Logarithmen

Gymnasium / Realschule Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 10 I. AllgemeinesEine Gleichung höheren Grades wie z. B. x4 = 3kann nach x aufgelöst werden, indem man die Wurzel zieht. x4 = 3 ⇔ x = 4 3Tritt die Unbekannte x jedoch im Exponenten einer Potenz auf, spricht man von einerExponenzialgleichung, wie z. B. bei 3x = 5 .Jede Exponenzialgleichung ax = b mit a, b ∈ ℝ+ und a ≠ 1 besitzt genau eine Lösung.Für die Lösung dieser Exponenzialgleichungen, d. h. für den Wert x hat man den Namen:Logarithmus von b zur Basis a eingeführt (Die Buchstaben a bzw. b sind beliebig wählbar).Logarithmusdefinition: ax = b ⇔ x = loga b für a, b ∈ ℝ+; a ≠ 1 x ist der Logarithmus von b zur Basis a.Der Logarithmus loga b ist also nichts anderes als der Exponent in einer Exponenzialgleichung,statt ax = b könnte man auch aloga b = b schreiben.(loga b ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten)b ist die Zahl die zu logarithmieren ist, sie wird Numerus genannt.a ist die Basis (der Potenz ax ).Eine Anmerkung zur Schreibweise:Eigentlich müsste man loga (b) schreiben. Man kann die Klammer weglassen, wenn keineMissverständnisse aufkommen.z. B. loga b ⋅ c ist missverständlich, also muss hier loga (b ⋅ c) geschrieben werdenHinweise für das Rechnen mit Logarithmen:• Ist die Basis a größer als 1, dann gilt: ( )- für einen Numerus b größer als 1 ist der Logarithmus positiv; z. B. log2 8 = 3 23 = 8 ( )- für einen Numerus zwischen 0 und 1 ist der Logarithmus negativ; z. B. log2 0,125 = −3 2−3 = 0,125• Ist die Basis a kleiner als 1, dann gilt: ( )- für einen Numerus b größer als 1 ist der Logarithmus negativ; z. B. log0,5 4 = −2 0,5−2 = 4 ( )- für einen Numerus b zw. 0 und 1 ist der Logarithmus positiv; z. B. log0,5 0,25 = 2 0,52 = 0,25GM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 1 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium / Realschule Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 10 FormelsammlungRechengesetze für das LogarithmierenDie Rechengesetze haben für jedes Logarithmensystem Geltung; d. h. sie könnenimmer da angewendet werden, wo Logarithmen auf die gleiche Basis bezogen werden.Multiplizierenloga (b ⋅ c ) = loga b + loga c b, c ∈ ℝ+ Der Logarithmus einesloga (b1 ⋅ b2 ⋅...⋅ bn ) = loga b1 + loga b2 + ... + loga bn Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.Dividieren( )loga b = loga b − loga c Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der c Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner.Potenzieren Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Logarithmus der Basis und dem Exponenten.( )loga bc = c ⋅ loga bRadizierenloga n bm = m ⋅ loga b Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Produkt n aus dem Logarithmus des Radikanden und dem Wurzelexponenten.Radizieren ist kein eigenes Logarithmengesetz. Es handelt sich um Potenzieren mitrationalem Exponenten. (Rationale Zahlen sind die Menge aller Brüche der Form m/n)Sonderfälle und besondere Logarithmenlog a a = 1 log a 1 = 0 ( )log a an = n aloga b = blg 10 = 1 lg 1 = 0 lg(10n ) = n 10 lg b = bln e = 1 ln 1 = 0 ln(en ) = n log n a = 1lb 2 = 1 lb 1 = 0 lb(2n ) = n a n ( )loga 1 = −1 aloga b = logc b ⋅ loga c loga b = 1 a loga b = − loga c log 1 b = log a 1 log b c b a bGM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 2 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium / Realschule Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 10Vorzeichen