คณิตศาสตร์

ตวั อย่างที่ 1 จงเขยี นกราฟของฟังก์ชัน y = ������x2, y = x2 และ y = 2x2 ในระบบพิกัดฉากเดยี วกนั ������ วิธีท้า เขียนกรำฟของ (x, y) ทง้ั 3 ฟงั ก์ชัน ทไ่ี ด้จำกตำรำง แลว้ ลำกเส้นโค้งเช่อื มจดุ ทุกจดุ จะได้ กรำฟของฟงั กช์ ัน y = 1x2, y = x2 และ y = 2x2 ดังน้ี 2

ตวั อย่างท่ี 1 จงเขยี นกราฟของฟงั ก์ชัน y = ������x2, y = x2 และ y = 2x2 ในระบบพกิ ัดฉากเดยี วกนั ������ วิธีท้า Y y = 2x2 y = x2 จะเหน็ ว่ำ เมอ่ื ค่ำ a ลดลง y = 12x2 กรำฟของฟังก์ชนั จะขยำยเพ่มิ มำกข้นึ 0X

ตวั อยา่ งที่ 2 จงเขยี นกราฟของฟงั ก์ชนั y = -x2, y = − ������x2 และ y = − ������x2 ในระบบพกิ ดั ฉากเดียวกัน ������ ������ วธิ ที ้า แทนคำ่ x ในฟังกช์ นั y = -x2, y = − 1x2 และ y = − 1x2 เพ่ือหำคำ่ y ได้ ดงั ตำรำงต่อไปน้ี 24 x -3 -2 -1 0123 y = -x2 y = -1x2 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 9 2 -2 1 0 1 -2 9 −2 −2 −2 −2 y = -1x2 9 -1 1 0 1 -1 9 4 −4 −4 −4 −4

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงเขียนกราฟของฟังกช์ ัน y = -x2, y = − ������x2 และ y = − ������x2 ในระบบพกิ ดั ฉากเดยี วกนั ������ ������ วธิ ที ้า เขยี นกรำฟของ (x, y) ทัง้ 3 ฟงั ก์ชนั ทีไ่ ดจ้ ำกตำรำง แล้วลำกเส้นโคง้ เชอ่ื มจดุ ทุกจดุ จะได้ กรำฟของฟงั กช์ ัน y = -x2, y = − 21x2 และ y = − 41x2 ดงั นี้

ตัวอยา่ งที่ 2 จงเขยี นกราฟของฟังกช์ ัน y = -x2, y = − ������x2 และ y = − ������x2 ในระบบพิกัดฉากเดียวกนั ������ ������ วธิ ีท้า Y 0 X จะเหน็ วำ่ เมื่อค่ำ a เพ่มิ ข้นึ y = -1x2 กรำฟของฟังก์ชนั 4 จะขยำยเพ่ิมมำกขึน้ y = -1x2 2 y = -x2

กราฟของฟังกช์ ันกา้ ลงั สองทอี่ ยูใ่ นรปู y = ax2 + k เมอ่ื a, k ≠ 0 Y Y แกนสมมำตร 0 X a<0 0X จดุ สูงสุด จุดตำ่ สุด a>0 • เม่ือ a > 0 กรำฟเป็นพำรำโบลำหงำย เมอื่ a < 0 กรำฟเป็นพำรำโบลำคว่ำ

กราฟของฟังกช์ นั กา้ ลังสองทอ่ี ยใู่ นรปู y = ax2 + k เม่ือ a, k ≠ 0 Y Y แกนสมมำตร 0 X a<0 จดุ สงู สดุ 0 X a>0 จดุ ตำ่ สุด • มแี กน Y หรอื เสน้ ตรง x = 0 เปน็ แกนสมมำตร

กราฟของฟังก์ชนั กา้ ลงั สองที่อยใู่ นรูป y = ax2 + k เมื่อ a, k ≠ 0 Y Y แกนสมมำตร 0 X จดุ สูงสดุ 0 X a>0 จุดต่ำสุด a<0 • เม่อื a > 0 กรำฟของฟงั ก์ชันมีจุดตำ่ สุด คือ จุด (0, k) และมีค่ำต่ำสดุ ของฟงั ก์ชนั เท่ำกบั k เมอ่ื a < 0 กรำฟของฟงั ก์ชนั มีจุดสงู สดุ คือ จุด (0, k) และมีค่ำสงู สดุ ของฟังกช์ ันเทำ่ กบั k

