261103_3_งานและพล_งงาน

บทที่ 3 งานและพลงั งานงาน (work)งานคือผลคูณระหวา่ งขนาดของแรงท่กี ระทาต่อวัตถุกับระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ในแนวเดียวกัน เป็นปรมิ าณสเกลาร์ มหี นว่ ยเปน็ จลู (J) โดยท่ี 1 J = 1 Nmงานของแรงคงที่ mm ABแรง  ดึงวัตถใุ หเ้ คลอื่ นทจ่ี าก A ไปยงั B ได้การกระจัด s แรง  มที ศิ ทามุม  กบั แนวกระจดั s F Fงานที่ทาโดยแรง  จะได้ F W    s (3.1) Fหรือ W  (Fcos)s  Fscos (3.2)ถา้ แรง  มีองคป์ ระกอบ F   Fx ˆi  Fyˆj  Fz kˆ Fและระยะกระจัด s มสี ่วนประกอบ    xˆi  yˆj  zkˆ F sงานทง้ั หมดที่ทาโดยแรง จะได้  F W    xFx  yFy  zFz (3.3) sถ้ามีแรงเสยี ดทานเข้ามาเกย่ี วขอ้ งดังรูปงานทีไ่ ด้เปน็ งานลัพธ์จะตอ้ งคิดงานเนื่องจากแรงเสียดทานดว้ ย W  WF  Wf

งานและพลังงาน หน้า 2ถ้าเปน็ ดงั รปู จะได้ WF  Fscos Wf  fs W  Fscos  fsตัวอย่าง 3.1 แรงคงท่ขี นาด 100 N เคลอ่ื นวัตถใุ นแนวเส้นตรงไดร้ ะยะทาง 20 m จงหางานทที่ าได้ เมอื่ แรงนีท้ ามุม 0o, 30o, 60o, 90o กับแนวการเคลื่อนท่ีวิธที าเมื่อ   0o ได้  s F W   Fscos  (100)(20) cos0o  2,000 Jเมอ่ื   30o ได้ W  Fscos30o  (100)(20)(0.866)  1,732 Jเมอื่   60o ได้ W  Fscos60o  (100)(20)(0.5)  1,000 Jเมอื่   90o ได้ W  Fscos90o  (100)(20)(0)  0 J  ตอบ Fตัวอย่าง 3.2 ใช้แรง  (5ˆi  2ˆj) N ในการเคล่อื นท่ีอนุภาคใหเ้ คล่ือนที่ในระนาบ xy ได้การกระจัด s  (2ˆi  3ˆj) m จงหางานท่ที าโดยแรงน้ี วธิ ีทา จาก W  F  s  (5ˆi  2ˆj)  (2ˆi  3ˆj) Nm  (5ˆi  2ˆi)  (2ˆj3ˆj) W  16 J ตอบ

งานและพลงั งาน หนา้ 3งานเนื่องจากแรงไมค่ งที่พิจารณาอนภุ าคเคลื่อนที่ตามแนวแกน x จาก xi ถงึ xf ภายใต้แรงกระทาไม่คงท่ี ดงั รูป เราไม่สามารถใช้ (3.2) หางานได้ถ้าสมมติว่าอนุภาคเคลื่อนที่เปน็ การกระจัดน้อยๆ ดังรูป a เราสามารถประมาณได้ว่า แรงในแนวแกน x คือ Fx มคี า่ คงท่ี ดงั นน้ั งานท่ีกระทาโดยแรง Fx ทาให้อนุภาคเคลอื่ นท่ไี ด้ x เขียนได้เปน็ W  Fxx (3.4)และงานทง้ั หมดท่ีทาจาก xi ถึง xf มีค่า xf W  Fxx xiเปลย่ี น  เป็น integration xf xf  W  lim x 0 xi Fxx  Fxdx xiเราสามารถหางานเนื่องจากแรง Fx เม่ืออนุภาคเคล่ือนที่จาก xi ถงึ xf ไดจ้ าก xf (3.5) W   Fxdx xiหรืองานมีคา่ เทา่ กบั พื้นทใ่ี ตก้ ราฟระหว่าง Fx และ x ดังรูป bถ้ามแี รงมากกว่า 1 แรงกระทาต่ออนุภาคให้เคลอื่ นท่ี จาก xi ถึง xf หางานลัพธ์ไดจ้ าก xf (3.6)  Wnet  ( Fx ) dx xiตวั อยา่ งของแรงทีม่ ขี นาดเปล่ียนไปตามตาแหนง่ ของการเคล่อื นที่ของอนุภาค เชน่ แรงของสปริงดงั รปู

งานและพลงั งาน หน้า 4พิจารณางาน WFapp ท่ีทาโดยแรงภายนอก Fapp ในการยดื หรือหดสปริงอย่างช้าๆ จากตาแหนง่ xiถึง xf ซ่งึ มคี า่ เทา่ กับแรงของสปรงิ แตม่ ที ิศตรงขา้ ม น่ันคือ Fapp = -(-kx) = kx ดังนั้นงานเนอ่ื งจากFapp มีค่า xf xf 1 kxf2 1 kxi2 2 2 Fappdx kxdx xi xi WFapp    หมายความว่างานท่ีทาโดยสปริงจะมขี นาดเท่ากับงานเน่ืองจากแรงภายนอกท่ใี ช้ดึงหรอื กดสปรงิแต่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามตวั อย่าง 3.3 จงหางานในการเคลอื่ นวัตถจุ ากตาแหน่ง x = 0 ถึง x = 6 ดงั รูป งาน = พนื้ ทีใ่ ต้กราฟจาก x=0 ถงึ x=6 = พื้นที่สเี่ หลีย่ มผืนผา้ +พน้ื ทส่ี ามเหลย่ี ม  (5 4)Nm  1 (25) Nm ตอบ 2 = 25 J

