ວິຊາ ຄະນິດສາດ 2 ສາຍຄູປະຖົມ ລະບົບ 12+4 ປີ 1

ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ ແລະ ກລິ າ ກມົ ສາ້ ງຄູ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາໍ້ ທາ ເອກະສານປະກອບການສອນ ວຊິ າຄະນດິ ສາພນ້ໍ ຖານ 2 ສາລບັ ນກັ ສກຶ ສາສາຍຄປູ ະຖມົ ລະບບົ 12+4 ຮຽບຮຽງໂດຍ: ອາຈານ ບນຸ ທຽ່ ງ ພນູ ສະຫວດັ ອາຈານ ລດິ ທິດາ ຍດົ ທວິ ງົ ສາ ສກົ ສກຶ ສາ 2019 -–2020

ຄານາ ອີງໃສ່ການຮຽນ - ການສອນໄລຍະໃໝ່ຂອງວິທະຍາໄລຄູຕ່າງໆເພື່ອເຮັດໃຫ້ຄຸນນະພາບການຮຽນ - ການ ສອນ. ເວາ້ໍົ ລວມ, ເວາົໍ້ ສະເພາະ ແມ່ນປມ້ຶໍ ຄູ່ມການສອນຄະນດິ ສາດ. ສະນັໍ້ນ, ຜູ້ຂຽນຈຶ່ືງໄດ້ເກັບກາຂໍ້ມູນຈາກປຶ້ໍມຫຼາຍ ເຫໍ້ັມຼ ໂດຍສະເພາະແມ່ນປ້ໍຶມຄະນດິ ສາດພນໍ້ ຖານ 1, , ຄະນິດສາດທົື່ວໄປ ແລະ ແບບຮຽນຄະນິດສາດຊັໍ້ນປະຖົມ ປ1 - ປ 5, ປມ້ໍຶ ວທິ ີສອນຄະນິດສາດສາຍສ້າງຄູປະຖົມ ລະບົບ 12+2 , ບົດວິໄຈຕ່າງໆທີື່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການສອນຄະນິດ ສາດໃນຊ້ັນໍ ປະຖມົ ສຶກສາ ທີ່ືມີຄວາມໝາຍກ່ຽວຂ້ອງກັບຫົວຂ້ໍຕ່າງໆໃນຫຼັກສູດຂອງຄະນິດສາດພ້ໍນຖານ 2 ສາລັບ ສາຍຄູປະຖົມລະບົບ 12+4 ປະລິນຍາຕີ. ຂ້າພະເຈົໍ້າໄດ້ເກັບກາຂ້ໍມູນ ແລະ ຮຽບຮຽງໃໝ່ຈາກການຄົ້ໍນຄວ້າຕາມ ເອກະສານຫຼາຍເຫຼ້ັໍມທືີໄ່ ດພ້ ວົ ພັນເຖິງແຕ່ລະຫົວຂໍ້. ການຮຽບຮຽງປໍ້ມຶ ເຫັ້ຼມໍ ນີ້ຂໍ ນ້ຶໍ ມາແມ່ນເປັນຄັໍ້ງທາອິດຂອງຂ້າພະເຈົ້ໍາ ແລະ ຫວັງວາ່ ປມຶ້ໍ ເຫ້ມຼັໍ ນໍ້ີຈະເປນັ ປະໂຫຍດໃຫ້ແກ່ການຮຽນ-ການສອນ, ທ່ານຜູ້ອ່ານ, ຜູ້ສອນ, ຜູ້ຮຽນ ແລະ ຜູ້ຊອກ ຫາຄວາມຮ້ກູ ່ຽວຄະນດິ ສາດພນ້ໍຶ ຖານ ທງັ ຊ່ວຍໃຫບ້ ນັ ດາທ່ານບັນລຸຈດຸ ປະສງົ ຂອງຕົນເປັນຢາ່ ງດີ. ເຖງິ ຢາ່ ງໃດກ່ືຕາມການຮຽບຮຽງຄັງ້ໍ ນໍ້ີກ່ືບ່ືຫຼີກລ່ຽງຈຸດບົກຜ່ອງໄດ້, ສະນັໍ້ນ,ຖ້າຜູ້ອ່ານພົບເຫັນບັນຫາ ຫຼ ມີຂໍ້ ຄິດເຫັນປະການໃດຕ່ືເນໍ້ອໃນຂອງປຶ້ມໍ ເຫັໍຼມ້ ນ້ີໍ ທື່ີຍງັ ບືທ່ ັນຄບົ ຖ້ວນສົມບູນຂ້າພະເຈ້ໍາົ ເອງຂອະໄພມານະທີື່ນີໍ້ ຄິດວ່າໃນຕ່ື ໜ້າຈະໄດຮ້ ັບຄາຊໍີ້ແຈງແນະນາຈາກພາກສ່ວນຕ່າງໆຕ່ມື ແລ້ວຈະນາໄປປັບປຸງແກ້ໄຂໃຫ້ປໍ້ມສມົ ບູນຂ້ໍຶນກວ່າເກາ່ືົ .

ສາລະບານ ຄານາ ເນ້ໍຶອໃນ ໜ້າ ບດົ ທີ 1: ຕາລາຈານວນ 1. ອດັ ຕາສວ່ ນ.............................................................................................. 1 2. ອັດຕາສວ່ ນພົວພນັ .......................…............................................................ 2 8 3. ມາດຕາສວ່ ນ..........................…............................................................... 4. ການຄິດໄລສ່ ວ່ ນຮອ້ ຍ.......................................................................... ......... 8 ບົດທີ 2: ເລຂາຄະນິດໜາ້ ພຽງ ແລະ ກາງຫາວ 1. ຮູບຈະຕລຸ ັດ ແລະ ຮບູ ສືີ່ແຈສາກ…................................................................. . 11 2. ຮບູ ສາມແຈ ແລະ ຮບູ ສີ່ືແຈຂາ້ ງຂະໜານ….......................................................... 14 3. ຮູບດອກຈັນ….......................................................................................... 18 4. ຮູບວົງມນົ ......................…......................................................................... 19 5. ຮບູ ຄາງໝູ…………………………………………………………………………………………………........ 20 6. ຮູບທື່ລ່ຽມ.............................................................................................. 23 24 7. ຮູບກັບສາກ ແລະ ຮູບກອ້ ນສາກ………………………………………………………………………........ 28 8. ຮູບທ່ືກມົ ແລະ ຮູບຈວຍ…............................................................................ ບດົ ທີ 3: ການວັດແທກ 1. ຫົວໜ່ວຍວດັ ແທກລວງຍາວ….......................................................................... 30 2. ຫວົ ໜ່ວຍວັດແທກມວນສານ…........................................................................ 30 3. ຫວົ ໜ່ວຍວດັ ແທກເນໍອ້ ທີື່…........................................................................... 33 4. ຫວົ ໜ່ວຍວັດແທກບລິມາດ…………………………………………………………………………............. 35 5. ຫວົ ໜວ່ ຍວດັ ແທກເວລາ................................................................................. 35 ບົດທີ 4: ເລກກາລງັ 1. ນິຍາມເລກກາລງັ ……................................................................................... 37 2. ຄຸນລກັ ສະນະ…........................................................................................ 37 ບດົ ທີ 5: ສມົ ຜນົ ຂັນ້ໍ ໜຶ່ງື ທ່ືີມີໜ່ງຶື ຕົວລັບ 1. ສົມຜນົ ….............................................................................................. 39 2. ສມົ ຜນົ ອະປົກກະຕິ.........................…........................................................ 40 3. ຄວາມເຂາໍົ້ ໃຈກ່ຽວກັບສົມຜົນອະປກົ ກະຕິ ແລະ ສມົ ຜນົ ທຽບເທ່ືົາ................................... 41 4. ລະບົບສມົ ຜົນຂໍ້ນັ ໜງື່ຶ ທືີມ່ ສີ ອງຕວົ ລັບ................................................................. 45 ບດົ ທີ 6: ສະຖຕິ ິ 1.ຄວາມໝາຍຂອງສະຖິຕິ................................................................................ 59 2. ຂ້ໍມນູ ແລະ ປະເພດຂອງຂໍມ້ ນູ ....................................................................... 59

3. ການສະເໜຂີ ້ໍມນູ ( Presentation of Data)…................................................. 60 4. ຄ່າມດັ ທະຍະຖານ................................................................................... 73 5. ຄາ່ ຖານນຍິ ົມ.......................................................................................... 76

ບົດທີ 1 ຕາລາຈານວນ 1. ອັດຕາສວ່ ນ ກິດຈະກາ1:  ອດັ ຕາສວ່ ນນັກຮຽນຍິງ ທຽບໃສ່ຈານວນນັກຮຽນໃນໂຮງຮຽນແຫງ່ ໜືງ່ຶ ເທາົ່ື ກບັ 3 5  ໝາຍຄວາມວາ່ : ຈານວນນັກຮຽນຍງິ ຫານໃຫ້.......................ເທ່າົື ກັບ 3 5 ຈານວນນກັ ຮຽນຊາຍ  ຫຼ ຂຽນເປັນເລກສວ່ ນ ຊາຍ = ................... ຈານວນນກັ ຮຽນຊາຍ  ຖ້າວ່າ ຈານວນນກັ ຮຽນຊຊາຍາຍມີ 105 ຄົນ. ຖາມວາ່ : ຈານວນນກັ ຮຽນຍິງມີເທາ່ືົ ໃດ. ວທິ ແີ ກ້ ຈານວນນກັ ຮຽນຍິງແທນດ້ວຍ a ແລະ ຈານວນນັກຮຽນແທນດ້ວຍ b. a  3 b ແທນດ້ວຍ 105 ເຮາົ ໄດ້ a  3 b5 105 5 a 105  3 .........; a 105  3......  ........ 105 5 105 5 ດືັ່ງນໍັ້ນ, a  ................, ຈານວນນັກຮຽນຍິງແມ່ນ......................... ໃຈຄວາມ ເພນ່ືີ ເອໍ້ນີ ວາ່ : ອດັ ຕາສວ່ ນຂອງປະລມິ ານ a ທຽບໃສປ່ ະລມິ ານ b ເຊີ່ືງ b  0 ແມນ່ ຜນົ ຫານທືຖ່ີ ກຕອ້ ງ ຂອງ a ໃຫ້ b ຫຼ a b ຫຼ ເປນັ ເລກສວ່ ນ a ເຊງ່ືີ a ເອນ້ີໍ ວາ່ : ພດົ ທໜີ ືງຶ່ ແລະ b ເອີໍນ້ ວາ່ : ພດົ ທີ b ສອງ.  ໝາຍເຫດ ອດັ ຕາສ່ວນຂອງສອງປະລມິ ານຊະນິດດຽວກັນ, ແມນ່ ຈານວນໜຶງື່ ທີື່ສະແດງວາ່ : ປະລມິ ານນີ້ທໍ ບົ ຈັກເທື່ອ ປະລິມານນັໍ້ນ ( ຫຼ ປະລິມານນີ້ໍເທາືົ່ ຈັກເທ່ອື ປະລມິ ານນນ້ັໍ ) ຕວົ ຢາ່ ງ: ອັດຕາສວ່ ນຂອງສອງຈານວນ 15 ແລະ 3 ແມນ່ ຜນົ ຫານທືຖ່ີ ກຕອ້ ງຂອງ 15 ໃຫ້ 3 ເຊີື່ງແມ່ນ 5 53  15 15  5 ເພາະວ່າ 15  53 3 ກິດຈະກາ 2 ຈງົ່ື ຂຽນຈານວນຕືມ່ ໃສ່ບ່ອນຈໍ້າເມັດ 15 .....  .......... = x 10 ............... 27  3 .......... x .... ............. 1

 ຄຸນລກັ ສະນະ ຜນົ ໄດ້ຮັບຂອງສອງຈານວນ a ເຊ່ືງີ b  0 ບື່ປຽ່ ນແປງ: b - ຖາ້ ເພ່ືິນຄນູ ພດູ ແລະ ຈານວນພູດກັບຈານວນດຽວກັນ. a  an ( ເຊ່ງີື b  0; n  0 ) b bn - ຫຼ ຖ້າເພິື່ນຫານພູດ ແລະ ຈານວນພູດໃຫ້ຈານວນຕ່າງສນູ ອັນດຽວກັນ. a  am ( ເຊີ່ືງ b  0; m  0 ) b bm  ວຽກມອບໝາຍ. 1. ຢູ່ທະນາຄານແຫງ່ ໜຶື່ງມທີ ັງຄນົ ໄປຝາກເງິນ ແລະ ໄປກຢູ້ ມເງິນ. ຮວູ້ າ່ ອດັ ຕາສວ່ ນຂອງຜ້ໄູ ປຢມເງິນ ຕຈື່ ານວນຜູ້ຝາກເງິນແມ່ນ 2 ແລະ ຮູ້ວາ່ ຈານວນຄົນຜູ້ໄປຝາກເງິນມີ 180 ຄນົ .ຖາມຈານວນຄນົ ຜູ້ 7 ໄປກຢູ້ ມເງິນມເີ ທ່າືົ ໃດ? ຈານວນຄນົ ໄປຝາກເງນິ ແລະ ກູ້ຢມເງິນມເີ ທື່າົ ໃດ? 2. ຈ່ງືົ ຕມື່ ໃສສ່ ະເໝີຜົນຕ່ໄື ປນໍ:້ີ 1. 1  ...... 2. .....  15 3. ....... 15 4 80 50 25 5 25 4. 60  3 5. 35  ....... 6. 242  11 .... 5 50 50 ..... 5 3. ອັດຕາສ່ວນຂອງນັກຮຽນທ່ືີດເີ ດັນ່ື ທ້າຍປີ ຕື່ນກັ ຮຽນທັງໝດົ ຂອງຫ້ອງມ1 ຂອງໂຮງຮຽນແຫ່ງໜ່ຶືງ ແມ່ນ 1 ( ຫຼ ເວົາໍ້ ວ່າ: ນັກຮຽນດີເດ່ັນື ທາ້ ຍປີຂອງຫ້ອງມ1 ມີ 1 ຂອງນກັ ຮຽນທັງໝດົ ໃນຫອ້ ງນ້ນໍັ ). 44 ຖາມວາ່ ນກັ ຮຽນທັງໝດົ ໃນຫອ້ ງມີຈກັ ຄນົ ? ຮູ້ວາ່ ນັກຮຽນດີເດັື່ນຂອງຫ້ອງນໍ້ນັ ມີ 9 ຄົນ. 4. ເນ້ອໍ ທ່ເີື ດືນ່ີ ເຕະບານຂອງໂຮງຮຽນແຫງ່ ໜງຶ່ື ມີ 10800 m 2 , ນອກນັໍນ້ ເພື່ີິນຈດັ ເປັນເນອ້ໍ ທືີ່ຂອງກິລາ ອນ່ື ໆ ທຽບໃສ່ເນ້ໍອທ່ີທື ງັ ໝົດຂອງໂຮງຮຽນແມ່ນ 2 ແລະ ເນອໍ້ ທີ່ືອ່ນື ໆທຽບໃສ່ເນໍອ້ ທື່ີຂອງເດີນື່ ເຕະ 9 ບານແມ່ນ 5 . ຮູວ້ າ່ ເນ້ໍອທື່ີຂອງເດ່ນີື ໂຮງຮຽນທງັ ໝົດແມ່ນ ເທາ່ົື 2 ເທອ່ື ເນໍອ້ ທ່ຂີື ອງເດ່ີືນເຕະບານ. 9 ຖາມວາ່ . ເນອໍ້ ທີື່ຂອງເດນ່ືີ ອນື່ ໆ ແລະ ເນອໍ້ ທອ່ີື ນື່ ໆມີຈກັ m 2 ? 2. ອດັ ຕາສວ່ ນພວົ ພັນ a,b,c …ແລະ a,b,c ,…) ທ່ືີ ເປັນອັດຕາສ່ວນພວົ ພັນ “ ແມນ່ ສອງປະລມິ ານ ( ຄ ສອງປະລິມານທ່ເືີ ພ່ິືນເອົາຄາ່ ຂອງປະລມິ ານທີໜື່ຶງ ( ຄ a,b,c ,…) ຄູນກບັ ຈານວນອັນດຽວ k ຫຼ ເອາົ ຄາ່ ຂອງ ປະລມິ ານທີສອງ ( a,b,c ) ຫານໃຫ້ຈານວນດຽວ k ເພືອ່ ໃຫ້ໄດຄ້ ່າຂອງປະລມິ ານທີໜຶ່ືງ ( a,b,c )ຈານວນ k ດືງັ່ ກ່າວນ້ັໍນເອີໍ້ນວາ່ : “ ສາປະສິດຂອງອັດຕາສ່ວນພົວພນັ ” ໝາຍເຫດ ປະລິມານ a,b,c ,…ເປນັ ອັດຕາສວ່ ນພວົ ພັນກບັ a,b,c ,…ກຕື່ ເມື່ອວາ່ : a  b  c  k abc ຕວົ ຢ່າງ 1. ລາຄາສດາແມນ່ ເປັນອັດຕາສ່ວນພົວພນັ ກັບຈານວນສດາ. ໃຫ້ຕ່ມື ໃສ່ຕາຕະລາງດື່ງັ ຕ່ືໄປນ້ີໍ ແລະ ໃຫຊ້ ອກຫາສາປະສິດຂອງອດັ ຕາສ່ວນພົວພນັ . 2

