

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 7.3 จดุ ประสงค์ นกั ศกึ ษาสามารถหาความเร็วและความเรง่ ได้ 1. อนุภาคหน่งึ เคลอื่ นที่เชงิ เส้นตรงตามสมการ s = 15t − 2t 2 เมือ่ s มหี นว่ ยเป็น เซนตเิ มตร และ t มีหน่วยเป็นวนิ าที จงหา ระยะทางความเร็ว และความเร่ง เม่ืออนภุ าค เคล่อื นทีไ่ ปได้ 3 วินาที แคลคูลสั 1 28

2. รถยนต์คันหน่งึ เคลือ่ นที่ไปบนถนน ตามสมการ s = 12t3 −18t 2 + 9t + 3 เม่อื s มหี น่วยเป็นกโิ ลเมตร และ t มหี น่วยเป็นช่ัวโมง จงหา 2.1 ระยะทางเม่ือรถยนตเ์ คลือ่ นที่ไปได้ 1 ชว่ั โมง 2.2 ความเรว็ และความเร่ง เมอื่ t = 2 ชว่ั โมง 29 แคลคลู สั 1

3. วตั ถชุ ้ินหนึ่งเคลื่อนที่เป็นแนวเสน้ ตรงไปตามสมการ s = 4t3 −18t +13 เมอื่ s มหี นว่ ยเป็นฟุต และ t มีหนว่ ยเป็นวนิ าที จงหาระยะทางจากจุดเรม่ิ ต้นถึงจดุ ทว่ี ตั ถุนนั้ มคี วามเร็วเป็น 6 ฟุต / นาที แคลคูลสั 1 30

7.4 การประยุกต์อนิ ทิกรลั จำกัดเขต (Applications of the Integral) 7.4.1 การหาพ้ืนทร่ี ะหวา่ งเสน้ โคง้ กับแกน x พื้นทีร่ ะหวา่ งเส้นโค้งกับแกน x จะมี 2 ลกั ษณะคอื อยเู่ หนือแกน x และอยู่ใต้แกน x ดังรปู y y=f(x) y bx 0a 0a A A bx y=f(x) รูป 7.6 พน้ื ทร่ี ะหวา่ งเส้นโค้ง y = f (x) กับแกน x จากรูป พ้นื ที่ A ถกู ปดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ y = f(x) แกน x และ เส้นตรง x = a , x = b A = ถ้า f (x) > 0 ทกุ คา่ ของ x บนชว่ งปิด a,b และพน้ื ท่อี ยเู่ หนอื แกน x A = b ถ้า f (x) < 0 ทกุ ค่าของ x บนชว่ ง −  f (x)dx a a,b และพ้นื ท่อี ย่ใู ตแ้ กน x 31 แคลคลู สั 1

ตวั อย่าง 7.7 จงหาพ้นื ท่ซี ง่ึ ปิดล้อมด้วยเส้นโคง้ f (x) = 6x − x2 แกน x และเส้นตรง x =1, x =4 วธิ ที ำ f (x) A= 4 (6x − x 2 )dy =  1 = 9 3x 2 x3 4 =  3  8 f (x)=6x−x2 = − 1 7 = 6 3(4)2 43  3(1)2 13  3  3  5  −  −  −  4 3A 64 1 3 3 2 48 − − 3 + 1 48−21−3 0x 24 ตารางหน่วย ตอบ 123456 ตัวอยา่ ง 7.8 จงหาพื้นทซี่ ่ึงปดิ ลอ้ มด้วยเส้นโค้ง f (x)= x2 − 2x แกน x และเสน้ ตรง x = −1 , x = 1 วิธีทำ f (x) 3 2 f (x)=x2 −2x 1 A1 x-1 0 A2 1 2 3 -1 A = A1+A2 01 พืน้ ที่ =  f (x)dx −  f (x)dx −1 o = ( ) ( )0 1  x2 − 2x dx −  x2 − 2x dx −1 o x3  0 x3 1   =  − x 2 −  − x 2   3  −1 3 0 แคลคูลสั 1 32

