ปริมาตรและพื้นที่ผิว

พ้ืนท่ี และ ปริมาตร (Area and Volume) วราภรณ์ สุขสชุ ะโน 1. หนว่ ยวดั ความยาว เคร่อื งมือท่ใี ชว้ ดั ความยาว โดยทว่ั ๆ ไป ไดแ้ ก่ ไม้บรรทดั สายวัดตวั และสายวัดชนดิ ตลบั ซึ่งมี หนว่ ยวดั เปน็ ระบบองั กฤษ และระบบเมตริก สว่ นเครอื่ งมือวดั ความยาวที่ให้รายละเอยี ดสงู กว่า 10 ถึง 100 เทา่ ไดแ้ ก่ เวอร์เนียร์ คาลเิ ปอร์ (vernier caliper) และไมโครมิเตอร์ (micrometer) ซ่งึ เครือ่ งมอื ท้งั สองชนิดนใ้ี ช้ใน ห้องทดลองทางวิทยาศาสตร์ โรงงานอุตสาหกรรมสาหรับงานกลงึ หรืองานเจยี ระไนโล หะ ยังมีครือ่ งมอื วัด ความยาวอกี ชนิดหนึง่ ท่ใี ช้ ต้ังแต่สมัยโบราณ คือ สว่ นตา่ งๆของรา่ งกาย มนษุ ย์ เชน่ น้วิ ศอก และ วา ซง่ึ ไม่มี ความแม่นยาหรอื ความคลาดเคลอ่ื นสูงเน่ืองจากการวัดด้วย นว้ิ ศอกและวาของแต่ละคนไม่เทา่ กนั เวอร์เนียร์ คาลิเปอร์ ไมโครมเิ ตอร์ หน่วยวัดความยาวท่ใี ช้ในประเทศไทยมี 3 ระบบ ดังนี้ ระบบที่ใช้สว่ นตา่ งๆของร่างกายมนุษย์ เปน็ เครอื่ งมอื วัด มีหนว่ ยวัดเปน็ นิว้ คบื ศอก วา เส้น และโยชน์ ระบบอังกฤษมหี นว่ ยวดั เปน็ นิว้ ฟตุ หลา และ ไมล์ และ ระบบเมตริก ถือกาเนิดขนึ้ ท่ีประเทศฝร่ังเศส เมื่อปี พ.ศ . 2336 มหี น่วยวดั เปน็ เซนตเิ มตร เมตร และ กโิ ลเมตร

12 ความสมั พนั ธข์ องหนว่ ยวดั แต่ละระบบ ดังน้ี 1 คืบ 1) หน่วยวดั ความยาวไทย 1 ศอก 1 วา 12 นวิ้ เท่ากบั 1 เสน้ 2 คืบ เทา่ กบั 1 โยชน์ 4 ศอก เทา่ กบั 20 วา เทา่ กับ 1 ฟตุ 400 เสน้ เทา่ กบั 1 หลา 1 ไมล์ 2) ระบบอังกฤษ เท่ากับ 12 นิ้ว เท่ากบั 3 ฟุต เท่ากบั 1,760 หลา 3) ระบบเมตรกิ 10 มิลลิเมตร เท่ากับ 1 เซนติเมตร 100 เซนตเิ มตร เทา่ กับ 1 เมตร 1,000 เมตร เทา่ กบั 1 กิโลเมตร เปรยี บเทียบหนว่ ยวดั ความยาวระบบอังกฤษกับระบบเมตรกิ ( โดยประมาณ ) 1 นวิ้ เทา่ กบั 2.54 เซนตเิ มตร 1 หลา เทา่ กับ 0.9144 เมตร 1 ไมล์ เท่ากับ 1.6093 กิโลเมตร ตวั อยา่ งท่ี 1 นายโชคดีมคี วามสูง 180 เซนตเิ มตร อยากทราบว่า เขามีความสูงก่ีเมตร วิธที า เนอื่ งจาก 100 เซนตเิ มตร เทา่ กับ 1 เมตร ถ้า 180 เซนตเิ มตร เท่ากบั 1  180  1.8 เมตร 100 ดังนัน้ นายโชคดีมคี วามสงู 1.8 เมตร ตัวอยา่ งท่ี 2 เชือกเส้นหน่ึงมคี วามยาว 30 เมตร อยากทราบว่าเชือกเส้นนยี้ าวกี่ฟุต วิธีทา เนอ่ื งจาก 1 เมตร เท่ากบั 100 เซนตเิ มตร ถ้า 30 เมตร เทา่ กับ 100  30  3000 เซนติเมตร เนื่องจาก 2.54 เซนติเมตร เท่ากับ 1 นิว้ ถา้ 3000 เซนติเมตร เท่ากับ 1  3000  1181 น้ิว 2 .54

13 เนื่องจาก 12 นว้ิ เท่ากบั 1 ฟุต ถ้า 1181 นว้ิ เท่ากับ 1181  98 .417 ฟุต 12 ดังนัน้ เชอื กเสน้ นยี้ าว 98.417 ฟุต 2. พนื้ ท่ี พ้ืนทีห่ รอื พนื้ ทีผ่ วิ เปน็ รปู เรขาคณิต 2 มิติ มีลกั ษณะแบนราบ ไมม่ คี วามหนาหรือความลึก ตวั อยา่ ง วงกลม วงรี สเี่ หลยี่ ม หกเหลี่ยม สามเหลย่ี ม 2.1 หนว่ ยวัดพนื้ ท่ี 1)หน่วยวัดพ้นื ท่ีมาตราไทย เท่ากบั 1 งาน 100 ตารางวา เทา่ กับ 1 ไร่ 4 งาน เทา่ กับ 1 ไร่ 400 ตารางวา 2) ระบบองั กฤษ เท่ากบั 144 ตารางนวิ้ 1 ตารางฟตุ เทา่ กับ 9 ตารางนว้ิ 1 ตารางหลา เทา่ กบั 4, 840 ตารางหลา 1 เอเคอร์ เท่ากบั 640 เอเคอร์ 1 ตารางไมล์ เท่ากับ 1,760 2 ตารางหลา 1 ตารางไมล์ 3) ระบบเมตรกิ เทา่ กบั 100 ตารางมลิ ลเิ มตร 1 ตารางเซนตเิ มตร เท่ากบั 10,000 ตารางเซนตเิ มตร 1 ตารางเมตร เทา่ กับ 1,000,000 ตารางเมตร 1 ตารางกโิ ลเมตร