กราฟของฟังกช์ นั ก้าลงั สองท่ีอยใู่ นรปู y = ax2 + k เม่ือ a, k ≠ 0 Y Y แกนสมมำตร 0X จุดสูงสดุ 0 X a>0 จุดต่ำสุด a<0 • กรำฟของฟังก์ชนั y = ax2 + k เปน็ ภำพที่ได้จำกกำรเลือ่ นขนำนกรำฟของฟงั กช์ ัน y = ax2 ตำมแนวแกน Y ขึ้นไปด้ำนบนเป็นระยะ k หน่วย เม่ือ k > 0 และลงมำดำ้ นลำ่ งเปน็ ระยะ k หน่วย เมือ่ k < 0

ตวั อยา่ งที่ 3 จงเขียนกราฟของฟังก์ชนั y = x2 + 5 วิธที ้า จำกฟังกช์ ัน y = x2 + 5 เมอ่ื เทียบกบั ฟังกช์ นั y = ax2 + k จะได้ a = 1 และ k = 5 พิจำรณำกรำฟของฟงั ก์ชนั y = x2 + 5 จะได้ 1) เนือ่ งจำก a > 0 กรำฟของฟังก์ชนั จึงมลี ักษณะเปน็ พำรำโบลำหงำย 2) มีจดุ (0, 5) เปน็ จุดตำ่ สุดของกรำฟ 3) มแี กน Y หรือเสน้ ตรง x = 0 เปน็ แกนสมมำตร 4) แทนค่ำ x > 0 ซึง่ เปน็ ค่ำ x ที่อยู่บนขำ้ งเดียวกันของแกนสมมำตรในฟงั กช์ ัน y = x2 + 5 เพ่ือหำค่ำ y ได้ ดังตำรำงต่อไปนี้ x 12 3 y = x2 + 5 6 9 14

ตวั อย่างท่ี 3 จงเขยี นกราฟของฟังก์ชนั y = x2 + 5 วิธที ้า 5) เขยี นกรำฟของจดุ (0, 5) กรำฟของจุดในข้อ 4) และภำพทไ่ี ดจ้ ำกกำรสะทอ้ นจุดในข้อ 4) โดยมเี สน้ ตรง x = 0 เปน็ เส้นสะท้อนในระบบพิกดั ฉำกเดียวกัน แลว้ ลำกเสน้ โค้งเช่ือมจดุ ทกุ จุด จะได้ กรำฟของฟงั กช์ นั y = x2 + 5 ดงั นี้

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงเขยี นกราฟของฟังก์ชนั y = x2 + 5 วิธีท้า Y y = x2 + 5 X 0

ตวั อย่างท่ี 4 จงเขยี นกราฟของฟงั กช์ ัน y = -2x2 - 7 วธิ ที า้ จำกฟงั กช์ ัน y = -2x2 - 7 เมื่อเทียบกับฟงั กช์ ัน y = ax2 + k จะได้ a = -2 และ k = -7 พิจำรณำกรำฟของฟังก์ชนั y = -2x2 - 7 จะได้ 1) เนอ่ื งจำก a < 0 กรำฟของฟังกช์ นั จงึ มีลักษณะเปน็ พำรำโบลำควำ่ 2) มีจดุ (0, -7) เป็นจุดสงู สุดของกรำฟ 3) มีแกน Y หรือเสน้ ตรง x = 0 เปน็ แกนสมมำตร 4) แทนคำ่ x > 0 ซง่ึ เป็นค่ำ x ทอี่ ยู่บนขำ้ งเดียวกนั ของแกนสมมำตรในฟงั กช์ นั y = -2x2 - 7 เพอื่ หำคำ่ y ได้ ดังตำรำงตอ่ ไปนี้ x 12 3 y = -2x2 - 7 -9 -15 -25

ตวั อย่างท่ี 4 จงเขยี นกราฟของฟงั ก์ชัน y = -2x2 - 7 วิธที ้า 5) เขียนกรำฟของจดุ (0, -7) กรำฟของจุดในขอ้ 4) และภำพท่ไี ด้จำกกำรสะท้อนจุดในขอ้ 4) โดยมีเส้นตรง x = 0 เปน็ เสน้ สะทอ้ นในระบบพิกดั ฉำกเดยี วกัน แล้วลำกเสน้ โคง้ เชอ่ื มจดุ ทกุ จุด จะได้ กรำฟของฟังกช์ นั y = -2x2 - 7 ดังน้ี

