00_หน่วยที่3เลขจำนวนเชิงซ้อนและการแก้สมการ_

เอกสารประกอบการสอน วิชา คณติ ศาสตรอ์ ิเล็กทรอนิกส์ (2105-2101) นางสองเมือง กุดนั่ ตาแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชานาญการ วทิ ยาลยั เทคนคิ มนี บุรี

คำนำ เอกสารประกอบการสอน วิชา คณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 จานวน 2 หน่วยกิต 2 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ หลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาชีพ พุทธศักราช 2556 ประเภท วิชาช่างอุตสาหกรรม สาขาวิชาช่างอิเล็กทรอนิกส์ หน่วยท่ี 3 เลขจานวนเชิงซ้อนและการแก้สมการ โดยใชด้ ีเทอร์มิแนนซ์ แมททรกิ ซ์ รายละเอียดประกอบด้วย แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ แบบฝึกหัด ท้ายหน่วยเรียน และแบบทดสอบหลังเรียน รวมทั้งส่ือและแบบเฉลย เพื่อให้เอกสารประกอบการสอนท่ี ไดจ้ ัดทามีความสอดคลอ้ งตรงตามจดุ ประสงคร์ ายวิชา มาตรฐานรายวิชา คาอธิบายรายวชิ า กิจกรรมการ เรียนรู้ และการวดั ผลประเมินผล ผู้เรียบเรียงได้รวบรวมเน้ือหาให้สอดคล้องและครบตามสาระการเรียนรู้ หากมีส่วนใดท่ียังไม่ สมบูรณ์ ผู้เรียบเรียงยินดีน้อมรับคาแนะนา เพื่อนาข้อมูลมาปรับปรุงให้สมบูรณ์ย่ิงขึ้น และ ขอขอบพระคุณ ทา่ นคณะผู้เช่ียวชาญ ท่านอาจารย์จากวิทยาลัยเทคนิคมีนบุรี วิทยาลัยเทคนิคนครนายก วิทยาลัยเทคนิคปราจีนบุรี วิทยาลัยช่างกลปทุมวัน และสถานศึกษาในสถาบันสังกัดสานักงาน คณะกรรมการการอาชีวศึกษา ที่ให้คาปรึกษาแนะนาการพัฒนาเอกสารประกอบการสอน ครูผู้สอน ผู้ประสาทวิชาความรู้ทุกท่าน รวมท้ังครู อาจารย์ เจ้าของ เอกสาร หนังสือ ตาราต้นฉบับ ท่ีใช้อ้างอิง ประกอบในการเรียบเรียงไว้ ณ โอกาสนี้ และขอบุญ กุศลของผู้เรียบเรียงท่ีได้ต้ังใจทาเต็ม ความความสามารถส่งผลให้ บิดา มารดา ผู้มีพระคุณทั้งหลาย ผู้ตรวจผลงาน เจ้ากรรมนายเวร บริวาร จงได้รบั ผลบุญ สง่ เสรมิ ให้มีสุขภาพดี ปลอดภยั จากโรคภยั ไขเ้ จบ็ มคี วามสุขยง่ิ ขึ้นไปดว้ ยเทอญ สองเมือง กุด่นั

ข สำรบญั เรอื่ ง หนำ้ คานา ก สารบัญ ข คาอธบิ ายรายวชิ า ง โครงการสอน จ วธิ กี ารใชเ้ อกสารประกอบการเรียนการสอน ฉ หนว่ ยท่ี 3 เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแก้สมการโดยใช้ดเี ทอร์มิแนนซ์ แมททริกซ์ 1 แบบทดสอบก่อนเรียน หน่วยท่ี 3 เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแก้สมการโดยใช้ ดเี ทอร์มิแนนซ์ แมททริกซ์ 5 ใบความรู้ หนว่ ยท่ี 3 เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแกส้ มการโดยใช้ 6 ดีเทอรม์ ิแนนซ์ แมททริกซ์ 6 สาระการเรยี นรู้ 6 สาระสาคญั 7 สมรรถนะย่อย 7 จุดประสงค์การเรยี นรู้ 7 ด้านคณุ ธรรมและจริยธรรม 8 กจิ กรรมระหวา่ งเรียน 8 เนอื้ หาสาระ 32 37 3.1 จานวนเชิงซอ้ น (Complex Number) 39 3.2 แมททริกซ์ (Matrix) 46 3.3 ดเี ทอรม์ ิแนนท์ (Determinants) 48 3.4 การแกส้ มการโดยใชแ้ มททรกิ ซแ์ ละดเี ทอรม์ ิแนนท์ 3.5 สรปุ สาระสาคัญ 49 เอกสารอา้ งอิง แบบฝกึ หัด หน่วยที่ 3 เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแกส้ มการโดยใช้ดเี ทอรม์ ิแนนซ์ 53 แมททริกซ์ ใบประเมนิ แบบฝึกหดั หนว่ ยท่ี 3 เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแกส้ มการ โดยใช้ดเี ทอรม์ แิ นนซ์ แมททริกซ์

ค สำรบัญ (ตอ่ ) เร่อื ง หน้ำ แบบทดสอบหลังเรียน หน่วยท่ี 3 เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแกส้ มการโดยใช้ 54 ดเี ทอรม์ ิแนนซ์ แมททริกซ์ 58 แบบประเมินด้านคุณธรรมและจริยธรรม หนว่ ยที่ 3 เลขจานวนเชงิ ซ้อนและ 60 การแก้สมการโดยใชด้ เี ทอรม์ ิแนนซ์ แมททรกิ ซ์ 69 แผนการจดั การเรยี นรู้ หนว่ ยที่ 3 เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแกส้ มการโดยใช้ 70 ดเี ทอรม์ ิแนนซ์ แมททรกิ ซ์ 72 บันทึกหลังการสอน หน่วยที่ 3 เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแกส้ มการโดยใช้ 85 ดีเทอร์มิแนนซ์ แมททริกซ์ 87 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน หน่วยที่ 3 เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแกส้ มการโดย ใช้ดเี ทอร์มิแนนซ์ แมททริกซ์ เฉลยแบบฝกึ หดั หน่วยที่ 3 เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแก้สมการโดยใช้ ดเี ทอรม์ ิแนนซ์ แมททรกิ ซ์ เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น หนว่ ยท่ี 3 เลขจานวนเชิงซ้อนและการแก้สมการ โดยใช้ดเี ทอร์มิแนนซ์ แมททริกซ์ สือ่ การสอน power point หน่วยที่ 3 เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแกส้ มการ โดยใชด้ ีเทอรม์ ิแนนซ์ แมททริกซ์

ง คำอธิบำยรำยวิชำ ช่ือรำยวชิ ำ คณิตศำสตรอ์ ิเลก็ ทรอนิกส์ รหัสวิชำ 2105-2101 ระดับ ประกำศนยี บัตรวชิ ำชพี สำขำวชิ ำชำ่ งอิเลก็ ทรอนิกส์ จำนวนหนว่ ยกิต 2 หน่วยกิต จำนวนชัว่ โมงรวม 36 ช่วั โมง 2105-2101 คณติ ศำสตร์อเิ ลก็ ทรอนิกส์ 2 - 0 - 2 จุดประสงคร์ ำยวิชำ เพ่ือให้ 1. เขา้ ใจในการนาวิธีทางคณิตศาสตรไ์ ปใชค้ านวณวงจรไฟฟ้าเเละอิเลก็ ทรอนิกส์ 2. มที กั ษะในการคานวณวงจรไฟฟ้าเเละอเิ ล็กทรอนิกส์ 3. มีกิจนิสยั ในการคน้ ควา้ หาความรเู้ พมิ่ เติม สมรรถนะรำยวิชำ แสดงความรเู้ กีย่ วกบั การนาวิธกี ารทางคณิตศาสตร์ไปใช้คานวณวงจรไฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ คำอธบิ ำยรำยวชิ ำ ศึกษาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในวงจรไฟฟ้ากระแสตรงและกระแสสลับ วงจรอิเล็กทรอนิกส์ เลขจานวนเชิงซ้อน การแก้สมการโดยใช้ดีเทอร์มิแนนซ์แมททริกซ์ การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า วงจรอิเล็กทรอนิกส์ ด้วยกฎของโอห์ม กฎของเคอร์ชอฟฟ์ เมชเคอเรนต์ โนดโวลเตจ ทฤษฎีวางซ้อน ทฤษฎีเทวนิ นิ ทฤษฎนี อร์ตนั การวิเคราะหว์ งจรทรานเชียนทเ์ บ้อื งต้น วงจรเรโซแนนซ์ วงจรสตาร์ เดลด้า วงจรไฟฟา้ กระแสสลับ 3 เฟส การประยกุ ตใ์ ช้คณติ ศาสตร์ในงานอเิ ล็กทรอนิกส์

จ โครงกำรสอน (Teaching Program) ชื่อรำยวิชำ คณิตศำสตร์อิเลก็ ทรอนิกส์ เวลำเรยี น 2 ช่วั โมง/สปั ดำห์ ในหลักสูตร หลกั สตู รประกำศนยี บตั รวชิ ำชพี พทุ ธศักรำช 2556 ภำคเรียนท่ี 2 ครง้ั ที่ หัวข้อเรอ่ื ง เวลำเรียน (ช่วั โมง) 1-2 คณิตศาสตร์ในวงจรไฟฟ้ากระแสตรงและ กระแสสลับ 3 วงจรอิเลก็ ทรอนิกส์ รวม 4-5 เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแกส้ มการโดยใช้ดเี ทอรม์ ิแนนซ์แมททริกซ์ 6-8 การวเิ คราะหว์ งจรไฟฟา้ และวงจรอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ด้วยกฎของโอห์ม 4 9-10 กฎของเคอร์ชอฟฟ์ วธิ เี มชเคอรเ์ รนต์และวิธีโนดโวลเตจ 2 11-12 ทฤษฎกี ารวางซอ้ นทฤษฎีเทวินินและทฤษฎนี อร์ตัน 4 13-14 การวเิ คราะห์วงจรทรานเซียนตเ์ บ้ืองต้น และวงจรเรโซแนนซ์ 6 15-16 วงจรสตาร์ วงจรเดลตา และวงจรไฟฟา้ กระแสสลบั 3 เฟส 4 17 การประยุกต์ใชค้ ณิตศาสตร์ในงานอเิ ล็กทรอนิกส์ 4 18 สอบปลายภาคเรยี น 4 4 รวม 2 2 36

