หนังสืออ่านเพิ่มเติม จำนวนเชิงซ้อน เรื่องสมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

หนงั สืออ่านเพ่มิ เตมิ จำนวนเชิงซ้อน เล่ม 1 สมบัติเชิงพีชคณติ ของจำนวนเชงิ ซอ้ น ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 โกศล คำมูล ตำแหน่ง ครูผู้ชว่ ย กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมวัดสทุ ธาราม สำนักงานเขตคลองสาน กรงุ เทพมหานคร

คำนำ หนังสืออ่านเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ เรื่องจำนวนเชงิ ซ้อน ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 โดยการจดั กิจกรรมการ เรียนรู้แบบผสมผสาน(blended learning) สร้างขึ้นเพื่อเสริมสร้างและพัฒนาการเรียนรู้ของนักเรียน โดยเน้น ผเู้ รียนเปน็ สำคัญเปิดโอกาสให้ผเู้ รยี นได้แสวงหาความรูด้ ้วยตนเอง และควบคู่กับการเรียนรู้ในช้นั เรยี น ใช้ทักษะ ต่าง ๆ ในการแสวงหาความรู้ มุ่งพัฒนาผลสัมฤทธ์ิและสมรรถภาพการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของนักเรียน ให้ สอดคล้องกบั ผลการเรยี นร้ทู ่กี ำหนดไว้ ทงั้ น้ี หนังสืออ่านเพิ่มเติม เร่ืองจำนวนเชิงซ้อน ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 ได้จัดทำเล่ม 1 ข้ึนคือ เรื่องสมบัติ เชิงพชี คณติ ของจำนวนเชิงซ้อน ลักษณะสำคัญของหนังสืออ่านเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์เล่มนี้ ประกอบด้วย แบบทดสอบก่อนเรียนและ หลังเรียน เนื้อหาความคิดรวบยอด แบบฝึกหัดที่เสริมสร้างประสบการณ์ การเข้าถึงข้อมูลท่ีเป็นสื่อดิจิทัล ประกอบเนื้อหา การเข้าถึงเกมคณิตศาสตร์ในการมีส่วนร่วมในการเรียนรู้ เพ่ือที่เสริมสร้างพัฒนาทักษะ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ การให้เหตุผล การแก้ปัญหา การนำเสนอความคิดทางคณิตศาสตร์ และยัง สง่ เสริมการเรยี นรู้ดว้ ยวธิ ีการท่ีอย่างหลากหลาย เพอื่ พฒั นาคุณภาพผูเ้ รียนตามศักยภาพ ซึง่ แสดงใหเ้ ห็นถงึ การ เน้นบทบาทของผเู้ รยี นเป็นสำคัญ หวังเป็นอย่างยิ่งว่า หนังสืออ่านเพ่ิมเติม เร่ืองจำนวนเชิงซ้อน ท่ีประกอบด้วย เน้ือหา สื่อ เทคนิค ตลอดจนข้อมูลต่าง ๆ ท่ีได้รวบรวมไว้ในหนังสืออ่านเพิ่มเติมเล่มน้ี จะเป็นประโยชน์ต่อนักเรียนและครูในการ พฒั นากิจกรรมการเรียนการสอนให้บรรลวุ ัตถปุ ระสงค์ท่ีกำหนดไว้เปน็ อย่างดี โกศล คำมูล

สารบัญ หน้า ก เรอ่ื ง ข แนวทางการใช้หนังสืออา่ นเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร์ ค สว่ นประกอบของหนงั สอื อา่ นเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ ง คำแนะนำการใช้หนังสืออา่ นเพิ่มเติมคณิตศาสตร์สำหรับครู จ แผนผงั ขัน้ ตอนการเรียนรดู้ ้วยหนังสืออ่านเพมิ่ เติมคณิตศาสตร์ ฉ คำแนะนำการใช้หนงั สอื อา่ นเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร์สำหรบั นักเรยี น ช วตั ถปุ ระสงค์ของหนังสอื อ่านเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ 1 คำอธิบายรายวชิ า 3 แบบทดสอบกอ่ นเรยี น 5 เนื้อหาส่วนที่ 1 6 แบบฝกึ หัดที่ 1 8 เนือ้ หาส่วนที่ 2 9 แบบฝึกหัดที่ 2 11 เนื้อหาสว่ นที่ 3 12 แบบฝึกหัดที่ 3 14 เนอ้ื หาส่วนที่ 4 15 แบบฝกึ หัดท่ี 4 17 แบบทดสอบหลังเรยี น 18 แบบบันทึกคะแนนแบบฝึกหัด 20 เกณฑ์การประเมนิ แบบฝกึ หดั 21 บรรณานุกรม 22 เฉลยแบบฝึกหดั ที่ 1 23 เฉลยแบบฝึกหดั ท่ี 1 24 เฉลยแบบฝึกหัดท่ี 1 25 เฉลยแบบฝึกหดั ท่ี 1 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น - หลงั เรียน

แนวทางการใช้หนังสอื อา่ นเพมิ่ เติม เร่อื งจำนวนเชงิ ซอ้ น หนังสืออ่านเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ เรื่องจำนวนเชิงซ้อน จัดทำข้ึนเพ่ือเป็นเคร่ืองมือในการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม รหัสวิชา ค30204 สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 และเพื่ออำนวยความ สะดวกในการเตรียมการสอนและในการจัดการเรียนรู้ ซ่ึงหนังสืออ่านเพิ่มเติมน้ี จะครอบคลุมผลการเรียนรู้ เร่อื งจำนวนเชิงซ้อน ในเล่ม 1 สมบัตเิ ชงิ พชี คณติ ของจำนวนเชิงซอ้ น สำหรับหนังสืออ่านเพ่ิมเติมเล่มนี้ เป็นเล่มที่ 1 เร่ือง สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ใช้เวลา เรียน 4 ช่ัวโมง โดยมกี ารแบ่งเป็นหัวข้อย่อย 4 เนือ้ หา คือ เนอื้ หาส่วนที่ 1 การหาคา่ in เนื้อหาสว่ นท่ี 2 จำนวนเชิงซอ้ น เนื้อหาส่วนที่ 3 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอ้ น เนื้อหาส่วนที่ 4 การหารจำนวนเชิงซ้อน สำหรับหนังสืออ่านเพ่ิมเติม เล่ม 1 เรื่อง สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ใช้เวลาเรียน 4 ชั่วโมง โดยมกี ารแบ่งเปน็ หวั ข้อย่อย ซง่ึ ในแตล่ ะหัวขอ้ ย่อยจะทำในรปู แบบสาระการเรยี นรู้ เนื้อหา ตวั อย่าง QR Code สำหรับการฟงั อธบิ ายเพ่มิ เตมิ แบบฝึกหดั ดังรายละเอียดทีป่ รากฏอยใู่ นหนงั สืออา่ นเพมิ่ เติม ในการจัดการเรียนรู้ ครูอาจปรับเปล่ียนกิจกรรมและวิธีการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ได้ตามความ เหมาะสม โดยคำนึงถึงความพร้อมและความสามารถของผู้เรียนเป็นสำคัญ ควรใหผ้ ู้เรียนศึกษาเน้ือหาด้วยตนเอง โดยครูเป็นผู้คอยช้ีแนะและตั้งคำถาม และให้ผู้เรียนสรุปในแต่ละหัวข้อ โดยครูอาจเสริมแต่งตามความเหมาะสม แลว้ ร่วมกนั สรปุ กบั ผ้เู รียนอีกคร้ังหนงึ่ ก