งานและพลังงาน หน้า 5ตวั อยา่ ง 3.4 มวลตดิ ปลายสปริงซง่ึ มคี า่ คงทีข่ องแรง 80 N/m สปริงถูกอดั เป็นระยะทาง 3 cmจากตาแหนง่ สมดลุ จงหางานท่ีทาโดยแรงของสปริงในการเคล่ือนมวลจากตาแหนง่ -3 cm ถึงตาแหน่งสมดลุวธิ ีทา จาก xf 0 Ws   Fsdx   (kx)dx xi 3   1 kx2 0 2 3  1 (80N / m)(3102 m)2 ตอบ 2  3.6102 Jกาลงัพจิ ารณาแรงภายนอกกระทาต่อวัตถแุ ละเกิดงาน W ในชว่ งเวลา t เรานิยามกาลงั เฉล่ยี(average power; )Pavg ว่าเปน็ อัตราสว่ นของงานที่ทาต่อเวลา Pavg  W (3.7) tและกาลังขณะใดๆ (instantaneous power; P) คือลมิ ติ ของกาลงั เฉล่ียเมือ่ t เขา้ ใกล้ 0 P  lim W  dW (3.8) t 0 t dt (3.9)จาก dW    ดงั นั้นสมการ (3.8) เขียนได้ดงั นี้  F ds F P  dW   ds    v F dt dtหน่วยของกาลงัในระบบ SI คือ J/s ซึง่ เรยี กว่า วตั ต์ (Watt; W) โดยท่ี 1 W = 1 J/s = 1 kg m2/s3ในระบบ British engineering คอื แรงม้า (horsepower; hp) โดยท่ี 1 hp = 500 ftlb/s = 746 W

งานและพลังงาน หนา้ 6ตัวอยา่ ง 3.5 ลิฟท์มีมวล 1,000 kg รับภาระได้มากทสี่ ุด 800 kg มีแรงเสียดทาน 4,000 N ตา้ นการเคล่ือนที่ข้ึนดงั รูป จงหาก. กาลงั น้อยทส่ี ุดท่ีมอเตอร์ใช้ในการยกลฟิ ท์ใหเ้ คล่ือนที่ด้วยอัตราเรว็ คงที่ 3 m/sข. กาลงั ท่มี อเตอรใ์ ชใ้ นการยกลิฟทใ์ ห้เคล่ือนทขี่ ึ้นดว้ ยความเร่ง 1.0 m/s2 วธิ ที า ก. มอเตอร์ต้องใชแ้ รง  ในการดงึ ลิฟท์ให้ T เคลอื่ นที่ขึน้ ด้วยอตั ราเร็วคงท่ี (a = 0) จากกฎขอ้ 2 ของนวิ ตนั F = ma ในที่นี้ให้มวลของลิฟท์ + สัมภาระ = M F = Ma = 0 T- f - Mg = 0 เมื่อ M คือมวลรวมของระบบ (ลิฟท+์ ภาระ) = 1,800 kg ดังน้นั T = f + Mg = 4x103 N +(8x103 kg)(9.8 m/s2) = 2.164x104 Nหากาลงั จากสมการ (3.9)  T P   v  Tv  (2.164 10 4 N)(3m / s)  6.49 10 4 W หรอื P  64.9 kW ตอบข. จากกฎขอ้ 2 ของนวิ ตัน P  87.1 hp F = Ma T  f  Mg  Ma T  Mg  f  Ma  M(a  g)  f  (1.8103 kg)(1 9.8) m / s2  4103 N  2.34 104 Nหากาลงั จากสมการ (4.9) P  Tv  (2.34 104 ) v ตอบ เมือ่ v เป็นอัตราเร็วขณะใดๆ ของลฟิ ท์