ຈານວນຂອງສດາ ( ເສັໍນ້ ) 6 2 7 ..... + ລາຄາ ( ກບີ ) 4800 ........ ....... 12000 ບົດແກ້ ຈາກຕາຕະລາງ ເຮົາໄດ້ ສດາຈານວນ 6 ເສໍ້ນັ ແມ່ນປະລິມານທີໜ່ືຶງ a  6 ລາຄາສດາ 6 ເສັ້ນໍ ແມນ່ ປະລິມານທີສອງ a  4800 ຊອກຫາ ລາຄາສດາ1 ເສ້ນໍັ ເຊີື່ງແມນ່ ສາປະສດິ ຂອງອດັ ຕາສວ່ ນພົວພນັ k ອງີ ຕາມສູດອດັ ຕາສ່ວນພົວພນັ k  a a ແທນຄາ່ ໃສ່ k  4800  800 6 ສະນນ້ໍັ k  800 ກບີ ສດາ 2 ເສໍັ້ນລາຄາ 2800  1600 ກບີ ສດາ 7 ເສນ້ໍັ ລາຄາ 7800  5600 ກີບ ຈານວນເງິນ 12000 ກບີ ຈະໄດ້ສດາຈານວນ 15 ກ້ານ( 12000 800  15) ເຮົາໄດ້ຕ່ມື ຄາ່ ໃສຕ່ າຕະລາງໄດ້ດືັງ່ ນ້ໍີ ຈານວນຂອງສດາ ( ເສ້ໍນັ ) 6 2 7 15 1600 5600 12000 [ ລາຄາ ( ກີບ ) 4800 x… … 1. ຄນົ ງານຜູ້ໜງ່ືຶ ໄດ້ຮັບເບ້ຍລຽ້ ງ 336000ຕ່ືມ.້ໍ ຖາມວ່າ ລາວຈະໄດ້ຮັບເບ້ຍລຽ້ ງເທ່ົືາໃດ ຖາ້ ລາວເຮັດ ວຽກຮອດ 21 ມໍ້ ແລະ ຮອດ 30 ມ້ເໍ ດ? ( ຂໍແ້ ນະນາໃຫ້ສາ້ ງຕາຕະລາງອັດຕາສວ່ ນພວົ ພັນ ແລະ ຊອກຫາສາປະສິດຂອງອັດຕາສ່ວນພົວພັນ) ຈານວນມ້ໍ 14 21 30 ......... .......... ເບ້ຍທີໄື່ ດ້ຮບັ ( ກບີ ) 336000 2. ໃນກມຸ່ ຂອງນກັ ຮຽນແຫ່ງໜຶ່ງື , ໄດ້ແລກປ່ຽນເຂໍາ້ົ ໝົມ ແລະ ໝາກບີຕາມເງື່ອນໄຂ ແລະ ຕາຕະລາງ ລມຸ່ ນ:້ີໍ ເຂ້ໍາົ ໝົມ ( ກ້ອນ ) 6 18 15 3 24 ໝາກບີ ( ໜ່ວຍ ) 4 12 10 2 16 3

1. ການຄິດໄລໂ່ ດຍການນາໃຊຫ້ ວົ ໜວ່ ຍກອ່ ນ: ແຜນ່ ແພ 20 m ມລີ າຄາ 100 000 ກີບ. ຖ້າແຜນ່ ແພ 7 m ຈະມລີ າຄາເທາ່ົື ໃດ? ວທິ ີແກ້:  ຊອກສອງປະລມິ ານທກີື່ ່ຽວຂ້ອງ ໃນບດົ ໂຈດນໍແີ້ ມ່ນ: - ຄວາມຍາວຂອງແຜ່ນແພ; ລາຄາຂອງແຜ່ນແພ.  ສອງປະລິມານນີໍ້ເປນັ ອດັ ຕາສວ່ ນພວົ ພັນກນັ ບ່ື? - ຮວູ້ ່າ ລາຄາແຜ່ນແພເປັນອັດຕາສວ່ ນພົວພັນກບັ ລວງຍາວຂອງແພ.  ຊອກຫາລາຄາແພ 1m ຈະເປນັ ລາຄາເທາົ່ື ໃດ? ( ຊອກຫາຫົວໜວ່ ຍ ) - ລາຄາແພ 1m ແມ່ນ 100 000  20 5000 ກບີ  ຊອກຫາລາຄາແພ 7 m ລາຄາແພ 7 m ແມ່ນ 5000  7  35 000 ກບີ 2. ການຄິດໄລໂ່ ດຍນາໃຊກ້ ານບວກ ແລະ ການຄູນ. ຕວົ ຢາ່ ງ ລົດຄນັ ໜື່ງຶ ແລ່ນ ( ໂດຍຄວາມໄວສະເໝີ )ໄດ້ 165 km , ໂດຍໃຊ້ເວລາ 3 ຊວ່ົື ໂມງ. ຖາມວາ່ ຖ້າໃຊ້ເວລາ 9 ຊວ່ືົ ໂມງ ຫຼ 12 ຊວ່ືົ ໂມງ ລົດຄັນດງັ່ື ກ່າວຈະແລ່ນໄດ້ຈກັ km? ວທິ ແີ ກ້  ຊອກປະລິມານທກ່ືີ ່ຽວຂອ້ ງ ໃນບົດໂຈດນແ້ີໍ ມ່ນ: - ໄລຍະທາງໄປໄດ,້ ເວລາ  ສອງປະລິມານເປນັ ອັດຕາສ່ວນພວົ ພັນກັນ - ໄລຍະທາງ ແລະ ເວລາເປນັ ອັດຕາສວ່ ນພວົ ພນັ ກນັ ເພາະວ່າ ລດົ ແລ່ນດ້ວຍຄວາມໄວສະເໝີ  ສັງເກດເບງີ່ື ການພົວລະຫວາ່ ງເວລາທີ່ືໃຊໃ້ ນບົດເລກ. - 9 ຊົວ່ື ໂມງແມ່ນ 3 ເທື່ອຂອງ 3 ຊວືົ່ ໂມງ. ດ່ືັງນນ້ໍັ ລດົ ຄັນດັ່ືງກ່າວໃຊ້ເວລາ 9 ຊົ່ວື ໂມງຈະແລ່ນໄດ້ 165 km x 3 = 495 km ເຊີື່ງເປນັ ໄລຍະທາງ 3 ເທື່ອ ຂອງໄລຍະທາງທື່ີໃຊ້ໃນເວລາ 3 ຊ່ືົວໂມງ - 12 ຊວົື່ ໂມງ ແມ່ນຜນົ ບວກຂອງ 9 ຊືວົ່ ໂມງ + 3 ຊ່ວົື ໂມງ. ດ່ືງັ ນນ້ໍັ ລດົ ຄັນດັື່ງກາ່ ວຈະແລນ່ ໄດ້ 495 km + 165 km = 660 km. ຂ້ຄໍ ວນເອາົ ໃຈໃສ.່ ການນາໃຊ້ຕາຕະລາງເພອ່ື ຄິດໄລ່  ໃຫ້ສັງເກດເບີງ່ື ຕາຕະລາງລຸມ່ ນ້ີໍ ທີື່ເອາົ ຂໍ້ມູນຈາກຕົວຢາ່ ງ 2 ຂາ້ ງເທິງ. ຕາຕະລາງ 1 x ເວລາ ( ຊ່ົືວໂມງ ) 3 9 ໄລຍະທາງ(km ) 165 …. ຕາຕະລາງ 2 x .... ເວລາ + 39 ໄລຍະທາງ 165 ...... .... + 4

ຕາຕະລາງ 3 - 9 .... 12 ..... .... ເວລາ ( ຊວົ່ື ໂມງ ) ..... ໄລຍະທາງ ( km ) - ຈາກຕາຕະລາງຂ້າງເທິງເຮາົ ໄດ້:  165  1653 ຫຼ 165  495 ( ຈາກຕາຕະລາງ 1 ) 3 33 3 9  165  495  165  495 ຫຼ 165  495  660 ( ຈາກຕາຕະລາງ 2 ) 3 9 39 3 9 12  660  495  660  495 ຫຼ 660  495  165 ( ຈາກຕາຕະລາງ 3 ) 12 9 12  9 12 9 3  ໂດຍທວ່ືົ ໄປ a  c  a  c  a  c ; b, d  0 b d bd bd 3. ການຄດິ ໄລໂ່ ດຍນາໃຊຕ້ ົວສາປະສດິ . ຢູ່ຮາ້ ນຂາຍປມໍ້ ແຫ່ງໜື່ຶງ ເພື່ິນຂາຍປໍມ້ ແບບຮຽນຄະນດິ ສາດໃນລາຄາ 4500 ກີບ ຕື່ໜ່ຶງື ຫົວໃຫຕ້ ມ່ື ໃສ່ ຕາຕະລາງລມຸ່ ນ:້ີໍ ຈານວນປມໍ້ ( ຫວົ ) 1 5 ....... ລາຄາ ( ກີບ ) 4500 22500 45000 xx  ຊອກປະລມິ ານທີື່ກ່ຽວຂ້ອງໃນບົດໂຈດນ້ີໍແມນ່ : - ຈານວນປມ້ໍ , ລາຄາ.  ສອງປະລມິ ານດື່ງັ ກ່າວເປັນອັດຕາສ່ວນພົວພນັ ເຊ່ງືີ ຈານວນຕາ່ ງໆໃນແຖວທີື່ສອງໄດມ້ າຈາກຈານວນ ຕາ່ ງໆ ແຖວທີໜຶ່ືງຄູນກັບ........... ແລະ ຈານວນດືງັ່ ກາ່ ວເອນ້ໍີ ວ່າ ສາປະສດິ ຂອງອັດຕາສ່ວນ ພົວພນັ .  ດັືງ່ ນ້ັໍນ, ປໍ້ມ 5 ຫົວຈຶື່ງມລີ າຄາ 5 4500  22500 - ເຮົາເຫນັ ວາ່ 10 4500  45000 , ດື່ງັ ນັ້ໍນສາມາດຊໍປ້ ້ໍມໄດ້ 10 ຫວົ .  ວຽກມອບໝາຍ 1. ກ. ທ້າວ ບຸນສວນ ຕອ້ ງການປູກາໂຣຫອ້ ງນ້າໍ ຂອງລາວ, ລາວຄໄິ ລວ່ ່າ ຈະເລອກຊ້ກໍ າໂຣທີື່ມລີ າຄາ 25000 ກີບຕ່ື1m2 . ກ່ອນລາວຈະສື່ັງຊ,້ໍ ລາວຕ້ອງສຶກສາເງິນທີືລ່ າວຈະຕ້ອງຈ່າຍຕາມຈານວນກາໂຣທ່ືີ ລາວຕ້ອງການ, ໃຫ້ນກັ ຮຽນຄດິ ໄລຊ່ ່ວຍລາວ ໂດຍຕມື່ ຕົວເລກໃສ່ຫ້ອງຕາຕະລາງທຫີ່ື ວ່າງລມຸ່ ນີ້ໍ: 5

ຕາຕະລາງ 1 ຈານວນວັດຖຸ 1 10 20 25 35 40 45 (m2 ) ຈານວນເງີນທ່ືີຕອ້ ງ 2500 ...... ....... ...... ...... ....... ...... ຈ່າຍ ( ກບີ ) ຂ. ຍ້ອນວ່າ ທາ້ ວບນຸ ສວນ ເປັນລກູ ຄ້າທ່ືີດີ, ຜູ້ຂາຍໄດ້ສະເໜີຂາຍໃຫ້ລາວດັື່ງນໍ້ີ:  ຖ້າລາວຊໍ້ກາໂຣ ແຕ່ 1 m 2 ຫາ 20 m2 ລາວຈະໄດ້ຈ່າຍ 25000 ກບີ ຕື່ 1 m 2 .  ຖ້າລາວຊກ້ໍ າໂຣແຕ່ 21m2 ຫາ 40 m2 ລາວຈະໄດຈ້ ່າຍ 20 000 ກບີ ຕື່ 1 m 2 .  ຖາ້ ລາວຊໍ້ຈານວນກາໂຣຫາຼ ຍກວາ່ 40 m2 ລາວຈະໄດຈ້ ່າຍ 15000 ກບີ ຕື່ 1 m 2 . ໃຫ້ນັກຮຽນຄິດໄລ່ຊ່ວຍລາວອີກຄ້ງັໍ ໜຶື່ງ ໂດຍຕ່ືມຕົວເລກໃສ່ຫ້ອງຕາຕະລາງທືມ່ີ ເີ ມັດຈ້ໍາລມຸ່ ນີໍ:້ ຕາຕະລາງ 2 ຈານວນຕາກາໂຣ ( m 2 ) 1 10 20 25 35 40 45 ຈານວນເງນີ ທື່ີຕ້ອງ 25000 ........ ....... 600000 ...... 900000 .... ຈ່າຍ ( ກີບ ) ລາຄາຕ່ື ( 1 m2 ) 25000 25000 25000 24000 ..... 15000 ຄ. ໃຫ້ນັກຮຽນສັງເກດເບືິ່ງຕາຕະລາງ 1 ຂ້າງເທິງຈະພົບວາ່ : - ໃນແຕ່ລະຖັນ, ຈານວນຂອງແຖວທີ 2 ໄດ້ມາດວ້ ຍ...............ຈານວນຂອງແຖວ.............ກັບຈາ ນວນຄງົ ຄ່າ............... - ໃນແຕລ່ ະຖນັ , ຈານວນຂອງແຖວທີ 1 ໄດມ້ າດວ້ ຍ................ ຈານວນແຖວ...................ໃຫ້ ຈານວນຄົງຄາ່ .......... - ຕວົ ສາປະສິດຂອງອັດຕາສ່ວນພົວພັນໃນຕາຕະລາງ 1 ແມນ່ .............................................. ງ. ໃຫນ້ ກັ ຮຽນສັງເກດເບິື່ງຕາຕະລາງ 2 ຂ້າງເທງິ . ການຄດິ ໄລ່ແມນ່ ຄ້າຍຄຕາຕະລາງ 1 ຫບຼ ື່? ຍອ້ ນຫຍັງ? 4. ຊອກຫາພດົ ທບີື່ ທ່ື ນັ ຮູຂ້ ອງອດັ ຕາສວ່ ນພວົ ພນັ . ການຊອກຫາພດົ ທສືີ່ ືີ່ຂອງອດັ ຕາສ່ວນພົວພັນ,ແມ່ນ ການຄິດໄລ່ຊອກຫາຈານວນທືີ່ຍັງບື່ທັນຮູ້ໃນ ຕາຕະລາງຂອງອັດຕາສວ່ ນພົວທືກີ່ ານົດດ້ວຍສີື່ຈານວນ ( ເຊ່ືງີ ຮູ້ສາມຈານວນກ່ອນແລວ້ ). ຕົງຢາ່ ງ: 12 20  ຊອກຄາ່ ຂອງ x ໂດຍໃຊຜ້ ົນຄູນໄຂວ່ເທາ່ົື ກັນ. 36 x  36  x ເຮົາໄດ້ 12 x  36 20 12 20  12 x  36  20 x 36 20 12 x  720 12  60 ພົດທີ ສືີ່ x ຂອງອດັ ຕາສວ່ ນພວົ ພັນ ແມ່ນ 60. ໂດຍທວ່ືົ ໄປ: 6

ເພນ່ືິ ໃຫສ້ ອງອັດຕາສວ່ ນທເືີ່ ປນັ ອັດຕາສວ່ ນພົວພນັ a  c ທຽບເທາົ່ື ກບັ a  d  b c ( ຜນົ ຄູນໄຂວ່ bd ເທາົື່ ກນັ ) a,b, c, d ເອນ້ໍີ ວາ່ : ພດົ ຂອງອດັ ຕາສວ່ ນພວົ ພນັ ແລະ b, d  0 .  ວຽກມອບໝາຍ 1. ໃຫຊ້ ອກພົດທີສ່ໃີື ນຕາຕະລາຂອງອດັ ຕາສວ່ ນພວົ ພັນລມຸ່ ນ້ໍີ ໂດຍນາໃຊ້ຜົນຄນູ ໄຂວ່. ກ. 35 21 24 y 25 x 32 64 ຂ. 12 19 152 95 72 x z 55 2.ໃຫ້ຊອກຫາຄາ່ x, y ໃນຕາຕະລາງອດັ ຕາສ່ວນພົວລມຸ່ ນ້:ີໍ 3x 78 5 20 y ກ. ເພືອ່ ຊອກຫາຄ່າ x, y ໃຫແ້ ຍກຕາຕະລາງເທງິ ນີໍ້ເປັນສອງຕາຕະລາງ ຈາກນນ້ັໍ ໃຫ້ຕື່ມຈານວນໃສ່ບອ່ ນ ຫວາ່ ງລຸ່ມນ້:ໍີ x y ຂ. ແລວ້ ໃຫ້ຄດິ ໄລ່ຄ່າຂອງ x ແລະ y ? 3. ໃນຕາຕະລາງຕໄື່ ປນ,ໍ້ີ ເພີນ່ື ໃຫ້ຈານວນຂອງແຖວທີສອງແມນ່ ເປນັ ອດັ ຕາສ່ວນກັບຈານວນຂອງແຖວທີໜື່ງຶ . ກ. ໃຫຕ້ ມ່ື ໃສ່ບ່ອນຫວ່າງຂອງຕາຕະລາງລມຸ່ ນີໍ້ ເຊງ່ືີ ການຄດິ ໄລ່ດວ້ ຍ ວທິ ີການຄູນເທ່າືົ ນັ້ນໍ ແລະໃຫ້ບອກ ສາປະສິດ. 39 18 54 24 27 48 99 0.6 2 x... . ຂ. ໃຫ້ຕມ່ື ໃສ່ບ່ອນຫວ່າຂອງຕາຕະລາງລຸ່ມນໍ້ີ ເຊື່ງີ ການຄິດໄລ່ໃຫ້ຄິດໄລ່ດ້ວຍວທິ ກີ ານບວກ ຫຼ ວິທກີ ານ ລບົ ເທົື່ານັໍນ້ ແລະ ໃຫຊ້ ອກຕົວສາປະສດິ . 7

