Modul Matematika SMA-MA Logika Matematika

PENDAHULUAN Logika matematika merupakan bahasan yang banyak menyangkut kehidupan sehari- hari. Di modul ini akan disinggung tentang logika matematika, mencakup : pernyataan, ingkaran, menarik suatu kesimpulan. Namun begitu tidak semua logika Standar Kompetensi : 4. Menggunakan logika matematika sama dengan logika Kompetensi Dasar matematika dalam Kompetensi Dasar kehidupan sehari-hari, Kompetensi Dasar pemecahan masalah yang adakalanya berbeda. Perbedaan berkaitan dengan itu akan dibahas di modul ini. pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Untuk memudahkan : 4.1. Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau pemahaman tentang logika negasinya. matematika, modul ini akan membahas 1 kegiatan belajar, yaitu : : 4.2 Menentukan nilai kebenaran dari suatu per-nyataan majemuk Kegiatan Belajar 1 : dan pernyataan berkuantor. Logika Matematika. Kompetensi Dasar : 4.3 Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. : 4.4 Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah. MAT. 01 1 Tri Subiantoro, S.Mat

KEGIATAN BELAJAR 1 LOGIKA MATEMATIKA ❖ Pernyataan Adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Contoh : 1. Presiden RI II adalah Soekarno ( salah ) pernyataan. 2. 7 + 8 = 15 ( benar ) pernyataan 3. Siapakah Presiden RI I ? bukan pernyataan. ❖ Ingkaran Pernyataan Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan yang − diberikan. Ingkaran pernyataan p dinotasikan dengan ~ p atau p . Contoh : p : Tembakau mengandung nikotin ~ p : Tidak benar bahwa tembakau mengandung nikotin. ~ p : Tembakau tidak mengandung nikotin. Tabel kebenaran dari negasi : p ~p BS SB ❖ Pernyataan Majemuk Pernyataan – pernyataan tunggal dapat digabung menjadi sebuah pernyataan baru dengan menggunakan kata hubung logika. Pernyataan baru ini merupakan pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya bergantung kepada nilai kebenaran pernyataan-pernyataan yang membentuknya. Berikut pernyataan majemuk : 1. Konjungsi Pernyataan p dengan q dapat digabungkan dengan kata hubung logika “ dan “ sehingga membentuk pernyataan “ p dan q ” yang disebut konjungsi. Konjungsi “ p dan q ” dilambangkan “ p  q ” dan tabel kebenarannya adalah : MAT. 01 2 Tri Subiantoro, S.Mat

p q pq BB B BS S SB S SS S 2. Disjungsi Pernyataan p dengan q dapat digabungkan dengan kata hubung logika “ atau “ sehingga membentuk pernyataan “ p atau q ” yang disebut disjungsi. Disjungsi “ p atau q ” dilambangkan “ p  q ” dan tabel kebenarannya adalah : p q pq BB B BS B SB B SS S 3. Implikasi Pernyataan p dengan q dapat digabungkan dengan kata hubung logika “ jika p maka q “ yang disebut implikasi. Implikasi “ jika p maka q ” dilambangkan p → q dan tabel kebenarannya adalah : p q p→q BB B BS S SB B SS B Implikasi dibagi 2 : : apabila untuk setiap x yang menyebabkan 1. Implikasi Logis p (x) benar maka q (x) juga benar. 2. Bukan Implikasi Logis Contoh : Jika x − 3  0 maka x2  9 . Misalkan p (x) : x − 3  0 dan q (x) : x2  9 , jika peubah x pada q (x) : x2  9 diganti dengan nilai-nilai x dengan x > 3 maka q (x) : x2  9 selalu benar. : apabila untuk setiap x yang menyebabkan p (x) benar maka q (x) juga salah. Contoh : Jika x 2 − 5x + 6 = 0 maka x 2 − 9 = 0 . Misalkan p (x) : x2 − 5x + 6 = 0 dan q (x): x2 − 9 = 0 , jika peubah x = 2, maka p (x) benar dan q (x) salah. MAT. 01 3 Tri Subiantoro, S.Mat