ฉ วิธกี ำรใช้เอกสำรประกอบกำรเรยี นกำรสอน ช่อื รำยวชิ ำ 2105-2101 คณติ ศำสตร์อิเลก็ ทรอนกิ ส์ หน่วยกิต 2 ในหลกั สูตร ประกำศนียบัตรวิชำชีพ (ปวช.) สอนปีที่ 2 เอกสารประกอบการเรียนการสอน สาหรับครูผสู้ อนรายวิชาคณิตศาสตรอ์ เิ ลก็ ทรอนิกส์ม่งุ เน้นท่ี จะทาให้ครูผู้สอนมีคู่มือประกอบการเรียนการสอน ใบเนื้อหา ส่ือการสอน แบบฝึกหัดท้ายหน่วย แบบทดสอบก่อน-หลังเรียน และแบบประเมิน ท่ีจะนาไปใช้เพ่ือให้การเรียนการสอนเป็นไปตาม วัตถุประสงค์รายวิชา ครูผู้สอนควรมีการศึกษาคาอธิบายรายวิชาประกอบด้วย เพ่ือเป็นแนวทางในการ จัดการเรียนการสอน ซึ่งเอกสารประกอบการเรียนการสอนน้ีผู้เขียนได้ทาการแบ่งการเรียนไว้เป็น 9 หน่วยการเรียน ซ่ึงแต่ละหน่วยการเรียนจะมีแผนบทเรียนเอาไว้ให้เป็นแนวทางในการจัดการเรียนการ สอนของแต่ละสัปดาห์ มีใบความรู้ให้กับผู้เรียน มีแบบฝึกหัดท้ายหน่วยละ 1 แบบฝึกหัด มีแบบทดสอบก่อน-หลังเรียน หลังจากการเรียนครบ 17 สัปดาห์ มีข้อสอบปลายภาคเพ่ือประเมินผล การเรยี น ซ่งึ ครูผูส้ อนสามารถประเมนิ ผลการเรียนของผ้เู รียนได้ดังนี้ เกณฑ์กำรประเมินผลรำยวชิ ำ คณติ ศำสตร์อเิ ล็กทรอนกิ ส์ 1. วธิ กี ำรให้คะแนน ผลสมั ฤทธิ์ 1.1 ส่ิงทจี่ ะวัด 1.1.1 วดั ความรูค้ วามเข้าใจจดุ ประสงค์การเรยี นรู้ 1.1.2 สงั เกตพฤตกิ รรมการเรียน 1.2 วธิ กี ารวดั 1.2.1 ตรวจแบบทดสอบก่อนและหลังเรยี น 1.2.2 ตรวจงานท่ีมอบหมายจากการทาแบบฝึกหัด 1.2.3 สังเกตพฤตกิ รรมการเรียน 1.3 เคร่ืองมือวดั 1.3.1 แบบทดสอบก่อนและหลังเรียน 1.3.2 แบบสงั เกตพฤติกรรม 1.4 เกณฑ์การวัดและการประเมินผล 1.4.1 เกณฑ์การวัดผลแตล่ ะหน่วยการเรียน 1) แบบฝึกหดั ทา้ ยหนว่ ย ให้ขอ้ ถูกข้อละ 1 คะแนน 2) ใหค้ ะแนนการทาแบบฝกึ หดั 1 แบบฝึกหัด

ช 2. เกณฑ์คำ่ ระดับคะแนน (Grading) 2.1 คะแนนท่ีได้จากแบบฝกึ หัด และคะแนนจากการปฏบิ ตั ิงานท้งั ภาคเรยี นคิดเปน็ 50% 2.2 คะแนนสอบปลายภาคเรียน คิดเปน็ 30% ไดจ้ ากการเฉลีย่ ภาคทฤษฎี 2.3 คะแนนคณุ ธรรมและจริยธรรม 20% 2.4 คะแนนทง้ั หมด 100 คะแนน 3. ระดับคะแนนกำรประเมนิ ผล 80 - 100 ระดับคะแนน 4 หมายถงึ ดเี ย่ียม 75 - 79 ระดับคะแนน 3.5 หมายถึง ดมี าก 70 - 74 ระดับคะแนน 3 หมายถึง ดี 65 - 69 ระดับคะแนน 2.5 หมายถงึ ดพี อใช้ 60 - 64 ระดับคะแนน 2 หมายถึง พอใช้ 55 - 59 ระดบั คะแนน 1.5 หมายถึง ออ่ น 50 - 54 ระดับคะแนน 1 หมายถงึ ออ่ นมาก 0 - 49 ระดับคะแนน 0 หมายถึง ไม่ผา่ น

แบบทดสอบกอ่ นเรียน หน่วยที่ 3 เร่อื ง เลขจำนวนเชิงซอ้ นและกำรแก้สมกำรโดยใช้ดีเทอรม์ ิแนนซ์แมททรกิ ซ์

2 แบบทดสอบกอ่ นเรยี น หน่วยที่ 3 ชือ่ วิชา คณิตศาสตร์อิเล็กทรอนกิ ส์ รหสั วชิ า 2105-2101 สอนคร้ังท่ี 4-5 ชอ่ื หนว่ ย เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแกส้ มการโดยใชด้ เี ทอรม์ ิแนนซ์ แมททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง คาสัง่ จงทาเครอื่ งหมาย Χ ลงในข้อทเ่ี ห็นวา่ ถูกต้องทส่ี ดุ ลงในกระดาษคาตอบ 1. ข้อใดบอกความหมายของจานวนเชงิ ซอ้ นไดถ้ ูกตอ้ ง ก. จานวนที่ประกอบด้วยจานวน 2 กลุ่ม กลุ่มหน่ึงเป็นจานวนจริงอีกกลุ่มหนึ่งเป็นจานวน จนิ ตภาพ ข. จานวนจนิ ตภาพท่อี ยใู่ นรปู แบบของพิกัดฉากและเชิงเส้น ค. จานวนจินตภาพ ง. จานวนจรงิ ทอี่ ยู่ในรปู แบบของพิกดั ฉากและเชงิ เสน้ 2. Z1 = 9 + j5 ,Z2 = 1 - j4 จากสมการเมอ่ื นา Z1 + Z2 มคี ่าตรงกบั ขอ้ ใด ก. z = 14 + j5 ข. z = 10 + j1 ค. z = 10 + j15 ง. z = 10 + j9 3. Z1 = 9 + j5 ,Z2 = 1 - j4 จากสมการเมอ่ื นา Z1 x Z2 มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด ก. z = 45 - j4 ข. z = 10 + j1 ค. z = 9 - j20 ง. z = 29 - j31 4. z = 3 + j4 จากสมการ ถ้าเปลี่ยนเปน็ รูปแบบเชงิ ข้วั มคี ่าตรงกบั ขอ้ ใด ก. z = 5/53.13o ข. z = 5/-53.13o ค. z = 10/-53.13o ง. z = 15/53.13o

3 แบบทดสอบก่อนเรียน หน่วยที่ 3 ช่ือวชิ า คณิตศาสตร์อเิ ลก็ ทรอนิกส์ รหสั วชิ า 2105-2101 สอนครั้งที่ 4-5 ชอื่ หนว่ ย เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแก้สมการโดยใชด้ เี ทอรม์ ิแนนซ์ แมททรกิ ซ์ จานวน 4 ชว่ั โมง 5. z = 15/53.13o จากสมการ ถ้าเปลี่ยนเป็นรูปแบบแกนมมุ ฉากมคี ่าตรงกบั ขอ้ ใด ก. z = 12 +j9 ข. z = 5 +j9 ค. z = 9 + j12 ง. z = 9 -j12 6. ขอ้ ใดบอกลักษณะของแมทริกซ์ไดถ้ กู ต้อง ก. กลุ่มตัวเลขที่จัดวางเรียงกันในแนวต้ังเรียกว่าแถว (Row) และแนวนอนเรียกว่าตั้ง (Collum) ภายในเครือ่ งหมาย [ ] ข. กลุ่มตัวเลขที่จัดวางเรียงกันในแนวต้ังเรียกว่าหลัก (Column) และแนวนอนเรียกว่าแถว (Row) ภายในเครื่องหมาย [ ] ค. กลมุ่ ตวั เลขทจ่ี ดั วางเรยี งกันในรปู แบบสมการเชงิ เสน้ ง. กลมุ่ ตัวเลข ตวั แปร หรือฟงั ชนั้ จัดเรยี งภายในเครอ่ื งหมาย [ ] 7. แมทริกซ์มีก่ีชนดิ ก. 4 ชนดิ ข. 6 ชนิด ค. 8 ชนิด ง. 10 ชนดิ 8. ผลบวกของเมทริกซ์ A +B มคี า่ ตรงกับข้อใด เมื่อ A = 5 - 3 และ B= 2 - 3 6 3 2x2 - 1  6  2x2 ก. 10 - 9 - 6 12  2x2 6 ข. 10 92x2  6

4 แบบทดสอบกอ่ นเรยี น หนว่ ยท่ี 3 ชอ่ื วชิ า คณิตศาสตรอ์ เิ ลก็ ทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครั้งที่ 4-5 ชอ่ื หน่วย เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแก้สมการโดยใชด้ ีเทอร์มิแนนซ์ แมททริกซ์ จานวน 4 ช่วั โมง ค. 7 - 6 5 9 2x2 ง. - 7 6 - 5 - 92x2 9. A = 5 - 4 จากแมทรกิ ซ์ ค่าดเี ทอรม์ ิแนนท์ มคี า่ ตรงกบั ขอ้ ใด 3  3  ก. 9 ข. 15 ค. -27 ง. 27 10. จากสมการ (1) , (2) และ (3) คา่ I1, I2 และ I3 มคี ่าตรงกบั ขอ้ ใด 2I1 - 2 I2 + 4I3 =5 สมการที่ 1 3I1 + 4I2 + 5I3 =8 สมการท่ี 2 3I1 + 2I2 - 2I3 =3 สมการท่ี 3 ก. I1 = 1.33, I2 = 0.67 และ I3 = 1.5 ข. I1 = 1.3, I2 = 0.6 และ I3 = 1.5 ค. I1 = 1.5 , I2 = 1.33 และ I3 = 1.5 ง. I1 = 1.33, I2 = 0.17 และ I3 = 0.67

ใบความรู้ หนว่ ยที่ 3 เรือ่ ง เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแก้สมการโดยใชด้ เี ทอรม์ แิ นนซแ์ มททรกิ ซ์