0.5 2 3 5 7 8 10 9.5 4.5 x... 2 . 4. ລດົ ໂດຍສານຄນັ ໜືງຶ່ ແລ່ນໄດ້ 260 km. ໝດົ ນໍາ້ ມັນແອດັ ຊງັ 13 l . ກ. ຖ້າລົດດື່ງັ ກາ່ ວຈະແລ່ນໃຫ້ໄດ້ 550 km. ຈະໃຊນ້ າໍ້ ມນັ ແອັດຊັງຈກັ ລດິ ? ຂ. ລົດຄນັ ດ່ືັງກ່າວຈະແລ່ນໄດ້ຈັກ km. ຖາ້ ໃຊ້ນາໍ້ ມັນແອດັ ຊັງໝດົ 85 l ? ( ຂ້ແໍ ນະນາ: ໃຫ້ສາ້ ງຕາຕະລາງ, ໃຫ້ຄດິ ໄລ່ ສາມວິທຄີ : ດວ້ ຍການຄນູ , ດວ້ ຍຕົວສາປະສິດ ແລະ ດ້ວຍ ຜນົ ຄູນໄຂວ່ ). 3. ມາດຕາສວ່ ນ ໃນຫົວໜ່ວຍວັດແທກທ່ີືກົງກັນ( ອັນດຽວກັນ ), ຖາ້ ຂະໜາດຂອງທກຸ ໆພາກສ່ວນ ທີ່ືກົງກນັ ໃນຮູບແຕມ້ ແລະ ວັດຖຸຈງິ ຫາກເປັນອັດຕາສວ່ ນພວົ ພັນກັນ. ອັດຕາສ່ວນທື່ເີ ປັນຂະໜາດຂອງຮູບແຕມ້ ແມນ່ ຈານວນພູດ ແລະ ຂະໜາດຂອງວັດຖຸຈິງ ແມ່ນ ພູດແລ້ວຄັດຈ້ອນ, ເລກສວ່ ນທ່ີືໄດ້ມາ ເອ້ີໍນວາ່ ມາດຕາສ່ວນລະຫວ່າງຮູບແຕ້ມກັບ ຕວົ ຈິງ. ຖ້າເຮາົ ການດົ L ແມນ່ ລວງຍາວຂອງວດັ ຖຸຈິງ ແລະ l ແມ່ນລວງຍາວຂອງຂອງຮູບແຕມ້ ທ່ືີກບັ ລວງຍາວ L ໃນວັດຖຸຈງິ ໂດຍທຫ່ືີ ົວໜ່ວຍວດັ ແທກ ແມ່ນອັນດຽວກັນ, M ແມນ່ ມາດຕາສວ່ ນ. ເຮາົ ມີສູດຄດິ ໄລແ່ ມ່ນ M l L  ໝາຍເຫດ - ຖາ້ ຫາກມາດຕາສວ່ ນໃດ ຫາກນອ້ ຍກວາ່ 1 ເອໍີນ້ ວາ່ ມາດຕາສ່ວນຫຍໍ້ - ຖ້າຫາກມາດຕາສ່ວນໃດ ຫາກຫຼາຍກວາ່ 1 ເອີນ້ໍ ວາ່ ມາດຕາສ່ວນຂະຫຍາຍ. ຕົວຢ່າງ 1 ຖາ້ ໄລຍະທາງແຕວ່ ຽງຈັນເຖງິ ປາກຊັນເທາົ່ື ກັບ 15 cm ຢໃູ່ ນແຜນທ.ືີ່ ຖາມວາ່ ໄລຍະທາງຕົວ ຈງິ ມີເທົ່ືາໃດ? ໃຊມ້ າດຕາສ່ວນຂອງແຜນທແ່ີື ມນ່ 1 1000 000 ວທິ ແີ ກ້: ອງີ ຕາມການພົວພັນ M l  L l LM ແທນຄ່າໃສ່ L  15  15 1000 000 1 1000 000 15000 000 cm 150 km ຕອບ: ໄລຍະຕົວຈິງແຕ່ວຽງຈນັ ເຖີງປາກຊນັ ເທ່ົາື 150 km 4. ການຄດິ ໄລສ່ ວ່ ນຮອ້ ຍ ຄາວາ່ ສ່ວນຮ້ອຍ ໝາຍຄວາມວາ່ ຕ່ຮື ້ອຍ ຫໃຼ ນຮ້ອຍເຊນ່ັື ຮອ້ ຍລະ 5 ກື່ໝາຍຄວາມວ່າ ຈານວນ ທັງໜດົ ແບ່ງເປນັ ຮອ້ ຍສວ່ ນແຕ່ຕອ້ ງການພຽງແຕ່ 5 ສວ່ ນ ເພ່ນືີ ໃຊເ້ ຄ່ອື ງມາຍ % ເຊັນື່ ຮ້ອຍລະ 5 ຂຽນ ຫຍໍ້ 5% - ຫຼຸດ 5 ສວ່ ນຮອ້ ຍ ໝາຍເຖີງ ເວລາເຮາົ ຊີ້ໍ 100 ກີບ ຈະໄດ້ຈ່າຍພຽງແຕ່ 95 ກບີ ຈາ່ ຍ ໜ້ອຍກວາ່ 5 ກີບ. - ຫຼຸດ 5 ສວ່ ນຮອ້ ຍ ຂຽນຫຍໍ້ 5% 8

- ເພີືມ່ 5 ສວ່ ນຮອ້ ຍໝາຍເຖີງເວລາຊ້ໍ 100 ກບີ ເຮາົ ຈະໄດ້ຈ່າຍ 105 ກບີ ຈາ່ ຍຫາຼ ຍກວ່າ 5 ກີບ. 4.1 ຊອກຫາສວ່ ນຮ້ອຍເມອ່ື ຮຈູ້ ານວນໜງື່ຶ ຕວົ ຢາ່ ງ: ທາ້ ວຄາພອນມີເງີນ 800ກີບ, ລາວເອົາໄປຊ້ປໍີ ໍມຶ້ ໝດົ 400ກບີ . ຖາມວ່າລາວຊ້ໍປຶມ້ໍ ຄດິ ເປັນເທ່ືົາໃດເປເີ ຊັນ ( % )? ວທິ ແີ ກ:້ ໃຫ້ x ແມນ່ ເປີເຊນັ ທ່ືີທ້າວ ຄາພອນຊໍ້ປມໍ້ຶ . 800 ກບີ 100% 400 ກບີ x x  400 100 800 x  50 % ຕອບ: ທ້າວ ຄາພອນ ຊ້ໍປໍ້ຶມ 50%ຂອງຈານວນເງິນທັງໝົດ 4.2 ການຊອກຫາຈານວນໜຶ່ືງເມອື່ ຮສູ້ ວ່ ນຮອ້ ຍ ຕວົ ຢ່າງ: ນກັ ຮຽນຫ້ອງໜືຶ່ງມີ 40 ຄົນ, ໃນນ້ັໍນມີນັກຮຽນຊາຍ 45% ຖາມວາ່ ນັກຮຽນ ຫອ້ ງນັໍ້ນມນີ ກັ ຮຽນຊາຍຈັກຄນົ ? ວິທີແກ້ : ໃຫ້ x ແມນ່ ເປເີ ຊນັ ຈານວນນກັ ຮຽນຊາຍ. 100% 40 45 % x x  40 45 100 x  180  18 10 ຕອບ: ຈານວນນກັ ຮຽນຊາຍໃນຫ້ອງນັ້ນໍ ມີ 18 ຄົນ  ວຽກມອບໝາຍ 1. ມໝີ າກຫຸງ່ ສຸກ 55% ຂອງໝາກຫຸງ່ ທັງໝົດຢູ່ໃນເຂັໍ້ງ, ຖາ້ ໃນເຂງ້ໍັ ມີໝາກຫ່ງຸ ທັງໝດົ 180 ໝວ່ ຍ. ຖາມວ່າ: ໝາກຫຸງ່ ສຸກມີຈກັ ໜວ່ ຍ? 2. ໂຮງຮຽນແຫງ່ ໜ່ຶງື ມນີ ັກຮຽນ 120 ຄນົ ເຊ່ງືີ ໃນນັໍ້ນເທື່ົາກັບ 60% ຂອງຈານວນນັກຮຽນທັງໝົດ. ຖາມວາ່ ໃນໂຮງຮຽນແຫ່ງນໍ້ັນມີນກັ ຮຽນທງັ ໝໍົ້ດເທົື່າໃດ? 3. ເຍາົ ວະຊົນກອງຮອ້ ຍໜືຶ່ງມຈີ ານວນພົນ 90 ນ້ອງ, ຈານວນຜຊູ້ າຍມີ 36 ນ້ອງ. ຈົືງ່ ຄິດໄລເ່ ປເີ ຊັນ ເຍາົ ວະຊົນຊາຍມີເທ່າືົ ໃດ? 4. ເສ້ອໍ ຜນໜງື່ຶ ຕິດລາຄາ 25.000 ກບີ , ຜຂູ້ າຍຫຼຸດລາຄາ 7.500 ກບີ . ຖາມວາ່ ຜ້ຂູ າຍຫຼຸດລາຄາຈັກ ເປີເຊນັ ? 5. ປຶ້ມໍ ຫວົ ໜງື່ຶ ລາຄາ 3000 ກບີ , ຜູ້ຂາຍຫຼຸດລາຄາ 12%. ຖາມວາ່ ຜ້ຂູ າຍຫຼຸດລາຄາຈັກກີບ ແລະ ຂາຍ ຕົວຈິງຈກັ ກບີ ? 6. ເສອໍ້ ຜນໜຶື່ງຕິດລາຄາ 25.000 ກີບ, ຜູ້ຂາຍຫຼຸດລາຄາ 7.500 ກີບ. ຖາມວ່າ ຜຂູ້ າຍຈະໄດຈ້ ະໄດ້ຮັບ ເງິນ ຈກັ ເປເີ ຊັນ ຖ້າໄດ້ຂາຍເສ້ໍອຜນນັໍ້ນ ? 9

7. ທ້າວ ຄາແດງໄດ້ຊ້ໍລົດຖີບໜືງ່ຶ ຄັນ ລາຄາເຕັມແມນ່ 750 000 ກບີ ແຕພ່ ່ຄື ້າ( ຜູຂ້ າຍ) ໄດຫ້ ຼຸດ ລາຄາໃຫ້ລາວ 5%. ຖາມວາ່ ລາວຈະໄດ້ຈ່າຍເງິນຊໍ້ລົດຖີບຄນັ ນນໍ້ັ ລາຄາເທົ່ືາໃດ? 10

ບົດທີ 2 ເລຂາຄະນດິ ໜ້າພຽງ ແລະ ກາງຫາວ 1. ຮູບຈະຕຸລດັ ແລະ ຮູບສແ່ືີ ຈສາກ 1.1 ຮູບສແີ່ື ຈສາກ 1.1.1. ນິຍາມ ຮູບສີື່ແຈສາກແມນ່ ຮບູ ສີື່ແຈຂ້າງຂະໜານເຊື່ງີ ທຸກໆມູມລ້ວນແຕ່ເປນັ ມມູ ສາກ AB D C 1.1.2 ຄນຸ ລກັ ສະນະ - ສອງເສໍ້ັນເນັ່ືງຈອມມີລວງຍາວເທືົາ່ ກນັ . I A AC= BD ແລະ OA=OB=OC=OD B K O - ວົງມົນທີມ່ື ີເມດັ ໃຈກາງ ແລະ ລັກສະໜີ D L OA ຜາ່ ນຈອມ A , B.C ແລະ D J ວົງມົນດັືງ່ ກ່າວ ເປັນວົງມນົ ແນບຮບູ ສືແ່ີ ຈ C ສາກ ABCD ຮູບສືີແ່ ຈສາກມີສອງແກນເຄີງ່ື ຄ IJ ແລະ KL ເຊື່ີງແມນ່ ເສ້ໍັນກາງສາກຂອງສອງຂາ້ ງເຊງ່ືີ ໜ້າກນັ , ທງັ ສອງ ແກນຕໍັ້ງສາກກັນ ແລະ ຕັດກນັ ຢູ່ເມດັ ດຽວກັບເມດັ ຕັດຂອງສອງເສໍັ້ນເນັງື່ ຈອມ. IJ ຕ້ໍງັ ສາກກັບ KL, OI=OJ ແລະ OK=OL 1.1.3 ເນອໍ້ ທື່ີ ແລະ ລວງຮອບ AB d b Da C ໃຫ້ a ແມນ່ ລວງຍາວ, b ແມນ່ ລວງກວ້າງ P ແມນ່ ລວງຮອບ, S ແມນ່ ເນໍ້ອທື່ີ ເພອຶ່ື ຊອກຫາລວງຮອບຂອງຮບູ ສີື່ແຈສາກ ເຮາົ ເອາົ ລວງຍາວບວກລວງກວາ້ ງແລວ້ ຄູນກບັ 2 ເຮົາໄດສ້ ູດ p  2 a  b 11

ເພືອ່ ຊອກຫາເນອໍ້ ທື່ີຂອງຮບູ ສ່ືີແຈສາກເຮາົ ເອົາລວງຍາວຄນູ ກັບລວງກວາ້ ງ ເຮົາໄດ້ s  a  b ຕວົ ຢາ່ ງ1: ສ່ວນຕອນໜຶ່ງື ເປນັ ຮບູ ສ່ືີແຈສາກ ລວງຍາວແທກໄດ້ 50 m ແລະ ລວງກວ້າງແທກໄດ້ 30 m. ຈງ່ືົ ຊອກຫາເນ້ອໍ ທ່ືຂີ ອງສວ່ ນຕອນດັືງ່ ກາ່ ວ.? ວິທແີ ກ:້ ສັງເກດຈາກບົດເລກເຮາົ ສາມາດຄດິ ໄລ່ເນ້ອໍ ທື່ດີ ງ່ືັ ລມຸ່ ນໍີ້ ເຮົາມີ: a  30 m ແມນ່ ລວງກວ້າງ b  50 m ແມ່ນລວງຍາວ b ຈາກສູດ s  a  b ຈະໄດ້ s  3050 1500 m2 ດືງ່ັ ນນ້ໍັ , ເນອ້ໍ ທ່ືີ s 1500 m2 ຕົວຢາ່ ງ2: ໃຫຮ້ ບູ ສີ່ືແຈສາກທື່ມີ ີລວງຮອບເທົື່າ 40 cm. ຈງື່ົ ຊອກຫາລວງຍາວ ແລະ ລວງກວ້າງດືັ່ງລຸ່ມນໍ້ີ: ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມີ p  40 cm b  x2 a  x8 ຈາກສດູ p  2a  b ຈະໄດ້ 40  2x 8 x  2 40  2x 10  2x  20 10  x  10  5 cm 22 x  5cm ເຮົາຈະໄດ້ a  5  2  7 cm  a  7 cm ແລະ b  13  8  13  b  13 cm ດໍ້ັງນໍັນ້ , ລວງຍາວເທ່ືົາ 13 cm ແລະ ລວງກວາ້ ງເທື່າົ 7 cm . 12

