หน่วยที่ 16

30100-0101 กลศาสตร์วิศวกรรม โมเมนต์ความเฉื่อยรูปทรงผสม โดย: ครูอำนาจ เสมอวงศ์ แผนกวิชาช่างกลโรงงาน วิทยาลัยเทคนิคชุมพร

แผนการจัดการเรียนรมู ุง เนน สมรรถนะ หนว ยที่ 16 ชือ่ หนวย การคำนวณโมเมนตความเฉ่ือยของ สอนครัง้ ที่ 16 รูปทรงผสม ชัว่ โมงรวม 3 ชวั่ โมง จำนวน 3 ชั่วโมง 1. สาระสำคญั โมเมนตค วามเฉื่อยคือ ปรมิ าณทใี่ ชว ัดความตานทานความเฉื่อยของวัตถุมาจากการหมุนของวตั ถุน้นั รอบ แกนหมนุ หรอื แกนอา งอิง 2. สมรรถนะประจำหนว ย 2.1 แสดงความรเู กี่ยวกับหลกั การคำนวณโมเมนตความเฉือ่ ยของรูปทรงผสม 2.2 คำนวณโมเมนตค วามเฉื่อยของรูปทรงผสม 2.3 แสดงพฤติกรรมลกั ษณะนิสัยความมีวนิ ัย ความรับผิดชอบ ตรงตอ เวลาและมจี ติ อาสา 3. จุดประสงคก ารเรยี นรู 3.1 ดานความรู 3.1.1 อธบิ ายหลักการคำนวณโมเมนตความเฉ่ือยของรูปทรงผสมไดถกู ตอง 3.2 ดานทกั ษะ 3.2.1 คำนวณโมเมนตความเฉอ่ื ยของรปู ทรงผสมไดถูกตอง 3.3 ดา นคณุ ลักษณะท่ีพงึ ประสงค 3.3.1 ตระหนกั ถึงความมวี นิ ยั ความรับผดิ ชอบ ตรงตอเวลาและมีจติ อาสา 4. เนอื้ หาสาระการเรียนรู การคำนวณโมเมนตความเฉ่อื ยของรูปทรงผสม 4.1 ลกั ษณะของโมเมนตความเฉ่ือยของรปู ทรงผสม 4.2 หลักการคำนวณโมเมนตความเฉื่อยของรปู ทรงผสม (รายละเอียดอยใู นใบความรู ภาคผนวก)

แผนการจดั การเรยี นรูม งุ เนนสมรรถนะ หนวยที่ 16 ชอ่ื หนวย การคำนวณโมเมนตความเฉ่ือยของ สอนครงั้ ที่ 16 รูปทรงผสม ชว่ั โมงรวม 3 ช่ัวโมง จำนวน 3 ชั่วโมง 5. กิจกรรมการเรียนรู ขัน้ นำเขาสูบทเรยี น 1. ครตู รวจการแตงกายของนักศึกษาวา มีความเรยี บรอยถกู ตองตามระเบยี บหรือไม 2. ครยู กตัวอยางของโมเมนตความเฉอ่ื ยของรูปทรงผสมในเคร่ืองจักรกล 3. ผเู รยี นทำแบบทดสอบกอนเรียน โดยใชแ บบทดสอบกอนเรียน การเรียนรู 4. ครูอธบิ ายเรื่อง หลกั การคำนวณโมเมนตค วามเฉ่อื ยของรปู ทรงผสมโดยใชส่อื Power Point 5. ครคู อยใหคำแนะนำปรึกษา 6. ครผู สู อนใหน ักเรียน ศึกษาจากใบความรูเรื่อง หลักการคำนวณโมเมนตค วามเฉ่ือยของ รปู ทรงผสม 7. ครบู อกจุดสังเกต “สาระนา รู” ในใบความรูทเ่ี ปน เกรด็ ความรูเ พิ่มเติมในแตล ะเรื่อง 8. ครถู ามเกีย่ วกับ “ปญ หานาคิด” แลว ใหน กั ศึกษาชวยกนั ตอบ การสรปุ 9. ครูเปด โอกาสใหน ักศึกษาสอบถามขอมลู เพ่มิ เติม 10. ครูสรปุ เน้ือหาทง้ั หมดรว มกับนักเรียนโดยใชเหตผุ ลจากความรทู เ่ี รียนในเรื่องหลกั การ คำนวณโมเมนตความเฉ่ือยของรูปทรงผสม 11. ใหน ักศึกษาทำแบบฝก หัดและเฉลยแบบฝกหัด การวัดผลและประเมินผล 11. ใหน ักเรยี นทำแบบทดสอบหลังเรียนเร่อื ง การคำนวณโมเมนตความเฉื่อยของรปู ทรงผสม 12. ครูตรวจและเก็บคะแนนแบบทดสอบเรอ่ื ง การคำนวณโมเมนตความเฉ่อื ยของรูปทรงผสม 13. ครูทบทวนความรูแกไขสว นท่ผี ดิ ในการทำแบบทดสอบ 14. ครเู นน ยำ้ ใหผ ูเ รียนตระหนักถงึ ปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพยี งในสวนของความมวี นิ ัย ความ รบั ผิดชอบ ตรงตอ เวลาและมจี ติ อาสา ในเรอื่ งการคำนวณโมเมนตความเฉื่อยของรูปทรงผสม 6. ส่อื การเรยี นร/ู แหลง การเรียนรู 6.1 สอ่ื สิ่งพิมพ เอกสารประกอบการจดั การเรียนรูเรื่อง การคำนวณโมเมนตความเฉ่ือยของรูปทรงผสม 6.2 สอื่ โสตทศั น( ถา มี) สอ่ื power point เรอื่ งการคำนวณโมเมนตค วามเฉ่ือยของรปู ทรงผสม 6.3 หุนจำลองหรอื ของจริง(ถามี) - 6.4 อืน่ ๆ(ถามี)