=  0 − 02  −  −1 − 1 −  1 − 1 −  0 − 02  3 2  3  3   3 = 1 + 1 − 1 + 1 3 3  พนื้ ที่ =2 ตารางหนว่ ย ตอบ 7.4.2 การหาพืน้ ทรี่ ะหวา่ งเส้นโคง้ กบั แกน y พ้นื ทรี่ ะหวา่ งเสน้ โค้งกับแกน y จะมี 2 ลกั ษณะ คือ อยู่ ทางขวา และทางซา้ ยของแกน y ดงั รูป 7.7 y x=f(y) x=f(y) y d x d A A c c 0x 0 รูป 7.7 พ้ืนที่ระหว่างเส้นโค้ง x = f(y) กบั แกน y จากรปู 8.2 พน้ื ที่ A ถกู ปิดล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ x = f (y) แกน y และเส้นตรง y = c , y = d d A=  f (y)dy เมื่อ f (y) > 0 ทุกค่าของ y บนชว่ งปิด c,d c และพืน้ ทอ่ี ยทู่ างขวาของแกน y d A= − f ( y )dy เม่ือ f (y) <0 ทุกคา่ ของ y บนช่วงปดิ c, d  c และพน้ื ทอ่ี ย่ทู างซา้ ยของแกน y 33 แคลคลู ัส 1

ตวั อย่าง 7.9 จงหาพ้ืนทีซ่ ่งึ ปดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโค้ง x = 4− y2 และแกน y y 2 x=4−y2 xA1 1 y x 0 1234 -1 A2 -2 วธิ ที ำ จากรูป A = A1+A2 2 A1 พ้ืนที่ = 2 = 20 f (y)dy 202(4 − y2 )dy = y3 2 24 y − 3  0 =    3 3 = 24(2) − 2  24(0)− 0  228136−83 3  −  3     พ้นื ท่ี = 32 ตารางหนว่ ย ตอบ = 3 = แคลคูลสั 1 34

7.4.3 การหาพ้นื ทีร่ ะหว่างเสน้ โคง้ สองเสน้ (Area between two Curves) ถ้า f (x) และ g(x) เป็นฟงั กช์ ันสองฟังกช์ ันซงึ่ ต่อเนอื่ งบนชว่ ง a  x  b โดยท่ี f (x) g(x) ดงั รปู 7.8 y y = f (x) A y = g(x) Oa bx รปู 7.8 พ้ืนท่ีระหว่างเส้นโค้งสองเส้น จากรูป 7.8 พืน้ ท่ซี ึ่งถกู ปิดล้อมด้วยเสน้ โค้ง y = f (x),y = g(x) และเสน้ ตรง x = a , x=b จะแทนด้วย A โดยที่ A = พ้นื ทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ y = f(x)–พ้ืนทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ y = g(x) =b b  f (x)dx −  g(x)dx aa A = b ……………….  f (x)− g(x)dx a 35 แคลคลู ัส 1

ทำนองเดียวกัน ถ้า f(y) และ g(y) เป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันซึ่ง ตอ่ เนอ่ื งในชว่ ง c yd โดยท่ี f (y) g(y) ดงั รูป 7.9 y x=g(y) x=f(y) d x A 0 c รปู 7.9 พ้ืนทีร่ ะหวา่ งเสน้ โค้งสองเส้น จากรปู 7.9 พ้นื ทีซ่ ่งึ ถกู ปดิ ล้อมด้วยเสน้ โค้ง x = f (y),x = g(y)และเส้นตรง ,y = c y = d จะแทนดว้ ย A โดยท่ี A = พน้ื ท่ใี ตเ้ สน้ โคง้ x = f(y)– พืน้ ท่ใี ต้เส้นโคง้ x = g(y) =d d  f (y)dy −  g(y)dy cc A = d ……………. f (y)− g(y)dy c ตัวอย่าง 7.10 จงหาพนื้ ที่ซึ่งปิดลอ้ มดว้ ยฟังก์ชัน f (x) = x + 3, g(x) = −x2 + 1 2 และเสน้ ตรง x = −2, x = 1 วธิ ีทำ จากรูป A =  f ( x ) − g ( x )dx  − x y =   +  − (− x  +)dx 4  f (x ) = x + 3  3 2 x A 21 −  =   x  + + dx   − x = x x x   +  1 23  +  -3 -2 -1 g(x) = −x2 + 1     − แคลคูลสั 1 36