1.2 ຮູບຈະຕຸລດັ 1.2.1. ນິຍາມ: ຮູບຈະຕຸລດັ ແມ່ນ ຮູບສ່ີືແຈສາກເຊີງື່ ຂ້າງທງັ ສີື່ລ້ວນແຕ່ມລີ ວງຍາວເທ່າືົ ກັນ. ຕົວຢາ່ ງ: ຖ້າວ່າ ABCD ແມນ່ ຮູບຈະຕຸລດັ ເຮົາໄດ້ : AB=BC=CD=DA AB a D C a B 1.2.2. ຄນຸ ລກັ ສະນະ AI K L O D JC - ສອງເສໍ້ັນເນ່ືງັ ຈອມຕັໍ້ງສາກກນັ ແລະ ມລິ ວງຍາວເທົື່າກນັ . ( AC) ( BD ) ແລະ AC=BD, OA=OB=OC=OD - ມີສື່ີ ແກນເຄິີື່ງຄແມນ່ ສອງເສໍ້ນັ ດນ່ັືງຈອມ ແລະ ສອງເສັນໍ້ ກາງສາກຂອງຂາ້ ງເຊືີງ່ ໜ້າ. ( AC ) ,( BD ) , ( IJ ) , ( KL ) ແມ່ນ ມີແກນເຄື່ງີ ຄຂອງຮບູ ຈະຕຸລັດ - ມສີ ູນກາງເຄິ່ືງຄຢເູ່ ມັດຕດັ ກັນຂອງສອງເສນ້ັໍ ເນ່ືັງຈອມ ແລະ ສອງເສ້ັໍນກາງສາກ ຂອງຂ້າງເຊີື່ງໜ້າ ກັນ ໝາຍຄວາມວາ່ O ແມນ່ ແກນເຄີື່ິງຄຂອງພວກມັ 1.2.3. ສດູ ຄິດໄລເ່ ນໍອ້ ທ່ີື ແລະ ລວງຮອບຂອງຮບູ ຈະຕລຸ ັດ A B ໃຫ້ a ແມ່ນລວງຍາວຂອງຂ້າງ S ແມ່ນ ເນອ້ໍ ທື່ີ P ແມນ່ ລວງຮອບ a ສູດຄິດໄລ່ເນໍ້ອທ່ີື s  a  a  a2 D C ສດູ ຄິດໄລ່ລວງຮອບ p  a  a  a  a  4a a ຕວົ ຢາ່ ງ 3: ຮູບຈະຕຸລັດໜງ່ຶື ທີື່ມີຂ້າງ 5 cm ຈງ່ົື ຊອກຫາ ເນໍ້ອທ່ືີ ແລະ ລວງຮອບຂອງຮບູ ຈະຕຸລດັ ດ່ືັງກ່າວ. ວທິ ແີ ກ້ ເຮາົ ມີ: a= 5 cm 13

ສູດເນ້ອໍ ທ:ື່ີ s  a  a  a2 5m s  5  5  25cm2 s  25cm2 ສດູ ຄິດໄລ່ລວງຮອບ: p  a  a  a  a  4a ຈະໄດ້ p  4  4  4  4  20cm ຫຼ p  4  5  20 cm ດ່ງັື ນ້ນໍັ . s  25cm2 ແລະ p  20 cm ຕວົ ຢາ່ ງ4: ໃຫຮ້ ູບຈະຕຸລດັ ໜງ່ຶື ທື່ີມີ ເນອ້ໍ ທ່ືີ ເທົື່າກບັ 49 cm 2 . ຈງື່ົ ຄດິ ໄລຂ່ າ້ ງ ແລະ ເສ້ນັໍ ເນ້ໍງັ ຈອ້ ມ. ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມີ: s  49cm2 d s  aສດູ ເນໍອ້ ທື່ີ: 2 ຈະໄດ້ 49  a 2  a 2  49  a 2  49  7cm a  7 cm a ເຮົາສາມາດຊອກເສໍ້ນັ ເນືັ່ງຈ້ອມໄດ້ດງັື່ ນີ້ໍ: ເຮົາມ:ີ d 2  a2  a2  2a2  d 2  272  d 2  2.72 d  7 2 cm ດັື່ງນັ້ນໍ , ເຮາົ ໄດ້ a  7 cm ແລະ d  7 2 cm 2. ຮູບສາມແຈ ແລະ ຮບູ ສຂີ່ື ້າງຂະໜານ ກ. ຮູບສາມແຈທວື່ົ ໄປ 2.1 ຮູບສາມແຈ - ສາມຂ້າງຂອງມັນບ່ືເທົາກນັ 2.1.1 ຮບູ ສາມແຈຊະນດິ ຕາ່ ງໆ - ສາມມມູ ຕາ່ ງກນັ A B -C A ຂ. ຮູບສາມແຈທຽ່ ງ - ສອງຂ້າງເທືົ່າກັນ ແລະ ສອງມູມພ້ໍນເທົ່ືາກນັ AB=AC ແລະ ABC=ACB B ຮບູ ສາມແຈທ່ຽງມໜີ ງ່ຶື ແກນເຄ່ືິງຄີ C D 14

A ຄ. ຮູບສາມແຈສະເໝີ L M - ສາມຂ້າງເທືົ່າກນັ ແລະ ສາມມມູ ເທົາ່ື ກັນ AB=AC=BC ແລະ ˆ  ˆ  Cˆ B C - ຮບູ ສາມແຈສະເໝມີ ສີ າມແກນເຄີງ່ື ຄ ( AK ), ( BM ), ( CL ) ແມນ່ ສາມເສັໍ້ນແບງ່ ເຄ່ືີງມູມຂອງຮູບສາມແຈ ABC k ງ. ຮບູ ສາມແຈສາກ B ຮູບສາມແຈທີ່ມື ີໜ່ືງຶ ມມູ ສາກເອ້ີນໍ ວ່າ: ຮູບສາມແຈສາກ ˆ  90 -ຂ້າງກງົ ໜ້າກັບມູມສາກ ເອີໍນ້ ວ່າ: ຂ້າງກົງສາກ A C ສ່ວນສອງຂ້າງຕິດແປະເອໍ້ີນວ່າ: ຂ້າງມູມສາກ BC ແມນ່ ຂ້າງກົງສາກ, AB ແລະ AC ແມ່ນສອງຂາ້ ງມູມສາກ. - ຮູບສາມແຈສາກທືມີ່ ສີ ອງຂ້າງມມູ ສາກເທົາື່ ກນັ ເອນໍ້ີ ວ່າ ຮູບສາມແຈສາກທຽ່ ງ. - ສອງມູມແຫມຼ ຂອງຮູບສາມແຈສາກທ່ຽງມຄີ ່າວັດແທກເທົ່າື ກັນ ˆ  Cˆ 2.1.2 ລວງຮອບແລະເນອ້ໍ ທ່ີຂື ອງຮບູ ສາມແຈ. ລວງຮອບຂອງຮູບສາມແຈເທົື່າກບັ ຜົນບວກສາມຂ້າງຂອງຮູບນນໍັ້ A ຮູບສາມແຈ ABC , ໃຫ້ p ແມນ່ ລວງຮອບ ເຮາົ ໄດ້ p  AB  BC  AC C B ເນ້ໍອທີຂ່ື ອງຮູບສາມແຈສາກເທາົື່ ລວງຍາວຂອງພນ້ໍ ຄູນກບັ ລວງສງູ ແລ້ວຫານໃຫ້ 2 A ເນອ້ໍ ທຂື່ີ ອງຮບູ ສາມແຈສາກ ສູດການນາໃຊ້: s  BC  AB 2 ຫຼ s  a  b B C2 h ຮບູ ສາມແຈທວ່ືົ ໄປ b b ແມ່ນພ້ນໍ h ແມນ່ ລວງສູງ 15

s ແມ່ນເນໍ້ອທ່ືີ s  bh 2 ຕົວຢາ່ ງ5: ໃຫຮ້ ບູ ສາມແຈ ABC ທ່ືີມເີ ນໍ້ອທແື່ີ ມນ່ 60 cm2 , BC= 15 cm. ຈົືງ່ ຊອກຫາ: - ລວງສູງ AH ຂອງຮບູ ສາມແຈດ່ງັື ກາ່ ວ. - ເນ້ອໍ ທ່ືີຂອງ MBC ,ຮູ້ວ່າ M ເປັນເມັດເຄ່ິືງກາງຂອງ AH. ວທິ ແີ ກ:້ A ເຮົາມີ S  60 cm2 BC= 15 cm AM = MH M - ຊອກຫາລວງສູງ AH B ຈາກສດູ ເນໍ້ອທ່ືີ s  BC  AH H 2 60  15  AH  120  15  AH  AH 120  8cm C2 15 ເຮົາໄດ້ລວງສູງຂອງຮູບ ABC ແມ່ນ AH  8 cm . - ຊອກເນ້ໍອທີືຮ່ ບູ MBC ຈາກຮູບສາມແຈ MBC ຈະໄດ້ S  BC  MH ( 1 ). 2 - ຊອກ MH ຈະໄດ້ AH  AM  MH ເຊິ່ືງວາ່ : AM  MH AH  2MH  MH  AH  8  4cm 22 ເຮົາໄດ້ MH  4 cm .ແທນໃສ່ (1 ) ຈະໄດ້ S  BC  MH  15  4 30 cm2 22 ດງື່ັ ນັໍ້ນ, ເນໍ້ອທື່ີຂອງຮູບ MBC ແມນ່ 30cm2 . ຕວົ ຢາ່ ງ6: ໃຫຮ້ ບູ ສາມແຈສະເໝທີ ມ່ືີ ຂີ າ້ ງເທ່ົາື 5 cm ,ລວງສູງເທາ່ືົ 4 cm. ຈືງ່ົ ຊອກຫາເນໍ້ອທື່ີ ແລະລວງຮອບ ຂອງຮູບສາມແຈດ່ງືັ ກາ່ ວ. ວິທແີ ກ:້ ຮວູ້ ່າ: h= 4 cm , a= 5 cm a - ຊອກຫາເນໍ້ອທື່ີ s = ? ສູດ s  BC  AB - 2 h s  5 4  20  10 cm2 22 ຈະໄດ້ s  10 cm2 - ຊອກຫາລວງຮອບ p= .? ຈະໄດ້ p  a  a  a  5  5  5  15 cm p  15 cm 16

2.2 ຮບູ ສແ່ີື ຈຂາ້ ງຂະໜານ 2.2.1 ນຍິ າມ : ຮູບສ່ືີແຈຂາ້ ງຂະໜານແມ່ນ ຮູບສ່ືີແຈທື່ມີ ຂີ າ້ ງເຊ່ງີື ໜ້າຂະໜານແລະເທົ່າື ກນັ ຕາມແຕ່ລະຄູ່ A B ຖ້າວາ່ ABCD ແມນ່ ຮບູ ສີ່ືແຈຂາ້ ງ ຂະໜານເຮົາໄດ້ AB // CD ແລະ AD // BC D 2.2.2 ຄຸນລັກສະນະ C A B ກ. ສອງເສນໍັ້ ເນງັື່ ຈອມຂອງຮບູ ສືີ່ແຈຂ້າງຂະໜານ ຕັດ ກນັ ຢ່ເູ ມດັ ເຄ່ືີງກາງຂອງແຕ່ລະເສັ້ໍນ. O ຕວົ ຢ່າງ: ໃນຮບູ ສີແື່ ຈຂ້າງຂະໝານ ABCD, ເສນ້ັໍ ເນ່ືັງ D C ຈອມ AC ແລະ BD ຕດັ ກນັ ຢເູ່ ມັດ O A B ເຮາົ ໄດ້ OA=OC ແລະ OB=OD o ຂ. ສອງຂ້າງເຊ່ືີງໜາ້ ເທ່ືາົ ກັນ ແລະ ຂະໜານກັນຕາມແຕ່ລະຄູ່ ຕວົ ຢ່າງ: ຖ້າ ABCD ແມນ່ ຮູບສືີແ່ ຈຂ້າງຂະໜານເຮົາໄດ:້ DC AB=DC ແລະ AD=BC A B ຄ. ມມູ ເຊ່ງືີ ໜາ້ ກັນເທືາ່ົ ກັນຕາມແຕລ່ ະຄ.ູ່ D C ຕວົ ຢາ່ ງ: ຖາ້ ABCD ແມ່ນຮູບສີືແ່ ຈຂາ້ ງຂະໜານເຮົາໄດ:້ ˆ  Cˆ ແລະ ˆ  Dˆ 2.2.3 ເນໍອ້ ທື່ີ ແລະ ລວງຮອບ ຫ້ S ແມນ່ ເນອໍ້ ທ່ືີ A P ແມ່ນ ລວງຮອບ a ແມ່ນລວງຍາວຂອງພໍ້ນ, b C b ແມ່ນລວງກວ້າງ h h ແມນ່ ລວງສູງ. D Ha - ລວງຍາວຂອງຮບູ ສແີື່ ຈຂາ້ ງຂະໜານເທາ່ົື ຜນົ ບວກຂອງສືຂີ່ າ້ ງ p  a  b  a  b  2a  2b  2a  b p  2a  b - ເນ້ໍອທຂືີ່ ອງຮູບສແືີ່ ຈຂາ້ ງຂະໜານເທາົື່ ລວງຍາວຂອງພ້ນໍ ຄູນກບັ ລວງສງູ s  ah 17

ຕວົ ຢາ່ ງ7 ໃນຮູບສ່ີືແຈຂ້າງຂະໜານ ABCD ເຊ່ິງື AB= 20 cm , AD= 10 cm ແລະ AH= 5 cm. ຈ່ືົງຊອກຫາເນໍອ້ ທື່ີ ແລະ ລວງຮອບຂອງຮູບສ່ີືແຈຂາ້ ງຂະໜານດັ່ືງກ້າວ. ວທິ ແີ ກ:້ A D B ເຮາົ ມີ: AB = DC = a = 20 cm , AD= 10 cm ແລະ AH= h = 5 cm ຈາກສດູ : s  a  h HC ເຊງ່ີື a ແມ່ນລວງຍາວຂອງຂາ້ ງພນໍ້ , h ແມ່ນລວງສງູ ຈະໄດ້ເນໍ້ອທື່ີ s  20500cm2  s  100 cm2 - ຊອກຫາລວງຮອບ: p  20  10  20  10  60 cm  p  60 cm ດງ່ັື ນ້ນໍັ ເນໍ້ອທື່ີຂອງຮບູ ສ່ີືແຈຂາ້ ງຂະໜານແມ່ນ: 100 cm2 ແລະ ລວງຮອບແມນ່ 60 cm . ຕົວຢາ່ ງ8 ໃຫ້ຮູບສ່ືີແຈຂາ້ ງຂະໜານໜື່ຶງທ່ືີມີ ເນອ້ໍ ທເີ່ື ທົາ່ື 50cm2 ,ຮູ້ວາ່ ລວງສງູ ເທ່າືົ 5cm . ຈົືງ່ ຊອກຫາລວງຍາວ. ວທິ ແີ ກ:້ ຮູ້ວາ່ h = 5 cm , s 50 cm2 - ຊອກຫາລວງຍາວ a s  a  hຈາກສດູ ເນໍ້ອທ່ືີ ຈະໄດ້ 50  a  5  a  50  10 cm  a 10 cm 5 ດັ່ືງນໍ້ນັ , ລວງຍາວແມ່ນ: 10 cm 3. ຮູບດອກຈນັ 3.1 ນຍິ າມ ຮູບດອກຈນັ ແມນ່ ຮູບສື່ແີ ຈຂາ້ ງຂະໜານເຊງີ່ື ທງັ ສືຂ່ີ ້າງລວ້ ນແຕ່ມລີ ວງຍາວເທາົ ກນັ A ຕວົ ຢາ່ ງ: ຖາ້ ວ່າ ABCD ແມ່ນຮບູ ດອກຈນັ ເຮາົ ໄດ້ AB=BC=CD=DA DB C 18

3.2 ຄນຸ ລກັ ສະນະ A 21 - ສອງເສໍນ້ັ ເນື່ັງຈອມຕັ້ໍງສາກກນັ ( AC)  ( BD ) D1 1 - ສອງເສນ້ັໍ ເນ່ືັງຈອມເປັນເສໍ້ນັ ແບ່ງເຄິື່ງມມູ 2 2 B ˆ 1  ˆ 2  Cˆ1  Cˆ2 ແລະ ˆ 1  ˆ 2  Dˆ1  Dˆ2 21 - ມສີ ອງແກນເຄິ່ືງຄເຊີງ່ື ແມນ່ ສອງເສັໍ້ນເນງັື່ ຈອມຂອງມັນ ( AC) ແລະ (BD) C 3. ສດູ ຄດິ ໄລເ່ ນອໍ້ ທ່ືີ ແລະ ລວງຮອບ A ສດູ ການນາໃຊ:້ s  AC  BD 2 P  AB  BC  CD  AD D B AC ແມ່ນ ເສ້ໍນັ ເນື່ັງຈອມ BD ແມ່ນ ເສ້ໍນັ ເນ່ັືງຈອມ S ແມ່ນ ເນ້ໍອທ່ືີ C P ແມນ່ ລວງຮອບ ຕົວຢາ່ ງ9: ໃຫຮ້ ບູ ດອກຈັນ ABCD ,ຮູ້ວາ່ ເສນ້ໍັ ເນໍ້ັນເນືງ່ັ ຈອມ AC= 20 cm ແລະ BD= 12 cm. ຈົງ່ື ຊອກຫາເນໍອ້ ທື່ີຂອງຮບູ ດອກຈັນດັືງ່ ກ່າວ. ວທິ ແີ ກ:້ AC= 20 cm ແລະ BD= 12 cm. ຈາກສູດ s  AC  BD 2 ຈະໄດ້ s  AC  BD  20 12  120 cm2 22 ດືງັ່ ນ້ນໍັ ,ເນໍ້ອທ່ືີຂອງຮູບດອກຈັນແມ່ນ:120 cm2 4. ຮບູ ວງົ ມນົ ນິຍາມ ຖາ້ ເມັດ A ປືີ່ນອ້ອມເມັດ O ໂດຍຮັກສາໄລຍະຫ່າງຈາກສະເໝຈີ າກເມດັ O. ເສນັ້ໍ ທາງທື່ີ A ເຄ່ືອນທື່ເີ ອໍ້ີນວ່າ ວງົ ມນົ - ເມດັ ເອໍີນ້ ວ່າເມັດໃຈກາງ O - ໄລຍະແຕ່ O ຫາ A ເອໍ້ີນວາ່ ລັດສະໝ.ີ ສນັ ຍາລັກດວ້ ຍຕົວອກັ ສອນ r , r  oA A ແມນ່ ເນ້ອໍ ທື່ີ C ແມນ່ ລວງຮອບ O r ແມນ່ ລັດສະໝີ d ແມນ່ ເສ້ັນໍ ຜາໃຈກາງ ເຊີືງ່ ວາ່ : d  2r 19

