Mysal 68. ������(−2; 1) we ������(3; 6) nokatlary gurmaly we ������������ kesimi |������������| = −3 |������������| 2 gatnaşykda “bölýän” ������(������; ������) nokady tapmaly. Çözüwi. Elde çözüwi özüňiz geçiriň. Maplede diňe ������ ululygyň bahasyny üýtgetmek ýeterlikdir. Çözüwiň iki usulynyň netijeleri berilýär. Gözlenilýän nokat bu ýerde ������������ kesimden daşa düşýär, sebäbi ������ otrisatel. Mysal 69. Depeleri ������(0; 0), ������(8; 0) we ������(0; 6) bolan üçburçlugyň ������������ medianasynyň we ������������ bissektrisasynyň uzynlyklaryny kesgitlemeli. Çözüw. ������ nokat ������������ tarapy deň ikä bölýär, onda bu nokadyň abssissasy 8+0 = 4, 2 ordinatasy bolsa 0+6 = 3 bolar, ýagny ������ = ������(4; 3). Diýmek, |������������| = 2 √(4 − 0)2 + (3 − 0)2 = 5, |������������| = √(4 − 8)2 + (3 − 0)2 = 5. Onda |������������| = 2 |������������| = 10. Ondan başga-da |������������| = √(8 − 0)2 + (0 − 0)2 = 8 we |������������ | = √(0 − 0)2 + (6 − 0)2 = 6, diýmek |������������|2 + |������������|2 = |������������|2, ýagny ∆������������������ göniburçludyr (bu fakt üçburçlugyň depeleriniň koordinatalarynyň berlişinden hem 50
gelip çykýar). Onda ∠������������������ = ∠������������������ = 450. ������ = ∠������������������, ������������ = |������������ | diýip belgiläliň. Onda ∠������������������ = 1350 − ������, ������������������ ������ = |������������| = 8. Sinuslar teoremasy boýunça |������������| 6 ∆������������������ alýarys: ������������������(������) = ������������������(1350−������) = ������������������(1350−������). Bu ýerden ������������ |������������| 8 8 ������������������(������) 8 ������������������(������) ������������ = |������������ | = ������������������(1350 − ������) = ������������������(450)������������������(������) + ������������������(450)������������������(������) = 8√2 8√2 24√2 = = = 7. 1 + ������������������(������) 8 1 + 6 Şeýlelikde |������������| = 5, |������������ | = 24 √2. 7 Maplede üçburçlukda bissektrisa ������������������������������������������������, mediana ������������������������������������, beýiklik bolsa ������������������������������������������������ buýruklary bilen tapylýarlar, olaryň umumy ulanylyş düzgünleri aşakdakylar ýalydyr: bisector(bA, A, Üçburçlygyň_ady, P) median(mA, A, Üçburçlygyň_ady, Q) altitude(hA, A, Üçburçlygyň_ady, L). Bu ýerde: - ������������, ������������, ℎ������ − bissektrisanyň, mediananyň, beýikligiň atlary, - ������ − bissektrisasy, medianasy, beýikligi tapylýan depe, - Üç������������������ç������������������������ň ������������������ − üçburçlugyň ady, - ������, ������, ������ − bissektrisanyň, mediananyň, beýikligiň çykýan depesinden garşylykly tarap bilen kesişýän nokadynyň hökmany däl atlary, at berlende bu obýektler ������������, ������������, ������������ segmentler hökmünde iki uç nokatlary, at berilmände ������������, ������������, ������������ göni çyzyklar hökmünde deňlemeleri bilen kesgitlenilýärler. Kesgitlenilenlerinden soňra ������������������������������������(������������), ������������������������������������(������������), ������������������������������������(ℎ������) buýruklaryny berip, bu obýektler barada doly maglumatlary alyp bolar. Bu mysalda ������ üçburçlugy üç depesi boýunça girizmek triangle buýrugy bilen amala aşyryldy. Soňra ������ depäniň burçunyň bissektrisasy bisector buýrugy arkaly ������������������������������������������������������������������������ at we ������ uç nokady bilen, bu depeden çykýan mediana bolsa ������������������������������������ buýrugy arkaly ������������������������������������������ at we ������ uç nokady bilen kesgitlenildi. Depe ������ nokadyndan bu kesgitlenilen ������ we ������ nokatlara çenli aralyk ������������������������������������������������ buýrugy arkaly tapyldy, radikallardan dynmak üçin ������������������������������������������������ buýrugy hem ulanyldy, netijede gözlenilýän aralyklar ������1 we ������2 näbellilerinde alyndylar. Girizilen ������ üçburçluk, täzeden döredilen ������������������������������������������������������������������ we ������������������������������������������������ obýektleri ������������������������ buýrugy bilen bilelikde görkezildiler. Her obýekte degişli saýlawlar berildi, ������������������������������������������������������ buýrugy arkaly nokatlaryň harp belgilemelerini çap etmek üpjün edildi. 51
Jogap. |������������| = 5, |������������ | = 24 √2. 7 Mysal 70. ������(1; 1), ������(−1; 7) we ������(0; 4) nokatlaryň bir göni çyzykda ýatýandygyny görkezmeli. Çözüwi. Abssissalarynyň ýerleşişi boýunça nokatlary ������(−1; 7), ������(0; 4), ������(1; 1) tertipde goýup bolar. ������(0; 4) nokat ������������ kesimi ýarpa bölýär, sebäbi bu nokadyň koordinatalary üçin −1+1 = 0, 7+1 = 4 ýarpa bölmek formulalary ýerine 22 ýetýär. Şeýlelikde ������(0; 4) nokat kesimi ýarpa bölýän nokat hökmünde ������������ kesime degişli, ýagny berlen üç nokat bir göni çyzykda ýatýar. Maplede berlen üç nokady kollinearlyk şertine barlaýan ������������������������������������������������������������������������ buýrugy bar, onuň umumy ulanylyş düzgüni aşakdaky ýalydyr: AreCollinear(A, B, C, şertlihabar). Bu ýerde: - ������, ������, ������ − berlen üç nokat. Buýrugyň jogaby bu üç nokat kollinear bolanda ������������������������, kollinear bolmanda ������������������������������ görnüşinde berilýär, soňky ýagdaýda bu nokatlary kollinearlyga getirip biljek şert hökmany bolmadyk ş������������������������������ℎ������������������������ näbellisine berilýär. Maplede bu mysal üçin IsOnLine buýrugyny hem ulanyp bolardy, ol nokadyň göni çyzyga degişli ýa-da degişli däldigini anyklaýar, bu buýruk göni çyzygyň deňlemesini talap edýär, şonuň üçin ony bu mysalda ulanmadyk. Maplede başda berlen nokatlary koordinatalary bilen girizýäris, soňra ������������������������������������������������������������������������ buýrugy bilen olaryň kollineardygy barada ������������������������ jogabyny alýarys. Nokatlary, olaryň depelerini şekillendirmegi ýokardaky mysallardaky ýaly ������������������������������������������������������ we ������������������������������������������������ buýruklary arkaly amala aşyrýarys. 52
Mysal 71. Depeleri ������(2; 0), ������(5; 3) we ������(2; 6) bolan üçburçlugyň meýdanyny tapmaly. Çözüwi. ������ = |������������| = √(2 − 5)2 + (6 − 3)2 = √(−3)2 + 32 = √18 = 3 √2, ������ = |������������| = √(2 − 2)2 + (6 − 0)2 = √36 = 6, ������ = |������������| = √(5 − 2)2 + (3 − 0)2 = √18 = 3 √2, ������ = ������, ������2 = ������2 + ������2 ⇒ ������ = ���̂��� = 900, |������������| ∙ |������������| 3 √2 ∙ 3 √2 ������ = 2 = 2 = 9. Bu ýerde üçburçlugyň göniburçlydygy anyklanyldy we meýdany tapmak üçin degişli formula ulanyldy. Maplede ������ üçburçlugy depeleri bilen girizýäris, meýdany ������������������������ buýrugy bilen tapýarys. 53
Özbaşdak çözmek üçin mysallar. Mysal 72. Depeleri ������(2; −1), ������(4; 3) we ������(−2; 1) bolan üçburçlugyň taraplarynyň ortalaryny tapyň. Mysal 73. Depeleri ������(−2; 0), ������(6; 6) we ������(1; −4) bolan üçburçlugyň ������������ medianasynyň we ������������ bissektrisasynyň uzynlyklaryny kesgitlemeli. Mysal 74. ������(2; −1), ������(−1; 4) we ������(−2; 2) nokatlar üçburçlugyň taraplarynyň ortalarydyrlar. Üçburçlugyň depelerini kesgitlemeli. Mysal 75. ������(2; 2) we ������(1; 5) nokatlar bilen deň üç bölege bölünen kesimiň ������ we ������ uçlarynyň koordinatalaryny tapmaly. Mysal 76. Üçburçlugyň ������(1; −3), ������(3; −5) we ������(−5; 7) depeleri berlen. Onuň taraplarynyň ortalaryny kesgitlemeli. Mysal 77. ������(2; −1), ������(−1; 4), ������(−2; 2) nokatlar üçburçlugyň taraplarynyň ortalary bolup durýarlar. Üçburçlugyň depe nokatlaryny kesgitlemeli. Mysal 78. Göni çyzyk ������1(−12; −13) we ������2(−2; −5) nokatlardan geçýär. Bu göni çyzykda abssis sasy 3 −e deň bolan nokady tapmaly. Mysal 79. Dörtburçlugyň ������(−3; 12), ������(3; −4), ������(5; −4) we ������(5; 8) depeleri berlen. ������������ diagonalyň ������������ diagonaly haýsy gatnaşykda bölýändigini kesgitlemeli. Mysal 80. Depeleri ������(3; −4), ������(−2; 3) we ������(4; 5) bolan üçburçlugyň meýdanyny tapmaly. Mysal 81. Üç depesi ������(3; 7), ������(2; −3) we ������(−1; 4) bolan parallelogramyň meýdanyny tapmaly. Mysal 82. Üçburçlugyň meýdany ������ = 3, iki depesi ������(3; 1) we ������(1; −3) nokatlar, üçünji depesi bolsa ������������ okda ýatýar. Üçünji depäniň koordinatalaryny tapmaly. Mysal 83. Parallelogramyň meýdany ������ = 17, onuň iki depesi ������(2; 1) we ������(5; −3) nokatlar. Parallelogramyň diagonallarynyň kesişme nokady ordinata okunda ýatýar diýen şertde onuň beýleki iki depelerini tapmaly. Mysal 84. Parallelogramyň yzygiderli ������(1; 1), ������(2; 2), ������(3; −1) depeleri berlen. Parallelogramyň dördünji depesini tapmaly. Mysal 85. ������(2; 1), ������(−1; 3), ������(−2; 5) nokatlarda 50, 20 we 30 gram massalar ýerleşdirilen. Bu ulgamyň agyrlyk merkezini tapmaly. Mysal 86. ������1(2; 3), ������2(−2; 2), ������3(−4; −1), ������4(−1; −5), ������5(4; −2) nokatlarda depeleri bolan bäşburçlugyň meýdanyny tapmaly. 54
§6. Egriniň deňlemesi nokatlaryň geometriki ýeri hökmünde ������ we ������ näbellilere bagly bolan, egriniň we diňe onuň islendik nokatlarynyň koordinatalary bu deňlemäni kanagatlandyrýan deňlemä egriniň deňlemesi diýilýär. Egriniň deňlemesine gatnaşýan ������ we ������ näbellilere koordinatalar, harp hemişeliklere parametrler diýilýär. Nokatlaryň geometriki ýeri hökmünde egriniň deňlemesini düzmek üçin: 1. Egriniň erkin ������(������; ������) nokadyny almaly, 2. Deňlik bilen egriniň ähli ������ nokatlarynyň umumy häsiýetini ýazmaly, 3. Bu deňlige girýän kesimleri (burçlary) meselede berlen maglumatlar we ������(������; ������) nokadyň koordinatalarynyň üsti bilen aňlatmaly. Mysal 87. Merkezi ������(3; 4) we radiusy ������ = 5 bolan töweregiň deňlemesini ýazmaly. Bu töwerege ������(−1; 1), ������(2; 3), ������(0; 0) we ������(4; 1) nokatlar degişlimi? Çözüwi. Töweregiň merkeziniň koordinatalaryny ������(������0; ������0) bilen belgiläliň. Bu töweregiň islendik ������(������; ������) nokadyny alalyň. ������ nokatdan radiusa düşürilen perpendikulýaryň esasyny ������ nokat bilen belgiläliň, onuň koordinatalary (������; ������0) bolar. Pifagoryň teoremasy boýunça ∆������������������ figuradan şu deňligi alýarys: |������������|2 = |������������|2 + |������������|2. Bu ýerde aralyklary degişli nokatlaryň üsti bilen aňladyp alýarys: |������������|2 = (������ − ������0)2 + (������ − ������0)2 = ������2, |������������|2 = (������ − ������)2 + (������ − ������0)2 = (������ − ������0)2, |������������|2 = (������ − ������0)2 + (������0 − ������0)2 = (������ − ������0)2. Bu ýerden alýarys: (������ − ������0)2 + (������ − ������0)2 = ������2. Merkez ������(3; 4) nokadyň koordinatalaryny we ������ = 5 bahany bu deňlemä goýup alýarys: (������ − 3)2 + (������ − 4)2 = 25, ýa-da ������2 − 6 ������ + ������2 − 8 ������ = 0. Berlen nokatlaryň bu töwerege degişli ýa-da däldigini bu nokatlaryň koordinatalarynyň töweregiň alnan deňlemesini kanagatlandyrýandygy ýa-da kanagatlandyrmaýandygy bilen barlap görýäris. Meselem, ������(−1; 1) nokat bu töwerege degişli, sebäbi (−1 − 3)2 + (1 − 4)2 = 42 + (−3)2 = 25; ������(2; 3) nokat bu töwerege degişli däl, sebäbi (2 − 3)2 + (3 − 4)2 = (−1)2 + (−1)2 = 2 ≠ 25. Beýleki nokatlar üçin barlag hem şu görnüşde geçirilýär. Maplede töweregi kesgitlemek ������������������������������������ buýrugy bilen geçirilýär, onuň umumy ulanylyş düzgünleriniň biri aşakdaky ýalydyr: circle(c, deňleme, n, 'centername'=at). Bu ýerde: - ������ − töweregiň ady, - ������������ň������������������������ − töweregiň deňlemesi, - ������ − berilmegi hökmany bolmadyk sanaw, ol koordinata oklarynyň atlaryny aňladýar, meselem, ony [������, ������] görnüşde berip bolýar, - ′������������������������������������������������������������′ = ������������ − berilmegi hökmäny däl, merkezi nokadyň ady. Maplede segmenti we ugrukdyrylan segmenti kesgitlemek üçin ������������������������������������������������ toplumyna degişli ������������������������������������������ we ������������������������������������������������ buýruklary ulanylýarlar, olaryň umumy ulanylyş düzgünleri aşakdakylar ýalydyr: 55
