بحث الرياضيات الباب الأول

1

‫التبرير الاستقرائي والتخمين‬ ‫التبرير الاستقرائي ‪ :‬هو تبرير تستعمل فيه أمثلة محددة للوصول إلى نتيجة‪.‬‬ ‫التخمين ‪ :‬هو العبارة النهائية التي توصلت إليها باستعمال التبرير الاستقرائي‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اكتب تخمينًا يصف المتتابعة الآتية‪ ،‬لإيجاد الحد التالي فيها‬ ‫‪ )a‬مواعيد وصول الحافلات إلى محطة الركوب هي‪....،10:30،9:50،9:10 ،8:30 :‬‬ ‫الخطوة ‪ :1‬ابحث عن النمط‪ 10:3040 ،9:50 ،9:10 ،8:30.‬دقيقة بين كل من الأوقات السابقة‬ ‫الخطوة ‪ : 2‬ضع تخمينًا‪ :‬يزيد موعد وصول الحافلة ‪ 40‬دقيقة عن موعد وصول الحافلة التي‬ ‫سبقتها‬ ‫الخطوة ‪ :3‬جد الحد التالي‪:‬‬ ‫موعد وصول الحافلة التالية سوف يكون ‪10:30 + 40‬دقيقة = ‪11:10‬صبا ًحا وهو الحد التالي‬ ‫المثال المضاد ‪ :‬يستخدم لإثبات عدم صحة التخمين مثال معاكس(مضاد)‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫أعط مثالًا مضا ًدا يبين أن كلًا م التخمينات الآتية خاطئة‬ ‫‪)a‬إذا كان ‪ n‬عد ًدا حقيقيًا‪ ،‬فإن ‪n2 > n‬‬ ‫إذا كان ‪ n‬يساوي ‪ ،1‬فإن التخمين خاطئ؛ لأن‪ 12‬ليس أكبر من ‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫المنطق‬ ‫العبارة‪:‬هي جملة لها حالتان فقط إما صائبة (‪ )T‬أو خاطئة (‪.)F‬‬ ‫نفي العبارة(~)‪ :‬يفيد معنى مضادًا لمعنى العبارة‪ .‬وقيمة الصواب له هو عكس قيمة الصواب‬ ‫للعبارة الأصلية‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫أوجد قيم الصواب لعبارة الوصل الآتية‪:‬‬ ‫‪ :p‬المستطيل مثلث‪.‬‬ ‫‪ :q‬في الشكل ضلعان متطابقان‪.‬‬ ‫‪ :r‬جميع زوايا الشكل حادة‪.‬‬ ‫‪ p )a‬و‪r‬‬ ‫‪ P‬و‪ :r‬الشكل مثلث وجميع زواياه حادة‬ ‫العبارة ‪p‬صائبة‪ ،‬لكن العبارة ‪ r‬خاطئة‪ ،‬إذن عبارة الوصل ‪ p‬و‪ r‬خاطئة‪.‬‬ ‫مثال ‪:‬‬ ‫أوجد قيم الصواب لعبارة الفصل الآتية‪:‬‬ ‫‪ :p‬يناير من أشهر فصل الربيع‪.‬‬ ‫‪ :q‬عدد أيام أشهر يناير ‪ 30‬يو ًما فقط‪.‬‬ ‫‪ :r‬يناير أول أشهر السنة الميلادية‪.‬‬ ‫‪ q )a‬أو ‪r‬‬ ‫‪ q‬أو‪ :r‬عدد أيام شهر يناير ‪30‬يو ًما فقط أو يناير هو أول أشهر السنة الميلادية‪.‬‬ ‫‪ q‬أو‪ r‬لأن العبارة ‪ r‬صائبة‪ .‬وكون ‪ q‬خاطئة لا يؤثر‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫جداول الصواب ‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫أنشئ جدول صواب للعبارة ‪~p v q‬‬ ‫‪p q ~P ~p v q‬‬ ‫‪TTF‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪TFF‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪FTT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪FFT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫أنشئ جدول الصواب للعبارة ‪~ p ^ ~ q‬‬ ‫‪p q ~p ~q ~p ^ ~q‬‬ ‫‪TTFF‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪TFFT‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪FTTF‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪FFTT‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪4‬‬