ເຮາົ ໄດ້ A .r2 ເຊິງື່ ວ່າ:  3.14 C  2 .r ຕົວຢາ່ ງ10: ຈງ່ືົ ຄິດໄລ່ລວງຮອບ ແລະ ເນ້ອໍ ທ່ືຂີ ອງຮບູ ວງົ ມນົ ໜືງ່ຶ ທ່ືມີ ີເສ້ໍນັ ຜາ່ ໃຈກາງເທ່າືົ 12 cm. ວທິ ແີ ກ:້ - ຊອກຫາລວງຮອບ C ອງີ ຕາມສດູ C  2 .r d=12Cm mM C  2 .r C  .d  12  3.14  37.68cm C  37.68cm -ຊອກຫາເນ້ໍອທ່ືີ A ອີງຕາມສດູ A .r2 A .r2  3.14  62  3.14  6  6  113.04cm2 A 113.04cm2 ດງັ່ື ນນໍັ້ , ເນ້ໍອທື່ີຂອງຮູບວງົ ມນົ ແມ່ນ 113.04 cm2 ລວງຮອບຂອງຮູບວົງມນົ ແມ່ນ 37.68 cm ຕົວຢາ່ ງ 11: ອ່າງນ້າໍ ພຸແຫ່ງໜຶື່ງເປັນຮູບວງົ ມົນມີເນ້ໍອທື່ີ 78,5 m. ຈືົ່ງຊອກຫາລດັ ສະໝີຂອງອາ່ ງດືັ່ງກ່າວແມນ່ ເທື່າົ ໃດ? ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມ:ີ A .r2 ຊອກຫາ r ອີງຕາມສດູ A .r2 78,5 3,14.r2  r2  78,5  25 3,14 r2  25  r  25  5 m r  5 m ລດັ ສະໝີຂອງອ່າງແມນ່ 5 m. 5. ຮບູ ຄາງໝູ ນິຍາມ: ຮບູ ສືແ່ີ ຈເຊງ່ືີ ຂາ້ ງຄໜູ ງ່ືຶ ຂອງມັນຂະໜານກັນເອນີໍ້ ວ່າ: ຮບູ ຄາງໝູ 1. ປະເພດຂອງຮບູ ຄາງໜູ ກ. ຮູບຄາງໝູທ່ືົວໄປ AB - ບື່ມີຂ້າງໃດເທ່າົື ກນັ - ບ່ືມມີ ມູ ໃດເປນັ ມູມສາກ DA C B ຂ. ຮູບຄາງໝທູ ຽ່ ງ - ສອງຂາ້ ງບຂ່ື ະໜານກນັ ເທ່ືົາກນັ AD=BC - ສອງມມູ ພໍ້ນເທ່ືົາກັນ Dˆ  Cˆ DC 20

ຄ. ຮູບຄາງໜູສາກ - ມໜີ ງ່ືຶ ມມູ ສາກ b ສູດການນາໃຊ:້ s  b  B h A B 2 h p  AB  BC  CD  AD B ແມ່ນພໍ້ນໃຫຍ່ b ແມນ່ ພ້ໍນນ້ອຍ D C B ຕົວຢາ່ ງ 12: ໃຫ້ຮບູ ຄາງໝູສາກ ດ່ັງື ຮູບລມຸ່ ນີໍ້: 810cm B A cm 4 cm C D 15 H cm ຈ່ືົງຊອກຫາຂາ້ ງ HC ແລະ ເນອ້ໍ ທື່ຂີ ອງຮູບ ຄາງໝູ ABCD. ວິທແີ ກ:້ ເຮົາມີ AB = 10 cm / AB=DH AD = BH = 4 cm CD = 15 cm ຊອກຫາ BH=? ຈະໄດ້ CD=DH+HC 15 = 10+HC ເຮົາໄດ້ຂ້າງ HC= 5 cm ຊອກເນອໍ້ ທື່ີ s  b  B h 2 ຈະໄດ້ s  10 15 4  25  2  50 cm2 2 ເຮາົ ໄດ້ ເນໍອ້ ທ່ືີຂອງຮູບຄາງໝູແມ່ນ: 50cm2 ຕົວຢາ່ ງ13: ໃຫ້ຮບູ ຄາງໝໜູ ື່ຶງທື່ີມພີ ໍນ້ ໃຫຍ່ເທາົ່ື 2 ເທືອ່ ຂອງພ້ໍນນ້ອຍ,ຮູ້ວ່າພນ້ໍ ນອ້ ຍເທ່າົື 8 cm. ແລະມີລວງສງູ ເທົື່າ 6 cm. ຈງ່ົື ຊອກຫາເນອ້ໍ ທື່ີ ຂອງຮບູ ດືັງ່ ກ່າວ. ວທິ ແີ ກ:້ b 21 h

ຮູ້ວາ່ : b= 8 cm h= 7 cm B=2b ( ພນໍ້ ໃຫຍ່ເທາ່ືົ 2 ເທອ່ື ຂອງພໍ້ນນ້ອຍ ) ຊອກຫາເນ້ອໍ ທື່ີ s ຈະໄດ້ພ້ນໍ ໃຫຍ່ B=2 x 8 =16 cm ຈາກສູດ: s  b  B h 2 ຈະໄດ້ s  8 16 6  24 3 72 cm2 2 s  72 cm2 ວຽກມອບໝາຍ 1. ເຈຍ້ ແຜນໜ່ືຶງເປັນຮູບຈະຕຸລັດມີລວງຮອບເທົ່ືາກບັ 20 cm.ຖາມວ່າຂ້າງໜືງ່ຶ ຂອງເຈ້ຍຍາວເທາົ່ື ໃດ? 2. ຜາ້ ຜນໜຶງ່ື ເປນັ ຮບູ ຈະຕຸລດັ ມີລວງຮອບເທື່າົ ກບັ 240 cm ຜາ້ ຜນນໍນັ້ ມເີ ນ້ອໍ ທື່ີຈກັ cm ? 3. ດນິ ຕອນໜືຶງ່ ເປັນຮບູ ສີ່ືແຈສາກ ເຊງື່ີ ມີລວງຍາວ 25 ແມັດ ແລະ ລວງກວາ້ ງ 14,5 ແມດັ , ດິນດັືງ່ ກ່າວນ້ນໍັ ໄດ້ແບ່ງອອກເປັນສອງຕອນເທົາ່ື ກນັ ຕາມເສນ້ໍັ ເນື່ັງຈອມ. ຈງ່ືົ ຊອກຫາເນ້ອໍ ທື່ີຂອງດນິ ແຕ່ລະ ຕອນມີເທ່າົື ໃດ? 4. ດນິ ຕອນໜ່ຶງື ເປັນຮບູ ສືີ່ແຈຂາ້ ງຂະໜານມເີ ນ້ໍອທື່ເີ ທ່ືົາກັບ 1600 cm ແລະລວງສູງເທື່ົາກບັ 20 cm. ຖາມ ວ່າລວງຍາວຂອງຂ້າງພໍນ້ ມເີ ທືົ່າໃດ? 5. ປ້າບວົ ຈັນມີດິນຕອນໜຶືງ່ ເປັນຮບູ ຄາງໝເູ ຊ່ີືງມຂີ ້າງພ້ໍນເທືົ່າກັບ 58 m ແລະ 42 m ສອງຂາ້ ງເນີໍງ້ ເທື່າົ ກບັ 36 m ແລະ 38 m, ລວງສງູ ເທາ່ືົ 34 m. ຈງົື່ ຊອກຫາລາວຮອບ ແລະ ເນ້ອໍ ທຂື່ີ ອງດນິ ຕອນນໍ້ນັ ? 6. ໃຫລ້ ວງຮອບຂອງຮູບວງົ ມນົ ໜ່ງຶື ເທືົ່າກັບ 40,82 cm. ຈືງ່ົ ຊອກຫາລວງຍາວຂອງລັດສະໝີຂອງສອງ ວົງມົນນໍນ້ັ ? 7. ຈົື່ງຊອກຫາພາກສວ່ ນທື່ີບື່ໃສ່ສີຂອງແຕ່ລະຮູບ 6. ເລຂາຄະນດິ ກາງຫາວ 1. ຮູບທລ່ື ຽ່ ມ 22

1.1 ນຍິ າມ ຮູບທລື່ ່ຽມແມນ່ ຮບູ ກອ້ ນທືີມ່ ສີ ອງໜ້າເປັນຮູບຫາຼ ຍແຈເທົື່າກັນ ແລະ ຂະໜານກັນເຊງື່ີ ເອ້ີໍນວ່າ: ພໍນ້ ໃນຮູບທລື່ ຽມ ABC.ABC - ABC ແລະ ABC ແມ່ນພນ້ໍ . A B C A - ABBA; BCCB ແລະ CAAC ແມນ່ ໜ້າຂາ້ ງ. - ລ່ຽມຂາ້ ງ AA  BB  CC ແມນ່ ລວງສງູ . BC - ສອງໜາ້ ທື່ຂີ ະໝານກັນຂອງຮບູ ທ່ືລ່ຽມແມນ່ ສອງຮູບຫາຼ ຍແຈເທ່າືົ ກນັ ແລະ ມີສອງຂ້າງທີ່ືຂະໝານກັນ ຕາມແຕລ່ ະຄູ່, ສອງໜາ້ ຂະໝານກັນດື່ັງກາ່ ວນ້ໍັນເອີ້ໍນວ່າ: ພໍນ້ ຂອງຮູບທື່ລຽ່ ມ. - ໜາ້ ທ່ືີເປນັ ຮບູ ສແ່ີື ຈສາກເຊງືີ່ ມຈີ ານວນໜ້າເທົື່າກບັ ຈານວນຂ້າງຂອງພໍ້ນເອໍ້ີນວ່າ: ໜ້າຂາ້ ງ ABBA; BCCB ແລະ CAAC ແມນ່ ໜາ້ ຂາ້ ງ. - ທຸກໆລຽ່ ມຂາ້ ງລວ້ ນແຕ່ມີລວງຍາວເທືົ່າກນັ ເຊ່ງີື ເອ້ີໍນວ່າ : ລວງສູງຂອງຮູບທືລ່ ຽ່ ມ (ລຽ່ ມ AA  BB  CC ) 1.2 ເນໍ້ອທື່ອີ ້ອມຂ້າງ ແລະ ເນໍ້ອທທ່ີື ັງໝົດ.  ເນໍ້ອທ່ອີື ້ອມຂາ້ ງຂອງຮູບທ່ລື ່ຽມເທົ່ືາລວງຮອບພ້ໍນຄູນກັບລວສູງ A  ph A ແມນ່ ເນໍ້ອທີອື່ ອ້ ມຂ້າງ p ແມ່ນ ລວງຮອບພ້ໍນ. h ແມນ່ ລວງສູງ  ເນອ້ໍ ທີ່ືທັງໝດົ ເທົາ່ື ເນ້ໍອທີືອ່ ້ອມຂ້າງບວກ ສອງເທືອ່ ເນໍ້ອທືີພ່ ້ໍນ Aທ ໝ = ph 2 B B ແມນ່ ເນອໍ້ ທພື່ີ ້ນໍ .  ບລມິ າດຂອງຮູບທ່ລື ່ຽມເທົື່າເນ້ອໍ ທີພື່ ນ້ໍ ຄນູ ກບັ ລວງສງູ . V  Bh ຕົວຢ່າງ: ຈ່ືົງຊອກຫາເນອໍ້ ທີ່ື ແລະ ບລມິ າດຄິດຂອງຮບູ ທລ່ື ່ຽມທີ່ືມພີ ໍນ້ ເປນັ ຮູບສາມແຈສະເໝີ ( ຫົວໜ່ວຍ ຊ່ືງັ ຕີ ແມດັ . 3 1. 3.3 1 ບດົ ແກ້: ອງີ ຕາມບົດເລກເຮາົ ມີ - ລວງຍາວຂ້າງພ້ນໍ a  3.3 cm - ລວງສງູ ຂອງພໍ້ນ h1  1.1 cm 23

- ລວງສູງຂອງຮູບທື່ h  3cm  ຊອກຫາເນ້ໍອທີື່ ແລະ ບລມິ າດ B  a  h1 2 - ຊອກຫາເນ້ອໍ ທ່ືພີ ້ນໍ  3.31.1  3.63 1.815 22 B 1.815 cm2 - ຊອກເນໍ້ອທ່ອີື ້ອມຂ້າງ ແລະ ເນໍ້ອທ່ືທີ ງັ ໝົດ. ອີງຕາມສູດ ເນ້ອໍ ທີື່ອ້ອມຂາ້ ງ A ph 3 3.33  29.7cm2 ເນໍ້ອທືທີ່ ງັ ໝົດ Aທ ໝ = ph 2 B  29.7 cm2  21.815 cm2  29.7  3.83  33.33cm2 ຊອກຫາບລິມາດ ອງີ ຕາມສູດ V  Bh 1.815 3 5.447 cm3 7. ຮູບກບັ ສາກ ແລະ ຮບູ ກອ້ ນສາກ  ນິຍາມ: ຮູບກັບສາກແມ່ນຮູບກ້ອນທືີ່ມີ 6 ໜາ້ ເຊ່ີືງແຕລ່ ະໜ້າເປັນຮູບສີ່ແື ຈສາກ, ໜາ້ ທເີ່ື ຊີື່ງກັນຂະໜານ ກັນ ແລະ ມຂີ ະໜາດເທືົ່າກນັ .  ຄນຸ ລກັ ສະນະຂອງຮູບກນັ ສາກ - ທງັ ສີໜື່ າ້ ຂ້າງທງັ ສ່ີື ແລະ ສອງພໍ້ນລ້ວນແຕ່ ເປັນຮູບສືແ່ີ ຈສາກ. - ລວງຍາວຂອງສາມລ່ຽມທີືອ່ ອກຈາກຈອມດຽວກັນເອນີໍ້ ວາ່ : ຂະໝາດຂອງຮູບກບັ ສາກນ້ັໍນແມ່ນ ລວງ ຍາວ, ລວງກວາ້ ງຂອງພ້ໍນ ແລະ ລວງສູງຂອງຮູບກບັ ສາກ. D’ C’ A’ B’ D C A B 24

- ຖາ້ ບັນດາສາມຂະໝາດຂອງຮູບກັບສາກເທ່ືົາກນັ ເອີ້ນໍ ວ່າ: ຮູບກ້ອນສາກ. A’ D’ C’ B’ D C A B 2.1 ເນ້ໍອທື່ອີ ອ້ ມຂ້າງ ແລະ ເນໍ້ອທທີ່ື ງັ ໝົດ. ກ. ເນ້ອໍ ທືອ່ີ ້ອມຂາ້ ງຂອງຮູບກບັ ສາກ ແລະ ຮບູ ກ້ອນສາກ. ນິຍາມ: ເນ້ໍອທືີອ່ ອ້ ມຂ້າງຂອງຮູບກບັ ສາກເທາົ່ື ຜົນບວກລະຫວ່າງເນ້ອໍ ທີື່ຂອງແຕລ່ ະໜາ້ ຂ້າງ. ຕາມນຍິ າມ: ເນໍ້ອທ່ືີອອ້ ມຂ້າງຂອງຮູບກບັ ສາກເທ່ືົາລວງຮອບພນ້ໍ ຄູນກບັ ລວງສູງ D’ C’ A’ B’ c Da b C A B ສູດຊອກຄິດໄລ່ເນ້ໍອທີ່ືອ້ອມຂ້າງຂອງຮູບກັບສາກ A = p h A ອຂ ແມ່ນເນ້ໍອທື່ີອ້ອມຂ້າງ p ແມນ່ ລວງຮອບພ້ໍນໃນນັນ້ໍ h ແມ່ນລວງສງູ ຂອງຮູບກບັ - ຖາ້ a,b , c ແມ່ນຂະໜາດຂອງຮບູ ກັບສາກ ເຮາົ ໄດ:້ A º¢ = 2a  bc -  ຖາ້ ສາມຂະໝາດຂອງຮູບກັບສາກເທາົື່ ກັນ ຮບູ ກບັ ສາກນ້ໍັນເອນໍີ້ ວາ່ : ຮບູ ກ້ອນສາກ ສດູ ຄິດໄລເ່ ນ້ອໍ ທີ່ືອ້ອມຂ້າງຂອງຮູບກບັ ສາກ A º¢ = 4a2 ຂ. ເນ້ອໍ ທີ່ທື ັງໝົດ  ເນອ້ໍ ທີື່ທງັ ໝົດຂອງຮູບກບັ ສາກ ເທືົາ່ ເນອ້ໍ ທືອ່ີ ອ້ ມຂາ້ ງບວກສອງເທືອ່ ຂອງເນໍ້ອທ່ພີື ນ້ໍ Aທ ໝ = ph 2 B B ແມນ່ ເນອ້ໍ ທພ່ືີ ້ນໍ . ຫຼ Aທ ໝ = 2a  bc  2ab  ເນໍອ້ ທທີ່ື ງັ ໝົດຂອງຮູບກອ້ ນສາກ Aທ ໝ = 6a2 1.2 ບລມິ າດຂອງຮູບກບັ ສາກ ແລະ ຮູບກອ້ ນສາກ. ບລິມາດຂອງຮູບກບັ ສາກໜ່ືຶງເທາ່ືົ ກບັ ຜົນຄູລະຫວ່າງສາມຂະໝາດຂອງມັນ. 25