งานและพลงั งาน หน้า 7งานและพลังงานจลน์ พจิ ารณาแรง Fx กระทาต่ออนุภาคมวล m ให้เคลื่อนทไ่ี ปในทิศทาง x จาก 0 ถงึ s งานทีท่ า โดยแรง Fx มีค่า W  Fxs  (ma x )s (3.10)เม่ือ ax มคี ่าคงที่ เน่ืองจาก Fx คงที่เราทราบแลว้ ว่า ความสัมพันธเ์ ม่ืออนภุ าคเคลื่อนทภ่ี ายใต้ความเรง่ คงที่ คือ s  1 (vi  vf ) t 2 ax  vf  vi tเมอ่ื vi คือความเร็วท่ี t = 0 และ vf คือความเร็วที่เวลา t ใดๆแทนคา่ ลงในสมการ (3.10) ได้ W  m  vf  vi  1 (v  vf ) t  t  2 i W  1 mvf2  1 mvi2 (3.11) 2 2เรานิยามปริมาณในสมการ (3.11) วา่ เปน็ พลงั งานจลน์ (kinetic energy; K) ของอนุภาค K  1 mv2 (3.12) 2พลังงานจลนเ์ ปน็ ปริมาณสเกลารแ์ ละเปน็ ปรมิ าณท่เี กีย่ วกับการเคลื่อนทขี่ องอนุภาคสมการที่(3.12) เขียนได้เป็น W  1 mvf2  1 mvi2 (3.13) 2 2หรือเขยี นไดว้ า่ Kf  Ki  K (3.14)นั่นคือ งานท่ที าโดยแรงคงท่ใี นการเคลอ่ื นอนุภาค มีค่าเท่ากบั การเปลย่ี นแปลงพลังงานจลน์ของอนภุ าค และเรยี กสมการที่ (4.14) ว่า ทฤษฎงี าน-พลงั งาน (work-energy theorem) พิจารณากรณีแรงท่ีกระทาต่ออนุภาคในทิศ x มคี า่ ไมค่ งท่ี ผลรวมของแรงท้ังหมดมคี า่  Fx จากกฎข้อ 2 ของนิวตัน  ma และจากสมการที่ (3.6) งานสุทธิมคี ่า Fx xf Fx dx  ma dx    xf Wnet  xi xi a  dv  dv dx  v dv dt dx dt dxดังนั้น   Wnet xf m v dv  dx  vf mv dv  vf vdv xi  dx  vi m vi Wnet  1 mvf2  1 mvi2 (3.15) 2 2

งานและพลงั งาน หน้า 8จากสมการที่ (3.15) จะเหน็ ได้วา่ ทฤษฎงี าน-พลงั งาน สามารถใช้ไดก้ ับกรณีท่ีแรงกระทาต่ออนภุ าคมีคา่ ไม่คงที่สาหรับการเคล่ือนท่ขี องอนภุ าคตามเสน้ ทางใดๆ ใน 3 มิติเขียนได้วา่ W  f   ds (3.16) F  i ds  dxˆi  dyˆj  dzkˆ และ F  Fx ˆi  Fyˆj  Fz kˆแทนค่าในสมการ (3.16) ได้ xf ,yf ,zf (3.17) W  (Fxdx  Fydy  Fzdz) xi ,yi ,ziสมการ (3.17) เปน็ สมการทั่วไปทใี่ ชห้ างานเมื่อ อนภุ าคเคล่ือนที่จาก (xi, yi, zi) ถงึ (xf, yf, zf)ตวั อยา่ ง 3.6 กล่องมีมวล 6 kg ถูกลากจากขณะหยุดน่ิงไปทางขวาด้วยแรงขนาด 12 N ดังรูปจงหาอตั ราเรว็ ของกล่องหลังจากเคล่ือนทีเ่ ป็นระยะทาง 3 เมตรก. เมื่อลากกล่องบนพนื้ เรยี บ W      (12 N)(3m)  36 Jวิธีทา งานทีท่ าโดยแรง 12 N F sจากทฤษฎงี าน-พลังงาน WF  Kf  Ki  1 mvf2  0 2 vf2  2WF  2(36 J)  12 m2 / s2 m 6 kg  vf  3.46 m / s ตอบ

งานและพลงั งาน หนา้ 9ข. เมื่อลากกล่องบนพนื้ ขรุขระ ท่ีมีค่าสัมประสทิ ธิ์ ความเสียดทาน 0.15 วธิ ีทา เนอ่ื งจากพ้ืนมีความเสยี ดทาน ดงั น้ัน งานสุทธิ คือ Wnet  WF  Wf เน่อื งจากแรงเสียดทานมีทิศทางตรงกันข้ามกบั การกระจัด ดงั นั้นงานมคี ่าเป็นลบ คอื Wf  fs  mgs  (0.15)(6 kg)(9.8 m / s2 )(3 m)  26.5 Jใชท้ ฤษฎีงาน-พลงั งาน เมอ่ื vi = 0 Wnet  36 J  26.5 J  9.5 J Wnet  1 mvf2 2 vf2  2Wnet  2(9.5) m2 / s2 m 6 vf  1.78 m / s ตอบตัวอย่าง 3.7 รถคันหนึ่งเคล่ือนที่ด้วยความเรว็ 48 km/hr เมือ่ เบรกพบวา่ รถมีระยะหยดุ น้อยสุดท่ี40 m ถา้ รถอีกคันหน่ึงมีเครื่องยนต์เหมือนกัน เคลอ่ื นทีด่ ้วยความเรว็ 96 km/hr จงหาระยะหยุดนอ้ ยที่สุดของรถคันดังกล่าววิธที า ให้ระยะหยุดน้อยที่สุดเทา่ กับ d เม่ือเบรกแรงเสยี ดทานระหวา่ งล้อและถนนจะมคี ่ามากที่สุดงานท่ที าโดยแรงเสียดทาน คือ -fd ซ่งึ มคี า่ เท่ากับการเปล่ยี นแปลงพลังงานจลนข์ องเครือ่ งยนต์เนอื่ งจากพลงั งานจลนส์ ดุ ทา้ ยมคี า่ เป็น 0 ดงั นน้ั W  Kf  Ki  fd  0  1 mv2 2 d  mv 2 2fเนื่องจากรถยนต์ 2 คนั เหมือนกนั ทาใหม้ วล m ของรถทั้ง 2 คันเท่ากัน และแรงเสียดทาน f ของรถทั้ง 2 คนั เทา่ กัน ดังนนั้ ได้อัตราส่วนของระยะหยุด คือ d2   v2 2 d1 v1แทนคา่ v1 = 48 km/h, v2 = 96 km/h และ d1 = 40 mจะได้  96  2  48  d2  d1  4 d1  4(40 m)  160 m ตอบ