ตวั อยา่ งท่ี 4 X จงเขยี นกราฟของฟงั ก์ชนั y = -2x2 - 7 วิธีทา้ Y 0 y = -2x2 - 7

กราฟของฟงั กช์ นั ก้าลังสองท่ีอยู่ในรูป y = a(x - h)2 เมอ่ื a, h ≠ 0 Y Y แกนสมมำตร 0 a<0 X 0X จุดสูงสุด จุดตำ่ สดุ a>0 • เม่ือ a > 0 กรำฟเปน็ พำรำโบลำหงำย เมอื่ a < 0 กรำฟเป็นพำรำโบลำคว่ำ

กราฟของฟงั กช์ นั กา้ ลงั สองทอี่ ยใู่ นรูป y = a(x - h)2 เม่ือ a, h ≠ 0 Y Y แกนสมมำตร 0 a<0 X 0 จุดสงู สดุ X a>0 • มีเสน้ ตรง x = h เป็นแกนสมมำตร จุดตำ่ สุด

กราฟของฟังกช์ นั กา้ ลังสองทอ่ี ย่ใู นรูป y = a(x - h)2 เมอื่ a, h ≠ 0 YY แกนสมมำตร 0 X 0 จดุ สงู สุด a>0 X จดุ ต่ำสดุ a<0 • เมอื่ a > 0 กรำฟของฟังกช์ นั มีจุดตำ่ สุด คอื จุด (h, 0) และมคี ำ่ ตำ่ สดุ ของฟังกช์ ันเท่ำกบั 0 เม่อื a < 0 กรำฟของฟงั ก์ชันมีจดุ สูงสดุ คอื จดุ (h, 0) และมีคำ่ สงู สุดของฟงั กช์ ันเทำ่ กับ 0

กราฟของฟังก์ชนั กา้ ลงั สองที่อยูใ่ นรปู y = a(x - h)2 เมอ่ื a, h ≠ 0 YY แกนสมมำตร 0X 0 จดุ สงู สดุ a>0 X จุดตำ่ สุด a<0 • กรำฟของฟงั กช์ ัน y = a(x - h)2 เปน็ ภำพทไ่ี ด้จำกกำรเลอื่ นขนำนกรำฟของฟังก์ชัน y = ax2 ตำมแนวแกน X ไปทำงขวำเป็นระยะ h หน่วย เมื่อ h > 0 และไปทำงซ้ำยเป็นระยะ h หน่วย เมือ่ h < 0

ตวั อย่างท่ี 5 จงเขยี นกราฟของฟงั กช์ นั y = 3(x - 1)2 วธิ ที า้ จำกฟงั ก์ชัน y = 3(x - 1)2 เมอื่ เทียบกับฟงั กช์ ัน y = a(x - h)2 จะได้ a = 3 และ h = 1 พจิ ำรณำกรำฟของฟงั กช์ นั y = 3(x - 1)2 จะได้ 1) เน่อื งจำก a > 0 กรำฟของฟังกช์ ันจงึ มลี ักษณะเป็นพำรำโบลำหงำย 2) มีจดุ (1, 0) เปน็ จดุ ต่ำสดุ ของกรำฟ 3) มเี ส้นตรง x = 1 เปน็ แกนสมมำตร 4) แทนคำ่ x > 1 ซ่งึ เป็นค่ำ x ทอ่ี ยู่บนข้ำงเดยี วกนั ของแกนสมมำตรในฟงั กช์ นั y = 3(x - 1)2 เพอ่ื หำคำ่ y ได้ ดังตำรำงต่อไปน้ี x 2 34 y = 3(x - 1)2 3 12 27

ตวั อย่างท่ี 5 จงเขยี นกราฟของฟังกช์ นั y = 3(x - 1)2 วิธีท้า 5) เขียนกรำฟของจุด (1, 0) กรำฟของจดุ ในขอ้ 4) และภำพที่ได้จำกกำรสะท้อนจุดในขอ้ 4) โดยมีเส้นตรง x = 1 เป็นเสน้ สะท้อนในระบบพิกัดฉำกเดียวกนั แล้วลำกเสน้ โคง้ เชอ่ื มจุดทุกจดุ จะได้ กรำฟของฟงั กช์ นั y = 3(x - 1)2 ดงั นี้

ตวั อย่างท่ี 5 จงเขยี นกราฟของฟังก์ชัน y = 3(x - 1)2 วธิ ีท้า Y y = 3(x - 1)2 X 0

