Chapter 3 Particles Dynamics in one Dimension

บทที่ 3 การเคล่ือนทข่ี องอนภุ าคในหนง่ึ มติ ิ 3.1 ความนํา วิชากลศาสตร์ เป็นวชิ าท่กี ลา่ วถึงการเคล่อื นทข่ี องวัตถตุ า่ งๆ เช่น การเคลอื่ นท่ีของรถบนทอ้ ง ถนน การวิ่งการเดินของคน การหมุนของโลกรอบตัวเอง รวมทั้งสาเหตุและผลของการเคลื่อนท่ี เหล่านั้นด้วย ในบทนี้จะกล่าวถึงการเคล่ือนท่ีของวัตถุท่ีคํานึงถึงแรงที่มากระทําต่อวัตถุให้เคล่ือนที่ใน หน่ึงมิติ ได้แก่การเคลื่อนท่ีเชิงเส้นในแนวราบและการตกอย่างอิสระตามแนวด่ิง โดยท่ีแรงดังกล่าวน้ี จะขึ้นกับเวลา ความเร็ว และตําแหน่ง และศึกษาท่ีมาความสัมพันธ์ของโมเมนตัม งานและพลังงาน โดยอาศัยกฎการเคลือ่ นทข่ี ้อที่สองของนิวตนั และใชแ้ คลคูลัสในการแก้โจทยป์ ญั หา 3.2 แรงและโมเมนตัม (Force and Momentum) สมมติอนุภาคมวล m ถูกกระทาํ โดยแรง F1, F2,, Fn และให้ F เปน็ แรงลพั ธท์ ก่ี ระทาํ ตอ่ อนภุ าค จะเขยี นได้ดังนี้ F  Fn  F1  F2   Fn 3.1 และการเคล่ือนที่ของอนุภาคอธิบายโดยใชก้ ฎการเคลื่อนที่ ข้อที่ 2 ของนวิ ตัน F  dP 3.2 dt เมือ่ P คอื โมเมนตมั เชิงเสน้ ของอนภุ าค ขณะท่ีมวล m ยงั คงมีค่าคงทจี่ ะเขียนไดว้ ่า F  md 2r  ma 3.3 dt 2 ถา้ การเคล่ือนที่ของอนุภาคอยูใ่ นระบบพิกัดฉาก จะเขยี นสมการ 3.3 ในรปู ขององค์ประกอบพิกดั ฉาก ไดว้ า่ Fx  md 2 x  mx  max dt 2 Fy  md 2 y  my  may 3.4 dt 2 Fz  md 2z  mz  maz dt 2 ถ้ารู้ความเร่ง a หรอื ความเรง่ มีในแนว ax,ay,az สมการ 3.3 ก็จะสามารถใชห้ าค่าของแรง F ได้ ในทางกลับกันถ้ารู้ค่าของแรงลัพธ์ F ท่ีกระทําต่ออนุภาคก็จะสามารถใช้สมการ 3.3 หา









68 สมการ 3.11, 3.12, 3.13 และ 3.14 เป็นสมการที่ใช้อธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในหน่ึงมิติ ตัวอย่างของการเคลื่อนท่ีด้วยแรงคงที่ ทําให้ความเร่งคงท่ีด้วย เช่น กรณีการตกอย่างอิสระของวัตถุ ในกรณีนี้ความเร่ง คือ g เป็นความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง ซ่ึง g มีค่าเท่ากับ 9.8 m/s2 และขนาด ของแรงโนม้ ถว่ งกระทําในทศิ ลง คอื mg ตวั อย่างท่ี 1 อนภุ าคเคลือ่ นที่ดว้ ยความเร็ว เขยี นไดเ้ ป็นสมการ v  3t2  2t 5 ถ้าที่เวลา t  0 อนภุ าคอยู่ท่ี x  3 เมตร จากจุดเร่ิมตน้ จงหาความเร่งและตําแหน่งของอนุภาคน้ีท่ีเวลา t  4 วนิ าที 3.4 แรงกระทําต่ออนุภาคขนึ้ กบั เวลา (Time Dependent Force) ในกรณีนีแ้ รงเร่ิมต้น F  F t ซ่ึงแรงเป็นฟังก์ชนั ของเวลา t จะเขียนกฎการเคลอ่ื นท่ีข้อท่ี 2 ของนิวตันได้ว่า m dv  F t dt ทาํ การอนิ ทิเกรตโดยกําหนดเงื่อนไขเริ่มตน้ ให้ v  v0 ทเี่ วลาt  t0 dv  1 F t dt m  v1 t dv  F t  dt mv0 t0 1v –v0 t m t0 F t  dt v  v0  1 t 3.15 m t0F t  dt เมื่อ v  vt  dxt / dt และแทนในสมการ 3.15 dx t v0 1 t t dt dt m F t0