งานและพลงั งาน หนา้ 10แรงอนรุ กั ษแ์ ละแรงไมอ่ นุรักษ์แรงอนรุ กั ษ์ (Conservative force) คอื แรงทท่ี าใหเ้ กิดงานซึง่ ไมข่ ึ้นกบั เสน้ ทางการเคลื่อนทข่ี องอนภุ าค น่ันคือ งานทกี่ ระทาบนอนุภาค โดยแรงอนุรกั ษ์จะขึน้ อย่กู ับตาแหนง่ เร่ิมต้น และตาแหนง่สุดท้ายของอนภุ าคเท่านัน้พิจารณาการเคล่ือนที่ของอนุภาคตามเสน้ ทางปิดใดๆ ภายใตแ้ รงอนรุ กั ษ์ ดงั รูป aจากนิยามของแรงอนุรักษ์ สามารถเขยี นไดว้ ่า WPQ(ตามเสน้ ทางท่ี 1) = WPQ(ตามเส้นทางท่ี 2)ถ้าสมมติให้อนภุ าคเคลื่อนที่จาก P ถงึ Q ตามเสน้ ทางที่ 1 และเคล่ือนทจ่ี าก Q ถงึ P ตามเสน้ทางที่ 2 ดงั รปู b ดงั น้นั WPQ(ตามเส้นทางท่ี 1) = - WPQ(ตามเสน้ ทางที่ 2) WPQ(ตามเส้นทางที่ 1) + WPQ(ตามเส้นทางที่ 2) = 0นน่ั หมายความว่า ผลรวมของงานท่ีกระทาโดยแรงอนุรกั ษ์บนเส้นทางปิดใดๆ จะมคี ่าเท่ากบั 0ตวั อย่างของแรงประเภทนไ้ี ด้แก่ แรงโนม้ ถ่วง แรงคืนตัวของสปรงิ เปน็ ต้นพจิ ารณาการเคลือ่ นทข่ี องอนุภาคในแนวดง่ิ ภายใต้แรงโนม้ ถว่ ง mg (ในทศิ ลบ y) จากตาแหน่งเริ่มต้น yi ถงึ ตาแหน่งสุดท้าย yf งานที่ทาโดยแรงโน้มถ่วงมีคา่ Wg = - mg(yf-yi)จะเห็นวา่ Wg ขน้ึ อยู่กับตาแหนง่ yi และ yf และไม่ขน้ึ กับเสน้ ทางการเคลื่อนท่ใี นกรณอี นุภาคเคลอื่ นที่เปน็ เส้นทางปิด จะไดว้ ่า yi = yf ดงั นั้น Wg = 0สาหรับแรงคนื ตัวของสปรงิ ซงึ่ Fs = - kx งานที่ทาให้การยืดหรอื หดสปริงระหว่างตาแหนง่ เรม่ิ ต้นxi กับตาแหนง่ สดุ ท้าย xf มคี า่ Ws  1 kx 2  1 kxf2 2 i 2น่นั คือ Ws ขึน้ อยกู่ ับตาแหน่งเร่มิ ต้นและตาแหนง่ สุดท้ายเทา่ น้ัน และสาหรับการเคลื่อนท่ีเป็นเสน้ ทางปิด Ws = 0 เม่อื xi = xf ดงั น้ันสรปุ ไดว้ ่า แรงโน้มถ่วงและแรงคืนตวั ของสปริงเป็นแรงอนุรักษ์