ตวั อย่างท่ี 6 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน y = -2(x + 3)2 วธิ ที า้ จำกฟงั ก์ชนั y = -2(x + 3)2 เมอ่ื เทียบกบั ฟังกช์ นั y = a(x - h)2 จะได้ a = -2 และ h = -3 พิจำรณำกรำฟของฟังกช์ ัน y = -2(x + 3)2 จะได้ 1) เนือ่ งจำก a < 0 กรำฟของฟังก์ชันจงึ มีลกั ษณะเปน็ พำรำโบลำควำ่ 2) มีจุด (-3, 0) เป็นจุดสูงสุดของกรำฟ 3) มีเส้นตรง x = -3 เปน็ แกนสมมำตร 4) แทนคำ่ x > -3 ซึง่ เป็นคำ่ x ท่ีอยู่บนข้ำงเดียวกนั ของแกนสมมำตร ในฟังก์ชัน y = -2(x + 3)2 เพอ่ื หำคำ่ y ได้ ดงั ตำรำงต่อไปน้ี x -2 -1 0 y = -2(x + 3)2 -2 -8 -18

ตวั อย่างท่ี 6 จงเขยี นกราฟของฟังกช์ นั y = -2(x + 3)2 วิธีท้า 5) เขียนกรำฟของจุด (-3, 0) กรำฟของจดุ ในข้อ 4) และภำพที่ไดจ้ ำกกำรสะท้อนจุดในขอ้ 4) โดยมเี ส้นตรง x = -3 เป็นเสน้ สะทอ้ นในระบบพกิ ดั ฉำกเดยี วกัน แล้วลำกเสน้ โคง้ เชื่อมจดุ ทุกจุด จะได้ กรำฟของฟงั ก์ชนั y = -2(x + 3)2 ดังน้ี

ตวั อย่างท่ี 6 Y จงเขยี นกราฟของฟงั ก์ชัน y = -2(x + 3)2 วธิ ีท้า 0 X y = -2(x + 3)2

กราฟของฟงั กช์ นั กา้ ลังสองทอ่ี ย่ใู นรปู y = a(x - h)2 + k เมื่อ a, h, k ≠ 0 Y Y X แกนสมมำตร 0 จุดสูงสดุ จดุ ตำ่ สุด 0X a>0 a<0 • เม่อื a > 0 กรำฟเปน็ พำรำโบลำหงำย เม่อื a < 0 กรำฟเปน็ พำรำโบลำคว่ำ

กราฟของฟงั ก์ชนั ก้าลงั สองที่อย่ใู นรูป y = a(x - h)2 + k เมอ่ื a, h, k ≠ 0 Y Y X แกนสมมำตร 0 จดุ สูงสดุ จดุ ตำ่ สุด 0X a>0 a<0 • มเี สน้ ตรง x = h เป็นแกนสมมำตร

กราฟของฟงั กช์ ันกา้ ลังสองทอ่ี ยู่ในรปู y = a(x - h)2 + k เม่อื a, h, k ≠ 0 Y Y X แกนสมมำตร 0 จุดสงู สดุ จุดตำ่ สุด 0X a>0 a<0 • เม่ือ a > 0 กรำฟของฟังกช์ นั มีจุดต่ำสุด คอื จุด (h, k) และมีคำ่ ตำ่ สดุ ของฟงั กช์ นั เทำ่ กบั k เมื่อ a < 0 กรำฟของฟงั ก์ชันมีจุดสูงสดุ คอื จุด (h, k) และมคี ำ่ สงู สดุ ของฟังกช์ นั เท่ำกับ k

กราฟของฟงั กช์ ันก้าลงั สองทอ่ี ยู่ในรปู y = a(x - h)2 + k เม่ือ a, h, k ≠ 0 Y Y X แกนสมมำตร 0 จุดสงู สุด จดุ ต่ำสุด 0X a>0 a<0 • กรำฟของฟงั กช์ นั y = a(x - h)2 + k เปน็ ภำพที่ได้จำกกำรเล่ือนขนำนกรำฟของฟังก์ชนั y = a(x - h)2 ตำมแนวแกน Y ไปด้ำนบนเปน็ ระยะ k หน่วย เมือ่ k > 0 และไปด้ำนลำ่ งเปน็ ระยะ k หน่วย เมื่อ k < 0