und Logarithmensymbole log: - in deutschen Büchern Logarithmen zu einer beliebigen Basis - auf amerik. Taschenrechnern und Literatur Logarithmus zur Basis 10 lg: Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer, Briggscher oder Zehnerlogarithmus) ln: Logarithmus zur Basis e = 2,71828… (natürlicher Logarithmus) lb: Logarithmus zur Basis 2 (binärer oder dualer Logarithmus)Umrechnung von einem System in ein anderesBerechnung beliebiger Logarithmen (mit Taschenrechner)loga b = logx b = lg b = ln b mit x als beliebige Basis; logx a lg a ln a insbesondere x = 10 oder x = elog13 353 = lg 353 = ln 353 = 2,287... lg 13 ln 13Natürliche Logarithmen( )Basis 1 n 1 n h ( )e = lim n→∞ 1+ = lim 1+ h e = 2,718281828... (Eulersche Zahl) h→0loge ≙ ln ln a = x ⇔ a = exlg a = ln a = ln a ⋅ lg e ln 10lg e = 1 ln 10Beim Rechnen mit Logarithmen sei auf folgende Fehler hingewiesen: loga (b + c) ≠ loga b + loga c (loga (b + c) ist nicht weiter auflösbar ) loga (b − c ) ≠ loga b − loga c loga b + c ≠ loga (b + c ) ( )loga bn ≠ (loga b)n loga b ⋅ loga c ≠ loga (b ⋅ c )GM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 3 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium / Realschule Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 10 MusterlösungenAchtung: Bei allen Logarithmenrechnungen muß die Probe gemacht werden um Scheinlösungen zu erkennen. Die nachfolgenden Rechnungen wurden dahingehend überprüft, die Probe selbst wurde jedoch nicht mit dazugeschrieben.1. Lösungsverfahren: Logarithmusdefinition verwenden Voraussetzungen: Gleichung mit nur einem Logarithmus. Formel: loga b = x ⇔ ax = bBeispiele: Grundform: Quadratischer Numerus: log 5 x2 = 3 log 3 x = 4 x = 34 x2 = 53 x = 81 IxI = 53 IL = { ± 11,18...} IL = { 81} x = ±11,18... Numerus als Bruch: Faktor vor dem Logarithmus: log 3  9x 3  = 2 2 ⋅ log 27 x = 2 :2  4x −  3 32 = 9x log 27 x = 3 2 4x − 3 ⋅2 9(4x − 3) = 9x log 27 x = 1 3 36x − 27 = 9x 27x = 27 1 x =1 x = 27 3 IL = {1} x = 3 27 IL = { 3 } x=3GM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 4 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium / Realschule Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 102. Lösungsverfahren: Vergleich der Numeri Voraussetzungen: Formel: Logarithmusgleichung mit zwei Logarithmen loga b = loga c ⇒ b = c Wenn zwei Logarithmen gleiche Basis besitzen, sind auch ihre Numeri gleich. Die Formel ist auf Logarithmusgleichungen anwendbar die aus zwei Logarithmen bestehen, aber kein Absolutteil haben.Beispiele: Aufgabe ohne Scheinlösung: log 3 (3x − 5) = log 3 (2x + 3) 3x − 5 = 2x + 3 x=8 IL = { 8 } Aufgabe mit Scheinlösung: log 7 (4x + 5) = log 7 (3x) 4x + 5 = 3x Weil nach der Probe beide x = −5 Numeri negativ sind, ist die Gleichung nicht definiert. IL = { } - 5 ist damit keine Lösung. Faktor vor dem Logarithmus (mit Scheinlösung): 2 ⋅ log 4 (3x + 1) = log 4 (6x + 10) log 4 (3x + 1)2 = log 4 (6x + 10) (3x + 1)2 = 6x + 10 9x2 + 6x + 1 = 6x + 10 9x2 = 9 x2 = 1 Die Probe zeigt, daß nur +1 IxI = 1 eine Lösung ist, denn x = -1 x = ±1 führt zu einem negativen Numerus und damit zu einem IL = {1} undefinierten Logarithmus.GM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 5 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium / RealschuleLogarithmus - Übungsaufgaben Klasse 103. Lösungsverfahren: Vergleich der Exponenten Voraussetzungen: Logarithmus so umformbar daß gleiche Basen entstehen Beispiele: Einfache Aufgabe: log7 49 = x ← gleiche