หน่วยที่ 4

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี ๔ สอนคร้ังท่ี ๔ เรื่อง สมดุลของวตั ถุ

ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี ๔ เวลาเรียนรวม ๕๔ ช่ัวโมง สอนคร้ังท่ี ๗-๙ ชื่อหน่วย สมดุลของวตั ถุ ๔ การแยกระบบอิสระ ๕ สมดุลระบบ ๓ มิติ จานวน ๙ ช่ัวโมง ช่ือเรื่อง สมดุลของวตั ถุ หวั ขอ้ เรือ่ ง ๑.สมดลุ ระบบ ๒ มติ ิ ๒.เงอื่ นไขสมดลุ ระบบ ๒ มิติ ๓.แผนภาพอิสระของวัตถุ สาระสาคญั ๑. สมดุลระบบ 2 มติ เิ ปน็ การวิเคราะหป์ ัญหาเกีย่ วกบัการสมดลุ ของระบบซงึ่ ประกอบด้วยวัตถชุ ิ้นเดียว หรอื หลายชิน้ รวมกัน จาเปน็ ตอ้ งแยกวัตถทุ ีพ่ ิจารณาออกจากวัตถชุ ิน้ อื่นๆ แลว้ นามาเขียนผังอิสระของวัตถุ (Free Body Diagram (F.B.D.)) ๒. เงอ่ื นไขสมดุลระบบ 2 มิตวิ ัตถุจะอยิในสภาวะสมดุลก็ต่อเมอื่ แรงลัพธ์และโมเมนต์ ลัพธท์ ก่ี ระทากับวตั ถุเปน็ ศูนย์ซึ่ง เขยี นเป็นสมการสมดลุ ได้ดงั น้ี Fx  0 , Fy  0 , MO  0 ๓. แผนภาพอิสระของวตั ถุ (Free Body Diagram)คือ แผนภาพทแ่ี สดงให้ทราบวา่ มีแรงกี่แรงและแรงอะไรบา้ งที่ กระทา ต่อวตั ถุ ๔. การแยกระบบอิสระเป็นการแยกแรงปฏิกิริยาท่จี ุดรองรับ จุดเช่ือมต่อและชิ้นส่วนต่างๆ ของวตั ถุทถ่ี ูกตดั แยกออกมา พจิ ารณา ๕.การสมดุลสามมติ ิคือแรงกระทาต่ออนุภาคอยใู่ นรูปขององคป์ ระกอบ i, j, k จะเขียนสมการไดว้ ่า FX i FY jFZk  0 ๖.เงื่อนไขสาหรับการสมดุลสามมิติเมอื่ ถูกแรงสามมิติกระทา ท้งั แรงลพั ธ์ และโมเมนตแ์ รงคู่ควบลพั ธ์บนวตั ถุมคี ่า เท่ากบั ศูนยม์ ีสองเง่ือนไขสาหรับสมดุลในรูปเวคเตอร์คือ F  0 และ M  0 สมรรถนะหลกั (สมรรถนะประจำหน่วย) แสดงควำมรู้เก่ียวกบั สมดุลของวตั ถุ สมรรถนะย่อย (สมรรถนะกำรเรียนรู้) สมรรถนะทวั่ ไป (ทฤษฏี) ๑. แสดงควำมรู้เก่ียวกบั กำรสมดุลของแรงระบบ ๒ มติ ิ ๒. แสดงควำมรู้เก่ียวกบั เง่ือนไขกำรสมดุล ระบบ ๒ มิติ ๓ แสดงควำมรู้เกี่ยวกบั กำรเขียนแผนภำพอิสระของวตั ถุ ๒ มติ ิ ๔.แสดงควำมรู้เกี่ยวกบั กำรแยกระบบอิสระ ๕.แสดงควำมรู้เก่ียวกบั กำรสมดุลของแรงระบบ ๓ มติ ิ ๖.แสดงควำมรู้เก่ียวกบั กำรเขียนแผนภำพอิสระของวตั ถุ ๓ มติ ิ