4. Biimplikasi Pernyataan p dengan q dapat digabungkan dengan kata hubung logika “ p jika dan hanya jika q “ yang disebut biimplikasi. Biimplikasi “ p jika dan hanya jika q ” dilambangkan p  q dan tabel kebenarannya adalah : p q pq BB B BS S SB S SS B Biimplikasi ada 2 yaitu : : apabila untuk setiap x yang menyebabkan 1. Biimplikasi logis p (x) benar maka q (x) juga benar dan untuk setiap x 2. Biimplikasi tidak logis yang menyebabkan q (x) benar mengakibatkan p (x) benar juga. Contoh : Orang masih hidup jika dan hanya jika jantungnya berdetak. : apabila untuk setiap x yang menyebabkan p (x) benar maka q (x) juga salah atau sebaliknya, begitu pula untuk setiap x yang menyebabkan q (x) benar mengakibatkan p (x) salah atau sebaliknya. Contoh : Petani menanam padi jika dan hanya jika tumbuhnya rumput. 5. Konvers, Invers, dan Kontraposisi. Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers, kontraposisi dari implikasi tersebut. p → q maka : Jika diketahui implikasi a. Konversnya adalah q→ p b. Inversnya adalah ~ p →~ q c. Kontraposisi adalah ~ q →~ p ❖ Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk Bersusun Dari tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi adalah untuk 2 pernyataan tunggal yang berbeda terdapat 4 kemungkinan komposisi ( 4 baris ) atau 22 komposisi. Adapun langkah-langkah membuat tabel kebenaran yang memuat n buah pernyataan tunggal yaitu : 1. Isilah kolom pertama dengan huruf B sebanyak 2n-1 buah, mulai dari baris pertama berturut ke bawah. Kemudian, diikuti dengan huruf S sebanyak 2n-1 berturut-turut pula ke bawah. 2. Isilah kolom kedua mulai dari baris pertama dengan huruf B sebanyak 2n-2 berturut-turut, diikuti dengan huruf S sebanyak 2n-2 pula. Untuk baris selanjutnya yang masih kosong diisi dengan pola huruf B dan S yang telah ada sebelumnya, sampai semua baris terisi. 3. Isilah kolom ketiga mulai baris pertama dengan huruf B sebanyak 2n-3 buah, dilanjutkan dengan huruf S sebanyak 2n-3 juga. Demikian seterusnya untuk baris-baris setelahnya , diisi sama dengan pola B dan S yang telah ada sebelumnya. MAT. 01 4 Tri Subiantoro, S.Mat

❖ Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Pada tabel kebenaran pernyataan majemuk yang memuat 2 atau lebih pernyataan tunggal berbeda, akan terlihat adanya kombinasi nilai B dan S dalam kolom-kolom tertentu. Dan juga akan mendapatkan suatu pernyataan majemuk dengan semua nilai kebenarannya B atau S. Pernyataan dengan semua nilai kebenarannya B dinamakan tautologi. Pernyataan dengan semua nilai kebenarannya S dinamakan kontradiksi. Pernyataan yang bukan tautologi atau pun kontradiksi dinamakan kontingensi. ❖ Pernyataan Berkuantor Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang melibatkan beberapa atau semua anggota semesta pembicaraan mewakili suatu sistem atau keadaan. Pernyataan berkuantor dibagi 2, yaitu : 1. Kuantor Universal : suatu kuantor yang dihubungkan dengan kata :semua ; untuk setiap, dilambangkan  . Contoh : Semua siswi MAN 8 Jakarta memakai jilbab. Nilai Kebenarannya : Untuk setiap A merupakan B hanya benar jika tidak ada x  A yang terletak di luar B. Dengan kata lain A merupakan bagian dari B, untuk hal lainnya nilai kebenaran adalah salah. Contoh : Tentukan nilai kebenaran x C, x bilangan asli Jawab : A = bilangan cacah; B = bilangan asli. Dari kedua himpunan tersebut jelas ada anggota A yang terletak di luar B atau A bukan himpunan bagian dari B sehingga nilai kebenaran x C, x bilangan asli atau x  A, x  B adalah salah. 2. Kuantor Eksistensial : suatu kuantor yang dihubungkan dengan kata : ada ; beberapa. dilambangkan dengan  . Contoh : Ada ikan hiu di laut. Dalam logika “ ada beberapa” memiliki arti “ paling sedikit ada satu”. Adapun dalam keseharian “ada beberapa” memiliki arti “lebih dari dua” Nilai Kebenarannya : Ada A yang merupakan B hanya benar jika ada x yang merupakan irisan dari A dan B, untuk hal lainnya nilai kebenarannya adalah salah. Contoh : Tentukan nilai kebenaran x  R, x2 − x +1 = 0 .  Jawab : Ambil A = x / x  R dan B = x / x2 − x +1 = 0 . Perhatikan PK x2 − x + 1 = 0 , diskriminannya adalah -3 < 0. Oleh karena D < 0, PK tersebut pasti tidak mempunyai akar real. Dengan demikan tidak ada x  A  B , maka pernyataan berkuantor x  R, x2 − x +1 = 0 adalah salah. ❖ Negasi Pernyataan Majemuk 1) ~ (p  q)  ~ p ~ q .......Hukum De Morgan 2) ~ (p  q)  ~ p ~ q .......Hukum De Morgan 3) ~ (p → q)  p ~ q . MAT. 01 5 Tri Subiantoro, S.Mat