งานและพลังงาน หน้า 11แรงไมอ่ นุรักษ์ (Nonconservative force) คอื แรงทที่ าให้เกดิ งานซ่ึงขึ้นอยู่กับเสน้ ทางการเคลื่อนที่ของอนภุ าค และงานทกี่ ระทาโดยแรงไม่อนุรกั ษ์ตามเส้นทางปิดใดๆ ไม่จาเปน็ ต้องมีค่าเทา่ กับ 0 ตวั อยา่ งของแรงประเภทนี้ ไดแ้ ก่ แรงเสยี ดทาน แรงต้านของอากาศ เปน็ ต้น พิจารณาการเลื่อนสมุดบนโต๊ะขรุขระ จาก A ไป B ตามเส้นทางในรูป ถ้าสมุดเคลอ่ื นที่ไป ตาม เส้นตรง งานทท่ี าโดยแรงเสยี ดทาน จะมคี า่ - fdและ ถ้าสมุดเคลื่อนท่ไี ปตามเส้นโคง้ งานทท่ี าโดยแรงเสยี ดทานจะมคี า่  f  d  และถา้ สมดุ 2เคลอ่ื นทีเ่ ปน็ เส้นทางปิดใดๆ งานทท่ี าโดยแรงเสียดทานก็จะไม่เท่ากบั 0พลังงานศกั ย์การเคลื่อนท่ีของอนุภาคในแนวแกน x จากตาแหน่งเร่มิ ตน้ xi ถงึ ตาแหน่งสุดท้าย xf ภายใต้ แรง อนุรักษ์ F งานทที่ าโดยแรงอนุรกั ษ์จะมคี ่าเท่ากับพลังงานศักยท์ ลี่ ดลงน่นั คือ xf (3.18) Wc  Fxdx  U xiเมื่อ Fx คือ องค์ประกอบของแรงในทิศการกระจัด U คือ การเปลีย่ นแปลงพลงั งานศักย์โดยที่ U  Uf  Uiดงั นนั้ (3.18) เขยี นไดเ้ ป็น xf (3.19) U  Uf  Ui   Fxdx xiเนอ่ื งจากแรงคงทขี่ ึน้ อยู่กับตาแหนง่ ของอนุภาคเพยี งอยา่ งเดียว ดงั น้นั พลงั งานศักยจ์ ึงเปน็ ปริมาณทข่ี น้ึ อยู่กบั ตาแหนง่ ดว้ ย และเรานยิ ามฟงั กช์ นั พลงั งานศักยไ์ ดเ้ ปน็ xf (3.20) Uf (x)   Fxdx  Ui xi(3.20) ใช้ได้กับแรงคงทีเ่ ท่าน้ัน และโดยท่วั ไป Ui = 0 ทต่ี าแหน่งอ้างองิ ใดๆจากสมการ (3.18) ถา้ อนภุ าคเคลื่อนทีเ่ ป็นระยะทางสนั้ มากๆ dx ดังนัน้ การเปลย่ี นแปลงพลังงานศักย์จะมีค่าน้อยมากเช่นกนั น่ันคือ U  dU ฉะน้นั (4.18) จะกลายเปน็ Fxdx  dUดงั นัน้ เขียนความสมั พันธ์ของแรงอนรุ กั ษแ์ ละฟังกช์ ันพลังงานศกั ย์ไดด้ งั สมการ Fx   dU (3.21) dx

งานและพลังงาน หนา้ 12การอนุรกั ษ์พลังงานกลพิจารณาการเคล่ือนที่ของอนุภาคตามแนวแกน x ภายใต้อิทธิพลของแรงอนุรักษ์ Fx เพยี งอย่างเดียว จากทฤษฎีงาน-พลงั งาน พบวา่ งานมคี า่ เทา่ กับการเปลีย่ นแปลงพลังงานจลน์ของอนภุ าคนัน่ คือ Wc  Kและเน่ืองจากแรงดังกลา่ วเป็นแรงอนรุ กั ษ์ ดงั น้นั งานมคี ่า Wc  U K  U (3.22) K  U  (K  U)  0เรยี ก (3.22) ว่ากฎการอนุรักษ์ของพลังงานกล (law of conservation of mechanical energy) ซง่ึเขียนในรูปแบบอ่นื ได้ดงั นี้ Ki  Ui  Kf  Uf (3.23) (3.24)หรอื Ei  Efเมื่อ E คอื ผลรวมของพลงั งานกลของระบบ EKU (3.25)น่ันคือ กฎการอนุรักษ์ของพลงั งานกลกล่าววา่ ถา้ มีแรงอนรุ กั ษ์ทางานให้แก่ระบบ ผลรวมของพลงั งานกลของระบบจะมีคา่ คงท่ี หรอื กลา่ วอีกนัยหนง่ึ คอื พลังงานจลนแ์ ละพลังงานศกั ย์ของระบบสามารถเปล่ียนรูปไปมาไดโ้ ดยท่ีพลังงานรวมของระบบมีค่าคงทเี่ สมอถา้ มแี รงอนุรักษก์ ระทาต่อระบบมากกว่าหนงึ่ แรง สามารถเขยี นกฎการอนุรกั ษ์ของพลงั งานกลได้ดงั น้ี  Ki  Ui  Kf  Uf (3.26)เมือ่ เทอมในเครื่องหมาย  เทา่ กบั จานวนแรงอนรุ กั ษ์ท่กี ระทาตอ่ ระบบ เช่น ถ้ามมี วลเชื่อมติดกับปลายสปรงิ กาลงั สนั่ อยู่ในแนวดงิ่ ดังนน้ั จึงมีแรงอนุรักษ์ 2 แรง ที่กระทาต่อระบบ คอื แรงของสปรงิ และแรงโนม้ ถ่วงในระบบทั่วๆ ไป เราจะพบแรงไม่อนุรักษ์เสมอเชน่ ระบบมีความเสียดทานผลรวมของพลังงานของระบบจะมีค่าไมค่ งที่ถา้ ให้ Wnc คืองานท่ที าโดยแรงไม่อนุรกั ษ์ และ Wc คืองานทท่ี าโดยแรงอนรุ ักษ์ จากทฤษฎงี าน-พลังงาน จะได้ว่าเน่อื งจาก Wnc  Wc  K (3.27)ดงั นนั้ Wc  U (3.28)หรอื Wnc  K  U  (Kf  Ki )  (Uf  Ui ) Wnc = (Kf + Uf ) - (Ki + Ui ) = Ef - Ei