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ ๔ ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม เวลาเรียนรวม ๕๔ ชั่วโมง สอนคร้ังที่ ๗-๙ ชื่อหน่วย สมดุลของวตั ถุ จานวน ๙ ช่ัวโมง ชื่อเร่ือง สมดุลของวตั ถุ สมรรถนะทีพ่ งึ ประสงค์ (ทฤษฏี) เมื่อผเู้ รียนไดศ้ ึกษำเน้ือหำในบทน้ีแลว้ ผเู้ รียนสำมำรถ ๑. คำนวณหำสมดุลของแรงระบบ ๒ มิติไดถ้ ูกตอ้ ง ๒. อธิบำยเง่ือนไขสมดุลของแรงระบบ ๒ มิติไดถ้ ูกตอ้ ง ๓. เขียนแผนภำพวตั ถุอิสระของกำรสมดุลแรง ๒ มิติไดถ้ ูกตอ้ ง ๔. แยกแผนภำพวตั ถุอิสระไดถ้ ูกตอ้ ง ๕. คำนวณหำสมดุลของแรงระบบ ๓ มติ ิไดถ้ ูกตอ้ ง ๖. อธิบำยเงื่อนไขสมดุลของแรงระบบ ๓ มิติไดถ้ ูกตอ้ ง กจิ กรรมการเรียนการสอน ในกำรจดั กำรเรียนกำรสอนรำยวิชำ กลศำสตร์วศิ วกรรม ไดก้ ำหนดกิจกรรมกำรเรียนกำรสอนใหผ้ เู้ รียนเกิดกำร เรียนรู้โดยใชว้ ิธีกำรจดั กำรเรียนรู้ฐำนสมรรถนะเชิงรุก ดำ้ นเทคนิคกำรจดั กำรเรียนกำรสอนแบบ MAIP โดยมขี ้นั ตอนใน กำรดำเนินกิจกรรมกำรเรียนกำรสอน ดงั น้ี กจิ กรรมการเรียนการสอน (สอนคร้ังท่ี ๗ ) เวลำ ๓ ชวั่ โมง/สัปดำห์ ๑.ผสู้ อนแจง้ จุดประสงคก์ ำรเรียนประจำสัปดำห์ และนำเขำ้ สู่บทเรียน ๒.ผสู้ อนถ่ำยทอดควำมรู้ในหน่วยที่ ๔ เร่ือง สมดลุ ของวตั ถุ ๓.ผสู้ อนแสดงตวั อยำ่ งเก่ียวกบั สมดลุ ของวตั ถุ ๔.ผสู้ อนมอบหมำยงำนให้ผเู้ รียนนำควำมรู้ควำมเขำ้ ใจทเ่ี กิดข้ึนไปใชใ้ นกำรทำแบบฝึกหัดประจำหน่วยกำรเรียนรู้ท่ี ๔ ๕.ผสู้ อนให้ผเู้ รียนเขียนสรุปสำระสำคญั ของเร่ืองทเ่ี รียนประจำสปั ดำห์ ๖.ผสู้ อนวดั ประเมนิ ผลกำรเรียนรู้ของผเู้ รียน กจิ กรรมการเรียนการสอน (สอนคร้ังท่ี ๘ ) เวลำ ๓ ชวั่ โมง/สัปดำห์ ๑.ผสู้ อนแจง้ จุดประสงคก์ ำรเรียนประจำสัปดำห์ และนำเขำ้ สู่บทเรียน ๒.ผสู้ อนถ่ำยทอดควำมรู้ในหน่วยที่ ๔ เรื่อง สมดลุ ของวตั ถุ ๓.ผสู้ อนแสดงตวั อยำ่ งเก่ียวกบั สมดุลของวตั ถุ ๔.ผสู้ อนมอบหมำยงำนใหผ้ เู้ รียนนำควำมรู้ควำมเขำ้ ใจท่ีเกิดข้ึนไปใชใ้ นกำรทำแบบฝึกหดั ประจำหน่วยกำรเรียนรู้ท่ี ๔ ๕.ผสู้ อนใหผ้ เู้ รียนเขียนสรุปสำระสำคญั ของเรื่องท่เี รียนประจำสัปดำห์ ๖.ผสู้ อนวดั ประเมินผลกำรเรียนรู้ของผเู้ รียน

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ ๔ ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม เวลาเรียนรวม ๕๔ ช่ัวโมง สอนคร้ังที่ ๗-๙ ชื่อหน่วย สมดุลของวตั ถุ จานวน ๙ ชั่วโมง ช่ือเรื่อง สมดุลของวตั ถุ กจิ กรรมการเรียนการสอน (สอนคร้ังท่ี ๙ ) เวลำ ๓ ชว่ั โมง/สปั ดำห์ ๑.ผสู้ อนแจง้ จุดประสงคก์ ำรเรียนประจำสปั ดำห์ และนำเขำ้ สู่บทเรียน ๒.ผสู้ อนถ่ำยทอดควำมรู้ในหน่วยท่ี ๔ เร่ือง สมดลุ ของวตั ถุ ๓.ผสู้ อนแสดงตวั อยำ่ งเก่ียวกบั สมดลุ ของวตั ถุ ๔.ผสู้ อนมอบหมำยงำนให้ผเู้ รียนนำควำมรู้ควำมเขำ้ ใจที่เกิดข้ึนไปใชใ้ นกำรทำแบบฝึกหดั ประจำหน่วยกำรเรียนรู้ท่ี ๔ ๕.ผสู้ อนให้ผเู้ รียนเขียนสรุปสำระสำคญั ของเร่ืองทเี่ รียนประจำสัปดำห์ ๖.ผสู้ อนวดั ประเมนิ ผลกำรเรียนรู้ของผเู้ รียน สื่อการสอน ๑.เอกสำรประกอบกำรสอน ๒.เอกสำรประกอบกำรเรียน ๓.ส่ือนำเสนอ PowerPoint ๔. ใบแบบฝึกหัด ๕.ใบเฉลยแบบฝึ กหัด ๖. แบบทดสอบ ๗.ใบเฉลยแบบทดสอบ งำนท่มี อบหมำย/กิจกรรม ให้นกั เรียนทำแบบฝึกเสริมทกั ษะทำ้ ยหน่วยกำรเรียนที่ ๔ กำรวดั และประเมนิ ผล วธิ ีกำร เครื่องมอื เกณฑ์ วดั ผล/ประเมนิ ผล - ผำ่ นเกณฑร์ ้อยละ ๖๐ - ทำแบบฝึกเสริมทกั ษะ - แบบฝึกเสริมทกั ษะทำ้ ย ๑.สมรรถนะทพ่ี งึ ประสงค์ - ผำ่ นเกณฑร์ ้อยละ ๘๐ ทำ้ ยหน่วย หน่วย ๒.คุณลกั ษณะอนั พึง ประสงค์ (Attitude) - ประเมินคุณลกั ษณะอนั พึง - แบบประเมนิ คุณลกั ษณะ ประสงค์ อนั พึงประสงค์



106 เนือ้ หาสาระ 4.1 สมดุลระบบ 2 มิติ การวเิ คราะห์ปัญหาเก่ียวกบั การสมดุลของระบบซ่ึงอาจจะประกอบดว้ ยวตั ถุชิ้นเดียว หรือ หลายชิ้นรวมกนั จาเป็ นตอ้ งแยกวตั ถุที่พิจารณาออกจากวตั ถุชิ้นอื่นๆ แลว้ นามาเขียนผงั อิสระของ วตั ถุ (Free Body Diagram (F.B.D.)) การเขียนผงั อิสระตอ้ งเขียนให้ถูกตอ้ งตามลกั ษณะต่างๆของแรงและวตั ถุ ดงั ท่ีไดก้ ล่าว มาแลว้ ในสัปดาห์ท่ีแลว้ ตวั อยา่ งของผงั อิสระของวตั ถุในระบบ 2 มิติ สามารถแสดงในรูปตอ่ ไปน้ี 1. โครงถกั ไมค่ ิดน้าหนกั ของโครงถกั เมื่อเทียบกบั แรง P ซ่ึงมีค่ามาก ระบบทางกลศาสตร์ แผนภาพวตั ถุอิสระของ(F.B.D.) 2. คานฝังแน่น ระบบทางกลศาสตร์

107 แผนภาพวตั ถุอิสระของ(F.B.D.) 3. คาน ผวิ สัมผสั เรียบที่จุด A มวล m ระบบทางกลศาสตร์ แผนภาพวตั ถุอิสระของ(F.B.D.)