4) ~ (p  q)  (p ~ q) (q ~ p) 5) ~ (q → p)  q ~ p 6) ~ (~ p →~ q)  ~ p  q  q ~ p 7) ~ (~ q →~ p)  ~ q  p  p ~ q 8) ~ (x  R)  x  R Negasi dari Ada : Semua...................tidak.......... : Tidak..................................... 9) ~ (x  R)  x  R Negasi dari Semua : Ada......................tidak......... : Tidak................................... ❖ Pernyataan Majemuk yang Ekivalen. 1) p  q  q  p 2) p  q  q  p 3) p  (q  r)  (p  q) r 4) p  (q  r)  (p  q) r 5) p  (q  r)  (p  q) (p  r) 6) p  (q  r)  (p  q) (p  r) 7) p  q  ~ p → q 8) p → q ~ p  q ❖ Penarikan Kesimpulan Sebelum menarik suatu kesimpulan, ada beberapa istilah yang harus diketahui, yaitu : • premis adalah beberapa pernyataan yang menjadi asumsi dari penyimpulan. • konklusi adalah pernyataan yang merupakan kesimpulan akhir dari suatu penarikan kesimpulan. • argumen adalah penarikan kesimpulan dari serangkaian premis. Jadi suatu argumen terdiri atas 2 kelompok pernyataan yaitu premis dan konklusi. Antara premis dan konklusi dipisahkan dengan tanda garis. Ada 3 aturan penarikan kesimpulan yaitu : 1. Silogisme Silogisme dibagi : atau p  q ▪ Silogisme Disjungsi premis 1 : p  q premis 2 : ~ p atau ~ q konklusi :  q p Contoh : MAN 8 Jakarta terletak di Jakarta Selatan atau di Jakarta Timur . p  q MAN 8 Jakarta tidak terletak di Jakarta Selatan. ~p Jadi, MAN 8 Jakarta terletak di Jakarta Timur. q MAT. 01 6 Tri Subiantoro, S.Mat

▪ Silogisme Hipotetik. p→q premis 1 : p → q q→r premis 2 : q → r p→r konklusi :  p → r Contoh : Jika saya sekolah di MAN 8 Jakarta maka harus membaca peraturannya. Jika harus membaca peraturannya maka saya harus mematuhinya. Jadi, saya sekolah di MAN 8 Jakarta maka saya harus mematuhinya. 2. Modus Ponens premis 1 : p→q premis 2 :p konklusi :q Contoh : Jika saya suka sesuatu maka saya giat bekerja. p→q p Saya suka sesuatu. q Jadi, saya giat bekerja. p→q ~q 3. Modus Tollens ~ p premis 1 : p→q premis 2 : ~q konklusi : ~ p Contoh : Jika saya patuh terhadap orang tua maka hidup saya mulia. Hidup saya tidak mulia. Saya tidak patuh terhadap orang tua. MAT. 01 7 Tri Subiantoro, S.Mat