segment(at, [P1, P2]) segment(at, P1, P2) dsegment(at, [P1, P2]) dsegment(at, P1, P2). Bu ýerde: - ������������ − segmentiň ýa-da ugrukdyrylan segmentiň ady, - ������1, ������2 − iki sany nokat, segmentiň/ugrukdyrylan segmentiň uçlary. Maplede başda töweregiň merkeziniň koordinatalaryny ������0, ������0 näbellilerde, radiusyny bolsa ������ näbellide girizýäris. Töweregiň deňlemesi düzülende seredilýän ������, ������ we ������ nokatlary koordinatalary boýunça girizýäris. Töweregiň deňlemesi ������������ň������������������������ näbellisinde ������������������������������������������������ buýrugyny ulanmak bilen Pifagoryň teoremasy arkaly alynýar. Soňra bu deňleme arkaly ������������������������������������ buýrugynyň kömegi bilen ������ö������������������������������ näbellisinde öwrenilýän töweregi girizýäris. Bu ýerde ∆������������������ üçburçluk üç sany ������1, ������2, ������3 segmentleriň üsti bilen alyndy. Segmentler bolsa öz gezeginde degişli nokatlar arkaly ������������������������������������������ buýrugynyň üsti bilen kesgitlenildi, bu ýerde ������, ������1 − aralyk nokatlar. Soňra ������������������������������ näbellide ýazgylar, ������1 näbellide ∆������������������ üçburçluk, ������2 näbellide bolsa töwerek we öwrenilýän nokatlar şekillendirildi, ������������������������������������������ buýrugynda bolsa ähli obýektler bilelikde çykaryldylar. Öwrenilýän nokatlaryň çyzgy boýunça bu töwerege degişli ýa-da degişli däldigi anyk görünýär, emma ������������������������������������������������ toplumynda bu maksat üçin ýörite IsOnCircle buýruk bar, onuň umumy ulanylyş düzgüni aşakdaky ýalydyr: IsOnCircle(Nokat(lar),Töwerek_at, şert). Bu ýerde: - ������������������������������(������������������) − nokat(laryň) köplügi, sanawy, - ������ö������������������������������−������������ − töweregiň ady, - ş������������������ − hökmany bolmadyk parametr. 56
Buýruk nokady ýa-da nokatlary töwerege degişlilige barlaýar, jogaplar ������������������������ ýa-da ������������������������������ görnüşde bolup bilerler. Jogap ������������������������������ bolanda ş������������������ näbellide haýsy şertlerde nokadyň töwerege degişli bolup biljekdigi barada habar berilýär. Bu mysaldaky nokatlar üçin buýrugyň ulanylyşy aşakda getirildi: Nokat töwerege degişli bolanda true (“çyn”), degişli däl bolanda false (“ýalan”) jogabyny aldyk: ������, ������ nokatlar töwerege degişli, ������, ������ nokatlar töwerege degişli däl. Nokatlaryň töwerege degişli ýa-da däldigini bir buýrukda hem barlap bolar: Sanalan nokatlaryň içinde iň bolmanda töwerege degişli däl bir nokat bar bolanda jogap false görnüşinde berilýär. Mysal 88. ������(0; 2) we ������(4; −2) nokatlardan deň daşlaşan ������(������; ������) nokadyň hereket edýän egrisiniň deňlemesini ýazmaly. ������(−1; 1), ������(1; −1), ������(0; −2) we ������(2; 2) nokatlar bu egride ýatýarlarmy? Çözüwi. Şert boýunça |������������| = |������������|, onda |������������|2 = |������������|2, ýagny (������ − 0)2 + (������ − 2)2 = (������ − 4)2 + (������ − (−2))2. Bu deňlemäni ýönekeýleşdirip, alýarys: ������ − ������ − 2 = 0. Nokatlaryň bu egrä degişli ýa-da degişli däldigini barlalyň. ������(−1; 1) nokat üçin alýarys: −1 − 1 − 2 = −4 ≠ 0, diýmek bu nokat bu egrä degişli däl. ������(1; −1) nokat üçin alýarys: 1 − (−1) − 2 = 0, diýmek bu nokat bu egrä degişli. Beýleki iki nokat üçin hem barlag şular ýaly geçirilýär. Maplede göni çyzyklary kesgitlemek üçin ������������������������ buýrugynyň dürli görnüşleri bar, olaryň içinden ������������������������������������������������ toplumyna girýän görnüşiniň umumy ulanylyş düzgünleri aşakdakylar ýalydyr: line(Göni çyzygyň ady, [A, B]) line(Göni çyzygyň ady, deňleme, n). Bu ýerde: - ������ö������������ ç������������������������������ň ������������������ − kesgitlenilýän göni çyzygyň ady, - ������, ������ − iki sany nokat, - ������������ň������������������������ − göni çyzygyň deňlemesi, - ������ − koordinata oklarynyň atlary, olary bermek hökman däl. 57
Bu buýrukda göni çyzyk tükeniksiz liniýa hökmünde düşünilýär. Birinji çagyrylyş görnüşinde göni çyzyk iki nokadyň üsti bilen, ikinji çagyrylyş görnüşinde göni çyzyk deňlemesi bilen kesgitlenilýär. Eger-de Maple ulgamynyň umumy hasaplanylýan _������������������������������������������������������������������������������������������������������ we _������������������������������������������������������������������������������������������ näbellileri kesgitlenilen bolsalar, onda olar koordinata oklarynyň atlary hökmünde ulanylýarlar, bolmasa ol oklaryň atlary soňra iş wagtynda soralýar. Kesgitlenilen göni çyzyk barada ������������������������, ������������������������������������������������, ������������������������������������������������������������������������������������, ������������������������������������������������������������������������, ������������������������������������ buýruklary bilen maglumatlary sorap bolar. Buýrugyň ������������������ℎ(������������������������������������������������, ������������������������) ýaly gysga ulanylyş görnüşi bar. Berlen göni çyzyga nokadyň degişli ýa-da degişli däldigini ������������������������������������������������ buýrugy bilen barlap bileris, onuň umumy ulanylyş düzgüni aşakdaky ýalydyr: IsOnLine(Nokat(lar), Göni çyzyk_at, şert) Bu ýerde: - ������������������������������(������������������) − nokat(laryň) köplügi, sanawy, - ������ö������������ ç������������������������_������������ − göni çyzygyň ady, - ş������������������ − hökmany bolmadyk parametr. Buýruk nokady ýa-da nokatlary göni çyzyga degişlilige barlaýar, jogaplar ������������������������ ýa-da ������������������������������ görnüşde bolup bilerler. Jogap ������������������������������ bolanda ş������������������ näbellide haýsy şertlerde nokadyň göni çyzyga degişli bolup biljekdigi barada habar berilýär. Maplede başda egriniň deňlemesini tapalyň. Onuň üçin berlen iki ������ we ������, egrä degişli erkin ������(������; ������) nokatlary girizýäris, soňra |������������| = |������������| deňlemäni çözýäris we jogapdan gözlenilýän egriniň göni çyzykdygyny görýäris: Soňra ������, ������, ������ we ������ nokatlary girizýäris, tapylan göni çyzygy obýekt hökmünde line buýrugy arkaly kesgitleýäris, soňra bolsa bu nokatlaryň ol göni çyzyga degişliligini IsOnLine buýrugy bilen barlaýarys: Jogaplarda ������ we ������ nokatlaryň ������ = −2 + ������ göni çyzyga degişlidigi, ������ we ������ nokatlaryň bolsa degişli däldigi barada habar berildi. 58
Ahyrynda girizilen nokatlary we tapylan egrini şekillendireliň. Bu ýerde obýektler üçin dürli parametrler (reňkler, simwollar) ulanyldy. Mysal 89. ������(2; 0) we ������1(−2; 0) nokatlardan her nokadynyň aralyklarynyň jemi 2√5 bolan nokatlaryň geometriki ýeriniň deňlemesini ýazmaly. Egrini deňlemesi boýunça gurmaly. Çözüwi. Gözlenilýän egrä degişli erkin ������(������; ������) nokady alalyň. Şert boýunça |������������| + |������������1| = 2√5. Bu ýerden √(������ − 2)2 + (������ − 0)2 + √(������ + 2)2 + (������ − 0)2 = 2√5 ýa-da √������2 − 4 ������ + 4 + ������2 + √������2 + 4 ������ + 4 + ������2 = 2√5 diýip tapýarys. Çep tarapdaky ikinji goşulyjyny saga geçirip, iki tarapy hem kwadrata göterip, soňra ýönekeýleşdirmeleri geçirip, alýarys: √5 (������2 + 4 ������ + 4 + ������2) = 5 + 2 ������. Ýene-de bir gezek iki tarapy hem kwadrata götereliň: 5 ������2 + 20 ������ + 20 + 5 ������2 = 25 + 20 ������ + 4 ������2, ýa-da ������2 + 5������2 = 5, ýa-da ������2 + ������2 = 1. Bu ellipsiň deňlemesidir. 5 Maplede ellips ýedi usul bilen kesgitlenilýär, olardan berlen deňlemesi bilen ellipsi kesgitlemek boýunça buýrugyň umumy ulanylyş düzgüni aşakdaky ýalydyr: ellipse(At, deňleme, n). Bu ýerde: - ������������ ‒ ellipsiň ady, - ������������ň������������������������ − ellipsiň algebraik deňlemesi, - ������ ‒ gorizontal we wertikal oklaryň berilmesi hökman bolmadyk sanawy. Maplede başda ������(2; 0), ������1(−2; 0) we erkin ������(������; ������) nokatlary girizýäris. Soňra bolsa |������������| + |������������1| = 2√5 deňlemäni çözýäris. Bu ýerde ol deňleme birinji gezek ������ näbellä görä çözüldi, şonda ������ = ± 1 √−5 ������2 + 25 jogap, ýagny iki şaha alyndy. Bu ýagdaýdan çykmak üçin ikinji 5 59
gezek deňleme ������2 näbellä görä çözüldi, onda ������2 = − 1 ������2 + 1 jogap aldyk, şol bir 5 pursatda bolsa ahyrky çözüwi doly görkezmeýändigi üçin beýle çözüw ýolunyň maslahat berilmeýändigi barada duýduryş hem aldyk. Bu deňleme bilen berlen ellipsi şekillendireliň. Bu ellips obýekti barada jikme-jik maglumaty detail buýrugy bilen alyp bileris: Bu ýerde ellipsiň ady EllipsMysal , görnüşi 2 ölçegli obýekt, merkezi (0; 0) nokat, fokuslary (−2; 0) we (2; 0) nokatlar, uly we kiçi oklarynyň uzynlyklary 2√5 we 2, ellipsiň deňlemesi ������2 + ������2 − 1 = 0 bolýandygy barada maglumatlar berilýär. 5 Ellips haýsy hem bolsa bir usul bilen kesgitlenilenden soňra bu buýruk onuň ähli galan parametrlerini awtomatiki usulda hasaplaýar. Mysal 90. Egrileri gurmaly: 1) ������ = 2 ������ + 5; 2) ������ = 7 − 2 ������; 3) ������ = 2 ������; 4) ������ = 4; 5) ������ = 4 − ������2. Çözüwi. Bu egrileri adaty usulda elde gurmagy özüňiz geçiriň. Maplede egrileri birnäçe ýol bilen gurup bolar, meselem, plot buýrugyny ulanalyň, onuň umumy ulanylyş düzgünleriniň üç sanysy aşakdakylardyr: plot(f, x) plot(f, x=x0..x1) plot(v1, v2). Bu ýerde: - ������ − näbellä bagly aňlatma, 60
