Chapter 9 Oscillatory motion

บทท่ี 9 การเคลอ่ื นท่ีแบบคาบ 9.1 ความนาํ การเคลื่อนท่ีแบบคาบ คือ การเคลื่อนท่ีกลับไปมาผ่านจุดคงท่ีจุดหนึ่ง ซ่ึงเรียกว่าตําแหน่ง สมดุล (Serway, 2010, p. 434) เช่น การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา การสั่นของมวลท่ีติดสปริง การส่ัน ของสายกีต้าร์ และการโคจรของโลกรอบดาวอาทติ ย์ในแต่ละปีที่ทําให้เกิดฤดูกาลต่างๆ สําหรับในบท น้ีจะกล่าวถึงการเคล่ือนที่แบบคาบที่เกิดข้ึนเม่ือมีแรงกระทําต่อวัตถุเป็นสันส่วนโดยตรงตําแหน่งของ วัตถุท่ีสัมพันธ์กับตําแหน่งสมดุล ถ้าแรงที่กระทํามีทิศทางเข้าหาตําแหน่งสมดุล การเคล่ือนท่ีน้ีจะรียก ว่า การเคลือ่ นทีแ่ บบซิมเปลิ ฮาร์มอนกิ (Simple Harmonic Motion) และจะได้กล่าวในบทน้ตี ่อไป 9.2 การเคลื่อนทข่ี องมวลตดิ สปริง พิจารณาภาพท่ี 9.1 เมื่อออกดงึ วัตถไุ ปทางขวาได้การกระจัดเปน็ x จากจุดสมดุล (x  0) ทําให้สปรงิ พยายามดงึ วัตถุเข้าสจู่ ดุ สมดุล (x  0) ด้วยแรง F ทําให้เขียนความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งแรง ดึงของสปริง F และการกระจดั x ไดด้ งั นี้ F  x 9.1 F  kx ภาพท่ี 9.1 การเคลื่อนที่ของมวลตดิ สปริง ทมี่ า (Serway, 2008, p. 423) สมการ 9.1 คอื กฎของฮุก ( Hooke’s law ) เครอ่ื งหมายลบ (-) แสดงถึงทิศทางข้ามของแรง F ตรงขา้ มกับการกระจัด x และ k เป็นคา่ นิจของสปริง จากกฎการเคลอื่ นทข่ี ้อทส่ี องของนวิ ตัน



195 d 2x   A d sin t    9.8 dt2 dt d2x  2 Acos t  dt 2 เม่อื นาํ สมการ 9.8 แทนในสมการ 9.5 จะไดว้ า่ สมการเปน็ จรงิ คือ d2x  2 x นัน่ คอื สมการ 9.6 dt 2 เปน็ ผลเฉลยของสมการ 9.5 ให้คาบ T คอื ชว่ งเวลาที่อนุภาคใช้ในการเคล่ือนที่ครบ 1 รอบมีหนอ่ ยเป็นวินาที ดังภาพท่ี 9.2 นน่ั คือ คา่ ของ x,v t เทา่ กับ คา่ ของ x,v ท่ีเวลา t T เพราะมุมเฟสเพมิ่ ขึน้ 2 เรเดยี น ในชว่ งเวลา T ดังน้ี  t  T    t    2 t  T    t   2 T  2 T  2 9.9  ภาพท่ี 9.2 กราฟการเคลอ่ื นที่แบบซมิ เปิลอาร์มอนิก โดยมีค่าแอมปลิจดู เปน็ A และคาบ T ท่มี า (Serway, 2008, p. 421) และสว่ นกลบั ของคาบ จะเรยี กวา่ ความถี่ f ของการเคลื่อนท่ี มีหนว่ ยเป็น Hz น่นั คือ f  1   9.10 T 2 หรอื   2 f  2 T และจาก   k ทาํ ใหเ้ ขียนสมการของคาบและความถี่ไดใ้ หม่ ดังนี้ m