Basis, dann Exponentenvergleich möglich 7x = 49 7x = 72 x=2 log7 49 = 2 Schwierigere Aufgabe: log 5 25 = x ( )x 5 = 25 1 x = 52  52  x ← gleiche Basis, dann Exponentenvergleich möglich 52 = 52 x = 2 2 x=4 log 5 25 = 44. Lösungsverfahren: Logarithmengesetze anwenden Voraussetzungen: Formeln: mehr als zwei Logarithmen oder ein zusätzlicher Absolutteil loga (b ⋅ c ) = loga b + loga c ( )logab = loga b − loga c c ( )loga bx = x ⋅ loga bGM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 6 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium / Realschule Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 10Beispiele: Aufgabe mit Scheinlösung: log 2 (−x + 12) + log 2 (−2x) − 7 = 0 log 2 (−x + 12) ⋅ (−2x) − 7 = 0 ( )log 2 2x2 − 24x = 7 2x2 − 24x = 27 2x2 − 24x − 128 = 0 x2 − 12x − 64 = 0 x1/ 2 = 12 ± 122 − 4 ⋅1⋅ (−64) 2 ⋅1 x1/ 2 = 12 ± 20 2Die Probe ergibt, daß nur - 4eine Lösung ist, denn x = 16 x1 = 16, x2 = − 4führt zu einem negativenNumerus und damit zu einem IL = { − 4 }undefinierten Logarithmus. Aufgabe ohne Scheinlösung: log 2 8 (5x + 3) − log 2 (7x + 1) = 3 log 2 8(5x + 3) = 3 7x +1 8 (5x + 3) = 23 7x +1 8(5x + 3) = 8(7x + 1) 5x + 3 = 7x +1 −2x = −2 x =1 IL = {1}GM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 7 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium / Realschule Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 105. Lösungsverfahren: Logarithmenbasis wechseln Voraussetzungen: Logarithmen mit verschiedenen Basen Formeln: loga b = logx b = lg b = ln b logx a lg a ln aBeispiele: Aufgabe: log 3,5 8 = x Umformen in eine Potenzgleichung 3,5 x = 8 logarithmieren lg3,5 x = lg8 3. Logarithmengesetz x ⋅ lg3,5 = lg8 x = lg8 lg3,5 log 3,5 8 = lg8 lg 3, 5Wie kann eine Wurzel in eine Potenz umgewandelt werden? Ganz einfach!Der Radikand (der Term unter der Wurzel) ist die Basis der Potenz.Der Exponent der Potenz ist ein Bruch und setzt sich zusammen aus dem Wurzelexponenten(= Nenner) und dem Exponenten des Radikanden (= Zähler).Wenn der Radikand keinen Exponenten aufweist, dann ist der Wert 1.1. Beispiel: 5 = 2 51 = 1 52 52. Beispiel: 3 65 = 6 3( ) ( )3. Beispiel:a a 1 a 1 3z 3z 3z 5 5 =5 =  7xy3z 1   1 1 11   7xy3z  7xy3z  3 73 ⋅ x3 ⋅ y1 ⋅ z3 28b2 28b24. Beispiel: 3 = 3   = = 12   28b2 283 ⋅ b3GM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 8 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium / Realschule Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 10 II. Aufgaben1. Bestimme die Lösung der Exponenzialgleichung ohne Taschenrechnera) 2x = 32 b) 5x = 0,04c) 0,5x = 32 ( )d) 2 x 3 = 1,52. Berechne die Logarithmen ohne Taschenrechnera) log2 8 b) log5 125 c) log4 1( )d)log3 1 ( )e) 1 ( )f) log2 1 3 log10 10 32g) log1 0,25 h) log1 8 i) log100 1000 2 23. Berechne die Logarithmen ohne Taschenrechnera) loga a9 ( )b) loga a3 5 c) log2 3 2d) log1 a e) log0,1 4 10 f) log8  5 1   512  ag) log 5 h) log 7 64 i) log 1 9 0,125 5 2 84. Berechne die Logarithmen ohne Taschenrechnera) loga a b) loga 1 c) loga an e) loga 3 a5( )d)loga 1 f) log1 a2 a h) log 1 3 a5 ag) loga5  1  a2 a7 i) log a a35. Zerlege soweit wie möglich in Summanden ( )c)  ( )a) loga 5b2c3 b) loga  2c8  loga  2 p2 + q2 x   4bx2   x+y d) loga  x3 b 4 c  ( )e) loga 4 π r 3 f) loga  3u   d3e5  3  − w4    v4 3x2 y h) loga  m2 3 m2 n3  i) loga xloga xg) loga 2y2 x  m6 n   k) loga 5 5xy x + y l) loga 5 b3c m) loga 4 b 3 c d b2 − c2GM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 9 