งานและพลงั งาน หนา้ 13นน่ั คือ งานทก่ี ระทาโดยแรงไม่อนุรักษม์ ีคา่ เทา่ กับการเปลี่ยนแปลงพลังงานรวมของระบบ และถา้Wnc = 0 ดงั นนั้ Ei = Ef ซึ่งกค็ ือกฎการอนุรักษข์ องพลงั งานกลนั่นเองพลังงานศกั ยโ์ นม้ ถ่วง อนุภาคเคลอ่ื นที่จากจุด P ถึง Q ภายใต้แรง โนม้ ถ่วงคงท่ีดงั รูป งานท่ีกระทาโดยแรงโนม้ ถว่ ง ตามเส้นทาง PAQ สามารถแบง่ เป็น 2 ส่วน คอื งานตามเส้นทาง PA และ งานตามเส้นทาง AQ น่นั คอื WPAQ  WPA  WAQ  mgh  0  mghWPA เปน็ ลบเพราะ mg มีทิศทางตรงขา้ มกบั การกระจดั WAQ เป็น 0 เพราะ mg มีทิศตง้ั ฉากกับการกระจัด ในทานองเดียวกัน งานตามเสน้ ทาง PBQ จะมคี ่า - mgh เชน่ กนัสาหรบั งานตามเสน้ ทาง PQ พจิ ารณาไดจ้ ากการเขยี นเส้นโคง้ ให้อยู่ในรูปขน้ั บนั ไดตามแนวนอนและแนวดง่ิ และจะเห็นว่ามีงานเกิดข้นึ เฉพาะในแนวดงิ่ เทา่ นน้ั ทง้ั นีเ้ นื่องจากในแนวนอน mg ต้งัฉากกับการกระจดั จงึ ไม่มีงานเกิดขึ้นซง่ึ งานทที่ าตามข้ันบนั ไดในแนวดงิ่ สาหรับขั้นที่ n ใดๆ มคี า่  mgyn เน่ืองจากระยะทางในแนวด่ิงจาก P ถงึ Q มีคา่ เทา่ กบั h ดังนั้นงานทั้งหมดท่กี ระทาโดยแรงโน้มถว่ ง จึงมคี ่าเทา่ กับพลงั งานรวมของงานในแนวดิ่งนน่ั คือ Wg  mg yn  mgh nหรือ Wg  mgy i  mgy f (3.29)สรปุ ได้ว่า เน่ืองจากงานที่ทาโดยแรงโนม้ ถ่วงไม่ขนึ้ กับเส้นทาง ดงั น้ันแรงโน้มถ่วงจึงเป็นแรงอนุรกั ษ์และนิยามฟังก์ชันพลงั งานศักยโ์ นม้ ถ่วง Ug ไดด้ ังนี้ Ug  mgy (3.30)แทน (3.30) ลงใน (3.29) จะได้ Wg  Ui  Uf  Ug (3.31)นน่ั คือ งานท่ีทาโดยแรงโนม้ ถ่วงมีคา่ เทา่ กบั พลังงานศกั ย์เริ่มต้นลบด้วยพลังงานศักย์สุดท้ายสาหรบั กรณที ่วี ัตถุตกอย่างอิสระภายใต้อิทธพิ ลของแรงโนม้ ถว่ งเพยี งอยา่ งเดยี ว เราสามารถเขียนกฎการอนุรักษ์ของพลงั งานกลไดด้ งั น้ีจาก Ki  Ui  Kf  Uf 1 mvi2  mgyi  1 mvf2  mgyf (3.32) 2 2

งานและพลังงาน หนา้ 14ตัวอย่าง 3.8 ปล่อยลกู บอลมวล m ที่ความสูง h จากพื้นดนิ ดงั รปู จงหาอัตราเร็วของลกู บอลที่ความสงู y จากพื้นดิน โดยไม่คิดแรงต้านทานของอากาศ วธิ ีทา เมอื่ ลกู บอลถูกปล่อยจากขณะหยุดน่ิง ทีค่ วามสงู h จากพนื้ ดนิ พลังงานจลน์ Ki = 0 และพลงั งานศกั ย์ Ui = mgh เมอื่ ลูกบอลอยทู่ ่ี ระยะทาง y เหนือพ้ืนดิน พลังงานจลน์ Kf  1 mvf2 2 และพลงั งานศกั ย์ Uf = mgy จาก Ki  Ui  Kf  Uf 0  mgh  1 mvf2  mgy 2 vf2  2g(h  y) ตอบ vf  2g(h  y)ตวั อยา่ ง 3.9 ลูกตมุ้ เพนดลู ัมมวล m ผกู ติดกับปลายเชือกนา้ หนกั เบา ยาว L ดังรูป ลกู ต้มุถกู ปล่อยขณะหยุดน่งิ โดยทามุม 0 กับแนวดง่ิ และท่จี ุดตรึง 0 ไม่มคี วามเสียดทาน จงหาก. อตั ราเร็วของลูกตุ้มตาแหน่งต่าสดุ ที่จุด bข. แรงตงึ ในเสน้ เชือก ที่ตาแหน่ง b วธิ ีทา ก. พจิ ารณาตาแหนง่ a และ b จาก กฎการอนุรกั ษพ์ ลงั งาน Ka  Ua  Kb  Ub เม่อื Ka  0 Kb  1 mv2b 2 Ua  mgy a  mgL cos 0 Ub  mgy b  mgL (เปน็ ลบเพราะใช้จุด 0 เป็นตาแหนง่ อา้ งอิงของลูกตมุ้ จึง อยใู่ นทิศ -y)แทนค่าลงในสมการได้ 0  mgLcos0  1 mv2b  mgL 2 v 2  2 (mgL  mgLcos0 ) b m  2gL(1 cos 0 )  vb  2gL(1 cos0) ตอบ