=  1 + 1 + 2  −  −8 + 4 − 4   3 4   3 4   พ้ืนที่ = 33 ตารางหนว่ ย ตอบ 4 ตวั อยา่ ง 7.11 จงหาพืน้ ท่ีซ่งึ ปดิ ลอ้ มดว้ ยฟังกช์ นั y2 =5−x , y = −12 x+1 วิธที ำ y (-4,3) 3 2A y2 =5−x 1 x y 1 2 3 4 5 1 x 2 0 (4,-1) y = − x + 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 จาก y2 = 5−x ดังนน้ั x = 5 − y2 y 1 ดังนั้น x = 2 − 2y = − 2 x +1  5 − y2 = 2 − 2y 0 = 2 − 2y −+ y 0 = y2 − 2y − 3 y2 − 2y − 3 = 0 (y − 3)(y + 1) = 0  y = ,− − ถ้า y = 3 แล้ว x = ถ้า y = − แล้ว x = 4  จุดตดั ของกราฟคือ ( −4 ,3 ) , ( 4 , −) A= d  f (y) − g(y)dy c = 3 (5 − y 2 ) − (2 − 2y)dy  −1  3 =  5 − y2 − 2 + 2y dy −1 37 แคลคลู ัส 1

 3 =  3 + 2y − y2 dy −1 = 3y + y2 − y3 3  3   −1 = () + () − ()  − (−) + (−) − (−)          = 9 + 9 − 9 + 3 − 1 − 1 3 = 32 3  พื้นท่ี = 10 2 ตารางหนว่ ย ตอบ 3 แคลคูลสั 1 38

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 7.4 จดุ ประสงค์ นกั ศึกษาสามารถหาพ้นื ท่ีโดยใช้อนิ ทกิ รลั ได้ 1. จงหาพื้นที่ซ่ึงปดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้ y = x2 แกน x และเสน้ ตรง x=1 , x =3 2. จงหาพื้นท่ีซง่ึ ปดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโค้ง y = 2 − x2 และเสน้ ตรง y = −x 39 แคลคลู ัส 1

3. จงหาพนื้ ที่ซ่ึงปดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้ x = y2 − 4y และแกน y 4. จงหาพื้นท่ซี งึ่ อยรู่ ะหว่างฟังกช์ นั y = x2 และ y = 2x แคลคูลสั 1 40

5. จงหาพื้นทซ่ี ่งึ ปิดล้อมดว้ ยสมการ y2 = 2x และเสน้ ตรง x − y = 4 41 แคลคลู ัส 1

คำชแ้ี จง จงเลือกคำตอบที่ถกู ต้องทสี่ ดุ เพยี งคำตอบเดียวแล้วทำเคร่อื งหมาย ลงในกระดาษคำตอบ โรงกล่นั นำ้ มันแห่งหนง่ึ ถ้ากลั่นนำ้ มันวันละ 5,000 บาร์เรล จะไดก้ ำไรบาร์เรลละ 75 บาท แต่ถ้ากลั่นน้ำมนั เกนิ วนั ละ 5,000 บารเ์ รล กำไรจะลดลงบาร์เรลละ 0.01 บาท ของจำนวนบาร์เรล ท่เี พิม่ ขึน้ จาก 5,000 บารเ์ รล ถา้ ตอ้ งการกำไรสูงสุดโรงกลัน่ นำ้ มันแหง่ น้ตี ้องกลัน่ นำ้ มนั วนั ละกี่บาร์เรล ก. 3,225 ข. 6,125 ค. 6,250 ง. 6,700 จ. 6,950 แนวคิด รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปหนึ่งมีฐานกว้าง 40 ฟุตสูง 50 ฟุต จงหาพื้นที่รูป สี่เหล่ียมผนื ผา้ ท่มี ากท่ีสุดซึ่งบรรจุในรปู สามเหลย่ี มน้ี โดยใหด้ า้ นหนง่ึ ของส่ีเหลี่ยมอยู่บน ฐานของรูปสามเหลย่ี มทก่ี ำหนดให้น้ี ก. 200 ตารางฟตุ ข. 300 ตารางฟตุ ค. 400 ตารางฟุต ง. 500 ตารางฟตุ จ. 2000 ตารางฟตุ แนวคิด แคลคูลสั 1 42