สว่ นประกอบหนงั สอื อา่ นเพมิ่ เตมิ หนังสืออ่านเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เรื่องจำนวนเชิงซ้อน จัดทำข้ึนเพื่อเป็นเครื่องมือในการเรียนรู้ รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ รหัสวชิ า ค30204 สำหรบั นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 ประกอบด้วย 1. คำแนะนำการใช้หนังสืออ่านเพิ่มเติมสำหรบั ครู 2. แผนผังขั้นตอนการเรียนร้ดู ว้ ยหนังสืออ่านเพ่มิ เตมิ 3. คำแนะนำการใชห้ นงั สอื อ่านเพ่ิมเตมิ สำหรับนักเรียน 4. คำอธบิ ายรายวชิ า 5. แบบทดสอบก่อนเรียน 6. เนอ้ื หาสาระ ทีส่ รุปแนวความคดิ 7. แบบฝกึ หดั 8. แบบทดสอบหลังเรียน 9. เฉลยแบบฝึกหดั 10. เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน ข

คำแนะนำการใช้หนังสืออา่ นเพ่ิมเติมคณิตศาสตรส์ ำหรบั ครู การใช้หนังสืออ่านเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เร่ืองจำนวนเชิงซ้อน จัดทำขึ้นเพ่ือเป็นเคร่ืองมือในการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม รหัสวิชา ค30204 สำหรับนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 ครูผู้สอนเป็นผู้ท่ีมี บทบาทสำคัญที่จะช่วยให้ การดำเนินการเรียนรู้ของนักเรียนบรรลุตามวัตถุประสงค์ ครูผู้สอนจึงควรศึกษา รายละเอียดเกย่ี วกับ การปฏบิ ัตติ นกอ่ นทจี่ ะใชห้ นงั สอื อา่ นเพ่ิมเติมคณติ ศาสตรเ์ ลม่ น้ี ดงั นี้ 1. ครูต้องศึกษาหนงั สืออ่านเพิ่มเติม และอา่ นเนอื้ หาสาระอย่างละเอียดรอบคอบ พรอ้ มท้ังทำความ เข้าใจเนื้อหาก่อนใช้งาน 2. ครูเตรียมหนังสืออ่านเพิ่มเติมให้ครบถว้ นและเพยี งพอต่อจำนวนนักเรยี น 3. ครูเตรียมเครอื่ งมอื วดั ผลประเมินผล เพอ่ื ทราบความก้าวหน้าของนักเรียน 4. ครูชีแ้ จงใหน้ ักเรยี นทราบเกยี่ วกบั ขั้นตอนและวิธกี ารสอนโดยใช้หนงั สืออ่านเพม่ิ เตมิ อยา่ งชดั เจนและ ประโยชน์ที่ได้รบั จากการเรยี นร้โู ดยใช้หนงั สอื อ่านเพิ่มเติม 5. ครูช้แี จงใหน้ ักเรยี นทราบบทบาทของนักเรียน โดยเน้นย้ำความซอื่ สัตย์ การมวี ินยั ใฝ่เรียนใฝ่รู้ การแสดงความคิดเห็น 6. ให้นักเรยี นทำแบบฝกึ หัดก่อนเรียนเพ่อื ประเมินความรู้เดิมของนักเรยี น 7. ครจู ัดกิจกรรมการเรียนการรู้ใหแ้ ก่นักเรียน โดยให้คำแนะนำ ดแู ล เสนอแนะ และเสริมแรง ตลอดจนถงึ การตรวจแบบฝึกหัดเพ่ือให้ขอ้ มูลย้อนกลบั แกน่ ักเรียนในการปรับปรุงแกไ้ ขการเรียนต่อไป 8. ครรู ่วมสรุปบทเรียนกับนักเรียนเพอื่ เปน็ การยำ้ ความเข้าใจของนักเรียนในทุกกิจกรรม 9. ใหน้ ักเรียนทำแบบทดสอบหลงั เรียนเพ่อื วดั ความรู้ของนักเรียน และประเมินผลการเรียนรู้ของ นักเรียนอยา่ งต่อเน่อื ง ค

แผนผังข้นั ตอนในการเรยี นรู้ด้วยหนังสอื อา่ นเพิ่มเติมคณติ ศาสตร์ นกั เรียนศึกษาคำแนะนำการใช้หนงั สอื อ่านเพมิ่ เตมิ สำหรับนักเรียน ศึกษาผลการเรียนรู้ และจุดประสงค์การเรียนรู้ ทำแบบทดสอบก่อนเรียน ดำเนินการศึกษาเน้อื หา โดยปฏบิ ัติกจิ กรรม - ศึกษาเน้ือหา สรปุ ความคดิ รวบยอด - ทำแบบฝึกหัด - ตรวจแบบฝึกหัด ทำแบบทดสอบหลงั เรียน ง

คำแนะนำการใชห้ นงั สืออา่ นเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตรส์ ำหรับนักเรยี น 1. นกั เรียนอา่ นคำชแ้ี จงเกย่ี วกบั หนังสืออ่านเพ่มิ เติมและคำแนะนำการใชห้ นังสืออ่านเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ กอ่ นลงมอื ศึกษาเรยี นรู้ หรือทำกิจกรรมทุกครง้ั 2. นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน เพ่ือประเมินความรู้เดิมของนักเรียน 3. นกั เรียนศึกษาจุดประสงค์การเรยี นรู้ และสาระการเรยี นร้ใู นหนงั สอื อา่ นเพ่ิมเตมิ ท้ังหมด อยา่ ง ละเอยี ด หากมีข้อสงสัย หรือมคี ำถาม ให้ปรกึ ษาครูผู้สอน 4. ศึกษาเนื้อหา ตัวอย่าง และทำแบบฝกึ หดั ด้วยความตงั้ ใจ 5. ในการเรียนรู้ นักเรียนควรมีการวางแผนในการปฏิบตั กิ ิจกรรมการเรยี นรู้ ให้ทนั กับเวลาทก่ี ำหนด 6. ขนั้ ตอยสดุ ท้ายของการเรียนรู้ดว้ ยหนงั สืออ่านเพม่ิ เติม นักเรียนต้องทำแบบทดสอบประจำหนงั สือ อ่านเพิ่มเติม 7. หากนกั เรียนมีปัญหาหรอื ไม่เขา้ ใจในส่วนใด นักเรียนสามารถสอบถามจากครูผู้สอนได้ตลอดเวลา 8. หนังสืออา่ นเพ่มิ เตมิ อาจจะต้องมกี ารนำกลับไปทำเป็นการบ้าน ฉะนัน้ นักเรยี นควรจะมคี วามซ้อื สัตย์ ต่อตนเองอย่างสูง จ