14 เปรยี บเทียบหนว่ ยวดั พ้ืนทมี่ าตราไทยเทียบกบั ระบบเมตรกิ 1 ตารางวา เท่ากับ 4 ตารางเมตร 1 งาน เทา่ กับ 400 ตารางเมตร 1 ไร่ เท่ากบั 1600 ตารางเมตร 1 ตารางกโิ ลเมตร เทา่ กบั 625 ไร่ ตัวอยา่ งที่ 3 ทดี่ นิ แปลงหนึง่ มเี น้อื ที่ 200 ตารางวา ท่ดี นิ แปลงนม้ี เี น้อื ที่กต่ี ารางเมตร วิธีทา เนอื่ งจาก 1 ตารางวา เทา่ กบั 4 ตารางเมตร ทดี่ ินมีพน้ื ท่ี 200 ตารางวา เท่ากบั 4  200  800 ตารางเมตร ตวั อย่างที่ 4 นายคิดดี เปน็ เจ้าของที่ดิน 2 แปลง แปลงที่หนึ่งมีเนื้อท่ี 1 ไร่ 2 งาน ส่วนอกี แปลงหน่ึงมเี นือ้ ท่ี 2 ไร่ 3 งาน เขามีทดี่ ินทัง้ หมดเทา่ ใด วิธีทา แปลงท่หี นง่ึ มเี น้ือท่ี 1 ไร่ 2 งาน เทา่ กบั 1  4   2  6 งาน ส่วนอีกแปลงหนง่ึ มีเนือ้ ที่ 2 ไร่ 3 งาน เท่ากบั 2  4   3  11 งาน เขามที ดี่ นิ ทง้ั หมด 6  11  17 งาน หรอื 4 ไร่ 1 งาน 2.2 การคานวณหาพื้นที่ การคานวณหาพน้ื ที่ เกิดจากการดาเนินการระหว่างด้านของรปู เรขาคณิต ดังน้ี 2.2.1 รูปสามเหลยี่ ม คอื รปู เหล่ียมทป่ี ระกอบดว้ ยด้านสามดา้ นและมุมสามมุม สูง พนื้ ท่ีของรปู สามเหล่ียม = 1 × ฐาน × สูง 2 ฐาน a c ถ้า a, b และ c เปน็ ความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม พืน้ ที่ของรปู สามเหล่ียม  s (s  a )( s  b )( s  c ) b เมื่อ s  a  b  c 2

15 ตวั อยา่ งท่ี 5 ผา้ ชนิ้ หน่งึ เปน็ รปู สามเหลย่ี ม ความยาวของด้านเท่ากบั 80, 50 และ 60 เซนติเมตร ผา้ ผนื น้ีมีพืน้ ที่ก่ี ตารางเมตร วธิ ีทา ให้ a  80 b  50 และ c  60 จาก a  b  c 80  50  60 s   95 22 พน้ื ทข่ี องรูปสามเหล่ยี ม  s (s  a )( s  b )( s  c )  95 95  80 95  50 95  60   1498.124 ตารางเซนติเมตร เน่อื งจาก 10,000 ตารางเซนตเิ มตร เท่ากับ 1 ตารางเมตร พนื้ ท่ี 1498.124 ตารางเซนติเมตร เทา่ กบั 1  1498 .124 ตารางเมตร 10000 ดงั นนั้ ผา้ ผืนนม้ี ีพ้นื ที่ 0.1498 ตารางเมตร 2.2.2 รูปสี่เหล่ียม รปู เหลย่ี มทีป่ ระกอบด้วยดา้ นสี่ดา้ นและมมุ สี่มุม มชี ื่อเรยี กต่างกันดงั นี้ 1) รปู สี่เหลี่ยมมมุ ฉาก คือ รูปสเี่ หลยี่ มทม่ี ีมมุ แตล่ ะมมุ เป็นมมุ ฉาก รปู สเี่ หลย่ี มมมุ ฉากทม่ี ีด้านเท่ากนั ทกุ ด้าน เรียกวา่ รูปสเ่ี หลีย่ มจตั ุรัส ส่วนรูปสี่เหลีย่ มมุมฉากที่ด้านตรงขา้ มเท่ากนั เรียกวา่ รูปส่เี หลย่ี มผืนผา้ พืน้ ท่ขี องรูปสเ่ี หล่ียมจตั ุรสั =ดา้ น × ด้าน พ้นื ที่ของรูปสเ่ี หล่ียมผืนผ้า=กว้าง × ยาว 2) รูปสเ่ี หลยี่ มคางหมู คือ รูปสี่เหลี่ยมทมี่ ดี า้ นตรงข้ามขนานกนั หนึ่งคู่ พน้ื ทข่ี องรปู สเี่ หลี่ยมคางหมู= 1 × ผลบวกของดา้ นคู่ขนาน × สงู 2 3) รูปสีเ่ หลีย่ มดา้ นขนาน คอื รูปสีเ่ หล่ียมที่มดี า้ นตรงขา้ มขนานกนั และเทา่ กันสองคู่ มุมภายใน ไม่เป็นมมุ ฉาก พ้ืนทข่ี องรปู สี่เหล่ียมด้านขนาน = ฐาน × สงู