Apabila ada suatu argumen-argumen yang tidak termasuk kriteria di atas, maka penarikan kesimpulan dengan cara : premis 1  premis 2 → konklusi ( ini berlaku apabila ada 2 premis ) , apabila hasil akhir tabel kebenarannya B semua, berarti argumen tersebut sah. Contoh : Sah / tidak argumen berikut ! premis 1 : Jika Marni rajin belajar atau patuh pada orang tua, maka ibu membelikan Jawab sepatu baru. premis 2 : Ibu tidak membelikan sepatu baru. konklusi : Marni tidak rajin belajar dan Marni patuh pada orang tua. : p : Marni rajin belajar. q : Marni patuh pada orang tua. r : Ibu membelikan sepatu baru. premis 1 : (p  q) → r premis 2 : ~ r konklusi : ~ p  q tabel kebenarannya sebagai berikut : CD E F p q r ~ p ~ r p  q C → r ~ p  q D ~ r F → E B BB S S B B S S B BBS S B B S S S B B SB S S B B S S B BSS S B B S S S B S BB B S B B B S B S BS B B B S B S B S SB B S S B S S B S SS B B S B S B S lihat kolom F → E hasilnya ada yang S, berarti argumen tersebut tidak sah. Dari contoh di atas adalah yang terdiri dari 2 premis, bagaimana kalau ada 3 premis atau lebih ? Contoh : Sah / tidak argumen berikut ! premis 1 : Jika guru matematika tidak datang maka semua siswa senang. premis 2 : Jika suasana kelas tidak ramai maka beberapa siswa tidak senang. premis 3 : Guru matematika tidak datang. konklusi : .................................................................................................................. Jawab : tabel kebenarannya sebagai berikut : p q r ~ q ~ r p → q r →~ q B BB S S B S BBS S B B B B SB B S S B BSS B B S B S BB S S B S S BS S B B B S SB B S B B S SS B B B B MAT. 01 8 Tri Subiantoro, S.Mat

dari tabel di atas, carilah ketiga premis itu yang B semua, dan hal itu ada pada baris ke-2 saja. Kemudian carilah kolom selanjutnya ( masih pada baris ke-2 ) yang nilainya B, dan hal itu ada pada kolom q saja. Jadi kesimpulan yang sah terdapat pada pernyataan q , yaitu semua siswa senang. Apakah kalimat-kalimat berikut ini merupakan pernyataan atau bukan ? Apabila pernyataan, tentukanlah nilai kebenarannya ! Dan juga tentukanlah negasinya ! 1. Mie baso merupakan makanan yang enak. 2. 37 – 8 > 20. 3. Benarkah ibukota propinsi Sulawesi Tenggara adalah Banjarmasin ? 4. Semua binatang adalah makhluk hidup. 5. Ada bilangan prima yang tidak ganjil. Tentukan nilai kebenaran dari : 6. 5  3 dan kota Bandung terletak di Jawa Barat 7. Bulan Januari terdiri atas 30 hari atau James Watt adalah ahli filsafat. 8. Jika diagonal ruang suatu kubus ada 4 buah maka titik sudut kubus ada 8 buah. 9. 2 + 5 = 7 jika dan hanya jika persegi adalah segiempat. Tentukan nilai kebenaran (p → q)  p → q jika 10. p benar dan q benar 11. p salah dan q benar Tulislah pernyataan berikut dalam kalimat biasa ! p : Mahasiswa astronomi adalah manusia intelek. q : Manusia intelek adalah manusia berbudi. 12. (p ~ q) → (~ p  q) Buatlah tabel kebenaran dari : 13. p  (q  r)→ (p  q) (p  r) Tentukanlah konvers, invers, dan kontraposisi, dan tentukan juga negasinya ! 14. Jika saya rajin belajar maka saya akan pandai. MAT. 01 9 Tri Subiantoro, S.Mat

15. Periksa apakah argumen berikut ini sah atau tidak sah ! Jika pintu lintasan kereta api ditutup maka lalu lintas akan terhenti. Jika lalu lintas terhenti maka akan terdapat kemacetan lalu lintas. Pintu lintasan kereta api ditutup. Jadi terdapat kemacetan lalu lintas. MAT. 01 10 Tri Subiantoro, S.Mat