6 ใบความรู้ หน่วยท่ี 3 ช่อื วิชา คณติ ศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครง้ั ท่ี 4–5 ชื่อหน่วย เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแก้สมการโดยใช้ดีเทอรม์ ิแนนท์แมททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง สาระการเรยี นรู้ 3.1 จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Number) 3.2 แมททริกซ์ (Matrix) 3.3 ดีเทอรม์ ิแนนท์ (Determinants) 3.4 การแก้สมการโดยใช้แมททริกซ์และดเี ทอรม์ แิ นนท์ 3.5 สรปุ สาระสาคญั สาระสาคัญ จานวนเชิงซ้อน (Complex Number) คือ จานวนท่ีประกอบด้วยส่วนที่เป็นจานวนจริงและส่วน ที่เป็นจานวนจินตภาพ โดยส่วนท่ีเป็นจานวนจรงิ แสดงบนกราฟท่ีแกน จานวนจินตภาพแสดงบนกราฟที่ แกน y สามารถนาไปใช้ในการเขียนแทนปริมาณทางไฟฟ้าได้ เน่ืองจากปริมาณทางไฟฟ้าเป็นปรมิ าณท่มี ีท้ัง ขนาดและทิศทาง เพื่อทาการวิเคราะห์หรือแกป้ ัญหาในการคานวณค่าต่างๆ ในวงจรไฟฟ้าได้ ใช้สัญลักษณ์ Z แทนจานวนเชิงซ้อน ซึ่ง ค่า Z ดังกล่าว ในปริมาณทางไฟฟ้าเปรียบเสมือนค่าความต้านทานรวมของ วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ที่ประกอบด้วย ค่าความต้านทานของตัวต้านทาน ค่าความต้านทานของตัวเก็บ ประจุ ค่าความต้านทานของตัวเหน่ียวนา หรือประกอบด้วยอุปกรณ์ดังกล่าว ตัวใดตัวหน่ึง นอกจากเขียน แทนคา่ ความตา้ นทานแลว้ ยังสามารถนาไปเขยี นแทนปริมาณอน่ื ๆ ในวงจรไฟฟ้าไดด้ ้วย แมททริกซ์และดีเทอรม์ แิ นนท์ (Matrix and Determinants) เป็นวธิ กี ารคานวณทางคณิตศาสตร์ ในกรณที ีใ่ ชแ้ กป้ ัญหาโจทยท์ ีม่ ีความซบั ซ้อนยุง่ ยาก สาหรบั สมการท่มี ตี วั แปรต้งั แตส่ องตัวขึน้ ไป และมีสองสมการ เกดิ ขึ้นพร้อมกัน ด้วยการจัดตวั เลขไวเ้ ป็นชดุ มหี ลกั เกณฑ์การหาค่าทแี่ นน่ อน ในหน่วยนี้จะอธบิ ายการ แก้สมการทไี่ มท่ ราบคา่ สองตัวแปร และการแกม้ การทไี่ ม่ทราบคา่ สามตัวแปร โดยชดุ ตวั เลขที่จดั ไว้ จะเขียน ในตารางแมททริกซ์ ซึง่ ประกอบด้วยคา่ คงท่ี หรอื ตัวแปร กาหนดไว้ในแนวนอน หรอื เรียกวา่ แถว (Row) และแนวตงั้ หรอื เรียกวา่ หลกั (Column) คานวณคา่ ออกมาเปน็ ค่าดเี ทอร์มิแนนท์ สามารถตรวจคาตอบ ดว้ ยการแทนค่าตวั แปรท่ีหาไดใ้ นแต่ละสมการ ซ่งึ ทาใหส้ มการเปน็ จริง สมรรถนะย่อย แสดงความรู้เกี่ยวกับจานวนเชิงซ้อน (Complex Number) และการแก้สมการโดยใช้แมททริกซ์ และดเี ทอร์มิแนนตท์ (Matrix and Determinants) ได้

7 ใบความรู้ หน่วยที่ 3 ชือ่ วิชา คณติ ศาสตร์อเิ ล็กทรอนิกส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนคร้งั ท่ี 4–5 ชื่อหน่วย เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแก้สมการโดยใชด้ เี ทอรม์ ิแนนทแ์ มททริกซ์ จานวน 4 ชว่ั โมง จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 1. บอกความหมายของจานวนเชงิ ซ้อนได้ถกู ต้อง 2. คานวณหาค่าจานวนเชิงซ้อนในรปู แบบต่างๆ ได้ถูกต้อง 3. เปลย่ี นจานวนเชงิ ซ้อนในรปู แบบแกนมมุ ฉากเป็นรปู แบบเชงิ ข้วั ได้ถูกต้อง 4. เปลี่ยนจานวนเชงิ ซอ้ นในรปู แบบเชงิ ขว้ั เปน็ รปู แบบแกนมุมฉากได้ถกู ต้อง 5. บอกลกั ษณะของแมททริกซ์ ไดถ้ ูกตอ้ ง 6. บอกชนิดของแมททริกซ์ ได้ถูกต้อง 7. คานวณการหาคา่ แมททริกซ์ ไดถ้ ูกตอ้ ง 8. คานวณหาค่าของดีเทอร์มิแนนท์ได้ถกู ต้อง 9. แก้สมการหาคา่ ตวั แปรโดยใช้แมททริกซ์และดีเทอรม์ แิ นนท์ ไดถ้ ูกต้อง ดา้ นคุณธรรมและจรยิ ธรรม 1. ความขยนั หมั่นเพยี ร 2. การประหยดั 3. ความซ่อื สตั ย์ 4. ความมวี นิ ัย 5. ความสภุ าพ 6. ความสะอาด 7. ความสามัคคี 8. ความมนี า้ ใจ กจิ กรรมระหวา่ งเรยี น 1. ทาแบบประเมินตนเอง (แบบทดสอบกอ่ นเรยี น 10 ข้อ) 2. ศึกษาเอกสารประกอบการเรยี นการสอน 3. ทาแบบฝึกหดั ท่ีกาหนด 4. ทาแบบประเมินตนเอง (แบบทดสอบหลังเรยี น 10 ขอ้ )

8 ใบความรู้ หน่วยท่ี 3 ชอ่ื วิชา คณติ ศาสตรอ์ เิ ล็กทรอนกิ ส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนครง้ั ที่ 4–5 ชื่อหน่วย เลขจานวนเชิงซ้อนและการแกส้ มการโดยใชด้ เี ทอรม์ แิ นนทแ์ มททริกซ์ จานวน 4 ชั่วโมง เน้อื หาสาระ 3.1 จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Number) 3.1.1 สว่ นประกอบของจานวนเชิงซ้อน จานวนเชิงซ้อน (Complex Number) คือ จานวนที่ประกอบด้วยส่วนท่ีเป็นจานวนจริงและ สว่ นทเ่ี ปน็ จานวนจนิ ตภาพ ใชส้ ญั ลกั ษณ์ Z แทนจานวนเชิงซ้อน 3.1.1.1 จานวนจริง จานวนจริง คือ จานวนที่ทราบค่าแน่นอนมีความหมายแน่ชัด เป็นได้ท้ังค่าบวกและลบ เช่น 1, 2, 3, -1, -2, -3, ---,n หรืออาจเป็นจานวนที่เป็นเศษส่วน หรือเป็นเลขที่มีทศนิยม หรือศูนย์ (0) จานวนจริงสามารถนามา บวก ลบ คูณ หาร ยกกาลัง และเขียนในรูปเคร่ืองหมายราก (root) “ ” ได้ เช่น 1 + 2 = 3, 4 – 5 = -1, 3 x 2 = 6, 6  1 = 6, 9 = 3 เป็นต้น ถ้าเขียนเป็นกราฟ จานวนจริง จะอย่บู นแกน x (แนวนอน) ของกราฟ ดังรปู ท่ี 3.1 -R (- ) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 R ( ) รปู ที่ 3.1 จานวนจรงิ บนแกน 3.1.1.2 จานวนจินตภาพ จานวนจินตภาพ คือ จานวนที่ไม่เป็นจริง เป็นจานวนจินตนาการไม่ทราบค่าว่ามีมากน้อย เพียงไร ถ้าพิจารณาสมการดงั ต่อไปนี้ j2 + 1 = 0 j2 = -1 ดังนัน้ j =  -1 ซึ่ง -1 เป็นจานวนท่ีไม่สามารถหาค่าได้ หรือไม่สามารถถอดรากได้ จึงกาหนดให้แทนค่า ด้วย “j” (ตาราบางเล่มใช้ i) ค่า j หรือ จานวนจินตภาพนี้จะปรากฏอยู่ในแกน y (แกนแนวตั้ง) กล่าวคือ ถ้ามคี ่าไปทางบวกเรียกว่า “j” แตถ่ า้ มคี า่ ไปทางลjบเรียกว่า “-j” ดังรปู ที่ 3.2 0 -j รูปที่ 3.2 จานวนจินตภาพบนแกน y

9 ใบความรู้ หนว่ ยที่ 3 ชอื่ วิชา คณติ ศาสตรอ์ ิเล็กทรอนกิ ส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนครงั้ ที่ 4–5 ชอ่ื หน่วย เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแกส้ มการโดยใช้ดีเทอรม์ ิแนนทแ์ มททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง การหาคา่ ของจานวนจินตภาพมหี ลายวธิ ี ประกอบด้วย 1. การบวกจานวนจินตภาพ ทาได้เช่นเดยี วกบั จานวนจรงิ เชน่ ก. j2 + j4 = j6 ข. - j6 + j8 = j2 ค. (-j1) + (-j4) = -j5 2. การลบจานวนจินตภาพ ทาไดเ้ ชน่ เดียวกับจานวนจรงิ เช่น ก. j6 – j2 = j4 ข. - j1 – j5 = - j6 ค. (-j4) - (-j5) = j1 3. การยกกาลังของจานวนจินตภาพ พิจารณาจากจานวนจรงิ บนแกน และจานวนจินตภาพ บนแกน y โดยให้ค่าในแตล่ ะทศิ ทางเป็น “1” หน่วย ดังรูปท่ี 3.3 =j = -j รปู ที่ 3.3 การนบั วนทวนเข็มนาฬิกา ของจานวนจนิ ตภาพ การพิจารณาการยกกาลงั ของจานวนจนิ ตภาพ ศกึ ษาดจู ากรูปท่ี 3.3 วนทวนเขม็ นาฬิกา ดงั น้ี j0 = 1 j1 = -1 ดงั นั้น j1 = j j2 = (j) (j) j2 =  -1  -1 11 j2 = (-1) 2 . (-1) 2 ดงั นัน้ j2 = -1 j3 = j2 (j)

10 ใบความรู้ หนว่ ยท่ี 3 ชอื่ วิชา คณิตศาสตรอ์ ิเล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครง้ั ท่ี 4–5 ชอ่ื หน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแกส้ มการโดยใช้ดีเทอรม์ แิ นนท์แมททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง j3 = (-1) j ดงั นั้น j3 = -j j4 = j2 j2 j4 = (-1) (-1) ดังนั้น j4 = 1 j5 = j4 (j) j5 = (1) (j) ดังน้ัน j5 = j ในกรณีที่จานวนจินตภาพยกกาลังด้วยตัวเลขค่ามาก การที่จะพิจารณาค่าการยกกาลังดังรูป ท่ี 3.3 ใช้วิธีแก้ปัญหาคือ นา 4 ไปหารค่ายกกาลังของจานวนจินตภาพ นาเศษที่เหลือมาพิจารณาเป็น คา่ ยกกาลัง ดังน้ี 4 เศษ 0 j0 = 1 j4 4 j1 = j 9 j1 = j j9 4 เศษ 1 = -1 = -1 j525 525 เศษ 1 4 4. การคณู จานวนจินตภาพ เชน่ ก. (j4) (j2) = j2 8 = (-1) 8 = -8 ข. (-j4) (j5) = -j2 20 = - (-1) 20 = 20 ค. (-j3) (-j) = j2 3 = (-1) 3 = -3 5. การหารจานวนจนิ ตภาพ เช่น ก. (j8) (j4) = j8 j4 = 8 4

