{−������������++������������==115427,5,5 ⇨ 2������ = 300, ������ = 150. Onda ������ = 152,5 − ������ = 152,5 − 150 = 2,5. Bu ýerde sanlar million kilometr birliklerde hasap edilýärler. Onda ������ = ������ = 2,5 = 1 ≈ 0,017 we kiçi ýarymok ������ = ������ 150 60 √������2 − ������2 = √1502 − 2,52 = √147,5 ∙ 152,5 = √22493,75 ≈ 149,979165. Ýeriň orbitasynyň uly ýarymoky 150 million kilometr, kiçi ýarymoky 149,979165 million kilometr, ekssentrisiteti 1 diýen jogaplary alýarys. 60 Maplede ýokardaky ulgamy çözmekden başlaýarys. Bu ýerde çözüw näbellisi ulgamyň çözüwine deň. Soňra assign buýrugy bilen ol çözüwdäki näbellilere bahalary berkidýäris, ýagny bu operator ������ we ������ ululyklar üçin ������ ≔ 150 we ������ ≔ 2.5 buýruklary bermek bilen deňdir. Soňra fokus ������(−������; 0) we ������(������; 0) nokatlary hem-de Ýeriň Güne iň ýakyn ������(−������; 0) we iň daş ������(������; 0) nokatlaryny girizýäris. Soňra ������ we ������ ululyklary hasaplaýarys. Ýeriň orbitasy bolan Ý������������������ň������������������������������������������������ atly ellipsi iki fokus nokatlary we uly okuň uzynlygy bilen girizýäris. Soňra draw buýrugy bilen degişli obýektleri görkezýäris. Görşümiz ýaly Ýeriň orbitasy töwerege örän ýakyn, bu barada ������ ekssentrisitetiň gaty kiçi bahasy hem-de uly we kiçi ýarymoklaryň bu masştablarda deň diýen ýaly ululyklary hem şaýatlyk edýärler: kiçi ýarymok uly ýarymokuň 99,986%; uly we kiçi ýarymoklaryň tapawudy 20834,8 kilometr, ýa-da uly ýarymoka görä 0,01%. Iki fokus nokadyň arasy 2 ������ = 5 million kilometr, emma bu masştabda ol nokatlar deň gelýär diýen ýaly. Bu ýerde ������ nokat gyzyl, ������ nokat gara, ������ we ������ nokatlar ýaşyl reňkde berildiler. 100
Mysal 194. ������ = −5 göni çyzykda ������2 + 5 ������2 = 20 ellipsiň çep fokusyndan we ýokarky depesinden deň daşlaşan nokady tapmaly. Çözüwi. Ellipsiň ������2 + 5������2 = 20 deňlemesini ������2 + ������2 = 1 görnüşe getirip, (√20)2 22 ������ = √20 = 2√5, ������ = 2 diýip tapýarys. Onda ������ = √������2 − ������2 = √20 − 4 = 4, diýmek çep fokusyň koordinatalary ������1(−4; 0). Ýokarky depäniň koordinatalary bolsa ������(0; ������) = ������(0; 2). Berlen göni çyzykdaky gözlenilýän nokady ������(������; ������) = ������(−5; ������) diýip belgiläliň. Bu nokatdan ������1(−4; 0) we ������(0; 2) nokatlara çenli aralyklary deňläp, alýarys: ������|������������1| = ������|������������|, √(−4 − (−5))2 + (0 − ������)2 = √(0 − (−5))2 + (2 − ������)2. Bu ýerden 1 + ������2 = 4 − 4������ + ������2 + 25 diýip alýarys, bu deňlemeden bolsa ������ = 7 diýip tapýarys. Onda biziň gözleýän nokadymyz ������(−5; 7) nokat bolar. Maplede başda göni çyzygy we ellipsi girizýäris. Soňra bu ellipsiň fokuslaryny tapýarys, gözlenilýän ������ nokady, ellipsiň çep ������1 fokusyny we ýokarky ������ depe nokadyny kesgitleýäris. Soňra aralyklar boýunça ������|������������1| = ������|������������| deňlemäni distance we solve buýruklaryny ulanyp çözýäris. Soňra tapylan çözüw boýunça ������ nokady täzeden kesgitleýäris. Çyzgyda zerur nokatlar, göni çyzyk we ellips, olardan başga-da ������������1 we ������������ kesimler hem görkezildi. 101
Mysal 195. Öz hereketinde ������(1; 0) nokada ������ = 9 göni çyzyga garanyňda üç esse ýakyn bolan ������ nokadyň traýektoriýasyny kesgitlemeli. Çözüwi. Bu traýektoriýadaky erkin ������ nokadyň koordinatalaryny (������; ������) bilen belgiläliň. Bu nokatdan ������(1; 0) nokada çenli aralyk ������|������������| = √(������ − 1)2 + (������ − 0)2 = √(������ − 1)2 + ������2 we ������ = 9 göni çyzyga çenli aralyk ������������,������=9 = |������−9| = |������ − 9| bolar. Şert boýunça 3 ������|������������| = ������������,������=9, ýagny √12+02 3√(������ − 1)2 + ������2 = |������ − 9|. Bu ýerden 9 ������2 − 18 ������ + 9 + 9 ������2 = ������2 − 18 ������ + 81, ýa-da 8 ������2 + 9 ������2 = 72, ýa-da ������2 + ������2 = 1. Bu traýektoriýa ellipsdir. 