แผนการจดั การเรยี นรมู ุงเนนสมรรถนะ หนว ยที่ 16 ชอ่ื หนวย การคำนวณโมเมนตความเฉ่ือยของรปู ทรง สอนครง้ั ที่ 16 ผสม ชั่วโมงรวม 3 ช่วั โมง จำนวน 3 ชั่วโมง 7.เอกสารประกอบการเรียนรู (ใบความรู ใบงาน ใบมอบหมายงาน) - ใบเนือ้ หาเรอื่ งการคำนวณโมเมนตความเฉื่อยของรูปทรงผสม - แบบทดสอบกอนเรียนเร่อื งการคำนวณโมเมนตความเฉื่อยของรปู ทรงผสม - แบบทดสอบหลงั เรียนเร่อื งการคำนวณโมเมนตความเฉื่อยของรปู ทรงผสม 8.การบรู ณาการ/ความสมั พันธก บั วชิ าอื่น บูรณาการกบั หลกั ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียงเกีย่ วกบั - นกั เรยี นมเี หตุผลในการจำแนกลักษณะและหลักการคำนวณโมเมนตความเฉื่อยของรปู ทรงผสม - นักเรยี นมีความพอประมาณในการคำนวณโมเมนตค วามเฉ่ือยของรูปทรงผสม - นักเรียนมีภมู คิ ุมกันเกย่ี วกบั การมีวนิ ัย ความรับผดิ ชอบ ตรงตอ เวลาและมจี ิตอาสา 9.การวดั และประเมินผล 20 คะแนน 9.1กอนเรียน 10 คะแนน - แบบทดสอบกอนเรยี น จำนวน 1 ขอ 10 คะแนน 9.2ขณะเรียน - แบบฝกหัดเรื่องการคำนวณโมเมนตความเฉ่ือยของรูปทรงผสม 9.3หลังเรียน - แบบทดสอบหลังเรียน จำนวน 1 ขอ 9.4การประเมินผล - เกณฑก ารใหค ะแนน คะแนน คุณธรรมจรยิ ธรรม คะแนน ความรู(แบบฝก หดั ) คะแนน ความรู(แบบทดสอบ)

บันทึกหลังสอน สปั ดาหท ่ี ……. ช่อื วิชา …………………………………………………………..รหัสวชิ า ……………………………………………………………… แผนกวชิ า ……………………………………………………… วันท่สี อน …………………………………. หนวยท่ี ………… รายการสอน ………………………………………………….. ภาคเรยี นที่………………..ปการศึกษา………………….. จำนวนผเู รียน ชัน้ ………………กลมุ …………………จำนวน……………คน เขา เรียน…………คน ขาดเรยี น ……. คน 1.เนื้อหาทส่ี อน (สาระสำคัญ) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.ผลการสอน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.ปญหา อปุ สรรค ทเี่ กดิ ขึ้นในระหวา งการเรยี นการสอน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4.แนวทางการแกปญหาของครูผูสอน(แนวทางการทำวจิ ัย) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงช่ือ………………………………………………ผสู อน (…………………………………………….) …………../……………/…………… ลงช่อื ……………………………………………หวั หนาแผนก ลงช่ือ……………………………หวั หนา งานหลกั สตู รฯ (……………………………………) (……………………………………..) …………../……………/…………… …………../……………/…………… ลงช่ือ………………………………………………รองผูอำนวยการฝายวิชาการ (………………………………………….) …………../……………/……………..