- ������ − garaşsyz näbelli, - ������0, ������1 − abssissa oky boýunça çäkler, - ������1, ������2 − abssissa we ordinata oklary boýunça koordinatalaryň sanawlary ýa-da wektorlar. Birinji çagyryşda abssissa oky boýunça trigonometriki funksiýalar üçin [−2 ������, 2������], beýleki funksiýalar üçin [−10, 10] aralyklar alynýar. Ikinji çagyryşda berlen [������0, ������1] interwal üçin şekillendirmeler geçirilýär. Üçünji çagyryşda berlen koordinatalar köplügi boýunça şekillendirmeler geçirilýär. Bu buýrugyň ulanylyş düzgünleri kändir, olar barada maglumatlar degişli meselelerde getiriler. Bu ýerde ähli egriler bir çyzgyda görkezildi, ������������������������������������������������������ saýlawy yzky fonda öýjükleriň bolmagyny üpjün edýär. Mysal 91. Egrileriň koordinata oklary bilen kesişme nokatlaryny kesgitlemeli we egrileri gurmaly: 1) 3 ������ − 2 ������ = 12; 2) ������ = ������2 + 4 ������; 3) ������2 = 2 ������ + 4. Çözüwi. Berlen egrileriň abssissa oky bilen kesişme nokatlary ������ = 0 we ordinata oky bilen kesişme nokatlary ������ = 0 ýagdaýlara seretmek bilen tapylýar. 1). 3������ − 2������ = 12 egrä seredeliň. a) {3������������=−02������ = 12 ⇨ {���−��� 2=������0= 12 ⇨ {������������ =0 = −6 b) {3������������=−02������ = 12 ⇨ {���3���������==012 ⇨ {������������ = 0 = 4. 3������ − 2������ = 12 egri abssissa oky bilen ������(0; −6) nokatda, ordinata oky bilen ������(4; 0) nokatda kesişýär. 2). ������ = ������2 + 4 ������ egrä seredeliň. a) {������������ = 0 + 4 ������ ⇨ {������������ = 0 = ������2 = 0 61
b) ������ = 0 + 4 ������ ⇨ {������������ = 0 4) = 0 ⇨ {������������ = 0 ������ = −4. {������ = ������2 (������ + = 0, ������ = ������2 + 4 ������ egri abssissa oky bilen С(0; 0) nokatda, ordinata oky bilen ������(−4; 0) nokatda kesişýär. 3). ������2 = 2 ������ + 4 egrä seredeliň. a) {������������2==02 ������ + 4 ⇨ {������������2==04 ⇨ {������������ = 0 ������ = 2 = −2, b) ������ = 0 ⇨ {2���������=��� +04 = 0 ⇨ {������������ = 0 {������2 = 2 ������ + 4 = −2. ������2 = 2 ������ + 4 egri abssissa oky bilen ������(0; −2) we ������(0; 2) nokatlarda, ordinata oky bilen ������(−2; 0) nokatda kesişýär. Maplede ������������������������������������������������ toplumyna girýän ������������������������������������������������ buýrugynyň umumy ulanylyş düzgünlerinden birini beýan edeliň: parabola(At, deňleme, n). Bu ýerde: - ������������ − parabolanyň ady, - ������������ň������������������������ − parabolanyň deňlemesi, - ������ − hökmany däl parametr, koordinata oklarynyň atlaryny berýär. Maplede başda egrileriň koordinata oklary bilen kesişmelerini tapýarys, onuň üçin üç sany egri1, egri2, egri3 atlandyrylan egrileri kesgitleýäris. Soňra solve buýrugy arkaly bu üç egriniň koordinata oklary bilen kesişme nokatlaryny tapýarys. Ol tapylan ������, ������, ������, ������, ������, ������, ������ ýedi nokatlary point buýrugynyň üsti bilen girizýäris. Soňra birinji egrini göni çyzyk hökmünde ������������������������, ikinji we üçünji egrileri parabolalar hökmünde ������������������������������������������������ buýruklary bilen girizýäris. Her egrini öz reňki bilen berip, oňaýlylyk üçin goşmaça ������������������������ we beýleki gerekli saýlawlary hem goýup, ������������������������ buýrugy bilen egrileri we nokatlary gurýarys. 62
Bu ýerde ������������������������ buýrugynda abssissa we ordinata oklary boýunça görkezilmeli aralyklar berlendir, zerur bolanda bu kesimleri bermegi her mysalda aýratyn amala aşyrmaly, kähalatlarda olar ýalňyş berlende ������������������������ buýrugy bilen gurulýan grafikleriň käbirleri görünmeýär. Mysal 92. Maplede grafikleri interaktiw režimde gurmak üçin buýruk setirinde plots[interactive](); buýrugyny bermeli ýa-da Tools->Assistants->Plot Builder yzygiderligini menýudan saýlamaly. Açylýan interaktiw penjirede Add düwmesiniň kömegi bilen funksiýalary girizmeli (Edit, Remove düwmeleri düzediş üçin ulanylýarlar): Her aňlatma girizilip bolnandan soňra Aссept düwmesine basmaly. Ähli aňlatmalar girizilip bolnandan soňra ������������ düwmä basyp, näbellileriň çäkleri, grafigiň görnüşi we ş.m. berilýän indiki penjiräni alýarys. Options düwmesiniň üsti bilen reňkleri, simwollary we ş.m. dolandyryp bileris. 63
Zerur parametrleri girizýäris, soňra ������������������������ düwmä basyp şekilleri alýarys, şekiller Maple faýlynyň içinde berilýär. Özbaşdak çözmek üçin mysallar. Mysal 93. ������(0; 4), ������(1; −2) nokatlar ������ = 3 ������2−4 egrä degişlimi? 2 ������−1 Mysal 94. ������2 = 4 ������, ������ = 1 ������2 egrileriň kesişme nokatlaryny tapmaly. 4 Mysal 95. ������(3; 5) we ������(1; −4) nokatlardan deň daşlaşan nokatlaryň geometriki ýeriniň deňlemesini düzmeli. Mysal 96. Öz hereketinde koordinatalar başlangyjyndan we ������(−4; 2) nokatdan deň daşlaşýan ������(������; ������) nokadyň hereket edýän egrisiniň deňlemesini ýazmaly. ������(−2; 1), ������(2; 3), ������(1; 7) nokatlar bu egride ýatýarlarmy? Mysal 97. Öz hereketinde ������(−1; 1) nokada ������(−4; 4) nokada garanyňda iki esse ýakyn bolmagyna galýan ������(������; ������) nokadyň traýektoriýasynyň deňlemesini ýazmaly. Hereketiň traýektoriýasyny gurmaly. Mysal 98. Egrileriň koordinata oklary bilen kesişme nokatlaryny kesgitlemeli we egrileri gurmaly: 1) 2������ + 5������ + 10 = 0; 2) ������ = 3 − 2������ − ������2; 3) ������2 = 4 − ������. Mysal 99. Egrileri gurmaly: 1) ������ = 3������ − 1; 2) ������ = 6 + ������; 3) ������ = 4������; 4) ������ = 7; 5) ������ = −2 + 3������2. Mysal 100. ������������ okdan we ������(0; 2) nokatdan deň daşlaşan nokatlaryň geometriki ýeriniň deňlemesini ýazmaly. Egrini deňlemesi boýunça gurmaly. Mysal 101. 1) ������ + ������ = 0; 2) ������ − ������ = 0; 3) ������2 + ������2 − 36 = 0; 4) ������2 + ������2 − 2 ������ + ������ = 0; 5) ������2 + ������2 + 4 ������ − 6 ������ − 1 = 0 egriler berlen. Olaryň haýsylarynyň koordinatalar başlangyjyndan geçýändigini kesgitlemeli, egrileri gurmaly. Mysal 102. Koordinata oklaryndan deň daşlaşan nokatlar köplüginiň geometriki ýeriniň deňlemesini ýazmaly. Mysal 103. ������������ okdan ������ aralykda bolan nokatlar köplüginiň geometriki ýeriniň deňlemesini getirip çykarmaly. Mysal 104. ������������ okdan ������ aralykda bolan nokatlar köplüginiň geometriki ýeriniň deňlemesini getirip çykarmaly. Mysal 105. ������(−������; 0) we ������(������; 0) nokatlardan aralyklarynyň kwadratlarynyň tapawutlary ������ ululyga deň bolan nokatlar köplüginiň geometriki ýeriniň deňlemesini getirip çykarmaly. Mysal 106. ������(−3; 0) we ������(3; 0) nokatlardan aralyklarynyň kwadratlarynyň jemi 50 −ä deň bolan nokatlar köplüginiň geometriki ýeriniň deňlemesini getirip çykarmaly. Mysal 107. Berlen (������ + 3)2 + ������2 = 1 we (������ − 3)2 + ������2 = 81 töwereklerden iň gysga aralyklary özara deň bolan nokatlar köplüginiň geometriki ýeriniň deňlemesini getirip çykarmaly. 64
§7. Göni çyzygyň deňlemeleri 1. Göni çyzygyň burç koeffisiýentli deňlemesi ������ = ������ ������ + ������ görnüşdedir. Bu ýerde ������ = ������������ ������ ‒ burç koeffisiýenti, ������ ‒ göni çyzygyň ������������ oka ýapgytlyk burçy, ������ ‒ göni çyzygyň ������������ okda kesip alýan kesiminiň uzynlygy ýa-da başlangyç ordinata. 2. Göni çyzygyň umumy deňlemesi ������ ������ + ������ ������ + ������ = 0 görnüşdedir, bu ýerde ������, ������ we ������ hakyky sanlar. Aýratyn ýagdaýlar: a) ������ = 0 bolanda ������ = − ������ ������ göni çyzyk koordinatalar başlangyjyndan geçýär, ������ b) ������ = 0 bolanda ������ = − ������ göni çyzyk ������������ okuna parallel geçýär, ������ ç) ������ = 0 bolanda ������ = − ������ göni çyzyk ������������ okuna parallel geçýär, ������ d) ������ = ������ = 0 bolanda ������ = 0 göni çyzyk ������������ okuny aňladýar, e) ������ = ������ = 0 bolanda ������ = 0 göni çyzyk ������������ okuny aňladýar. 3. Göni çyzygyň kesimlerdäki deňlemesi ������ + ������ = 1 görnüşdedir, bu ýerde ������ we ������ ������ ������ degişlilikde göni çyzygyň ������������ we ������������ oklarda kesip alýan kesimleriniň uzynlyklary. 4. Göni çyzygyň ýokardaky üç deňlemesindäki parametrleriň arabaglanyşygy aşakdakylar ýalydyr: a) göni çyzyk ������ = ������ ������ + ������ görnüşde berlende ������ = ������, ������ = −1, ������ = ������ we ������ = − ������ , ������ = ������, ������ b) göni çyzyk ������������ + ������������ + ������ = 0 görnüşde berlende ������ = − ������ , ������ = − ������ we ������ = ������ ������ − ������ , ������ = − ������, ������ ������ göni ������ + ������ =1 görnüşde berlende ������ = ������, ������ = ������, ������ = −������ ������ we ������ = ç) çyzyk ������ ������ − ������ , ������ = ������. ������ Mysal 108. ������������ okunda ������ = 3 kesimi kesip alýan we ������������ ok bilen 1) 450; 2) 1350 burçy düzýän göni çyzygy gurmaly. Bu göni çyzygyň deňlemesini ýazmaly. Çözüwi. 1) ������ = ������������ ������ = ������������ 450 = 1, ������ = 3, onda ������ = ������ ������ + ������ = ������ + 3, 2) ������ = ������������ ������ = ������������ 1350 = −1, ������ = 3, onda ������ = ������ ������ + ������ = −������ + 3. Göni çyzyklary elde gurmak üçin olara degişli islendik iki nokady tapmaly we olary birikdirmeli, meselem, (0; 3) we (1; 4) nokatlar ������ = ������ + 3 göni çyzykda ýatýarlar, onda bu nokatlary gurýarys we olary birikdirip, gözlenilýän grafigi alýarys. Şuňa meňzeşlikde, (0; 3) we (1; 2) nokatlar ������ = −������ + 3 göni çyzyga degişli, onda bu nokatlary gurup we olary birikdirip, gözlenilýän grafigi alýarys. Maplede çözüw we şekiller aşakda berlendir: 65
Mysal 109. Göni çyzyklaryň hersi üçin ������ we ������ parametrleri kesgitlemeli we olary gurmaly: 1) 2 ������ − 3 ������ = 6; 2) 2 ������ + 3 ������ = 0. Çözüwi. 1) 2 ������ − 3 ������ = 6. Bu ýerden ������ = 2, ������ = −3, ������ = −6. Onda ������ = − ������ = − 2 = 2 , ������ = − ������ = − −6 = −2, ������ = 2 ������ − 2. ������ −3 3 ������ −3 3 Onda ������ = − ������ = 2) 2 ������ + 3 ������ = 0. Bu ýerden ������ = 2, ������ = 3, ������ = 0. ������ − 2 , ������ = − ������ = − 0 = 0, ������ = − 2 ������. 3 ������ 3 3 Grafikleri elde guralyň: 1) (0; −2) we (3; 0) nokatlar 2 ������ − 3 ������ = 6 göni çyzyga degişli, olary birikdirip bu göni çyzygyň grafigini alýarys. 2) (0; 0) we (3; −2) nokatlar 2 ������ + 3 ������ = 0 göni çyzyga degişli, olary birikdirip bu göni çyzygyň grafigini alýarys. Maplede çözüw aşakda berlendir. 66
Mysal 110. Göni çyzygyň berlen deňlemelerini kesimlerdäki deňlemeler görnüşine getirmeli we gönileri gurmaly: 1) 2 ������ − 3 ������ = 6; 2) 3 ������ − 2 ������ + 4 = 0. Çözüw. 1) ������ = 2, ������ = −3, ������ = −6, onda ������ = − ������ = − −6 = 3, ������ = − ������ = ������ 2 ������ − −6 = −2, gözlenilýän deňleme ������ + ������ = 1 bolar. −3 3 −2 2) ������ = 3, ������ = −2, ������ = 4, onda ������ = − ������ = − 4 , ������ = − ������ = − 4 = 2, ������ 3 ������ −2 ������ ������ gözlenilýän deňleme −43 + 2 = 1 bolar. Grafikleri elde guralyň: 1) (0; −2) we (3; 0) nokatlar 2 ������ − 3 ������ = 6 göni çyzyga degişli, olary birikdirip bu göni çyzygyň grafigini alýarys. 2) (0; 2) we (2; 5) nokatlar 3 ������ − 2 ������ + 4 = 0 göni çyzyga degişli, olary birikdirip bu göni çyzygyň grafigini alýarys. Grafikleri gönileriň koordinata oklaryndan kesip alýan kesimleri bilen hem gurup bolar, meselem, ������ + ������ = 1 egri ������������ okda 3, ������������ okda −2 birligi kesip alýar. 3 −2 Açyk formula bilen berilmedik egrileri gurmak Maplede plots toplumyna degişli implicitplot buýrugy bilen amala aşyrylýar, buýrugyň umumy ulanylyş düzgünleri aşakdakylar ýalydyrlar: implicitplot(aňlatma, x=a..b, y=c..d, saýlawlar) implicitplot(f, a..b, c..d, saýlawlar) implicitplot([aňlatma1, aňlatma2,t], x=a..b, y=c..d, saýlawlar). Bu ýerde: - aňlatma, aňlatma1, aňlatma2 ̶ degişli näbellilerdäki aňlatmalar, - ������, ������, ������ − näbelliler, 67