98 Maplede başda ������(������; ������) we ������(1; 0) nokatlary, ������ − 9 = 0 göni çyzygy girizýäris. Soňra 3������|������������| = ������������,������=9 deňlemäni ������2 ululyga görä çözýäris. Deňlemäniň çözüwinde (������ näbelli) |������ − 9| aňlatmanyň gatnaşýandygy sebäpli ulgam ýönekeýleşdirme geçirmedi. Bu ýönekeýleşdirmäni goşmaça simplify buýrugy, onda hem ������ ululygyň iki üýtgeýiş ýagdaýyny (assuming ������ ≥ 9 we assuming ������ < 9, ýagny ������ ululyk [9, +∞) we (−∞; 9) interwallarda üýtgeýär) bermek bilen özümiz geçirmegi üpjün edýäris we netijede iki ýagdaýda hem ������2 = − 8 ������2 + 8 ýa-da ������2 + ������2 = 1 çözüwi 9 98 alýarys. Bu ýerde başdaky alnan ������ çözüw boýunça grafik guruldy, soňky ������1 we ������2 ýönekeýleşdirilen deňlemeler boýunça hem grafikleri gurup bolar. 102
Özbaşdak çözmek üçin mysallar. Mysal 196. Ellipsiň kanoniki deňlemesini berlen maglumatlar esasynda kesgitlemeli we ellipsi gurmaly: 1) fokuslaryň arasyndaky aralyk 8, kiçi ýarymok ������ = 3; 2) uly ýarymok ������ = 6, ekssentrisitet ������ = 0,5. Mysal 197. Uly ýarymok ������ = 5 we ������ parametr 1) 3; 2) 1,4; 3) 0 bolanda ellipsiň kiçi ������ ýarymokuny we ������ ekssentrisitetini tapmaly. Ellipsleri gurmaly. Mysal 198. Koordinatalar oklaryna görä simmetriki bolan ellips ������(2; √3) we ������(0; 2) nokatlaryň üstünden geçýär. Ellipsiň deňlemesini ýazmaly, ������ nokatdan fokuslara çenli aralyklary tapmaly, ellipsi şekillendirmeli. Mysal 199. Eger-de ellipsde fokuslaryň arasyndaky aralyk uly we kiçi ýarymoklaryň uçlarynyň arasyndaky aralyga deň bolsa, onda ellipsiň ekssentrisitetini tapmaly. Mysal 200. Öz hereketinde ������(−1; 0) nokada ������ = −4 göni çyzyga garanyňda iki esse ýakyn bolan ������ nokadyň traýektoriýasyny kesgitlemeli. Mysal 201. ������2 + ������2 = 36 töweregiň ähli nokatlarynyň ordinatalary üç esse kemeldildiler. Alnan täze egriniň deňlemesini ýazmaly. Mysal 202. Fokuslary (0; −3) we (0; 3) nokatlarda we uly okunyň uzynlygy 10 bolan ellipsiň deňlemesini ýazmaly, ellipsi gurmaly. Mysal 203. Fokuslary (−5; 0) we (5; 0) nokatlarda we kiçi okunyň uzynlygy 6 bolan ellipsiň deňlemesini ýazmaly, ellipsi gurmaly. Mysal 204. ������2 + ������2 = 1 ellipsiň sag fokusa çenli aralygy 14 −e deň bolan 100 36 nokatlaryny kesgitlemeli. Mysal 205. ������ + 2 ������ − 7 = 0 göni çyzygyň we ������2 + 4 ������2 = 25 ellipsiň kesişme nokatlaryny tapmaly. 103
Mysal 206. 3 ������ + 2 ������ − 20 = 0 göni çyzygyň we ������2 + ������2 = 1 ellipsiň nähili 40 10 gatnaşykdadygyny kesgitlemeli (kesişýärmi, galtaşýarmy, daşyndan geçýärmi). Mysal 207. ������2 + 2 ������2 = 1 ellipse galtaşýan we 3 ������ + 2 ������ + 7 = 0 göni 10 5 çyzyga parallel bolan galtaşýanlaryň deňlemesini düzmeli. Mysal 208. ������2 + ������2 = 1 ellipsiň çep fokusyndan ������������ oka kütek ������ burç astynda 45 20 ýagtylyk şöhlesi gönükdirilýär. ������������������ = −2 bolýandygy belli. Ellipse ýetip, şöhle serpikdirilýär. Serpikdirilen şöhläniň ýatýan göni çyzygynyň deňlemesini düzmeli. Mysal 209. 5 ������2 + 7 ������2 = 24 ellipsiň koordinatalar oklarynyň arasyndaky burçy ýarpa bölýän diametriniň (ellipsiň merkezinden geçýän hordasynyň) uzynlygyny tapmaly. Mysal 210. 9 ������2 + 36 ������2 = 324 ellipsiň içinde dogry üçburçluk çyzylan, üçburçlugyň depeleriniň biri ellipsiň sag depesi bilen deň gelýär. Üçburçlugyň beýleki iki depesiniň koordinatalaryny we tarapynyň uzynlygyny tapmaly. 104
§12. Giperbola Fokuslar diýlip atlandyrylýan iki ������ we ������1 nokatlardan her nokadynyň aralyklarynyň tapawudy hemişelik 2 ������ (0 < 2 ������ < |������������1|) ululyga deň bolan nokatlaryň geometriki ýerine giperbola diýilýär. Giperbolanyň kanoniki (ýönekeý) deňlemesi aşakdaky görnüşdedir: ������2 ������2 ������2 − ������2 = 1. Bu deňleme bilen berlen giperbola koordinatalar oklaryna görä simmetrikidir. Ol ������������ okuny ������(������; 0) we ������1(−������; 0) nokatlarda ‒ giperbolanyň depelerinde kesip geçýär we ������������ oky kesmeýär. Bu ýerdäki ������ parametr hakyky ýarymok, ������ parametr hyýaly ýarymok diýlip atlandyrylýar. ������ = √������2 + ������2 parametr fokusdan merkeze çenli ������ aralykdyr, ýagny fokuslar ������1(−������; 0) we ������(������; 0) nokatlarda