ใบแบบทดสอบกอนเรียน/หลังเรียน หนวยการเรียนท่ี 16 เร่อื ง การคำนวณโมเมนตความเฉื่อยของรูปทรงผสม 1. จงหาโมเมนตค วามเฉื่อยของพน้ื ทรี่ ปู ผสมรอบแกน O - O 75 mm R 25 mm 75 mm 100 mm O

ใบแบบฝก หดั หนวยการเรียนท่ี 16 เรื่อง การคำนวณโมเมนตค วามเฉ่อื ยของรปู ทรงผสม 1. จงหาโมเมนตค วามเฉอื่ ยรอบแกนท่ีอยูห างจากจดุ ศนู ยถว งขงพ้ืนที่วงรี ดังรูป x 2m O 3m O

วชิ า กลศาสตรว ิศวกรรม หนวยที่ 16 ช่อื หนวย การคำนวณโมเมนตความเฉ่ือยของ สอนคร้ังท่ี 16 รูปทรงผสม ชว่ั โมงรวม 3 ชั่วโมง โมเมนตความเฉอื่ ยของพื้นท่ี โมเมนตความเฉอ่ื ยของพ้นื ทห่ี รือโมเมนตท่ีสองของพน้ื ท่ี ซ่งึ กค็ ือ ของ (ระยะ)2 d (พน้ื ท)่ี แบง ตามชนดิ ของแกนเปน 2 ชนดิ คอื โมเมนตค วามเฉื่อยรอบแกนฉาก โมเมนตความเฉือ่ ยรอบแกนฉาก (rectangular moment of inertia) กค็ ือโมเมนตค วามเฉ่ือยของ พื้นที่รอบแกนที่ตง้ั ฉากกนั คอื x และ y ในระนาบของพ้ืนที่ พจิ ารณาพืน้ ที่ A ในระนาบ x – y ตามรูป โมเมนตความเฉื่อยของพ้ืนที่ dA รอบแกน x มีคาเปน โมเมนตความเฉื่อยเชิงขั้ว โมเมนตความเฉือ่ ยเชิงข้วั (polar moment of inertia) กค็ อื โมเมนตความเฉอ่ื ยของพ้นื ท่รี อบแกน ทต่ี ้งั ฉากกับระนาบของพ้ืนที่ ดังรปู พ้นื ท่ี A อยใู นแนวระนาบ x – y โมเมนตค วามเฉ่ือยของพืน้ ที่ dA รอบ แกนตั้งฉากแกน z จะไดเปน

วิชา กลศาสตรวศิ วกรรม หนว ยที่ 16 ชือ่ หนวย การคำนวณโมเมนตความเฉ่ือยของ สอนครั้งที่ 16 รูปทรงผสม ชัว่ โมงรวม 3 ชั่วโมง รัศมีของการหมุน ถาสมมติใหพ ืน้ ทีท่ ่จี ะหาโมเมนตความเฉื่อยเปนแถบยาวๆ หรอื เปนวงแหวนกลาวคือ ถา จะหา โมเมนต ความเฉ่ือยรอบแกน x กส็ มมติใหแถบยาวหา งจากแกน x เทา กบั kxดังรปู (ข) ซง่ึ จะมีคาคงทดี่ งั นนั้ จะได โมเมนตค วามเฉ่อื ยของพ้ืนท่รี อบแกน x รูป(ก) รปู (ข) รปู (ค) รปู (ง) เปน โดย kx เรยี กวา รัศมีการหมนุ (radius of gyration) รอบแกน x ในทำนอง เดยี วกนั จากรูป(ค) จะได

วิชา กลศาสตรวศิ วกรรม หนวยที่ 16 ชอื่ หนวย การคำนวณโมเมนตค วามเฉื่อยของ สอนครง้ั ท่ี 16 รปู ทรงผสม ช่วั โมงรวม 3 ช่ัวโมง การยา ยแกน โมเมนตความเฉอ่ื ยของพน้ื ท่ีข้ึนอยูกับตำแหนงของแกน โดยโมเมนตความเฉ่ือยของพน้ื ทีร่ อบแกนซ่งึ ไมผ านจดุ ศนู ยกลางของพน้ื ท่ี สามารถเขยี นใหอยใู นรปู ของโมเมนต ความเฉ่อื ยรอบแกนท่ีขนานกบั แกน ดังกลา ว ทผ่ี านจดุ ศูนยก ลางของพ้ืนที่ได วิธีดงั กลา วนี้เรยี กวา การยายแกน ซง่ึ dA คือโมเมนตความเฉ่ือยของพน้ื ทีร่ อบแกน X ดงั นั้นจะได