- ������, ������, ������, ������ − görkezişiň çäkleri, - saýlawlar ̶ reňk, sözbaşy, şrift we ş.m. boýunça saýlawlar. Bu mysaly Maplede çözmek we göni çyzyklary şekillendirmek aşakda berlendir. Mysal 111. Göni çyzyklary gurmaly: 1) 3 ������ + 4 ������ = 12; 2) 3 ������ − 4 ������ = 0. Çözüwi. Göni çyzyk iki sany nokady bilen doly berilýär. Şu sebäpli bu göni çyzyklaryň iki sany nokadyny tapalyň. Birinji göni çyzyk 3 ������ + 4 ������ = 12 Ikinji göni çyzyk 3 ������ − 4 ������ = 0 ������ 0 404 ������ 3 003 Ýagny birinji göni çyzyk üçin (0; 3) we (4; 0) jübüti, ikinji göni çyzyk üçin (0; 0) we (4; 3) jübüti alýarys. Bu nokatlary birikdirip, degişli garfikleri alýarys. Maplede grafikleri gurmak üçin buýruklar we netijeler aşakda getirildi. 68
Mysal 112. Göni çyzyklary interaktiw režimde gurmak üçin Maplede Tools- >Tutors->Precalculus->Lines yzygiderligini saýlamaly. Meselem, 2 ������ + 3������ = 4 göni çyzygy guralyň. Açylan penjirelerdäki kiçi penjirelerde göni çyzygy girizip bolýar: - ������������������������������, ������������������������������ − punktda berlen nokatdan geçýän we berlen burç koeffisiýentli göni çyzyk hökmünde, - ������������������ ������������������������������������ − punktda iki nokatdan geçýän göni çyzyk hökmünde, - ������������������������������, ������������������������������������������������������ − punktda göni çyzygy burç koeffisiýentli deňlemesi bilen, - ������������������������������������������ ������������������������ − punktda göni çyzygy umumy deňlemesi bilen, bu mysalda şu punkty ulanýarys. ������������������������ ������������������������������������������ düwmesinde şekili görkezmek boýunça saýlawlary amala aşyrýarys. Display düwmesinde şekili alýarys. Close düwmesinde ýa-da menýudan File->Close and return plot yzygiderligi bilen şekili Maple faýlyna goýýarys, ony soňra islenilýän formatda kompýuteriň ýadyna alyp bolar. Mysal 113. Deňsizlikleriň geometriki manysyny anyklaň: 69
1) ������ > 3 ������ + 1; 2) 2 ������ + ������ − 4 ≥ 0. Çözüwi. 1) Bu deňsizligi kanagatlandyrýan nokatlar tekizligiň ������ = 3 ������ + 1 göni çyzykdan ýokarda ýatýan ýarymtekizligini düzýär. Elde bu göni çyzygy oňa degişli iki nokady, meselem, (0; 1) we (1; 4) nokatlary birikdirmek bilen gurýarys. Soňra tekizligiň islendik nokadyny, meselem, (0; 0) nokady bu deňsizlige goýup görýäris: 0 > 3 ∙ 0 + 1 ýa-da 0 > 1, alnan deňsizlik dogry däl, diýmek (0; 0) nokat bu deňsizligi kanagatlandyrmaýar. Onda (0; 0) nokadyň ýatýan tarapy ������ > 3 ������ + 1 deňsizligi kanagatlandyrmaýan nokatlar köplügi, (0; 0) nokadyň ýatmaýan tarapy ������ > 3 ������ + 1 deňsizligi kanagatlandyrýan nokatlar köplügi bolar. 2) Bu deňsizligi kanagatlandyrýan nokatlar köplügi tekizligiň 2 ������ + ������ − 4 = 0 göni çyzykdan ýokarda ýatýan ýarymtekizliginden we bu göni çyzygyň öz nokatlaryndan ybaratdyr. Elde bu göni çyzygy oňa degişli iki nokady, meselem, (0; 4) we (2; 0) nokatlary birikdirmek bilen gurýarys. Soňra tekizligiň islendik nokadyny, meselem, (2; 2) nokady bu deňsizlige goýup görýäris: 2 ∙ 2 + 2 − 4 ≥ 0 ýa-da 2 ≥ 0, alnan deňsizlik dogry, diýmek (2; 2) nokat bu deňsizligi kanagatlandyrýar. Onda (2; 2) nokadyň ýatýan tarapy 2 ������ + ������ − 4 ≥ 0 deňsizligi kanagatlandyrýan nokatlar köplügi bolar, (2; 2) nokadyň ýatmaýan tarapy bolsa 2 ������ + ������ − 4 ≥ 0 deňsizligi kanagatlandyrmaýan nokatlar köplügi bolar. Maplede bu meseläni çözmek üçin ������������������������������ toplumyna degişli ������������������������������������������ buýrugyny ulanýarys, onuň umumy ulanylyş düzgüni aşakdaky ýalydyr: inequal(deňsizlik(ler), x=a..b, y=c..d, saýlawlar). Bu ýerde: - ������������ň������������������������������������������������������ − bir ýa-da birnäçe deňsizlikler, sanaw, köplük ýa-da deňsizlikleriň logiki kombinasiýasy bolup biler, - ������, ������, ������, ������ − koordinatalar boýunça şekillendirişiň çäkleri, - ������������ý������������������������������������ − reňk, çyzyklaryň görnüşleri we ş.m. boýunça saýlawlar. Bu buýrugyň netijesinde tekizlik dört bölege bölünýär: - feasible bölek, ähli deňsizlikleri kanagatlandyrýan bölek, - excluded bölek, iň bolmanda bir deňsizligi kanagatlandyrmaýan bölek, - open bölek, < we > belgili deňsizlikleriň serhedi, - closed bölek, ≤, = we ≥ belgili deňsizlikleriň we deňlikleriň serhedi. Her bölegiň şekili üçin reňk, çyzygyň görnüşi we ş.m. ýaly saýlawlary aýratyn berip bolýar, onuň üçin ������������������������������������������������������������������������������������������ = ������������������������������, ������������������������������������������������������������������������������������������ = ������������������������������, ������������������������������������������������������������������ = ������������������������������, ������������������������������������������������������������������������������ = ������������������������������ görnüşde saýlawlary bermeli. Saýlawlar reňk, çyzyklaryň görnüşleri we ş.m. barada bolup bilerler. Serhetleri çyzyksyz görkezmek üçin ������������������������������������������ saýlawyny ulanmaly. Maplede bu mysalda beýan edilen inequal buýrugyny ulanalyň. 1). Bu ýerde deňsizligi kanagatlandyrýan oblast çal reňkde, ������ = 3 ������ + 1 göni çyzygyň nokatlary gyzyl reňkde berildi. 2). Bu ýerde hem deňsizligi kanagatlandyrýan oblast çal reňkde getirildi, serhet 2 ������ + ������ − 4 = 0 göni çyzygyň hem nokatlary bu oblasta girýär. 70
Mysal 114. ������ + ������ ≤ 1, ������ ≥ ������ + 2, ������ ≥ −4 deňsizlikleri kanagatlandyrýan 42 nokatlar köplügini gurmaly. Çözüwi. Gözlenilýän oblast ������ + ������ = 1 göni çyzykdan aşakda, ������ = ������ + 2 göni 42 çyzykdan ýokarda, ������ = −4 göni çyzykdan ýokarda (sagda) ýerleşýär, serhet çyzyklar hem bu oblasta girýär. Bu oblasty elde özüňiz guruň. Bu deňsizlikleri kanagatlandyrýan oblasty Maplede gurmak boýunça buýruklar aşakda getirilendir. Takyk deňlikler mämişi reňkde, gözlenilýän oblast ýaşyl reňkde berildi. Ýazgylar ������2 näbellide ������������������������������������������������ buýrugy arkaly alyndy. 71
Mysal 115. Çyzykly deňzislikler bilen kesgitlenilýän oblasty gurmagy Maplede interaktiw režimde geçirip bolar. Ýokardaky mysaly bu režimde gaýtalalyň. Menýu ulgamynda Tools->Tutors->Precalculus->Linear Inequalities yzygiderligini almaly. Emele gelen penjirede: - Define Inequalities punktunda deňsizlikleri girizmeli, meselem, ������/4 + ������/2 < = 1 görnüşde, gerekli meýdançalaryň gurasynda bellik goýmaly, gerek däl meýdançalardan belligi aýyrmaly, - ������������������������ ������������������������������������������ düwmesinde şekili görkezmek boýunça saýlawlary amala aşyrýarys, - Display düwmesinde şekili alýarys, - Close düwmesinde ýa-da menýudan File->Close and return plot yzygiderligi bilen şekili Maple faýlyna goýýarys, ony soňra islenilýän formatda kompýuteriň ýadyna alyp bolar. Özbaşdak çözmek üçin mysallar. Mysal 116. ������������ okunda ������ = −3 kesimi kesip alýan we ������������ ok bilen 1) 600; 2) 1200 burçy düzýän göni çyzygy gurmaly. Bu göni çyzygyň deňlemesini ýazmaly. Mysal 117. Göni çyzyklaryň hersi üçin ������ we ������ parametrleri kesgitlemeli: 1) ������ = −3; 2) ������ + ������ = 1. 43 Mysal 118. Göni çyzygyň berlen deňlemelerini kesimlerdäki deňlemeler görnüşine getirmeli we gönileri gurmaly: 1) 5 ������ + 4 ������ = 20; 2) 6 ������ − ������ + 3 = 0. 72
Mysal 119. Göni çyzyklary gurmaly: 1) 2 ������ − 5 = 0; 2) 2 ������ + 5 = 0. Mysal 120. Deňsizlikleriň geometriki manysyny anyklaň: 1) ������ < 3 ������ − 1; 2) ������ + 2 ������ − 1 ≤ 0. Mysal 121. Koordinatalary aşakdaky deňsizlikleri kanagatlandyrýan nokatlar köplüklerini gurmaly. 1) ������ < 2 − ������, ������ > −2, ������ > −2; 2) ������ > 2 − ������, ������ < 4, ������ < 0. Mysal 122. 3 ������ − ������ + 4 ≥ 0, ������ + ������ − 2 ≥ 0, ������ − 2 ������ − 6 > 0 deňsizlikleri kanagatlandyrýan nokatlar köplügini gurmaly. Mysal 123. 2 ������ − ������ + 4 > 0, ������ < 0 deňsizlikleri kanagatlandyrýan nokatlar köplügini gurmaly. Mysal 124. 3 ������ − 4 ������ − 29 = 0, 2 ������ + 5 ������ + 19 = 0 göni çyzyklarň kesişme nokadyny tapmaly, göni çyzyklary we ol nokady şekillendirmeli. Mysal 125. Üçburçlugyň depeleri ������ + 5 ������ − 7 = 0, 3 ������ − 2 ������ − 4 = 0, 7 ������ + ������ + 10 = 0 göni çyzyklarda ýatýar. Onuň meýdanyny hasaplamaly. Mysal 126. Eger-de çaganyň ejesiniň we kakasynyň boýlarynyň jemini ������ ululyk diýip hasap etsek, onda olaryň oglunyň we gyzynyň uly ýaşdaky boýlary degişlilikde ������(������) = 0,5 ������ + 2,5 we ������(������) = 0,5 ������ − 2,5 formula bilen çaklanyp bilner, bu ýerde ölçeg birligi inçlerde alynýar. Bu formulalary özüňizde we maşgala agzalaryňyzda barlap görüň. Baglanyşyklaryň grafiklerini guruň. Mysal 127. Uzynlygy 1420 metr bolan polat köprüniň ýylyň pasyllaryna görä uzynlygynyň üýtgemegi ������(������) = 0,000013 ∙ 1420 ∙ ������ formula bilen berilýär. Bu ýerde ������ − howanyň temperaturasy (Selsiýde), 0,000013 − poladyň çyzykly giňelmek koeffisiýenti. Temperatura ������ = 300, 420, 500, 560 bolanda köprüniň uzynlygynyň üýtgemegini hasaplamaly. Baglanyşygyň grafigini gurmaly. Mysal 128. Deňizde ������ foot çuňlukda basyş ������(������) = ������ + 1 (atmosfera) formula 33 bilen berilýär. Bu baglanyşygyň grafigini gurmaly. ������(0), ������(5), ������(10), ������(33) we ������(200) ululyklary tapmaly. Mysal 129. Gyzlaryň ideal hasaplanylýan agramyny ������(ℎ) = 4 ℎ − 130 formula bilen takmynan hasaplap bolar, bu ýerde ℎ −boý, inçde, ������ −agram, funtda (1 ������������ç ≈ 2,54 ������������, 1 ������������������������ ≈ 453,59 ������������������������). Bu baglanyşyk boýunça agramlary hasaplap görüň. Baglanyşygyň grafigini guruň, maglumatlary we netijeleri metrlere we kilogramlara geçiriň. Mysal 130. Sürüji päsgelçiligi göreninden soňra awtoulagy duruzmak üçin reaksiýa berýänçä we ulag durýança geçilýän reaksiýa aralygy ������(������) = 11 ������ + 1 10 2 formula bilen berilýär, bu ýerde ������ −ulagyň tizligi, ������������������, ������ − geçilýän aralyk, ������������������. ������������������ Bu baglanyşygyň grafigini gurmaly, ������(5), ������(10), ������(20), ������(50) we ������(65) ululyklary hasaplamaly. 73