วตั ถุประสงค์ของหนงั สอื อา่ นเพ่ิมเตมิ หนังสืออ่านเพิม่ เติมคณติ ศาสตร์ เร่ืองจำนวนเชิงซอ้ น จัดทำข้ึนเพื่อเป็นเคร่ืองมือในการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม รหัสวชิ า ค30204 สำหรับนักเรียนชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 5 มวี ัตถุประสงค์ ดงั นี้ 1. เพื่อใชเ้ ปน็ สื่อการจดั กิจกรรมการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม เร่ืองจำนวนเชงิ ซอ้ น สำหรบั นักเรยี นช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 5 2. เพ่ือพัฒนาผลสมั ฤทธ์ทิ างการเรยี นโดยใช้หนังสืออ่านเพมิ่ เติม เป็นสื่อในการจัดการเรียนรู้ 3. เพอ่ื สง่ เสรมิ ให้นกั เรียนศึกษาค้นควา้ เรียนรู้ได้ดว้ ยตนเอง ฉ

คำอธบิ ายรายวิชา กลุม่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ ค30204 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 4 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 5 ภาคเรยี นท่ี 1 จำนวน 60 ชั่วโมง จำนวน 1.5 หน่วยกิต ศึกษาเก่ียวกับ จำนวนเชิงซ้อน สมการพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกินส่ีท่ีมีสัมประสิทธเิ์ ป็นจำนวนเต็ม และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา โดยใช้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การส่ือสาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ การเชอ่ื มโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อ่ืน ๆ และมีความคิดสร้างสรรค์ ให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยการปฏิบัติ จรงิ ทดลอง สรปุ รายงาน รวมท้งั จัดประสบการณ์หรอื สรา้ งสถานการณใ์ นชวี ติ ประจำวันทีใ่ กล้ตวั เพื่อใหเ้ กิด ทักษะและกระบวนการในการคิดคำนวณคิดวิเคราะห์การแก้ปัญหาและสถานการณ์ได้อย่างถี่ถ้วนรอบคอบ สามารถคาดการณ์ วางแผนตัดสินใจและแก้ปัญหาได้อย่างเหมาะสม ถ่ายทอดความรู้ความเข้าใจ แนวคิดทาง คณิตศาสตร์ หรือกระบวนการคิดของตนให้ผู้อ่ืนรับรู้ได้อย่างถูกต้องชัดเจนและนำประสบการณ์ด้านความรู้ ความคิด ทักษะและกระบวนการท่ีได้ไปใช้ในการเรียนรู้สิ่งต่างๆ และใช้ในชีวิตประจำวันอย่างสร้างสรรค์ รวมทั้งเห็นคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ สามารถทำงานอย่างเป็นระบบระเบียบ มีความรอบคอบ มี ความรับผดิ ชอบ มวี จิ ารณญาณและมคี วามเชือ่ ม่ันในตนเอง ผลการเรียนรู้ 1. เข้าใจจำนวนเชงิ ซ้อนและใช้สมบัตขิ องจำนวนเชงิ ซ้อนในการแกป้ ัญหา 2. หารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน เมื่อ n เป็นจำนวนนบั ทีม่ ากกว่า 1 3. แก้สมการพหุนามตัวแปรเดียวดกี รไี ม่เกินสี่ทีม่ ีสัมประสิทธิเ์ ป็นจำนวนเตม็ และนำไปใช้ในการ แก้ปญั หา รวมทั้งหมด 3 ผลการเรียนรู้ หนังสอื อ่านเพมิ่ เติมคณิตศาสตร์ เล่มน้ี ใช้ผลการเรียนท่ี 1 ช

แบบทดสอบก่อนเรยี น คำช้แี จง ให้นักเรียนทำเครื่องหมาย  ลงในตัวเลอื กของกระดาษคำตอบ 1. ข้อใดมคี ่าเทา่ กบั –i ก. i96 ข. i74 ค. i133 ง. I119 2. ค่าของ i11 ⋅ i13 ⋅ i15 ⋅ i17 ⋅ i19 มีคา่ เทา่ ใด ข. -1 ก. i ง. 1 ค. -i 3. ตวั ผกผันการบวกของ 11 + √5������ คอื ขอ้ ใด ข. −11 + √5������ ก. 11 − √5������ ง. 1 ค. −11 − √5������ 11 − √5������ 4. ตวั ผกผันการคณู ของ 4 + √2������ คอื ข้อใด ก. −4 + √2������ ข. −4 − √2������ 18 18 ง. 4− √2������ ค. 4+ √2������ 18 18 ข. 3 กำหนดให้ ������1 = 8 − 3������ และ ������2 = 3 + 5������ ง. 13 ใชต้ อบคำถามข้อ 5 – 6 5. ข้อใดตอ่ ไปนี้ คือค่าของ ������������(������1) + ������������(������2) ก. 0 ค. 5 6. คา่ ของ ������1 + ������2 มีคา่ เท่ากับข้อใด ข. 11 + 2i ก. 11 – 2i ง. 13 – 5i ค. 13 7. กำหนกให้ 5a – 3bi = 15 + 9i ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีคือค่าของ a⋅b ก. 13 ข. 9 ค. 0 ง. -3 1

8. ข้อใดคอื คา่ ของ (5 + √3������)(2 − √3������) ข. 10 + √3������ ก. 10 + 3i ง. 13 - 2√3������ ค. 13 + 3i 9. กำหนดให้ ������1 = 5 − 7������ และ ������2 = − 3 + 5������ ค่าของ ������2 ⋅ ̅���̅���2̅ มคี ่าเทา่ กับข้อใด ก. -15 ข. 34 ข. 9 + 25i ง. 9 – 25i 10. จำนวนเชงิ ซอ้ น z ทสี่ อดคล้องกับสมการ (5 + 2i)z = 2 – 5i เทา่ กบั ขอ้ ใด ก. 3 + 2i ข. 1 + 2i ค. i + 1 ง. –i กระดาษคำตอบแบบทดสอบก่อนเรียน ชื่อ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ชั้น _ _ _ _ เลขท่ี _ _ _ ข้อ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ก ข ค ง คะแนนท่ไี ด้/คะแนนเตม็ ___/___ ลงช่ือ _ _ _ _ _ _ _ _ ผู้ตรวจ (_ _ _ _ _ _ _ _ _ _) วนั ที่ _ _ เดอื น _ _ _ _ _ พ.ศ. _ _ _ 2