1. Sipenmaru 1985 Kontraposisi dari “ Jika ia berusaha maka ia berhasil” adalah.... 2. UMPTN 1991 Negasi dari “ Apabila guru tidak hadir maka semua murid bersuka ria” adalah.... 3. UMPTN 1996 Ingkaran dari (p  q) → r adalah .... 4. Sipenmaru 1987 Negasi dari “ Semua orang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan “ adalah.... 5. Sipenmaru 1987 Ingkaran dari “ Saya lulus SIPENMARU dan saya senang “ adalah .... 6. Ebtanas 2001 Diketahui premis 1 : p →~ q premis 2 : q  r konklusi :  p → r Kesimpulan tersebut adalah.... MAT. 01 11 Tri Subiantoro, S.Mat

Logika Bidang Elektronika Kalian pasti sudah mengenal jaringan listrik lampu senter. Pada jaringan tersebut apabila sakelarnya dalam keadaan terbuka dan lampu tidak menyala. Keadaan sakelar yang terbuka dapat dianalogikan sebagai pernyataan yang bernilai salah. Dan apabila jaringan tersebut sakelarnya tertutup sehingga arus listrik mengalir dan lampu menyala. Keadaan sakelar yang tertutup dapat dianalogikan sebagai pernyataan yang bernilai benar. Dalam sistem jaringan listrik atau sistem elektronika, nilai benar (ada arus) dinyatakan dengan angka 1 dan untuk nilai salah (tidak ada arus) dinyatakan dengan angka 0 (nol). MAT. 01 12 Tri Subiantoro, S.Mat

jjjjjjjjjjj LL Misalkan terdapat beberapa trang beberapa tring dan beberapa trung . Misalkan pula semua trang adalah tring dan beberapa trung adalah trang. Berdasarkan informasi tersebut, yang mana saja dari pernyataan X, Y, Z yang pasti benar ? X : Semua trang adalah trung. Y : Beberapa trang bukan trung. Z : Beberapa trung adalah tring. a. X saja b. Y saja c. Z saja d. X dan Y saja e. Y dan Z saja Pembahasan : Bila keterangan –keterangan tersebut dinyatakan dalam Diagram Venn : Tring Trang Trung Jadi yang pasti benar adalah Y dan Z MAT. 01 13 Tri Subiantoro, S.Mat

PENUTUP Pada Tugas Mandiri cocokanlah jawaban kamu dengan kunci jawaban yang ada di bawah ini, dan hitunglah jumlah jawaban yang benar. Kemudian gunakan rumus Skor terakhir = Jumlah Skor Benar x 100% Jumlah Skor Total Apabila memperoleh skor  65% bagus, berarti telah menguasai materi modul ini dan dapat melanjutkan mempelajari materi selanjutnya. Tetapi apabila memperoleh skor  65%, berarti harus mempelajari modul ini sampai benar-benar paham. Kunci Jawaban Tugas Mandiri 1. Jika ia tidak berhasil maka ia tidak berusaha. 2. Guru tidak hadir dan ada murid tidak bersuka ria. 3. Negasi dari implikasi (p  q) ~ r 4. – Tidak semua orang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan. - Ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan. 5. - Saya tidak lulus SIPENMARU atau saya tidak senang. - Tidak benar bahwa saya lulus SIPENMARU dan saya senang. 6. q  r senilai ~ q → r , sehingga soal tersebut dapat ditulis : premis 1 : p →~ q premis 2 : ~ q → r konklusi :  p → r Cara tersebut merupakan silogisme MAT. 01 14 Tri Subiantoro, S.Mat

DAFTAR PUSTAKA Marthen Kanginan, Matematika Untuk SMA Kelas I Semester I Jilid 1A, Grafindo Media Pratama, Bandung, 2004. Wilson Simangunsong, Soal dan Penyelesaian Matematika Dasar, Erlangga, Jakarta, 1997. I Wayan Juliartawan, Formula Tercepat Matematika Contoh Soal dan Penyelesaian, ANDI, Bangli, 2004. Abdul Muis, Menaklukan 1000 Soal Matematika SMA, Kreasi Wacana, Yogyakarta, 2007. www.mtsuperclub.com MAT. 01 15 Tri Subiantoro, S.Mat

MAT. 01 16 Tri Subiantoro, S.Mat

MAT. 01 17 Tri Subiantoro, S.Mat