§8. Göni çyzyklaryň arasyndaky burç. Berlen nokatdan geçýän göni çyzyklaryň dessesiniň deňlemesi. Berlen iki nokatdan geçýän göni çyzygyň deňlemesi. Iki göni çyzygyň kesişme nokady 1. ������ = ������1 ������ + ������1 göni çyzykdan sagat görkezgijiniň garşysyna hasaplanyňda ������ = ������������ ������ = ������2−������1 ������2 ������ + ������2 göni çyzyga çenli ������ burç formula bilen berilýär. 1+������1������2 Göni çyzyklar ������1������ + ������1������ + ������1 = 0 we ������2������ + ������2������ + ������2 = 0 deňlemeler bilen berlende bu burç ������������ ������ = ������1������2−������2������1 formula bilen tapylýar. ������1������2+������1������2 ýa-da ������1 = ������1. Göni çyzyklaryň parallellik şerti: ������1 = ������2 ������2 ������2 −1 Göni çyzyklaryň perpendikulýarlyk şerti: ������2 = ýa-da ������1������2 + ������1 ������2 = 0. ������1 2. Berlen ������(������1; ������1) nokatdan geçýän göni çyzyklaryň dessesiniň deňlemesi ������ − ������1 = ������ (������ − ������1) görnüşdedir. 3. Berlen ������(������1; ������1) we ������(������2; ������2) nokatlardan geçýän göni çyzygyň deňlemesi aşakdaky görnüşdedir: ������ − ������1 = ������ − ������1 . ������2 − ������1 ������2 − ������1 4. Iki parallel däl ������1������ + ������1������ + ������1 = 0 we ������2������ + ������2������ + ������2 = 0 göni çyzyklaryň kesişme nokadyny bu deňlemeleri bilelikde çözüp tapýarys: |−−������������12 ������������12| −������1������2 + ������2������1 |������������12 −������1 | −������1������2 + ������2������1 |������������12 ������������12| ������1������2 − ������2������1 |������������12 −������2 ������1������2 − ������2������1 ������ = = ; ������ = = . ������������12| Mysal 131. Göni çyzyklaryň arasyndaky burçy kesgitlemeli. 1) {������ = 1 ������ + 1, 2) {38 ������ − 4 ������ = 6, 2 ������ + 6 ������ = 11. ������ = 2 ������ − 3; Çözüwi. 1). ������1 = 1, ������2 = 2, ������������������ = ������2−������1 = 2−12 = 3 = 3, ������ = ������������������������������������ (3) ≈ 370. 1+������1������2 1+21∙2 2 2 4 4 2 2). ������1 = 3, ������1 = −4, ������2 = 8, ������2 = 6, ������1������2 + ������1������2 = 3 ∙ 8 + (−4) ∙ 6 = 0, diýmek bu göni çyzyklar perpendikulýar, ýagny ������ = 900. Maplede göni çyzyklaryň we töwerekleriň arasyndaky burçy kesgitlemek üçin ������������������������������������������������ toplumyna girýän FindAngle buýrugy ulanylýar, onuň umumy ulanylyş düzgüni aşakdaky ýalydyr: FindAngle(u, v). 74
Bu ýerde: - ������, ������ − iki göni çyzyk ýa-da töwerekler. Bu buýruk bilen göni çyzyklaryň arasyndaky kiçi burç tapylýar, iki töweregiň arasynda bolsa (0, ������) interwaldaky burç tapylýar. Buýrugy ������������������ℎ(������������������������������������������������, ������������������������������������������������������) görnüşde hem ulanyp bolar. Maplede başda oňaýlylyk üçin koordinata oklarynyň atlary _EnvHorizontalName := 'x': _EnvVerticalName := 'y' buýruklary bilen girizildi. Soňra göni çyzyklary line buýrugy bilen girizýäris, soňra olaryň arasyndaky burçy FindAngle buýrugy bilen ������ näbellide tapýarys, burçuň gradus ölçegini evalf buýrugy bilen ������ näbellide tapýarys. Soňra ������1, ������2, ������3, ������4, ������ näbellilerde floor, frac, convert, substring, cat buýruklary bilen burç graduslarda we minutlarda (������ näbellide) aňladyldy. Bu ýerdäki ������������������������������������������ buýrugy radianlary graduslara öwürýär, buýrugy ulanmak mysaldan aýdyňdyr. Galan ������������������������������ we ş.m. ýaly açar sözler sanlaryň dürli görnüşleri bilen işlemegi aňladýarlar. Göni çyzyklaryň grafikleri ������1, tekst ýazgylary ������2 näbellilerde alyndy. Ikinji punktdaky mysal üçin göni çyzyklaryň deňlemeleri üýtgedildi. Bu ýerde ýazgylaryň hem düşýän ýerlerini üýtgetmeli bolýar. Galan buýruklar üýtgemeýär. Iki punkt üçin maksatnamalar we netijeler getirilýär. 75
Mysal 132. Berlen 3������ − 2������ + 7 = 0 we 6������ − 4������ − 9 = 0 göni çyzyklaryň parallel ýa-da perpendikulýardyklaryny barlamaly. Çözüwi. Şert boýunça ������1 = 3, ������1 = −2, ������2 = 6, ������2 = −4, diýmek parallellik ������1 = ������1 şerti 3 = −2 deňlik hökmünde ýerine ýetýär. ������2 ������2 6 −4 Maplede göni çyzyklaryň paralleldigini we perpendikulýardygyny barlamak üçin geometry toplumynda ýörite AreParallel we ArePerpendicular buýruklary bar, olaryň umumy ulanylyş düzgünleri aşakdakylar ýalydyr: AreParallel(l1, l2,şert) ArePerpendicular(l1, l2,şert). Bu ýerde: - ������1, ������2 − iki göni çyzyk, - ş������������������ − iki göni çyzygyň parallel ýa-da perpendikulýar bolmak şerti. Iki göni çyzyk parallel bolanda birinji buýrukda, iki göni çyzyk perpendikulýar bolanda ikinji buýrukda true jogap alynýar. Parallellik şerti ýerine ýetmände birinji buýrukda, perpendikulýarlyk şerti ýerine ýetmände ikinji buýrukda ������������������������������ jogap alynýar. Soňky ýagdaýda, meselem, göni çyzyklaryň deňlemesine parametrler gatnaşýan bolsa, onda bu göni çyzyklaryň parallel ýa-da perpendikulýar bolmak şerti ş������������������ näbellisinde bu parametrleriň üsti bilen berilýär. Bu ýerde başda göni çyzyklar kesgitlenildi, soňra AreParallel we ArePerpendicular buýruklar ulanyldy. Birinji buýruga true (“çyn”) jogap alyndy, ýagny bu iki göni çyzyk parallel, ikinji buýruga false (“ýalan”) jogap alyndy, ýagny bu göni çyzyklar perpendikulýar däl. Bu göni çyzyklaryň grafiklerini özüňiz guruň. Mysal 133. ������(−1; 3) we ������(4; −2) nokatlaryň üstünden geçýän göni çyzygyň deňlemesini ýazmaly. Çözüwi. Şertden ������1 = −1, ������1 = 3, ������2 = 4, ������2 = −2 diýip tapýarys. Onda degişli deňleme ������−3 = ������−(−1) görnüşdedir, ýa-da ýönekeýleşdirmelerden soňra −2−3 4−(−1) ������ + ������ − 2 = 0 deňlemäni alýarys. Maplede başda berlen iki nokady point buýrugy bilen kesgitleýäris, soňra bu iki nokadyň üstünden geçýän göni çyzygy line buýrugy bilen kesgitleýäris, iň soňunda bolsa bu obýektiň deňlemesini Equation buýrugy bilen soraýarys. 76
Mysal 134. Depeleri ������(−2; 0), ������(2; 6) we ������(4; 2) bolan üçburçlukda ������������ beýiklik we ������������ mediana geçirilen. ������������ tarapyň, ������������ mediananyň we ������������ beýikligiň deňlemelerini tapmaly. Çözüwi. ������������ tarapyň deňlemesini bu iki nokadyň berlen koordinatalary arkaly ������−0 = ������−(−2) ýa-da ������ − 3 ������ + 2 = 0 görnüşde tapýarys. 2−0 4−(−2) ������ nokat ������������ kesimi ýarpa bölýär, şonuň üçin bu nokadyň koordinatalaryny kesimi ýarpa bölmek formulalaryndan tapýarys: ������������ = ������������+������������ = −2+4 = 1, ������������ = 2 2 ������������+������������ = 0+2 = 1, ýagny ������ = ������(1; 1). Onda ������������ mediananyň deňlemesini ������ we ������ 22 nokatlaryň üstünden geçýän göni çyzygyň deňlemesi hökmünde tapýarys: ������−6 = ������−2 1−6 1−2 ýa-da 5������ − ������ − 4 = 0. Goý, ������������ beýikligiň deňlemesi ������ = ������ ������ + ������ görnüşinde bolsun. Deňlemesi ������ = ������ + 2 bolan ������������ tarap bilen bu beýiklik perpendikulýardyr, şonuň üçin bu iki göni 33 çyzygyň perpendikulýarlyk şertinden ������ = −3 diýip tapýarys. Ondan başga-da bu beýiklik ������(2; 6) nokatdan geçirilendir, ýagny bu nokadyň koordinatalary bu beýikligiň ������ = ������ ������ + ������ = −3 ������ + ������ deňlemesini kanagatlandyrmalydyr. Onda bu ýerden 6 = −3 ∙ 2 + ������ deňlikden ������ = 12 diýip tapýarys. Şeýlelikde ������������ beýikligiň deňlemesi ������ = −3 ������ + 12 deňlemedir. Maplede üçburçluk, meselem, üç depesi bilen kesgitlenilenden soňra onuň beýiklikleri, medianalary we ş.m. ýaly ähli galan häsiýetnamalaryny kesgitläp bolýar. Başda ������ üçburçlugy üç depesiniň koordinatalary bilen kesgitleýäris. Soňra ������������ tarapy line buýrugy, ������������ medianany median buýrugy, ������������ beýikligi altitude buýrugy bilen kesgitleýäris. Mediana bilen beýiklik iki gezek kesgitlenildi: birinji gezekde çyzgy üçin segment görnüşinde ������������, ℎ������ näbellilerinde, ikinji gezekde deňlemelerini almak üçin göni çyzyk hökmünde ������������1, ℎ������1 näbellilerinde. Üç deňlemäni hem ol kesgitlenen häsiýetnamalar barada Equation buýrugyny bermek bilen tapýarys: - ������������ tarapyň deňlemesi −4 − 2 ������ + 6������ = 0, - ������������ mediananyň deňlemesi −4 + 5 ������ − ������ = 0, - ������������ beýikligiň deňlemesi −24 + 6 ������ + 2 ������ = 0. Üçburçlugy we onuň elementlerini ������������������������ buýrugy bilen gurýarys. 77
Mysal 135. Taraplary ������ + 3������ = 0, ������ = 3, ������ − 2������ + 3 = 0 deňlemeler bilen berlen üçburçlugyň depelerini we burçlaryny kesgitlemeli. Çözüwi. Üçburçlugyň depelerini berlen göni çyzyklaryň kesişme nokatlary hökmünde kesgitleýäris: a) A depe: {������������ + 3 ������ = 0 ⇨ {������������ = 3 =3 = −1, {������������ + 3������ = 0 {−������ 5=������−=3−������ 3 ������ = − 9 b) ������ depe: − 2������ + 3 ⇨ ⇨ { 5 ������ = 0 = 3, 5 ç) ������ depe: {������������ =3 + 3 = 0 ⇨ {−������2=������ 3 −6 ⇨ {������������ = 3 − 2������ = = 3. Ýagny ������ = ������(3; −1), ������ = ������ (− 9 ; 3) , ������ = ������(3; 3). 55 Üçburçlugyň burçlaryny degişli göni çyzyklaryň arasyndaky burçlar hökmünde tapýarys. 1∙0−1∙3 ������ ≈ 71034′, ������������ ������ = 1 ∙ 1 + 3 ∙ 0 = −3, 1 ∙ (−2) − 1 ∙ 3 ������������ ������ = 1 ∙ 1 + 3 ∙ (−2) = 1, ������ = 450, 1 ∙ (−2) − 1 ∙ 0 ������ ≈ 63026′. ������������ ������ = 1 ∙ 1 + 0 ∙ (−2) = −2, Maplede başda degişli göni çyzyklary line buýrugy bilen kesgitleýäris. Soňra bu göni çyzyklar arkaly üçburçlugy triangle buýrugy bilen kesgitleýäris. Üçburçlugyň depelerini, meselem, detail buýrugy bilen tapyp bileris. Burçlary degişli göni çyzyklaryň arasyndaky burç hökmünde FindAngle buýrugy bilen tapýarys, üçünji burç tapylan başdaky iki burçuň üsti bilen alyndy. Burçlary evalf we convert buýruklary bilen radianlardan graduslara geçirýäris. Şekillendirmeler we ýazgylar ������������������������, ������������������������������������������������, ������������������������������������������ buýruklary bilen geçirildi. Şekillendirmede üçburçluk, göni çyzyklar, burçlar görkezildi. 78
Özbaşdak çözmek üçin mysallar. Mysal 136. Göni çyzyklaryň arasyndaky burçy kesgitlemeli. {52������������ − ������ + 7 = 0, {���2������=��� +3������������ = 0, {63������������ + 2������ = 0, ������ + ������ = 1, 1) − 3������ + 1 = 0; 2) − 4; 3) + 4������ + 9= 4) {������������ ������ 0; + ������ = 1. ������ ������ Mysal 137. Berlen 6������ + 4������ − 5 = 0 we 2������ + 3������ − 6 = 0 göni çyzyklaryň parallel ýa-da perpendikulýardyklaryny barlamaly. Mysal 138. ������(0; 7) we ������(6; −1) nokatlaryň üstünden geçýän göni çyzygyň deňlemesini ýazmaly. 79
Mysal 139. Depeleri ������(−2; 0), ������(2; 4) we ������(4; 0) bolan üçburçluk berlen. Üçburçlugyň taraplarynyň, ������������ medianasynyň, ������������ beýikliginiň deňlemelerini ýazmaly we ������������ mediananyň uzynlygyny tapmaly. Mysal 140. Taraplary ������ + ������ = 4, 3������ − ������ = 0, ������ − 3������ − 8 = 0 deňlemeler bilen berlen üçburçlugyň depelerini, burçlaryny, meýdanyny kesgitlemeli. Mysal 141. Berlen iki göni çyzyga parallel, olaryň arasynda we deň uzaklykda ýerleşen göni çyzygyň deňlemesini ýazmaly: 1) 3 ������ − 2 ������ − 1 = 0, 3 ������ − 2 ������ − 13 = 0; 2) 5 ������ + 7 ������ + 15 = 0, 5 ������ + 7 ������ + 3 = 0. Mysal 142. Üçburçlugyň ������1 (2; 1), ������2 (−1; −1) we ������3 (3; 2) depeleri berlen. Onuň beýiklikleriniň deňlemelerini düzmeli. Mysal 143. 2 ������ − ������ − 5 = 0 göni çyzykda ������(−7; 1) we ������(−5; 5) nokatlara çenli aralyklaryň jemi iň az bolar ýaly ������ nokady tapmaly. Mysal 144. Kwadratyň iki garşylykly ������(−1; 3) we ������(6; 2) depeleri berlen. Onuň taraplarynyň deňlemelerini düzmeli. Mysal 145. Üçburçlugyň ������(1; 3) depesi we iki medianasynyň ������ − 2������ + 1 = 0 we ������ − 1 = 0 deňlemeleri berlen bolsa, onuň taraplarynyň deňlemelerini düzmeli. Mysal 146. ������(−5; 4) nokatdan geçýän, ������ + 2 ������ + 1 = 0 we ������ + 2 ������ − 1 = 0 göni çyzyklaryň arasyndaky kesiminiň uzynlygy 5 (sm) bolan göni çyzygyň deňlemesini düzmeli. Mysal 147. Ýagtylyk şöhlesi ������ − 2 ������ + 5 = 0 göni çyzyk boýunça ugrukdyrylan. Ol 3 ������ − 2 ������ + 7 = 0 göni çyzyga ýetip, ondan serpikdirilýär. Serpikdirilen şöhläniň ýatan göni çyzygynyň deňlemesini ýazmaly. Mysal 148. ������(−3; 4) nokatdan geçýän we 2 ������ − ������ − 3 = 0 göni çyzyga parallel we perpendikulýar göni çyzyklaryň deňlemelerini ýazmaly. Mysal 149. Depeleri ������(7; 4), ������(−9; −8), ������(−2; 16) bolan üçburçlugyň medianalarynyň we beýiklikleriniň kesişme nokatlaryny tapmaly. ������ burçuň bissektrisasynyň deňlemesini ýazmaly. Mysal 150. Üçburçlukda medianalar ������(3; 3) nokatda kesişýärler, üçburçlugyň iki tarapynyň deňlemeleri bolsa ������ − ������ − 2 = 0 we 7 ������ − ������ − 8 = 0. Üçburçlugyň üçünji tarapynyň deňlemesini tapmaly. 80