เนื้อหาส่วนที่ 1 จำนวนเชิงซ้อนและสมบตั ขิ องจำนวนเชิงซอ้ น จำนวนจนิ ตภาพ เมื่อ a เปน็ จำนวนจริงทีม่ ากกว่า 0 แล้ว − a = a −1 = ai ใช้สัญลักษณ์ i แทน −1 น่ันคอื i = −1 i2 = –1 เรียก i ว่าจำนวนจนิ ตภาพ เชน่ − 3 = 3 i − 4 = 4 i = 2i เม่ือเราทราบเก่ียวกับจำนวนจินตภาพแล้ว เราจะนำความรู้ในเร่ืองเลขยกกำลัง มาหาค่าของ in โดย อาศัยค่าของ i2 = –1 การหาค่าของ in เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ โดยนำ n หารด้วย 4 แล้วพิจารณาว่าเป็นการ หารลงตวั หรือเป็นการหารทเ่ี หลอื เศษเปน็ 1, 2 และ 3 โดยใช้หลักเกณฑ์ตอ่ ไปนี้ ค่าของ in จะมีคา่ แตกต่างกนั ได้ 4 คา่ คอื i, –1, –i และ 1 ถ้า n หารดว้ ย 4 เหลือเศษ 1 แล้ว in มีค่า i ถ้า n หารด้วย 4 เหลือเศษ 2 แล้ว in มคี ่า –1 สแกนเพอื่ ฟัง ถา้ n หารดว้ ย 4 เหลือเศษ 3 แล้ว in มคี ่า –i ถา้ n หารด้วย 4 ลงตวั แล้ว in มีคา่ 1 ตวั อย่าง = i3 ครขู อแนะนำ = -i 1. จงหาคา่ ของ i2023 เราสามารถใช้ 4 หารกับเลขยกกำลงั ได้ วิธีทำ i4(505) + 3 เพื่อหาเศษทเ่ี หลือจากการหารดว้ ย 4 และ หาค่า in ได้ 2. จงหาค่าของ i2566 วธิ ีทำ นำเลขยกกำลงั มาหารด้วย 4 โดยวิธีหารยาว หรือหารสั้น กไ็ ด้ จะได้ 2566 ÷ 4 = 641 เศษ 2 ดังนนั้ i2 = -1 น่ันเอง เห็นไหม งา่ ยใช่ไหมเดก็ ๆ 3

3. จงหาค่าของ i2 + i4 + i6 + i8 + i10 วิธที ำ i2 + i4 + i6 + i8 + i10 = i2 + i4(1) + i4(1)+2 + i4(2) + i4(2)+2 = i2 + i4 + i2 + i4 + i2 = (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) = -1 ถา้ ทำแบบน้ี คงเหนอื่ ยแยเ่ ลย เดก็ ๆ เรามีความรู้ในเร่อื งของสมบตั ิเลขยกกำลัง am⋅an = am+n 4. จงหาคา่ ของ i25 ⋅ i28 ⋅ i32 ⋅ i38 ⋅ i41 วธิ ีทำ i25 ⋅ i28 ⋅ i32 ⋅ i38 ⋅ i41 = i(25 + 28 + 32 + 38 + 43) = i(167) i(167) = นำ 167 หารด้วย 4 จะได้ 41 เศษ 3 จะได้ i(167) = i3 = -i ดังน้นั ค่าของ i25 ⋅ i28 ⋅ i32 ⋅ i38 ⋅ i41 มีคา่ เทา่ กับ -i เปน็ ไงกนั บ้างครับ นักเรยี น จากตวั อยา่ งท่ีผ่านมา เราสามารถหาค่า in ได้งา่ ยข้ึนกนั ใชไ่ หม เราจงึ ไดร้ ปู สำเรจ็ ดงั น้ี สแกนเพือ่ ฟัง i4n+1 = i i4n+2 = –1 i4n+3 = –i i4n = 1 วนั น้ีครูมกี จิ กรรมให้นักเรียนได้ ลองเข้าไปเรียนรู้ผ่านเกมกันครบั 4

แบบฝึกหัดท่ี 1 เรอ่ื ง การหาคา่ ของ in คำช้แี จง ใหน้ กั เรียนแสดงวิธที ำการหาคา่ ของ ในแต่ละข้อที่กำหนดให้ตอ่ ไปนี้ (ข้อละ 2คะแนน) 1. ค่าของ i543 ___________________________ ___________________________ ___________________________ 2. คา่ ของ i105 + i19 ___________________________ ___________________________ ___________________________ 3. ค่าของ i + i2 + i3 + i4 ___________________________ ___________________________ ___________________________ 4. คา่ ของ i33 ⋅ i43 ⋅ i53 ⋅ i63 ___________________________ ___________________________ ___________________________ 5. คา่ ของ i4 + i8 + i12 + i16 ___________________________ ___________________________ ___________________________ 5

เนือ้ หาสว่ นที่ 2 บทนยิ าม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a, b) เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้าให้ (a, b) และ (c, d) เป็นจำนวนเชิงซอ้ น จะนิยามการเทา่ กนั การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อนดงั นี้ 1. การเทา่ กนั (a, b) = (c, d) ก็ตอ่ เมื่อ a = c และ b = d 2. การบวก (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. การคูณ (a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc) 1. เซตของจำนวนเชิงซ้อนเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ C หรือ z 2. สำหรับจำนวนเชงิ ซ้อน z = (a, b) สามารถเขียนแทนได้ด้วยสญั ลักษณ์ a + bi  เรียก a ว่าส่วนจริงของ z และเขียนแทนด้วย Re(z)  เรยี ก b วา่ ส่วนจินตภาพของ z และเขียนแทนด้วย Im(z) กำหนดให้ z = 7 – 3i สแกนเพือ่ ฟังอธิบาย จะได้ Re(z) = 7 และ Im(z) = -3 เมือ่ นักเรยี นเขา้ จำนวนเชิงซ้อนแลว้ จากบทนิยาม ครมู ีตวั อย่างใหน้ ักเรียนไดเ้ รยี นรู้ ดังตอ่ ไปน้ี 1. จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชงิ ซ้อน 3 + 2i และ 1 – i วิธีทำ (3+2i)+(1-i) = (3+1)+(2-1)i การบวก การลบจำนวนเชิงซอ้ น = 4+i เราจะนำจำนวนจรงิ บวกหรือลบกบั จำนวนจรงิ และ จำนวนจินตภาพบวกหรอื ลบกับจำนวนจนิ ตภาพ (3 + 2i)(1 - i) = 3 - 3i + 2i - 2i2 = = 3 – 3i + 2i - 2(-1) = = 3 – 3i + 2i + 2 (3+2)+(-3+2)i ใครยังไม่เขา้ ใจ 5-i มาสแกน QR ฟัง ครูอธบิ ายกนั ครับ 6