ตวั อยา่ งที่ 7 จงเขียนกราฟของฟังกช์ ัน y = 2(x + 2)2 - 5 วธิ ที ้า จำกฟังก์ชัน y = 2(x + 2)2 - 5 เมอื่ เทยี บกบั ฟังกช์ นั y = a(x - h)2 + k จะได้ a = 2 และ h = -2 และ k = -5 พจิ ำรณำกรำฟของฟังก์ชัน y = 2(x + 2)2 - 5 จะได้ 1) เนอื่ งจำก a > 0 กรำฟของฟงั ก์ชันจึงมีลกั ษณะเป็นพำรำโบลำหงำย 2) มจี ุด (-2, -5) เป็นจดุ ต่ำสดุ ของกรำฟ 3) มเี ส้นตรง x = -2 เปน็ แกนสมมำตร 4) แทนคำ่ x > -2 ซ่ึงเป็นค่ำ x ทอ่ี ยบู่ นขำ้ งเดียวกนั ของแกนสมมำตรในฟังกช์ ัน y = 2(x + 2)2 - 5 เพอ่ื หำคำ่ y ได้ ดงั ตำรำงต่อไปนี้ x -1 0 1 y = 2(x + 2)2 - 5 -3 3 13

ตัวอยา่ งที่ 7 จงเขียนกราฟของฟงั ก์ชนั y = 2(x + 2)2 - 5 วิธที ้า 5) เขยี นกรำฟของจดุ (-2, -5) กรำฟของจดุ ในข้อ 4) และภำพทไี่ ด้จำกกำรสะท้อนจุดในขอ้ 4) โดยมเี ส้นตรง x = -2 เปน็ เสน้ สะทอ้ นในระบบพิกัดฉำกเดยี วกัน แล้วลำกเส้นโค้งเช่ือมจดุ ทกุ จุด จะได้ กรำฟของฟงั ก์ชัน 2(x + 2)2 - 5 ดงั น้ี

ตวั อย่างท่ี 7 Y จงเขยี นกราฟของฟงั กช์ นั y = 2(x + 2)2 - 5 วธิ ีท้า y = 2(x + 2)2 - 5 0X

ตวั อยา่ งที่ 8 จงเขียนกราฟของฟงั กช์ นั y = -3(x - 1)2 + 4 วธิ ที ้า จำกฟงั ก์ชนั y = -3(x - 1)2 + 4 เม่อื เทียบกับฟงั กช์ ัน y = a(x - h)2 + k จะได้ a = -3, h = 1 และ k = 4 พิจำรณำกรำฟของฟังกช์ ัน y = -3(x - 1)2 + 4 จะได้ 1) เน่อื งจำก a < 0 กรำฟของฟังก์ชันจงึ มลี กั ษณะเปน็ พำรำโบลำคว่ำ 2) มจี ุด (1, 4) เปน็ จดุ สูงสดุ ของกรำฟ 3) มีเส้นตรง x = 1 เป็นแกนสมมำตร 4) แทนค่ำ x > 1 ซง่ึ เปน็ ค่ำ x ทีอ่ ยู่บนข้ำงเดยี วกนั ของแกนสมมำตรในฟงั ก์ชัน y = -3(x - 1)2 + 4 เพื่อหำค่ำ y ได้ ดังตำรำงตอ่ ไปน้ี x 234 y = -3(x - 1)2 + 4 1 -8 -23

ตวั อย่างท่ี 8 จงเขยี นกราฟของฟงั ก์ชัน y = -3(x - 1)2 + 4 วิธที ้า 5) เขยี นกรำฟของจดุ (1, 4) กรำฟของจดุ ในขอ้ 4) และภำพทไี่ ด้จำกกำรสะท้อนจุดในขอ้ 4) โดยมีเส้นตรง x = 1 เป็นเส้นสะทอ้ นในระบบพิกัดฉำกเดยี วกนั แลว้ ลำกเสน้ โค้งเชื่อมจดุ ทกุ จุด จะได้ กรำฟของฟงั กช์ ัน y = -3(x - 1)2 + 4 ดงั น้ี

ตวั อย่างท่ี 8 จงเขยี นกราฟของฟังก์ชัน y = -3(x - 1)2 + 4 วธิ ีท้า Y 0 X y = -3(x - 1)2 + 4

ตอ่ ไปนี้ นกั เรียนจะได้ศกึ ษาเก่ียวกบั การน้าความรู้เก่ยี วกบั ฟงั กช์ นั กา้ ลังสอง ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