ýerleşýärler. ������ = ������ > 1 gatnaşyk giperbolanyň ekssentrisiteti diýlip atlandyrylýar. ������ = ± ������ ������ göni çyzyklar ������ giperbolanyň asimptotalary diýlip atlandyrylýarlar. Giperbolanyň erkin ������(������; ������) nokadyndan fokuslaryna çenli aralyklar (fokal radius–wektorlar) aşakdaky formulalar bilen berilýärler: ������ = |������ ������ − ������|, ������1 = |������ ������ + ������|. Giperbolada ������ = ������ bolanda ol deňtaraply diýlip atlandyrylýar, onuň deňlemesi ������2 − ������2 = ������2, asimptotalarynyň deňlemesi bolsa ������ = ± ������ bolar. ������2 − ������2 = 1 we ������2 − ������2 = 1 giperbolalar çatryk diýlip atlandyrylýarlar. ������2 ������2 ������2 ������2 Giperbolanyň umumy çyzgysy aşakda berlendir. Maplede geometry toplumynda giperbolany alty usul bilen kesgitläp bolýar: 105
1) hyperbola(p, [A, B, C, E, F], n) 2) hyperbola(p, ['directrix'=dir, 'focus'=fou, 'eccentricity'=ecc, n) 3) hyperbola(p, ['foci'=foi, 'vertices'=ver, n) 4) hyperbola(p, ['foci'=foi, 'distancev'=disv,n) 5) hyperbola(p, ['vertices'=ver, 'distancef'=disf, n) 6) hyperbola(p, deňleme, n). Bu ýerde: - ������ ‒ giperbolanyň ady, - ������, ������, ������, ������, ������ ‒ bäş sany deň bolmadyk nokatlar, - 'directrix'=dir ‒ giperbolanyň direktrisasy, - 'focus'=fou ‒ giperbolanyň fokus nokady, - 'eccentricity'=ecc ‒ giperbolanyň ekssentrisiteti, - 'foci'=foi ‒ giperbolanyň fokuslarynyň sanawy, - 'vertices'=ver ‒ giperbolanyň depeleriniň sanawy, - 'distancev'=disv ‒ giperbolanyň iki depesiniň arasyndaky uzaklyk, - distancef'=disf ‒ iki fokusyň arasyndaky uzaklyk, - deňleme ‒ giperbolanyň algebraiki deňlemesi, - ������ ‒ koordinata oklarynyň hökmany bolmadyk atlary. Giperbola: - 1) usulda öz bäş dürli nokatlary, olar sanaw görnüşinde berilýärler; - 2) usulda direktrisasy, fokusy we ekssentrisiteti, olar ['directrix'=dir, 'focus'= fou, 'eccentricity' = ecc] görnüşde berilýärler; - 3) usulda fokuslary we depeleri, olar ['foci' = foi, 'vertices' = ver] görnüşde berilýärler; 4) usulda fokuslary we iki depesiniň arasyndaky uzaklyk, olar ['foci' = foi, 'distancev' = disv] görnüşde berilýärler; 5) usulda depeleri we iki fokusyň arasyndaky uzaklyk, olar ['vertices' = ver, 'distancef' = disf] görnüşde berilýärler; 6) usulda deňlemesi bilen kesgitlenilýär. Giperbola haýsy hem bolsa bir usul bilen kesgitlenilenden soňra onuň häsiýetnamalary barada buýruklary berip bolar, meselem, center(p) buýrugy giperbolanyň merkezi, foci(p) buýrugy giperbolanyň fokuslary, vertices(p) buýrugy giperbolanyň depeleri, asymptotes(p) buýrugy giperbolanyň asimptotalary, Equation(p) buýrugy giperbolanyň deňlemesi barada maglumatlary, detail(p) buýrugy bolsa giperbola barada jikme-jik maglumaty habar berýär. Bu buýrugyň with(geometry,hyperbola) ýaly gysgaça ulanylyş görnüşi bar. Giperbolany ������������������������������������������������������ toplumyna girýän ������������������������������������������������������ buýrugy bilen hem kesgitläp bolýar, onuň umumy ulanylyş düzgüni aşakdaky ýalydyr: hyperbola(c, a, b, r=r1..r2, saýlawlar). Bu ýerde: 106
- ������ − simmetriýa merkezi, - ������, ������ − ýarymoklar, - ������1, ������2 − görkeziliş çäkleri. Meselem, ℎ������������������������������������������������([������0, ������0], ������, ������, ������1. . ������2) buýruk (������−������0)2 − (������−������0)2 =1 ������2 ������2 giperbolany kesgitleýär, bu ýerde [������0, ������0] nokat simmetriýa merkezidir. Mysal 211. ������2 − 4 ������2 = 16 giperbolany we onuň asimptotalaryny gurmaly. Fokuslary, ekssentrisiteti we asimptotalaryň arasyndaky burçy tapmaly. Çözüwi. Deňlemäniň iki tarapyny hem 16 sana bölüp, giperbolanyň ������2 − ������2 = 1 16 4 kanoniki deňlemesini alýarys. Bu ýerden ������ = 4, ������ = 2. Merkezden fokuslara çenli aralyk ������ = √������2 + ������2 = √42 + 22 = 2√5 bolar, diýmek, fokuslar ������1(−������; 0) = ������ ������1(−2√5; 0) we ������(������; 0) = ������(2√5; 0) nokatlarda ýerleşýär. Ekssentrisitet ������ = ������ = 2√5 = √5. Asimptotalaryň deňlemeleri ������ = ������ ������ = 1 ������ we ������ = − ������ ������ = − 1 ������ bolar. 