108 4. ระบบวตั ถุเกร็งหลายชิ้นต่อกนั แต่พจิ ารณาเป็ นชิ้นเดยี วกนั ไม่คิดน้าหนกั ของกลไก ระบบทางกลศาสตร์ แผนภาพวตั ถุอิสระของ(F.B.D.) 4.2 เงอ่ื นไขสมดุล (ระบบ 2 มติ ิ) วตั ถุจะอยใู่ นสมดุลก็ต่อเมื่อแรงลพั ธ์และโมเมนตล์ พั ธ์ที่กระทากบั วตั ถุเป็นศูนย์ ซ่ึง เขียนเป็นการสมดุลในรูปสเกลาร์ไดด้ งั น้ี (จุดO เป็นจุดใดๆ บนวตั ถุหรือนอกวตั ถุ) Fx  0 , Fy  0 , MO  0 การสมดุลแบบตา่ งๆ ในระบบ 3 มิติ ซ่ึงไดแ้ ก่ ระบบแรงที่อยใู่ นเส้นตรงเดียวกนั แรงที่ตดั กนั ท่ีจุดหน่ึง แรงขนานกนั และกรณีทว่ั ๆ ไป สามารถแสดงไดด้ งั รูปขา้ งล่างตอ่ ไปน้ี

109 1. แรงทอี่ ยู่ในแนวเส้นตรงเดยี วกนั ภายใตส้ ภาวะสมดุลจะใชส้ มการสมดุลของแรงหน่ึง สมการในแนวแกนเดียวกนั น้นั สมการสมดุล คือ Fx  0 2. แรงตัดกันที่จุดเดียวกัน ภายใตส้ ภาวะการสมดุลบนระนาบ x  y จะใช้สมการ สมดุลของแรงสองสมการก็เพียงพอแล้ว เนื่องจากโมเมนต์รอบแกนซ่ึงผ่านจุดพบกนั ของแรง เหล่าน้นั มีค่าเป็นศนู ย์ สมการสมดุล คือ  Fx  0  Fy  0 3. แรงขนานกนั ภายใตส้ ภาวะการสมดุลบนระนาบ x  y ใชส้ มการสมดุลของแรงใน ทิศทางของแรงขนานหน่ึงสมการ และสมการสมดุลโมเมนตร์ อบแกนซ่ึงต้งั ฉากกบั ระนาบของ แรงอีกหน่ึงสมการ สมการการสมดุล คือ Fx  0 MO  0 4. กรณีท่ัวไป ภายใต้สภาวะสมดุลบนระนาบ x  y ใช้สมการสมดุลของแรงสอง สมการ และสมการสมดุลของโมเมนตข์ องแรงสองโมเมนตร์ อบแกนซ่ึงต้งั ฉากกบั ระนาบของแรง อีกหน่ึง สมการ

110 สมการการสมดุล คือ  Fx  0  Fy  0 MO  0 สภาพสมดุล 2 ลกั ษณะท่ีมกั พบบ่อยๆ ซ่ึงตอ้ งระมดั ระวงั เป็นพิเศษคือ สมดุลภายใตแ้ รงท่ี กระทาสองแรง ซ่ึงเรียกวา่ ชิ้นส่วนรับสองแรง (Two-force member) ตามรูปที่ 3.7 แรงท้งั สองตอ้ ง มีขนาดเท่ากนั ทิศทางตรงขา้ มกัน และอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกนั โดยไม่คานึงถึงรูปร่างของ ชิ้นส่วนเหล่าน้นั ตามรูปถือวา่ น้าหนกั ของชิ้นส่วนนอ้ ยมากเมื่อเทียบกบั ขนาดของแรง สภาพสมดุลลกั ษณะที่ 2 คือ ชิ้นส่วนรับ 3 แรง (Three-force member) ตามรูปที่ 3.8 แรง ท้งั สามตอ้ งพบกนั ท่ีจุดจุดหน่ึง และถา้ เขียนในรูปสามเหลี่ยมแทนแรงจะไดร้ ูปปิ ดพอดี (ก)

111 (ข) สมการสมดุลลกั ษณะอนื่ ทคี่ วรทราบ มีวธิ ีเพม่ิ เติมอยอู่ ีก 2 วธิ ี สาหรับกรณีทวั่ ๆ ไปของสภาวะสมดุลของแรง ใน 2 มิติ คือ (ก) (ข) 1. จากรูปที่ 2 (ก) ถา้ MA  0 แรงลพั ธ์ R จะตอ้ งผา่ นจุด A และจะตอ้ งไมเ่ ป็ นแรงคู่ ควบ ดงั น้นั ในรูปท่ี 3.9 (ข) ถา้ MA  0 และ Fx  0 แรงลพั ธ์ R จะตอ้ งผา่ นจุด A และตอ้ งต้งั ฉากกบั แกน x เม่ือกาหนดให้ B เป็นจุดใด ๆ ท่ีแนว AB ไม่ต้งั ฉากกบั แนวแกน x จะไดว้ า่ MB  0 กต็ อ่ เมื่อ R ตอ้ งมีคา่ เป็นศูนย์ และวตั ถุจะอยใู่ นภาวะสมดุล ดงั น้นั สมการสมดุลท่ีสามารถใชไ้ ด้ คือ Fx  0 ; MA  0 ; MB  0 เม่ือ จุด A และ B ตอ้ งไม่อยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั ท่ีต้งั ฉากกบั แนวแกน X 2 จากรูปที่ 2 (ค) ถา้ MA  0 แรงลพั ธ์ R จะตอ้ งผา่ นจุด A ดงั น้นั ในรูปท่ี 3.9 (ง) ถา้ MB  0 ดว้ ย แรงลพั ธ์จะตอ้ งผา่ นจุด B เม่ือ C เป็ นจุดใดๆ ท่ีไม่อยบู่ น แนวเส้นตรง AB จะไดว้ า่ MC  0 กต็ อ่ เม่ือแรงลพั ธ์ R จะตอ้ งมีคา่ เป็ นศนู ยแ์ ละวตั ถุจะอยใู่ นสภาวะสมดุล ดงั น้นั สมการสมดุลใชไ้ ด้ คือ MA  0 ; MB  0 ; MC  0เม่ือจุด A, B และ C ตอ้ งไม่อยใู่ นแนว เส้นตรงเดียวกนั