‫العبارات الشرطية‬ ‫العبارة الشرطية ‪:‬هي عبارة يمكن كتابتها على صورة (إذا ‪ ....‬فإن ‪.)....‬‬ ‫الفرض ‪ :‬هو الجملة التي تلي كلمة (إذا) مباشرة‪.‬‬ ‫النتيجة ‪ :‬هو الجملة التي تلي كلمة (فإن) مباشرة‪.‬‬ ‫مثال ‪:‬‬ ‫حدد الفرض والنتيجة في كل من العبارات الشرطية الآتية‪:‬‬ ‫‪ )a‬إذا كان الطقس ماط ًرا‪ ،‬فسوف أستعمل المظلة‪.‬‬ ‫الفرض‪ :‬الطقس ماطر‪.‬‬ ‫النتيجة‪ :‬سوف أستعمل المظلة‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫حدد الفرض والنتيجة في العبارة الشرطية‪ ،‬ثم اكتبها على صورة (إذا‪ ....‬فإن‪:)....‬‬ ‫‪ )a‬الثدييات حيوانات من ذوات الدم الحار‪.‬‬ ‫الفرض‪ :‬الحيوان من الثدييات‪.‬‬ ‫النتيجة‪ :‬هو من ذوات الدم الحار‪.‬‬ ‫إذا كان الحيوان من الثدييات‪ ،‬فإنه من ذوات الدم الحار‪.‬‬ ‫جدول الصواب للعبارة الشرطية‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫العبارات الشرطية المرتبطة ‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫أوجد قيم الصواب للعبارة الشرطية‪ ،‬وعكسها ومعكوسها ومعاكسها الإيجابي ‪:‬‬ ‫العبارات المتكافئة منطقيًا ‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫العبارات الشرطية الثنائية‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اكتب العبارة الشرطية الثنائية الآتية على صورة عبارة شرطية وعكسها‪ ،‬ثم حدد إذا كانت‬ ‫العبارة الشرطية الثنائية صائبة أم خاطئة‪ ،‬وإذا خاطئة أعط مثالًا مضا ًدا‪:‬‬ ‫‪ )a‬تكون الزاوية قائمة إذا وفقط إذا كان قياسها ‪90°‬‬ ‫العبارة الشرطية‪ :‬إذا كانت الزاوية قائمة‪ ،‬فإن قياسها ‪90°‬‬ ‫العكس‪ :‬إذا كان قياس الزاوية ‪ ،90°‬فإنها زاوية قائمة‪.‬‬ ‫كل من العبارة الشرطية وعكسها صائبتان؛ إذن العبارة الشرطية الثنائية صائبة ‪.‬‬ ‫‪7‬‬

‫التبرير الاستنتاجي‬ ‫التبرير الاستنتاجي‪ :‬يستعمل حقائق وقواعد وتعريفات وخصائص من أجل الوصول إلى نتيجة‬ ‫منطقية من عبارات معطاة‪.‬‬ ‫التبرير الاستقرائي‪ :‬يستعمل أنماط من الأمثلة والمشاهدات لعمل تخمين‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫حدد إذا كانت النتيجة قائمة على التبرير الاستنتاجي أم الاستقرائي فيما يأتي‪:‬‬ ‫‪ )a‬إذا تأخر مشاري عن دفع قسط سيارته فإنه سيقوم بدفع غرامة تأخير مقدارها ‪ 150‬ريالاا‪.‬‬ ‫تأخر مشاري عن دفع قسط هذا الشهر‪ ،‬فاستنتج أن عليه دفع غرامة مقدارها ‪ 150‬ريالاا‪.‬‬ ‫اعتمد مشاري على حقائق ينص عليها عقد البيع في الحصول على النتيجة‪ ،‬لذا استعمل التبرير‬ ‫الاستنتاجي‪.‬‬ ‫قانون الفصل المنطقي‪:‬‬ ‫قانون القياس لمنطقي‪:‬‬ ‫‪8‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫أي العبارات الآتية تنتج منطق ايا عن العبارتين الآتيتين؟‬ ‫(‪ )1‬إذا أمطرت اليوم فسوف تؤجل المباراة‪.‬‬ ‫(‪ )2‬إذا اعتذر أحد الفريقين فسوف تؤجل المباراة‪.‬‬ ‫‪ A‬إذ اعتذر أحد الفريقين فسوف تمطر اليوم‪.‬‬ ‫‪ B‬إذا أمطرت اليوم فسوف يعتذر أحد الفريقين‪.‬‬ ‫‪ C‬إذا لم تمطر فلن يعتذر أحد الفريقين‪.‬‬ ‫‪ D‬لا توجد نتيجة صائبة‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫أي العبارات الآتية تنتج منطقيًا عن العبارتين الآتيتين؟‬ ‫)‪(1‬إذا لم تأخذ قس ًطا كاف ًيا من النوم‪ ،‬فسوف تكون مره ًقا‪.‬‬ ‫)‪ (2‬إذا كنت مرهقًا‪ ،‬فلن يكون أداؤك في الاختبار جي ًدا‪.‬‬ ‫‪ A‬إذا كنت مرهقًا‪ ،‬إذن أنت لم تأخذ قس ًطا كافيًا من النوم‪.‬‬ ‫‪ B‬إذا لم تأخذ قس ًطا كافيًا من النوم‪ ،‬فلن يكون أداؤك في الاختبار جيدًا‪.‬‬ ‫‪ C‬إذا لم يكن أداؤك في الاختبار جيدًا‪ ،‬فإنك لم تأخذ قس ًطا كافيًا من النوم‪.‬‬ ‫‪ D‬لا توجد نتيجة صائبة‪.‬‬ ‫‪9‬‬

