Chapter 6 Work Energy and Power

บทท่ี 6 งาน พลังงาน และกาํ ลัง 6.1 ความนาํ แนวคิดหลักของพลังงานเป็นหน่ึงในความสําคัญทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม ใน ชีวิตประจําวันพลังงานจะอยู่ในรูปของนํ้ามันเช้ือเพลิง สําหรับการขนส่งและการทําความร้อนให้เป็น ไอนาํ้ เพอ่ื ปั่นกระแสไฟฟ้าสาํ หรับใหค้ วามสว่างและการนําไปประยุกต์อนื่ ๆ การนิยามปรมิ าณต่างๆ เช่น ตาํ แหนง่ ความเรว็ ความเรง่ และแรง ซง่ึ มีความสัมพนั ธ์กันและ สามารถใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันสําหรับแก้ปัญหา แต่บางปัญหาไม่สามารถแก้ได้ด้วยกฎของนิว ตัน อย่างไรก็ตามสามรถทําให้การแก้ปัญหาได้ง่ายข้ึนในแบบวิธีที่ต่างกันออกไป ในบทน้ีจะทําการหา วธิ ีการใหมท่ ี่จะชว่ ยแกป้ ญั หา ซ่ึงจะต้องนยิ ามปรมิ าณทเ่ี จาะจงกับความหมายในทางฟสิ ิกส์มากกว่าใน ชีวิตประจําวนั โดยเรมิ่ ตน้ จากการกลา่ วถงึ เรอ่ื งของงาน 6.2 งานที่ทาํ ด้วยแรงคงท่ี (Work Done by a Constant Force) พิจารณาภาพที่ 6.1 แรง F กระทําต่อวัตถุมวลในทิศทํามุม  กับพื้นราบทําให้วัตถุ เคลื่อนที่ไปได้กระจัด r ดังน้ัน นิยามของงาน คือ ผลของแรงที่กระทําให้วัตถุเคล่ือนท่ีไปตาม ทศิ ทางของแรงน้นั (Serway, 2008, p. 165) เขยี นสมการไดว้ ่า W  F cosr 6.1  Fr cos เมอื่ W  งาน มหี น่วยเปน็ จูล (J) หรอื นวิ ตัน.เมตร (N.m) F  แรงท่ีกระทาํ มีหน่วยเปน็ นิวตัน (N) r  การกระจัดระยะทาง (m)   มุมระหวา่ งแรง F และการกระจัด r





120 6.5 งานเนื่องจากแรงไม่คงที่ พิจารณาอนุภาคเคล่ือนที่ยาวไปตามแนวแกน x ภายใต้แรงท่ีเปลี่ยนตามตําแหน่ง อนุภาคมี การกระจัดในทิศทางท่ีเพ่ิมข้ึนจาก xi ถึง xf ในกรณีที่ไม่สามารถใช้สมการ 6.1 ได้ เพราะสมการน้ี ใช้ได้กรณีแรง F คงที่ท้ังขนาดและทิศทางเท่าน้ัน อย่างไรก็ตามเราสามารถหางานท่ีเกิดข้ึนของ อนุภาคได้โดยการแบ่งการกระจัดออกเป็นส่วนน้อยๆ x ดังภาพที่ 6.3 งานเน่ืองจากแรง Fx และ การกระจดั x จะสามารถประมาณได้ว่า Fx มคี ่าคงที่ในชว่ งการกระจัด x ดงั น้ันจะเขยี นสมการ ของงานที่ถกู กระทําโดยแรงได้ คอื W  Fx ix 6.7 ภาพที่ 6.3 งานทเี่ กดิ จากแรง F ไมค่ งที่ จําเป็นต้องแบ่งการกระจดั ออกเป็นส่วนน้อย x ท่ีมา (Serway, 2008, p.170) ภาพที่ 6.4 งานทีเ่ กดิ จากองค์ประกอบของแรง F จากจุด xi ถึง xf ท่มี า (Serway, 2008, p. 170) จากภาพที่ 6.4 เปน็ กราฟแสดงความสัมพันธข์ อง Fx และ x งานท้ังหมดที่ทาํ โดยแรง Fx คอื ผลรวมของแรง Fx คณู กับการกระจัด x ต้งั แต่ xi ถงึ xf จะเขียนสมการ





123 ภาพที่ 6.6 แรงกกระทําต่อมวลทต่ี าํ แหนง่ ตา่ งๆทส่ี มั พันธ์กบั ตาํ แหน่งสมดุล ทม่ี า (Serway, 2008, p.171) เคร่ืองหมายลบ (-) ของสมการ 6.13.และ 6.14 แสดงถึงแรงท่ีกระทําโดยสปริงในทุกทิศ ทางตรงข้ามกับการกระจัดจากจุดสมดลุ เมอื่ x  0 ในภาพท่ี 6.6a กลอ่ งอยู่ทางขวามือของจุดสมดุล แรงดึงสปริงมีทิศตรงข้ามไปทางซ้าย เมื่อ x  0 ภาพที่ 6.6c กล่องจะอยู่ทางซ้ายของจุดสมดุล แรง สปริงจะมีทิศทางไปทางขวาในทิศทาง x และเมื่อ x  0 สปริงไม่มีการยึดหรือถูกอัด x  0 และ Fs  0 เพราะว่าแรงสปรงิ จะเขา้ หาจุดสมดุลเสมอที่ตําแหน่ง x  0 บางครัง้ เรียกว่า แรงดึงกลับของ สปริง (Restoring Force) ถ้าสปริงถกู อัดอยทู่ จี่ ุด xmax แลว้ ปลอ่ ยทําให้กล่องเคล่ือนท่ีจาก xmax ผา่ นจุดสมดลุ x  0 ตอ่ เนอื่ งถงึ xmax และกล่องจะกลบั ทิศทางไปถึง xmax และต่อเนอื่ งจนเปน็ การเคลื่อนที่ แบบสนั่ กลบั ไปมา สําหรับในบทนี้จะพิจารณาการเคล่ือนท่ีที่มีการกระจดั น้อยๆ สมมตใิ หก้ ล่องถูกผลักไปทางซ้ายอย่ทู ี่ xmax และทําการปลอ่ ยจะหางาน Ws ทท่ี าํ โดยแรง ดึงกลับของสปริงต่อกล่องจาก xi  xmax ถงึ xf  0 จากสมการ 6.12 ได้สมการวา่