2. จงหาจำนวนจริง a และ b ทท่ี ำให้ (a + 2i)+(-1 + 2bi) = 3 + 8i วิธีทำ เน่ืองจาก (a + 2i)+(-1 + 2bi) อาศัยความรู้เกีย่ วกบั การบวกจำนวนเชิงซ้อน (a + 2i)+(-1 + 2bi) = (a – 1)+(2 + 2b)i จากนน้ั อาศัยบทนิยาม ข้อท่ี 1 การเทา่ กัน ทำใหไ้ ดว้ า่ (a – 1)+(2 + 2b)i = 3 + 8i จะได้ a – 1 = 3 และ 2 + 2b = 8 ครมู ีอะไร ชแี้ นะ ดงั นนั้ a = 3 + 1 และ 2b = 8 – 2 a =4 และ 2b = 6 b =3 โจทย์แนวนี้ สามารถถามต่อไปได้ แลว้ แต่สถานการณ์ เชน่ a + b , a – b , ab , a/b แล้วแตว่ ่าเขา จะให้หาค่าของอะไรต่อไปอกี 7

แบบฝึกหดั ท่ี 2 เร่ือง จำนวนเชิงซอ้ น คำชแ้ี จง ให้นักเรยี นเขียนคำตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง (3 คะแนน) ขอ้ จำนวนเชงิ ซอ้ น สว่ นจรงิ สว่ นจินตภาพ จำนวนจินตภาพ 1 23+56i 2 -2023i คำชี้แจง ใหน้ ักเรียนแสดงวิธที ำในแตล่ ะขอ้ ท่กี ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี 3. จงเขยี นจำนวนเชงิ ซ้อนต่อไปน้ใี หอ้ ย่ใู นรูป a + bi เม่ือ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ 3.1. (2 – 3i)+(4 - 5i) (1 คะแนน) _____________________________ _____________________________ 3.2. √2������(i - √2) (1 คะแนน) _____________________________ _____________________________ 3.3. (5 – 2i)(-2 + 3i) (2 คะแนน) _____________________________ _____________________________ 4. กำหนดให้ 2(a + 5i) = 3 – bi จงหา ab เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจรงิ (3 คะแนน) _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ 8

เนอื้ หาส่วนท่ี 3 สมบัตเิ กย่ี วกับการบวกของจำนวนเชงิ ซ้อน กำหนดให้ C เป็นเซตของจำนวนเชงิ ซ้อน และ z , z , z  C 123 1. สมบตั ปิ ดิ สำหรบั การบวก 4. สมบตั กิ ารมเี อกลักษณ์การบวก z +z C มี 0 หรือ (0, 0) เป็นเอกลักษณ์การบวกของ จำนวนเชิงซอ้ น เพราะฉะนั้น 0 + z = z + 0 = z 12 5. สมบตั กิ ารมตี ัวผกผนั การบวก 2. สมบัตกิ ารสลบั ท่ีสำหรบั การบวก z +z =z +z 1221 มี –z เป็นตัวผกผนั การบวกของจำนวนเชงิ ซอ้ น 3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก เพราะฉะนั้น z + (–z) = (–z) + z = 0 (z + z ) + z = z + (z + z ) 12 31 23 ตวั อย่างเช่น ตวั ผกผนั การบวกของ (-2, 1) คือ (2, -1) สแกนเพอื่ ฟงั ตัวผกผนั การบวกของ 3 + 2i คือ -3 – 2i สมบตั เิ กีย่ วกับการคณู ของจำนวนเชิงซ้อน กำหนดให้ C เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน และ z , z , z  C 123 1. สมบัตปิ ิดสำหรบั การคูณ 4. สมบตั กิ ารมเี อกลักษณ์การคูณ z1 z2  C มี 1 หรือ (1, 0) เปน็ เอกลักษณ์การคูณของ 2. สมบัตกิ ารสลบั ท่ีสำหรับการคูณ จำนวนเชิงซอ้ น เพราะฉะนั้น 1 z = z 1 = z z1 z2 = z2 z1 5. สมบัติการมีตวั ผกผนั การคณู 3. สมบัตกิ ารเปลีย่ นหมู่สำหรับการคณู ถ้า (a, b) เป็นจำนวนเชิงซ้อนซง่ึ ไม่เท่ากับ (0, 0) ตวั ผกผนั การคูณของ (a, b) คอื จำนวนเชงิ ซ้อน (z1 z2)z3 = z1(z2 z3) ทีค่ ูณกับ (a, b) แลว้ ได้ (1, 0) ตวั ผกผันการคณู ของจำนวนเชิงซ้อน z เขยี นแทนด้วย z-1 เมอ่ื z = a + bi และ z ≠ 0 จะไดว้ ่า z-1 = ������ − ������2 ������ ������ ������2+������2 +������2 ตัวอย่างเชน่ ตัวผกผันการคูณของ -3 + 2i คอื − 3 − 2 ������ สแกนเพ่อื ฟงั 13 13 9

บทนิยาม ให้ z = a+bi เปน็ จำนวนเชิงซ้อน จะเรียกจานวนเชิงซ้อน a–bi ว่าเปน็ สังยุคของ z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ หรอื หรอื a+bi กล่าวคอื เชน่ z = 13 + 5i จะได้ ������̅ = 13 − 5������ นักเรียนอยา่ ลมื นะครับ จะได้ ������̅ = 5 + √2������ เปล่ยี นเครื่องหมายหนา้ ������ = 5 − √2������ จะได้ ������̅ = − 5 − 3 ������ ������ = − 5 + 3 ������ สว่ นจินตภาพ 74 74 สมบตั ิของสงั ยคุ ของจำนวนเชิงซอ้ น ให้ z และ z เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ น จะได้ว่า 12 สแกนเพอื่ ฟงั ตัวอยา่ ง กำหนดให้ ������1 = 5 + 3������ และ ������2 = 4������ จงเขียนจำนวนเชงิ ซ้อนตอ่ ไปน้ีอยู่ในรปู a + bi เมอ่ื a และ b เปน็ จำนวนจรงิ 1. ���̅̅���̅1̅̅+̅̅̅���̅���2̅ = ���̅���1 + ���̅���2 = ������1 + ���̅���2 = 5 + 3i – 4i = 5 – i 2. ���̅���̅1̅̅−̅̅̅���̅���2̅ = ���̅���1 − ���̅���2 = 5 – 3i – (-4i) = 5 – 3i + 4i = 5 + i 3. (̅̅���̅���2̅)̅ = ���̅���̅2̅ = −4������ ในสว่ นตรงนี้ จะติดไว้กอ่ นเพื่อไปอธิบายในหัวข้อถัดไป ������1 ���̅���̅1̅ 5−3������ 10