ໃຫ້ຮູບກັບສາກ ABCD A' B'C' D' ເຊງື່ີ ມສີ າມຂະໝາດແມ່ນ ຂ້າງຍາວຂອງພໍ້ນ AB  a ຂາ້ ງກວ້າງຂອງພໍ້ນ BC  b ລຽ່ ມຂ້າງຫຼລວງສງູ AA' c - ເພື່ີນສັນຍາລັກດ້ວຍຕົວອັກສອນ V . ດັື່ງນ້ັໍນ, ບລິມາດຂອງຮູບກບັ ສາກແມ່ນ V  a  b  c D’ C’ A’ B’ c D b C a B A ບລິມາດຂອງຮູບກບັ ສາກເທົາື່ ກັບເນໍອ້ ທພື່ີ ໍນ້ ຄນູ ກັບລວງສງູ ຈາກ V  a  b  c ເຮາົ ຂຽນໄດ້ V  (a  b)  c ໃນນ້ັໍນ (a  b) ເທ່ືາົ ເນ້ໍອທືພ່ີ ້ໍນຂອງຮູບກັບສາກ ແລະ c - ແມນ່ ລວງສງູ ຂອງມນັ . ດື່ັງນນັ້ໍ , V  B h B ແມ່ນເນ້ອໍ ທີືພ່ ນໍ້ h ແມນ່ ລວງສງູ ຂອງຮບູ ກັບສາກ.  ບລິມາດຂອງຮູບກ້ອນສາກເທົື່າກາລັງສາມຂອງລ່ຽມ. ຍ້ອນຮູບກ້ອນສາກແມ່ນຮູບກັບສາກທື່ມີ ີສາມ ຂະໝາດເທື່າົ ກັບ a ; V  a3 ຕົວຢ່າງ : ເພນືີ່ ໃຫສ້ ອງອາ່ ງ ກ, ຂ ທ່ີມື ີຂະໝາດບັນຈຸເທືາ່ົ ກັນ. 6.4 cm 20 cm 12.5 cm 12.5 cm 12.5 cm 1. ອ່າງ ( ກ) ເປັນຮູບກັບສາກ. ຈງື່ົ ຊອກຫາບລມິ າດ. 2. ອ່າງ ( ຂ ) ເປັນຮບູ ທ່ືລ່ຽມທີືມ່ ພີ ໍ້ນເປນັ ຮບູ ສາມແຈ. ຈົ່ງື ຊອກຫາເນໍ້ອທ່ພີື ນໍ້ ຂອງອ່າງ ( ຂ ) ແລະ ລວງສງູ ຂອງພ້ໍນທື່ຕີ ໍັງ້ ສາກກັບຂ້າງພ້ໍນມລີ ວງຍາວເທ່ືົາກບັ 12, 5 cm. ບົດແກ້: 26

ອີງຕາມບົດເລກເຮາົ ມີ: ອາ່ ງ ( ກ )ມີຂະຂາດລມຸ່ ນີໍ້ a  12.5cm b  12.5cm c  6.4cm 1. ຄິດໄລບລິມາດຂອງອາ່ ງ ( ກ ) ອີງຕາມສູດ V  a  b  c  12.512.5 6.5  1000 cm3 2. ຄິດໄລ່ເນໍອ້ ທືີພ່ ້ໍນອ່າງ ( ຂ) ຮູວ້ ່າບລິມາດຂອງອ່າງ ( ກ ) ເທົ່າື ບລິມາດຂອງອ່າງ ( ຂ ) ຈາກສູດ V  B h ເຮາົ ຖອ້ ນໄດ້ h  V B 1000 50cm2 20 ຊອກຫາລວງສງູ ຂອງພ້ນໍ ຈາກສູດຄິດໄລເ່ ນໍ້ອທີຂື່ ອງຮູບສາມແຈ B  ah 2 ເຮາົ ຖອນໄດ້ h  2 B a  50  2 12.5 8cm ວຽກມອບໝາຍ: ຈື່ົງຄິດໄລ່ ເນໍອ້ ທີ່ອື ້ອມຂ້າງ, ເນ້ໍອທີ່ທື ງັ ໝດົ ແລະ ບລມິ າດຂອງຮບູ ຕາ່ ງໆລຸ່ມນີໍ້ຕາມຂະໝາດ ທືກີ່ ານດົ ໄວ.້ 4 cm 4cm 6 cm 4 cm 2 cm 5 cm 8. ຮູບທກ່ື ມົ ແລະ ຮບູ ຈວຍ 1. ຮູບທື່ກົມ ລດັ ສະໝີ ກ. ຄຸນລກັ ສະນະຮູບທືກ່ ົມ AA - ຮບູ ທ່ືກົມ ແມນ່ ຮູບທືມ່ີ ພີ ້ໍນເປນັ ຮູບແຜ່ນມນົ , ເສ້ໍນັ ໃຫກ້ າ ແກນ 27 ເນີດ(ລວງສູງ )

ທັງສອງພ້ນໍ ເປັນແຜ່ນມນົ ທືມີ່ ີລດັ ສະໝີເທື່ົາ A ກັນ ແລະ ຢູ່ໜາ້ ພຽງຂະໝານກັນ. - ເສນໍັ້ ໃຫ້ກາເນີດຕ້ງັໍ ສາກກບັ ພ້ນໍ AA  AO ເສ້ັໍນໃຫ້ກາເນີດແມ່ນລວງສງູ ຂອງຮບູ ທື່ກມົ . - ຮບູ ແຜ່ນມົນ 2 ຮບູ ທີມລີ ັດສະໝີເທາົື່ ກນັ ເຊ່ງີື ແມ່ນພໍ້ນ - ຮບູ ສແ່ີື ຈສາກ ແລະ ເນອ້ໍ ທືີ່ຂອງຮູບສືີ່ແຈສາກ ແມນ່ ເນໍ້ອທອ່ືີ ້ອມຂ້າງຂອງຮູບທ່ກື ມົ . 2. ຮບູ ຈວຍ. ກ. ຮກູ້ ່ຽວກບັ ຮູບຈວຍ ຮູບຈວຍອາດສາ້ ງຂໍຶ້ນໂດຍງາຍດາຍດ້ວຍຮບູ ສາມແຈສາກຮບູ ໜຶື່ງເຊັືນ່ : ຮູບສາມແຈສາກ OAS ປື່ນີ ອ້ອມຂາ້ ງມູມສາກ os ໄດຮ້ ອບໜືງຶ່ . s Ao - ໜາ້ ຕັດທ່ີືກາເນດີ sA ເອໍີ້ນວ່າ: ໜ້າອອ້ ມຂາ້ ງຂອງຮູບຈວຍທີມື່ ຈີ ອມ s. - ຂາ້ ງກງົ ສາກ sA ເອີນ້ໍ ວ່າ: ເສ້ໍນັ ໃຫກ້ າເນີດ - ຂ້າງມມູ ສາກ oA ໃຫກ້ າເນດີ ແຜນ່ ມົນໜຶື່ງເອີໍ້ນວາ່ : ຮູບຈວຍ. - ຂາ້ ງມູມສາກທ່ຄີື ງົ ທືີ່ທ່ືຍີ ັງເຫອຼ os ເອ້ໍີນວ່າ: ລວງສູງເຊງ່ີື os ຕ້ງໍັ ສາກກັບພໍ້ນຢູ່ໃຈກາງຂອງຮູບ. ຂ. ເນອ້ໍ ທອີ່ື ້ອມຂາ້ ງຂອງຮູບຈວຍ. ນິຍາມ: ເນໍ້ອທອ່ືີ ອ້ ມຂ້າງຂອງຮູບຈວຍເທົື່າເຄ່ືິງໜື່ຶງລວງຮອບພໍ້ນຄູນກບັ ເສໍັ້ນໃຫກ້ າເນດີ . 28

ບດົ ທີ 3 ການວດັ ແທກ 1. ຫວົ ໜວ່ ຍວັດແທກລວງຍາວ ການປຽ່ ນຫວົ ໜ່ວຍລວງຍາວໂດຍນາໃຊຕ້ າຕະລາງ  ການປຽ່ ນຫວົ ໜ່ວຍແຕຫ່ ວົ ໜວ່ ຍໃຫຍ່ ຫາ ຫວົ ໜວ່ ຍນອ້ ຍ ຫຼກັ ການ : ເຮາົ ຕອ້ ງວາງຈານວນທີື່ຫົວໜ່ວຍທ່ີືເຂົາໃຫມ້ າໃສ່ຫ້ອງໃຫຖ້ ກຕ້ອງເສຍກອ່ ນ, ຈາກ ນັໍ້ນຈ່ງຶື ປຽ່ ນໄປຫາຫ້ອງທ່ືເີ ຂາົ ຕ້ອງການ, ຖ້າມຕີ ົວເລກກື່ວາງໄປຕາມລາດບັ ຫ້ອງລະໜງຶື່ ຕົວເລກ, ຖາ້ ບ່ື ມີຕວົ ເລກ ກື່ຕມ່ື ເລກ 0 ໃສ່, ຈົນກວ່າຈະຮອດຫ້ອງທ່ືີຕ້ອງການຈງຶ່ື ພ. ຕວົ ຢາ່ ງ 3 m = ...........mm 2,5 km=...........m 20hm=...........m 0,76m=...........cm 29

km hm Dam m dm cm mm 3000 2500 2000 076 ປ່ຽນຫົວໜ່ວຍວັດແທກລວງຍາວ • 3 km 6 hm 2 m = ......... m • 6 km 8 hm 5 m = ......... m • 36720 m = ......... hm • 68201 m = ......... km • 3 hm 6 dam = ......... m • 9 hm 5 dam= ......... m • 35,72 hm = ......... km • 0,72 dm = ......... cm 2. ຫວົ ໜວ່ ຍວດັ ແທກກມວນສານ ການຊັືງ່ ມວນສານ ແລະ ການ ປຽ່ ນຫວົ ໜວ່ ຍມວນສານ  ເຄືອ່ ງຊືັ່ງປະເພດຕ່າງໆ ເຄອື່ ງຊືັ່ງທືໃ່ີ ຊ້ໃນການຊືັ່ງມວນສານຂອງວັດຖຸມີຫຼາຍຊະໜິດ, ແລະ ມີຄຸນນະສົມບັດໃນການສງ່ືັ ທແ່ີື ຕກ ຕ່າງກນັ , ສະນັໍ້ນເພນ່ືິ ຈືຶ່ງໃຊ້ງານເຄ່ືອງຊ່ືັງເຫຼືົ່ານ້ີໍເຂາົໍ້ ໃນວຽກງານທືີ່ແຕກຕ່າງກນັ , ເພນ່ືິ ເອນີ້ໍ ເຄອ່ື ງ ຊັື່ງເຫຼາ່ືົ ນ້ີໍວາ່ ຊິງ. ຊິງສອງຝາງສະໜດິ ແຂວນ ຊງິ ສອງຝາງມາດຕະຖານ ຊິງລຊມາດຕະຖານແບບຕງໍັ້ ຊງິ ຊັື່ງນາໍ້ ໜກັ ຂອງຄນົ 30

ການປຽ່ ນຫວົ ໜວ່ ຍມວນສານ ປ່ຽນຫວົ ໜ່ວຍໃຫເ້ ປັນເອກກຫະພາບກັນເພອ່ື ໃຫ້ການຄິດໄລ່ຖກຕ້ອງ ແລະ ຊັດເຈນ, ເຊື່ິງຫວົ ໜວ່ ຍ ມວນ ສານທມີື່ າດຕະຖານ ແລະ ໃຊໃ້ ນທືວ່ົ ໂລກແມນ່ : ກິໂລກະລຼາມ ( kg ), ເຮັກໂຕກະລາຼ ມ( hg ), ເດ ກາ ກະລາຼ ມ( dag ), ກະລາຼ ມ( g ), ເດຊີກະລຼາມ( dg ), ຊັງຕີກະລາຼ ມ( cg ), ມິລກີ ະລາຼ ມ( mg ), ຂດີ ຫຼ ກາ, ໂຕນ( T ), ແກ້ງຕານ( q ), ອຽນ ແລະ ອື່ນໆ. ການປຽ່ ນຫວົ ໜວ່ ຍມວນສານໂດຍນາໃຊຕ້ າຕະລາງ  ການປຽ່ ນຫວົ ໜວ່ ຍແຕ່ຫົວໜ່ວຍໃຫຍ່ ຫາ ຫວົ ໜ່ວຍນ້ອຍ ຫກັຼ ການ : ເຮົາຕ້ອງວາງຈານວນທືຫີ່ ົວໜວ່ ຍທີືເ່ ຂົາໃຫມ້ າໃສຫ່ ້ອງໃຫ້ຖກຕອງເສຍກ່ອນ, ຈາກ ນໍັນ້ ຈື່ຶງປ່ຽນໄປ ຫາຫອ້ ງທເ່ືີ ຂົາຕ້ອງການ, ຖາ້ ມີຕົວເລກກືວ່ າງໄປຕາມລາດັບຫ້ອງລະໜ່ືຶງຕົວເລກ, ຖ້າບ່ື ມຕີ ົວເລກກຕ່ືມເລກ 0 ໃສ່, ຈົນກວ່າຈະຮອດຫ້ອງທື່ຕີ ້ອງການຈ່ືຶງພ. ຕວົ ຢ່າງ 4g = ...........mg 2,5 kg=...........g 40hg=...........g 0,76g=...........cg 2, 5 T = ......... kg 0,24 T = ......... kg 23 q = ......... hg 0, 75 kg=...........g 0, 4g = ...........mg 2,40 hg=...........g T q  kg hg dag g dg cg mg 40 0 0 250 0 400 0 2500 240 07 6 31

2300 0  ການປ່ຽນຫົວໜວ່ ຍແຕ່ຫົວໜວ່ ຍນ້ອຍ ຫາ ຫວົ ໜ່ວຍໃຫຍ່ ຫຼັກການ : ເຮາົ ຕອ້ ງວາງຈານວນທືຫີ່ ົວໜ່ວຍທີ່ືເຂົາໃຫ້ມາໃສ່ຫ້ອງໃຫ້ຖກຕອງເສຍກອ່ ນ, ຈາກ ນັໍ້ນຈງຶື່ ປ່ຽນໄປ ຫາຫ້ອງທືເ່ີ ຂົາຕ້ອງການຫ້ອງທໃີື່ ຫຍກ່ ວ່າ, ຖ້າມຕີ ົວເລກກ່ືວາງໄປຕາມລາດບັ ຫ້ອງລະ ໜ່ືຶງຕົວເລກ, ຖາ້ ບືມ່ ີຕວົ ເລກກຕ່ືມເລກ 0 ໃສ່, ຈົນກວ່າຈະຮອດຫ້ອງທຕີ່ື ້ອງການຈ່ືຶງພ.ຈາກນໍັ້ນໝາຍ ຈຸດໃສຫ່ ຼງັ ຫ້ອງທ່ຕີື ້ອງການ.  ການປຽ່ ນຫວົ ໜວ່ ຍມວນສານໂດຍນາໃຊທ້ ະວຄີ ູນ ແລະ ອຸປະຄູນຂອງ ກາຼ ມ - ທະວຄີ ນູ ຂອງ g ໄດ້ແກຫ່ ວົ ໜ່ວຍທີື່ໃຫຍກ່ ວາ່ g ຄ kg, hg,dag... - ອປຸ ະຄູນຂອງ g ໄດ້ແກຫ່ ວົ ໜວ່ ຍທີື່ນອ້ ຍກວາ່ g ຄ dg, cg, mg... ທະວຄີ ູນຂອງ g 1 kg = 10hg = 100dag = 1000g 1hg = 10dag = 100g 1dag = 10g ອຸປະຄູນຂອງ g 1 g = 10dg = 100cg = 1000mg 1dg = 10cg = 100mg 1cg = 10mg ດງ່ືັ ນ້ໍັນເຮົາໄດ້ : 1 kg = 10hg = 100dag = 1.000g=10.000dg = 100.000cg = 1.000.000mg 1hg = 10dag = 100g=1.000dg = 10.000cg = 100.000mg 1dag = 10g=100dg = 1.000cg = 10.000mg ນອກຈາກນ້ໍັນເຮາົ ຍງັ ມີ : 1 kg = 10 ຂີດ 1 ຂດີ = 100g 1 T = 1000 kg 1 q = 100 kg  ການປ່ຽນຫົວໜ່ວຍແຕ່ຫົວໜວ່ ຍໃຫຍ່ ຫາ ຫົວໜວ່ ຍນ້ອຍໂດຍໃຊ້ອຸປະຄູນ ແລະ ທະວີຄູນ ຂອງ g ຫັຼກການ :ເຮົາເອົາຈານວນທໃື່ີ ຫມ້ າຄູນ ກບັ ອປຸ ະຄູນຂອງຫົວໜ່ວຍນນໍ້ັ . 7 g = ...........mg 1 g = 1.000mg ດືັ່ງນັໍ້ນ 7 x1000mg = 7.000 mg 4,8 kg=...........g 1 kg = 1.000g ດັ່ງື ນ້ໍັນ 4,8 x1.000g= 4.800g 45hg=...........g 1 hg = 100g ດງັ່ື ນັໍ້ນ 45 x100g = 4.500g 0,89 g =...........cg 1 g = 100cg ດງ່ັື ນໍ້ັນ 0,89 x100cg = 89cg 0,46 T =...........kg 32