42 ������ 2 ������ 2 12−(−12) Bu iki göni çyzygyň arasyndaky burçy tapalyň: ������������ ������ = 1+12∙(−12) = 4 , ������ ≈ 53008′. 3 Maplede giperbolany (ady ������������������1) deňlemesi bilen girizýäris, giperbolanyň ������ we ������ parametrlerini hem girizýäris. Fokuslary foci buýrugynyň üsti bilen tapýarys, olaryň koordinatalaryny coordinates buýrugy bilen alýarys. Fokus ������1 we ������ nokatlary kesgitleýäris, map(Equation,asymptote(Hip1)) buýrugy bilen asimptotalaryň ������������[1], as[2] deňlemelerini tapýarys. Ol deňlemeleriň üsti bilen ������������������������1 we ������������������������2 asimptotalary line buýrugy bilen kesgitleýäris. Ol çyzyklaryň arasyndaky burçy FindAngle buýrugy bilen tapýarys. Fokuslaryň koordinatalaryny, ekssentrisitetiň tapylan bahasyny, asimptotalaryň arasyndaky burçy çap edýäris. Şekillendirmeleri draw buýrugy bilen geçirýäris. 107
Mysal 212. Giperbola koordinatalar oklaryna görä simmetrik we ������(6; −2√2) nokatdan geçýär, onuň hyýaly ýarymoky ������ = 2. Giperbolanyň deňlemesini ýazmaly, ������ nokatdan fokuslara çenli aralyklary tapmaly. Şekillendirmeleri geçirmeli. Çözüwi. ������ nokadyň koordinatalaryny we ������ ululygy giperbolanyň ������2 − ������2 = 1 ������2 ������2 (−2√2)2 umumy deňlemesine goýup, alýarys: 62 − 22 = 1, bu ýerden ������ = 2√3. Onda ������2 giperbolanyň deňlemesi ������2 − ������2 = 1 bolar. Fokuslary tapalyň. ������ = √������2 + ������2 = 12 4 √(2√3)2 + 22 = √16 = 4. Onda ������1 = ������1(−4; 0) we ������ = ������(4; 0). Berlen ������ 2 nokatdan fokuslara çenli aralyklar: ������|������������1| = √(−4 − 6)2 + (0 − (−2√2)) = √108 = 6√3, ������|������������| = √(4 − 6)2 + (0 − 2 = 2√3. Bu ululyklary fokal (−2√2)) radiuslar hökmünde tapmak hem bolar: ������ = ������ = 4 = 2 , ������1 = |������ ������ + ������| = |2 |2 ������ 2√3 √3 √3 ∙ 6 + 2√3| = 6√3, ������ = |������ ������ − ������| = √3 ∙ 6 − 2√3| = 2√3. Maplede başda ������ nokady we ������ parametri girizýäris. Soňra bu ýerde giperbolanyň deňlemesi çözüldi we ������ parametr tapyldy, özi hem bu deňleme üçin täze ������ we ������ näbelliler ulanyldy, sebäbi ������ we ������ näbelliler koordinatalar oklarynyň atlary hökmünde eýelenen. Soňra assign buýrugy bu çözüwiň netijesi hökmünde ������ ululygy kesgitleýär. ������1 giperbola deňlemesi bilen girizildi. Iki fokusy birbada tapmak map(coordinates,foci(H1)) buýrugy bilen ýerine ýetirildi. Çyzgyda aňlatmak gerek bolandygy üçin fokus ������1 we ������ nokatlar girizildi. Fokuslara çenli aralyklar distance buýrugy bilen tapyldy, ol aralyklar ������1, ������2 segmentler hökmünde şekillendirmek üçin kesgitlenildi. Giperbolanyň deňlemesi Equation, gerekli tekstler textplot, şekiller draw buýruklary bilen alyndy. 108
Mysal 213. Berlen ������2 + ������2 = 1 ellipsiň fokuslarynda depesi, depelerinde 25 9 fokuslary bolan giperbolanyň deňlemesini ýazmaly we şekillendirmeleri geçirmeli. Çözüw. Ellipsiň deňlemesinden ellipsiň ýarymoklaryny ������������ = 5, ������������ = 3 diýip tapýarys, onda ������������ = √���������2��� − ���������2��� = √52 − 32 = 4, diýmek ellipsiň fokuslary ������1 = ������1(−4; 0) we ������ = ������(4; 0) nokatlarda ýerleşýär. Ellipsiň dört depesini ������, ������, ������, ������ bilen belgiläliň, olaryň koordinatalary ������(−5; 0), ������(5; 0), ������(0; −3), ������(0; 3) bolar. Giperbolanyň umumy deňlemesini ������2 − ������2 = 1 diýip hasap edeliň. Bu ���������2��� ���������2��� giperbolanyň depelerini ������ we ������ bilen belgiläliň, bu nokatlaryň koordinatalary ������(−������������; 0) we ������(������������; 0) bolar. Şert boýunça bu nokatlar başda berlen ellipsiň ������1(−4; 0) we ������(4; 0) fokuslary bilen deň gelýärler, onda ������������ = 4. Giperbolanyň fokuslary ������(−������������; 0) we ������(������������; 0) nokatlarda ýerleşýärler. Şert boýunça bu nokatlar ellipsiň ������������ ok boýunça ������(−5; 0) we ������(5; 0) depeleri bilen deň 109