แบบฝึกหัดท่ี 3 เรื่อง สมบตั ิพีชคณิตของ จำนวนเชงิ ซอ้ น คำชแ้ี จง ให้นักเรยี นเขียนเครื่องหมาย  หน้าขอ้ ความท่ถี ูก และเครือ่ งหมาย  หน้าขอ้ ความที่ไม่ถูกตอ้ ง _____ 1. ผกผนั การบวกของ 4 + 7i คือ 7 – 4i _____ 2. -5 + 2i เป็นตวั ผกผันการบวกของ 5 – 2i _____ 3. ผกผันการคณู ของ 4 + 7i คอื 4 + 7 ������ 65 65 _____ 4. สงั ยุคของ 4 + 7i คือ 4 – 7i _____ 5. ตัวผกผนั การคูณสงั ยุคของ 3 – 4i คือ 3 + 4 ������ 25 25 คำชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทำใหถ้ ูกตอ้ ง กำหนดให้ ������1 = 3 + 2������ และ ������2 = 2 − 3������ จงเขยี นจำนวนเชงิ ซอ้ นต่อไปน้ีอยู่ในรูป a + bi เมอื่ a และ b เปน็ จำนวนจริง 6. ������−1 (2 คะแนน) _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ 7. ̅���̅���̅1̅̅+̅̅̅���̅���2̅ (3 คะแนน) _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ 11

เนือ้ หาส่วนท่ี 4 การหารจำนวนเชิงซอ้ นทำได้ 2 วิธี คือ วธิ ที ี่ 1 ใช้ตัวผกผนั การคูณ กำหนดจำนวนเชงิ ซ้อน z และ z โดยที่ 12 z ≠ 0 จะนิยามวา่ 2 วิธีท่ี 2 ใช้สังยคุ โดยนำสงั ยุคของจำนวนเชิงซ้อนทีเ่ ปน็ ตัวหารมาคูณทงั้ ตัวเศษและตัวส่วน ตัวอย่าง 1. จงหาผลหารของการหาร 1 + i ดว้ ย 3 + 5i วิธีทำ วธิ ีที่ 1 ใชต้ วั ผกผันการคณู ตัวผกผันการคณู ของ 3 + 5i คอื จะได้ เหน็ ไหมครบั ถ้าใชส้ งั ยุค จะง่ายกว่า ลองมาดวู ิดที ัศน์ เพือ่ ความเขา้ ใจข้นึ กนั ครบั วิธที ่ี 2 ใช้สงั ยุค 12

ตัวอยา่ ง 2 จงหาจำนวนเชิงซอ้ น ������̅ ท่สี อดคล้องกับสมการ (2 + 3i)z = -1 – 2i วิธีทำ จาก (2 + 3i)z = -1 – 2i ใชส้ งั ยคุ ของจำนวน จะได้ z = −1 − 2������ เชิงซ้อนในการหาผลหาร การคูณแจกแจง 2 + 3������ = (−1 − 2������) (2 − 3������) 2 + 3������ 2 − 3������ = (−1)(2)+(−1)(−3������)+(−2������)(2)+(−2������)(−3������) 22− (3������)2 = −2+3������+(−4������)+6������2 ผลตา่ งกำลงั สอง 4−(−9) น2 - ล2 = (น – ล)(น + ล) = −2+3������−4������+6(−1) 15 = −2+3������−4������−6 15 = −8 − ������ สแกนเพื่อฟัง 15 สำหรับหนังสอื อ่านเพิ่มเติมเล่มนี้ ได้เสรจ็ สิ้นแลว้ เป็นอยา่ งไรบ้างครับ เด็ก ๆ แต่กอ็ ยากใหส้ ู้ ๆ นะครับ ทำแบบทฝกึ หดั แล้ว อยา่ ลืมสอบหลังเรียนนะ บอกครไู ด้นะ เล่นเกม ทบทวนความรู้ 13

แบบฝกึ หดั ที่ 4 เร่อื ง การหารจำนวนเชงิ ซ้อน คำชีแ้ จง ใหน้ ักเรยี นแสดงวิธีทำให้ถูกตอ้ ง 1. 3 + 4i (3 คะแนน) 1+ 2i _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ 2. 2− 2i (3 คะแนน) 3− 2i _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ 3. จงหาจำนวนเชงิ ซอ้ น Re(z) + Im(������̅) ท่ีสอดคลอ้ งกับสมการ (3 - i)z = 4 + 2i (4 คะแนน) _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ 14

แบบทดสอบหลงั เรยี น คำช้แี จง ให้นักเรียนทำเครอื่ งหมาย  ลงในตวั เลอื กของกระดาษคำตอบ 1. ขอ้ ใดมคี า่ เท่ากบั –i ก. i96 ข. i74 ค. i133 ง. I119 2. คา่ ของ i11 ⋅ i13 ⋅ i15 ⋅ i17 ⋅ i19 มคี า่ เท่าใด ข. -1 ก. i ง. 1 ค. -i 3. ตวั ผกผันการบวกของ 11 + √5������ คอื ขอ้ ใด ข. −11 − √5������ ก. 11 − √5������ ง. 1 ค. −11 + √5������ 11 − √5������ 4. ตวั ผกผันการคูณของ 4 + √2������ คอื ข้อใด ก. −4 + √2������ ข. −4 − √2������ 18 18 ง. 4− √2������ ค. 4+ √2������ 18 18 ข. 3 กำหนดให้ ������1 = 8 − 3������ และ ������2 = 3 + 5������ ง. 13 ใช้ตอบคำถามข้อ 5 – 6 5. ข้อใดต่อไปน้ี คอื คา่ ของ ������������(������1) + ������������(������2) ก. 0 ค. 5 6. ค่าของ ������1 + ������2 มคี า่ เท่ากับข้อใด ข. 11 + 2i ก. 11 – 2i ง. 13 – 5i ค. 13 7. กำหนกให้ 5a – 3bi = 15 + 9i ขอ้ ใดตอ่ ไปน้คี อื ค่าของ a⋅b ก. 13 ข. 9 ค. -9 ง. -3 15