ใบแบบทดสอบกอนเรียน/หลังเรียน หนวยการเรียนท่ี 16 เร่อื ง การคำนวณโมเมนตความเฉื่อยของรูปทรงผสม 1. จงหาโมเมนตค วามเฉื่อยของพน้ื ทรี่ ปู ผสมรอบแกน O - O 75 mm R 25 mm 75 mm 100 mm O

ใบแบบฝก หดั หนวยการเรียนท่ี 16 เรื่อง การคำนวณโมเมนตค วามเฉ่อื ยของรปู ทรงผสม 1. จงหาโมเมนตค วามเฉอื่ ยรอบแกนท่ีอยูห างจากจดุ ศนู ยถว งขงพ้ืนที่วงรี ดังรูป x 2m O 3m O

ส่อื การสอน

7.2 สมการและแผนภาพของ shea คาน ( วางอยู่ใน นํา้ หนักบ ของคาน ประเภทข

ar และ moment (beam) เป็ นองค์อาคารทมี่ ีลกั ษณะตรง นแนวนอน และถูกกระทาํ โดยแรง/ บรรทุก (loads) ทตี่ ้ังฉากกบั แนวแกน น (transverse loads) ของคานถูกจัดตามลกั ษณะการรองรับ

การถ่ายแรงกระทาํ จากแผ่นพืน้

นไปยงั คาน และจากคานไปยงั เสา

ข้นั ตอนทส่ี ําคญั ทส่ี ุดในการ ออกแบบคานคือ การหาค่าสูงสุด ของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด (bending moment) ทเ่ี กดิ ข้นึ ภายในตัวคานและตําแหน่งทเ่ี กดิ ซึ่งจะทาํ ได้โดยการเขียนแผนภาพ ทเี่ รียกว่า shear diagram และ moment diagram



Beam Sign Convention ทศิ ทางของแรงเฉือน

นและโมเมนต์ทเ่ี ป็ นบวก

ข้นั ตอนในการวเิ คราะห์ 1. เขียน FBD 2. เลือกพกิ ดั ระหว่าง F, x1 3.FตBดั Dคาขนอทงพ่ีชิ้นกิ ดัส่วxน1 แขลอะง 4. ใช้สมการความสมดุลห เฉือน V(x) และ mom 5. เขียน shear d moment diagr x2 แกน x เป็ นแกน function ของ M(x) เป็ นแกน

D ของคาน และหาค่าแรงปฏกิ ริ ิยา x โดยให้ค่าพกิ ดั แต่ละอนั อยู่ในช่วงทอ่ี ยู่ , M, หรือ distributed loads w งคxา2นแล้วเขียน x1 หาสมการแรง x2 ment M(x) diagram และ ram โดยให้ นนอนและ V(x) และ นต้ัง

จุดที่เราตอ้ งใหค้ วามสนใจเป็นพเิ ศษ เพราะเป็นจุดท่ีใชใ้ นการแบ่งช่วงพกิ ดั ของคาน  ปลายคาน  จุดรองรับ  จุดที่ concentrated load กระทาํ  จุดที่ couple moment กระทาํ  จุดเร่ิมตน้ ของ distributed load  จุดสิ้นสุดของ distributed load  จุดท่ี distributed load เปลี่ยนแปลงค่า

า

EXAMPLE จงเขยี นแผนภาพ shear diagra 3 m 6 kN 6 m 9 3m 6 kN 9 6m Ay Dy

am และ moment diagram ของคาน 9 kN m 1. เขยี น FBD และหาค่าแรง ปฏิกริ ิยาทจี่ ุดรองรับ 9 kN m + ∑← Fx = 0; Dx = 0 +∑ M D =0; Dx 9 + 6(6) - Ay (9) =0 Ay = 5 kN ↑ +∑ Fy =0; Ay − 6 + Dy =0 Dy = 1 kN

เราควรแบ่งพกิ ดั ของคานออกเป็ นก 3 m 6 kN x1 5 kN x2 0≤ x 3< x2

กช่ี ่วง? 9 kN m 6m 1 kN x1 <3 2 ≤9

2. เขียน FBD ของชิ้นส่วนและหาสม 3m 6 kN 6m 5 kN 1 kN M 0 ≤ x1 x1 V ∑ Fy ∑M 5 kN 6 kN 3< x2 3m M ∑ Fy ∑M x2 V 5 kN