gelýärler, onda ������������ = 5 we ������������ = √���������2��� − ���������2��� = √52 − 42 = 3. Şeýlelikde giperbolanyň deňlemesi ������2 − ������2 = 1 bolar. 16 9 Maplede başda ������������ ellipsi deňlemesi bilen girizýäris, soňra onuň fokus nokatlaryny tapýarys we ol nokatlary point buýrugy bilen ulgama habar berýäris. Aralyk ������������ ululygy MajorAxis buýrugyny ulanyp, ellipsiň uly ýarymokunyň üsti bilen tapýarys, soňra ellipsiň ������ we ������ depe nokatlaryny kesgitleýäris. ������������������ giperbolany fokuslaryň ornuna ellipsiň ������ we ������ depelerini, depeleriniň ornuna ellipsiň ������, ������1 fokuslaryny bermek bilen kesgitleýäris. Giperbolanyň deňlemesini Equation buýrugy bilen alýarys. Tekstleri textplot, şekilleri draw buýruklary bilen alýarys, ähli obýektleri display buýrugy bilen bilelikde çykarýarys. Mysal 214. Öz hereketinde ������(−8; 0) nokatdan ������ = −2 göni çyzyga garanyňda iki esse daşda bolan ������ nokadyň traýektoriýasyny kesgitlemeli. Çözüwi. Bu traýektoriýadaky erkin nokadyň koordinatalaryny (������; ������) bilen belgiläliň. Bu nokatdan ������(−8; 0) nokada çenli aralyk ������|������������| = √(������ − (−8))2 + (������ − 0)2 = √(������ + 8)2 + ������2 we ������ = −2 göni çyzyga çenli aralyk ������������,������=−2 = |������+2| = |������ + 2| bolar. Şert boýunça ������|������������| = 2 ������������,������=−2, ýagny √12+02 √(������ + 8)2 + ������2 = 2 |������ + 2|. Bu ýerden ������2 + 16 ������ + 64 + ������2 = 4 ������2 + 16 ������ + 16, ýa-da 3 ������2 − ������2 = 48, ýa-da ������2 − ������2 = 1 diýip tapýarys. Bu egri giperboladyr. 16 48 Şeýlelikde gözlenilýän traýektoriýa deňlemesi ������2 − ������2 = 1 bolan giperboladyr. 16 48 110
Maplede başda ������(������; ������) we ������(−8; 0) nokatlary, ������ + 2 = 0 göni çyzygy girizýäris. Soňra ������|������������| = 2������������,������=−2 deňlemäni ������2 ululyga görä çözýäris. Deňlemäniň çözüwinde (������ näbelli) |������ + 2| aňlatmanyň gatnaşýandygy sebäpli ulgam ýönekeýleşdirme geçirmedi. Bu ýönekeýleşdirmegi goşmaça simplify buýrugy, onda hem ������ ululygyň iki üýtgeýiş ýagdaýyny (assuming ������ ≥ −2 we assuming ������ < −2, ýagny ������ ululyk [−2, +∞) we (−∞; −2) interwallarda üýtgeýär) bermek bilen özümiz geçirmegi üpjün edýäris, netijede iki ýagdaýda hem ������2 = 3 ������2 − 48 ýa-da ������2 − ������2 = 1 çözüwi alýarys. Teksti bermegi, şekillendirmegi geçirmegi öň beýan 16 48 edilen buýruklar bilen üpjün edýäris. Bu ýerde ℎ ululyk görkezişiň çägidir. Mysal 215. ������2 = ������2 + ������2 giperbolany gurmaly, onuň fokuslarynyň koordinatalaryny we asimptotalaryň arasyndaky burçy kesgitlemeli. Çözüwi. Deňlemäniň iki tarapyny hem ������2 sana bölüp giperbolanyň ������2 − ������2 = 1 ������2 ������2 kanoniki deňlemesini alýarys. Bu ýerden ������ = ������, ýagny giperbola deňtaraply. Merkezden fokuslara çenli aralyk ������ = √������2 + ������2 = √������2 + ������2 = ������ √2 bolar, diýmek, fokuslar ������1(0; −������) = ������1(0; −������ √2) we ������(0; ������) = ������(0; ������ √2) nokatlarda ýerleşýär. Asimptotalaryň deňlemeleri ������ = ������ we ������ = −������ bolar. Bu iki göni çyzygyň arasyndaky burçy tapalyň: 1 + ������1������2 = 1 + 1 ∙ (−1) = 0, ýagny bu iki göni çyzyk perpendikulýar, ������ = 900. Maplede bu mysalda ������ parametr boýunça animasiýa geçireliň. Animasiýa üçin Maplede plots toplumyna degişli ������������������������������������������ buýrugynyň umumy ulanylyş düzgünleri aşakdakylar ýalydyr: 111
animate(plot_buýrugy, şekiliň argumentleri, t=a..b, saýlawlar) animate(plot_buýrugy, şekiliň argumentleri, t=L, saýlawlar). Bu ýerde: - plot_buýrugy – şekillendirmeleri geçirýän haýsy hem bolsa bir buýruk, - şekiliň argumentleri – şekil üçin argumentler, - ������ – animasiýa parametri, - ������, ������ – animasiýanyň parametriniň çäkleri, - ������ − bahalaryň sanawy, - saýlawlar – baha=saýlaw görnüşli saýlawlar. Bu buýruk iki we üç ölçegli animasiýalary geçirýär. Käbir saýlawlary beýan edeliň: - frames=n saýlawy bilen animasiýa interwalynda ������ sany kadr deň aralyklarda ýerleşdirilýär, dymmaklyk boýunça 25 kadr alynýar, - paraminfo=true ýa-da false bolanda animasiýa