งานและพลงั งาน หนา้ 15ข. จากกฎข้อท่ี 2 ของนิวตัน Fr  Tb  mg  marเมอื่ ar = ความเร่งสู่ศนู ย์กลาง  v2 rในที่นี้ r = L Tb  mg  m v 2 b L  Tb  mg  2mg (1  cos 0 ) ตอบ  mg (3  2 cos 0 )ตัวอยา่ ง 3.10 กล่องมีมวล 3 kg เคล่อื นท่ลี งจากพนื้ เอียงขรขุ ระทมี่ แี รงเสยี ดทาน 5 N และพน้ืเอียงทามมุ 30o ดังรูป ก. ใชท้ ฤษฎขี องพลังงานคานวณหาอัตราเร็วของกล่องเมื่อเคลือ่ นทม่ี าถงึ ปลายสุดของพื้น เอียง ข. ตรวจสอบคาตอบ ข้อ ก. โดยใช้กฎการเคล่ือนทขี่ องนิวตันก. วิธที า ท่ีตาแหน่งเร่ิมต้น xi = 0 ฉะนน้ั พลังงานจลน์ = 0 พลงั งานรวมคือพลงั งานศกั ยเ์ พียงอยา่ งเดียว Ei  Ui  mgyi  (3 kg)  9.8 m  (0.5 m)  s2   14.7 Jท่ีตาแหน่งสดุ ทา้ ยพลังงานศักย์ = 0 เพราะว่า yi = 0 พลงั งานรวมคอื พลังงานจลนเ์ พียงอยา่ งเดียว Ef  1 mvf2 2สาหรบั ในกรณีนี้ Ei  Ef เพราะวา่ ระบบนแี้ รงเสียดทานและงานท่ีทาโดยแรงเสยี ดทานมคี า่ Wnc  fs  (5 N)(1 m)  5Jจาก Wnc = Ef - Ei   fs  1 mvf2  mgyi 2

งานและพลังงาน หนา้ 16 vf2  2 (mgyi  fs) m  2 (14.7 J  5 J) (3 kg)  6.47 m2 / s2  vf  2.54 m / s ตอบข. วิธีทา จากกฎขอ้ 2 ของนวิ ตนั F  mamg sin 30o  f  ma a  g sin 30o  f m  (9.8 m / s2 )(0.5)  5 N 3 kg  3.23 m / s2จาก vf2  vi2  2as v 2  0  vf2  2as i  2(3.23 m / s2 )(1 m)  6.46 m2 / s2  vf  2.54 m / s ตอบตัวอยา่ ง 3.11 นักสกเี ล่นสกบี นพน้ื เรยี บทามมุ 20o กับพื้นสูง 20 m ดงั รูป ด้านลา่ งของพนื้ เอยี งเป็นพ้นื ขรขุ ระในแนวนอน ค่าสมั ประสทิ ธิค์ วามเสยี ดทานจลน์ ระหว่างสกีและหิมะเท่ากับ 0.21 จงคานวณว่านกั สกีจะเลน่ สกไี ด้เป็นระยะทางเท่าใดบนพนื้ ในแนวนอนก่อนหยุดน่ิงวธิ ที า หาอัตราเร็วของนักสกีทีด่ า้ นล่างของพ้ืนเอยี งจาก Ki  Ui  Kf  Uf 0  mgh  1 mvf2  0 2 vf  2gh  2(9.8 m / s2 )(20 m)  19.8 m / s

งานและพลงั งาน หน้า 17ใช้ทฤษฎงี าน-พลงั งาน สาหรับการเคลื่อนท่ีบนพนื้ ขรขุ ระในแนวราบ งานท่ีทาโดยแรงเสียดทานกอ่ นสกีหยุดมีค่า Wnc  fs  Kf  Ki  mgs  0  1 mvi2 2 s  vi2  (19.8 m / s2 )  95.2 m ตอบ 2g 2(0.21)(9.8 m / s2 )พลังงานศักยส์ ะสมในสปริงงานทสี่ ปริงทาในการเล่ือนกล่องจากตาแหนง่ xi ถึง xf คือ Ws  1 kx 2  1 kxf2 2 i 2นิยามปริมาณ 1 kx2 ว่าเป็นพลงั งานศกั ยย์ ืดหย่นุ (elastic potential energy;Us) ท่สี ะสมไว้ใน 2สปริง Us  1 kx2 (3.33) 2Us มคี ่าเป็น 0 เม่ือสปริงไมม่ กี ารยืดหรือหด และมีค่ามากทสี่ ุดเมอื่ สปริงถูกอัดมากท่สี ุด (รูป c)พลงั งานกลรวมของระบบมีค่า E  1 mvi2  1 kxi2  1 mvf2  1 kx 2 (3.34) 2 2 2 2 fและจากรูป xi = 0 ดงั นนั้ (3.34) กลายเป็น E  1 mvi2  1 mvf2  1 kx 2 (3.35) 2 2 2 fหมายความว่า ทีร่ ะยะกระจัด xr ใดๆ ผลรวมของพลงั งานจลน์และพลงั งานศักยจ์ ะมีค่าคงที่ ซงึ่ เท่ากบั พลงั งานรวม