126 จากกฎการเคลื่อนที่ขอ้ ทีส่ องของนิวตนั และแทนขนาดของแรงลัพธ์  F  ma ลงในสมการ 6.17 จะไดว้ ่า xf Wnet  madx xi Wnetxf mdv dx xi dt  xf mdv dx dx xi dt dx xf  mvdv xi  1 mv 2  1 mvi2 6.18 2 f 2 เม่ือ vi คือ อัตราเร็วต้นของกล่องท่ี x  xi และ vf คือ อัตราเร็วปลายท่ี x  xi สมการ โดยท่ัวไปใช้ในกรณีการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ และเป็นสมการที่บอกว่างานท่ีทําโดยแรงลัพธ์บนอนุภาค ของมวล m มีค่าเท่ากับผลต่างระหว่างค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้ายของปริมาณ 1 mv2 ซ่ึงปริมาณ 2 1 mv2 แทนพลังงานท่ีมีความสัมพันธ์กับการเคล่ือนท่ีของอนุภาค ปริมาณน้ีมีความสําคัญและมีชื่อ 2 เรยี กว่า พลงั งานจลน์ (Kinetic Energy) K  1 mv2 6.19 2 พลังงานจลน์เป็นปริมาณสเกลาร์มีหน่วยเป็น จูล (J) เช่นเดียวกับงาน ดังนั้นสมการ 6.18 บอกถึงงานที่เกิดจากแรงลัพธ์ ทกี่ ระทําต่อกล่องมีค่าเท่ากับการเปล่ียนแปลงพลังงานจลน์ของอนุภาค และบสามารถเขียนในรปู สมการดงั น้ี Wnet  K f  Ki  K 6.20





129 6.9 ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งงานและพลงั งานศักย์โน้มถ่วง จากภาพท่ี 6.12 เมอ่ื ยกวตั ถุมวล m จากตําแหนง่ ที่ 1 ไปยงั ตาํ แหนง่ 2 จะได้ว่า งานที่ทํา เท่ากับ การเปล่ียนแปลงพลังงานศักย์ W12  mgh2  mgh1  Ep2  Ep1 W12  E p 6.22 m ตําแหนง่ ทÉี 2 m ตําแหนง่ ทีÉ 1 ภาพที่ 6.12 ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งงานและพลงั งานศักย์โนม้ ถว่ ง 6.10 หลักการอนุรกั ษข์ องพลังงาน (Conservation of Energy) เม่ือไม่มแี รงภายนอกมากระทํา ผลรวมของพลังงานจะคงท่ีเสมอ u=0 EK Ep EK  Ep m 0 mgh mgh x =½ mv2 mg(h-x) mgh h = ½ m(u2+2gx) m =mgx =½ mv2 0 mgh = ½ m(u2+2gh) vm =mgh ภาพท่ี 6.13 หลักการอนรุ ักษข์ องพลงั งานกล





132 แบบฝึกหดั บทท่ี 6 6.1 แรง F  6iˆ  2 ˆj N กระทําตอ่ อนภุ าคได้การกระจดั เปน็ r  3iˆ  ˆjm จงหา 1) งานที่ทําโดยแรงน้ี 2) มุมระหวา่ ง F และ r 6.2 ให้ A 3iˆ  ˆj  kˆ, B  iˆ  2 ˆj  5kˆ และ C  2 ˆj  3kˆ จงหา Ci A  B 6.3 วตั ถมุ วล 2.50 kg ถูกผลักด้วยแรง 16.0 N ในทิศทาํ มุม 25.0๐ กบั แนวราบทาํ ใหว้ ตั ถเุ คลื่อนไป บนพ้นื ราบไม่มีความฝืดไดร้ ะยะ 2.20 m จงหางานทีโ่ ดยแรงต่อไปนี้ 1) แรงที่กระทําต่อวตั ถนุ ้ี 2) แรงในในแนวตงั้ ฉาก 3) แรงโนม้ ถ่วง 4) งานทั้งหมด 6.4 อนภุ าคถูกแรง F  8x 16 N เม่อื ‫ ݔ‬มหี น่วยเป็นเมตร 1) เขยี นกราฟระหวา่ ง F และ x จาก x  0 ถงึ x  3.0 m 2) จากกราฟข้อท่ี 1) งานที่แรงน้ที ําต่ออนภุ าคให้เคลอ่ื นท่ีจาก x  0 ถงึ x  3.0 m 6.5 แรงกระทาํ ต่ออนุภาค แสดงได้ดังภาพท่ี 6.14 จงหางานที่ทาํ ได้ดงั นี้ 1) จาก x=0 ถึง x=8.00 m 2) จาก x=8.00 ถึง x=10.00 m 3) จาก x=0 ถึง x=10.00 m ภาพท่ี 6.14 กราฟความสัมพันธร์ ะหว่าง Fx และ ระยะ x สําหรบั แบบฝกึ หดั ข้อที่ 6.5 ท่มี า (Serway, 2008, p. 189)