197 ภาพท่ี 9.3 การเคล่ือนท่ีของมวลติดสปรงิ ท่มี า (Serway, 2008, p. 423) ตวั อย่างที่ 2 รถยนต์มวล 1300 kg มโี ครงสรา้ งซับแรงประกอบด้วยสปรงิ 4 ตัว สปรงิ แต่ละตัวมคี า่ นิจของสปรงิ เท่ากบั 20000 N/m มีผูโ้ ดยสาร 2 คน มวลรวมกนั เป็น 160 kg จงหาความถขี่ องการส่ัน ของรถยนตห์ ลังจากขบั ไปตกหลมุ บนถนน ตัวอยา่ งท่ี 3 ปลอ่ ยมวลท่แี ขวนตดิ สปริงให้ขึ้นลงวัดคาบของการเคลอ่ื นที่ของการเคลอ่ื นทไ่ี ดเ้ ท่ากบั 2 s ถา้ นํามวลออกสปรงิ จะหดสั้นลงกวา่ ตอนแขวนมวลกเ่ี มตร ภาพท่ี 9.4 มวล m แขวนในแนวดิง่



199  1 m 2 A2 (cos2 (t  )  sin2 (t  )) 2  1 m 2 A2 2 E  1 kA2 =คา่ คงท่ี 9.19 2 พลงั งานรวมของการเคลื่อนท่ีแบบซิมเปิลฮาร์มอนกิ มีคา่ คงที่ และเป็นสดั สว่ นโดยตรงกบั แอม ปลิจูดยกกําลังสอง พลังงานรวมทง้ั หมดเท่ากบั พลังงานศักย์ที่สะสมอยู่ในสปรงิ ตวั อยา่ งท่ี 1 รถเด็กเลน่ มวล 0.5 kg เชื่อมดว้ ยสปรงิ ทมี่ ีคา่ นจิ ของสปริงท่ากับ 20.0 N/m สน่ั บนพน้ื ราบไมม่ ีความฝดื 1) จงหาพลงั งานรวมของระบบ และอตั ราเรว็ สงู สดุ ของรถถ้าแอมปลจิ ูดของการเคล่อื นที่เป็น 3.0 cm 2) จงหาความเรว็ ของรถทต่ี ําแหนง่ 2.0 cm 3) จงหาพลังงานจลนแ์ ละพลงั งานศกั ย์ของระบบทต่ี ําแหน่ง 2.0 cm 9.5 ลกู ตุ้มนาฬกิ าอย่างงา่ ย ( The Simple Pendulum ) จากภาพท่ี 9.6 แรงดึงที่ทําให้ลูกตมุ้ เคล่ือนทก่ี ลับไปมามคี ่าเทา่ กบั ภาพที่ 9.6 การแกว่งของลกู ตุ้มนาฬกิ า ที่มา (Serway, 2008, p. 432) F  mg sin 9.20



201 ตวั อย่างที่ 1 ความยาวเชอื กท่ใี ชแ้ ขวนลกู ต้มุ นาฬิกา ตอ้ งยาวเท่าไรจึงจะทําให้คาบของการเคลือ่ นที่ เปน็ 1.0 s (g  9.78 m / s2 ) ตัวอยา่ งท่ี 2 สมการของการเคลอื่ นท่ีของลูกตุ้มนาฬิกาอยา่ งงา่ ยคือ    rad sin(3 t  0.60) จง 9 หา แอมปลจิ ดู ,ความถ,่ี คาบ,เฟสเรม่ิ ตน้ และความยาวเชือกของลูกตุ้ม ตวั อย่างที่ 3 เมื่อลูกตมุ้ ผูกดว้ ยเชอื กยาว 100 cm อยู่ในแนวสมดุลจากนนั้ ดงึ ลกู ตมุ้ ออกจากแนว สมดลุ 5 cm แลว้ ปล่อย จะมีความเร็วสงู สดุ ก่ี cm / s 9.6 พลังงานของการเคล่อื นท่ีของลูกตุ้มนาฬิกา ให้ E คือ พลงั งานรวมของลูกตุ้มนาฬิกา E  พลังงานจลน์ + พลงั งานศักยข์ องลูกตุ้ม ภาพที่ 9.7 การแกว่งของลกู ตุ้มนาฬกิ า 9.26 จากภาพที่ 9.7 จะเขียนพลังงานรวมของการแกวง่ ของลูกตุ้มนาฬิกา เขียนไดด้ งั น้ี E  1 mv2  mgh 2  1 mv2  mg(l  l cos ) 2