11 ใบความรู้ หน่วยท่ี 3 ชอ่ื วิชา คณติ ศาสตรอ์ เิ ล็กทรอนกิ ส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนครัง้ ที่ 4–5 ชื่อหน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแก้สมการโดยใชด้ เี ทอรม์ ิแนนทแ์ มททริกซ์ จานวน 4 ชั่วโมง =2 ข. (-j12) (j6) = - j12 j6 = - 12 6 = -2 ค. (-j6) (-j3) = - j6 - j3 =6 3 =2 ตัวอย่างที่ 3.1 จงหาค่าจานวนจรงิ และจานวนจินตภาพของเลขจานวนเชิงซ้อน ต่อไปนี้ ตอบ (1) 4 x 103 - j1 x 103 (2) 200 x 104 ตอบ ตอบ (3) j (4) j6 -10 j3 วธิ ที า (1) 4 x 103 - j1 x 103 ดงั น้นั จานวนจรงิ = 4 x 103 จานวนจนิ ตภาพ = - 1 x 103 (2) 200 x 104 200 x 104 = 200 x 104 + j0 ดงั นั้น จานวนจริง = 200 x 104 จานวนจนิ ตภาพ = 0 (3) j = 0 + j ดังนน้ั จานวนจริง = 0 จานวนจินตภาพ = 

12 ใบความรู้ หน่วยที่ 3 ชอื่ วิชา คณติ ศาสตรอ์ ิเล็กทรอนกิ ส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครั้งท่ี 4–5 ช่ือหน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแก้สมการโดยใช้ดเี ทอรม์ แิ นนทแ์ มททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่วั โมง (4) j6 -10 j3 j6 -10 j3 = j4 j2 - 10 j2 (j) = -1 + j10 ดังนน้ั จานวนจริง = -1 จานวนจนิ ตภาพ = 10 ตอบ 3.1.2 รูปแบบปริมาณเชิงซ้อน มี 4 รูปแบบ ดงั นี้ 3.1.2.1 รปู แบบแกนมมุ ฉาก (Rectangular Form) 1. การเขียนสมการรูปแบบแกนมุมฉาก เป็นรูปแบบท่ีเขียนมาจากแกน และ แกน y ของกราฟ เรยี กวา่ คู่ลาดบั มรี ปู แบบ คอื Z =  ( )  (y) สมการท่ี 3.1 j Z7 -j รูปท่ี 3.4 จานวนเชิงซ้อนแบบแกนมมุ ฉาก เขยี นมาจากคู่ลาดับ

13 ใบความรู้ หนว่ ยท่ี 3 ชือ่ วิชา คณติ ศาสตร์อเิ ล็กทรอนกิ ส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนคร้งั ที่ 4–5 ชื่อหน่วย เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแกส้ มการโดยใชด้ ีเทอรม์ แิ นนทแ์ มททริกซ์ จานวน 4 ชว่ั โมง จากรปู ที่ 3.4 เขียนเลขจานวนเชิงซอ้ นในรปู แบบแกนมุมฉากไดด้ ังน้ี Z1 = 3 + j2 Z2 = -2 + j2 Z3 = -3 – j3 Z4 = 4 - j3 Z5 = 2 + j0 Z6 = 0 + j4 Z7 = -5 + j0 Z8 = 0 – j2 2. การหาผลลพั ธ์รปู แบบแกนมมุ ฉาก สามารถหาได้ ดงั น้ี 2.1 การบวกและลบเลขจานวนเชิงซ้อนในรูปแบบแกนมุมฉาก ให้เอาจานวน จรงิ บวกหรือลบกบั จานวนจริง และเอาจานวนจนิ ตภาพบวกหรือลบกับจานวนจินตภาพ ตัวอย่างท่ี 3.2 จากรปู ท่ี 3.4 จงหาค่า 1. Z1 + Z2 2. Z3 - Z4 1. Z1 + Z2 วิธที า Z1 + Z2 = (3 + j2) + (-2 + j2) Z1 + Z2 = 1 + j4 ดังนนั้ Z1 + Z2 = 1 + j4 ตอบ 2. Z3 - Z4 วธิ ที า Z3 - Z4 = (-3 – j3) – (4 - j3) Z3 - Z4 = -7 + j0 ดังนนั้ Z3 - Z4 = -7 + j0 ตอบ

14 ใบความรู้ หนว่ ยที่ 3 ชอ่ื วิชา คณติ ศาสตรอ์ เิ ล็กทรอนิกส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนคร้งั ที่ 4–5 ช่อื หน่วย เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแกส้ มการโดยใชด้ ีเทอรม์ แิ นนท์แมททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง 2.2 การคูณเลขจานวนเชิงซ้อนในรูปแบบมุมฉาก อาศัยหลักการคูณ ทางพชี คณิตท่วั ไป ตวั อยา่ งที่ 3.3 จากรปู ที่ 3.4 จงหาคา่ Z1 Z4 Z1 Z4 = (3 + j2) (4 - j3) Z1 Z4 = 12 – j9 + j8 - j2 6 Z1 Z4 = 12 – j9 + j8 – (-1)6 Z1 Z4 = 12 – j1 + 6 Z1 Z4 = 18 - j1 ดงั นั้น Z1 Z4 = 18 - j1 ตอบ 2.3 การหารเลขจานวนเชิงซ้อนในรูปแบบมุมฉาก ให้นาตัวหารมาคอนจูเกต (conjugate) แล้วเอาไปคูณท้ังเศษและส่วนที่หารกันอยู่ การคอนจูเกตคือ การเปลี่ยนเคร่ืองหมายเป็นตรง ขา้ มในส่วนของจานวนจินตภาพ เช่น Z1 = 3 + j2 ดังนัน้ Z1* = 3 - j2 Z1* หมายถงึ นา Z1 มาคอนจเู กต (conjugate) Z1  Z2 =  Z1   Z2*   Z2   Z2*      ตวั อย่างท่ี 3.4 จากรปู ท่ี 3.4 จงหาค่า Z3  Z4 วธิ ีทา Z3  Z4 =  - 3 - j3   4  j3   4 - j3  4  j3 Z3  Z4 =  - 12 - j9 - j12 - j2 9   16  j12 - j12 - j2 9  Z3  Z4 =  - 12 - j9 - j12 - (-1)9   16  j12 - j12 - (-1)9 

15 ใบความรู้ หนว่ ยที่ 3 ชอ่ื วิชา คณิตศาสตรอ์ ิเล็กทรอนกิ ส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครั้งท่ี 4–5 ช่ือหน่วย เลขจานวนเชิงซ้อนและการแก้สมการโดยใชด้ เี ทอรม์ แิ นนท์แมททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง Z3  Z4 =  - 12 - j21  9   16 9  Z3  Z4 =  - 3 - j21   25  Z3  Z4 = - 3 - j 21 25 25 Z3  Z4 = -0.12 –j 0.84 ตอบ ดงั นนั้ Z3  Z4 = -0.12 –j 0.84 3.1.2.2. รปู แบบเชิงขัว้ (polar form) 1. การเขียนสมการรปู แบบเชิงข้ัว เป็นรูปแบบทเ่ี ขยี นมาจากขนาดของเวกเตอร์ รวม กบั ค่ามมุ ของเวกเตอร์น้นั มรี ปู แบบ คอื Z = r / θ สมการที่ 3.2 (ก) แกนอา้ งอิงและมุม (ข) รปู แบบเชิงข้ัว รปู ที่ 3.5 จานวนเชงิ ซอ้ นแบบเชิงขวั้ ทม่ี า : ชัด อินทะสี.วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ 2541 : หน้า 23 จากรูปท่ี 3.5 (ข) เม่ือ r คือ ขนาดของปริมาณเวคเตอร์ หรือเรยี กว่าคา่ Modulus หรอื หมายถงึ ขนาดของปรมิ าณ Z หรอื ค่าสมั บูรณข์ อง Z หาไดจ้ าก

16 ใบความรู้ หนว่ ยที่ 3 ชอ่ื วิชา คณติ ศาสตร์อิเล็กทรอนกิ ส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนคร้ังที่ 4–5 ชอ่ื หน่วย เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแก้สมการโดยใช้ดเี ทอรม์ แิ นนท์แมททริกซ์ จานวน 4 ชัว่ โมง r = x2  y2 สมการที่ 3.3 θ คอื มมุ ของ Z วัดเป็นองศา หาไดจ้ าก มมุ θ = tan- 1  y  สมการที่ 3.4  x  นั้นคอื Z = x2  y2 tan- 1 y x ดงั นน้ั Z = r /  θ จากรปู 3.4 เราสามารถหาค่าปริมาณเชงิ ซ้อนใหอ้ ยู่ในรปู แบบเชงิ ขั้วได้ดงั ตัวอยา่ ง ตวั อย่างที่ 3.5 จงหาคา่ Z1 ในรูปที่ 3.4 ให้เปน็ รปู แบบเชิงขว้ั วิธีทา จากรูปแบบแกนมมุ ฉาก Z1 = 3 + j2 จากสมการ r = x2  y2 r = 32  22 r = 94 r = 13 r = 3.605 จากสมการ มุม θ = tan- 1  y   x  θ = tan- 1  2  3 θ = 33.69 เขียนใหอ้ ยู่ในรปู เชิงขว้ั ได้ คือ Z1 = 3 + j2 Z1 = 3.605 / 33.69 ดังนนั้ จากรปู แบบแกนมุมฉาก Z1 = 3 + j2 มคี า่ เทา่ กับรปู แบบเชิงข้ัว Z1 = 3.605 / 33.69 ตอบ

17 ใบความรู้ หนว่ ยที่ 3 ชื่อวิชา คณิตศาสตรอ์ เิ ล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนคร้ังท่ี 4–5 ชื่อหน่วย เลขจานวนเชิงซ้อนและการแกส้ มการโดยใชด้ ีเทอรม์ แิ นนทแ์ มททริกซ์ จานวน 4 ชั่วโมง ให้พิจารณาจานวนเชิงซ้อนรปู แบบเชงิ ขวั้ ในระนาบแกน และ y ดังต่อไปนี้    V รูปที่ 3.6 จานวนเชงิ ซ้อน รปู แบบเชิงขั้ว ทม่ี า: ชัด อนิ ทะส.ี วงจรไฟฟ้ากระแสสลบั 2541: หนา้ 24 จากรูปที่ 3.6 เขียนเลขจานวนเชิงซอ้ นในรูปแบบเชงิ ข้วั ได้ดงั นี้ Z1 = 3.605/33.7o มาจากรปู แบบแกนมุมฉาก Z1 = 3 + j2 Z2 = 2.828/135o มาจากรปู แบบแกนมมุ ฉาก Z2 = -2 + j2 Z3 = 4.242/-135o มาจากรูปแบบแกนมุมฉาก Z3 = -3 – j3 Z4 = 5/-36.87o มาจากรปู แบบแกนมุมฉาก Z4 = 4 - j3 2. การหาผลลพั ธ์รปู แบบเชงิ ขั้ว สามารถหาได้ ดงั น้ี 2.1 การบวกและลบเลขจานวนเชงิ ซ้อนในรูปแบบเชงิ ข้วั จะกระทาโดยตรงไมไ่ ด้ แตจ่ ะต้องแปลงไปเปน็ รปู แบบแกนมมุ ฉากเสยี กอ่ น