parametriniň üýtgeýşi görkezilýär ýa-da görkezilmeýär, - background=p saýlawy yzky fonda başga bir şekili goýmaga mümkinçilik berýär, - trace=n saýlawy animasiýa kadrlarynyň öçürilmän goýulýan sanyny kesgitleýär. Biziň bu mysalymyz üçin buýrugyň ulanylyşy aşakda berilýär. Buýruklar ýerine ýetirilenden soňra emele gelen grafige “syçanyň” sag düwmesini basmaly we açylan kontekst menýudan Animation → Play (Animasiýa → Oýnamak) yzygiderligini saýlamaly (çepki surat), netije sagky suratda berilýändir. Bu ýerde ������ parametr boýunça jemi 50 sany grafik (frames=50) alynýar, ������ = 0 bolanda bu ýerde asimptotalar alynýar. Özbaşdak çözmek üçin mysallar. Mysal 216. ������2 − 4������2 = 16 giperbolada ordinatasy 1 bolan ������ nokat alnan. Bu nokadyň fokuslara çenli aralyklaryny tapmaly. 112
Mysal 217. Aşakdaky şertlerde giperbolanyň kanoniki deňlemesini ýazmaly: 1) fokuslaryň arasyndaky uzaklyk 2 ������ = 10, depeleriň arasyndaky uzaklyk 2 ������ = 8; 2) hakyky ýarymok ������ = 2√5, ekssentrisitet ������ = √1,2. Mysal 218. Asimptotasy hakyky ok bilen 1) 600; 2) ������ burçy düzýän giperbolanyň ekssentrisitetini tapmaly. Mysal 219. ������2 − ������2 = 4 giperbolada fokal radius–wektorlary perpendikulýar bolan nokady tapmaly. Mysal 220. ������(0; −2) nokatdan ������2 − 4������2 = 16 giperbola geçirilen galtaşýan çyzyklaryň deňlemesini ýazmaly. Mysal 221. Depeleri (0; 3) we (0; −3), fokuslary (0; 5) we (0; −5) nokatlarda bolan giperbolanyň deňlemesini ýazmaly. Mysal 222. Asimptotalary ������ = 3 ������, ������ = − 3 ������, bir depesi (2; 0) bolan 22 giperbolanyň deňlemesni ýazmaly. Mysal 223. Giperbolanyň asimptotalarynyň kesişme nokady ������(2; −3), depeleriniň biri bolsa ������(4; −1) nokat. Giperbolanyň deňlemesini ýazmaly. Mysal 224. ������2 − ������2 = 1 giperbolanyň asimptotalary we 9 ������ + 2 ������ − 24 = 0 49 göni çyzyk bilen emele getirilen üçburçlugyň meýdanyny hasaplamaly. Mysal 225. Giperbola ������(12; 3√3) nokatdan geçýär we ������ = ± 1 ������ 2 asimptotalara eýe. Giperbolanyň deňlemesini düzmeli. Mysal 226. 4 ������ − 3 ������ − 16 = 0 göni çyzygyň we ������2 − ������2 = 1 giperbolanyň 25 16 kesişme nokatlaryny tapmaly. Mysal 227. ������ − 2 ������ + 1 = 0 göni çyzygyň we ������2 − ������2 = 1 giperbolanyň 16 9 nähili gatnaşykdadygyny kesgitlemeli (kesişýärmi, galtaşýarmy, daşyndan geçýärmi). Mysal 228. ������2 − ������2 = −1 giperbola 2 ������ + 4 ������ − 5 = 0 göni çyzyga parallel 16 8 bolan galtaşýanlaryny geçirmeli we olaryň arasyndaky ������ aralygy hasaplamaly. Mysal 229. 2 ������ − ������ − 4 = 0 göni çyzyk fokuslary ������1(−3; 0) we ������2(3; 0) bolan giperbola galtaşýar. Bu giperbolanyň deňlemesini düzmeli. Mysal 230. Trapesiýanyň depeleri ������ ������ = 6 giperbolanyň ������ + ������ + 5 = 0 we ������ + ������ − 7 = 0 göni çyzyklar bilen kesişme nokatlary bolup durýarlar. Bu giperbolanyň içine goýlan (depeleri şu giperbolada bolan) trapesiýanyň meýdanyny hasaplamaly. 113
Jogaplar 53. 1) 8; 2) 3; 3) 4; 4) 2. 54. 1) ������ = ± 2; 2) ������ = −2, ������ = 4; 3) ������ = −1, ������ = 3; 4) ������ = 0, ������ = −4. 55. 1) (1; 2); 2) (−3; − 1); 3) (2; −2); 4) (2; 5); 5) (−3; −5). 56. 1) (3; 2); 2) (−2; 5); 3) (4; −3). 58. ������1(0; 2), ������2(0; −4). 59. (0; 2,9). 60. (4; 0), (−8; 0). 61. Merkezi (2; −1), ������ = 5. 62. (1 ; 13) , ������ = √130. 22 2 63. 34. 65. ������1(2; 2), ������1 = 2; ������2(10; 10), ������2 = 10. 72. (3; 1), (0; 0), (1; 2). 73. |������������| = 5√5, |������������ | = 10 √2. 3 2 74. (1; −3), (−5; 7), (3; 1). 75. ������(0; 8), ������(3; −1). 76. ������������, ������������, ������������ taraplaryň ortalary degişlilikde (2; −4), (−1; 1), (−2; 2). 77. (1; −3), (3; 1), (5; 7). 78. (3; −1). 79. 1: 3 gatnaşykda, ������ nokatdan hasap edeniňde. 80. 26 (kwadrat birlik). 81. 7,4. 82. (0; −8) ýa-da (0; −2). 83. С1 (−2; 12), D1 (−5; 16) ýa-da С2 (−2; 2) , D2 (−5; 14). 84. ������(2; −2). 