16 4) รปู ส่เี หลีย่ มขนมเปยี กปูน คือรูปสี่เหลย่ี มทีม่ ี ดา้ นตรงขา้ มขนานและ ดา้ นทกุ ด้าน ยาวเท่ากัน มุม ภายในไม่เปน็ มุมฉาก พน้ื ท่ขี องรปู สเ่ี หลี่ยมขนมเปียกปนู = ฐาน × สงู หรือ พื้นทขี่ องรปู สีเ่ หล่ยี มขนมเปียกปูน = 1 × ผลคณู ของเสน้ ทแยงมมุ 2 5) รปู ส่ีเหลยี่ มใดๆทแยงมมุ พ้ืนทีข่ องรปู สี่เหลี่ยมใดๆ = 1 × เส้นทแยงมมุ × ผลบวกของเสน้ กิ่งท่ตี ้ังฉากกบั เสน้ ทแยงมุม 2 ตวั อยา่ งท่ี 6 ทีด่ ินแปลงหนง่ึ มเี นื้อท่ีเปน็ รปู ส่ีเหลย่ี มคางหมู ความยาวของด้านคูข่ นานเทา่ กับ 80 และ 120 เมตร ระยะ ห่างระหว่างด้านคู่ขนานเทา่ กบั 100 เมตร ทด่ี ินแปลงนี้มเี น้ือที่ก่ตี ารางวา วธิ ที า จากโจทยจ์ ะได้ สงู  100 และ ผลบวกของดา้ นคขู่ นาน  80  120  200 พน้ื ทขี่ องรูปสี่เหลีย่ มคางหมู= 1 × ผลบวกของดา้ นคู่ขนาน × สูง 2  1 × 200 × 100=10000 ตารางเมตร 2 เนื่องจาก 4 ตารางเมตร เท่ากบั 1 ตารางวา พนื้ ที่ 10000 ตารางเมตร เท่ากับ 1  2500 ตารางวา  10000 4 2.2.3 รปู วงกลม รปู วงกลม ประกอบดว้ ยจุดศนู ยก์ ลางและรศั มีซ่ึงวัดจากจดุ ศนู ย์กลางถงึ เส้นรอบวง ถา้ O เป็น จดุ ศูนย์กลางของวงกลม และ รศั มีเทา่ กบั r ดงั ภาพ แลว้ พื้นท่รี ปู วงกลม =  r 2 o เมอื่  มีคา่ ประมาณ 22 หรือ 3.14 7 r ความยาวของเส้นรอบวงวงกลม= 2r

17 ตัวอย่างที่ 7 เชอื กเส้นหน่งึ ขึงเป็นรูปวงกลม มเี ส้นผ่านจดุ ศนู ยก์ ลางเท่ากบั 140 เมตร อยากทราบว่าพ้ืนท่ภี ายใน เส้นเชือกและเชอื กที่ขงึ ยาวเท่าใด วธิ ีทา จากโจทย์จะได้ r  70 พ้นื ทร่ี ปู วงกลม =  r 2  22  70 2 =15400 ตารางเมตร 7 ความยาวเสน้ รอบวงของวงกลม = 2r 22 เมตร  2   70  440 7 3. พืน้ ทผี่ ิวและปรมิ าตร 3.1 หนว่ ยวดั ปรมิ าตรระบบเมตรกิ เท่ากับ 1,000 ลูกบาศก์มิลลเิ มตร 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร เท่ากับ 1,000,000 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร 1 ลูกบาศก์เมตร เท่ากบั 1 มิลลลิ ิตร 1 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร เท่ากบั 1, 000 มิลลลิ ิตร 1 ลิตร เท่ากับ 1,000 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร 1 ลติ ร เท่ากับ 1 ลกู บาศก์เมตร 1,000 ลติ ร 3.2 ปรซิ ึม (Prism) เป็นรปู ทรงตันและเป็นชนิดหนง่ึ ของรปู ทรงหลายหนา้ (polyhedron) ท่ีมฐี านสอง ฐานหรอื พ้นื ท่ีหนา้ ตัดบนและลา่ งเป็นรปู หลายเหลยี่ ม (polygon) ชนิดเดียวกนั เทา่ กนั และขนานกันซ่ึงฐาน อาจจะเป็นรปู สามเหล่ียม สเี่ หลี่ยม หา้ เหลยี่ ม หรือ n เหลี่ยมใดๆ มพี ้นื ทผ่ี ิวข้างเป็นรปู สเ่ี หล่ยี มด้านขนาน (parallelogram) ปริซึมท่ีมสี ันส่วนข้างท้งั หมดต้ังฉากกบั พืน้ ทห่ี นา้ ตดั บนและลา่ ง เรียกวา่ ปริซมึ ตรง (right prism) ส่วนปรซิ ึมทีม่ สี นั สว่ นข้างไมต่ ัง้ ฉากกับพนื้ ที่หนา้ ตัดบนและลา่ ง เรยี กว่า ปริซึมเอยี ง (oblique prism) ตวั อย่างปริซมึ ตรง ปรซิ ึมส่ีเหลี่ยมผนื ผ้า ปรซิ มึ สเ่ี หลย่ี มจัตุรัส ปริซึมสามเหลย่ี ม ปรซิ มึ หา้ เหลย่ี ม ปริซึมสเี่ หล่ียมคางหมู

18 ตวั อยา่ งปริซมึ เอยี ง ภาพ ส่วนประกอบของปริซมึ หา้ เหลย่ี ม ภาพคล่ีปริซมึ สามเหลยี่ ม ภาพคลป่ี รซิ มึ สี่เหล่ยี ม การหาพนื้ ที่ผิวข้างและปรมิ าตรของปริซึม 1) พื้นทผ่ี ิวของปริซมึ = ผลรวมของพื้นทีผ่ วิ ขา้ ง + 2เทา่ ของพ้ืนทฐ่ี าน 2) พน้ื ที่ผวิ ดา้ นข้าง =เส้นรอบฐาน × สูง 3) ปรมิ าตร = พ้นื ทฐ่ี าน × สูง