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium / Realschule Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 106. Fasse zusammena) log5 125 − log1 216 + log0,2 0,04 + 4 ⋅ log5 0,2 6b) 3 log4 0,25 + 2 log5 0,008 − 6 log0,011000( ) ( )c) 8 125 81 log3 5 27 + log2,25 27 + log3 27 − log3 16 5 27. Fasse zusammen und vereinfache weitgehendsta) loga 5 + loga 9b) loga 2,5 − loga 0,5c) 4 loga 2 + 2 loga 16( )d) loga b2 − c2 − loga (b + c )( )e) − loga 1 + −3 loga r r s3 2 loga r loga sf) 1 ⋅ log 9 7 + 1 ⋅ log 9 7−1 + 1 ⋅ log 9 81 2 2 4g) lg 6 − lg 3 − 2( )h) 2 ⋅ lg(x + 1) + 3 ⋅ lg(x −1) − 3 ⋅lg x2 − 1( )i) log5 (u ⋅ v) − log5 u2 ⋅ vk) lg 1 − lg 2 x xl) lg 2 − 3 lg 2 + 2 lg xm) 5 lg(x + 3) − 3 lg xn) 3 lg(x − 2) − 4(lg x + lg 2) − log2 16o) 5 lg(x + 2) − 0,2 lg(x − 2) − 4 lg(x + 2) − 0,8 lg(x − 2)GM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 10 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium / Realschule Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 108. Fasse zusammena) 2 lg a + 0,5 lg b + 3 lg c( )b)1 lg 1 lg(a b) 1  3 a + 3 − − 2 lg b + 3 lg 3 c) 1 lg 2 (a − 1) − lg 3 − lg (a + 1) 2d) 1 loga z3 − loga  z2  2  y ( )e) u2  u  2 loga u⋅v − 4 loga v2 0,5 loga   1 q ( )f)  2 p  p2 ⋅ q − 3 − − loga( )g) 4 − loga b ⋅ a4h) loga x + 19. Berechne - ohne Taschenrechner - und fasse zusammen a) loga2 a3 + loga2 a b) log a 5 a2 + log a 7 a3 c) log8 (−2)4 d) log1 (−81)−2 9 e) log4 27 5 9 f) log 1 4 2 32g) log5 81 3 3 34h) log 1  1  2  4⋅ 3  3 2GM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 11 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium / Realschule Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 1010. Löse nach x auf; mache ggf. die Probe!a) log4 (3x + 8) − log4 (x −1) = 2b) log3 ( x + 2) + log3 ( x + 4) = log3 7 (2x − 1)c) 2 loga x = loga 6 − 3 loga 2d) loga x = loga 7 + 1e) loga x2 − loga x + 2 = 0f) log2 3 x − 2 log2 x = 1 − 3 log2 x 2g) lg x2 = −16h) 2 lg x = −12i) 2 lg x = −12k)  1  lg  =3 xl) logx 2 + logx (x + 12) − 2 = 0m) logx ( x − 3,75) + 1 = 0n) log2 (log5 x) = 1o) log5 log4 (log3 x) = 0p) 1 log4 5x − 1 + 0,25 = 0 211. Berechne mit dem Taschenrechnera) log4 12 ( )b) log6 1 c) log5 3 28 d) log 1 3 3 612. Forme um in Logarithmen ab) log4 5 ac) log16 x a) zur Basis 8 bb) log0,1 7 bc) log3 2 aa) log2 3 cb) log3 27 cc) lg 100 b) zur Basis 10 ba) log2 10 c) zur Basis 2 ca) log8 4GM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 12 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de

Gymnasium / Realschule Logarithmus - Übungsaufgaben Klasse 1013. Löse folgende Gleichungen ohne Taschenrechnera) log1 9 = x b) loga2 5 a = x 3( )c) 1 2 1 5 54 log 8 5 = x d) log 3 16 = xe) logx 64 = 3 f) logx 2 = 7g) logx 256 = 8 h) log x = −5 3i) logx 1 = 4 k) log 1 x = 8 25 2l) log5 (4x −1) = −1 ( )m) log2 x2 −1 = 8( )n) log 3 2 x2 − 2 = 6 o) logx (x + 2) = 2p) logx 2(7,5 − x) = 2r) lg(x + 4) + lg x = lg21 q) log2 (x − 5) + log2 (x + 2) = 3 s) logx ( x + 12) + logx 2 = 214. Löse folgende Gleichungen nach x auf (wenn möglich ohne Taschenrechner)a) log2 x − log8 27 = 0b) log4 x + log 1 25 = 0 16c) log0,4 x = log6,25 3d) log6 x = log 23 6( )e) 15 loga ( x + 4) − log a x + 4 =0f) loga x2 − 4 − log2 16 = 0 mit a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2 ag) log9 (1+ log2 x) − log3 2 = 0h) lg x3 + 2 lg x2 = 5i) lg(2x) + lg(3x) + lg(4x) = 3k) 32 lg x = 12l) xlog 5 (5x) − 4 = 625GM_AU047 **** Lösungen 21 Seiten (GM_LU047) 13 (13) © www.mathe-physik-aufgaben.de