112 ตวั อย่าง 1. คานสม่าเสมอมีมวล 50 kg ต่อความยาวหน่ึงเมตร ปลายขา้ งหน่ึงของคานฝังแน่นอยู่ ในกาแพง คานถูกกระทาดว้ ยแรงและแรงคู่ควบดงั รูป จงเขียนผงั อิสระของคาน โดยแยกโดยแยก คานออกมาตรงตาแหน่งทางขวามือของ A แลว้ คานวณหาโมเมนต์ (แรงคูค่ วบ) M และแรง เฉือน V ที่กระทาโดยกาแพงท่ีจุด วธิ ีทา เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ(F.B.D.)และแยกคานออกมาจากกาแพงไดด้ งั น้ี W  mg 2.94 kN  5069.81  2943 N  Fy  0 ; V  2 11.5  2.94  0 V  3.44 N ทิศทางข้ึน Ans MA  0 ; M  2  24121.55 2.943  0 M  8.33 kN  m ทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา Ans

113 ตัวอย่างท่ี 2. คานสม่าเสมอมีมวล 30 kg ปลายคานมีลูกกลิ้งตามรูป และยดึ ใหส้ มดุลดว้ ยเส้น ลวด AC จงหาแรงตึง T ในเส้นลวดและแรงปฏิกิริยาที่ลูกกลิ้ง A และ B วธิ ีทา เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของคาน ดงั รูป หาคา่ ต่างๆโดยใชส้ มการสมดุลดงั น้ี Ans MA  0 ; 1.2B  30(9.81) (0.8)  0 B  196.2 N α  tan1 1.6  41.63 1.8  Sinα  0.6644  Cosα  0.7474  Fx  0 ; 0 0 T (SinαS  B  95.3 N Ans T (0.6644) 196.2 T

114 Fy  0 ; A  T (CosαC  30 (9.81) 0 A  295.3(0.7474)  294.3 0 A  73.6 N Ans วธิ ีการแก้โจทย์ปัญหา - อา่ นดูโจทยใ์ หล้ ะเอียดวา่ โจทยก์ าหนดอะไรมาใหบ้ า้ งและโจทยต์ อ้ งการใหห้ าอะไร - เขียนรูปวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของชิ้นส่วนท้งั หมดตามข้นั ตอนการเขียนแผนภาพวตั ถุ อิสระ - เขียนแรงภายนอกท่ีกระทาต่อวตั ถุอิสระ - เขียนแรงภายในที่เกิดจากจุดรองรับท้งั หมด ถา้ ในกรณีท่ีโจทยบ์ อกน้าหนกั ของวตั ถุมา ดว้ ยกใ็ หเ้ ขียนแรงที่เกิดจากน้าหนกั เขา้ ไปดว้ ย (ปกติน้าหนกั ของวตั ถุจะกระทาที่ก่ึงกลาง ของวตั ถุหรือจุดเซนทรอยด์ หรือโจทยอ์ าจจะกาหนดใหก้ ระทาท่ีจุด G ) - เขียนขนาดหรือความยาววตั ถุตามท่ีโจทยใ์ หม้ า (พิจารณาหน่วยของความยาวใหถ้ ูกตอ้ ง ดว้ ย) - กาหนดระบบแกนอา้ งอิง X , Y (กรณีระบบสองมิติ) หรือ X , Y , Z ตามกฎมือขวา (กรณีระบบสามมิติ) โดยกาหนดทิศทางบวกตามความถูกตอ้ งและเหมาะสม - ใชส้ มการการสมดุล กรณีสองมิติได้ Fx  0 Fy  0 M  0

117 แบบฝึ กหัด 1. คานสม่าเสมอมีมวล 50 kg ตอ่ ความยาวหน่ึงเมตร ปลายขา้ งหน่ึงของคานฝังแน่นอยใู่ นกาแพง คานถูกกระทาดว้ ยแรงและแรงคู่ควบดงั รูป จงเขียนผงั อิสระของคาน โดยแยกโดยแยกคานออกมา ตรงตาแหน่งทางขวามือของ A แลว้ คานวณหาโมเมนต์ (แรงคู่ควบ) M และแรงเฉือนV ท่ีกระทา โดยกาแพงท่ีจุด 2. จงบอกเงื่อนไขการสมดุลสองมิติ

119 แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 7 1. คานสม่าเสมอมีมวล 50 kg ตอ่ ความยาวหน่ึงเมตร ปลายขา้ งหน่ึงของคานฝังแน่นอยใู่ นกาแพง คานถูกกระทาดว้ ยแรงและแรงคู่ควบดงั รูป จงเขียนผงั อิสระของคาน โดยแยกโดยแยกคานออกมา ตรงตาแหน่งทางขวามือของ A แลว้ คานวณหาโมเมนต์ (แรงคู่ควบ) M และแรงเฉือน V ท่ี กระทาโดยกาแพงท่ีจุด 2. จงบอกเง่ือนไขการสมดุลสองมิติ