8. ขอ้ ใดคอื คา่ ของ (5 + √3������)(2 − √3������) ข. 10 + √3������ ก. 10 + 3i ง. 13 - 3√3������ ค. 13 + 3i 9. กำหนดให้ ������1 = 5 − 7������ และ ������2 = − 3 + 5������ คา่ ของ ������2 ⋅ ̅���̅���2̅ มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใด ก. -15 ข. 34 ข. 9 + 25i ง. 9 – 25i 10. จำนวนเชิงซอ้ น z ทส่ี อดคลอ้ งกับสมการ (5 + 2i)z = 2 – 5i เทา่ กบั ขอ้ ใด ก. –i ข. 1 + 2i ค. i + 1 ง. 3 + 2i กระดาษคำตอบแบบทดสอบหลังเรียน ชอื่ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ชั้น _ _ _ _ เลขท่ี _ _ _ ข้อ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ก ข ค ง คะแนนทไี่ ด้/คะแนนเตม็ ___/___ ลงช่ือ _ _ _ _ _ _ _ _ ผู้ตรวจ (_ _ _ _ _ _ _ _ _ _) วันท่ี _ _ เดอื น _ _ _ _ _ พ.ศ. _ _ _ 16

คนเก่งทำคะแนน ระหว่างเรยี นได้กค่ี ะแนน คะแนนเตม็ 40 คะแนน แบบฝกึ หดั ท่ี 1 ได้ _ _ _ คะแนน แบบฝึกหดั ท่ี 2 ได้ _ _ _ คะแนน แบบฝึกหัดท่ี 3 ได้ _ _ _ คะแนน แบบฝึกหดั ที่ 4 ได้ _ _ _ คะแนน รวมคนเก่งทำได้ _ _ _ คะแนน สรปุ คะแนนคิดเปน็ รอ้ ยละ _ _ _ 17

เกณฑ์การประเมินแบบฝกึ หัด แบบฝกึ หดั ท่ี 1 มี 5 ข้อ รวม 10 คะแนน ข้อ 0 12 1 - 5 ไม่แสดงวิธที ำ แสองวิธีทำ ถงึ ข้ันตอนการหา แสองวธิ ีทำ ถงึ ขั้นตอนการหา ผลลพั ธ์แตไ่ ม่ถูกตอ้ ง ผลลัพธ์ถกู ต้อง แบบฝกึ หัดท่ี 2 มี 4 ข้อ รวม 10 คะแนน ข้อ 0 1 2 3 1 - 2 ตอบถกู ท่ีละ 0.5 คะแนน รวมเป็นขอ้ ละ 1.5 คะแนน - 3.1 – 3.3 ไม่แสดงวิธีทำ แสองวิธที ำ ถึง แสองวธิ ที ำ ถึง แสองวิธที ำ ถึง ขั้นตอนการหาอยา่ ง ข้นั ตอนการหา ขั้นตอนการหา ละเอยี ด ผลลัพธ์ ถูกต้อง ผลลัพธแ์ ต่ไม่ถูกต้อง ผลลพั ธ์ถกู ตอ้ ง 4 ไมแ่ สดงวิธที ำ แสองวธิ ที ำ ถึง แสองวธิ ีทำ ถึง ขน้ั ตอนการหา ขัน้ ตอนการหา ผลลัพธแ์ ตไ่ มถ่ กู ต้อง ผลลัพธ์ถกู ต้องแต่ไม่ ละเอยี ด หรือแสดง วิธที ำอย่างละเอียด แต่ผลลพั ธ์ไม่ถูก แบบฝกึ หัดที่ 3 มี 7 ข้อ รวม 10 คะแนน ขอ้ 0 1 2 3 1 - 5 ตอบถกู 1 คะแนน ตอบผดิ 0 คะแนน แสองวิธีทำ ถงึ - ขนั้ ตอนการหา 6 ไม่แสดงวิธีทำ แสองวิธที ำ ถงึ ผลลัพธถ์ กู ตอ้ ง แสองวิธที ำ ถึง แสองวิธีทำ ถึง ขน้ั ตอนการหาอยา่ ง ขน้ั ตอนการหา ขั้นตอนการหา ละเอยี ด ผลลัพธ์ ผลลพั ธถ์ กู ตอ้ งแตไ่ ม่ ถกู ต้อง ผลลพั ธแ์ ตไ่ ม่ถูกตอ้ ง ละเอียด หรือแสดง วิธที ำอย่างละเอียด 7 ไม่แสดงวธิ ีทำ แสองวธิ ีทำ ถงึ แต่ผลลัพธ์ไมถ่ ูก ขน้ั ตอนการหา ผลลัพธ์แต่ไม่ถกู ต้อง 18

แบบฝึกหัดท่ี 4 มี 3 ข้อ รวม 10 คะแนน ขอ้ 0 1 2 34 1 - 2 ไมแ่ สดงวิธีทำ แสองวธิ ีทำ ถึง แสองวธิ ที ำ ถึง แสองวิธีทำ ถึง ขนั้ ตอนการหา ขัน้ ตอนการหา ขั้นตอนการหา ผลลัพธถ์ ูกต้องแต่ อย่างละเอียด ผลลัพธแ์ ตไ่ ม่ ไมล่ ะเอียด หรือ ผลลัพธ์ถูกตอ้ ง ถกู ต้อง แสดงวิธีทำอยา่ ง ละเอยี ด แต่ผลลพั ธ์ ไมถ่ กู 3 ไม่แสดงวธิ ที ำ แสองวธิ ีทำ ถึง แสองวธิ ที ำ ถึง แสองวธิ ที ำ ถงึ แสองวิธที ำ ถึง ข้ันตอนการหา ผลลพั ธ์แต่ไม่ ขั้นตอนการหาอยา่ ง ขั้นตอนการหา ข้ันตอนการหา ถกู ต้อง ละเอยี ด แตไ่ ม่ ผลลัพธ์ถูกตอ้ ง อย่างละเอียด ชดั เจน ผลลัพธ์ไม่ แตไ่ ม่ละเอียด ผลลพั ธถ์ ูกตอ้ ง ถูกต้อง หรือแสดงวิธที ำ อย่างละเอียด แตผ่ ลลพั ธ์ไม่ถูก 19

บรรณานุกรม สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ(2562) หนงั สือเรียนรายวชิ าเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เล่ม 2(พมิ พ์ครง้ั ที่ 1). กรุงเทพฯ. ศูนยห์ นงั สอื จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลัย. สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย(2562). หนงั สือเรยี น รายวิชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ 1(พมิ พค์ ร้ังท่1ี ). กรงุ เทพฯ. บริษัท พี อาร์ คัลเลอร์พริน้ ท์ จาํ กดั . 20