18 ใบความรู้ หน่วยท่ี 3 ชื่อวิชา คณิตศาสตรอ์ เิ ล็กทรอนิกส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนครง้ั ที่ 4–5 ชอื่ หน่วย เลขจานวนเชิงซ้อนและการแกส้ มการโดยใชด้ ีเทอรม์ แิ นนทแ์ มททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง 2.2 การคณู เลขจานวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชงิ ขว้ั ใหน้ าขนาดมาคูณกัน สว่ นมมุ นั้น ใหน้ ามาบวกกนั ดงั น้ี ถา้ Z1 = r1 θ1 Z2 = r2 θ2 ดงั นน้ั Z1 x Z2 = r1 x r2 θ1 + θ2 สมการท่ี 3.5 ตัวอยา่ งท่ี 3.6 จากรูปท่ี 3.6 จงหาคา่ Z1 x Z3 วิธที า เมื่อ Z1 = 3.605 /33.7o Z3 = 4.242 /-135o จากสมการที่ 3.5 จะได้ Z1 x Z3 = r1 x r3 θ1 + θ3 แทนค่า Z1 x Z3 = (3.605) (4.242) /33.7o+ (-135o) Z1 x Z3 = 15.29 /-101.3o ดงั นนั้ Z1 x Z3 = 15.29 /-101.3o ตอบ 2.3 การหารเลขจานวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชิงขั้ว ให้นาขนาดมาหารกัน ส่วนมุม ใหน้ ามาลบกนั ดงั นี้ ถา้ Z1 = r1 θ1 Z2 = r2 θ2 ดังน้นั Z1  Z2 =  r1  θ1 + θ2 สมการท่ี 3.6  r2    ตัวอย่างที่ 3.7 จากรูปที่ 3.6 จงหาคา่ Z2 / Z4 วธิ ีทา เมอ่ื Z2 = 2.828 /135o Z4 = 5 /-36.87o

19 ใบความรู้ หนว่ ยท่ี 3 ชอ่ื วิชา คณิตศาสตร์อเิ ล็กทรอนกิ ส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนครั้งที่ 4–5 ช่อื หน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแกส้ มการโดยใช้ดเี ทอรม์ ิแนนท์แมททริกซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง จากสมการที่ 3.6 Z2  Z4 =  r2  θ2 + θ4  r4  แทนค่า Z2  Z4 =  2.828  /135 - (-36.87 o)  5  Z2  Z4 = 0.57/171.87o ตอบ 3.1.2.3. รูปแบบตรีโกณมิติ (trigonometric form) 1. การเขยี นสมการรูปแบบตรีโกณมติ ิ เป็นรูปแบบทไี่ ด้พัฒนามาจากรูปแบบเชิงข้วั โดยการแตก เวกเตอรไ์ ปทางด้านแกนค่าจริง ( ) และแกนค่าจินตภาพ (y) ตามลาดบั โดย = r cosθ Y = r sin θ รูปที่ 3.7 จานวนเชิงซ้อนรปู แบบตรโี กณมิติ สมการท่ี 3.7 ท่ีมา : ชัด อินทะส.ี วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ 2541 : หน้า 26 จะได้ Z = + jy Z = r cosθ + j r sinθ มรี ูปแบบ คอื Z = r (cosθ + j sinθ ) จากรปู ที่ 3.6 เขยี นเปน็ เลขจานวนเชงิ ซ้อนในรปู แบบตรีโกณมิตไิ ดด้ ังน้ี Z1 = 3.605 (cos 33.7+ j sin33.7) Z2 = 2.828 (cos 135 + j sin135 ) Z3 = 4.242 (cos (-135 ) + j sin (-135 )) Z4 = 5 (cos (  36.87 ) + j sin (  36.87 ))

20 ใบความรู้ หน่วยท่ี 3 ช่อื วิชา คณติ ศาสตรอ์ ิเล็กทรอนิกส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนครั้งท่ี 4–5 ชอ่ื หน่วย เลขจานวนเชิงซ้อนและการแก้สมการโดยใชด้ ีเทอรม์ แิ นนท์แมททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง ในรูปแบบตรโี กณมิติ เมอื่ รวมคา่ แลว้ จะมีคา่ ผลลัพธ์ เปน็ รูปแบบแกนมุมฉาก เชน่ Z1 = 3.605 (cos 33.7+ j sin33.7) Z1 = 3.605 (0.8319 + j 0.5548) Z1 = 2.99 + j 2  3 + j2 2. การหาผลลัพธใ์ นรปู แบบตรีโกณมิติ สามารถหาได้ ดังนี้ 2.1 การบวกและลบเลขจานวนเชงิ ซ้อนในรปู แบบตรีโกณมิติ จะกระทาโดยตรง ไม่ได้ แต่จะต้องแปลงไปเป็นรูปแบบแกนมุมฉากเสยี ก่อน 2.2 การคณู เลขจานวนเชิงซ้อนในรปู แบบตร๊โกณมิติ ให้นาขนาดมาคูณกัน ส่วน มมุ นน้ั ใหน้ ามาบวกกัน ตัวอยา่ งท่ี 3.8 จากสมการในรปู แบบตรโี กณมติ ิ จงหาผลลัพธ์ Z2 x Z3 วธิ ที า เม่อื Z2 = 2.828 (cos 135 + j sin135 ) Z3 = 4.242 (cos (-135 ) + j sin (-135 )) แทนค่าหาผลลัพธ์ จะได้ Z2 x Z3 = (2.828)(4.242) [cos(135 +(-135 )) + j sin (135 +(-135 )) ] Z2 x Z3 = 12 [ cos 0 + j sin0 ] ดังนน้ั Z2 x Z3 = 12 [ cos 0 + j sin0 ] ตอบ 2.3 การหารเลขจานวนเชิงซอ้ นในรูปแบบตรีโกณมิติ ให้นาขนาดมาหารกนั ส่วน มมุ ให้นามาลบกัน ตวั อยา่ งที่ 3.9 จากสมการในรูปแบบตรีโกณมติ ิ จงหาผลลัพธ์ Z4 / Z1 วธิ ที า เม่ือ Z4 = 5 (cos (  36.87 ) + j sin (  36.87 )) Z1 = 3.605 (cos 33.7+ j sin33.7)

21 ใบความรู้ หน่วยที่ 3 ช่ือวิชา คณติ ศาสตรอ์ ิเล็กทรอนกิ ส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนครงั้ ท่ี 4–5 ชือ่ หน่วย เลขจานวนเชิงซ้อนและการแกส้ มการโดยใช้ดีเทอรม์ แิ นนทแ์ มททรกิ ซ์ จานวน 4 ชั่วโมง แทนค่าหาผลลัพธ์ จะได้ Z4 / Z1 =  5  [cos ((- 36.87 ) - 33.7 ) + j sin ((- 36.87 ) - 33.7 )]  3.605  Z4 / Z1 = 1.39 [ cos (-70.57 ) + j sin(-70.57 )] ตอบ ดงั นัน้ Z4 / Z1 = 1.39 [ cos (-70.57 ) + j sin(-70.57 )] 3.1.2.4 รูปแบบเอกซ์โพเนนเชยี ล (exponential form) 1. การเขียนสมการรูปแบบเอกซโ์ พเนนเชยี ล เป็นรปู แบบทีพ่ ฒั นามาจากรูปแบบ ตรโี กณมิติ หรอื มาจากกฏของออยเลอร์ (Euler’s formula) จะได้ e jθ = cosθ + j sinθ e- jθ = cosθ - j sinθ เมอ่ื e = 2.718281828 มรี ปู แบบ คอื Z = re jθ สมการที่ 3.8 จากรปู ท่ี 3.6 เขียนเป็นเลขจานวนเชงิ ซอ้ นในรูปแบบเอกซโ์ พเนนเชียล ไดด้ ังน้ี Z1 = 3.605 e j 33.7 Z2 = 2.828 e j135 Z3 = 4.242 e j (-135 ) = 4.242 e- j 135 Z4 = 5 e j (- 36.87 ) = 5 e- j 36.87 2. การหาผลลัพธ์ในรปู แบบเอกซโ์ พเนนเชยี ล สามารถหาได้ ดังน้ี 2.1 การบวกและลบเลขจานวนเชงิ ซอ้ นในรูปแบบเอกซ์โพเนนเชียล จะตอ้ งทา การแปลงใหเ้ ปน็ รปู แบบแกนมมุ ฉากก่อน

22 ใบความรู้ หน่วยที่ 3 ชื่อวิชา คณติ ศาสตรอ์ ิเล็กทรอนกิ ส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครั้งที่ 4–5 ชอ่ื หน่วย เลขจานวนเชิงซ้อนและการแก้สมการโดยใช้ดเี ทอรม์ ิแนนทแ์ มททริกซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง 2.2 การคูณเลขจานวนเชงิ ซ้อนในรปู แบบเอกซโ์ พเนนเชียล ให้นาขนาดมาคณู กนั และนาคา่ มุมมาบวกกนั ดังนี้ ถา้ Z1 = r1 e jθ1 สมการที่ 3.9 และ Z2 = r2 e jθ2 ดังนั้น Z1 Z2 = (r1)(r2 ) e j (θ1  θ2 ) ตัวอย่างท่ี 3.10 จากสมการในรปู แบบเอกซ์โพเนนเชยี ล จงหาผลลพั ธ์ Z1 Z2 ตอบ วธิ ที า เมอ่ื Z1 = 3.605 e j 33.7 Z2 = 2.828 e j135 จากสมการที่ 3.9 Z1 Z2 = (r1)(r2 ) e j (θ1  θ2 ) แทนคา่ หาผลลัพธ์ จะได้ Z1 Z2 = (3.605) (2.828) e j ( 33.7  135 ) Z1 Z2 = 10.195 e j168.7 ดงั นนั้ Z1 Z2 = 10.195 e j168.7 2.3 การหารเลขจานวนเชิงซ้อนในรปู แบบเอกซ์โพเนนเชียล ใหน้ าขนาดมาหารกัน และ ส่วนมมุ ให้นามาลบกนั ถ้า Z1 = r1 e jθ1 และ Z2 = r2 e j θ2 ดงั น้ัน Z1  Z2 =  r1  ej (θ1  θ2 ) สมการที่ 3.10  r2   

23 ใบความรู้ หน่วยที่ 3 ชอ่ื วิชา คณติ ศาสตรอ์ เิ ล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครงั้ ที่ 4–5 ชอ่ื หน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแกส้ มการโดยใช้ดีเทอรม์ ิแนนทแ์ มททรกิ ซ์ จานวน 4 ชวั่ โมง ตัวอยา่ งท่ี 3.11 จากสมการในรูปแบบเอกซ์โพเนนเชียล จงหาผลลพั ธ์ Z1 / Z2 วิธีทา เมอื่ Z1 = 3.605 e j 33.7 Z2 = 2.828 e j135 จากสมการท่ี 3.10 Z1 / Z2 =  r1  ej (θ1  θ2 )  r2    แทนคา่ หาผลลัพธ์ จะได้ Z1 / Z2 =  3.605  e j ( 33.7  135 )  2.828  Z1 / Z2 = 1.274 e- j101.3 ดังนน้ั Z1 / Z2 = 1.274 e- j101.3 ตอบ 3.1.3 การคอนจูเกตเลขจานวนเชงิ ซ้อน การคอนจูเกต (conjugate) คือการเปล่ียนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้ามกับเครื่องหมาย เดิมที่ค่าจานวนจินตภาพ หรือท่ีค่ามุม θ แล้วแต่กรณี แทนด้วยสัญลักษณ์ “*” เช่น คอนจูเกตของ Z สามารถเขียนได้เป็น Z* โดย สามารถเขยี นการคอนจูเกตของจานวนเชิงซ้อนได้ 4 แบบดงั น้ี Z = + jy ; Z* = -jy Z = r/ ; Z* = r/- Z = r(cos + jsin ) ; Z* = r(cos - jsin ) Z = re jθ ; Z* = re- jθ