123 เนือ้ หาสาระ 4.3 แผนภาพอสิ ระของวตั ถุ (Free Body Diagram) ในการวิเคราะห์ระบบแรงในชิ้นส่วนโครงสร้างต่างๆ การท่ีจะมองภาพในส่วนที่เป็ น แรงน้ันค่อนข้างที่จะยุ่งยากและสับสนพอสมควร ดังน้ันเม่ือต้องวิเคราะห์แรงในชิ้นส่วน โครงสร้างของวตั ถุใดๆ แลว้ เราจะพิจารณาใหว้ ตั ถุชิ้นน้นั อยแู่ ยกเป็ นอิสระจากวตั ถุอ่ืนโดยการ เขียนแผนภาพอิสระ (Free Body Diagram: F.B.D.) เช่นตวั อยา่ งในรูปที่ 3.1 (ก) ตวั อยา่ งโครงสร้างที่จะวเิ คราะห์ เขียน (F.B.D.) ไดด้ งั น้ี T C W (ข) แผนภาพอิสระ รูปที่ 1 การเขียนแผนภาพอิสระ 4.4 การแยกระบบอสิ ระ ระบบทางกล ซ่ึงประกอบดว้ ยชิ้นส่วนต่าง ๆ สามารถแยกออกจากกนั เป็ นอิสระได้ ชิ้นส่วนท่ีแยกออกมาน้ีเรียกว่า รูปวตั ถุอิสระ (Free Body Diagram) ซ่ึงรูปวตั ถุอิสระท่ีแยก ออกมาน้ีจะตอ้ งรับแรงเท่ากบั ขณะที่อยใู่ นระบบทางกล การใชว้ ตั ถุอิสระจะช่วยใหก้ ารแกป้ ัญหาดา้ นกลศาสตร์สะดวกข้ึน เพราะสามารถพิจารณา เฉพาะชิ้นส่วนท่ีสนใจได้ การเขียนรูปวตั ถุอิสระจะเขียนเฉพาะสิ่งท่ีพจิ ารณาแลว้ แทน

124 1. เคเบลิ อ่อน สายพาน โซ่หรือเชือก ไมค่ ิดมวลเคเบิล คิดมวลเคเบิล แรงท่ีกระทาโดยเคเบิลอ่อนจะเป็นแรงดึงและมีทิศทางออกจากวตั ถุในแนวเดียวกนั กบั เคเบิล 2. ผวิ สัมผสั เรียบ แรงสมั ผสั เป็นแรงกดและต้งั ฉากกบั ผวิ สัมผสั 3. ผวิ สัมผสั หยาบ ผวิ สมั ผสั หยาบจะมีแรงเสียดทาน F และแรงต้งั ฉาก N แรงท้งั สองรวมกนั เป็ นแรงสัมผสั ลพั ธ์ R 4. ฐานรับแบบลกู กลงิ้ แรงท่ีกระทากบั ฐานรับแบบลูกกลิ้งเป็นแรงกดในแนวต้งั ฉากกบั ผวิ ของฐานรับ 5. รางเลอ่ื นอสิ ระ ปลอกหรือตวั เล่ือนท่ีตามรางเรียบอยา่ งอิสระและรับแรงต้งั ฉากเทา่ น้นั

125 6. ข้อต่อสลกั สลกั ที่หมุนไดอ้ ยา่ งอิสระจะรับแรงในแนวต้งั ฉากกบั แกนสลกั สลกั ฝื ดหรือตรึงแน่นจะ รับแรงคู่ควบเพิ่มข้ึนดว้ ย 7. ฐานรับแบบฝังแน่น ฐานรับแบบฝังแน่นจะรับแรงตามแนวแกน (F) และแรงเฉือน (V) และแรงคูค่ วบ (M) 8. แรงโน้มถ่วงของโลก แรงโนม้ ถ่วงของโลกที่กระทาตอ่ มวล m คือ W = mgโดยกระทาผา่ นจุดG ซ่ึงเป็น จุดศูนยก์ ลางมวล 9. แรงสปริง แรงสปริงจะเป็ นแรงดึงเม่ือเมื่อสปริงถูกยดื และจะเป็ นแรงกดเม่ือสปริงถูกกดสาหรับ สปริงยืดหยุ่นเชิงเส้นค่าความแข็งตึง k คือแรงที่ทาให้ สปริงยืดออกหรือหดเขา้ เป็ นระยะหน่ึง หน่วย ภาวะการสมดุล สภาวะการสมดุลคือการท่ีแรงลพั ธ์ท่ีกระทากบั วตั ถุมีค่าเป็นศนู ย์ จากที่กล่าวมาแลว้ ขา้ งตน้ วา่ ในระบบแรงทว่ั ไปอาจลดลงเหลือเพียงแรงลพั ธ์หน่ึงแรงและโมเมนต์ ดงั น้นั สมการที่ แสดงถึงการสมดุลของวตั ถุคือ    0 ;    0 F M

126 ซ่ึงสามารถเขียนเป็นสมการท่ีจะใชใ้ นการคานวณได้ 6 สมการคือ Fx  0 ; Mx  0 Fy  0 ; My  0 Fz  0 ; Mz  0 สภาวะการสมดุลท่ีมกั จะพบบอ่ ยคร้ังมีอยู่ 2 แบบ แบบแรกคือ การสมดุลของวตั ถุภายใต้ แรงสองแรง ซ่ึงจะเห็นไดว้ า่ แรงท้งั สองจะตอ้ งมีขนาดเท่ากนั อยใู่ นแนวเดียวกนั และทิศทางตรง ขา้ มดงั รูป 3.2 (ก) (ก) การสมดุลของแรงสองแรง (ข) การสมดุลของแรงสามแรง รูปที่ 2 การสมดุลของวตั ถุ แบบท่ีสองคือการสมดุลของวตั ถุภายใตแ้ รงสามแรง ซ่ึงแรงท้งั สามตอ้ งอยู่ในระนาบ เดียวกนั และแนวแรงท้งั สามตอ้ งตดั กนั ท่ีจุดจุดหน่ึง ดงั รูป 3.2 (ข) โดยทว่ั ไปมกั จะวเิ คราะห์การสมดุลในระนาบ ดงั น้นั สมการท่ีใชจ้ ึงลดรูปเหลือเพียง Fx  0 ; Fy  0 ; MO  0เม่ือ MO คือ MZ เป็ นผลรวม ของโมเมนตข์ องแรงท่ีกระทากบั วตั ถุรอบแกนท่ีขนานกบั ทิศทาง Z และผา่ นจุด O ใดๆที่อยบู่ น วตั ถุบนระนาบ x-y