3 3 85. (0,2; 2,6). Görkezme. ������������ = ������1������1+������2������2+⋯+������������������������, ������������ = ������1������1+������2������2+⋯+������������������������ ������1+������2+⋯+������������ ������1+������2+⋯+������������ formulalar agyrlyk merkeziniň koordinatalaryny kesgitleýärler, ������1(������1; ������1), ������2(������2; ������2), … , ������������(������������; ������������) nokatlarda degişlilikde ������1, ������2, … , ������������ massalar ýerleşdirilen. 86. 38,5. 93. ������ degişli, ������ degişli däl. 94. (0; 0), (4; 4). 95. 4 ������ + 18 ������ − 17 = 0. 96. 2 ������ − ������ + 5 = 0. ������ we ������ nokatlar egride ýatýarlar. 97. ������2 + ������2 = 8. 100. ������ = ������2 + 1. 4 101. 1), 2), 4) egriler koordinatalar başlangyjyndan geçýärler. 102. ������ = ± ������. 103. ������ ± ������ = 0. 104. ������ ± ������ = 0. 114
105. 4 ������ ������ − ������ = 0. 106. ������2 + ������2 = 16. 107. ������2 + ������2 = 1. 25 16 116. ������ = ������ √3 − 3, ������ = −������ √3 − 3. 117. 1) ������ = 0, ������ = −3; 2) ������ = − 3 , ������ = 3. 4 118. 1) ������ + ������ = 1; 2) ������ + ������ = −21 3 1. 45 124. (3; −5). 125. 17. 127. ������(300) = 0,5538 ������, ������(420) = 0,77532 ������, ������(500) = 0,923 ������, ������(560) = 1,03376 ������. 136. 1) 450; 2) 450; 3) 00; 4) ������������������������������ ������2−������2. 137. Hiç haýsy hem däl. 2������������ 138. 4������ + 3������ − 21 = 0. 139. ������������: 2������ − 5������ = −4; ������������: ������ − 2������ = −2; |������������| = √29. 140. ������ = 16, ������������ ������ = 4 , ������������ ������ = ������������ ������ = 2. 3 141. 1) 3 ������ − 2������ − 7 = 0; 2) 5 ������ + 7 ������ + 9 = 0. 142. 4 ������ + 3 ������ − 11 = 0, ������ + ������ + 2 = 0, 3 ������ + 2 ������ − 13 = 0. 143. ������(2; −1). 144. 3 ������ − 4 ������ + 15 = 0, 4 ������ + 3 ������ − 30 = 0, 3 ������ − 4 ������ − 10 = 0, 4 ������ + 3 ������ − 5 = 0. 145. ������ + 2 у − 7 = 0; ������ − 4 у − 1 = 0; ������ − у + 2 = 0. 146. 3 ������ + 4 у — 1 = 0, 7 ������ + 24 ������— 61 = 0. 147. 29 ������ — 2 у + 33 = 0. 148. 2 ������ − ������ + 10 = 0, ������ + 2 ������ − 5 = 0. 149. (− 4 ; 4) − medianalaryň, (7; 4) − beýiklikleriň kesişme nokady, 9 ������ + 3 13 ������ + 185 = 0 − bissektrisanyň deňlemesi. 150. ������ + 2 ������ − 14 = 0. 156. 1) 4 ������ − 3 ������ − 2 = 0, 2) − 12 ������ + 5 ������ − 1 = 0, 3) 2 ������ − 1 ������ − 1 = 0. 55 13 13 √5 √5 157. 1) − 1 ������ + 1 ������ − 2 = 0, 2) 1 ������ − 1 ������ − 2 = 0. √2 √2 √2 √2 158. √13. 2 159. 3 ������ − ������ = 12, ������ + 3 ������ = 4. 160. 11 ������ + 22 ������ − 74 = 0. 161. 49 kwadrat birlik. 162. 3 х − 4 у − 25 = 0, 3 х − 4 у + 5 = 0. 163. 1) 4 ������ − 4 ������ + 3 = 0, 2 ������ + 2 ������ − 7 = 0; 2) 4 ������ + 1 = 0, 8 ������ + 13 = 0; 3) 14 ������ − 8 ������ − 3 = 0, 64 ������ + 112 ������ − 23 = 0. 164. 3 ������ − 19 = 0. 165. 3 ������ + 2 ������ − 7 = 0. 115
166. ������ − ������ + 1 = 0. 167. ������������: 3 ������ + 8 ������ − 7 = 0, ������������: 8 ������ − 3 ������ + 7 = 0. 168. 3 ������ + 4 ������ − 20 = 0, 3 ������ + 4 ������ + 10 = 0. 169. ������(5; 0), ������ = √34. 2 170. ������ (− 123 ; 29). 82 176. ������2 + ������2 − 6������ − 9 = 0. 177. 1) (3; −2), ������ = 6; 2) (− 5 ; 7) , ������ = 4; 3) (0; − 7) , ������ = 7. 22 22 179. ������2 + ������2 − ������ − ������ + 1 = 0. 4 180. (3; 1) nokatda galtaşýar. 181. ������2 + ������2 + ������ ������ = 0. 182. (������ − 5)2 + (������ + 2)2 = 20, (������ − 9)2 + (������ − 22)2 = 20. 55 183. 2 ������ − 5 у + 19 = 0. 184. ������(−1; 5), ������(−2; −2). 185. ������2 = ������2. 1+������2 186. 7 ������ − 4 ������ = 0. 187. 3 ������ − 4 ������ + 43 = 0. 188. 3. 189. 5 ������ − 7 ������ + 13 = 0, √74. 2 190. ������ − ������ − 1 = 0. 196. 1) ������2 + ������2 = 1; 2) ������2 + ������2 = 1. 25 9 36 27 197. 1) ������ = 4; ������ = 0,6; 2) ������ = 4,8; ������ = 0,28; 3) ������ = 5; ������ = 0. 198. ������2 + ������2 = 1, ������ = 4 − √3, ������1 = 4 + √3. 16 4 199. ������ = √0,4. 200. ������2 + ������2 = 1. 43 201. ������2 + ������2 = 1. 36 4 202. ������2 + ������2 = 1. 16 25 203. ������2 + ������2 = 1. 25 9 204. (– 5; 3√3), (−5; −3√3). 205. (4; 2), (3; 8). 35 206. (6; 1) nokatda galtaşýar. 207. 3 ������ + 2 ������ − 10 = 0, 3 ������ + 2 ������ + 10 = 0. 208. 2 ������ + 11 ������ − 10 = 0. 209. 4. 210. (6 ; 12 √3), (6 ; − 12 √3). 77 77 216. ������ = 1, ������1 = 9. 116