วตั ถชุ ้ินหนึ่งเคลอื่ นท่ีในแนวเส้นตรงตามสมการ s = t3 −3t 2 +8t + 2 เม่อื s มีหนว่ ยเปน็ ฟตุ และ t มีหน่วยเปน็ วนิ าที จงหาความเร็วของวัตถเุ มอ่ื ความเรง่ เป็นศนู ย์ ก. 5 ฟตุ / วนิ าที ข. 6 ฟตุ / วินาที ค. 8 ฟตุ / วนิ าที ง. 10 ฟตุ / วนิ าที จ. 13 ฟุต / วนิ าที แนวคดิ วัตถุช้ินหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงตามสมการ s = t3 −3t 2 +8t + 2 เมือ่ s มีหน่วยเปน็ ฟุต และ t มหี นว่ ยเป็นวินาที จงหาความเรง่ ของวัตถุ ในขณะ เวลา เมื่อเวลา t = 2 วนิ าที ก. 5 ฟุต / วินาที ข. 6 ฟตุ / วินาที ค. 8 ฟุต / วนิ าที ง. 10 ฟุต / วินาที จ. 13 ฟุต / วนิ าที แนวคิด 43 แคลคลู ัส 1

ลกู ปนื ถูกยงิ่ ข้ึนไปในแนวด่ิงจากพืน้ ตามสมการของการเคลื่อนที่ s = 192t −16t2 เม่ือ s มหี นว่ ยเป็นฟตุ และ t มหี นว่ ยเป็นวนิ าที ลกู ปืนจะข้ึนไปสูงสดุ ก่ีฟุต ก. 84 ฟุต ข. 192 ฟุต ค. 384 ฟตุ ง. 467 ฟตุ จ. 576 ฟตุ แนวคิด จงหาพื้นที่ซ่ึงปิดล้อมด้วยเสน้ โค้ง y = x2 แกน x และเส้นตรง x = 2, x = 3 ก. 11 ตารางหนว่ ย 3 ข. 14 ตารางหน่วย 3 ค. 17 ตารางหน่วย 3 ง. 19 ตารางหนว่ ย 3 จ. 23 ตารางหนว่ ย 3 แนวคดิ แคลคูลสั 1 44

จงหาพ้นื ท่ีซ่ึงปดิ ล้อมดว้ ยเส้นโค้ง y2 = 2x + 4 แกน y เส้นตรง y = −1 และ y =1 73 ก. ข. 11 3 ค. 14 3 ง. 17 3 จ. 19 3 แนวคดิ จงหาพ้ืนทีซ่ ึ่งปดิ ล้อมด้วยเสน้ โค้ง y = x แกน y และเสน้ ตรง y = 2 ก. 8 3 ข. 10 3 ค. 11 3 ง. 13 3 จ. 17 3 แนวคิด 45 แคลคลู ัส 1

จงหาพ้ืนทีซ่ ่ึงปิดล้อมด้วยเสน้ โค้ง x = y2 และเส้นตรง x = 4 ก. 8 3 ข. 16 3 ค. 32 3 ง. 53 3 จ. 56 3 แนวคิด จงหาพนื้ ท่ซี ่ึงปดิ ล้อมด้วยเสน้ โคง้ y = 6x − x2 และเส้นโค้ง y = x2 − 2x ก. 16 3 ข. 32 3 ค. 60 3 ง. 62 3 จ. 64 3 แนวคิด แคลคูลสั 1 46

47 แคลคลู สั 1