203 4) ความเรว็ สูงสุด และความเรง่ สูงสดุ 5) การกระจัดระหว่างเวลา t  0,t  1 s 6) มมุ เฟสเป็นเท่าใดที่เวลา t  2 s ตัวอย่างที่ 2 จงหาการกระจัด,ความเรว็ ,ความเรง่ ของอนภุ าคซงึ่ สน่ั แบบซิมเปลิ ฮาร์มอนิกดว้ ยแอม ปลิจดู 0.050 m ด้วยความถี่ 20 Hz ในเวลา 0.40 s ภายหลังท่ีผ่านตําแหน่งสมดุล และกําลงั เคล่ือนท่ีไปทางบวก ตวั อยา่ งที่ 3 วัตถเุ คลื่อนที่แบบคาบ ด้วยแอมปลจิ ูด 0.15 m และความถี่ 4.0 Hz จงหา 1) ความเรว็ สงู สดุ ,ความเรง่ สงู สุด 2) ความเร็วและความเร่ง เม่ือการกระจัดเทา่ กบั 0.090 m 3) เวลาทใ่ี ช้ในตําแหน่งสมดุล ถงึ จดุ ทอ่ี ยูห่ า่ ง 0.12 m จากตาํ แหน่งสมดลุ



205 9.7 วตั ถมุ วล m ติดกับปลายสปรงิ ท่ีมีคา่ นิจ 120 N/m พบว่ามกี ารสน่ั ด้วยความถี่ 6.0 Hz จงหาคาบ, ความถี่เชิงมุม, มวล m 9.8 กล่องมวล 2.0 kg ผูกติดสปริงท่มี ีค่านิจของสปรงิ เปน็ 300 N/m ทเี่ วลา t=0 สปริงไมม่ กี ารอดั หรอื ถูกดึง และกลอ่ งเคล่ือนที่ไปทางซ้ายด้วยความเร็ว 12.0 m/s จงหา แอมปลจิ ดู , มุมเฟส, สมการ ของตาํ แหน่งเปน็ ฟงั กช์ ันของเวลา 9.9 การส่ันแบบฮาร์มอนิก มีความถี่เชงิ มุม  และแอมปลิจดู A จงหา 1. ขนาดของการกระจัด และความเรว็ เมือ่ พลังงานศักย์ยืดหยุ่นเทา่ กับพลังงานจลน์ ( U=0 ทจ่ี ุดสมดลุ ) 2. ขณะท่ีการกระจัดเท่ากบั A อัตราส่วนของพลังงานจลนแ์ ละพลังงานศักย์ต่อพลังงาน 2 รวมของระบบเปน็ เท่าใด 9.10 มวล 0.50 kg ผกู ตดิ กับปลายสปริงทม่ี คี า่ นจิ สปรงิ 450 N/m เคลื่อนท่แี บบฮาร์มอนกิ ดว้ ยแอม ปลิจูด 0.04 m จงหา 1. อตั ราเร็วสูงสูดของมวล 2. อัตราเร็วของมวลที่ x  0.015m 3. ขนาดของความเรง่ สูงสุด 4. ความเรง่ ที่ x  0.015m 5. พลงั งานรวมของการเคลื่อนที่ 9.11 ดงึ ลูกตมุ้ นาฬกิ าท่ผี กู กับเชือกยาว 0.24 m ออกไปด้านข้างทาํ มมุ 3.50 แล้วปลอ่ ยจาก 1. เวลาท่ีลกู ต้มุ นาฬิกามีอัตราเรว็ ความสูงสดุ 2. เวลาท่ีลกู ตมุ้ นาฬิกามีอัตราเร็วสูงสุด ถ้าเปลี่ยนเป็นมมุ 1.75 9.12 ลูกตุ้มนาฬกิ ามีคาบการเคลอ่ื นที่ 1.60 s บนโลก เม่อื นาํ ไปบนดาวอังคารมีคาบเป็นเท่าใด g อังคาร = 3.71m / s2