73 x  v0 m  e k .t  e k .0    m m  k  x  v0m  kt 1 e m k  x  mv0   k t  3.28 1  em k  จากคาํ ตอบของสมการ 3.24 คือ v  v0e k t m พจิ ารณาที่เวลานอ้ ยๆ t  0 จะไดว้ า่ v  k t0 v0e m จะได้ v  v0 และทเี่ วลามากๆ t  ไดค้ วามเรว็ เป็นดังนี้ v  k t v0e m v v0 k em จะได้ v  0 แสดงวา่ เมือ่ เวลาเริ่มตน้ t  0 ความเร็วจะเท่ากบั ความเร็วตน้ และหลงั จากดับเคร่ืองยนตแ์ ลว้ เมอื่ เวลาผา่ นไปความเรว็ จะลดจนกระท่ังเป็นศนู ย์ และจากคาํ ตอบของสมการ 3.28 คือ x  mv0   k t  1  em k  พิจารณาท่ีเวลา t  0









78 จากสมการ 3.38 เทอมทางขวามีค่าเทา่ กับงานของอนุภาคเคล่อื นท่จี ากตําแหนง่ x0 ถึง x และให้ พลังงานศักย์หรอื ศกั ย์ฟงั ก์ชนั คอื V  x นยิ ามได้ดังน้ี  dV  x  F  x 3.39 dx เมื่อ V  x คือ งานท่ที ําโดยแรงเมื่ออนภุ าคมีการย้ายจากตาํ แหน่ง x ไปยังตําแหน่งใดๆ ใหเ้ ป็นจุด xs ดงั น้นั V  x   xs F  x  dx  x x 3.40  F  x dx xs ซึ่งสอดคล้องกบั สมการ 3.39 ดงั น้นั สมการงานทเ่ี กดิ จากการยา้ ย x0 ไปยงั x คอื   xx dx  x  dV  x   dx  x  x x0   F dx  dV x0 x0   xs  x   x  x  d dV x0 xs V  x0  V  x 3.41 นาํ สมการ 3.37 และ 3.41 มาเทา่ กนั จะได้วา่ K V  x  K0 V  x0   คงท่ี  E 3.42 หรอื 3.43 1 m  dx 2 V  x  E 2 dt  จากสมการกลา่ วไดว้ า่ “ถา้ อนุภาคกําลังเคลื่อนท่ีภายใตแ้ รงที่ข้ึนกับตําแหน่ง, จะได้วา่ ผลรวม ของพลังงานจลน์ (Kinetic Energy) และพลังงานศักย์ (Potential Energy) ยังคงท่ีตลอดการ เคล่ือนท่ี และเรียกแรงนี้ว่า “แรงอนุรักษ์”(Conservative Force) (Arya, 1990, p. 45) สําหรับแรง ไม่อนุรักษ์ ผลรวมของ K V ไม่คงที่ ตัวอย่างของแรงไม่อนุรักษ์ คือ แรงเสียดทาน ผลรวมของ พลังงานจลน์และพลังงานศักย์ มีค่าคงท่ี และเรียกว่า 3.43 ว่าคือ กฎการอนุรักษ์พลังงาน (Conservative of Energy) และนําสมการ 3.43 มาอธิบายการเคล่ือนที่ของวัตถุภายใต้แรงอนุรักษ์ ซ่ึงขึน้ กบั ตาํ แหน่ง ไดด้ งั นี้