1 T = 1000kg ດ່ືັງນ້ໍັນ 0,46 x1000kg = 460 kg  ການປ່ຽນຫວົ ໜ່ວຍແຕຫ່ ົວໜ່ວຍນ້ອຍ ຫາ ຫວົ ໜ່ວຍໃຫຍ່ ຫກຼັ ການ : ເຮາົ ເອາົ ຈານວນທ່ືີໃຫມ້ າຫານ ກັບ ທະວຄີ ູນຂອງຫົວໜ່ວຍນັໍ້ນ. ຕວົ ຢ່າງ 4577 mg = ...........kg ເຮາົ ຮູ້ : 1 kg = 1.000.000 ດື່ງັ ນໍັນ້ 4577÷ 1.000.000= 0,004577 kg 445 cg..........g ເຮາົ ຮູ້ : 1 g = 100cg ດ່ງັື ນ້ັນໍ 445 ÷ 100= 4,45g 78945 cg...........g ເຮົາຮູ້ : 1 g = 100cg ດງັ່ື ນໍ້ນັ 78945 ÷ 100= 789,45g 0,56g...........hg ເຮົາຮູ້ : 1 hg = 100g ດ່ງັື ນັ້ໍນ 0,56 ÷ 100= 0,0056 hg ບົດເລກ 1. 789 g........... ຂີດ 2. 23456 kg...........T 3. 89 ຂດີ ..........kg 4. 5,412 T =...........kg 5. 23 q =...........kg 6. 2,5 ຂດີ = ..........g 7. 6,7 kg = ......... ຂີດ 3. ຫວົ ໜວ່ ຍວັດແທກເນອ້ໍ ທີ່ື ການປ່ຽນຫົວໜ່ວຍວັດແທກເນອໍ້ ທ່ີື ຫົວໜວ່ ຍທມ່ືີ າດຕະຖານໄດແ້ ກ່ຫວົ ໜ່ວຍວັດແທກເນ້ໍອທ່ທືີ ືີ່ເພິນ່ື ການົດຄກັນ ແລະ ເທ່ືົາ ກນັ ທື່ົວໂລກ, ເຊືິ່ງໄດ້ແກ່: ມີລີຕາແມັດ (mm2), ຊງັ ຕີຕາແມດັ (cm2), ເດຊຕີ າແມັດ (dm2), ຕາແມັດ (m2), ເດກາຕາ ແມດັ (dam2), ເຮກັ ໂຕຣຕາແມດັ (hm2), ກໂິ ລຕາແມດັ (km2), ເຮັກຕາ(ha), ອາ(a), ຊັງຈາ (ca).... ການປຽ່ ນຫວົ ໜ່ວຍເນໍອ້ ທີືໂ່ ດຍນາໃຊ້ຕາຕະລາງ ການປ່ຽນຫວົ ໜວ່ ຍແຕຫ່ ົວໜວ່ ຍໃຫຍ່ ຫາ ຫົວໜ່ວຍນ້ອຍ • ຫຼກັ ການ : ເຮາົ ຕອ້ ງວາງຈານວນທື່ຫີ ົວໜວ່ ຍທເືີ່ ຂົາໃຫ້ມາໃສຫ່ ້ອງໃຫ້ຖກຕອງເສຍກອ່ ນ, ຈາກ ນນັໍ້ ຈື່ງຶ ປ່ຽນໄປຫາຫ້ອງທ່ເີື ຂົາຕ້ອງການ, ຖາ້ ມີຕວົ ເລກກື່ວາງໄປຕາມລາດບັ ຫ້ອງລະໜື່ຶງຕົວເລກ, ຖ້າບື່ ມຕີ ວົ ເລກ ກຕ່ມື ເລກ 0 ໃສ່, ຈນົ ກວ່າຈະຮອດຫອ້ ງທີື່ຕ້ອງການຈງືຶ່ ພ. ການປ່ຽນຫວົ ໜວ່ ຍແຕຫ່ ົວໜວ່ ຍນ້ອຍ ຫາ ຫົວໜ່ວຍໃຫຍ່ • ຫຼັກການ : ເຮົາຕອ້ ງວາງຈານວນທີືຫ່ ົວໜ່ວຍທເື່ີ ຂາົ ໃຫມ້ າໃສຫ່ ອ້ ງໃຫ້ຖກຕອງເສຍກ່ອນ, ຈາກ ນັໍນ້ ຈ່ືຶງ ປຽ່ ນໄປຫາຫ້ອງທ່ເືີ ຂົາຕ້ອງການຫອ້ ງທື່ີໃຫຍກ່ ວາ່ , ຖ້າມຕີ ົວເລກກ່ືວາງໄປຕາມລາດັບຫ້ອງລະ ໜື່ງຶ ຕົວ ເລກ, ຖ້າບື່ມຕີ ວົ ເລກກຕມື່ ເລກ 0 ໃສ່, ຈນົ ກວ່າຈະຮອດຫອ້ ງທີຕ່ື ້ອງການຈຶງ່ື ພ.ຈາກນ້ນັໍ ໝາຍ ຈຸດໃສ່ຫັງຼ ຫອ້ ງທືຕ່ີ ້ອງການ. ຕວົ ຢາ່ ງ 3m2 = ...........mm2 2,7 km2=...........m2 2,5 ha=...........m2 0,98m2=...........cm2 33

1. 4,2 m2 = …………….. d m2 2. 4,38 m2= …………….. d m2 3. 24 m2= …………….. mm2 4. 0,2484 m2 = …………….. c m2 5. 4,8620 m2 = …………….. d m2 6. 4325 cm2 = …………….. m2 7. 24 ha = …………….. m2 8. 4,3 m2 = …………….. c m2 9. 5324 m m2 = …………….. c m2 10. 5,8 ca = …………….. dm2 11. 6,8 a = …………….. m2 4. ຫົວໜວ່ ຍວດັ ແທກບລມິ າດ ການຄິດໄລ່ບລິມາດ ແລະ ການປ່ຽນຫວົ ໜວ່ ຍບລິມາດ ຫວົ ໜ່ວຍວດັ ແທກບລມິ າດທືເີ່ ພ່ືິນການດົ ຄກັນ ແລະ ເທາ່ົື ກນັ ທ່ືວົ ໂລກ, ເຊື່ິງໄດ້ແກ:່ mm3, cm3, dm3, m3, dam3,hm3, km3, kL, hL, daL, L, dL, cL, mL. ຕວົ ຢາ່ ງ 5m3 = ...........mm3 4,7 km3=...........m3 775 L=...........m3 0,98m3=...........cm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 5 000000000 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 ha a ca 34

4700000000 0, 7 7 5 0 980000 5. ຫວົ ໜວ່ ຍວດັ ແທກເວລາ 5.1. ຫວົ ໜວ່ ຍວັດແທກເວລາແມນ່ : ວນິ າທີ ສນັ ຍາລກັ ດ້ວຍ s ນາທີ ສນັ ຍາລັກດ້ວຍ mn ຊວ່ົື ໂມງ ສນັ ຍາລກັ ດ້ວຍ h ເຊີືງ່ 1 mn = 80 s 1 h = 60 mn = 3600 s 5.2. ການບວກຫວົ ໜວ່ ຍວດັ ແທກເວລາ ການບວກ ໂມງ, ນາທ,ີ ວນິ າທີ ເພື່ນີ ບວກເພນ່ີື ບວກສະເພາະແຕວ່ ິນາທີ ກັບ ວນິ າທ,ີ ນາທີບວກກັບນາທ,ີ ຊວົ ໂມງບວກກບັ ຊວ່ືົ ໂມງ. ຖາ້ ຜນົ ບວກຂອງວິນາທີຫາກພດີ ຫຼ ຫາຼ ຍກວ່າ 60 ວນິ າທເີ ພີນື່ ກຄິດໄລເ່ ປັນນາທີແລ້ວ ເອົາໄປບວກໃສນ່ າທ.ີ ຖ້າຜົນບວກຂອງນາທຫີ າກພດີ ຫຼ ຫາຼ ຍກວາ່ 60 ນາທີ ເພື່ນີ ກຄິດໄລເ່ ປັນຊົື່ວໂມງ ແລ້ວ ບວກໃສ່ຊ່ົວື ໂມງ. 5.3. ການລົບຫວົ ໜວ່ ຍວດັ ແທກເວລາ. ການລົບຫວົ ໜ່ວຍວັດແທກເວລາ ເພ່ືີນລົບ ວິນາທີກັບ ວນິ າທີ, ລບົ ນາທີ ກບັ ນາທີ ແລະ ລົບຊວົ ໂມງ ກັບ ຊວົື່ ໂມງ. ເມ່ືອວນິ າທີລົບວິນາທບີ ືໄ່ ດ້ ຕອ້ ງເອົາ 1 ນາທີ ຫຼ 60 ວິນາທີ ແລວ້ ເອົາໄປຕມ່ື ໃສ່ວນິ າທີ. ຖ້ານາທີລບົ ກນັ ບື່ໄດກ້ ຕອ້ ງເອົາອອກ 1 ຊ່ວືົ ໂມງຫຼ 60 ນາທແີ ລ້ວຈື່ິງເອາົ ໄປຕ່ືມໃສ່ນາທີ.  ວຽກມອບໝາຍ 1. ຈື່ງົ ປ່ຽນຫົວໜ່ວຍວັດແທກລມຸ ນ້ເີໍ ປນັ ຫົວໜ່ວຍທີກ່ື ານົດໃຫ້. ກ. ປ່ຽນເປນັ ນາທີ 35

1. 2ຊືົວ່ ໂມງ5 ນາທີ 2. 1 ຊົື່ວໂມງ 10 ນາທີ 3. 3600 ວນິ າທີ ຂ. ປ່ຽນເປນັ ວິນາທີ 1. 1 ນາທີ 15 ວິນາທີ 2. 1 ຊ່ວົື ໂມງ ຄ. ປ່ຽນເປນັ ຊວົື່ ໂມງ 1. 1. 3600 ວນິ າທີ 2. ຈົງ່ື ຄານວນເລກລມຸ່ ນໍີ້ 1. 843 m + 500 cm 2. 12546dm -12 cm 3. 215 cm – 45 mm =…………..mm 4. 25km + 4dam =……………dam 3. ຈົື່ງຄານວນເລກລມຸ່ ນໍີ້ 1. 2 m 2 + 3da m 2 + 5 m 2 = ………d m 2 . 2. 4C m 2 + 8 m m 2 + 2 d m 2 =…….. m m 2 . 3. 2.5 m 2 - 0.8 d m 2 = cm 2 4. ຈົື່ງຄານວນເລກລຸ່ມນໍ້ີ 1. 18 h 45 mn + 12 h 28 mn 2. 11h 30 mn – 8 h 45 mn 3. 9 h 30 mn - 5 h 25 mn 36 s . ບົດທີ 4 ເລກກຳລງັ 1. ນຍິ າມເລກກາລງັ ໃຫຈ້ ານວນ a ຕ່າງສນູ ແລະ ຈານວນຖ້ວນ n an  a  a  a  a ........ a ອ່ານວ່າ a ຂໍ້ນກາລັງ n ໃນນ້ັໍນ a ເອີໍ້ນວ່າ: ພ້ໍນ ແລະ n ເອນໍ້ີ ວາ່ : ຕົວກາລງັ . n ເທອ ຕົວຢ່າງ: 43  4 4 4  64 ( ອາ່ ນວາ່ 4 ຂໍນ້ ກາລງັ 3 ເທົືາ່ 64 )  53  5 5 5  125 2. ຄນຸ ລກັ ສະນະ ສາລບັ ທກຸ ໆຈານວນ a ແລະ b ຕາ່ ງສູນ, m ແລະ n ແມນ່ ຈານວນຖ້ວນສາພັດເຮົາຈະໄດ້: 36

 ຜົນຄນູ ຂອງເລກກາລງັ am  an  amn ຕົວຢາ່ ງ: 1. 52  53  523  55  3125 2. 23  24  25  2345  22 4 3. x5  x6  x7  x567  x18 4. xy 9  xy 10  xy 11   xy 91011  xy 30  ຜນົ ຫານຂອງເລກກາລັງ ເມອ່ື a  0 ເຮົາໄດ:້ am  amn ຖ້າ m  n an am  1 ຖາ້ m  n an anm am  amn  a0 1 ຖ້າ m  n an ຕົວຢ່າງ 45  453  42  16 1. 43 2. 73  85  97  97  85  73 96 82  74 96 85 74  976  1 743 9 1  9 77  ກາລງັ ຂອງກາລັງ  am n  amn ຕວົ ຢາ່ ງ 37

 1. 22 2  222  2. a4 5  a45  24  a20 16    3. xa1 2  x2 1a  xa12  x21a  x2a2  x22a  x2a222a  x2a222a  x4  ກາລັງຂອງຜົນຄູນ. a bn  an bn ຕົວຢາ່ ງ 1.4 52  42  52  16  25  400  2.  24  53 2   2 42  532   28  56  256  3125  800000  ກາລງັ ຂອງຜົນຫານ.  a n  an ເຊງີ່ື ວາ່ : b  0  b  bn ຕົວຢ່າງ  2 2  22  4 5 52 25 ບດົ ທີ 5 ສົມຜນົ ຂ້ໍັນໜງືຶ່ ທມີື່ ໜີ ງ່ືຶ ຕົວລບັ 1. ສມົ ຜົນ  ນິຍາມ ສມົ ຜົນ ແມນ່ ສະເໝຜີ ນົ ທບ່ີື ັນຈຸຕົວອັກສອນທ່ີືບື່ຮຄູ້ ່າ ແລະ ຕອບສະໜອງພຽງແຕ່ຄ່າໃດໜຶ່ງື ຂອງຕວົ ອກັ ສອນເທ່ືາົ ນ້ໍັນ, ສວ່ ນຕົວອກັ ສອນທື່ບີ ັນຈຸໃນສົມຜນົ ເພ່ິືນເອ້ນໍີ ວາ່ ຕົວລັບ.  ຮບູ ຮາ່ ງທວ່ືົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ຂ້ໍັນໜງ່ຶື ແມນ່ : ແມ່ນຕວົ ລບັ ແລະ ແມນ່ ສາປະສິດຂອງຕົວລັບ ( ) ແມ່ນສາປະສດິ ເອກະລາດ ໝາຍເຫດ: ການແກສ້ ມົ ຜນົ ແມ່ນການຊອກຫາຄາ່ ຕົວລັບ 38

ຕວົ ຢາ່ ງ:1 ຈື່ົງແກສ້ ມົ ຜົນລມຸ່ ນີໍ:້      ຕວົ ຢາ່ ງ:2 ຈື່ງົ ແກ້ສົມຜນົ ລມຸ່ ນ:ໍ້ີ    ວທິ ແີ ກ:້ ()  ກວດຄນດວ້ ຍການແທນ ໃສສ່ ົມຜນົ ( ) ເຮາົ ຈະໄດ້ () ສະແດງວ່າ ແມ່ນໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ  () () () ກວດຄນດ້ວຍການແທນ ໃສສ່ ົມຜົນ ( ) ເຮົາຈະໄດ້ ສະແດງວ່າ ແມ່ນໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ  () () () () () 6 ຄນູ ທັງສອງຟາກຂອງສົມຜນົ ກບັ 1 2 ເຮາົ ຈະໄດ້ 1 2x  1 6 22 39