19 ตวั อย่างที่ 8 จงหาพน้ื ทีผ่ วิ ทง้ั หมดและปรมิ าตรของปรซิ ึมรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ซ่งึ มีด้านประกอบมุมฉากยาว 8, 6 นว้ิ และ สูง 12 เซนตเิ มตร วิธีทา ภาพจากโจทยก์ าหนด กาหนดให้ ด้านตรงข้ามมมุ ฉากของสามเหลีย่ มยาว a เซนตเิ มตร จากทฤษฎีของพีทาโกรัส จะได้ a  82  6 2  10 เซนติเมตร พนื้ ทผ่ี วิ ขา้ งเปน็ รูปสีเ่ หล่ียมผืนผ้า 3 รูป แตล่ ะรูปมีพน้ื ทีเ่ ท่ากับ 8  12 , 6  12 และ 10  12 ตารางเซนตเิ มตร ผลรวมของพนื้ ท่ีผิวขา้ งเทา่ กบั 288 ตารางเซนตเิ มตร พนื้ ที่ฐานรูปสามเหลย่ี ม = 1 × ฐาน × สงู 2 = 1 × 6 × 8=24 ตารางเซนติเมตร 2 พ้ืนทผ่ี วิ ของปริซมึ = ผลรวมของพนื้ ท่ีผิวขา้ ง + 2เท่าของพน้ื ทฐ่ี าน  288  2  24   336 ตารางเซนติเมตร เน่ืองจาก ปรมิ าตร = พืน้ ทีฐ่ าน × สูง  24  12  288 ลูกบาศก์เซนติเมตร ตัวอย่างท่ี 9 จงหาพื้นที่ผวิ ทัง้ หมดและปริมาตรของปรซิ มึ รปู สีเ่ หลีย่ มคางหมู ซึง่ ดา้ นไม่คู่ขนานมีความยาว เท่ากนั ตามภาพและมหี น่วยความยาวเปน็ เมตร วธิ ีทา กาหนดให้ ด้านไมค่ ู่ขนานของสเี่ หลยี่ มคางหมู มีความยาว a เมตร จากกฎของพที าโกรสั จะได้ a  เมตร32  9 2  9.49 พนื้ ทผี่ ิวข้างเป็นรปู ส่เี หลี่ยมผนื ผา้ 4 รูป แตล่ ะรูปมพี ้ืนทเ่ี ทา่ กับ ,7  24 9.49  24 และ13  24 9 .49  24 ตารางเมตร ผลรวมของพ้นื ทีผ่ วิ ข้างเทา่ กับ 935.52 ตารางเมตร

20 พนื้ ท่ีฐานรูปสเี่ หล่ยี มคางหมู= 1 × ผลบวกของดา้ นคขู่ นาน × สงู 2 = 1 × 7  13  × 9  90 ตารางเมตร 2 พืน้ ทผ่ี ิวของปริซึม = ผลรวมของพ้ืนท่ีผวิ ขา้ ง + 2เท่าของพืน้ ทีฐ่ าน  935 .52  2  90   1115 .52 ตารางเมตร เน่อื งจาก ปรมิ าตร = พ้นื ทฐี่ าน × สงู  90  24  2160 ลกู บาศก์เมตร 3.3 รปู ทรงกระบอก (Cylinder) คือ รปู เรขาคณิตสามมิตทิ ม่ี ฐี านสองฐานหรือพนื้ ท่ีหน้าตดั บนและ ล่างเปน็ รูปวงกลมขนานกันและเทา่ กัน รปู ทรงกระบอก พน้ื ทผ่ี วิ ของรปู ทรงกระบอก การหาพน้ื ท่ผี วิ ขา้ งและปริมาตรของรปู ทรงกระบอก ให้ r เปน็ ความยาวของรศั มีของฐาน และ h เปน็ ส่วนสงู จะได้ 1) พ้นื ทผ่ี วิ ขา้ ง= 2rh 2) พื้นทีผ่ ิวทงั้ หมด=พน้ื ทผ่ี วิ ขา้ ง + 2 เท่าของพนื้ ทฐ่ี าน พ้นื ที่ผิวท้งั หมด = 2rh  2r 2 = 2r h  r  3) ปรมิ าตรทรงกระบอกตนั =พน้ื ทฐี่ าน × สงู =r 2h ตัวอยา่ งที่ 10 ถงั เกบ็ น้าทรงกระบอกสงู 1.80 เมตร รัศมยี าว 50 เซนตเิ มตร มนี ้า 3 ของถงั จงหาปรมิ าณน้าในถัง 4 นแ้ี ละพ้นื ท่ีผวิ ทง้ั หมดของถงั วิธที า จากโจทย์ h  1.80 เมตร และ r  50 เซนติเมตร  0.5 เมตร ปรมิ าตรของถังเก็บน้า =r 2 h  22  0 .5 2  1 .8  1 .4143 ลกู บาศก์เมตร 7 ปรมิ าณน้า  3  1 .4143  1.0607 ลูกบาศก์เมตร 4