§9. Göni çyzygyň normal deňlemesi. Nokatdan göni çyzyga çenli uzaklyk. Bissektrisalaryň deňlemesi. Berlen iki göni çyzygyň kesişme nokadyndan geçýän göni çyzyklaryň dessesiniň deňlemesi 1. Göni çyzygyň normal deňlemesi ������ cos ������ + ������ sin ������ − ������ = 0 görnüşdedir, bu ýerde ������ −koordinatalar başlangyjyndan göni çyzyga çenli düşürilen perpendikulýaryň (normalyň) uzynlygy, ������ −bu perpendikulýaryň ������������ okuna ýapgytlyk burçy. Göni çyzygyň ������������ + ������������ + ������ = 0 deňlemesini normal görnüşe getirmek üçin bu deňlemäniň ähli agzalaryny normirleýji ������ = ± 1 köpeldijä köpeltmek gerek, √������2+������2 özi hem bu köpeldijiniň alamatyny erkin ������ koeffisiýentiň alamatyna garşylykly görnüşde almaly. 2. (������0; ������0) nokatdan göni çyzyga çenli aralyk ������ = |������0 cos ������ + ������0 sin ������ − ������| = |������������0+������������0+������| formula bilen berilýär. √������2+������2 3. ������������ + ������������ + ������ = 0 we ������1������ + ������1������ + ������1 = 0 göni çyzyklaryň arasyndaky ������������+������������+������ ± ������1������+������1������+������1 burçlaryň bissektrisalarynyň deňlemeleri √������2+������2 = formula bilen √������21+������12 berilýär. 4. Berlen iki göni çyzygyň kesişme nokadyndan geçýän göni çyzyklaryň dessesiniň deňlemesi ������ (������ ������ + ������ ������ + ������) + ������ (������1 ������ + ������1 ������ + ������1) = 0 görnüşdedir. Bu deňlemede ������ = 1 alyp bolar. Mysal 151. Göni çyzyklaryň deňlemesini normal görnüşe getirmeli: 1) 3 ������ − 4 ������ − 20 = 0, 2) ������ + ������ + 3 = 0, 3) ������ = ������ ������ + ������. Çözüwi. 1) ������ = 3, ������ = −4, ������ = −20 < 0, ������ = + 1 = 1. Onda gözlenilýän √32+(−4)2 5 deňleme bolar: 3 ������ − 4 ������ − 4 = 0. 55 1 1. 2) ������ = 1, ������ = 1, ������ = 3 > 0, ������ = − √12+12 = − Onda gözlenilýän √2 deňleme bolar: − 1 ������ − 1 ������ − 3 = 0. √2 √2 √2 3) ������ ������ − ������ + ������ = 0, ������ = ������, ������ = −1, ������ = ������, ������ = −������������������(������) 1 = √������2+(−1)2 − ���√������������������2���(+������1). Onda gözlenilýän deňleme bolar: − ������������������(������) ������ ������ + ������������������(������) ������ − ������������������(������) ������ = 0. √������2+1 √������2+1 √������2+1 Bu ýerde ������������������(������) ‒ deňlemedäki ������ koeffisiýentiň alamatyny aňladýar. Maplede 1) mysalyň çözüwi aşakda getirildi. 81
Bu ýerde ������������������������������������ funksiýasy alamaty tapmak funksiýasyny aňladýar. Indiki mysallaryň çözüwleri üçin diňe ������, ������, ������ koeffisiýentleri üýtgetmek ýeterlikdir. 2) ‒ 3) mysallaryň çözüwleri aşakda berildi. Soňky iki mysalda goşmaça expand buýrugy goýuldy, bu netijäni köpeldijilere dargadylan görnüşde görkezmek üçin gerek. Mysal 152. Eger-de normalyň uzynlygy ������ = 2, onuň ������������ oka bolan ýapgytlyk ������ burçy 1) 450, 2) 2250 deň bolanda göni çyzygy gurmaly we onuň deňlemelerini ýazmaly. Çözüwi. 1) ������ cos ������ + ������ sin ������ − ������ = 0, ������ ������������������(450) + ������ ������������������(450) − 2 = 0, 1 ������ + 1 ������ − √2 √2 2 = 0, 2) ������ cos ������ + ������ sin ������ − ������ = 0, ������ ������������������(2250) + ������ ������������������(2250) − 2 = 0, − 1 ������ − 1 ������ − 2 = 0. √2 √2 Maplede çözüw we şekiller aşakda getirilendir. 82
Mysal 153. ������(4; 3), ������(2; 1) we ������(1; 0) nokatlardan 3 ������ + 4 ������ − 10 = 0 göni çyzyga çenli aralyklary tapmaly. Nokatlary we göni çyzygy gurmaly. Çözüw. Bu göni çyzygyň deňlemesinde ������ = 3, ������ = 4, ������ = −10, onda ������������ = |������������������ + ������������������ + ������| = |3 ∙ 4+4∙3− 10| = 14 = 2,8; √������2 + ������2 √32 + 42 5 ������������ = |������������������ + ������������������ + ������| = |3 ∙ 2+4∙1− 10| = 0 = 0; √������2 + ������2 √32 + 42 5 ������������ = |������������������ + ������������������ + ������| = |3 ∙ 1+4∙0− 10| = 7 = 1,4. √������2 + ������2 √32 + 42 5 Bu ýerde indeksler degişli nokatlar boýunça koordinatalaryň alynýandygyny aňladýar. Maplede berlen nokadyň berlen göni çyzyga proýeksiýasyny, ýagny bu nokatdan göni çyzyga düşürilen perpendikulýaryň esasyny tapmak üçin ������������������������������������������������ toplumynda umumy ulanylyş düzgüni aşakda görkezilen ������������������������������������������������������������ buýrugy bar: projection(Q, P, l). Bu ýerde: - ������ − bu buýruk bilen kesgitlenilýän proýeksiýa nokadynyň ady, - ������ − berlen nokat, - ������ − berlen göni çyzyk. Buýrugy gysgaça with(geometry, projection) görnüşde ulanyp bolar. Maplede başda berlen nokatlary koordinatalary, berlen göni çyzygy bolsa deňlemesi bilen girizýäris. Aralyklary ������������������������������������������������ buýrugy bilen tapýarys. Berlen ������, ������, ������ nokatlaryň ������ göni çyzyga ������, ������, ������ proýeksiýa nokatlaryny ������������������������������������������������������������ buýrugy bilen tapýarys. Aýdyňlyk üçin ������������, ������������, ������������ segmentleri hem kesgitleýäris we punktir çyzyk hökmünde görkezýäris. ������ nokadyň göni çyzykda ýatýandygy sebäpli ������������ segmentiň uzynlygy 0 sana deňdir, şonuň üçin şekilde ol ýokdur. 83
Mysal 154. 2������ + 3������ = 10 we 3������ + 2������ = 10 göni çyzyklaryň arasyndaky burçuň bissektrisalarynyň deňlemelerini ýazmaly. Çözüw. Göni çyzyklaryň arasyndaky burçlaryň bissektrisalarynyň deňlemeleriniň formulasy boýunça 2������+3������−10 = ± 3���√���+322+������−2210. Onda 2������ + 3������ − 10 = √22+32 ± (3������ + 2������ − 10). Birinji bissektrisanyň deňlemesi: 2������ + 3������ − 10 − 3������ − 2������ + 10 = 0, ýa-da −������ + ������ = 0. Ikinji bissektrisanyň deňlemesi: 2������ + 3������ − 10 + 3������ + 2������ − 10 = 0, ýa-da ������ + ������ − 4 = 0. Maplede ýokardaky formulalary ulanýarys. Başda berlen göni çyzyklaryň koeffisiýentlerini girizýäris. Bu ýerde simplify buýrugyny alnan aňlatmany ýönekeýleşdirmek, factor buýrugyny alnan deňlemäni köpeldijilere dargatmak üçin ulanyp, ������������1 we ������������2 näbellilerinde bissektrisalaryň deňlemelerini alýarys. 84
Maplede bu meseläni wizuallaşdyrmak üçin berlen göni çyzyklary ������1, ������2 näbellilerde, bissektrisalary ������������������1, ������������������2 näbellilerde deňlemeleri bilen girizýäris. Göni çyzyklar gök, bissektrisalar gyzyl reňkde berildiler. Mysal 155. 5 ������ − ������ + 10 = 0 we 8 ������ + 4 ������ + 9 = 0 göni çyzyklaryň kesişme ������ nokadyndan geçýän hem-de ������ + 3 ������ = 0 göni çyzyga parallel bolan göni çyzygyň deňlemesini ýazmaly (������ nokady tapmazdan). Çözüwi. Gözlenilýän deňleme ������ (5 ������ − ������ + 10) + ������ (8 ������ + 4 ������ + 9) = 0 görnüşdedir. Bu deňlemäni ýönekeýleşdirip alýarys: (5 ������ + 8 ������) ������ + (−������ + 4 ������) ������ + (10 ������ + 9 ������) = 0. Bu göni çyzyk ������ + 3������ = 0 göni çyzyga parallel, diýmek 5 ������+8 ������ = −������+4 ������ şert ýerine ýetmeli. Bu ýerden ������ = − 4 ������ diýip tapýarys. 13 5 Bu bahany gözlenilýän deňlemä goýalyň: (5 ������ + 8 ∙ (− 4) ������) ������ + (−������ + 4 ∙ 5 (− 4) ������) ������ + (10 ������ + 9 ∙ (− 4) ������) = 0. Bu ýerden, ������ ululyga gysgaldyp, alýarys: 55 − 7 ������ − 21 ������ + 14 = 0 ýa-da ������ + 3 ������ − 2 = 0. 55 5 Maplede başda berlen üç göni çyzygy ������1, ������2, ������3 belgilemeler bilen ������1, ������2, ������3 deňlemeleri arkaly girizýäris. Gözlenilýän göni çyzygyň deňlemesini ������ = ������ ������1 + ������ ������2 görnüşde aňladýarys. Gözlenilýän göni çyzygyň we ������ + 3 ������ = 0 göni çyzygyň parallellik 5 ������+8 ������ = −������+4 ������ şertini ������������������������������ buýrugy bilen çözýäris. Bu ýerde tapylan 13 ������ = − 4 ������ bahany ������ deňlemä goýmak hökman däl, sebäbi bu deňlemä islendik 5 görnüşde ýüz tutulanda bu ornuna goýma awtomatiki bolup geçýär, şonuň üçin soňraky hereketde – ������������ň������������������������1 näbellide ������ näbellini − 5 ululyga köpeldenimizde 7������ gözlenilýän göni çyzygyň deňlemesini alýarys. Ondan soňra bu göni çyzygy ������ 85
belgileme bilen deňlemesi arkaly kesgitleýäris. Zerur tekst ýazgylaryny girizýäris. Netijeler getirilýär. Özbaşdak çözmek üçin mysallar. Mysal 156. Göni çyzyklaryň deňlemesini normal görnüşe getirmeli: 1) 4 ������ − 3 ������ − 10 = 0, 2) 12 ������ − 5 ������ + 13 = 0, 3) 2 ������ − ������ − √5 = 0. Mysal 157. Normalyň uzynlygy ������ = 2, onuň ������������ oka bolan ýapgytlyk ������ burçy aşakdakylara deň bolanda göni çyzygy gurmaly we onuň deňlemelerini ýazmaly. 1) 1350, 2) 3150. Mysal 158. 2 ������ − 3 ������ = 6 we 4 ������ − 6 ������ = 25 göni çyzyklaryň paralleldigini görkeziň we olaryň arasyndaky aralygy tapyň. Mysal 159. 3 ������ + 4 ������ = 12 we ������ = 0 göni çyzyklaryň arasyndaky burçuň bissektrisalarynyň deňlemelerini ýazmaly. Mysal 160. 2 ������ − 3 ������ + 5 = 0 we 3 ������ + ������ − 7 = 0 göni çyzyklaryň kesişme ������ nokadyndan geçýän hem-de ������ = 2 ������ göni çyzyga perpendikulýar bolan göni çyzygyň deňlemesini ýazmaly (������ nokady tapmazdan). Mysal 161. Kwadratyň iki tarapy 5 ������ − 12 ������ − 65 = 0, 5 ������ − 12 ������ + 26 = 0 göni çyzyklarda ýatýar. Kwadratyň meýdanyny tapmaly. 86