มการของ shear และ moment 9 kN m <3 =0; V =5 kN M =0; M = (5 kN) x1=5x1 kN-m ≤9 =0 V =5 kN-6 kN=-1 kN =0 M = (5 kN) x2 -(6 kN)( x2 -3) = (18-x2 ) kN-m

3. เขยี นแผนภาพ shear diagram แ x VM 050 155 2 5 10 3 5 15 3 -1 15 4 -1 14 5 -1 13 6 -1 12 7 -1 11 8 -1 10 9 -1 9

และ moment diagram 0 ≤ x1<3; V =5 kN M =5x1 kN-m 3< x2 ≤ 9; V =-1 kN M = (18-x2 ) kN-m

V (kN) 0 ≤ x1<3; V = 5 kN 3< x2 ≤ 9; 0 3m V= M 15 kN-m M (kN-m) M = 5x1 kN-m

V =5 kN x V M M =5x1 kN-m 0 5 0 ; V =-1 kN 1 5 5 2 5 10 M = (18-x2 ) kN-m 5 15 -1 15 3 -1 14 -1 13 -1 kN 9m 3 -1 12 4 -1 11 -1 10 M = (18-x2) kN-m 5 -1 9 6 7 9 kN-8m 9

0 ≤ x1<3; V =5 kN V (kN M =5x1 kN-m 3< x2 ≤ 9; V =-1 kN M M = (18-x2 ) kN-m ข้อสังเกต M (kN-m 1. dM =V dx 2. ตรงจุดท่ี point load พ่งุ ลงกระท ค่าของ point load ดงั กล่าว 3. ตรงจุดที่ moment ทวนเขม็ ฯ กร ลดลงเท่ากบั ค่าของ moment ดงั

NV) = 5 kN V = -1 kN M = 5x1 kN-m M = (18-x2) kN-m m) ทาํ shear diagram จะมคี ่าลดลงเท่ากบั ระทาํ moment diagram จะมคี ่า งกล่าว

EXAMPLE จงเขียนแผนภาพ shear diagra 4m 4m 50 kN/m A 4m 50(8) kN 4m 50 kN/m Ay

am และ moment diagram ของคาน 1. เขียน FBD และหาค่าแรง ปฏิกริ ิยาทจี่ ุดรองรับ C+ ∑→ Fx =0; Cx = 0 +∑ M A =0; -50(8)(4)+Cy (8)=0 Cy =200 kN ∑Cx ↑ + Fy = 0; Cy Ay +200-50(8) = 0 Ay = 200 kN

2. เขยี น FBD ของชิ้นส่วนและหาสมก 4m 4m 50 kN/m 200 kN 200 kN 50x 0≤ x≤ x ∑M Fy 50 kN/m ∑M 200 kN V

การของ shear และ moment ≤8 0=; V 200 kN - 50x = 0; M = 200x - 50(x)  x  2 = 200x - 25x2 kN-m

3. เขยี นแผนภาพ shear diagram แ xV 0 200 1 150 2 100 3 50 40 5 -50 6 -100 7 -150 8 -200

และ moment diagram M =V 200 − 50x 0 =M 200x − 25x2 175 300 375 400 375 300 175 0

3. เขยี นแผนภาพ shear diagram แ 200 kN V (kN) =V 200 − 50x 0 kN 0 4m 200(4)-25(42) = 400 kN-m M (kN-m)

และ moment diagram=V 200 − 50x =M 200x − 25x2 x VM 0 200 0 1 150 175 2 100 300 8m 3 50 375 4 0 400 -200 kN 5 -50 375 6 -100 300 =M 200x − 25x72 -150 175 8 -200 0

=V 200 − 50x =M 200x − 25x2 ข้อสังเกต 1. dV = − w( x) dx 2. dM =V dx 3. ตรงจุดท่ี shear มีค่าเท่ากบั ศูนย์ (หรือตา่ํ สุด)

V (kN) 4m M (kN-m) moment ทจี่ ุดดังกล่าวมกั มีค่าสูงสุด

ตวั อย่างท่ี 7-3 จงเขยี นแผนภาพ shear diagra 2(5) kN 7.5 kN 2.5 m 0 kN 2.5 kN

am และ moment diagram ของคาน 1. เขียน FBD และหาค่าแรงปฏกิ ริ ิยา ทจ่ี ุดรองรับ + ∑→ Fx = 0; Ax = 0 ∑ MC = 0; − Ay (10) + 2(5)  5 + 5  − 50 =0 2 Ay = 2.5 kN ↑ +∑ Fy =0; N Cy + 2.5 − 2(5) =0 Cy = 7.5 kN

2. เขียน FBD ของชิ้นส่วนและหาสมก 0 kN 2.5 kN 2x1