‫المسلمات والبراهين الحرة‬ ‫المسلمة‪ :‬هي عبارة تعطي وصفًا لعلاقة أساسية بين المفاهيم الهندسية الأولية وتقبل دون برهان‪.‬‬ ‫النقاط والمستقيمات والمستويات‪:‬‬ ‫تقاطع المستويات والمستقيمات‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اذكر المسلمة التي تبرر صحة العبارة الآتية‪:‬‬ ‫‪ )a‬يحتوي المستقيم ‪m‬على النقطتين ‪ F‬و ‪ ،G‬ويمكن أن تقع النقطة ‪ E‬أي ًضا على المستقيم ‪.m‬‬ ‫المسلمة ‪ ،1.3‬التي تنص على كل مستقيم يحوي نقطتين على الأقل‪.‬‬ ‫‪10‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫حدد ما إذا كانت الجملة الآتية صائبة دائ ًما أو صائبة أحيانًا أو غير صائبة أبدًا‪ .‬فسر تبريرك‪.‬‬ ‫‪ )a‬إذا تقاطع مستقيمان واقعان في مستوى واحد‪ ،‬فإن نقطة تقاطعهما تقع أي ًضا في ذلك المستوى‬ ‫الذي يحويهما‪.‬‬ ‫صائبة دائ ًما؛ تنص المسلمة ‪ 1.5‬على أنه إذا وقعت نقطتان في مستوى‪ ،‬فإن المستقيم الوحيد‬ ‫المار بهما يقع بكامله في ذلك المستوى‪ ،‬وبما أن المستقيمين يقعان في المستوى نفسه‪.‬‬ ‫النظرية‪ :‬هي إثبات صحة عبارة أو تخمين‪.‬‬ ‫البرهان الحر‪ :‬هو أحد أنواع البراهين يكتب فيه فقرة تفسر أسباب صحة التخمين في الموقف‬ ‫المعطى‪.‬‬ ‫نظرية نقطة المنتصف‪:‬‬ ‫‪11‬‬

‫البرهان الجبري‬ ‫البرهان الجبري‪ :‬هو برهان يتكون من سلسلة عبارات جبرية‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اذكر التي تبرر العبارة الآتية‪:‬‬ ‫‪ )a‬إذا كان‪،4 + (–5) = –1‬فإن ‪x + 4 + (–5) = x – 1‬‬ ‫خاصية الجمع للمساواة‬ ‫‪ )b‬أثبت أنه إذا كان– ‪ ،13 = –5 2x‬فإن ‪ .x = 4‬اكتب تبرير كل خطوة‪.‬‬ ‫‪( 2x – 13 = –5‬المعطيات)‬ ‫‪( 2x – 13 + 13 = –5 + 13‬خاصية الجمع للمساواة)‬ ‫‪( 2x = 8‬بالتبسيط)‬ ‫‪2x÷2=8÷2‬‬ ‫‪( X = 4‬خاصية القسمة للمساواة)‬ ‫‪12‬‬

‫البرهان الهندسي ‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اكتب برهان ذا عمودين؛ لإثبات صحة التخمين الآتي‪:‬‬ ‫‪ )a‬إذا كان ‪ ،CD ≡ EF‬فإن ‪y = 8‬‬ ‫‪CD = EF‬‬ ‫‪3y–9 = 15‬‬ ‫‪3y –9 + 9 = 15 + 9‬‬ ‫‪3y÷ 3 = 24÷ 3‬‬ ‫‪y=8‬‬ ‫‪13‬‬

‫إثبات علاقات بين قطع المستقيمة‬ ‫مسلمة أطوال القطع المستقيمة ‪:‬‬ ‫مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة‪:‬‬ ‫‪14‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫أثبت أنه إذا كان ‪ ، CE ≡ FE , ED ≡ EG‬فإن ‪. CD ≡ FG‬‬ ‫المعطيات‪CE ≡ FE , ED ≡ EG:‬‬ ‫المطلوب‪CD ≡ FG:‬‬ ‫المبررات‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫‪ )1‬معطيات‬ ‫العبارات‬ ‫‪ )2‬تعريف تطابق القطع المستقيمة‬ ‫‪ )3‬مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة‬ ‫‪CE ≡ FE , ED ≡ EG )1‬‬ ‫‪ )4‬بالتعويض من الخطوة ‪ 2‬في الخطوة ‪3‬‬ ‫‪CE = FE , ED = EG )2‬‬ ‫‪ )5‬مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة‬ ‫‪ )6‬بالتعويض من الخطوة ‪ 4‬في الخطوة ‪5‬‬ ‫‪CE + ED = CD )3‬‬ ‫‪ )7‬تعريف تطابق القطع المستقيمة‬ ‫‪FE + EG = CD )4‬‬ ‫‪FE + EG = FG )5‬‬ ‫‪CD = FG )6‬‬ ‫‪CD ≡ FG )7‬‬ ‫‪15‬‬