เฉลย แบบฝึกหดั ที่ 1 คำช้แี จง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทำการหาคา่ ของ ในแต่ละข้อที่กำหนดให้ตอ่ ไปนี้ (ข้อละ 2คะแนน) 1. คา่ ของ i543 _ _ _ _ _ _ i_543_ _= _i4(1_35) _+ 3_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _= _i3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _= _-i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2. คา่ ของ i105 + i19 _i543_ _= _i4(_26) + 1 _+ _i4(4_) + 3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _= _i1 _+ _i3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _= _i _– _i _ _= _0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3. ค่าของ i + i2 + i3 + i4 _ _i _+ i_2 +_ i_3 +_ i4_ _= _i _+ _(-1)_ +_ (-_i) _+ _1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _= _0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___________________________ 4. คา่ ของ i33 ⋅ i43 ⋅ i53 ⋅ i63 _ _ _i33_ ⋅_i43_⋅ _i53 _⋅ _i63 _ =_i3_3 + _43 _+ 53_+ _63 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ =_i1_92 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ =_i4_(23)_ _ _= _1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5. คา่ ของ i4 + i8 + i12 + i16 _ _ _i4 +_ i8_ +_i12_+ _i16 _ _= _1 +_ 1_ +_1_+ _1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _= _4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ สามารถฟงั อธิบาย เพิม่ เติมได้ที่ 21

เฉลย แบบฝกึ หดั ที่ 2 คำชีแ้ จง ให้นักเรยี นเขียนคำตอบลงในช่องวา่ งให้ถูกตอ้ ง (3 คะแนน) ขอ้ จำนวนเชิงซอ้ น สว่ นจรงิ สว่ นจินตภาพ จำนวนเชิงซอ้ น 56i 1 23+56i 23 56 -2023i 2 -2023i - -2023 คำช้ีแจง ให้นกั เรียนแสดงวิธที ำในแตล่ ะข้อท่กี ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี 3. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนตอ่ ไปนีใ้ ห้อยู่ในรูป a + bi เม่ือ a และ b เป็นจำนวนจริง 3.1. (2 – 3i)+(4 - 5i) (1 คะแนน) _ _(2_ –_ 3_i)+(_4 _- _5i)_ =_(2_ +_4_)+(-_3 _– _5)i_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ =_6_–_8i_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3.2. √2������(i - √2) (1 คะแนน) _ _ √_2������_(i _- _√2_) _ _ =_ √_2���_���2 −_ (_√2_)2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ =_ −_√_2 −_ 2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3.3. (5 – 2i)(-2 + 3i) (2 คะแนน) _ _ (_5 –_ _2i)(_-2 _+ _3i)_ =_ -_10 _+ _15i_ +_4i_ -_6i2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ =_ -_10 _+ _19_i +_6_ _ _ _= _-4_+_19_i _ _ _ _ _ _ 4. กำหนดให้ 2(a + 5i) = 3 – bi จงหา ab เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจรงิ (3 คะแนน) 2(a + 5i) = 3 – bi จงหา ab = 3 (−10) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2_ _ _ _ _ _ _ _ _ 2_a _+ _10i_ _ =_3_–_bi_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _= -_15_ _ _ _ _ _ _ _ 2_a _= _3 _ _ แ_ละ _ _10 _ =_ _-b_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ a_ =_ 32_ _ _แล_ะ _ b_ = -10 _ _ _สามเพาริ่มถเตฟิมังไอดธ้ทบิ ี่ าย_ _ _ _ _ _ __________ 22

เฉลย แบบฝกึ หัดท่ี 3 คำชแี้ จง ให้นักเรียนเขียนเครื่องหมาย  หน้าข้อความท่ถี ูก และเคร่อื งหมาย  หนา้ ข้อความทไ่ี ม่ถูกตอ้ ง _____ 1. ผกผนั การบวกของ 4 + 7i คอื 7 – 4i _____ 2. -5 + 2i เป็นตวั ผกผันการบวกของ 5 – 2i _____ 3. ผกผันการคูณของ 4 + 7i คือ 4 + 7 ������ 65 65 _____ 4. สงั ยคุ ของ 4 + 7i คือ 4 – 7i _____ 5. ตัวผกผนั การคูณสังยุคของ 3 – 4i คอื 3 + 4 ������ 25 25 คำชี้แจง ให้นักเรยี นแสดงวธิ ีทำให้ถูกตอ้ ง กำหนดให้ ������1 = 3 + 2������ และ ������2 = 2 − 3������ จงเขยี นจำนวนเชิงซ้อนตอ่ ไปนี้อยู่ในรปู a + bi เม่อื a และ b เป็นจำนวนจริง 6. ������−1 (2 คะแนน) _ _ _������−_1 _= 3_2+3_22_−_32_+22_2 ���_��� _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _= _3_−_ 2_������ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _13_ _13_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 7. ̅���̅���̅1̅̅+̅̅̅���̅���2̅ (3 คะแนน) _ _ _���̅̅���̅1̅̅_+̅̅̅���_̅���2̅ _ _ =_ ���_���1 +_ _���̅���2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ =_3_+ _2i _+ 2_ +_3i_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ =_5_+ _5i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ สามารถฟงั อธบิ าย เพ่ิมเติมได้ที่ 23

เฉลย แบบฝึกหดั ท่ี 4 คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนแสดงวิธีทำใหถ้ ูกต้อง 1. 3 + 4i (3 คะแนน) 1+ 2i _ _ _3+_4������_ (1_−2_������)_= _3+_12_+4_������−_6������ _= _15_−2���_��� _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1+2������ (1−2������) 1+4 5 _____________________________ 2. 2− 2i (3 คะแนน) 3− 2i _ _ _2−_√_2������  _3+_√2_������ =_ 6_+2_−3_√2_������+_2√_2������ _= _8+_√2_������ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3−_√_2������ _3+_√2_������ _ _ _ _9+_2 _ _ _ _ 1_1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3. จงหาจำนวนเชงิ ซ้อน Re(z) + Im(������)̅ ท่ีสอดคลอ้ งกับสมการ (3 - i)z = 4 + 2i (4 คะแนน) _ _(3_- _i)z_ _ _= _ _ 4_+ _2i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Z_ _ _= _ _ 4_+ 2_������ ⋅_3 +_������ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 − ������ 3 + ������ _ _ _ _ _ _ _= _ _ 1_2−2_+ 4_������ +_6������_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9+1 _____________________________ = 10+10������ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _10_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Z = 1+i _____________________________ _ _ _ _ ���_���̅ _ _= _ _ 1_–_i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _จง_หา_ R_e(z_) +_ I_m(���_���)̅ _ _ _= _ _1 _+ _(-1_) _ _= _0_ _ _ _ _ _ _ _ _ สามารถฟงั อธบิ าย เพม่ิ เตมิ ได้ที่ 24

เฉลย แบบทดสอบก่อนเรยี น - หลงั เรยี น ข้อ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ก  ข  ค  ง   25