24 ใบความรู้ หนว่ ยที่ 3 ชอื่ วิชา คณิตศาสตรอ์ ิเล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครง้ั ที่ 4–5 ชอ่ื หน่วย เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแกส้ มการโดยใชด้ ีเทอรม์ ิแนนทแ์ มททริกซ์ จานวน 4 ชั่วโมง ตวั อยา่ งท่ี 3.12 จงคานวณหาค่าของเลขจานวนเชงิ ซ้อนดังต่อไปน้ี j (1 j1)(1 j2)(1 j2) วธิ ที า j = j (1 j1)(1 j2)(1 j2) (1 - j2 - j1  j2 2)(1  j2) j = j (1 j1)(1 j2)(1 j2) (1- j2 - j1  (-1)2)(1 j2) j = j (1 j1)(1 j2)(1 j2) (-1 - j3)(1 j2) j = j (1 j1)(1 j2)(1 j2) (-1 - j2 - j3 - (j2 )6) j = j (1 j1)(1 j2)(1 j2) (-1 - j2 - j3 - (-1)6) j = j (1 j1)(1 j2)(1 j2) (5 - j5) จาก j = (5 j j5) x 5  j5 (5 - j5) - (5  j5) j = j5  (j2 )5 (5 - j5) 25  j25 - j25 - (j2 )25 j = j5  (-1)5 (5 - j5) 25  j25 - j25 - (-1)25 j = - 5  j5 (5 - j5) 50 j = -1  j 110 (5 - j5) 10 ดงั น้นั j = -1  j 1 ตอบ (1 j1)(1 j2)(1 j2) 10 10

25 ใบความรู้ หน่วยที่ 3 ชือ่ วิชา คณติ ศาสตรอ์ เิ ล็กทรอนกิ ส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนครัง้ ท่ี 4–5 ช่อื หน่วย เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแก้สมการโดยใชด้ ีเทอรม์ ิแนนทแ์ มททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง 3.1.4 การเปล่ยี นรูปแบบเลขจานวนเชิงซ้อน 3.1.4.1 การเปลย่ี นรูปแบบแกนมมุ ฉากเปน็ รปู แบบเชิงขวั้ โดยการใช้สมการ r = x2  y2 และ มุม θ = tan- 1  y    x พิจารณาจากคู่ลาดับบนแกนกราฟ ของเลขจานวนเชิงซ้อนในแต่ละควอแดร์น (Quadrant) เพือ่ เปล่ยี นแปลงเป็นแบบเชิงข้ัว ตามลาดบั ดังนี้ 1. ควอแดรนต์ท่ี 1 (Quadrant : I) คู่ลาดบั x และ y ( x ,y) jj 2 (3,2) 2 r R R 33 (ก) (ข) รปู ท่ี 3.8 คูล่ าดบั ของจานวนเชงิ ซอ้ นในควอแดรนตท์ ่ี 1 ท่ีมา : ชัด อินทะส.ี วงจรไฟฟ้ากระแสสลบั 2541 : หน้า 39 ตัวอย่างที่ 3.13 จงเปลี่ยนค่าจานวนเชิงซอ้ นจากรปู แบบแกนมุมฉากเป็นรูปแบบเชงิ ข้วั จากรูปท่ี 3.8 (ก) Z1 = +jy Z1 = 3 +j2 จากรปู ที่ 3.8 (ข) Z1 = r/ นั่นคอื Z1 = x2  y2 tan- 1 y  x Z1 = 32  22 tan1 2   3  ดังน้นั Z1 = 3.605 /33.69o (นบั ทวนเขม็ นาฬิกา) ตอบ

26 ใบความรู้ หน่วยที่ 3 ชื่อวิชา คณติ ศาสตร์อเิ ล็กทรอนิกส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนครัง้ ที่ 4–5 ช่อื หน่วย เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแกส้ มการโดยใชด้ ีเทอรม์ ิแนนทแ์ มททริกซ์ จานวน 4 ชั่วโมง 2. ควอแดรนต์ที่ 2 (Quadrant : II) คู่ลาดับ - x และ y (- x ,y) jj (-4,3) 3 3 r RR -4 -4 (ก) (ข) รูปท่ี 3.9 คู่ลาดบั ของจานวนเชงิ ซอ้ นในควอแดรนตท์ ่ี 2 ท่ีมา : ชัด อนิ ทะสี.วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ 2541 : หนา้ 40 ตวั อย่างท่ี 3.14 จงเปลย่ี นค่าจานวนเชิงซ้อนจากรปู แบบแกนมุมฉากเปน็ รูปแบบเชิงขว้ั จากรปู ท่ี 3.9 (ก) Z2 = - +jy Z2 = -4 +j3 จากรูปที่ 3.9 (ข) Z2 = r/ นั่นคอื Z2 = - x2  y2 180o + tan- 1  y   x  - Z2 = (-42 )  32 180o + tan1  3   -4  Z2 = 5 /180 o + (- 45 o ) ดงั นั้น Z2 = 5 /135 o (นับทวนเข็มนาฬิกา) ตอบ 3. ควอแดรนตท์ ่ี 3 (Quadrant : III) คลู่ าดับ - x และ -y (- x ,-y) -4 -4 - -R -R r (-4,-4) -4 -4 -j -j (ก) (ข) รปู ที่ 3.10 คู่ลาดบั ของจานวนเชิงซ้อนในควอแดรนต์ที่ 3 ทีม่ า : ชัด อินทะส.ี วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ 2541 : หนา้ 40

27 ใบความรู้ หน่วยที่ 3 ชอื่ วิชา คณิตศาสตร์อเิ ล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนคร้งั ท่ี 4–5 ชื่อหน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแก้สมการโดยใช้ดีเทอรม์ แิ นนท์แมททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่วั โมง ตวั อยา่ งท่ี 3.15 จงเปลีย่ นค่าจานวนเชงิ ซ้อนจากรปู แบบแกนมมุ ฉากเป็นรปู แบบเชิงขั้ว จากรปู ที่ 3.10 (ก) Z3 = - -jy = -4 –j4 จากรูปท่ี 3.10 (ข) Z3 = r/ น่ันคือ Z3 = - x2  - y2 180o + tan- 1  - y   - x  Z3 = (-42 )  (-42 ) 180o + tan1  - 4   - 4  Z3 = 5.656 /180 o + 45 o ดังนั้น Z3 = 5.656 /225 o (นับทวนเข็มนาฬกิ า) ตอบ 4. ควอแดรนต์ท่ี 4 (Quadrant : IV) คลู่ าดับ x และ -y ( x ,-y) 4 R 4 R- r -2 (4,-2) -2 -j -j (ก) (ข) รูปที่ 3.11 คู่ลาดับของจานวนเชงิ ซ้อนในควอแดรนต์ท่ี 4 ท่ีมา : ชัด อนิ ทะสี.วงจรไฟฟา้ กระแสสลับ 2541 : หนา้ 41 ตวั อย่างที่ 3.16 จงเปลีย่ นค่าจานวนเชงิ ซ้อนจากรูปแบบแกนมุมฉากเปน็ รูปแบบเชงิ ข้ัว จากรปู ที่ 3.11 (ก) Z4 = -jy Z4 = 4 –j2 จากรปู ที่ 3.11 (ข) Z4 = r/ น่ันคือ Z4 = x2  - y2 360o + tan- 1 - y  x

28 ใบความรู้ หนว่ ยท่ี 3 ชื่อวิชา คณติ ศาสตร์อเิ ล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนคร้ังที่ 4–5 ชื่อหน่วย เลขจานวนเชิงซ้อนและการแก้สมการโดยใชด้ เี ทอรม์ ิแนนท์แมททริกซ์ จานวน 4 ชั่วโมง Z4 = (42 )  (-22 ) 360o + tan1  -2   4  Z4 = 4.472 /360o +(-26.565 o) ตอบ ดังนั้น Z4 = 4.472 /333.435 o (นับทวนเข็มนาฬกิ า) ตอบ ตวั อย่างที่ 3.17 จงเปลยี่ นเลขจานวนเชิงซอ้ นรปู แบบแกนมุมฉากเปน็ รูปแบบเชิงขวั้ 1. Z1 = 2 +j 2. Z2 = -1 +j4 3. Z3 = -1 -j 4. Z4 = 4 –j วธิ ีทา 1. Z1 = 2 + j แทนคา่ สมการใน ควอแดรนตท์ ่ี 1 นน่ั คือ Z1 = x2  y2 tan- 1 y  x จะได้ Z1 = 22  12 tan-1 1  ดังนน้ั  2  Z1 = 2.236 / 26.565o Z1 = 2.236 / 26.565o 2. Z2 = -1 +j4 แทนค่าสมการใน ควอแดรนตท์ ี่ 2 นัน่ คอื Z2 = - x2  y2 180o + tan- 1  y   x  - จะได้ Z2 = (-1)2  42 180o + tan-1  4  ดังน้ัน  (-1)  Z2 = 4.123 /180 o + (- 75.96 o ) ตอบ Z2 = 4.123 /104.036 o Z2 = 4.123 /104.036 o

29 ใบความรู้ หน่วยท่ี 3 ชื่อวิชา คณติ ศาสตรอ์ ิเล็กทรอนิกส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนคร้ังท่ี 4–5 ชือ่ หน่วย เลขจานวนเชิงซ้อนและการแกส้ มการโดยใช้ดเี ทอรม์ แิ นนท์แมททริกซ์ จานวน 4 ชว่ั โมง 3. Z3 = -1 -j แทนคา่ สมการใน ควอแดรนตท์ ่ี 3 นนั่ คอื Z3 = - x2  y2 180o + tan- 1  y   x  - จะได้ Z3 = (-1)2  (-1)2 180o  tan-1  (-1)  ดังนัน้  (-1)  Z3 = 1.414/180 o + 45 o ) ตอบ Z3 = 4.123 /225 o Z3 = 4.123 /225 o 4. Z4 = 4 -j แทนค่าสมการใน ควอแดรนต์ที่ 4 นั่นคอื Z4 = x2  - y2 360o + tan- 1 - y  x จะได้ Z4 = 42  (-1)2 360o + tan-1  (-1)   4  Z4 = 4.123 /360 o + (- 14.036 o ) Z4 = 4.123 /345.96 o ดังนั้น Z4 = 4.123 /345.96 o ตอบ 3.1.4.2 การเปลี่ยนรูปแบบเชิงข้ัวเป็นรูปแบบแกนมุมฉาก ในรูปแบบเชิงข้ัวนี้ จะเขียนให้เป็นรูปแบบตรีโกณมิติ และหาค่าผลลัพธ์สุดท้ายจะเป็นจานวนเชิงซ้อนในรูปแบบแกนมุมฉาก โดย รปู แบบเชงิ ข้วั มีสมการ คือ Z = r / θ และ รูปแบบตรีโกณมิติ Z = r (cosθ + j sinθ )