21 ปริมาณนา้ ในถังเทา่ กบั 1.0607 ลกู บาศก์เมตร พื้นที่ผวิ ท้ังหมด== 2r h  r   2  22  0 .5 1 .8  0 .5   7 .2285 ตารางเมตร 7 3.4 กรวยกลม (Cone) คือ รปู เรขาคณติ สามมิติทม่ี ฐี านเป็นวงกลม มียอดแหลมท่ไี มอ่ ยบู่ นระนาบ เดยี วกับฐาน ผิวขา้ ง ฐาน พนื้ ทผ่ี วิ ของกรวยกลม การหาพืน้ ที่ผวิ ข้างและปริมาตรของกรวยกลม ให้ r แทน ความยาวของรัศมีของฐาน h แทน ส่วนสูงของกรวย และ l แทน สงู เอยี ง จะได้ 1) พน้ื ที่ผวิ ขา้ ง = rl 2) พ้ืนที่ผิวท้ังหมด = พ้ืนทผ่ี ิวข้าง + พื้นทีฐ่ าน พ้ืนท่ีผวิ ท้ังหมด =rl  r 2 =r l  r  3) ปริมาตรกรวย  1 r 2 h 3 ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งปรมิ าตรกรวยกับปริมาตรทรงกระบอก ปริมาตรกรวย  1 ของปรมิ าตรทรงกระบอก  1 r 2 h 33

22 ตวั อย่างท่ี 11 กรวยใสน่ ้ามีปรมิ าณน้าอยสู่ ่วนหนง่ึ ดงั รูป อยากทราบว่า ปริมาณนา้ ท่มี อี ยูแ่ ละพ้นื ที่ผวิ ข้างของ กรวยเทา่ กับเทา่ ใด วธิ ีทา ให้ a เปน็ ความยาวของรศั มีผวิ น้า เนื่องจากสัดส่วนระหว่างรศั มีกับความสูงปล่ยี นแปลงตามกนั จะได้ a5 ดังนั้น a  4  8 10 ปรมิ าณน้า  1  r 2 h 3  1 22  4 2  8  134 .10 ลกู บาศก์เซนติเมตร  37 ให้ l เป็นสูงเอียง จากกฎของพีทาโกรสั จะได้ l  10 2  5 2  11 .18 เซนติเมตร พนื้ ท่ีผวิ ขา้ ง = rl  22  5  11 .18  175 .69 ตารางเซนติเมตร 7 3.5 พรี ะมิด (Pyramid) คอื รปู เรขาคณิตสามมติ ิทีเ่ กดิ จากการเชือ่ มจุดระหวา่ งมมุ ของรูปหลายเหลย่ี ม (polygon) กับจดุ หนึง่ จดุ ทเ่ี รียกว่า จดุ ยอด (apex) พื้นที่ผวิ ดา้ นขา้ งทกุ ด้านเป็นรูปสามเหลีย่ ม จุดยอด สูง สงู เอยี ง ฐาน

23 พีระมิดฐานสามเหลีย่ ม พีระมดิ ฐานสี่เหล่ยี ม พรี ะมดิ ฐานหา้ เหลี่ยม พรี ะมิดฐานหกเหล่ียม พน้ื ท่ีผวิ พีระมดิ สามเหล่ยี ม พื้นทผี่ ิวพีระมิดสี่เหลยี่ ม การหาพน้ื ทผ่ี วิ ขา้ งและปริมาตรของพรี ะมิด 1) พื้นทผี่ ิวข้าง= 1 × เส้นรอบฐาน × สูงเอียง 2 2) พนื้ ที่ผวิ ทั้งหมด=พน้ื ที่ผวิ ขา้ ง + พื้นที่ฐาน 3) ปริมาตร= 1 × พืน้ ที่ฐาน × สงู 3 ตวั อยา่ งท่ี 12 โลหะทรงกรวยตนั มเี ส้นผ่านศูนย์กลาง 40 เซนติเมตร สูง 32 เซนติเมตร เมือ่ นามาหลอมเพอื่ ทา พรี ะมดิ ฐานรปู ส่ีเหลี่ยมผนื ผ้ากว้าง 10 เซนตเิ มตร ยาว 12 เซนติเมตรและ สงู 8 เซนตเิ มตรจะทาพีระมดิ ได้มาก ทส่ี ุดกี่อนั วิธีทา โลหะทรงกรวยตนั มี 40 เซนตเิ มตร และ h  32 เซนตเิ มตร r   20 2 โลหะทรงกรวยตนั มีปริมาตร  1 r 2 h 3  1  22  20 2  32 37  13409 .52 ลกู บาศก์เซนติเมตร พีระมดิ ฐานรูปส่เี หล่ียมผืนผา้ กวา้ ง 10 เซนติเมตร ยาว 12 เซนติเมตร และ สงู 8 เซนตเิ มตร มพี นื้ ทฐี่ านเทา่ กบั 10  12  120 ตารางเซนตเิ มตร

24 ปริมาตรพรี ะมิดแต่ละลกู = 1 × พนื้ ที่ฐาน × สงู 3 1   120  8 3  320 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร โลหะทรงกรวยตนั ปรมิ าตร 13409.52 ลูกบาศก์เซนตเิ มตรจะทาพรี ะมิดได้ 13409 .52 = 41 ลกู 320 3.6 ทรงกลม (Sphere) คือ รูปเรขาคณติ สามมิติที่ผวิ โค้งเรยี บ ทกุ จดุ บนผิวโค้งห่างจากจดุ ศูนยก์ ลาง เป็นระยะเท่ากันดังภาพ ผวิ โคง้ การหาพื้นทผ่ี วิ ข้างและปรมิ าตรของกรวยกลม ให้ r แทน ความยาวของรัศมี จะได้ 1. พื้นทผ่ี วิ ของทรงกลม = 4r 2 2. ปริมาตรของทรงกลม = 4 r 3 3 ตัวอยา่ งที่ 13 โลหะทรงกลมตันมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 18 เซนตเิ มตร เมอื่ นามาหลอมเปน็ โลหะทรงกลมตนั ขนาด เล็กได้ 81 ลกู โลหะทรงกลมตนั ขนาดเลก็ มรี ศั มี และ พ้ืนที่ผิวเทา่ กับเท่าใด วธิ ีทา โลหะทรงกลมตันมี r 18 9 เซนตเิ มตร  2 ปริมาตรของโลหะทรงกลม = 4 r 3 3  4  22  9 3 37  4 22 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร   729 37 ให้โลหะทรงกลมตนั ขนาดเล็กมีรัศมียาว a เซนตเิ มตร ปรมิ าตรของโลหะทรงกลมขนาดเล็ก  4  a 3 3 ปริมาตรของโลหะทรงกลม 4  22  729 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร หลอมได้ 81 ลูก จะได้สมการ 37