127 วธิ ีการแก้ปัญหา 1. เขียนรูปวตั ถุอิสระ (Free Body Diagram หรือ FBD) ของชิ้นส่วนพร้อมท้งั แรง ภายนอกที่กระทาต่อวตั ถุอิสระ 2. กาหนดระบบแกน x-y-z และทิศทางบวกตามความเหมาะสม 3. ใชส้ มการ Fx  0 ; Fy  0 ; MO  0 4. แกส้ มการหาค่าตวั แปรที่ไม่ทราบคา่ ตามตอ้ งการ ทฤษฎกี ารสมดุลของแรง (Equilibrium of Force Theory) 1. ทฤษฎขี องลามี (Lami’s Theory) ในกรณีท่ีมีแรงสามแรงมากระทาร่วมกนั ณ จุดหน่ึงๆ และอยใู่ นระนาบเดียวกนั แลว้ ทา ใหจ้ ุดๆ น้นั อยใู่ นสภาวะสมดุล ดงั แสดงในรูป 3.3 อตั ราส่วนของแรงต่อคา่ sin ของมุมตรงกนั ขา้ ม จะมีคา่ เป็นปฏิภาคต่อกนั รูปที่ 2 แรงสามมิติที่มากระทาร่วมกนั ตามทฤษฎีของลามี จะไดว้ า่ P  Q  R sin α sin β sin θ

128 ตัวอย่างท่ี 1. โครงสร้าง mon มีแรง 40 N กระทาดงั รูป จงคานวณหาแรงในชิ้นส่วน mo และ no วิธีทา เขียนแผนภาพอิสระ (F.B.D.)ไดด้ งั รูป(ก)และเพ่ือความสะดวกในการใช้ทฤษฎีของลามี สามารถเขียนแผนภาพอิสระของวตั ถุไดใ้ หมต่ ามรูป(ข) จากทฤษฎีของลามี จะไดว้ า่ Fmo  Fno  40 N sin140 sin120 sin100  Fmo  40 N sin140 sin100  26.108 N Tension Ans  Fno  40 N sin 140 sin 100  35.175 N Compression Ans

129 2. ทฤษฎสี ามเหลย่ี มของแรง (Triangle of Force Theory) ในกรณีที่แรงสามแรงมากระทาร่วมกนั ณ จุดๆ หน่ึง และอยใู่ นระนาบเดียวกนั แลว้ ทา ใหจ้ ุดๆ น้นั อยใู่ นสภาวะสมดุล ถา้ หากเขียนเวคเตอร์ของแรงต่อกนั เหมือนการหาแรงโดยวธิ ี กราฟิ ก จะไดเ้ ป็นรูปสามเหลี่ยมที่ปิ ดสนิท อนั แสดงถึงสภาวะสมดุล เราเรียกรูปสามเหลี่ยมท่ีปิ ด สนิทน้ีวา่ รูปสามเหลี่ยมของแรง (Triangle of Forceดงั แสดงในรูปที่ 4 รูปสามเหล่ียมของแรง รูปท่ี 4 สามเหลี่ยมของแรง การวเิ คราะห์หาแรงโดยทฤษฎีสามเหลี่ยมของแรง ในส่วนของการวเิ คราะห์แรงโดย ทฤษฎีสามเหล่ียมของแรงน้ี สามารถกระทาได้ 2 ลกั ษณะ ดงั ต่อไปน้ี 1. พิจารณาความยาวของดา้ นท้งั สามของสามเหล่ียมของแรง ซ่ึงเป็ นปฏิภาคโดยตรงกบั ขนาด ของแรง ซ่ึงมีสณั ฐานคลา้ ยกนั ดงั แสดงในรูป .5 รูปท่ี 5

130 จากรูปที่ 5 พบวา่ สามเหลี่ยม omn คลา้ ยกบั สามเหลี่ยม abc จึงกล่าวไดว้ า่ om  mn  no ab bc ca หรืออาจจะกล่าวอีกไดว้ า่ Q P R ab bc ca 2. พิจารณาความยาวของดา้ นท้งั สามของสามเหลี่ยมของแรง ท่ีอยใู่ นลาดบั เดียวกนั ของแรงน้นั จะต้งั ฉากกบั แรงท้งั สาม ดงั แสดงในรูป 3.6 รูปที่ 6 แนวต้งั ฉากของแรง จากรูป 3.6 จึงกล่าวไดว้ า่ Q P R ab bc ca ปกติแลว้ การใชท้ ฤษฎีสามเหลี่ยมของแรง จะใชก้ บั วธิ ีการวเิ คราะห์แรงดว้ ยวธิ ีกราฟิ ก แต่กส็ ามารถประยกุ ตม์ าใชก้ บั วธิ ีพชี คณิตไดเ้ ช่นเดียวกนั

131 ตัวอย่างท่ี 2. มวล 100 kg แขวนดว้ ยสลิงผกู ติดกาแพง ณ จุด A จนสลิงทามุม 45 กบั แนวดิ่ง ดงั รูป จงคานวณหาแรงดึง F และแรงตึงในลวดสลิง T วธิ ีทา เขียนแผนภาพอิสระ(F.B.D.)ของวตั ถุไดด้ งั น้ี จากแผนภาพอิสระมี สามเหล่ียม ABC เป็นสามเหล่ียมของแรงโดยที่ ดา้ น AB แทนแรง W ดา้ น BC แทนแรง F ดา้ น CA แทนแรง T จากทฤษฎีสามเหล่ียมของแรง จะไดว้ า่ T  F W CA BC AB แรงตึงในลวดสลิง T W  CA sin 45  AB AB    CA   100 kg9.81 m/s 2  แรงดึง sin 45 1387.344 N Tension Ans Ans F  W  BC tan 45  AB AB   BC    100 kg 9.81 m/s 2 tan 45  981.00 N Tension