ວິທີກວດຄນ: ເຮົາແທນຄ່າຂອງ ໃສສ່ ມົ ຜນົ ( ) ເຮາົ ຈະໄດ້  () ສະແດງວາ່ ແມ່ນໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ 2. ສມົ ຜົນອະປກົ ກະຕິ ( Irrational Equations ) 2.1 . ຄວາມໝາຍຂອງສມົ ຜນົ ອະປກົ ກະຕິ ສມົ ຜົນອະປົກກະຕິ ແມ່ນສມົ ຜົນທີ່ືຢູ່ໃນຮູບຮ່າງເລກຮາກ ຫຼ ແມນ່ ສົມຜນົ ທມ່ືີ ສີ ານວນ ຫຼ ຕາລາທີ່ບື ັນຈຸ ຕວົ ປ່ຽນ ເປນັ ຕົວລບັ ຂອງສົມຜົນອະປກົ ກະຕິ. 2.2 . ຮບູ ຮາ່ ງຂອງສມົ ຜົນອະປກົ ກະຕິ 2n f x  2n g x 2n f x  g x 2n1 f  x  g  x 2n1 f  x  2n1 g  x 3. ຄວາມເຂາົໍ້ ໃຈກຽ່ ວກບັ ສມົ ຜນົ ອະປກົ ກະຕິ ແລະ ສມົ ຜນົ ທຽບເທາືົ່ 3.1 . ຄວາມເຂາໍ້ົ ໃຈກຽ່ ວກບັ ສມົ ຜນົ ອະປກົ ກະຕິ ສມົ ຜົນອະປົກກະຕິ ແມນ່ ສມົ ຜນົ ທ່ືມີ ຮີ ູບຮ່າງດັ່ືງລຸ່ມນ້:ໍີ 2n f x  2n g x 2n f x  g x 2n1 f x  g x 2n1 f x  2n1 g x ເຊງືິ່ ໃນຕາລາ ( ) ແລະ ( ) ແມນ່ ສານວນ ຫຼ ຕາລາທີືບ່ ນັ ຈຸຕົວປຽ່ ນ ເປນັ ຕວົ ລບັ ຂອງສົມຜນົ ເພອ່ື ຢາກແກສ້ ມົ ຜນົ ໃນຮູບຮາ່ ງ ( ) ຫາ ( ) ຂ້າງເທງິ ພວກເຮາົ ຕ້ອງຊອກເຂດການົດໃຈຜົນຂອງສມົ ຜົນ ຫຼ ຊອກຫາສົມຜນົ ທຽບເທື່ົາໂດຍອີງຕາມຄຸນລັກສະນະຂອງເລກຮາກ ຫຼ ເວໍົ້າອີກຢາ່ ງໜງຶ່ື ວ່າ: ການແກ້ສມົ ຜົນນໍ້ີຕ້ອງ ໄດ້ຊອກພາຍໃຕເ້ ງື່ອນໄຂຂອງເລກຮາກທັງໝົດ. ເງື່ອນໄຂທໃ່ີື ຊ້ສາລັບການແກ້ສົມຜນົ ແຕ່ ( ) ຫາ ( ) ແມນ່ ອງີ ຕາມສົມຜົນທຽບເທົື່າລມຸ່ ນີ:້ໍ 1) ສມົ ຜນົ √ ( ) √ ( ) 40

ມສີ ມົ ຜນົ ທຽບເທາື່ົ ແມນ່ : { ( ) ( ) () () ໝາຍຄວາມວາ່ : ພວກເຮົາຈະໄດແ້ ກສ້ ົມຜນົ ( ) ( ) ຕາມເງອ່ື ນໄຂ ( ) ຫຼ ( ) ຕາມຄວາມເໝາະສມົ ໃນເຂດການົດ ຂອງໃຈຜົນທີື່ໃຫ້ມາ ເຊ່ງືິ ແມນ່ { ⁄ ( ) ຫຼ ( ) } ຕົວຢາ່ ງ1: √ √ ຈື່ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຕື່ໄປນໍີ:້ ວທິ ແີ ກ:້ ສມົ ຜນົ ທ່ໃືີ ຫມ້ າທຽບເທ່າືົ { {{ ຈາກສົມຜົນທໄ່ືີ ດ້ຮບັ ສາມາດສະຫຼຸບໄດ້ວາ່ : ມແີ ຕ່ ທ່ີນື ອນຢໃູ່ ນເງ່ືອນໄຂ { ⁄ } , ດັ່ງື ນໍ້ັນ: ໃຈຜົນຂອງສົມຜນົ ທ່ືີໃຫມ້ ານນັໍ້ ແມນ່ ຕົວຢາ່ ງ2: √ ຈືົ່ງແກສ້ ົມຜົນຕື່ໄປນ:້ໍີ √ ວິທແີ ກ:້ { { ສົມຜນົ ທືໃ່ີ ຫ້ມາທຽບເທ່າືົ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ ແມ່ນ {() () 2) ສມົ ຜນົ √ ( ) ( ) ທຽບເທາ່ືົ () ຕົວຢາ່ ງ1: ຈງື່ົ ແກສ້ ົມຜນົ ຕ່ືໄປນ:ີໍ້ √ ວິທແີ ກ:້ √ { ({ }) { () 41

{{ ຈາກຜົນທື່ໄີ ດຮ້ ັບເຫັນວ່າ ໃຈຜົນຂອງສົມຜນົ ທໃື່ີ ຫ້ມາແມ່ນ ເພາະວ່າ ຕວົ ຢາ່ ງ2: () ຈືົງ່ ແກ້ສົມຜົນຕ່ໄື ປນ້ີໍ: √ ວທິ ແີ ກ:້ () ເຮາົ ມສີ ມົ ຜນົ ທຽບເທ່ົາື { }) { { ( {⁄ { ດື່ັງນນັໍ້ , ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜົນແມນ່ : 3) ສມົ ຜົນ √ ( ) ( ) ທຽບເທາ່ົື ( ) ຕວົ ຢາ່ ງ1: ຈ່ົງື ແກ້ສົມຜນົ 3 x2  2x 3  x 1 ວິທແີ ກ:້ ( ) ສົມຜນົ ທ່ືໃີ ຫ້ມາທຽບເທ່າືົ ( )( ) ( ) ( )[( ) ( ) ] ( )( ) ເຮາົ ມ:ີ ແລະ ເຮາົ ມີ: ( ) ເຮາົ ມ:ີ 42

ດືັ່ງນັໍ້ນ, ໃຈຜົນຂອງສົມຜນົ ທືີ່ໃຫ້ມາແມ່ນ 4) ສມົ ຜົນ √ ( ) √ ( ) ທຽບເທາ່ືົ ( ) ( ) ຕວົ ຢາ່ ງ1: 3 x2 15  23 x 1 ຈງ່ືົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ວທິ ແີ ກ:້ () ເຮົາມ:ີ ສມົ ຜົນທຽບເທົື່າແມນ່ : ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜົນແມ່ນ: ແລະ ຕວົ ຢາ່ ງ2: √ ຈງ່ືົ ແກສ້ ມົ ຜົນ √ ວິທແີ ກ:້ ສົມຜນົ ທຽບເທືາ່ົ ແມ່ນ: ສງັ ເກດເຫັນວາ່ ສົມຜນົ ບືສ່ າມາດແກໄ້ ດ້ໃນກມຸ່ ຈານວນຈິງ, ດັ່ືງນໍັ້ນໃຈຜົນຂອງສົມຜົນທໃີື່ ຫມ້ າບ່ສື າມາດຊອກໄດ້ ຫຼ  ຄວາມເຂາໍົ້ ໃຈກຽ່ ວກບັ ສມົ ຜນົ ທຽບເທາ່ືົ ນຍິ າມ: ສອງສມົ ຜນົ ຈະທຽບເທ່ົາື ກນັ ກຕືເ່ ມ່ອື ສອງສົມຜົນດ່ງືັ ກາ່ ວ ມີກຸມ່ ໃຈຜົນດຽວກັນ. ຕວົ ຢາ່ ງ1: ຈງົ່ື ກວດເບ່ືິງວ່າສອງສມົ ຜົນຕືໄ່ ປນໍ້ີທຽບເທ່ົືາກນັ ຫຼ ບື່ ? ( ) ແລະ () ວທິ ແີ ກ:້ () () ສງັ ເກດເຫນັ ວ່າ ສົມຜົນທັງສອງມີໃຈຜົນດຽວກນັ ຄ: ອີງຕາມນຍິ າມເຫັນວາ່ ສອງສມົ ຜົນທຽບເທືົາ່ ກນັ . 43

ຕົວຢາ່ ງ2: ຈ່ືົງສັງເກດເບງືິ່ ວາ່ ສອງສມົ ຜົນຕື່ໄປນທ້ໍີ ຽບເທົາື່ ກນັ ຫຼ ບື່ ? ສົມຜົນ ( ) ແລະ () ວິທແີ ກ້ (1) o x  12 (2) 3 o ສງັ ເກດເຫນັ ວາ່ ສອງສມົ ຜົນ ( ) ແລະ ( ) ທຽບເທ່າົື ກນັ ຍອ້ ນວາ່ ສອງສມົ ຜົນນໍ້ລີ ້ວນແຕ່ມໃີ ຈຜົນ ອນັ ດຽວກນັ ຄ: 4. ລະບບົ ສມົ ຜນົ ຂນັໍ້ ໜງຶື່ ທມີື່ ສີ ອງຕວົ ລບັ 4.1. ນິຍາມ .ລະບົບສົມຜົນຂ້ນັໍ ໜຶື່ງທມ່ືີ ີສອງຕົວລັບແມ່ນສົມຜົນໜ່ງືຶ ທີມີສອງຕວົ ລັບສມົ ທົບເຂົໍາ້ ກັນແລ້ວກາຍ ເປນັ ລະບົບໜຶື່ງເອີໍ້ນວ່າ: ລະບົບສົມຜນົ ຂັນ້ໍ ໜຶື່ງທືມີ່ ີສອງຕວົ ລບັ . 4.2. ຮບູ ຮາ່ ງລວມ ແລະ ອງົ ປະກອບ ໃນລະບົບສົມຜົນຂັ້ໍນໜືຶ່ງທີື່ມີສອງຕົວລັບນ້ໍັນປະກອບດ້ວຍຂັ້ໍນໜງ່ຶື ທ່ີືມີສອງຕົວລັບໃນສົມຜົນນໍ້ັນ ເຊືນັ່ : ax  by  c L1 ເຊ່ິືງ a,b, c ແມ່ນຈານວນຈງິ ແລະ x, y ແມ່ນຕົວລັບ a' x  b' y  c' L2 ເຊ່ືິງ a', b', c' ແມ່ນຈານວນຈງິ ແລະ x, y ແມນ່ ຕວົ ລັບ ແລວ້ ນາເອົາສົມຜນົ ນໍັ້ນມາສມົ ທຽບໃສ່ກັນຈະກາຍເປັນລະບົບສົມຜົນໜຶ່ືງເຊິື່ງມີຮູບຮາ່ ງລວມດງັ່ື ນໍ້ີ: ຮູບຮ່າງລວມ: ax  by  c L1 a' x  b' y  c' L2 a, b, c.a', b', c' ແມ່ນຈານວນຈງິ ແລະ x, y ແມ່ນຕົວລບັ ຕວົ ຢາ່ ງຮບູ ຮາ່ ງຂອງລະບົບສົມຜນົ 5x  3y  17 L1 2x  3y  3 L1 3x  15 y  21 L1 2x  3y  11 L2 5x  7 y  8 L2 3x  2 y  4 L2 4.3. ວທິ ແີ ກລ້ ະບົບສມົ ຜົນຂນ້ໍັ ໜງ່ຶື ທມ່ີື ສີ ອງຕົວລັບ  ຮບູ ຮ່າງຂອງລະບົບສົມຜົນຂໍ້ັນໜ່ືງຶ ທື່ີມສີ ອງຕົວລັບ ax  by  c c' L1 a' x  b' y  L2  ໃນການແກ້ລະບົບສມົ ຜນົ ຂນ້ໍັ ໜ່ືຶງທີ່ືມີສອງຕົວລບັ ສາມາດດາເນີນໄດ້ 5 ວິທີເຊື່ັນ: ການແກ້ລະ 44

ບບົ ສມົ ຜນົ ແບບວທິ ປີ ຽບທຽບ, ວິທີແກ້ລະບົບສມົ ຜົນແບບບວກພຶດຊະຄະນິດ, ວທິ ີແກ້ແບບຄັດແທນ ວິທແີ ກແ້ ບບໃຊເ້ ສັນໍ້ ສະແດງ ແລະ ວິທີໃຊ້ຕົວການົດ.  ການແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ແບບວທິ ປີ ຽບທຽບ ax  by  c L1 ຖ້າວ່າລະບົບສມົ ຜນົ ຢູ່ໃນຮູບຮ່າງ a' x  b' y  c' L2 ແລ້ວສາມາດປັບປ່ຽນການປຽ່ ນແປງມາໄດ້ຮູບແບບຫຼມຮີ ູບ y  ax  by   y  a' x  b' y ເຮາົ ແກ້ສມົ ຜນົ ທ່ີມື ຕີ ວົ ລັບ x: ax+b=a’x+b’ ດ່ືງັ ນ້ໍັນ ເຮາົ ຈ່ືຶງໄດ້ແຝດໃຈຜົນ x; y ຕົວຢາ່ ງ: ຈົງື່ ແກລ້ ະບົບສມົ ຜນົ y  3x  4 L1 y  x  8 L2 ວິທີແກ:້ ເຮົາແກ້ສມົ ຜົນຂອງ x ເຮາົ ສາມາດເອົາ L1  L2 3x  4  x  8 ໝາຍຄວາມວາ່ 4x  12  x  3 ເຮົາແທນຄາ່ ຂອງ x ໃສສ່ ົມຜົນໃດໜຶື່ງ y  3x  4  3 3  4  9  4  5  ກວດຄນ x  3; y  5 ໃສ່ື y  3x  4 5  33 4 594 55  ກວດຄນ x  3; y  5 ໃສ່ y  x 8 5  3  8 55 ດັ່ືງນ້ໍັນ ແຝດ 3;5ແມ່ນໃຈຜົນຂອງລະບບົ ສມົ ຜົນ ເຮາົ ຂຽນລະອຽດດື່ັງນ້:ີໍ S  3;5  ການແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ດ້ວຍວທິ ບີ ວກພດຶ ຊະຄະນິດ ax  by  c L1 ຮູບຮ່າງລະບບົ ສມົ ຜົນ a' x  b' y  c' L2 ການແກລ້ ະບບົ ສົມຜົນຂ້ນັໍ ໜງືຶ່ ທ່ີມື ສີ ອງຕົວລບັ ດ້ວຍວທິ ບີ ວກພຶດຊະຄະນດິ ເຮາົ ຄວນປະຕິບັດດງັື່ ນໍ:ີ້ ຄັດຕົວລັບ x (ຫຼ y )ໂດຍການຄນູ ແຕ່ລະສົມຜົນກບັ ສ າປະສິດທີື່ໄດ້ຄັດເລອກແລ້ວ ເພື່ອເຮັດໃຫ້ສ າ ປະສິດຂອງ x (ຫຼ y ) ມຄີ ່າກງົ ກນັ ຂາ້ ມກັນແລ້ວບວກແຕ່ລະພາກຂອງສົມຜົນນາກັນ. ຕົວຢາ່ ງ1:ຈ່ງົື ແກ້ລະບບົ ສມົ ຜນົ ລມຸ່ ນີໍ້ດ້ວຍວທິ ີບວກພດຶ ຊະຄະນິດ 2x  3y  8 L1 8x  5y  2  0 L2 45

ວິທແີ ກ:້ ສ າປະສດິ ໃນສອງສມົ ຜນົ ບເື່ ປນັ ສ າປະສິດທື່ີງາ່ ຍດາຍ ແຕ່ກສາມາດນ າໃຊ້ວທິ ີບວກພຶດຊະ ຄະນິດເຂາໍ້ົ ໃນການແກ:້ ເພື່ອຄັດຕົວລັບ x ອອກ, ເຮາົ ຄນູ ສມົ ຜົນ L1 ດວ້ ຍ  4 ; ເຮາົ ໄດ:້  4  L1   8x 12 y  32 L2    2  8x  5y 17 y  34  y  2 ເພອ່ື ຄັດຕົວລັບ y ອອກ,ເຮາົ ຄນູ ສົມຜົນ L1 ດວ້ ຍ 5 ແລະ ສມົ ຜນົ L2 ດວ້ ຍ 3 ; ເຮາົ ໄດ້: 5 L1 10x 15y  40 3 L2 24x 15y  6 34x  34  x  1  ກວດຄນ x  1; y  2 ໃສ່ L1 2x  3y  8 2(1)  3(2)  8 268 88  ກວດຄນ x  1; y  2 ໃສ່ L2 8x  5y  2  0 8(1)  5(2)  2  0 8 10  2  0 10 10  0 00 ດັື່ງນັໍ້ນໃຈຜນົ ຂອງລະບົບສົມຜນົ ນີໍ້ແມນ່ S  1;2 ຕົວຢາ່ ງ2:ຈ່ງືົ ແກລ້ ະບບົ ສົມຜນົ ລຸ່ມນ້ີໍດ້ວຍວທິ ບີ ວກພດຶ ຊະຄະນດິ 5x  3y  17 L1 2x  3y  11 L2 ວທິ ແີ ກ:້ ສາປະສດິ ໃນສອງສມົ ຜນົ ເປັນສາປະສິດທືີ່ງາ່ ຍດາຍເຮາົ ສາມາດນ າໃຊ້ວິທບີ ວກພດຶ ຊະຄະນດິ ເຂົໍ້າໃນການແກ:້ ເພ່ືອຄັດຕົວລັບ y ອອກເຮາົ ບວກພາກຕື່ພາກ  5x  3y  17 L1 2x  3y  11 L2 7x  0 y  28 7x  28 x  28 7 x4 ເພ່ືອຄັດຕົວລັບ x ອອກ,ເຮົາຄນູ ສົມຜນົ L1 ດວ້ ຍ  2 ແລະ ສົມຜົນ L2 ດ້ວຍ 5 ; ເຮົາໄດ:້ 46