ตวั อย่างท่ี 9 องอำจเตะลูกฟุตบอลจำกพนื้ ดนิ ข้นึ ไป ถ้ำ h = 6t - t2 เปน็ ควำมสัมพนั ธ์ระหว่ำงควำมสงู (h) เป็นเมตร กบั เวลำ (t) เป็นวนิ ำที ขณะที่ลกู ฟตุ บอลลอยอยเู่ หนอื พื้นดิน 1) จงเขยี นกรำฟของฟงั ก์ชนั h = 6t - t2 2) จงหำเวลำในขณะทล่ี ูกฟุตบอลลอยอยู่ทจ่ี ดุ สงู สดุ จำกพ้ืนดิน 3) จงหำเวลำทล่ี กู ฟุตบอลตกพน้ื ดนิ หลงั จำกเตะลกู ฟุตบอลขนึ้ ไป วธิ ที า้ 1) เขียนฟังก์ชนั h = 6t - t2 ให้อยใู่ นรูป y = a(x - h)2 + k จำก h = 6t - t2 จะได้ h = -t2 + 6t = -(t2 – 6t) = -[(t2 - 2(t)(3) + 32) - 32] = -(t - 3)2 + 9 จำกฟังกช์ ัน h = -(t - 3)2 + 9 เม่ือเทียบกบั ฟังก์ชนั y = a(x - h)2 + k จะได้ a = -1, h = 3 และ k = 9

ตวั อยา่ งที่ 9 องอำจเตะลกู ฟุตบอลจำกพ้ืนดินขน้ึ ไป ถ้ำ h = 6t - t2 เป็นควำมสัมพนั ธร์ ะหวำ่ งควำมสงู (h) เป็นเมตร กับเวลำ (t) เปน็ วินำที ขณะทล่ี ูกฟตุ บอลลอยอยเู่ หนอื พืน้ ดิน 1) จงเขยี นกรำฟของฟังก์ชัน h = 6t - t2 2) จงหำเวลำในขณะท่ีลูกฟตุ บอลลอยอยู่ทีจ่ ุดสงู สุดจำกพนื้ ดนิ 3) จงหำเวลำทล่ี ูกฟตุ บอลตกพืน้ ดิน หลงั จำกเตะลกู ฟุตบอลข้ึนไป วธิ ีทา้ 1) พจิ ำรณำกรำฟของฟังก์ชัน h = -(t - 3)2 + 9 จะได้ (1) เน่ืองจำก a < 0 กรำฟของฟังก์ชันจงึ มลี ักษณะเปน็ พำรำโบลำควำ่ (2) มีจุด (3, 9) เป็นจดุ สูงสดุ ของกรำฟ (3) มเี สน้ ตรง t = 3 เปน็ แกนสมมำตร (4) แทนคำ่ t > 3 ซ่ึงเปน็ คำ่ t ทีอ่ ยบู่ นข้ำงเดยี วกนั ของแกนสมมำตรในฟงั กช์ ัน h = -(t - 3)2 + 9 เพื่อหำคำ่ h ได้ ดงั ตำรำงต่อไปน้ี t 456 h = -(t - 3)2 + 9 8 5 0

ตวั อยา่ งที่ 9 องอำจเตะลกู ฟตุ บอลจำกพ้นื ดนิ ขึ้นไป ถำ้ h = 6t - t2 เป็นควำมสัมพันธร์ ะหวำ่ งควำมสงู (h) เป็นเมตร กับเวลำ (t) เป็นวินำที ขณะท่ีลูกฟุตบอลลอยอยู่เหนอื พืน้ ดนิ 1) จงเขียนกรำฟของฟงั ก์ชัน h = 6t - t2 2) จงหำเวลำในขณะท่ีลกู ฟตุ บอลลอยอย่ทู ี่จุดสงู สดุ จำกพน้ื ดนิ 3) จงหำเวลำทีล่ ูกฟตุ บอลตกพ้ืนดนิ หลงั จำกเตะลกู ฟตุ บอลขึ้นไป วิธีท้า 1) พจิ ำรณำกรำฟของฟงั ก์ชนั h = -(t - 3)2 + 9 จะได้ (5) เขียนกรำฟของจดุ (3, 9) กรำฟของจดุ ในขอ้ (4) และภำพทไ่ี ด้จำกกำรสะทอ้ นจดุ ในข้อ (4) โดยมเี สน้ ตรง t = 3 เปน็ เส้นสะท้อนในระบบพกิ ัดฉำกเดียวกัน แล้วลำกเสน้ โค้งเช่อื มจดุ ทกุ จุด จะได้ กรำฟของฟังก์ชัน h = 6t - t2 ดงั นี้