217. 1) ������2 − ������2 = 1; 2) ������2 − ������2 = 1. 16 9 20 4 218. 1) ������ = 2; 2) ������ = ������������������ ������. 219. (±√6; ±√2). 220. ������ + 2 = ± √2 ������. 2 221. ������2 − ������2 = 1. 9 16 222. ������2 − ������2 = 1. 49 223. ������ = −3 ������+10. ������−2 224. 12 kwadrat birlik. 225. ������2 − ������2 = 1. 36 9 226. (25 ; 3). 4 227. (4−6 √21 ; 9−6 √21), (4+6 √21 ; 9+6 √21) nokatlarda kesişýär. 5 10 5 10 228. ������ + 2 ������ − 4 = 0, ������ + 2 ������ + 4 = 0; ������ = 8 √5. 229. ������2 − ������2 = 1. 5 54 230. 36 kwadrat birlik. 117
Ulanylan edebiýatlar we materiallar 1. “Türkmenistanda sanly bilim ulgamyny ösdürmek hakyndaky” Konsepsiýa, 2017-nji ýylyň 15-nji sentýabry. 2. “Türkmenistanda 2019-2025-nji ýyllarda sanly ykdysadyýeti ösdürmegiň” Konsepsiýasy, 2018-nji ýylyň noýabr aýy. 3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1987. 4. www.maplesoft.com saýtyň materiallary. 5. Maple 11 ulgamyň kömek materiallary. 6. Maple User Manual. Printed in Canada. ISBN 978-1-926902-23-4. 7. Maple Programming Guide. L. Bernardin, P. Chin, and etc., 2012. 8. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие для втузов – 14-е изд. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1986.−224 с. 9. Dennis G.Zill, Patrick D. Shanahan. Complex Analysis with Applications. 2nd ed., Jones and Bartlett Publ., 2009. 10.Dennis G.Zill, Warren S. Wright. Differential Equations with Boundary-Value Problems. 8th ed., Brooks/Cole Cengage Learning, 2013. 11.Michael Sullivan. Algebra and Trigonometry. 9th ed., Prentice Hall, 2012. 12.Ron Larson, Anne V.Hodgkins. College Algebra and Calculus: An Applied Approach. 2nd ed., Brooks/Cole Cengage Learning, 2013. 13.Judith A. Beecher, Judith A. Penna, Marvin L. Bittinger. Algebra and trigonometry. 4th ed., Addison-Wesley, 2012. 14.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. I. −4-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 304 с., ил. 15.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. II. −4-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 415 с., ил. 16.И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М.: 1966. 17.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 1.— СПб.: Политехника, 2003.— 703 с: ил. 18.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 2.— СПб.: Политехника, 2003.— 477 с: ил. 19.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 3.— СПб.: Политехника, 2003.— 476 с: ил. 20.В. П. Дьяконов. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании — М.: СОЛОН-Пресс, 2006. — 720 с: ил. — (Серия «Библиотека профессионала»). ISBN 5-98003-258-4. 21.Esenamanow G.M. Matematiki modelirlemek. Ýokary okuw mekdepleriniň talyplary üçin okuw kitaby. Aşgabat, TDKP, 2009. – 226 s. 22.Esenamanow G.M. Matematiki modelirlemek. Ýokary okuw mekdepleriniň talyplary üçin okuw kitaby. Aşgabat, TDNG, 2012. – 616 s. 118
23.Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1974 г., 832 стр. с илл. 24.Мюллер В.К. Англо-русский словарь: 53000 слов. — 20-е изд., стереотип. — М.: Рус. яз., 1985. — 864 с. 25.А.В.Матросов. MAPLE 6. Решение задач высшей математики и механики. БХВ─Петербург, 2001. 26.Борзенков, А.В. Дифференциальные уравнения в частных производных. MATLAB: конспект лекций для студ. всех спец. БГУИР днев. формы обуч. − Минск: БГУИР, 2009. – 120 с.: ил. ISBN 978-985-488-429-5. 27.Г.И. Запорожец. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1966, - 461 с. 28.Задорожный В. Н. и др. Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия: Учебное пособие — Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. — 398 с. 29.http://alexandr4784.narod.ru/zap_1.html 30.http://facultyfp.salisbury.edu/despickler/personal/ClassroomResourcesMathCal cII.asp 31.http://nashaucheba.ru 32.http://www.a-geometry.narod.ru/problems/problems_10.htm 33.http://www.sibsiu.ru/math/files/. 119
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120