งานและพลงั งาน หนา้ 18ในกรณที ี่มแี รงไมอ่ นุรักษ์กระทาต่อระบบ เราสามารถใช้ทฤษฎีงาน-พลงั งาน หางานเนอ่ื งจากแรงไมอ่ นรุ กั ษไ์ ด้ดงั น้ี Wnc  Ef  Ei  (Kf  Uf )  (Ki  Ui )   1 mv 2  1 kx 2    1 mv 2  1 kx 2  (3.36)  2 f 2 f   2 i 2 i น่ันคือ ถ้ามีแรงไมอ่ นรุ กั ษ์มากระทาต่อระบบ พลงั งานรวมของระบบจะมีคา่ ไมค่ งท่ีตัวอยา่ ง 3.12 กล่องมีมวล 0.8 kg เคลื่อนทีไ่ ปทางขวาด้วยความเร็วเรม่ิ ต้น 1.2 m/s ชนกบั สปรงิเบาซงึ่ มีค่าคงท่ขี องแรง 50 N/m ดงั รูป จงหาระยะท่สี ปริงหดตวั มากทส่ี ุดหลังจากการชน เมอ่ื ก. พืน้ ไม่มีความเสยี ดทาน ข. พน้ื มคี วามเสยี ดทาน โดย   0.5 ก. วิธีทา จาก E  1 mvi2  1 kx 2  1 mvf2  1 kxf2 2 2 i 2 2 1 mvi2  0  0  1 kx 2 2 2 f x 2  1 mvi2 f k  xf  m vi2  0.8 kg (1.2 m / s)  0.152 m k 50 N / mข. วิธที า เน่อื งจากระบบมีแรงไมอ่ นรุ ักษม์ ากระทาดงั นนั้ พลังงานของระบบจะมีค่าไม่คงที่ หางานเนื่องจากแรงเสียดทานในการเคลอ่ื นกลอ่ งจาก xi = 0 ถงึ xf = x Wnc  fxเม่อื f  N  mg  0.5(0.8 kg)(9.8 m / s2 )  3.92 N  Wnc  3.92x J Wnc   1 mv 2  1 kx 2    1 mv 2  1 kx 2   2 f 2 f   2 i 2 i   3.92 x   0  1 kx 2    1 mv 2  0   2 f   2 i   3.92x  50 x2  1 (0.8)(1.2)2 22 25x2  3.92x  0.576  0ใชส้ มการ quadratic หา x ได้ x = 0.0924 m และ -0.249 m เนอื่ งจากกล่องเคลื่อนท่ีมาทางขวาดงั นน้ั เลือก x = 0.924 m ตอบ

งานและพลังงาน หน้า 19 แบบฝึกหัดบทท่ี 3 งานและพลงั งาน1. กลอ่ งมมี วล 6 kg ถกู ลากจากหยุดน่งิ ไปทางขวาด้วยแรงขนาด 12 N ในแนวราบ จงหาอัตราเร็วของกลอ่ งหลงั จากเคล่ือนท่เี ปน็ ระยะทาง 3 เมตร2. จากขอ้ 1 ถา้ ลากกลอ่ งบนพ้ืนขรขุ ระที่มีสัมประสิทธิข์ องความเสียดทาน 0.15 อัตราเร็วของกลอ่ งหลังจากเคลอื่ นท่ไี ปได้ 3 เมตร เปน็ เท่าใด3. ปล่อยลูกบอลมวล m ตกอย่างอสิ ระในแนวด่ิงสงู h จากพนื้ โลก (a) จงหาอตั ราเร็วของลกู บอลเมื่อลูกบอลอยทู่ รี่ ะยะ y จากพืน้ (ถอื ว่าไม่มแี รงเสยี ทานจาก อากาศ) (b) จงหาอตั ราเรว็ ของลูกบอลทีร่ ะยะ y ถา้ vi เป็นอัตราเร็วเริ่มต้นท่ีความสูง h4. พืน้ เอยี งหยาบยาว 1 เมตร ทามุม 30o กบั พื้นราบ ปล่อยวัตถุมวล 3 kg จากจดุ นง่ิ ที่จดุ สูงสดุ ให้ไถลลงล่าง โดยมีแรงเสยี ดทานขนาด 5 นวิ ตนั (a) จงหาอตั ราเร็วของวตั ถทุ ี่ตีนพืน้ ลาด โดยใช้หลักของพลงั งาน (b) ใหต้ รวจคาตอบโดยใช้กฎข้อท่ี 2 ของนิวตัน