30 ใบความรู้ หน่วยท่ี 3 ชอื่ วิชา คณติ ศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนคร้งั ที่ 4–5 ชอ่ื หน่วย เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแก้สมการโดยใช้ดเี ทอรม์ แิ นนท์แมททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่วั โมง ซง่ึ รูปแบบแกนมมุ ฉาก คือ Z = + jy โดยท่ี = r cosθ และ y = r sinθ ตัวอยา่ งที่ 3.18 จงเปลี่ยนรูปแบบเชิงข้ัวต่อไปนี้ เป็นรูปแบบแกนมมุ ฉาก 1. Z1 = 3.605/33.69o 2. Z2 = 5 /143.13 o 3. Z3 = 5.656 /225 o 4. Z4 = 4.472 /333.435 o 1. Z1 = 3.605/33.69o วิธีทา Z1 = 3.605/33.69o เมื่อ แทนค่าในสมการตรีโกณ Z = r cosθ + j r sinθ จะได้ Z1 = (3.605 cos 33.69o) + j (3.605 sin 33.69o) Z1 = 2.99 + j 1.99  3+ j2 ดังนั้น 2. Z2 = 5 /143.13 o Z1 = 3.605/33.69o = 3+ j2 ตอบ วิธีทา เม่ือ Z2 = 5 /143.13 o แทนคา่ ในสมการตรีโกณ Z = r cosθ + j r sinθ

31 ใบความรู้ หนว่ ยท่ี 3 ชื่อวิชา คณิตศาสตรอ์ เิ ล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครั้งที่ 4–5 ช่อื หน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแกส้ มการโดยใชด้ เี ทอรม์ ิแนนท์แมททริกซ์ จานวน 4 ชั่วโมง จะได้ Z2 = (5 cos 143.13 o) + j (5 sin 143.13 o) Z2 = -4 + j 2.99  -4+ j3 ดงั นน้ั Z2 = 5 /143.13 o = -4+ j3 ตอบ 3. Z3 = 5.656 /225 o วธิ ที า Z3 = 5.656 /225 o เมอ่ื แทนคา่ ในสมการตรีโกณ Z = r cosθ + j r sinθ จะได้ Z3 = (5.656 cos 225o) + j (5.656 sin 225o) ตอบ Z3 = -3.99 - j3.99  -4 – j4 ดงั นั้น Z3 = 5.656 /225 o = -4 – j4 4. Z4 = 4.472 /333.435 o วธิ ที า Z4 = 4.472 /333.435 o เมื่อ แทนค่าในสมการตรีโกณ Z = r cosθ + j r sinθ จะได้ Z4 = (4.472 cos 333.44 o) + j(4.472 sin 333.44 o) Z4 = 2.99 - j 1.99  4- j2 ดังนน้ั Z4 = 4.472 /333.435 o = 4- j2 ตอบ

32 ใบความรู้ หน่วยที่ 3 ชอ่ื วิชา คณติ ศาสตร์อเิ ล็กทรอนกิ ส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครั้งที่ 4–5 ชอ่ื หน่วย เลขจานวนเชิงซ้อนและการแก้สมการโดยใช้ดเี ทอรม์ แิ นนทแ์ มททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่วั โมง 3.2 เเมทริกซ์ (Matrix) 3.2.1 ลกั ษณะของแมททรกิ ซ์ แมททริกซ์ (Matrix) คือกลุ่มตัวเลขที่จัดวางเรียงกัน ในลักษณะแนวตั้งเรียกว่าหลัก (Column) และในลักษณะแนวนอนเรียกวา่ แถว (Row) ภายในเครื่องหมาย [ ] เช่น Matrix A A= 1 3 2 4 แมททริกซ์ A มีขนาด (Order) เท่ากับ A (2 x 2) หมายความว่า Matrix A มีจานวนแถว (Row) เทา่ กับ 2 แถว มจี านวนหลกั (Column) เทา่ กบั 2 หลัก รปู แบบท่ัวไปของเเมทรกิ ซ์ ดงั รูปที่ 2.1  a11 a12   a1n     a21 a22   a2n               am1 am2   amn  m x n รูปท่ี 2.1 รปู แบบทัว่ ไปของเมทริกซ์ แถวในแนวนอน m แถว และแถวในแนวตั้ง n คอลัมน์ เรียกว่าขนาดของแมททริกซ์ (Order) m x n จานวน เช่น a12 หมายถึงสมาชกิ ในแถว (Row) ท่ี 1 และหลกั (Column) ท่ี 2 3.2.2 ชนิดของเเมทริกซ์ ชนิดของแมททริกซ์แบ่งออกเป็น 8 ชนิด (ไวพจน์ ศรีธัญ และคณิศร จันทร์โสดา. 2552: 94-97) ดังนี้ 3.2.2.1 แมททริกซ์แนวนอน (Row Matrix) คือ แมทริกซ์ที่มีจานวนแถว (Row) เท่ากับ หน่งึ แต่จะมีหลกั (Column) ก่ีหลักกไ็ ด้ เช่น 1 2 1x2 หรอื 2 3 4 1x3 หรอื 3 4 5 6 1x4

33 ใบความรู้ หนว่ ยที่ 3 ชอื่ วิชา คณิตศาสตรอ์ เิ ล็กทรอนกิ ส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนคร้งั ที่ 4–5 ช่อื หน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแก้สมการโดยใช้ดเี ทอรม์ แิ นนทแ์ มททรกิ ซ์ จานวน 4 ชว่ั โมง 3.2.2.2 แมททริกซ์แนวต้ัง (Column Matrix) คือเเมทริกซ์ที่มีจานวนคอลัมน์ (Column) เท่ากบั หนึง่ แต่จะมแี ถวในแนวนอน (Row) จานวนกแ่ี ถวกไ็ ด้ เช่น 2 4 หรอื 5 3 2x1 หรือ 5 7 3 6 3x1 4 4x1 3.2.2.3 แมททริกซ์ส่ีเหล่ียม (Square Matrix) คือลักษณะของเเมทริกซ์ท่ีมีจานวนหลัก (Column) และแถว (Row) เท่ากนั เชน่ 1 2 6 1 2 4 6 2 -1 3 หรอื 4 6 3  1 3 หรือ 6 -5 4 3x3 2 -2 1 9  2 4 2x2 3 5 7 - 1  9  4x4 3.2.2.4 แมททริกซ์ทแยงมุมหลัก (Diagonal Matrix) คือแมททริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกอยู่ นอกเส้นทแยงมุมหลกั เปน็ ศนู ย์ เช่น 4 0 0 0 0 3 0 0 1 0 หรือ 2 0 0 หรือ 0 0 2 0 0 1 2x2 0 1 0 0 0 0 2 4x4 0 0 6 3x3 3.2.2.5 แมททริกซ์หน่ึงหน่วย (Unity Matrix) คือแมททริกซ์ทีมีสมาชิกในแถวทแยงมุม หลักมคี า่ เท่ากบั 1 ส่วน สมาชกิ ทอี่ ย่นู อกแนวทแยงมุมหลักจะมคี า่ เป็นศูนย์ เช่น 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 หรือ 0 1 0 0 0 0 13x3 0 0 1 0  0 0 0 14x4

34 ใบความรู้ หน่วยท่ี 3 ชื่อวิชา คณติ ศาสตรอ์ ิเล็กทรอนกิ ส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครงั้ ที่ 4–5 ช่อื หน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแก้สมการโดยใช้ดเี ทอรม์ ิแนนทแ์ มททรกิ ซ์ จานวน 4 ชวั่ โมง 3.2.2.6 แมททริกซ์ศูนย์ (Diagonal Matrix) คือ แมททริกซ์ท่ีมีสมาชิกท้ังหมดเป็นศูนย์ (0) เช่น 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 หรือ 0 0 0 3x3 หรอื 0 0 0 0 0 0 2x2 0 0 0 0 0 0 4x4 3.2.2.7 แมททริกซ์สลับท่ี (Transpose Matrix) คือ แมททริกซ์ที่เปล่ียนสมาชิกในหลัก (Column) สลับแถวกับสมาชิกในแนวนอน (Row) สัญลักษณ์ คือ AT หรือ A’ เรียกว่าทรานโพส (Transpose) เชน่ 2 5 3 A = 4 2 6  AT  1 3 7 2 4 1 = 5 2 3 3 6 7 หรอื (A+)T = A เทา่ กับศูนย์ เช่น 3.2.2.8 ซิกูลาร์แมททริกซ์ (Singular Matrix) คือ แมททริกซ์ที่มีค่าดีเทอร์มิแนนท์ |A| = 8 4 10 5 |A| = (8 X 5) - (10 x 4) |A| = 0 3.2.3 การบวกและการลบแมททรกิ ซ์ การบวกและการลบแมททริกซ์ สามารถทาได้โดยขนาดของเเมทริกซ์ (Order) ต้อง เทา่ กันและนาตัวเลขในตาแหนง่ เดียวกันมาทาการบวกหรอื ลบซึ่งผลลพั ธท์ ี่ไดจ้ ะมขี นาด (Order) เท่ากนั

35 ใบความรู้ หน่วยท่ี 3 ชื่อวิชา คณติ ศาสตร์อเิ ล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครั้งที่ 4–5 ชอ่ื หน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแก้สมการโดยใชด้ เี ทอรม์ แิ นนท์แมททรกิ ซ์ จานวน 4 ชว่ั โมง ตวั อยา่ งที่ 3.19 จงหาผลบวกของแมททรกิ ซ์ A + B เมอ่ื A = 1 4 2 22x2 -3 และ B = 4 42x2 2 วธิ ที า 1 4 4 - 3 2 2 2 แทนคา่ A+B = + 4   A+B = (1  4) (4  (-3)) (2  2) (2  4)  A+B = 5 1 4 62x2 ดงั นัน้ A+B = 5 1 ตอบ 4 62x2 ตัวอยา่ งท่ี 3.20 จงหาผลลบของแมททริกซ์ C - D เมอื่ C= - 2 4 8  3 2 5 2x3 และ D = 4 3 6 8 5 7 2x3 วิธีทา - 2 4 8 4 3 6 2 5 8 5 7 แทนค่า C-D =  3 -  C-D = (-2 - 4) (4 - 3) (8 - 6)  (2- 5) (5- 7)  (3 - 8)