25 81  4 a3  4 22   729 3 37 81  4  22  a 3  4 22   729 37 37 a3  9 a  3 9  2.08 เซนติเมตร พนื้ ที่ผิวของทรงกลมขนาดเล็ก = 4r 2  4  22  2 .08 2 7  54 .389 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น โลหะทรงกลมตนั ขนาดเล็กมรี ศั มี 2.08 เซนติเมตร และ พนื้ ทผี่ ิวเทา่ กบั 54 .389 ตาราง เซนตเิ มตร

26 แบบฝกึ หัด ขอ้ 1 พ่อตอ้ งการตดั ไมอ้ ัดเป็นรูปส่ีเหลีย่ มขนมเปยี กปูน โดยมเี สน้ ทแยงมุมท้งั สองเสน้ ยาว 20 เซนตเิ มตร และ 17 เซนติเมตร จงหาพ้ืนทขี่ องไม้อัดแผ่นน้ี ข้อ 2 กระจกรปู ส่ีเหลี่ยมผืนผ้าแผน่ หน่ึงยาว 20 เซนติเมตร กวา้ ง 14 เซนตเิ มตร ถา้ ใส่กรอบกวา้ ง 1 เซนตเิ มตร ความยาวรอบกรอบรปู น้เี ปน็ เทา่ ไร ข้อ 3 ห้องหอ้ งหน่ึงกวา้ ง 4 เมตร ยาว 8 เมตร สูง 3 เมตร ตอ้ งการทาสผี นงั และเพดาน บรเิ วณทีต่ อ้ งทาสมี พี ้นื ที่ เท่าไร ขอ้ 4 ผ้าเชด็ หนา้ รูปสเี่ หลี่ยมจัตรุ ัสมีพ้ืนที่ 361 ตารางเซนตเิ มตร อยากทราบวา่ ความยาวรอบผา้ เชด็ หน้ายาวกี่ เซนติเมตร ขอ้ 5 หอ้ งนอนมคี วามกว้าง 3.5 เมตร ยาว 5 เมตร ต้องการปูพรมภายในหอ้ งโดยเว้นใหห้ ่างจากฝาดา้ นละ 0.1 เมตร ตอ้ งใชพ้ รมทม่ี ีพื้นทก่ี ี่ตารางเมตร ขอ้ 6 กล่องทรงสเ่ี หลยี่ มมุมฉากกวา้ ง 20 เซนติเมตร ยาว 30 เซนตเิ มตร สงู 25 เซนตเิ มตร จะมีพ้นื ท่ีดา้ นขา้ งทัง้ 4 ดา้ น และก้นกล่องก่ตี ารางเซนติเมตร ข้อ 7 สนามรูปวงกลม วัดเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางได้ 5.6 เมตร จะมพี ืน้ ที่ก่ตี ารางเมตร ข้อ 8 กระดาษรปู วงกลมแผน่ หน่งึ มีรศั มี 4.2 เซนตเิ มตร นามาแบ่งคร่ึง แตล่ ะคร่งึ มพี น้ื ทีก่ ่ีตารางเซนตเิ มตร ข้อ 9 กล่องพลาสติกทรงสเ่ี หล่ยี มมมุ ฉากใบหนึ่งกวา้ ง 60 เซนตเิ มตร ยาว 1 เมตร สงู 1.20 เมตร กลอ่ งนจ้ี ะ มีความจกุ ีล่ ิตร ข้อ 10 ถงั เกบ็ น้าทรงกระบอกใบหนึง่ มเี สน้ ผา่ ศนู ย์กลาง 14 เมตร เก็บน้าเตม็ ถงั ได้ 1,848 ลิตร ถงั เกบ็ นา้ นี้มี ความสูงเทา่ ใด ข้อ 11 ลังไมท้ รงสี่เหล่ยี มมมุ ฉาก มดี ้านกว้าง 1 เมตร ยาว 2 เมตร และสงู 1 เมตร ถ้าตอ้ งการทาสลี ังไมน้ ้ีทัง้ ภายนอกและภายใน บริเวณท่ีทาสีจะมีพ้ืนทีป่ ระมาณเทา่ ใด ขอ้ 12 กระป๋องทรงกระบอกใบหน่ึงมรี ศั มี 3.5 เซนติเมตร สูง 12 เซนติเมตร จะมพี ืน้ ทผ่ี ิวภายนอกกระปอ๋ ง เท่าใด ข้อ 13 ตัวถังสว่ นที่ใชบ้ รรทุกของรถบรรทุกคันหนง่ึ กว้าง 1.5 เมตร ยาว 2.5 เมตร สูง 1.2 เมตร รถคนั นจ้ี ะ บรรทุกขา้ วเปลือกไดป้ ระมาณกเ่ี กวยี น ขอ้ 14 ลกู เหลก็ ทรงกลมลูกหน่ึงมีเสน้ ผา่ ศูนยก์ ลาง 14 เซนติเมตร ลูกเหล็กนีจ้ ะมปี ริมาตรเทา่ ไร ขอ้ 15 หลงั คาผา้ ใบของของเต้นมลี กั ษณะเป็นรูปทรงกระบอกผ่าคร่งึ คลมุ พน้ื ดินได้กวา้ ง 7 เมตร ยาว 10 เมตร จะตอ้ งใชผ้ ้าใบทาหลงั คาอยา่ งนอ้ ยก่ีตารางเมตร ข้อ 16 ท่อระบายน้าทรงกระบอกยาว 1 เมตร หนา 5 เซนตเิ มตร เส้นผ่านศนู ย์กลางภายนอกยาว 40 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวทัง้ หมดของท่อระบายน้านี้ ขอ้ 17 ถังเก็บนา้ รปู กรวยสงู 6 เมตร และมีเสน้ รอบวงของปากกรวยยาว 31.4 เมตร ถา้ ตอ้ งการใสน่ ้าไวใ้ นถงั