‫خصائص تطابق القطع المستقيمة ‪:‬‬ ‫خاصية التعدي للتطابق ‪:‬‬ ‫‪16‬‬

‫إثبات علاقات بين الزوايا‬ ‫مسلمة المنقلة ‪:‬‬ ‫مسلمة جمع قياسات الزوايا‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪ )a‬إذا كان‪ m∠2 = 56° , m∠JKL =145°‬فأوجد ‪ .m∠1‬برر خطوات حلك‪.‬‬ ‫مسلمة جمع قياسات الزوايا‬ ‫‪m∠1 + m∠2 = m∠JKL‬‬ ‫عوض‪m∠2 = 56° , m∠JKL = 145°‬‬ ‫‪m∠1 + 56° = 145°‬‬ ‫‪ m∠1 + 56°−56°= 145°−56°‬اطرح ‪ 56‬من الطرفين‬ ‫‪ m∠1= 89°‬بسط‬ ‫‪17‬‬

‫نظرية الزوايا المتكاملة والمتتامة ‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪ )a‬في الشكل المجاور‪ ∠6 ،‬و ‪ ∠7‬متجاورتان على مستقيم‪ .‬إذا كان‪:‬‬ ‫‪ m∠6 = (3x + 32)°‬و ‪،m∠7 = (5x +12)°‬‬ ‫فأوجد قيمة ‪.x , m∠6 , m∠7‬‬ ‫‪m∠6 + m∠7 = 180°‬‬ ‫‪(5x + 12)°+ (3x + 32)° = 180°‬‬ ‫‪8x + 44° = 180°‬‬ ‫‪8x + 44°−44° = 180°−44°‬‬ ‫‪8x ÷ 8 = 136°÷ 8‬‬ ‫‪x = 17‬‬ ‫‪m∠6 = (3 X 17 + 32)°‬‬ ‫‪m∠6 = 83°‬‬ ‫‪m∠7 = (5 X 17 +12)°‬‬ ‫‪m∠7 = 97°‬‬ ‫‪18‬‬

‫خصائص تطابق الزوايا‪:‬‬ ‫خاصية التماثل للتطابق ‪:‬‬ ‫إحدى حالات نظرية تطابق المكملات‪:‬‬ ‫‪19‬‬

‫نظرية تطابق المكملات والمتممات‪:‬‬ ‫نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس‪:‬‬ ‫نظريات الزاوية القائمة‪:‬‬ ‫‪20‬‬

‫أمثلة ‪:‬‬ ‫أوجد قياس الزوايا المرقمة في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪m∠5 = m∠6 (a‬‬ ‫‪m∠6+m∠5 = 90°‬‬ ‫‪45° + 45° = 90°‬‬ ‫‪m∠5 = 45°m∠6 = 45°‬‬ ‫‪ m∠2 )b‬و ‪ m∠3‬متتامتان‪m∠2 = 28° ، ∠1 ≅ ∠4 ،‬‬ ‫‪m∠2 + m∠3= 90°‬‬ ‫‪+ m∠3 = 90°28°‬‬ ‫‪m∠3 = 90°−28°‬‬ ‫‪m∠3 = 62°‬‬ ‫‪∠1 +∠2 = 90°‬‬ ‫‪∠1 + 28° = 90°‬‬ ‫‪∠1= 90° − 28°‬‬ ‫‪∠1 = 62°∠4 = 62°‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪ ∠2 )c‬و‪ ∠4‬متكاملتان‪ ∠4 ،‬و ‪ ∠5‬متكاملتان‪m∠4 = 105°،‬‬ ‫‪∠2 + ∠4 = 180‬‬ ‫‪∠2 + 105° = 180°‬‬ ‫‪∠2 = 75°‬‬ ‫‪∠2 ≅ ∠5‬‬ ‫‪∠5 = 75°‬‬ ‫‪m∠10 = (x – 24)° ، m∠9 = (3x + 12)° )d‬‬ ‫‪m∠9 + m∠10 = 180°‬‬ ‫‪(3x + 12)° + (x – 24)° =180°‬‬ ‫‪4x – 12° = 180°‬‬ ‫‪4x = 180° +12‬‬ ‫‪4x ÷ 4 = 192 ÷ 4‬‬ ‫‪x = 48‬‬ ‫‪m∠9 = (3× 48 + 12)° = 156°‬‬ ‫‪m∠10 = (48 – 24)° = 24°‬‬ ‫‪22‬‬