Mysal 162. 3 ������ − 4 ������ − 10 = 0 göni çyzyga parallel we ondan ������ = 3 aralykda bolan göni çyzyklaryň deňlemesini ýazmaly. Mysal 163. Iki kesişýän göni çyzyklaryň emele getiren burçunyň bissektrisalarynyň deňlemelerini düzmeli. 1) ������ − 3 ������ + 5 = 0, 3 ������ − ������ − 2 = 0; 2) ������ − 2 ������ − 3 = 0, 2 ������ + 4 ������ + 7 = 0; 3) 3 ������ + 4 ������ − 1 = 0, 5 ������ + 12 ������ − 2 = 0. Mysal 164. ������ + 2 ������ − 11 = 0 we 3 ������ − 6 ������ − 5 = 0 göni çyzyklaryň arasyndaky burçlardan ������(1; −3) nokady saklaýan burçuň bissektrisasynyň deňlemesini düzmeli. Mysal 165. ������ (������ + 2 ������ − 5) + ������ (3 ������ − 2 ������ + 1) = 0 göni çyzyklar dessesine degişli we ������(3; −1) nokatdan geçýän göni çyzygyň deňlemesini ýazmaly. Mysal 166. Göni çyzyklaryň dessesiniň ������(3 ������ − 2 ������ − 1) + ������(4 ������ − 5 ������ + 8) = 0 deňlemesi berlen. ������ + 2 ������ + 4 = 0 göni çyzygyň 2 ������ + 3 ������ + 5 = 0 we ������ + 7 ������ − 1 = 0 göni çyzyklaryň arasynda ýerleşen kesiminiň ortasyndan geçýän we bu berlen dessä degişli göni çyzygyň deňlemesini tapmaly. Mysal 167. ������������������������ dörtburçlugyň ������������, ������������, ������������ we ������������ taraplary degişlilikde 5 ������ + ������ + 13 = 0, 2 ������ − 7 ������ − 17 = 0, 3 ������ + 2 ������ − 13 = 0, 3 ������ − 4 ������ + 17 = 0 deňlemeler bilen berilýär. Bu dörtburçlugyň depeleriniň koordinatalaryny kesgitlemezden onuň ������������ we ������������ diagonallarynyň deňlemelerini düzmeli. Mysal 168. 3 ������ + 4 ������ − 7 = 0 göni çyzyga parallel we ������(3; −1) nokatdan 3 birlik daşlaşan göni çyzygyň deňlemesini düzmeli. Mysal 169. Üçburçlugyň ������(−4; 2) we ������(2; −5) depeleri we beýiklikleriň kesişýän ������ (8 ; −2) nokady berlen. Üçünji ������ depäni, onuň ������ burçuň 3 bissektrisasyna çenli aralygyny tapmaly. Mysal 170. ������������������������ trapesiýanyň ������(−3; −2), ������(4; −1), ������(1; 3) depeleri berlen (������������ ∥ ������������). Trapesiýanyň diagonallary özara perpendikulýar. ������ depäniň koordinatalaryny tapmaly. 87
§10. Töwerek Merkez diýlip atlandyrylýan nokatdan her nokady deň aralykda ýatýan nokatlar köplügine töwerek diýilýär. Merkezi ������(������; ������) nokat, radiusy ������ bolan töweregiň deňlemesi aşakdaky görnüşdedir: (������ − ������)2 + (������ − ������)2 = ������2. Bu deňlemede ýaýlary açsak, ol aşakdaky görnüşe geçer: ������2 + ������2 + ������������ + ������������ + ������ = 0. Bu iki deňlemedäki parametrleriň arabaglanyşygy aşakdaky görnüşdedir: ������ ������ ������2 = ������2 + ������2 − ������. ������ = − 2 , ������ = − 2, 4 4 Maplede ������������������������������������������������ toplumynda töweregi kesgitlemek üçin ������������������������������������ buýrugy bar, buýrugyň umumy ulanylyş düzgünleri aşakdakylar ýalydyr: circle(At, [A, B, C], n, 'centername'=m) circle(At, [A, B], n, 'centername'=m) circle(At, [A, radius], n, 'centername'=m) circle(At, deňleme, n, 'centername'=m). Bu ýerde: - ������������ ‒ töweregiň ady, - ������, ������, ������ ‒ üç sany nokat, - ������������������������������������ ‒ töweregiň radiusyna deň san, - ������������ň������������������������ − töweregiň deňlemesi, - ������ − berilmegi hökman däl sanaw, ol koordinata oklarynyň atlaryny aňladýar, meselem, ony [������, ������] görnüşde berip bolýar, - ′������������������������������������������������������������′ = ������ − berilmegi hökmän däl bolan merkezi nokadyň ady. Bu usullarda, degişlilikde, töwerek özüne degişli islendik üç nokat, diametriniň uçlary bolan iki nokat, merkez nokat we radiusy, deňlemesi bilen berilýär. Haýsy usul bilen berlende hem soňra töwerege degişli bolan maglumatlary form(At) (obýektiň görnüşi barada maglumatlar), center(At) (obýektiň merkezi barada maglumatlar), radius(At) (obýektiň radiusy barada maglumatlar), Equation(At) (obýektiň deňlemesi barada maglumatlar), detail(At) (obýekt barada jikme-jik maglumat) we ş.m. buýruklary berip alyp bolar. Buýrugyň ������������������ℎ(������������������������������������������������, ������������������������������������) görnüşde gysgaça ulanylyş usuly hem bar. Töweregi ������������������������������������������������������ toplumyna degişli ������������������������������������ buýrugy bilen hem kesgitläp bolar, onuň umumy ulanylyş düzgüni aşakdaky ýalydyr: 88
circle(Merkezi nokat, R, saýlawlar). Bu ýerde: - ������������������������������������������ ������������������������������ − töweregiň merkezi nokady, - ������ − töweregiň radiusy, bermek hökman däl, berilmände ������ = 1 alynýar, - ������������ý������������������������������������ − ������������ý������������������ = ������������ℎ������ görnüşli saýlawlar, reňk, çyzyklar we ş.m. barada bolup bilerler. Mysal 171. Merkezi ������(−4; 3) nokat we radiusy ������ = 5 bolan töweregiň deňlemesini ýazmaly, ony gurmaly. Bu töwerege ������(−1; −1), ������(3; 2), ������(0; 0) nokatlar degişlimi? Çözüwi. Bu ýerde ������ = −4, ������ = 3, ������ = 5, onda töweregiň deňlemesi (������ + 4)2 + (������ − 3)2 = 25 ýa-da ������2 + ������2 + 8 ������ − 6 ������ = 0 bolar. ������ nokadyň koordinatalaryny bu deňlemä goýup göreliň: (−1)2 + (−1)2 + 8 ∙ (−1) − 6 ∙ (−1) = 0 ≡ 0, dogry deňlik alyndy, diýmek bu nokat töwerege degişli. ������ nokadyň koordinatalaryny bu deňlemä goýup göreliň: 32 + 22 + 8 ∙ 3 − 6 ∙ 2 = 25 ≠ 0, dogry deňlik alynmady, diýmek bu ������ nokat töwerege degişli däl. ������ nokadyň koordinatalaryny bu deňlemä goýup göreliň: 02 + 02 + 8 ∙ 0 − 6 ∙ 0 = 0 ≡ 0, dogry deňlik alyndy, diýmek bu ������ nokat töwerege degişli. Maplede berlen merkezi ������ hem-de üç ������, ������, ������ nokatlary girizýäris, töweregi bolsa circle buýrugy bilen ������ö������������������������������ ady bilen kesgitleýäris. Nokatlaryň töwerege degişli ýa-da däldigini IsOnCircle buýrugy bilen barlaýarys. Töweregi we nokatlary draw buýrugy bilen şekillendirýäris. Jogapda ������ we ������ nokatlaryň töwerege degişlidigi barada true (“çyn”), ������ nokadyň bolsa töwerege degişli däldigi barada false (“ýalan”) diýlip habar berildi. Bu mysalda töwerek barada jikme-jik maglumaty detail, onuň deňlemesi baradaky maglumay Equation buýruklary bilen anyklap bileris. 89
Bu mysaldaky şekillendirmeleri ������������������������������ toplumynyň ������������������������������������������������������, ������������������������������������������������ we beýleki buýruklar bilen hem geçireliň. Mysal 172. ������(−4; 6) we ������(0; 0) nokatlar berlen. Diametri ������������ kesim bolan töweregiň deňlemesini ýazmaly we ony gurmaly. Çözüw. Töweregiň diametri ������ = |������������| = √(−4 − 0)2 + (6 − 0)2 = √52 bolar. Töweregiň merkezi bu ������������ kesimi ýarpa bölýändir, şonuň üçin bu merkeziň abssissasy −4+0 = −2 we ordinatasy 6+0 = 3 bolar. Bu merkezi nokady ������ = 22 ������(−2; 3) bilen belgiläliň. Onda bu töweregiň deňlemesi (������ + 2)2 + (������ − 3)2 = (√52)2 ýa-da ������2 + ������2 + 4 ������ − 6 ������ = 0 bolar. 2 Maplede töwerek diametriniň uçlary bolan ������ we ������ nokatlar bilen girizildi we soňra bu töweregiň deňlemesi barada Equation buýrugy bilen maglumat soraldy. 90
Mysal 173. ������(−1; 3), ������(0; 2) we ������(1; −1) nokatlardan geçýän töweregiň deňlemesini ýazmaly we ony şekillendirmeli. Çözüwi. Bu üç nokadyň koordinatalaryny töweregiň umumy deňlemeleriniň birine, meselem, (������ − ������)2 + (������ − ������)2 = ������2 deňlemä goýup, ������, ������ we ������ parametrleri kesgitlemek üçin üç deňlemeli ulgamy alýarys. (−1 − ������)2 + (3 − ������)2 = ������2 ������2 + ������2 − ������2 + 2������ − 6������ + 10 = 0 {(0 − ������)2 + (2 − ������)2 = ������2 ⇨ {������2 + ������2 − ������2 − 4������ + 4 = 0 (1 − ������)2 + (−1 − ������)2 = ������2 ������2 + ������2 − ������2 − 2������ + 2������ + 2 = 0 Birinji deňlemeden ������2 + ������2 − ������2 = −2 ������ + 6 ������ − 10 diýip tapyp, ikinji we üçünji deňlemelere goýýarys: ������2 + ������2 − ������2 = −2������ + 6������ − 10 ������2 + ������2 − ������2 = −2������ + 6������ − 10 {−2������ + 6������ − 10 − 4������ + 4 = 0 ⇨ {−������ + ������ − 3 = 0 −2������ + 6������ − 10 − 2������ + 2������ + 2 = 0 −������ + 2������ − 2 = 0 Ikinji deňlemeden ������ = 3 + ������ diýip tapyp, üçünji deňlemä goýýarys: −������ + 2(3 + ������) − 2 = 0. Bu ýerden ������ = −4. Onda ������ = 3 + ������ = 3 − 4 = −1. Soňra birinji deňlemeden ������2 = ������2 + ������2 + 2������ − 6������ + 10 = 16 + 1 − 8 + 6 + 10 = 25, diýip tapýarys, ýagny ������ = 5. Diýmek, gözlenilýän deňleme (������ + 4)2 + (������ + 1)2 = 25 bolar. Maplede töweregi üç nokady boýunça girizýäris, soňra onuň deňlemesini soraýarys we bu töweregi şekilendirýäris. 91
Mysal 174. Töwerekleriň merkezlerini, radiuslaryny tapmaly we olary gurmaly: 1) ������2 + ������2 − 4 ������ + 6 ������ − 3 = 0; 2) ������2 + ������2 − 8 ������ = 0; 3) ������2 + ������2 + 4 ������ = 0. Çözüwi. ������ = − ������ , ������ = − ������ , ������2 = ������2 + ������2 − ������ baglanyşyklary ulanalyň. 2 2 44 1) ������ = −4, ������ = 6, ������ = −3. Onda ������ = − −4 = 2, ������ = − 6 = −3, ������2 = 22 (−4)2 + 62 − (−3) = 4 + 9 + 3 = 16, ������ = 4 we töweregiň deňlemesi (������ − 2)2 + 44 (������ + 3)2 = 16 bolar. 2) ������ = −8, ������ = 0, ������ = 0. Onda ������ = − −8 = 4, ������ = − 0 = 0, ������2 = (−8)2 + 22 4 02 − 0 = 16, ������ = 4 we töweregiň deňlemesi (������ − 4)2 + ������2 = 16 bolar. 4 3) ������ = 0, ������ = 4, ������ = 0. Onda ������ = − 0 = 0, ������ = − 4 = −2, ������2 = 02 + 42 − 22 44 0 = 4, ������ = 2 we töweregiň deňlemesi ������2 + (������ + 2)2 = 4 bolar. Maplede töwerekleri deňlemeleri bilen girizýäris. Soňra töwerekleriň merkezleriniň atlaryny center, merkeziň koordinatalaryny coordinates, töwerekleriň radiuslaryny radius buýruklary bilen soraýarys. Şekiller aşakda berilýär. 92
Mysal 175. ������ = 2 ������ − 3 göni çyzygyň ������2 + ������2 − 3 ������ + 2 ������ − 3 = 0 töwerek bilen gatnaşygyny kesgitlemeli (kesişýärmi, galtaşýarmy, daşyndan geçýärmi). Çözüwi. Bu iki obýektiň kesişme nokatlary bar bolsa, onda ol nokatlar aşakdaky ulgamy kanagatlandyrmalydyrlar: ������ = 2 ������ − 3 {������2 + ������2 − 3������ + 2������ − 3 = 0 Birinji deňlemedäki ������ ululygy ikinji deňlemä goýýarys: ������2 + (2������ − 3)2 − 3������ + 2(2������ − 3) − 3 = 0. Bu ýerden 5 ������2 − 11 ������ = 0 deňlemäni alýarys. Bu deňlemäniň çözüwi ������1 = 0, ������2 = 11. Bu çözüwlere ������1 = 2 ∙ 0 − 3 = −3 we ������2 = 2 ∙ 11 − 3 = 7 5 55 bahalar laýyk gelýär. Şeýlelikde, berlen göni çyzyk bilen töwerek ������ (11 ; 7) we 55 ������(0; −3) nokatlarda kesişýärler. Maplede käbir obýektleriň kesişýändigi barada maglumaty almak üçin ������������������������������������������������ toplumyna girýän ������������������������������������������������������������������������ buýrugy ulanylýar, onuň umumy ulanylyş düzgüni aşakdaky ýalydyr: intersection(obýektiň ady, f, g). Bu ýerde: - ������������ý������������������������ň ������������������ − kesişmede emele gelýän obýekte berilýän at, - ������, ������ − iki göni çyzyk, ýa-da bir göni çyzyk we bir töwerek, ýa-da iki töwerek. Bu buýrugyň netijesi birinji parametre degişli edilýär, ol iki nokat, bir nokat ýa- da boş bolup biler. Netijäni bilmek üçin detail buýrugyny ulanyp bolar. Buýrugyň with(geometry, intersection) görnüşli gysgaça ulanylyşy bar. Maplede göni çyzygy line, töweregi сirсle buýrugy bilen girizýäris. Bu iki obýektiň kesişýändigi barada intersection buýrugy bilen maglumat soraýarys. Kesişme figurasynyň ady bu ýerde Obyekt diýlip alyndy. Bu ýerde detail buýrugy arkaly bu obýektiň nämedigini soraýarys. Ol buýrukdan soňra kesişme obýektiniň iki sany nokatdan durýandygy barada we başga maglumatlar alyndy. 93