27 น้ี 1 ของความจขุ องถัง จะตอ้ งใส่นา้ ลงถงั น้กี ลี่ ูกบาศก์เมตร 2 ขอ้ 18 หลอดแก้วรูปทรงกระบอกมเี สน้ ผ่านศนู ย์กลาง 7 เซนติเมตร มนี า้ ตา่ กวา่ ระดบั ปากหลอดแห้งลงไป 16 เซนติเมตร จงหาทว่ี า่ งของหลอดแกว้ ข้อ 19 กระป๋องออมสนิ รปู ทรงกระบอกมเี สน้ ผา่ นศนู ย์กลาง 10 เซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร จงหาพนื้ ท่ีผิว ทงั้ หมดของกระปอ๋ งใบนี้ ขอ้ 20 จงหาพน้ื ทีผ่ วิ ท้งั หมดและปรมิ าตรของปริซึมรูปสามเหลย่ี มซึ่งสูง 8 นว้ิ ด้านข้างของสามเหลยี่ มมีฐาน ยาว 3, 4 และ 5 นิว้ ตามลาดับ ขอ้ 21 เสาคอนกรีตตน้ หนงึ่ เปน็ รูปปริซึมหกเหล่ยี มด้านเทา่ ยาวดา้ นละ 8 นว้ิ เสาน้ีจะหนกั เท่าใด ถ้าคอนกรตี หน่ึงลกู บาศก์ฟุตหนกั 135 ปอนด์ เสาสงู 12 ฟุต กาหนดให้พืน้ ที่ของหกเหลย่ี มด้านเท่า เทา่ กบั 3 3 × (ดา้ น)2 2 ขอ้ 22 ถังน้ารปู ปริซึมส่เี หลยี่ มมมุ ฉากมีความกว้าง 6 ฟตุ ความยาว 8 ฟุต และ ความสงู 10 ฟตุ ถงั น้าใบนี้จนุ า้ ได้ กี่แกลลอน (1 ลูกบาศกฟ์ ตุ = 7.5 แกลลอน ) ข้อ 23 จงหาพ้ืนทผ่ี วิ ท้ังหมดและปรมิ าตรของปิรามดิ ซง่ึ สูง 15 เซนติเมตร ฐานซงึ่ เปน็ สเ่ี หลยี่ มจตั ุรสั ยาวดา้ น ละ 16 เซนตเิ มตร ข้อ 24 ลูกปืนเป็นทรงกลม 3 ลกู มขี นาดเสน้ ผ่านศูนยก์ ลาง 3, 4, 5 เซนติเมตรถ้าหลอมลูกปืนท้ังสามให้เป็นลกู เดียวกัน ลูกปืนทรงกลมใหม่มีเส้นผ่านศนู ย์กลางเทา่ ไร ขอ้ 25 โคมไฟฟ้าแก้วรปู ทรงกลมมรี ัศมีภายนอก10 เซนตเิ มตร แก้วหนา 0.3 เซนตเิ มตร จงหาปรมิ าตรของแก้ว ที่ใช้ทาโคมไฟฟา้ นี้ ขอ้ 26 โต๊ะอาหารเป็นรปู วงกลมมีเส้นผา่ นศูนยก์ ลาง 84 เซนตเิ มตร จะมีพน้ื ทเี่ ท่าไร ข้อ 27 รูปวงกลม 2 รปู มจี ดุ ศูนย์กลางร่วมกนั รปู วงกลมที่ 1 มรี ศั มี 7 เซนตเิ มตร รูปวงกลมรูปที่ 2 มรี ัศมี 14 เซนตเิ มตร จงหาพ้นื ท่ีของรปู วงแหวนระหวา่ งรูปวงกลมสองรปู น้ี ขอ้ 28 ถ้าเอาลกู ตมุ้ ที่มขี นาดเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางยาว 6 นว้ิ หยอ่ นลงในถงั กระบอกตรงตรงเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางยาว 1.5 ฟตุ ในถงั มีนา้ อย่เู กอื บคร่ึงหนึ่ง เมอื่ หย่อนลกู ตุ้มลงไปน้าในถังกระบอกสูงข้นึ กวา่ เดิมอีกเทา่ ไหร่ ขอ้ 29 ลกู โลกจาลองลูกหนึ่งมพี ้นื ที่ตามผวิ 1,386 ตารางน้วิ จงหารัศมีและปริมาตรของลกู โลกจาลอง ขอ้ 30 กรวยกลมลูกหนึ่งสูง 1 ฟุต และเส้นผ่านศนู ย์กลางที่ฐานเปน็ 5 ฟุต 10 นว้ิ จงหาพ้ืนทผี่ วิ ท้ังหมดและ ปริมาตรของกรวยกลมน้ี ขอ้ 31 แทง่ แกว้ ทรงปริซึม มีฐานเป็นรปู สามเหส่ียมท่มี ีความยาวด้านละ 9, 10 และ 17 เซนติเมตร ส่วนสูง