132 3. ทฤษฎแี รงสมดุล (Equilibrium Force’s Theory) เป็นทฤษฎีที่ค่อนขา้ งง่ายและไดร้ ับความนิยมในการนามาใชใ้ นการวเิ คราะห์หาแรงใน วตั ถุโดยอาศยั การแตกแรง รวมแรง และหาแรงลพั ธ์ โดยมีเงื่อนไขในการสมดุลเช่นดงั ทวั่ ไป คือ  Fx  0  Fy  0  Fz  0 M  0 ตัวอย่างที่ 3.3 จงคานวณหาแรงดึงในเส้นเชือกท้งั สอง โดยมีมวล 65 kg แขวนอยู่ ณ จุด 0 และ มีแรงดึงขนาด 1000 N กระทาดงั รูป วธิ ีทา เขียนแผนภาพอิสระของวตั ถุไดด้ งั น้ี รวมแรงในแนวแกน y Fy  0 Fomsin 30  W 100 Nsin25     Fom  65 kg 9.81 m/s 2  1000 N sin 25 sin 30  2120.573 N  2.121 kN Tension Ans รวมแรงในแนวแกน x Fx  0 1000 N cos30  Fon  Fomcos 30  Fon  1000 N cos 25  Fom cos 30  1000 N cos 25  2121 N cos30   930.532 N  930.532 N Compression Ans

133 ตัวอย่างที่ 3. จงคานวณหาขนาดของแรงตึง T1 และ T2 ในสายเคเบิลซ่ึงผกู ติดกบั ลงั ซ่ึงมีมวล 100 kg วธิ ีทา ใชส้ มการสมดุลแรงคือ F  0 T2  1730 N Ans Fy  0 ; T1  1067 N Ans T2 sin 60  981 2000sin15  0  Fx  0 ; T1 1730cos 60  2000cos15  0

134 ตัวอย่างที่ 4. โครงรูปตวั ที่มีมวล 200 kg และมีจุดศนู ยก์ ลางมวลท่ี G จงคานวณหาแรงท้งั หมด ที่จุด O หลงั จากออกแรงดึงขนาด 3 kN ต่อสายเคเบิล วธิ ีทา เขียนผงั วตั ถุอิสระ (F.B.D.) ใชส้ มการสมดุลหาคา่ ต่างๆ ดงั น้ี MB  0 ; 5O x  200(9.81) (2)  3Cos 30 (2.5)  3Sin 30 (6) 0 O x  2.31 kN  Fy  0 ; O y  3Sin 30  0.200 (9.81)  0 O y  0.462 kN O  2.312  0.4622  2.36 kN Ans

137 แบบฝึ กหัด 1. จงเขียนแผนภาพอิสระดงั รูป

139 แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 8 1. จงเขียนแผนภาพอิสระดงั รูป

143 เนือ้ หาสาระ 4.5 สมการสมดุลสามมิติ จากสมการสมดุลของอนุภาค F  0 ถา้ แรงกระทาต่ออนุภาคอยใู่ นรูปขององคป์ ระกอบi, j,k จะได้ วา่ FXi  FY j  FZk  0 เทียบสัมประสิทธ์ิ  FX  0  FY  0  FZ  0 แผนภาพวตั ถุอสิ ระ (Free Body Diagram)(F.BD.) ข้นั ตอนการแกป้ ัญหาสมดุลสามมิติ เหมือนในกรณีสองมิติ คือ เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระของ วตั ถุ ซ่ึงจาเป็นตอ้ งกล่าวถึงชนิดของแรงปฏิกิริยาที่ฐานรองรับเสียก่อน แรงปฏกิ ริ ิยาทฐ่ี านรองรับ (Support Reaction) แรงปฏิกิริยาและโมเมนตแ์ รงคูค่ วบกระทาท่ีฐานรองรับ และการต่อเช่ือมใดๆ เมื่อชิ้นส่วน อยใู่ นรูปสามมิติ ใหด้ ูตามตารางที่ถ่ายเอกสารมาและโมเมนตข์ องแรงคูค่ วบในแต่ละฐานรองรับ อธิบายตามตารางแสดง การเขียนแผนภาพวตั ถุอสิ ระ วตั ถุจะถูกแยกอิสระและวาดรูปต่างๆ จากน้นั กใ็ ชส้ ญั ลกั ษณ์แรงและโมเมนตข์ องแรงคู่ควบ ท้งั หมดตามพกิ ดั x , y, และ z ตามกฎทวั่ ไป เช่น ทิศทางของโมเมนตถ์ ูกกาหนดโดยกฎมือขวา หรือการต้งั แกนอา้ งอิง x , y, และ z ก็เป็นไปตามกฎมือขวาเช่นกนั แรงยอ่ ยของแรงปฏิกิริยา จะ มีขนาดและทิศทางที่ไม่ทราบค่าแสดงกระทาบนแผนภาพวตั ถุอิสระในทิศทางบวก ในวธิ ีน้ี ถา้ ค่าที่หาไดเ้ ป็นลบกจ็ ะบ่งบอกวา่ แรงยอ่ ยกระทาในทิศทางตรงกนั ขา้ มกบั ท่ีกาหนดไว้ แรงกระทา โดยทวั่ ไปเกิดจากน้าหนกั กระทาภายนอก และแรงท่ีผวิ สัมผสั ใกลเ้ คียงปฏิกิริยาที่ฐานรองรับ และ น้าหนกั ของวตั ถุ โดยทว่ั ไปแสดงแรงยอ่ ยที่ไม่ทราบค่าท้งั หมดในทิศทางบวก ขนาดของวตั ถุ จาเป็นสาหรับโมเมนตข์ องแรง จึงตอ้ งรวมอยใู่ น (F.BD.)