Kesişmede emele gelýän obýektiň koordinatalary (11 ; 7) we (0; −3) bolan iki 55 nokatdygy anyklanyldy, indi ol nokatlara ������ we ������ atlary berip, intersection buýrugyny täzeden bermek bilen, bu nokatlary bu buýrugyň netijesi hökmünde kesgitleýäris. Bu iki nokady indi çyzgyda görkezmek üçin ulanyp bolar. Ahyrynda göni çyzygy we töweregi şekillendirýäris. Özbaşdak çözmek üçin mysallar. Mysal 176. ������(−3; 0) we ������(3; 6) nokatlar berlen. Diametri ������������ kesim bolan töweregiň deňlemesini ýazmaly. Mysal 177. Töwerekleriň merkezlerini, radiuslaryny tapmaly we olary gurmaly: 1) ������2 + ������2 − 6 ������ + 4 ������ − 23 = 0; 2) ������2 + ������2 + 5 ������ − 7 ������ + 2,5 = 0; 3) ������2 + ������2 + 7 ������ = 0. Mysal 178. ������ = −√−������2 − 4������ egrini gurmaly we onuň ýerleşýän oblastyny kesgitlemeli. 94
Mysal 179. Merkezi ������ (1 ; 1) nokatda bolan we koordinata oklaryna galtaşýan 22 töweregiň deňlemesini tapmaly. Mysal 180. ������ = 1 ������ − 1 göni çyzygyň ������2 + ������2 − 8������ + 2������ + 12 = 0 töwerek 22 bilen nähili gatnaşykdadygyny kesgitlemeli (kesişýärmi, galtaşýarmy, daşyndan geçýärmi). Mysal 181. ������(������; ������) nokat koordinatalar başlangyjyndan we ������(−������; 0) nokatdan aralyklarynyň kwadratlarynyň jemi ������2 ululyga deň bolar ýaly hereket edýär. Bu nokadyň hereketiniň traýektoriýasyny kesgitlemeli. Mysal 182. ������(1; 0) nokatdan geçýän we 2 ������ + ������ + 2 = 0, 2 ������ + ������ − 18 = 0 göni çyzyklara galtaşýan töwerekleriň deňlemelerini düzmeli. Mysal 183. ������2 + ������2 + 4 ������ − 6 ������ − 17 = 0 töweregiň 5 ������ + 2 ������ − 13 = 0 göni çyzyga perpendikulýar bolan diametriniň deňlemesini düzmeli. Mysal 184. 7 ������ − ������ + 12 = 0 göni çyzygyň we (������ − 2)2 + (������ − 1)2 = 25 töweregiň kesişme nokatlarynyň koordinatalaryny kesgitlemeli. Mysal 185. ������ = ������ ������ + ������ göni çyzygyň ������2 + ������2 = ������2 töwerege galtaşmagynyň şertini anyklamaly. Mysal 186. ������2 + ������2 + 3 ������ − ������ = 0 we 3 ������2 + 3 ������2 + 2 ������ + ������ = 0 töwerekleriň kesişme nokatlaryndan geçýän göni çyzygyň deňlemesini düzmeli. Mysal 187. (������ + 2)2 + (������ − 3)2 = 25 töwerege ������(−5; 7) nokatda galtaşýanyň deňlemesini düzmeli. Mysal 188. ������(1; −2) nokatdan ������2 + ������2 + ������ − 3 ������ − 3 = 0 töwerege geçirilen galtaşýanyň uzynlygyny hasaplamaly. Mysal 189. ������2 + ������2 − 6 ������ − 8 ������ − 3 = 0 we ������2 + ������2 + ������ − 3 ������ − 1 = 0 töwerekleriň merkezinden geçýän göni çyzygyň deňlemesini ýazmaly. Bu töwerekleriň merkezleriniň arasyndaky uzaklygy kesgitlemeli. Mysal 190. ������2 + ������2 − 4 ������ − 2 ������ − 13 = 0 we ������2 + ������2 − 2 ������ − 4 ������ − 15 = 0 töwerekleriň umumy hordasynyň deňlemesini ýazmaly. 95
§11. Ellips Fokuslar diýlip atlandyrylýan iki ������ we ������1 nokatlardan her nokadynyň aralyklarynyň jemi hemişelik 2 ������ (2 ������ > |������������1|) ululyga deň bolan nokatlaryň geometriki ýerine ellips diýilýär. Ellipsiň kanoniki (ýönekeý) deňlemesi aşakdaky görnüşdedir: ������2 ������2 ������2 + ������2 = 1. Bu ýerde ������ we ������ ellipsiň ýarymoklary diýlip atlandyrylýan sanlar. Bu deňleme bilen berlen ellips koordinatalar oklaryna görä simmetrikidir. Eger-de ������ > ������ bolsa, onda ������ we ������1 fokuslar ������������ okda koordinatalar başlangyjyndan ������ = √������2 − ������2 dariýaliypkd������ a=ýa������ t<ýar1lars,anýaaganýydy������lý=ar.������(E���l���;li0p)siňweisl���e���1n=dik������1���(���−(������������;; 0). Ellipsiň ekssentrisiteti ������ ������) nokadyndan fokuslaryna çenli aralyklar fokal radius–wektorlar diýlip atlandyrylýarlar we olar ������ = ������ − ������ ������, ������1 = ������ + ������ ������ formulalar bilen berilýärler. Eger-de ������ < ������ bolsa, onda fokuslar ������������ okda ýerleşýärler, bu ýagdaýda ������ = √������2 − ������2, ������ = ������ , ������ = ������ − ������ ������, ������1 = ������ + ������ ������. ������ Ellipsiň meýdany ������ ������ ������ ululyga deňdir. Aşakdaky çyzgyda ellips we onuň häsiýetnamalary görkezilendirler. y ������(������; ������) ������1 ������1 bc r c ������ 0a x Maplede ellipsi ������������������������������������������������ toplumyna girýän ������������������������������������������ buýrugy bilen girizip bolar, onuň umumy ulanylyş düzgünleri aşakdakylar ýalydyr: 1) ellipse(p, [A, B, C, E, F], n) 2) ellipse(p, ['directrix'=dir, 'focus'=fou, 'eccentricity'=ecc], n) 3) ellipse(p, ['foci'=foi, 'MajorAxis'=lma], n) 4) ellipse(p, ['foci'=foi, 'MinorAxis'=lmi], n) 5) ellipse(p, ['foci'=foi, 'distance'=dis], n) 96
6) ellipse(p, ['MajorAxis'=ep1, 'MinorAxis'=ep2], n) 7) ellipse(p, deňleme, n ). Bu ýerde: - ������ ‒ ellipsiň ady, - ������, ������, ������, ������, ������ ‒ bäş sany dürli nokatlar, - 'directrix'=dir ‒ ellipsiň direktrisasy atlandyrylýan göni çyzyk, - 'focus'=fou ‒ ellipsiň fokus nokady, - 'eccentricity'=ecc ‒ ellipsiň ekssentrisiteti, - 'foci'=foi ‒ ellipsiň fokuslarynyň sanawy, - 'MajorAxis'=lma ‒ uly ýarymokuň uzynlygy, - 'MinorAxis'=lmi ‒ kiçi ýarymokuň uzynlygy, - 'distance'=aralyk ‒ ellipsiň erkin nokadyndan fokuslaryna çenli aralyklaryň jemi, - 'MajorAxis'=ep1 ‒ uly ýarymokuň iki uç nokatlarynyň sanawy, - 'MinorAxis'=ep2 ‒ kiçi ýarymokuň iki uç nokatlarynyň sanawy, - deňleme ‒ ellipsiň algebraik deňlemesi, - ������ ‒ gorizontal we wertikal oklaryň berilmesi hökmany bolmadyk sanawy. 1) usulda ellips bäş sany nokady bilen berilýär; 2) usulda ellips direktrisasy, fokuslary we ekssentrisiteti bilen berilýär, [′������������������������������������������������������′ = ������������������, ′������������������������������′ = ������������������, ′������������������������������������������������������������������������′ = ������������������] görnüşde sanaw berilýär; 3) usulda ellips fokuslary we uly ýarymokuň uzynlygy bilen berilýär, [′������������������������′ = ������������������, ′������������������������������������������������������′ = ������������������] görnüşde sanaw berilýär; 4) usulda ellips fokuslary we kiçi ýarymokuň uzynlygy bilen berilýär, [′������������������������′ = ������������������, ′������������������������������������������������������′ = ������������������] görnüşde sanaw berilýär; 5) usulda ellips fokuslary we ellipsiň islendik nokadyndan fokuslaryna çenli aralyklaryň jemi bilen berilýär, [′������������������������′ = ������������������, ′������������������������������������������������′ = ������������������������������������] görnüşde sanaw berilýär; 6) usulda ellips uly we kiçi ýarymoklaryň uç nokatlary bilen berilýär, [′������������������������������������������������������′ = ������������1, ′������������������������������������������������������′ = ������������2] görnüşde sanaw berilýär; 7) usulda ellips algebraiki deňlemesi bilen berilýär. Ellips bir usul bilen kesgitlenilenden soňra onuň häsiýetnamalaryny anyklap bolar, meselem, center(p) buýrugy bilen ellipsiň merkezi, Equation(p) buýrugy ellipsiň deňlemesi, MajorAxis(p) we MinorAxis(p) buýruklary bilen uly we kiçi ýarymoklaryň uzynlyklary, foci(p) buýrugy bilen ellipsiň fokus nokatlary baradaky maglumaty, detail(p) buýrugy bilen ellips barada jikme-jik maglumatlary sorap bolar. Bu buýrugyň with(geometry,ellipse) görnüşdäki gysgaça ulanylyşy bar. Ellipsi ������������������������������������������������������ toplumyna girýän ������������������������������������������ buýrugy bilen hem kesgitläp bolar, onuň umumy ulanylyş düzgüni aşakdaky ýalydyr: ellipse(merkez, a, b, filled=true(ýa-da false), numpoints=n, saýlawlar). Bu ýerde: 97
- ������������������������������������ − ellipsiň merkezi, - ������, ������ − ellipsiň uly we kiçi oklary, - ������������������������������������ = ������������������������ (ýa − da ������������������������������) − ellipsi reňkden doldurmak barada saýlaw, - ������������������������������������������������������ = ������ − ellipsi gurmak üçin ulanylýan nokatlaryň sany, - ������������ý������������������������������������ − reňk, çyzyklar we ş.m. barada maglumatlar. Bu buýruk deňlemesi (������−������0)2 + (������−������0)2 =1 görnüşde bolan ellipsi kesgitleýär. ������2 ������2 Ellips obýekt hökmünde kesgitlenilenden soňra ony gurmak display ýa-da draw buýruklarynyň kömegi bilen amala aşyrylýar. Mysal 191. ������2 + 4 ������2 = 16 ellipsi gurmaly, fokuslary we ekssentrisiteti tapmaly. Çözüwi. Deňlemäniň iki tarapyny hem 16 sana bölüp, ellipsiň ������2 + ������2 = 1 42 22 kanoniki deňlemesini alýarys. Bu ýerden ������ = 4, ������ = 2 diýip tapýarys, onda ������ = √������2 − ������2 = √42 − 22 = 2√3, ������ = ������ = 2√3 = √3. Diýmek, ������1 = ������1(−������; 0) = ������ 4 2 ������1(−2√3; 0), ������ = ������(������; 0) = ������(2√3; 0). Maplede ellipsi ellipse buýrugy arkaly Ellips1 at bilen deňlemesini ulanyp girizýäris. Soňra foci buýrugy bilen ellipsiň fokuslary tapylýar, map we coordinatalar buýruklary fokuslaryň hersine ulanyp, fokuslaryň koordinatalary barada maglumat alýarys. Soňra iki fokus nokatlaryny kesgitleýäris, ekssentrisiteti degişli formulalar boýunça tapýarys. Fokuslary we ellipsi draw buýrugy bilen şekillendirýäris. MajorAxis, MinorAxis buýuklary 2 ������ we 2 ������ ululyklary tapýarlar. Mysal 192. Uly ýarymok ������ = 5 we ������ parametr 1) 4,8; 2) 4 bolanda ellipsiň kiçi ������ ýarymokuny we ������ ekssentrisitetini tapmaly. Ellipsleri gurmaly. 98
Çözüwi. 1) ������ = ������ = 4,8 = 0,96 we ������ = √������2 − ������2 = √52 − 4, 82 = √1,96 = 1,4. ������ 5 2) ������ = ������ = 4 = 0,8 we ������ = √������2 − ������2 = √52 − 42 = √9 = 3. ������ 5 Maplede ������ we ������ ululyklary tapmagy ýokardaky formulalar bilen geçirýäris. Ellipsi iki fokus nokady we uly okuň uzynlygy bilen berýäris. Çepde 1) punkt, sagda 2) punkt üçin (������ ≔ 4 almaly) alnan netijeler görkezilendirler. Mysal 193. Ýeriň orbitasy fokuslarynyň birinde Gün ýerleşen ellipsdir. Ýeriň Günden iň ýakyn aralygy takmynan 147,5 million kilometr, iň daş aralygy 152,5 million kilometr. Ýeriň orbitasynyň uly ýarymokuny we ekssentrisitetini tapmaly. Çözüwi. Güni Ýeriň orbitasy bolan ellipsiň ������(−������; 0) fokusynda ýerleşen diýip hasaplalyň. Onda Ýer bilen Günüň arasyndaky iň ýakyn aralyk Ýer öz orbitasy boýunça hereketde (−������; 0) nokatdan geçende, iň daş aralyk bolsa Ýer (������; 0) nokatdan geçende alynýar. Bu fakt fokal radiusyň formulasyndan aýdyň gelip çykýar. Ýeriň koordinatalaryny (������; ������) nokat diýip hasap edeliň. Onda Ýer bilen + ������ ������ = ������ Günüň aralygy ������(������, ������) = ������1 = ������ ������ + ������ bolar, özi hem −������ ≤ ������ ≤ ������. Şeýlelikde ������(������, ������) = ������ ������ + ������, −������ ������ Bu çyzykly funksiýada koeffisiýentler ������ ≤ ������ ≤ ������. položitel bolandygy sebäpli ol artýan funksiýadyr, şonuň üçin bu funksiýanyň iň kiçi bahasy ������ = −������, iň uly bahasy bolsa ������ = ������ bolanda alynýar. Bu bahalara (−������; 0) we (������; 0) nokatlar laýyk gelýärler. Degişli iň ýakyn aralyk bolsa ������(−������, 0) = −������ + ������, iň daş aralyk bolsa ������(������, 0) = ������ + ������ ululyklara deňdirler. Şert boýunça berlen maglumatlary ulanyp, aşakdaky deňlemeler ulgamyny alýarys we ony çözýäris: 99
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120