28 เท่ากบั 15 เซนติเมตร จงหาปรมิ าตรและพ้นื ทผี่ วิ รอบนอกทั้งหมด ขอ้ 32 บ่อน้าแห่งหนึง่ กน้ บอ่ เปน็ รปู ส่เี หลย่ี มคางหมู ดา้ นคขู่ นานยาว 6.7 และ 7.3 เมตร เส้นขนานคู่นี้ห่างกัน 4 เมตร และบ่อลึก 2 เมตร จงหาปริมตรของบอ่ น้ี ข้อ 33 กระป๋องนมใบหน่ึงมีพ้ืนท่ีตามผิวโค้ง 1,600 ตารางเซนติเมตร รัศมยี าว 10.5 เซนติเมตร จงหาปรมิ าตร ข้อ 34 เหลก็ แท่งหนง่ึ เปน็ รปู ทรงกระบอกกลวงสูง 25 เซนติเมตร รศั มขี อบนอกยาว 5 เซนติเมตร รศั มีภายใน 3 เซนตเิ มตร เมอ่ื หลอมแทง่ เหลก็ นใ้ี ห้เปน็ รปู ทรงกระบอกตนั สูง 16 เซนติเมตร รศั มีของแทง่ เหล็กใหม่ ยาวเทา่ ไร ข้อ 35 จะต้องใช้ผ้ากต่ี ารางฟุตเพอ่ื ทาหลังคากระโจมรปู กรวยกลม ซึ่งมคี วามสูงเอียง 10 ฟตุ และเส้นผา่ น ศูนยก์ ลางของปากกระโจมยาว 14 ฟุต ข้อ 36 จงหาพน้ื ทผ่ี ิวของพีระมดิ ทรงฐานสี่เหลีย่ มจตั ุรัสทม่ี คี วามยาวด้านละ 16 ฟุต และสงู 6 ฟตุ ข้อ 37 พื้นท่ีผิวโคง้ ของรูปทรงกระบอกรปู หนึง่ เทา่ กบั 2,640 ตารางเซนติเมตรและมีปริมาตรเท่ากับ 26,400 ลกู บาศก์เซนติเมตร จงหาพื้นท่ีผิวโคง้ ของรปู กรวยกลม ซง่ึ มฐี านและส่วนสงู เท่ากบั ฐานและสว่ นสงู ของ รูปทรงกระบอก ข้อ 38 รูปกรวยกลมอันหน่ึงมีรศั มที ่ฐี านยาว 6 นวิ้ สูงเอียง 10 นวิ้ ถ้าจะทาสีiรอบผิวโคง้ จากฐานขึน้ มาโดยรอบ สงู ตามแนวเอียง 4 น้วิ สว่ นทท่ี าสมี พี ืน้ ทีเ่ ท่าไร ขอ้ 39 เอาตะกัว่ ลูกหน่ึง ซึ้งมีเสน้ ผ่านศนู ย์กลางยาว 3 น้ิว มาหลอมเปน็ ลกู กลม 3 ลกู เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของสอง ลกู ยาวนว้ิ คร่งึ และสองนวิ้ คร่ึงตามลาดับ ตะกัว่ ลกู ที่สามจะมีเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางยาวเทา่ ไร ขอ้ 40 ปรซิ ึมแทง่ หนึง่ มหี นา้ ตดั หวั ท้ายเป็นรปู สามเหลย่ี มหน้าจ่วั ซง่ึ มฐี านยาว 3 น้วิ สงู 2 นิว้ ปรซิ มึ แทง่ นีส้ งู 4 น้วิ จงหาพ้นื ท่ีทง้ั หมด และปริมาตรของปริซมึ ขอ้ 41 จงหาปริมาตรของพีระมิดฐานสีเ่ หลย่ี มผนื ผา้ ซงึ่ ยาว 10 น้วิ กวา้ ง 6 นวิ้ ปิรามิดสูง 15 นิ้ว ขอ้ 42 สระว่ายนา้ ยาว 40 ฟุต กวา้ ง 20 ฟุต ทกี่ น้ ถังด้านหนึง่ ลึก 3 ฟุต และลาดลงไปอีกด้านหนง่ึ ลึก10 ฟุต สระ นีจ้ ะจุนา้ กี่ลกู บาศกฟ์ ุต ขอ้ 43 จงหาพน้ื ทที่ ้ังหมดและปรมิ าตรของกรวยกลมซ่งึ มีเสน้ ผา่ นศนู ย์กลางท่ีฐานยาว 6 นิ้ว กรวยกลมสูง 4 น้วิ ข้อ 44 ดนิ น้ามนั กอ้ นหนง่ึ ป้นั เปน็ รปู ทรงกลมมีรัศมยี าว 4 เซนติเมตร เมื่อทุบแล้วปั้นเป็นรปู กรวยกลมมสี ่วนสูง 25 เซนตเิ มตร จงหาวา่ รัศมฐี านกรวยยาวเท่าไร ขอ้ 45 ถ้าตอ้ งการท่ีจะทาสีทรงกลมที่มรี ัศมยี าว 1 หนว่ ย กับทรงกลมรศั มียาว 2 หนว่ ย อยากทราบวา่ พื้นท่ใี นการ ทาสีทรงกลมรัศมี 2 หนว่ ยเปน็ กี่เทา่ ของพื้นทใ่ี นการทาสีทรงกลมรศั มี 1 หนว่ ย

29 บรรณานกุ รม Cooke, Charles, and Crust, Rita. (1992). Shape and Space. Cheltenham, England: Stanley Thornes. ________. (2547). คูม่ อื การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ไมม่ ีรัว้ กนั้ . วันทค่ี ้นขอ้ มูล 1 กันยายน 2554 , เขา้ ถงึ ไดจ้ าก http://202.143.132.9/mat-sci/Matt/ วกิ ิพีเดยี สารานกุ รมเสรี. (2554). รปู ทรงเรขาคณิต. วนั ที่ค้นขอ้ มลู 15 สงิ หาคม 2554 , เข้าถึงไดจ้ าก http://th.wikipedia.org/wiki/ รังสรรค์ ศรีสาคร. เครอ่ื งมือวดั ความยาว. วันทีค่ น้ ข้อมลู 10 กนั ยายน 2554, เขาถึงไดจ้ าก http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet3/kung/long/longmeas.htm Modified: 07 November 2013 Modified: 19 July 2013