144 สมการสมดุล(Equation Of Equilibrium) เงื่อนไขสาหรับการสมดุลของวตั ถุแขง็ เกร็งที่ถูกแรงสามมิติกระทา ท้งั แรงลพั ธ์ และโมเมนต์ แรงคู่ควบลพั ธ์บนวตั ถุมีค่าเท่ากบั ศูนย์ มีสองเง่ือนไขสาหรับสมดุลในรูปเวคเตอร์คือ F  0 และ M  0 เม่ือ F เป็นผลรวมของแรงภายนอกท่ีกระทาต่อวตั ถุท้งั หมดและ M เป็นผลรวม โมเมนตแ์ รงคู่ควบและโมเมนตข์ องแรงท้งั หมดรอบจุดใดๆ (0) ซ่ึงอาจอยบู่ นหรือภายนอกวตั ถุซ่ึง  F   FXi   FY j   FZk M0  MXi  MY j MZk ตัวอย่างที่ 1. boomขนาดสม่าเสมออยใู่ นแนวระดบั มีมวล 240 kg ที่จุด A ยดึ ดว้ ยเคเบิลสอง เส้นซ่ึงตรึงกบั ผนงั ที่จุด B และ C ส่วนปลายอีกดา้ นหน่ึงยดึ ติดกบั ผนงั ที่จุด O ดว้ ย ball และ socket joint จงหาแรงตรึง T ในสายเคเบิล AC

145 วธิ ีทา เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของ boomได้ ดงั รูป ใหร้ ะยะ AD  b ระยะ l  32  52  62  8.37 m แตกแรง T ท้งั สอง ไปในระนาบ yz  TYZ  2T  b  l MO  0 ; TYZ Sinθ 6 23544   0 2T b  5 6 23544  0  l  b  T  235448.37 60  1313 N Ans

146 ตวั อย่างท่ี 2. คานเหลก็ กลา้ สองอนั เช่ือมต่อกนั เป็นมุมฉากคานแต่ละอนั มีมวล 40 kg ต่อความ ยาวหน่ึงเมตร คานถูกยดึ ดว้ ยสายเคเบิล A , B และ C จนทาใหค้ านอยใู่ นแนวระดบั จงหา แรงตึงในสายเคเบิลท้งั สาม วธิ ีทา เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของคานเหล็กได้ ดงั รูป จากโจทยบ์ อกน้าหนกั ของวตั ถุมา 40 kg ตอ่ ความยาวหน่ึงเมตร W1  4029.81  784.8 N W2  4039.81  1177.2 N [My = 0 ] ;

147 2TA  784.81  0 Ans TA  392.4 N  (MC )x  0 ; 1177.21.5  784.83  392.43  2TB  0 TB  1471.5 N Ans  FZ  0 ; 392.4  1471.5  TC  784.8 1177.2  0 TC  98.1 N Ans ข้อสังเกต  M c  คือโมเมนตร์ อบแกนที่ขนานกบั แกน x ซ่ึงลากผา่ นจุด C x วธิ ีการแก้โจทย์ปัญหา - อ่านดูโจทยใ์ หล้ ะเอียดวา่ โจทยก์ าหนดอะไรมาใหบ้ า้ งและโจทยต์ อ้ งการใหห้ าอะไร - เขียนรูปวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของชิ้นส่วนท้งั หมดตามข้นั ตอนการเขียนแผนภาพวตั ถุ อิสระ - เขียนแรงภายนอกท่ีกระทาต่อวตั ถุอิสระ - เขียนแรงภายในที่เกิดจากจุดรองรับท้งั หมด ถา้ ในกรณีท่ีโจทยบ์ อกน้าหนกั ของวตั ถุมา ดว้ ยกใ็ หเ้ ขียนแรงท่ีเกิดจากน้าหนกั เขา้ ไปดว้ ย (ปกติน้าหนกั ของวตั ถุจะกระทาที่ก่ึงกลาง ของวตั ถุหรือจุดเซนทรอยด์ หรือโจทยอ์ าจจะกาหนดใหก้ ระทาท่ีจุด G ) - เขียนขนาดหรือความยาววตั ถุตามท่ีโจทยใ์ หม้ า (พจิ ารณาหน่วยของความยาวใหถ้ ูกตอ้ ง ดว้ ย) - กาหนดระบบแกนอา้ งอิง X , Y (กรณีระบบสองมิติ) หรือ X , Y , Z ตามกฎมือขวา (กรณีระบบสามมิติ) โดยกาหนดทิศทางบวกตามความถูกตอ้ งและเหมาะสม - ใชส้ มการการสมดุล กรณีสองมิติได้

150 แบบฝึ กหดั 1. boomขนาดสม่าเสมออยใู่ นแนวระดบั มีมวล 240 kg ท่ีจุด A ยดึ ดว้ ยเคเบิลสองเส้นซ่ึงตรึงกบั ผนงั ท่ีจุด B และ C ส่วนปลายอีกดา้ นหน่ึงยดึ ติดกบั ผนงั ที่จุด O ดว้ ย ball และ socket joint จงหาแรงตรึง T ในสายเคเบิล AC 2. คานเหล็กกลา้ สองอนั เช่ือมต่อกนั เป็นมุมฉากคานแต่ละอนั มีมวล 40 kg ต่อความยาวหน่ึง เมตร คานถูกยดึ ดว้ ยสายเคเบิล A , B และ C จนทาใหค้ านอยใู่ นแนวระดบั จงหาแรงตึงในสาย เคเบิลท้งั สาม

154 แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 9 1. boomขนาดสม่าเสมออยใู่ นแนวระดบั มีมวล 240 kg ท่ีจุด A ยดึ ดว้ ยเคเบิลสองเส้นซ่ึงตรึงกบั ผนงั ที่จุด B และ C ส่วนปลายอีกดา้ นหน่ึงยดึ ติดกบั ผนงั ที่จุด O ดว้ ย ball และ socket joint จงหาแรงตรึง T ในสายเคเบิล AC 2. คานเหลก็ กลา้ สองอนั เชื่อมต่อกนั เป็นมุมฉากคานแต่ละอนั มีมวล 40 kg ต่อความยาวหน่ึง เมตร คานถูกยดึ ดว้ ยสายเคเบิล A , B และ C จนทาใหค้ านอยใู่ นแนวระดบั จงหาแรงตึงในสาย เคเบิลท้งั สาม