36 ใบความรู้ หนว่ ยที่ 3 ช่ือวิชา คณิตศาสตรอ์ ิเล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครัง้ ท่ี 4–5 ชือ่ หน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแกส้ มการโดยใช้ดเี ทอรม์ ิแนนทแ์ มททริกซ์ จานวน 4 ช่วั โมง C-D = - 6 1 2 - 5 -3 - 2 2x3 ดงั นั้น C-D = - 6 1 2 ตอบ - 5 -3 - 2 2x3 ตัวอยา่ งท่ี 3.21 จงหาผลบวกของแมททริกซ์ A + B เมอ่ื 1 3 4 A = 2 - 2 6 3 1 3 3x3 2 5 7 และ B = 3 - 10 2 2 2 5 3x3 วธิ ที า 1 3 4 2 5 7 แทนค่า A + B = 2 - 2 6 + 3 -10 2    3 1 3 2 2 5 (1  2) (3  5) (4  7) = (2  3) (-2  -10) (6  2) (3  2) (1  2) (3  5) 3 8 11 = 5  A+B - 12 8  5 3 8  3x3 3 8 11 = 5  ดงั นน้ั A+B - 12 8  ตอบ 5 3 8  3x3

37 ใบความรู้ หนว่ ยท่ี 3 ชื่อวิชา คณติ ศาสตรอ์ ิเล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครัง้ ท่ี 4–5 ชื่อหน่วย เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแกส้ มการโดยใช้ดเี ทอรม์ แิ นนท์แมททรกิ ซ์ จานวน 4 ชั่วโมง 3.3 ดเี ทอร์มิแนนท์ (Determinants) ดีเทอร์มิแนนท์ (Determinants) เป็นการรวมผลทางพีชคณิตของการคูณในทุก ตาแหน่งของ จานวนตัวเลขในแนวทแยงมุมของแมททริกซ์ (Diaganal Matrix) โดยการคูณทแยงลงกาหนดให้เป็นบวก (+) และการคณู ทแยงขึน้ กาหนดใหเ้ ครือ่ งหมายเป็นลบ (-) 3.3.1 การหาค่าดเี ทอรม์ แิ นนท์ (Determinants) ขนาด 2 x 2 สามารถหาไดด้ งั น้ี เม่ือ A= a11 a12  หาคา่ det A จะได้วา่ a21 a22  det A = |A| = a11 a12 (-) a21 a22 (+) การกาหนดเครอ่ื งหมายคณู ทแยงลง = + (บวก), คณู ทแยงขนึ้ = - (ลบ) = a11a22  a21a12 ตวั อย่างที่ 3.22 จงหาคา่ Determinant ของเเมทริกซ์ A เมือ่ A= 2 - 4 4 3  วิธที า 2 - 4 (-) 4 3 (+) det A = = (2 x 3) - (4 x -4) = 6 - (-16) = 6+16 = 22 ดังนั้น det A = 22 ตอบ

38 ใบความรู้ หน่วยท่ี 3 ชอ่ื วิชา คณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครงั้ ท่ี 4–5 ช่อื หน่วย เลขจานวนเชิงซอ้ นและการแกส้ มการโดยใช้ดีเทอรม์ แิ นนทแ์ มททรกิ ซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง 3.3.2 การหาค่าดีเทอรม์ แิ นนท์ (Determinants) ขนาด 3 x 3 a11 a12 a13  a21  เมื่อ A = a22 a23  สามารถหาคา่ det A ได้ a31 a32 a33  มขี น้ั ตอน ดังนี้ 1. นาตัวเลขหลัก (Column) ท่ี 1 และตัวเลขหลัก (Column) ที่ 2 มาเขียนซ้าทางด้านขวามือ เป็นหลกั ท่ี 4 และหลกั ที่ 5 2. ทาการคูณไขว้กาหนดให้ คณู ทแยงลง เป็นบวก คณู ทแยงขึ้น เปน็ ลบ 3. หาผลลัพธข์ องดเี ทอรม์ ิแนนท์ a12 a1(-3) a1(1-) a1(-2) a11 det A = a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a3(3+)a31(+) a32(+) ดังน้นั det A = [(a11a22a33) + (a12a23a31) +(a13a21a32)] - [(a31a22a13) + (a32a23a11) +(a33a21a12)] 1 8 6  -4 3 ตัวอย่างท่ี 3.23 จงหาคา่ A =  - 2 7 4 วธิ ที า   9 (-) (-) (-) ดังนน้ั 6 18 18 3 -2 -4 det A = - 2 - 4 4(+) 9(+) 7(+) 97 det A = (1 x (-4) x 4) + (8 x 3 x 9) + (6 x (-2) x 7) ตอบ – (9 x (-4) x 6) – (7 x 3 x 1) – (4 x (-2) x 8) det A = -16 + 216 – 84 + 216 – 21 + 64 det A = 375 det A = 375

39 ใบความรู้ หนว่ ยท่ี 3 ชอ่ื วิชา คณติ ศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครั้งท่ี 4–5 ชื่อหน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแก้สมการโดยใชด้ เี ทอรม์ แิ นนท์แมททริกซ์ จานวน 4 ชว่ั โมง 3.4 การแก้สมการโดยใช้แมททริกซ์และดีเทอร์มแิ นนท์ 3.4.1 การแกส้ มการไมท่ ราบคา่ 2 ตัวแปร รูปแบบทัว่ ไปของสมการไม่ทราบค่า 2 ตวั แปร a + by = e สมการท่ี 3.11 c + dy = f สมการท่ี 3.12 เมื่อ และ y คอื ตวั แปร a, b, c และ d คือ ค่าสมั ประสทิ ธทิ์ ่คี ูณกบั ตวั แปร e และ f คือ ค่าคงท่ี ลาดบั ข้นั ตอนการแกส้ มการ 2 ตัวแปรโดยใช้ Determinant 1. นาสมการท่ี (2.1) และ (2.2) เขียนแทนลงในรูปของแมททริกซ์ a b x = e c d      y   f  2. หาคา่ ตัวหารรว่ ม หรอื หา Determinant ของแมททริกซ์ det = a b  cd  det = (a X d) - (c X b) det = ad - cb 3. หาค่า Determinant ของ (det ) โดยนาค่าหลักที่ 1 ออก แล้วนาค่าคงที่แทนลงใน ตาแหน่งของหลักท่ี 1 หาคา่ det det = e b f d  det = (e X d) - (f X b) det = ed –fb

40 ใบความรู้ หน่วยที่ 3 ชอื่ วิชา คณติ ศาสตรอ์ เิ ล็กทรอนกิ ส์ รหัสวิชา 2105-2101 สอนครง้ั ท่ี 4–5 ชอื่ หน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแกส้ มการโดยใชด้ เี ทอรม์ แิ นนท์แมททริกซ์ จานวน 4 ชว่ั โมง 4. หาค่า Determinant ของ y (det y) โดยนาค่าหลักท่ี 2 ออก แล้วนาค่าคงที่แทนลงใน ตาแหนง่ ของหลักท่ี 2 หาคา่ Det y det y = a e  cf  det y = (a X f) - (c X e) det y = af - ce 5. หาค่าตัวแปร และ y จากสมการ = det x det y= det y det ตวั อยา่ งที่ 3.24 จงหาค่า I1 และ I2 จากสมการตอ่ ไปน้ี 4I1 + 3I2 = 10 สมการท่ี 1 -I1 + 4I2 = 5 สมการที่ 2 วธิ ที า 1. นาสมการที่ 1 และ สมการที่ 2 มาเขยี นลงใน Matrix 4 3  I1  = 10       I2     -1 4   5 2. หาคา่ ตัวหารรวม det = 4 3  -1 4  det = (4 X 4) - (-1 X 3) det = 16-(-3) det = 16+3 det = 19 3. หาคา่ เศษ det I1 และ det I2 det I1 = 10 3 -5 4  det I1 = (10 X 4) - (5 X 3) det I1 = 40 - 15

41 ใบความรู้ หนว่ ยท่ี 3 ชือ่ วิชา คณติ ศาสตร์อิเล็กทรอนกิ ส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนคร้งั ท่ี 4–5 ชอื่ หน่วย เลขจานวนเชงิ ซอ้ นและการแก้สมการโดยใช้ดเี ทอรม์ แิ นนทแ์ มททรกิ ซ์ จานวน 4 ชั่วโมง det I1 = 25 det I2 = 4 10  -1 5  det I2 = (4 X 5) - (-1 X 10) det I2 = 20 - (-10) det I2 = 30 4. หาคา่ ของ I1 และ I2 จากสมการจะได้ I1 = det I1 det 25 I1 = 19 I1 = 1.315 A det I2 I2 = det I2 = 30 19 I2 = 1.578 A ดังนัน้ I1 มีค่าเท่ากบั 1.315 แอมแปร์ ตอบ ตอบ และ I2 มีคา่ เท่ากับ 1.578 แอมแปร์ เป็นจรงิ ตรวจคาตอบ โดยการแทนค่า I1 และ I2 ในสมการท่ี 1 หรือ สมการที่ 2 ไดด้ ังนี้ เป็นจริง จากสมการท่ี 1 4I1 + 3I2 = 10 แทนค่า I1 และ I2 จะได้ 4 (1.315) + 3 (1.578) = 9.99  10 จากสมการท่ี 2 -I1 + 4I2 = 5 แทนค่า I1 และ I2 จะได้ (-1.315) + 4(1.578) = 5

42 ใบความรู้ หน่วยท่ี 3 ช่ือวิชา คณติ ศาสตร์อเิ ล็กทรอนกิ ส์ รหสั วิชา 2105-2101 สอนครง้ั ที่ 4–5 ชื่อหน่วย เลขจานวนเชงิ ซ้อนและการแก้สมการโดยใช้ดีเทอรม์ แิ นนท์แมททริกซ์ จานวน 4 ช่ัวโมง 3.4.2 การแก้สมการไมท่ ราบค่า 3 ตัวแปร สมการท่ี 3.13 รูปแบบทั่วไปของสมการไมท่ ราบคา่ 2 ตัวแปร สมการท่ี 3.14 a + by + cz = j สมการที่ 3.15 d + ey + fz = k g + hy + iz = L เมือ่ , y และ z คอื ตัวแปร a, b, c, d, e, f, g, h และ i คอื คา่ สัมประสิทธท์ิ ีค่ ณู กับตัวแปร j, k และ L คอื คา่ คงท่ี ลาดบั ข้ันตอนการแก้สมการ 3 ตัวแปรโดยใช้ Determinant 1. นาสมการท่ี (2.3), (2.4) และ (2.5) เขียนแทนลงในรปู ของแมททริกซ์ a b c x j d    k   e f   y  =      L g h i   z  2. หาค่าตวั หารร่วม หรอื Determinant และแมททรกิ ซ์ a b c(-) a(-) b(-) det = d e f d e g h i(+) g (+) h(+) = (a e i) + (b f g) + (c d h) - (g e c) - (h f a) - (i d b) 3. หาค่า Determinant ของ det โดยนาค่าหลักที่ 1 ออก แล้วนาค่าคงที่แทนลงใน ตาแหนง่ ของหลกั ท่ี 1 หาคา่ ตวั แปร det j b c(-) (-j) b(-) det = k e f k e L h (i+) L(+) h(+) = (j e i) + (b f L) + (c k h) - (L e c) - (h f j) - (i k b)