ตวั อยา่ งท่ี 9 องอำจเตะลกู ฟุตบอลจำกพน้ื ดินข้ึนไป ถ้ำ h = 6t - t2 เป็นควำมสัมพันธ์ระหว่ำงควำมสงู (h) เปน็ เมตร กบั เวลำ (t) เปน็ วนิ ำที ขณะท่ลี กู ฟตุ บอลลอยอยเู่ หนือพืน้ ดนิ 1) จงเขยี นกรำฟของฟงั ก์ชนั h = 6t - t2 2) จงหำเวลำในขณะทล่ี ูกฟุตบอลลอยอยู่ทจ่ี ุดสูงสุดจำกพืน้ ดนิ 3) จงหำเวลำทล่ี กู ฟตุ บอลตกพน้ื ดิน หลงั จำกเตะลกู ฟตุ บอลขึน้ ไป วิธีทา้ 1) ควำมสงู (เมตร) h = 6t - t2 เวลำ (วินำท)ี

ตวั อยา่ งท่ี 9 องอำจเตะลกู ฟตุ บอลจำกพน้ื ดินขึ้นไป ถ้ำ h = 6t - t2 เปน็ ควำมสัมพนั ธร์ ะหว่ำงควำมสงู (h) เป็นเมตร กับเวลำ (t) เป็นวินำที ขณะทลี่ กู ฟตุ บอลลอยอยูเ่ หนอื พน้ื ดนิ 1) จงเขียนกรำฟของฟงั ก์ชนั h = 6t - t2 2) จงหำเวลำในขณะทลี่ กู ฟตุ บอลลอยอยู่ทจี่ ุดสงู สุดจำกพน้ื ดิน 3) จงหำเวลำที่ลูกฟตุ บอลตกพ้นื ดนิ หลงั จำกเตะลูกฟุตบอลข้นึ ไป วิธีท้า 2) จำกกรำฟในข้อ 1) จะเห็นวำ่ ลกู ฟตุ บอลจะลอยอยู่ที่จดุ สงู สุดจำกพนื้ ดิน หลงั จำกเตะลูกฟตุ บอลจำกพนื้ ดนิ ขน้ึ ไปเปน็ เวลำ 3 วินำที

ตวั อยา่ งท่ี 9 องอำจเตะลูกฟุตบอลจำกพืน้ ดินขนึ้ ไป ถำ้ h = 6t - t2 เปน็ ควำมสัมพันธ์ระหว่ำงควำมสงู (h) เป็นเมตร กบั เวลำ (t) เปน็ วินำที ขณะท่ลี กู ฟตุ บอลลอยอยูเ่ หนือพ้นื ดิน 1) จงเขียนกรำฟของฟังก์ชัน h = 6t - t2 2) จงหำเวลำในขณะทล่ี ูกฟุตบอลลอยอยทู่ จ่ี ดุ สูงสุดจำกพืน้ ดิน 3) จงหำเวลำทล่ี ูกฟุตบอลตกพ้ืนดนิ หลงั จำกเตะลูกฟตุ บอลขึน้ ไป วธิ ีทา้ 3) จำกกรำฟในข้อ 1) จะเห็นว่ำ ลูกฟตุ บอลจะตกถงึ พื้นดนิ เม่อื เตะลกู ฟตุ บอลขึน้ ไปเปน็ ระยะเวลำ 6 วินำที

จากค้าถามตอนตน้ ทถ่ี ามวา่ “ฟงั ก์ชันกา้ ลงั สอง เกี่ยวขอ้ งกบั การเคล่ือนทขี่ องลูกกระสุนปนื ใหญ่ หลงั จากยิงปืนใหญ่อย่างไร ?” กำรเคล่อื นท่ีของลกู กระสนุ ปนื ใหญ่หลงั จำกยงิ ปืนใหญม่ ีควำมเกย่ี วข้องกบั ฟังก์ชนั กำลังสอง คอื ควำมสัมพนั ธร์ ะหวำ่ งระยะทำงท่ีลกู กระสุนปนื ใหญ่เคลอื่ นทีไ่ ด้หลังจำกยิงปืนใหญ่กบั ระยะเวลำทผ่ี ำ่ นไป เป็นควำมสัมพนั ธ์ ท่อี ยู่ในรูปฟังก์ชันกำลงั สอง ซ่ึงนกั เรียนสำมำรถนำฟังก์ชนั กำลงั สองดังกลำ่ ว มำหำคำ่ ตำ่ ง ๆ ทเ่ี กี่ยวขอ้ งกับกำรเคลื่อนทีข่ องลกู กระสุนปืนใหญ่ได้ เชน่ ระยะทำงที่ลกู กระสุนปนื ใหญ่เคลอ่ื นทไ่ี ดห้ ลงั จำกยงิ ปืนใหญ่ไป 5 วนิ ำที

4หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี พ้ืนท่ีผวิ และปรมิ าตร ตัวช้วี ัด • ประยกุ ตใ์ ช้ควำมรเู้ ร่ืองพนื้ ทผ่ี ิวของพรี ะมิด กรวย และทรงกลม ในกำรแกป้ ญั หำคณติ ศำสตรแ์ ละปัญหำในชีวิตจริง (ค 2.1 ม.3/1) • ประยกุ ต์ใช้ควำมรเู้ รอ่ื งปรมิ ำตรของพีระมดิ กรวย และทรงกลม ในกำรแกป้ ญั หำคณติ ศำสตร์และปญั หำในชีวติ จริง (ค 2.1 ม.3/2)

กลอ่ งใสไ่ อศกรมี มลี กั ษณะเปน็ ลกู บาศก์ ที่แตล่ ะด้านยาว 20 เซนติเมตร 20 ซม. 20 ซม. 20 ซม.

ถา้ ช้อนตกั ไอศกรีมของรา้ น สามารถตักไอศกรีม เป็นทรงกลมทม่ี เี สน้ ผ่านศนู ยก์ ลางยาว 5 เซนตเิ มตร 5 ซม.

เราจะตักไอศกรมี ได้กคี่ รั้ง จงึ จะหมดกล่อง และถ้าเราขายไอศกรมี ลกู ละ 10 บาท เราจะได้รับเงนิ ทง้ั หมดกี่บาท ? ลูก × 10 บาท

ควรร้กู ่อนเรียน ความยาวรอบรูปและพนื้ ท่ขี องรูปเรขาคณติ สองมติ ิ รูปเรขาคณติ สองมติ ิ ความยาวรอบรูป พ้นื ที่ วงกลม r 2πr πr2 รูปสามเหลีย่ ม ch b a+b+c 1 รูปสี่เหลี่ยมจัตรุ ัส a a 4a 2×a×h a2 รปู ส่ีเหล่ยี มผนื ผา้ b 2(a + b) a×b a

ปริมาตรของปริซึม ควรรกู้ อ่ นเรยี น ปริมาตรของทรงกระบอก r ปรมิ าตรของปริซมึ = พ้ืนทฐี่ าน × ความสงู h r ปรมิ าตรของทรงกระบอก = πr2h เม่อื r แทนรศั มขี องวงกลมทีเ่ ป็นฐานของทรงกระบอก h แทนความสูงของทรงกระบอก

มหาพรี ะมิด พรี ะมดิ ในชวี ติ ประจา้ วัน พิพิธภณั ฑล์ ฟู วร์ พีระมิดในประเทศอียิปต์ เป็นสถำปัตยกรรมท่ียิ่งใหญ่และเป็น พพิ ิธภัณฑ์ลูฟวร์ (Louvre Museum) เป็นพิพิธภัณฑ์ทำงศิลปะซ่ึง ส่ิงมหัศจรรย์ของโลกท่ีสร้ำงข้ึนโดยชำวอียิปต์โบรำณ ซึ่งพีระมิดท่ีมี ต้ังอยู่ในกรุงปำรีส ประเทศฝรั่งเศส มีทำงเข้ำเป็นกระจกที่มีลักษณะ ชื่อเสียงและยิ่งใหญ่ที่สุด คือ พีระมิด 3 แห่ง ท่ีตั้งอยู่ใกล้กันบน เป็นพีระมิด ปัจจุบันพิพิธภัณฑ์แห่งน้ีเป็นท่ีเก็บรวบรวมผลงำนทำง ทร่ี ำบสูงกซี ำ ซง่ึ มชี ือ่ เรียกวำ่ “มหำพรี ะมิด (The Great Pyramid)” ศลิ ปะไวม้ ำกมำย เช่น ภำพวำดโมนำลิซำ ของเลโอนำรโ์ ด ดำ วนิ ชี