83  dx 2  2 E 1  k x2   dt  m 2E  dx  2 E 1 k x2  dt m 2E dt  dx 1   2 E k x2 m 2E t   dx  3.52 m  1  3.53 2E / k x2 3.54 2E 3.55 ให้ k x  sin และ k dx  cosd 3.56 2E 2E   sin 1  k x   2E  และ dt  d จะได้วา่ m  m   t   k  0 d k 0 เม่อื ω  k m เพราะฉะนัน้ t  1     0   0  t นําสมการ 3.56 แทนลงในสมการ 3.54 แลว้ จะไดว้ า่   t  sin 1  k x  0  2E 

84 k x  sin 0  t  2E x 2E sin 0  t  k หรือ x  Asin 0 t 3.57 เม่อื A  2E 3.58 k สมการ 3.57 แสดงให้เหน็ ว่าอนุภาคมีการเคลื่อนท่ีแบบซิมเปลิ ฮาร์มอนกิ อยใู่ นแนว x แปรตามเวลาt โดยท่ี A คือ แอมปลจิ ูด และ  คือ ความถี่ ท้ัง A และ จะหาค่าไดเ้ ม่อื รคู้ ่าเงอื่ นไขเร่ิมต้น น่นั คือ E  1 kA2 3.59 2 และ x0  A sin0 3.60 3.8 การตกอยา่ งอิสระของวัตถุ (Freely Falling of Objects) การตกอย่างอสิ ระของวัตถภุ ายในแรงโน้มถ่วงของโลก ซงึ่ เป็นการเคลอื่ นทใี่ น 1 มติ ิ ถ้า พิจารณาการตกของวัตถอุ ยา่ งอิสระในแนวดิง่ โดยที่ไม่มีแรงเสยี ดทานของอากาศมากระทําต่อวัตถุ ดงั ภาพที่ 3.6 จะมีแรงลัพธท์ ี่กระทําต่อวัตถุดังน้ี ภาพที่ 3.6 การตกอย่างอสิ ระของวตั ถุมวล m 3.61 F  mg







88 ภาพท่ี 3.8 การเคล่ือนท่ีของวตั ถใุ นแนวดง่ิ โดยคิดแรงต้านอากาศ เมื่อเวลาผา่ นไปความเร็วของวตั ถุ จะเข้าสู่ความเรว็ ปลาย ที่มา (Thornton & Marion, 2014, p. 63) จากภาพที่ 3.8 ถ้าขนาดความเร็วตน้ เปน็ ศูนย์ วัตถุจะค่อยๆถกู เร่งเพอ่ื ใหม้ คี วามเรว็ เพ่ิมข้ึน ทําให้ขนาดของแรงต้านอากาศเพมิ่ ขนึ้ จนกระทง่ั มคี า่ เท่ากับแรงโน้มถ่วง แรงลพั ธท์ ี่กระทาํ ต่อวัตถุจะ มคี า่ เป็นศนู ย์ ทําใหค้ วามเร็วตน้ เทา่ กบั ความเรว็ ปลาย ( vt  g / k เครื่องหมายลบ แสดงทศิ ทางของ ความเรว็ ) ถา้ ขนาดของความเร็วตน้ น้อยกว่าขนาดของความเร็วปลาย ( v0  vt ) วตั ถุจะถกู เร่ง จนกระทงั่ ความเรว็ ตน้ ส่คู วามเร็วปลาย vt สาํ หรับขนาดความเรว็ ต้นมากกว่าความเรว็ ปลาย ( v0  vt ) ความเรว็ จะถกู หนว่ งใหช้ า้ ลงจนเข้าส่คู วามเร็วปลาย vt และหาการกระจัด z โดยให้ v  dz และใหเ้ งื่อนไขเริ่มต้น t  0 , z  h dt dz   g  kv0  g  ekt dt k k dz   g dt  kv0  g  ekt dt kk  dz    g dt   kv0  g  ekt gt kk z  gt   v0ekt dt   g ekt dt k k